تعيين النظرية (Set theory)

تشكل نظرية المجموعات نظامًا أساسيًا ضمن المنطق الرياضي، مع التركيز على دراسة المجموعات، التي يتم تصورها على أنها مجموعات من كائنات متميزة. في حين أنه يمكن تجميع أي كيان نظريًا في مجموعة، فإن التطبيق الرياضي لنظرية المجموعات يعالج في المقام الأول الأشياء ذات الصلة بالمجال الأوسع للرياضيات.

نظرية المجموعات هي فرع من المنطق الرياضي الذي يدرس المجموعات، والتي يمكن وصفها بشكل غير رسمي بأنها مجموعات من الكائنات. على الرغم من أنه يمكن جمع الأشياء من أي نوع في مجموعة، إلا أن نظرية المجموعات - كفرع من الرياضيات - تهتم في الغالب بتلك التي لها صلة بالرياضيات ككل.

بدأ البحث المعاصر في نظرية المجموعات في سبعينيات القرن التاسع عشر، بقيادة علماء الرياضيات الألمان ريتشارد ديديكيند وجورج كانتور، وكان كانتور معروفًا على نطاق واسع باعتباره المؤسس الرئيسي لها. يُطلق على الأطر الأولية غير الرسمية التي تم استكشافها خلال هذه الفترة بشكل جماعي اسم نظرية المجموعة الساذجة. بعد تحديد المفارقات المتأصلة في نظرية المجموعة الساذجة - بما في ذلك مفارقة راسل، ومفارقة كانتور، ومفارقة بورالي فورتي - ظهرت مجموعة من الأنظمة البديهية في أوائل القرن العشرين. من بين هذه النظريات، تظل نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل (سواء مع أو بدون بديهية الاختيار) هي الأبرز والأكثر بحثًا على نطاق واسع.

تعمل نظرية المجموعات في كثير من الأحيان كإطار أساسي للرياضيات ككل، لا سيما في تجلياتها كنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل معززة ببديهية الاختيار. بالإضافة إلى أهميتها التأسيسية، توفر نظرية المجموعات البنية المفاهيمية لتطوير نظرية رياضية للانهاية وتجد تطبيقات متنوعة عبر مجالات مثل علوم الكمبيوتر (على سبيل المثال، في نظرية الجبر العلائقي)، والفلسفة، وعلم الدلالة الرسمية، والديناميات التطورية. إن فائدتها التأسيسية المتأصلة، إلى جانب المفارقات المثيرة للاهتمام التي تقدمها، وآثارها العميقة على مفهوم اللانهاية، وتطبيقاتها العملية العديدة، قد جعلت نظرية المجموعات موضوعًا ذا أهمية كبيرة للمنطقيين وفلاسفة الرياضيات. تشمل الأبحاث الحالية في نظرية المجموعات نطاقًا واسعًا من المواضيع، بدءًا من تحليل بنية خط الأعداد الحقيقية وحتى التحقق من اتساق الأعداد العددية الكبيرة.

التاريخ

التاريخ المبكر

كان المفهوم الأساسي لتجميع الأشياء موجودًا منذ ظهور الأنظمة العددية على الأقل، كما أن التعامل مع المجموعات ككيانات متميزة يعود تاريخها إلى شجرة الحجر السماقي على الأقل في القرن الثالث الميلادي. إن البساطة المتأصلة والطبيعة المنتشرة للمجموعات تزيد من تعقيد التحديد الدقيق لأصلها كما هو مستخدم حاليًا في الرياضيات. ومع ذلك، فإن عمل برنارد بولزانو عام 1851، مفارقات اللانهائية (Paradoxien des Unendlichen)، يُنظر إليه على نطاق واسع على أنه المقدمة الصارمة الافتتاحية للمجموعات في الخطاب الرياضي. في هذه الرسالة، قام بولزانو، من بين مساهمات أخرى، بتوضيح مفارقة غاليليو وأسس مفهوم المراسلات واحد لواحد للمجموعات اللانهائية، والتي تتجسد في العلاقة بين الفترات 13§ <مو>، §1617§ ] {\displaystyle [0,5]} و 37§ <مو>، §4041§ ] {\displaystyle [0,12]} من خلال المعادلة 59§ <مي>ص <مو>= §6465§ س {\displaystyle 5y=12x} . على الرغم من هذه الأفكار، امتنع بولزانو عن التأكيد على أن هذه المجموعات كانت متساوية العدد، ويُنظر عمومًا إلى أن مساهماته كان لها تأثير محدود على الرياضيات في عصره.

قبل التطوير الرسمي لنظرية المجموعات الرياضية، تم تناول المفاهيم الأساسية لللانهاية في المقام الأول ضمن عالم الفلسفة. منذ القرن الخامس قبل الميلاد، ومع وجود شخصيات مثل الفيلسوف اليوناني زينون إيليا في التقليد الغربي وعلماء الرياضيات الهنود الأوائل في الشرق، شكل مفهوم اللانهاية تحديات كبيرة للمفكرين. دفع ظهور حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر الفلاسفة إلى التمييز بين اللانهاية المحتملة واللانهاية الفعلية، مع تركيز الرياضيات لاحقًا على الأخيرة فقط. قال كارل فريدريش غاوس في عبارته الشهيرة:

إن اللانهاية ليست أكثر من مجرد شكل من أشكال الكلام يساعدنا على التحدث عن الحدود. إن فكرة اللانهاية المكتملة لا تنتمي إلى الرياضيات.

تم تحفيز تطور نظرية المجموعات الرياضية من خلال مساهمات العديد من علماء الرياضيات. قدمت محاضرة بيرنهارد ريمان عام 1854، حول الفرضيات التي تكمن وراء أسس الهندسة، مفاهيم طوبولوجية جديدة. قدم خطابه أيضًا الفكرة الأساسية للرياضيات التي تعتمد على المجموعات أو المتشعبات، والتي تم تعريفها على أنها فئة (والتي أطلق عليها اسم Mannigfaltigkeit)، وهو مفهوم يُعرف الآن باسم طوبولوجيا مجموعة النقاط. نشر ريتشارد ديديكيند هذه المحاضرة في عام 1868، جنبًا إلى جنب مع أطروحة ريمان حول المتسلسلة المثلثية، والتي قدمت تكامل ريمان. بدأ العمل الأخير اتجاهًا مهمًا في التحليل الحقيقي، مع التركيز على فحص الوظائف المتقطعة للغاية. انخرط جورج كانتور، في بداية حياته المهنية، في هذا المجال، مما دفعه إلى البحث في مجموعات النقاط. في عام 1871 تقريبًا، قام ديديكيند، متأثرًا بريمان، بدمج المفاهيم القائمة على المجموعات في منشوراته، وتناول بدقة علاقات التكافؤ، وأقسام المجموعة، والتماثل. وبالتالي، فإن العديد من منهجيات نظرية المجموعة القياسية السائدة في رياضيات القرن العشرين تعود أصولها إلى مساهمات ديديكيند. ومع ذلك، لم يتم نشر شرحه الرسمي لنظرية المجموعات حتى عام 1888.

نظرية المجموعات الساذجة

يعزو علماء الرياضيات المعاصرون عمومًا أساس نظرية المجموعات إلى بحث جورج كانتور الرائد عام 1874، حول خاصية مجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية. ضمن هذا العمل، قدم كانتور مفهوم العلاقة الأساسية، الذي يسهل مقارنة أحجام المجموعة من خلال المراسلات الفردية. كان اكتشافه الرائد هو عدم قابلية عد مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، مما يعني أنه لا يمكن تعداد هذه الأعداد في قائمة تسلسلية. تم إثبات هذه النظرية من خلال برهان كانتور الأولي لعدم قابلية العد، والذي يسبق بوضوح حجته القطرية المعترف بها على نطاق واسع.

أسس كانتور بنيات أساسية ضمن نظرية المجموعات، بما في ذلك مجموعة القوة لمجموعة A، والتي تشمل جميع المجموعات الفرعية المحتملة من A. بعد ذلك، أثبت أن أصل مجموعة القوى A أكبر دائمًا من أصل A، حتى عندما يمثل A مجموعة لا نهائية؛ تم تصنيف هذه النتيجة على الفور على أنها نظرية كانتور. علاوة على ذلك، صاغ كانتور نظرية شاملة للأعداد اللامتناهية، المصنفة على أنها أعداد أساسية وترتيبية، مما أدى إلى توسيع المبادئ الحسابية المطبقة على الأعداد الطبيعية. بالنسبة للأعداد الأساسية، استخدم تدوينه الحرف العبري ${\displaystyle \aleph }$ (ℵ, aleph) مصحوبة برقم طبيعي منخفض؛ بالنسبة للأعداد الترتيبية، استخدم الحرف اليوناني ${\displaystyle \omega }$ (ω, omega).

ظهرت نظرية المجموعات تدريجيًا باعتبارها عنصرًا أساسيًا في النموذج الرياضي "الحديث" الناشئ. في البداية، كان يُنظر إلى نظرية كانتور حول الأعداد العابرة للحدود على أنها غير بديهية، بل واستفزازية. أدى هذا إلى معارضة من علماء الرياضيات المعاصرين، بما في ذلك ليوبولد كرونيكر وهنري بوانكاريه، وبعد ذلك من هيرمان ويل وإل إي جي بروير. في الوقت نفسه، صاغ لودفيج فيتجنشتاين انتقادات فلسفية بخصوص الجدل حول نظرية كانتور.

على الرغم من الخلاف الأولي، حققت نظرية المجموعات كانتور قبولًا كبيرًا في مطلع القرن العشرين، مدفوعة بمساهمات العديد من علماء الرياضيات والفلاسفة المتميزين. في الوقت نفسه، قام ريتشارد ديديكيند بدمج المفاهيم المبنية على المجموعة في منشوراته وقام بشكل خاص ببناء الأعداد الحقيقية في عام 1872 من خلال تخفيضات ديديكيند. حافظ كانتور وديدكايند على مراسلات مهمة فيما يتعلق بنظرية المجموعات، خاصة خلال سبعينيات القرن التاسع عشر. ومع ذلك، فإن منهج ديديكيند الموجه جبريًا بدأ يحظى بتبني واسع النطاق فقط في تسعينيات القرن التاسع عشر. تعاون كانتور أيضًا مع جوزيبي بيانو في تطوير بديهيات بيانو، التي أضفت طابعًا رسميًا على حساب الأعداد الطبيعية باستخدام مبادئ نظرية المجموعة وقدمت رمز إبسيلون لعضوية المجموعة. ولعل أبرز ما في الأمر هو أن جوتلوب فريجه بدأ في تطوير أساسيات الحساب.

في عمله، سعى فريجه إلى إرساء أسس جميع الرياضيات على أساس البديهيات المنطقية، متضمنًا مفهوم كانتور للأصل. على سبيل المثال، العبارة "عدد الخيول في الحظيرة هو أربعة" تشير إلى أن أربعة كائنات متميزة تمثل المفهوم حصان في الحظيرة. سعى فريجه إلى توضيح الفهم البشري للأرقام من خلال استخدام العلاقة الأساسية، والتي تمثلها تعبيرات مثل "عدد..." أو التدوين الرسمي ${\displaystyle Nx:Fx}$، وهي منهجية ترتكز على مبدأ هيوم.

ومع ذلك، أثبتت الجهود التأسيسية التي بذلها فريجه أنها سريعة الزوال، كما أثبت برتراند راسل لاحقًا أن نظامه البديهي يحتوي على تناقض متأصل. نشأت هذه المشكلة على وجه التحديد من القانون الأساسي الخامس لفريجه، والذي يُعرف الآن باسم المخطط البديهي للفهم غير المقيد. يفترض القانون الأساسي الخامس أنه بالنسبة لأي خاصية محددة بشكل مناسب، توجد مجموعة مقابلة تضم جميع الأشياء التي تمتلك تلك الخاصية المحددة فقط. يتم توضيح هذا التناقض الناتج، المعروف باسم مفارقة راسل، على النحو التالي:

اعتبر

RR المجموعة التي تشمل جميع المجموعات التي ليست أعضاءً في نفسها. يُشار إلى هذا الكيان أحيانًا باسم "مجموعة راسل". إذا لم يكن R عنصرًا في حد ذاته، فإن خصائصه المميزة تستلزم أن يكون عنصرًا في حد ذاته. وعلى العكس من ذلك، إذا كان عنصرًا في نفسه، فلا يمكن أن يكون عنصرًا في نفسه، نظرًا لتعريفه كمجموعة من جميع المجموعات التي ليست أعضاء ذاتيًا. يشكل هذا التناقض المنطقي المتأصل مفارقة راسل. رمزيًا، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{، ثم }}R\in R\iff R\not \in R}$

تزامن هذا الاكتشاف مع حقبة تتميز بظهور العديد من المفارقات الأخرى والنتائج الرياضية غير البديهية. تشمل الأمثلة البارزة توضيح أن الافتراض الموازي غير قابل للإثبات، وتحديد الأشياء الرياضية التي تتحدى الحساب أو الوصف الصريح، ووجود النظريات الحسابية التي لا يمكن إثباتها رسميًا في حساب البيانو. مجتمعة، عجلت هذه التطورات بأزمة تأسيسية عميقة في الرياضيات.

المفاهيم الأساسية والاصطلاحات التدوينية

يبدأ نظام نظرية المجموعات بعلاقة ثنائية أساسية تؤسس اتصالًا بين كائن o والمجموعة A. عندما يشكل o عضوًا أو عنصرًا في A، يتم التعبير عن هذه العلاقة رسميًا باستخدام الترميز o ∈ A. يتم تحديد المجموعات عادةً إما عن طريق تعداد العناصر المكونة لها، مفصولة بفواصل، أو عن طريق تحديد خاصية مميزة لعناصرها، مع وضع كلا الطريقتين بين قوسين متعرجين { }. نظرًا لأن المجموعات نفسها تعتبر كائنات، فإن علاقة العضوية تمتد إلى العلاقات بين المجموعات، مما يعني أن المجموعات يمكن أن تكون بالفعل أعضاء في مجموعات أخرى.

يمثل تضمين المجموعة، والمعروف أيضًا باسم علاقة المجموعة الفرعية، علاقة ثنائية أساسية بين مجموعتين. على وجه التحديد، إذا كان كل عنصر في المجموعة A هو أيضًا عنصر في المجموعة B، فسيتم تعريف A على أنه مجموعة فرعية من B، ويُرمز لها بـ A ⊆ B. على سبيل المثال، يشكل {1, 2} مجموعة فرعية من {1, 2, 3}، كما هو الحال مع {2}، في حين لا يشكل {1, 4} ذلك. يشير هذا التعريف بطبيعته إلى أن أي مجموعة معينة هي مجموعة فرعية من نفسها. لمعالجة السيناريوهات التي يكون فيها الدمج الذاتي غير مناسب أو يحتاج إلى الاستبعاد، تم تقديم مفهوم المجموعة الفرعية المناسبة، مع الرموز الشائعة بما في ذلك ${\displaystyle A\subset B}$, ${\displaystyle A\subsetneq B}$، أو ${\displaystyle A\subsetneqq B}$. ومع ذلك، من المهم ملاحظة أن الترميز ${\displaystyle A\subset B}$ أحيانًا بالتبادل مع ${\displaystyle A\subseteq B}$، مما يسمح بإمكانية تكافؤ A وB. رسميًا، يتم تعيين A على أنها مجموعة فرعية مناسبة من B فقط إذا كانت A مجموعة فرعية من B وA غير متطابقة مع B. علاوة على ذلك، فإن الأرقام 1 و2 و3 تعتبر عناصر من المجموعة {1, 2, 3}، ولكنها لا تشكل مجموعات فرعية منها؛ وعلى العكس من ذلك، فإن المجموعات الفرعية مثل {1} ليست عناصر في المجموعة {1, 2, 3}. ومن الممكن أيضًا أن تنشأ علاقات أكثر تعقيدًا؛ على سبيل المثال، تعمل المجموعة {1} كعنصر ومجموعة فرعية مناسبة للمجموعة {1, {1}}.

وعلى نحو مماثل للعمليات الحسابية الثنائية على الأرقام، تتضمن نظرية المجموعات عمليات ثنائية مطبقة على المجموعات. ويرد أدناه تعداد جزئي لهذه العمليات:

• اتحاد المجموعتين A وB، والذي يُرمز إليه بـ A ∪ B، يشتمل على جميع العناصر التي تنتمي إلى A أو B أو كليهما. على سبيل المثال، يؤدي اتحاد {1, 2, 3} و{2, 3, 4} إلى الحصول على المجموعة {1, 2, 3, 4}.
• يتكون تقاطع المجموعتين A وB، والممثل بـ A ∩ B، من جميع العناصر المشتركة بين كل من A وB. على سبيل المثال، يؤدي تقاطع {1, 2, 3} و{2, 3, 4} إلى المجموعة {2, 3}.
• فارق المجموعة بين U وA، والذي يُرمز إليه بـ U ∖ A، يشمل جميع العناصر الموجودة في U ولكنها غائبة عن A. على سبيل المثال، يؤدي تعيين الفرق {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} إلى {1}، بينما، على العكس من ذلك، يؤدي {2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} إلى {4}. إذا كانت A مجموعة فرعية من U، فإن فرق المجموعة U ∖ A يُطلق عليه بدلاً من ذلك اسم المكمل لـ A فيما يتعلق بـ U. في مثل هذه الظروف، عندما يتم تضمين المجموعة العالمية U بشكل لا لبس فيه في السياق، فإن الترميز A^c قد يحل أحيانًا محل U ∖ A، خاصة عندما يعمل U كمجموعة عالمية في إطار مخططات Venn.
• الفرق المتماثل بين المجموعتين A وB، والمشار إليه بـ A △ B أو A ⊖ B، يشمل جميع العناصر التي تنتمي حصريًا إلى A أو B، ولكن ليس لكليهما. على سبيل المثال، بالنظر إلى المجموعتين {1, 2, 3} و{2, 3, 4}، فإن الاختلاف المتماثل بينهما هو المجموعة {1, 4}. يمكن التعبير عن هذه العملية بشكل مكافئ على أنها مجموعة الفرق بين الاتحاد والتقاطع، على وجه التحديد (A ∪ B) ∖ (A ∩ B)، أو كاتحاد اختلافات المجموعة الفردية، (A ∖ B) ∪ (B ∖ أ).
• يتم تعريف المنتج الديكارتي للمجموعتين A وB، والمشار إليهما بـ A × B، على أنه المجموعة التي تشتمل على جميع الأزواج المرتبة الممكنة (a, b)، بحيث ينتمي a إلى A و ينتمي b إلى B. على سبيل المثال، الناتج الديكارتي للمجموعتين {1، 2} و{أحمر، أبيض} ينتج عنه {(1، أحمر)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أبيض)).

تتضمن المجموعات الأساسية ذات الأهمية الكبيرة الأعداد الطبيعية، والأعداد الحقيقية، والمجموعة الفارغة، والتي يتم تعريفها بشكل فريد على أنها المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. بينما يُشار إليها أحيانًا باسم المجموعة الخالية، غالبًا ما يتم تجنب هذا التعيين بسبب غموضه واحتمال سوء تفسيره. يتم تمثيل المجموعة الفارغة رسميًا بأقواس فارغة "${\displaystyle \{\}}$" أو بالرموز "${\displaystyle \varnothing }$" أو "${\displaystyle \emptyset }$".

مجموعة القوة لمجموعة A، يُشار إليها بـ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$، يتم تعريفها على أنها المجموعة التي تحتوي على جميع المجموعات الفرعية الممكنة من A. على سبيل المثال، مجموعة الطاقة {1, 2} هي { {}، {1}، {2}، {1، 2} }. ومن الجدير بالذكر أن ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ يتضمن دائمًا كلاً من A نفسه والمجموعة الفارغة.

علم الوجود

تصنف المجموعة على أنها نقية إذا كانت جميع عناصرها مجموعات، وبشكل متكرر، جميع عناصر عناصرها مجموعات أيضًا، وتستمر إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة فقط تشكل مجموعة نقية غير فارغة. في إطار نظرية المجموعات المعاصرة، تركز الأبحاث بشكل متكرر على عالم فون نيومان، والذي يشتمل حصريًا على مجموعات نقية. وبالتالي، تمت صياغة العديد من نظريات المجموعات البديهية لتوضيح هذه المجموعات النقية فقط. يقدم هذا القيد فوائد تقنية كبيرة ويضحي بالحد الأدنى من العمومية، حيث يمكن نمذجة جميع المفاهيم الرياضية بشكل فعال باستخدام مجموعات نقية. يتم تنظيم المجموعات داخل عالم فون نيومان في تسلسل هرمي تراكمي، يتم تحديده من خلال عمق تداخل أعضائها التأسيسيين وأعضائهم الفرعية. يتم تعيين رقم ترتيبي لكل مجموعة ضمن هذا التسلسل الهرمي ${\displaystyle \alpha }$ من خلال العودية العابرة للحدود، وهي قيمة تسمى رتبتها. رتبة المجموعة النقية ${\displaystyle X}$ رسميًا على أنه أصغر رقم ترتيبي يتجاوز بدقة رتبة أي من العناصر المكونة له. على سبيل المثال، يتم تعيين المجموعة الفارغة على رتبة 0، في حين أن المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة فقط تحصل على رتبة 1. لكل ترتيبي ${\displaystyle \alpha }$، المجموعة ${\displaystyle V_{\alpha }}$ يتكون من جميع المجموعات النقية التي تمتلك رتبة أقل تمامًا من ${\displaystyle \alpha }$. يُرمز إلى عالم فون نيومان الكامل بالرمز ${\displaystyle V}$.

نظرية المجموعات المصاغة

يمكن التعامل مع نظرية المجموعات الأولية بشكل غير رسمي وحدسي، مما يسهل تدريسها في التعليم الابتدائي من خلال استخدام مخططات فين. تفترض هذه المنهجية البديهية ضمنيًا أن أي مجموعة من الكائنات التي تلبي شرطًا محددًا يمكن أن تشكل مجموعة. ونتيجة لذلك، يؤدي هذا الافتراض إلى مفارقات، حيث تعتبر مفارقة راسل ومفارقة بورالي فورتي من الأمثلة الأكثر وضوحًا والأكثر شهرة. تم تطوير نظرية المجموعات البديهية في البداية لحل هذه المفارقات المتأصلة في نظرية المجموعات.

تفترض الأنظمة السائدة في نظرية المجموعات البديهية أن جميع المجموعات منظمة في تسلسل هرمي تراكمي. يتم تصنيف هذه الأنظمة على نطاق واسع إلى نوعين وجوديين:

• أنظمة تعتمد فقط على المجموعات. تتضمن هذه الفئة نظرية المجموعات البديهية الأكثر انتشارًا، Zermelo–Fنظرية المجموعات البديهية، معززة ببديهية choice (ZFC). تشمل الأجزاء المكونة لـ ZFC ما يلي:
  • نظرية مجموعات زيرميلو، التي تستبدل مخطط بديهية الاستبدال بمخطط بديهية الانفصال؛
  • نظرية المجموعات العامة، وهي مجموعة فرعية مقيدة من نظرية مجموعات زيرميلو تكفي لصياغة بديهيات بيانو والمجموعات المحدودة؛
  • نظرية مجموعة كريبك-بلاتيك، التي تغفل بديهيات اللانهاية، ومجموعة القوى، والاختيار، وتخفف من مخططات بديهية الفصل والاستبدال.
• الأنظمة التي تتضمن المجموعات والفئات المناسبة. يشمل هذا التصنيف نظرية مجموعة فون نيومان-بيرنيز-جودل، والتي تعرض قوة استنتاجية مكافئة لـ ZFC للنظريات المتعلقة حصريًا بالمجموعات، جنبًا إلى جنب مع نظرية مجموعة مورس-كيلي ونظرية مجموعة تارسكي-جروثينديك، وكلاهما يتجاوز ZFC في القوة التأسيسية.

يمكن تعديل الأنظمة المذكورة أعلاه لاستيعاب العناصر، وهي كيانات قادرة على أن تكون أعضاء في مجموعات ولكنها ليست في حد ذاتها مجموعات ولا تمتلك أي أعضاء. تمت صياغة نظرية مجموعة زيرميلو في الأصل على نطاق يشتمل على كل من المجموعات والعناصر.

تختلف أنظمة الأسس الجديدة، وتحديدًا NFU (التي تسمح بالعناصر urelements) وNF (التي تستثنيها)، المرتبطة بـ Willard Van Orman Quine، عن نموذج التسلسل الهرمي التراكمي. يفترض كل من NF وNFU "مجموعة من كل شيء"، بالنسبة لكل مجموعة تمتلك مكملاً لها. ضمن هذه الأطر، تعد العناصر الدورية مهمة لأن NF، على عكس NFU، يولد مجموعات لا تنطبق عليها بديهية الاختيار. على الرغم من أن أنطولوجيا NF لا تعكس التسلسل الهرمي التراكمي التقليدي وتنتهك الأساس الجيد، أكد توماس فورستر أنها تتوافق مع المفهوم التكراري للمجموعة.

تدمج أنظمة نظرية المجموعة البناءة، مثل CST وCZF وIZF، البديهيات الأساسية الخاصة بها ضمن المنطق الحدسي بدلاً من المنطق الكلاسيكي. تتميز الأنظمة المتميزة الأخرى، رغم التزامها بالمنطق الكلاسيكي، بعلاقة عضوية غير قياسية. وتشمل هذه نظرية المجموعات التقريبية ونظرية المجموعات الغامضة، حيث قيمة الحقيقة للصيغة الذرية التي تعبر عن علاقة العضوية ليست ببساطة صحيحة أو خاطئة. تمثل نماذج القيمة المنطقية لـ ZFC مجالًا ذا صلة بالدراسة.

تم تقديم إطار عمل معزز لـ ZFC، يسمى نظرية المجموعات الداخلية، بواسطة إدوارد نيلسون في عام 1977.

التطبيقات

يمكن تعريف العديد من المفاهيم الرياضية بدقة باستخدام مبادئ نظرية المجموعة فقط. على سبيل المثال، يمكن وصف التركيبات الرياضية المتنوعة مثل الرسوم البيانية والمشعبات والحلقات والمساحات المتجهة والجبر العلائقي بأنها مجموعات تلبي خصائص بديهية محددة. توجد علاقات التكافؤ والنظام في كل مكان في الرياضيات، ويمكن توضيح نظرية العلاقات الرياضية بشكل شامل ضمن نظرية المجموعات.

تعمل نظرية المجموعات أيضًا كإطار تأسيسي قوي لجزء كبير من الرياضيات. منذ نشر المجلد الأول من مبادئ الرياضيات، تم الافتراض بأن معظم النظريات الرياضية، إن لم يكن كلها، يمكن استخلاصها باستخدام مجموعة من البديهيات المصممة بشكل مناسب لنظرية المجموعات، مكملة بالعديد من التعريفات، واستخدام منطق الدرجة الأولى أو منطق الدرجة الثانية. على سبيل المثال، يمكن استنتاج خصائص الأعداد الطبيعية والحقيقية ضمن نظرية المجموعات، حيث يمكن تعريف كل نظام من أنظمة الأعداد هذه من خلال تمثيل عناصرها كمجموعات من أشكال معينة.

إن دور نظرية المجموعة كإطار أساسي للتحليل الرياضي، والطوبولوجيا، والجبر المجرد، والرياضيات المنفصلة هو أمر لا جدال فيه بالمثل؛ يعترف علماء الرياضيات عمومًا، من حيث المبدأ، بأن النظريات ضمن هذه المجالات يمكن استخلاصها من التعريفات ذات الصلة والإطار البديهي لنظرية المجموعات. ومع ذلك، نادرًا ما يتم التحقق من صحة الاشتقاقات الرسمية الشاملة للنظريات الرياضية المعقدة من نظرية المجموعات، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى أن مثل هذه الاشتقاقات الرسمية أكثر شمولاً بكثير من البراهين غير الرسمية التي يقدمها علماء الرياضيات عادةً. على سبيل المثال، يضم مشروع التحقق من Metamath أكثر من 12000 نظرية، والتي نشأت اشتقاقاتها، التي كتبها البشر وتم التحقق منها بواسطة أجهزة الكمبيوتر، من نظرية مجموعة ZFC، ومنطق الترتيب الأول، والمنطق المقترح.

مجالات البحث

تشكل نظرية المجموعات مجالًا مهمًا للبحث الرياضي، ويشمل العديد من الحقول الفرعية المترابطة:

نظرية المجموعات التوافقية

نظرية المجموعات التوافقية على توسيع مبادئ التوافقيات المحدودة لتشمل المجموعات اللانهائية. يشمل نطاقها الحساب الأساسي ودراسة تعميمات نظرية رامزي، والتي تتمثل في نظرية إردوس-رادو.

نظرية المجموعة الوصفية

نظرية المجموعات الوصفية في مجموعات فرعية من الخط الحقيقي، وعلى نطاق أوسع، مجموعات فرعية داخل المساحات البولندية. يتضمن عملها التأسيسي تحليل فئات النقاط داخل التسلسل الهرمي لبوريل، ثم التوسع لاحقًا إلى هياكل هرمية أكثر تعقيدًا مثل التسلسل الهرمي الإسقاطي والتسلسل الهرمي الودج. في حين أن العديد من خصائص مجموعات بوريل يمكن إثباتها داخل ZFC، فإن إنشاء هذه الخصائص لمجموعات أكثر تعقيدًا يتطلب بديهيات تكميلية تتعلق بالحتمية والأعداد الأساسية الكبيرة.

يحتل مجال نظرية المجموعات الوصفية الفعالة تقاطعًا بين نظرية المجموعات ونظرية التكرار. يتضمن هذا المجال فحص فئات النقاط ذات الوجه الخفيف ويحافظ على علاقة وثيقة مع نظرية الحساب الفائق. في كثير من الأحيان، تمتلك النتائج المستخلصة من نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية نظيرات فعالة؛ في بعض الأحيان، تظهر نتائج جديدة من خلال إنشاء المتغير الفعال في البداية ومن ثم توسيعه أو "إضفاء طابع نسبي عليه" لتحقيق قابلية تطبيق أوسع.

يتضمن التركيز البحثي المعاصر علاقات تكافؤ بوريل وعلاقات تكافؤ أكثر تعقيدًا يمكن تحديدها. يقدم هذا المجال تطبيقات هامة لدراسة الثوابت عبر التخصصات الرياضية المتنوعة.

نظرية المجموعة الغامضة

في إطار نظرية المجموعات، كما تصورها كانتور في الأصل ثم تم بديهتها لاحقًا بواسطة زيرميلو وفراينكل، فإن عضوية الكائن في مجموعة تكون ثنائية تمامًا. على العكس من ذلك، في نظرية المجموعات الغامضة، قدم لطفي زاده تخفيفًا لهذا الشرط، مما يسمح للكائن بامتلاك درجة عضوية في مجموعة، يتم قياسها بواسطة رقم حقيقي بين 0 و1. على سبيل المثال، توفر درجة عضوية الشخص في مجموعة "الأشخاص طوال القامة" مرونة أكبر من الاستجابة الثنائية، ومن المحتمل أن يتم تمثيلها برقم حقيقي مثل 0.75.

نظرية النموذج الداخلي

يتم تعريف النموذج الداخلي ضمن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (ZF) على أنه فئة متعدية تشمل جميع الأرقام الترتيبية وتفي بجميع بديهيات ZF. التوضيح الجوهري هو الكون القابل للتشييد L، وهو مفهوم تقدم به جودل. يعد فحص النماذج الداخلية أمرًا مهمًا في المقام الأول لأنه يسهل عرض نتائج الاتساق. على سبيل المثال، يمكن إثبات أنه بغض النظر عما إذا كان نموذج ZF V يفي بفرضية الاستمرارية أو بديهية الاختيار، فإن النموذج الداخلي L، عند إنشائه ضمن النموذج الأصلي، سوف يرضي دائمًا فرضية الاستمرارية المعممة وبديهية الاختيار. وبالتالي، فإن فرضية اتساق ZF (أي وجود نموذج واحد على الأقل) تستلزم اتساق ZF عند تعزيزها بهذين المبدأين.

يتم فحص النماذج الداخلية بشكل متكرر في سياق الحتمية والأساسيات الكبيرة، خاصة عند النظر في بديهيات مثل بديهية الحتمية، والتي تتعارض مع بديهية الاختيار. حتى لو كان نموذج نظرية المجموعات يدعم بديهية الاختيار، فإن النموذج الداخلي بداخله قد لا يفي بهذه البديهية. على سبيل المثال، يشير وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الكرادلة إلى وجود نموذج داخلي يلبي بديهية الحتمية، وبالتالي يحول دون تلبية بديهية الاختيار.

كرادلة كبيرة

يتم تعريف الرقم الأساسي الكبير على أنه رقم أصلي يمتلك خاصية إضافية ومحددة. يتم التحقيق في العديد من هذه الخصائص، بما في ذلك الكرادلة التي لا يمكن الوصول إليها، والكرادلة القابلة للقياس، من بين أمور أخرى. تشير هذه الخصائص عمومًا إلى أن العدد الأساسي يجب أن يكون كبيرًا بشكل استثنائي، وعادةً ما يكون وجود عدد أساسي له الخاصية المحددة غير قابل للإثبات ضمن نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل.

العزم

العزم يشير إلى المبدأ القائل بأنه، في ظل ظروف معينة، يتم تحديد بعض الألعاب التي يشارك فيها لاعبان والتي تحتوي على معلومات مثالية مسبقًا، مما يعني ضمنًا أن أحد المشاركين يمتلك دائمًا استراتيجية رابحة. يحمل وجود مثل هذه الاستراتيجيات آثارًا مهمة على نظرية المجموعات الوصفية، حيث تشير افتراضات الحتمية لفئة موسعة من الألعاب في كثير من الأحيان إلى أن مجموعة أوسع من المجموعات ستظهر خاصية طوبولوجية معينة. تشكل بديهية العزم (AD) مجالًا محوريًا للبحث؛ على الرغم من عدم توافقه مع بديهية الاختيار، يفترض AD أن جميع المجموعات الفرعية لخط الأعداد الحقيقي تظهر خصائص مرغوبة، وتحديدًا كونها قابلة للقياس وتمتلك خاصية المجموعة المثالية. علاوة على ذلك، يسهل AD عرض التنظيم الهيكلي الأنيق ضمن درجات Wadge.

الإجبار

تم تطوير تقنية التأثير بواسطة بول كوهين في سعيه لنموذج ZFC حيث تكون فرضية الاستمرارية غير صالحة، أو نموذج ZF يفتقر إلى بديهية الاختيار. تتضمن هذه الطريقة تعزيز نموذج نظرية المجموعة الحالي بمجموعات تكميلية، وبالتالي توليد نموذج موسع تملي (أو "تفرض") خصائصه من خلال عملية البناء والنموذج الأولي. على سبيل المثال، يقدم بناء كوهين المحدد مجموعات فرعية إضافية من الأعداد الطبيعية دون تغيير العناصر الأساسية الموجودة في النموذج الأصلي. علاوة على ذلك، يعتبر التأثير أحد النهجين المحدودين لتحقيق الاتساق النسبي، والبديل هو النماذج ذات القيمة المنطقية.

الثوابت الأساسية

يحدد الثابت الأساسي خاصية خط الأعداد الحقيقية باستخدام رقم أساسي. ومن الأمثلة البارزة على ذلك الحد الأدنى من العناصر الأساسية المطلوبة لمجموعة من المجموعات الضئيلة من الأعداد الحقيقية التي يشمل اتحادها الخط الحقيقي بأكمله. تسمى هذه الخصائص بالثوابت لأن أي نموذجين متماثلين لنظرية المجموعات سوف ينتجان بالضرورة قيمًا أساسية متطابقة لكل ثابت على حدة. لقد تم دراسة العديد من الثوابت الأساسية، وكثيرًا ما تظهر علاقاتها المتبادلة تعقيدًا، وغالبًا ما تكون متوقفة على بديهيات نظرية المجموعات.

طوبولوجيا المجموعة النظرية

طوبولوجيا المجموعات النظرية في المشكلات الموجودة ضمن الهيكل العام والتي تمتلك بطبيعتها طابعًا نظريًا للمجموعات أو تتطلب منهجيات نظرية مجموعات متطورة لحلها. عدد كبير من هذه النظريات مستقل عن ZFC، وبالتالي يتطلب بديهيات أكثر قوة لتوضيحها. كان التحدي الملحوظ في هذا المجال هو سؤال مور الفضائي العادي، وهي مشكلة طوبولوجية عامة حظيت باهتمام بحثي كبير. وفي نهاية المطاف، تم إنشاء حل لمسألة مساحة مور العادية باعتبارها مستقلة عن ZFC.

الجدل

منذ نشأتها، واجهت نظرية المجموعات اعتراضات من بعض علماء الرياضيات فيما يتعلق بمدى ملاءمتها كإطار تأسيسي للرياضيات. النقد السائد، الذي عبر عنه كرونيكر خلال فترة نشوء نظرية المجموعات، ينبع من المنظور البنائي، الذي يفترض وجود علاقة فضفاضة بين الرياضيات والحساب. قبول وجهة النظر هذه يعني أن التعامل مع المجموعات اللانهائية، ضمن نظرية المجموعات الساذجة والبديهية، يقدم منهجيات وكيانات في الرياضيات غير قابلة للحساب بشكل أساسي. تم تعزيز جدوى البنائية كأساس رياضي بديل بشكل كبير من خلال عمل إريت بيشوب الأساسي، أسس التحليل البنائي.

قدم هنري بوانكاريه نقدًا متميزًا، معتبرًا أن تعريف المجموعات من خلال المخططات البديهية للمواصفات والاستبدال، جنبًا إلى جنب مع بديهية مجموعة القوى، يضخ عدم التأويل - وهو شكل من أشكال الدائرية - في تعريفات الرياضيات الرياضية. الكيانات. على الرغم من أن مجال الرياضيات المبنية على أساس تنبئي أضيق من مجال نظرية زيرميلو-فرانكل المعتمدة على نطاق واسع، إلا أنه يتجاوز إلى حد كبير مجال الرياضيات البناءة، مما دفع سولومون فيفرمان إلى التأكيد على أنه "يمكن تطوير كل التحليلات القابلة للتطبيق علميًا [باستخدام الأساليب التنبؤية]".

من الناحية الفلسفية، أدان لودفيج فيتجنشتاين نظرية المجموعات، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى مضامينها في الأفلاطونية الرياضية. وأكد أن "نظرية المجموعات خاطئة"، مجادلًا بأنها تعتمد على "هراء" الرمزية الوهمية، وتستخدم "تعابير خبيثة"، وأن المناقشات حول "جميع الأعداد" هي بطبيعتها هراء. لقد ساوى فيتجنشتاين بين الرياضيات والاستنتاج البشري الخوارزمي، مما جعل السعي وراء أساس آمن للرياضيات أمرًا لا معنى له من وجهة نظره. علاوة على ذلك، نظرًا للطبيعة المحدودة بطبيعتها للمسعى البشري، استلزم الإطار الفلسفي لفيتجنشتاين التزامًا وجوديًا بالبنائية الراديكالية والنهائية. وفقًا لفيتجنشتاين، فإن البيانات ما وراء الرياضيات - التي تشمل أي تأكيد كمي على مجالات لا نهائية، وبالتالي تقريبًا كل نظرية المجموعات الحديثة - لا تشكل رياضيات. اعتنق عدد قليل من الفلاسفة المعاصرين وجهات نظر فيتجنشتاين، لا سيما بعد خطأ ملحوظ موثق في ملاحظات على أسس الرياضيات، حيث سعى إلى دحض نظريات عدم الاكتمال لجودل المستندة فقط على قراءة ملخصاتها. وكما لاحظ المراجعون كريسل، وبيرنيز، ودوميت، وجودشتاين بالإجماع، فإن العديد من انتقاداته كانت غير قابلة للتطبيق على العمل بأكمله. في الآونة الأخيرة فقط، بدأ فلاسفة، مثل كريسبين رايت، في إعادة تأهيل حجج فيتجنشتاين.

قدم منظرو التصنيف نظرية توبوس كبديل عملي لنظرية المجموعات البديهية التقليدية. نظرية توبوس قادرة على تفسير البدائل المتنوعة لنظرية المجموعات التقليدية، بما في ذلك البنائية، ونظرية المجموعات المحدودة، ونظرية المجموعات القابلة للحساب. بالإضافة إلى ذلك، يوفر توبوي سياقًا طبيعيًا للتأثير وفحص استقلالية بديهية الاختيار عن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (ZF)، بينما ينشئ أيضًا إطارًا للطوبولوجيا التي لا معنى لها والمساحات الحجرية.

تشكل الأسس غير المتكافئة والمجال المرتبط بها، نظرية النوع المتماثل، مجالًا نشطًا للبحث المعاصر. في إطار نظرية النوع المتماثل، يمكن تصور المجموعة على أنها نوع متماثل 0، حيث تنبثق الخصائص العامة للمجموعات من الخصائص الاستقرائية والتكرارية للأنواع الاستقرائية الأعلى. يمكن صياغة المبادئ الأساسية، بما في ذلك بديهية الاختيار وقانون الوسط المستبعد، بطريقة تتفق مع صيغها النظرية الكلاسيكية، أو ربما من خلال مجموعة من المناهج المتميزة المتأصلة في نظرية النوع. يمكن إظهار بعض المبادئ من بينها كعواقب لمبادئ أخرى. تسهل الصيغ المتنوعة لهذه المبادئ البديهية إجراء تحليل شامل للصيغ المحددة اللازمة لاستخلاص النتائج الرياضية المختلفة.

تعليم الرياضيات

مع تزايد أهمية نظرية المجموعات كعنصر أساسي للرياضيات الحديثة، كانت هناك دعوة لدمج المفاهيم الأساسية لنظرية المجموعات الساذجة في مناهج الرياضيات المبكرة.

خلال الستينيات في الولايات المتحدة، سعت مبادرة "الرياضيات الجديدة" إلى تعريف طلاب المدارس الابتدائية بنظرية المجموعات الأساسية، إلى جانب المفاهيم المجردة الأخرى، ولكنها واجهت انتقادات كبيرة. تبنت مناهج الرياضيات في المدارس الأوروبية هذا الاتجاه لاحقًا، وهي حاليًا تدمج الموضوع في مستويات مختلفة في جميع السنوات الدراسية. يتم استخدام مخططات فين على نطاق واسع لتوضيح العلاقات الأساسية بين نظرية المجموعات لطلاب المدارس الابتدائية، على الرغم من تطويرها الأصلي بواسطة جون فين كعنصر من عناصر طريقة تقييم صحة الاستدلالات في منطق المصطلح.

تعمل نظرية المجموعات كأداة تمهيدية للطلاب لفهم العوامل المنطقية (NOT، AND، OR) والوصف الدلالي أو القائم على القواعد (من الناحية الفنية، التعريف المكثف) للمجموعات (على سبيل المثال، "الأشهر التي تبدأ بالحرف A"). يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة بشكل خاص في برمجة الكمبيوتر، نظرًا للاستخدام الواسع النطاق للمنطق المنطقي في لغات البرمجة المتنوعة. وبالمثل، فإن المجموعات وغيرها من هياكل البيانات الشبيهة بالمجموعات، بما في ذلك المجموعات المتعددة والقوائم، هي أنواع بيانات سائدة في علوم الكمبيوتر والبرمجة.

علاوة على ذلك، يتم استخدام مجموعات محددة بشكل روتيني في التعليم الرياضي، مثل المجموعات ${\displaystyle \mathbb {N} }$ للأعداد الطبيعية، ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ للأعداد الصحيحة، و${\displaystyle \mathbb {R} }$ للأعداد الحقيقية وغيرها. يتم استخدام هذه المجموعات بشكل متكرر عند تعريف دالة رياضية كعلاقة لعناصر التعيين من مجموعة واحدة (المجال) إلى مجموعة أخرى (النطاق).

قائمة المراجع

• بول هالموس, نظرية المجموعة الساذجة. سبرينغر فيرلاغ، 1960.
• توماس جيش، نظرية المجموعات، طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة. سبرينغر، 2006، 772 صفحة. رقم ISBN 978-3-540-44085-7.
• فورمان، ماثيو، وأكيهيرو كاناموري (المحررين). دليل نظرية المجموعات. 2010، 2196 صفحة. ISBN 978-1-4020-4843-2 (طباعة)؛ رقم ISBN 978-1-4020-5764-9 (عبر الإنترنت).

مسرد نظرية المجموعات

• مسرد نظرية المجموعات
• الفصل (نظرية المجموعة)
• قائمة موضوعات نظرية المجموعات
• النموذج العلائقي – مفهوم مشتق من نظرية المجموعات.
• مخطط فين
• النظرية الأولية لفئة المجموعات
• نظرية المجموعات الهيكلية

الاقتباسات

ديفلين، كيث (1993). متعة المجموعات: أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة. نصوص المرحلة الجامعية في الرياضيات (الطبعة الثانية). سبرينغر فيرلاغ. دوى:10.1007/978-1-4612-0903-4. رقم ISBN 0-387-94094-4.

• ديفلين، كيث (1993)، متعة المجموعات: أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة، نصوص جامعية في الرياضيات (الطبعة الثانية)، Springer Verlag، doi:10.1007/978-1-4612-0903-4، رقم ISBN 0-387-94094-4متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الرياضيات الحديثة. برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-7643-5749-8مقدمة لنظرية المجموعة. شركة ماكجرو هيل للكتاب. رقم ISBN 978-0-898-74006-6نظرية المجموعة وفلسفتها: مقدمة نقدية. مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-191-55643-2نظرية المجموعة ومشكلة الاستمرارية. منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-47484-7فلسفة نظرية المجموعات: مقدمة تاريخية إلى جنة كانتور. منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-43520-6مجلة تاريخ الأفكار، 38(1): 85–108. دوى:10.2307/2708842.جستور 2708842 جورج كانتور: رياضياته وفلسفته اللانهائية. بوسطن: مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 978-0-691-02447-9 دانيال كننغهام. مقالة "نظرية المجموعة" في موسوعة الإنترنت للفلسفة.
  • دانيال كننغهام، مقالة نظرية المجموعات في موسوعة الإنترنت للفلسفة.
  • فيريروس، خوسيه. مقالة "التطور المبكر لنظرية المجموعات" في موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  • فورمان، ماثيو، وأكيهيرو كاناموري، محررين. دليل نظرية المجموعات. 3 مجلدات، 2010. يشتمل هذا المنشور على فصول تتناول جوانب مختلفة من البحث المعاصر في نظرية المجموعات، باستثناء نظرية المجموعات الأولية الراسخة، والتي تم تناولها في ديفلين (1993).
  • "نظرية المجموعات البديهية." موسوعة الرياضيات. مطبعة EMS، 2001 [1994]موسوعة الرياضيات. مطبعة EMS، 2001 [1994].
  • شونفليز ، آرثر (1898). ">
  • رودين، والتر ب. (6 أبريل، 1990). "نظرية المجموعة: ذرية التحليل." محاضرة ماردن في الرياضيات. جامعة ويسكونسن-ميلووكي.
  • رودين، والتر بي (6 أبريل 1990)، "نظرية المجموعة: نسل التحليل"، محاضرة ماردن في الرياضيات، جامعة ويسكونسن-ميلووكي، مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 31-10-2021 – عبر YouTubeالمصدر: أرشيف أكاديمية TORIma