النسبة الذهبية (Golden ratio)

في الرياضيات، تصف النسبة الذهبية العلاقة بين كميتين حيث تعادل نسبتهما نسبة مجموعهما إلى أكبر الكميتين. جبريًا، لكميتين موجبتين، ⁠ أ {\displaystyle أ} ⁠ و ⁠ ب {\displaystyle ب} ⁠, حيث ⁠b>0}"> أ > ب > 0 {\displaystyle a>b>0} ⁠، الكمية ⁠ أ {\displaystyle أ} ⁠ موجود في النسبة الذهبية لـ ⁠ ب {\displaystyle ب} ⁠ إذا كانت المعادلة التالية صحيحة: أ + ب أ = أ ب = φ , {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,} حيث الحرف اليوناني phi (⁠ φ {\displaystyle \varphi } ⁠ أو ⁠ ϕ {\displaystyle \phi } ⁠، أو ⁠ Φ {\displaystyle \Phi } ⁠) يمثل النسبة الذهبية. هذا الثابت، ⁠ φ {\displaystyle \varphi } ⁠، هو عدد غير نسبي يحقق المعادلة التربيعية ⁠ φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1} ⁠، وقيمتها التقريبية هي φ = 1 + 5 2 = {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}} 1.618033988749.... تاريخياً، أشار إقليدس إلى النسبة الذهبية بأنها النسبة القصوى والمتوسط، بينما أطلق عليها لوكا باسيولي النسبة الإلهية. ويُعرف أيضًا بعدة تسميات أخرى.

في الرياضيات، تكون الكميتان في النسبة الذهبية إذا كانت نسبتهما هي نفس نسبة مجموعهما إلى الكمية الأكبر من الكميتين. معبر عنها جبريًا للكميات ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠${\displaystyle b}$⁠ مع ⁠${\displaystyle a>b>0}$⁠, ⁠${\displaystyle a}$⁠ في النسبة الذهبية إلى ⁠${\displaystyle b}$⁠ if $${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$ حيث الحرف اليوناني phi (⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ أو ⁠${\displaystyle \phi }$⁠، أو ⁠${\displaystyle \Phi }$⁠) تشير إلى النسبة الذهبية.الثابت ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ تحقق المعادلة التربيعية ⁠235§ <مو>= φ <مو>+ §245246§ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1} ⁠ وهو عدد غير نسبي قيمته 284§ <مو>= {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}} 1.618033988749.... أطلق إقليدس على النسبة الذهبية اسم النسبة القصوى والمتوسط، والنسبة الإلهية بواسطة لوكا باسيولي؛ ويطلق عليه أيضًا أسماء أخرى.

كانت الخصائص الرياضية للنسبة الذهبية موضوعًا للدراسة منذ العصور القديمة. والجدير بالذكر أنه يمثل نسبة قطر البنتاغون المنتظم إلى جانبه، وبالتالي يتجلى في البناء الهندسي لكل من المجسم الاثني عشري والمجسم العشري. مستطيل ذهبي، محدد بنسبة عرض إلى ارتفاع ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، يتمتع بخاصية فريدة تتمثل في كونه قابلاً للقسمة إلى مربع ومستطيل أصغر يحتفظ بنفس نسبة العرض إلى الارتفاع. علاوة على ذلك، فقد تم تطبيق النسبة الذهبية في تحليل النسب ضمن الظواهر الطبيعية والأنظمة الاصطناعية المختلفة، بما في ذلك الأسواق المالية؛ ومع ذلك، فإن بعض هذه التطبيقات تعتمد على ارتباطات البيانات المشكوك فيها. ويلاحظ وجودها أيضًا في بعض الأنماط الطبيعية، مثل الشكل النباتي الحلزوني للأوراق وغيرها من الهياكل النباتية.

قام العديد من الفنانين والمهندسين المعماريين في القرن العشرين، مثل لو كوربوزييه وسلفادور دالي، بتناسب إبداعاتهم عمدًا لتقريب النسبة الذهبية، مدفوعًا بالإيمان بجاذبيتها الجمالية المتأصلة. تظهر هذه التطبيقات في كثير من الأحيان على شكل مستطيلات ذهبية في تصميماتها.

الحساب

كميتين غير الصفر، ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠${\displaystyle b}$⁠، تم تعريفها على أنها النسبة الذهبية، والتي يُشار إليها بـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، إذا استوفوا الشرط التالي:

للتأكد عدديًا من قيمة ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، يمكن تقسيم كل من بسط ومقام الكسر الأيسر على ⁠${\displaystyle b}$⁠.

بعد ذلك، عن طريق الاستبدال ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=\varphi }$⁠، يتم اشتقاق التعبير التالي:

ضرب طرفي المعادلة بـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ العائد:

يمكن بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة جبريًا على الشكل:

يؤدي تطبيق الصيغة التربيعية إلى حلين مختلفين:

الجذر الموجب، والمسمى ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، يمثل النسبة الذهبية. وعلى العكس من ذلك، فإن الجذر السالب هو معكوسه السالب، ⁠30§ <مو>/ φ {\displaystyle -1/\varphi } ⁠، والذي يعرض العديد من الخصائص الرياضية المشتركة.

التاريخ

كما ذكر ماريو ليفيو

بعض أعظم العقول الرياضية في كل العصور، من فيثاغورس وإقليدس في اليونان القديمة، مرورًا بعالم الرياضيات الإيطالي في العصور الوسطى ليوناردو البيزا وعالم الفلك في عصر النهضة يوهانس كيبلر، إلى الشخصيات العلمية الحالية مثل عالم الفيزياء في أكسفورد روجر بنروز، قضوا ساعات لا نهاية لها في دراسة هذه النسبة البسيطة وخصائصها. ... لقد فكر علماء الأحياء والفنانون والموسيقيون والمؤرخون والمهندسون المعماريون وعلماء النفس، وحتى المتصوفون، وناقشوا أساس انتشارها في كل مكان وجاذبيتها. في الواقع، ربما يكون من العدل أن نقول إن النسبة الذهبية ألهمت المفكرين في جميع التخصصات بشكل لم يسبق له مثيل في تاريخ الرياضيات.

حظيت النسبة الذهبية في البداية باهتمام علماء الرياضيات اليونانيين القدماء نظرًا لوجودها المنتشر في الأشكال الهندسية. على وجه التحديد، فإن تقسيم الخط إلى "النسبة القصوى والمتوسط"، المعروف أيضًا باسم القسم الذهبي، له أهمية كبيرة في هندسة الخماسي والخماسي المنتظم. تشير الروايات المتناقلة إلى أن هيباسوس، عالم الرياضيات في القرن الخامس قبل الميلاد، قد توصل إلى اكتشاف مفاجئ للفيثاغوريين وهو أن النسبة الذهبية هي رقم غير نسبي، ولا يمكن التعبير عنه كرقم صحيح أو كسر. يقدم عمل إقليدس الرائد، العناصر (ج. 300 ق.م.)، مقترحات متعددة والبراهين المقابلة لها التي تستخدم النسبة الذهبية، جنبًا إلى جنب مع أول تعريف موثق لها، والذي تم توضيحه على النحو التالي:

يقال إن الخط المستقيم قد تم قطعه بنسبة متطرفة ومتوسطة عندما يكون الخط بأكمله بالنسبة للجزء الأكبر، وكذلك الأكبر بالنسبة للجزء الأصغر.

في الألفية اللاحقة، لم تحظ النسبة الذهبية إلا باهتمام متقطع. قام أبو كامل (حوالي 850-930) بدمجها في حساباته الهندسية التي تتضمن الأشكال الخماسية والعشرية الأضلاع. أثرت مساهماته العلمية لاحقًا على فيبوناتشي (ليوناردو البيزا) (حوالي 1170-1250)، الذي طبق النسبة على مشاكل هندسية مماثلة دون التعرف على علاقتها الجوهرية بأرقام فيبوناتشي.

عنون لوكا باسيولي عمله الذي صدر عام 1509، التناسب الإلهي، بعد هذه النسبة. هذا الكتاب، الذي استعار على نطاق واسع من بييرو ديلا فرانشيسكا، بحث في خصائص النسبة، بما في ذلك وجودها في بعض المواد الصلبة الأفلاطونية. أشار ليوناردو دا فينشي، رسام كتاب باسيولي، إلى النسبة باسم sectio aurea، والتي تعني "القسم الذهبي". في حين أنه من الشائع التأكيد على أن باسيولي روج للنسبة الذهبية لتحقيق أبعاد متناغمة وممتعة من الناحية الجمالية، يسلط ليفيو الضوء على أن هذا التفسير نشأ من خطأ عام 1799، ودعم باسيولي في الواقع نظام فيتروفي للنسب العقلانية. كما أرجع باسيولي الأهمية الدينية الكاثوليكية لهذه النسبة، مما أثر على عنوان عمله. خلال القرن السادس عشر، استخدم علماء الرياضيات مثل رافائيل بومبيلي هذه النسبة لحل المسائل الهندسية المختلفة.

لاحظ عالم الرياضيات الألماني سيمون جاكوب (توفي عام 1564) أن نسب أرقام فيبوناتشي المتعاقبة تتقارب نحو النسبة الذهبية، وهو اكتشاف قام به يوهانس كيبلر بشكل مستقل لاحقًا في عام 1608. قدم مايكل مايستلين من جامعة توبنجن أول تقريب عشري معروف للنسبة الذهبية المعكوسة، موضحًا أنها "حوالي ⁠${\displaystyle 0.6180340}$⁠" في رسالة كتبها عام 1597 إلى تلميذه السابق كيبلر. وفي نفس العام، تواصل كيبلر مع مايستلين حول مثلث كيبلر، وهو شكل هندسي يدمج النسبة الذهبية مع نظرية فيثاغورس. علق كيبلر على هذه المفاهيم:

تمتلك الهندسة كنزين مهمين: أحدهما هو نظرية فيثاغورس، والآخر هو تقسيم الخط إلى نسبة متطرفة ومتوسطة. يمكن تشبيه الأول بكمية كبيرة من الذهب، في حين يمكن اعتبار الأخير جوهرة ثمينة.

خلال القرن الثامن عشر، استخدم علماء الرياضيات أبراهام دي موافر، ونيكولاس الأول برنولي، وليونارد أويلر صيغة مشتقة من النسبة الذهبية لتحديد قيمة رقم فيبوناتشي بناءً على موقعه داخل التسلسل. أعيد اكتشاف هذه الصيغة لاحقًا في عام 1843 على يد جاك فيليب ماري بينيه، مما أدى إلى تسميتها بـ "صيغة بينيه". حدث أول استخدام موثق لمصطلح "القسم الذهبي" في عام 1789، عندما أدرجه يوهان صامويل تراوغوت جيلر في قاموسه المعترف به على نطاق واسع للعلوم الفيزيائية، Physikalisches Wörterbuch، حيث أشار إليه باسم "güldnen Schnitt (media et extrema ratione, sectione aurea s[ive] divina)". قدم جيمس سولي المصطلح الإنجليزي المقابل في عام 1875.

بحلول عام 1910، بدأ المخترع مارك بار في استخدام الحرف اليوناني phi (⁠${\displaystyle \varphi }$⁠) كتمثيل رمزي للنسبة الذهبية. وبدلاً من ذلك، تمت الإشارة إليه أيضًا بواسطة tau (⁠${\displaystyle \tau }$⁠)، وهو الحرف الأول من الكلمة اليونانية القديمة τομή، والتي تعني "قطع" أو "قسم".

يستمد نظام بناء الزوم، الذي ابتكره ستيف باير في أواخر الستينيات، أساسه من التماثل المتأصل في المجسم العشروني والمجسم الاثني عشري، الذي يتضمن النسبة الذهبية على نطاق واسع. من عام 1973 إلى عام 1974، ابتكر روجر بنروز بلاط بنروز، وهو نمط هندسي مرتبط بنسبة ذهبية من خلال نسبة مساحة البلاطين المعينيين وتواجدهما المتناسب داخل التصميم. تكثف الاهتمام بهذا المفهوم بعد اكتشاف دان شيختمان الحائز على جائزة نوبل في عام 1982 لأشباه البلورات التي تظهر تماثلًا عشروني الوجوه، والتي تم توضيحها لاحقًا من خلال رسم أوجه تشابه مع بلاط بنروز.

الرياضيات

اللاعقلانية

تصنف النسبة الذهبية على أنها عدد غير نسبي. فيما يلي برهانان موجزان يوضحان عدم عقلانيته:

الإثبات بالتناقض من الكسر المختزل

وهذا يشكل برهانًا باستخدام طريقة النسب اللانهائي. ومن المهم أن نتذكر ما يلي:

إذا تم تحديد الكمية بأكملها كـ ⁠${\displaystyle n}$⁠ والجزء الأطول مثل ⁠${\displaystyle m}$⁠، فتتحول العبارة الثانية السابقة إلى:

التأكيد على أن النسبة الذهبية، يُشار إليها بـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، هو رقم منطقي يعني أن ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ يمكن التعبير عنها ككسر ⁠${\displaystyle n/m}$⁠، حيث ⁠${\displaystyle n}$⁠ و ⁠${\displaystyle m}$⁠ هي أعداد صحيحة. هذا الكسر ⁠${\displaystyle n/m}$⁠ يمكن افتراض أنه في أدنى حالاته، مع كل من ⁠${\displaystyle n}$⁠ و ⁠${\displaystyle m}$⁠ هي أعداد صحيحة موجبة. ومع ذلك، إذا ⁠${\displaystyle n/m}$⁠ بالفعل في أدنى مستوياته، ثم التعبير المكافئ ⁠${\displaystyle m/(n-m)$⁠ بالضرورة أن تكون بشروط أقل. تمثل هذه النتيجة تناقضًا، مما يدحض الافتراض الأولي القائل بأن ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ عدد نسبي.

توفر عدم عقلانية الجذر التربيعي للرقم 5 أساسًا لهذه الوسيطة.

هناك عرض بديل وربما معترف به على نطاق واسع لعدم عقلانية النسبة الذهبية يستخدم خاصية إغلاق الأعداد النسبية في إطار العمليات الحسابية الأساسية، على وجه التحديد الجمع والضرب. إذا ⁠φ<!-- φ --> = §1516§ §1718§ ( §2829§ + §3435§   ) {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}} ⁠ يُفترض أنه عقلاني، ثم التعبير ⁠§6465§ φ − §7273§ = §7879§ {\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}} ⁠، والذي يمثل الجذر التربيعي لـ ⁠${\displaystyle 5}$⁠، يجب أيضًا أن يكون عقلانيًا. ومع ذلك، فإن هذا الاستنتاج يتناقض مع المبدأ الرياضي الراسخ بأن الجذور التربيعية لجميع الأعداد الطبيعية التي ليست مربعات كاملة هي غير عقلانية بطبيعتها.

الحد الأدنى لكثيرات الحدود

بما أن النسبة الذهبية تشكل جذرًا لكثيرة الحدود التي تحتوي على معاملات عقلانية، فقد تم تصنيفها على أنها عدد جبري. يتم التعبير عن كثير الحدود الأدنى، والذي يُعرف بأنه متعدد الحدود لأدنى درجة ممكنة مع معاملات عددية صحيحة تكون النسبة الذهبية جذرًا لها، على النحو التالي $$]{\displaystyle x^{2}-x-1.}$$] تمتلك كثيرة الحدود التربيعية هذه جذرين متميزين، يُعرفان بـ ⁠$]{\displaystyle \varphi }$]⁠ و ⁠$]{\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$]⁠. بما أن المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود هذا هو الوحدة، فإن كلا الجذرين يعتبران أعدادًا صحيحة جبرية. علاوة على ذلك، فإن النسبة الذهبية تظهر علاقة وثيقة مع كثيرة الحدود ⁠$]{\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$]⁠، وجذورها هي ⁠$]{\displaystyle -\varphi }$]⁠ و ⁠$]{\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$]⁠.

النسبة الذهبية، يُشار إليها بـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، يعمل كوحدة أساسية داخل الحقل التربيعي ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠، والذي يُشار إليه أحيانًا إلى الحقل الذهبي. ضمن هذا الحقل، يمكن التعبير عن أي عنصر معين بالشكل ⁠${\displaystyle r+s\varphi }$⁠، حيث ⁠${\displaystyle r}$⁠ و ⁠${\displaystyle s}$⁠ تمثل المعاملات المنطقية. يتم إعطاء معيار هذا الرقم بواسطة ⁠r §134135§ + r s − s §151152§ {\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}} ⁠. الوحدات الإضافية، تتميز بمعيار ⁠±<!-- ± --> §175176§ {\displaystyle \pm 1} ⁠، يتوافق مع القوى الإيجابية والسلبية لـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.الأعداد الصحيحة التربيعية في هذا الحقل، والتي تشكل مجتمعة حلقة، تشمل جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها كـ ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$⁠، حيث ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠${\displaystyle b}$⁠ هي أعداد صحيحة.

نظرًا لاشتقاقها كجذر لكثيرة الحدود التربيعية، فإن النسبة الذهبية هي بطبيعتها عدد قابل للإنشاء.

النسبة الذهبية: المرافقة والأسس

الجذر المترافق المطابق لأدنى كثيرة الحدود ⁠x §1213§ − x − §2425§ {\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1} ⁠ يتم تعريفه على النحو التالي:

−<!-- − --> §1112§ φ = §2021§ − φ = §3334§ − §4041§ §4546§ = − 0.618033 … . {\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}

القيمة المطلقة لهذه الكمية، ⁠${\displaystyle 0.618\ldots$⁠، يمثل نسبة الطول العكسية، وتحديدًا طول المقطع الأقصر مقسومًا على طول المقطع الأطول، معبرًا عنه مثل ⁠${\displaystyle b/a}$⁠.

يوضح هذا خاصية مميزة للنسبة الذهبية بين الأعداد الحقيقية الموجبة: §89§φ=φ−§2324§,{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}.

بدلاً من ذلك، يتم التعبير عن صيغته العكسية على النحو التالي: 9§§1112§/φ=§2728§φ+1.{\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}.

ينتج عن العلاقة المترافقة ومتعددة الحدود التربيعية المتأصلة قيم عشرية تتطابق أجزاؤها الكسرية مع تلك الموجودة في ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠:

31§=2.618033…,§4748§φ=φ−§6667§=0.618033….{\displaystyle $$

تسلسل قوى ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ يتضمن القيم التالية: ⁠${\displaystyle 0.618033\ldots }$⁠, ⁠${\displaystyle 1.0}$⁠, ⁠${\displaystyle 1.618033\ldots }$⁠، و⁠${\displaystyle 2.618033\ldots$⁠. على نطاق أوسع، أي قوة ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ يمكن التعبير عنه كمجموع القوى السابقة له مباشرة، كما يتضح من الهوية التالية: φ<!-- φ --> n = φ<!-- φ --> n −<!-- − --> §146147§ + φ n − §162163§ = φ ⋅ F n + F n − §193194§ . {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}

وبالتالي، أي قوة ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ يمكن التعبير عنه بسهولة كمضاعف لـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ بالإضافة إلى ثابت. ومن الجدير بالذكر أن كلا من المضاعف والثابت يتوافقان باستمرار مع أرقام فيبوناتشي المتتالية. تكشف هذه الملاحظة عن خاصية إضافية للقوى الإيجابية لـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠:

إذا ⁠⌊ §1617§ §1819§ n − §2829§ ⌋ = m {\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m} ⁠، ثم يتم إنشاء العلاقات الرياضية التالية: 85§ + φ n − §100101§ + ⋯ + φ n − §121122§ − §126127§ m + φ n − §144145§ − §149150§ m φ n − φ n − §181182§ = φ n − §201202§ . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}

الكسور المستمرة والجذور التربيعية

التعبير الرياضي ⁠φ<!-- φ --> = §1213§ + §1617§ / φ {\displaystyle \varphi =1+1/\varphi } يمثل علاقة أساسية.

يمثل هذا الشكل الأساسي للكسر المستمر، والذي يتم تقديمه بجانب مقلوبه:

متقاربات هذه الكسور المستمرة، وتحديدًا ⁠{\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}⁠، ⁠{\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}⁠, ⁠⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {13} {1}{1}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}⁠, ⁠⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}⁠, ..., تمثل نسب أرقام فيبوناتشي المتتالية. يُعزى التقارب البطيء بين هؤلاء المقربين إلى المصطلحات الصغيرة المستمرة ضمن توسع الكسر المستمر. وبالتالي، فإن النسبة الذهبية تمثل مثالًا متطرفًا على عدم مساواة هورويتز لتقريبات ديوفانتاين. تفترض هذه المتباينة أنه بالنسبة لأي عدد غير نسبي ⁠{\displaystyle \xi }⁠، هناك عدد لا نهائي من الكسور المميزة ⁠{\displaystyle p/q}⁠ موجود يستوفي الشرط:

وبالتالي فإن الثابت ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ بشكل أكبر دون استبعاد النسبة الذهبية بشكل صريح. في الواقع، إنها تمثل أصغر قيمة يجب حذفها للحصول على تقديرات تقريبية أكثر دقة لأرقام لاغرانج هذه.

تمثيل ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ يمكن استخلاص الجذر التربيعي المستمر من الهوية الأساسية ⁠φ<!-- φ --> §3233§ = §3839§ + φ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi } ⁠، مما يؤدي إلى التعبير التالي: φ<!-- φ --> = §6869§ + §7576§ + §8182§ + ⋯ ) . {\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}

العلاقة بأرقام فيبوناتشي ولوكاس

يظهر كلا من أرقام فيبوناتشي ولوكاس علاقة معقدة مع النسبة الذهبية. ضمن تسلسل فيبوناتشي، يُشار إلى كل حد على أنه ${\displaystyle F_{n}}$، يتم تحديده من خلال مجموع المصطلحين السابقين، وتحديدًا F n −<!-- − --> §3738§ {\displaystyle F_{n-1}} و F n −<!-- − --> §6465§ {\displaystyle F_{n-2}. يبدأ هذا التسلسل بالمصطلحات الأولية ⁠§8384§ , §8788§ {\displaystyle 0,1} ⁠، الموافق F §108109§ {\displaystyle F_{0} و F §130131§ {\displaystyle F_{1}} ، على التوالي.

يشترك تسلسل لوكاس الرقمي، وهو مثال محدد ضمن الفئة الأوسع لتسلسلات لوكاس المعممة، في سمة أساسية مع تسلسل فيبوناتشي: كل مصطلح ${\displaystyle L_{n}}$ يتم اشتقاقه من خلال جمع المصطلحين السابقين، على وجه التحديد Ln−<!-- − -->§3738§{\displaystyle L_{n-1}} و ${\displaystyle L_{n-2}}$. ومع ذلك، فهو يميز نفسه بالبدء بالمصطلحات الأولية ⁠§8384§,§8788§{\displaystyle 2,1}⁠ للصف 0 و المراكز الأولى، تم تحديدها كـ L§108109§{\displaystyle L_{0}} و L§130131§{\displaystyle L_{1}}، على التوالي.

من الجدير بالذكر أن النسبة الذهبية تعادل حد النسب بين الحدود المتعاقبة في كل من تسلسل أرقام فيبوناتشي ولوكاس، كما يتضح من التعبير الرياضي التالي: limn→<!-- → -->∞<!-- ∞ -->Fn+§3031§Fn=limn→∞Ln+§6970§Ln=φ.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}

وبالتالي، عندما يتم قسمة أي رقم فيبوناتشي أو لوكاس على سابقه المباشر ضمن التسلسل الخاص به، فإن حاصل القسمة الناتج يقترب تدريجيًا ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. على سبيل المثال،

تُظهر هذه التقديرات التقريبية نمطًا متناوبًا، حيث تكون أقل وأعلى على التوالي من ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. مع نمو أرقام فيبوناتشي ولوكاس، تتقارب هذه النسب نحو ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.

يمكن تمثيل تسلسلات فيبوناتشي ولوكاس بتعبيرات مغلقة تتضمن النسبة الذهبية، كما يلي:

79§ − φ <مسوب> ) <مي>ن <مسقرت> §9697§ <مو>= <مفراك> §105106§ <مسقرت> §108109§ <مرو> <مو>[ <مرو> <مسوب> <مرو> <مو>( <مفراك> <مرو> §124125§ <مو>+ <مسقرت> §130131§ §135136§ <مو>) <مي>ن − <مسوب> <مرو> <مو>( <مفراك> <مرو> §157158§ − <مسقرت> §164165§ §169170§ <مو>) <مي>ن <مو>] <مو>، {\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],

من خلال الجمع بين الصيغ المذكورة أعلاه، يتم الحصول على تعبير لـ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$⁠ مشتق من أرقام فيبوناتشي ولوكاس:

يمكن إنشاء علاقة أساسية بين أرقام فيبوناتشي ولوكاس، وتحديدًا ⁠L §1213§ n = §2021§ F n §2930§ + §3536§ ( − §4243§ ) n = L n §6263§ − §6970§ ( − §7677§ ) n {\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}} ⁠. يتم تبسيط هذه العلاقة أيضًا لإثبات أن نهاية حاصل قسمة أرقام لوكاس على أرقام فيبوناتشي يتقارب مع الجذر التربيعي لخمسة.

في الواقع، التأكيدات الأكثر قوة تكون صحيحة، كما يتضح من الهويات الرياضية التالية: 72§ , ( §9293§ §94 L §103104§ n ) §117 = §123124§ ( §134135§ §136 ) §159 + ( − §170171§ ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_ {n} - {\sqrt {5}}F_ {n}{\bigr \vert}={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac) {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{محاذاة}}}

تلتزم القوى المتسلسلة للنسبة الذهبية بعلاقة تكرار فيبوناتشي، معبرًا عنها على النحو التالي: ⁠ φ<!-- φ --> n + §1718§ = φ n + φ n − §4445§ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}} ⁠.

يمكن تحقيق التعبير الخطي في خطوة واحدة من خلال تطبيق الهوية التالية: φ<!-- φ --> n = F n φ<!-- φ --> + F n −<!-- − --> §3940§ . {\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}

تتيح هذه الهوية المحددة اختزال أي كثيرة حدود تتضمن ⁠${\displaystyle \varphi$⁠ إلى تعبير خطي، كما يتضح من المثال التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

يمكن استخلاص صيغة مماثلة للنسبة الذهبية باستخدام أرقام فيبوناتشي متتالية من خلال جمع لا نهائي، معبرًا عنها على النحو التالي: ∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ | F n φ − F n + §5253§ | = φ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}

على وجه التحديد، صلاحيات ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ أرقام لوكاس تقريبية عندما مدور. ينطبق هذا التقريب بشكل تسلسلي، باستثناء القوتين الأوليتين، ⁠φ<!-- φ --> §3233§ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}} ⁠ و ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، والتي يتم ترتيبها عكسيًا:

16§ = §2526§ , φ §3839§ = 1.618033989 … ≈ §56 φ §69 = 2.618033989 … ≈ §8788§ , φ §100101§ = 4.236067978 … ≈ §118119§ , φ §131132§ = 6.854101967 … ≈ §149150§ , {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}

علاوة على ذلك، فإن أرقام لوكاس تنتج بشكل مباشر قوى النسبة الذهبية. على وجه التحديد، لأي عدد صحيح ⁠n ≥<!-- ≥ --> §1213§ {\displaystyle n\geq 2} ⁠، العلاقة التالية تحمل: $${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.$$

يتم إثبات الترابط بين أرقام لوكاس والنسبة الذهبية من خلال خاصية أنه يمكن التعبير عن رقم لوكاس كمجموع رقمين محددين فيبوناتشي: ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$⁠. بالإضافة إلى ذلك، هناك هوية مهمة تربط حاصل ضرب رقم لوكاس ورقم فيبوناتشي برقم فيبوناتشي آخر: ⁠L n F n = F §8990§ n {\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!} ⁠.

كل من رقم فيبوناتشي ولوكاس تعتبر التسلسلات مفيدة في بناء تقديرات تقريبية للدوامة الذهبية، وهو نوع محدد من اللولب اللوغاريتمي. يتم تشكيل هذه التقديرات التقريبية عادة من خلال استخدام أرباع الدوائر التي يتوافق نصف قطرها مع مصطلحات من هذه التسلسلات، مما يؤدي إلى أشكال تتباعد بشكل هامشي فقط عن اللوغاريتم الذهبي <الحقيقي. يتم تطبيق التسمية دوامة فيبوناتشي بشكل شائع على الأشكال الحلزونية التي تحاكي اللوالب الذهبية من خلال استخدام المربعات وربع الدوائر المتسلسلة وفقًا لأرقام فيبوناتشي.

الهندسة

تحتل النسبة الذهبية مكانة هامة في الهندسة. ويتجلى تأثيرها في التماثل المتأصل في البنتاغون، ويشكل أحد مكونات إحداثيات الرأس لكل من الاثني عشري الوجوه المنتظمة والإيكوساهدرا المنتظمة. علاوة على ذلك، فإن النسبة الذهبية هي عنصر أساسي في مثلث كيبلر، وبلاطات بنروز، والعديد من الأشكال المتعددة الأخرى.

الإنشاءات

التقسيم حسب النقطة الداخلية

1. معطى مقطع خطي ⁠${\displaystyle AB}$⁠، أنشئ مقطعًا متعامدًا ⁠${\displaystyle BC}$⁠ عند النقطة ⁠${\displaystyle B}$⁠، مع التأكد من أن طول ⁠${\displaystyle BC}$⁠ هو نصف ذلك ⁠${\displaystyle AB}$⁠. بعد ذلك، ارسم الوتر ⁠${\displaystyle AC}$⁠.
2. أنشئ قوسًا مركزه ⁠${\displaystyle C}$⁠ بنصف قطر يعادل ⁠${\displaystyle BC}$⁠. سيتقاطع هذا القوس مع الوتر ⁠${\displaystyle AC}$⁠ عند النقطة ⁠${\displaystyle D}$⁠.
3. يجب رسم القوس بحيث يكون مركزه عند ⁠${\displaystyle A}$⁠ ونصف قطر يساوي ⁠${\displaystyle AD}$⁠. سيتقاطع هذا القوس مع قطعة الخط الأولية ⁠${\displaystyle AB}$⁠ عند النقطة ⁠${\displaystyle S}$⁠. وبالتالي، أشر إلى ⁠${\displaystyle S}$⁠ يقسم مقطع السطر الأصلي ⁠${\displaystyle AB}$⁠ إلى جزأين، ⁠${\displaystyle AS}$⁠ و ⁠${\displaystyle SB}$⁠، وأطواله في النسبة الذهبية.

طريقة التقسيم الخارجي

1. أولاً، ارسم القطعة المستقيمة ⁠A {\displaystyle AS}⁠. من النقطة ⁠${\displaystyle S}$⁠، أنشئ مقطعًا ⁠${\displaystyle SC}$⁠ المتعامد مع ⁠${\displaystyle AS}$⁠ وله نفس طول ⁠${\displaystyle AS}$⁠.
2. شطر القطعة المستقيمة ⁠A {\displaystyle AS}⁠ عند النقطة ⁠${\displaystyle M}$⁠.
3. قوس دائري يتمركز في ⁠${\displaystyle M}$⁠ ويمتلك نصف قطر ⁠${\displaystyle MC}$⁠، يتقاطع مع الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط ⁠${\displaystyle A}$⁠ و ⁠${\displaystyle S}$⁠ (يُشار إليه أيضًا باسم امتداد ⁠${\displaystyle AS$⁠) عند النقطة ⁠${\displaystyle B}$⁠. وبالتالي فإن نسبة المقطع ⁠${\displaystyle AS}$⁠ إلى الجزء المنشأ حديثًا ⁠${\displaystyle SB}$⁠ يتوافق مع النسبة الذهبية.

تتجلى أمثلة التطبيقات في المقالات التي تناقش بناء البنتاغون بطول ضلع محدد، والعشاري الأضلاع بدائرة محيطة معينة، والعشاري الأضلاع بطول ضلع محدد.

تولد كلا الخوارزميتين المتميزتين الموصوفتين سابقًا إنشاءات هندسية تنشئ قطعتين خطيتين متوازيتين، حيث تمثل نسبة القطعة الأطول إلى القطعة الأقصر بدقة النسبة الذهبية.

الزاوية الذهبية

عندما يتم تقسيم دائرة كاملة إلى زاويتين تظهر قياساتهما النسبة الذهبية، تسمى الزاوية الأصغر من هاتين الزاويتين الزاوية الذهبية، ويُشار إلى قياسها بـ ⁠${\displaystyle g}$⁠.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

تُلاحظ هذه الزاوية المحددة في أنماط نمو النبات، حيث تمثل التباعد الأمثل لبراعم الأوراق التي تحيط بسيقان النبات. يعد هذا الترتيب ضروريًا لمنع الأوراق المتعاقبة من تظليل الأوراق الموجودة تحتها، وبالتالي زيادة التعرض لأشعة الشمس إلى الحد الأقصى.

نظام التماثل الخماسي

البنتاغون والخماسي

في الشكل الخماسي المنتظم، تتوافق نسبة القطر إلى الضلع مع النسبة الذهبية، والأقطار المتقاطعة تقسم بعضها البعض وفقًا لهذه النسبة نفسها. يمكن إثبات خصائص النسبة الذهبية المتأصلة في الشكل الخماسي المنتظم من خلال تطبيق نظرية بطليموس على الشكل الرباعي الناتج عن إزالة قمة واحدة. بافتراض أن الحافة الطويلة للشكل الرباعي والأقطار يُشار إليها بالرمز ⁠${\displaystyle a}$⁠، وحوافه القصيرة ⁠${\displaystyle b}$⁠، تعطي نظرية بطليموس العلاقة ⁠49§ <مو>= <مسوب> <مي>ب §5859§ <مو>+ <مي>أ <مي>ب {\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab} ⁠. قسمة طرفي هذه المعادلة على ⁠${\displaystyle ab}$⁠ يؤدي إلى: $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

تحدد الأجزاء القطرية داخل الشكل الخماسي المنتظم النجم الخماسي، وهو مضلع نجمة خماسية، تتميز خصائصه الهندسية بشكل أساسي بـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. ومن الجدير بالذكر أن كل نقطة تقاطع بين هذه الحواف تقسم الحواف الأخرى حسب النسبة الذهبية. على وجه التحديد، النسبة بين القطعة الأقصر والقطعة المحددة بواسطة الحافتين المتقاطعتين - والتي تتوافق مع جانب من المضلع الخماسي المقلوب في قلب النجم الخماسي - هي ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.

تسهل الأشكال الهندسية الخماسية والخماسية تحديد القيم التالية لـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠:

المثلث الذهبي والعقرب الذهبي

يتم تسمية الشكل الهندسي المكون من قطرين وضلع واحد لمضلع خماسي منتظم بأنه مثلث ذهبي أو مثلث سام. يتميز هذا المثلث المتساوي الساقين الحاد بزاوية قمة ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$⁠ وزاويتان أساسيتان قياس كل منهما ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$⁠. والجدير بالذكر أن ضلعيه المتطابقين يحملان علاقة النسبة الذهبية بقاعدته. وعلى العكس من ذلك، فإن المثلث المكون من ضلعين وقطر واحد لمضلع خماسي منتظم يسمى العقرب الذهبي. هذا مثلث متساوي الساقين منفرج، ويتميز بزاوية قمة ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$⁠ وزوايا القاعدة ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$⁠ لكل منهما. في هذه الحالة، تقف القاعدة بنسبة ذهبية لضلعيها المتساويين. وبالتالي، يمكن أن يتحلل البنتاغون المنتظم هندسيًا إلى عقربين ذهبيين ومثلث ذهبي مركزي. علاوة على ذلك، فإن القمم الخمسة للنجم الخماسي المنتظم تتشكل من مثلثات ذهبية، وكذلك المثلثات العشرة التي تم إنشاؤها عن طريق ربط رؤوس الشكل العشري المنتظم بنقطة مركزه.

إن تنصيف إحدى زوايا قاعدة المثلث الذهبي يؤدي إلى تقسيمه إلى مثلث ذهبي أصغر وعقرب ذهبي. في حين أن أي مثلث متساوي الساقين حاد يمكن تقسيمه بالمثل إلى مثلث متطابق ومثلث متساوي الساقين منفرج، فإن المثلث الذهبي يتميز بشكل فريد بأنه الوحيد الذي يتم فيه تحقيق هذا التقسيم الفرعي من خلال منصف زاوية. تنشأ هذه الخاصية المميزة لأنه المثلث الوحيد متساوي الساقين حيث تقيس زاوية القاعدة ضعف زاوية القمة بدقة. كما أن منصف زاوية المثلث الذهبي يقسم الضلع المتقاطع حسب النسبة الذهبية، كما تحافظ مساحات القطعتين الناتجتين أيضًا على هذه النسبة الذهبية.

عندما يتم تثليث زاوية قمة عقرب ذهبي، فإن خط التثليث يقسمها مرة أخرى إلى عقرب ذهبي أصغر ومثلث ذهبي. يقسم هذا المثلث أيضًا القاعدة في النسبة الذهبية، حيث يعرض القسمان الناتجان مناطق تقع أيضًا في النسبة الذهبية. وبشكل مماثل، يمكن تقسيم أي مثلث منفرج إلى مثلث مماثل ومثلث متساوي الساقين حاد؛ ومع ذلك، فإن عقرب الساعة الذهبي فريد من نوعه من حيث أن هذا التقسيم يتم إنجازه بواسطة مثلث زاوية. وذلك لتميزه بأنه المثلث الوحيد متساوي الساقين الذي تبلغ زاوية قمته ثلاثة أضعاف قياس زاوية قاعدته.

تبليط بنروز

تعد النسبة الذهبية سمة بارزة في بلاط بنروز، وهو فئة من التبليط المستوي غير الدوري الذي ابتكره روجر بنروز. كان هذا التطور مستوحى من ملاحظة يوهانس كيبلر بأن النجوم الخماسية والأشكال الهندسية الأخرى يمكن أن تملأ بشكل فعال المساحات الخلالية التي تتركها الأشكال الخماسية عند ترتيبها في نمط التبليط. وقد تم التحقيق في أشكال متعددة من هذا البلاط، والتي تتضمن جميعها نماذج أولية تظهر النسبة الذهبية.

• كان تكرار بنروز الأولي لهذا التبليط يستخدم أربعة أشكال متميزة: الخماسيات المنتظمة، والخماسيات الخماسية، وأشكال "القارب" (تتميز بثلاث نقاط من النجم الخماسي)، والمعينات على شكل "الماس".
• يشتمل بلاط Penrose، وتحديدًا نوع الطائرة الورقية والسهام، على نوعين متميزين من البلاط. الطائرات الورقية هي أشكال رباعية الأضلاع تتميز بثلاث زوايا داخلية قياسها ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$⁠ وزاوية داخلية واحدة ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠. رمي السهام عبارة عن أشكال رباعية مقعرة تحتوي على زاويتين داخليتين ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$⁠، زاوية واحدة ⁠$88§∘$⁠، وقياس زاوية واحدة غير محدبة ⁠${\displaystyle 216^{\circ }\!}$⁠. تتحكم قواعد المطابقة المحددة في كيفية تجاور هذه البلاطات عند حوافها، مما يؤدي إلى سبعة تكوينات قمة متميزة. تمتلك كل من الطائرات الورقية والسهام جوانب ذات أطوال مختلفة، والتي ترتبط بنسبة ذهبية. علاوة على ذلك، فإن مساحات هذين الشكلين من البلاط تظهر أيضًا علاقة النسبة الذهبية.
• يمكن تقسيم كل قطعة من قطع الطائرة الورقية والسهام على طول محور التناظر الخاص بها، مما ينتج عنه زوج من المثلثات الذهبية والعقرب الذهبي، على التوالي. عند تطبيق قواعد المطابقة المناسبة، تكون هذه المثلثات، والتي يشار إليها باسم مثلثات روبنسون في هذا السياق، قادرة على العمل كنماذج أولية لمتغير معين من بلاط بنروز.
• يتكون بلاط بنروز المعيني من نوعين متميزين من المعينات. الأول عبارة عن معين رفيع، يتميز بزوايا داخلية ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$⁠ و ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠. والثاني عبارة عن معين سميك له زوايا ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$⁠ و ⁠${\displaystyle 108^{\circ }\!}$⁠. في حين أن جميع أطوال الأضلاع موحدة، فإن نسبة طول الضلع إلى القطر القصير في المعين الرفيع هي ⁠§111112§:φ{\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi ⁠، وهي نسبة ملحوظة أيضًا بين طول الجانب والقطر الطويل للمعين السميك. تماشيًا مع بلاط الطائرة الورقية والسهام، ترتبط مناطق هذين الشكلين المعينيين أيضًا بنسبة ذهبية. علاوة على ذلك، يمكن تقسيم هذه المعينات بالمثل إلى أزواج من مثلثات روبنسون.

فيما يتعلق بالمثلثات والأشكال الرباعية

البناء الهندسي لأودوم

ابتكر جورج أودوم بناءًا هندسيًا لـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ باستخدام مثلث متساوي الأضلاع. في هذا البناء، إذا امتدت القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصف ضلعين حتى تتقاطع مع الدائرة المحيطة، فإن نقطتي المنتصف ونقطة التقاطع على الدائرة سوف تظهر نسبة ذهبية.

مثلث كيبلر

يتميز مثلث كيبلر، والذي سمي على اسم يوهانس كيبلر، بأنه المثلث القائم الوحيد الذي تشكل أطوال أضلاعه تقدمًا هندسيًا: $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$ تتوافق أطوال الأضلاع المحددة هذه مع وسائل فيثاغورس الثلاثة المشتقة من الرقمين ⁠${\displaystyle \varphi \pm 1}$⁠. علاوة على ذلك، فإن مساحات المربعات الثلاثة المبنية على جوانبها تظهر متوالية هندسية ذهبية، وتحديدًا ⁠§8081§:φ<!-- φ -->:φ<!-- φ -->§9899§{\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}⁠.

ضمن فئة المثلثات متساوية الساقين، يتم تحقيق الحد الأقصى لنسبة نصف القطر إلى طول الجانب من خلال مثلث محدد تم إنشاؤه من مثلثين كبلر منعكسين يشتركان في ساقهما الأطول. يعمل هذا المثلث المتساوي الساقين أيضًا على تحسين النسبة بين نصف قطر نصف الدائرة الموجود على قاعدته ومحيطه الإجمالي.

بالنسبة لمثلث كبلر الذي يتميز بأصغر طول لضلعه، يُشار إليه بـ ⁠${\displaystyle s}$⁠، ويتم تحديد المساحة وقياسات زواياها الداخلية الحادة بالعبارات التالية: 40§ §4142§ s §5051§ φ + , θ = sin − §9394§ ⁡ §102103§ φ ≈ 38.1727 ∘ , θ = cos − §145146§ ⁡ §154155§ φ ≈ 51.8273 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}

المستطيل الذهبي

تتناسب أطوال الأضلاع المجاورة للمستطيل الذهبي وفقًا لـ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠ النسبة، وهي النسبة الذهبية. عند إزالة المربعات من المستطيلات الذهبية أو إضافتها، تحافظ المستطيلات الناتجة على ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ النسبة. يمكن إنشاء هذه المستطيلات باستخدام اللوالب الذهبية، والتي يتم تشكيلها من خلال ترتيب المربعات وربع الدوائر بالتسلسل وفقًا لأرقام فيبوناتشي ولوكاس. المستطيلات الذهبية موجودة بشكل ملحوظ في الهياكل الهندسية لكل من المجسمات العشرونية والاثني عشرية.

المعين الذهبي

يتم تعريف المعين الذهبي على أنه معين تتناسب أطوال أقطاره مع النسبة الذهبية، ويتم تمثيله عادةً بـ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠. بالنسبة للمعين الذي يظهر هذه النسب المحددة، يتم تحديد زواياه الداخلية الحادة والمنفرجة على النحو التالي:

29§ φ ≈ 63.43495 ∘ , β = §6497§ + arctan ⁡ §105106§ ≈ 116.56505 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}

أبعاد قطره الأقصر، والمشار إليه بـ ⁠${\displaystyle d}$⁠، وقطره الأطول، ممثلًا بـ ⁠${\displaystyle D}$⁠، يمكن التعبير عنه بالنسبة لطول الضلع ⁠${\displaystyle a}$⁠ كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi {5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

يتم التعبير عن مساحتها من خلال ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠${\displaystyle d}$⁠:

$${\displaystyle {\begin{align}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}د^{2}\حوالي 0.80902d^{2}.\end{محاذاة}}}$$

نصف قطر المعين الذهبي، معبرًا عنه بطول ضلعه ⁠${\displaystyle a}$⁠، يتم تقديمه بواسطة:

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

تشكل المعينات الذهبية وجوه العديد من متعددات الوجوه، بما في ذلك ثلاثي الأوجه المعينية، والمعينين الذهبيين، واثني عشر وجه بيلينسكي، والسداسي المعيني.

Vesica piscis

عندما تكون الدائرتان اللتان تشكلان مثاني الحوت محاطة بدائرتين متحدتين المركز يبلغ طولهما ضعف نصف قطرهما، فإن الدائرتين الخارجيتين الأكبر حجمًا تصبحان مماسين للدائرتين الداخليتين الأصغر حجمًا عند النقاط ${\displaystyle E}$ و ${\displaystyle F}$، كما هو موضح. تتقاطع هذه الدوائر الخارجية أيضًا، مما يخلق شكل عدسة مختلفًا عن حويصلة الحوت نظرًا لاختلاف زاويتها. ضمن هذا التكوين، المقطع الخطي ${\displaystyle {\overline {XC}}$، يمتد من نقطة تقاطع واحدة ${\displaystyle C}$ من الدوائر الداخلية إلى نقطة التقاطع المقابلة ${\displaystyle X}$ للدوائر الخارجية، مقسمة حسب النسبة الذهبية بالنقطة ${\displaystyle D}$، والذي يمثل التقاطع الثاني بين الدائرتين الداخليتين.

الدوامة الذهبية

تتميز اللوالب اللوغاريتمية بتشابهها الذاتي، حيث تتقدم المسافة المقطوعة في كل دورة هندسيًا. على وجه التحديد، يتم تحديد الدوامة اللوغاريتمية على أنها دوامة ذهبية عندما يتوسع نصف قطرها بعامل يعادل النسبة الذهبية لكل ربع دورة. يمكن تقريب مثل هذه اللوالب باستخدام أرباع الدوائر التي يتم قياسها وفقًا للنسبة الذهبية، أو من خلال التقريبات المستمدة من أرقام فيبوناتشي، والتي يتم توضيحها في كثير من الأحيان على أنها منقوشة ضمن ترتيب حلزوني للمربعات التي تظهر نفس نسبة النمو. يتم تحديد الشكل اللوغاريتمي الدقيق للدوامة الذهبية رياضيًا بواسطة المعادلة القطبية، باستخدام الإحداثيات ⁠${\displaystyle (r,\theta )$⁠: r=φ<!-- φ -->§4243§θ/π.{\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}

من المهم ملاحظة أنه ليست كل اللوالب اللوغاريتمية مرتبطة بنسبة ذهبية، ولا تشترك جميع اللوالب المرتبطة بنسبة ذهبية في الشكل المتماثل للدوامة الذهبية. على سبيل المثال، يُظهر الشكل الحلزوني اللوغاريتمي المميز، الذي يشتمل على سلسلة متداخلة من المثلثات الذهبية المتساوية الساقين، نموًا بنسبة ذهبية لكل ⁠${\displaystyle 108^{\circ }$⁠ للتدوير، على النقيض من ⁠${\displaystyle 90^{\circ }}$⁠ زاوية الدوران المميزة للدوامة الذهبية. علاوة على ذلك، فإن البديل المسمى "الدوامة الذهبية الأفضل" يوضح النمو بنسبة النسبة الذهبية خلال كل نصف دورة، بدلاً من كل ربع دورة.

الاثنا عشري الوجوه والمجسمات العشرونية

إن الاثني عشري الوجوه المنتظم ومتعدد السطوح المزدوج، العشروني الوجوه، عبارة عن مواد صلبة أفلاطونية تتميز بأبعاد مرتبطة ارتباطًا جوهريًا بالنسبة الذهبية. يشتمل الاثني عشر وجهًا على ${\displaystyle 12}$⁠ وجوه خماسية منتظمة، بينما يتميز المجسم العشروني ⁠§2526§{\displaystyle 20}⁠ وجوه مثلثة متساوية الأضلاع؛ يمتلك كلا متعددي الوجوه ⁠${\displaystyle 30}$⁠ الحواف.

بالنسبة للمجسم الاثني عشري الذي يبلغ طول ضلعه ⁠${\displaystyle a}$⁠، يُشار إلى نصف قطر الكرة المقيدة والكرة المحصورة ونصف القطر الأوسط بـ ⁠${\displaystyle r_{u}}$⁠, ⁠${\displaystyle r_{i}}$⁠، و⁠${\displaystyle r_{m}}$⁠، على التوالي:

وبالمثل، بالنسبة للمجسم العشروني الذي يبلغ طول ضلعه ⁠${\displaystyle a}$⁠، يتم تعريف نصف قطر الكرة المقيدة، ونصف قطر الكرة المقيدة، ونصف القطر المتوسط على النحو التالي:

يمكن قياس حجم ومساحة سطح الاثني عشر وجهًا باستخدام تعبيرات تتضمن ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.

وبالمثل، يمكن أيضًا التعبير عن حجم ومساحة سطح المجسم العشروني الوجوه بهذه الطريقة:

يتم اشتقاق هذه المعلمات الهندسية من الإحداثيات الديكارتية الخاصة بها، والتي يمكن صياغتها باستخدام تعبيرات تتضمن ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. في حين أن إحداثيات المجسم الاثني عشري موضحة في الشكل المجاور، إلا أن إحداثيات المجسم العشروني معروضة على النحو التالي:

( §89§ , ± §1516§ , ± φ ) , ( ± §3637§ , ± φ , §4849§ ) , ( ± φ , §6667§ , ± §7374§ ) . {\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).

داخل كل من الاثني عشري الوجوه والإيكوساهدرا، تتقاطع ثلاثة مستطيلات ذهبية بشكل متعامد، لتشكل حلقات بورومية. في الاثني عشر وجهًا، تتطابق أزواج القمم المتقابلة من هذه المستطيلات الذهبية مع مراكز الوجوه الخماسية. على العكس من ذلك، في العشرينيات الوجوه، تتقارب هذه القمم عند رؤوس متعدد السطوح نفسه. تشمل هذه المستطيلات الذهبية الثلاثة مجتمعة كل ⁠${\displaystyle 12}$⁠ رءوس المجسم العشروني، والتي تعادل هندسيًا تقاطع مراكز جميع الأوجه ⁠${\displaystyle 12}$⁠ وجوه الاثني عشر وجهًا.

يمكن نقش المكعب داخل الاثني عشر وجهًا منتظمًا، حيث تعمل أقطار معينة من الوجوه الخماسية للاثني عشر وجهًا كحواف المكعب، مما يؤدي إلى أطوال حواف تلتزم النسبة الذهبية. حجم هذا المكعب المنقوش هو ⁠§78§ / ( §1516§ + φ ) {\displaystyle 2/(2+\varphi )} ⁠ يساوي حجم الاثني عشر وجهًا. علاوة على ذلك، فإن المستطيلات الذهبية الموجودة داخل الاثني عشر وجهًا تظهر أبعادًا ذهبية مقارنة بالمكعب المنقوش؛ على وجه التحديد، تحافظ حواف المكعب والحواف الأطول للمستطيل الذهبي على ⁠φ<!-- φ --> : φ<!-- φ --> §5354§ {\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}} ⁠ النسبة. على العكس من ذلك، فإن المجسم الثماني، الذي يعمل بمثابة متعدد السطوح المزدوج للمكعب، قادر على نقش عشروني الوجوه. في هذا التكوين، ⁠${\displaystyle 12}$⁠ تتلامس رؤوس المجسم العشروني مع ⁠${\displaystyle 12}$⁠ حواف المجسم الثماني عند النقاط التي تقسم هذه الحواف وفقًا لذلك إلى النسبة الذهبية.

خصائص إضافية

يمكن تحديد التوسيع العشري للنسبة الذهبية باستخدام خوارزميات البحث عن الجذر، بما في ذلك طريقة نيوتن أو طريقة هالي. يتم تطبيق هذه الطرق على المعادلة التربيعية ⁠{\displaystyle \textstyle x^2-x-1=0} أو، بدلاً من ذلك، على⁠{\displaystyle \textstyle x^2-5=0}، الأمر الذي يتطلب حسابًا أوليًا لـ⁠{\displaystyle {\sqrt {5}}}. التعقيد الحسابي لاشتقاق⁠{\displaystyle n} أرقام النسبة الذهبية عبر طريقة نيوتن هو تقريبًا⁠{\displaystyle O(M(n))}. في هذا السياق،⁠{\displaystyle M(n)} يمثل التعقيد الزمني المرتبط بضرب اثنين⁠{\displaystyle n}-أرقام صحيحة. تتجاوز هذه الكفاءة الحسابية بشكل كبير تلك الخاصة بالخوارزميات المستخدمة لحسابπ وe. هناك طريقة بديلة وقابلة للتنفيذ بسهولة، والتي تستخدم حصريًا حساب الأعداد الصحيحة، وتتضمن حساب رقمين كبيرين متتاليين فيبوناتشي ومن ثم تحديد النسبة بينهما. على وجه التحديد، نسبة أرقام فيبوناتشي ⁠{\displaystyle F_{25001}} و⁠{\displaystyle F_{25000}}، حيث يتكون كل رقم من أكثر من⁠{\displaystyle 5000} رقم، يوفر ما يزيد عن⁠{\displaystyle 10,000} أرقام مهمة للنسبة الذهبية. حتى الآن، تم حسابالتوسيع العشري للنسبة الذهبية، والمشار إليه بـ ⁠{\displaystyle \varphi }، بدقة تصل إلى عشرين تريليون (⁠{\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}) أرقام.

في المستوى المركب، يتم التعبير عن الجذور الخماسية للوحدة، كما يلي: ⁠z = e §1617§ π k i / §2930§ {\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}} ⁠ (حيث ⁠${\displaystyle k}$⁠ عدد صحيح) ويحقق الشرط ⁠z §7374§ = §7980§ {\displaystyle \textstyle z^{5}=1} ⁠، قم بتشكيل رؤوس الشكل الخماسي المنتظم هندسيًا. على الرغم من أن هذه الجذور لا تشكل حلقة من الأعداد الصحيحة التربيعية، إلا أن مجموع أي جذر خامس للوحدة ومرافقها المعقد يُشار إليه بـ ⁠${\displaystyle z+{\bar {z}}}$⁠، يتم تصنيفه على أنه عدد صحيح تربيعي، وتحديدًا عنصر ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠. مزيد من التفاصيل مذكورة أدناه.

15§ <مو>+ <مسوب> <مي>ه − §2728§ <مليون دولار> <مي> <مو>= §37 <متر> <مليون دولار> <مسوب> <مي>ه §49 <مو>+ <مسوب> <مي>ه − §73 <مليون دولار> <مي> <مو>= <مسوب> φ − §102103§ <مو>= − §111112§ <مو>+ φ <مو>، <متر> <مليون دولار> <مسوب> <مي>ه §128129§ π <مي>أنا <مو>/ §139140§ <مو>+ <مسوب> <مي>ه − §152153§ π <مي>أنا <مو>/ §163164§ <مليون دولار> <مي> <مو>= − φ <مو>. {\displaystyle {\begin{align}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}

ينطبق هذا المبدأ بالمثل على الجذور العشرة المتبقية للواحد، والتي تحقق المعادلة ⁠z §1213§ = §1819§ {\displaystyle \textstyle z^{10}=1} ⁠.

169§ = §174175§ − φ . {\displaystyle {\begin{محاذاة} e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}

بالنسبة لدالة جاما، يُشار إليها بـ ⁠ ${\displaystyle \Gamma }$⁠، المعادلة ⁠37§ ) = Γ ( z + §5152§ ) {\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)} ⁠ يمتلك حلين على وجه التحديد: ⁠${\displaystyle z=\varphi }$⁠ و ⁠z = −<!-- --> φ<!-- φ --> −<!-- − --> §110111§ {\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}} ⁠.

في أنظمة الأرقام التي تستخدم النسبة الذهبية كقاعدة، يشار إليها أيضًا باسم phinary أو ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠-nary، الأعداد الصحيحة التربيعية التي تنتمي إلى الحلقة ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ — على وجه التحديد، الأرقام المعبر عنها بالشكل ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$⁠ حيث ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠${\displaystyle b}$⁠ هي أعداد صحيحة من ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ — تعرض تمثيلات منتهية، في حين أن الكسور المنطقية تؤدي دائمًا إلى تمثيلات غير منتهية.

علاوة على ذلك، تظهر النسبة الذهبية في الهندسة الزائدية، وتحديدًا باعتبارها المسافة القصوى من نقطة على أحد جانبي المثلث المثالي إلى أقرب ضلعيه المتبقيين. هذه المسافة المحددة، والتي تتوافق أيضًا مع طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع المتكون من نقاط التماس لدائرة منقوشة داخل المثلث المثالي، هي بالضبط ⁠${\displaystyle 4\log(\varphi )}$⁠.

النسبة الذهبية واضحة أيضًا في نظرية الدوال المعيارية. على وجه التحديد، بالنسبة إلى 19§ <مو>، {\displaystyle |q|<1,} ، خذ بعين الاعتبار التعريف التالي:

138§ − R ( − e − a ) ) ( φ − §196197§ − R ( − e − b ) ) = φ − §255256§ §261262§ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}

النسبة الذهبية، ممثلة بـ ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠، مصنف كرقم Pisot–Vijayaraghavan.

التطبيقات والملاحظات

الهندسة المعمارية

قام المهندس المعماري السويسري الشهير لو كوربوزييه، وهو شخصية محورية في تطوير الطراز الدولي الحديث، ببناء فلسفته التصميمية حول مبادئ الانسجام والتناسب. كان إيمانه العميق بالنظام الرياضي للكون مرتبطًا ارتباطًا جوهريًا بالنسبة الذهبية وتسلسل فيبوناتشي. وقد وصفها بأنها "إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض"، مؤكدًا أن "هذه الإيقاعات هي السبب الجذري للأنشطة البشرية. وهي تتردد في الإنسان بحتمية عضوية، وهي نفس الحتمية الدقيقة التي تسبب اقتفاء أثر القسم الذهبي من قبل الأطفال وكبار السن والمتوحشين والمتعلمين".

قام لو كوربوزييه بدمج النسبة الذهبية بشكل واضح في نظام Modulor الخاص به، وهو إطار للتناسب المعماري. لقد تصور هذا النظام باعتباره امتدادًا لسلالة تاريخية، تشمل شخصيات مثل فيتروفيوس، و"الرجل الفيتروفي" لليوناردو دافنشي، وليون باتيستا ألبيرتي، وجميعهم استخدموا أبعاد الجسم البشري لتعزيز الجماليات والوظائف المعمارية.

وبخلاف النسبة الذهبية، دمج نظام لو كوربوزييه قياسات الإنسان البشرية وأرقام فيبوناتشي والوحدة المزدوجة. لقد قام بتوسيع تطبيق النسبة الذهبية إلى النسب البشرية بشكل كبير: حيث قام بتقسيم ارتفاع جسمه البشري المثالي عند السرة، مما يضمن أن القسمين الناتجين كانا في النسبة الذهبية. بعد ذلك، قام بتقسيم هذه الأقسام عند الركبتين والحنجرة، ملتزمًا مرة أخرى بنسب النسبة الذهبية، ودمجها في نظام Modulor. من الأمثلة البارزة على تنفيذ نظام Modulor فيلا Stein التي صممها Le Corbusier عام 1927 في Garches. يُظهر المخطط الأرضي المستطيل للفيلا وارتفاعها وعناصرها الهيكلية الداخلية تقديرات تقريبية للمستطيلات الذهبية.

كثيرًا ما يرتكز ماريو بوتا، وهو مهندس معماري سويسري بارز آخر، على تصميماته على مبادئ هندسية. تتميز العديد من المساكن الخاصة التي صممها في سويسرا بتركيبات من المربعات والدوائر، إلى جانب المكعبات والأسطوانات. على وجه التحديد، في المنزل الذي صممه في أوريجليو، تحدد النسبة الذهبية العلاقة التناسبية بين الأقسام المركزية والجانبية للهيكل.

فن

أثارت الرسوم التوضيحية متعددة السطوح لليوناردو دا فينشي ضمن النسبة الإلهية لباسيولي تكهنات بشأن إمكانية دمجه للنسبة الذهبية في أعماله التصويرية. ومع ذلك، فإن الادعاءات التي تشير، على سبيل المثال، إلى أن لوحة الموناليزا تستخدم نسب النسبة الذهبية تفتقر إلى الإثبات في وثائق ليوناردو الشخصية. وبالمثل، على الرغم من الارتباط المتكرر بين الرجل الفيتروفي لليوناردو وبين النسبة الذهبية، إلا أن النسب الفعلية للشخصية لا تتوافق معها؛ يشير النص المصاحب حصريًا إلى نسب الأعداد الصحيحة.

وطبق سلفادور دالي، المتأثر بشكل خاص بمنحة ماتيلا غيكا، النسبة الذهبية بشكل علني في عمله الأساسي، سر العشاء الأخير. تلتصق اللوحة القماشية نفسها بأبعاد المستطيل الذهبي. تم وضع اثني عشر وجهًا ضخمًا، تم تقديمه في منظور لإظهار الحواف بنسبة ذهبية لبعضها البعض، فوق وخلف يسوع، ليكون بمثابة عنصر تركيبي مهيمن. كما استخدم الفنان المستقبلي ألمادا نيجريروس أيضًا بشكل واضح إنشاءات هندسية تتضمن النسبة الذهبية عبر مجموعة من إبداعاته الفنية.

كشف تحليل إحصائي أجري عام 1999 لـ 565 عملاً فنيًا لرسامين بارزين أن هؤلاء الفنانين لم يستخدموا النسبة الذهبية بشكل متسق في أبعاد لوحاتهم القماشية. حددت الدراسة أن متوسط نسبة العرض إلى الارتفاع للوحات التي تم فحصها كان تقريبًا ⁠${\displaystyle 1.34}$⁠، مع اختلاف متوسطات الفنانين الفرديين من ⁠${\displaystyle 1.04}$⁠ (غويا) إلى ⁠${\displaystyle 1.46}$⁠ (بيليني). على العكس من ذلك، وثق بابلو توستو أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين، بما في ذلك أكثر من 100 لوحة قماشية تظهر مستطيلاً ذهبيًا و ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ النسب، إلى جانب نسب أخرى مثل ⁠§8586§ {\displaystyle {\sqrt {2}}} ⁠, ⁠${\displaystyle 3}$⁠, ⁠${\displaystyle 4}$⁠، و⁠${\displaystyle 6}$⁠.

الكتب والتصميم

أكد جان تشيكهولد على ما يلي:

تاريخيًا، الانحرافات عن النسب المثالية للصفحة، مثل ⁠§89§ : §1415§ {\displaystyle 2\mathbin {:} 3} ⁠, ⁠§3233§ : §3940§ {\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}} ⁠، والقسم الذهبي، لم يكنا شائعين. تعرض العديد من الكتب المنشورة بين عامي 1550 و1770 هذه النسب بدقة، بدقة نصف ملليمتر.

تشير بعض المصادر إلى أن النسبة الذهبية تم دمجها في العديد من التصاميم اليومية، بما في ذلك نسب أوراق اللعب، والبطاقات البريدية، والملصقات، ولوحات مفاتيح الإضاءة، وأجهزة التلفزيون ذات الشاشات العريضة.

الأعلام

يُقال إن مصمم العلم التوغولي قصد أن تتوافق نسبة العرض إلى الارتفاع (العرض إلى الارتفاع) مع النسبة الذهبية.

الموسيقى

يفترض تحليل إيرني ليندفاي أن مؤلفات بيلا بارتوك مبنية على إطارين متناقضين: النسبة الذهبية والمقياس الصوتي؛ ومع ذلك، فإن هذا التفسير محل خلاف من قبل علماء الموسيقى الآخرين. قام الملحن الفرنسي إريك ساتي بدمج النسبة الذهبية في العديد من المقطوعات الموسيقية، مثل Sonneries de la Rose+Croix. علاوة على ذلك، فإن النسبة الذهبية واضحة في التنظيم المقطعي لكتاب ديبوسي Reflets dans l'eau (تأملات في الماء)، من Images (السلسلة الأولى، 1905)، حيث "يتم تحديد تسلسل المفاتيح بالفواصل 34، 21، 13 و8، والذروة الرئيسية يجلس في موضع فاي".

لاحظ عالم الموسيقى روي هوات أن التقسيمات الهيكلية لـ La Mer لديبوسي تتماشى بدقة مع القسم الذهبي. بينما يعتبر تريزيز هذا الدليل الداخلي "رائعًا"، فإنه يحذر من عدم وجود دليل موثق أو قصصي يشير إلى تطبيق ديبوسي المتعمد لهذه النسب.

استكشف منظرو الموسيقى، ولا سيما هانز زيندر وهاينز بوهلين، مقياس 833 سنتًا، وهو نظام موسيقي يستخدم النسبة الذهبية كفاصل تأسيسي لها. وعلى مقياس السنت اللوغاريتمي للفترات الموسيقية، تقارب النسبة الذهبية 833.09 سنتًا.

الطبيعة

أكد يوهانس كيبلر أن "صورة الرجل والمرأة تنبع من التناسب الإلهي. وفي رأيي، فإن تكاثر النباتات وتكاثر الحيوانات هما في نفس النسبة".

لاحظ عالم النفس أدولف زايسينج وجود النسبة الذهبية في انجذاب النبات، وأكد لاحقًا أن هذه الأنماط الطبيعية تشير إلى مكانتها كقانون عالمي. في عام 1854، صاغ زايسينج مبدأ تقويميًا عالميًا يتميز بـ "السعي لتحقيق الجمال والكمال في مجالات الطبيعة والفن".

على العكس من ذلك، يؤكد بعض العلماء أن العديد من الأحداث المزعومة للنسبة الذهبية في الظواهر الطبيعية، وخاصة فيما يتعلق بمورفولوجيا الحيوان، تفتقر إلى التحقق التجريبي.

الفيزياء

المغناطيس الحديدي شبه أحادي البعد ${\textstyle {\ce {CoNb2O6}}}$ (نيوبات الكوبالت) ⁠${\displaystyle 8}$⁠ حالات الإثارة المتوقعة التي تمتلك ⁠${\displaystyle E_{8}}$⁠ التناظر. كشفت تجارب تشتت النيوترونات أن أدنى هاتين الحالتين تظهران في النسبة الذهبية. بتعبير أدق، أظهرت تحولات الطور الكمي التي تحدث أثناء إثارة الدوران عند درجات حرارة تقترب من الصفر المطلق أزواجًا من مكامن الخلل التي تنتقل من مرحلة مرتبة إلى تقلبات دورانية في مرحلة مغناطيسية. كشفت هذه الظاهرة، التي تمت ملاحظتها أسفل المجال الحرج مباشرةً، عن ديناميكيات الدوران التي تتميز بأنماط حادة عند طاقات منخفضة تتقارب نحو الوسط الذهبي.

التحسين

لا تزال خوارزمية عامة للتوزيع الموحد لعدد محدد من العقد عبر سطح كروي، وفقًا لتعريفات مختلفة للتوزيع المتساوي، غير مكتشفة. ومع ذلك، يمكن تحقيق تقريب فعال عن طريق تقسيم الكرة إلى نطاقات متوازية ذات مساحة سطحية متكافئة ووضع عقدة واحدة داخل كل نطاق عند خطوط الطول مفصولة بقسم ذهبي من الدائرة، وتحديدًا ⁠${\displaystyle 360^{\circ }~\!/\varphi \approx 222.5^{\circ }\!}$⁠. تم استخدام هذه التقنية لترتيب ⁠${\displaystyle 1500}$⁠ مرايا على القمر الصناعي الطلابي Starshine-3.

علاوة على ذلك، تشكل النسبة الذهبية مكونًا أساسيًا في خوارزمية بحث القسم الذهبي.

الملاحظات المتنازع عليها

تمثل الحالات التالية أمثلة على الملاحظات المتنازع عليها بشأن النسبة الذهبية:

• كثيرًا ما يتم التأكيد على أن نسبًا معينة داخل أجسام الفقاريات، بما في ذلك أجسام البشر، تلتزم النسبة الذهبية؛ على سبيل المثال، تم افتراض أن النسبة بين عظام السلاميات والمشط المتعاقبة (عظام الأصابع) تقارب هذه القيمة. ومع ذلك، فإن القياسات الفعلية لهذه العناصر التشريحية تظهر تباينًا فرديًا كبيرًا، وغالبًا ما تختلف النسب المبلغ عنها بشكل كبير عن النسبة الذهبية.
• يُزعم في كثير من الأحيان أن أصداف الرخويات، مثل أصداف النوتيلوس، تظهر النسبة الذهبية. في حين أن نمو صدفة النوتيلوس يتبع بالفعل دوامة لوغاريتمية، فقد تم التأكيد أحيانًا وبشكل غير صحيح على أن جميع اللوالب اللوغاريتمية مرتبطة بنسبة ذهبية، أو أن كل غرفة لاحقة تحافظ على نسبة ذهبية مقارنة بسابقتها. ومع ذلك، فإن القياسات التجريبية لقذائف نوتيلوس لا تدعم هذه التأكيدات.
• يؤكد المؤرخ جون مان أن كلاً من الصفحات ومنطقة النص في كتاب غوتنبرغ المقدس كانت "مبنية على شكل القسم الذهبي". ومع ذلك، تشير قياساته الخاصة إلى أن نسبة الارتفاع إلى العرض للصفحات هي ⁠${\displaystyle 1.45}$⁠.
• هدفت التحقيقات النفسية، التي بدأها غوستاف فيشنر ج. 1876، إلى التأكد مما إذا كانت النسبة الذهبية تؤثر على الإدراك الجمالي البشري. على الرغم من أن فيشنر لاحظ تفضيل النسب المستطيلة التي تقارب النسبة الذهبية، إلا أن الاختبارات الدقيقة اللاحقة لهذه الفرضية أسفرت، في أحسن الأحوال، عن نتائج غامضة.
• في مجال الاستثمار، يستخدم بعض ممارسي التحليل الفني النسبة الذهبية لتحديد مستويات دعم الأسعار أو مقاومة ارتفاع أسعار الأسهم أو السلع. بعد التقلبات الكبيرة في الأسعار، من المفترض أن يتم إنشاء عتبات الدعم والمقاومة الجديدة بقيم مستمدة من السعر الأولي باستخدام النسبة الذهبية. علاوة على ذلك، يرتبط تطبيق النسبة الذهبية في استراتيجيات الاستثمار بأنماط معقدة تحددها أرقام فيبوناتشي، مثل مبدأ موجة إليوت وتصحيحات فيبوناتشي. ومع ذلك، فقد قدمت تحليلات السوق البديلة نتائج تشير إلى عدم وجود دعم تجريبي لهذه النسب والأنماط.

الأهرامات المصرية

افترض علماء الأهرامات أن الهرم الأكبر بالجيزة، والذي يشار إليه أيضًا باسم هرم خوفو أو خوفو، يمتلك مثلث كبلر مضاعفًا كمقطع عرضي له. ووفقاً لهذه الفرضية، فإن النسبة الذهبية ستحدد العلاقة بين المسافة من نقطة منتصف جانب الهرم إلى قمته والمسافة من نفس نقطة المنتصف إلى مركز قاعدة الهرم. ومع ذلك، فإن عدم دقة القياس، والذي يعزى جزئيًا إلى تآكل الغلاف الخارجي للهرم، يحول دون التمايز النهائي لهذه النظرية عن التفسيرات الرقمية البديلة لنسب الهرم، والتي تعتمد على نسب باي أو الأعداد الصحيحة. تؤكد وجهة النظر العلمية السائدة أن نسب هذا الهرم لا تعتمد على النسبة الذهبية، حيث أن مثل هذا الأساس يتعارض مع الفهم الموثق للرياضيات المصرية خلال فترة بنائه والمبادئ المعمارية والتناسبية الواضحة في الهياكل المصرية الأخرى.

البارثينون

يقترح بعض المؤيدين أن واجهة البارثينون (حوالي 432 قبل الميلاد)، بالإضافة إلى العديد من المكونات المعمارية الأخرى، محاطة بمستطيلات ذهبية. على العكس من ذلك، يشكك أكاديميون آخرون في أي صلة جمالية بين الإغريق القدماء والنسبة الذهبية. على سبيل المثال، يقول كيث ديفلين: "إن الادعاء المتكرر بأن البارثينون في أثينا يشتمل على النسبة الذهبية هو غير مدعوم بشكل واضح من خلال القياسات التجريبية. في الواقع، يبدو أن السرد بأكمله المتعلق باليونانيين والنسبة الذهبية يفتقر إلى الإثبات". ويؤكد مدحت ج. غزالي أيضًا أن "الخصائص الرياضية للنسبة الذهبية لم يتم بحثها حتى عصر إقليدس".

أدى تحليل 15 معبدًا، و18 مقبرة أثرية، و8 توابيت، و58 لوحة قبر يعود تاريخها إلى القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن الثاني الميلادي، إلى استنتاج أحد الباحثين أن النسبة الذهبية كانت غائبة تمامًا عن العمارة اليونانية الكلاسيكية في القرن الخامس قبل الميلاد، وكانت غائبة إلى حد كبير طوال القرون الستة اللاحقة. تركز الروايات التاريخية اللاحقة، مثل تلك التي كتبها فيتروفيوس (القرن الأول قبل الميلاد)، حصريًا على النسب التي يمكن التعبير عنها بأعداد صحيحة، وبالتالي تؤكد على النسب المتناسبة وليست غير المنطقية.

الفن الحديث

يتكون القسم الذهبي (بمعنى "القسم الذهبي") من مجموعة من الرسامين والنحاتين والشعراء والنقاد المرتبطين بالحركات التكعيبية والأورفسية. نشطت المجموعة من عام 1911 إلى عام 1914 تقريبًا، واعتمدت المجموعة هذه التسمية للتأكيد على استمرارية التكعيبية ضمن تقليد فني مهم، بدلاً من عزلتها، ولتكريم التناغم الرياضي الذي يُنسب غالبًا إلى جورج سورات. على الرغم من أن بعض المؤلفين أكدوا أن سورات أدرج النسبة الذهبية في أعماله الفنية، إلا أن كتاباته ولوحاته تشير إلى تفضيله لنسب الأعداد الصحيحة البسيطة، مما يشير إلى أن أي تقدير تقريبي للنسبة الذهبية كان مجرد مصادفة. لقد أدرك التكعيبيون في هذه التناغمات، وفي البنية الهندسية للحركة والشكل، "أولوية الفكرة على الطبيعة" و"الوضوح العلمي المطلق للمفهوم". على الرغم من هذا الاهتمام الشامل بالتناغم الرياضي، يظل من الصعب التأكد مما إذا كانت تركيبات اللوحات المعروضة في الصالون الذهبي الشهير عام 1912 قد استخدمت النسبة الذهبية بشكل واضح. على سبيل المثال، يؤكد ليفيو أنهم لم يفعلوا ذلك، وهو شعور ردده مارسيل دوشامب في مقابلة. على العكس من ذلك، يشير التحليل إلى أن خوان جريس طبق النسبة الذهبية في تأليف الأعمال التي من المحتمل، ولكن ليس بشكل نهائي، أن يتم عرضها في المعرض. افترض مؤرخ الفن دانييل روبينز أنه، بالإضافة إلى دلالته الرياضية، يشير اسم المعرض أيضًا إلى مجموعة Bandeaux d'Or السابقة، والتي ضمت ألبرت جليز وأعضاء سابقين آخرين في Abbaye de Créteil.

يُستشهد غالبًا ببيت موندريان لاستخدامه القسم الذهبي على نطاق واسع في لوحاته الهندسية؛ إلا أن خبراء آخرين، ومن بينهم الناقد إيف آلان بوا، دحضوا هذه التأكيدات.

قائمة الأعمال المصممة باستخدام النسبة الذهبية

• قائمة الأعمال المصممة بنسبة ذهبية
• الوسط المعدني
• نسبة البلاستيك
• الهندسة المقدسة
• النسبة الذهبية الفائقة
• نسبة الفضة

المراجع

حواشي سفلية توضيحية

الاقتباسات

الأعمال المقتبس منها

• وايزستاين، إيريك دبليو. "النسبة الذهبية." عالم الرياضيات.
• بوجومولني، ألكسندر (2018). "النسبة الذهبية في الهندسة." قص العقدة.نوت، رون. "نسبة القسم الذهبي: Phi."
• مونرو، راندال. "اللوالب الذهبية الزائفة." مجموعة من الأمثلة.
• محاضرة عبر الإنترنت تستكشف مشكلة زينو في الفئران واللوالب اللوغاريتمية.