Musik und Mathematik (Music and mathematics)

Die Musiktheorie untersucht systematisch die Tonhöhe, die zeitliche Organisation und die Strukturelemente musikalischer Kompositionen. Es verwendet mathematische Prinzipien, um verschiedene musikalische Komponenten zu untersuchen, darunter Tempo, harmonische Verläufe, formale Strukturen und rhythmisches Metrum. Das Bestreben, neuartige Ansätze zur Musikkomposition und Hörwahrnehmung zu konzipieren und zu artikulieren, hat zur Anwendung von Mengenlehre, abstrakter Algebra und Zahlentheorie in musikalischen Kontexten geführt.

Obwohl der zeitgenössischen Musiktheorie ein axiomatischer Rahmen innerhalb der modernen Mathematik fehlt, sind die grundlegenden Eigenschaften des musikalischen Klangs einer mathematischen Beschreibung durch Akustik zugänglich und weisen eine bemerkenswerte Bandbreite numerischer Eigenschaften auf.

Historischer Kontext

Während die antiken chinesischen, indischen, ägyptischen und mesopotamischen Zivilisationen für ihre Untersuchungen der mathematischen Grundlagen von Klängen bekannt sind, gelten die Pythagoräer des antiken Griechenlands, insbesondere Philolaos und Archytas, als die frühesten bekannten Forscher, die die Darstellung musikalischer Tonleitern durch numerische Verhältnisse erforschten, insbesondere solche mit kleinen ganzen Zahlen. Ihr zentraler philosophischer Grundsatz besagte, dass „die ganze Natur aus Harmonie besteht, die aus Zahlen entsteht.“

Seit Platon wurde Harmonie als ein wesentlicher Bereich der Physik angesehen, ein Bereich, der heute als musikalische Akustik bezeichnet wird. Frühe indische und chinesische Theoretiker stellten vergleichbare Methoden vor und versuchten allgemein zu zeigen, dass die mathematischen Prinzipien, die Harmonien und Rhythmen regeln, nicht nur für das Verständnis der Welt, sondern auch für die Förderung des menschlichen Wohlergehens von entscheidender Bedeutung waren. Konfuzius betrachtete, ähnlich wie Pythagoras, die ganzen Zahlen 1, 2, 3 und 4 als Ursprung aller Vollkommenheit.

Zeitliche Organisation, Rhythmus und Takt

Musik beruht im Wesentlichen auf den Zwängen der rhythmischen Struktur, die die konsistente und regelmäßige Organisation von Pulswiederholung, Akzentuierung, Phrasierung und zeitlicher Dauer umfasst. Die zeitgenössische Anwendung musikalischer Terminologie wie „Meter“ und „Maß“ unterstreicht die historische Bedeutung der Musik neben der Astronomie für die Weiterentwicklung der Konzepte der Aufzählung, Arithmetik und der präzisen Quantifizierung von Zeit und Periodizität, die für die Physik von grundlegender Bedeutung sind.

Komponenten musikalischer Formen enthalten häufig präzise Proportionen oder hypermetrische Strukturen, die oft aus Potenzen der ganzen Zahlen 2 und 3 abgeleitet werden.

Musikalische Struktur

Die musikalische Form definiert das Organisationsschema, durch das eine prägnante Musikkomposition entwickelt und erweitert wird. Das Konzept eines „Plans“ wird in ähnlicher Weise in der Architektur verwendet, einer Disziplin, mit der musikalische Formen häufig verglichen werden. Analog zu einem Architekten muss ein Komponist den beabsichtigten Zweck des Werks und die verfügbaren Ressourcen berücksichtigen, dabei Sparsamkeit walten lassen und Prinzipien der Wiederholung und Ordnung anwenden. Vorherrschende formale Typen wie binäre und ternäre Strukturen, die „zweifache“ und „dreifache“ Anordnungen bedeuten, veranschaulichen zusätzlich die entscheidende Rolle kleiner ganzzahliger Werte bei der Verbesserung der musikalischen Klarheit und des ästhetischen Reizes.

Frequenz und harmonische Beziehungen

Eine Tonleiter stellt eine bestimmte Sammlung von Tonhöhen dar, die bei der Erstellung oder Analyse von Musik verwendet werden. Während die diatonische Tonleiter in der westlichen Musiktradition von größter Bedeutung ist, wurden in verschiedenen historischen Epochen und globalen Regionen zahlreiche andere Tonleitern verwendet und vorgeschlagen. Jede einzelne Tonhöhe korreliert mit einer bestimmten Frequenz, quantifiziert in Hertz (Hz), gelegentlich auch als Zyklen pro Sekunde (c.p.s.) bezeichnet. Eine Tonleiter besitzt von Natur aus ein Wiederholungsintervall, typischerweise die Oktave. Die Oktave einer bestimmten Tonhöhe bezeichnet eine Frequenz, die genau doppelt so hoch ist wie die der ursprünglichen Tonhöhe.

Aufeinanderfolgende Superoktaven stellen Tonhöhen dar, die bei Frequenzen auftreten, die das Vier-, Acht-, Sechzehnfache und zunehmend höhere Vielfache der Grundfrequenz betragen. Umgekehrt werden Tonhöhen mit Frequenzen, die der Hälfte, einem Viertel, einem Achtel usw. des Grundtons entsprechen, als Suboktaven bezeichnet. Wenn in der musikalischen Harmonie eine bestimmte Tonhöhe als konsonant gilt, werden ihre Oktaven ausnahmslos auch als konsonant wahrgenommen. Folglich wird jeder bestimmten Note und ihren entsprechenden Oktaven in der Regel eine analoge Nomenklatur in Musiksystemen zugewiesen (z. B. können alle je nach spezifischem System als doh, A oder Sa bezeichnet werden).

Bei der Konzeptualisierung als Frequenzbandbreite umfasst eine Oktave wie A₂–A₃ einen Bereich von 110 Hz bis 220 Hz, was einer Spanne von 110 Hz entspricht. Die darauffolgende Oktave erstreckt sich von 220 Hz bis 440 Hz und deckt einen Bereich von 220 Hz ab. Die dritte Oktave reicht dann von 440 Hz bis 880 Hz mit einer Spanne von 440 Hz, und dieses Muster setzt sich fort. Jede aufeinanderfolgende Oktave deckt somit einen Frequenzbereich ab, der genau doppelt so groß ist wie der der vorhergehenden Oktave.

Da bei der Beschreibung einer Tonleiter häufig die Beziehungen oder Verhältnisse zwischen Tonhöhen, sogenannte Intervalle, Vorrang vor ihren genauen absoluten Frequenzen haben, ist es üblich, alle Tonhöhen der Tonleiter als Verhältnisse relativ zu einer bestimmten Referenztonhöhe auszudrücken, der der Wert Eins zugewiesen wird (häufig als 1/1 notiert). Diese Referenztonhöhe dient typischerweise als Grundton der Tonleiter. Für die vergleichende Analyse von Intervallgrößen werden üblicherweise Cent verwendet.

Tuning-Systeme

Tuning-Systeme

Es gibt zwei Hauptfamilien von Stimmungssystemen: gleichschwebende Stimmung und reine Stimmung. Gleichschwebende Tonleitern werden durch logarithmische Unterteilung einer Oktave in Intervalle konstruiert, was zu völlig einheitlichen Tonleitern, aber mit irrationalen Frequenzverhältnissen führt. Umgekehrt werden reine Tonleitern durch Multiplikation von Frequenzen mit rationalen Zahlen gebildet, was zu einfachen Frequenzverhältnissen, aber ungleichmäßigen Skalenteilungen führt.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen gleichschwebenden Stimmungen und reinen Stimmungen liegt in ihren akustischen Schwebungsphänomenen, wenn zwei Töne gleichzeitig erklingen, was die subjektive Wahrnehmung von Konsonanz und Dissonanz beeinflusst. Beide Systeme verfügen wie die meisten Musiktraditionen über Tonleitern, die sich im Abstand jeder Oktave wiederholen und durch ein Frequenzverhältnis von 2:1 definiert sind. Das bedeutet, dass sich das Skalenmuster jedes Mal wiederholt, wenn sich die Frequenz verdoppelt.

Dieses Beispiel zeigt zwei nacheinander gespielte Sinuswellen: einen Halbton bei 550 Hz (C♯ in der Tonleiter mit reiner Stimmung), gefolgt von einem Halbton bei 554,37 Hz (C♯ in der Tonleiter mit gleichschwebender Stimmung).

• Zwei nacheinander abgespielte Sinuswellen – dieses Sample hat einen Halbton bei 550 Hz (C♯ in der reinen Stimmungsskala), gefolgt von einem Halbton bei 554,37 Hz (C♯ in der gleichschwebenden Stimmungsskala).
• Dieses Beispiel enthält die gleichen zwei Noten, präsentiert als „Dyade“ vor einem gehaltenen A440-Pedal. Die untere Note bleibt ein konstantes A (440 Hz in beiden Tonleitern), während die obere Note von einem C♯ in der gleichtemperierten Tonleiter für die erste Sekunde zu einem C♯ in der reinen Intonationsskala für die folgende Sekunde übergeht. Phasenunterschiede erleichtern die Erkennung dieses Übergangs leichter als im vorherigen Beispiel.

Nur Stimmungen

Die Fünf-Limit-Stimmung, die als die am weitesten verbreitete Form der reinen Intonation gilt, ist ein System, das Töne verwendet, die aus regulären Harmonischen einer einzelnen Grundfrequenz abgeleitet sind. Johannes Kepler führte diese Skala in seinem Werk „Harmonics Mundi“ aus dem Jahr 1619 ein und brachte sie mit der Planetenbewegung in Verbindung. Alexander Malcolm, ein schottischer Mathematiker und Musiktheoretiker, stellte in seiner Veröffentlichung „Treatise of Musick: Speculative, Practical and Historical“ aus dem Jahr 1721 eine transponierte Version dieser Tonleiter vor. Auch der Theoretiker Jose Wuerschmidt aus dem 20. Jahrhundert beschrieb dieses System. Eine Variante dieser Stimmung wird derzeit in der Musik Nordindiens verwendet.

Der amerikanische Komponist Terry Riley hat eine umgekehrte Form dieser Stimmung in seine Komposition „Harp of New Albion“ aufgenommen. Eine reine Intonation führt zu überlegenen akustischen Ergebnissen in Kontexten mit minimaler oder fehlender Akkordfolge, da Sänger und Instrumentalisten, wenn möglich, natürlich dazu tendieren. Für fest gestimmte Instrumente wie Klaviere stellt es jedoch eine Herausforderung dar, da sie zwei unterschiedliche Ganztonintervalle (9:8 und 10:9) erzeugen, da sie die Tonart nicht dynamisch anpassen können. Um die Frequenz einer Note innerhalb einer verhältnisbasierten Tonleiter zu bestimmen, wird das Frequenzverhältnis mit der Tonikafrequenz multipliziert. Bei einer Tonika von A4 (A natürlich über dem mittleren C) bei 440 Hz wird beispielsweise eine richtig gestimmte Quinte darüber (E5) als 440 × (3:2) berechnet, was 660 Hz ergibt.

Die pythagoreische Stimmung ist ein System, das ausschließlich auf perfekten Konsonanzen basiert, insbesondere auf der perfekten Oktave, der perfekten Quinte und der perfekten Quarte. Folglich wird die große Terz nicht als unabhängige Terz betrachtet, sondern eher als „Diton“, was wörtlich „zwei Töne“ bedeutet, berechnet als (9:8)² = 81:64, im Gegensatz zum unabhängigen und harmonisch gerechten 5:4 = 80:64. Ein Ganzton ist in diesem System ein sekundäres Intervall, das aus zwei reinen Quinten minus einer Oktave abgeleitet ist und als (3:2)²/2 = 9:8 ausgedrückt wird.

Die reine große Terz (5:4) und die kleine Terz (6:5) weichen von ihren jeweiligen pythagoräischen Äquivalenten (81:64 und 32:27) durch ein syntonisches Komma ab, was einem Verhältnis von 81:80 entspricht. Carl Dahlhaus (1990, S. 187) stellte fest, dass „die abhängige Terz der pythagoräischen, die unabhängige Terz der harmonischen Stimmung der Intervalle entspricht.“

Westliche Musik erfordert in der Regel eine systematisch temperierte Tonleiter und nicht nur die Intonation. Diese Temperierung kann die inhärenten Unregelmäßigkeiten einer wohltemperierten Stimmung beinhalten oder als regelmäßige Stimmung strukturiert sein, beispielsweise als eine Form der gleichschwebenden Stimmung oder eines anderen regelmäßigen Mitteltonsystems. Unabhängig von der konkreten Herangehensweise werden stets die grundlegenden Merkmale der mitteltönigen Stimmung berücksichtigt. Wenn zum Beispiel der Grundton des Akkords ii eine reine Quinte über der Dominante gestimmt ist, wäre es ein Dur-Ganzton (9:8) über der Tonika. Umgekehrt wäre das resultierende Intervall aus der Tonika ein Moll-Ganzton (10:9), wenn es eine knappe kleine Terz (6:5) unter einer knappen Subdominante von 4:3 gestimmt wäre. Mitteltönige Stimmung dient dazu, die Diskrepanz zwischen diesen beiden Ganztönen (9:8 und 10:9) zu verringern. Ihr Verhältnis (9:8)/(10:9) = 81:80 wird üblicherweise als Unisono behandelt. Dieses Intervall, 81:80, bekannt als syntonisches Komma oder Komma von Didymus, stellt das zentrale Komma innerhalb der mitteltönigen Stimmung dar.

Stimmungen gleicher Temperatur

Bei der gleichschwebenden Stimmung ist die Oktave logarithmisch in äquidistante Segmente unterteilt. Obwohl gleichtemperierte Tonleitern mit einer unterschiedlichen Anzahl von Noten konstruiert werden können – zum Beispiel das 24-Ton-Arabischsystem – umfasst die vorherrschende Konfiguration 12 Unterteilungen, die die chromatische Tonleiter gleicher Temperatur bilden. In westlichen Musikkontexten wird im Allgemeinen eine Unterteilung in zwölf Intervalle angenommen, sofern nicht ausdrücklich eine Alternative angegeben wird.

In der chromatischen Tonleiter ist die Oktave in zwölf äquivalente Unterteilungen unterteilt, wobei jeder Halbton (Halbton) ein Intervall darstellt, das der zwölften Wurzel von zwei entspricht. Folglich bilden zwölf solcher gleichen Halbtöne genau eine Oktave. Bei Instrumenten mit Bünden erweist sich die gleichschwebende Stimmung als äußerst vorteilhaft, da sie die gleichmäßige Ausrichtung der Bünde über alle Saiten hinweg ermöglicht. Historisch gesehen wurde in der europäischen Musiktradition die gleichschwebende Stimmung wesentlich früher auf Lauten- und Gitarrenmusik angewendet als auf andere Instrumente, einschließlich Tasteninstrumente. Diese historische Entwicklung hat dazu geführt, dass die gleichschwebende Zwölftonstimmung das vorherrschende Intonationssystem in der gesamten westlichen Welt und in vielen nicht-westlichen Regionen ist.

Es wurden gleich temperierte Tonleitern implementiert und entsprechende Instrumente konstruiert, wobei eine unterschiedliche Anzahl gleicher Intervalle verwendet wurde. Die 19-fach temperierte Stimmung, die ursprünglich im 16. Jahrhundert von Guillaume Costeley vorgeschlagen und angewendet wurde, umfasst 19 äquidistante Töne. Dieses System liefert überlegene Dur- und deutlich verbesserte Moll-Terzen im Vergleich zum standardmäßigen gleichschwebenden 12-Halbton-Terzsystem, allerdings auf Kosten einer flacheren Quinte. Das Gesamtergebnis ist ein verbessertes Konsonanzgefühl. Vierundzwanzig gleichschwebende Stimmungen, die durch vierundzwanzig äquidistante Töne gekennzeichnet sind, werden in der pädagogischen und notatorischen Praxis der arabischen Musik weitgehend übernommen. Dennoch folgt die arabische musikalische Intonation sowohl theoretisch als auch praktisch rationalen Verhältnissen, im Gegensatz zu den irrationalen Verhältnissen, die gleichtemperierten Systemen innewohnen.

Obwohl es in arabischen Intonationssystemen überhaupt kein exaktes Analogon zum gleichtemperierten Viertelton gibt, trifft man häufig auf Annäherungen an einen Dreiviertelton oder eine neutrale Sekunde. Diese neutralen Sekunden weisen jedoch leichte Unterschiede in ihren Verhältnissen auf, abhängig vom jeweiligen Maqam und der geografischen Region. Wie der arabische Musikhistoriker Habib Hassan Touma feststellte, „ist die Abweichungsbreite dieses musikalischen Schritts ein entscheidender Bestandteil des besonderen Geschmacks der arabischen Musik. Die Tonleiter durch die Unterteilung der Oktave in vierundzwanzig Vierteltöne gleicher Größe zu mildern, würde bedeuten, eines der charakteristischsten Elemente dieser Musikkultur aufzugeben.“

Das 53-gleichschwebende Temperamentsystem geht auf die ungefähre Äquivalenz von 53 reinen Quinten zu 31 Oktaven zurück, ein Phänomen, das von beobachtet wurde Jing Fang und Nicholas Mercator.

Mathematische Verbindungen

Mengenmengentheorie

Die musikalische Mengenlehre verwendet die Terminologie der mathematischen Mengenlehre in grundlegender Weise, um musikalische Einheiten zu kategorisieren und ihre Wechselbeziehungen abzugrenzen. Für die Strukturanalyse einer Musikkomposition (typischerweise atonal) unter Verwendung dieses Rahmenwerks beginnt der Prozess im Allgemeinen mit einer Sammlung von Tönen, die Motive oder Akkorde darstellen können. Die Anwendung grundlegender Operationen wie Transposition und Inversion erleichtert die Identifizierung tiefgreifender Grundstrukturen innerhalb der Musik. Diese Operationen, Transposition und Inversion, werden aufgrund ihrer Eigenschaft, die Intervallbeziehungen zwischen Tönen innerhalb einer bestimmten Menge beizubehalten, als Isometrien bezeichnet.

Abstrakte Algebra

Aufbauend auf den Methoden der musikalischen Mengenlehre haben bestimmte Theoretiker die abstrakte Algebra für die Musikanalyse genutzt. Beispielsweise bilden die Tonhöhen innerhalb einer gleichtemperierten Oktave eine abelsche Gruppe bestehend aus 12 Elementen. Darüber hinaus kann die reine Intonation mithilfe des Rahmenwerks einer freien abelschen Gruppe charakterisiert werden.

David Lewin entwickelte die Transformationstheorie, einen Zweig der Musiktheorie, der eine breite Anwendbarkeit erreicht, indem er sich auf die Transformationen zwischen musikalischen Entitäten und nicht auf die Entitäten selbst konzentriert.

Musiktheoretiker haben außerdem musikalische Anwendungen für fortgeschrittene algebraische Konzepte vorgeschlagen. Die Theorie der regulären Temperamente beispielsweise wurde durch ausgefeilte mathematische Ansätze erheblich weiterentwickelt, etwa durch die Korrelation jedes regulären Temperaments mit einem rationalen Punkt auf einem Grassmann-Operator.

Die chromatische Skala zeigt eine freie und transitive Aktion der zyklischen Gruppe Z / §1415§ Z {\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z}, wobei diese Aktion durch Notentransposition definiert wird. Folglich kann die chromatische Tonleiter als Torsor für diese Gruppe konzipiert werden.

Zahlen und Reihen

Bestimmte Komponisten haben den Goldenen Schnitt und die Fibonacci-Zahlen in ihre musikalischen Kompositionen integriert.

Kategorietheorie

Guerino Mazzola, ein Mathematiker und Musikwissenschaftler, hat die Kategorientheorie, insbesondere die Topostheorie, als grundlegenden Rahmen für die Musiktheorie verwendet. Dieser Ansatz umfasst die Topologie, um eine Theorie des Rhythmus und der Motive zu etablieren, und die Differentialgeometrie, um eine Theorie der musikalischen Phrasierung, des Tempos und der Intonation zu entwickeln.

Musiker mit bemerkenswertem mathematischen Hintergrund

• Albert Einstein – Ein versierter Pianist und Geiger.
• Art Garfunkel (von Simon & Garfunkel) – Hat einen Master-Abschluss in Mathematikpädagogik von der Columbia University.
• Brian Cox – Professor für Teilchenphysik an der Fakultät für Physik und Astronomie der Universität Manchester.
• Brian May (von Queen) – erwarb einen BSc (Hons) in Mathematik und Physik und einen Ph.D. in Astrophysik, beide vom Imperial College London.
• Brian Wecht (von Ninja Sex Party) – hat einen Doktortitel in Teilchenphysik von der University of California, San Diego.
• Dan Snaith – besitzt einen Doktortitel in Mathematik vom Imperial College London.
• Delia Derbyshire – Erhielt einen BA in Mathematik und Musik von Cambridge.
• Donald Knuth – Als Organist und Komponist vollendete Knuth 2016 ein Orgelstück mit dem Titel „Fantasia Apocalyptica“, das am 10. Januar 2018 in Schweden uraufgeführt wurde.
• Ethan Port (aus Savage Republic) – hat einen Doktortitel in Mathematik von der University of Southern California.
• Gregg Turner (von Angry Samoans) – besitzt einen Doktortitel in Mathematik von der Claremont Graduate University.
• Jerome Hines – Autor von fünf Artikeln, die zwischen 1951 und 1956 im Mathematics Magazine veröffentlicht wurden.
• Jonny Buckland (von Coldplay) – Studium der Astronomie und Mathematik am University College London.
• Kit Armstrong – hat einen Abschluss in Musik und einen MSc in Mathematik.
• Manjul Bhargava – Als Tablaspieler wurde er 2014 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.
• Phil Alvin (von The Blasters) – studierte Mathematik an der University of California, Los Angeles.
• Philip Glass – Studium der Mathematik und Philosophie an der University of Chicago.
• Robert Schneider (von The Apples in Stereo) – hat einen Doktortitel in Mathematik von der Emory University.
• Tom Lehrer – erwarb einen BA in Mathematik an der Harvard University.
• William Herschel – Ein Astronom, der Oboe, Violine, Cembalo und Orgel spielte. Er komponierte 24 Sinfonien, zahlreiche Konzerte und verschiedene Kirchenmusikstücke.

Musikportal

Referenzen

• Dahlhaus, Carl. 1990. Wagners Konzeption des Musikdramas. Deutscher Taschenbuch Verlag. Kassel: Bärenreiter. ISBN 9783423045384; ISBN 9783761845387.
• Ivor Grattan-Guinness (1995) „Mozart 18, Beethoven 32: Hidden Shadows of Integers in Classic Music“, Seiten 29–47 in History of Mathematics: States of the Art, herausgegeben von Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Knobloch und Hans Wussing. Akademische Presse. ISBN 0-12-204055-4.

• Coole Mathematik für heiße Musik – Eine erste Einführung in die Mathematik für Musiktheoretiker von Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353

• Musik und Mathematik von Thomas E. Fiore
• Sonantometrie oder Musik als Mathematikdisziplin.
• Nicolaus Mercators Verwendung der Verhältnistheorie in der Musik bei Konvergenz
• In Hermann Hesses Roman Das Glasperlenspiel wurde Musik und Mathematik eine zentrale Rolle bei der Konzeptualisierung und Entwicklung des Spiels zugeschrieben.
• Im akademischen Diskurs werden häufig die Prinzipien von Harmonie und Proportionen sowie die Beiträge von Pythagoras zur Musik und zum räumlichen Verständnis untersucht.
• „Lineare Algebra und Musik“
• Notefreqs bietet eine umfassende tabellarische Auflistung der Notenfrequenzen und ihrer entsprechenden Verhältnisse für verschiedene Instrumente, darunter MIDI, Klavier, Gitarre, Bass und Violine, mit weiteren detaillierten Bundmaßen in Zentimetern und Zoll für den Instrumentenbau.
• Eine BBC Radio 4-Diskussion mit dem Titel „Mathematik und Musik“ mit Marcus du Sautoy, Robin Wilson und Ruth Tatlow wurde am 25. Mai 2006 im Rahmen der Sendung In Our Time ausgestrahlt.
• "Messen der Notenähnlichkeit mit positiven definiten Kerneln"