Schallgeschwindigkeit (Speed of sound)

Die Schallgeschwindigkeit ist die Distanz, die eine Schallwelle pro Zeiteinheit zurücklegt, wenn sie sich durch ein elastisches Medium ausbreitet. Einfacher ausgedrückt ist die Schallgeschwindigkeit…

Die Schallgeschwindigkeit ist definiert als die Distanz, die eine Schallwelle pro Zeiteinheit zurücklegt, wenn sie sich durch ein elastisches Medium ausbreitet. Im Wesentlichen stellt es die Geschwindigkeit dar, mit der Schwingungen übertragen werden. Bei einer Temperatur von 20 °C (68 °F) beträgt die ungefähre Schallgeschwindigkeit in Luft 343 m/s (1.125 ft/s; 1.235 km/h; 767 mph; 667 kn), was 1 km in 2,92 s oder einer Meile in 4,69 s entspricht. Diese Geschwindigkeit wird maßgeblich sowohl von der Temperatur als auch vom spezifischen Ausbreitungsmedium beeinflusst.

Die Schallgeschwindigkeit ist die Entfernung, die eine Schallwelle pro Zeiteinheit zurücklegt, wenn sie sich durch ein elastisches Medium ausbreitet. Einfacher ausgedrückt gibt die Schallgeschwindigkeit an, wie schnell sich Schwingungen ausbreiten. Bei 20 °C (68 °F) beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft etwa 343 m/s (1.125 ft/s; 1.235 km/h; 767 mph; 667 kn), oder 1 km in 2,92 s oder eine Meile in 4,69 s. Sie hängt stark von der Temperatur sowie dem Medium ab, durch das sich eine Schallwelle ausbreitet.

Unter Bedingungen von 0 °C (32 °F) in trockener Luft auf Meereshöhe (14,7 psi) beträgt die Schallgeschwindigkeit etwa 331 m/s (1.086 ft/s; 1.192 km/h; 740 mph; 643 kn).

Für ein ideales Gas wird allein die Schallgeschwindigkeit bestimmt durch seine Temperatur und chemische Zusammensetzung. In trockener Luft weist die Geschwindigkeit eine geringe Abhängigkeit von Frequenz und Druck auf, was auf eine leichte Abweichung vom idealen Gasverhalten hinweist.

Während der Begriff Schallgeschwindigkeit üblicherweise die Geschwindigkeit von Schallwellen in Luft bezeichnet, ist ihr tatsächlicher Wert substanzabhängig. Im Allgemeinen breitet sich Schall in Gasen am langsamsten, in Flüssigkeiten mit mittlerer Geschwindigkeit und in Festkörpern am schnellsten aus.

Zum Beispiel breitet sich Schall in Luft mit etwa 343 m/s aus, während seine Geschwindigkeit in Süßwasser bei 20 °C (68 °F) 1481 m/s beträgt (und damit die Geschwindigkeit in Luft um mehr als das 4,3-fache übersteigt). In Eisen erreicht die Geschwindigkeit 5120 m/s (fast 15-mal schneller als in Luft). Darüber hinaus kann der Schall in außergewöhnlich steifen Materialien wie Diamant Geschwindigkeiten von 12.000 m/s (39.000 ft/s) erreichen, was etwa dem 35-fachen seiner Luftgeschwindigkeit entspricht und nahezu der maximal erreichbaren Geschwindigkeit unter typischen Bedingungen entspricht.

Konzeptionell entspricht die Schallgeschwindigkeit der Schwingungsgeschwindigkeit. In festen Medien bestehen Schallwellen sowohl aus Kompressionswellen (analog denen in Gasen und Flüssigkeiten) als auch aus Scherwellen, einem besonderen Wellentyp, der nur in Festkörpern vorkommt. Scherwellen breiten sich typischerweise mit anderen Geschwindigkeiten als Kompressionswellen in Festkörpern aus, ein Phänomen, das in der Seismologie beobachtet wird. Die Geschwindigkeit von Kompressionswellen in Festkörpern wird durch die Kompressibilität, den Schermodul und die Dichte des Mediums bestimmt. Umgekehrt hängt die Geschwindigkeit von Scherwellen ausschließlich vom Schermodul und der Dichte des festen Materials ab.

Im Bereich der Fluiddynamik dient die Schallgeschwindigkeit in einem flüssigen Medium (entweder Gas oder Flüssigkeit) als Vergleichsmaß für die Geschwindigkeit eines Objekts, das dieses Medium durchquert. Die Machzahl eines Objekts ist definiert als das Verhältnis seiner Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit im identischen Medium. Objekte, die die Schallgeschwindigkeit überschreiten (Mach§23§), werden als mit Überschallgeschwindigkeit reisend bezeichnet.

Erde

Innerhalb der Erdatmosphäre weist die Schallgeschwindigkeit erhebliche Schwankungen auf und reicht von etwa 295 m/s (1.060 km/h; 660 mph) in großen Höhen bis etwa 355 m/s (1.280 km/h; 790 mph) bei hohen Temperaturen.

Verlauf

Archytas, ein pythagoreischer Philosoph, postulierte, dass sich Töne höherer Tonhöhe schneller ausbreiten. Diese Perspektive fand bei mehreren späteren Philosophen Akzeptanz, darunter bei Mitgliedern der Akademie und des Peripatos und möglicherweise bei Aristoteles.

Sir Isaac Newtons Werk Principia aus dem Jahr 1687 stellte eine Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Luft vor, die 979 Fuß pro Sekunde (298 m/s) ergab. Dieser Wert war etwa 15 % niedriger als beobachtet. Der Hauptgrund für diese Diskrepanz war die Auslassung des damals noch unerkannten Effekts schneller Temperaturschwankungen innerhalb einer Schallwelle; In der heutigen Terminologie handelt es sich bei der Kompression und Expansion der Luft während der Schallwellenausbreitung um einen adiabatischen und nicht um einen isothermen Prozess. Anschließend führte Newton mehrere Ad-hoc-Anpassungen ein, beispielsweise die „Körnigkeit der festen Partikel der Luft“, um seinen berechneten Wert mit experimentellen Messungen in Einklang zu bringen. Sowohl Lagrange als auch Euler versuchten erfolglos, diese Ungleichheit zu erklären. Die Diskrepanz wurde letztendlich von Pierre-Simon Laplace gelöst. In seiner Veröffentlichung Traité de mécanique céleste berücksichtigte Laplace die Erkenntnisse aus dem Clément-Desormes-Experiment von 1819, bei dem das Wärmekapazitätsverhältnis von Luft auf 1,35 festgelegt wurde. Diese Integration führte zu einer engen Übereinstimmung zwischen theoretischen Vorhersagen und experimentellen Ergebnissen für die Schallgeschwindigkeit. Der zeitgenössische Wert von 1,40 wurde einige Jahre später festgelegt und erreichte volle Übereinstimmung.

Im 17. Jahrhundert gab es zahlreiche Versuche, die Schallgeschwindigkeit genau zu quantifizieren. Im Jahr 1630 berichtete Marin Mersenne über zwei unterschiedliche Werte. Seine erste Messung, die aus der Zeitmessung des Intervalls (mit einem Sekundenpendel) zwischen der Beobachtung des Blitzes einer Waffe und dem Hören ihres Geräusches über eine vorgegebene Entfernung abgeleitet wurde, ergab 1.380 Pariser Fuß pro Sekunde (448 m/s). Als er umgekehrt die Verzögerung zwischen dem Abfeuern einer Waffe und der Wahrnehmung ihres Echos von einer bekannten reflektierenden Oberfläche maß, erhielt er 970 Pariser Fuß pro Sekunde. Diese Diskrepanz führte zu Spekulationen darüber, dass sich Echoschall möglicherweise langsamer ausbreitet als Direktschall. Nachfolgende Forscher übernahmen überwiegend Mersennes ersten experimentellen Ansatz.

Zu den nachfolgenden Messungen gehörten Pierre Gassendis Feststellung von 1.473 Pariser Fuß pro Sekunde aus dem Jahr 1635 und Robert Boyles Bestimmung von 1.125 Pariser Fuß pro Sekunde. Im Jahr 1650 berechneten G. A. Borelli und V. Viviani, Mitglieder der Accademia del Cimento, die Geschwindigkeit auf 350 m/s. Eine genauere Messung wurde 1709 von Reverend William Derham, Rektor von Upminster, veröffentlicht, der 1.072 Pariser Fuß pro Sekunde meldete. (Der Pariser Fuß maß 325 mm und übertraf damit den modernen „internationalen Fuß“, der 1959 offiziell auf 304,8 mm festgelegt wurde. Dieser Unterschied impliziert, dass die Schallgeschwindigkeit bei 20 °C (68 °F) 1.055 Pariser Fuß pro Sekunde entspricht.)

Derham führte seine Experimente vom Turm der St. Laurence Church in Upminster aus und beobachtete den Blitz mit einem Teleskop ein entfernter Schuss aus einer Schrotflinte. Dann benutzte er ein Halbsekundenpendel, um die Zeitspanne zu messen, bis das Geräusch des Schusses wahrgenommen wurde. Bei diesen Messungen handelte es sich um Schüsse, die von verschiedenen örtlichen Wahrzeichen ausgingen, beispielsweise von der North Ockendon-Kirche. Mittels Triangulation wurden Abstände ermittelt und daraus die Schallausbreitungsgeschwindigkeit berechnet. Derham wiederholte diese Messungen akribisch unter verschiedenen Bedingungen, um den Einfluss von Wind, Luftdruck, Temperatur und Luftfeuchtigkeit auf die Schallgeschwindigkeit zu untersuchen. Er beobachtete beispielsweise, dass die Schallgeschwindigkeit zunahm, wenn der Wind auf den Beobachter zublies, und abnahm, wenn er wegblies. Er kam fälschlicherweise zu dem Schluss, dass die Temperatur keinen Einfluss habe, und verwies auf konstante Geschwindigkeiten sowohl im Sommer als auch im Winter. Darüber hinaus wurde seine Behauptung, dass Regen und Nebel die Schallgeschwindigkeit verringerten, bis zu Tyndalls späterer Widerlegung akzeptiert.

Erste Messungen der Schallgeschwindigkeit zeigten Inkonsistenzen, was zu der Hypothese führte, dass Windgeschwindigkeit und Temperatur die Ausbreitung beeinflussen könnten. Im Jahr 1740 zeigte G. L. Bianconi, dass die Schallgeschwindigkeit in der Luft direkt proportional zur Temperatur ist. Die Pariser Akademie der Wissenschaften nutzte 1738 Kanonenfeuer als Schallquelle und stellte fest, dass die Schallgeschwindigkeit bei 0 °C ohne Wind 332 m/s betrug, ein Wert, der innerhalb von 1 % des derzeit akzeptierten Standards liegt.

Chladni bestimmte die Schallgeschwindigkeit in festen Materialien, indem er die Tonhöhe von Tönen verglich, die in einem luftgefüllten Rohr und einem massiven Stab erzeugt wurden. Er beobachtete, dass sich Schall in Zinn etwa 7,5-mal schneller ausbreitete als in Luft und in Kupfer etwa 12-mal schneller. Im Jahr 1808 maß Biot die Schallgeschwindigkeit in einem etwa 1000 Meter langen Eisenrohr und stellte fest, dass sie 10,5-mal höher ist als in Luft. Allerdings betrachtete er dies als eine Größenordnungsschätzung, da seine Zeitmessgenauigkeit von 0,5 Sekunden die tatsächliche Ausbreitungszeit durch das Rohr überstieg.

Die erste Messung der Schallgeschwindigkeit im Wasser wurde 1826 von Jean-Daniel Colladon und Charles Sturm am Genfer See durchgeführt. Colladon war auf zwei Booten im Abstand von 10 Kilometern positioniert und betätigte einen Hebel, der gleichzeitig Schießpulver über dem Wasser zündete und unter Wasser ein Signal gab Glocke. Sturm horchte mit einem Unterwasserrohr auf die Glocke und zeichnete die Zeit auf, bis der Ton wahrgenommen wurde. Ihr Experiment ergab einen Wert von 1437,8 m/s in Wasser bei 8 °C, was einer Abweichung von 1 m/s vom derzeit akzeptierten Wert entspricht. Die Ergebnisse wurden anschließend in einer Monographie veröffentlicht.

Im Jahr 1860 berichtete Samuel Earnshaw von seiner Beobachtung aus einem Experiment aus dem Jahr 1822, bei dem das Geräusch von Kanonenfeuer wahrgenommen wurde, bevor der begleitende Offizier den Befehl „Feuer“ rief. Er stellte die Theorie auf, dass ausreichend laute Geräusche Diskontinuitäten in der Luft erzeugen könnten – in der heutigen Terminologie Stoßwellen genannt –, die sich mit einer Geschwindigkeit ausbreiten, die über der Geschwindigkeit typischer Schallwellen liegt. Um diese Hypothese zu untermauern, zeigte Earnshaw, dass eine ideale Flüssigkeit nicht zur gleichmäßigen Wellenausbreitung fähig ist, ein Konzept, das später als Earnshaw-Paradoxon anerkannt wurde.

Kompressions- und Scherwellen

In Gasen oder Flüssigkeiten manifestiert sich Schall als Kompressionswellen. In festen Materialien breiten sich Wellen jedoch in zwei unterschiedlichen Formen aus. Eine Longitudinalwelle beinhaltet Kompression und Dekompression entlang ihrer Ausbreitungsrichtung, funktioniert in Gasen und Flüssigkeiten identisch und ist analog zu einer Kompressionswelle in Festkörpern. Durch Flüssigkeiten (Gase und Flüssigkeiten) werden nur Kompressionswellen übertragen. Ein weiterer Wellentyp, die Transversalwelle, auch Scherwelle genannt, wird aufgrund ihrer Fähigkeit, elastische Verformungen zu ertragen, ausschließlich in Festkörpern beobachtet. Dieses Phänomen entsteht durch die elastische Verformung des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle; Die Ausrichtung dieser Scherverformung definiert die Polarisation der Welle. Typischerweise manifestieren sich Transversalwellen als Paar orthogonaler Polarisationen.

Diese unterschiedlichen Wellentypen – Kompressionswellen und die verschiedenen Polarisationen von Scherwellen – können selbst bei identischen Frequenzen unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten aufweisen. Folglich sind ihre Ankunftszeiten bei einem Beobachter unterschiedlich. Ein prominentes Beispiel ist ein Erdbeben, bei dem schnelle Kompressionswellen dem Eintreffen oszillierender Transversalwellen mehrere Sekunden vorausgehen.

Die Geschwindigkeit einer Kompressionswelle in einer Flüssigkeit wird durch die Kompressibilität und Dichte des Mediums bestimmt. In Festkörpern hängen Kompressionswellen analog zu denen in Flüssigkeiten auch von der Kompressibilität und der Dichte ab, werden aber zusätzlich vom Schubmodul beeinflusst. Dieser Schermodul beeinflusst Kompressionswellen durch außeraxiale elastische Energien, die die effektive Spannung und Entspannung während der Kompression modulieren. Umgekehrt wird die Geschwindigkeit von Scherwellen, die ausschließlich in Festkörpern vorkommen, ausschließlich durch den Schermodul und die Dichte des Festkörpers bestimmt.

Gleichungen

Herkömmlicherweise wird die Schallgeschwindigkeit mathematisch mit c bezeichnet, einem Symbol, das vom lateinischen Begriff celeritas abgeleitet ist und „Schnelligkeit“ bedeutet.

Für Flüssigkeiten im Allgemeinen wird die Schallgeschwindigkeit c durch die Newton-Laplace-Gleichung definiert: $c={\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}},$ wo

$K_{s}$ stellt den Steifigkeitskoeffizienten dar, insbesondere den isentropen Volumenmodul (oder bei Gasen den Volumenelastizitätsmodul);
$\rho$ bezeichnet die Dichte.

$K_{s}=\rho \left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}$ , wobei $P$ bedeutet Druck, und die Ableitung wird isentropisch ausgewertet, was eine konstante Entropie s impliziert. Dieser Ansatz ist gerechtfertigt, da die schnelle Ausbreitung einer Schallwelle es ermöglicht, ihren Prozess als adiabatisch zu betrachten, was eine wesentliche Wärmeleitung und Strahlung innerhalb eines einzelnen Druckzyklus ausschließt.

Folglich steigt die Schallgeschwindigkeit mit der Steifigkeit des Materials (definiert als der Widerstand eines elastischen Körpers gegen Verformung unter einer ausgeübten Kraft) und nimmt mit zunehmender Dichte ab. Bei idealen Gasen entspricht der Kompressionsmodul K dem Gasdruck multipliziert mit dem dimensionslosen adiabatischen Index, der für Luft unter Standarddruck- und Temperaturbedingungen etwa 1,4 beträgt.

Für allgemeine Zustandsgleichungen kann die Schallgeschwindigkeit, bezeichnet als c, mithilfe der klassischen Mechanik wie unten beschrieben abgeleitet werden:

Eine Schallwelle breitet sich mit einer Geschwindigkeit von $v$ durch eine Pipe, die mit dem $x$ Achse und besitzt eine Querschnittsfläche von $A$ .

Wenn relativistische Effekte signifikant werden, wird die Schallgeschwindigkeit mithilfe der relativistischen Euler-Gleichungen bestimmt.

In einem nichtdispersiven Medium bleibt die Schallgeschwindigkeit unabhängig von seiner Frequenz konstant, was bedeutet, dass die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung über alle Frequenzen hinweg identisch sind. Luft, die hauptsächlich aus Sauerstoff und Stickstoff besteht, ist ein Beispiel für ein nichtdispersives Medium. Luft enthält jedoch auch einen geringen Anteil an CO₂, das von Natur aus dispersiv ist und eine Ausbreitung in der Luft bei Ultraschallfrequenzen (über 28 kHz) induziert.

Umgekehrt variiert in einem dispersiven Medium die Schallgeschwindigkeit mit der Frequenz, wie durch die Dispersionsbeziehung definiert. Einzelne Frequenzkomponenten breiten sich mit ihren unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus, während die Energie der Störung mit der Gruppengeschwindigkeit fortschreitet. Ein analoges Phänomen wird bei Lichtwellen beobachtet.

Einfluss von Medieneigenschaften

Die Schallgeschwindigkeit ist nicht konstant; sie schwankt aufgrund der intrinsischen Eigenschaften der Substanz, die die Welle überträgt. Bei Festkörpern wird die Geschwindigkeit von Transversalwellen (oder Scherwellen) durch den Widerstand des Materials gegen Scherverformung unter Spannung (bekannt als Schermodul) und seine Dichte bestimmt. Longitudinalwellen (oder Kompressionswellen) in Festkörpern werden zusätzlich zur Kompressibilität des Materials von diesen beiden Faktoren beeinflusst.

In Flüssigkeiten sind nur die Kompressibilität und die Dichte des Mediums wichtige Determinanten, da Flüssigkeiten keinen Scherspannungen standhalten können. In heterogenen Flüssigkeiten, wie einer Flüssigkeit, die Gasblasen enthält, beeinflussen die Dichte der Flüssigkeit und die Kompressibilität des Gases kumulativ die Schallgeschwindigkeit, ein Phänomen, das durch den Effekt heißer Schokolade veranschaulicht wird.

Bei Gasen korreliert die adiabatische Kompressibilität über das Wärmekapazitätsverhältnis (oder den adiabatischen Index) direkt mit dem Druck. Gleichzeitig weisen Druck und Dichte eine umgekehrte Beziehung zu Temperatur und Molekulargewicht auf. Folglich sind nur die wirklich unabhängigen Eigenschaften von Temperatur und Molekülstruktur entscheidend, da daraus das Wärmekapazitätsverhältnis abgeleitet werden kann, obwohl das Molekulargewicht allein für seine Bestimmung nicht ausreicht.

Schall breitet sich in Gasen mit niedrigeren Molekulargewichten, wie etwa Helium, schneller aus als in schwereren Gasen wie Xenon. Bei einatomigen Gasen beträgt die Schallgeschwindigkeit etwa 75 % der durchschnittlichen Atomgeschwindigkeit innerhalb dieses Gases.

Für ein bestimmtes ideales Gas mit einer festen molekularen Zusammensetzung ist die Schallgeschwindigkeit ausschließlich temperaturabhängig. Bei konstanter Temperatur hat der Gasdruck keinen Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit, da eine Zunahme der Dichte, die proportional zum Druck ist, Auswirkungen auf die Schallgeschwindigkeit hat, die denen des Drucks gleich und entgegengesetzt sind, was zu einer präzisen Aufhebung führt. Während Kompressionswellen in Festkörpern ebenso wie in Flüssigkeiten sowohl auf der Kompressibilität als auch auf der Dichte beruhen, vereinfacht in Gasen der Beitrag der Dichte zur Kompressibilität die Beziehung. Damit hängt die Schallgeschwindigkeit nur noch von der Temperatur, dem Molekulargewicht und dem Wärmekapazitätsverhältnis ab, das unabhängig aus Temperatur und molekularer Zusammensetzung bestimmt werden kann. Folglich ist die Schallgeschwindigkeit für ein bestimmtes Gas (unter der Annahme eines konstanten Molekulargewichts) und innerhalb eines engen Temperaturbereichs (in dem die Wärmekapazität relativ stabil bleibt) ausschließlich eine Funktion der Temperatur des Gases.

Unter Bedingungen nicht idealen Gasverhaltens, bei denen die Van-der-Waals-Gleichung anwendbar ist, ist die Proportionalität ungenau, was zu einer geringen Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Gasdruck führt.

Die Luftfeuchtigkeit übt einen geringen, aber quantifizierbaren Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit aus und erhöht sie typischerweise um etwa 0,1 % bis 0,6 %. Dies geschieht, weil leichtere Wassermoleküle schwerere Sauerstoff- und Stickstoffmoleküle in der Luft verdrängen, was ein einfaches Mischungsphänomen darstellt.

Höhenvariation und ihre Folgen für die atmosphärische Akustik

Innerhalb der Erdatmosphäre ist die Temperatur der wichtigste Bestimmungsfaktor für die Schallgeschwindigkeit. Für ein bestimmtes ideales Gas mit konstanter Wärmekapazität und Zusammensetzung hängt die Schallgeschwindigkeit ausschließlich von der Temperatur ab. In diesem idealisierten Szenario heben sich die Auswirkungen der verringerten Dichte und des Drucks in größeren Höhen gegenseitig auf, so dass nur der verbleibende Einfluss der Temperatur übrig bleibt.

Da die Temperatur und damit die Schallgeschwindigkeit mit zunehmender Höhe bis zu 11 km abnimmt, werden Schallwellen nach oben gebrochen, wodurch sie von bodennahen Beobachtern abgelenkt werden und dadurch in einer bestimmten Entfernung von der Schallquelle eine akustische Schattenzone entstehen. Diese Verringerung der Schallgeschwindigkeit mit zunehmender Höhe wird als negativer Schallgeschwindigkeitsgradient bezeichnet.

Über 11 km hinaus weist dieses Muster deutliche Variationen auf. Insbesondere in der Stratosphäre, in Höhen über etwa 20 km, nimmt die Schallgeschwindigkeit mit zunehmender Höhe zu. Dieses Phänomen wird auf einen Temperaturanstieg infolge von Erwärmungsprozessen innerhalb der Ozonschicht zurückgeführt. Folglich weist diese Zone einen positiven Schallgeschwindigkeitsgradienten auf. Darüber hinaus wird in extrem großen Höhen, insbesondere in der Thermosphäre über 90 km, eine weitere Region mit einem positiven Gradienten beobachtet.

Detaillierte Analyse

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen und atmosphärischer Luft

Im Kontext eines idealen Gases wird der Kompressionsmodul, bezeichnet als K (entspricht C, dem Steifigkeitskoeffizienten in festen Materialien, wie in den vorhergehenden Gleichungen angegeben), durch den folgenden Ausdruck definiert: $K=\gamma \cdot p.$ Ausgehend von der oben genannten Newton-Laplace-Gleichung lässt sich die Geschwindigkeit der Schallausbreitung innerhalb eines idealen Gases wie folgt formulieren: $c={\sqrt {\gamma \cdot {p \over \rho }}},$ wo:

γ stellt den adiabatischen Index dar, der auch als isentropischer Expansionsfaktor bezeichnet wird. Dieser Parameter ist definiert als das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Druck zu seiner spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen ( $C_{p}/C_{v}$ ). Seine Bedeutung ergibt sich aus der adiabatischen Kompression, die durch eine klassische Schallwelle hervorgerufen wird, wobei der bei der Kompression erzeugten Wärme nicht genügend Zeit fehlt, um sich vom Druckimpuls zu lösen, wodurch der durch die Kompression erzeugte Druck erhöht wird;
p bezeichnet den absoluten Druck;
ρ bezeichnet die Massendichte des Gases.

By applying the ideal gas law, substituting p with nRT/V, and replacing ρ with nM/V, the resulting equation for an ideal gas is formulated as: ${\begin{aligned}c_{\mathrm {ideal} }&={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}\\&={\sqrt {\frac {1.380649\cdot 10^{-23}\cdot \gamma T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {8.314\gamma T}{M}}}\\&{\begin{cases}&={\sqrt {\frac {1.9329086\cdot 10^{-23}\cdot T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {11.640T}{M}}},&&\gamma ={\frac {7}{5}}\\&\approx {\sqrt {\frac {2.301\cdot 10^{-23}\cdot T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {13.857T}{M}}},&&\gamma ={\frac {5}{3}}\\&\approx {\sqrt {\frac {1.840\cdot 10^{-23}\cdot T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {11.086T}{M}}},&&\gamma ={\frac {4}{3}}\\\end{cases}}\\c_{\mathrm {dry\ air} }&\approx 20.04687087513010149970678963{\sqrt {T}}\end{aligned}}$ 121§ − §126127§ ⋅ γ T m ≈ 8.314 γ T M { = 1.9329086 ⋅ §191192§ − §197198§ ⋅ T m ≈ 11.640 T M , γ = §242243§ §244245§ ≈ 2.301 ⋅ §267268§ − §273274§ ⋅ T m ≈ 13.857 T M , γ = §318319§ §320321§ ≈ 1.840 ⋅ §343344§ − §349350§ ⋅ T m ≈ 11.086 T M , γ = §394395§ §396397§ c d r y a i r ≈ 20.04687087513010149970678963 T {\displaystyle {\begin{aligned}c_{\mathrm {ideal} }&={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}\\&={\sqrt {\frac {1.380649\cdot 10^{-23}\cdot \gamma T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {8.314\gamma T}{M}}}\\&{\begin{cases}&={\sqrt {\frac {1.9329086\cdot 10^{-23}\cdot T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {11.640T}{M}}},&&\gamma ={\frac {7}{5}}\\&\approx {\sqrt {\frac {2.301\cdot 10^{-23}\cdot T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {13.857T}{M}}},&&\gamma ={\frac {5}{3}}\\&\approx {\sqrt {\frac {1.840\cdot 10^{-23}\cdot T}{m}}}\approx {\sqrt {\frac {11.086T}{M}}},&&\gamma ={\frac {4}{3}}\\\end{cases}}\\c_{\mathrm {dry\ air} }&\approx 20.04687087513010149970678963{\sqrt {T}}\end{aligned}}} where

c_ideal stellt die Schallgeschwindigkeit innerhalb eines idealen Gases dar.
p bezeichnet den Druck.
ρ bezeichnet die Dichte.
γ (Gamma) stellt den adiabatischen Index dar. Gemäß der kinetischen Theorie beträgt der Wert für zweiatomige Gase (z. B. Sauerstoff und Stickstoff) bei Raumtemperatur, wo die Wärmeenergie vollständig in Rotationsmodi verteilt ist (was eine vollständige Rotationsanregung anzeigt), Quanteneffekte jedoch die Anregung von Schwingungsmodi hemmen, 7/5 = 1,400. Experimentell wurde für Luft bei 0 °C ein Gammawert im Bereich von 1,3991 bis 1,403 gemessen. Für einatomige Gase (z. B. Argon) beträgt Gamma genau 5/3 = 1,667, während dies für nichtkollineare dreiatomige Gase wie
H
§1819§O der Fall ist 4/3 = 1,333 (ein kollineares dreiatomiges Gas wie
CO
§2930§ wird für diese Berechnungen als äquivalent zu einem zweiatomigen Gas angesehen). Darüber hinaus weist
γ eine Temperaturabhängigkeit auf, die bei niedrigeren Temperaturen zunimmt und bei höheren Temperaturen abnimmt. In trockener Luft beträgt der Wert beispielsweise ungefähr 1,404 bei 258,15 K, 1,400 bei 293,15 K und 1,398 bei 473,15 K.
R stellt die molare Gaskonstante dar, die 8,31446261815324 J⋅mol⁻¹⋅K⁻¹‍ beträgt.
k bezeichnet die Boltzmann-Konstante mit einem Wert von 1,380649×10⁻²³ J⋅K⁻¹‍.
T bezeichnet die absolute Temperatur.
M bezieht sich auf die Molmasse des Gases. Für trockene Luft beträgt die durchschnittliche Molmasse etwa 28,9647 g/mol (entspricht 0,0289647 kg/mol).
n gibt die Anzahl der Mol an.
m stellt die Masse eines einzelnen Moleküls dar.

Diese Gleichung gilt ausschließlich, wenn die Schallwelle eine geringfügige Störung der Umgebungsbedingungen darstellt und wenn andere spezifizierte Kriterien, die im Folgenden näher erläutert werden, erfüllt sind. Es wurden Diskrepanzen zwischen den berechneten Werten für c_Luft und den experimentell ermittelten Werten beobachtet.

Isaac Newton analysierte bekanntermaßen die Schallgeschwindigkeit, bevor er bedeutende Fortschritte in der Thermodynamik machte, verwendete jedoch fälschlicherweise isotherme statt adiabatische Berechnungen. Folglich fehlte seinem abgeleiteten Ergebnis der Faktor γ, obwohl es ansonsten genau war.

Die numerische Substitution der oben genannten Werte ergibt die ideale Gasnäherung für die Schallgeschwindigkeit in Gasen, die bei relativ niedrigen Gasdrücken und -dichten ihre Genauigkeit beibehält; Für die Luft umfasst dies die normalen Meeresspiegelbedingungen auf der Erde. Darüber hinaus erfordert die Anwendung von γ = 1,4000 bei zweiatomigen Gasen, dass sich das Gas in einem Temperaturbereich befindet, der ausreichend hoch ist, um eine vollständige Anregung der Rotationswärmekapazität sicherzustellen (was bedeutet, dass die molekulare Rotation vollständig als Wärmeenergiespeicher fungiert). Gleichzeitig muss die Temperatur niedrig genug sein, um zu verhindern, dass molekulare Schwingungsmoden zur Wärmekapazität beitragen (was eine vernachlässigbare Wärmeübertragung in Schwingungen impliziert, da Schwingungsquantenmoden jenseits des Zustands minimaler Energie zu hohe Energien besitzen, als dass sie bei dieser Temperatur nennenswert von Molekülen besiedelt werden könnten). Für Luft sind diese Bedingungen bei Raumtemperatur und deutlich darunter liegenden Temperaturen erfüllt.

Für Luft wird die folgende Kurzschreibweise eingeführt: $R_{*}=R/M_{\mathrm {air} }.$

Letztendlich ergibt die binomiale Näherung der verbleibenden Quadratwurzel, basierend auf der Annahme, dass θ vernachlässigbar klein ist, den folgenden Ausdruck:

Bei null Grad Celsius führt die binomiale Näherung zu keiner Ungenauigkeit; Beim Parameter γ ist dies jedoch der Fall, da vollkommen trockene Luft bei dieser Temperatur ein Wärmekapazitätsverhältnis von etwa 1,403 aufweist. Die korrigierte Formulierung ist unten dargestellt:

${\begin{aligned}\gamma &=1.403~({\text{trockene Luft bei }}\theta =0)\\c_{\mathrm {Luft} }&\ca. 331.67{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\times \left(1+{\frac {\theta }{546,3}}\right)\\&\ca. 331,67{\frac {\text{m}}{\text{s}}}+0,607\theta {\frac {\mathrm {m} }{\text{s}}}\end{aligned}}$ 35§ ) c a i r ≈ 331,67 m s × ( §8081§ + θ 546.3 ) ≈ 331,67 m s + 0,607 θ m s {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=1.403~({\text{trockene Luft bei }}\theta =0)\\c_{\mathrm {Luft} }&\ approx 331.67{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\times \left(1+{\frac {\theta }{546.3}}\right)\\&\about 331.67{\frac {\text{m}}{\text{s}}}+0.607\theta {\frac {\mathrm {m} }{\text{s}}}\end{aligned}}

Eine grafische Darstellung veranschaulicht die abgeleiteten Vergleichsergebnisse aus den beiden Gleichungen, wobei ein verfeinerter Wert von 331,5 m/s (1.088 ft/s) für die Schallgeschwindigkeit bei 0 °C verwendet wird.

Auswirkungen von Windscherung

Die Schallgeschwindigkeit hängt von der Temperatur ab. Da sowohl die Temperatur als auch die Schallgeschwindigkeit typischerweise mit zunehmender Höhe abnehmen, werden Schallwellen nach oben gebrochen, wodurch sie von bodennahen Beobachtern abgelenkt werden und infolgedessen in einer bestimmten Entfernung von der Emissionsquelle eine akustische Schattenzone entsteht. Eine Windscherung von 4 m/(s · km) kann eine Brechung induzieren, die einer Standard-Temperaturabfallrate von 7,5 °C/km entspricht. Umgekehrt führen erhöhte Windgradientenwerte dazu, dass der Schall in Windrichtung nach unten zur Oberfläche hin gebrochen wird, wodurch der akustische Schatten auf dieser Seite abgeschwächt wird. Dieses Phänomen erhöht die Hörbarkeit von Geräuschen im Leebereich. Diese Brechung in Windrichtung ist in erster Linie auf das Vorhandensein eines Windgradienten zurückzuführen und nicht auf die direkte Schalladvektion durch den Wind selbst.

Zum Zweck der Schallausbreitungsanalyse kann die exponentielle Beziehung zwischen Windgeschwindigkeit und Höhe mathematisch wie folgt ausgedrückt werden: ${\begin{aligned}U(h)&=U(0)h^{\zeta },\\{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} h}}(h)&=\zeta {\frac {U(h)}{h}},\end{aligned}}$ 29§ ) h ζ , d U d h ( h ) = ζ U ( h ) h , {\displaystyle {\begin{aligned}U(h)&=U(0)h^{\zeta },\\{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} h}}(h)&=\zeta {\frac {U(h)}{h}},\end{aligned}}} wo

U(h) stellt die Windgeschwindigkeit in einer bestimmten Höhe h;
ζ bezeichnet den Exponentialkoeffizienten, der durch die Bodenoberflächenrauheit bestimmt wird und im Allgemeinen im Bereich von 0,08 bis 0,52 liegt;
dU/dh(h) bezeichnet die momentane Änderungsrate der Windgeschwindigkeit in Bezug auf die Höhe h und zeigt Proportionalität zum erwarteten Windgradienten bei konstanter Höhe h.

Während der Schlacht von Iuka im Amerikanischen Bürgerkrieg im Jahr 1862 verhinderte ein akustischer Schatten, der angeblich durch einen Nordostwind verstärkt wurde, zwei Divisionen von Unionssoldaten am Kampf. Dies geschah, weil sie die Geräusche der Schlacht nicht wahrnehmen konnten, obwohl sie nur 10 km (sechs Meilen) vor dem Wind positioniert waren.

Tabellen

Unter normalen atmosphärischen Bedingungen:

Bei T§23§, was 273,15 K (= 0 °C = 32 °F) entspricht, beträgt die theoretische Schallgeschwindigkeit 331,3 m/s (= §2223§086,9 ft/s = 1193 km/h = 741,1 mph = 644,0 kn). In der Referenzliteratur können jedoch Werte zwischen 331,3 und 331,6 m/s
Bei T₂₀, entsprechend 293,15 K (= 20 °C = 68 °F), beträgt die Schallgeschwindigkeit 343,2 m/s (= §2223§126.0 ft/s = 1236 km/h = 767,8 mph = 667,2 kn);
Bei T₂₅, also 298,15 K (= 25 °C = 77 °F), beträgt die Schallgeschwindigkeit 346,1 m/s (= §2223§135.6 ft/s = 1246 km/h = 774.3 mph = 672.8 kn).

Grundsätzlich hängt die Schallgeschwindigkeit, die als c bezeichnet wird, für ein ideales Gas ausschließlich von seiner Temperatur und Zusammensetzung ab und ist unabhängig von Druck oder Dichte (da diese Parameter bei einer konstanten Temperatur kovariieren und sich gegenseitig effektiv aufheben). Da Luft einem idealen Gas nahekommt, führen ihre Temperaturschwankungen mit der Höhe zu entsprechenden Schwankungen der Schallgeschwindigkeit innerhalb der Standardatmosphäre; Allerdings können die tatsächlichen Umgebungsbedingungen abweichen.

Unter typischen atmosphärischen Bedingungen variieren sowohl die Temperatur als auch die Schallgeschwindigkeit mit zunehmender Höhe:

Auswirkung von Frequenz und Gaszusammensetzung

Allgemeine physikalische Überlegungen

Das Medium, durch das sich eine Schallwelle ausbreitet, zeigt nicht durchgängig adiabatisches Verhalten, was zu Schwankungen der Schallgeschwindigkeit als Funktion der Frequenz führen kann.

Das Konzept der Schallgeschwindigkeit wird durch extreme Dämpfung erheblich eingeschränkt. Die auf Meereshöhe vorherrschende Hochfrequenzdämpfung erstreckt sich auf zunehmend niedrigere Frequenzen, wenn der Atmosphärendruck abnimmt oder die mittlere freie Weglänge zunimmt. Folglich nimmt die Anwendbarkeit des Schallgeschwindigkeitskonzepts (mit Ausnahme von Frequenzen nahe Null) in größeren Höhen erheblich ab. Die Standardgleichungen für die Schallgeschwindigkeit sind nur dann genau anwendbar, wenn die Wellenlänge der Schallwelle wesentlich größer ist als die mittlere freie Weglänge der Gasmoleküle.

Die molekulare Zusammensetzung eines Gases, die sowohl die Masse (M) seiner Moleküle als auch ihre Wärmekapazitäten umfasst, beeinflusst die Schallgeschwindigkeit erheblich. Im Allgemeinen weisen einatomige Gase bei Gasen mit identischer Molekülmasse eine etwas höhere Schallgeschwindigkeit (über 9 %) im Vergleich zu zweiatomigen Gasen auf. Dieser Unterschied entsteht, weil einatomige Gase ein höheres γ (5/3 = 1,66...) besitzen als zweiatomige Gase (7/5 = 1,4). Folglich erhöht sich die Schallgeschwindigkeit in einem einatomigen Gas bei konstanter Molekülmasse um einen Faktor, der ausgedrückt wird als: ${c_{\mathrm {gas,monatomic} } \over c_{\mathrm {gas,diatomic} }}={\sqrt {{5/3} \over {7/5}}}={\sqrt {25 \over 21}}=1.091\ldots$ 89§ / §9495§ §9899§ / §104105§ = §115116§ §117118§ = 1.091 … {\displaystyle {c_{\mathrm {gas,monatomic} } \over c_{\mathrm {gas,diatomic} }}={\sqrt {{5/3} \over {7/5}}}={\sqrt {25 \over 21}}=1.091\ldots }

Diese Berechnung berücksichtigt den etwa 9-prozentigen Unterschied und stellt ein charakteristisches Verhältnis der Schallgeschwindigkeiten bei Raumtemperatur dar, beispielsweise zwischen Helium und Deuterium, die beide ein Molekulargewicht von 4 haben. Schall breitet sich in Helium schneller aus als in Deuterium, da die adiabatische Kompression in Helium mehr Wärme erzeugt. Dies liegt daran, dass Heliummoleküle, da sie einatomig sind, Wärmeenergie aus der Kompression ausschließlich durch Translationsbewegung und nicht durch Rotationsbewegung speichern können. Folglich bewegen sich einatomige Heliummoleküle innerhalb einer Schallwelle schneller, was zu einer schnelleren Schallübertragung führt. Bemerkenswert ist, dass sich Schall typischerweise mit etwa 70 % der mittleren molekularen Geschwindigkeit in Gasen ausbreitet, insbesondere 75 % in einatomigen Gasen und 68 % in zweiatomigen Gasen.

In diesem Beispiel wird eine ausreichend niedrige Temperatur angenommen, bei der molekulare Schwingungen die Wärmekapazität nicht beeinflussen. Schwingungsmoden führen typischerweise dazu, dass der adiabatische Index (Gamma) in Richtung 1 abnimmt. Dies liegt daran, dass Schwingungsmoden in einem mehratomigen Gas zusätzliche Mechanismen zur Wärmespeicherung bereitstellen, die keinen Einfluss auf die Temperatur haben und daher keinen Einfluss auf die Molekül- oder Schallgeschwindigkeit haben. Folglich verstärkt der kombinierte Effekt von erhöhten Temperaturen und Schwingungswärmekapazität die Unterschiede in der Schallgeschwindigkeit zwischen einatomigen und mehratomigen Molekülen, wobei einatomige Gase durchweg eine höhere Schallgeschwindigkeit aufweisen.

Praktische Anwendungen in der Luft

Die Temperatur ist der wichtigste Einflussfaktor auf die Schallgeschwindigkeit in der Luft. Diese Geschwindigkeit ist proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur, was zu einem ungefähren Anstieg von 0,6 m/s pro Grad Celsius führt. Folglich steigt die Tonhöhe eines Musikblasinstruments mit steigender Betriebstemperatur.

Feuchtigkeit trägt auch zu einer Erhöhung der Schallgeschwindigkeit bei. Der Unterschied zwischen 0 % und 100 % Luftfeuchtigkeit beträgt unter normalen Druck- und Temperaturbedingungen etwa 1,5 m/s; Das Ausmaß dieses Feuchtigkeitseffekts nimmt jedoch mit steigender Temperatur erheblich zu.

In der Praxis ist der Einfluss von Frequenz und Druck auf die Schallgeschwindigkeit normalerweise vernachlässigbar. In trockener Luft nimmt die Schallgeschwindigkeit um etwa 0,1 m/s zu, wenn die Frequenz von 10 Hz auf 100 Hz ansteigt. Bei hörbaren Frequenzen über 100 Hz bleibt diese Geschwindigkeit vergleichsweise konstant. Standardwerte für die Schallgeschwindigkeit werden herkömmlicherweise bei niedrigen Frequenzen angegeben, bei denen die Wellenlänge die mittlere freie Weglänge deutlich überschreitet.

Der ungefähre Wert von 1000/3, entsprechend 333,33 ... m/s, entspricht genau der Schallgeschwindigkeit etwas unter 5 °C. Dieser Wert dient als verlässlicher Näherungswert für typische Umgebungstemperaturen, insbesondere in gemäßigten Klimazonen. Daher besteht eine übliche Heuristik zur Schätzung der Entfernung zu einem Blitzeinschlag darin, die Sekunden zwischen der Beobachtung des Blitzes und dem Hören des Donners zu zählen und diese Zeit dann durch 3 zu dividieren, um die Entfernung in Kilometern zu erhalten. Alternativ kann man die Anzahl der Sekunden durch 5 dividieren, um eine ungefähre Entfernung in Meilen zu erhalten.

Mach-Nummer

Die Machzahl, ein kritischer Parameter in der Aerodynamik, stellt das Verhältnis der Fluggeschwindigkeit eines Objekts zur lokalen Schallgeschwindigkeit dar. In größeren Höhen ist die Mach-Zahl eng mit der Temperatur verknüpft. Dennoch bestimmen Flugzeugfluginstrumente die Mach-Zahl eher durch Druckunterschiede als durch direkte Temperaturmessungen. Dieser betriebliche Ansatz basiert auf der Annahme, dass ein bestimmter Druck einer bestimmten Höhe und damit auch einer Standardtemperatur entspricht. Eine solche Methodik ist aufgrund der Tatsache erforderlich, dass der von einem Staurohr erfasste Staudruck sowohl von der Höhe als auch von der Fluggeschwindigkeit beeinflusst wird.

Experimentelle Methoden

Für die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in einem atmosphärischen Medium stehen verschiedene Methoden zur Verfügung.

William Derham führte die früheste nachweislich genaue Schätzung der Schallgeschwindigkeit in Luft durch, ein Beitrag, der von Isaac Newton anerkannt wurde. Derham positionierte ein Teleskop auf dem Turm der Kirche St. Laurence in Upminster, England. Bei ruhigem Wetter feuerte ein mit einer synchronisierten Taschenuhr ausgestatteter Assistent zu einem vorher vereinbarten Zeitpunkt von einem prominenten, mehrere Meilen entfernten Ort in der Landschaft aus eine Schrotflinte ab, ein Ereignis, das durch ein Teleskop nachweisbar war. Anschließend maß Derham mithilfe eines Halbsekundenpendels den zeitlichen Abstand zwischen dem Beobachten des Gewehrrauchs und dem Hören des Geräuschs. Durch Triangulation wurde die Entfernung zum Schusspunkt der Kanone ermittelt und anschließend durch einfache Division (Entfernung/Zeit) die Geschwindigkeit berechnet. Durch zahlreiche Beobachtungen über unterschiedliche Entfernungen hinweg wurden die inhärenten Ungenauigkeiten des Halbsekundenpendels durch Mittelung gemildert, was zu seiner endgültigen Schätzung der Schallgeschwindigkeit führte. Moderne Stoppuhren ermöglichen nun die Anwendung dieser Methode über kürzere Distanzen von 200 bis 400 Metern, ohne dass eine so starke Schallquelle wie eine Schrotflinte erforderlich ist.

Single-Shot-Timing-Methoden

Der einfachste konzeptionelle Ansatz besteht darin, die Messung mit zwei Mikrofonen und einem Hochgeschwindigkeitsaufzeichnungsgerät, beispielsweise einem digitalen Speicheroszilloskop, durchzuführen. Diese Methode basiert auf dem nachfolgenden Prinzip.

Wenn eine Schallquelle und zwei Mikrofone linear ausgerichtet sind und die Quelle an einem Ende positioniert ist, werden die folgenden Parameter messbar:

Der räumliche Abstand zwischen den Mikrofonen (x), bezeichnet als Mikrofonbasis.
Der zeitliche Unterschied in der Signalankunft (t) an den jeweiligen Mikrofonen.

Folglich wird die Geschwindigkeit v durch die Gleichung x/t.

bestimmt

Alternative Methoden

Bei diesen alternativen Ansätzen wird die direkte Messung der Zeit durch die Messung ihres Kehrwerts, nämlich der Frequenz, ersetzt.

Kundts Röhre ist ein Beispiel für einen Versuchsaufbau, der zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit innerhalb eines begrenzten Volumens geeignet ist. Ein bemerkenswerter Vorteil dieser Technik ist ihre Anwendbarkeit zur Messung der Schallgeschwindigkeit in jedem gasförmigen Medium. Bei dieser Methode wird ein feines Pulver verwendet, um die akustischen Knoten und Bäuche visuell erkennbar zu machen. Es stellt eine kompakte und effiziente experimentelle Konfiguration dar.

Wenn eine Stimmgabel in der Nähe der Öffnung eines langen Rohrs positioniert wird, das teilweise in Wasser eingetaucht ist, kann das Rohr Resonanz erzeugen. Dies tritt auf, wenn die Länge der Luftsäule im Rohr (1 + 2n)λ/4 entspricht, wobei n eine ganze Zahl darstellt. Da der Antinodalpunkt am offenen Ende des Rohrs etwas über dessen Mündung hinausragt, besteht eine genauere Messung darin, zwei oder mehr Resonanzpunkte zu identifizieren und anschließend eine halbe Wellenlänge zwischen ihnen zu bestimmen.

Die Beziehung zwischen diesen Variablen wird durch die Gleichung v = fλ ausgedrückt.

Hochpräzise Messungen in Luft

Verunreinigungen beeinflussen die Genauigkeit hochpräziser Schallgeschwindigkeitsmessungen erheblich. Während chemische Trockenmittel die Luft trocknen können, führen sie gleichzeitig zu Verunreinigungen. Bei der kryogenen Trocknung, einer anderen Methode, wird neben der Feuchtigkeit auch Kohlendioxid entfernt, was in vielen hochpräzisen Studien dazu geführt hat, kohlendioxidfreie Luft anstelle natürlicher atmosphärischer Luft zu verwenden. In einer Überprüfung aus dem Jahr 2002 wurde festgestellt, dass eine Messung von Smith und Harlow aus dem Jahr 1963, bei der ein zylindrischer Resonator zum Einsatz kam, „den bisher wahrscheinlichsten Wert der Standardschallgeschwindigkeit“ lieferte. Die Ergebnisse dieses Experiments, das zunächst mit Luft ohne Kohlendioxid durchgeführt wurde, wurden anschließend angepasst, um sie auf natürliche Luft anwendbar zu machen. Obwohl die Experimente bei 30 °C durchgeführt wurden, wurden die gemeldeten Werte auf 0 °C temperaturkorrigiert. Die resultierende Schallgeschwindigkeit für trockene Luft bei Standardtemperatur und -druck (STP) betrug 331,45 ± 0,01 m/s, gültig für Frequenzen von 93 Hz bis 1.500 Hz.

Nicht gasförmige Medien

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Dreidimensionale Körper

Ein festes Material weist als Reaktion auf volumetrische und Scherverformungen eine Steifigkeit ungleich Null auf. Folglich können sich Schallwellen je nach Art der Verformung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durch Festkörper ausbreiten. Schallwellen, die Volumenänderungen (Kompression) hervorrufen, werden als Druckwellen (oder Longitudinalwellen) bezeichnet, während diejenigen, die Scherverformungen (Scherungen) verursachen, als Scherwellen (oder Transversalwellen) bezeichnet werden. Im Zusammenhang mit Erdbeben werden diese entsprechenden seismischen Phänomene als P-Wellen (Primärwellen) bzw. S-Wellen (Sekundärwellen) bezeichnet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeiten dieser beiden Wellentypen innerhalb eines homogenen, dreidimensionalen Festkörpers werden mathematisch wie folgt ausgedrückt: )(1-2\nu )}}},}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> c s o l i d , p = K + §4041§ §4243§ G ρ = E ( §6566§ − ν ) ρ ( §8283§ + ν ) ( §9394§ − §98 $c_{\mathrm {solid,p} }={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{\rho (1+\nu )(1-2\nu )}}},$ , {\displaystyle c_{\mathrm {solid,p} }={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{\rho (1+\nu )(1-2\nu )}}}, $c_{\mathrm {solid,s} }={\sqrt {\frac {G}{\rho }}},$ wobei:

K stellt den Kompressionsmodul des elastischen Materials dar;
G bezeichnet den Schubmodul des elastischen Materials;
E bedeutet Elastizitätsmodul;
ρ gibt die Dichte des Materials an;
ν bezieht sich auf die Poissonzahl.

Es ist wichtig zu beachten, dass die letzte Größe, die Poissonzahl, keine unabhängige Variable ist, wie die Beziehung E = 3K(1 − 2ν) zeigt. Die Geschwindigkeit von Druckwellen wird sowohl vom Druck- als auch vom Scherwiderstand des Materials beeinflusst, während die Geschwindigkeit von Scherwellen ausschließlich von seinen Schereigenschaften bestimmt wird.

Im Allgemeinen breiten sich Druckwellen mit einer höheren Geschwindigkeit durch Materialien aus als Scherwellen. Dieses Phänomen erklärt, warum die Anfangsphase eines Erdbebens häufig durch einen schnellen vertikalen Schock gekennzeichnet ist, der vor dem Eintreffen von Wellen auftritt, die eine seitliche Bewegung induzieren. Beispielsweise würde eine repräsentative Stahllegierung mit einem Kompressionsmodul K von 170 GPa, einem Schermodul G von 80 GPa und einer Dichte p von 7700 kg/m§1415§ eine Druckwellengeschwindigkeit c_solid,p von ungefähr aufweisen 6.000 m/s. Dieser berechnete Wert stimmt gut mit einem experimentell ermittelten c_solid,p von 5.930 m/s für eine potenziell unterschiedliche Stahlzusammensetzung überein. Unter Verwendung derselben Parameter wird die Scherwellengeschwindigkeit c_solid,s auf 3.200 m/s geschätzt.

Die Schallgeschwindigkeit in Halbleiterfestkörpern kann eine erhebliche Empfindlichkeit gegenüber der Konzentration der in ihrer Struktur vorhandenen elektronischen Dotierstoffe aufweisen.

Eindimensionale Volumenkörper

Bei steifen Materialien wie Metallen wird die Schallgeschwindigkeit für Druckwellen gelegentlich für „lange Stäbe“ des Materials angegeben, eine Konfiguration, die die Messung erleichtert. Wenn der Durchmesser solcher Stäbe kleiner als eine Wellenlänge ist, kann die Geschwindigkeit reiner Druckwellen vereinfacht werden und wird ausgedrückt als: class="MJX-TeXAtom-ORD"> c s o l i d = E ρ , {\displaystyle c_{\mathrm {solid} }={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}, wobei E stellt den Elastizitätsmodul dar. Diese Formulierung entspricht dem Ausdruck für Scherwellen, wobei der Elastizitätsmodul den Schermodul ersetzt. Die Geschwindigkeit von Druckwellen in langen Stäben wird durchweg geringfügig niedriger sein als die in homogenen dreidimensionalen Festkörpern, wobei das Verhältnis zwischen diesen Geschwindigkeiten von der Poissonzahl des Materials abhängt.

Akustische Geschwindigkeit in Flüssigkeiten

Innerhalb einer Flüssigkeit bezieht sich die einzige Steifigkeit ungleich Null auf volumetrische Verformung, da Flüssigkeiten nicht in der Lage sind, Scherkräften standzuhalten.

Folglich wird die Schallgeschwindigkeit innerhalb einer Flüssigkeit durch die folgende Gleichung bestimmt: $c_{\mathrm {fluid} }={\sqrt {\frac {K}{\rho }}},$ wobei K den Kompressionsmodul der Flüssigkeit bezeichnet.

Akustische Ausbreitung in Wasser

Im Süßwasser breitet sich der Schall bei einer Temperatur von 20 °C mit etwa 1481 m/s aus. Unterwasserschall findet Anwendung in Sonarsystemen, akustischer Kommunikation und akustischer Ozeanographie.

Akustische Ausbreitung im Meerwasser

In salzhaltigem Wasser ohne Luftblasen und Schwebstoffe breitet sich Schall mit etwa 1500 m/s aus (insbesondere §67§500.235 m/s bei 1000 Kilopascal, 10 °C und 3 % Salzgehalt, gemäß einer Methode). Die Schallgeschwindigkeit im Meerwasser wird durch Druck (und folglich Tiefe), Temperatur (wobei eine Änderung von 1 °C etwa 4 m/s entspricht) und Salzgehalt (eine Änderung von 1 ‰ entspricht etwa 1 m/s) beeinflusst; Es wurden empirische Gleichungen entwickelt, um die Schallgeschwindigkeit auf der Grundlage dieser Parameter präzise zu berechnen. Zusätzliche Einflussfaktoren auf die Schallgeschwindigkeit werden als vernachlässigbar angesehen. Da die Temperatur in den meisten Meeresregionen im Allgemeinen mit zunehmender Tiefe abnimmt, nimmt das Schallgeschwindigkeitsprofil ab und erreicht in Tiefen von mehreren hundert Metern ein Minimum. Über dieses Minimum hinaus steigt die Schallgeschwindigkeit anschließend an, da der Einfluss des steigenden Drucks den Einfluss der sinkenden Temperatur überwiegt. Dushaw et al. Geben Sie weitere Details zu diesem Thema an.

Mackenzie entwickelte eine empirische Gleichung zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit im Meerwasser, ausgedrückt wie folgt: $c(T,S,z)=a_{1}+a_{2}T+a_{3}T^{2}+a_{4}T^{3}+a_{5}(S-35)+a_{6}z+a_{7}z^{2}+a_{8}T(S-35)+a_{9}Tz^{3},$ 29§ + a §38 $c(T,S,z)=a_{1}+a_{2}T+a_{3}T^{2}+a_{4}T^{3}+a_{5}(S-35)+a_{6}z+a_{7}z^{2}+a_{8}T(S-35)+a_{9}Tz^{3},$ T + a §5051§ T §58 $c(T,S,z)=a_{1}+a_{2}T+a_{3}T^{2}+a_{4}T^{3}+a_{5}(S-35)+a_{6}z+a_{7}z^{2}+a_{8}T(S-35)+a_{9}Tz^{3},$ + a §6869§ T §7677§ + a §8687§ ( S − §9798§ ) + a §107108§ z + a §119120§ z §127 $c(T,S,z)=a_{1}+a_{2}T+a_{3}T^{2}+a_{4}T^{3}+a_{5}(S-35)+a_{6}z+a_{7}z^{2}+a_{8}T(S-35)+a_{9}Tz^{3},$ + a §137138§ T ( S − §150151§ ) + a §160161§ T z §170171§ , {\displaystyle c(T,S,z)=a_{1}+a_{2}T+a_{3}T^{2}+a_{4}T^{3}+a_{5}(S-35)+a_{6}z+a_{7}z^{2}+a_{8}T(S-35)+a_{9}Tz^{3}, wobei:

T stellt die Temperatur dar, gemessen in Grad Celsius.
S bezeichnet den Salzgehalt, ausgedrückt in Promille.
z gibt die Tiefe an, angegeben in Metern.

Die Konstanten a§23§, a§6_{7§, ..., a§1011§ sind wie folgt definiert:}

Das Diagramm Schallgeschwindigkeit vs. Tiefe korreliert nicht direkt mit der MacKenzie-Formel, da Temperatur und Salzgehalt in unterschiedlichen Tiefen schwanken. Wenn jedoch T (Temperatur) und S (Salzgehalt) als Konstanten beibehalten werden, zeigt die Formel durchweg eine Zunahme mit der Tiefe an.

Alternative Gleichungen zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit im Meerwasser, wie die von V. A. Del Grosso entwickelten und die Chen-Millero-Li-Gleichung, bieten Genauigkeit unter verschiedenen Bedingungen, sind jedoch wesentlich komplizierter.

Schallgeschwindigkeit im Plasma

Für ein Plasma, in dem Elektronen heißer sind als Ionen (wenn auch nicht übermäßig), wird die Schallgeschwindigkeit durch die folgende Formel bestimmt: ZT_{e}}{\mu }}\right)^{1/2}\times 90,85~\mathrm {m/s} ,}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> c s = ( γ Z k T e m i ) §5758§ / §63 $c_{s}=\left({\frac {\gamma ZkT_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/2}=\left({\frac {\gamma ZT_{e}}{\mu }}\right)^{1/2}\times 90,85~\mathrm {m/s} ,$ = ( γ Z T e μ ) §99100§ / §105 $c_{s}=\left({\frac {\gamma ZkT_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/2}=\left({\frac {\gamma ZT_{e}}{\mu }}\right)^{1/2}\times 90,85~\mathrm {m/s} ,$ × 90,85 m / s , {\displaystyle c_{s}=\left({\frac {\gamma ZkT_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/2}=\left({\frac {\gamma ZT_{e}}{\mu }}\right)^{1/2}\times 90,85~\mathrm {m/s} , wobei:

m_i stellt die Ionenmasse dar;
μ bezeichnet das Verhältnis von Ionenmasse zu Protonenmasse, ausgedrückt als μ = m_i/m_p;
T_e bezeichnet die Elektronentemperatur;
Z zeigt den Ladezustand an;
k bezieht sich auf die Boltzmann-Konstante;
γ stellt den adiabatischen Index dar.

Anders als in einem Gas werden Druck und Dichte in einem Plasma unterschiedlichen Spezies zugeschrieben: Elektronen tragen zum Druck bei, während Ionen die Dichte bestimmen. Diese beiden Komponenten sind über ein schwankendes elektrisches Feld miteinander verbunden.

Mars

Auf dem Mars weist die Schallgeschwindigkeit frequenzabhängige Schwankungen auf, wobei sich höhere Frequenzen schneller ausbreiten als niedrigere Frequenzen. Konkret breitet sich hochfrequenter, lasererzeugter Schall mit einer Geschwindigkeit von 250 m/s (820 ft/s) aus, während sich niederfrequenter Schall mit einer Geschwindigkeit von 240 m/s (790 ft/s) ausbreitet.

Verläufe

Bei einer dreidimensionalen isotropen Ausbreitung nimmt die Schallintensität umgekehrt mit dem Quadrat der Entfernung ab. Umgekehrt kann in ozeanischen Umgebungen eine bestimmte Schicht, die als „Deep Sound Channel“ oder SOFAR-Kanal bekannt ist, Schallwellen auf eine bestimmte Tiefe beschränken.

Im SOFAR-Kanal ist die Schallgeschwindigkeit im Vergleich zu den angrenzenden Schichten darüber und darunter verringert. Analog zu Lichtwellen, die sich in Richtung von Bereichen mit höherem Brechungsindex brechen, werden Schallwellen in Richtung von Bereichen gebrochen, in denen ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit abnimmt. Folglich wird der Schall in dieser Schicht eingeschlossen, ähnlich wie Licht in einer Glasscheibe oder einer optischen Faser enthalten ist. Diese Beschränkung begrenzt effektiv die Schallausbreitung auf zwei Dimensionen, wobei die Intensität umgekehrt mit der Entfernung abnimmt, sodass Wellen deutlich größere Entfernungen zurücklegen können, bevor sie nicht mehr wahrnehmbar sind.

Ein analoges Phänomen manifestiert sich in der Atmosphäre. Project Mogul nutzte diesen Effekt insbesondere, um nukleare Detonationen aus großer Entfernung erfolgreich zu identifizieren.

Akustoelastischer Effekt
Zweiter Ton
Schallmauer
Unterwasserakustik
Bell X-1

Referenzen

Schallgeschwindigkeitsrechner
Schallgeschwindigkeit: Auf die Temperatur kommt es an, nicht auf den Luftdruck
Die Schallgeschwindigkeit
Hat sich Schall einst mit Lichtgeschwindigkeit verbreitet?
Entdeckung von Geräuschen im Meer (Nutzung von Geräuschen durch Menschen und andere Tiere)

Schallgeschwindigkeit (Speed of sound)