Faradaysches Induktionsgesetz (Faraday's law of induction)

Auf dem Gebiet des Elektromagnetismus erläutert das Faradaysche Induktionsgesetz den Mechanismus, durch den ein schwankendes Magnetfeld einen elektrischen Strom innerhalb eines Stromkreises erzeugt. Dieses als elektromagnetische Induktion bezeichnete Phänomen stellt das grundlegende Funktionsprinzip für Geräte wie Transformatoren, Induktoren und verschiedene Kategorien von Elektromotoren, Generatoren und Magnetspulen dar.

Im Elektromagnetismus beschreibt Faradays Induktionsgesetz, wie ein sich änderndes Magnetfeld einen elektrischen Strom in einem Stromkreis induzieren kann. Dieses als elektromagnetische Induktion bekannte Phänomen ist das grundlegende Funktionsprinzip von Transformatoren, Induktoren und vielen Arten von Elektromotoren, Generatoren und Magnetspulen.

In der wissenschaftlichen Literatur bezieht sich die Bezeichnung Faradaysches Gesetz häufig auf zwei unterschiedliche, aber eng miteinander verbundene physikalische Prinzipien. Die erste ist die Maxwell-Faraday-Gleichung, ein Bestandteil der Maxwell-Gleichungen, die besagt, dass ein Magnetfeld, das zeitlichen Schwankungen unterliegt, unweigerlich ein damit verbundenes zirkulierendes elektrisches Feld erzeugt. Dieses besondere Gesetz bezieht sich direkt auf die Felder selbst und macht einen konkreten Stromkreis überflüssig.

Umgekehrt ist das zweite Prinzip die Faradaysche Flussregel, auch bekannt als Faraday-Lenz-Gesetz, die eine Korrelation zwischen der elektromotorischen Kraft (EMK), die innerhalb einer geschlossenen Stromschleife entwickelt wird, und der zeitlichen Änderungsrate des magnetischen Flusses, der diese Schleife durchquert, herstellt. Diese Flussregel beschreibt zwei Hauptmechanismen für die EMF-Erzeugung. Im Fall der Transformator-EMK induziert ein zeitabhängiges Magnetfeld ein elektrisches Feld, das mit der Maxwell-Faraday-Gleichung übereinstimmt, das anschließend einen Strom durch die Schleife treibt. Bei der Bewegungs-EMK führt die Bewegung des Stromkreises durch ein Magnetfeld zu einer EMK, die von der magnetischen Komponente der Lorentz-Kraft herrührt, die auf die Ladungsträger im Leiter ausgeübt wird.

Historisch gesehen stellten die unterschiedlichen Erklärungen für die elektromotorische Bewegungskraft (EMK) und die EMK des Transformators eine erhebliche konzeptionelle Herausforderung dar, da der beobachtete Strom ausschließlich von der Relativbewegung abhängt, die zugrunde liegenden physikalischen Interpretationen jedoch zwischen den beiden Szenarien unterschiedlich waren. Im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie wird diese Unterscheidung als systemabhängig verstanden: Ein Phänomen, das in einem Trägheitsreferenzsystem als magnetische Kraft wahrgenommen wird, kann sich in einem anderen als induziertes elektrisches Feld manifestieren.

Historischer Überblick

Im Jahr 1820 wies Hans Christian Ørsted experimentell nach, dass ein elektrischer Strom ein Magnetfeld erzeugt, indem er dies durch die Ablenkung einer Kompassnadel veranschaulichte, die in der Nähe eines stromführenden Leiters positioniert war. Diese bahnbrechende Entdeckung regte anschließend die wissenschaftliche Untersuchung des umgekehrten Zusammenhangs an: insbesondere, ob ein Magnetfeld wiederum einen elektrischen Strom induzieren kann.

Frühe experimentelle Untersuchungen zeigten, dass ein stationäres Magnetfeld keinen Einfluss auf einen benachbarten Stromkreis hatte; Die bloße Positionierung eines Magneten in der Nähe einer Drahtschleife konnte keinen Strom erzeugen. Der entscheidende Fortschritt erfolgte im Jahr 1831, als Michael Faraday schlüssig demonstrierte, dass ein dynamisches oder sich änderndes Magnetfeld in der Lage ist, einen elektrischen Strom innerhalb eines Stromkreises zu induzieren. Joseph Henry machte 1832 unabhängig davon analoge Beobachtungen; Faraday hat jedoch Vorrang bei der Veröffentlichung dieser Entdeckungen.

Faradays Labornotizbucheintrag vom 29. August 1831 beschreibt detailliert eine experimentelle Demonstration der elektromagnetischen Induktion. Er konstruierte einen rudimentären Ringkerntransformator, indem er zwei Drahtspulen um gegenüberliegende Abschnitte eines Eisenrings wickelte. Als er eine Spule an eine Batterie anschloss, bemerkte er eine vorübergehende Auslenkung in einem Galvanometer, das mit der zweiten Spule verbunden war. Aus dieser Beobachtung folgerte er, dass der schwankende Strom in der Primärspule ein variierendes Magnetfeld innerhalb des Eisenrings aufbaute, das anschließend einen Strom in der Sekundärspule induzierte. Er charakterisierte dieses Phänomen als eine „Elektrizitätswelle“, die sich durch das Eisen ausbreitet.

In den folgenden Monaten entdeckte Faraday weitere Manifestationen elektromagnetischer Induktion. Er dokumentierte transiente Ströme, wenn ein Stabmagnet schnell in eine Drahtspule eingeführt oder aus dieser herausgezogen wurde. Darüber hinaus entwickelte er ein Gerät, das heute als Faradaysche Scheibe oder Homopolargenerator bekannt ist und durch die Rotation einer Kupferscheibe in einem statischen Magnetfeld mithilfe eines elektrischen Gleitkontakts einen Gleichstrom (Gleichstrom) erzeugte.

Faraday erläuterte diese Phänomene anhand des konzeptionellen Rahmens von Kraftlinien. Dennoch stießen seine theoretischen Vorschläge aufgrund ihrer fehlenden mathematischen Formalisierung auf Skepsis. James Clerk Maxwell lieferte anschließend die mathematische Formulierung für Faradays Erkenntnisse und integrierte sie in den frühen 1860er Jahren in seine umfassende elektromagnetische Theorie.

In Maxwells veröffentlichten Werken wird der Aspekt der zeitlichen Variation der elektromagnetischen Induktion als Differentialgleichung artikuliert. Oliver Heaviside bezeichnete diese Gleichung später als Faradaysches Gesetz, obwohl sie von Faradays ursprünglicher Formulierung abweicht und die elektromotorische Bewegungskraft (EMK) nicht berücksichtigen kann. Die Darstellung von Heaviside ist die Form, die derzeit in den Gleichungen anerkannt ist, die zusammenfassend als Maxwell-Gleichungen bekannt sind.

Das Lenzsche Gesetz, das 1834 von Emil Lenz formell formuliert wurde, charakterisiert den „Fluss durch den Stromkreis“ und gibt die Richtung der induzierten elektromotorischen Kraft (EMK) und des Stroms an, die durch elektromagnetische Induktion entstehen.

Im Jahr 1845 formalisierte Franz Ernst Neumann die Gesetze zur Induktion elektrischer Ströme in einem mathematischen Rahmen.

Albert Einstein postulierte, dass Faradays Induktionsgesetz von 1834 wichtige Grundprinzipien für seine eigene Theorie der speziellen Relativitätstheorie legte.

Die Flux-Regel

Das Faradaysche Induktionsgesetz, auch Flussregel, Flussgesetz oder Faraday-Lenz-Gesetz genannt, besagt, dass die in einem geschlossenen Stromkreis erzeugte elektromotorische Kraft (EMK) direkt proportional zur negativen Rate ist, mit der sich der magnetische Fluss durch den Stromkreis ändert. Dieses Prinzip gilt universell für alle Schaltkreise, die aus dünnen Drähten bestehen, und umfasst Flussänderungen, die aus Magnetfeldschwankungen, Schaltkreisbewegungen oder Formverformungen resultieren. Das Lenzsche Gesetz bestimmt die Ausrichtung der induzierten EMK und legt fest, dass der induzierte Strom ein Magnetfeld aufbaut, das der anfänglichen Änderung des Magnetflusses entgegenwirkt.

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist die mathematische Darstellung dieses Gesetzes gegeben durch: E = −<!-- − --> d Φ<!-- Φ --> B d t , {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _B}{\mathrm {d} t}}, Hier: E {\displaystyle {\mathcal {E}}} bezeichnet die elektromotorische Kraft (EMK) und Φ_B bezeichnet den magnetischen Fluss, der den Stromkreis durchdringt. Der magnetische Fluss selbst wird formal als Oberflächenintegral des Magnetfelds B über eine zeitvariante Oberfläche Σ(t) definiert, dessen Grenze durch die Drahtschleife definiert wird: Φ<!-- Φ --> B = ∬<!-- ∬ --> Σ<!-- Σ --> ( t ) B ( t ) ⋅<!-- ⋅ --> d A , {\displaystyle \Phi _B=\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,,} In diesem Zusammenhang stellt dA einen unendlich kleinen Flächenvektor dar, der senkrecht zur Oberfläche ausgerichtet ist. Das Skalarprodukt B · dA quantifiziert den magnetischen Fluss, der durch dieses Differentialflächenelement fließt. Konzeptionell kann der magnetische Fluss als direkt proportional zur Dichte der magnetischen Feldlinien verstanden werden, die die Schleife schneiden.

Eine Änderung des magnetischen Flusses induziert eine elektromotorische Kraft (EMK) innerhalb der Stromkreisschleife. Diese induzierte EMK stellt die Energie dar, die pro Ladungseinheit aufgewendet wird, um eine vollständige Durchquerung der Schleife abzuschließen. Für einen Grundschaltkreis mit einem Widerstand R {\displaystyle R}, ein EMK E {\displaystyle {\mathcal {E}}} generiert einen aktuellen Ich {\displaystyle I}, wie durch das Ohmsche Gesetz definiert: E = Ich R {\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}. Wenn alternativ die Stromkreisschleife unterbrochen wird, um einen offenen Stromkreis zu bilden, und ein Voltmeter an die resultierenden Anschlüsse angeschlossen wird, entspricht die EMK dem an diesen offenen Enden erhaltenen Spannungswert.

Bei einer eng gewickelten Spule, die aus N identischen Windungen besteht, durchqueren die magnetischen Feldlinien die Oberfläche N Mal. Folglich wird das Faradaysche Induktionsgesetz ausgedrückt als: class="MJX-TeXAtom-ORD"> E = − N d Φ B d t {\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}} , wobei N die Anzahl der Drahtwindungen bezeichnet und Φ_B die magnetischer Fluss, der durch eine einzelne Schleife fließt. Der Begriff NΦ_B wird als verknüpfter Fluss bezeichnet.

Der magnetische Fluss kann entweder aufgrund der zeitlichen Bewegung oder Verformung der Schleife oder der inhärenten zeitlichen Variation des Magnetfelds selbst variieren. Diese beiden unterschiedlichen Szenarien stimmen mit den durch die Flussregel beschriebenen Mechanismen überein:

• Bewegungs-EMK: Dieses Phänomen tritt auf, wenn der Stromkreis ein Magnetfeld durchquert, das statisch, aber räumlich ungleichmäßig ist.
• Transformator-EMK: Dies entsteht, wenn der Schaltkreis eine stationäre Position beibehält, das umgebende Magnetfeld jedoch zeitlichen Schwankungen unterliegt.

Bewegungselektromotorische Kraft

Das Grundprinzip der elektromotorischen Bewegungskraft wird durch einen leitfähigen Stab veranschaulicht, der sich durch ein Magnetfeld bewegt, das senkrecht sowohl zum Stab als auch zu seiner Flugbahn ausgerichtet ist. Während sich der Leiter im Magnetfeld bewegt, werden seine beweglichen Elektronen der magnetischen Komponente (qv × B) der Lorentzkraft ausgesetzt, die sie entlang der Stabachse treibt. Diese Aktion führt zu einer Ladungstrennung an den Enden des Stabes. Unter stationären Bedingungen wirkt das durch die angesammelte Ladung erzeugte elektrische Feld der magnetischen Kraft entgegen.

Sollte der Stab in eine geschlossene Leiterschleife integriert werden, die ein ungleichmäßiges Magnetfeld durchquert, kann ein analoger Effekt einen Strom innerhalb des Stromkreises induzieren. Stellen Sie sich beispielsweise ein Szenario vor, in dem das Magnetfeld räumlich begrenzt ist und sich die Schleife zunächst außerhalb dieses definierten Bereichs befindet. Beim Eintritt in das Feld dehnt sich der Teil der Schleife, der den magnetischen Fluss umgibt, aus und induziert dadurch eine elektromotorische Kraft. Aus Sicht der Lorentzkraft geschieht dies, weil das Feld eine magnetische Kraft auf die Ladungsträger innerhalb der in den Bereich eintretenden Segmente der Schleife ausübt. Sobald sich die gesamte Schleife jedoch in einem gleichmäßigen Magnetfeld befindet und eine konstante Geschwindigkeit beibehält, bleibt der gesamte eingeschlossene Magnetfluss unveränderlich, was dazu führt, dass die induzierte elektromotorische Kraft verschwindet. Unter solchen Umständen neutralisieren sich die magnetischen Kräfte, die auf gegenüberliegenden Seiten der Schleife wirken, gegenseitig.

Elektromotorische Kraft des Transformators

Ein besonderes, aber ergänzendes Phänomen ist die elektromotorische Kraft des Transformators, die sich zeigt, wenn eine Leiterschleife statisch bleibt, während der durch sie fließende Magnetfluss aufgrund eines zeitabhängigen Magnetfelds variiert. Diese Variation kann durch zwei Hauptmechanismen entstehen: Entweder bewegt sich die Quelle, die das Magnetfeld erzeugt, und verändert dadurch die Feldverteilung über die stationäre Schleife, oder die Intensität des Magnetfelds selbst schwankt zeitlich an einem festen Punkt, beispielsweise durch den Betrieb eines erregten Elektromagneten.

Unter beiden Bedingungen wird keine magnetische Kraft auf die Ladungen ausgeübt; Stattdessen stammt die induzierte elektromotorische Kraft ausschließlich aus der elektrischen Komponente (qE) der Lorentzkraft. Gemäß der Maxwell-Faraday-Gleichung erzeugt ein sich im Laufe der Zeit änderndes Magnetfeld ein zirkulierendes elektrisches Feld, das anschließend Strom innerhalb der Schleife antreibt. Dieses Prinzip ist grundlegend für die Funktionsweise verschiedener elektrischer Maschinen, einschließlich Synchrongeneratoren. Das durch diesen Mechanismus induzierte elektrische Feld ist von Natur aus nicht konservativ, was bedeutet, dass sein Linienintegral über einen geschlossenen Kreis nicht gleich Null ist.

Bestimmung der Richtung des induzierten Stroms

Die Richtung der elektromotorischen Kraft (EMK) kann direkt aus dem Faradayschen Gesetz ermittelt werden, sodass die Berufung auf das Lenzsche Gesetz entfällt. Eine Linkshänder-Regel bietet eine praktische Methode für diese Bestimmung, wie unten beschrieben:

• Positionieren Sie die gebogenen Finger der linken Hand so, dass sie an der Schlaufe ausgerichtet sind (angezeigt durch die gelbe Linie).
• Strecken Sie den Daumen aus. Der ausgestreckte Daumen gibt dann die Richtung von n (braun) an, die den Normalenvektor zu der von der Schleife umfassten Fläche darstellt.
• Die Bestimmung des Vorzeichens für ΔΦ_B, das die Änderung des magnetischen Flusses angibt, umfasst die Berechnung der Differenz zwischen dem Anfangs- und dem Endwert des Flusses. Diese Flusswerte werden relativ zum Normalenvektor n definiert, der konventionell nach der Rechte-Hand-Regel ausgerichtet ist, wobei der ausgestreckte Daumen seine Richtung angibt.
• Eine positive Änderung des Magnetflusses, bezeichnet als ΔΦ_B, entspricht einer elektromotorischen Kraft (EMF), deren Richtung durch die gebogenen Finger dargestellt wird, die an den gelben Pfeilspitzen ausgerichtet sind.
• Umgekehrt bedeutet ein negativer Wert für ΔΦ_B, dass die Richtung der elektromotorischen Kraft der durch die gebogenen Finger und die gelben Pfeilspitzen angezeigten Richtung entgegengesetzt ist.

Maxwell-Faraday-Gleichung

Als eine der vier grundlegenden Maxwell-Gleichungen nimmt die Maxwell-Faraday-Gleichung eine zentrale Position im theoretischen Rahmen des klassischen Elektromagnetismus ein. Es wird postuliert, dass ein zeitabhängiges Magnetfeld unweigerlich ein räumlich variierendes, nichtkonservatives elektrisches Feld induziert. In ihrer Differentialform ausgedrückt und unter Verwendung von SI-Einheiten wird die Gleichung wie folgt dargestellt:

In dieser Formulierung bezeichnet ∇ × den Curl-Operator, E(r, t) stellt das elektrische Feld dar und B(r, t) bezeichnet das magnetische Feld. Beide Felder hängen typischerweise von der räumlichen Position r und der zeitlichen Variablen t ab.

Alternativ kann die Gleichung in einer Integralform ausgedrückt werden, die durch die Anwendung des Kelvin-Stokes-Theorems abgeleitet wird:

Innerhalb dieser Integraldarstellung, wie in der beigefügten Abbildung dargestellt, bezeichnet Σ eine Fläche, die durch die geschlossene Schleife ∂Σ begrenzt wird. Der Begriff dl stellt ein infinitesimales Vektorelement entlang dieser Schleife dar. Das Vektorflächenelement dA ist als senkrecht zur Oberfläche definiert und seine Ausrichtung entspricht der Rechte-Hand-Regel: Die Richtung des Daumens richtet sich nach dA, während die gebogenen Finger die entsprechende Richtung von dl entlang der Grenze anzeigen.

Die linke Seite dieser Gleichung quantifiziert die Zirkulation des elektrischen Feldes entlang der geschlossenen Schleife ∂Σ. Bei statischen elektrischen Feldern ist diese Zirkulation Null, da solche Felder aus dem Gradienten eines Skalarpotentials abgeleitet werden können. Umgekehrt erzeugt ein zeitlich veränderliches Magnetfeld ein nichtkonservatives elektrisches Feld, was zu einer Zirkulation ungleich Null führt. Wenn dieses induzierte elektrische Feld mit einer Leiterschleife interagiert, treibt es einen elektrischen Strom innerhalb dieser Schleife an.

Vorausgesetzt, dass die Oberfläche Σ über die Zeit konstant bleibt, vereinfacht sich die rechte Seite der Gleichung zur zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses Φ_B, der durch diese Oberfläche fließt: ∮<!-- ∮ --> ∂<!-- ∂ --> Σ<!-- Σ --> E ⋅<!-- ⋅ --> d l = −<!-- − --> d d t ∬<!-- ∬ --> Σ<!-- Σ --> B ⋅<!-- ⋅ --> d A = −<!-- − --> d Φ<!-- Φ --> B d t . {\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-{\frac {\mathrm {d} \Phi _B}{\mathrm {d} t}}.Wenn die linke Seite als die Arbeit pro Ladungseinheit interpretiert wird, die das elektrische Feld auf Ladungen innerhalb einer stationären Leiterschleife verrichtet, wiederholt diese Gleichung effektiv die Flussregel, insbesondere für einen Stromkreis, der nicht in Bewegung ist.

Innerhalb der nichtrelativistischen Näherung ist die Solenoidkomponente des induzierten elektrischen Feldes durch das folgende Volumenintegral berechenbar: (\mathbf {r} ',t)}{\partial t}}\right)\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> E s ( r , t ) ≈ − §3637§ §3940§ π ∭ V   ( ∂ B ( r ′ , t ) ∂ t ) × ( r − r ′ ) | r − r ′ | §156157§ d §166167§ r ′ {\displaystyle \mathbf {E} _{s}(\mathbf {r} ,t)\ approx -{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {\left({\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{\partial t}}\right)\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} Diese Formulierung demonstriert die räumliche Abhängigkeit des induzierten elektrischen Feldes und veranschaulicht, wie Variationen im Magnetfeld zu seiner Größe an einem bestimmten Ort beitragen, wobei jeder Beitrag umgekehrt proportional zur dritten Potenz des Abstands ist.

Ableitung der Flussregel aus mikroskopischen Gleichungen

Der klassische Elektromagnetismus wird im Wesentlichen durch die vier Maxwell-Gleichungen begründet, ergänzt durch das Lorentz-Kraftgesetz. Aus diesem grundlegenden Satz von Prinzipien kann das Faradaysche Gesetz direkt abgeleitet werden.

Die Ableitung beginnt mit der Untersuchung der zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses über eine Oberfläche Σ(t), der sich im Laufe der Zeit ändern darf.

Der Term innerhalb des Integrals stellt jedoch nicht die vollständige Lorentzkraft pro Ladungseinheit dar, da die Geschwindigkeit vc{\displaystyle \mathbf {v} _c} bezieht sich eher auf die Bewegung der Schleifengrenze als auf die tatsächliche Geschwindigkeit der Ladungsträger. Um die physikalische elektromotorische Kraft genau zu bestimmen, ist es wichtig, zwischen diesen unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu unterscheiden. Durch Auswahl eines Integrationspfads, der dem physikalischen Schaltkreis entspricht, kann die Geschwindigkeit eines Ladungsträgers innerhalb des Leiters ausgedrückt werden als: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">v(r,t)=vc(r,t)+vd(r,t),{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} _{c}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t),} wobei vc{\displaystyle \mathbf {v} _c} bezeichnet die Geschwindigkeit des Leiters (insbesondere der Ionen im Material) und ${\displaystyle \mathbf {v} _{d}}$ stellt die Driftgeschwindigkeit von Elektronen relativ zum Material dar. Diese Zerlegung basiert auf der Annahme einer nichtrelativistischen (galileischen) Geschwindigkeitsaddition.

Die elektromotorische Kraft (EMF) E{\displaystyle {\mathcal {E}}}, das mit der Lorentzkraft verknüpft ist, wird formal definiert durch der folgende Integralausdruck: E=∮<!-- ∮ -->∂<!-- ∂ -->Σ<!-- Σ -->(t)(E+v×<!-- × -->B)⋅<!-- ⋅ -->dl.{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}

Durch Ersetzen der Trägergeschwindigkeit durch den abgeleiteten Ausdruck und Einbeziehen des vorhergehenden Ergebnisses erhält man die folgende Gleichung:

Dieses Phänomen kann äquivalent durch den folgenden mathematischen Ausdruck dargestellt werden:

Bei Schaltkreisen, die aus schlanken, eindimensionalen Leitern bestehen, richtet sich der Driftgeschwindigkeitsvektor nach der Achse des Drahtes und folglich nach dem infinitesimalen Linienelement ⁠${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{l}}\{\backslash displaystyle\; \backslash mathrm\; \{d\}\; \backslash mathbf\; \{l\}$⁠. Unter diesen Bedingungen ist das Kreuzprodukt v d ×<!-- × --> B {\textstyle \mathbf {v} _d\times \mathbf {B} wird orthogonal zu ⁠d l {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l}⁠, wodurch die Komponente proportional zur Driftgeschwindigkeit Null wird. Diese Vereinfachung ergibt die konventionelle Formulierung des Faradayschen Gesetzes.

Einschränkungen der Flux-Regel

Eine verbreitete, aber oft fehlerhafte Verallgemeinerung des Faradayschen Gesetzes besagt: Wenn ∂Σ irgendein beliebiger geschlossener Kreis im Raum ist, dann ist die gesamte zeitliche Ableitung des magnetischen Flusses durch Σ gleich der EMK um ∂Σ. Diese Behauptung gilt jedoch nicht allgemein. Wie bereits festgestellt, hängt die Anwendbarkeit des Faradayschen Gesetzes davon ab, dass die Geschwindigkeit der abstrakten Kurve, ∂Σ, mit der tatsächlichen Geschwindigkeit des elektrisch leitenden Materials übereinstimmt. Wenn der Leiter außerdem kein unendlich dünner Draht ist, muss auch die relative Geschwindigkeit der Ladungen innerhalb des Materials berücksichtigt werden. Nachfolgende Beispiele zeigen, dass eine zu weit gefasste Anwendung des Faradayschen Gesetzes häufig zu ungenauen Ergebnissen führt.

Solche Szenarien können genau analysiert werden, indem sichergestellt wird, dass der Pfad ∂Σ die gleiche Geschwindigkeit wie das Material beibehält. Die elektromotorische Kraft (EMF) kann konsistent durch die Integration des Lorentz-Kraftgesetzes und der Maxwell-Faraday-Gleichung bestimmt werden, ausgedrückt als: E = ∫<!-- ∫ --> ∂<!-- ∂ --> Σ<!-- Σ --> ( E + v ×<!-- × --> B ) ⋅<!-- ⋅ --> d l = −<!-- − --> ∫<!-- ∫ --> ∂<!-- ∂ --> Σ<!-- Σ --> ( t ) ∂<!-- ∂ --> B ∂<!-- ∂ --> t ⋅<!-- ⋅ --> d A + ∮<!-- ∮ --> ∂<!-- ∂ --> Σ<!-- Σ --> ( t ) ( v ×<!-- × --> B ) ⋅<!-- ⋅ --> d l , {\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\partial \Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}\mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,} Hier stellt v die Geschwindigkeit des Leiters innerhalb des Referenzrahmens dar, in dem B definiert ist. Im Allgemeinen kann die Zeitableitung nicht aus dem Integral herausgerechnet werden, da die Position oder Konfiguration der Schleife mit der Zeit variieren kann.

Die Flussregel und die Relativitätstheorie

Historisch gesehen stellten die beiden unterschiedlichen Mechanismen, die in der Flussregel zusammengefasst sind – die bewegte elektromotorische Kraft (EMF) und die Transformator-EMF – eine erhebliche konzeptionelle Herausforderung dar. James Clerk Maxwell hatte bereits festgestellt, dass elektromagnetische Induktion von unterschiedlichen physikalischen Prozessen ausgehen kann, obwohl die induzierte EMF einer einzigartigen mathematischen Formel entspricht. In seiner Veröffentlichung On Physical Lines of Force von 1861 lieferte Maxwell für jedes Phänomen unterschiedliche physikalische Erläuterungen.

Im Jahr 1905 erläuterte Albert Einstein diese Asymmetrie innerhalb der klassischen Elektrodynamik in seiner bahnbrechenden Arbeit Über die Elektrodynamik bewegter Körper. Er stellte fest, dass das resultierende physikalische Phänomen, insbesondere der induzierte Strom, ausschließlich von der Relativbewegung zwischen dem Leiter und dem Magneten abhängt. Allerdings boten klassische theoretische Rahmenwerke unterschiedliche Erklärungen, je nachdem, welches Objekt als in Bewegung angenommen wurde. Diese inhärente Inkonsistenz implizierte die Nichtexistenz eines privilegierten Bezugssystems und trug wesentlich zur Konzeptualisierung der speziellen Relativitätstheorie bei.

Die zeitgenössische Physik betrachtet elektrische und magnetische Felder als integrale Komponenten eines einheitlichen elektromagnetischen Feldtensors. Wenn ein Trägheitsbezugssystem einer Transformation unterzogen wird, wandeln sich diese beiden Felder ineinander um.

Notizen

Darrigol, Olivier (2000). Elektrodynamik von Ampère bis Einstein. Oxford; New York: Clarendon Press. ISBN 0-19-850594-9.

• Darrigol, Olivier (2000). Elektrodynamik von Ampère bis Einstein. Oxford; New York: Clarendon Press. ISBN 0-19-850594-9.Feynman, Richard Phillips; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew L. (2006). Die Feynman-Vorlesungen über Physik. Bd. 2. Pearson / Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9047-2.Griffiths, David J. (2023). Einführung in die Elektrodynamik. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781009397735. ISBN 978-1-009-39773-5.Purcell, Edward M.; Morin, David J. (2013). Elektrizität und Magnetismus. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9781139012973. ISBN 978-1-139-01297-3.Sadiku, Matthew N. O. (2018). Elemente der Elektromagnetik (7. Aufl.). New York/Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-069861-4. LCCN 2017046497.Zangwill, Andrew (2013). Modern Electrodynamics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139034777. ISBN 978-0-521-89697-9.Clerk Maxwell, James (1954) [1. Veröffentlichung. 1881]. Eine Abhandlung über Elektrizität und Magnetismus, Bd. II. Oxford: Clarendon Press. ch. III, Sek. 530, S. 178. ISBN 0-486-60637-6. {{cite book}}: ISBN-/Datumsinkompatibilität (Hilfe)
  • Clerk Maxwell, James (1954) [1. Veröffentlichung. 1881]. Eine Abhandlung über Elektrizität und Magnetismus, Bd. II. Oxford: Clarendon Press.ch. III, Sek. 530, S. 178. ISBN 0-486-60637-6.{{cite book}}: ISBN/Datumsinkompatibilität (Hilfe)
  • Medien zum Faradayschen Induktionsgesetz bei Wikimedia Commons
  • Roberto Vega. Induktion: Faradaysches Gesetz und Lenzsches Gesetz – Sehr animierte Vorlesung mit Soundeffekten, Kursseite „Elektrizität und Magnetismus“
  • Tankersley und Mosca: Einführung in das Gesetz von Faraday
  • Eine kostenlose Simulation der Bewegungs-EMK