Das Ohmsche Gesetz postuliert eine direkte Proportionalität zwischen dem elektrischen Strom, der durch einen Leiter fließt, und der an seinen beiden Anschlüssen angelegten Spannung. Durch die Einführung des Widerstands als Proportionalitätskonstante kann diese Beziehung durch drei grundlegende mathematische Gleichungen ausgedrückt werden:
Das Ohmsche Gesetz besagt, dass der elektrische Strom durch einen Leiter zwischen zwei Punkten direkt proportional zur Spannung an den beiden Punkten ist. Wenn man die Proportionalitätskonstante, den Widerstand, einführt, gelangt man zu den drei mathematischen Gleichungen, die zur Beschreibung dieser Beziehung verwendet werden:
In diesen Gleichungen stellt I den Strom dar, der durch den Leiter fließt, V bezeichnet die darüber gemessene Spannung und R bezeichnet den Widerstand des Leiters. Entscheidend ist, dass das Ohmsche Gesetz besagt, dass R innerhalb dieser Beziehung unabhängig vom Strom konstant bleibt. Sollte sich der Widerstand ändern, gilt die oben genannte Gleichung nicht mehr als Ohmsches Gesetz, sie kann jedoch weiterhin zur Definition des statischen oder Gleichstromwiderstands dienen. Beim Ohmschen Gesetz handelt es sich um eine empirische Beziehung, die die Leitfähigkeit der meisten elektrisch leitenden Materialien über ein breites Spektrum an Stromstärken hinweg präzise charakterisiert. Dennoch weichen bestimmte Materialien vom Ohmschen Gesetz ab und werden daher als nicht-ohmisch bezeichnet.
Dieses grundlegende Gesetz wurde zu Ehren des deutschen Physikers Georg Ohm benannt, der in einer Abhandlung von 1827 seine Messungen der angelegten Spannung und des Stroms in grundlegenden elektrischen Schaltkreisen aus Drähten unterschiedlicher Länge ausführlich darlegte. Ohm erläuterte seine experimentellen Ergebnisse anhand einer Gleichung, die etwas komplizierter war als die zuvor vorgestellte zeitgenössische Formulierung.
Innerhalb der Physik umfasst die Bezeichnung Ohmsches Gesetz auch mehrere verallgemeinerte Formulierungen, wie beispielsweise seine in der Elektromagnetik und Materialwissenschaft verwendete Vektordarstellung:
Hier bezeichnet J die Stromdichte an einem bestimmten Punkt innerhalb eines Widerstandsmaterials, E stellt das elektrische Feld an derselben Stelle dar und σ (Sigma) bezeichnet einen materialspezifischen Parameter namens Leitfähigkeit, der als Kehrwert des spezifischen Widerstands ρ (rho) definiert ist. Diese Neuformulierung des Ohmschen Gesetzes wird Gustav Kirchhoff zugeschrieben.
Verlauf
Vor Georg Ohms Beiträgen führte Henry Cavendish im Januar 1781 Experimente mit Leidener Gefäßen und Glasröhren verschiedener Durchmesser und Längen durch, die mit einer Salzlösung gefüllt waren. Er quantifizierte den Strom, indem er die Intensität des Schocks schätzte, den er verspürte, als er den Stromkreis mit seinem eigenen Körper abschloss. Cavendish dokumentierte, dass die „Geschwindigkeit“ (Strom) eine direkte Proportionalität zum „Grad der Elektrifizierung“ (Spannung) aufwies. Seine Erkenntnisse blieben der damaligen wissenschaftlichen Gemeinschaft geheim und wurden erst 1879 durch James Clerk Maxwells Veröffentlichung veröffentlicht.
Im Jahr 1814 unterschied Francis Ronalds zwischen „Intensität“ (Spannung) und „Menge“ (Strom), wenn er mit einem Trockenhaufen arbeitete, der als Hochspannungsquelle diente, und verwendete dazu ein Blattgold-Elektrometer. Seine Beobachtungen zeigten, dass die Korrelation zwischen diesen beiden Parametern bei einem Trockenhaufen unter bestimmten meteorologischen Umständen nicht mehr proportional ist.
Georg Ohm führte seine Forschungen zum elektrischen Widerstand zwischen 1825 und 1826 durch und veröffentlichte seine Ergebnisse anschließend 1827 in der Abhandlung mit dem Titel Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. Für den theoretischen Rahmen seiner Untersuchungen ließ sich Ohm maßgeblich von Joseph Fouriers Untersuchungen zur Wärmeleitung beeinflussen. Zunächst verwendete Ohm für seine Experimente Voltaiksäulen; Später wechselte er jedoch zur Verwendung eines Thermoelements, das aufgrund seiner konstanten Spannung und seines Innenwiderstands eine stabilere Spannungsquelle bot. Zur Messung des Stroms wurde ein Galvanometer verwendet, und Ohm erkannte, dass die Spannung an den Thermoelementanschlüssen proportional zur Sperrschichttemperatur war. Um den Stromkreis zu vervollständigen, baute er Testdrähte ein, die sich in Länge, Durchmesser und Materialzusammensetzung unterschieden. Ohm entdeckte, dass seine experimentellen Daten durch die Gleichung genau dargestellt werden konnten: , wobei x den Galvanometerwert bezeichnete, ℓ die Länge des Testleiters darstellte, a ein Parameter war, der von der Temperatur der Thermoelementverbindung abhängt, und b stellte eine für den gesamten Versuchsapparat spezifische Konstante dar. Basierend auf diesen Erkenntnissen formulierte Ohm sein Verhältnismäßigkeitsgesetz und verbreitete anschließend seine Forschungsergebnisse.
Unter Verwendung zeitgenössischer Notation kann die Beziehung ausgedrückt werden als: , wobei bezeichnet die elektromotorische Leerlaufkraft (EMK) des Thermoelements, bezeichnet den Innenwiderstand des Thermoelements und stellt den Widerstand des Testkabels dar. Wenn diese Gleichung im Verhältnis zur Drahtlänge ausgedrückt wird, transformiert sie sich in: , wobei bezeichnet den Widerstand des Testdrahts pro Längeneinheit. Folglich können Ohmsche Koeffizienten wie folgt definiert werden:
Das Ohmsche Gesetz gilt als grundlegende frühe quantitative Beschreibung im Bereich der elektrischen Physik. Obwohl es mittlerweile weithin als selbstverständlich angesehen wird, stieß seine Erstveröffentlichung auf erheblichen kritischen Widerstand. Kritiker verunglimpften seine Forschung als „Netz nackter Fantasien“, und der Bildungsminister erklärte, dass „ein Professor, der solche Häresien predigte, unwürdig sei, Naturwissenschaften zu lehren“. Dieser Widerstand wurde teilweise durch die vorherrschende Wissenschaftsphilosophie im heutigen Deutschland angeheizt, die davon ausging, dass die inhärente Ordnung der Natur die Ableitung wissenschaftlicher Wahrheiten durch reine Vernunft erlaube und eine experimentelle Validierung unnötig mache. Darüber hinaus war sein Bruder Martin, ein Mathematiker, in einen Streit mit der deutschen Bildungseinrichtung verwickelt. Diese kombinierten Faktoren behinderten die breite Akzeptanz von Ohms Werk bis in die 1840er Jahre erheblich. Dennoch erlangte Ohm vor seinem Tod schließlich bedeutende wissenschaftliche Anerkennung.
In den 1850er Jahren erlangte das Ohmsche Gesetz breite Anerkennung und galt als empirisch bestätigt. Konkurrierende Theorien wie das „Barlowsche Gesetz“ gerieten später in Misskredit, insbesondere im Hinblick auf ihre praktische Anwendbarkeit beim Entwurf von Telegrafensystemen, ein Punkt, der 1855 von Samuel F. B. Morse ausgearbeitet wurde.
Die Entdeckung des Elektrons durch J. J. Thomson im Jahr 1897 führte schnell zu seiner Identifizierung als grundlegender Ladungsträger, der für elektrische Ströme in Schaltkreisen verantwortlich ist. Paul Drude führte im Jahr 1900 das erste klassische Modell der elektrischen Leitung, das sogenannte Drude-Modell, ein und lieferte damit eine grundlegende wissenschaftliche Erklärung für das Ohmsche Gesetz. Dieses Modell geht davon aus, dass ein fester Leiter aus einem statischen Gitter aus Atomen (oder Ionen) besteht, in dem sich Leitungselektronen stochastisch bewegen. Das Anlegen einer Spannung an den Leiter erzeugt ein elektrisches Feld, das wiederum diese Elektronen in seine Richtung beschleunigt, was zu einer Nettoelektronendrift führt, die den elektrischen Strom darstellt. Dennoch induzieren Kollisionen von Elektronen mit Atomen Streuung und verändern ihre Flugbahnen, wodurch kinetische Energie in thermische Energie umgewandelt wird. Durch die Anwendung statistischer Verteilungen kann gezeigt werden, dass die durchschnittliche Driftgeschwindigkeit von Elektronen und folglich der elektrische Strom über einen beträchtlichen Bereich proportional zum elektrischen Feld und damit zur angelegten Spannung bleibt.
Das Aufkommen der Quantenmechanik in den 1920er Jahren verfeinerte dieses Verständnis; Moderne Theorien belegen jedoch weiterhin, dass die durchschnittliche Driftgeschwindigkeit von Elektronen proportional zum elektrischen Feld bleibt, und untermauern damit das Ohmsche Gesetz. Im Jahr 1927 integrierte Arnold Sommerfeld die Quanten-Fermi-Dirac-Verteilung der Elektronenenergien in das Drude-Modell, was zur Entwicklung des Modells der freien Elektronen führte. Anschließend zeigte Felix Bloch 1928, dass sich Elektronen als Wellen (Bloch-Elektronen) innerhalb eines festen Kristallgitters ausbreiten, was darauf hindeutet, dass die Streuung an Gitteratomen, wie im Drude-Modell postuliert, nicht der primäre Mechanismus ist. Stattdessen werden Elektronen hauptsächlich an Fremdatomen und Materialdefekten gestreut. Die ultimative Entwicklung, die moderne Quantenbandtheorie von Festkörpern, zeigte, dass Elektronen in einem Festkörper entgegen der Annahme des Drude-Modells nicht in der Lage sind, beliebige Energien zu besitzen, sondern auf bestimmte Energiebänder beschränkt sind, die durch verbotene Energielücken getrennt sind. Die Größe dieser Bandlücke ist ein bestimmendes Merkmal einer bestimmten Substanz, beeinflusst maßgeblich deren elektrischen Widerstand und erklärt die Klassifizierung von Materialien als elektrische Leiter, Halbleiter oder Isolatoren.
Obwohl der historische Begriff für die elektrische Leitfähigkeit, „mho“ (was den Kehrwert von Ohm, der Einheit des Widerstands, darstellt), weiterhin verwendet wird, wurde die Einheit „Siemens“ 1971 zu Ehren von Ernst Werner von Siemens offiziell eingeführt. In wissenschaftlichen und formellen Veröffentlichungen ist die Siemens-Nomenklatur die bevorzugte Nomenklatur.
In den 1920er Jahren wurde beobachtet, dass der Strom, der durch einen praktischen Widerstand fließt, selbst unter Bedingungen konstanter Spannung und konstantem Widerstand statistische Schwankungen aufweist, die temperaturabhängig sind. Dieses Phänomen, das heute als Johnson-Nyquist-Rauschen bezeichnet wird, hat seinen Ursprung in der diskreten Natur der elektrischen Ladung. Dieser thermische Effekt weist darauf hin, dass Momentanmessungen von Strom und Spannung, insbesondere über kurze Zeiträume, zu V/I-Verhältnissen führen, die vom Widerstandswert (R) abweichen, der aus dem zeitlichen oder Ensemble-gemittelten Strom abgeleitet wird. Dennoch beschreibt das Ohmsche Gesetz den durchschnittlichen Strom in typischen Widerstandsmaterialien genau.
Ohms grundlegende Arbeit ging vor Maxwells Gleichungen und dem Verständnis frequenzabhängiger Phänomene in Wechselstromkreisen (AC) zurück. Zeitgenössische Fortschritte in der Elektromagnetik- und Schaltkreistheorie bleiben im Einklang mit dem Ohmschen Gesetz, wenn sie innerhalb ihrer definierten Parameter beurteilt werden.
Scope
Das Ohmsche Gesetz ist ein empirisches Prinzip, das aus zahlreichen Experimenten abgeleitet wurde, die eine ungefähre Proportionalität zwischen Strom und elektrischem Feld in den meisten Materialien belegen. Sie besitzt einen geringeren fundamentalen Status als die Maxwell-Gleichungen und ist nicht universell anwendbar. Alle Materialien werden unter ausreichend starken elektrischen Feldern irgendwann versagen, und bestimmte für die Elektrotechnik relevante Materialien zeigen selbst in schwachen Feldern ein „nicht-ohmsches“ Verhalten.
Das Ohmsche Gesetz wurde auf verschiedenen Längenskalen validiert. Hypothesen des frühen 20. Jahrhunderts deuteten auf einen Zusammenbruch auf atomarer Ebene hin; Spätere experimentelle Beweise haben diese Vorhersage jedoch nicht gestützt. Bis 2012 konnten Forscher erfolgreich die Anwendbarkeit des Ohmschen Gesetzes auf Siliziumdrähte mit einer Breite von lediglich vier Atomen und einer Höhe von einem Atom demonstrieren.
Mikroskopische Ursprünge
Die Beziehung zwischen der Stromdichte und dem angelegten elektrischen Feld ist grundsätzlich quantenmechanischer Natur. Eine qualitative Erklärung für das Ohmsche Gesetz kann mithilfe der klassischen Mechanik formuliert werden, insbesondere durch das Drude-Modell, das Paul Drude im Jahr 1900 entwickelte.
Das Drude-Modell stellt Elektronen oder andere Ladungsträger als Teilchen dar, die Flippern ähneln und mit den Ionen kollidieren, aus denen die Struktur des Materials besteht. Elektronen erfahren aufgrund des an ihrem Ort herrschenden durchschnittlichen elektrischen Feldes eine Beschleunigung in entgegengesetzter Richtung zum elektrischen Feld. Dennoch führt jede Kollision dazu, dass das Elektron zufällig abgelenkt wird und eine Geschwindigkeit erreicht, die deutlich größer ist als die durch das elektrische Feld vermittelte Geschwindigkeit. Infolgedessen folgen Elektronen aufgrund dieser Kollisionen einer Zick-Zack-Trajektorie, weisen jedoch eine allgemeine Drift entgegen dem elektrischen Feld auf.
Die Driftgeschwindigkeit bestimmt anschließend die elektrische Stromdichte und ihre Korrelation mit E und funktioniert unabhängig von Kollisionen. Drude leitete die durchschnittliche Driftgeschwindigkeit mithilfe der Gleichung p = −eEτ ab, wobei p den durchschnittlichen Impuls darstellt, −e die Ladung des Elektrons bezeichnet und τ das durchschnittliche Zeitintervall zwischen Kollisionen bezeichnet. Da sowohl der Impuls als auch die Stromdichte direkt proportional zur Driftgeschwindigkeit sind, wird die Stromdichte folglich proportional zum angelegten elektrischen Feld, wodurch das Ohmsche Gesetz entsteht.
Hydraulische Analogie
Eine hydraulische Analogie wird häufig zur Erläuterung des Ohmschen Gesetzes herangezogen. Der Wasserdruck, quantifiziert in Pascal (oder PSI), dient als Analogon für die Spannung, da ein Druckunterschied zwischen zwei Punkten entlang eines horizontalen Rohrs einen Wasserfluss induziert. Der Volumenstrom von Wasser, ausgedrückt in Litern pro Sekunde, entspricht dem elektrischen Strom, gemessen in Coulomb pro Sekunde. Darüber hinaus sind Durchflussbegrenzer, beispielsweise Öffnungen in Rohren zwischen Druckmesspunkten, mit elektrischen Widerständen vergleichbar. Die Geschwindigkeit des Wasserdurchflusses durch eine Blendendrossel ist proportional zur Druckdifferenz darüber. Analog ist die Geschwindigkeit des elektrischen Ladungsflusses oder des elektrischen Stroms durch einen elektrischen Widerstand proportional zur Spannungsdifferenz, die an diesem Widerstand gemessen wird. Im weiteren Sinne kann die hydraulische Förderhöhe als das Analogon der Spannung betrachtet werden, was das Ohmsche Gesetz analog zum Darcy-Gesetz macht, das die hydraulische Förderhöhe mit der volumetrischen Durchflussrate durch hydraulische Leitfähigkeit korreliert.
Fluss- und Druckvariablen innerhalb eines Flüssigkeitsströmungsnetzwerks können mithilfe der hydraulischen Ohm-Analogie berechnet werden. Diese Methodik ist sowohl auf stationäre als auch auf transiente Strömungsbedingungen anwendbar. Innerhalb des linearen laminaren Strömungsregimes charakterisiert das Gesetz von Poiseuille den hydraulischen Widerstand eines Rohrs; Im turbulenten Strömungsbereich weisen die Druck-Strömungs-Beziehungen jedoch Nichtlinearität auf.
Die hydraulische Analogie zum Ohmschen Gesetz wurde beispielsweise verwendet, um den Blutfluss innerhalb des Kreislaufsystems abzuschätzen.
Schaltungsanalyse
Im Zusammenhang mit der Schaltungsanalyse werden drei äquivalente Formulierungen des Ohmschen Gesetzes austauschbar verwendet:
Verschiedene Quellen zitieren jede dieser Gleichungen als grundlegende Definition des Ohmschen Gesetzes. Alternativ können alle drei Formulierungen dargestellt werden oder aus einer proportionalen Beziehung abgeleitet werden. In einigen Fällen werden nur die beiden Gleichungen angegeben, die von Ohms ursprünglicher Erklärung abweichen.
Die Austauschbarkeit dieser Gleichungen kann mithilfe eines mnemonischen Dreiecks visuell dargestellt werden. In dieser Darstellung nimmt V (Spannung) den Scheitelpunkt ein, I (Strom) befindet sich im linken Segment und R (Widerstand) befindet sich im rechten Segment. Die horizontale Linie, die den oberen und unteren Abschnitt trennt, bedeutet Teilung.
Widerstandsschaltungen
Widerstände fungieren als Schaltungskomponenten, die den Fluss elektrischer Ladung im Einklang mit dem Ohmschen Gesetz behindern, und sind so konstruiert, dass sie einen genauen Widerstandswert haben, R. In schematischen Darstellungen wird ein Widerstand typischerweise entweder als längliches Rechteck oder als Zick-Zack-Symbol dargestellt. Jede Komponente (ob ein Widerstand oder ein Leiter), die über ein definiertes Betriebsspektrum dem Ohmschen Gesetz entspricht, wird als ohmsches Gerät (oder ohmscher Widerstand) bezeichnet. Diese Bezeichnung entsteht, weil das Ohmsche Gesetz in Verbindung mit einem einzelnen Widerstandswert die Leistung des Geräts innerhalb dieses spezifischen Bereichs angemessen charakterisiert.
Das Ohmsche Gesetz gilt für Schaltkreise, die ausschließlich aus Widerstandselementen bestehen, mit Ausnahme von Kapazitäten oder Induktivitäten. Dieses Prinzip gilt unabhängig von der Art der Antriebsspannung oder des Antriebsstroms, unabhängig davon, ob diese konstant (Gleichstrom) oder zeitlich veränderlich (z. B. Wechselstrom) sind. Folglich bleibt das Ohmsche Gesetz für solche Schaltungen zu jedem Zeitpunkt gültig.
Widerstände, die entweder in einer Serien- oder Parallelschaltung-Anordnung konfiguriert sind, können zu einem einzelnen „Äquivalentwiderstand“ zusammengefasst werden, um das Ohmsche Gesetz in der Schaltkreisanalyse anzuwenden.
Reaktive Schaltkreise mit zeitlich veränderlichen Signalen
In Schaltkreisen mit reaktiven Elementen wie Kondensatoren, Induktivitäten oder Übertragungsleitungen, die Wechselspannungen oder anderen zeitlich veränderlichen Spannungen oder Strömen ausgesetzt sind, wird die Korrelation zwischen Spannung und Strom durch eine Differentialgleichung bestimmt. Daher ist die grundlegende Form des Ohmschen Gesetzes, die ausschließlich Widerstände mit dem Wert R berücksichtigt, nicht direkt anwendbar, da sie keine komplexen Impedanzen berücksichtigt, die Kapazität (C) oder Induktivität (L) umfassen können.
Gleichungen, die zeitinvariante Wechselstromkreise beschreiben, weisen eine strukturelle Ähnlichkeit mit dem Ohmschen Gesetz auf. Dennoch werden die Variablen auf komplexe Zahlen erweitert und sowohl Strom- als auch Spannungswellenformen werden als komplexe Exponentialfunktionen dargestellt.
Innerhalb dieser Methodik wird eine Spannungs- oder Stromwellenform in der Form Aest ausgedrückt, wobei t die Zeit bezeichnet, s einen komplexen Parameter darstellt und A ein komplexer Skalar ist. Für jedes lineare zeitinvariante System können alle Ströme und Spannungen unter Verwendung des identischen s-Parameters als Eingabe des Systems charakterisiert werden. Dies ermöglicht die Aufhebung des zeitlich veränderlichen komplexen Exponentialterms und ermöglicht so die algebraische Beschreibung des Systems durch die komplexen Skalare, die in den Strom- und Spannungswellenformen vorhanden sind.
Die komplexe Ausdehnung des Widerstands wird als Impedanz bezeichnet und üblicherweise als Z symbolisiert. Es kann gezeigt werden, dass für einen Induktor die Impedanz wie folgt gegeben ist: . Umgekehrt beträgt die Impedanz für einen Kondensator:
Dies ermöglicht die Formulierung: , wobei V und I die komplexen Skalarwerte für Spannung bzw. Strom und Z darstellen bezeichnet die komplexe Impedanz.
Diese Iteration des Ohmschen Gesetzes, wobei Z R ersetzt, bietet einen verallgemeinerten Rahmen, der über den einfacheren Ausdruck hinausgeht. Wenn Z einen komplexen Wert besitzt, trägt nur seine reale Komponente zur Wärmeableitung bei.
In einem typischen Wechselstromkreis weist die komplexe Impedanz Z erhebliche Schwankungen auf, die vom Frequenzparameter s abhängen und somit die Beziehung zwischen Spannung und Strom beeinflussen.
Im vorherrschenden Szenario einer stetigen Sinuswellenform ist der Parameter s definiert als . Dies entspricht einer komplexen Sinuskurve, dargestellt durch . Die realen Komponenten dieser komplexen Strom- und Spannungswellenformen stellen die tatsächlich in einem Stromkreis vorhandenen sinusförmigen Ströme und Spannungen genau dar und weisen möglicherweise Phasenunterschiede auf, die auf verschiedene komplexe Skalare zurückzuführen sind.
Lineare Approximationen
Das Ohmsche Gesetz ist eine grundlegende Gleichung, die bei der Analyse elektrischer Schaltkreise verwendet wird. Seine Anwendbarkeit erstreckt sich sowohl auf metallische Leiter als auch auf Schaltungskomponenten wie Widerstände, die speziell für dieses charakteristische Verhalten entwickelt wurden. Beide Kategorien sind in der Elektrotechnik allgegenwärtig. Materialien und Komponenten, die dem Ohmschen Gesetz unterliegen, werden als „ohmsch“ bezeichnet, was bedeutet, dass sie einen konstanten Widerstandswert (R = V/I) liefern, unabhängig von der Größe der angelegten Spannung V oder des Stroms I und unabhängig davon, ob das angelegte elektrische Potenzial oder der Strom Gleichstrom (DC) mit positiver oder negativer Polarität oder Wechselstrom (AC) ist.
Für ein Ideal Bei einem ohmschen Gerät bleibt der aus R = V/I abgeleitete Widerstandswert unabhängig von der Größe der angelegten Spannung V konstant. Folglich ist das Verhältnis V/I unveränderlich und eine Auftragung des Stroms als Funktion der Spannung ergibt eine lineare (gerade) Kurve. Wenn eine bestimmte Spannung V angelegt wird, entspricht der Quotient aus dieser Spannung V und dem gemessenen Strom I R. Wenn umgekehrt ein bestimmter Strom I erzwungen wird, ist die gemessene Spannung V dividiert durch diesen Strom I ebenfalls gleich R. Da der Graph von I über V linear ist, folgt daraus, dass für jedes Paar unterschiedlicher Spannungen V§3637§ und V§4041§, die an ein Gerät mit dem Widerstand R angelegt werden, Ströme I§4647§ = resultieren V§5051§/R und I§5657§ = V§6061§/R, das Verhältnis (V§6667§ − V§7071§)/(I§7475§ − I§7879§) stellt ebenfalls ein konstantes Äquivalent zu R dar. Der „Delta“-Operator (Δ) bezeichnet einen Unterschied in einer Größe und ermöglicht es uns, ΔV = V§8687§ − V§9091§ und ΔI = I§9697§ − I§100101§ auszudrücken. Zusammenfassend gilt für jedes wirklich ohmsche Gerät mit dem Widerstand R die Beziehung V/I = ΔV/ΔI = R für jede angelegte Spannung oder jeden angelegten Strom oder für die Differenz zwischen jedem Satz angelegter Spannungen oder Ströme.
Dennoch entsprechen bestimmte elektrische Schaltkreiskomponenten nicht dem Ohmschen Gesetz; Ihr Strom-Spannungs-Verhältnis, dargestellt durch ihre I–V-Kurve, weist ein nichtlineares (oder nicht-ohmsches) Verhalten auf. Ein prominentes Beispiel ist die pn-Übergangsdiode, bei der der Strom nicht proportional mit der angelegten Spannung ansteigt. Während für eine gegebene angelegte Spannung (V) aus der Kennlinie ein spezifischer Stromwert (I) ermittelt werden kann, lässt sich dieser nicht aus dem Ohmschen Gesetz ableiten, da der „Widerstand“ bei unterschiedlichen angelegten Spannungen nicht konstant ist. Darüber hinaus tritt ein signifikanter Stromfluss typischerweise nur dann auf, wenn die angelegte Spannung positiv ist. Das Verhältnis V/I an jedem Punkt einer nichtlinearen Kurve wird manchmal als statischer, sehnenförmiger oder Gleichstromwiderstand bezeichnet. Dieser Gesamtwert von V über dem Gesamtwert von I variiert jedoch je nach dem spezifischen Punkt, der entlang der nichtlinearen Kurve ausgewählt wird. Folglich unterscheidet sich der „Gleichstromwiderstand“ (V/I) an einem bestimmten Punkt auf der Kurve von dem Widerstand, der durch Anlegen eines Wechselstromsignals mit einer Spitzenamplitude von ΔV Volt oder ΔI Ampere, zentriert am selben Punkt und Messen von ΔV/ΔI ermittelt wird. Bei bestimmten Diodenanwendungen, wenn das angelegte Wechselstromsignal gering ist, kann die Schaltungsanalyse den dynamischen, Kleinsignal oder inkrementellen Widerstand verwenden. Dies ist definiert als der Kehrwert der Steigung der V–I-Kurve bei der durchschnittlichen Spannung (DC-Arbeitspunkt), der dem Kehrwert der Ableitung des Stroms nach der Spannung entspricht. Bei ausreichend kleinen Signalen nähert sich der dynamische Widerstand dem Kleinsignalwiderstand an, der durch das Ohmsche Gesetz vorhergesagt wird und als Kehrwert der Steigung einer Linie berechnet wird, die tangential zur V–I-Kurve am DC-Betriebspunkt gezogen wird.
Temperatureffekte
Das Ohmsche Gesetz wurde in der Vergangenheit folgendermaßen formuliert: „Für einen Leiter in einem bestimmten Zustand ist die elektromotorische Kraft proportional zum erzeugten Strom.“ Dies impliziert, dass der Widerstand, definiert als das Verhältnis der angelegten elektromotorischen Kraft (Spannung) zum Strom, „nicht mit der Stromstärke variiert“. Der Ausdruck „in einem bestimmten Zustand“ wird üblicherweise als „bei einer konstanten Temperatur“ verstanden, da der spezifische Materialwiderstand typischerweise temperaturabhängig ist. Da die Stromleitung gemäß dem ersten Jouleschen Gesetz von Natur aus eine Joule'sche Erwärmung innerhalb des leitenden Körpers mit sich bringt, kann die Temperatur eines Leiters schwanken, wenn ein Strom fließt. Diese Temperaturabhängigkeit des Widerstands macht den Widerstand in standardmäßigen experimentellen Konfigurationen folglich stromabhängig, was die direkte Überprüfung des Ohmschen Gesetzes in dieser präzisen Formulierung erschwert. Im Jahr 1876 entwickelten Maxwell und andere Forscher verschiedene experimentelle Methoden, um das Gesetz zu testen und gleichzeitig Erwärmungsphänomene akribisch zu kontrollieren. Typischerweise werden Widerstandsmessungen bei niedrigen Strömen durchgeführt, um Joule'sche Erwärmung zu vermeiden. Dennoch können bereits minimale Ströme aufgrund des Peltier-Effekts eine Erwärmung oder Abkühlung an den Probenkontakten hervorrufen. Dies führt zu einem linearen Temperaturunterschied zwischen den Kontakten, der wiederum eine thermoelektromotorische Seebeck-Kraft erzeugt, die linear zum gesamten Spannungsabfall im Stromkreis beiträgt. Folglich ist selbst bei verschwindend kleinen Strömen eine thermische Korrektur des gemessenen Probenwiderstands vorhanden, und ihre Größe kann mit dem Probenwiderstand selbst vergleichbar sein.
Beziehung zur Wärmeleitung
Das Ohmsche Prinzip beschreibt den Fluss elektrischer Ladung oder Stroms in elektrischen Leitern, wenn dieser durch Spannungsunterschiede beeinflusst wird. Analog erklärt das Prinzip von Jean-Baptiste-Joseph Fourier den Wärmefluss in Wärmeleitern unter dem Einfluss von Temperaturunterschieden.
Eine einzelne mathematische Gleichung regelt beide Phänomene, wobei ihre Variablen in jedem Kontext unterschiedliche Interpretationen annehmen. Insbesondere bietet die Lösung eines Wärmeleitungsproblems auf der Grundlage des Fourierschen Gesetzes unter Verwendung der Temperatur als treibende Kraft und des Wärmeflusses als Geschwindigkeit des Wärmeenergieflusses gleichzeitig eine Lösung für ein analoges elektrisches Leitungsproblem auf der Grundlage des Ohmschen Gesetzes, bei dem elektrisches Potential als treibende Kraft fungiert und elektrischer Strom die Geschwindigkeit des Ladungsflusses darstellt.
Fouriers grundlegende Arbeit basierte auf seiner präzisen Konzeptualisierung und Definition der Wärmeleitfähigkeit. Er ging davon aus, dass unter konstanten Bedingungen der Wärmefluss direkt proportional zum Temperaturgradienten ist. Während diese Proportionalität für geringfügige Temperaturgradienten gilt, verliert sie in realen Materialien, beispielsweise solchen mit temperaturabhängiger Wärmeleitfähigkeit, ihre Gültigkeit, wenn sie erheblichen Temperaturgradienten ausgesetzt werden.
Das Ohmsche Gesetz beinhaltet eine vergleichbare Annahme: insbesondere, dass die Stromstärke an einem bestimmten Punkt proportional zum elektrischen Potentialgradienten ist, vorausgesetzt, dass alle anderen Faktoren konstant bleiben. Moderne Messtechniken ermöglichen eine einfachere Überprüfung dieser Proportionalitätsannahme für den elektrischen Fluss im Vergleich zur Wärmeübertragung.
Alternative Formulierungen
Die oben erwähnte skalare Formulierung des Ohmschen Gesetzes ist in der Elektro- und Elektroniktechnik von großem Wert, da sie die makroskopische Wechselbeziehung zwischen Spannung, Strom und Widerstand verdeutlicht, die typischerweise auf Schaltkreiselemente in einem elektrischen System angewendet wird. Umgekehrt verwenden Physiker, die die mikroskopischen elektrischen Eigenschaften von Materialien untersuchen, eine allgemeinere Vektorgleichung, die gelegentlich auch als Ohmsches Gesetz bezeichnet wird. Diese Vektorform verwendet Variablen analog zu den Skalaren V, I und R, diese Variablen werden jedoch als Funktionen der Position im gesamten Leiter ausgedrückt. Daher übernehmen Physiker häufig diese Kontinuumsdarstellung des Ohmschen Gesetzes:
In dieser Formulierung stellt E den elektrischen Feldvektor dar, gemessen in Volt pro Meter, der analog zur Spannung V im Ohmschen Gesetz (gemessen in Volt) ist. J bezeichnet den Stromdichtevektor, ausgedrückt in Ampere pro Flächeneinheit, ähnlich dem Strom I im Ohmschen Gesetz (gemessen in Ampere). Das Symbol ρ (rho) bezeichnet den spezifischen Widerstand mit der Einheit Ohm-Meter und entspricht dem Widerstand R im Ohmschen Gesetz (gemessen in Ohm). Diese Gleichung kann auch als J = σE ausgedrückt werden, wobei σ (Sigma) die Leitfähigkeit darstellt, den Kehrwert von ρ.
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten wird formal durch das folgende Integral definiert: Hier: stellt das infinitesimale Pfadelement entlang der Integration des elektrischen Feldvektors E dar. Wenn das angelegte E-Feld gleichmäßig und an der Länge des Leiters ausgerichtet ist und wenn die Spannung V konventionell als entgegengesetzt zur Feldrichtung definiert wird, wobei V differenziell über die Länge des Leiters gemessen wird (wodurch das Δ-Symbol weggelassen werden kann), vereinfacht sich die vorangehende Vektorgleichung zur Skalarform:
Angesichts der Tatsache, dass das Feld E über die Länge des Leiters gleichmäßig bleibt und angenommen wird, dass der Leiter einen konstanten spezifischen Widerstand ρ besitzt, ist die Stromdichte J über jede Querschnittsfläche gleichermaßen gleichmäßig und an der Längsachse des Drahtes ausgerichtet. Dies ermöglicht den folgenden Ausdruck:
Durch Einsetzen der beiden vorhergehenden Ergebnisse, die E und J entsprechen, in die weiter oben in diesem Abschnitt vorgestellte Kontinuumsformulierung wird Folgendes abgeleitet:
Der elektrische Widerstand eines homogenen Leiters wird durch seinen spezifischen Widerstand wie folgt definiert: Hier stellt ℓ die Länge des Leiters dar, gemessen in Metern (SI-Einheiten); a bezeichnet die Querschnittsfläche, ausgedrückt in Quadratmetern (für einen kreisförmigen Draht, a = πr§41 wobei r ist der Radius); und ρ bezeichnet den spezifischen Widerstand, quantifiziert in Ohmmetern.
Beim Einsetzen von R aus der oben genannten Gleichung in die vorhergehende Gleichung vereinfacht sich die Kontinuumsdarstellung des Ohmschen Gesetzes, anwendbar auf ein gleichmäßiges Feld und eine Stromdichte, die an die Länge des Leiters angepasst ist, zu ihrem allgemein anerkannten Ausdruck:
Ein ideales Kristallgitter, das durch minimale thermische Bewegung und das Fehlen struktureller Periodizitätsabweichungen gekennzeichnet ist, würde einen spezifischen Widerstand von Null aufweisen. Tatsächliche Metalle weisen jedoch kristallographische Unvollkommenheiten, Verunreinigungen, verschiedene Isotope und atomare thermische Bewegung auf. Diese Faktoren verursachen gemeinsam eine Elektronenstreuung, wodurch der Elektronenfluss behindert und Widerstand erzeugt wird.
Die komplexeren, verallgemeinerten Formulierungen des Ohmschen Gesetzes sind von grundlegender Bedeutung in der Physik der kondensierten Materie, einer Disziplin, die sich auf die Untersuchung von Materialeigenschaften, insbesondere ihrer elektronischen Strukturen, konzentriert. Diese Formulierungen werden grob in den Bereich der Materialgleichungen und des theoretischen Rahmens der Transportkoeffizienten eingeordnet.
Magnetische Phänomene
Wenn ein externes B-Feld angelegt wird und der Leiter sich mit der Geschwindigkeit v bewegt und nicht stationär ist, ist ein zusätzlicher Term erforderlich, um den Strom zu berücksichtigen, der durch die auf die Ladungsträger wirkende Lorentzkraft erzeugt wird.
Im Ruhesystem des Leiters entfällt dieser Term, da v = 0. Dieses Ergebnis ist nicht widersprüchlich, da das im Ruhesystem beobachtete elektrische Feld mit der Bezeichnung E′ vom im Laborsystem gemessenen E-Feld abweicht, nämlich E′ = E + v × B. Die Relativität elektrischer und magnetischer Felder wird durch die Lorentz-Transformation erklärt.
Wenn der Strom J aufgrund einer zeitlich veränderlichen angelegten Spannung oder eines E-Feldes wechselt, muss die Reaktanz mit dem Widerstand kombiniert werden, um die Selbstinduktivität zu berücksichtigen. Durch hohe Frequenzen oder gewickelte Leiterkonfigurationen kann eine erhebliche Reaktanz entstehen.
Leitfähige Flüssigkeiten
Ein vergleichbares Phänomen tritt in leitfähigen Flüssigkeiten wie Plasma auf. Wenn sich eine Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit bewegt mathvariant="bold">v
Die Symbole
Diese Formulierung enthält die Definition der Stromdichte und führt , der die elektrische Leitfähigkeit darstellt. Eine alternative, äquivalente Darstellung dieser Gleichung lautet: \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {J} ,}, wobei bezeichnet den elektrischen Widerstand. Es ist bemerkenswert, dass häufig austauschbar mit . Dies kann jedoch zu Mehrdeutigkeiten führen, da auch üblicherweise magnetische Diffusivität bedeutet, definiert als