Trägheitsmoment (Moment of inertia)

Das Trägheitsmoment (auch bekannt als Massenträgheitsmoment, Winkel-/Rotationsmasse, zweites Massenmoment oder Rotationsträgheit) ist ein Maß dafür, wie…

Das Trägheitsmoment (auch bekannt als Massenträgheitsmoment, Winkel-/Rotationsmasse, zweites Massenmoment oder Rotationsträgheit) quantifiziert den Widerstand eines starren Körpers gegenüber Änderungen seiner Rotationsgeschwindigkeit um eine bestimmte Achse. Es stellt das Verhältnis des aufgebrachten Drehmoments zur resultierenden Winkelbeschleunigung um diese Achse dar. Analog zur Masse in der linearen Kinematik erfüllt sie in der Rotationsdynamik eine vergleichbare Funktion. Das Trägheitsmoment eines Körpers um eine bestimmte Achse hängt sowohl von seiner Masse als auch von der räumlichen Anordnung dieser Masse relativ zur Achse ab und nimmt mit zunehmender Masse und zunehmendem Abstand von der Achse zu.

Für eine singuläre Punktmasse ist das Trägheitsmoment definiert als das Produkt seiner Masse und dem Quadrat seines senkrechten Abstands von der Rotationsachse. In einem starren Verbundsystem ist das Gesamtträgheitsmoment die algebraische Summe der Trägheitsmomente seiner Teilsysteme, sofern alle in Bezug auf die identische Achse berechnet werden. Grundsätzlich kann es als zweites Massenmoment hinsichtlich seines Abstands von einer bestimmten Achse charakterisiert werden.

Wenn die Rotation eines Körpers auf eine einzelne Ebene beschränkt ist, ist der relevante Parameter ein skalares Trägheitsmoment um eine Achse, die orthogonal zu dieser Ebene ist. Umgekehrt ist die Rotationsträgheit eines Körpers, der sich in drei Dimensionen drehen kann, durch eine symmetrische 3x3-Matrix gekennzeichnet. Diese Matrix besitzt einen Satz zueinander orthogonaler Hauptachsen, entlang derer sie diagonal wird, was bedeutet, dass um diese Achsen ausgeübte Drehmomente unabhängige Rotationsreaktionen hervorrufen.

Einführung

Für einen Körper, der sich frei um eine Achse dreht, ist ein äußeres Drehmoment erforderlich, um seinen Drehimpuls zu ändern. Die Größe des Drehmoments, das erforderlich ist, um eine bestimmte Winkelbeschleunigung hervorzurufen – definiert als die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit – ist direkt proportional zum Trägheitsmoment des Körpers. Im Internationalen Einheitensystem (SI) werden Trägheitsmomente typischerweise in Kilogramm-Meter-Quadrat (kg·m²) quantifiziert, während imperiale oder in den USA übliche Einheiten Pfund-Fuß-Quadrat (lb·ft²) verwenden.

In der Rotationskinetik erfüllt das Trägheitsmoment eine analoge Funktion zur Masse (Trägheit) in der linearen Kinetik; Beide Größen quantifizieren den inhärenten Widerstand eines Körpers gegenüber Änderungen seines Bewegungszustands. Diese Trägheitseigenschaft hängt von der Massenverteilung relativ zur Rotationsachse ab und variiert folglich mit der Auswahl dieser Achse. Für eine Punktmasse wird das Trägheitsmoment um eine bestimmte Achse mathematisch ausgedrückt als $mr^{2}$ , wobei $r$ bezeichnet den senkrechten Abstand vom Punkt zur Achse und $m$ stellt seine Masse dar. Bei einem ausgedehnten starren Körper wird das Trägheitsmoment durch Summieren der Produkte jedes infinitesimalen Massenelements und des Quadrats seines Abstands von der Rotationsachse bestimmt. Wenn man einen ausgedehnten Körper mit regelmäßiger geometrischer Form und gleichmäßiger Dichte betrachtet, lässt sich diese Summierung oft zu einem einfachen analytischen Ausdruck vereinfachen, der eine Funktion der Abmessungen, der Form und der Gesamtmasse des Objekts ist.

Christiaan Huygens führte diesen Parameter erstmals 1673 ein, als er die Schwingung eines an einem Drehpunkt aufgehängten Körpers untersuchte, ein System, das heute als zusammengesetztes Pendel bekannt ist. Der spezifische Begriff Trägheitsmoment (lateinisch: „momentum inertiae“) wurde 1765 von Leonhard Euler in seiner Abhandlung Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum formell eingeführt und wurde später integraler Bestandteil von Eulers zweitem Bewegungsgesetz.

Die natürliche Schwingungsfrequenz eines zusammengesetzten Pendels ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen dem auf das Pendel ausgeübten Gravitationsdrehmoment die Masse des Pendels und der Trägheitswiderstand gegenüber der Beschleunigung, der durch das Trägheitsmoment quantifiziert wird. Durch den Vergleich dieser Eigenfrequenz mit der eines einfachen Pendels, das aus einer einzelnen Punktmasse besteht, kann ein mathematischer Rahmen zur Bestimmung des Trägheitsmoments eines ausgedehnten Körpers erstellt werden.

Darüber hinaus manifestiert sich das Trägheitsmoment in Ausdrücken für Drehimpuls, kinetische Rotationsenergie und Newtons Bewegungsgesetze für starre Körper und dient als grundlegender physikalischer Parameter, der die Geometrie und Massenverteilung eines Objekts integriert. Ein bemerkenswerter Unterschied besteht darin, wie das Trägheitsmoment bei planarer und räumlicher Bewegung dargestellt wird. Für eine ebene Bewegung genügt ein einzelner Skalarwert, um das Trägheitsmoment zu definieren; Für räumliche Bewegungen führen identische Berechnungen jedoch zu einer 3x3-Matrix von Trägheitsmomenten, die üblicherweise als Trägheitsmatrix oder Trägheitstensor bezeichnet wird.

Das Trägheitsmoment eines rotierenden Schwungrads wird in Maschinen genutzt, um Schwankungen des aufgebrachten Drehmoments entgegenzuwirken und so eine konstante Rotationsleistung sicherzustellen. Ebenso bestimmt das Trägheitsmoment eines Flugzeugs um seine Längs-, Horizontal- und Vertikalachsen, wie die von den Steuerflächen (Flügel, Höhenruder und Ruder) ausgeübten Lenkkräfte die Roll-, Nick- und Gierbewegungen des Flugzeugs beeinflussen.

Definition

Das Trägheitsmoment wird formal als das Produkt aus der Masse eines Abschnitts und dem Quadrat des Abstands zwischen der Referenzachse und dem Schwerpunkt des Abschnitts definiert.

Alternativ kann das Trägheitsmoment I als das Verhältnis des Nettodrehimpulses L eines Systems zu seiner Winkelgeschwindigkeit ω um eine Hauptachse definiert werden, ausgedrückt als: $I={\frac {L}{\omega }}.$

Wenn der Drehimpuls eines Systems konstant bleibt, erfordert eine Verringerung seines Trägheitsmoments eine Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit. Dieses Prinzip wird durch sich drehende Eiskunstläufer veranschaulicht, die ihre Arme zurückziehen, oder durch Taucher, die eine angezogene Position einnehmen, um ihre Rotation zu beschleunigen.

Unter der Annahme, dass die Form des Körpers konstant bleibt, wird sein Trägheitsmoment in das Newtonsche Bewegungsgesetz als Verhältnis eines ausgeübten Drehmoments τ zur Winkelbeschleunigung α um eine Hauptachse einbezogen, insbesondere: $\tau =I\alpha .$

Für ein einfaches Pendel liefert diese Definition eine Formel für das Trägheitsmoment I, ausgedrückt durch die Masse des Pendels m und seinen Abstand r vom Drehpunkt, wie folgt: $I=mr^{2}.$ 23§ . {\displaystyle I=mr^{2}.

Folglich hängt das Trägheitsmoment des Pendels sowohl von der Masse m des Körpers als auch von seiner geometrischen Konfiguration ab, insbesondere vom Abstand r zur Rotationsachse.

Diese Grundformel kann verallgemeinert werden, um das Trägheitsmoment für einen beliebig geformten Körper als Summe aller elementaren Punktmassen zu definieren dm, jeweils multipliziert mit dem Quadrat seines senkrechten Abstands r von einer gegebenen Achse k. Daher wird das Trägheitsmoment eines Objekts durch die räumliche Verteilung seiner Masse bestimmt.

Für jedes Objekt mit der Masse m kann ein effektiver Radius k festgelegt werden, der für eine bestimmte Rotationsachse spezifisch ist. Dieser Radius ist so definiert, dass das Trägheitsmoment des Objekts um diese Achse gegeben ist durch: $I=mk^{2},$ 21§ , {\displaystyle I=mk^{2}, wobei k als der Gyrationsradius um die Achse bezeichnet wird.

Beispiele

Einfaches Pendel

Aus mathematischer Sicht ist das Trägheitsmoment eines einfachen Pendels definiert als das Verhältnis des Gravitationsdrehmoments um seinen Drehpunkt zu seiner Winkelbeschleunigung um denselben Drehpunkt. Für ein einfaches Pendel wird dieser Wert als Produkt der Masse des Teilchens $bestimmt m$ und das Quadrat seiner Entfernung $r$ aus dem Pivot, ergibt: $I=mr^{2}.$

Diese Beziehung kann wie folgt demonstriert werden:

Die auf die Masse eines einfachen Pendels wirkende Gravitationskraft erzeugt ein Drehmoment ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

Die Menge $I=mr^{2}$

In ähnlicher Weise wird die kinetische Energie der Masse des Pendels durch seine Geschwindigkeit um den Drehpunkt bestimmt, ausgedrückt als: {1}{2}}I\omega ^{2}.}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">EK=§1718§§19 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$ mv⋅v=§4041§§42 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$ (mr§56 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$ )ω§69 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$ =§7778§§79 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$ Iω§89 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$ {\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.} $I=mr^{2}$ die Rotationsträgheit definiert Integration der Masse in die geometrische Konfiguration des Körpers. Das Trägheitsmoment für einen beliebig geformten Körper wird durch Summieren der einzelnen Werte für alle konstituierenden Massenelemente innerhalb dieses Körpers ermittelt.

Verbundpendel

Ein zusammengesetztes Pendel ist definiert als ein starrer Körper, der aus einer kontinuierlichen Verteilung von Partikeln besteht und um einen festen Drehpunkt schwingt. Sein Gesamtträgheitsmoment ist die Summe der einzelnen Trägheitsmomente seiner konstituierenden Teilchen. Die Eigenfrequenz ( $\omega _{\text{n}}$ ) eines zusammengesetzten Pendels hängt von seinem Trägheitsmoment ab, $I_{P}$ , ausgedrückt durch die Formel: $\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$ wobei $m$ bezeichnet die Masse des Objekts, $g$ stellt die lokale Erdbeschleunigung dar und $r$ bezeichnet den Abstand vom Drehpunkt zum Massenschwerpunkt des Objekts. Die Messung dieser Schwingungsfrequenz, insbesondere bei kleinen Winkelverschiebungen, bietet eine robuste Methode zur Bestimmung des Trägheitsmoments eines Körpers.

Um das Trägheitsmoment für einen bestimmten Körper zu ermitteln, kann man ihn an einem geeigneten Drehpunkt aufhängen {\displaystyle P , wodurch sichergestellt wird, dass es frei innerhalb einer Ebene orthogonal zur beabsichtigten Richtung des Trägheitsmoments schwingt. Anschließend wird durch Messung seiner Eigenfrequenz oder der Schwingungsperiode ( $t$ ) kann das Trägheitsmoment mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden: $I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},$ wobei $t$ bezeichnet die Schwingungsperiode, die typischerweise durch Mittelung mehrerer Perioden bestimmt wird.

Schwingungszentrum

Die Länge $L$ , die sich vom Drehpunkt bis zum Schwingungszentrum eines zusammengesetzten Pendels erstreckt, wird durch ein einfaches Pendel definiert, das eine identische Eigenfrequenz besitzt. Dieser bestimmte Punkt entspricht auch dem Zentrum des Schlagwerks. Die Länge: L kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

Das Sekundenpendel, das die charakteristischen „Tick“- und „Tack“-Geräusche einer Standuhr erzeugt, vollzieht in einer Sekunde einen vollständigen Schwung (von einer Seite zur anderen). Dies entspricht einer Periode von zwei Sekunden oder einer natürlichen Frequenz von $\pi \ \mathrm {rad/s}$ für das Pendel. Folglich der Abstand zum Schwingungszentrum, bezeichnet als $L$ kann wie folgt berechnet werden: $L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\ungefähr {\frac {9,81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3,14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\ungefähr 0,99\ \mathrm {m} .$

Es ist wichtig zu beachten, dass der Abstand zum Schwingungszentrum eines Sekundenpendels angepasst werden muss, um Schwankungen der lokalen Erdbeschleunigung Rechnung zu tragen. Das Kater-Pendel, eine Art zusammengesetztes Pendel, nutzt dieses Prinzip, um die lokale Gravitationsbeschleunigung präzise zu messen und fungiert als Gravimeter.

Messung des Trägheitsmoments

Das Trägheitsmoment komplexer Systeme, einschließlich Fahrzeugen oder Flugzeugen, um ihre vertikale Achse kann mithilfe eines trifilaren Pendels bestimmt werden. Dieses Gerät besteht aus einer an drei Drähten aufgehängten Plattform, die so konstruiert ist, dass sie eine Torsionsschwingung um ihre vertikale Schwerpunktsachse erfährt. Die Schwingungsdauer des trifilaren Pendels liefert direkt das Trägheitsmoment des Systems.

Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment, auch als zweites Flächenmoment bezeichnet, besitzt eine eigene physikalische Interpretation, die sich völlig vom Massenträgheitsmoment unterscheidet.

Diese Berechnungen werden häufig im Bauingenieurwesen für die Tragkonstruktion von Balken und Stützen angewendet. Querschnittsflächenberechnungen werden für das vertikale Moment um die x-Achse durchgeführt, bezeichnet als $I_{xx}$ und das horizontale Moment um die y-Achse, bezeichnet als $I_{yy}$ .

Lineare Abmessungen umfassen Höhe (h) und Breite (b); Bei kreisförmigen Geometrien ist die relevante Dimension jedoch effektiv eine abgeleitete Halbbreite, dargestellt durch $r$ .

Formeln für Schnittflächenmomente:

Für ein Quadrat sind die Trägheitsmomente gegeben durch: $I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}$
Für einen rechteckigen Querschnitt ist das Trägheitsmoment um die x-Achse gegeben durch: $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}$ . Das Trägheitsmoment um die y-Achse beträgt: $I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}$
Für einen dreieckigen Querschnitt ist das Trägheitsmoment um die x-Achse definiert als: $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}$
Für einen kreisförmigen Querschnitt sind die Trägheitsmomente äquivalent und werden berechnet als: I x x = I y y = §3233§ §3435§ π r §4748§ = §5556§ 64 π d §7071§ {\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}}

Bewegung in einer festen Ebene

Punktmasse

Das Trägheitsmoment eines Körpers um eine bestimmte Achse wird durch Summieren des Produkts bestimmt m r §13 $mr^{2}$ {\displaystyle mr^{2}} für jedes Teilchen innerhalb des Körpers, wobei $r$ stellt den senkrechten Abstand vom Partikel zur angegebenen Achse dar. Um die Entstehung des Trägheitsmoments bei der Analyse ausgedehnter Körperbewegungen zu verstehen, ist es sinnvoll, sich den Körper als eine starre Ansammlung von Punktmassen vorzustellen. Es ist wichtig zu beachten, dass diese Gleichung auf Nicht-Hauptachsen angewendet werden kann, mit der Maßgabe, dass sie in solchen Fällen keine vollständige Beschreibung des Trägheitsmoments liefert.

Die kinetische Energie einer Baugruppe bestehend aus $N$

Das Trägheitsmoment eines Körpers wird durch Summieren einzelner $mr^{2}$ Begriffe, ausgedrückt als $I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$ 50§Nmiri§73 $mr^{2}$ .{\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}.

Folglich stellt das Trägheitsmoment eine physikalische Eigenschaft dar, die die Masse und räumliche Verteilung von Partikeln relativ zur Rotationsachse integriert. Es ist wichtig zu beachten, dass die Drehung desselben Körpers um verschiedene Achsen zu unterschiedlichen Trägheitsmomenten führt.

Für einen kontinuierlichen Körper, der sich um eine bestimmte Achse dreht, wird das Trägheitsmoment auf ähnliche Weise berechnet, jedoch unter Berücksichtigung einer unendlichen Anzahl von Punktteilchen. Folglich entfallen die Summationsgrenzen und die Summe wird ausgedrückt als: scriptlevel="0">IP=∑imiri§41 $I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$ {\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}.

Eine alternative Formulierung ersetzt die Summation durch ein Integral, wie gezeigt: $I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV$ .

In diesem Zusammenhang ist die Funktion $\rho$ bezeichnet die Massendichte an jedem Punkt $(x,y,z)$ . Der Vektor $\mathbf {r}$ ist senkrecht zur Rotationsachse und erstreckt sich von einem Punkt auf dieser Achse zu einem Punkt $(x,y,z)$ innerhalb des Volumenkörpers. Die Integration wird über das Volumen $V$ des Körpers $Q$ . Für eine flache Oberfläche erfolgt die Berechnung des Trägheitsmoments analog, wobei die Massendichte durch die Flächenmassendichte ersetzt und das Integral über die Oberfläche ausgewertet wird.

Hinweis zum zweiten Flächenmoment: Ein häufiger konzeptioneller Fehler besteht darin, das Trägheitsmoment eines Körpers, der eine ebene Bewegung ausführt, mit dem zweiten Flächenmoment des Balkenquerschnitts zu verwechseln. Das Trägheitsmoment für einen Körper mit der Geometrie eines Querschnitts ist definiert als das zweite Moment dieser Fläche um den $z$ -Achse, die senkrecht zum Querschnitt ausgerichtet ist und anhand der Dichte des Körpers skaliert wird. Diese Größe wird auch als polares Moment der Fläche bezeichnet und stellt die Summe der zweiten Momente um das $dar x$ - und $y$ -Achsen. Im Rahmen der Strukturanalyse werden Balkenspannungen unter Verwendung des zweiten Moments der Querschnittsfläche berechnet, insbesondere um entweder $x$ -Achse oder die $y$ -Achse, abhängig von den angewendeten Belastungsbedingungen.

Beispiele

Um das Trägheitsmoment für ein zusammengesetztes Pendel zu bestimmen, das typischerweise als dünne Scheibe konfiguriert ist, die an einem Ende eines schlanken Stabs befestigt ist und um einen Drehpunkt am gegenüberliegenden Ende des Stabs schwingt, umfasst das anfängliche Verfahren die Berechnung des Trägheitsmoments sowohl für den dünnen Stab als auch für die dünne Scheibe in Bezug auf ihre jeweiligen Massenschwerpunkte.

Das Trägheitsmoment für einen dünnen Stab, gekennzeichnet durch einen konstanten Querschnitt $s$ , einheitliche Dichte $\rho$ und Länge $\ell$ wird bei Berechnung um eine senkrechte Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft, durch Integration abgeleitet.
Das Trägheitsmoment für eine dünne Scheibe, gekennzeichnet durch konstante Dicke $s$ , Radius $R$ und Dichte $\rho$ , über eine durchgehende Achse sein Mittelpunkt und senkrecht zu seiner ebenen Oberfläche (also parallel zu seiner Rotationssymmetrieachse) ausgerichtet ist, wird durch Integration abgeleitet.
Das Trägheitsmoment eines zusammengesetzten Pendels wird berechnet, indem die einzelnen Trägheitsmomente seiner Stab- und Scheibenkomponenten um den Drehpunkt summiert werden P {\displaystyle P} , wie durch die folgende Gleichung ausgedrückt: $I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},$ wobei $L$ bezeichnet die Länge des Pendels. Es ist wichtig zu beachten, dass hier der Satz der parallelen Achsen angewendet wird, um das Trägheitsmoment vom Massenschwerpunkt auf den Drehpunkt des Pendels zu übertragen.

Zusammenstellungen von Trägheitsmomentformeln für geometrische Standardformen erleichtern die Bestimmung des Trägheitsmoments für komplexe Körper, indem sie diese als Zusammensetzungen einfacherer Formen behandeln. Anschließend wird der Parallelachsensatz verwendet, um den Referenzpunkt jeder einzelnen Komponente so anzupassen, dass er mit dem Referenzpunkt der gesamten Baugruppe übereinstimmt.

Um eine zusätzliche Veranschaulichung zu liefern, betrachten Sie das Trägheitsmoment einer festen Kugel mit gleichmäßiger Dichte, berechnet um eine Achse, die durch ihren Massenschwerpunkt verläuft. Dieser Wert wird durch die Aggregierung der Trägheitsmomente unendlich dünner Scheiben ermittelt, die zusammen die Kugel bilden und deren Mittelpunkte entlang der angegebenen Achse ausgerichtet sind. Wenn die Oberfläche der Kugel mathematisch durch die Gleichung $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ .

Folglich ist das Quadrat des Radius $r$ für die Scheibe an einem Querschnitt $z$ entlang der $z$ -Achse wird durch die folgende Gleichung bestimmt: $r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.$

Folglich wird das Trägheitsmoment einer Kugel durch Summieren der Trägheitsmomente ihrer einzelnen Scheiben entlang der $z$

ermittelt

Starrer Körper

Wenn ein mechanisches System auf planare Bewegung beschränkt ist, insbesondere parallel zu einer festen Ebene, erfolgt die Drehung jedes Körpers innerhalb dieses Systems immer um eine Achse $\mathbf {\hat {k}}$ , die senkrecht zu dieser Ebene ist. Unter diesen Bedingungen wird das Trägheitsmoment der Systemmasse als skalare Größe charakterisiert, die als polares Trägheitsmoment bezeichnet wird. Diese Definition des polaren Trägheitsmoments lässt sich aus einer Analyse des Impulses, der kinetischen Energie und der Newtonschen Gesetze ableiten, die auf die planare Bewegung eines starren Teilchensystems angewendet werden.

Wenn ein System aus $n$ Partikel, bezeichnet als $P_{i},i=1,\dots ,n$ 37§ , … , n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} , ist als starrer Körper konfiguriert, dessen Gesamtimpuls artikuliert werden kann Referenzieren von Positionen relativ zu einem bestimmten Punkt $\mathbf {R}$ und die absoluten Geschwindigkeiten $\mathbf {v} _{i}$ , wie folgt:

Bei planarer Bewegung ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor entlang des Einheitsvektors ausgerichtet $\mathbf {k}$ , das orthogonal zur Bewegungsebene ist. Wir führen die Einheitsvektoren $\mathbf {e} _{i}$ , ausgehend vom Referenzpunkt $\mathbf {R}$ zu einem bestimmten Punkt $\mathbf {r} _{i}$ . Zusätzlich definieren wir den Einheitsvektor $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ .

Diese Formulierung legt die relativen Positions- und Geschwindigkeitsvektoren für ein starres System von Partikeln fest, die eine planare Bewegung ausführen.

Überlegungen zum Kreuzprodukt: Wenn sich ein Körper parallel zu einer Referenzgrundebene bewegt, sind die Flugbahnen aller seiner Bestandteile auf Ebenen parallel zu dieser Referenzebene beschränkt. Folglich muss jede Rotationsbewegung des Körpers um eine Achse erfolgen, die orthogonal zu dieser Ebene steht. Eine ebene Bewegung wird häufig als Projektion auf diese Grundebene konzipiert, wodurch die Rotationsachse als Punkt dargestellt wird. Bei dieser Vereinfachung werden die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung des Körpers als skalare Größen behandelt, wobei ihre inhärente Vektornatur entlang der Rotationsachse oft außer Acht gelassen wird. Dieser Ansatz wird üblicherweise für einführende Diskussionen über das Thema bevorzugt. Bei der Analyse des Trägheitsmoments wirkt sich das Zusammenspiel zwischen Massenverteilung und geometrischer Konfiguration jedoch erheblich auf die geometrischen Eigenschaften des Kreuzprodukts aus. Daher werden in diesem speziellen Abschnitt zur planaren Bewegung die Winkelgeschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers explizit als Vektoren senkrecht zur Grundebene behandelt und die Kreuzproduktoperationen werden konsistent mit denen angewendet, die bei der Untersuchung der räumlichen Dynamik starrer Körper verwendet werden.

Drehimpuls

Der Drehimpulsvektor für ein starres System von Teilchen, die sich einer planaren Bewegung unterziehen, wird formal ausgedrückt als:

Durch Angabe des Massenschwerpunkts $\mathbf {C}$ als Bezugspunkt werden folgende Beziehungen hergestellt: ${\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}$ 95§ n m i Δ r i e ^ i = §146147§ , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}

Außerdem das Trägheitsmoment relativ zum Massenschwerpunkt $I_{\mathbf {C} }$ wird durch die folgende Gleichung definiert: $I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},$

Folglich vereinfacht sich die Gleichung für den Drehimpuls zu: $\mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .$

Das Trägheitsmoment, bezeichnet als $I_{\mathbf {C} }$ wird bei Berechnung um eine Achse senkrecht zur Bewegung des starren Systems und durch seinen Massenschwerpunkt als polares Trägheitsmoment bezeichnet. Genauer gesagt stellt diese Größe das zweite Massenmoment relativ zum orthogonalen Abstand von einer bestimmten Achse oder einem bestimmten Pol dar.

Bei einem konstanten Drehimpuls führt eine Verringerung des Trägheitsmoments zu einer entsprechenden Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit. Eiskunstläufer veranschaulichen dieses Prinzip, indem sie ihr Trägheitsmoment durch das Zurückziehen ihrer Arme verändern. Folglich erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit eines Skaters, die zunächst mit ausgestreckten Armen erreicht wird, erheblich, wenn die Arme nach innen gezogen werden, da das Trägheitsmoment dadurch abnimmt. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass ein Eiskunstläufer nicht unbedingt ein starrer Körper ist.

Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines starren Systems aus Teilchen in planarer Bewegung wird durch den folgenden Ausdruck definiert:

Wenn der Schwerpunkt $\mathbf {C}$ des Systems als Referenzpunkt bezeichnet wird, wird der zweite Term eliminiert. Durch Einführung des Trägheitsmoments $I_{\mathbf {C} }$ , die kinetische Energie kann ausgedrückt werden als: $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .$ 61§ §62 $\mathbf {C}$ I C ω §81 ${\displaystyle \mathbf {C} }“ xmlns=$ M V ⋅

Der Begriff $I_{\mathbf {C} }$ repräsentiert das polare Trägheitsmoment des Körpers.

Die Prinzipien der Newtonschen Gesetze werden angewendet.

Newtons Gesetze, wenn sie auf ein starres System angewendet werden, das aus $n$ Partikel, insbesondere $P_{i},i=1,\dots ,n$ 37§ , … , n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} , kann durch eine resultierende Kraft und ein resultierendes Drehmoment ausgedrückt werden, die an einem bestimmten Referenzpunkt berechnet werden $\mathbf {R}$ , was die folgenden Gleichungen ergibt:

Die Kinematik starrer Körper liefert eine Formel für die Beschleunigung eines Teilchens class="MJX-TeXAtom-ORD">i{\displaystyle P_{i}}. Diese Formel drückt die Beschleunigung in Bezug auf die Position des Referenzteilchens aus. $\mathbf {R}$ und Beschleunigung $\mathbf {A}$ , zusammen mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor des starren Systems ${\boldsymbol {\omega }}$ und Winkelbeschleunigungsvektor ${\boldsymbol {\alpha }}$ , wie folgt:

In Systemen, die auf planare Bewegung beschränkt sind, sind die Winkelgeschwindigkeits- und Winkelbeschleunigungsvektoren entlang $\mathbf {\hat {k}}$ , das senkrecht zur Bewegungsebene steht, wodurch die Beschleunigungsgleichung vereinfacht wird. Folglich können die Beschleunigungsvektoren durch die Einführung von Einheitsvektoren vereinfacht werden. Dazu gehören $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ , die sich vom Referenzpunkt $\mathbf {R}$ zu ein bestimmter Punkt mathvariant="bold">ri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} und die Einheitsvektoren $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ .Dies führt zu folgendem Ausdruck: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Updelta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i} + \mathbf {A} \\&=\alpha display=$

Folglich wird das resultierende, auf das System ausgeübte Drehmoment wie folgt ausgedrückt:

Das Vektorkreuzprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist Null, wie durch $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0}$ 47§{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} . Darüber hinaus ist das Kreuzprodukt $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}}$ definiert den Einheitsvektor senkrecht zur Ebene für alle Partikel $P_{i}$ .

Durch die Bezeichnung des Massenschwerpunkts, bezeichnet als $\mathbf {C}$ , als Referenzpunkt und Definition des Trägheitsmoments relativ zu diesem Massenschwerpunkt, $I_{\mathbf {C} }$ vereinfacht sich die Gleichung für das resultierende Drehmoment zu ${\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .$ .

Die Bewegung eines starren Körpers im Raum und die Trägheitsmatrix

Wenn ein Teilchensystem einen starren Körper bildet, der sich im dreidimensionalen Raum bewegt, werden die skalaren Trägheitsmomente als Elemente innerhalb einer Trägheitsmatrix dargestellt. Diese Matrix ist grundlegend für die Berechnung des Drehimpulses, der kinetischen Energie und des resultierenden Drehmoments des starren Teilchensystems.

Stellen Sie sich ein System vor, das Folgendes umfasst: n} Partikel, bezeichnet als $P_{i},i=1,\dots ,n$ 37§,…,n{\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}. Diese Teilchen befinden sich an den Koordinaten $\mathbf {r} _{i}$ und besitzen Geschwindigkeiten $\mathbf {v} _{i}$ , alle gemessen relativ zu einem festen Referenzrahmen. Bei der Betrachtung eines Referenzpunkts $\mathbf {R}$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$ . Darüber hinaus werden die absoluten Geschwindigkeiten durch die folgende Beziehung ausgedrückt: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">vi=ω×Δri+VR{\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }}.In diesem Zusammenhang gilt: ${\boldsymbol {\omega }}$ stellt die Winkelgeschwindigkeit des Systems dar und $\mathbf {V_{R}}$ bezeichnet die Geschwindigkeit des Referenzpunkts $\mathbf {R}$ .

Drehimpuls

Das Kreuzprodukt kann äquivalent als Matrixmultiplikation ausgedrückt werden, indem der erste Operand und der Operator in eine schiefsymmetrische Matrix integriert werden, $\left[\mathbf {b} \right]$ , das aus den Komponenten von $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})$ : [ ${\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$ 147§ [ [ [− [ [b [ [z [ [ [ [ [ [b [ [y [ [ [ [ [ [ [ [b [ [z [ [ [ [ [§185186§ [ [ [− [ [b [ [x [ [ [ [ [ [ [− [ [b [ [y [ [ [ [ [ [b [ [x [ [ [ [ [§227228§ [ [ [ [] [ [ [. [ [ [ [ [ [ [{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} [ [

Die Trägheitsmatrix wird aus dem Drehimpuls abgeleitet, wobei der Referenzpunkt des Körpers $\mathbf {R}$ speziell als Schwerpunkt ausgewählt $\mathbf {C}$ .

Die schiefsymmetrische Matrix $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ wird aus dem relativen Positionsvektor $\Delta \mathbf {r} abgeleitet _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$ .Diese Matrix ist maßgeblich an der Definition des Drehimpulses beteiligt {\omega }},}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> L = ( − ∑ i = §105106§ n m i [ Δ r i ] §143 $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ ) ω = I C ω , {\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}, , wobei $\mathbf {I_{C}}$ ist definiert als $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},$ 243§ n m i [ Δ r i ] §280 $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ , {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}, . Dieser Ausdruck stellt die symmetrische Trägheitsmatrix des starren Teilchensystems dar, berechnet in Bezug auf den Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ .

Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines starren Teilchensystems lässt sich anhand seines Massenschwerpunkts und der Massenträgheitsmomentmatrix des Systems ausdrücken. Stellen Sie sich ein System vor, das $n$

umfasst

Die Erweiterung dieser Gleichung ergibt drei verschiedene Terme.

Angenommen, der Schwerpunkt wird durch den Ausdruck $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ 16§ n m i Δ r i = §4647§ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0} , der zweite Term in der relevanten Gleichung wird Null.Subsequently, by introducing the skew-symmetric matrix $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ , the kinetic energy can then be expressed as ${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}$ 114§ §115 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ( ∑ i = §131132§ n m i ( [ Δ r i ] ω ) ⋅ ( [ Δ r i ] ω ) ) + §227228§ §229 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ( ∑ i = §245246§ n m i ) V C ⋅ V C = §304305§ §306 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ( ∑ i = §323324§ n m i ( ω T [ Δ r i ] T [ Δ r i ] ω ) ) + §423424§ §425 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ( ∑ i = §442443§ n m i ) V C ⋅ V C = §501502§ §503 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ω ⋅ ( − ∑ i = §532533§ n m i [ Δ r i ] §570 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ) ω + §587588§ §589 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ ( ∑ i = §606607§ n m i ) V C ⋅ V C . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}} .

Folglich wird die kinetische Energie eines starren Teilchensystems durch die folgende Gleichung definiert: {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> E K = §1819§ §20 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$ ω ⋅ I C ω + §5354§ §55 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$ M V C §73 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$ . {\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.} Hier, $\mathbf {I_{C}}$ stellt die Trägheitsmatrix relativ zum Massenschwerpunkt dar und $M$ bezeichnet die Gesamtmasse.

Resultierendes Drehmoment

Die Trägheitsmatrix ist von grundlegender Bedeutung für die Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes auf eine starre Partikelanordnung. Das resultierende Drehmoment, das auf dieses System wirkt, wird ausgedrückt als:

Der Schwerpunkt $\mathbf {C}$ festgelegt.Anschließend wird die schiefsymmetrische Matrix $\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]$ wird eingeführt, um das Kreuzprodukt $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times$ , was zur Ableitung der folgenden Gleichung führt: ${\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}$ 148§ n m i [ Δ r i ] §186 $\mathbf {C}$ ) α + ω × ( − ∑ i = §225226§ n m i [ Δ r i ] §264 $\mathbf {C}$ ) ω {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}

Diese Berechnung verwendet die Identität $\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,$ , abgeleitet von der Jacobi-Identität für das dreifache Kreuzprodukt.

Folglich ist das resultierende Drehmoment auf das starre Teilchensystem gegeben durch }},}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> τ = I C α + ω × I C ω , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}, , wobei $\mathbf {I_{C}}$ bezeichnet die Trägheitsmatrix relativ zum Massenschwerpunkt.

Parallelachsensatz

Die Trägheitsmatrix, die einen Körper charakterisiert, hängt vom gewählten Referenzpunkt ab. Es besteht eine signifikante Beziehung zwischen der in Bezug auf den Massenschwerpunkt definierten Trägheitsmatrix $\mathbf {C}$ und das, das einem alternativen Punkt entspricht $\mathbf {R}$ . Diese besondere Beziehung ist als Parallelachsensatz bekannt.

Die Trägheitsmatrix $\mathbf {I_{R}}$

Betrachten Sie $\mathbf {C}$

Die Verteilung über das Kreuzprodukt ergibt den folgenden Ausdruck: $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$ 37§ n m ich [ r ich − C ] §75 $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$ ) + ( ∑ ich = §9899§ n m ich [ r ich − C ] ) [ d ] + [ d ] ( ∑ ich = §170171§ n m ich [ r ich − C ] ) − ( ∑ ich = §227228§ n m ich ) [ d ] §257 $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$ . {\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.

Der Anfangsterm stellt die Trägheitsmatrix dar, $\mathbf {I_{C}}$ , berechnet in Bezug auf den Massenschwerpunkt. Nach Definition des Massenschwerpunkts $\mathbf {C}$ , der zweite und dritte Term sind null. Darüber hinaus umfasst der Endterm die Gesamtmasse des Systems multipliziert mit dem Quadrat der schiefsymmetrischen Matrix $[\mathbf {d} ]$ , abgeleitet von $\mathbf {d}$ .

Diese Ableitung ergibt den Parallelachsensatz: $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},$ , wobei $\mathbf {d}$ bezeichnet den Vektor, der sich vom Massenmittelpunkt aus erstreckt $\mathbf {C}$ zum angegebenen Referenzpunkt $\mathbf {R}$ .

Eine entscheidende Beobachtung zum negativen Vorzeichen: Bei Verwendung der schiefsymmetrischen Matrix von Positionsvektoren relativ zu einem Referenzpunkt nimmt die Trägheitsmatrix für ein einzelnes Teilchen die Form $-m\left[\mathbf {r} \right]^{2}$ 26§ {\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}} , der trägt Ähnlichkeit mit dem $mr^{2}$ 50§ {\displaystyle mr^{2}} in planarer Bewegung angetroffen. Damit die Formulierung mathematisch konsistent ist, ist jedoch ein negatives Vorzeichen unabdingbar. Dieses negative Vorzeichen kann optional in den Begriff $m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]$ durch Nutzung der Skew-Symmetry-Eigenschaft von $[\mathbf {r} ]$ .

Skalares Trägheitsmoment in planaren Systemen

Das skalare Trägheitsmoment, bezeichnet als $I_{L}$ , für einen gegebenen Körper um eine bestimmte Achse, die durch den Einheitsvektor $\mathbf {\hat {k}}$ und schneidet den Körper am Punkt $\mathbf {R}$ wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:

Die Ableitung läuft wie folgt ab. Betrachten Sie eine starre Baugruppe bestehend aus $n$ Partikel, bezeichnet als $P_{i},i=1,\dots ,n$ 37§ , … , n {\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n} , jeweils mit Koordinaten $\mathbf {r} _{i}$ . Sei $\mathbf {R}$ dienen als Referenzpunkt. Das Trägheitsmoment wird dann um eine Linie L berechnet, die durch den Einheitsvektor $\mathbf {\hat {k}$ durch den Referenzpunkt $\mathbf {R}$ , ausgedrückt als $\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}}$ .Der senkrechte Vektor von dieser Linie zu jedem Partikel class="MJX-TeXAtom-ORD"> i {\displaystyle P_{i}} wird durch Subtrahieren der Komponente von $\Delta \mathbf {r} _{i}$ , das auf $\mathbf {\hat {k}}$ .

Um eine Beziehung zwischen dem skalaren Trägheitsmoment und der Trägheitsmatrix des Körpers herzustellen, wird eine schiefsymmetrische Matrix verwendet, die als $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ , wird eingeführt. Diese Matrix ist so definiert, dass sie die Vektorkreuzproduktbeziehung erfüllt: $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y}$ .Folglich gilt die folgende Identität: -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> − [ k ^ ] §114 $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ ≡ | k ^ | §140 $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ ( E − k ^ k ^ T ) = E − k ^ k ^ T , {\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}, vorausgesetzt, dass $\mathbf {\hat {k}}$ stellt einen Einheitsvektor dar.

The squared magnitude of the perpendicular vector is expressed as: ${\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}$

Diese Gleichung wird durch Anwendung der dreifachen Skalarproduktidentität vereinfacht:

Folglich ist das Trägheitsmoment um die Linie $L$ , der durch den Punkt $\mathbf {R}$ und ist in die Richtung ausgerichtet $\mathbf {\hat {k}}$ , wird durch die folgende Berechnung abgeleitet:

Folglich erleichtert die Trägheitsmatrix die Berechnung des Trägheitsmoments eines Körpers in Bezug auf jede bestimmte Rotationsachse innerhalb dieses Körpers.

Trägheitstensor

Ein Objekt weist typischerweise abhängig von der gewählten Drehachse unterschiedliche Trägheitsmomente auf. Im Allgemeinen sind diese Momente ungleich, es sei denn, das Objekt weist eine vollständige Symmetrie über alle Achsen auf. Der Trägheitsmomenttensor bietet eine prägnante Methode, um alle Trägheitsmomente eines Objekts in einer einzigen mathematischen Einheit zusammenzufassen. Obwohl er relativ zu jedem Raumpunkt berechnet werden kann, ist der Massenschwerpunkt der am häufigsten verwendete Bezugspunkt für praktische Anwendungen.

Definition

Für ein starres Objekt bestehend aus $N$ Punktmassen, jeweils mit der Masse $m_{k}$ , der Trägheitsmomenttensor wird ausgedrückt als:

Die Komponenten werden durch den folgenden Ausdruck definiert: $I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)$ 50§ N m k ( ‖ r k ‖ §87 $I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)$ δ i j − x i ( k ) x j ( k ) ) {\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right) , wobei:

> i} und

j

stellen die Indizes 1, 2 oder 3 dar, entsprechend der

x

y

und

z

Koordinaten bzw.;

\mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)

27§ ( k ) , x §44

\mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)

( k ) , x §6263§ ( k ) ) {\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)} bezeichnet den Positionsvektor für die Punktmasse

m_{k}

, gemessen vom Ursprung, über den der Tensor berechnet wird, und

Das Symbol

\delta _{ij}

bezeichnet das Kronecker-Delta.

Gemäß seiner Definition ist $\mathbf {I}$ stellt einen symmetrischen Tensor dar.

The diagonal elements can be expressed concisely as follows: ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ 58§ N m k ( y k §85 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ + z k §99 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ ) , I y y = d e f ∑ k = §160161§ N m k ( x k §188 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ + z k §202 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ ) , I z z = d e f ∑ k = §263264§ N m k ( x k §291 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ + y k §305 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}} Conversely, the off-diagonal elements, which are also known as the products of inertia, are defined as: ${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}$ 402§ N m k x k y k , I x z = I z x = d e f − ∑ k = §501502§ N m k x k z k , I y z = I z y = d e f − ∑ k = §601602§ N m k y k z k . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}

Der Begriff $I_{xx}$ repräsentiert das Trägheitsmoment um den $x$ -Achse, wenn Objekte eine Drehung um die x-Achse erfahren. Ebenso $I_{xy}$ bezeichnet das Trägheitsmoment um den $y$ -Achse während der Rotation um die $x$ -Achse, wobei analoge Definitionen für andere Komponenten gelten.

Diese Größen können erweitert werden, um Objekte mit verteilter Masse einzuschließen, die durch eine Massendichtefunktion gekennzeichnet sind, was den Ansatz widerspiegelt, der für das skalare Trägheitsmoment verwendet wird. Die resultierende Formulierung wird ausgedrückt als: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> I = ∭ V ρ ( x , y , z ) ( ‖ r ‖ §53 $\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,$ E §6364§ − r ⊗ r ) d x d y d z , {\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz, wobei $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$ bezeichnet das äußere Produkt der Vektoren, E§141142§ bezeichnet die 3×3-Identitätsmatrix und V repräsentiert den gesamten räumlichen Bereich das Objekt umfassend.

Alternativ kann der Ausdruck mit dem Drehimpulsoperator $[\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x}$ $\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV$ .

Der Trägheitstensor funktioniert ähnlich wie die Trägheitsmatrix zur Berechnung des skalaren Trägheitsmoments entlang einer beliebigen Achse, die durch den Richtungsvektor definiert wird $\mathbf {n}$ , wie gezeigt durch: $I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,$ wobei das Skalarprodukt auf die entsprechenden Elemente innerhalb der Komponententensoren angewendet wird. Ein Produkt eines Trägheitsbegriffs, wie zum Beispiel $I_{12}$ , wird durch die Berechnung abgeleitet: $I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},$ 107§ ⋅ I ⋅ e §126 $\mathbf {n}$ , {\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2}, . Dieser Begriff kann als Trägheitsmoment um die $x$ -Achse, wenn das Objekt eine Drehung um die $y$ -axis.

Die Komponenten von Tensoren zweiten Grades können in einer Matrix organisiert werden. Insbesondere für den Trägheitstensor ist diese Matrix wie folgt definiert:

In der Starrkörpermechanik ist es üblich, eine Notation zu verwenden, die explizit die $x bezeichnet$ , $y$ und $z$ -Achsen, am Beispiel von Trägheitstensorkomponenten wie $I_{xx}$ und $I_{xy}$ .

Alternative Inertia Convention

Mehrere Softwarepakete für computergestütztes Design (CAD) und computergestütztes Engineering (CAE), darunter SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX und MSC Adams, verwenden eine alternative Konvention zur Berechnung von Trägheitsprodukten. Bei dieser Konvention wird das negative Vorzeichen aus den Produkt-Trägheitsformeln weggelassen und stattdessen direkt in die Trägheitsmatrix integriert.

Die Trägheitskonvention kann mithilfe der Hauptachsenmethode ermittelt werden.

Wenn die Trägheitsdaten $(I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})$ ist verfügbar, aber die verwendete spezifische Trägheitskonvention ist unbekannt. Sie kann identifiziert werden, wenn auch die Hauptachsen angegeben werden. Die Hauptachsenmethode beinhaltet die Konstruktion von Trägheitsmatrizen basierend auf zwei Hauptannahmen:

Die erste Annahme ist, dass die Standard-Trägheitskonvention angewendet wurde, wobei $(I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})$ .
Die zweite Annahme geht davon aus, dass die alternative Trägheitskonvention verwendet wurde, wobei $(I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})$ .

Anschließend werden die Eigenvektoren für beide Matrizen berechnet. Die Matrix, deren Eigenvektoren an den Hauptachsen ausgerichtet sind, gibt die spezifische Trägheitskonvention an, die verwendet wurde.

Ableitung von Tensorkomponenten

Der Abstand $r$ eines Partikels, gelegen bei $\mathbf {x}$ , von der Rotationsachse, die durch den Ursprung verläuft in der $\mathbf {\hat {n}}$ Richtung, wird durch $\left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|$ , wobei $\mathbf {\hat {n}}$ ist ein Einheitsvektor.Das Trägheitsmoment um diese Achse wird wie folgt berechnet: $I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).$

Die Gleichung kann mithilfe der Matrixtransponierungsoperation wie folgt umformuliert werden:

Folglich ergibt diese Ableitung eine Tensorformel für das Trägheitsmoment:

Um die Genauigkeit dieser Formel für Systeme aus mehreren Teilchen zu bestätigen, reicht es aus, die additive Eigenschaft des Trägheitsmoments zu berücksichtigen.

Translationaler Trägheitstensor

Sei $\mathbf {I} _{0}$ 13§ {\displaystyle \mathbf {I} _{0}} bezeichnet den Trägheitstensor eines Körpers, berechnet an seinem Massenschwerpunkt, und sei $\mathbf {R}$ stellt den Verschiebungsvektor des Körpers dar. Der Trägheitstensor für den verschobenen Körper in Bezug auf seinen ursprünglichen Massenschwerpunkt wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> Ich = Ich §6061§ + m [ ( R ⋅ R ) E §9192§ − R ⊗ R ] {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]} In diesem Zusammenhang $m$ bezeichnet die Masse des Körpers, E§137138§ bezeichnet die 3 × 3-Identitätsmatrix und $\otimes$ stellt das äußere Produkt dar.

Rotationsträgheitstensor

Angenommen $\mathbf {R}$ ist die Matrix, die die Drehung eines Körpers charakterisiert, der Trägheitstensor für den gedrehten Körper ist definiert durch: $\mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}$ 40§ R T {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}

Die Trägheitsmatrix über verschiedene Referenzrahmen hinweg

Wenn die Trägheitsmatrix im zweiten Newtonschen Gesetz verwendet wird, basiert sie auf der Annahme, dass ihre Komponenten in Bezug auf Achsen berechnet werden, die mit dem Inertialsystem ausgerichtet sind, und nicht in Bezug auf ein körperfestes Referenzsystem. Folglich weisen die Komponenten der Trägheitsmatrix zeitliche Schwankungen auf, wenn sich der Körper bewegt. Umgekehrt bleiben die Komponenten der Trägheitsmatrix konstant, wenn sie innerhalb eines am Körper selbst befestigten Rahmens gemessen werden.

Körperfester Rahmen

Die Trägheitsmatrix des Körperrahmens relativ zum Massenschwerpunkt wird als $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ . Die Ausrichtung des Körperrahmens in Bezug auf den Trägheitsrahmen wird durch die Rotationsmatrix $\mathbf {A}$ , sodass die Transformation zwischen Koordinatensystemen ausgedrückt wird als $\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,$ . Hier sind Vektoren $\mathbf {y}$ im körperfesten Koordinatenrahmen entsprechen den Koordinaten $\mathbf {x$ im Inertialsystem. Folglich wird die Trägheitsmatrix des Körpers, wenn sie im Inertialsystem gemessen wird, durch die folgende Beziehung bestimmt: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">IC=AICBAT.{\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}

Es ist wichtig zu beachten, dass die Rotationsmatrix $\mathbf {A}$ variiert mit der Bewegung des Körpers, während die Trägheitsmatrix des Körperrahmens $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ behält einen konstanten Wert bei.

Hauptachsen

Bei Messung innerhalb des Körperrahmens ist die Trägheitsmatrix durchweg eine echte symmetrische Matrix. Diese Art von Matrix unterliegt einer Eigenzerlegung und ergibt das Produkt einer Rotationsmatrix $\mathbf {Q}$ und eine Diagonalmatrix ${\boldsymbol {\Lambda }}$ , ausgedrückt als: $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},$ wo ${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.$ 117§ §122123§ §126127§ §132133§ Ich §140 $\mathbf {Q}$ §146147§ §152153§ §156157§ Ich §164165§ ] . {\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.

Die Spalten der Rotationsmatrix $\mathbf {Q}$ beschreiben die Orientierungen der Hauptachsen des Körpers, während die Konstanten $I_{1}$ 29§ {\displaystyle I_{1}} , $I_{2}$ und $I_{3}$ werden als Hauptträgheitsmomente bezeichnet. Dieses grundlegende Ergebnis wurde erstmals 1852 von J. J. Sylvester demonstriert und stellte eine Manifestation des Sylvesterschen Trägheitsgesetzes dar. Sollte der Körper eine Symmetrieachse besitzen, die auch als Figurachse oder Figurenachse bezeichnet wird, sind die verbleibenden zwei Trägheitsmomente äquivalent und jede zur Symmetrieachse orthogonale Achse dient gleichzeitig als Hauptachse.

Der Begriff Kreisel, am Beispiel eines Spielzeugkreisels, bezeichnet verschiedene Klassifikationen starrer Körper in der Rotationsdynamik. Ein starrer Körper wird als asymmetrischer Kreisel kategorisiert, wenn alle seine Hauptträgheitsmomente unterschiedlich sind und dadurch seine Hauptachsen eindeutig durch den Massenschwerpunkt definiert sind. Wenn umgekehrt zwei Hauptträgheitsmomente identisch sind, wird der Körper als symmetrischer Kreisel bezeichnet, was bedeutet, dass die beiden entsprechenden Hauptachsen nicht eindeutig bestimmt sind. Sollten alle drei Hauptträgheitsmomente gleich sein, wird der starre Körper als kugelförmiger Kreis klassifiziert (unabhängig von seiner tatsächlichen Kugelgeometrie), was bedeutet, dass jede Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft, als Hauptachse dienen kann, mit einem einheitlichen Trägheitsmoment über alle diese Achsen.

Die Hauptachsen fallen häufig mit den Symmetrieachsen des Objekts zusammen. Wenn ein starrer Körper eine Ordnungssymmetrieachse besitzt $m$ , was eine Rotationssymmetrie von 360°/m um diese Achse anzeigt, dann stellt diese Achse eine Hauptachse dar. Darüber hinaus, wenn $m>2$ , der starre Körper wird als symmetrischer Kreisel klassifiziert. Ein starrer Körper, der mindestens zwei nicht parallele und nicht senkrechte Symmetrieachsen aufweist, wie zum Beispiel ein Würfel oder ein anderer platonischer Körper, wird als sphärischer Kreisel kategorisiert.

Fahrzeugbewegungen werden im Allgemeinen durch Gier-, Nick- und Rollbewegungen charakterisiert, die typischerweise Drehungen um die drei Hauptachsen annähern. Bei Fahrzeugen mit bilateraler Symmetrie ist eine der Hauptachsen genau auf die Querachse (Nickachse) ausgerichtet.

Eine praktische Veranschaulichung dieses mathematischen Prinzips ist das standardmäßige Kfz-Reifenauswuchten, bei dem die Massenverteilung eines Autorades geändert wird, um sicherzustellen, dass seine Hauptträgheitsachse genau auf die Achse ausgerichtet ist und dadurch ein Wackeln des Rades verhindert wird.

Rotierende Moleküle werden in ähnlicher Weise in asymmetrische, symmetrische oder sphärische Kreise eingeteilt, wobei jede Klassifizierung Folgendes aufweist eine ausgeprägte Rotationsspektrumstruktur.

Ellipsoid

Die Trägheitsmomentmatrix, ausgedrückt in Körper-Koordinaten, stellt eine quadratische Form dar, die eine bestimmte Oberfläche innerhalb des Körpers beschreibt, bekannt als Poinsots Ellipsoid. Angenommen, ${\boldsymbol {\Lambda }}$ stellt die Trägheitsmatrix dar, bezogen auf den Massenschwerpunkt und ausgerichtet an den Hauptachsen, die resultierende Oberfläche definiert durch:

Ein Punkt $\mathbf {x}$ auf diesem Ellipsoid wird durch seine Größe und Richtung definiert, insbesondere als $\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n}$ . Hier ist $\mathbf {n}$ stellt einen Einheitsvektor dar.Folglich ist die zuvor etablierte Beziehung zwischen der Trägheitsmatrix und dem skalaren Trägheitsmoment $I_{\mathbf {n} }$ für eine Achse, die an der Richtung ausgerichtet ist $\mathbf {n}$ , ergibt: $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.$

Folglich ist die Größe eines Punktes $\mathbf {x}$ liegt auf dem Trägheitsellipsoid in der Richtung $\mathbf {n}$ wird bestimmt durch: $\|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.$ 57§ I n . {\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.

Zentraler Moment

Zentraler Moment
Liste der Trägheitsmomente
Trägheitsmomentfaktor
Planare Lamina
Rotationsenergie

Referenzen

Drehimpuls und Starrkörperrotation in zwei und drei Dimensionen

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Vorlesungsunterlagen zur Rotation starrer Körper und zu Trägheitsmomenten
Der Trägheitsmomenttensor
Eine Einführungslektion zum Trägheitsmoment: Aufrechterhaltung der Stabilität eines vertikalen Pols (Java-Simulation)
Tutorial zur Bestimmung von Trägheitsmomenten, einschließlich Problemen und Lösungen für verschiedene Grundgeometrien
Anmerkungen zur Manipulationsmechanik: Der Winkelträgheitstensor
Einfach zu verwendender und kostenloser Trägheitsmomentrechner online

Trägheitsmoment (Moment of inertia)