Pascals Dreieck (Pascal's triangle)

In der Mathematik ist das Pascalsche Dreieck eine unendliche dreieckige Anordnung von Binomialkoeffizienten, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik usw. eine entscheidende Rolle spielen.

In der Mathematik stellt Pascals Dreieck eine unendliche dreieckige Anordnung von Binomialkoeffizienten dar, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik und Algebra von grundlegender Bedeutung sind. Während diese mathematische Struktur in der westlichen Welt allgemein dem französischen Mathematiker Blaise Pascal zugeschrieben wird, wurde diese mathematische Struktur schon Jahrhunderte zuvor von verschiedenen Mathematikern in Regionen wie Persien, Indien, China, Deutschland und Italien untersucht.

Üblicherweise werden die Zeilen des Pascalschen Dreiecks von oben beginnend mit Zeile $n=0$ 11§ {\displaystyle n=0} (die 0. Zeile). Innerhalb jeder Zeile werden die Einträge von links beginnend mit $k=0$ 31§ {\displaystyle k=0} und sind normalerweise relativ zu den Elementen in benachbarten Zeilen versetzt. Der Aufbau des Dreiecks folgt einer bestimmten Regel: Zeile 0, die Spitze des Dreiecks, enthält einen einzelnen Eintrag ungleich Null, nämlich 1. Die Einträge jeder nachfolgenden Zeile werden durch Summieren der Zahl direkt darüber und links davon mit der Zahl direkt darüber und rechts davon generiert, wobei alle Leerstellen als Null betrachtet werden. Beispielsweise ist der erste Eintrag in Zeile 1 (oder einer beliebigen Zeile) 1 und ergibt sich aus der Summe von 0 und 1. Ebenso ergibt die Summe von 1 und 3 in Zeile 3 die Zahl 4 in Zeile 4.

Formel

Innerhalb der $n$ te Zeile des Pascalschen Dreiecks, das $k Der$ te Eintrag wird formal als ${\tbinom {n}{k}}$ , was verbal ausgedrückt wird als „n wähle k“. Der oberste Eintrag lautet beispielsweise ${\tbinom {0}{0}}=1$ 85§ §8687§ ) = §9899§ {\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1} . Unter Verwendung dieser Notation kann die zuvor beschriebene Konstruktionsmethode formal ausgedrückt werden als:

Die Binomialkoeffizienten unterliegen der folgenden Wiederholungsbeziehung: ${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$ 40§k−§4849§)+(n−§7374§k){\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}. Diese Beziehung gilt für jede positive ganze Zahl n} und jede Ganzzahl $0\leq k\leq n$ 116§≤k≤n{\displaystyle 0\leq k\leq n. Diese spezifische Wiederholung wird offiziell als Pascal-Regel anerkannt.

Historischer Kontext

Die numerische Anordnung, aus der Pascals Dreieck besteht, stammt aus der Zeit vor Pascal selbst. Der persische Mathematiker Al-Karaji (953–1029) verfasste ein heute verschollenes Buch, das angeblich die früheste bekannte Beschreibung dieses Dreiecksmusters enthielt. In Indien beschreibt das Chandaḥśāstra, ein Werk des indischen Dichters und Mathematikers Piṅgala (3. oder 2. Jahrhundert v. Chr.), ein System zur Anordnung zweier Silbentypen, um Metren unterschiedlicher Länge zu erstellen und diese aufzuzählen. Dieses System, wie es vom Kommentator Halāyudha aus dem 10. Jahrhundert interpretiert und erweitert wurde, wird als „Methode der Pyramidenausdehnung“ (meru-prastāra) bezeichnet und entspricht mathematisch dem Pascalschen Dreieck zum Zählen von Metern. Später entdeckte der persische Mathematiker Omar Khayyám (1048–1131) dieses Muster unabhängig wieder, was zu seiner Bezeichnung als Khayyam-Dreieck (مثلث خیام) im Iran führte. Khayyám war auch mit mehreren mit dem Dreieck verbundenen Theoremen vertraut, darunter dem Binomialsatz. Er verwendete insbesondere eine Technik zur Bestimmung der n-ten Wurzeln, die auf der Binomialentwicklung und damit auf Binomialkoeffizienten beruhte.

In China wurde das Pascalsche Dreieck im 11. Jahrhundert erkannt und auf die Arbeit des Mathematikers Jia Xian (1010–1070) zurückgeführt. Im 13. Jahrhundert entwickelte Yang Hui (1238–1298) das Dreieck weiter, das heute in China als Yang Huis Dreieck (杨辉三角; 楊輝三角) bezeichnet wird.

Das erste Erscheinen des Pascalschen Dreiecks in Europa lässt sich auf das Werk „Arithmetik“ von Jordanus de Nemore aus dem 13. Jahrhundert zurückführen. Gersonides berechnete im frühen 14. Jahrhundert Binomialkoeffizienten unter Verwendung ihrer multiplikativen Formel. Petrus Apianus (1495–1552) präsentierte das vollständige Dreieck auf dem Titelblatt seiner 1527 erschienenen Veröffentlichung über betriebswirtschaftliche Berechnungen. Im Jahr 1544 veröffentlichte Michael Stifel einen Abschnitt des Dreiecks, nämlich von der zweiten bis zur mittleren Spalte in jeder Zeile, und charakterisierte es als eine Zusammenstellung figurierter Zahlen. In Italien ist die Struktur als Tartaglia-Dreieck bekannt, zu Ehren des italienischen Algebraisten Tartaglia (1500–1577), der 1556 sechs Reihen des Dreiecks dokumentierte. Gerolamo Cardano veröffentlichte 1570 auch das Dreieck sowie die additiven und multiplikativen Prinzipien für seine Konstruktion.

Pascals Traité du Triangle Arithmétique (Abhandlung über das arithmetische Dreieck) wurde 1665 posthum veröffentlicht. In diesem bahnbrechenden Werk stellte Pascal verschiedene bekannte Ergebnisse zum Dreieck zusammen und wandte sie zur Lösung von Problemen innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie an. Das Dreieck wurde später zu Pascals Ehren von Pierre Raymond de Montmort im Jahr 1708 benannt, der es als table de M. Pascal pour les combinaisons (französisch: Mr. Pascals Tabelle für Kombinationen) bezeichnete. Abraham de Moivre verfestigte diese Nomenklatur im Jahr 1730 weiter und bezeichnete sie als Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (lateinisch: Pascals arithmetisches Dreieck), was letztendlich die Grundlage seiner modernen westlichen Bezeichnung bildete.

Binomialerweiterungen

Das Pascalsche Dreieck liefert die Koeffizienten, die in Binomialentwicklungen auftreten.For instance, consider the expansion: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},$ 54§ x §60 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},$ y §6869§ + §75 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},$ x §8283§ y §9091§ + §9798§ x §104105§ y §112 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},$ , {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},} In this case, the coefficients correspond to the entries found in the second row of Pascal's triangle: ${\tbinom {2}{0}}=1$ 143§ ) = §154155§ {\displaystyle {\tbinom {2}{0}}=1} , ${\tbinom {2}{1}}=2$ 181§ ) = §192 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},$ {\displaystyle {\tbinom {2}{1}}=2} , ${\tbinom {2}{2}}=1$ 231§ {\displaystyle {\tbinom {2}{2}}=1} .

Der Binomialsatz legt im Allgemeinen fest, dass, wenn ein Binomialausdruck, wie z y {\displaystyle x+y} , wird auf einen positiven ganzzahligen Exponenten erhöht $n$ , seine Erweiterung ist gegeben durch:

Die Diagonale ganz links im Pascalschen Dreieck entspricht direkt dem Koeffizienten von $x^{n}$ innerhalb der zugehörigen binomialen Erweiterungen. Geht man zur nächsten linken Diagonale über, stellt es den Koeffizienten von $x^{n-1}y$ 38§y{\displaystyle x^{n-1}y}, und Dieses Muster erstreckt sich auf alle nachfolgenden Diagonalen.

Um die Beziehung zwischen dem Binomialsatz und der einfachen Konstruktion des Pascalschen Dreiecks zu veranschaulichen, betrachten Sie das Problem der Bestimmung der Koeffizienten für die Entwicklung von $(x+y)^{n+1}$ 23§ {\displaystyle (x+y)^{n+1}} . Diese Berechnung wird anhand der entsprechenden Koeffizienten von $(x+1)^{n}$ 47§ ) n {\displaystyle (x+1)^{n}} , mit der Vereinfachung der Einstellung $y=1$ 75§ {\displaystyle y=1} . Gehen Sie davon aus

Durch Neuindizierung der beiden Summierungen mit $k=i+1$

Folglich bleiben die Koeffizienten an den äußersten linken und rechten Positionen stets gleich 1. Darüber hinaus gilt für jede ganze Zahl $0<k<n+1$ 7§ < k < n + §1819§ {\displaystyle 0 , der Koeffizient, der mit der $x^{k}$ Term innerhalb des Polynoms $(x+1)^{n+1}$ 63§ ) n + §7273§ {\displaystyle (x+1)^{n+1}} ist gleich $a_{k-1}+a_{k}$ 100§ + a k {\displaystyle a_{k-1}+a_{k}} , der die Summe der Koeffizienten für $x^{k-1}$ 137§ {\displaystyle x^{k-1}} und $x^{k}$ Begriffe in der vorangehenden Potenz, $(x+1)^{n}$ 183§ ) n {\displaystyle (x+1)^{n}} . Diese Beziehung verkörpert genau die Abwärtsadditionsregel, die für die Konstruktion des Pascalschen Dreiecks von grundlegender Bedeutung ist.

Dieses Argument kann mithilfe mathematischer Induktion leicht in einen strengen Beweis des Binomialsatzes formalisiert werden.

Angenommen, $(a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}$ 47§ ) n {\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}} , die aus der Erweiterung dieser allgemeinen Form abgeleiteten Koeffizienten sind identisch.

Eine signifikante Implikation des Binomialsatzes ergibt sich, wenn beide Variablen $x=y=1$ 15§ {\displaystyle x=y=1} werden auf 1 gesetzt, was die folgende Identität ergibt: $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.$ 40§ n ( n k ) = ( n §7677§ ) + ( n §9697§ ) + ⋯ + ( n n − §127128§ ) + ( n n ) = ( §161162§ + §165166§ ) n = §178 $x=y=1$ . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.

Folglich ist die Summierung aller Einträge innerhalb der $n$ -te Zeile des Pascalschen Dreiecks entspricht dem $n$ -te Potenz von 2. Dieses Prinzip zeigt auch, dass ein $n$ -Elementmenge besitzt $2^{n}$ Elemente können entweder in jede Teilmenge aufgenommen oder daraus ausgeschlossen werden.

Kombinatorische Analyse

Das Pascalsche Dreieck bietet auch eine wertvolle Methode zur Berechnung von Kombinationen. Die Anzahl der Kombinationen, insbesondere die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten $n$ Elemente durch Auswahl von $k$ (entspricht der Bestimmung der Anzahl von $). k$ -Element-Teilmengen aus einer Menge von $n$ Elemente) wird mithilfe der folgenden Gleichung abgeleitet:

Die mathematische Darstellung für Kombinationen, bezeichnet als

\mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={{}_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

Dieser Wert entspricht der $k$ -ter Eintrag innerhalb des $n$ -te Zeile des Pascalschen Dreiecks. Anstatt eine multiplikative Berechnung durchzuführen, kann man den relevanten Eintrag leicht anhand des Dreiecks ermitteln, das durch additive Operationen erzeugt wird. Wenn beispielsweise aus einem Pool von 7 Kandidaten eine Auswahl von 3 Arbeitskräften erforderlich ist, wird die Gesamtzahl der unterschiedlichen Einstellungskombinationen durch „7 wählen 3“ dargestellt. Dies entspricht dem dritten Eintrag in der siebten Zeile der oben genannten Tabelle, wobei die erste Zeile als die 0. Zeile betrachtet wird und sich ergibt: ${\tbinom {7}{3}}=35$ .

Beziehung mit Binomialverteilung und Faltungen

Bei Normalisierung durch Division mit $2^{n}$ , die $n$ -te Zeile des Pascalschen Dreiecks wandelt sich in die Binomialverteilung um, insbesondere im symmetrischen Szenario, in dem $p={\tfrac {1}{2}}$ 52§ §53 $2^{n}$ {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}} . Gemäß dem zentralen Grenzwertsatz nähert sich diese Verteilung zunehmend der Normalverteilung als Wert von $n an$ erweitert. Darüber hinaus kann diese Konvergenz durch die Anwendung der Stirling-Formel auf die in der Kombinationsformel vorhandenen Fakultätsterme nachgewiesen werden.

Dieser Abschnitt erläutert die Beziehung zwischen dem Pascalschen Dreieck und der diskreten Faltung und stellt zwei unterschiedliche Zusammenhänge dar. Erstens ist die Polynommultiplikation genau analog zur diskreten Faltung. Folglich ist die wiederholte Faltung der Sequenz $\{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}$ 14§ , §1718§ , §2122§ , §2526§ , §2930§ , §3334§ , … } {\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}} mit sich selbst entspricht dem Erhöhen von $x+1$ 61§ {\displaystyle x+1} zu aufeinanderfolgenden Potenzen, wodurch die Zeilen des Dreiecks erzeugt werden. Zweitens ergibt die iterative Faltung der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen mit sich selbst die Verteilungsfunktion für eine Summe von n unabhängigen Instanzen dieser Variablen. Dieses Szenario stimmt direkt mit den Bedingungen für den zentralen Grenzwertsatz überein und konvergiert letztendlich zu einer Normalverteilung. Der Prozess der wiederholten Faltung einer Funktion oder Folge mit sich selbst wird formal als Faltungsleistung bezeichnet.

Muster und Eigenschaften

Pascals Dreieck weist zahlreiche inhärente Eigenschaften und komplizierte numerische Muster auf.

Zeilen

Die kumulative Summe der Elemente in einer bestimmten Zeile ist genau das Doppelte der Summe der Elemente in der unmittelbar vorhergehenden Zeile. Beispielsweise ergibt Zeile 0, die die Spitze des Dreiecks darstellt, den Wert 1; Zeile 1 ergibt 2; Zeile 2 ergibt in der Summe 4, und dieser Fortschritt geht weiter. Dieses Phänomen tritt auf, weil jedes Element in einer Zeile zu zwei Elementen in der nachfolgenden Zeile beiträgt: eines links und eines rechts davon. Folglich ist die Summe der Elemente in Zeile $n$ ist äquivalent zu $2^{n}$ .
Das Produkt der Elemente in jeder Zeile bildet eine Folge (OEIS-Folge A001142), die mit e, der Basis des natürlichen Logarithmus, verbunden ist. Diese Beziehung wird durch die Definition der Sequenz $s_{n}$
Der Wert von $\pi$ kann mithilfe der Nilakantha-Unendlichkeitsreihe aus dem Pascalschen Dreieck abgeleitet werden. $\pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}$ 42§ ∞ ( − §5455§ ) n + §6465§ ( §77 $\pi$ 81§ §8283§ ) ( §102 $\pi$ ) ( §121 $\pi$ .
Bestimmte numerische Elemente im Pascalschen Dreieck weisen eine Korrelation mit entsprechenden Zahlen im Lozanić-Dreieck auf.
Die Summe der Quadrate der Elemente in Zeile n entspricht dem zentralen Element von Zeile 2n. Zum Beispiel §678§ + 4§910§ + 6§1112§ + 4§1314§ + 1§1516§ = 70. Diese Beziehung wird formal ausgedrückt als: $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.$ 34§ n ( nk ) §5152§ = ( §6061§n n ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}
Für jede gerade Zeile, bezeichnet als $n=2m$ , der Unterschied zwischen dem zentralen Begriff und dem Begriff an Position zwei Stellen links davon ergibt eine katalanische Zahl. Diese Beziehung ist genau definiert durch $C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}$ 38§ = ( §52 $n=2m$ m ( §78 $n=2m$ m − §88 $n=2m$ {\displaystyle C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}} . Beispielsweise erhält man in Zeile 4, die aus der Folge 1, 4, 6, 4, 1 besteht, die dritte katalanische Zahl als $C_{3}=6-1=5$ .
In jeder mit p bezeichneten Zeile, in der p eine Primzahl darstellt, sind alle Einträge außer den Einsen nachweislich durch p teilbar. Diese Eigenschaft lässt sich leicht mithilfe der multiplikativen Formel ${\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}$ . Vorausgesetzt, dass der Nenner $k!(p-k)!$ keine zu p äquivalenten Primfaktoren enthält, bleibt der Faktor p nach der ganzzahligen Division unbedingt im Zähler bestehen, wodurch der gesamte Eintrag ein Vielfaches von p.
Parität: Um die Anzahl der ungeraden Terme innerhalb der Zeile n zu ermitteln, muss man zunächst n in seine binäre Darstellung umwandeln. Wenn x die Menge der in dieser Binärform vorhandenen Einsen bezeichnet, beträgt die Gesamtzahl der ungeraden Terme §89§x. Diese spezifischen numerischen Werte entsprechen den Elementen in der Gould-Sequenz.
Alle Einträge in Zeile 2ⁿ − 1, wobei n ≥ 0, sind ausschließlich ungerade Zahlen.
Alternierende Summe: Wenn die Elemente einer bestimmten Zeile im Pascalschen Dreieck mit abwechselnden Vorzeichen summiert werden, ist der resultierende Wert durchweg Null. Betrachtet man beispielsweise Zeile 6, die die Folge 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 umfasst, ergibt die Berechnung 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 0.

Diagonalen

Die Diagonalen innerhalb des Pascalschen Dreiecks zählen die mit Simplices verbundenen figürlichen Zahlen auf.

Die äußersten Diagonalen, die sich sowohl am linken als auch am rechten Rand befinden, bestehen ausschließlich aus der Ziffer 1.
Die Diagonalen, die unmittelbar an die Kantendiagonalen angrenzen, stellen nacheinander die natürlichen Zahlen dar. Konkret erhöhen sich die eindimensionalen Simplex-Zahlen um die Einheit eins, wenn sich die entsprechenden Liniensegmente zu aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen auf der Zahlenlinie erstrecken.
Im weiteren Verlauf präsentiert das nachfolgende Diagonalenpaar nacheinander die Dreieckszahlen.
Anschließend zeigt das nachfolgende Diagonalenpaar der Reihe nach die Tetraederzahlen an und das nächste Paar ergibt die Pentatopzahlen.

{\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}

17§ ( n ) = P d ( §42

43§ ) = §48

49§ ,

P d ( n ) = P d ( n − §91

92§ ) + P d − §106

107§

( n )

= ∑ ich = §135

136§ n P d − §152

153§

( ich ) = ∑ ich = §173

174§ d P ich ( n − §196

197§ ) .

{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}

Die inhärente Symmetrie des Dreiecks zeigt, dass die n^te d-dimensionale Zahl genau der d^ten n-dimensionalen Zahl entspricht.

Eine nicht rekursive Alternativformel wird wie folgt dargestellt: $P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},$ 25§ d ! ∏ k = §4344§ d − §5253§ ( n + k ) = n ( d ) d ! = ( n + d − §109110§ d ) , {\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}}, Hier bezeichnet n^(d) die steigende Fakultät.

Die geometrische Interpretation der Funktion P_d legt fest, dass P_d(1) = 1 universell für alle Werte von d ist. Ein d-dimensionales Dreieck, dargestellt durch ein Tetraeder in drei Dimensionen, kann konzeptualisiert werden, indem zusätzliche Punkte unter einem Anfangspunkt angeordnet werden, im Einklang mit der Bedingung P_d(1) = 1. Diese Punkte werden in einer Konfiguration positioniert, die der numerischen Anordnung analog ist, die im Pascal-Dreieck beobachtet wird. Um P_d(x) zu bestimmen, muss die geometrische Zielkonfiguration insgesamt x Punkte umfassen. Folglich stellt P_d(x) die Gesamtzahl der Punkte innerhalb dieser spezifischen Form dar. Ein 0-dimensionales Dreieck wird als Punkt definiert, während ein 1-dimensionales Dreieck lediglich eine Linie ist; also P§3839§(x) = 1 und P§4445§(x) = x, was der Folge der natürlichen Zahlen entspricht. Die Anzahl der Punkte innerhalb jeder Schicht entspricht P_d − 1(x).

Unabhängige Berechnung von Zeilen oder Diagonalen

Es gibt einfache Algorithmen zur Bestimmung aller Elemente innerhalb einer bestimmten Zeile oder Diagonale, ohne dass die Berechnung anderer Elemente oder Fakultäten erforderlich ist.

Zum Berechnen der Zeile $n$ , das aus den Elementen ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ 33§ ) , ( n §5455§ ) , … , ( n n ) {\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}} , man initiiert den Prozess mit ${\tbinom {n}{0}}=1$ 116§ ) = §127128§ {\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1} . Anschließend wird der Wert jedes nachfolgenden Elements durch Multiplikation des vorhergehenden Werts mit einem Bruch abgeleitet, der durch einen sich allmählich ändernden Zähler und Nenner gekennzeichnet ist.

{n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.

42§ ) × n + §6162§ − k k . {\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.

Zur Veranschaulichung umfasst die Berechnung von Zeile 5 die folgenden Brüche: ${\tfrac {5}{1}}$ 12§ {\displaystyle {\tfrac {5}{1}}} , ${\tfrac {4}{2}}$ , ${\tfrac {3}{3}}$ , ${\tfrac {2}{4}}$ .Folglich werden die resultierenden Elemente wie folgt bestimmt: ${\tbinom {5}{0}}=1$ 137§ ) = §148149§ {\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1} ; ${\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5$ 175§ ) = §186187§ × §194195§ §196197§ = §203204§ {\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5} ; und ${\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10$ . Die übrigen Elemente können leicht durch Symmetrie abgeleitet werden.

Um die Elemente entlang einer bestimmten Diagonale zu berechnen, beginnend mit der Sequenz ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,$ 17§),(n+§4142§§4445§),(n+§69 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,$ §72 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,$ ),…,{\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,, man kann die Berechnung starten mit ${\tbinom {n}{0}}=1$ 114§)=§125126§{\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1} und leiten Sie dann nachfolgende Elemente durch Multiplikation mit ab spezifische Bruchwerte.

Die Beziehung zur Berechnung dieser nachfolgenden Elemente wird durch die folgende Formel ausgedrückt:

{n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.

50§k−§5859§)×n+kk.{\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.

Um beispielsweise die Diagonale zu berechnen, die bei ${\tbinom {5}{0}}$ 17§ ) {\displaystyle {\tbinom {5}{0}}} , die relevanten Brüche sind ${\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots$ .Folglich werden die Elemente bestimmt als: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> ( §101102§ §103104§ ) = §115116§ , ( §127128§ §129130§ ) = §140141§ × §149150§ §151152§ = §158159§ , ( §170171§ §172 ${\tbinom {5}{0}}$ ) = §183184§ × §192193§ §194 ${\tbinom {5}{0}}$ = §201202§ {\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21} und so weiter. Aufgrund der Symmetrie entsprechen diese Elemente ${\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}$ und nachfolgende Begriffe.

Umfassende Muster und Eigenschaften

Das visuelle Muster, das durch die Hervorhebung nur der ungeraden Zahlen im Pascal-Dreieck entsteht, weist eine starke Ähnlichkeit mit dem Sierpiński-Dreieck-Fraktal auf. Diese Kongruenz verstärkt sich mit der Einbeziehung zusätzlicher Zeilen; Letztendlich entspricht das erzeugte Muster genau dem Sierpiński-Dreieck, wenn die Zeilenzahl gegen Unendlich tendiert, vorausgesetzt, der Umfang ist konstant. Eine breitere Anwendung umfasst die unterschiedliche Einfärbung von Zahlen basierend auf ihrer Teilbarkeit durch ganze Zahlen wie 3, 4 usw., wodurch analoge Muster entstehen.

Angenommen, dass sich der Anteil der schwarz gefärbten Zahlen Null nähert, wenn n zunimmt, folgt daraus als Konsequenz, dass sich der Anteil ungerader Binomialkoeffizienten in ähnlicher Weise Null nähert, wenn n bis ins Unendliche reicht.

Innerhalb eines dreieckigen Segments einer Gitterstruktur stimmt die Anzahl der kürzesten Gitterpfade von einem beliebigen Knoten bis zur Spitze des Dreiecks mit dem entsprechenden Eintrag im Pascal-Dreieck überein. Für ein als Dreieck konfiguriertes Plinko-Spielbrett stellt diese Verteilung genau die Wahrscheinlichkeiten dar, die mit dem Gewinn verschiedener Preise verbunden sind.

Wenn die Reihen des Pascalschen Dreiecks nach links ausgerichtet sind, entsprechen die Summen der Elemente entlang seiner Diagonalbänder den Fibonacci-Zahlen.

Matrix-Exponentialformulierung

Aufgrund seiner einfachen Konstruktion mithilfe von Fakultäten kann eine grundlegende Darstellung des Pascalschen Dreiecks über die Exponentialmatrix ausgedrückt werden. Insbesondere wird das Pascalsche Dreieck als Exponentialfunktion einer Matrix abgeleitet, die durch die Folge 1, 2, 3, 4, ... auf ihrer Unterdiagonale gekennzeichnet ist, wobei alle anderen Einträge Null sind.

Formulierung der Clifford-Algebra durch Simplices

Die Beschriftung der Elemente innerhalb jedes n-Simplex richtet sich nach den Basiselementen der Clifford-Algebra, die als Formen in der geometrischen Algebra verwendet werden und sich von Matrixdarstellungen unterscheiden. Die Identifizierung geometrischer Operationen wie Rotationen erleichtert die Erläuterung algebraischer Operationen. Analog entspricht jede Zeile n (beginnend bei 0) des Pascalschen Dreiecks einem (n-1)-Simplex und gibt gleichzeitig die Menge benannter Basisformen innerhalb der n-dimensionalen geometrischen Algebra an. Der Binomialsatz bietet eine Möglichkeit, die geometrische Beziehung zu belegen, die dem Pascalschen Dreieck innewohnt. Dieser identische Beweis ist auf Simplices anwendbar, mit der Einschränkung, dass die Anfangsspalte aller Einsen außer Acht gelassen werden muss; im algebraischen Kontext stellen diese die reellen Zahlen dar, $\mathbb {R}$ , mit einer Basis von 1.

Geometrische Korrespondenz mit Polytopen

Jede Zeile innerhalb des Pascalschen Dreiecks zählt die Elemente (z. B. Kanten und Eckpunkte) jeder Dimension innerhalb ihres entsprechenden Simplex (z. B. eines Dreiecks oder Tetraeders) auf. Specifically, when k > 0, der k-te Eintrag der n-ten Zeile gibt die Anzahl der (k − 1)-dimensionalen Elemente an, die in einem (n − 1)-dimensionalen Simplex vorhanden sind. Beispielsweise besteht ein Dreieck (ein zweidimensionaler Simplex) aus einem zweidimensionalen Element (dem Dreieck selbst), drei eindimensionalen Elementen (Linien oder Kanten) und drei 0-dimensionalen Elementen (Eckpunkten oder Ecken); Diese Konfiguration stimmt mit der dritten Reihe des Pascalschen Dreiecks überein: 1, 3, 3, 1. Diese Beobachtung kann durch die Integration der Pascalschen Regel zur Dreieckserzeugung mit der geometrischen Methodik zur Konstruktion von Simplizes verdeutlicht werden: Jeder Simplex wird von einem Simplex mit niedrigerer Dimension durch die Einführung eines neuen Scheitelpunkts abgeleitet, der außerhalb des räumlichen Bereichs des vorhergehenden Simplex positioniert ist. Folglich bleibt jedes d-dimensionale Element innerhalb des kleineren Simplex als d-dimensionales Element im höheren Simplex bestehen, während jedes (d − 1)-dimensionale Element bei der Verbindung mit dem neu hinzugefügten Scheitelpunkt ein neues d-dimensionales Element im höheren Simplex erzeugt.

Ein analoges Muster ergibt sich bei der Betrachtung von Quadraten im Gegensatz zu Dreiecken. Um dieses Muster zu erkennen, ist es notwendig, ein analoges Dreieck zu Pascals zu konstruieren, wobei die Einträge die Koeffizienten von (x + 2)^Zeilennummer und nicht von (x + 1)^Zeilennummer darstellen. Several methods exist for achieving this. Der einfachere Ansatz besteht darin, mit Zeile 0 als 1 und Zeile 1 als 1, 2 zu beginnen. Anschließend werden die analogen Dreiecke unter Einhaltung der folgenden Regel konstruiert:

{n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.

45§ k − §5354§ ) + ( n − §7879§ k ) . {\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.

Konkret wählt man ein Zahlenpaar aus, das den kombinatorischen Regeln des Pascalschen Dreiecks entspricht; Der linke Term wird jedoch vor der Summierung mit zwei multipliziert. This operation yields:

{\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}

Eine alternative Methode zum Generieren dieses speziellen Dreiecks besteht darin, mit dem Pascalschen Dreieck zu beginnen und anschließend jeden Eintrag mit 2^k zu multiplizieren, wobei „k“ die Position der angegebenen Zahl innerhalb ihrer jeweiligen Zeile angibt.Betrachtet man beispielsweise den 2. Wert in der 4. Zeile des Pascalschen Dreiecks, der 6 ist (wobei zu beachten ist, dass die Folge von Einsen dem nullten Eintrag in jeder Zeile entspricht), wird der entsprechende Wert im analogen Dreieck durch Multiplikation von 6 mit 2^{Positionsnummer} abgeleitet, was zu 6 × 2§56§ = 6 × 4 = 24 führt. Sobald dieses analoge Dreieck konstruiert ist, erleichtert es die Bestimmung der Anzahl von Elementen beliebiger Dimension, die einen beliebig dimensionierten Würfel (einen Hyperwürfel) bilden, was die Interpretationsmethode widerspiegelt, die für Pascals Dreieck verwendet wird. Beispielsweise besteht ein zweidimensionaler Würfel (ein Quadrat) aus einem zweidimensionalen Element, vier eindimensionalen Elementen (Seiten oder Linien) und vier 0-dimensionalen Elementen (Punkten oder Eckpunkten). Diese Konfiguration entspricht der zweiten Zeile der Tabelle (1, 4, 4). Ebenso besitzt ein Standardwürfel einen Würfel, sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Eckpunkte, was der nachfolgenden Reihe des analogen Dreiecks (1, 6, 12, 8) entspricht. Dieses beobachtete Muster erstreckt sich unbegrenzt.

Die diesem Muster zugrunde liegende Begründung lässt sich verstehen, wenn man bedenkt, dass ein n-Würfel aus einem (n − 1)-Würfel durch einen Prozess der Duplizierung und Verschiebung konstruiert wird. Konkret wird die ursprüngliche Figur dupliziert und dann um eine bestimmte Distanz (entspricht der Kantenlänge eines regulären n-Würfels) in eine Richtung verschoben, die orthogonal zu ihrer ursprünglichen räumlichen Ausrichtung ist. Anschließend wird jeder Scheitelpunkt der neu generierten Figur mit dem entsprechenden Scheitelpunkt in der Originalfigur verbunden. Dieser erste Vervielfältigungsschritt erklärt, warum es beim Aufzählen der dimensionalen Elemente eines n-Würfels notwendig ist, die erste Zahl innerhalb eines Paares in einer bestimmten Zeile dieses Pascalschen Dreiecksanalogon zu verdoppeln, bevor die Summation durchgeführt wird, um die Zahl in der nachfolgenden Zeile zu erhalten. Folglich berücksichtigt diese anfängliche Verdoppelung die „ursprünglichen“ Elemente, die im nächsthöheren n-Würfel vorhanden sind. Wie bereits festgestellt, werden neue Elemente gebildet, indem auf Elementen mit einer Dimension weniger aufgebaut wird (z. B. Kanten aus Eckpunkten, Flächen aus Kanten). Darüber hinaus gibt die endgültige Zahl in einer bestimmten Zeile die Anzahl neuer Eckpunkte an, die erforderlich sind, um den nächsthöheren n-Würfel zu erzeugen.

Innerhalb dieses speziellen Dreiecks ergibt die Summierung der Elemente in Zeile m durchweg einen Wert, der 3^m entspricht. Um dieses Prinzip zu veranschaulichen, betrachten Sie die Elemente von Zeile 4: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81. Diese Summe entspricht genau $3^{4}=81$ 16§ §1819§ = 81 {\displaystyle 3^{4}=81} .

Aufzählung von Eckpunkten in einem Würfel basierend auf der Entfernung

Jede aufeinanderfolgende Zeile des Pascalschen Dreiecks liefert die Anzahl der Eckpunkte, die sich in bestimmten Abständen von einem festgelegten festen Eckpunkt innerhalb eines n-dimensionalen Würfels befinden. In einem dreidimensionalen Kontext korreliert beispielsweise die dritte Zeile (1 3 3 1) direkt mit einem standardmäßigen dreidimensionalen Würfel: Wenn ein Scheitelpunkt V als Referenzpunkt gewählt wird, gibt es einen Scheitelpunkt im Abstand von 0 von V (nämlich V selbst), drei Scheitelpunkte im Abstand von 1 und drei Scheitelpunkte im Abstand von √§910§ und ein Scheitelpunkt im Abstand von √§1314§ (der Scheitelpunkt diametral gegenüber von V). Die zweite Reihe des Dreiecks entspricht einem Quadrat, während Reihen mit höheren Indizes Hyperwürfel mit zunehmenden Abmessungen darstellen.

Fourier-Transformation von sin(x)ⁿ⁺¹/x

Wie bereits festgestellt, entsprechen die aus der Entwicklung von (x + 1)ⁿ abgeleiteten Koeffizienten der n-ten Zeile des Dreiecks. Ebenso weisen die Koeffizienten von (x − 1)ⁿ die gleiche Zahlenfolge auf, jedoch mit wechselnden Vorzeichen, die zwischen +1 und −1 schwanken. Nach entsprechender Normalisierung entsteht ein identisches numerisches Muster innerhalb der Fourier-Transformation von sin(x)ⁿ⁺¹/x. Insbesondere wenn n eine gerade ganze Zahl ist, wird die reelle Komponente der Transformation berücksichtigt; Wenn umgekehrt n eine ungerade ganze Zahl ist, wird die imaginäre Komponente verwendet. Das Ergebnis dieses Prozesses ist eine Stufenfunktion, deren normierte Werte durch die nte Zeile des Dreiecks unter Einbeziehung der oben genannten alternierenden Vorzeichen dargestellt werden. Die Werte der resultierenden Schrittfunktion werden beispielsweise abgeleitet von:

{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)

Diese Begriffe bilden die vierte Reihe des Dreiecks und weisen abwechselnde Vorzeichen auf. Dies stellt eine Verallgemeinerung eines grundlegenden Ergebnisses dar, das in der Elektrotechnik häufig angewendet wird.

{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)

42§ x ] ) {\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}

Dieser Ausdruck definiert die Boxcar-Funktion. Die entsprechende Zeile im Dreieck ist Zeile 0, die ausschließlich die Ziffer 1 enthält.

Wenn die ganze Zahl *n* zu 2 oder 3 modulo 4 kongruent ist, sind die Anfangszeichen negativ eins. Insbesondere richtet sich die Folge der normalisierten ersten Terme nach den Potenzen von *i*, die zyklisch die Schnittpunkte der Achsen mit dem Einheitskreis innerhalb der komplexen Ebene durchlaufen: + ich , − §1516§ , − ich , + §2829§ , + ich , … {\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }

Erweiterungen

Erweiterung nach oben

Pascals Dreieck kann vertikal über den Scheitelwert von 1 hinaus erweitert werden, während seine grundlegende additive Eigenschaft erhalten bleibt; Es gibt jedoch mehrere Methoden, um diese Erweiterung zu erreichen.

Höherdimensionale Verallgemeinerungen

Pascals Dreieck besitzt Verallgemeinerungen in höhere Dimensionen. Die dreidimensionale Variante wird entweder als Pascalsche Pyramide oder Pascalsches Tetraeder bezeichnet, während die umfassenderen, allgemeinen Formen als Pascalsche Simplices bezeichnet werden.

Erweiterung auf komplexe Zahlen

Angesichts der Definition der Fakultätsfunktion als $z!=\Gamma (z+1)$ 22§ ) {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)} , das Pascalsche Dreieck kann vom Bereich der ganzen Zahlen auf $\mathbb {C}$ , weil $\Gamma (z+1)$ 67§ ) {\displaystyle \Gamma (z+1)} ist eine meromorphe Funktion über die gesamte komplexe Ebene.

Erweiterung auf beliebige Basen

Isaac Newton beobachtete einmal, dass die ersten fünf Reihen des Pascalschen Dreiecks, wenn man sie als Ziffern einer ganzen Zahl interpretiert, die entsprechenden Potenzen von Elf darstellen. Anschließend behauptete er, ohne Beweise vorzulegen, dass alle nachfolgenden Reihen auf ähnliche Weise Elferpotenzen erzeugen. Im Jahr 1964 brachte Robert L. Morton ein umfassenderes Argument vor und schlug vor, dass jede Zeile eine $n$ kann als Basis verstanden werden $a$ Ziffer. In diesem Zusammenhang ist $\lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}$ bezeichnet die hypothetische Endreihe oder Grenze des Dreiecks, wobei die einzelnen Reihen als seine Teilprodukte fungieren. Morton zeigte, dass die Elemente der Zeile n} entsprechen bei direkter Interpretation als Stellenwertzahl genau der Binomialentwicklung von $(a+1)^{n}=11_{a}^{n}$ 101§)n=§113114§an{\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}. Anschließend wurden strengere mathematische Beweise entwickelt, um dieses Konzept zu untermauern. Um ein tieferes Verständnis des dieser Interpretation zugrunde liegenden Prinzips zu erleichtern, ist es hilfreich, bestimmte Aspekte von Binomialen zu überprüfen.

In der Positionsnotation ist eine Radix $a$ Ziffer, wie z. B. $14641_{a}$ , fungiert als Univariate Polynom mit der Variablen $“{\displaystyle$ . Innerhalb dieses Polynoms ist der Grad der Variablen für die $i$ ter Term (wobei $i=0$ 81§{\displaystyle i=0} für den Anfangsbegriff) ist genau $i$ . Zum Beispiel die Zahl $14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}$ 123§⋅a§131132§+§137138§⋅a§146147§+§152153§⋅a§161 $a$ +§167168§⋅a§176177§+§182183§⋅a§191192§{\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}} veranschaulicht dieses Prinzip.
Jede Zeile stellt die Binomialentwicklung von $(a+b)^{n}$ . Die Variable $b$ kann aus dieser Erweiterung entfernt werden, indem $b=1$ 57§ {\displaystyle b=1} . Folglich veranschaulicht die Erweiterung die erweiterte Darstellung einer Basis $a$ Ziffer, wie zuvor gezeigt. Wenn die Einträge der Zeile folglich verkettet und in der Basis $a interpretiert werden$ , sie ergeben den numerischen Wert, der $(a+1)^{n}=11_{a}^{n}$ 111§ ) n = §123124§ a n {\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}} . Außerdem, wenn $c=a+1$ 157§ {\displaystyle c=a+1} und $c<0$ 177§ {\displaystyle c<0} , der Satz bleibt gültig für $a{\bmod {2}}c$ .In diesem Zusammenhang gilt: $a$ ist kongruent zu $\{c-1,-(c+1)\}$ 242§ , − ( c + §254255§ ) } {\displaystyle \{c-1,-(c+1)\}} , und ungerade Werte von $n$ führen zu negativen Zeilenprodukten.

Wenn die Basis einer Zeile, dargestellt durch die Variable $a$ , wird auf eins bzw. zehn gesetzt, Zeile $n$ wandelt sich in die Produkte $11_{1}^{n}=2^{n}$ 43§ n = §53 $54§ n$ {\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}} und $11_{10}^{n}=11^{n}$ . Zur Veranschaulichung: Wenn $a=n$ , das resultierende Zeilenprodukt ist $\textstyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}$ 145§ + §150151§ n ) n = §168169§ n n {\displaystyle \textstyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}} . Die numerische Darstellung von $11_{n}^{n}$ wird durch Verkettung der einzelnen Einträge innerhalb der Zeile $n abgeleitet$ . Das Produkt für die zwölfte Zeile wird wie folgt ausgedrückt:

11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}

21§ : §2425§ : 56 : 164 : 353 : 560 : 650 : 560 : 353 : 164 : §6061§ : §6465§ : §6970§ §7273§ = 27433 a 9699701 §8687§ {\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}

Der normalisierte Wert von $1.1_{1234}^{1234}$ wird unten dargestellt. Zusammengesetzte Ziffern bleiben innerhalb dieses Werts bestehen, da sie Reste der Basis $1234 darstellen$ , ausgedrückt in Basis zehn:

1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 Ziffern}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}

59§ : §6364§ 1234 = 2.717181235 … §7980§ {\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 Ziffern}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}

Referenzen

„Pascal's Triangle“, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

"Pascal-Dreieck", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]Weisstein, Eric W. „Pascals Dreieck.“ MathWorld.
Das alte Methodendiagramm der sieben Multiplikationsquadrate (abgeleitet vom Ssu Yuan Yü Chien von Chu Shi-Chieh, 1303, das die ersten neun Reihen des Pascalschen Dreiecks veranschaulicht)
Pascals Abhandlung über das arithmetische Dreieck (bestehend aus Seitenbildern von Pascals Abhandlung, 1654, zusammen mit einer Zusammenfassung)

Pascals Dreieck (Pascal's triangle)