historia de las matemáticas (History of mathematics)

La historia de las matemáticas examina la génesis de los descubrimientos, métodos y notaciones matemáticas a lo largo de la antigüedad. Antes de la era moderna y la difusión global del conocimiento, surgieron casos documentados de avances matemáticos novedosos solo en un número limitado de regiones. A partir del año 3000 a. C., las civilizaciones mesopotámicas, incluidas Sumeria, Acad y Asiria, junto con el Antiguo Egipto y el estado levantino de Ebla, iniciaron la aplicación de la aritmética, el álgebra y la geometría con fines tales como impuestos, comercio, observación astronómica, cronometraje y formulación de calendarios.

La historia de las matemáticas trata del origen de los descubrimientos en matemáticas y de los métodos matemáticos y la notación del pasado. Antes de la era moderna y la difusión mundial del conocimiento, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos habían salido a la luz sólo en unos pocos lugares. Desde el año 3000 a. C., los estados mesopotámicos de Sumeria, Acad y Asiria, seguidos de cerca por el Antiguo Egipto y el estado levantino de Ebla, comenzaron a utilizar la aritmética, el álgebra y la geometría para los impuestos, el comercio y la astronomía, para registrar el tiempo y formular calendarios.

Los primeros textos matemáticos existentes se originan en Mesopotamia y Egipto, entre los que destaca Plimpton 322 (babilónico, c. 2000 – 1900 a.C.), el Papiro Matemático de Rhind (egipcio, c. 1800 a.C.) y el Papiro Matemático de Moscú (egipcio, c. 1890 a.C.). Estos documentos hacen referencia consistentemente a lo que se conoce como tripletas de Pitágoras, lo que sugiere que el teorema de Pitágoras representa uno de los conceptos matemáticos más antiguos y ampliamente difundidos, después de la aritmética y la geometría fundamentales.

El estudio formal de las matemáticas como una "disciplina demostrativa" comenzó en el siglo VI a. C. con los pitagóricos, quienes originaron el término "matemáticas" del griego antiguo μάθημα. (mathema), que significa "sujeto de instrucción". Las matemáticas griegas hicieron avanzar significativamente las metodologías, particularmente a través de la integración del razonamiento deductivo y pruebas matemáticas rigurosas, ampliando así el alcance de la disciplina. Los antiguos romanos emplearon las matemáticas aplicadas en diversos campos, incluida la topografía, la ingeniería estructural y mecánica, la contabilidad, el desarrollo de calendarios lunares y solares e incluso en prácticas artísticas y artesanales. Las matemáticas chinas contribuyeron con innovaciones tempranas, como el establecimiento de un sistema de valor posicional y la aplicación inicial de números negativos. El sistema de numeración hindú-árabe, junto con sus reglas operativas, que hoy se adoptan globalmente, se desarrolló en la India durante el primer milenio d.C. y posteriormente se transmitió al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas, en particular a través de las contribuciones de Khwārizmī. Las matemáticas islámicas, a su vez, elaboraron y ampliaron aún más el conocimiento matemático heredado de estas civilizaciones precedentes. Al mismo tiempo, aunque independientemente de estas tradiciones, la civilización maya de México y América Central desarrolló su propio sistema matemático, incorporando en particular un símbolo estándar para el concepto de cero dentro de los números mayas.

Numerosos tratados matemáticos griegos y árabes se tradujeron al latín a partir del siglo XII, lo que impulsó nuevos avances matemáticos en la Europa medieval. A lo largo de la antigüedad y la Edad Media, las épocas de innovación matemática se alternaron frecuentemente con períodos prolongados de estancamiento. Sin embargo, a partir del Renacimiento italiano durante el siglo XV, comenzaron a surgir nuevos desarrollos matemáticos, que a menudo interactuaban con nuevos descubrimientos científicos, a un ritmo acelerado que persiste hasta el presente. Esta aceleración abarca las contribuciones fundamentales de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz al desarrollo del cálculo infinitesimal en el siglo XVII, así como los descubrimientos posteriores de matemáticos alemanes como Carl Friedrich Gauss y David Hilbert.

Prehistórico

La génesis del pensamiento matemático tiene sus raíces en conceptos fundamentales como número, patrones naturales, magnitud y forma. La investigación contemporánea sobre cognición animal indica que estos conceptos fundamentales no son exclusivamente humanos. Estos conceptos habrían constituido una parte integral de la existencia diaria dentro de las sociedades cazadoras-recolectoras. La hipótesis de que el concepto de "número" evolucionó gradualmente con el tiempo se sustenta en la presencia de lenguajes que diferencian entre "uno", "dos" y "muchos", pero que carecen de términos distintos para los números superiores a dos.

La presencia de hilo entre los artefactos neandertales de hace aproximadamente 40.000 años en Abri du Maras, en el sur de Francia, implica una comprensión fundamental de los principios matemáticos. Descubierto cerca de la cabecera del río Nilo en el noreste del Congo, el hueso de Ishango, potencialmente de más de 20.000 años de antigüedad, presenta una serie de marcas grabadas en tres columnas a lo largo de su longitud. Las interpretaciones predominantes sugieren que el hueso de Ishango representa un ejemplo temprano de un recuento que demuestra secuencias de números primos o funciona como un calendario lunar de seis meses. Peter Rudman sostiene que la conceptualización de los números primos sólo pudo haber surgido después del concepto de división, que sitúa después del año 10.000 a.C., y que la comprensión completa de los números primos probablemente no se produjo hasta alrededor del 500 a.C. Además, señala que "no se ha intentado explicar por qué un recuento de algo debería presentar múltiplos de dos, números primos entre 10 y 20 y algunos números que son casi múltiplos de 10". El erudito Alexander Marshack postula que el hueso de Ishango podría haber influido en la evolución posterior de las matemáticas en Egipto, dado que la aritmética egipcia, similar a ciertas entradas en el hueso de Ishango, también empleaba la multiplicación por dos; sin embargo, esta afirmación sigue siendo polémica.

Los egipcios predinásticos del quinto milenio a. C. representaban gráficamente patrones geométricos. Las afirmaciones sugieren que las estructuras megalíticas en Inglaterra y Escocia, que se originaron en el tercer milenio a. C., integran conceptos geométricos como círculos, elipses y ternas pitagóricas en sus diseños arquitectónicos. Sin embargo, todas estas afirmaciones son cuestionadas; Los primeros documentos matemáticos inequívocamente aceptados provienen de las civilizaciones babilónica y dinástica egipcia.

Babilónico

Las matemáticas babilónicas abarcan las prácticas matemáticas de las civilizaciones mesopotámicas (actual Irak), que abarcan desde principios de la era sumeria hasta el período helenístico, extendiéndose casi hasta el advenimiento del cristianismo. La mayor parte de las contribuciones matemáticas babilónicas se derivan de dos períodos distintos: los siglos iniciales del segundo milenio a. C. (el período de la antigua Babilonia) y los siglos finales del primer milenio a. C. (el período seléucida). Este campo se denomina "matemáticas babilónicas" debido al estatus fundamental de Babilonia como centro académico.

A diferencia de las limitadas fuentes disponibles sobre las matemáticas egipcias, nuestra comprensión de las matemáticas babilónicas proviene de más de 400 tablillas de arcilla excavadas desde la década de 1850. Estas tablillas, inscritas en escritura cuneiforme mientras la arcilla era flexible, se endurecieron posteriormente mediante cocción en un horno o exposición al sol. Un subconjunto de estos artefactos parece representar tareas académicas graduadas.

La evidencia documentada más antigua de matemáticas escritas se origina en los antiguos sumerios, quienes establecieron la civilización fundacional de Mesopotamia. Hacia el año 3000 a. C., habían ideado un intrincado sistema metrológico principalmente para la contabilidad administrativa y financiera, incluida la cuantificación de asignaciones de granos, mano de obra, pesas de plata y líquidos, entre otros productos. Aproximadamente desde el año 2500 a. C., los sumerios comenzaron a inscribir tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y a abordar problemas geométricos y cálculos de división. Las indicaciones iniciales de los números babilónicos también corresponden a esta época.

Las matemáticas babilónicas empleaban un sistema numérico sexagesimal (base 60), que es el origen del cronometraje moderno (60 segundos por minuto, 60 minutos por hora) y la medición angular (360 grados en un círculo, con segundos de arco y minutos que denotan grados fraccionarios). La adopción del sistema sexagesimal por los escribas sumerios se atribuye a menudo a la alta divisibilidad de 60 (entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30), lo que facilitaba los cálculos manuales esenciales para tareas como la distribución del grano y el registro del peso de la plata. Sin embargo, una hipótesis alternativa sugiere que su uso podría haber sido un fenómeno etnolingüístico más que una elección puramente matemática o práctica, una distinción que puede seguir siendo desconocida. A diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios desarrollaron un sistema de valor posicional, donde los dígitos de la columna de la izquierda significaban magnitudes mayores, similar al sistema decimal moderno. La fortaleza de este sistema de notación residía en su capacidad para representar fracciones con la misma facilidad que números enteros, simplificando operaciones como la multiplicación de números fraccionarios para que sean análogas a la multiplicación de números enteros, similar a la notación contemporánea. Considerado como el sistema de notación más avanzado hasta el Renacimiento, su poder computacional permitió una precisión notable; por ejemplo, la tablilla babilónica YBC 7289 proporciona una aproximación de √2 con una precisión de cinco decimales. Sin embargo, los babilonios carecían de un equivalente del punto decimal, lo que requería una inferencia contextual para el valor posicional de un símbolo. En el período seléucida, se introdujo un símbolo cero como marcador de posición para las posiciones vacías intermedias, pero su ausencia en las posiciones terminales significó que los babilonios no lograron por completo un verdadero sistema de valor posicional.

Las matemáticas babilónicas abarcaban una amplia gama de temas, incluidas fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y la determinación de números regulares y sus pares recíprocos. Las tablillas cuneiformes existentes también incluyen tablas de multiplicar y metodologías para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, lo que representa un logro intelectual significativo para esa época. Además, las tablillas del período de la antigua Babilonia contienen la articulación más antigua documentada del teorema de Pitágoras. A pesar de estos avances, las matemáticas babilónicas, al igual que su contraparte egipcia, no distinguieron entre soluciones exactas y aproximadas, ni abordaron explícitamente la solucion de los problemas. Fundamentalmente, carecía de cualquier articulación abierta de la necesidad de pruebas matemáticas o principios lógicos subyacentes.

Matemáticas egipcias

Las matemáticas egipcias denotan textos matemáticos compuestos en idioma egipcio. Durante el período helenístico, el griego reemplazó al egipcio como lengua escrita académica. Los hallazgos arqueológicos indican que el sistema de conteo del antiguo Egipto puede haberse originado en el África subsahariana. Además, los patrones de geometría fractal, que prevalecen en las culturas del África subsahariana, también son discernibles en los diseños arquitectónicos y símbolos cosmológicos egipcios. Las estructuras megalíticas de Nabta Playa, en el Alto Egipto, demuestran conocimientos astronómicos avanzados, incluidas disposiciones del calendario alineadas con la salida helíaca de Sirio, que facilitó la calibración del calendario anual para predecir la inundación del Nilo.

El documento matemático egipcio más completo es el Papiro Rhind, también conocido como Papiro Ahmes en honor a su escriba. Fechado aproximadamente en 1650 a.C., se cree que es una transcripción de un texto anterior del Reino Medio de alrededor de 2000-1800 a.C. Este papiro funciona como una guía de instrucción para estudiantes de aritmética y geometría. Más allá de presentar fórmulas de área y técnicas para multiplicación, división y operaciones con fracciones unitarias, también revela otros conocimientos matemáticos. Estos incluyen la comprensión de números primos y compuestos, medias aritméticas, geométricas y armónicas, y conceptos rudimentarios relacionados con el tamiz de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, específicamente en relación con el número 6. Además, el papiro ilustra métodos para resolver ecuaciones lineales de primer orden y series tanto aritméticas como geométricas.

El Papiro de Moscú representa otro documento matemático egipcio crucial, que data aproximadamente de 1890 a.C. durante la era del Reino Medio. Este papiro comprende lo que ahora se denominan problemas de palabras o problemas de historias, aparentemente diseñados con fines recreativos. En particular, un problema específico dentro de esta colección es muy significativo para presentar una metodología para calcular el volumen de un tronco (una pirámide truncada).

Además, el Papiro de Berlín 6619, fechado aproximadamente en 1800 a.C., demuestra la capacidad de los antiguos egipcios para resolver ecuaciones algebraicas de segundo orden.

Matemáticas griegas

Las matemáticas griegas abarcan las obras matemáticas compuestas en lengua griega, que abarcan desde la era de Tales de Mileto (alrededor del 600 a.C.) hasta la disolución de la Academia de Atenas en el 529 d.C. Aunque los matemáticos griegos residían en varias ciudades del Mediterráneo oriental, desde Italia hasta el norte de África, compartían una cultura y una herencia lingüística unificadoras. Los desarrollos matemáticos en el mundo griego posteriores al reinado de Alejandro Magno se denominan ocasionalmente matemáticas helenísticas.

Las matemáticas griegas exhibieron un nivel significativamente mayor de sofisticación en comparación con los sistemas matemáticos desarrollados por civilizaciones anteriores. Los registros existentes de matemáticas pregriegas demuestran consistentemente la aplicación del razonamiento inductivo, en el que se empleaban observaciones repetidas para formular reglas empíricas. En marcado contraste, los matemáticos griegos emplearon el razonamiento deductivo. Utilizaron principios lógicos para deducir conclusiones a partir de definiciones y axiomas establecidos, fundamentando estas derivaciones con pruebas matemáticas rigurosas.

La génesis de las matemáticas griegas generalmente se atribuye a Tales de Mileto (alrededor de 624–546 a. C.) y Pitágoras de Samos (alrededor de 582–507 a. C.). Si bien el grado preciso de influencia sigue siendo un tema de debate académico, es probable que se inspiraran en las tradiciones matemáticas egipcias y babilónicas. La leyenda cuenta que Pitágoras viajó a Egipto para adquirir conocimientos en matemáticas, geometría y astronomía del sacerdocio egipcio.

Tales aplicó principios geométricos para resolver desafíos prácticos, incluida la determinación de las alturas de las pirámides y la medición de distancias entre los barcos y la costa. Es reconocido por ser pionero en la aplicación del razonamiento deductivo en geometría, en particular a través de la derivación de cuatro corolarios del Teorema de Tales. En consecuencia, se le celebra como el verdadero matemático inaugural y el primer individuo conocido al que se le atribuye un descubrimiento matemático específico. Pitágoras fundó la Escuela Pitagórica, una institución cuyo principio central postulaba que las matemáticas gobernaban el cosmos, resumido en su lema: "Todo es número". A los pitagóricos se les atribuye haber acuñado el término "matemáticas" e iniciar la búsqueda del estudio matemático como una disciplina intrínseca. También se les atribuye la prueba inicial del teorema de Pitágoras, a pesar de que el enunciado del teorema tiene un linaje histórico prolongado, y la demostración de la existencia de números irracionales. Si bien existían tablas de multiplicar anteriores entre los babilonios, los indios y los chinos, el matemático neopitagórico Nicómaco (60-120 d. C.) produjo una de las primeras tablas de multiplicar grecorromanas. Sin embargo, la tabla de multiplicar griega más antigua que se conserva está inscrita en una tablilla de cera del siglo I d.C., que actualmente se encuentra en el Museo Británico. La conexión entre los neopitagóricos y el desarrollo occidental de la tabla de multiplicar queda subrayada por su posterior denominación medieval: mensa Pythagorica.

Platón (428/427 a. C. – 348/347 a. C.) tiene una importancia significativa en la historia de las matemáticas debido a su papel a la hora de inspirar y dirigir a los eruditos posteriores. Su Academia Platónica en Atenas surgió como el epicentro global de la investigación matemática durante el siglo IV a. C., y produjo matemáticos prominentes de esa época, incluido Eudoxo de Cnido (alrededor de 390 - 340 a. C.). Además, Platón se comprometió con los principios fundamentales de las matemáticas y refinó varias definiciones, como caracterizar una línea como "longitud sin ancho".

Eudoxo formuló el método de agotamiento, un precursor fundamental del cálculo integral moderno, junto con una teoría de proporciones que eludió con éxito las complejidades de las magnitudes inconmensurables. La primera innovación facilitó el cálculo de áreas y volúmenes para figuras curvilíneas, mientras que la segunda permitió a los geómetras posteriores lograr avances sustanciales en el campo. Aunque Aristóteles (384–c. 322 a.C.) no produjo descubrimientos matemáticos técnicos específicos, sus contribuciones al desarrollo de las matemáticas fueron profundas, principalmente a través de su establecimiento de los principios fundamentales de la lógica.

Durante el siglo III a. C., el Museo de Alejandría sirvió como centro preeminente para la instrucción matemática y la investigación académica. Euclides (c. 300 a.C.) enseñó en esta institución y fue autor de la obra fundamental Elementos, ampliamente reconocida como el libro de texto más exitoso e impactante de la historia. Los Elementos fueron pioneros en el rigor matemático al emplear el método axiomático, estableciendo una estructura fundamental (que comprende definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones) que sigue prevaleciendo en las matemáticas contemporáneas. Si bien gran parte del material contenido en los Elementos era preexistente, Euclides lo organizó sistemáticamente en un marco unificado y lógicamente consistente. Los Elementos siguieron siendo una piedra angular de la educación occidental hasta mediados del siglo XX, y sus principios siguen siendo parte integral de los planes de estudio de geometría modernos. Más allá de los conocidos teoremas de la geometría euclidiana, los Elementos funcionaron como un texto fundamental para todas las disciplinas matemáticas de su época, abarcando la teoría de números, el álgebra y la geometría de sólidos, y en particular incluían pruebas de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos y la infinidad de los números primos. La prolífica producción de Euclides se extendió a diversos campos, incluidas las secciones cónicas, la óptica, la geometría esférica y la mecánica; sin embargo, sólo la mitad de sus obras completas han perdurado.

Arquímedes (c. 287–212 a. C.) de Siracusa, ampliamente aclamado como el matemático más destacado de la antigüedad, empleó el método de agotamiento para determinar el área debajo de un arco parabólico mediante la suma de una serie infinita, una técnica notablemente similar al cálculo moderno. Además, demostró la aplicabilidad del método de agotamiento para calcular el valor de π con cualquier grado de precisión deseado, logrando la aproximación más precisa conocida en ese momento: 3+⁠10/71⁠ < π < 3+⁠§1718§/70⁠. Arquímedes también investigó la espiral del mismo nombre, derivó fórmulas para los volúmenes de varias superficies de revolución (incluidos paraboloides, elipsoides e hiperboloides) e ideó un ingenioso método de exponenciación para representar valores numéricos excepcionalmente grandes. Aunque reconocido por sus contribuciones a la física y la invención de varios dispositivos mecánicos sofisticados, el propio Arquímedes priorizó los resultados de sus esfuerzos intelectuales y sus principios matemáticos fundamentales. Consideró que su logro más importante fue la determinación del área de superficie y el volumen de una esfera, que estableció demostrando que estas medidas son precisamente dos tercios del área de superficie y el volumen correspondientes de un cilindro que circunscribe la esfera.

Apolonio de Perga (c. 262–190 a. C.) avanzó sustancialmente en el estudio de las secciones cónicas, demostrando que los tres tipos (parábola, elipse e hipérbola) podían generarse alterando el ángulo en el que un plano interseca un cono de doble capa. También se le atribuye haber acuñado la terminología contemporánea para las secciones cónicas: parábola (derivada del griego que significa "lugar al lado" o "comparación"), elipse ("deficiencia") e hipérbola ("un lanzamiento más allá"). Su tratado, Cónicas, es uno de los textos matemáticos más renombrados y mejor conservados de la antigüedad, y contiene numerosos teoremas sobre secciones cónicas que resultaron indispensables para los matemáticos y astrónomos posteriores, incluido Isaac Newton, en sus investigaciones del movimiento planetario. Aunque Apolonio y sus contemporáneos griegos no desarrollaron la geometría de coordenadas, su enfoque de las curvas tiene notables similitudes con las metodologías modernas, y ciertos aspectos de su trabajo aparentemente presagiaron el desarrollo de la geometría analítica de René Descartes aproximadamente 1800 años después.

Al mismo tiempo, Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 a. C.) desarrolló el tamiz de Eratóstenes, un algoritmo para identificar números primos. El siglo III a. C. se considera ampliamente la "Edad de oro" de las matemáticas griegas, después de la cual el progreso en las matemáticas puras experimentó un relativo declive. A pesar de esto, los siglos siguientes vieron avances sustanciales en las matemáticas aplicadas, particularmente en la trigonometría, impulsados ​​principalmente por requisitos astronómicos. Hiparco de Nicea (c. 190–120 a.C.) es reconocido como el creador de la trigonometría, ya que compiló la tabla trigonométrica más antigua conocida e introdujo la aplicación sistemática del círculo de 360 ​​grados. A Herón de Alejandría (c. 10–70 d.C.) se le atribuye la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo escaleno y por ser el primero en reconocer la posibilidad de que los números negativos tengan raíces cuadradas. Menelao de Alejandría (c. 100 d.C.) innovó la trigonometría esférica con su teorema del mismo nombre. El tratado trigonométrico más completo e impactante de la antigüedad es el Almagest de Ptolomeo (c. AD 90–168), un texto astronómico fundamental cuyas tablas trigonométricas siguieron siendo utilizadas por los astrónomos durante un milenio. Ptolomeo también es reconocido por su teorema, utilizado para derivar cantidades trigonométricas y por proporcionar el valor más preciso de π fuera de China hasta la época medieval, registrado como 3,1416.

Después de un período de estancamiento intelectual posterior a Ptolomeo, el intervalo entre 250 y 350 d.C. se denomina ocasionalmente la "Edad de Plata" de las matemáticas griegas. En esta época, Diofanto logró avances sustanciales en álgebra, particularmente en análisis indeterminado, también conocido como "análisis diofantino". La investigación de las ecuaciones diofánticas y las aproximaciones diofánticas sigue siendo un campo de investigación destacado. Su obra principal, la Arithmetica, comprende 150 problemas algebraicos centrados en soluciones exactas para ecuaciones determinadas e indeterminadas. La Arithmetica influyó profundamente en los matemáticos posteriores, incluido Pierre de Fermat, quien concibió su famoso último teorema mientras intentaba generalizar un problema de la Arithmetica relativo a la división de un cuadrado en dos cuadrados. Diofanto también contribuyó significativamente a la notación matemática, siendo la Arithmetica el uso más antiguo conocido del simbolismo algebraico y la síncopa.

Papo de Alejandría (siglo IV d.C.) es reconocido como uno de los últimos matemáticos griegos eminentes. Sus contribuciones incluyen el teorema del hexágono, el teorema del centroide, la configuración de Pappus y el gráfico de Pappus. Su obra, la Colección, constituye un recurso primordial para la comprensión de las matemáticas griegas, ya que se ha conservado la mayor parte de ella. Pappus es considerado como el máximo innovador significativo en matemáticas griegas, ya que los estudios posteriores comprendieron en gran medida comentarios sobre trabajos anteriores.

Hipatia de Alejandría (350-415 d.C.) está documentada como la primera mujer matemática y autora de numerosos tratados sobre matemáticas aplicadas. Debido a un conflicto político, fue desnudada públicamente y ejecutada por la comunidad cristiana de Alejandría. En ocasiones se considera su desaparición como la conclusión de la era de las matemáticas griegas alejandrinas, aunque la actividad académica persistió en Atenas durante un siglo adicional a través de figuras como Proclo, Simplicio y Eutocio. Si bien Proclo y Simplicio fueron principalmente filósofos más que matemáticos, sus comentarios sobre textos anteriores proporcionan valiosos conocimientos sobre las matemáticas griegas. El cierre de la Academia neoplatónica de Atenas por el emperador Justiniano en 529 d.C. se considera convencionalmente como el fin de la era de las matemáticas griegas; sin embargo, la tradición intelectual griega perduró continuamente dentro del Imperio Bizantino, ejemplificada por matemáticos como Antemio de Tralles e Isidoro de Mileto, quienes fueron los arquitectos de Santa Sofía. Sin embargo, las matemáticas bizantinas involucraban predominantemente comentarios, mostrando una innovación mínima, ya que los epicentros del avance matemático se habían trasladado para entonces a otras regiones.

Romano

Si bien los matemáticos de etnia griega persistieron durante la República Romana tardía y el posterior Imperio Romano, una notable ausencia de matemáticos latinos indígenas caracterizó este período. Romanos destacados, como el influyente estadista Cicerón (106-43 a. C.), que realizó estudios matemáticos en Grecia, observaron que los agrimensores y calculadores romanos se centraban principalmente en las matemáticas aplicadas, en marcado contraste con las matemáticas teóricas y la geometría tan valoradas por los griegos. El origen preciso del sistema numérico romano sigue siendo incierto, con posibles derivaciones de precedentes griegos o de los números etruscos empleados por la civilización etrusca, que se centró en la actual Toscana, en el centro de Italia.

Las habilidades computacionales romanas se aplicaron ampliamente para identificar y prevenir el fraude financiero, junto con la administración eficiente de los impuestos del tesoro. Siculus Flaccus, un distinguido gromaticus (agrimensor) romano, fue autor de la obra fundamental Categorías de campos, que proporcionó una guía esencial para los agrimensores romanos a la hora de determinar con precisión las superficies de las tierras y territorios asignados. Más allá del comercio y los impuestos, los romanos empleaban habitualmente las matemáticas en desafíos de ingeniería, que abarcaban construcciones arquitectónicas como puentes, desarrollo de infraestructura vial y planificación militar estratégica. Además, los esfuerzos artísticos, como los mosaicos romanos, que se inspiraron en la estética griega anterior, incorporaron patrones geométricos ilusionistas e imágenes intrincadas y detalladas. Esto requirió medidas meticulosas para cada tesela; por ejemplo, las piezas de opus tessellatum normalmente medían ocho milímetros cuadrados, mientras que las piezas de opus vermiculatum más refinadas tenían un promedio de cuatro milímetros cuadrados.

El desarrollo del calendario romano requería inherentemente principios matemáticos fundamentales. La iteración más antigua, supuestamente originada en el siglo VIII a. C. durante el Reino Romano, comprendía 356 días e incorporaba un año bisiesto cada dos años. Por el contrario, el calendario lunar de la era republicana presentaba 355 días, aproximadamente diez días y cuarto menos que el año solar; esta discrepancia se resolvió intercalando un mes adicional después del 23 de febrero. Este sistema fue sustituido posteriormente por el calendario juliano, un calendario solar instituido por Julio César (100-44 a. C.) y diseñado por Sosígenes de Alejandría, que establecía un ciclo de 365 días con un día bisiesto cada cuatro años. A pesar de su innovación, el calendario juliano contenía un error de 11 minutos y 14 segundos, que luego fue rectificado por el calendario gregoriano, organizado por el Papa Gregorio XIII (r. 1572–1585). El calendario gregoriano es esencialmente el mismo calendario solar adoptado como estándar internacional en la época contemporánea.

Al mismo tiempo, tanto los chinos Han como los romanos desarrollaron de forma independiente el odómetro con ruedas para medir distancias. La versión romana fue documentada inicialmente por el ingeniero civil y arquitecto Vitruvio (c. 80 a.C. – c. 15 a.C.). Este instrumento permaneció en uso al menos hasta el reinado del emperador Cómodo (r. 177 – 192 d.C.), después del cual su diseño parece haberse perdido hasta que se renovaron los experimentos en Europa occidental durante el siglo XV. El odómetro de Vitruvio, que potencialmente incorporaba engranajes y tecnología similar al mecanismo de Antikythera, utilizaba ruedas de carro de 4 pies (1,2 m) de diámetro, que completaban cuatrocientas rotaciones por milla romana (aproximadamente 4590 pies/1400 m). Cada revolución activaba un conjunto de pasador y eje que engranaba una rueda dentada de 400 dientes, y posteriormente hacía girar un engranaje secundario diseñado para depositar piedras en un contenedor, donde cada piedra representaba una milla recorrida.

chino

Los análisis de las primeras matemáticas chinas revelan una trayectoria de desarrollo distinta en comparación con otras regiones del mundo, lo que sugiere una evolución totalmente independiente. El texto matemático más antiguo que se conserva de China es el Zhoubi Suanjing (周髀算經), cuya datación oscila entre el 1200 a. C. y el 100 a. C., aunque aproximadamente el 300 a. C. durante el Período de los Reinos Combatientes se considera una estimación plausible. Sin embargo, las tiras de bambú de Tsinghua, que contienen la tabla de multiplicar decimal más antigua conocida (en contraste con las tablas de base 60 de los antiguos babilonios), están fechadas alrededor del 305 a. C. y pueden representar el documento matemático más antiguo que se conserva en China.

Una característica notable de las matemáticas chinas fue su sistema de notación posicional decimal, conocido como "números de varilla". Este sistema empleaba cifrados distintos para números enteros del 1 al 10, junto con cifrados adicionales para potencias de diez. Por ejemplo, el número 123 estaría representado por el símbolo "1", seguido del símbolo "100", luego el símbolo "2", seguido del símbolo "10" y finalmente el símbolo "3". Este constituyó el sistema numérico más sofisticado a nivel mundial durante su época, supuestamente en uso siglos antes de la Era Común y anterior al desarrollo del sistema de numeración indio. Los números de bastón facilitaron la representación de números arbitrariamente grandes y permitieron realizar cálculos utilizando el suan pan, o ábaco chino. Si bien la fecha precisa de invención del suan pan permanece indeterminada, su primera referencia documentada aparece en el año 190 d. C., dentro de la obra de Xu Yue, Notas complementarias sobre el arte de las figuras.

El tratado geométrico más antiguo que se conserva en China se origina en el canon filosófico mohista, fechado aproximadamente c. 330 a.C., que fue compilado por los discípulos de Mozi (470–390 a.C.). Este texto, conocido como Mo Jing, abarcaba diversos aspectos de la ciencia física y presentaba varios teoremas geométricos. Además, estableció definiciones de conceptos fundamentales como circunferencia, diámetro, radio y volumen.

En 212 a.C., el emperador Qin Shi Huang decretó la destrucción de todos los libros dentro del Imperio Qin, excepto aquellos oficialmente sancionados. Aunque este edicto no se aplicó universalmente, limitó significativamente el conocimiento de las antiguas matemáticas chinas anteriores a este período. Después de la quema de libros de 212 a. C., la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) produjo textos matemáticos, presumiblemente basándose en obras anteriores perdidas. El más destacado de ellos es Los nueve capítulos sobre el arte matemático, cuyo título completo surgió en el año 179 d. C., aunque algunas partes existían antes con diferentes designaciones. Este tratado comprende 246 problemas prácticos que cubren agricultura, comercio, la aplicación de la geometría para determinar las alturas y proporciones dimensionales de las torres de pagodas chinas, ingeniería y topografía, junto con material sobre triángulos rectángulos. Presentó pruebas matemáticas del teorema de Pitágoras y una fórmula para la eliminación gaussiana. El texto también ofreció varias aproximaciones para π; Los matemáticos chinos inicialmente usaron 3, hasta que Liu Xin (m. 23 d.C.) propuso 3,1457, y posteriormente Zhang Heng (78-139) aproximó π a 3,1724, y también 3,162 calculando la raíz cuadrada de 10. En el siglo III d.C., Liu Hui proporcionó comentarios sobre los Nueve Capítulos y refinó el valor de π con una precisión de cinco decimales. (3.14159). Más tarde, en el siglo V d. C., Zu Chongzhi, demostrando una notable destreza computacional, calculó π con siete decimales (entre 3,1415926 y 3,1415927), una precisión que permaneció insuperada durante casi un milenio. También desarrolló un método, más tarde reconocido como el principio de Cavalieri, para determinar el volumen de una esfera.

El cenit de los logros matemáticos chinos se produjo en el siglo XIII, durante la segunda mitad de la dinastía Song (960-1279), marcada por importantes avances en el álgebra china. El texto más influyente de esta época es el Precious Mirror of the Four Elements de Zhu Shijie (1249-1314), que aborda la solución de ecuaciones algebraicas simultáneas de orden superior mediante una técnica similar al método de Horner. El Espejo Precioso también presenta un diagrama del triángulo de Pascal, que ilustra los coeficientes de expansión binomial hasta la octava potencia, aunque ambos conceptos estaban presentes en obras chinas ya en el año 1100. Además, los matemáticos chinos utilizaron intrincados diagramas combinatorios como cuadrados y círculos mágicos, conceptos descritos en la antigüedad y refinados por Yang Hui (1238-1298 d.C.).

A pesar del florecimiento de la cultura europea matemáticas durante el Renacimiento, las tradiciones matemáticas de Europa y China permanecieron en gran medida distintas. La producción matemática china experimentó un notable descenso a partir del siglo XIII. Los misioneros jesuitas, incluido Matteo Ricci, sirvieron como conductos para el intercambio de conceptos matemáticos entre estas dos culturas desde el siglo XVI al XVIII, aunque durante este período, el flujo de conocimiento matemático se trasladó predominantemente hacia China en lugar de salir.

Históricamente se considera que las tradiciones matemáticas de Japón, Corea y Vietnam se originan en las matemáticas chinas, lo que las sitúa dentro de la esfera cultural del este asiático influenciada por el confucianismo. Las matemáticas coreanas y japonesas estuvieron profundamente influenciadas por los desarrollos algebraicos de la dinastía Song de China, mientras que las matemáticas vietnamitas estuvieron sustancialmente influenciadas por obras populares de la dinastía Ming de China (1368-1644). Por ejemplo, los tratados matemáticos vietnamitas, independientemente de si fueron escritos en chino o en la escritura indígena vietnamita Chữ Nôm, se adhirieron consistentemente al formato chino: presentando una colección de problemas, seguidos de algoritmos para su resolución y concluyendo con respuestas numéricas. Mientras que las matemáticas en Vietnam y Corea estaban asociadas principalmente con la burocracia judicial profesional de matemáticos y astrónomos, en Japón su práctica estaba más extendida dentro de las instituciones educativas privadas.

Matemáticas indias

La civilización más antigua identificada en el subcontinente indio es la civilización del valle del Indo, que prosperó en la cuenca del río Indo durante su segunda fase madura (2600 a 1900 a. C.). Aunque sus centros urbanos presentaban una regularidad geométrica en su trazado, hasta la fecha no se ha descubierto ningún documento matemático de esta civilización.

Los registros matemáticos más antiguos que se conservan de la India son los Sulba Sutras, textos fechados entre el siglo VIII a.C. y el siglo II d.C. Estos apéndices de textos religiosos proporcionan reglas sencillas para construir altares de diversas formas geométricas, incluidos cuadrados, rectángulos y paralelogramos. Al igual que en el antiguo Egipto, la preocupación por las funciones de los templos sugiere que las matemáticas se originaron a partir de rituales religiosos. Los Sulba Sutras detallan métodos para construir un círculo con un área aproximadamente equivalente a un cuadrado dado, lo que implica varias aproximaciones distintas para el valor de π. Además, estos textos calculan la raíz cuadrada de 2 con decimales múltiples, enumeran ternas pitagóricas y articulan un enunciado del teorema de Pitágoras. La presencia de todos estos resultados en las matemáticas babilónicas indica una influencia mesopotámica. Sigue sin determinarse hasta qué punto los Sulba Sutras influyeron en los matemáticos indios posteriores. Como se observó en China, las matemáticas indias muestran una falta de continuidad, con avances significativos a menudo separados por períodos prolongados de inactividad.

Pāṇini (alrededor del siglo V a. C.) formuló las reglas de la gramática sánscrita, empleando un sistema de notación que se parecía a la notación matemática moderna e incorporaba metreglas, transformaciones y recursividad. Pingala (aproximadamente entre los siglos III y I a. C.), en su tratado de prosodia, utilizó un dispositivo correspondiente a un sistema de numeración binario. Su discusión sobre la combinatoria de metros se alinea con una versión elemental del teorema del binomio. La obra de Pingala contiene además las ideas fundamentales de los números de Fibonacci, denominados mātrāmeru.

Después de los Sulba Sutras, los siguientes documentos matemáticos importantes de la India son los Siddhantas, tratados astronómicos de los siglos IV y V d.C. (período Gupta) que demuestran una fuerte influencia helenística. Su importancia radica en contener la primera instancia de relaciones trigonométricas basadas en la media cuerda, una metodología consistente con la trigonometría moderna, a diferencia del enfoque de cuerda completa que prevalece en la trigonometría ptolemaica. A través de una serie de errores de traducción, las palabras inglesas "seno" y "coseno" se derivan de los términos sánscritos "jiya" y "kojiya", respectivamente.

Cerca del año 500 d.C., Aryabhata escribió el Aryabhatiya, un volumen conciso escrito en verso. Este trabajo pretendía complementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y medición matemática, aunque carecía de un énfasis discernible en la lógica o la metodología deductiva. El Aryabhatiya se destaca por contener la aparición más antigua conocida del sistema de valor posicional decimal. Varios siglos después, el matemático musulmán Abu Rayhan Biruni caracterizó el Aryabhatiya como una "mezcla de guijarros comunes y cristales costosos".

Durante el siglo VII, Brahmagupta formuló el teorema de Brahmagupta, la identidad de Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta. Su tratado, Brahma-sphuta-siddhanta, proporcionó en particular la primera exposición clara de la doble función del cero como marcador de posición y dígito decimal, junto con una explicación completa del sistema de numeración hindú-árabe. Una traducción de este texto matemático indio alrededor del año 770 d.C. presentó el sistema de numeración a los matemáticos islámicos, quienes posteriormente lo adaptaron a los números arábigos. En el siglo XII, los eruditos islámicos habían difundido este sistema numérico en Europa, donde finalmente reemplazó a todos los sistemas anteriores a nivel mundial. El sistema de numeración hindú-árabe emplea diversos conjuntos de símbolos, todos provenientes de números brahmi, y cada una de las aproximadamente doce escrituras principales de la India posee sus glifos numéricos distintos. Además, en el siglo X, el comentario de Halayudha sobre los escritos de Pingala incluía un análisis de la secuencia de Fibonacci y el triángulo de Pascal.

Bhāskara II, un erudito del sur de la India del siglo XII, produjo extensos trabajos sobre el conocimiento matemático contemporáneo. Sus tratados astronómicos contenían hallazgos que los estudiosos posteriores han interpretado como precursores de los primeros métodos infinitesimales. Específicamente, sus escritos abarcan conceptos que se aproximan a infinitesimales y un ejemplo particular del teorema del valor medio aplicado a la interpolación inversa del seno. Además, Bhāskara II realizó importantes avances algebraicos, incluidas técnicas para resolver ecuaciones indeterminadas, posteriormente identificadas como ecuaciones de Pell, que abordó mediante procedimientos cíclicos como el método chakravāla. En el siglo XIV, Narayana Pandita escribió su obra integral, Ganita Kaumudi.

El siglo XIV también vio las contribuciones de Madhava de Sangamagrama, quien estableció la Escuela de Matemáticas de Kerala. Madhava descubrió la serie Madhava-Leibniz, de la cual derivó una serie transformada, empleando sus 21 términos iniciales para calcular π con alta precisión (3,14159265359). Sus otros hallazgos importantes incluyen la serie de Madhava-Gregory para la determinación del arcotangente, la serie de potencias de Madhava-Newton para el seno y el coseno, y la aproximación de Taylor para las funciones seno y coseno. Posteriormente, en el siglo XVI, Jyesthadeva compiló numerosos avances y teoremas de la Escuela de Kerala dentro del Yukti-bhāṣā. Existe un debate académico sobre la posible transmisión de ciertos conceptos de cálculo, como las series infinitas y las series de Taylor para funciones trigonométricas, a Europa durante el siglo XVI. Sus defensores sugieren que esto ocurrió a través de misioneros y comerciantes jesuitas que operaban cerca del antiguo puerto de Muziris, lo que influyó directamente en los desarrollos europeos posteriores en análisis y cálculo. Por el contrario, otros académicos sostienen que la Escuela de Kerala no desarrolló una teoría sistemática de diferenciación e integración, y que faltan pruebas directas concluyentes de la transmisión de sus hallazgos más allá de Kerala.

Imperios islámicos

El Imperio Islámico, que se expandió por Oriente Medio, Asia Central, África del Norte, Península Ibérica y partes de la India en el siglo VIII, hizo contribuciones sustanciales a las matemáticas. Si bien la mayoría de los textos matemáticos islámicos fueron compuestos en árabe, su autoría no fue exclusivamente árabe. Este fenómeno lingüístico reflejó el papel del griego en el mundo helenístico, donde el árabe sirvió como lengua franca académica para los intelectuales no árabes en todo el reino islámico durante esa época.

En el siglo IX, el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī fue autor de importantes tratados sobre números hindúes y arábigos y metodologías para resolver ecuaciones. Su obra, Sobre el cálculo con números hindúes, compuesta alrededor del año 825 d.C., junto con las contribuciones de Al-Kindi, desempeñó un papel fundamental en la difusión de los conceptos matemáticos y sistemas numéricos indios por todo el mundo occidental. El término algoritmo se deriva etimológicamente de la forma latinizada de su nombre, Algoritmi, mientras que la palabra álgebra se origina en el título de una de sus obras fundamentales, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (El libro compendioso sobre el cálculo por terminación y Equilibrio). Al-Khwārizmī proporcionó una exposición completa sobre la resolución algebraica de ecuaciones cuadráticas, específicamente aquellas que producen raíces positivas, y se le atribuye ser el primero en presentar el álgebra en un formato elemental, estudiado intrínsecamente y no únicamente como una herramienta de resolución de problemas. También aclaró los principios fundamentales de "reducción" y "equilibrio", que se refieren a la transposición de términos restados al lado opuesto de una ecuación y la cancelación de términos idénticos en lados opuestos, respectivamente. Esta operación en particular fue designada originalmente por al-Khwārizmī como al-jabr. Su marco algebraico marcó un cambio conceptual, yendo más allá de "una serie de problemas por resolver" a "una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". Además, investigó las ecuaciones por sus propiedades inherentes y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a definir una clase infinita de problemas".

En Egipto, Abu Kamil avanzó la teoría algebraica incorporando números irracionales, aceptando raíces cuadradas y raíces cuartas como soluciones válidas y coeficientes dentro de ecuaciones cuadráticas. También ideó técnicas sofisticadas para resolver sistemas de tres ecuaciones simultáneas no lineales que involucran tres variables desconocidas. Una característica distintiva de su erudición fue la búsqueda exhaustiva de todas las soluciones potenciales para ciertos problemas, ejemplificada por un caso en el que identificó 2676 soluciones. Sus contribuciones establecieron una base crucial para la evolución posterior del álgebra e influyeron significativamente en matemáticos posteriores, incluidos al-Karaji y Fibonacci.

Al-Karaji desarrolló aún más el álgebra en su tratado al-Fakhri, donde amplió la metodología para abarcar potencias enteras y raíces enteras de cantidades desconocidas. Un método muy parecido a la prueba por inducción matemática apareció en un libro escrito por Al-Karaji alrededor del año 1000 d.C., que utilizó para demostrar el teorema del binomio, el triángulo de Pascal y la suma de cubos integrales. El historiador de las matemáticas F. Woepcke elogió a Al-Karaji por ser "el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico". Al mismo tiempo, en el siglo X, Abul Wafa emprendió la traducción de las obras de Diofanto al árabe. Ibn al-Haytham fue el matemático pionero en derivar la fórmula para la suma de las cuartas potencias, empleando un método fácilmente generalizable para determinar la fórmula universal para la suma de cualquier potencia integral. También realizó una integración para determinar el volumen de un paraboloide y generalizó con éxito sus hallazgos para las integrales de polinomios hasta el cuarto grado. Si bien se acercó a una fórmula general para integrales polinómicas, sus investigaciones no se extendieron más allá de los polinomios de cuarto grado.

A finales del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades de Euclides, un examen crítico de las deficiencias percibidas en los Elementos de Euclides, particularmente en lo que respecta al postulado de las paralelas. También se le reconoce como el primero en proporcionar una solución geométrica general para ecuaciones cúbicas. Además, su trabajo fue muy influyente en el ámbito de la reforma del calendario.

Durante el siglo XIII, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) logró avances significativos en trigonometría esférica y produjo estudios influyentes sobre el postulado de las paralelas de Euclides. En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calculó con precisión el valor de π hasta el decimosexto decimal. Kashi también desarrolló un algoritmo para calcular raíces nésimas, un método que presagió las técnicas presentadas más tarde por Ruffini y Horner siglos después.

Las contribuciones significativas de los matemáticos musulmanes durante esta época abarcaron la integración de la notación del punto decimal en los números arábigos, la identificación de todas las funciones trigonométricas contemporáneas excepto el seno, el trabajo pionero de al-Kindi en criptoanálisis y análisis de frecuencia, el avance de la geometría analítica de Ibn al-Haytham, los esfuerzos fundacionales de Omar Khayyam en geometría algebraica y el desarrollo de una sistema de notación algebraica.

A partir del siglo XV, durante los períodos de los imperios otomano y safávida, la progresión de las matemáticas islámicas experimentó un período de estancamiento.

Civilización Maya

Dentro de la América precolombina, la civilización maya, que prosperó en México y América Central durante el primer milenio d.C., estableció una tradición matemática distinta. Este sistema, debido a su aislamiento geográfico, evolucionó independientemente de los marcos matemáticos europeos, egipcios y asiáticos. Los números mayas empleaban un sistema vigesimal, basado en veinte, en contraste con la base de diez del sistema decimal que prevalece en la mayoría de las sociedades modernas. Los mayas aplicaron ampliamente las matemáticas en la construcción de su calendario y para pronosticar eventos astronómicos dentro de sus prácticas astronómicas indígenas. En particular, si bien el concepto de cero a menudo requería inferencia en los sistemas matemáticos de muchas culturas contemporáneas, los mayas idearon un símbolo estandarizado para él.

Matemáticas europeas medievales

El compromiso de la Europa medieval con las matemáticas surgió de motivaciones distintas a las de los matemáticos contemporáneos. Un impulso principal fue la convicción de que las matemáticas ofrecían una visión fundamental del orden inherente de la naturaleza, una perspectiva frecuentemente corroborada por el Timeo de Platón y la afirmación bíblica (del Libro de la Sabiduría) de que Dios había ordenado todas las cosas en medida, número y peso.

En el siglo VI, Boecio integró las matemáticas en el plan de estudios académico acuñando el término quadrivium, que designaba el estudio de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Fue autor de De Institutione arithmetica, una traducción liberal de la obra griega de Nicómaco Introducción a la aritmética; De Institutione musica, también adaptado de textos griegos; y una recopilación de extractos de los Elementos de Euclides. Sus contribuciones fueron predominantemente teóricas, más que prácticas, y sirvieron como piedra angular de la educación matemática hasta la reintroducción de los tratados matemáticos griegos y árabes.

Durante el siglo XII, los eruditos europeos viajaron a España y Sicilia en busca de textos científicos árabes. Este esfuerzo condujo a la adquisición de obras como El libro compendioso sobre cálculo por terminación y equilibrio de al-Khwārizmī, que Robert de Chester tradujo al latín, y el texto completo de los Elementos de Euclides, traducido al latín a través de múltiples versiones por Adelardo de Bath, Herman de Carintia y Gerardo de Cremona. Estas y otras fuentes recientemente accesibles catalizaron un resurgimiento de los estudios matemáticos.

Leonardo de Pisa, posteriormente conocido como Fibonacci, encontró números hindú-árabes durante un viaje con su padre comerciante a lo que actualmente es Béjaïa, Argelia. En aquella época, Europa utilizaba principalmente números romanos. En Béjaïa, observó un sistema aritmético, específicamente algorismo, cuya eficiencia se vio significativamente mejorada por la notación posicional de los números hindú-árabes, simplificando así en gran medida las transacciones comerciales. En 1202 (con una actualización en 1254), Leonardo escribió el Liber Abaci, que introdujo esta metodología en Europa e inició un período prolongado de su popularización. El tratado también presentó a Europa la secuencia ahora identificada como la secuencia de Fibonacci, que había sido reconocida por los matemáticos indios durante siglos antes, y que Fibonacci incluyó simplemente como un ejemplo ilustrativo.

El siglo XIV fue testigo del surgimiento de nuevos conceptos matemáticos diseñados para abordar una amplia gama de problemas. Un avance notable fue el desarrollo de las matemáticas del movimiento local. Thomas Bradwardine postuló que la velocidad (V) aumenta aritméticamente a medida que la relación entre la fuerza (F) y la resistencia (R) aumenta geométricamente. Si bien Bradwardine ilustró esto a través de ejemplos específicos y el logaritmo aún no se había conceptualizado, su conclusión se puede representar anacrónicamente como V = log (F/R). El enfoque analítico de Bradwardine ejemplifica la aplicación de una técnica matemática, previamente empleada por al-Kindi y Arnald de Villanova para cuantificar medicamentos compuestos, a un problema físico distinto.

Al carecer de las herramientas del cálculo diferencial y del concepto de límites, Guillermo de Heytesbury, un destacado calculador de Oxford del siglo XIV, propuso un método para medir la velocidad instantánea. Lo definió como "el camino que sería descrito por [un cuerpo] si... se moviera uniformemente al mismo grado de velocidad con el que se mueve en ese instante dado".

Heytesbury y sus contemporáneos derivaron matemáticamente la distancia recorrida por un objeto que experimenta un movimiento uniformemente acelerado, un problema que ahora se resuelve típicamente mediante la integración. Articularon este principio afirmando que "un cuerpo en movimiento que adquiera o pierda uniformemente ese incremento [de velocidad] recorrerá en un tiempo dado una [distancia] completamente igual a la que recorrería si se moviera continuamente durante el mismo tiempo con el grado [de velocidad] medio".

De forma independiente, Nicole Oresme de la Universidad de París y Giovanni di Casali de Italia presentaron pruebas gráficas de esta relación, postulando que el área debajo de la línea que representa la aceleración constante correspondía a la aceleración total. distancia recorrida. Posteriormente, en un comentario matemático sobre los Elementos de Euclides, Oresme realizó un análisis general más completo. Demostró que un cuerpo acumula un incremento de cualquier calidad creciente en cada intervalo de tiempo sucesivo, correspondiendo estos incrementos a los números impares. Dada la demostración previa de Euclides de que la suma de números impares da números cuadrados, Oresme concluyó que la cualidad total adquirida por el cuerpo aumenta proporcionalmente al cuadrado del tiempo transcurrido.

El Renacimiento

Durante el período del Renacimiento, la progresión de las matemáticas y la evolución de la contabilidad estuvieron estrechamente interconectadas. Aunque no es evidente una correlación directa entre álgebra y contabilidad, los programas educativos y los textos publicados con frecuencia estaban dirigidos a los hijos de los comerciantes. Estos niños asistieron a escuelas de cálculo en Flandes y Alemania, o escuelas de ábaco, conocidas como abbaco en Italia, donde adquirieron habilidades esenciales para el comercio y el comercio. Si bien el álgebra probablemente no era indispensable para la contabilidad fundamental, una comprensión fundamental de la aritmética era imprescindible para transacciones complejas de trueque o cálculos de interés compuesto, y el conocimiento algebraico resultó muy ventajoso.

Piero della Francesca (c. 1415-1492) fue autor de importantes obras sobre geometría sólida y perspectiva lineal. Sus publicaciones incluyen De Prospectiva Pingendi (Sobre la perspectiva de la pintura), Trattato d’Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares).

La obra fundamental de Luca Pacioli, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (en italiano: "Review of Arithmetic, Geometry, Ratio and Proportion"), se imprimió y difundió inicialmente en Venecia en 1494. Esta publicación incluía un tratado de 27 páginas sobre contabilidad, titulado "Particularis de Computis et Scripturis" (italiano: "Detalles de cálculo y registro"). El libro fue compuesto y comercializado principalmente para comerciantes, quienes lo utilizaron como referencia, disfrutaron con sus acertijos matemáticos y lo emplearon para apoyar la educación de sus hijos. Dentro de Summa Arithmetica, Pacioli fue pionero en la introducción de símbolos más y menos en un texto impreso, que posteriormente se convirtió en notación estándar en las matemáticas del Renacimiento italiano. Además, Summa Arithmetica tiene la distinción de ser el primer libro conocido impreso en Italia que incorpora álgebra. Se sabe que Pacioli derivó muchos conceptos de Piero Della Francesca, de quien plagió.

Durante la primera mitad del siglo XVI en Italia, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia desarrollaron de forma independiente soluciones para ecuaciones cúbicas. Gerolamo Cardano publicó posteriormente estas soluciones en su tratado de 1545, Ars Magna, junto con un método para ecuaciones de cuarto grado descubierto por su alumno, Lodovico Ferrari. En 1572, Rafael Bombelli publicó su obra, L'Algebra, que aclaraba técnicas para gestionar las cantidades imaginarias que podrían surgir de la fórmula de Cardano para ecuaciones cúbicas.

De Thiende ('el arte de las décimas') de Simon Stevin, publicado inicialmente en holandés en 1585, presentó la exposición sistemática inaugural de la notación decimal en Europa. Este trabajo impactó profundamente todos los desarrollos posteriores relacionados con el sistema de números reales.

Impulsada por los imperativos de la navegación y la creciente necesidad de una cartografía precisa en regiones extensas, la trigonometría surgió como una disciplina matemática importante. A Bartholomaeus Pitiscus se le atribuye el primer uso del término, al publicar su Trigonometria en 1595. Anteriormente, la tabla completa de senos y cosenos de Regiomontanus se había publicado en 1533.

Durante el Renacimiento, la convergencia de las aspiraciones de los artistas de una representación natural realista y el resurgimiento del pensamiento filosófico griego impulsaron un compromiso significativo con las matemáticas. Al mismo tiempo, sus funciones como ingenieros y arquitectos requerían una comprensión práctica de los principios matemáticos. En consecuencia, las técnicas de pintura en perspectiva y los avances asociados en geometría se convirtieron en temas de investigación académica rigurosa.

Matemáticas en la revolución científica

Siglo XVI

Durante el siglo XVI, en 1591, Viète estableció los principios fundamentales del álgebra, que posteriormente resultaron cruciales para los desarrollos matemáticos de Descartes.

Siglo XVII

El siglo XVII fue testigo de una proliferación incomparable de conceptos matemáticos y científicos en toda Europa. Tycho Brahe recopiló meticulosamente extensos datos astronómicos que detallan las posiciones planetarias. Como asistente de Brahe, Johannes Kepler obtuvo una exposición inicial y posteriormente se involucró profundamente en el estudio del movimiento planetario. Los esfuerzos computacionales de Kepler se simplificaron significativamente gracias a la invención simultánea de los logaritmos por parte de John Napier y Jost Bürgi. Al final, Kepler articuló con éxito las leyes matemáticas que gobiernan el movimiento planetario. Además, René Descartes (1596–1650) desarrolló la geometría analítica, que permitió la representación gráfica de estas órbitas utilizando coordenadas cartesianas.

Ampliando las contribuciones fundamentales de numerosos predecesores, Isaac Newton formuló las leyes de la física que dilucidaron las leyes de Kepler y sintetizó los principios ahora reconocidos como cálculo. Al mismo tiempo y de forma independiente, Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló el cálculo e introdujo gran parte de la notación que sigue siendo estándar en la actualidad. Leibniz también desarrolló el sistema numérico binario, que sirve como base fundamental para prácticamente todos los sistemas informáticos digitales modernos (electrónicos, de estado sólido, de lógica discreta).

La ciencia y las matemáticas evolucionaron hasta convertirse en una empresa colaborativa internacional, preparada para su difusión global.

Más allá de su aplicación a la mecánica celeste, las matemáticas aplicadas se diversificaron en dominios novedosos, en particular a través de la correspondencia entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal. Sus discusiones sobre un juego de apuestas establecieron los principios fundamentales para las investigaciones sobre la teoría de la probabilidad y las reglas asociadas de la combinatoria. Pascal, a través de su famosa apuesta, buscó aprovechar la naciente teoría de la probabilidad para abogar por una vida religiosamente devota, postulando que las recompensas infinitas justificaban incluso una mínima probabilidad de éxito. Este esfuerzo intelectual, en retrospectiva, anticipó el surgimiento de la teoría de la utilidad durante los siglos XVIII y XIX.

Siglo XVIII

Leonhard Euler (1707–83) es ampliamente considerado el matemático más influyente del siglo XVIII. Sus extensas contribuciones abarcan desde establecer el campo de la teoría de grafos con el problema de los Siete Puentes de Königsberg hasta formalizar numerosos términos y notaciones matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, designó la raíz cuadrada del uno negativo con el símbolo i y popularizó la letra griega π<!-- π --> {\displaystyle \pi } para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Su profundo impacto se demuestra aún más por sus numerosos avances en topología, teoría de grafos, cálculo, combinatoria y análisis complejo, reflejados en los numerosos teoremas y notaciones que llevan su nombre.

Otros matemáticos europeos prominentes del siglo XVIII incluyeron a Joseph Louis Lagrange, cuya investigación pionera abarcó la teoría de números, el álgebra, el cálculo diferencial y el cálculo de variaciones. Pierre-Simon Laplace, activo durante la era napoleónica, hizo importantes contribuciones a los principios fundamentales de la mecánica y la estadística celestes.

Era Moderna

Siglo XIX

El siglo XIX se caracterizó por una creciente abstracción en las matemáticas. Carl Friedrich Gauss (1777–1855) llevó a cabo investigaciones innovadoras en análisis complejos, geometría y convergencia de series, además de sus extensas contribuciones científicas. También se le atribuye haber proporcionado las pruebas rigurosas iniciales del teorema fundamental del álgebra y la ley de reciprocidad cuadrática.

El siglo XIX fue testigo del surgimiento de dos formas de geometría no euclidiana, en las que el postulado de las paralelas euclidianas no es aplicable. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai, establecieron e investigaron de forma independiente la geometría hiperbólica, caracterizada por la ausencia de una línea paralela única. Dentro de este marco geométrico, la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180°. Posteriormente, en el siglo XIX, Bernhard Riemann, un matemático alemán, formuló la geometría elíptica, donde no existen líneas paralelas y la suma de los ángulos de un triángulo supera los 180°. Riemann avanzó aún más en la geometría riemanniana, un marco que unifica y amplía significativamente estos tres tipos geométricos. También introdujo el concepto de variedad, que generaliza las nociones de curvas y superficies, estableciendo así fundamentos matemáticos para la teoría de la relatividad general.

El siglo XIX marcó el inicio de avances significativos en el álgebra abstracta. Hermann Grassmann en Alemania presentó una formulación inicial de espacios vectoriales, mientras que William Rowan Hamilton en Irlanda desarrolló el álgebra no conmutativa. El matemático británico George Boole concibió un álgebra que posteriormente evolucionó hasta convertirse en lo que hoy se conoce como álgebra de Boole, caracterizada por su sistema numérico binario (0 y 1). El álgebra booleana sirve como elemento fundamental de la lógica matemática y encuentra aplicaciones cruciales en ingeniería eléctrica e informática. Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass emprendieron una reformulación más rigurosa del cálculo.

Además, este período fue testigo de la exploración inicial de las limitaciones inherentes a las matemáticas. Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel y Évariste Galois demostraron la ausencia de un método algebraico general para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a cuatro, resultado conocido como teorema de Abel-Ruffini. A partir de esto, otros matemáticos del siglo XIX utilizaron estos conocimientos para demostrar que una regla y un compás por sí solos son insuficientes para tareas como trisecar un ángulo arbitrario, construir un cubo con el doble de volumen de un cubo dado o cuadrar un círculo. Estos problemas habían sido perseguidos infructuosamente por los matemáticos desde la antigüedad. Por el contrario, las restricciones dimensionales de la geometría se trascendieron durante el siglo XIX mediante la introducción del espacio de parámetros y los números hipercomplejos.

Las investigaciones de Abel y Galois sobre las soluciones de ecuaciones polinomiales establecieron los principios fundamentales para el desarrollo posterior de la teoría de grupos y áreas relacionadas del álgebra abstracta. Durante el siglo XX, los físicos y otros científicos reconocieron la teoría de grupos como un marco óptimo para analizar la simetría.

En la segunda mitad del siglo XIX, Georg Cantor sentó las bases iniciales de la teoría de conjuntos, facilitando así un enfoque riguroso del concepto de infinito y estableciendo un lenguaje universal en casi todas las disciplinas matemáticas. La teoría de conjuntos de Cantor, junto con el surgimiento de la lógica matemática defendida por Peano, L.E.J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell y A.N. Whitehead, provocó un extenso y duradero debate sobre los fundamentos de las matemáticas.

El siglo XIX fue testigo del establecimiento de varias sociedades matemáticas nacionales, entre ellas: la Sociedad Matemática de Londres en 1865, la Société mathématique de France en 1872, el Circolo Matematico di Palermo en 1884, la Sociedad Matemática de Edimburgo en 1883 y la Sociedad Matemática Americana en 1888. La Asociación Quaternion, la primera sociedad internacional de intereses especiales, se fundó en 1899 en medio de una controversia en torno a las matemáticas vectoriales. Kurt Hensel introdujo los números p-ádicos en 1897.

El siglo XX

Durante el siglo XX, las matemáticas evolucionaron hasta convertirse en una disciplina profesional destacada. A finales de siglo, se otorgaban anualmente miles de títulos de doctorado en matemáticas, y surgían oportunidades de empleo tanto en el mundo académico como en la industria. En la enciclopedia de Klein se inició un esfuerzo integral para catalogar los diversos dominios y aplicaciones de las matemáticas.

En un discurso de 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert presentó una recopilación de 23 problemas matemáticos no resueltos. Estos problemas, que abarcan numerosos dominios matemáticos, constituyeron el foco principal de una parte importante de la investigación matemática del siglo XX. De ellos, 10 han sido resueltos, 7 parcialmente resueltos y 2 permanecen abiertos. Los 4 últimos se consideran formulados de manera demasiado imprecisa para clasificarlos definitivamente como resueltos o no resueltos.

Durante este período se establecieron definitivamente importantes conjeturas históricas. Por ejemplo, en 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel demostraron el teorema de los cuatro colores, una demostración que generó controversia debido a su dependencia de métodos computacionales. Posteriormente, Andrew Wiles, aprovechando investigaciones anteriores, demostró el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel también establecieron que la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos, lo que significa que no se puede probar ni refutar a partir de ellos. En 1998, Thomas Callister Hales demostró de manera similar la conjetura de Kepler, también empleando asistencia informática.

Esta era fue testigo de colaboraciones matemáticas de escala y ambición sin precedentes. Un ejemplo notable es la clasificación de grupos finitos simples, a menudo denominada "teorema enorme", cuya demostración, que abarca desde 1955 hasta 2004, involucró a aproximadamente 100 autores que contribuyeron con más de 500 artículos de revistas y decenas de miles de páginas. Al mismo tiempo, un colectivo de matemáticos franceses, incluidos Jean Dieudonné y André Weil, que operaban bajo el seudónimo de "Nicolas Bourbaki", se esforzaron por presentar la totalidad de las matemáticas conocidas como un sistema unificado y riguroso. La serie de varios volúmenes resultante ha ejercido una influencia polémica en la pedagogía matemática.

La geometría diferencial alcanzó prominencia gracias a su aplicación por parte de Albert Einstein en la teoría de la relatividad general. Al mismo tiempo, dominios matemáticos completamente nuevos, como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von Neumann, ampliaron el alcance de las cuestiones susceptibles de investigación matemática. Se abstrajeron axiomáticamente diversas estructuras y se designaron con términos como espacios métricos y espacios topológicos. Este proceso de abstracción del concepto de estructura abstracta culminó en el desarrollo de la teoría de categorías. Además, Grothendieck y Serre reconfiguraron la geometría algebraica incorporando la teoría de la gavilla. También se lograron avances sustanciales en el análisis cualitativo de sistemas dinámicos, un campo iniciado por Poincaré en la década de 1890. La teoría de la medida experimentó un desarrollo significativo a finales del siglo XIX y principios del XX, y sus aplicaciones abarcaron la integral de Lebesgue, la formulación axiomática de la teoría de la probabilidad de Kolmogorov y la teoría ergódica. La teoría de nudos experimentó una expansión considerable. La llegada de la mecánica cuántica facilitó el avance del análisis funcional, una disciplina matemática iniciada por Stefan Banach y sus colegas que constituyeron la Escuela de Matemáticas de Lwów. Otros campos emergentes incluyeron la teoría de la distribución de Laurent Schwartz, la teoría del punto fijo, la teoría de la singularidad, la teoría de la catástrofe de René Thom, la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de Lie, que abarca los grupos de Lie y las álgebras de Lie, también surgió como un área fundamental de investigación.

La introducción del análisis no estándar por parte de Abraham Robinson revitalizó el enfoque infinitesimal del cálculo, que anteriormente había sido reemplazado por la teoría de los límites. Esta rehabilitación se logró ampliando el campo de los números reales a los números hiperreales, que incorporan cantidades tanto infinitesimales como infinitas. Posteriormente, John Horton Conway descubrió un sistema numérico aún más expansivo, los números surrealistas, en el contexto de los juegos combinatorios.

La continua evolución y refinamiento de las computadoras, que pasaron de dispositivos mecánicos analógicos a máquinas electrónicas digitales, permitieron a las industrias gestionar conjuntos de datos cada vez más vastos. Esto facilitó avances en la producción, distribución y comunicación en masa, fomentando al mismo tiempo el surgimiento de nuevas disciplinas matemáticas. Estos incluyeron la teoría de la computabilidad de Alan Turing, la teoría de la complejidad, la aplicación de ENIAC por parte de Derrick Henry Lehmer para avanzar en la teoría de números y la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer, la teoría de la función recursiva de Rózsa Péter, la teoría de la información de Claude Shannon, el procesamiento de señales, el análisis de datos, la optimización y otras facetas de la investigación de operaciones. Si bien los siglos anteriores enfatizaron en gran medida el cálculo y las funciones continuas, la proliferación de redes informáticas y de comunicación subrayó la creciente importancia de los conceptos discretos y estimuló la expansión de la combinatoria, en particular la teoría de grafos. Además, la mayor velocidad y las capacidades de procesamiento de datos de las computadoras permitieron la resolución de problemas matemáticos que antes eran demasiado laboriosos para el cálculo manual, dando lugar así a campos como el análisis numérico y el álgebra informática. Entre los métodos y algoritmos más fundamentales desarrollados en el siglo XX se encuentran el algoritmo simplex, la transformada rápida de Fourier, los códigos de corrección de errores, el filtro de Kalman de la teoría del control y el algoritmo RSA fundamental para la criptografía de clave pública.

Al mismo tiempo, se lograron avances significativos en la comprensión de las limitaciones inherentes de las matemáticas. Entre 1929 y 1930, Mojżesz Presburger demostró que el valor de verdad de todas las afirmaciones relativas a números naturales, cuando se combinaban con la suma o la multiplicación (pero no con ambas), era decidible, lo que significa que podía determinarse algorítmicamente. Sin embargo, en 1931, Kurt Gödel estableció que esta decidibilidad no se extendía a los sistemas que incorporaban tanto la suma como la multiplicación con números naturales. Se demostró que este sistema, denominado aritmética de Peano, era incompleto. (La aritmética de Peano es suficiente para una parte sustancial de la teoría de números, que abarca el concepto de números primos). Una implicación directa de los dos teoremas de incompletitud de Gödel es que dentro de cualquier sistema matemático que contenga aritmética de Peano (incluido todo el análisis y la geometría), la verdad trasciende inherentemente la demostrabilidad; en consecuencia, existen afirmaciones verdaderas que no pueden demostrarse formalmente dentro del sistema. Esta revelación indicó que las matemáticas no podían reducirse completamente a la lógica matemática, lo que requería una reevaluación de la ambición de David Hilbert de hacer que todas las matemáticas fueran completas y consistentes.

Srinivasa Ramanujan (1887-1920), un autodidacta indio, surgió como una figura prominente en las matemáticas del siglo XX, conjeturando o demostrando más de 3.000 teoremas. Sus contribuciones abarcaron propiedades de números altamente compuestos, la función de partición y su comportamiento asintótico, y funciones theta simuladas. Además, llevó a cabo una extensa investigación sobre funciones gamma, formas modulares, series divergentes, series hipergeométricas y teoría de números primos.

Paul Erdős tiene la distinción de publicar más artículos matemáticos que cualquier otro matemático y ha colaborado con cientos de personas a lo largo de su carrera. Esta extensa colaboración inspiró el concepto del número de Erdős, una métrica análoga al juego de Kevin Bacon, que cuantifica la "distancia colaborativa" entre un matemático y Erdős basándose en la coautoría de artículos académicos.

Emmy Noether es ampliamente considerada como la mujer más influyente en la historia de las matemáticas, conocida por su trabajo fundamental en las teorías de anillos, campos y álgebras.

Consistente con las tendencias en varias tendencias En las disciplinas académicas, el crecimiento exponencial del conocimiento durante la era científica fomentó una especialización significativa dentro de las matemáticas. A finales del siglo XX, habían surgido cientos de subcampos matemáticos distintos, reflejados en un sistema de clasificación de materias de matemáticas que abarcaba docenas de páginas. Al mismo tiempo, aumentó la proliferación de revistas de matemáticas y la llegada de la World Wide Web a finales de siglo facilitó el aumento de las publicaciones en línea.

El siglo XXI

En 2000, el Clay Mathematics Institute presentó los siete Problemas del Premio del Milenio. Posteriormente, en 2003, Grigori Perelman resolvió con éxito la conjetura de Poincaré, aunque declinó notablemente el premio asociado debido a su crítica al establishment matemático.

Actualmente, la mayoría de las revistas de matemáticas ofrecen ediciones impresas y en línea, y también se están creando numerosas revistas exclusivamente en línea. Existe un impulso creciente hacia la publicación en acceso abierto, un modelo significativamente popularizado por arXiv.

Este siglo ha sido testigo de la resolución de muchos otros problemas matemáticos importantes. Ejemplos notables incluyen el teorema de Green-Tao (2004), la demostración de brechas acotadas entre números primos arbitrariamente grandes (2013) y el teorema de modularidad (2001). La prueba de primalidad AKS, publicada en 2002, marcó el primer algoritmo capaz de determinar la primalidad o composición de un número en tiempo polinomial. Además, Harald Helfgott publicó una prueba de la conjetura débil de Goldbach en 2013; sin embargo, en 2025, esta prueba aún no se ha sometido a una revisión completa por pares. El primer Einstein fue descubierto en 2023.

Además, se han logrado avances sustanciales en proyectos de larga data iniciados en el siglo XX. Por ejemplo, la clasificación de grupos finitos simples se completó en 2008. De manera similar, se han logrado avances considerables dentro del programa Langlands, incluidas pruebas del lema fundamental (2008) y una prueba propuesta de la correspondencia geométrica de Langlands en 2024.

Direcciones futuras

Se observan tendencias significativas dentro de las matemáticas, en particular su continua expansión, impulsada por la creciente importancia y el poder computacional de las computadoras. Al mismo tiempo, el volumen de datos generados por los sectores científico e industrial, facilitados por la informática, está experimentando un crecimiento exponencial. En consecuencia, esta expansión alimenta una creciente demanda de experiencia matemática para procesar e interpretar esta gran cantidad de datos. Las proyecciones de la Oficina de Estadísticas Laborales de EE. UU. (2018) indican un aumento sustancial en las carreras de ciencias matemáticas, estimando un "crecimiento del 27,9 por ciento de 2016 a 2026" en el empleo para estas ocupaciones.

Notas

Obras citadas

General

• Aaboe, Asger (1964). Episodios de la historia temprana de las matemáticas. Nueva York: Random House.Bell, E. T. (1937). Hombres de Matemáticas. Simon y Schuster.Grattan-Guinness, Ivor (2003). Enciclopedia complementaria de historia y filosofía de las ciencias matemáticas. Prensa de la Universidad Johns Hopkins. ISBN 978-0-8018-7397-3.Gillings, Richard J. (1972). Matemáticas en la época de los faraones. Cambridge, MA: MIT Press.
  • Gillings, Richard J. (1972). Matemáticas en la época de los Faraones Cambridge, MA: MIT Press.Heath, Thomas Little (1921). Una historia de las matemáticas griegas. Oxford, Claredon Press.Corry, Leo (2015), Breve historia de los números, Oxford University Press, ISBN 978-0198702597
    • Corry, Leo (2015), Una breve historia de los números, Oxford University Press, ISBN 978-0198702597Hoffman, Paul (1998). El hombre que amaba sólo los números: la historia de Paul Erdős y la búsqueda de la verdad matemática. Hiperión.ISBN 0-7868-6362-5.Menninger, Karl W. (1969). Palabras numéricas y símbolos numéricos: una historia cultural de los números. MIT Press. ISBN 978-0-262-13040-0.Stigler, Stephen M. (1990). La historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900. Prensa Belknap. ISBN 978-0-674-40341-3.

      Documentales

      • BBC (2008). La historia de las matemáticas.
      • Renaissance Mathematics, un debate de BBC Radio 4 con Robert Kaplan, Jim Bennett y Jackie Stedall (In Our Time, 2 de junio de 2005).

      El archivo MacTutor History of Mathematics, mantenido por John J. O'Connor y Edmund F. Robertson en la Universidad de St Andrews, Escocia, proporciona biografías detalladas de matemáticos históricos y contemporáneos, junto con información sobre curvas importantes y diversos temas de la historia de las matemáticas.

      • Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas (John J. O'Connor y Edmund F. Robertson; Universidad de St Andrews, Escocia). Un sitio web galardonado que contiene biografías detalladas de muchos matemáticos históricos y contemporáneos, así como información sobre curvas notables y diversos temas de la historia de las matemáticas.
      • La página de inicio de Historia de las Matemáticas, curada por David E. Joyce de la Universidad Clark, presenta artículos sobre diversos temas matemáticos históricos, complementados con una extensa bibliografía.
      • La Historia de las Matemáticas, compilada por David R. Wilkins en el Trinity College de Dublín, comprende colecciones de material relacionado con los desarrollos matemáticos del siglo XVII al XIX.
      • Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas, escrito por Jeff Miller, documenta las aplicaciones iniciales registradas de la terminología matemática.
      • Earliest Uses of Varios símbolos matemáticos, también de Jeff Miller, proporciona un contexto histórico para las notaciones matemáticas.
      • Palabras matemáticas: orígenes y fuentes, de John Aldrich de la Universidad de Southampton, explora la etimología del vocabulario matemático contemporáneo.
      • Biografías de mujeres matemáticas, compiladas por Larry Riddle en Agnes Scott College, presentan información biográfica sobre matemáticas notables.
      • Matemáticos de la diáspora africana, reunido por Scott W. Williams de la Universidad de Buffalo, destaca las contribuciones de los matemáticos de la diáspora africana.
      • Notas para un minicurso MAA: impartición de un curso de historia de las matemáticas. (2009) (V. Frederick Rickey y Victor J. Katz).
      • Antigua Roma: El odómetro de Vitruv ofrece una reconstrucción pictórica (conmovedora) del odómetro romano de Vitusio.

      Steven W. Rockey en la Biblioteca de la Universidad de Cornell compiló una bibliografía de obras completas y correspondencia de matemáticos, un archivo fechado el 17 de marzo de 2007.

      • Archivo de bibliografía de obras completas y correspondencia de matemáticos con fecha del 17 de marzo de 2007 (Steven W. Rockey; Biblioteca de la Universidad de Cornell).

      Organizaciones

      • Comisión Internacional para la Historia de las Matemáticas

      Revistas

      • Historia Matemática
      • Convergencia, la revista en línea Historia de las Matemáticas de la Asociación Matemática de Estados Unidos
      • Archivos de Historia de las Matemáticas (Universidad de Tennessee, Knoxville)
      • Historia/Biografía, The Math Forum (Universidad de Drexel)
      • Historia de las Matemáticas (Biblioteca Courtright Memorial)
      • Sitios web de historia de las matemáticas (David Calvis; Baldwin-Wallace College)
      • Historia de las Matemáticas (Universidad de La Laguna)
      • Historia de las Matemáticas (Universidad de Coimbra)
      • Usar la historia en la clase de matemáticas
      • Recursos matemáticos: Historia de las matemáticas (Bruno Kevius)
      • Historia de las Matemáticas (Roberta Tucci)