Tensor

En matemáticas, un tensor constituye una entidad algebraica que caracteriza una relación multilineal entre colecciones de objetos algebraicos vinculados a un espacio vectorial. Los tensores poseen la capacidad de establecer mapeos entre diversas entidades, incluidos vectores, escalares y otros tensores. Esta categoría abarca varias formas, como escalares y vectores (que representan los tensores más fundamentales), vectores duales, transformaciones multilineales entre espacios vectoriales y ciertas operaciones como el producto escalar. Los tensores se definen intrínsecamente sin hacer referencia a una base específica; sin embargo, frecuentemente se describen por sus componentes dentro de una base asociada con un sistema de coordenadas particular. Estos componentes forman colectivamente una matriz, que puede conceptualizarse como una matriz de dimensiones superiores.

Los tensores han alcanzado una importancia considerable en física, ofreciendo un marco matemático sucinto para la formulación y resolución de problemas en diversos dominios. Estos incluyen la mecánica (p. ej., tensión, elasticidad, mecánica cuántica, mecánica de fluidos, momento de inercia), electrodinámica (p. ej., tensor electromagnético, tensor de Maxwell, permitividad, susceptibilidad magnética) y relatividad general (p. ej., tensor de tensión-energía, tensor de curvatura). En contextos aplicados, con frecuencia es necesario analizar escenarios en los que está presente un tensor distinto en cada punto de un objeto; por ejemplo, la tensión interna de un objeto puede presentar variación espacial. Una colección de tensores que varían espacialmente de esta manera se denomina campo tensorial. En ciertos campos especializados, los campos tensoriales son tan omnipresentes que coloquialmente se los denomina simplemente "tensores".

Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro avanzaron significativamente la prominencia de los tensores en 1900, basándose en las contribuciones fundamentales de Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel y otros predecesores, dentro del marco del cálculo diferencial absoluto. Este desarrollo conceptual facilitó una formulación alternativa de la geometría diferencial intrínseca de una variedad, en particular mediante la introducción del tensor de curvatura de Riemann.

Definición

A pesar de su aparente divergencia, las diversas metodologías empleadas para definir tensores delinean uniformemente un concepto geométrico idéntico, aunque utilizan terminologías distintas y distintos grados de abstracción.

Como matrices multidimensionales

Un tensor puede conceptualizarse como una matriz, que puede poseer múltiples dimensiones. De manera análoga a cómo un vector en un espacio n-dimensional se representa mediante una matriz unidimensional que comprende n componentes en relación con una base específica, cualquier tensor se representa de manera similar mediante una matriz multidimensional con respecto a una base elegida. Por ejemplo, un operador lineal normalmente se representa en una base como una matriz cuadrada bidimensional n × n. Las entradas numéricas dentro de esta matriz multidimensional se denominan componentes del tensor. Estos componentes se identifican mediante índices, presentados como subíndices y superíndices, que indican su posición dentro de la matriz y siguen la designación simbólica del tensor. Por ejemplo, los componentes de un tensor T de segundo orden (§1213§) podrían denotarse como T_ij, donde i y j son índices que van desde §2829§ a n, o alternativamente como Tⁱ
_j. La ubicación específica de un índice como superíndice o subíndice está determinada por las propiedades de transformación del tensor, que se detallan más adelante. En consecuencia, mientras tanto T_ij como Tⁱ
_j se pueden expresar como matrices n-by-n y están relacionadas numéricamente mediante la manipulación de índices; sus diferentes leyes de transformación impiden su suma directa.

El número agregado de índices (m) necesarios para la identificación única de cada componente corresponde a la dimensión o al número de vías de una matriz, lo que lleva a la designación ocasional de un tensor como una matriz m-dimensional o m-vías. Este recuento total de índices también se conoce como orden, grado o rango de un tensor, a pesar de que "rango" generalmente conlleva un significado distinto dentro de los dominios de matrices y tensores.

De manera similar a cómo los componentes vectoriales se alteran por un cambio en la base del espacio vectorial, los componentes tensoriales también sufren transformación. Cada tipo de tensor está definido por una ley de transformación específica, que describe cómo sus componentes se ajustan a un cambio de base. Los componentes vectoriales exhiben dos respuestas distintas a un cambio de base, donde los nuevos vectores de base ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ se expresan en relación con los vectores base originales ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ de la siguiente manera:

e ^<!-- ^ --> yo = ∑<!-- ∑ --> j = §3435§ n e j R yo j = e j R yo j . {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}

En este contexto, R ^j_i representan los elementos de la matriz de transformación base. El signo de suma se omite en la expresión más a la derecha, siguiendo la convención de suma de Einstein, una práctica que se aplica consistentemente en este documento. Los componentes vⁱ de un vector columna v se transforman mediante la inversa de la matriz R,

v ^<!-- ^ --> yo = ( R −<!-- − --> §3637§ ) j yo v j , {\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}

La notación hat significa componentes dentro de la base recién establecida. Este fenómeno se denomina ley de transformación contravariante, ya que los componentes del vector se transforman mediante la inversa del cambio de base. Por el contrario, los componentes w_i de un covector (también conocido como vector fila), w, se transforman directamente con la matriz R.

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

Este fenómeno se denomina ley de transformación covariante, ya que los componentes del covector se transforman utilizando la matriz idéntica empleada para el cambio de base. Para un tensor más generalizado, sus componentes se modifican mediante una combinación de transformaciones covariantes y contravariantes, donde cada índice se adhiere a una regla de transformación distinta. Si la matriz de transformación de un índice corresponde a la inversa de la matriz de transformación base, ese índice se designa como contravariante y normalmente se representa mediante un índice superior (superíndice). Por el contrario, si la matriz de transformación de un índice es la propia matriz de transformación base, el índice se denomina covariante y se indica mediante un índice inferior (subíndice).

Considere, por ejemplo, la matriz de un operador lineal, denotada como ${\displaystyle T}$, que es una matriz rectangular definida con respecto a una base específica. Esta matriz se transforma mediante una matriz de cambio de base, representada como ${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$, según la fórmula T ^<!-- ^ --> = R −<!-- − --> §7879§ T R {\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR} . Al considerar las entradas individuales de la matriz, esta regla de transformación se expresa como T ^<!-- ^ --> j ′ i ′ = ( R −<!-- − --> §142143§ ) i i ′ T j i R j ′ j {\displaystyle {\sombrero {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}} . En consecuencia, el tensor asociado a la matriz de un operador lineal posee un índice covariante y un índice contravariante, clasificándolo como un tensor de tipo (1,1).

La amalgama de componentes covariantes y contravariantes que comparten un índice idéntico facilita la articulación de invariantes geométricas. A modo de ejemplo, la propiedad inherente de un vector que permanece invariante en diversos sistemas de coordenadas se puede representar formalmente mediante las ecuaciones siguientes, que aprovechan las fórmulas previamente establecidas:

La expresión implica ${\displaystyle \delta _ {j}^{k}}$, que representa el delta de Kronecker. Esta construcción matemática opera de manera análoga a una matriz de identidad, lo que facilita efectivamente el cambio de nombre de los índices, como se demuestra al cambiar j por k en este caso específico. Este ejemplo aclara varias características clave de la notación de componentes: la conmutatividad inherente que permite la reordenación arbitraria de términos, la necesidad de emplear índices distintos al manipular múltiples objetos dentro de una sola expresión, la capacidad de cambiar el nombre de los índices y el mecanismo por el cual interactúan los tensores contravariantes y covariantes. Esta interacción asegura que todas las apariciones de la matriz de transformación y su inversa se cancelen mutuamente, estableciendo así que expresiones como ${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$ mantienen la identidad geométrica en todos los sistemas de coordenadas.

De manera análoga, un operador lineal, conceptualizado como una entidad geométrica, posee inherentemente independencia de cualquier base específica. Funciona puramente como un mapeo lineal que recibe una entrada vectorial y produce otra salida vectorial. La regla de transformación que rige la alteración de la matriz componente de un operador lineal en respuesta a un cambio de base se alinea con la ley de transformación aplicable a un vector contravariante. En consecuencia, la operación de un operador lineal sobre un vector contravariante se expresa en sistemas de coordenadas como el producto matricial de sus correspondientes representaciones de coordenadas. Específicamente, los componentes ${\displaystyle (Tv)^{i}}$ se definen por la relación ${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$. Estos componentes resultantes exhiben propiedades de transformación contravariantes, dado que

( T v ^<!-- ^ --> ) yo ′ = T ^<!-- ^ --> j ′ yo ′ v ^<!-- ^ --> j ′ = [ ( R −<!-- − --> §106107§ ) yo yo ′ T j yo R j ′ j ] [ ( R − §173174§ ) k j ′ v k ] = ( R − §218219§ ) yo yo ′ ( T v ) yo . {\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^ {-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}

En consecuencia, la ley de transformación para un tensor de orden p + q, que posee índices contravariantes p e índices covariantes q, se expresa formalmente de la siguiente manera:

T ^<!-- ^ --> j §2324§ ′ , … , j q ′ yo §5253§ ′ , … , yo p ′ = ( R − §9091§ ` ) yo §102103§ yo §112113§ ′ ⋯ ( R − §134135§ ) yo p yo p ′ {\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}} T j §186187§ , … , j q yo §211212§ , … , yo p {\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}} R j §254255§ ′ j §266267§ ⋯ R j q ′ j q . {\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}

En este contexto, los índices preparados denotan componentes dentro del nuevo sistema de coordenadas, mientras que los índices no preparados se refieren a componentes en el sistema de coordenadas original.Dicho tensor se clasifica por su orden o tipo (p, q). Es importante señalar que los términos "orden", "tipo", "rango", "valencia" y "grado" a veces se utilizan indistintamente. Sin embargo, para mayor precisión en esta discusión, "orden" u "orden total" se referirá específicamente a la dimensión agregada de la matriz (o su generalización en definiciones alternativas), representada como p + q en el ejemplo anterior. Por el contrario, "tipo" designará el par que indica el recuento de índices contravariantes y covariantes. Un tensor de tipo (p, q) también se denomina de manera concisa tensor (p, q).

La discusión anterior proporciona la base para la definición formal posterior:

Definición. Un tensor de tipo (p, q) es una asignación de una matriz multidimensional

T j §1415§ … j q i §3536§ … i p [ f ] {\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}

a cada base f = (e§56§, ..., e_n) de un espacio vectorial n-dimensional, tal que si se aplica el siguiente cambio de base:

f ↦<!-- ↦ --> f ⋅<!-- ⋅ --> R = ( e i R §4243§ i , … , e i R n i ) {\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}

entonces la matriz multidimensional debe cumplir con la ley de transformación

T j §1415§ ′ … j q ′ yo §3940§ ′ … yo p ′ [ f ⋅ R ] = ( R − §8687§ ) yo §9899§ yo §108109§ ′ ⋯ ( R − §130131§ ) yo p yo p ′ {\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}

La conceptualización de un tensor como una matriz multidimensional que se adhiere a una regla de transformación específica se origina en las contribuciones de Ricci.

Una definición alternativa de tensor aprovecha las representaciones del grupo lineal general. Este grupo actúa sobre la colección de todas las bases ordenadas dentro de un espacio vectorial n-dimensional. Específicamente, si ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$ constituye una base ordenada y ${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$ representa un ${\displaystyle n\times n}$ matriz, entonces la acción correspondiente se define de la siguiente manera:

f R = ( f yo R §3233§ yo , … , f yo R n yo ) . {\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}

Designe F como la colección de todas las bases ordenadas, estableciendo F como un espacio homogéneo principal para GL(n). Además, sea W un espacio vectorial y sea ρ<!-- ρ --> {\displaystyle \rho } representa una representación de GL(n) en W, que se define como un homomorfismo de grupo ${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$. En consecuencia, un tensor de tipo ρ<!-- ρ --> {\displaystyle \rho } se caracteriza como un mapa equivariante ${\displaystyle T:F\to W}$. La condición de equivarianza implica que

T ( F R ) = ρ<!-- ρ --> ( R −<!-- − --> §3132§ ) T ( F ) . {\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}

Cuando ρ<!-- ρ --> {\displaystyle \rho } representa un tensor dentro del grupo lineal general; esta formulación produce la definición convencional de tensores como matrices multidimensionales. Esta definición se emplea con frecuencia para describir tensores en variedades y puede ampliarse fácilmente para abarcar otros grupos.

Tensores como mapas multilineales

Una limitación a la hora de definir tensores mediante el enfoque de matriz multidimensional es la falta de claridad explícita con respecto a la independencia de la base del objeto, una característica fundamental de las entidades intrínsecamente geométricas. Si bien se puede demostrar que las leyes de transformación garantizan la independencia de la base, en ocasiones se prefiere una definición más intrínseca. Un método predominante en geometría diferencial implica definir tensores relativos a un espacio vectorial fijo de dimensión finita V, típicamente elegido por su significado geométrico, como el espacio tangente de una variedad. Bajo este marco, un tensor de tipo (p, q) T se define formalmente como un mapa multilineal:

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copias}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copias}}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

Aquí, V^∗ denota el espacio dual correspondiente de covectores, que exhibe linealidad con respecto a cada uno de sus argumentos. Esta formulación supone que V es un espacio vectorial definido sobre los números reales, ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠. En términos más generales, V puede considerarse sobre cualquier campo F (por ejemplo, los números complejos), con F sirviendo como codominio para los mapas multilineales en lugar de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠.

Cuando se aplica un mapa multilineal T de tipo (p, q) a una base {e_j} de V y una cobasis canónica {εⁱ} de V^∗,

T j §1415§ … j q yo §3536§ … yo p ≡ T ( ε yo §7273§ , … , ε yo p , e j §114115§ , … , e j q ) , {\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}

Se deriva así una matriz (p + q)-dimensional de componentes. La selección de una base alternativa dará como resultado componentes distintos. Sin embargo, debido a la linealidad de T en todos sus argumentos, estos componentes se adhieren a la ley de transformación tensorial, que es integral a la definición de matriz multilineal. En consecuencia, la matriz multidimensional que comprende los componentes de T constituye un tensor, consistente con esa definición. Además, dicha matriz puede conceptualizarse como los componentes de un mapa multilineal específico T. Esta perspectiva subraya la lógica para considerar los mapas multilineales como las entidades intrínsecas y fundamentales que sustentan los tensores.

Al conceptualizar un tensor como un mapa multilineal, la práctica estándar implica equiparar el doble dual V^∗∗ del espacio vectorial V—específicamente, el espacio de funcionales lineales que operan en el espacio vectorial dual V^∗: con el espacio vectorial original V. Existe consistentemente una aplicación lineal natural desde V hasta su doble dual, establecida evaluando una forma lineal de V^∗ frente a un vector de V. En contextos de dimensión finita, este mapeo lineal funciona como un isomorfismo, por lo que frecuentemente resulta ventajoso identificar V con su doble dual.

Aplicación de productos tensoriales

En determinadas aplicaciones matemáticas, una metodología más abstracta resulta beneficiosa. Esto se logra definiendo los tensores como elementos dentro de productos tensoriales de espacios vectoriales, que a su vez se caracterizan por una propiedad universal.

Dentro de este marco, un tipo (p, q) tensor se define formalmente como un elemento que pertenece al producto tensorial de espacios vectoriales.

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copias}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copias}}}.}$

Una base v_i para V y una base w_j para W generan inherentemente una base v_i ⊗ w_j para el producto tensorial V ⊗ W. Las componentes de un tensor T se definen como los coeficientes de este tensor relativos a la base derivada de una base {e_i} de V y su correspondiente base dual. {ε^j}, de la siguiente manera:

T = T j §1819§ … j q i §3940§ … i p e i §6869§ ⊗ ⋯ ⊗ e i p ⊗ ε j §113114§ ⊗ ⋯ ⊗ ε j q . {\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}

Aprovechando las propiedades inherentes del producto tensorial, se puede demostrar que estos componentes se adhieren a la ley de transformación característica de un tensor de tipo (p, q). Además, la propiedad universal intrínseca al producto tensorial establece una correspondencia directa uno a uno entre los tensores conceptualizados de esta manera y los definidos como aplicaciones multilineales.

Esta correspondencia uno a uno es posible porque, dentro del contexto de dimensión finita, existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y su doble dual.

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

La línea final aprovecha la propiedad universal del producto tensorial, estableciendo una correspondencia uno a uno entre mapas de ${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$ y ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$.

Los productos Tensor poseen un amplio alcance de definición, que abarca, por ejemplo, módulos arbitrarios sobre un anillo. Conceptualmente, un "tensor" podría definirse como cualquier elemento dentro de un producto tensorial. Sin embargo, la literatura matemática normalmente restringe el término tensor para denotar un elemento derivado de un producto tensor que involucra múltiples copias de un único espacio vectorial V y su correspondiente espacio dual, de acuerdo con la discusión anterior.

Tensores en dimensiones infinitas

La discusión anterior sobre tensores supone espacios de dimensión finita, donde los espacios tensoriales derivados de varias construcciones exhiben isomorfismo natural. Las construcciones de espacios tensoriales, que utilizan productos tensoriales y asignaciones multilineales, se pueden generalizar a paquetes de vectores o haces coherentes con una modificación mínima. Sin embargo, en espacios vectoriales de dimensión infinita, distintas topologías producen diferentes conceptualizaciones de tensores, y la validez de estos isomorfismos depende de la definición precisa de un tensor (por ejemplo, producto tensorial topológico). En determinadas aplicaciones, el producto tensorial de los espacios de Hilbert es el concepto previsto, ya que sus propiedades se parecen mucho a las del escenario de dimensión finita. Una perspectiva contemporánea enfatiza que las propiedades más cruciales de los tensores están codificadas por su estructura como una categoría monoide simétrica, más que por modelos específicos de tales categorías.

Campos tensoriales

En numerosas aplicaciones, particularmente dentro de la geometría diferencial y la física, es habitual conceptualizar un tensor cuyos componentes son funciones de un punto espacial. Este marco se originó en la investigación fundamental de Ricci. La nomenclatura matemática contemporánea designa dicha entidad como un campo tensorial, frecuentemente abreviado simplemente como "tensor".

Dentro de este contexto, normalmente se selecciona una base de coordenadas para el espacio vectorial tangente. En consecuencia, la ley de transformación se puede articular utilizando derivadas parciales de las funciones de coordenadas,

x ¯<!-- ¯ --> i ( x §3132§ , … , x n ) , {\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}

definiendo así una transformación de coordenadas.

T ^<!-- ^ --> j §2324§ ′ … j q ′ i §4849§ ′ … i p ′ ( x ¯ §8687§ , … , x ¯ n ) = ∂ x ¯ i §143144§ ′ ∂ x i §164165§ ⋯ ∂ x ¯ i p ′ ∂ x i p ∂ x j §243244§ ∂ x ¯ j §271272§ ′ ⋯ ∂ x j q ∂ x ¯ j q ′ T j §346347§ … j q i §367368§ … i p ( x §392393§ , … , x n ) . {\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}

History

Los conceptos fundamentales del análisis tensorial posterior surgieron del trabajo de Carl Friedrich Gauss en geometría diferencial, con su formulación influenciada significativamente por la teoría de formas algebraicas e invariantes desarrollada a mediados del siglo XIX. El término "tensor" fue introducido en 1846 por William Rowan Hamilton, aunque su definición original divergía de su significado contemporáneo. Posteriormente, Gibbs introdujo el álgebra diádica y poliádica, que se alinean con la comprensión moderna de los tensores. El uso actual del término fue establecido por Woldemar Voigt en 1898.

El cálculo tensorial fue desarrollado alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro, presentado inicialmente en 1892 bajo el título cálculo diferencial absoluto. Su accesibilidad a una audiencia matemática más amplia mejoró enormemente con la publicación en 1900 del texto clásico de Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita, Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps (Métodos de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones). En la notación original de Ricci, se refería a "sistemas" que poseen componentes covariantes y contravariantes, que ahora se reconocen como campos tensoriales.

Durante el siglo XX, el tema se conoció como análisis tensorial, logrando una aceptación más amplia con la introducción de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein alrededor de 1915. La relatividad general se formula íntegramente utilizando el lenguaje de los tensores. Einstein, con considerable esfuerzo, aprendió sobre los tensores del geómetra Marcel Grossmann. Posteriormente, Levi-Civita inició una correspondencia con Einstein para rectificar los errores que Einstein había cometido en su aplicación del análisis tensorial. Este intercambio, que se extendió entre 1915 y 1917, se caracterizó por el respeto mutuo:

Admiro la elegancia de su método de cálculo; Debe ser agradable cabalgar por estos campos sobre el caballo de las verdaderas matemáticas mientras nosotros tenemos que recorrer laboriosamente nuestro camino a pie.

Los tensores y los campos tensoriales también resultaron valiosos en otros dominios, como la mecánica continua. Ejemplos destacados de tensores en geometría diferencial incluyen formas cuadráticas, como los tensores métricos y el tensor de curvatura de Riemann. El álgebra exterior de Hermann Grassmann, originada a mediados del siglo XIX, constituye una teoría tensorial con una fuerte base geométrica; sin embargo, su unificación natural con el cálculo tensorial, junto con la teoría de las formas diferenciales, no se reconoció hasta más tarde. Las contribuciones de Élie Cartan establecieron formas diferenciales como tipos de tensores fundamentales en matemáticas, mientras que Hassler Whitney popularizó significativamente el producto tensorial.

A partir de aproximadamente la década de 1920, se hizo evidente que los tensores desempeñan un papel fundamental en la topología algebraica, ejemplificado por el teorema de Künneth. En consecuencia, se emplean varios tipos de tensores en numerosas ramas del álgebra abstracta, particularmente en álgebra homológica y teoría de la representación. El álgebra multilineal se puede desarrollar con mayor generalidad que cuando se restringe a escalares derivados de un campo; por ejemplo, los escalares pueden originarse a partir de un anillo. Sin embargo, una teoría tan generalizada tiende a ser menos geométrica e implica cálculos más técnicos y menos algorítmicos. En la teoría de categorías, los tensores se generalizaron a través del concepto de categoría monoide, que surgió en la década de 1960.

Ejemplos

Una ilustración elemental de un mapeo representable como un tensor es el producto escalar, que transforma dos vectores en un escalar. Un ejemplo más complejo es el tensor de tensión de Cauchy T, que acepta un vector unitario direccional v y lo asigna al vector de tensión T^(v). Este vector de tensión representa la fuerza por unidad de área ejercida por el material en el lado negativo del plano ortogonal a v contra el material en el lado positivo, articulando así una relación entre estos dos vectores, como se muestra en la figura adjunta (derecha). El producto vectorial, que asigna dos vectores a un tercero, no se clasifica estrictamente como tensor porque su signo se invierte bajo transformaciones que alteran la orientación del sistema de coordenadas. Sin embargo, el símbolo totalmente antisimétrico ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ facilita un tratamiento práctico del producto cruzado dentro de sistemas de coordenadas tridimensionales igualmente orientados.

Esta tabla presenta ejemplos significativos de tensores en espacios vectoriales y campos tensoriales en variedades. Los tensores se clasifican por su tipo, designado como (n, m), donde n denota el número de índices contravariantes, m representa el número de índices covariantes y la suma n + m determina el orden total del tensor. Por ejemplo, una forma bilineal es equivalente a un tensor (0, 2); un producto interno sirve como ejemplo de un tensor (0, 2), aunque no todos los tensores (0, 2) son productos internos. En la entrada (0, M) de la tabla, M significa la dimensionalidad del espacio vectorial o variedad subyacente, ya que cada dimensión requiere un índice separado para seleccionarla y lograr un tensor antisimétrico máximamente covariante.

Elevar un índice en un tensor (n, m) produce un tensor (n + 1, m − 1), que corresponde a un movimiento diagonal hacia abajo y hacia la izquierda dentro de la tabla. Por el contrario, bajar un índice da como resultado un movimiento diagonal hacia arriba y hacia la derecha. La contracción de un índice superior con un índice inferior de un tensor (n, m) produce un tensor (n − 1, m − 1), correspondiente a un movimiento diagonal hacia arriba y hacia la izquierda en la tabla.

Propiedades

Suponiendo una base para un espacio vectorial real, como un marco de coordenadas en el espacio ambiental, un tensor se puede representar como una matriz multidimensional estructurada de valores numéricos relativos a esta base específica. Un cambio de base transforma los valores dentro de esta matriz de una manera característica, lo que permite la definición de tensores como objetos que se adhieren a este comportamiento transformacional particular. Por ejemplo, los tensores poseen invariantes que deben conservarse bajo cualquier transformación de base, calificando así sólo ciertas matrices multidimensionales de números como tensores. Esto se puede contrastar con la matriz que representa ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$, que no es un tensor porque su signo cambia bajo transformaciones que alteran la orientación.

Debido a que los componentes de los vectores y sus duales se transforman de manera diferente bajo cambios de sus respectivas bases duales, una ley de transformación covariante y/o contravariante relaciona las matrices que representan un tensor en una base con las de otra. El número de vectores: n (índices contravariantes) y vectores duales: m (índices covariantes) en la entrada y salida de un tensor determina su tipo (o valencia). Este tipo se expresa como un par de números naturales, (n, m), que define con precisión la ley de transformación. El orden de un tensor es la suma de estos dos números.

El orden (también conocido como grado o rango) de un tensor es, por lo tanto, la suma de los órdenes de sus argumentos de entrada más el orden del tensor resultante. Esto también corresponde a la dimensionalidad de la matriz numérica necesaria para representar el tensor con respecto a una base específica o, de manera equivalente, al número de índices necesarios para etiquetar cada componente de esa matriz. Por ejemplo, en una base fija, un mapa lineal estándar que transforma un vector en otro vector está representado por una matriz (una matriz bidimensional), lo que califica como un tensor de segundo orden. Un vector simple, representable como una matriz unidimensional, es, en consecuencia, un tensor de primer orden. Los escalares, al ser valores numéricos únicos, se clasifican como tensores de orden 0. En este contexto, el tensor que representa el producto escalar, que toma dos vectores y produce un escalar, tiene un orden de 2 + 0 = 2. Esto es lo mismo que el tensor de tensión, que toma un vector y devuelve otro, lo que da como resultado un orden de 1 + 1 = 2. El ${\displaystyle \varepsilon _ {ijk}}$-symbol, mapear dos vectores a un vector poseería, por lo tanto, un orden de 2 + 1 = 3.

La agregación de tensores dentro de un espacio vectorial y su correspondiente espacio dual constituye un álgebra tensorial, que facilita la multiplicación de tensores arbitrarios. Si bien las aplicaciones sencillas que involucran tensores de orden 2, representables como matrices cuadradas, pueden abordarse mediante una disposición juiciosa de los vectores transpuestos y la aplicación de reglas de multiplicación de matrices, es crucial no combinar este proceso con el producto tensorial.

Notación

Se emplean varios sistemas de notación para describir tensores y ejecutar cálculos que los involucran.

Cálculo de Ricci

El cálculo de Ricci representa el formalismo contemporáneo y el sistema de notación para índices tensoriales, que abarca la indicación de productos internos y externos, covarianza y contravarianza, sumas de componentes tensoriales, simetría y antisimetría, así como derivadas parciales y covariantes.

Convención de Suma de Einstein

La convención de suma de Einstein evita la escritura explícita de signos de suma, haciendo así la suma implícita. Cualquier símbolo de índice que aparece repetidamente se suma implícitamente; específicamente, si el índice i aparece dos veces dentro de un término particular de una expresión tensorial, significa que el término debe sumarse en todos los valores posibles para i. Este método permite la suma de múltiples pares distintos de índices.

Notación gráfica de Penrose

La notación gráfica de Penrose constituye un sistema esquemático que sustituye los símbolos tensoriales por formas geométricas y sus índices por líneas y curvas. Esta notación opera independientemente de los elementos básicos y no requiere símbolos explícitos para los índices.

Notación de índice abstracto

La notación de índices abstracta proporciona un método para representar tensores donde los índices no se conceptualizan como valores numéricos sino como indeterminados. Este enfoque notacional combina efectivamente el poder expresivo de los índices con la característica de independencia de base de la notación sin índices.

Notación libre de componentes

Un enfoque sin componentes para los tensores emplea una notación que subraya su independencia de cualquier base específica, definiéndolos en cambio a través del producto tensorial de espacios vectoriales.

Operaciones

Existen múltiples operaciones para tensores que producen otro tensor. La linealidad inherente de los tensores permite la suma de dos tensores de tipo idéntico y la multiplicación escalar de tensores, produciendo resultados análogos al escalado vectorial. Cuando se aplican a componentes, estas operaciones se ejecutan por componentes. Si bien estas operaciones preservan el tipo de tensor, existen otras operaciones que generan un tensor de un tipo distinto.

Producto Tensor

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Contracción

La contracción tensorial constituye una operación que transforma un tensor de tipo (n, m) en un tensor de tipo (n − 1, m − 1), donde la traza representa una instancia específica. En consecuencia, este proceso disminuye el orden total del tensor en dos. La operación se ejecuta sumando componentes donde un índice contravariante designado coincide con un índice covariante específico, generando así un nuevo componente. Por el contrario, los componentes en los que estos dos índices divergen no se tienen en cuenta. Por ejemplo, un tensor (1, 1), representado como ${\displaystyle T_{i}^{j}}$, se puede contraer a un escalar mediante ${\displaystyle T_{i}^{i}}$, donde la convención de suma se aplica implícitamente. Cuando un tensor (1, 1) se conceptualiza como un mapeo lineal, esta operación específica se denomina traza.

La contracción tensorial se emplea frecuentemente en combinación con el producto tensorial para facilitar la contracción de un índice de cada tensor constituyente.

Alternativamente, la contracción tensorial se puede conceptualizar definiendo un tensor como un elemento dentro de un producto tensorial que comprende múltiples copias del espacio V y el espacio V^∗. Esto implica una descomposición inicial del tensor en una combinación lineal de tensores elementales, seguida de la aplicación de un factor de V^∗ a un factor de V. Por ejemplo, un tensor ${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$ se puede expresar como una combinación lineal: