proporción áurea (Golden ratio)

En matemáticas, la proporción áurea describe una relación entre dos cantidades donde su proporción es equivalente a la proporción de su suma con la mayor de las dos cantidades. Algebraicamente, para dos cantidades positivas, ⁠ un {\displaystyle a} ⁠ y ⁠ segundo {\displaystyle b} ⁠, donde ⁠b>0}"> un > segundo > 0 {\displaystyle a>b>0} ⁠, cantidad⁠ un {\displaystyle a} ⁠ está en la proporción áurea a ⁠ segundo {\displaystyle b} ⁠ si se cumple la siguiente ecuación: un + segundo un = un segundo = φ , {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi,} donde la letra griega phi (⁠ φ {\displaystyle \varphi} ⁠ o ⁠ ϕ {\displaystyle \phi} ⁠, o ⁠ Φ {\displaystyle \Phi} ⁠) representa la proporción áurea. Esta constante, ⁠ φ {\displaystyle \varphi} ⁠, es un número irracional que satisface la ecuación cuadrática ⁠ φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1} ⁠, y su valor aproximado es φ = 1 + 5 2 = {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}} 1.618033988749.... Históricamente, Euclides se refirió a la proporción áurea como la proporción extrema y media, mientras que Luca Pacioli la denominó proporción divina. También se le conoce con otras denominaciones.

En matemáticas, dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es la misma que la proporción de su suma con la mayor de las dos cantidades. Expresado algebraicamente, para cantidades ⁠un {\displaystyle a}⁠ y ⁠b {\displaystyle b}⁠ con ⁠54§ {\displaystyle a>b>0} ⁠, ⁠un {\displaystyle a}⁠ está en una proporción áurea con ⁠b {\displaystyle b}⁠ if $${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$ donde la letra griega phi (⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠ o ⁠ϕ<!-- ϕ --> {\displaystyle \phi }⁠, o ⁠Φ<!-- Φ --> {\displaystyle \Phi }⁠) denota la proporción áurea.La constante ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠ satisface la ecuación cuadrática ⁠φ<!-- φ --> §234235§ = φ + §245246§ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1} ⁠ y es un número irracional con un valor de φ<!-- φ --> = §272273§ + §278279§ §283284§ = {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}} 1.618033988749.... La proporción áurea fue llamada proporción extrema y media por Euclides, y proporción divina por Luca Pacioli; también tiene otros nombres.

Las propiedades matemáticas de la proporción áurea han sido objeto de estudio desde la antigüedad. En particular, representa la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado, lo que se manifiesta en consecuencia en la construcción geométrica tanto del dodecaedro como del icosaedro. Un rectángulo dorado, definido por una relación de aspecto de ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠, posee la característica única de ser divisible en un cuadrado y un rectángulo más pequeño que conserva la misma relación de aspecto. Además, la proporción áurea se ha aplicado en el análisis de proporciones dentro de fenómenos naturales y diversos sistemas artificiales, incluidos los mercados financieros; sin embargo, algunas de estas aplicaciones se basan en correlaciones de datos cuestionables. Su presencia también se observa en ciertos patrones naturales, como la filotaxis espiral de las hojas y otras estructuras botánicas.

Varios artistas y arquitectos del siglo XX, como Le Corbusier y Salvador Dalí, proporcionaron intencionalmente sus creaciones para aproximarse a la proporción áurea, impulsados por la creencia en su atractivo estético inherente. Estas aplicaciones frecuentemente se manifiestan como rectángulos dorados dentro de sus diseños.

Cálculo

Dos cantidades distintas de cero, ⁠un {\displaystyle a}⁠ y ⁠b {\displaystyle b}⁠, se definen como en la proporción áurea, denotada por ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠, si cumplen la siguiente condición:

Para determinar numéricamente el valor de ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠, se pueden dividir tanto el numerador como el denominador de la fracción del lado izquierdo por ⁠b {\displaystyle b}⁠.

Posteriormente, sustituyendo ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=\varphi }$⁠, se deriva la siguiente expresión:

Multiplicación de ambos lados de la ecuación por ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠ produce:

Esta ecuación se puede reorganizar algebraicamente en la forma:

La aplicación de la fórmula cuadrática da como resultado dos soluciones distintas:

La raíz positiva, designada como ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠, representa la proporción áurea. Por el contrario, la raíz negativa es su inversa negativa, ⁠−<!-- − --> §2930§ / φ {\displaystyle -1/\varphi } ⁠, que exhibe numerosas propiedades matemáticas compartidas.

Historial

Como afirma Mario Livio,

Algunas de las mentes matemáticas más importantes de todas las épocas, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia, pasando por el matemático italiano medieval Leonardo de Pisa y el astrónomo renacentista Johannes Kepler, hasta figuras científicas actuales como el físico de Oxford Roger Penrose, han dedicado interminables horas a esta simple proporción y sus propiedades. ... Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos han reflexionado y debatido sobre las bases de su ubicuidad y atractivo. De hecho, probablemente sea justo decir que la Proporción Áurea ha inspirado a pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas.

La proporción áurea inicialmente atrajo la atención de los antiguos matemáticos griegos debido a su presencia omnipresente en las formas geométricas. Específicamente, la división de una línea en una "proporción extrema y media", también conocida como sección áurea, tiene una importancia significativa en la geometría de los pentagramas y pentágonos regulares. Los relatos anecdóticos sugieren que Hippaso, un matemático del siglo V a. C., hizo el sorprendente descubrimiento para los pitagóricos de que la proporción áurea es un número irracional, no expresable como un número entero o una fracción. La obra fundamental de Euclides, Elementos (c. 300 a.C.), presenta múltiples proposiciones y sus correspondientes pruebas que utilizan la proporción áurea, junto con su primera definición documentada, articulada de la siguiente manera:

Se dice que una línea recta ha sido cortada en extrema y media proporción cuando, así como toda la línea está al segmento mayor, así lo es el mayor al menor.

Durante el milenio siguiente, la proporción áurea recibió sólo atención esporádica. Abu Kamil (c. 850-930) lo incorporó a sus cálculos geométricos con pentágonos y decágonos. Sus contribuciones académicas influyeron posteriormente en Fibonacci (Leonardo de Pisa) (c. 1170-1250), quien aplicó la proporción a problemas geométricos análogos sin reconocer su relación intrínseca con los números de Fibonacci.

Luca Pacioli tituló su obra de 1509, Divina proporcionale, en honor a esta relación. Este libro, que tomó prestado en gran medida de Piero della Francesca, investigó las características de la proporción, incluida su presencia en ciertos sólidos platónicos. Leonardo da Vinci, el ilustrador del libro de Pacioli, se refirió a la proporción como sectio aurea, que significa "sección áurea". Si bien se afirma comúnmente que Pacioli promovió la proporción áurea para lograr proporciones armoniosas y estéticamente agradables, Livio destaca que esta interpretación se originó a partir de un error de 1799, y Pacioli en realidad apoyó el sistema vitruviano de proporciones racionales. Pacioli también atribuyó a la relación un significado religioso católico, lo que influyó en el título de su obra. Durante el siglo XVI, matemáticos como Rafael Bombelli emplearon esta relación para resolver diversos problemas geométricos.

El matemático alemán Simon Jacob (muerto en 1564) observó que las proporciones de los números sucesivos de Fibonacci convergen hacia la proporción áurea, un descubrimiento realizado posteriormente de forma independiente por Johannes Kepler en 1608. Michael Maestlin de la Universidad de Tübingen proporcionó la aproximación decimal más antigua conocida de la proporción áurea inversa, enunciada como "aproximadamente ⁠${\displaystyle 0.6180340}$⁠" en una carta de 1597 a su antiguo alumno, Kepler. En ese mismo año, Kepler se comunicó con Maestlin sobre el triángulo de Kepler, una figura geométrica que integra la proporción áurea con el teorema de Pitágoras. Kepler destacó estos conceptos:

La geometría posee dos tesoros importantes: uno es el teorema de Pitágoras y el otro es la división de una línea en razones extremas y medias. El primero puede compararse con una cantidad sustancial de oro, mientras que el segundo puede considerarse una joya valiosa.

Durante el siglo XVIII, los matemáticos Abraham de Moivre, Nicolaus I Bernoulli y Leonhard Euler emplearon una fórmula derivada de la proporción áurea para determinar el valor de un número de Fibonacci en función de su posición dentro de la secuencia. Esta fórmula fue redescubierta posteriormente en 1843 por Jacques Philippe Marie Binet, lo que llevó a su designación como "fórmula de Binet". El primer uso documentado del término "sección áurea" se produjo en 1789, cuando Johann Samuel Traugott Gehler lo incluyó en su ampliamente reconocido diccionario de ciencias físicas, Physikalisches Wörterbuch, donde se refirió a él como "güldnen Schnitt (media et extrema ratione, sectione aurea s[ive] divina)". James Sully introdujo el término inglés correspondiente en 1875.

En 1910, el inventor Mark Barr inició el uso de la letra griega phi (⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠) como representación simbólica de la proporción áurea. Alternativamente, también se ha denotado con tau (⁠τ<!-- τ --> {\displaystyle \tau }⁠), que es la letra inicial de la antigua palabra griega τομή, que significa "corte" o "sección".

El sistema de construcción zome, concebido por Steve Baer a finales de la década de 1960, se basa en la simetría inherente al icosaedro y al dodecaedro, incorporando ampliamente la proporción áurea. De 1973 a 1974, Roger Penrose ideó el mosaico Penrose, un patrón geométrico vinculado a la proporción áurea tanto a través de la proporción de área de sus dos mosaicos rómbicos como de su aparición proporcional dentro del diseño. El interés en este concepto se intensificó tras el descubrimiento de Dan Shechtman, ganador del Premio Nobel en 1982, de cuasicristales que exhibían simetría icosaédrica, que posteriormente se dilucidaron estableciendo paralelos con el mosaico de Penrose.

Matemáticas

Irracionalidad

La proporción áurea se clasifica como un número irracional. A continuación se presentan dos pruebas concisas que demuestran su irracionalidad:

Prueba por contradicción a partir de una fracción reducida

Esto constituye una prueba que utiliza el método de descenso infinito. Es importante recordar que:

Si la cantidad completa está designada como ⁠n {\displaystyle n}⁠ y el segmento más largo como ⁠m {\displaystyle m}⁠, entonces la segunda declaración anterior se transforma en:

La afirmación de que la proporción áurea, denotada como ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, es un número racional implica que ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ se puede expresar como una fracción ⁠${\displaystyle n/m}$⁠, donde ⁠${\displaystyle n}$⁠ y ⁠${\displaystyle m}$⁠ son números enteros. Esta fracción ⁠${\displaystyle n/m}$⁠ está en sus términos más bajos, con ambos ⁠${\displaystyle n}$⁠ y ⁠${\displaystyle m}$⁠ son números enteros positivos. Sin embargo, si ⁠${\displaystyle n/m}$⁠ ya está en sus términos más bajos, entonces la expresión equivalente ⁠${\displaystyle m/(n-m)}$⁠ sería necesariamente en términos aún más bajos. Este resultado presenta una contradicción, refutando así la suposición inicial de que ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ es un número racional.

La irracionalidad de la raíz cuadrada de 5 proporciona una base para este argumento.

Una demostración alternativa y quizás más ampliamente reconocida de la irracionalidad de la proporción áurea utiliza la propiedad de cierre de los números racionales bajo operaciones aritméticas fundamentales, específicamente la suma y la multiplicación. If ⁠φ<!-- φ --> = §1516§ §1718§ ( §2829§ + §3435§   ) {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}} ⁠ es postulada como racional, entonces la expresión ⁠§6465§ φ − §7273§ = §7879§ {\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}} ⁠, que representa la raíz cuadrada de ⁠${\displaystyle 5}$⁠, también debe ser racional. Esta conclusión, sin embargo, contradice el principio matemático establecido de que las raíces cuadradas de todos los números naturales que no son cuadrados perfectos son inherentemente irracionales.

Polinomio mínimo

Como la proporción áurea constituye una raíz de un polinomio con coeficientes racionales, se clasifica como un número algebraico. Su polinomio mínimo, definido como el polinomio del grado más bajo posible con coeficientes enteros para los cuales la proporción áurea es una raíz, se expresa como $$]{\displaystyle x^{2}-x-1.}$$] Este polinomio cuadrático posee dos raíces distintas, identificadas como ⁠[] [] [] []φ<!-- φ --> [] [] []{\displaystyle \varphi } [] []⁠ y ⁠$]{\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$]⁠. Dado que el coeficiente principal de este polinomio es la unidad, ambas raíces califican como números enteros algebraicos. Además, la proporción áurea muestra una estrecha relación con el polinomio ⁠$]{\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$]⁠, cuyas raíces son ⁠[] [] [] []−<!-- − --> []φ<!-- φ --> [] [] []{\displaystyle -\varphi } [] []⁠ y ⁠$]{\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$]⁠.

La proporción áurea, denotada como ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, funciona como una unidad fundamental dentro del campo cuadrático ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠, que ocasionalmente se conoce como el campo dorado. Dentro de este campo, cualquier elemento determinado se puede expresar en la forma ⁠${\displaystyle r+s\varphi }$⁠, donde ⁠${\displaystyle r}$⁠ y ⁠${\displaystyle s}$⁠ representan coeficientes racionales. La norma de dicho número viene dada por ⁠r §134135§ + r s − s §151152§ {\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}} ⁠. Unidades adicionales, caracterizadas por una norma de ⁠±<!-- ± --> §175176§ {\displaystyle \pm 1} ⁠, corresponden a los poderes positivos y negativos de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.Los números enteros cuadráticos dentro de este campo, que forman colectivamente un anillo, comprenden todos los números representables como ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$⁠, donde ⁠${\displaystyle a}$⁠ y ⁠${\displaystyle b}$⁠ son números enteros.

Dada su derivación como raíz de un polinomio cuadrático, la proporción áurea es inherentemente un número construible.

La proporción áurea: conjugado y exponentes

La raíz conjugada correspondiente al polinomio mínimo ⁠x §1213§ − x − §2425§ {\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1} ⁠ se define como:

−<!-- − --> §1112§ φ = §2021§ − φ = §3334§ − §4041§ §4546§ = − 0.618033 … . {\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}

El valor absoluto de esta cantidad, ⁠${\displaystyle 0.618\ldots }$⁠, representa la relación de longitud inversa, específicamente la longitud del segmento más corto dividida por el más largo longitud del segmento, expresada como ⁠${\displaystyle b/a}$⁠.

Esto demuestra una característica distintiva de la proporción áurea entre los números reales positivos: §89§φ=φ−§2324§,{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}.

Alternativamente, su forma inversa se expresa como: §89§§1112§/φ=§2728§φ+1.{\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}.

El conjugado y la relación polinómica cuadrática inherente dan como resultado valores decimales cuyas partes fraccionarias son idénticas a las de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠:

31§=2.618033…,§4748§φ=φ−§6667§=0.618033….{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}

La secuencia de potencias de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ incluye los siguientes valores: ⁠${\displaystyle 0.618033\ldots }$⁠, ⁠${\displaystyle 1.0}$⁠, ⁠${\displaystyle 2.618033\ldots }$⁠. En términos más generales, cualquier poder de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ se puede expresar como la suma de sus dos poderes inmediatamente anteriores, como lo demuestra la siguiente identidad: φ<!-- φ --> n = φ<!-- φ --> n −<!-- − --> §146147§ + φ n − §162163§ = φ ⋅ F n + F n − §193194§ . {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}

En consecuencia, cualquier potencia de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ se puede expresar fácilmente como un múltiplo de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ más una constante. En particular, tanto el multiplicador como la constante corresponden consistentemente a números de Fibonacci consecutivos. Esta observación revela una característica adicional de las potencias positivas de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠:

Si ⁠⌊ §1617§ §1819§ n − §2829§ ⌋ = m {\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m} ⁠, entonces se establecen las siguientes relaciones matemáticas: 85§ + φ n − §100101§ + ⋯ + φ n − §121122§ − §126127§ m + φ n − §144145§ − §149150§ m φ n − φ n − §181182§ = φ n − §201202§ . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}

Fracciones continuas y raíces cuadradas

La expresión matemática ⁠φ<!-- φ --> = §1213§ + §1617§ / φ {\displaystyle \varphi =1+1/\varphi } representa una relación fundamental.

Esto representa la forma más elemental de una fracción continua, presentada junto con su recíproco:

Los convergentes de estas fracciones continuas, específicamente ⁠{\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}⁠, ... o ⁠{\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}⁠, ⁠{\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}⁠, ..., representan proporciones de números de Fibonacci consecutivos. La lenta convergencia de estas aproximantes es atribuible a los términos consistentemente pequeños dentro de su continua expansión fraccionaria. En consecuencia, la proporción áurea ejemplifica un ejemplo extremo de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas. Esta desigualdad plantea que para cualquier número irracional ⁠{\displaystyle \xi }⁠, un número infinito de fracciones distintas ⁠{\displaystyle p/q}⁠ existen que satisfacen la condición:

En consecuencia, la constante ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ no se puede refinar más sin excluir explícitamente la proporción áurea. De hecho, representa el valor más pequeño que debe omitirse para lograr aproximaciones más precisas de estos números de Lagrange.

Una representación de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ como raíz cuadrada continua se puede derivar de la identidad fundamental ⁠φ<!-- φ --> §3233§ = §3839§ + φ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi } ⁠, lo que da como resultado la siguiente expresión: φ<!-- φ --> = §6869§ + §7576§ + §8182§ + ⋯ ) . {\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}

Relación con los números de Fibonacci y Lucas

Tanto los números de Fibonacci como los de Lucas exhiben una relación compleja con la proporción áurea. Dentro de la secuencia de Fibonacci, cada término, indicado como ${\displaystyle F_{n}}$, está determinada por la suma de sus dos términos anteriores, específicamente F n −<!-- − --> §3738§ {\displaystyle F_{n-1}} y F n −<!-- − --> §6465§ {\displaystyle F_{n-2}}. Esta secuencia comienza con los términos iniciales ⁠§8384§ , §8788§ {\displaystyle 0,1} ⁠, correspondiente a F §108109§ {\displaystyle F_{0}} y F §130131§ {\displaystyle F_{1}} , respectivamente.

La secuencia numérica de Lucas, un ejemplo específico dentro de la categoría más amplia de secuencias generalizadas de Lucas, comparte una característica fundamental con la secuencia de Fibonacci: cada término ${\displaystyle L_{n}}$ se deriva sumando los dos términos anteriores, específicamente Ln−<!-- − -->§3738§{\displaystyle L_{n-1}} y Ln<!-- − -->−§65<math alttext="{\displaystyle L_n}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">66§</math>{\displaystyle L_{n-2}}. Sin embargo, se distingue por comenzar con términos iniciales ⁠§8384§,§8788§{\displaystyle 2,1}⁠ para las posiciones 0 y 1, designadas como L§108109§{\displaystyle L_{0}} y L§130131§{\displaystyle L_{1}}, respectivamente.

En particular, la proporción áurea es equivalente al límite de las proporciones entre términos sucesivos en las secuencias numéricas de Fibonacci y Lucas, como lo demuestra la siguiente expresión matemática: limn→<!-- → -->∞<!-- ∞ -->Fn+§3031§Fn=limn→∞Ln+§6970§Ln=φ.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}

En consecuencia, cuando cualquier número de Fibonacci o Lucas se divide por su predecesor directo dentro de su secuencia respectiva, el cociente resultante se aproxima progresivamente a ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. Por ejemplo,

Estas aproximaciones exhiben un patrón alterno, siendo sucesivamente inferiores y superiores que ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. A medida que los números de Fibonacci y Lucas crecen, estas proporciones convergen hacia ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.

Las secuencias de Fibonacci y Lucas se pueden representar mediante expresiones de forma cerrada que incorporan la proporción áurea, de la siguiente manera:

F ( n ) = φ<!-- φ --> n −<!-- − --> ( −<!-- − --> φ<!-- φ --> ) −<!-- − --> n §5455§ = φ<!-- φ --> n −<!-- − --> ( §7879§ − φ ) n §9697§ = §105106§ §108109§ [ ( §124125§ + §130131§ §135136§ ) n − ( §157158§ − §164165§ §169170§ ) n ] , {\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}

Al combinar las fórmulas antes mencionadas, se obtiene una expresión para ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$⁠ se deriva, incorporando los números de Fibonacci y Lucas:

Se puede establecer una relación fundamental entre los números de Fibonacci y Lucas, específicamente ⁠L §1213§ n = §2021§ F n §2930§ + §3536§ ( − §4243§ ) n = L n §6263§ − §6970§ ( − §7677§ ) n {\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}} ⁠. Esta relación se simplifica aún más al demostrar que el límite del cociente de los números de Lucas por los números de Fibonacci converge a la raíz cuadrada de cinco.

De hecho, afirmaciones más sólidas son ciertas, como lo demuestran las siguientes identidades matemáticas: 72§ , ( §9293§ §94 L §103104§ n ) §117 = §123124§ ( §134135§ §136 F §145146§ n ) §159 + ( − §170171§ ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\a 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}

Las potencias secuenciales de la proporción áurea se adhieren a la relación de recurrencia de Fibonacci, expresada como: ⁠ φ<!-- φ --> n + §1718§ = φ n + φ n − §4445§ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}} ⁠.

Se puede lograr una expresión lineal en un solo paso mediante la aplicación de la siguiente identidad: φ<!-- φ --> n = F n φ<!-- φ --> + F n −<!-- − --> §3940§ . {\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}

Esta identidad específica permite la reducción de cualquier polinomio que involucre ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ en una expresión lineal, como lo demuestra el siguiente ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

Se puede derivar una fórmula análoga para la proporción áurea utilizando números de Fibonacci consecutivos a través de una suma infinita, expresada como: ∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ | F n φ − F n + §5253§ | = φ . {\displaystyle \sum _ {n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}

Específicamente, los poderes de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ números aproximados de Lucas cuando se redondean. Esta aproximación se cumple secuencialmente, con la excepción de las dos potencias iniciales, ⁠φ<!-- φ --> §3233§ {\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}} ⁠ y ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, que están ordenados de forma inversa:

16§ = §2526§ , φ §3839§ = 1.618033989 … ≈ §56 φ §69 = 2.618033989 … ≈ §8788§ , φ §100101§ = 4.236067978 … ≈ §118119§ , φ §131132§ = 6.854101967 … ≈ §149150§ , {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}

Además, los números de Lucas producen directamente poderes de la proporción áurea. Específicamente, para cualquier número entero ⁠n ≥<!-- ≥ --> §1213§ {\displaystyle n\geq 2} ⁠, se cumple la siguiente relación: $${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

La interconexión de los números de Lucas y la proporción áurea se demuestra además mediante la propiedad de que un número de Lucas se puede expresar como la suma de dos números de Fibonacci específicos: ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$⁠. Además, una identidad significativa relaciona el producto de un número de Lucas y un número de Fibonacci con otro número de Fibonacci: ⁠L n F n = F §8990§ n {\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!} ⁠.

Tanto la secuencia numérica de Fibonacci como la de Lucas son fundamentales para construir aproximaciones de la espiral áurea, un tipo específico de espiral logarítmica. Estas aproximaciones se forman típicamente empleando cuartos de círculo cuyos radios corresponden a términos de estas secuencias, lo que da como resultado formas que divergen sólo marginalmente de la verdadera espiral logarítmica áurea. La designación espiral de Fibonacci se aplica comúnmente a espirales que emulan espirales doradas mediante la utilización de cuadrados y cuartos de círculo secuenciados según los números de Fibonacci.

Geometría

La proporción áurea ocupa una posición importante dentro de la geometría. Su influencia es evidente en la simetría inherente del pentágono y constituye un componente de las coordenadas del vértice tanto para los dodecaedros regulares como para los icosaedros regulares. Además, la proporción áurea es un elemento clave en el triángulo de Kepler, los mosaicos de Penrose y muchos otros politopos.

Construcción

División por Punto Interior

1. Dado un segmento de línea ⁠${\displaystyle AB}$⁠, construye un segmento perpendicular ⁠${\displaystyle BC}$⁠ en el punto ⁠${\displaystyle B}$⁠, asegurando que la longitud de ⁠${\displaystyle BC}$⁠ es la mitad que ⁠${\displaystyle AB}$⁠. Posteriormente, dibuja la hipotenusa ⁠${\displaystyle AC}$⁠.
2. Construya un arco centrado en ⁠${\displaystyle C}$⁠ con un radio equivalente a ⁠${\displaystyle BC}$⁠. Este arco cortará la hipotenusa ⁠${\displaystyle AC}$⁠ en el punto ⁠${\displaystyle D}$⁠.
3. Se debe dibujar un arco con su centro en ⁠${\displaystyle A}$⁠ y un radio igual a ⁠${\displaystyle AD}$⁠. Este arco intersecará el segmento de línea inicial ⁠${\displaystyle AB}$⁠ en el punto ⁠${\displaystyle S}$⁠. En consecuencia, punto ⁠${\displaystyle S}$⁠ divide el segmento de línea original ⁠${\displaystyle AB}$⁠ en dos segmentos, ⁠${\displaystyle AS}$⁠ y ⁠${\displaystyle SB}$⁠, cuyas longitudes están en dorado proporción.

Método de división exterior

1. Primero, dibuja el segmento de línea ⁠A {\displaystyle AS}⁠. Desde el punto ⁠${\displaystyle S}$⁠, construye un segmento ⁠${\displaystyle SC}$⁠ que es perpendicular a ⁠${\displaystyle AS}$⁠ y posee la misma longitud que ⁠${\displaystyle AS}$⁠.
2. Diseccione el segmento de línea ⁠A {\displaystyle AS}⁠ en el punto ⁠${\displaystyle M}$⁠.
3. Un arco circular, centrado en ⁠${\displaystyle M}$⁠ y posee un radio de ⁠${\displaystyle MC}$⁠, intersecta la línea recta que pasa por puntos ⁠${\displaystyle A}$⁠ y ⁠${\displaystyle S}$⁠ (también conocida como la extensión de ⁠${\displaystyle AS}$⁠) en el punto ⁠${\displaystyle B}$⁠. En consecuencia, la proporción del segmento ⁠${\displaystyle AS}$⁠ al segmento recién construido ⁠${\displaystyle SB}$⁠ corresponde a la proporción áurea.

Los ejemplos de aplicaciones son evidentes en los artículos que analizan la construcción de un Pentágono con una longitud de lado específica, un Decágono con un círculo circunstante determinado y un Decágono con una longitud de lado específica.

Ambos algoritmos distintos descritos anteriormente generan construcciones geométricas que establecen dos segmentos de línea colineales, donde la relación entre el segmento más largo y el segmento más corto representa con precisión la proporción áurea.

Ángulo Dorado

Cuando un círculo completo se divide en dos ángulos cuyas medidas exhiben la proporción áurea, el menor de estos ángulos se denomina ángulo áureo, y su medida se denota como ⁠${\displaystyle g}$⁠.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\aprox 137,5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

Este ángulo específico se observa en los patrones de crecimiento de las plantas, donde representa el espacio óptimo para los brotes de las hojas que rodean los tallos de las plantas. Esta disposición es crucial para evitar que las hojas sucesivas den sombra a las hojas situadas debajo de ellas, maximizando así la exposición a la luz solar.

Sistema de simetría pentagonal

Pentágono y Pentagrama

Dentro de un pentágono regular, la proporción entre una diagonal y un lado corresponde a la proporción áurea, y las diagonales que se cruzan se dividen entre sí según esta misma proporción. Estas propiedades de la proporción áurea inherentes a un pentágono regular se pueden fundamentar aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero que resulta de la eliminación de un vértice. Suponiendo que el borde largo y las diagonales del cuadrilátero se denotan por ⁠un {\displaystyle a}⁠, y sus bordes cortos por ⁠b {\displaystyle b}⁠, el teorema de Ptolomeo produce la relación ⁠un §4849§ = b §5859§ + un b {\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab} ⁠. Dividiendo ambos lados de esta ecuación por ⁠un b {\displaystyle ab}⁠ da como resultado: $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

Los segmentos diagonales dentro de un pentágono regular delinean un pentagrama, una estrella polígono de cinco puntas, cuyas propiedades geométricas se caracterizan fundamentalmente por ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠. En particular, cada punto de intersección entre estos bordes divide los otros bordes según la proporción áurea. Específicamente, la relación entre el segmento más corto y el segmento definido por los dos bordes que se cruzan, que corresponde a un lado del pentágono invertido en el núcleo del pentagrama, es ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠.

Las geometrías pentagonales y pentagramáticas facilitan la determinación de los siguientes valores para ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠:

Triángulo dorado y gnomon dorado

La figura geométrica formada por dos diagonales y un solo lado de un pentágono regular se designa como triángulo áureo o triángulo sublime. Este triángulo isósceles agudo presenta un ángulo en el vértice de ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$⁠ y dos ángulos base, cada uno de los cuales mide ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$⁠. En particular, sus dos lados congruentes guardan una relación de proporción áurea con su base. Por el contrario, el triángulo compuesto por dos lados y una diagonal de un pentágono regular se denomina gnomon dorado. Este es un triángulo isósceles obtuso, caracterizado por un ángulo en el vértice de ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$⁠ y ángulos base de ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$⁠ cada uno. En este caso, la base se encuentra en una proporción áurea con sus dos lados iguales. En consecuencia, un pentágono regular se puede descomponer geométricamente en dos gnomons dorados y un triángulo dorado central. Además, los cinco vértices de un pentagrama regular están formados por triángulos áureos, al igual que los diez triángulos creados al conectar los vértices de un decágono regular con su punto central.

La bisección de uno de los ángulos de la base de un triángulo áureo da como resultado su subdivisión en un triángulo áureo más pequeño y un gnomon dorado. Si bien cualquier triángulo isósceles agudo se puede dividir de manera similar en un triángulo congruente y un triángulo isósceles obtuso, el triángulo áureo se distingue únicamente por ser el único en el que esta subdivisión se logra mediante una bisectriz de un ángulo. Esta propiedad distintiva surge porque es el único triángulo isósceles donde el ángulo de la base mide exactamente el doble de su ángulo del vértice. La bisectriz del ángulo áureo también divide el lado intersectado según la proporción áurea, y las áreas de los dos segmentos resultantes también mantienen esta proporción áurea.

Cuando se triseca el ángulo del vértice de un gnomon dorado, la línea trisector nuevamente lo divide en un gnomon dorado más pequeño y un triángulo dorado. Este trisector también subdivide la base en la proporción áurea, y las dos secciones resultantes exhiben áreas que también están en la proporción áurea. De manera análoga, cualquier triángulo obtuso se puede dividir en un triángulo similar y un triángulo isósceles agudo; sin embargo, el gnomon dorado es único porque esta subdivisión se logra mediante un trisector de ángulo. Esto se debe a su distinción como el único triángulo isósceles cuyo ángulo en el vértice es tres veces la medida de su ángulo en la base.

Tejidos de Penrose

La proporción áurea es una característica destacada dentro del mosaico de Penrose, una clase de mosaicos planos aperiódicos concebidos por Roger Penrose. Este desarrollo se inspiró en la observación de Johannes Kepler de que los pentagramas, decágonos y otras formas geométricas podían llenar eficazmente los espacios intersticiales que dejaban las formas pentagonales cuando se disponían en un patrón de mosaico. Se han investigado múltiples variaciones de este mosaico, todas las cuales incorporan prototipos que exhiben la proporción áurea.

• La iteración inicial de Penrose de este mosaico empleó cuatro formas distintas: pentágonos regulares, pentagramas, figuras de "barco" (caracterizadas por tres puntas de un pentagrama) y rombos en forma de "diamante".
• El mosaico de Penrose, específicamente la variante de cometa y dardo, incorpora dos tipos distintos de mosaicos. Las cometas son cuadriláteros caracterizados por tres ángulos interiores que miden ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$⁠ y un ángulo interior de ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠. Los dardos son cuadriláteros cóncavos que presentan dos ángulos interiores de ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$⁠, un ángulo de ⁠$88§∘$⁠, y un único ángulo no convexo que mide ⁠${\displaystyle 216^{\circ }\!}$⁠. Reglas de coincidencia específicas rigen cómo estos mosaicos pueden unirse en sus bordes, lo que lleva a siete configuraciones de vértices distintas. Tanto las cometas como los dardos poseen lados de dos longitudes diferentes, que están relacionadas por la proporción áurea. Además, las áreas de estas dos formas de mosaico también exhiben una relación de proporción áurea.
• Cada mosaico de cometa y dardo se puede dividir en dos a lo largo de su eje de simetría, lo que produce un par de triángulos dorados y gnomons dorados, respectivamente. Cuando se aplican reglas de coincidencia apropiadas, estos triángulos, denominados triángulos de Robinson en este contexto, son capaces de servir como prototipos para una variante específica del mosaico de Penrose.
• El mosaico rómbico de Penrose se compone de dos tipos distintos de rombos. El primero es un rombo delgado, caracterizado por ángulos interiores de ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$⁠ y ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠. El segundo es un rombo grueso, que posee ángulos de ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$⁠ y ⁠${\displaystyle 108^{\circ }\!}$⁠. Si bien todas las longitudes de los lados son uniformes, la relación entre la longitud de los lados y la diagonal corta en el rombo delgado es ⁠§111112§:φ{\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }⁠, una relación también observada entre la longitud del lado y la diagonal larga del rombo grueso. De manera consistente con el mosaico de cometa y dardo, las áreas de estas dos formas rómbicas también están relacionadas por la proporción áurea. Además, estos rombos también se pueden desagregar en pares de triángulos de Robinson.

Acerca de triángulos y cuadriláteros

Construcción geométrica de Odom

George Odom ideó una construcción geométrica para ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ utilizando un triángulo equilátero. En esta construcción, si el segmento de línea que conecta los puntos medios de dos lados se extiende hasta que intersecta el círculo circunstante, los dos puntos medios y el punto de intersección en el círculo exhibirán una proporción áurea.

El Triángulo de Kepler

El triángulo de Kepler, llamado así en honor a Johannes Kepler, se distingue por ser el único triángulo rectángulo cuyas longitudes de lados forman una progresión geométrica: $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$ Estas longitudes de lados específicas corresponden a las tres medias pitagóricas derivadas de los dos números ⁠${\displaystyle \varphi \pm 1}$⁠. Además, las áreas de los tres cuadrados construidos en sus lados exhiben una progresión geométrica áurea, específicamente ⁠§8081§:φ<!-- φ -->:φ<!-- φ -->§9899§{\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}⁠.

Dentro de la clase de triángulos isósceles, la relación máxima entre el radio y la longitud del lado se logra mediante un triángulo específico construido a partir de dos triángulos de Kepler reflejados que comparten su cateto más largo. Este triángulo isósceles idéntico también optimiza la relación entre el radio de un semicírculo colocado en su base y su perímetro general.

Para un triángulo de Kepler caracterizado por la longitud de su lado más pequeño, denotado como ⁠${\displaystyle s}$⁠, el área y las medidas de sus ángulos internos agudos están determinadas por las siguientes expresiones: 40§ §4142§ s §5051§ φ + , θ = sin − §9394§ ⁡ §102103§ φ ≈ 38.1727 ∘ , θ = cos − §145146§ ⁡ §154155§ φ ≈ 51.8273 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\aprox 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\aprox 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}

Rectángulo Dorado

Las longitudes de los lados adyacentes de un rectángulo áureo están proporcionadas de acuerdo con ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠, que es la proporción áurea. Cuando se eliminan o agregan cuadrados a los rectángulos dorados, los rectángulos resultantes mantienen la ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ relación. Estos rectángulos se pueden construir utilizando espirales doradas, que se forman organizando secuencialmente cuadrados y cuartos de círculo de tamaño según los números de Fibonacci y Lucas. Los rectángulos áureos están notablemente presentes en las estructuras geométricas tanto del icosaedro como del dodecaedro.

Rombo dorado

Un rombo áureo se define como un rombo en el que las longitudes de sus diagonales son proporcionales a la proporción áurea, normalmente representada como ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠. Para un rombo que exhibe estas proporciones específicas, sus ángulos internos agudos y obtusos se determinan de la siguiente manera:

29§ φ ≈ 63.43495 ∘ , β = §6497§ + arctan ⁡ §105106§ ≈ 116.56505 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}

Las dimensiones de su diagonal más corta, denotadas como ⁠${\displaystyle d}$⁠, y su diagonal más larga, representada por ⁠${\displaystyle D}$⁠, se puede expresar en relación con la longitud del lado ⁠${\displaystyle a}$⁠ de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\aproximadamente 1,70130a.\end{aligned}}}$$

Su área se expresa en términos de ⁠${\displaystyle a}$⁠ y ⁠${\displaystyle d}$⁠:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\aprox 0,80902d^{2}.\end{aligned}}}$

El inradio del rombo dorado, expresado en términos de la longitud de su lado ⁠${\displaystyle a}$⁠, viene dado por:

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

Los rombos dorados constituyen las caras de varios poliedros, incluido el triacontaedro rómbico, los dos romboedros dorados, el dodecaedro de Bilinski y el hexecontaedro rómbico.

Vesica piscis

Cuando los dos círculos que forman una vesica piscis están rodeados cada uno por dos círculos concéntricos de doble radio, los dos círculos exteriores más grandes se vuelven tangentes a los dos círculos interiores más pequeños en los puntos ${\displaystyle E}$ y ${\displaystyle F}$, como se ilustra. Estos círculos exteriores también se cruzan, creando una forma de lente distinta de la vesica piscis debido a su ángulo diferente. Dentro de esta configuración, el segmento de línea ${\displaystyle {\overline {XC}}}$, que se extiende desde un punto de intersección ${\displaystyle C}$ de los círculos internos al punto de intersección opuesto ${\displaystyle X}$ del exterior círculos, se divide según la proporción áurea por el punto ${\displaystyle D}$, que representa la segunda intersección de los dos círculos internos.

Espiral dorada

Las espirales logarítmicas se caracterizan por su autosemejanza, donde la distancia recorrida por revolución progresa geométricamente. Específicamente, una espiral logarítmica se designa como espiral áurea cuando su radio se expande en un factor equivalente a la proporción áurea por cada cuarto de vuelta. Estas espirales se pueden aproximar utilizando cuartos de círculo que escalan según la proporción áurea, o mediante aproximaciones derivadas de los números de Fibonacci, frecuentemente ilustrados como inscritos dentro de una disposición en espiral de cuadrados que exhiben la misma proporción de crecimiento. La forma espiral logarítmica precisa de la espiral dorada se define matemáticamente mediante la ecuación polar, usando las coordenadas ⁠${\displaystyle (r,\theta )}$⁠: r=φ<!-- φ -->§4243§θ/π.{\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}

Es importante tener en cuenta que no todas las espirales logarítmicas están asociadas con la proporción áurea, ni tampoco Todas las espirales vinculadas a la proporción áurea comparten la morfología idéntica de la espiral áurea. Por ejemplo, una espiral logarítmica distinta, que encierra una serie anidada de triángulos isósceles áureos, muestra un crecimiento según la proporción áurea para cada ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$⁠ de rotación, en contraste con el ⁠${\displaystyle 90^{\circ }}$⁠ ángulo de giro característico de la espiral dorada. Además, una variante denominada "mejor espiral dorada" demuestra un crecimiento según la proporción áurea en cada media vuelta, en lugar de cada cuarto de vuelta.

Dodecaedro e icosaedro

El dodecaedro regular y su poliedro dual, el icosaedro, son sólidos platónicos caracterizados por dimensiones intrínsecamente ligadas a la proporción áurea. Un dodecaedro comprende ⁠${\displaystyle 12}$⁠ caras pentagonales regulares, mientras que un icosaedro presenta ⁠§2526§{\displaystyle 20}⁠ caras triangulares equiláteras; ambos poliedros poseen ⁠${\displaystyle 30}$⁠ bordes.

Para un dodecaedro con una longitud lateral de ⁠${\displaystyle a}$⁠, los radios de su esfera circunscrita, esfera inscrita y su radio medio se denotan como ⁠${\displaystyle r_{u}}$⁠, ⁠${\displaystyle r_{i}}$⁠ y ⁠${\displaystyle r_{m}}$⁠, respectivamente:

De manera similar, para un icosaedro con una longitud lateral de ⁠${\displaystyle a}$⁠, el radio de la esfera circunscrita, el radio de la esfera inscrita y el radio medio se definen de la siguiente manera:

El volumen y el área de superficie de un dodecaedro se pueden cuantificar usando expresiones que incorporan ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠.

De manera análoga, el volumen y el área de superficie de un icosaedro también se pueden expresar de esta manera:

Estos parámetros geométricos se pueden derivar de sus respectivas coordenadas cartesianas, que a su vez se pueden formular usando expresiones que involucran ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. Mientras que las coordenadas del dodecaedro se ilustran en la figura adyacente, las del icosaedro se presentan de la siguiente manera:

( §89§ , ± §1516§ , ± φ ) , ( ± §3637§ , ± φ , §4849§ ) , ( ± φ , §6667§ , ± §7374§ ) . {\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}

Tanto dentro de los dodecaedros como de los icosaedros, tres rectángulos áureos se cruzan perpendicularmente, formando así anillos borromeos. En los dodecaedros, los pares opuestos de vértices de estos rectángulos áureos coinciden con los centros de las caras pentagonales. Por el contrario, en los icosaedros, estos vértices convergen en los propios vértices del poliedro. En conjunto, estos tres rectángulos dorados abarcan todo ⁠${\displaystyle 12}$⁠ vértices del icosaedro, que es geométricamente equivalente a intersectar los centros de todos los ⁠${\displaystyle 12}$⁠ caras del dodecaedro.

Un cubo puede inscribirse dentro de un dodecaedro regular, donde ciertas diagonales de las caras pentagonales del dodecaedro funcionan como las aristas del cubo, lo que da como resultado longitudes de aristas que se adhieren a la proporción áurea. El volumen de este cubo inscrito es ⁠§78§ / ( §1516§ + φ ) {\displaystyle 2/(2+\varphi )} ⁠ veces el volumen del dodecaedro. Además, los rectángulos áureos situados dentro de un dodecaedro exhiben proporciones áureas en relación con un cubo inscrito; específicamente, los bordes del cubo y los bordes más largos de un rectángulo áureo mantienen un ⁠φ<!-- φ --> : φ<!-- φ --> §5354§ {\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}} ⁠ relación. Por el contrario, un octaedro, que sirve como poliedro dual del cubo, es capaz de inscribir un icosaedro. En esta configuración, la ⁠${\displaystyle 12}$⁠ los vértices del icosaedro hacen contacto con el ⁠${\displaystyle 12}$⁠ bordes del octaedro en puntos que subdivida estos bordes según la proporción áurea.

Propiedades adicionales

La expansión decimal de la proporción áurea se puede determinar utilizando algoritmos de búsqueda de raíces, incluido el método de Newton o el método de Halley. Estos métodos se aplican a la ecuación cuadrática ⁠{\displaystyle \textstyle x^2-x-1=0} o, alternativamente, a⁠{\displaystyle \textstyle x^2-5=0}, lo que requiere un cálculo inicial de⁠{\displaystyle {\sqrt {5}}}. La complejidad computacional para derivar⁠{\displaystyle n} dígitos de la proporción áurea mediante el método de Newton es aproximadamente⁠{\displaystyle O(M(n))}. En este contexto,⁠{\displaystyle M(n)} representa la complejidad temporal asociada con la multiplicación de dos⁠{\displaystyle n}enteros de dígitos. Esta eficiencia computacional supera significativamente la de los algoritmos establecidos utilizados para calcularπ y e. Un método alternativo, fácilmente implementable, que emplea exclusivamente aritmética de enteros, implica calcular dos grandes números de Fibonacci consecutivos y posteriormente determinar su relación. Específicamente, la proporción de los números de Fibonacci ⁠{\displaystyle F_{25001}} y⁠{\displaystyle F_{25000}}, donde cada número comprende más de⁠{\displaystyle 5000} dígitos, proporciona más de⁠{\displaystyle 10,000} dígitos significativos para la proporción áurea. Hasta la fecha, laexpansión decimal de la proporción áurea, denotada como ⁠{\displaystyle \varphi }, se ha calculado con una precisión que se extiende a veinte billones (⁠{\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}) dígitos.

En el plano complejo, las raíces quintas de la unidad, expresadas como ⁠z = e §1617§ π k i / §2930§ {\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}} ⁠ (donde ⁠${\displaystyle k}$⁠ es un número entero) y satisface la condición ⁠z §7374§ = §7980§ {\displaystyle \textstyle z^{5}=1} ⁠, forman geométricamente los vértices de un pentágono regular. Aunque estas raíces no constituyen un anillo de números enteros cuadráticos, la suma de cualquier raíz quinta de la unidad y su conjugado complejo, denotada como ⁠${\displaystyle z+{\bar {z}}}$⁠, se se clasifica como un entero cuadrático, específicamente un elemento de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠. Más detalles se proporcionan a continuación.

15§ + e − §2728§ = §37 e §49 + e − §73 = φ − §102103§ = − §111112§ + φ , e §128129§ π yo / §139140§ + e − §152153§ π yo / §163164§ = − φ . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}

Este principio se aplica de manera similar a las décimas raíces de la unidad restantes, que satisfacen la ecuación ⁠z §1213§ = §1819§ {\displaystyle \textstyle z^{10}=1} ⁠.

169§ = §174175§ − φ . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}

Para la función gamma, indicada como ⁠ ${\displaystyle \Gamma }$⁠, la ecuación ⁠Γ<!-- Γ --> ( z −<!-- − --> §3637§ ) = Γ ( z + §5152§ ) {\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)} ⁠ posee precisamente dos soluciones: ⁠${\displaystyle z=\varphi }$⁠ y ⁠z = −<!-- − --> φ<!-- φ --> −<!-- − --> §110111§ {\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}} ⁠.

En sistemas numéricos que emplean la proporción áurea como base, también conocido como finario o ⁠φ<!-- φ --> {\displaystyle \varphi }⁠-nary, enteros cuadráticos pertenecientes al anillo ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠: específicamente, números expresados en la forma ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$⁠ donde ⁠un {\displaystyle a}⁠ y ⁠b {\displaystyle b}⁠ son números enteros de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠: exhiben representaciones terminantes, mientras que las fracciones racionales invariablemente dan como resultado representaciones no terminantes.

Además, la proporción áurea se manifiesta dentro de la geometría hiperbólica, específicamente como la distancia máxima desde un punto en un lado de un triángulo ideal hasta el más cercano de sus dos lados restantes. Esta distancia específica, que también corresponde a la longitud del lado del triángulo equilátero formado por los puntos de tangencia de un círculo inscrito dentro del triángulo ideal, es precisamente ⁠§78§ iniciar sesión ⁡<!-- ⁡ --> ( φ<!-- φ --> ) {\displaystyle 4\log(\varphi )}⁠.

La proporción áurea también es evidente dentro de la teoría de funciones modulares. Específicamente, para 19§ , {\displaystyle |q|<1,} , considere la siguiente definición:

138§ − R ( − e − a ) ) ( φ − §196197§ − R ( − e − b ) ) = φ − §255256§ §261262§ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}

La proporción áurea, representada por ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, se clasifica como un número de Pisot-Vijayaraghavan.

Aplicaciones y observaciones

Arquitectura

El renombrado arquitecto suizo Le Corbusier, una figura fundamental en el desarrollo del estilo internacional moderno, estructuró su filosofía de diseño en torno a principios de armonía y proporción. Su profunda creencia en el orden matemático del universo estaba intrínsecamente ligada a la proporción áurea y la secuencia de Fibonacci. Los caracterizó como "ritmos aparentes a la vista y claros en sus relaciones entre sí", afirmando que "estos ritmos están en la raíz misma de las actividades humanas. Resuenan en el hombre por una inevitabilidad orgánica, la misma sutil inevitabilidad que provoca que los niños, los ancianos, los salvajes y los eruditos tracen la Sección Áurea".

Le Corbusier integró explícitamente la proporción áurea en su sistema Modulor, un marco para la proporción arquitectónica. Conceptualizó este sistema como una extensión de un linaje histórico, que abarca figuras como Vitruvio, el "Hombre de Vitruvio" de Leonardo da Vinci y León Battista Alberti, todos los cuales emplearon proporciones del cuerpo humano para mejorar la estética y la funcionalidad arquitectónicas.

Más allá de la proporción áurea, el sistema de Le Corbusier incorporó medidas antropométricas humanas, números de Fibonacci y la unidad doble. Extendió significativamente la aplicación de la proporción áurea a las proporciones humanas: dividió la altura de su cuerpo humano idealizado en el ombligo, asegurándose de que las dos secciones resultantes estuvieran en proporción áurea. Posteriormente, subdividió aún más estas secciones en las rodillas y la garganta, adhiriéndose nuevamente a las proporciones áureas, y las integró en el sistema Modulor. Un ejemplo notable de la implementación del sistema Modulor es la Villa Stein de 1927 de Le Corbusier en Garches. La planta rectangular de la villa, su elevación y sus elementos estructurales internos exhiben aproximaciones cercanas a los rectángulos dorados.

Mario Botta, otro destacado arquitecto suizo, con frecuencia basa sus diseños en principios geométricos. Numerosas residencias privadas que concibió en Suiza presentan composiciones de cuadrados y círculos, además de cubos y cilindros. En concreto, en una casa que diseñó en Origlio, la proporción áurea define la relación proporcional entre las secciones central y lateral de la estructura.

Arte

Las ilustraciones poliédricas de Leonardo da Vinci dentro de Divina proporcionale de Pacioli han provocado especulaciones sobre su posible integración de la proporción áurea en sus obras pictóricas. Sin embargo, las afirmaciones que sugieren, por ejemplo, que su Mona Lisa utiliza proporciones áureas carecen de fundamento en la documentación personal de Leonardo. Asimismo, a pesar de la frecuente asociación del Hombre de Vitruvio de Leonardo con la proporción áurea, las proporciones reales de la figura no se alinean con ella; el texto adjunto hace referencia exclusivamente a proporciones de números enteros.

Salvador Dalí, notablemente influenciado por la erudición de Matila Ghyka, aplicó abiertamente la proporción áurea en su obra fundamental, El Sacramento de la Última Cena. El lienzo en sí se ajusta a las dimensiones de un rectángulo dorado. Un dodecaedro colosal, representado en perspectiva para exhibir bordes en proporción áurea entre sí, está colocado encima y detrás de Jesús, sirviendo como elemento compositivo dominante. El artista futurista Almada Negreiros también empleó construcciones geométricas que incorporan la proporción áurea en una variedad de sus creaciones artísticas.

Un análisis estadístico realizado en 1999 de 565 obras de arte de pintores destacados reveló que estos artistas no empleaban consistentemente la proporción áurea en las dimensiones de sus lienzos. El estudio determinó que la relación de aspecto promedio de las pinturas examinadas era aproximadamente ⁠${\displaystyle 1.34}$⁠, con promedios de artistas individuales que varían de ⁠${\displaystyle 1.04}$⁠ (Goya) a ⁠${\displaystyle 1.46}$⁠ (Bellini). Por el contrario, Pablo Tosto documentó más de 350 obras de artistas de renombre, incluidos más de 100 lienzos que exhiben rectángulo áureo y ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ proporciones, junto con otras que presentan proporciones como ⁠§8586§ {\displaystyle {\sqrt {2}}} ⁠, ⁠${\displaystyle 3}$⁠, ⁠${\displaystyle 4}$⁠, y ⁠${\displaystyle 6}$⁠.

Libros y Diseño

Jan Tschichold afirmó que:

Históricamente, desviaciones de las proporciones ideales de la página, como ⁠§89§ : §1415§ {\displaystyle 2\mathbin {:} 3} ⁠, ⁠§3233§ : §3940§ {\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}} ⁠, y la Sección Áurea, eran poco comunes. Numerosos libros publicados entre 1550 y 1770 exhiben precisamente estas proporciones, con una precisión de medio milímetro.

Ciertas fuentes sugieren que la proporción áurea se incorpora en varios diseños cotidianos, incluidas las proporciones de naipes, postales, carteles, placas de interruptores de luz y televisores de pantalla ancha.

Banderas

Según se informa, el diseñador de la bandera togolesa pretendía que su relación de aspecto (ancho a alto) correspondiera a la proporción áurea.

Música

El análisis de Ernő Lendvai postula que las composiciones de Béla Bartók se estructuran sobre dos marcos contrastantes: la proporción áurea y la escala acústica; sin embargo, otros musicólogos cuestionan esta interpretación. El compositor francés Erik Satie incorporó la proporción áurea en varias composiciones, como las Sonneries de la Rose+Croix. Además, la proporción áurea es evidente en la organización seccional de Reflets dans l'eau (Reflejos en el agua) de Debussy, de Imágenes (primera serie, 1905), donde "la secuencia de claves está marcada por los intervalos 34, 21, 13 y 8, y el clímax principal se sitúa en la posición phi".

El musicólogo Roy Howat ha observado que las divisiones estructurales de La Mer de Debussy se alinean precisamente con la sección áurea. Si bien Trezise considera que esta evidencia interna es "notable", advierte que ninguna evidencia documentada o anecdótica indica la aplicación deliberada de estas proporciones por parte de Debussy.

Los teóricos de la música, en particular Hans Zender y Heinz Bohlen, han explorado la escala de 833 centavos, un sistema musical que utiliza la proporción áurea como intervalo fundamental. En la escala logarítmica de centavos para intervalos musicales, la proporción áurea se aproxima a 833,09 centavos.

Naturaleza

Johannes Kepler afirmó que "la imagen del hombre y de la mujer surge de la proporción divina. En mi opinión, la propagación de las plantas y los actos progenitores de los animales están en la misma proporción".

Adolf Zeising, un psicólogo, observó la presencia de la proporción áurea en la filotaxis, afirmando posteriormente que estos patrones naturales indicaban su estatus como una ley universal. En 1854, Zeising articuló un principio ortogenético universal caracterizado por una "lucha por la belleza y la plenitud tanto en los ámbitos de la naturaleza como del arte".

Por el contrario, ciertos estudiosos sostienen que numerosas supuestas apariciones de la proporción áurea en los fenómenos naturales, particularmente en lo que respecta a la morfología animal, carecen de validación empírica.

Física

El ferroimán de Ising casi unidimensional ${\textstyle {\ce {CoNb2O6}}}$ (niobato de cobalto) exhibe ⁠${\displaystyle 8}$⁠ estados de excitación predichos que poseen ⁠${\displaystyle E_{8}}$⁠ simetría. Los experimentos de dispersión de neutrones revelaron que los dos estados más bajos se manifestaban en la proporción áurea. Más precisamente, las transiciones de fase cuántica que ocurren durante la excitación del espín a temperaturas cercanas al cero absoluto demostraron pares de torceduras que pasan de una fase ordenada a cambios de espín en una fase paramagnética. Este fenómeno, observado justo debajo del campo crítico, reveló una dinámica de espín caracterizada por modos agudos a bajas energías que convergen hacia la media dorada.

Optimización

Aún no se ha descubierto un algoritmo general para distribuir uniformemente un número específico de nodos a través de una superficie esférica, de acuerdo con varias definiciones de distribución uniforme. Sin embargo, se puede lograr una aproximación efectiva dividiendo la esfera en bandas paralelas de área de superficie equivalente y colocando un solo nodo dentro de cada banda en longitudes separadas por una sección áurea del círculo, específicamente ⁠${\displaystyle 360^{\circ }~\!/\varphi \approx 222.5^{\circ }\!}$⁠. Esta técnica se empleó para la disposición de ⁠${\displaystyle 1500}$⁠ espejos en el satélite estudiantil Starshine-3.

Además, la proporción áurea constituye un componente fundamental del algoritmo de búsqueda de la sección áurea.

Observaciones impugnadas

Los siguientes casos representan ejemplos de observaciones controvertidas sobre la proporción áurea:

• Con frecuencia se afirma que proporciones particulares dentro de los cuerpos de los vertebrados, incluidos los de los humanos, se adhieren a la proporción áurea; por ejemplo, se ha propuesto que la relación entre los sucesivos huesos falángicos y metacarpianos (huesos de los dedos) se aproxima a este valor. Sin embargo, las mediciones reales de estos elementos anatómicos exhiben una variación individual sustancial, y las proporciones reportadas a menudo difieren considerablemente de la proporción áurea.
• Con frecuencia se afirma que las conchas de moluscos, como las del nautilo, exhiben la proporción áurea. Si bien el crecimiento de la concha del nautilo sigue una espiral logarítmica, ocasionalmente, e incorrectamente, se afirma que todas las espirales logarítmicas están vinculadas a la proporción áurea, o que cada cámara posterior mantiene una proporción áurea en relación con su predecesora. Sin embargo, las mediciones empíricas de conchas de nautilos no corroboran estas afirmaciones.
• El historiador John Man afirma que tanto las páginas como el área de texto de la Biblia de Gutenberg estaban "basados en la forma de la sección áurea". Sin embargo, sus propias medidas indican que la relación alto-ancho de las páginas es ⁠${\displaystyle 1.45}$⁠.
• Las investigaciones psicológicas, iniciadas por Gustav Fechner c. 1876, tenían como objetivo determinar si la proporción áurea influye en la percepción estética humana. Aunque Fechner observó una preferencia por proporciones rectangulares que se aproximaban a la proporción áurea, los exámenes rigurosos posteriores de esta hipótesis han arrojado, en el mejor de los casos, resultados ambiguos.
• Dentro del campo de la inversión, ciertos profesionales del análisis técnico emplean la proporción áurea para identificar niveles de soporte de precios o resistencia a la apreciación de precios de acciones o materias primas. Tras importantes fluctuaciones de precios, supuestamente se establecen nuevos umbrales de soporte y resistencia a valores derivados del precio inicial utilizando la proporción áurea. Además, la aplicación de la proporción áurea en las estrategias de inversión está vinculada a patrones intrincados delineados por los números de Fibonacci, como el principio de onda de Elliott y el retroceso de Fibonacci. Sin embargo, análisis de mercado alternativos han presentado hallazgos que indican una falta de apoyo empírico para estos porcentajes y patrones.

Pirámides de Egipto

Los piramidólogos han postulado que la Gran Pirámide de Giza, también conocida como Pirámide de Keops o Keops, posee un triángulo de Kepler duplicado como sección transversal. Según esta hipótesis, la proporción áurea definiría la relación entre la distancia desde el punto medio de un lado de una pirámide hasta su vértice y la distancia desde el mismo punto medio hasta el centro de la base de la pirámide. Sin embargo, las imprecisiones en las mediciones, en parte atribuibles a la erosión de la carcasa exterior de la pirámide, impiden la diferenciación definitiva de esta teoría de interpretaciones numéricas alternativas de las proporciones de la pirámide, que se basan en pi o proporciones enteras. La opinión académica predominante afirma que las proporciones de esta pirámide no se basan en la proporción áurea, ya que tal base contradiría tanto la comprensión documentada de las matemáticas egipcias durante su período de construcción como los principios arquitectónicos y proporcionales evidentes en otras estructuras egipcias.

El Partenón

Algunos defensores sugieren que la fachada del Partenón (alrededor del 432 a. C.), junto con varios otros componentes arquitectónicos, está rodeada por rectángulos dorados. Por el contrario, otros académicos cuestionan cualquier conexión estética entre los antiguos griegos y la proporción áurea. Por ejemplo, Keith Devlin afirma: "La afirmación frecuentemente reiterada de que el Partenón de Atenas incorpora la proporción áurea no está respaldada por mediciones empíricas. De hecho, toda la narrativa sobre los griegos y la proporción áurea parece carecer de fundamento". Midhat J. Gazalé afirma además que "Las propiedades matemáticas de la proporción áurea no fueron investigadas hasta la era de Euclides".

Un análisis de 15 templos, 18 tumbas monumentales, 8 sarcófagos y 58 estelas funerarias que datan del siglo V a. C. al siglo II d. C. llevó a un investigador a concluir que la proporción áurea estuvo completamente ausente en la arquitectura griega clásica del siglo V a. C. y en gran medida ausente durante los seis siglos siguientes. Los relatos históricos posteriores, como los de Vitruvio (siglo I a. C.), se centran exclusivamente en proporciones expresables como números enteros, enfatizando así proporciones conmensurables en lugar de irracionales.

Arte Moderno

La Sección de Oro (que significa "Sección Dorada") estaba compuesta por un colectivo de pintores, escultores, poetas y críticos vinculados a los movimientos cubista y orfista. Activo desde 1911 hasta aproximadamente 1914, el grupo adoptó esta designación para enfatizar la continuidad del cubismo dentro de una tradición artística significativa, en lugar de su aislamiento, y para honrar la armonía matemática a menudo atribuida a Georges Seurat. Aunque algunos autores han afirmado que Seurat incorporó la proporción áurea en sus obras de arte, sus propios escritos y pinturas indican una preferencia por proporciones de números enteros simples, lo que sugiere que cualquier aproximación percibida de la proporción áurea fue simplemente una coincidencia. Los cubistas percibieron en estas armonías, y en la estructuración geométrica del movimiento y la forma, "la primacía de la idea sobre la naturaleza" y "una absoluta claridad científica de concepción". A pesar de este interés general por la armonía matemática, sigue siendo un desafío determinar si las composiciones de pinturas expuestas en el renombrado Salón de la Sección de Oro de 1912 utilizaron de manera demostrable la proporción áurea. Livio, por ejemplo, sostiene que no fue así, sentimiento del que se hizo eco Marcel Duchamp en una entrevista. Por el contrario, un análisis implica que Juan Gris aplicó la proporción áurea al componer obras que probablemente, aunque no definitivamente, se exhibieron en la exposición. El historiador de arte Daniel Robbins ha planteado que, más allá de su connotación matemática, el nombre de la exposición también alude al grupo anterior Bandeaux d'Or, que incluía a Albert Gleizes y otros antiguos miembros de la Abbaye de Créteil.

A menudo se cita a Piet Mondrian por emplear ampliamente la sección áurea en sus pinturas geométricas; sin embargo, otros expertos, incluido el crítico Yve-Alain Bois, han refutado estas afirmaciones.

Lista de obras diseñadas con la proporción áurea

• Lista de obras diseñadas con la proporción áurea
• Media metálica
• Proporción de plástico
• Geometría Sagrada
• Superproporción áurea
• Proporción de plata

Referencias

Notas explicativas al pie

Citas

Obras citadas

• Weisstein, Eric W. "Proporción áurea". MathWorld.
• Bogomolny, Alexander (2018). "Proporción áurea en geometría". Cortar-el-nudo.Knott, Ron. "La proporción de la sección áurea: Phi."
• Munroe, Randall. "Espurias espirales doradas". Una colección de ejemplos.
• Una conferencia en línea que explora el problema de los ratones de Zenón y las espirales logarítmicas.