تونل زنی کوانتومی (Quantum tunnelling)

در فیزیک، تونل زنی کوانتومی، نفوذ مانع، یا به سادگی تونل زنی یک پدیده مکانیکی کوانتومی است که در آن جسمی مانند الکترون یا اتم…

در فیزیک، تونل زنی کوانتومی، همچنین به عنوان نفوذ مانع یا به سادگی تونل زنی شناخته می شود، یک پدیده مکانیکی کوانتومی را توصیف می کند که در آن یک ذره، مانند الکترون یا اتم، با وجود نداشتن انرژی مکانیکی کلاسیک مورد نیاز برای عبور از یک سد انرژی پتانسیل عبور می کند.

در فیزیک، تونل زنی کوانتومی، نفوذ مانع، یا به سادگی تونل زنی یک پدیده مکانیکی کوانتومی است که در آن جسمی مانند الکترون یا اتم از یک سد انرژی پتانسیل عبور می کند که طبق مکانیک کلاسیک، نباید به دلیل عبور از جسم، مازاد انرژی قابل عبور داشته باشد یا از آن عبور کند. مانع.

این پدیده از دوگانگی موج-ذره ماده و اصل عدم تعین کوانتومی ناشی می شود. تابع موج کوانتومی حالت های یک ذره یا سیستم فیزیکی را مشخص می کند، با معادلات موجی مانند معادله شرودینگر که تکامل زمانی آنها را به تفصیل شرح می دهد. در سیستمی که دارای یک مانع پتانسیل کوتاه و باریک است، کسری از تابع موج می‌تواند فراتر از مانع ظاهر شود، که نشان‌دهنده احتمال تونل‌زنی است.

احتمال عبور یک بسته موج از یک مانع با افزایش ارتفاع مانع، عرض و جرم ذرات تونل به‌طور تصاعدی کاهش می‌یابد. در نتیجه، تونل زنی در ذرات کم جرم، مانند الکترون ها، بیشتر مشهود است، زیرا آنها به موانع اتمی باریک نفوذ می کنند. با این وجود، تونل‌زنی با پروتون‌ها و حتی کل اتم‌ها مشاهده شده است، و از آن برای روشن کردن اثرات فیزیکی مربوط به ذرات این مقیاس‌های بزرگتر استفاده شده است.

تونل‌سازی برای پدیده‌های فیزیکی مختلف، از جمله همجوشی هسته‌ای و واپاشی آلفا رادیواکتیو هسته‌های اتمی، اساسی است. کاربردهای آن شامل دیود تونل، محاسبات کوانتومی، حافظه فلش و میکروسکوپ تونل زنی اسکن می شود. علاوه بر این، تونل‌سازی محدودیتی اساسی برای کوچک‌سازی دستگاه‌های میکروالکترونیکی ایجاد می‌کند، زیرا الکترون‌ها می‌توانند به آسانی از لایه‌های عایق و ترانزیستورهای نازک‌تر از تقریباً 1 نانومتر تونل بزنند.

این اثر از نظر تئوری در اوایل قرن بیستم پیش‌بینی شد و به‌عنوان یک پدیده بنیادی مایل به‌طور گسترده‌ای پذیرفته شد.

چارچوب مفهومی

تونل زنی کوانتومی یک مفهوم اصلی در مکانیک کوانتومی است. برای نشان دادن این پدیده، می‌توان ذراتی را در نظر گرفت که تلاش می‌کنند از یک مانع بالقوه عبور کنند، مشابه توپی که تلاش می‌کند از روی تپه غلت بزند. مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک تفاسیر متمایزی از این سناریو ارائه می دهند.

طبق مکانیک کلاسیک، ذرات فاقد انرژی کافی برای غلبه بر یک مانع قادر به رسیدن به طرف مقابل نیستند. به عنوان مثال، یک توپ بدون انرژی کافی برای بالا آمدن یک تپه به سادگی به عقب می‌چرخد. در مقابل، مکانیک کوانتومی فرض می‌کند که یک ذره دارای احتمال کوچک و غیرصفری برای تونل زدن به سمت دیگر است و در نتیجه از سد عبور می‌کند. این واگرایی ناشی از پردازش مکانیکی کوانتومی ماده است که هم خواص موج مانند و هم ذره مانند را نشان می دهد.

منابع علمی خاص تونل زنی را به عنوان نفوذ صرف یک تابع موج به یک مانع، حتی بدون انتقال بعدی به طرف دیگر، که نمونه آن نفوذ پتانسیل به دیواره است، تعریف می کنند.

مشکل تونل سازی

عملکرد موجی یک سیستم فیزیکی از ذرات، تمام اطلاعات قابل اطمینان در مورد آن سیستم را در بر می گیرد. در نتیجه، مسائل مکانیک کوانتومی شامل تجزیه و تحلیل تابع موج یک سیستم است. از طریق فرمول های ریاضی، مانند معادله شرودینگر، می توان تکامل زمانی یک تابع موج شناخته شده را تعیین کرد. قدر مطلق مجذور این تابع موج مستقیماً با توزیع احتمال موقعیت‌های ذرات مرتبط است، که نشان‌دهنده احتمال اندازه‌گیری ذرات در مکان‌های خاص است.

با برخورد بسته موجی به مانع، اکثریت منعکس می‌شوند، در حالی که بخشی ارسال می‌شود. بسته موج متعاقباً بی‌مکانی‌تر می‌شود، در هر دو طرف مانع با حداکثر دامنه کاهش‌یافته وجود دارد، در عین حال یک قدر مربع یکپارچه برابر را حفظ می‌کند، که نشان‌دهنده این است که احتمال جایی بودن ذره یک باقی می‌ماند. افزایش عرض مانع و انرژی با کاهش احتمال تونل زنی مرتبط است.

مدل های خاصی از موانع تونل زنی، مانند موانع مستطیلی به تصویر کشیده شده، قابل تجزیه و تحلیل جبری و حل هستند. با این حال، اکثر چنین مسائلی فاقد راه حل های جبری هستند که استفاده از روش های عددی را ضروری می کند. روش‌های نیمه کلاسیک، از جمله تقریب WKB، راه‌حل‌های تقریبی را ارائه می‌دهند که از نظر محاسباتی فشرده‌تر هستند.

زمینه تاریخی

معادله شرودینگر، که در سال 1926 معرفی شد، برای اولین بار توسط فردریش هوند برای مسائل تونل زنی کوانتومی اعمال شد. هاند در مجموعه ای از مقالات منتشر شده در سال 1927، راه حل هایی را برای پتانسیل دو چاهی بررسی کرد و طیف های مولکولی را تجزیه و تحلیل کرد و تونل زنی بین مناطق مجاز کلاسیک را از طریق یک مانع بالقوه نشان داد. به طور مستقل، لئونید ماندلشتام و میخائیل لئونتویچ نیز تونل‌سازی را کشف کردند و یافته‌های خود را در سال 1928 منتشر کردند.

در سال 1927، لوتار نوردهایم، با همکاری رالف فاولر، مقاله‌ای نوشت که به بررسی گسیل گرمایی و بازتاب الکترون از سطوح فلزی پرداخت. نوردهایم یک مانع پتانسیل سطحی ایجاد کرد که الکترون‌های درون فلز را محدود می‌کند. او نشان داد که الکترون‌ها دارای احتمال محدودی هستند که از این سد تونل بزنند یا از آن بازتاب کنند، زمانی که انرژی‌هایشان به انرژی سد نزدیک می‌شود، در تضاد کامل با فیزیک کلاسیک که در آن انتقال یا انعکاس 100٪ بر اساس انرژی قطعی است. متعاقباً، در سال 1928، J. Robert Oppenheimer دو مقاله در مورد گسیل میدانی منتشر کرد، یعنی گسیل الکترون هایی که توسط میدان های الکتریکی شدید تحریک می شوند. نوردهایم و فاولر بعداً اشتقاق اپنهایمر را ساده کردند و مقادیر جریان و تابع کاری منتشر شده را مطابق با مشاهدات تجربی بدست آوردند.

پیروزی قابل توجه نظریه تونل زنی تبیین ریاضی آن از واپاشی آلفا بود، پدیده ای که در سال 1928 توسط جورج گامو و کانالی دونال مستقل و ادوارد گامو و کانال به طور مستقل توضیح داده شد. گارنی و کاندون به طور همزمان معادله شرودینگر را برای یک مدل پتانسیل هسته ای حل کردند و رابطه ای بین نیمه عمر ذره و انرژی انتشار آن برقرار کردند که مستقیماً بر احتمال ریاضی تونل زنی متکی بود. هر سه دانشمند با تحقیقات موجود در مورد انتشار میدانی آشنا بودند و گامو همچنین از اکتشافات ماندلشتام و لئونتویچ آگاه بود.

در طول مراحل نوپای نظریه کوانتومی، این پدیده "اثر تونل" نامیده نشد، بلکه به عنوان نفوذ یا نشت یک مانع توصیف شد. والتر شاتکی اصطلاح آلمانی wellenmechanischer Tunneleffekt را در سال 1931 معرفی کرد. معادل انگلیسی اثر تونل در سال 1932 از طریق گنجاندن آن در کتاب درسی یاکوف فرنکل ایجاد شد.

در سال 1957، لئو تونانر در مقیاس الکترومغناطیسی به نمایش گذاشت. ساختار نیمه هادی، متعاقباً دیودی را ایجاد می کند که از این اثر تونلی استفاده می کند. بر اساس تحقیقات اساکی، ایوار گیاور به طور تجربی در سال 1960 تأیید کرد که تونل‌زنی در ابررساناها نیز اتفاق می‌افتد و طیف تونل‌زنی حاصل شواهد مستقیمی از شکاف انرژی ابررسانا ارائه می‌دهد. برایان جوزفسون بیشتر تونل زنی جفت های کوپر ابررسانا را در سال 1962 پیش بینی کرد. اسکی، گیاور و جوزفسون به طور مشترک جایزه نوبل فیزیک سال 1973 را برای کمک های اساسی خود در تونل زنی کوانتومی در جامدات دریافت کردند. ابزار جدیدی که بر اساس اصل تونل زنی کوانتومی عمل می کند، تصویربرداری سطح اتمی را امکان پذیر می کند. بیننیگ و روهرر در سال 1986 جایزه نوبل فیزیک را به خاطر این کشف پیشگامانه دریافت کردند.

در سال 2025، جان کلارک، جان ام. مارتینیس و میشل اچ. دوورت به خاطر آزمایش های 1984 و 1985 جایزه نوبل فیزیک را دریافت کردند. این آزمایش‌ها تونل‌زنی کوانتومی ماکروسکوپی را نشان دادند که شامل ذرات متعددی بود. آنها یک مدار الکتریکی متشکل از دو ابررسانا ساختند که موادی هستند که قادر به هدایت جریان بدون مقاومت الکتریکی هستند که توسط یک لایه نازک و غیر رسانا از هم جدا شده اند. از طریق این تنظیمات، آنها توانایی کنترل و بررسی پدیده‌ای را اثبات کردند که در آن همه ذرات باردار درون ابررسانا به‌طور منسجم عمل می‌کنند و به‌طور مؤثر به‌عنوان یک ذره پرکننده مدار رفتار می‌کنند.

برنامه ها

تونل زنی کوانتومی توضیحاتی را برای چندین پدیده فیزیکی مهم ماکروسکوپی ارائه می دهد.

فیزیک حالت جامد

Electronics

در الکترونیک یکپارچه‌سازی در مقیاس بسیار بزرگ (VLSI)، تونل‌سازی کوانتومی به نشت جریان کمک می‌کند که منجر به مصرف انرژی قابل‌توجه و اثرات حرارتی مضر در این دستگاه‌ها می‌شود. این یک محدودیت اساسی در کوچک سازی اجزای میکروالکترونیکی است. علاوه بر این، تونل سازی یک مکانیسم ضروری است که در برنامه نویسی دروازه های شناور حافظه فلش به کار می رود.

انتشار سرد

نشر سرد الکترون ها در زمینه های فیزیک نیمه هادی ها و ابررساناها اهمیت دارد. این پدیده شباهت‌هایی با گسیل ترمیونی دارد، جایی که الکترون‌ها به طور خود به خود از سطح فلز تحت یک بایاس ولتاژ خارج می‌شوند و انرژی کافی برای غلبه بر سد پتانسیل را از طریق برخوردهای تصادفی با ذرات دیگر به دست آورده‌اند. در موارد میدان‌های الکتریکی فوق‌العاده قوی، سد پتانسیل به اندازه کافی نازک می‌شود و الکترون‌ها را قادر می‌سازد تا از حالت‌های اتمی خود تونل کوانتومی کنند. این فرآیند یک جریان الکتریکی تولید می کند که یک وابستگی تقریبی نمایی به شدت میدان الکتریکی نشان می دهد. چنین موادی برای کاربردهایی از جمله حافظه فلش، لوله های خلاء و انواع خاصی از میکروسکوپ های الکترونی بسیار مهم هستند.

تقاطع تونل

با قرار دادن یک لایه عایق بسیار نازک بین دو ماده رسانا می توان یک مانع اساسی ایجاد کرد. تونل زنی الکترونی در اتصالات لایه نازک که دارای موانع احتمالی با ضخامت تقریباً 3 نانومتر یا کمتر است، به راحتی قابل مشاهده است. اتصالات جوزفسون از اصول تونل زنی کوانتومی و ابررسانایی برای نشان دادن اثر جوزفسون استفاده می کنند. این پدیده علاوه بر کاربرد آن در سلول های خورشیدی چند اتصالی، در اندازه گیری دقیق ولتاژها و میدان های مغناطیسی نیز کاربرد دارد.

دیود تونل

دیودها دستگاه های نیمه هادی هستند که برای تسهیل جریان الکتریکی عمدتاً در یک جهت طراحی شده اند. عملکرد آنها متکی به یک لایه تخلیه است که بین نیمه هادی های نوع N و نوع P تشکیل شده است. هنگامی که این نیمه هادی ها به شدت دوپ می شوند، لایه تخلیه می تواند به اندازه کافی نازک شود که امکان تونل زدن کوانتومی را فراهم کند. با اعمال یک بایاس رو به جلو متوسط، جریان تونل زنی قابل توجه می شود. این جریان زمانی به اوج خود می رسد که بایاس ولتاژ اعمال شده، سطوح انرژی الکترون های ظرفیتی در ناحیه نوع P را با الکترون های باند هدایت در ناحیه نوع N تراز کند. با ادامه افزایش بایاس ولتاژ، هم ترازی این باندهای انرژی مختل می شود و باعث می شود دیود به ویژگی های عملیاتی معمول خود بازگردد.

با توجه به فروپاشی سریع جریان تونل زنی، دیودهای تونل را می توان طوری طراحی کرد که با کاهش ولتاژ، محدوده ولتاژی را نشان دهند. این ویژگی متمایز در کاربردهای مختلف، به‌ویژه در دستگاه‌های با سرعت بالا که احتمال تونل‌زنی ذاتی به سرعت به تغییرات ولتاژ بایاس پاسخ می‌دهد، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

دیود تونل زنی رزونانس از تونل‌زنی کوانتومی از طریق یک مکانیسم متمایز برای دستیابی به یک نتیجه قابل مقایسه استفاده می‌کند. این دیود دارای یک ولتاژ تشدید است که در آن جریان جریان برای یک ولتاژ خاص بهینه می شود، شرایطی که با قرار دادن دو لایه نازک با یک نوار رسانایی انرژی بالا در مجاورت نزدیک محقق می شود. این پیکربندی یک چاه پتانسیل کوانتومی ایجاد می کند که با پایین ترین سطح انرژی گسسته مشخص می شود. اگر این سطح انرژی از الکترون ها بیشتر شود، تونل زنی مهار می شود و دیود تحت بایاس معکوس عمل می کند. هنگامی که دو انرژی ولتاژ در یک راستا قرار می گیرند، الکترون ها بدون مانع از دستگاه عبور می کنند، شبیه به یک مدار باز. افزایش‌های بعدی ولتاژ باعث می‌شود که تونل‌سازی غیرممکن باشد و باعث می‌شود دیود تا زمانی که سطح انرژی دوم در دسترس قرار گیرد، کار عادی خود را از سر بگیرد.

ترانزیستورهای اثر میدان تونل

یک ابتکار تحقیقاتی اروپایی با موفقیت ترانزیستورهای اثر میدانی را نشان داد که در آن کنترل گیت (کانال) از طریق تونل کوانتومی بر خلاف تزریق حرارتی به دست می‌آید. این نوآوری منجر به کاهش ولتاژ گیت از تقریباً 1 ولت به 0.2 ولت و کاهش مصرف برق تا 100 برابر شد. اگر این ترانزیستورها برای ادغام با تراشه های ادغام در مقیاس بسیار بزرگ (VLSI) مقیاس پذیر باشند، پتانسیل افزایش قابل توجهی راندمان برق مدارهای مجتمع را دارند.

رسانایی جامدات کریستالی

اگرچه مدل رسانایی الکتریکی درود-لورنتز پیش‌بینی‌های دقیقی در مورد رسانش الکترون در فلزات ارائه می‌دهد، قدرت توضیحی آن را می‌توان با ترکیب تونل کوانتومی برای روشن کردن ویژگی‌های برخورد الکترون افزایش داد. هنگامی که یک بسته موج الکترون آزاد با یک آرایه گسترده و با فاصله یکنواخت از موانع پتانسیل مواجه می شود، جزء منعکس شده بسته موج تحت تداخل یکنواخت با جزء ارسالی بین همه موانع قرار می گیرد و در نتیجه امکان انتقال کامل را فراهم می کند. پیش‌بینی‌های نظری نشان می‌دهد که اگر هسته‌های با بار مثبت در یک شبکه کاملاً مستطیلی مرتب شوند، الکترون‌ها به‌عنوان ذرات آزاد از فلز عبور می‌کنند و در نتیجه رسانایی فوق‌العاده بالایی دارند. برعکس، وجود ناخالصی ها در داخل فلز پیش بینی می شود که این پدیده را مختل کند.

میکروسکوپ تونل زنی اسکن

میکروسکوپ تونل زنی روبشی (STM) که توسط گرد بینینگ و هاینریش رورر اختراع شد، امکان تصویربرداری از اتم های منفرد را بر روی سطوح مواد فراهم می کند. با بهره برداری از همبستگی بین تونل زنی کوانتومی و مجاورت فضایی عمل می کند. هنگامی که نوک سوزن STM در مجاورت یک سطح رسانا تحت یک بایاس ولتاژ قرار می گیرد، اندازه گیری جریان تونل زنی الکترون بین نوک و سطح، نشانه دقیقی از جدایی آنها را ارائه می دهد. میله های پیزوالکتریک، که ابعاد خود را در پاسخ به ولتاژ اعمال شده تغییر می دهند، تنظیم ارتفاع نوک را برای حفظ جریان تونل زنی ثابت تسهیل می کنند. ولتاژهای نوسانی که به این میله ها اعمال می شود ثبت می شود و متعاقباً برای ایجاد تصویری از سطح هادی استفاده می شود. میکروسکوپ‌های تونلی روبشی به وضوح 0.001 نانومتر می‌رسند که تقریباً 1٪ قطر اتمی است.

فیزیک هسته ای

همجوشی هسته ای

تونل زنی کوانتومی یک پدیده حیاتی در همجوشی هسته ای است. دمای هسته ستاره ها معمولاً برای غلبه بر سد کولن و شروع همجوشی گرما هسته ای برای هسته اتم کافی نیست. تونل زنی کوانتومی، با این حال، احتمال نفوذ مانع را به طور قابل توجهی افزایش می دهد. علیرغم اینکه این احتمال کم باقی می ماند، تعداد بسیار زیاد هسته ها در هسته یک ستاره برای حفظ یک واکنش همجوشی پایدار کافی است.

واپاشی رادیواکتیو

واپاشی رادیواکتیو فرآیندی است که در آن یک هسته اتمی ناپایدار ذرات و انرژی ساطع می‌کند و به محصول پایدارتری تبدیل می‌شود. این تبدیل از طریق تونل زدن کوانتومی یک ذره از هسته رخ می دهد. برعکس، جذب الکترون شامل یک تونل الکترونی به درون هسته است. از نظر تاریخی، این پدیده نشان دهنده کاربرد شناخته شده اولیه تونل زنی کوانتومی است. از منظر اختر زیست شناسی، واپاشی رادیواکتیو مهم است زیرا این پیامد تونل زنی کوانتومی منبع انرژی پایدار و بلندمدتی را برای محیط های فراتر از منطقه قابل سکونت دور ستاره ای فراهم می کند، به ویژه در جاهایی که تابش خورشیدی غیرممکن است یا ناکارآمد است، مانند اقیانوس های زیر سطحی.

تونل زدایی کوانتومی یک مکانیسم بالقوه برای تونل زدایی است.

شیمی

واکنش های انرژی ممنوع

در محیط بین ستاره ای، واکنش های شیمیایی در سطوح انرژی بسیار پایین انجام می شود. در این میان، برهمکنش بین یون‌های هیدروژن و مولکول‌های هیدروژن یک واکنش بنیادی یون-مولکول در نظر گرفته می‌شود. نرخ تونل زنی مکانیکی کوانتومی برای یک واکنش مشابه شامل ایزوتوپ هیدروژن دوتریوم، به ویژه ${\ce {D- + H2 -> H- + HD}}$ ، به طور تجربی در یک تله یونی اندازه‌گیری شده است. در طول آزمایش، دوتریوم به یک تله یونی وارد شد و متعاقبا خنک شد و پس از آن تله با هیدروژن شارژ شد. در دماهای آزمایشی، مانع پرانرژی برای این واکنش از وقوع آن صرفا بر اساس دینامیک کلاسیک جلوگیری می کند. با این حال، تونل زنی کوانتومی واکنش را در حوادث نادر برخورد تسهیل کرد. تجزیه و تحلیل داده های تجربی احتمال واکنش یک در هر صد میلیارد برخورد را نشان داد.

اثر ایزوتوپ جنبشی

در حوزه سینتیک شیمیایی، جایگزینی ایزوتوپ سبک‌تر یک عنصر با همتای سنگین‌تر معمولاً منجر به کاهش سرعت واکنش می‌شود. این پدیده معمولاً به نابرابری در انرژی‌های ارتعاشی نقطه صفر پیوندهای شیمیایی شامل ایزوتوپ‌های سبک‌تر در مقابل سنگین‌تر نسبت داده می‌شود و عموماً از طریق نظریه حالت گذار مدل‌سازی می‌شود. با این وجود، نمونه‌های خاص اثرات ایزوتوپی قابل‌توجهی را نشان می‌دهند که با رویکردهای نیمه کلاسیک غیرقابل توضیح است، و نیاز به گنجاندن تونل‌زنی کوانتومی دارد. R. P. Bell یک درمان سینتیک آرنیوس اصلاح شده را فرموله کرد که به طور گسترده برای مدل سازی این پدیده خاص استفاده می شود.

نجومی در ابرهای بین ستاره ای

ترکیب اصول تونل زنی کوانتومی، سنتز نجومی مولکول های متعدد در ابرهای بین ستاره ای، از جمله هیدروژن مولکولی، آب (در فاز یخ آن)، و ترکیب مهم پربیوتیکی فرمالدئید را روشن می کند. مشاهدات تجربی تونل زنی هیدروژن مولکولی را در تنظیمات آزمایشگاهی تایید کرده است.

زیست شناسی

تونل زنی کوانتومی نشان دهنده یک پدیده کوانتومی محوری غیر پیش پا افتاده در زیست شناسی کوانتومی است. اهمیت آن در این زمینه شامل تونل زنی الکترون و پروتون است. تونل زنی الکترونی در بسیاری از واکنش های ردوکس بیوشیمیایی، از جمله فتوسنتز و تنفس سلولی، و همچنین در کاتالیز آنزیمی نقش مهمی ایفا می کند. تونل زنی پروتون عامل اصلی جهش خود به خودی DNA است.

جهش های خود به خودی زمانی ایجاد می شوند که همانندسازی DNA به دنبال تونل زدن یک پروتون حیاتی ادامه یابد. جفت بازهای DNA توسط پیوندهای هیدروژنی به هم متصل می شوند. در یک پیوند هیدروژنی، یک پتانسیل دو چاهی مانع انرژی بالقوه را جدا می کند. فرض بر این است که این پتانسیل دو چاهی نامتقارن است و یکی از آنها عمیق‌تر از دیگری است، جایی که پروتون معمولاً در آن قرار دارد. برای آشکار شدن جهش، پروتون باید به چاه کم عمق تر تونل بزند. این جابجایی پروتون از موقعیت معمول خود را گذار تومریک می نامند. اگر تکثیر DNA در این حالت تغییریافته رخ دهد، قوانین اساسی جفت باز برای DNA می تواند به خطر بیفتد و منجر به جهش شود. Per-Olov Lowdin پیشگام توسعه این نظریه در مورد جهش خود به خودی در مارپیچ دوگانه DNA بود. علاوه بر این، جهش‌های ناشی از تونل‌زنی کوانتومی در سیستم‌های بیولوژیکی به عنوان عوامل بالقوه در پیری و سرطان نقش دارند.

اخترفیزیک

تئوری تونل‌سازی کوانتومی در افق رویداد سیاهچاله‌ها وجود دارد که منجر به تشعشعات هاوکینگ می‌شود. در حالی که فیزیک کلاسیک حکم می‌کند که هیچ چیز نمی‌تواند از سیاهچاله فرار کند، تونل‌سازی کوانتومی احتمال کمی برای انتشار تشعشع فراهم می‌کند.

بحث ریاضی

معادله شرودینگر

The time-independent Schrödinger equation, applicable to a single particle in one dimension, can be expressed as follows: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$ Alternatively, it can be written as: ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),$ where the following definitions apply:

$\hbar$ نشان دهنده ثابت پلانک کاهش یافته است؛
$m$ نشان دهنده جرم ذره است؛
$x$ نشان دهنده فاصله است که در جهت حرکت ذره اندازه گیری می شود.
$\Psi$ به تابع موج شرودینگر اشاره دارد؛
$V$ نشان‌دهنده انرژی بالقوه ذره است که معمولاً به یک داده مناسب ارجاع می‌شود.
$E {\displaystyle E}$ انرژی ذره را نشان می‌دهد، به‌ویژه انرژی مربوط به حرکت آن در طول $x$ -al-axis V}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">V{\ V}.
$M(x)$ یک کمیت فیزیکی است که به عنوان $V(x)-E$ ، که در حال حاضر هیچ نامگذاری پذیرفته شده جهانی برای آن در فیزیک وجود ندارد.

راه‌حل‌های معادله شرودینگر شکل‌های متفاوتی را نشان می‌دهند که مشروط به مقادیر $x$ ، به طور خاص آیا $M(x)$ مثبت یا منفی است. در مواردی که $M(x)$ ثابت و منفی می ماند، معادله شرودینگر را می توان به صورت زیر بیان کرد: {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}lock{\}="bar xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"><2mi>d<-X-TeXAtom-ORD alttext="{\displaystyle x}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">73§dx§8384§Ψ(x class="MJX-TeXAtom-ORD">§104 $105§ m$ §114 $x$ Mx stretchy="false">)Ψ(x)=−<4ma>k alttext="{\displaystyle x}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">147§Ψ(x(x width="2em">جایی کهk§173 ${173<math alttext=$ =−§185 ${\dis$ ℏ§194 $x$ M.{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx\P^ {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}

راه‌حل‌های این معادله امواج در حال انتشار را توصیف می‌کنند که با یک ثابت فاز مشخص می‌شود

+k

یا

-k

راه‌حل‌های این معادله به‌صورت نمایی در حال افزایش و نزول، مشخصه امواج فزاینده، ظاهر می‌شوند. زمانی که $M(x)$ تنوع موقعیتی را نشان می‌دهد، یک تمایز رفتاری مشابه ظاهر می‌شود، مشروط به این که M(x)}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">M(xstretchy="0"> encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)} منفی یا مثبت است. در نتیجه، علامت جبری $M(x)$ ویژگی‌های رسانه را دیکته می‌کند. یک $M(x)$ با متوسط A مطابقت دارد، در حالی که مثبت $({\display M)$ نشان‌دهنده متوسط B است. بنابراین، جفت شدن موج ناپایدار زمانی امکان‌پذیر است که ناحیه‌ای با ${\displaystyle M(x)$ بین دو منطقه قرار گرفته است که دارای منفی ${\dis M(x)}$ ، در نتیجه یک مانع بالقوه تشکیل می‌دهد.

پرداختن به پیچیدگی‌های ریاضی که هنگام ${\dis M(x)}$ با $x$ چالش برانگیز است، به استثنای سناریوهای خاصی که معمولاً با پدیده های فیزیکی تجربی مطابقت ندارند. یک توضیح جامع ریاضی در تک نگاری سال 1965 که توسط فرومن و فرومن نوشته شده است ارائه شده است. در حالی که مشارکت نظری آنها در برنامه های درسی استاندارد فیزیک ادغام نشده است، تنظیمات پیشنهادی آنها تأثیر کمی ناچیز دارد.

تقریبا WKB

تابع موج به صورت نمایی یک تابع خاص نشان داده می‌شود: $\Psi (x)=e^{\Phi (x)},$ به موجب آن ${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V\text(x)$ $x$ متعاقباً به مؤلفه‌های واقعی و خیالی خود تجزیه می‌شود: $\Phi '(x)=A(x)+iB(x),$ با $A(x)$ و $B(x)$ به طور انحصاری تابع واقعی بودن. معادله اول، همراه با شرط اینکه قسمت خیالی برابر با صفر باشد، به دست می آید:

$A'(x)+A(x)^{2}-B(m{\h){2} ^{2}}}\left(V(x)-E\right).$

برای تفکیک این معادله از طریق تقریب نیمه کلاسیک، هر تابع نیاز به بسط به یک سری توان با توجه به $\hbar$ $\hbar$ {\displaystyle \hbar } $\hbar ^{-1}$ $\hbar ^{-1}$ 32§ style encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar ^{-1}} برای اطمینان از رضایت مولفه واقعی معادله. برای دستیابی به حد کلاسیک بهینه، اولویت بندی بالاترین توان ممکن ثابت پلانک سودمند است، و در نتیجه عبارات زیر به دست می آید: xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> A ( x §6162§ ℏ ∑ms class="MJX-variant">ℏ k A k stretchy="false">( x ) {\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}}^{\hbarinfty ^{k}A_{k}(x)} و ${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar$ 136§ ℏ ∑<-- mo> class="MJX-TeXAtom-ORD"> k = §151152§ ∞ k B k stretchy="false">( x ) ، {\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{hbarfty} ^{k}B_{k}(x),} .این بسط‌ها تحت محدودیت‌های بعدی در شرایط پایین‌ترین مرتبه‌شان قرار دارند: $A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$ 204§ x ) §214 $\hbar$ −<− −<- −<- <----> §226227§ ( x ) §237 $238§$ = §244 $A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$ و ${\display alttext=$ 302§ stretchy="false"> stretchy="false">) = 0. {\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.} >

متعاقباً، دو سناریوی افراطی متمایز مستلزم بررسی است.

مورد 1

وقتی دامنه در مقایسه با فاز به آرامی تغییر می‌کند، شرایط $A_{0}(x)=0$ $A_{0}(x)=0$ 11§ ( x ) <2>= {\displaystyle A_{0}(x)=0} و ${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\xrt$ ( x ) = ± al="5 style="5/9 A_{0}(x)=0}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">60§ m ( E − V ) ) {\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m}V/xle راضی هستند که با حرکت کلاسیک مطابقت دارد. وضوح بعدی ترتیب بسط بعدی تقریب زیر را به دست می دهد: $\Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(x+)\ta- }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}$ ℏ--4<3 alttext="{\displaystyle A_{0}(x)=0}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">144§ − V ( x ) ) + θ- class="MJX-TeXAtom-ORD"> §185 $A_{0}(x)=0$ mrow> class="MJX-variant"> §194 $A_{0}(x)=0$ E − V ( x ) ) §223 §223 §223 {\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\theright)} }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}

سناریو 2

وقتی فاز تغییرات آهسته نسبت به دامنه نشان می‌دهد، $B_{0}(x)=0$

مخرج نشان می‌دهد که این راه‌حل‌های تقریبی در مجاورت نقاط عطف کلاسیک غیرقابل اعتماد می‌شوند، جایی که $E=V(x)$ . فراتر از مانع پتانسیل، ذره ویژگی هایی شبیه به یک موج آزاد و نوسانی را نشان می دهد. برعکس، در داخل مانع بالقوه، دامنه ذره دستخوش تغییرات نمایی می شود. یک راه حل جهانی جامع را می توان با تجزیه و تحلیل رفتار در این مرزها و نقاط عطف کلاسیک فرموله کرد.

در ابتدا، یک نقطه عطف کلاسیک، به عنوان $x_{1}$ 11§ {\displaystyle x_{1}} ، انتخاب شده است. متعاقباً، عبارت ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ به مجموعه‌ای قدرتمند در اطراف بسط داده شده است xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> x 8/8 {\displaystyle x_{1}} ، به دست می‌آید: ${\displaym {\frac ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$ ) §199 $x_{1}$ ⋯ --> {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1}\s) ^_Tics

حفظ عبارت مرتبه اول، خطی بودن را تضمین می‌کند: ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).$ 53§ ( x − class="MJX-TeXAtom-ORD"> §6768§ ) . {c {2displaystyle {\fra ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}

با استفاده از این تقریب، معادله در مجاورت $x_{1}$ 11§ {\displaystyle x_{1}> ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).$

pan/> این معادله دیفرانسیل را می توان با استفاده از توابع Airy به عنوان راه حل حل کرد و به دست آمد: $\Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)$ 116§ ) ) {\si- (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)} در نتیجه، راه حل های تابع Airy به طور مجانبی به توابع سینوسی، کسینوس و نمایی تحت شرایط محدود کننده مناسب نزدیک می شوند. روابط بین پارامترهای $C,\theta$ و $C_-{+$ با معادله زیر تعریف می شوند: $C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$ ( θ − > = − C = − C <--> ( θ − ><344 § ) {\display {tassage {4}}\right)}}
هنگامی که این ضرایب تعیین شدند، راه حل جامع جهانی را می توان استخراج کرد. در نتیجه، ضریب انتقال برای ذره‌ای که تحت تونل زدن کوانتومی از طریق یک مانع پتانسیل منفرد قرار می‌گیرد، به صورت $T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {2}{\hb بیان می‌شود. ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}}،$ 35§ alttext="{\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}" display="block" xmlns="w3.§9Math"/4 d x ℏ §69 ${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{\s} {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}}،$ stretchy="false">( x ) − E ] ، encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},} $x_{1},x_{2}$ 121§ ، و x §129 $T(E)=e^{-2\int_{2}qrt _{xrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},$ x_{1},x_{2}} نشان دهنده دو نقطه عطف کلاسیک مانع بالقوه است.
برای یک مانع مستطیلی، این عبارت به شکل زیر ساده می شود: $T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.$ 53§ − E ) ( x §71 $T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.$ − x §8283§ ) . {\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}

تونل زنی سوپرلومینال

در سال 1998، Francis E. Low مروری مختصر از پدیده تونل زنی در زمان صفر ارائه کرد. متعاقبا، گونتر نیمتز داده های تجربی مربوط به زمان تونل زنی فونون ها، فوتون ها و الکترون ها را منتشر کرد. علاوه بر این، به نظر می رسد آزمایشی که توسط A. M. Steinberg نظارت شده بود نشان می دهد که ذرات ممکن است با سرعت های ظاهراً بیش از سرعت نور تونل بزنند.
برعکس، فیزیکدانان دیگر، از جمله هربرت وینفول، این ادعاها را به چالش کشیدند. وینفول اظهار داشت که بسته موج یک ذره تونل زنی، انتشار محلی را نشان می دهد، در نتیجه مانع از تونل زنی غیرمحلی از طریق مانع می شود. او همچنین ادعا کرد که آزمایش‌هایی که ظاهراً انتشار غیرمحلی را نشان می‌دهند، در معرض سوء تعبیر قرار گرفته‌اند. به طور خاص، او تاکید کرد که سرعت گروهی یک بسته موج، سرعت واقعی آن را کمیت نمی‌کند، بلکه با مدت زمانی که بسته موج در سد باقی می‌ماند، ارتباط دارد. علاوه بر این، زمانی که تونل زنی کوانتومی با استفاده از معادله نسبیتی دیراک مدل‌سازی می‌شود، قضایای ریاضی ثابت نشان می‌دهند که این فرآیند کاملاً زیر نور است. علاوه بر این، نشان داده شده است که در چارچوب تئوری میدان کوانتومی نسبیتی، تونل زنی نمی تواند در سرعت های ابرشورایی رخ دهد، با وجود مواردی که سرعت گروه ممکن است از سرعت نور بیشتر شود.

تونل زنی پویا

مفهوم تونل زنی کوانتومی را می توان به سناریوهای مربوط به انتقال کوانتومی بین مناطقی که به طور کلاسیک قطع شده اند، تعمیم داد، حتی در غیاب یک مانع بالقوه صریح. این پدیده تونل زنی دینامیکی نامیده می شود.

تونل سازی در فاز فضایی
مفهوم تونل زنی دینامیکی به ویژه برای پرداختن به چالش های تونل زنی کوانتومی در سیستم های با ابعاد بالا مناسب است ( $d>1$ 11§ {\displaystyle d>1} ). در یک سیستم یکپارچه، که در آن مسیرهای کلاسیک محدود به توری در فضای فاز محدود می شود، تونل زنی به عنوان انتقال کوانتومی که بین حالت های نیمه کلاسیک ساخته شده بر روی دو توری متمایز و در عین حال متقارن رخ می دهد، مفهوم سازی می شود.

تونل زنی به کمک آشوب

در کاربردهای عملی، بیشتر سیستم‌ها از یکپارچگی منحرف می‌شوند و درجات مختلفی از رفتار آشفته را نشان می‌دهند. در نتیجه، دینامیک کلاسیک به‌صورت مختلط مشخص می‌شود و فضای فاز سیستم معمولاً شامل جزایری از مدارهای منظم است که توسط ناحیه وسیعی از مدارهای آشفته احاطه شده‌اند. وجود این دریای پر هرج و مرج، که امکان حمل و نقل کلاسیک را فراهم می کند، واقع بین دو توری متقارن، متعاقباً تونل کوانتومی بین آنها را تسهیل می کند. این پدیده که به عنوان تونل زنی به کمک آشوب شناخته می شود، با رزونانس های برجسته در نرخ تونل زنی با تغییر هر پارامتر سیستم مشخص می شود.

تونل زنی به کمک تشدید

وقتی $\hbar$ به طور قابل توجهی کوچکتر از ابعاد جزایر منظم است، ساختار ظریف فضای فاز کلاسیک به یک عامل تعیین کننده در فرآیندهای تونل زنی تبدیل می شود. به طور خاص، دو توری متقارن از طریق دنباله‌ای از انتقال‌های ممنوعه کلاسیک که رزونانس‌های غیرخطی اطراف این جزایر را در بر می‌گیرد، به هم متصل می‌شوند.

پدیده های مرتبط

پدیده های متعدد ویژگی هایی مشابه تونل زنی کوانتومی از خود نشان می دهند. نمونه‌های قابل توجه عبارتند از جفت شدن موج ناپایدار، که شامل کاربرد معادله موج ماکسول برای نور، و استفاده از معادله موج غیر پراکنده از آکوستیک برای توصیف امواج روی رشته‌ها است.
این اثرات با استفاده از چارچوبی مشابه با مانع پتانسیل مستطیلی مدل‌سازی می‌شوند. چنین سناریوهایی معمولاً شامل یک رسانه انتقال اولیه (محیط A) که در آن انتشار موج یکنواخت یا تقریباً یکنواخت است، و یک محیط ثانویه (محیط B) که ویژگی‌های موج متفاوت است. این پیکربندی را می‌توان به‌عنوان یک ناحیه باریک از محیط B که بین دو ناحیه از محیط A واقع شده است، در نظر گرفت. رویکرد تحلیلی برای یک مانع مستطیلی، با استفاده از معادله شرودینگر، قابل انطباق با این پدیده‌های دیگر است، که مشروط به این است که معادله موجی معادله موجی را به دست می‌دهد که راه‌حل‌های موج سیار در محیط A
در ابتدا، یک ارتباط کلاسیک موج-ذره به عنوان قیاسی با تونل زنی کوانتومی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. با این حال، بررسی‌های بعدی منشأ دینامیک سیال مرتبط با تکانه عمودی به ذرات نزدیک به مانع را نشان داد.

تخلیه مانع دی الکتریک: تخلیه الکتریکی بین دو الکترود که توسط یک مانع دی الکتریک عایق از هم جدا شده اند.

تخلیه مانع دی الکتریک - تخلیه الکتریکی بین دو الکترود که توسط یک مانع دی الکتریک عایق از هم جدا شده اند
گسیل الکترون میدانی: گسیل الکترون هایی که توسط یک میدان الکترواستاتیک تحریک می شود.

روش هلشتاین-شاه ماهی: یک روش عددی مورد استفاده در شیمی کوانتومی.

تونل زنی پروتون: دسته خاصی از تونل زنی کوانتومی.

شبیه سازی کوانتومی: فرآیندی که شامل تکرار یک حالت کوانتومی بدون تغییر حالت اصلی است.

تقاطع تونل ابررسانا: یک دستگاه الکترونیکی.

دیود تونلی: دیودی که بر اساس اصل تونل زنی کوانتومی عمل می کند.

اتصال تونل: مانعی که بین مواد رسانای الکتریکی قرار گرفته است.

سفیدچاله: ناحیه ای فرضی در فضازمان.

مراجع

Binney، James; اسکینر، دیوید (2010). فیزیک مکانیک کوانتومی (ویرایش سوم). Great Malvern: Cappella Archive. ISBN 978-1-902918-51-8.
بیننی، جیمز; اسکینر، دیوید (2010). فیزیک مکانیک کوانتومی (3. ویرایش). Great Malvern: Cappella Archive. ISBN 978-1-902918-51-8.Fröman, Nanny; Fröman, Per Olof (1965). تقریبا JWKB: مشارکت در نظریه. آمستردام: شمال هلند. ISBN 978-0-7204-008-008. citerefgriffiths2004"="" class="citation book cs1" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&a mp;rft.btitle=JWKB+Approximation%3A+Contributions+to+theory&rft.place=Amsterdam&rft.pub =North-Holland&rft.date=1965&rft.isbn=978-0-7204-0085-4&rft.aulast=Fr%C3%B6man&rft. aufirst=Nanny&rft.au=Fr%C3%B6man%2C+Per+Olof&rfr_id=info%3Asid%2Fen.

لیبوف، ریچارد ال. (2002). مکانیک کوانتومی مقدماتی (ویرایش چهارم). سانفرانسیسکو: ادیسون-وسلی. ISBN 978-0-8053-8714-8978-0-8053-8714-8mullersten="mulsten"0. class="citation book cs1" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introductory+quantum+mechanics&an+rft=Introductory+quantum+mechanics&an+rft; ion=4th&rft.pub=Addison-Wesley&rft.date=2002&rft.isbn=978-0-8053-8714-8&rft. aulast=Liboff&rft.aufirst=Richard+L.&rfr_id=info%3Asid%2Fen.

رضوی، محسن (2003). نظریه کوانتومی تونل زنی. River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 978-981-238-LC978-981-238-1. 52498470.هنگ، جویو; ویلنکین، الکساندر؛ وینیتزکی، سرژ (2003). "ایجاد ذرات در جهان تونلی". بازبینی فیزیکی D. 68 (2): 023520. arXiv:gr-qc/0210034. Bibcode:2003PhRvD..68b3520H. doi:10.1103/PhysRevD.68.023520. ISSN 0556-2821.S2CID 118969589.Wolf, E. L. (2012). اصول طیف‌سنجی تونل زنی الکترون. سری بین‌المللی مونوگراف‌های فیزیک (ویرایش دوم). آکسفورد؛ نیویورک: انتشارات دانشگاه آکسفورد. ISBN 978-0-19-958949-4 OCLC 768067375.
انیمیشن، کاربردها و تحقیقات مرتبط با اثر تونل و سایر پدیده های کوانتومی (Université Paris Sud)
تصویر متحرکی که پدیده تونل زنی کوانتومی را به تصویر می کشد.

تصویر متحرکی که تونل زنی کوانتومی را در دستگاه RTD نشان می دهد.

یک راه حل تعاملی برای معادله تونل شرودینگر.

تونل زنی کوانتومی (Quantum tunnelling)