هویت اویلر (Euler's identity)

در ریاضیات، هویت اویلر (همچنین به عنوان معادله اویلر شناخته می‌شود) برابری e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} است که در آن e {\displaystyle e}…

در ریاضیات، هویت اویلر، که به آن معادله اویلر نیز گفته می‌شود، برابری اساسی را نشان می‌دهد: e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}، که در آن متغیرهای تشکیل‌دهنده به صورت زیر تعریف می‌شوند:

در ریاضیات، هویت اویلر (همچنین به عنوان معادله اویلر شناخته می‌شود) برابری است $e^{i\pi }+1=0$ 28§ {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} کجا

$eencoding="application/x-tex">{\displaystyle e}$ نشان دهنده عدد اویلر است که به عنوان پایه لگاریتم های طبیعی عمل می کند.
$i style encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}$ واحد خیالی را نشان می‌دهد که به طور بدیهی با شرط تعریف شده است $i^{2}=-1$ 36§ {\displaystyle i^{2}=-1} .
$\pi$ نشان دهنده پی است که به عنوان نسبت محیط دایره به قطر آن تعریف می شود.

هویت اویلر که به افتخار ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر نامگذاری شده است، نمونه خاصی از فرمول اویلر است، ${\display style\sco^{ix$ ، زمانی که متغیر $x=\pi$ . این هویت به طور گسترده ای به عنوان یک پارادایم از ظرافت ریاضی در نظر گرفته می شود، که نشان دهنده یک رابطه متقابل عمیق بین چندین ثابت ریاضی اساسی است.

زیبایی ریاضی

هویت اویلر اغلب به عنوان تصویر اصلی زیبایی عمیق ریاضی مورد استناد قرار می گیرد. این به طور منحصر به فرد شامل سه عملیات اساسی حسابی - جمع، ضرب و توان - هر یک دقیقاً یک بار است. علاوه بر این، هویت یک ارتباط بین پنج ثابت ریاضی اساسی برقرار می کند:

عدد 0، نشان دهنده هویت افزودنی است.
عدد 1، نشان دهنده هویت ضربی است.
ثابت π (π = 3.14159...)، به عنوان ثابت دایره اصلی شناخته می‌شود.
ثابت e (e = 2.71828...)، همچنین عدد اویلر نامیده می شود، که به طور گسترده در سراسر تجزیه و تحلیل ریاضی ظاهر می شود.
ثابت i که واحد خیالی را نشان می دهد، به گونه ای تعریف می شود که i§56§ = −1.

این معادله اغلب به‌عنوان عبارتی برابر با صفر ارائه می‌شود، یک عمل متعارف که در رشته‌های مختلف ریاضی مشاهده می‌شود.

کیث دولین، استاد ریاضیات در دانشگاه استنفورد، بیان می‌کند که معادله اویلر «مانند غزل شکسپیر است که زیبایی‌های انسان را به تصویر می‌کشد، یا همان عشق را به تصویر می‌کشد. معادله اویلر بیش از اعماق پوست، به اعماق وجود می رسد. پل ناهین، استاد بازنشسته از دانشگاه نیوهمپشایر و نویسنده کتابی درباره فرمول اویلر و کاربردهای آن در تحلیل فوریه، هویت اویلر را دارای "زیبایی بدیع" توصیف کرد.

کنستانس رید، نویسنده ریاضیات، هویت اویلر را "مشهورترین فرمول در تمام ریاضیات" اعلام کرد. بنجامین پیرس، فیلسوف، ریاضیدان و استاد دانشگاه هاروارد برجسته قرن نوزدهم آمریکایی، پس از اثبات هویت اویلر در یک سخنرانی اظهار کرد که "کاملاً متناقض است؛ ما نمی توانیم آن را درک کنیم، و معنی آن را نمی دانیم، اما آن را ثابت کرده ایم، و بنابراین باید حقیقت را بخوانیم". انجام شده توسط هوش ریاضی هویت اویلر را به عنوان "زیباترین قضیه در ریاضیات" تعیین کرد. متعاقبا، یک نظرسنجی در سال 2004 توسط Physics World هویت اویلر را در کنار معادلات ماکسول (مربوط به الکترومغناطیس) به عنوان "بزرگترین معادله تا کنون" رتبه بندی کرد.

دکتر فرمول شگفت انگیز اویلر: درمان بسیاری از بیماری های ریاضی، نویسنده پل ناهین (2011).
زیباترین معادله: فرمول اویلر و زیبایی ریاضیات، نوشته دیوید استیپ (2017).
"معادله پیشگام اویلر: زیباترین قضیه در ریاضیات"، نویسنده رابین ویلسون (2018).

توضیحات

نمایشهای خیالی

هویت اویلر بیان می‌کند که عبارت ${\displaystyle e^{i\pi }/> -1. این عبارت خاص،$ ${\displaystyle e^{i\pi }}Specializma>$ $e^{z}$ عدد به طور معمول، $e^{z}$ تعریف شده است تعریف تابع نمایی از نماهای واقعی به مختلط. یک تعریف رایج این است:

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$ ) z n ) {\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} هویت اویلر بیان می کند که محدودیت $(1+{\tfrac {i\pi }{n}})^{n}$ 13§ + i - -- ) n ، با نزدیک شدن n به بی نهایت، −1 است. این رفتار محدود کننده به صورت بصری در انیمیشن همراه نشان داده شده است.

هویت اویلر نمونه خاصی از فرمول اویلر را تشکیل می دهد، که تصریح می کند که برای هر عدد واقعی x،

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

در این فرمول، آرگومان‌های توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس بر حسب رادیان بیان می‌شوند.

به‌ویژه، زمانی که x = π

, e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> class="MJX-TeXAtom-ORD"> i π = cos ⁡ π ⁡ π . {\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\no \pi>}

با توجه به اینکه

$\cos \pi =-1$ 20§ style encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \pi =-1}

$\sin \pi =0,$

$e^{i\pi }=-1+0i,$ 23§+§2627§i،{\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}

این اشتقاق در هویت اویلر به اوج خود می رسد:

$e^{i\pi }+1=0.$ 20§=0.{\displaystyle e^{i\pi }+1=>تفسیر هندسییک عدد مختلط که با $z=x+iy$ $(x,y)$ در صفحه مختلط. از طرف دیگر، این نقطه را می‌توان با استفاده از مختصات قطبی به‌صورت $(r,\theta )$ نشان‌دهنده قدر مطلق z (نماینده فاصله آن از مبدأ) و $\theta$ نشان دهنده آرگومان z مثبت z است. بر اساس تعاریف سینوس و کسینوس، مختصات دکارتی این نقطه $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ ،>z(cos⁡θ+isin⁡θ stretchy="false">){\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}

. مطابق با این عبارت ، این فرمول euler isquin alttext="{\displaystyle z=re^{i\theta }}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">z class="MJX-TeXAtom-ORD">iθ{\displaystyle z=re^{i\theta }}هویت اویلر بیان می‌کند که

-1=e^{i\pi }

11§ = e i π {\displaystyle -1=e^{i\pi }} . با توجه به اینکه

e^{i\pi }

نمایانگر شکل

re^{i\theta }

با r = 1 و

\theta =\pi

، این هویت را می توان به عنوان توصیف عدد -1 در صفحه مختلط تفسیر کرد: فاصله آن از مبدا 1 و زاویه

\pi

رادیان از محور مثبت x-است.

به‌علاوه، وقتی یک عدد مختلط z در $e^{i\theta }$ ، عملیات چرخش $z$ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت با زاویه $\theta$ در صفحه مختلط. با توجه به اینکه ضرب در -1 مربوط به بازتابی در سرتاسر مبدا است، هویت اویلر به این معنی است که چرخش هر نقطه با $\pi$ در اطراف مبدا همان نتیجه ای را ایجاد می کند که منعکس کننده آن نقطه در سرتاسر مبدا است. به طور مشابه، تنظیم $\theta$ تا $2\pi$ 103§ π {\displaystyle 2\pi } معادله مربوطه را به دست می‌دهد $e^{2\pi i}=1$ 127§ π i = §137138§ {\displaystyle e^{2\pi i}=1} ، که به این معنی است که چرخش یک نقطه به اندازه یک دور کامل به دور مبدا، آن را به موقعیت اولیه خود باز می‌گرداند.

کلیات

هویت اویلر نمونه خاصی از هویت گسترده تر را تشکیل می دهد، که بیان می کند که مجموع nمین ریشه های وحدت، جایی که n > 1، برابر است با 0:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.$ 16§ n − §2425§ e §32 $\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.$ = 0. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}

هویت اویلر با نمونه خاصی مطابقت دارد که در آن n = 2 است.

یک هویت قابل مقایسه به نمایی چهارگانه گسترش می یابد. با توجه به {i، j، k} به عنوان ربع‌های پایه، رابطه زیر برقرار است: ${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm display k)=b=$ 21§ §2324§ ( i ± j ± k ) π + §5152§ = 0. {\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}

به طور کلی، اگر q یک ربع را نشان دهد که با یک مؤلفه واقعی صفر و یک هنجار مشخص می‌شود، به‌ویژه $q=ai+bj+ck,$ جایی که $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$ 49§ + b §5859§ + c §6869§ = 1. {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.} سپس هویت زیر برقرار است: $e^{q\pi }+1=0.$ 104§ = 0. {\displaystyle e^{q\pi }+1=0.}

این فرمول به‌طور مشابه به اکتیون‌ها گسترش می‌یابد، مشروط بر اینکه دارای مؤلفه واقعی صفر و هنجار 1 باشند. با توجه به اینکه $i$ و $-i$ تنها اعداد مختلط را تشکیل می‌دهند که دارای بخش واقعی صفر و قدر مطلق (هنجار) 1 هستند.

زمینه تاریخی

هویت اویلر مستقیماً از فرمول اویلر نشأت می‌گیرد که در ابتدا در رساله اصلی او در سال 1748 در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی، مقدمه‌ای در تجزیه و تحلیل infinitorum ارائه شد. با این حال، مشخص نیست که آیا فرمول خاصی که پنج ثابت اساسی را به گونه ای مختصر به هم متصل می کند، می تواند به طور قطعی به اویلر نسبت داده شود، زیرا ممکن است او به صراحت آن را بیان نکرده باشد.

رابین ویلسون بیان می کند:

مشاهده شده است که [هویت اویلر] به آسانی از یافته های یوهان برنولی و راجر کوتس قابل استخراج است، اما به نظر می رسد هیچ یک به صراحت این استنباط را انجام نداده باشند. حتی خود اویلر ظاهراً آن را به شکلی صریح ثبت نکرده است - و مطمئناً در هیچ یک از آثار منتشر شده او وجود ندارد - علیرغم این احتمال قوی که وی پیامد فوری آن را از هویت خود [یعنی فرمول اویلر]، e^ix = cos x تشخیص داده است. x. علاوه بر این، فردی که برای اولین بار به صراحت این نتیجه را بیان کرد ناشناس باقی می ماند.

فرمول De Moivre
ثابت گلفوند

یادداشت ها

مرجع کتابشناختی

مواد منبع

کانوی، جان اچ، و گای، ریچارد کی (1996)، کتاب اعداد، Springer ISBN 978-0-387-97993-9.
کریز، رابرت پی. (10 مه 2004)، "بزرگترین معادلات تا کنون"، دنیای فیزیک [ثبت نام الزامی است].
دانهام، ویلیام (1999)، اولر: استاد همه ما، انجمن ریاضی آمریکا ISBN 978-0-88385-328-3.
اولر، لئونهارد، کارهای کامل. لئونهاردی اولری opera omnia. 1، اپرا ریاضیات. جلد هشتم، لئونهاردی اولری مقدمه ای در آنالیز اینفینیتوروم. Tomus primus، لایپزیگ: B. G. Teubneri.
Kasner, E., and Newman, J. (1940), ریاضیات و تخیل, Simon & شوستر.
مائور، الی (1998)، e: داستان یک عدد، انتشارات دانشگاه پرینستون ISBN 0-691-05854-7.
ناهین، پل جی. (2006)، دکتر. فرمول شگفت انگیز اویلر: درمان بسیاری از بیماری های ریاضی، منتشر شده توسط انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 978-0-691-11822-2
پائولوس، جان آلن (1992)، فراتر از اعداد: فرهنگ نامتعارف ریاضیات، منتشر شده توسط Penguin Books، ISBN 0-14-014574-5
رید، کنستانس (نسخه های مختلف)، از صفر تا بی نهایت، منتشر شده توسط انجمن ریاضی آمریکا.
ساندیفر، سی. ادوارد (2007)، بزرگترین بازدیدهای اویلر، منتشر شده توسط انجمن ریاضی آمریکا، ISBN 978-0-88385-563-8
استیپ، دیوید (2017). زیباترین معادله: فرمول اویلر و زیبایی ریاضیات. کتاب های پایه.
ولز، دیوید (1990). "آیا اینها زیباترین هستند؟". هوش ریاضی. 12 (3): 37–41. doi:10.1007/BF05.IDC 121503263.
ویلسون، رابین (2018). معادله پیشگام اویلر: زیباترین قضیه در ریاضیات. انتشارات دانشگاه آکسفورد ISBN 978-0-192-51406-6.Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014). "تجربه زیبایی ریاضی و همبستگی های عصبی آن". title="Freely accessible">10.3389/fnhum.2014.00068 PMC 3923150 PMID 24592230.
- درک شهودی فرمول اویلر

هویت اویلر (Euler's identity)