تاریخچه ریاضیات (History of mathematics)

تاریخ ریاضیات پیدایش اکتشافات، روش‌ها و نمادهای ریاضی را در طول دوران باستان بررسی می‌کند. قبل از دوران مدرن و انتشار جهانی دانش، نمونه‌های مستندی از پیشرفت‌های جدید ریاضی تنها در تعداد محدودی از مناطق پدیدار شد. با شروع حدود 3000 سال قبل از میلاد، تمدن های بین النهرین، از جمله سومر، اکد، و آشور، در کنار مصر باستان و ایالت شام ابلا، شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای اهدافی مانند مالیات، تجارت، تجارت، مشاهدات نجومی، و گاه شماری کردند.

تاریخ ریاضی به منشأ اکتشافات در ریاضیات و روش های ریاضی و نشانه گذاری گذشته می پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش دانش در سرتاسر جهان، نمونه‌های مکتوب پیشرفت‌های جدید ریاضی تنها در چند منطقه آشکار شده است. از 3000 سال قبل از میلاد، ایالت های بین النهرینی سومر، اکد و آشور، به دنبال آن مصر باستان و ایالت شام ابلا شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای مالیات، تجارت، تجارت و در نجوم کردند تا زمان را ثبت کنند و تقویم ها را تدوین کنند.

مصر، به ویژه از جمله Plimpton 322 (بابلی، ج. 2000 - 1900 قبل از میلاد)، پاپیروس ریاضی Rhind (مصر، حدود 1800 قبل از میلاد و thewthewtheپیش از میلاد) (مصر، حدود 1890 ق.م). این اسناد به طور مداوم به آنچه به عنوان سه گانه فیثاغورث شناخته می شود اشاره می کنند و نشان می دهد که قضیه فیثاغورث نشان دهنده یکی از قدیمی ترین و گسترده ترین مفاهیم ریاضی است که به دنبال حساب و هندسه اساسی است.

مطالعه رسمی ریاضیات به عنوان یک "رشته نمایشی" در قرن پیش از میلاد آغاز شد که در قرن پیش از میلاد آغاز شد. "ریاضیات" از یونانی باستان μάθημα (mathema)، به معنای "موضوع آموزش". ریاضیات یونانی به طور قابل توجهی روش‌شناسی را به‌ویژه از طریق ادغام استدلال قیاسی و برهان‌های دقیق ریاضی پیشرفته کرد و در نتیجه دامنه این رشته را گسترش داد. رومیان باستان ریاضیات کاربردی را در زمینه های مختلف، از جمله نقشه برداری، مهندسی سازه و مکانیک، حسابداری، توسعه تقویم قمری و شمسی و حتی در کارهای هنری و صنایع دستی به کار می بردند. ریاضیات چینی به نوآوری های اولیه، مانند ایجاد یک سیستم ارزش مکانی و استفاده اولیه از اعداد منفی کمک کرد. سیستم اعداد هندو-عربی، همراه با قواعد عملیاتی آن، که امروزه در سطح جهانی پذیرفته شده است، در هزاره اول پس از میلاد در هند توسعه یافت و متعاقباً از طریق ریاضیات اسلامی، به ویژه از طریق کمک های خوارزمی، به جهان غرب منتقل شد. ریاضیات اسلامی نیز به نوبه خود، دانش ریاضی به ارث رسیده از این تمدن های پیشین را بیشتر توضیح داد و آن را گسترش داد. همزمان، و در عین حال مستقل از این سنت‌ها، تمدن مایا در مکزیک و آمریکای مرکزی سیستم ریاضی خاص خود را توسعه داد، که به‌ویژه نمادی استاندارد برای مفهوم صفر در اعداد مایا گنجانده بود.

مقاله‌های ریاضی یونانی و عربی متعددی از قرن دوازدهم به لاتین ترجمه شد که باعث پیشرفت‌های بیشتر ریاضیات در اروپا شد. در طول دوران باستان و قرون وسطی، دوره های نوآوری ریاضی اغلب با دوره های طولانی رکود متناوب بود. با این حال، با شروع در ایتالیای رنسانس در طول قرن پانزدهم، پیشرفت‌های جدید ریاضی، که اغلب در تعامل با اکتشافات علمی جدید بودند، با سرعتی شتابان شروع به ظهور کردند که تا به امروز ادامه دارد. این شتاب شامل کمک های اساسی آیزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس در توسعه حساب بی نهایت کوچک در قرن هفدهم و همچنین اکتشافات بعدی توسط ریاضیدانان آلمانی مانند کارل فردریش گاوس و دیوید هیلبرت است.

پیش از تاریخ

پیدایش تفکر ریاضی ریشه در مفاهیم اساسی مانند عدد، الگوهای طبیعی، قدر و شکل دارد. تحقیقات معاصر در شناخت حیوانات نشان می دهد که این مفاهیم بنیادی منحصراً انسانی نیستند. این مفاهیم بخشی جدایی ناپذیر از زندگی روزمره در جوامع شکارچی-گردآورنده را تشکیل می دادند. این فرضیه که مفهوم «عدد» به‌طور تدریجی در طول زمان تکامل یافته است، با وجود زبان‌هایی که بین «یک»، «دو» و «بسیار» تفاوت قائل می‌شوند، اما فاقد عبارات متمایز برای اعداد بیش از دو هستند، اثبات می‌شود.

وجود نخ در میان مصنوعات نئاندرتال تقریباً 40000 سال پیش در Abri du Maras در جنوب فرانسه حاکی از درک اساسی از اصول ریاضی است. استخوان ایشانگو که در نزدیکی سرچشمه رودخانه نیل در شمال شرقی کنگو کشف شده است، بالقوه بیش از 20000 سال قدمت دارد و دارای مجموعه ای از علائم است که در طول آن به سه ستون بریده شده است. تفاسیر رایج حاکی از آن است که استخوان ایشانگو یا نمونه اولیه تعداد را نشان می دهد که توالی اعداد اول را نشان می دهد یا به عنوان یک تقویم قمری شش ماهه عمل می کند. پیتر رودمن معتقد است که مفهوم سازی اعداد اول تنها می تواند پس از مفهوم تقسیم، که او آن را پس از 10000 سال قبل از میلاد قرار می دهد، با درک کامل اعداد اول به احتمال زیاد تا حدود 500 سال قبل از میلاد رخ داده است. او همچنین خاطرنشان می‌کند: «هیچ تلاشی برای توضیح این موضوع صورت نگرفته است که چرا شمارش یک چیز باید مضرب دو، اعداد اول بین 10 و 20، و برخی اعداد تقریبا مضرب 10 را نشان دهد.» محقق الکساندر مارشاک معتقد است که استخوان ایشانگو ممکن است بر تکامل بعدی ریاضیات در مصر تأثیر داشته باشد، با توجه به اینکه محاسبات مصری، مشابه ورودی‌های خاصی در استخوان ایشانگو، ضرب در دو را نیز به کار می‌برد. با این حال، این ادعا همچنان بحث برانگیز است.

مصریان پیش از سلسله از هزاره پنجم قبل از میلاد، الگوهای هندسی را به صورت تصویری به تصویر می‌کشند. ادعاها حاکی از آن است که سازه های مگالیتیک در انگلستان و اسکاتلند، که از هزاره سوم قبل از میلاد سرچشمه می گیرند، مفاهیم هندسی مانند دایره ها، بیضی ها و سه گانه های فیثاغورثی را در طرح های معماری خود ادغام می کنند. با این وجود، همه این ادعاها مورد اعتراض قرار می گیرند. قدیمی ترین اسناد ریاضی پذیرفته شده از تمدن های بابلی و مصری سلسله ای سرچشمه می گیرد.

بابلی

ریاضیات بابلی شامل شیوه های ریاضی تمدن های بین النهرین (عراق کنونی) می شود که از دوران اولیه سومری تا دوره هلنیستی، تقریبا تا ظهور مسیحیت را در بر می گیرد. بخش عمده ای از کمک های ریاضی بابلی از دو دوره متمایز ناشی می شود: قرن های اولیه هزاره دوم قبل از میلاد (دوره بابلی قدیم) و قرن های پایانی هزاره اول قبل از میلاد (دوره سلوکی). این رشته به دلیل موقعیت محوری بابل به عنوان یک مرکز علمی، "ریاضیات بابلی" نامگذاری شده است.

برخلاف منابع محدود موجود برای ریاضیات مصری، درک ما از ریاضیات بابلی از بیش از 400 لوح گلی نشات گرفته شده از دهه 1850 ناشی می شود. این الواح که با خط میخی نوشته شده بودند در حالی که خاک رس قابل انعطاف بود، متعاقباً از طریق پخت در کوره یا در معرض نور خورشید سخت می‌شدند. به نظر می‌رسد که زیرمجموعه‌ای از این مصنوعات نشان‌دهنده تکالیف تحصیلی درجه‌بندی‌شده هستند.

اولین شواهد مستند ریاضیات مکتوب از سومری‌های باستان سرچشمه می‌گیرد که تمدن بنیادی بین‌النهرین را پایه‌گذاری کردند. تا سال 3000 قبل از میلاد، آنها یک سیستم مترولوژیکی پیچیده در درجه اول برای حسابداری اداری و مالی، از جمله تعیین کمیت تخصیص دانه، نیروی کار، وزن نقره، و مایعات و سایر کالاها ابداع کردند. از حدود 2500 سال قبل از میلاد، سومری ها شروع به نوشتن جدول ضرب بر روی لوح های گلی و پرداختن به مسائل هندسی و محاسبات تقسیم کردند. نشانه های اولیه اعداد بابلی نیز مربوط به این دوران است.

ریاضیات بابلی از یک سیستم اعداد جنسی کوچک (پایه-60) استفاده می‌کردند که منشأ زمان‌سنجی مدرن (60 ثانیه در دقیقه، 60 دقیقه در ساعت) و اندازه‌گیری زاویه‌ای (360 درجه در یک دایره، با ثانیه‌ها و دقیقه‌های قوسی است که نشان‌دهنده درجه کسری است). اقتباس از سیستم جنسیسیمال توسط کاتبان سومری اغلب به تقسیم پذیری بالای 60 (بر 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20 و 30) نسبت داده می شود که محاسبات دستی ضروری برای کارهایی مانند توزیع دانه و ثبت وزن نقره را تسهیل می کند. با این حال، یک فرضیه جایگزین نشان می دهد که استفاده از آن ممکن است یک پدیده قومی-زبانی باشد تا یک انتخاب صرفاً ریاضی یا عملی، تمایزی که ممکن است ناشناخته بماند. برخلاف مصریان، یونانی‌ها و رومی‌ها، بابلی‌ها یک سیستم ارزش مکانی ایجاد کردند، که در آن ارقام در ستون سمت چپ نشان‌دهنده بزرگی‌های بیشتر، مشابه سیستم اعشاری مدرن است. قدرت این سیستم نمادنویسی در توانایی آن برای نمایش کسرها با همان سهولت اعداد کامل است، و عملیاتی مانند ضرب اعداد کسری را ساده می کند تا شبیه ضرب اعداد صحیح، مشابه نمادگذاری معاصر باشد. که تا دوران رنسانس به عنوان پیشرفته‌ترین سیستم نشانه‌گذاری در نظر گرفته می‌شد، قدرت محاسباتی آن دقت قابل‌توجهی را امکان‌پذیر کرد. برای مثال، تبلت بابلی YBC 7289 تقریبی از √2 را با دقت تا پنج رقم اعشار ارائه می‌کند. با این وجود، بابلی‌ها فاقد معادلی از نقطه اعشار بودند و این امر مستلزم استنتاج زمینه‌ای برای ارزش مکانی نماد بود. در دوره سلوکی، یک نماد صفر به‌عنوان جایگاهی برای موقعیت‌های خالی میانی معرفی شد، اما عدم وجود آن در موقعیت‌های پایانی به این معنی بود که بابلی‌ها به طور کامل به یک سیستم ارزش مکانی واقعی دست پیدا نکردند.

ریاضیات بابلی طیف گسترده‌ای از موضوعات را در بر می‌گرفت، از جمله کسرها، جبر، ترم‌زدایی‌ها و اعداد منتظم آن‌ها و اعداد درجه دوم و مکعبی آنها. جفت الواح خط میخی موجود همچنین دارای جدول ضرب و روش‌شناسی برای حل معادلات خطی، درجه دوم و مکعبی هستند که نشان‌دهنده یک دستاورد فکری مهم برای آن دوران است. علاوه بر این، الواح مربوط به دوره بابلی قدیم حاوی اولین بیان مستند قضیه فیثاغورث است. علی‌رغم این پیشرفت‌ها، ریاضیات بابلی، درست مانند همتای مصری خود، بین راه‌حل‌های دقیق و تقریبی تمایز قائل نشد و به صراحت به حل‌پذیری مسائل نمی‌پردازد. مهمتر از همه، فاقد هرگونه بیان آشکاری از ضرورت اثبات ریاضی یا اصول منطقی زیربنایی بود.

ریاضیات مصر

ریاضیات مصری به متون ریاضی ساخته شده به زبان مصری اشاره دارد. در طول دوره هلنیستی، یونانی جایگزین مصری به عنوان زبان نوشتاری علمی شد. یافته های باستان شناسی نشان می دهد که سیستم شمارش مصر باستان ممکن است در جنوب صحرای آفریقا سرچشمه گرفته باشد. علاوه بر این، الگوهای هندسی فراکتال، رایج در فرهنگ‌های آفریقای جنوب صحرا، در طرح‌های معماری مصری و نمادهای کیهانی نیز قابل تشخیص است. سازه‌های مگالیتیک در نبتا پلایا در مصر علیا دانش نجومی پیشرفته‌ای را نشان می‌دهند، از جمله ترتیبات تقویمی همسو با طلوع مارپیچ سیریوس، که کالیبراسیون تقویم سالانه را برای پیش‌بینی سیل نیل تسهیل می‌کند.

جامع‌ترین سند ریاضی مصری، که به نام پاپیروس پاپیروس نیز شناخته می‌شود، است. قدمت آن تقریباً به سال 1650 قبل از میلاد می رسد، اعتقاد بر این است که رونویسی از متن قبلی پادشاهی میانه از حدود 2000 تا 1800 قبل از میلاد است. این پاپیروس به عنوان یک راهنمای آموزشی برای دانش آموزان در ریاضیات و هندسه عمل می کند. علاوه بر ارائه فرمول‌های مساحت و تکنیک‌های ضرب، تقسیم و عملیات با کسر واحد، بینش‌های ریاضی دیگری را نیز نشان می‌دهد. اینها شامل درک اعداد مرکب و اول، میانگین های حسابی، هندسی و هارمونیک، و مفاهیم ابتدایی مربوط به غربال اراتوستن و نظریه اعداد کامل، به ویژه در مورد عدد 6 است. علاوه بر این، پاپیروس روش هایی را برای حل معادلات خطی مرتبه اول و هر دو سری حسابی نشان می دهد.

پاپیروس مسکو نشان‌دهنده یکی دیگر از اسناد ریاضی مهم مصر است که قدمت آن به تقریباً 1890 قبل از میلاد در دوران پادشاهی میانه می‌رسد. این پاپیروس شامل مواردی است که اکنون مشکلات کلمه یا مشکلات داستانی نامیده می شوند، به ظاهر برای اهداف تفریحی طراحی شده اند. نکته قابل توجه، یک مشکل خاص در این مجموعه برای ارائه روشی برای محاسبه حجم یک فروستوم (یک هرم کوتاه) بسیار مهم است.

علاوه بر این، پاپیروس 6619 برلین، مربوط به حدود 1800 سال قبل از میلاد، توانایی مصریان باستان را برای حل معادلات جبری مرتبه دوم نشان می‌دهد.

ریاضیات یونانی

ریاضیات یونانی شامل آثار ریاضی ساخته شده به زبان یونانی است که از دوران تالس از میلتوس (حدود 600 قبل از میلاد) تا انحلال آکادمی آتن در سال 529 بعد از میلاد را در بر می گیرد. اگرچه ریاضیدانان یونانی در شهرهای مختلف در سراسر مدیترانه شرقی، از ایتالیا تا شمال آفریقا، ساکن بودند، اما فرهنگ و میراث زبانی واحدی را به اشتراک گذاشتند. پیشرفت‌های ریاضی در جهان یونان پس از سلطنت اسکندر مقدونی گاهی اوقات به‌عنوان ریاضیات هلنیستی نامیده می‌شوند.

ریاضیات یونان در مقایسه با سیستم‌های ریاضی توسعه یافته توسط تمدن‌های پیشین، سطح بسیار بالاتری از پیچیدگی را از خود نشان دادند. سوابق موجود از ریاضیات پیش از یونان به طور مداوم کاربرد استدلال استقرایی را نشان می دهد، که در آن مشاهدات مکرر برای تدوین قوانین تجربی به کار گرفته می شد. در مقابل، ریاضیدانان یونانی از استدلال قیاسی استفاده کردند. آنها از اصول منطقی برای استنباط از تعاریف و بدیهیات تثبیت شده استفاده کردند و این اشتقاقات را با اثبات ریاضی دقیق اثبات کردند.

پیدایش ریاضیات یونانی عموماً به تالس میلتوس (حدود 624-546 قبل از میلاد) و فیثاغورث 8-505 قبل از میلاد نسبت داده می شود. در حالی که میزان دقیق تأثیرگذاری همچنان موضوع بحث های علمی است، احتمالاً آنها از سنت های ریاضی مصری و بابلی الهام گرفته اند. افسانه بیان می کند که فیثاغورث برای کسب دانش در ریاضیات، هندسه و نجوم از دوران کشیش مصری به مصر سفر کرد.

تالس از اصول هندسی برای حل چالش های عملی، از جمله تعیین ارتفاع اهرام و اندازه گیری فاصله بین کشتی ها و خط ساحلی، استفاده کرد. او به دلیل پیشگامی در کاربرد استدلال قیاسی در هندسه، به ویژه از طریق اشتقاق چهار نتیجه برای قضیه تالس شناخته شده است. در نتیجه، او به عنوان اولین ریاضیدان واقعی و اولین فرد شناخته شده شناخته می شود که به یک کشف ریاضی خاص نسبت داده می شود. فیثاغورث مکتب فیثاغورث را تأسیس کرد، مؤسسه‌ای که اصل اصلی آن بیان می‌کرد که ریاضیات بر کیهان حاکم است، که با شعار آن «همه چیز عدد است» احاطه شده است. فیثاغورثی ها با ابداع اصطلاح "ریاضیات" و آغاز به دنبال مطالعه ریاضی به عنوان یک رشته ذاتی اعتبار دارند. آنها همچنین با اثبات اولیه قضیه فیثاغورث، علیرغم اینکه بیان قضیه دارای نسب تاریخی طولانی است، و با اثبات وجود اعداد غیر منطقی نسبت داده می شوند. در حالی که جدول های ضرب قبلی در میان بابلی ها، هندی ها و چینی ها وجود داشت، ریاضیدان نئوفیثاغورسی نیکوماخوس (60-120 پس از میلاد) یکی از اولین جدول های ضرب یونانی-رومی را تولید کرد. با این حال، باستانی‌ترین جدول ضرب یونانی برجای مانده بر روی یک لوح مومی قرن اول پس از میلاد، که در حال حاضر در موزه بریتانیا نگهداری می‌شود، حک شده است. ارتباط بین نئوفیثاغورثی ها و توسعه غربی جدول ضرب با نام قرون وسطایی بعدی آن تأکید می شود: mensa Pythagorica.

افلاطون (428/427 قبل از میلاد - 348/347 قبل از میلاد) به دلیل نقش مستقیم و الهام بخش خود در ریاضیات فرعی در تاریخ اهمیت قابل توجهی دارد. آکادمی افلاطونی او در آتن به عنوان مرکز جهانی تحقیقات ریاضی در طول قرن چهارم قبل از میلاد ظهور کرد و ریاضیدانان برجسته آن عصر، از جمله یودکسوس کنیدوس (حدود 390 - 340 قبل از میلاد) را به وجود آورد. علاوه بر این، افلاطون با اصول بنیادی ریاضیات درگیر شد و تعاریف متعددی را اصلاح کرد، مانند مشخص کردن یک خط به عنوان "طول بی عرض".

Eudoxus روش فرسودگی را فرموله کرد، پیش‌روی اساسی برای حساب انتگرال مدرن، در کنار نظریه نسبت‌ها که با موفقیت پیچیدگی‌های قدرهای غیرقابل قیاس را دور زد. نوآوری اول محاسبه مساحت ها و حجم ها را برای اشکال منحنی تسهیل می کند، در حالی که دومی به هندسه های بعدی قدرت می دهد تا به پیشرفت قابل توجهی در این زمینه دست یابند. اگرچه ارسطو (384–ج. 322 قبل از میلاد) اکتشافات ریاضی فنی خاصی نداشت، مشارکت او در توسعه ریاضیات، عمدتاً از طریق ایجاد اصول اساسی منطق، عمیق بود.

در طول قرن سوم قبل از میلاد، موزه اسکندریه به عنوان مرکز برجسته آموزش ریاضی و تحقیقات علمی عمل می کرد. اقلیدس (ج. 300 قبل از میلاد) در این مؤسسه تدریس می‌کرد و اثر مهم عناصر را تألیف می‌کرد که به طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب درسی تاریخ شناخته می‌شود. عناصر با به کارگیری روش بدیهی، ایجاد یک ساختار بنیادی - متشکل از تعاریف، بدیهیات، قضایا و براهین - که در ریاضیات معاصر رایج است، پیشگام سختگیری ریاضی شد. در حالی که بسیاری از مطالب موجود در عناصر از قبل وجود داشتند، اقلیدس به طور سیستماتیک آن را در چارچوبی یکپارچه و منطقی سازگار سازمان داد. عناصر تا اواسط قرن بیستم سنگ بنای آموزش غربی باقی ماندند و اصول آن همچنان جزء برنامه های درسی هندسه مدرن است. فراتر از قضایای شناخته شده هندسه اقلیدسی، عناصر به عنوان متنی اساسی برای تمام رشته های ریاضی عصر خود عمل می کرد که شامل نظریه اعداد، جبر و هندسه جامد می شد و به طور مشخص شامل برهانی برای غیرمنطقی بودن جذر دو و عدد بی نهایت بود. خروجی پربار اقلیدس به زمینه های متنوعی از جمله مقاطع مخروطی، اپتیک، هندسه کروی و مکانیک گسترش یافت. با این حال، تنها نیمی از آثار کامل او ماندگار شده است.

ارشمیدس (c. 287–212 قبل از میلاد) اهل سیراکیوز، که به طور گسترده به عنوان ریاضیدان برجسته دوران باستان تحسین شده بود، از روش خستگی برای تعیین ناحیه زیر یک کمان سهموی جدید در یک سری مجموع مجدد سهموی، از طریق مجموعه‌ای از مجموع یک تاکین جدید استفاده کرد. علاوه بر این، او کاربرد روش اگزوز را برای محاسبه مقدار π به هر درجه دقت دلخواه نشان داد و به دقیق ترین تقریب شناخته شده در آن زمان دست یافت: 3+⁠10/71⁠ π < 3+⁠§1718§/70⁠. ارشمیدس همچنین مارپیچ همنام را بررسی کرد که فرمول‌های مشتق شده برای حجم سطوح مختلف چرخش (شامل پارابولوئیدها، بیضی‌ها و هیپربولوئیدها) را بررسی کرد و روشی مبتکرانه برای قدرت‌یابی برای نمایش مقادیر عددی فوق‌العاده بزرگ ابداع کرد. اگرچه ارشمیدس به دلیل مشارکت در فیزیک و اختراع چندین دستگاه مکانیکی پیچیده شناخته شده بود، اما خود ارشمیدس نتایج تلاش‌های فکری و اصول اساسی ریاضی خود را در اولویت قرار داد. او مهمترین دستاورد خود را تعیین مساحت و حجم یک کره می‌دانست که با نشان دادن این که این اقدامات دقیقاً دو سوم سطح و حجم متناظر یک استوانه است که کره را احاطه کرده است، به دست آورد.

آپولونیوس از پرگا (c. 262–190 قبل از میلاد) به طور قابل توجهی مطالعه برش های مخروطی را پیش برد و نشان داد که هر سه نوع - سهمی، بیضی و هذلولی - می توانند با تغییر زوایای متقابل صفحه ای که در آن زوایای متقابل a مضاعف هستند ایجاد شوند. او همچنین به ابداع اصطلاحات معاصر برای مقاطع مخروطی اعتبار داده شده است: سهمی (برگرفته از یونانی برای "محل کنار" یا "مقایسه")، بیضی ("کمبود") و هذلولی ("پرتاب فراتر"). رساله او، مخروطی، به عنوان یکی از مشهورترین و به خوبی حفظ شده‌ترین متون ریاضی از دوران باستان است که حاوی قضایای متعددی در مورد برش‌های مخروطی است که برای ریاضی‌دانان و ستاره‌شناسان بعدی، از جمله ایزاک نیوتن، در تحقیقاتشان در مورد حرکت سیارات ضروری است. اگرچه آپولونیوس و هم‌عصران یونانی‌اش هندسه مختصات را توسعه ندادند، رویکرد او به منحنی‌ها شباهت‌های قابل‌توجهی با روش‌شناسی‌های مدرن دارد، به‌طوری که جنبه‌های خاصی از کار او ظاهراً پیش‌بینی‌کننده توسعه هندسه تحلیلی رنه دکارت در حدود 1800 سال بعد است.

در هم‌زمان، اراتوستن سیرنی (ج. 276–194 قبل از میلاد) غربال اراتوستن را توسعه داد، الگوریتمی برای شناسایی اعداد اول. قرن 3 قبل از میلاد به طور گسترده ای به عنوان "عصر طلایی" ریاضیات یونان در نظر گرفته می شود، پس از آن پیشرفت در ریاضیات محض کاهش نسبی را تجربه کرد. با وجود این، قرن‌های بعدی شاهد پیشرفت‌های قابل توجهی در ریاضیات کاربردی، به‌ویژه مثلثات بودیم که عمدتاً ناشی از الزامات نجومی بود. هیپارخوس نیقیه (c. 190–120 قبل از میلاد) به عنوان مبتکر مثلثات شناخته می شود، زیرا اولین جدول مثلثاتی شناخته شده را گردآوری کرده و کاربرد سیستماتیک دایره 360 درجه را معرفی کرده است. هرون اسکندریه (c. 10–70 پس از میلاد) با فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث اسکلن و برای اولین کسی که پتانسیل اعداد منفی را برای داشتن ریشه مربع تصدیق کرد، اعتبار دارد. منلائوس اسکندریه (c. 100 پس از میلاد) مثلثات کروی را با قضیه همنام خود ابداع کرد. جامع ترین و تاثیرگذارترین رساله مثلثاتی از دوران باستان، کتاب بطلمیوس (ق.  90 پس از میلاد–168) آلماجست است، یک متن نجومی محوری که جداول مثلثاتی آن توسط اخترشناسان برای هزاره مورد استفاده باقی ماند. بطلمیوس همچنین برای قضیه بطلمیوس که برای استخراج مقادیر مثلثاتی و برای ارائه دقیق‌ترین مقدار π در خارج از چین تا دوران قرون وسطی به‌عنوان 3.1416 استفاده می‌شود، استفاده می‌شود.

پس از دوره ای از رکود فکری پس از بطلمیوس، فاصله بین 250 تا 350 بعد از میلاد گهگاه به عنوان "عصر نقره" ریاضیات یونانی نامیده می شود. در این دوره، دیوفانتوس پیشرفت قابل توجهی در جبر، به ویژه در تجزیه و تحلیل نامعین، که به عنوان "تحلیل دیوفانتین" نیز شناخته می شود، به دست آورد. بررسی معادلات دیوفانتین و تقریب دیوفانتین همچنان یک زمینه برجسته تحقیقاتی است. کار اصلی او، Arithmetica، شامل 150 مسئله جبری است که بر حل های دقیق معادلات معین و نامعین متمرکز شده است. Arithmetica عمیقاً بر ریاضیدانان بعدی، از جمله پیر دو فرما، تأثیر گذاشت، که آخرین قضیه مشهور خود را در حالی که تلاش می کرد یک مسئله از Arithmetica را در مورد تقسیم مربع به دو مربع تعمیم دهد، تصور کرد. دیوفانتوس همچنین کمک قابل توجهی به نمادهای ریاضی کرد، با Arithmetica که نشان دهنده اولین استفاده شناخته شده از نمادهای جبری و همزمانی است.

پاپوس اسکندریه (قرن چهارم پس از میلاد) به عنوان یکی از آخرین ریاضیدانان برجسته یونانی شناخته می شود. مشارکت های او شامل قضیه شش ضلعی، قضیه مرکز، پیکربندی پاپوس و نمودار پاپوس است. کار او، مجموعه، منبع اصلی برای درک ریاضیات یونانی است، با توجه به اینکه اکثریت آن حفظ شده است. پاپوس به عنوان مبتکر مهم نهایی در ریاضیات یونانی در نظر گرفته می شود، زیرا مطالعات بعدی عمدتاً شامل تفسیرهایی بر آثار قبلی بود.

هیپاتیا اسکندریه (350-415 پس از میلاد) به عنوان اولین ریاضیدان زن مستند شده است که رساله های متعددی در مورد ریاضیات کاربردی نوشته است. به دلیل یک درگیری سیاسی، او در ملاء عام توسط جامعه مسیحی اسکندریه خلع شد و اعدام شد. مرگ او گهگاه به عنوان پایان دوره ریاضیات یونان اسکندریه در نظر گرفته می شود، اگرچه فعالیت های علمی در آتن برای یک قرن بیشتر از طریق چهره هایی مانند پروکلوس، سیمپلیسیوس و اوتوسیوس ادامه یافت. در حالی که پروکلوس و سیمپلیسیوس عمدتاً فیلسوف بودند تا ریاضیدانان، تفسیرهای آنها بر متون قبلی، بینش ارزشمندی را در مورد ریاضیات یونانی ارائه می دهد. بسته شدن آکادمی نوافلاطونی آتن توسط امپراتور ژوستینیان در سال 529 پس از میلاد، معمولاً به عنوان پایان دوره ریاضیات یونانی تلقی می شود. با این حال، سنت فکری یونان به طور مداوم در امپراتوری بیزانس دوام آورد، که نمونه آن را ریاضی دانانی مانند Anthemius of Tralles و Isidore of Miletus، که معماران ایاصوفیه بودند، نشان دادند. با این وجود، ریاضیات بیزانسی عمدتاً شامل تفسیرهایی بود که حداقل نوآوری را نشان می‌داد، زیرا کانون‌های پیشرفت ریاضی تا آن زمان به مناطق دیگر منتقل شده بود.

رومی

در حالی که ریاضیدانان قومی یونانی در اواخر جمهوری روم و پس از آن امپراتوری روم ادامه داشتند، غیبت قابل توجهی از ریاضیدانان بومی لاتین مشخصه این دوره بود. رومی‌های برجسته، مانند سیسرو سیاستمدار بانفوذ (106-43 قبل از میلاد)، که مطالعات ریاضی را در یونان دنبال می‌کرد، مشاهده کردند که نقشه‌برداران و ماشین‌حساب‌های رومی عمدتاً بر ریاضیات کاربردی تمرکز می‌کنند و به شدت در تضاد با ریاضیات نظری و هندسه است که یونانیان ارزش زیادی برای آن قائل بودند. منشأ دقیق سیستم عددی رومی همچنان نامشخص است، با اشتقاق‌های بالقوه از سوابق یونانی یا اعداد اتروسکی که توسط تمدن اتروسکی که مرکز آن در توسکانی امروزی، ایتالیا مرکزی بود، استفاده شده است.

مهارت‌های محاسباتی رومی به‌طور گسترده برای شناسایی و جلوگیری از تقلب‌های مالیاتی کارآمد در کنار خزانه به کار گرفته شد. سیکولوس فلاکوس، gromaticus (بررس زمین) برجسته رومی، اثر مهم دسته‌های مزارع را تالیف کرد که راهنمایی ضروری برای نقشه‌برداران رومی در تعیین دقیق سطح زمین‌ها و قلمروهای اختصاص داده شده بود. فراتر از تجارت و مالیات، رومی ها به طور معمول از ریاضیات در چالش های مهندسی استفاده می کردند که شامل ساخت و سازهای معماری مانند پل ها، توسعه زیرساخت جاده ها و برنامه ریزی نظامی استراتژیک می شد. علاوه بر این، تلاش‌های هنری، مانند موزاییک‌های رومی، که از زیبایی‌شناسی یونانی قبلی الهام می‌گرفت، الگوهای هندسی توهم‌گرایانه و تصاویر پیچیده و دقیق را در خود جای داده بود. این اندازه گیری های دقیق برای هر کاشی تسرایی نیاز داشت. برای مثال، قطعات opus tessellatum معمولاً هشت میلی‌متر مربع اندازه‌گیری می‌کردند، در حالی که قطعات opus vermiculatum تصفیه‌شده‌تر به‌طور میانگین چهار میلی‌متر مربع بودند.

توسعه تقویم رومی ذاتاً به اصول اساسی ریاضی نیاز داشت. اولین تکرار، که ظاهراً در قرن هشتم قبل از میلاد در زمان پادشاهی روم سرچشمه می گیرد، شامل 356 روز بود و هر دو سال یک سال کبیسه را شامل می شد. برعکس، تقویم قمری دوره جمهوری 355 روز، تقریباً ده و ربع روز کوتاه‌تر از سال شمسی بود. این اختلاف با اضافه کردن یک ماه دیگر پس از 23 فوریه برطرف شد. این سیستم متعاقباً با تقویم جولیانی جایگزین شد، تقویم خورشیدی که توسط جولیوس سزار (100–44 قبل از میلاد) و توسط Sosigenes اسکندریه طراحی شد، که یک چرخه 365 روزه را با یک روز کبیسه هر چهار سال یک بار ایجاد کرد. علیرغم نوآوری، تقویم جولیان حاوی خطای 11 دقیقه و 14 ثانیه بود که بعداً توسط تقویم میلادی که توسط پاپ گریگوری سیزدهم سازماندهی شد (r. 1572–1585) اصلاح شد. تقویم میلادی اساساً همان تقویم شمسی است که به عنوان استاندارد بین المللی در دوران معاصر پذیرفته شده است.

هم‌زمان، هم چینی‌ها و هم رومی‌ها به‌طور مستقل کیلومترشمار چرخ‌دار را برای اندازه‌گیری فواصل توسعه دادند. نسخه رومی در ابتدا توسط مهندس عمران و معمار ویترویوس (ج. 80 قبل از میلاد – حدود  15 قبل از میلاد) مستند شد. این ابزار حداقل تا زمان سلطنت امپراتور کومودوس (r. 177 – 192 پس از میلاد) مورد استفاده قرار گرفت، پس از آن به نظر می‌رسد طراحی آن تا زمانی که آزمایش‌های مجدد در اروپای غربی در طول قرن پانزدهم انجام شد، از بین رفته است. کیلومترشمار ویتروویوس که به طور بالقوه از چرخ دنده و فناوری مشابه مکانیزم Antikythera استفاده می کند، از چرخ های ارابه به قطر 4 فوت (1.2 متر) استفاده می کند که چهارصد چرخش در هر مایل رومی (تقریباً 4590 فوت / 1400 متر) را تکمیل می کند. هر چرخش یک مجموعه پین و محور را فعال می کرد که یک چرخ دنده 400 دندانه ای را درگیر می کرد و متعاقباً یک چرخ دنده ثانویه را می چرخاند که برای قرار دادن سنگریزه ها در یک ظرف طراحی شده بود و هر سنگریزه نشان دهنده یک مایل طی شده است.

چینی

تحلیل‌های ریاضیات اولیه چینی، یک خط سیر تکاملی متمایز را در مقایسه با سایر مناطق جهانی نشان می‌دهد که نشان‌دهنده یک تکامل کاملاً مستقل است. قدیمی ترین متن ریاضی موجود از چین Zhoubi Suanjing (周髀算經) است که قدمت آن از 1200 قبل از میلاد تا 100 قبل از میلاد است، اگرچه تقریباً 300 سال قبل از میلاد در طول دوره کشورهای متخاصم تخمین قابل قبولی در نظر گرفته می شود. با این وجود، ورقه‌های بامبو Tsinghua، که حاوی اولین جدول ضرب اعشاری شناخته شده است (برخلاف جدول‌های پایه 60 بابلی‌های باستان)، مربوط به حدود 305 قبل از میلاد است و ممکن است قدیمی‌ترین سند ریاضی باقی‌مانده چین را نشان دهد.

یک ویژگی قابل توجه ریاضیات چینی، سیستم نمادگذاری موقعیت اعشاری آن بود که به "اعداد میله ای" معروف است. این سیستم از رمزهای متمایز برای اعداد صحیح از 1 تا 10، در کنار رمزهای اضافی برای توان های ده استفاده می کرد. به عنوان مثال، عدد 123 با نماد "1"، پس از آن نماد "100"، سپس نماد "2"، پس از آن نماد "10" و در نهایت نماد "3" نمایش داده می شود. این سیستم پیچیده‌ترین سیستم عددی جهان را در طول دوره خود تشکیل می‌داد، که طبق گزارش‌ها قرن‌ها قبل از عصر رایج و قبل از توسعه سیستم اعداد هندی مورد استفاده قرار می‌گرفت. اعداد میله ای نمایش اعداد خودسرانه بزرگ را تسهیل کردند و محاسبات را با استفاده از suan pan یا چرتکه چینی فعال کردند. در حالی که تاریخ دقیق اختراع suan pan مشخص نشده است، اولین مرجع مستند آن در سال 190 پس از میلاد در اثر Xu Yue، یادداشت‌های تکمیلی در مورد هنر پیکره‌ها ظاهر می‌شود.

اولین رساله هندسی باقی‌مانده در چین، تقریباً منشأ آن را می‌داند. title="circa">c. 330 قبل از میلاد، که توسط شاگردان موزی (470–390 قبل از میلاد) گردآوری شده است. این متن، که به عنوان مو جینگ شناخته می شود، جنبه های مختلفی از علم فیزیکی را در بر می گیرد و چندین قضیه هندسی را ارائه می دهد. علاوه بر این، تعاریفی را برای مفاهیم اساسی مانند محیط، قطر، شعاع و حجم ایجاد کرد.

در سال 212 قبل از میلاد، امپراتور «کین شی هوانگ» فرمان نابودی همه کتاب‌های موجود در امپراتوری «کین» را صادر کرد، به استثنای کتاب‌هایی که رسماً تأیید شده‌اند. اگرچه این فرمان به طور جهانی اجرا نشد، اما دانش ریاضیات چینی باستان قبل از این دوره را به میزان قابل توجهی محدود کرد. پس از سوزاندن کتاب در سال 212 قبل از میلاد، سلسله هان (202 قبل از میلاد تا 220 پس از میلاد) متون ریاضی را تولید کردند که احتمالاً بر اساس آثار گمشده قبلی ساخته شده بودند. برجسته ترین در میان آنها نه فصل در هنر ریاضی است که عنوان کامل آن در سال 179 پس از میلاد پدیدار شد، اگرچه بخش هایی از قبل با نام های مختلف وجود داشتند. این رساله شامل 246 مسئله عملی است که کشاورزی، بازرگانی، کاربرد هندسه برای تعیین ارتفاع و نسبت ابعادی برج‌های بتکده چینی، مهندسی و نقشه‌برداری را به همراه مواد روی مثلث‌های قائم الزاویه پوشش می‌دهد. اثبات های ریاضی برای قضیه فیثاغورث و فرمولی برای حذف گاوسی ارائه کرد. متن همچنین تقریب های مختلفی را برای π ارائه کرد. ریاضیدانان چینی در ابتدا از 3 استفاده کردند تا اینکه لیو شین (متوفی 23 پس از میلاد) 3.1457 را پیشنهاد کرد، و متعاقباً ژانگ هنگ (78-139) π را به 3.1724 تقریب زد و همچنین 3.162 را با محاسبه ریشه دوم 10. در قرن سوم Huters نظری در مورد Huters ارائه شد. و مقدار π را با دقت پنج رقم اعشار (3.14159) اصلاح کرد. بعدها، در قرن پنجم پس از میلاد، زو چونگجی، با نشان دادن قدرت محاسباتی قابل توجه، π را تا هفت رقم اعشار محاسبه کرد (که بین 3.1415926 و 3.1415927 قرار می گیرد)، دقتی که برای نزدیک به یک هزاره بی نظیر باقی ماند. او همچنین روشی را که بعدها به عنوان اصل کاوالیری شناخته شد، برای تعیین حجم یک کره ابداع کرد.

اوج دستاوردهای ریاضی چین در قرن سیزدهم، در نیمه دوم سلسله سونگ (960-1279) رخ داد که با پیشرفت های قابل توجهی در جبر چینی مشخص شد. تأثیرگذارترین متن از این دوران آینه گرانبهای چهار عنصر اثر ژو شیجی (1249-1314) است که حل معادلات جبری مرتبه بالاتر همزمان را از طریق تکنیکی شبیه به روش هورنر می‌پردازد. آینه گرانبها همچنین دارای نموداری از مثلث پاسکال است که ضرایب انبساط دوجمله‌ای را تا توان هشتم نشان می‌دهد، اگرچه هر دو مفهوم در آثار چینی در اوایل سال 1100 وجود داشتند. علاوه بر این، ریاضی‌دانان چینی از نمودارهای ترکیبی پیچیده و نمودارهای جادویی مانند دایره‌های جادویی توصیف شده‌اند. یانگ هوی (1238-1298 میلادی).

علی‌رغم شکوفایی ریاضیات اروپایی در دوران رنسانس، سنت‌های ریاضی اروپا و چین تا حد زیادی متمایز باقی ماندند. خروجی ریاضی چین از قرن سیزدهم به بعد کاهش قابل توجهی را تجربه کرد. مبلغان یسوعی، از جمله ماتئو ریچی، به عنوان مجرای تبادل مفاهیم ریاضی بین این دو فرهنگ از قرن 16 تا 18 خدمت کردند، اگرچه در این دوره، جریان دانش ریاضی عمدتاً به جای خارج شدن به چین منتقل شد.

سنت‌های ریاضی ژاپن، کره و ویتنام از نظر تاریخی از ریاضیات چینی سرچشمه می‌گیرند و در نتیجه آنها را در حوزه فرهنگی آسیای شرقی تحت تأثیر کنفوسیوس قرار می‌دهند. ریاضیات کره ای و ژاپنی عمیقاً تحت تأثیر تحولات جبری سلسله سونگ چین قرار گرفتند، در حالی که ریاضیات ویتنامی به طور قابل توجهی تحت تأثیر آثار محبوب سلسله مینگ چین (1368-1644) قرار گرفت. برای مثال، رساله‌های ریاضی ویتنامی، صرف نظر از اینکه به خط چینی نوشته شده‌اند یا به خط بومی Chữ Nôm ویتنامی، پیوسته از قالب چینی پیروی می‌کنند: ارائه مجموعه‌ای از مسائل، به دنبال آن الگوریتم‌هایی برای حل آنها، و نتیجه‌گیری با پاسخ‌های عددی. در حالی که ریاضیات در ویتنام و کره عمدتاً با بوروکراسی حرفه ای دربار ریاضیدانان و منجمان مرتبط بود، در ژاپن، عمل آن در موسسات آموزشی خصوصی گسترده تر بود.

ریاضیات هندی

قدیمی‌ترین تمدن شناسایی‌شده در شبه قاره هند، تمدن دره سند است که در حوضه رودخانه سند در مرحله دوم بلوغ خود (2600 تا 1900 قبل از میلاد) رشد کرد. اگرچه مراکز شهری آن‌ها نظم هندسی را در طرح‌بندی خود نشان می‌دادند، اما هیچ سند ریاضی از این تمدن تا به امروز کشف نشده است.

قدیمی‌ترین سوابق ریاضی موجود از هند، سولبا سوتراها هستند، متن‌هایی که تاریخ‌های مختلفی را بین قرن هشتم قبل از میلاد تا قرن دوم پس از میلاد دارند. این ضمائم به متون مذهبی قواعد مستقیمی را برای ساختن محراب هایی با اشکال هندسی متنوع، از جمله مربع، مستطیل و متوازی الاضلاع ارائه می دهد. مانند مصر باستان، اشتغال به کارکردهای معبد نشان می دهد که ریاضیات از مناسک مذهبی سرچشمه گرفته است. روش‌های سولبا سوتراس برای ساختن دایره‌ای با مساحت تقریباً معادل یک مربع معین، به تفصیل توضیح می‌دهند، بنابراین چندین تقریب متمایز برای مقدار π را بیان می‌کنند. علاوه بر این، این متون ریشه دوم 2 را تا چندین رقم اعشار محاسبه می‌کنند، سه‌گانه‌های فیثاغورث را برمی‌شمارند، و بیانیه‌ای از قضیه فیثاغورث را بیان می‌کنند. وجود همه این نتایج در ریاضیات بابلی نشان دهنده نفوذ بین النهرین است. میزان تأثیر سوتراس‌ها بر ریاضیدانان بعدی هند هنوز مشخص نیست. همانطور که در چین مشاهده شد، ریاضیات هندی عدم تداوم را نشان می دهد، با پیشرفت های قابل توجهی که اغلب با دوره های طولانی عدم فعالیت از هم جدا می شوند.

پانینی (حدود قرن پنجم قبل از میلاد) قواعدی را برای دستور زبان سانسکریت فرموله کرد، با استفاده از یک سیستم نشانه گذاری که شباهت به تغییرات و دگرگونی های ریاضی مدرن داشت. پینگالا (تقریباً سده های سوم تا یکم قبل از میلاد)، در رساله خود در مورد عروض، از دستگاهی مطابق با یک سیستم اعداد دوتایی استفاده کرد. بحث او در مورد ترکیبیات مترها با نسخه ابتدایی قضیه دو جمله ای همسو می شود. کار پینگالا علاوه بر این، حاوی ایده‌های بنیادی اعداد فیبوناچی است که به‌عنوان mātrāmeru تعیین می‌شوند.

پس از Sulba Sutras، اسناد ریاضی مهم بعدی از هند Siddhantas، رساله‌های نجومی از قرن چهارم قرن بیستم و قرن پنجم میلادی است. نفوذ اهمیت آنها در شامل اولین نمونه از روابط مثلثاتی مبتنی بر نیم وتر است، روشی که با مثلثات مدرن سازگار است، برخلاف رویکرد وتر کامل رایج در مثلثات بطلمیوسی. از طریق یک سری اشتباهات ترجمه، کلمات انگلیسی "sine" و "cosine" به ترتیب از اصطلاحات سانسکریت "jiya" و "kojiya" مشتق شده‌اند.

حدود 500 پس از میلاد، آریابهاتا Aryabhatiya را نوشت، یک جلد مختصر که در شعر نوشته شده است. این کار برای تکمیل قواعد محاسبه مورد استفاده در نجوم و اندازه‌گیری ریاضی در نظر گرفته شده بود، اگرچه تاکید قابل‌توجهی بر منطق یا روش قیاسی نداشت. Aryabhatiya به دلیل داشتن اولین ظاهر شناخته شده سیستم ارزش مکانی اعشاری قابل توجه است. چندین قرن بعد، ریاضیدان مسلمان، ابوریحان بیرونی، Aryabhatiya را به عنوان "ترکیبی از سنگریزه های معمولی و کریستال های گران قیمت" توصیف کرد.

در طول قرن هفتم، براهماگوپتا قضیه براهماگوپتا، هویت براهماگوپتا و فرمول براهماگوپتا را فرموله کرد. رساله او، برهما-اسفوتا-سیدهانتا، به ویژه اولین توضیح واضح از تابع دوگانه صفر را هم به‌عنوان مکان‌دار و هم به‌عنوان رقم اعشاری، همراه با توضیح جامعی از سیستم اعداد هندو-عربی ارائه کرد. ترجمه ای از این متن ریاضی هندی در حدود سال 770 پس از میلاد، سیستم اعداد را به ریاضیدانان اسلامی معرفی کرد که متعاقباً آن را به اعداد عربی تطبیق دادند. در قرن دوازدهم، دانشمندان اسلامی این سیستم عددی را در اروپا منتشر کردند، جایی که در نهایت جانشین همه سیستم‌های پیشین در سطح جهانی شد. سیستم اعداد هندو-عربی از مجموعه‌های نمادهای متنوعی استفاده می‌کند که همگی از اعداد براهمی سرچشمه می‌گیرند، و هر یک از دوازده خط اصلی هند دارای علامت‌های اعداد متمایز خود هستند. علاوه بر این، در قرن دهم، تفسیر هالایودا بر نوشته‌های پینگالا شامل تحلیلی از دنباله فیبوناچی و مثلث پاسکال بود.

بهاسکارا دوم، محقق قرن دوازدهم از جنوب هند، آثار گسترده ای در مورد دانش ریاضی معاصر ارائه داد. رساله های نجومی او حاوی یافته هایی بود که محققان بعدی آنها را به عنوان پیش درآمد روش های بی نهایت کوچک اولیه تفسیر کردند. به طور خاص، نوشته‌های او شامل مفاهیم تقریبی بی‌نهایت‌های کوچک و نمونه‌ای خاص از قضیه مقدار میانگین است که برای درونیابی معکوس سینوس اعمال می‌شود. علاوه بر این، Bhaskara II پیشرفت‌های جبری قابل توجهی انجام داد، از جمله تکنیک‌هایی برای حل معادلات نامشخص، که بعداً به عنوان معادلات Pell شناخته شدند، که او از طریق روش‌های چرخه‌ای مانند روش چاکراوالا به آن پرداخت. در قرن چهاردهم، نارایانا پاندیتا اثر جامع خود را به نام گانیتا کامودی تالیف کرد.

در قرن چهاردهم همچنین شاهد مشارکت ماداوا از سانگماگراما بود که مدرسه ریاضیات کرالا را تأسیس کرد. ماداوا سری مدهاوا-لایب‌نیتس را کشف کرد، که از آن یک سری تبدیل شده استخراج کرد و از 21 عبارت اولیه آن برای محاسبه π با دقت بالا استفاده کرد (3.14159265359). یافته های مهم دیگر او شامل سری مادهاوا-گرگوری برای تعیین تانژانت، سری توان مادهاوا-نیوتن برای سینوس و کسینوس و تقریب تیلور برای توابع سینوس و کسینوس است. متعاقباً، در قرن شانزدهم، Jyesthadeva پیشرفت‌ها و قضایای متعددی از مکتب کرالا را در Yukti-bhāṣā گردآوری کرد. یک بحث علمی در مورد انتقال بالقوه مفاهیم خاص حساب دیفرانسیل و انتگرال، مانند سری های بی نهایت و سری تیلور برای توابع مثلثاتی، به اروپا در طول قرن شانزدهم وجود دارد. طرفداران پیشنهاد می‌کنند که این امر از طریق مبلغان و بازرگانان یسوعی که در نزدیکی بندر باستانی موزیریس فعالیت می‌کردند، رخ داده است و در نتیجه مستقیماً بر تحولات بعدی اروپا در تجزیه و تحلیل و محاسبات تأثیر می‌گذارد. برعکس، سایر محققان معتقدند که مکتب کرالا نظریه سیستماتیک تمایز و ادغام را توسعه نداده است و شواهد مستقیم قطعی برای انتقال یافته‌های آنها به فراسوی کرالا وجود ندارد.

امپراتوری های اسلامی

امپراتوری اسلامی که تا قرن هشتم در سراسر خاورمیانه، آسیای مرکزی، آفریقای شمالی، ایبریا و بخش‌هایی از هند گسترش یافت، سهم قابل توجهی در ریاضیات داشت. در حالی که اکثر متون ریاضی اسلامی به زبان عربی سروده شده بودند، تألیف آنها منحصراً عربی نبود. این پدیده زبانی نقش یونانی را در جهان هلنیستی منعکس می کرد، جایی که زبان عربی به عنوان زبان علمی برای روشنفکران غیر عرب در سراسر قلمرو اسلامی در آن دوران بود.

در قرن نهم، محمد بن موسی الخوارزمی، ریاضیدان ایرانی، رساله‌های مهمی درباره اعداد هندو-عربی و روش‌شناسی برای حل معادلات تألیف کرد. کار او، درباره محاسبه با اعداد هندو، که در حدود سال 825 پس از میلاد به نگارش درآمد، در کنار مشارکت های الکندی، نقشی اساسی در انتشار مفاهیم ریاضی هندی و سیستم های عددی در سراسر جهان غرب ایفا کرد. اصطلاح الگوریتم از نظر ریشه شناسی از شکل لاتینی نام او، Algoritmi گرفته شده است، در حالی که کلمه جبرا از عنوان یکی از آثار مهم او، الکتاب المختصر فی حصاب الغاب القابل (مطالعه و حسابرسی) سرچشمه گرفته است. توسط تکمیل و تعادل). الخوارزمی شرح جامعی در مورد تفکیک جبری معادلات درجه دوم، به ویژه آنهایی که ریشه های مثبت دارند، ارائه کرد و به عنوان اولین کسی که جبر را در قالبی ابتدایی ارائه کرد، به جای اینکه صرفاً به عنوان یک ابزار حل مسئله مورد مطالعه قرار گیرد، به صورت ذاتی مورد مطالعه قرار گرفت. او همچنین اصول اساسی «کاهش» و «تعادل» را توضیح داد که به ترتیب به جابجایی عبارت‌های تفریق شده به طرف مقابل معادله و لغو عبارت‌های یکسان در طرف مقابل اشاره دارد. این عملیات خاص در ابتدا توسط الخوارزمی به عنوان الجبر تعیین شد. چارچوب جبری او یک تغییر مفهومی را نشان می‌دهد، که فراتر از «مجموعه‌ای از مسائلی است که باید حل شوند» به «شرح ارائه‌ای که با اصطلاحات ابتدایی شروع می‌شود که در آن ترکیب‌ها باید تمام نمونه‌های اولیه ممکن را برای معادلات ارائه دهند، که از این پس به صراحت هدف واقعی مطالعه را تشکیل می‌دهند». علاوه بر این، او معادلات را برای ویژگی‌های ذاتی آن‌ها و «به شیوه‌ای عمومی، تا جایی که صرفاً در جریان حل یک مسئله پدیدار نمی‌شود، بلکه به طور خاص برای تعریف یک کلاس نامتناهی از مسائل فراخوانده می‌شود، بررسی کرد.»

در مصر، ابوکامیل نظریه جبری را با ترکیب کردن ریشه‌های چهارگانه به عنوان اعداد غیرمنطقی به عنوان اعداد غیرمنطقی، به عنوان اعداد غیرمنطقی پیش برد. معادلات درجه دوم او همچنین تکنیک‌های پیچیده‌ای را برای حل سیستم‌های سه معادله غیرخطی همزمان با سه متغیر مجهول ابداع کرد. ویژگی متمایز بورس تحصیلی او، پیگیری همه جانبه همه راه حل های بالقوه برای مشکلات خاص بود که نمونه ای از آن بود که او 2676 راه حل را شناسایی کرد. مشارکت‌های او پایه‌ای حیاتی برای تکامل بعدی جبر ایجاد کرد و به طور قابل‌توجهی بر ریاضیدانان بعدی، از جمله الکرجی و فیبوناچی تأثیر گذاشت.

الکرجی جبر را در رساله الفخری خود توسعه داد، جایی که او روش‌شناسی را گسترش داد تا قدرت‌های اعداد صحیح و قدرت‌های اعداد ناشناخته را در بر بگیرد. روشی بسیار شبیه اثبات با استقراء ریاضی در کتابی که الکرجی در حدود سال 1000 پس از میلاد تألیف کرده بود، ظاهر شد که او از آن برای نشان دادن قضیه دو جمله ای، مثلث پاسکال و جمع مکعب های انتگرال استفاده کرد. مورخ ریاضیات، F. Woepcke، الکراجی را به خاطر این که «اولین کسی بود که نظریه حساب جبری را معرفی کرد» تحسین کرد. همزمان در قرن دهم، ابوالوفا ترجمه آثار دیوفانتوس را به عربی انجام داد. ابن هیثم ریاضیدان پیشگامی بود که فرمول مجموع قدرتهای چهارم را استخراج کرد و از روشی به آسانی قابل تعمیم برای تعیین فرمول جهانی برای مجموع هر قدرت انتگرالی استفاده کرد. او همچنین یک ادغام را برای تعیین حجم یک پارابولوئید انجام داد و با موفقیت یافته های خود را برای انتگرال های چندجمله ای ها تا درجه چهارم تعمیم داد. در حالی که به یک فرمول کلی برای انتگرال های چند جمله ای نزدیک می شد، تحقیقات او فراتر از چند جمله ای های درجه چهارم گسترش نمی یافت.

در اواخر قرن یازدهم، عمر خیام بحثیات دشواری های اقلیدس را نوشت، که یک بررسی انتقادی از کمبودهای درک شده در اقلیدس است. فرض او همچنین به عنوان اولین کسی که یک راه حل هندسی کلی برای معادلات مکعب ارائه کرد شناخته شد. علاوه بر این، کار او در حوزه اصلاحات تقویم بسیار تأثیرگذار بود.

در طول قرن سیزدهم، نصیرالدین طوسی (ناصرالدین) پیشرفت‌های چشمگیری در مثلثات کروی کرد و پژوهش‌های مؤثری در مورد اصل موازی اقلیدس ایجاد کرد. در قرن پانزدهم، غیاث الکشی مقدار π را تا 16 رقم اعشار به دقت محاسبه کرد. کاشی همچنین الگوریتمی را برای محاسبه ریشه های n توسعه داد، روشی که تکنیک هایی را که بعدها توسط روفینی و هورنر قرن ها بعد ارائه شد، پیش بینی کرد.

مشارکت های قابل توجه ریاضیدانان مسلمان در این دوران شامل ادغام نماد اعشاری با اعداد عربی، شناسایی تمام توابع مثلثاتی معاصر به جز سینوس، کار پیشگام الکندی در تحلیل رمز و تحلیل فرکانس، پیشرفت ابن هیثم در تلاش های خاتمیت در تحلیل، و ... هندسه جبری، و توسعه سیستم نشانه گذاری جبری توسط القلاسادی.

از قرن پانزدهم به بعد، در دوره امپراتوری عثمانی و صفوی، پیشرفت ریاضیات اسلامی دوره ای از رکود را تجربه کرد.

تمدن مایا

در قاره آمریکای پیش از کلمبیا، تمدن مایا، که در سراسر هزاره اول پس از میلاد در مکزیک و آمریکای مرکزی رشد کرد، یک سنت ریاضی متمایز ایجاد کرد. این سیستم به دلیل انزوای جغرافیایی خود، مستقل از چارچوب های ریاضی اروپایی، مصری و آسیایی تکامل یافته است. اعداد مایا از یک سیستم ویژسیمال مبتنی بر بیست استفاده می‌کردند که در تضاد با پایه ده سیستم اعشاری رایج در اکثر جوامع مدرن است. مایاها ریاضیات را به طور گسترده در ساخت تقویم خود و برای پیش بینی رویدادهای نجومی در شیوه های نجومی بومی خود به کار بردند. قابل توجه است، در حالی که مفهوم صفر اغلب مستلزم استنتاج در سیستم های ریاضی بسیاری از فرهنگ های معاصر بود، مایاها یک نماد استاندارد برای آن ابداع کردند.

ریاضیات اروپای قرون وسطی

مشارکت اروپای قرون وسطی با ریاضیات ناشی از انگیزه های متفاوت از انگیزه های ریاضیدانان معاصر بود. انگیزه اولیه این اعتقاد بود که ریاضیات بینشی اساسی در مورد نظم ذاتی طبیعت ارائه می‌دهد، دیدگاهی که اغلب توسط تیمائوس افلاطون و ادعای کتاب مقدس (از کتاب حکمت) اثبات می‌شود که خداوند همه چیز را به اندازه‌ی قرن، quadrivium در برنامه درسی آکادمیک ادغام کرد که به مطالعه حساب، هندسه، نجوم و موسیقی اختصاص داشت. او Destitute arithmetica، ترجمه لیبرال از اثر یونانی نیکوماخوس مقدمه ای بر حساب را نوشت. Destitute musica، همچنین از متون یونانی اقتباس شده است. و مجموعه ای از گزیده هایی از عناصر اقلیدس. مشارکت‌های او عمدتاً نظری بود، نه عملی، و تا زمان معرفی مجدد رساله‌های ریاضی یونانی و عربی، سنگ بنای آموزش ریاضی بود.

در طول قرن دوازدهم، محققان اروپایی به دنبال متون علمی عربی به اسپانیا و سیسیل سفر کردند. این تلاش منجر به دستیابی به آثاری مانند کتاب جامع محاسبه از طریق تکمیل و موازنه الخوارزمی شد که رابرت چستر آن را به لاتین ترجمه کرد و متن کامل عناصر اقلیدس که از طریق نسخه‌های متعدد توسط آدلانتی، ژرمنارد از کارنیت به لاتین ترجمه شده است. این منابع و سایر منابع تازه در دسترس باعث تجدید حیات در مطالعات ریاضی شدند.

لئوناردو اهل پیزا، که متعاقباً به نام فیبوناچی شناخته شد، در سفری که با پدر بازرگانش به منطقه کنونی بجایا، الجزایر داشت، با اعداد هندو-عربی روبرو شد. در آن زمان، اروپا در درجه اول از اعداد رومی استفاده می کرد. در Béjaïa، او یک سیستم حسابی، به ویژه الگوریزم را مشاهده کرد، که کارایی آن به طور قابل توجهی با علامت گذاری موقعیتی اعداد هندو-عربی افزایش یافت و در نتیجه معاملات تجاری را بسیار ساده کرد. در سال 1202 (با به روز رسانی در 1254)، لئوناردو Liber Abaci را تالیف کرد، که این روش شناسی را به اروپا معرفی کرد و دوره طولانی رواج آن را آغاز کرد. این رساله همچنین دنباله‌ای را که اکنون به‌عنوان دنباله فیبوناچی شناخته می‌شود، که توسط ریاضی‌دانان هندی قرن‌ها قبل شناسایی شده بود، به اروپا ارائه کرد.

قرن چهاردهم شاهد ظهور مفاهیم جدید ریاضی بود که برای پرداختن به مجموعه‌ای از مسائل طراحی شده بودند. پیشرفت قابل توجه توسعه ریاضیات حرکت محلی بود. توماس برادواردین اظهار داشت که با افزایش هندسی نسبت نیرو (F) به مقاومت (R)، سرعت (V) از نظر حسابی افزایش می‌یابد. در حالی که برادواردین این را از طریق مثال‌های خاص نشان داد و لگاریتم هنوز مفهوم‌سازی نشده بود، نتیجه‌گیری او را می‌توان به صورت نابهنگام به صورت V = log (F/R) نشان داد. رویکرد تحلیلی بردواردین نمونه‌ای از کاربرد یک تکنیک ریاضی است که قبلاً توسط الکندی و آرنالد ویلانوا برای تعیین کمیت داروهای ترکیبی برای یک مسئله فیزیکی مشخص استفاده شده بود.

ویلیام هیتسبری، یک ماشین حساب برجسته آکسفورد در قرن چهاردهم، با نداشتن ابزار حساب دیفرانسیل و مفهوم محدودیت، روشی را برای اندازه گیری سرعت آنی ارائه کرد. او آن را به‌عنوان «مسیری که می‌توان توسط [یک جسم] توصیف کرد اگر... به‌طور یکنواخت با همان درجه سرعتی که در آن لحظه حرکت می‌کند، حرکت می‌کرد.»

هایتسبری و معاصرانش مسافت طی شده توسط یک جسم را که اکنون مشکل حرکتی یکنواخت را تجربه می‌کند، از نظر ریاضی استخراج کردند. آنها این اصل را با بیان این که "جسمی متحرک که به طور یکنواخت آن افزایش [سرعت] را به دست می آورد یا از دست می دهد، در زمان معینی [فاصله] کاملاً برابر با فاصله ای که اگر در همان زمان به طور پیوسته با درجه متوسط [سرعت] حرکت می کرد، طی خواهد کرد."

به طور مستقل، Nicole Oresme از دانشگاه پاریس و Giovan این رابطه اثباتی را ارائه کرد. که منطقه زیر خط نشان دهنده شتاب ثابت با کل مسافت طی شده مطابقت دارد. متعاقباً، در یک تفسیر ریاضی بر عناصر اقلیدس، اورسمی تحلیل کلی جامع تری انجام داد. او نشان داد که یک جسم در هر بازه زمانی متوالی افزایشی با هر کیفیت فزاینده ای جمع می کند، که این افزایش ها با اعداد فرد مطابقت دارند. با توجه به اثبات قبلی اقلیدس مبنی بر اینکه مجموع اعداد فرد اعداد مربع را به دست می دهد، اورزم به این نتیجه رسید که کیفیت کل به دست آمده توسط بدن متناسب با مجذور زمان سپری شده افزایش می یابد.

رنسانس

در طول دوره رنسانس، پیشرفت ریاضیات و تکامل حسابداری ارتباط تنگاتنگی با یکدیگر داشتند. اگرچه ارتباط مستقیم بین جبر و حسابداری مشهود نیست، برنامه های درسی آموزشی و متون منتشر شده اغلب فرزندان بازرگانان را هدف قرار می دهند. این کودکان در مدارس حسابرسی در فلاندر و آلمان یا مدارس چرتکه که در ایتالیا به آنها abbaco گفته می شود، رفتند، جایی که مهارت های اساسی برای تجارت و بازرگانی را کسب کردند. در حالی که جبر احتمالاً برای حسابداری اساسی ضروری نبود، درک اساسی از حساب برای معاملات مبادله ای پیچیده یا محاسبات بهره مرکب ضروری بود، و دانش جبری بسیار سودمند بود.

پیرو دلا فرانچسکا (حدود 1415-1492) آثار برجسته و چشم انداز قابل توجهی در مورد خطی نوشت. انتشارات او عبارتند از De Prospectiva Pingendi (درباره چشم اندازی برای نقاشی)، Trattato d’Abaco (رساله چرتکه)، و De quinque corporibus regularibus (درباره پنج جامد منظم).

کار اصلی لوکا پاچیولی، Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (به ایتالیایی: "بررسی حساب، هندسه، نسبت و تناسب")، ابتدا در ونیز در سال 1494 چاپ و منتشر شد. "Particularis de Computis et Scripturis" (ایتالیایی: "جزئیات محاسبه و ضبط"). این کتاب اساساً برای بازرگانان نوشته شده و برای بازرگانان عرضه می‌شود، که از آن به عنوان مرجع استفاده می‌کنند، از پازل‌های ریاضی آن لذت می‌برند و از آن برای حمایت از تحصیلات پسرانشان استفاده می‌کنند. در Summa Arithmetica، پاچیولی پیشگام معرفی نمادهای مثبت و منفی در یک متن چاپی بود که متعاقباً به نماد استاندارد در ریاضیات رنسانس ایتالیا تبدیل شد. علاوه بر این، Summa Arithmetica دارای تمایز به عنوان اولین کتاب شناخته شده چاپ شده در ایتالیا است که جبر را در خود جای داده است. مشخص شده است که پاچیولی مفاهیم بسیاری را از پیرو دلا فرانچسکا گرفته است، که از او سرقت ادبی کرده است.

در نیمه اول قرن شانزدهم در ایتالیا، Scipione del Ferro و Niccolò Fontana Tartaglia به طور مستقل راه حل هایی برای معادلات مکعبی توسعه دادند. جرولامو کاردانو متعاقباً این راه حل ها را در رساله 1545 خود، Ars Magna، همراه با روشی برای معادلات کوارتیک که توسط شاگردش، لودوویکو فراری کشف شد، منتشر کرد. در سال 1572، رافائل بومبلی کار خود را با نام الجبرا منتشر کرد که تکنیک‌هایی را برای مدیریت مقادیر خیالی که می‌توانستند از فرمول کاردانو برای معادلات مکعب ناشی شوند، توضیح می‌داد. نمایش سیستماتیک افتتاحیه نماد اعشاری. این کار عمیقاً بر تمام پیشرفت‌های بعدی در مورد سیستم اعداد واقعی تأثیر گذاشت.

به دلیل الزامات ناوبری و افزایش نیاز به نقشه‌نگاری دقیق در مناطق وسیع، مثلثات به عنوان یک رشته ریاضی مهم ظاهر شد. اولین استفاده از این اصطلاح به بارتولومئوس پیتیسوس نسبت داده می شود که Trigonometria خود را در سال 1595 منتشر کرد. پیش از این، جدول جامع سینوس ها و کسینوس های Regiomontanus در سال 1533 منتشر شده بود.

در دوران رنسانس، همگرایی آرمان‌های هنرمندان برای بازنمایی واقعی طبیعی و تجدید حیات اندیشه‌های فلسفی یونانی باعث تعامل قابل توجهی با ریاضیات شد. همزمان، نقش آنها به عنوان مهندسان و معماران، درک عملی از اصول ریاضی را ضروری می کرد. در نتیجه، تکنیک‌های نقاشی پرسپکتیو و پیشرفت‌های مرتبط با آن در هندسه به موضوع تحقیقات آکادمیک دقیق تبدیل شدند.

ریاضیات در انقلاب علمی

قرن 16

در طول قرن شانزدهم، در سال 1591، ویت اصول اساسی جبر را پایه گذاری کرد، که متعاقباً برای پیشرفت های ریاضی دکارت بسیار مهم بود.

قرن هفدهم

قرن هفدهم شاهد گسترش بی نظیر مفاهیم ریاضی و علمی در سراسر اروپا بود. تیکو براهه به دقت داده های نجومی گسترده ای را جمع آوری کرد که موقعیت سیاره ها را با جزئیات شرح می داد. به عنوان دستیار براهه، یوهانس کپلر در معرض اولیه قرار گرفت و متعاقباً عمیقاً با مطالعه حرکت سیارات درگیر شد. تلاش‌های محاسباتی کپلر با اختراع همزمان لگاریتم‌ها توسط جان ناپیر و یوست بورگی به طور قابل توجهی ساده‌تر شد. در نهایت، کپلر با موفقیت قوانین ریاضی حاکم بر حرکت سیاره ها را بیان کرد. علاوه بر این، رنه دکارت (1596-1650) هندسه تحلیلی را توسعه داد، که نمایش گرافیکی این مدارها را با استفاده از مختصات دکارتی امکان‌پذیر کرد.

با گسترش مشارکت‌های بنیادی پیشینیان متعدد، آیزاک نیوتن قوانین فیزیک را فرمول‌بندی کرد و کیسلر قانون را به عنوان قانون توضیح داد. حساب دیفرانسیل و انتگرال به طور همزمان و مستقل، گوتفرید ویلهلم لایب نیتس حساب دیفرانسیل و انتگرال را توسعه داد و بسیاری از نمادهایی را که امروزه استاندارد باقی مانده است، معرفی کرد. لایب نیتس همچنین سیستم اعداد دودویی را که اساس اساسی برای تقریباً تمام سیستم‌های محاسباتی دیجیتال مدرن (الکترونیکی، حالت جامد، منطق گسسته) است، ارتقا داد.

علم و ریاضیات به یک شرکت بین‌المللی مشترک تبدیل شدند که آماده انتشار جهانی بود.

علاوه بر کاربرد آن در مکانیک آسمانی، ریاضیات کاربردی به حوزه‌های جدید، به ویژه از طریق مکاتبات بین پیر دو فرما و بلز پاسکال، متنوع شد. بحث های آنها در مورد یک بازی قمار اصول بنیادی را برای تحقیقات در مورد نظریه احتمالات و قواعد مربوط به ترکیبیات ایجاد کرد. پاسکال، از طریق شرط بندی معروف خود، به دنبال استفاده از نظریه احتمالات نوپا برای دفاع از یک زندگی فداکارانه مذهبی بود، و اظهار داشت که پاداش های بی نهایت حتی حداقل احتمال موفقیت را توجیه می کند. این تلاش فکری، در نگاهی به گذشته، ظهور نظریه سودمندی را در طول قرن‌های 18 و 19 پیش‌بینی کرد.

قرن هجدهم

لئونارد اویلر (1707-83) به طور گسترده ای تأثیرگذارترین ریاضیدان قرن هجدهم در نظر گرفته می شود. مشارکت های گسترده او از ایجاد زمینه نظریه گراف با مسئله هفت پل کونیگزبرگ تا رسمی کردن اصطلاحات و نمادهای ریاضی معاصر متعدد را شامل می شود. به عنوان مثال، او ریشه دوم یک منفی را با نماد i تعیین کرد و حرف یونانی ${\displaystyle \pi }$ برای نشان دادن نسبت محیط دایره به قطر آن. تأثیر عمیق او با پیشرفت های متعدد او در توپولوژی، نظریه گراف، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ترکیبات و تجزیه و تحلیل پیچیده، که در بسیاری از قضایا و نمادهای نام او منعکس شده است، نشان داده می شود.

ریاضی دانان برجسته اروپایی قرن هجدهم شامل تحقیقات پیشگام جوزف لوئیس لاگرانژ و ژوزف لوئیس لاگرانژ بود. تغییرات پیر سیمون لاپلاس که در دوران ناپلئون فعال بود، سهم قابل توجهی در اصول بنیادی مکانیک آسمانی و آمار داشت.

دوران مدرن

قرن نوزدهم

قرن 19 با انتزاع رو به رشد در ریاضیات مشخص شد. کارل فردریش گاوس (1777-1855) علاوه بر مشارکت علمی گسترده‌اش، تحقیقات پیشگامانه‌ای در تحلیل پیچیده، هندسه و همگرایی سری‌ها انجام داد. او همچنین با ارائه دلایل دقیق اولیه برای قضیه اساسی جبر و قانون متقابل درجه دوم اعتبار دارد.

قرن 19 شاهد ظهور دو شکل از هندسه غیر اقلیدسی بود که در آنها اصل موازی اقلیدسی قابل اجرا نیست. ریاضیدان روسی نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی و رقیبش، ریاضی دان مجارستانی، یانوس بولیای، به طور مستقل هندسه هذلولی را ایجاد و بررسی کردند که با نبود یک خط موازی منحصر به فرد مشخص می شود. در این چارچوب هندسی، مجموع زوایای یک مثلث کمتر از 180 درجه است. متعاقباً در قرن نوزدهم، برنهارد ریمان، ریاضیدان آلمانی، هندسه بیضی را فرموله کرد که در آن هیچ خط موازی وجود ندارد و مجموع زوایای یک مثلث بیش از 180 درجه است. ریمان هندسه ریمانی را بیشتر پیش برد، چارچوبی که این سه نوع هندسی را متحد می کند و به طور قابل توجهی گسترش می دهد. او همچنین مفهوم منیفولد را معرفی کرد که مفاهیم منحنی‌ها و سطوح را تعمیم می‌دهد و در نتیجه پایه‌های ریاضی را برای نظریه نسبیت عام ایجاد می‌کند.

قرن نوزدهم آغاز پیشرفت‌های چشمگیری در جبر انتزاعی بود. هرمان گراسمن در آلمان یک فرمول اولیه از فضاهای برداری ارائه کرد، در حالی که ویلیام روآن همیلتون در ایرلند جبر غیر جابجایی را توسعه داد. جورج بول، ریاضیدان بریتانیایی، جبری را ابداع کرد که متعاقباً به جبر بولی تبدیل شد که با سیستم عددی دوتایی آن (0 و 1) مشخص می شود. جبر بولی به عنوان یک عنصر اساسی منطق ریاضی عمل می کند و کاربردهای مهمی در مهندسی برق و علوم کامپیوتر پیدا می کند. آگوستین-لوئیس کوشی، برنهارد ریمان و کارل وایرشتراس فرمول مجدد دقیق تری از حساب را انجام دادند.

علاوه بر این، این دوره شاهد کشف اولیه محدودیت‌های ذاتی در ریاضیات بود. پائولو روفینی، نیلز هنریک آبل و اواریست گالویس عدم وجود یک روش جبری عمومی را برای حل معادلات چند جمله ای درجه بالاتر از چهار نشان دادند، نتیجه ای که به قضیه آبل-روفینی معروف است. با تکیه بر این، دیگر ریاضیدانان قرن نوزدهمی از این بینش ها استفاده کردند تا ثابت کنند که یک خط مستقیم و قطب نما به تنهایی برای کارهایی مانند سه برش یک زاویه دلخواه، ساختن مکعبی با حجم دو برابر یک مکعب معین، یا مربع کردن یک دایره کافی نیستند. این مسائل از دوران باستان توسط ریاضیدانان بی نتیجه دنبال می شد. برعکس، محدودیت‌های ابعادی هندسه در طول قرن نوزدهم با معرفی فضای پارامتر و اعداد ابرمختلط فراتر رفت.

تحقیقات آبل و گالوا در مورد حل‌های معادلات چند جمله‌ای، اصول بنیادی را برای توسعه بعدی نظریه گروه و حوزه‌های جبر انتزاعی مرتبط ایجاد کرد. در طول قرن بیستم، فیزیکدانان و سایر دانشمندان نظریه گروهی را به عنوان چارچوبی بهینه برای تجزیه و تحلیل تقارن تشخیص دادند.

در نیمه دوم قرن نوزدهم، گئورگ کانتور پایه‌های اولیه نظریه مجموعه‌ها را پایه‌ریزی کرد و بدین وسیله رویکردی دقیق به مفهوم بی‌نهایت را تسهیل کرد و زبانی جهانی را در تقریباً همه رشته‌های ریاضی ایجاد کرد. نظریه مجموعه کانتور، همراه با ظهور منطق ریاضی که توسط Peano، L.E.J. بروور، دیوید هیلبرت، برتراند راسل و A.N. وایتهد، بحث گسترده و پایداری را در مورد مبانی ریاضیات برانگیخت.

قرن نوزدهم شاهد تأسیس چندین انجمن ریاضی ملی بود، از جمله: انجمن ریاضی لندن در سال 1865، Société mathématique de France در 1888 Mathématique de France، 1872 Mathématique Mathématique de France، 1872 Mathématique Mathématique de France. انجمن ریاضی ادینبورگ در سال 1883، و انجمن ریاضی آمریکا در سال 1888. انجمن کواترنیون، اولین انجمن بین المللی با علاقه ویژه، در سال 1899 در میان بحث و جدل پیرامون ریاضیات برداری تأسیس شد. کرت هنسل اعداد p-adic را در سال 1897 معرفی کرد.

قرن بیستم

در طول قرن بیستم، ریاضیات به یک رشته حرفه ای برجسته تبدیل شد. تا پایان قرن، هزاران مدرک دکترا در ریاضیات سالانه اعطا می شد و فرصت های شغلی هم در دانشگاه و هم در صنعت پدیدار می شد. تلاشی جامع برای فهرست‌نویسی حوزه‌ها و کاربردهای مختلف ریاضیات در دایره‌المعارف کلاین آغاز شد.

در سخنرانی سال 1900 در کنگره بین‌المللی ریاضیدانان، دیوید هیلبرت مجموعه‌ای از 23 مسئله حل‌نشده ریاضی را ارائه کرد. این مسائل، که حوزه های ریاضی متعددی را در بر می گیرد، تمرکز اصلی بخش قابل توجهی از تحقیقات ریاضی قرن بیستم را تشکیل می دهد. از این تعداد 10 مورد حل شده، 7 مورد تا حدی رفع شده و 2 مورد باز مانده است. در نظر گرفته می‌شود که 4 مورد نهایی آن‌قدر نامشخص فرمول‌بندی شده‌اند که به‌طور قطعی به‌عنوان حل‌شده یا حل‌نشده طبقه‌بندی می‌شوند.

حدس های تاریخی مهمی به طور قطعی در این دوره ایجاد شد. به عنوان مثال، در سال 1976، ولفگانگ هاکن و کنت آپل قضیه چهار رنگ را نشان دادند، اثباتی که به دلیل تکیه بر روش‌های محاسباتی، بحث‌هایی را ایجاد کرد. متعاقباً، اندرو وایلز، با استفاده از تحقیقات قبلی، آخرین قضیه فرما را در سال 1995 اثبات کرد. پل کوهن و کرت گودل همچنین ثابت کردند که فرضیه پیوستار مستقل از بدیهیات استاندارد نظریه مجموعه‌ها است، به این معنی که نه می‌توان آن‌ها را اثبات کرد و نه رد کرد. در سال 1998، توماس کالیستر هیلز به طور مشابه حدس کپلر را با استفاده از کمک کامپیوتری ثابت کرد.

این دوره شاهد همکاری‌های ریاضی در مقیاس و جاه‌طلبی بی‌نظیر بود. یک مثال قابل توجه طبقه بندی گروه های ساده محدود است که اغلب به عنوان «قضیه عظیم» نامیده می شود، که اثبات آن، از سال 1955 تا 2004، شامل تقریباً 100 نویسنده با بیش از 500 مقاله مجلات و ده ها هزار صفحه بود. همزمان، جمعی از ریاضیدانان فرانسوی، از جمله ژان دیودونه و آندره ویل، که با نام مستعار "نیکلاس بورباکی" فعالیت می کردند، تلاش کردند تا تمام ریاضیات شناخته شده را به عنوان یک سیستم یکپارچه و دقیق ارائه کنند. مجموعه چند جلدی حاصل تأثیری بحث برانگیز بر آموزش ریاضی داشته است.

هندسه دیفرانسیل از طریق کاربرد آن توسط آلبرت اینشتین در نظریه نسبیت عام به شهرت رسید. همزمان، حوزه‌های کاملاً جدید ریاضی، مانند منطق ریاضی، توپولوژی، و نظریه بازی جان فون نویمان، دامنه سؤالات قابل قبول برای تحقیق ریاضی را گسترش دادند. ساختارهای متنوع به صورت اصولی انتزاع شدند و با عباراتی مانند فضاهای متریک و فضاهای توپولوژیکی تعیین شدند. این فرآیند انتزاع مفهوم ساختار انتزاعی خود در توسعه نظریه مقوله به اوج خود رسید. علاوه بر این، Grothendieck و Serre هندسه جبری را با ترکیب تئوری شیف پیکربندی مجدد کردند. همچنین پیشرفت قابل توجهی در تجزیه و تحلیل کیفی سیستم های دینامیکی حاصل شد، زمینه ای که توسط پوانکاره در دهه 1890 آغاز شد. نظریه اندازه گیری در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم با کاربردهای آن شامل انتگرال لبگ، فرمول بدیهی نظریه احتمالات کولموگروف و نظریه ارگودیک توسعه چشمگیری یافت. نظریه گره گسترش قابل توجهی را تجربه کرد. ظهور مکانیک کوانتومی پیشرفت تجزیه و تحلیل تابعی را تسهیل کرد، یک رشته ریاضی که توسط استفان باناخ و همکارانش که مدرسه ریاضیات Lwów را تشکیل دادند، پیشگام شد. حوزه‌های نوظهور اضافی شامل نظریه توزیع لوران شوارتز، نظریه نقطه ثابت، نظریه تکینگی، نظریه فاجعه رنه تام، نظریه مدل، و فراکتال‌های ماندلبروت بود. نظریه دروغ، شامل گروه‌های دروغ و جبرهای دروغ نیز به‌عنوان حوزه‌ی محوری پژوهش پدیدار شد.

معرفی تحلیل غیراستاندارد توسط آبراهام رابینسون رویکرد بی‌نهایت کوچکی به حساب را که قبلاً توسط نظریه حدود جایگزین شده بود، احیا کرد. این بازتوانی با گسترش میدان اعداد حقیقی به اعداد فراواقعی، که هم کمیت های بینهایت کوچک و هم نامتناهی را در خود جای می دهند، به دست آمد. متعاقباً، جان هورتون کانوی یک سیستم اعداد حتی گسترده‌تر، اعداد سورئال، را در چارچوب بازی‌های ترکیبی کشف کرد.

تکامل و اصلاح مداوم رایانه‌ها، پیشرفت از دستگاه‌های آنالوگ مکانیکی به ماشین‌های الکترونیکی دیجیتال، صنایع را برای مدیریت مجموعه داده‌های گسترده‌تر توانمند کرد. این امر پیشرفت در تولید انبوه، توزیع و ارتباطات را تسهیل کرد و همزمان باعث ظهور رشته‌های جدید ریاضی شد. اینها شامل تئوری محاسباتی آلن تورینگ، نظریه پیچیدگی، کاربرد دریک هنری لمر از ENIAC برای پیشبرد نظریه اعداد و آزمون ابتدایی لوکاس-لمر، نظریه تابع بازگشتی رزسا پیتر، نظریه اطلاعات کلود شانون، پردازش سیگنال، تجزیه و تحلیل داده ها، بهینه سازی عملیات، و سایر جنبه های تحقیقاتی بود. در حالی که قرن‌های قبل عمدتاً بر حساب دیفرانسیل و انتگرال و توابع پیوسته تأکید داشتند، تکثیر شبکه‌های محاسباتی و ارتباطی بر اهمیت رو به رشد مفاهیم گسسته تأکید کرد و به گسترش ترکیب‌ها، به ویژه نظریه گراف، دامن زد. علاوه بر این، افزایش سرعت و قابلیت‌های پردازش داده‌ها در رایانه‌ها، حل مسائل ریاضی را که قبلاً برای محاسبه دستی بسیار پرزحمت بودند، امکان‌پذیر کرد و در نتیجه زمینه‌هایی مانند تجزیه و تحلیل عددی و جبر رایانه‌ای را به وجود آورد. از جمله محوری ترین روش ها و الگوریتم های توسعه یافته در قرن بیستم می توان به الگوریتم سیمپلکس، تبدیل فوریه سریع، کدهای تصحیح خطا، فیلتر کالمن از نظریه کنترل و الگوریتم RSA اساسی برای رمزنگاری کلید عمومی اشاره کرد.

هم‌زمان، پیشرفت‌های قابل توجهی در درک محدودیت‌های ذاتی ریاضیات ایجاد شد. بین سال‌های 1929 و 1930، موجز پرسبورگر نشان داد که ارزش صدق همه گزاره‌های مربوط به اعداد طبیعی، وقتی با جمع یا ضرب (اما نه هر دو) ترکیب می‌شوند، قابل تصمیم‌گیری است، به این معنی که می‌توان آن را به صورت الگوریتمی تعیین کرد. با این حال، در سال 1931، کورت گودل ثابت کرد که این تصمیم‌پذیری به سیستم‌هایی که هم جمع و هم ضرب با اعداد طبیعی را شامل می‌شوند، گسترش نمی‌یابد. ناقص بودن این سیستم که محاسبات پیانو نامیده می شود ثابت شد. (حساب Peano برای بخش قابل توجهی از نظریه اعداد، که مفهوم اعداد اول را در بر می گیرد، کافی است.) یک دلالت مستقیم از دو قضیه ناقص بودن گودل این است که در هر سیستم ریاضی حاوی حساب Peano (شامل تمام تجزیه و تحلیل و هندسه)، حقیقت ذاتاً فراتر می رود. در نتیجه، گزاره های درستی وجود دارند که نمی توانند به طور رسمی در سیستم نشان داده شوند. این مکاشفه نشان داد که نمی‌توان ریاضیات را به طور کامل به منطق ریاضی تقلیل داد، و این امر مستلزم ارزیابی مجدد جاه‌طلبی دیوید هیلبرت برای ارائه تمام ریاضیات، هم کامل و هم سازگار است.

Srinivasa Ramanujan (1887-1920)، یک خودآموز هندی، به عنوان یک چهره برجسته در ریاضیات قرن بیستم ظاهر شد و بیش از 3000 قضیه را حدس زد یا اثبات کرد. مشارکت‌های او شامل ویژگی‌های اعداد بسیار ترکیبی، تابع تقسیم و رفتار مجانبی آن، و توابع تتا ساختگی بود. علاوه بر این، او تحقیقات گسترده‌ای در مورد توابع گاما، فرم‌های مدولار، سری‌های واگرا، سری‌های فراهندسی و نظریه اعداد اول انجام داد.

پل اردوس در انتشار مقالات ریاضی بیشتر از هر ریاضی‌دان دیگری، با صدها نفر در طول حرفه‌اش همکاری می‌کند. این همکاری گسترده، الهام‌بخش مفهوم عدد Erdős بود، معیاری مشابه با بازی کوین بیکن، که «فاصله مشترک» بین یک ریاضی‌دان و Erdős را بر اساس نویسندگی مشترک مقالات دانشگاهی کمیت می‌کند.

Emmy Noether به طور گسترده‌ای به‌عنوان تأثیرگذارترین اثر زن در تاریخ زنان شناخته شده در تاریخ شناخته می‌شود. حلقه‌ها، میدان‌ها و جبرها.

بر اساس گرایش‌ها در رشته‌های مختلف دانشگاهی، رشد تصاعدی دانش در طول عصر علمی باعث ایجاد تخصص قابل توجهی در ریاضیات شد. تا پایان قرن بیستم، صدها زیرشاخه ریاضی متمایز پدیدار شد که در یک سیستم طبقه‌بندی موضوع ریاضیات که ده‌ها صفحه را در بر می‌گرفت، منعکس شده بود. همزمان، تکثیر مجلات ریاضی افزایش یافت و ظهور شبکه جهانی وب تا پایان قرن ظهور نشر آنلاین را تسهیل کرد.

قرن بیست و یکم

در سال 2000، مؤسسه ریاضیات Clay هفت مسئله جایزه هزاره را معرفی کرد. متعاقباً، در سال 2003، گریگوری پرلمن با موفقیت حدس پوانکاره را حل کرد، اگرچه به طور مشخص جایزه مربوطه را به دلیل انتقاد از مؤسسه ریاضی رد کرد.

در حال حاضر، اکثر مجلات ریاضی هم نسخه‌های آنلاین و هم چاپی را ارائه می‌دهند و تعداد زیادی مجلات منحصراً آنلاین نیز تأسیس شده‌اند. انگیزه فزاینده ای به سمت انتشار با دسترسی آزاد وجود دارد، مدلی که به طور قابل توجهی توسط arXiv رایج شده است.

این قرن شاهد حل بسیاری از مسائل ریاضی مهم دیگر بوده است. مثال های قابل توجه عبارتند از قضیه گرین-تائو (2004)، نمایش شکاف های محدود بین اعداد اول دلخواه بزرگ (2013)، و قضیه مدولاریت (2001). تست اولیه AKS، که در سال 2002 منتشر شد، اولین الگوریتمی را نشان داد که قادر به تعیین اولیه بودن یا ترکیبی بودن یک عدد در زمان چند جمله ای است. علاوه بر این، هارالد هلفگات در سال 2013 اثباتی بر حدس ضعیف گلدباخ منتشر کرد. با این حال، از سال 2025، این مدرک هنوز تحت بررسی کامل همتایان قرار نگرفته است. اولین انیشتین در سال 2023 کشف شد.

علاوه بر این، پیشرفت قابل توجهی در پروژه‌های طولانی مدتی که در قرن بیستم آغاز شد، به دست آمده است. به عنوان مثال، طبقه بندی گروه های ساده محدود در سال 2008 تکمیل شد. به طور مشابه، پیشرفت های قابل توجهی در برنامه Langlands انجام شده است، از جمله اثبات لم اساسی (2008) و اثبات پیشنهادی مطابقت هندسی Langlands در سال 2024.

مسیرهای آینده

روندهای قابل توجهی در ریاضیات قابل مشاهده است، به ویژه گسترش مداوم آن، که ناشی از اهمیت روزافزون و قدرت محاسباتی رایانه‌ها است. به طور همزمان، حجم داده های تولید شده توسط بخش های علمی و صنعتی، که توسط محاسبات تسهیل می شود، رشد تصاعدی را تجربه می کند. این گسترش در نتیجه باعث افزایش تقاضا برای تخصص ریاضی برای پردازش و تفسیر این داده های گسترده می شود. پیش‌بینی‌های اداره آمار کار ایالات متحده (2018) حاکی از افزایش قابل‌توجه در مشاغل علوم ریاضی است و تخمین می‌زند که «رشد 27.9 درصدی از سال 2016 تا 2026» در اشتغال برای این مشاغل.

یادداشت ها

کارهای ذکر شده

عمومی

• Aaboe، Asger (1964). قسمت هایی از تاریخ اولیه ریاضیات. نیویورک: رندوم هاوس.Bell, E. T. (1937). مردان ریاضی. سیمون و شوستر.Grattan-Guinness، Ivor (2003). دایره المعارف همراه تاریخ و فلسفه علوم ریاضی. انتشارات دانشگاه جان هاپکینز ISBN 978-0-8018-7397-3.Gillings، Richard J. (1972). ریاضیات در زمان فراعنه. کمبریج، MA: انتشارات MIT.
  • Gillings in the Time of the Richards. فراعنهکمبریج، MA: مطبوعات MIT.هیت، توماس لیتل (1921). تاریخ ریاضیات یونانی. آکسفورد، انتشارات کلردون.کوری، لئو (2015)، تاریخچه مختصری از اعداد، انتشارات دانشگاه آکسفورد، ISBN 978-0198702597
    • کوری، لئو (2015)، تاریخچه مختصر اعداد، انتشارات دانشگاه آکسفورد، ISBN 978-0198702597منینگر، کارل دبلیو (1969). کلمات اعداد و نمادهای اعداد: تاریخ فرهنگی اعداد. انتشارات MIT. ISBN 978-0-262-13040-13040-0classrefation="span19090"sti. cs1" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Number+Words+and+Number+Symbol+Ambory+Number+Number+Number+Number+Number+Number+Number+Number+Ault. ers&rft.pub=MIT+Press&rft.date=1969&rft.isbn=978-0-262-13040-0&rft.aula st=Menninger&rft.aufirst=Karl+W.&rfr_id=info%3Asid%2Fen.

  • مستند

    • بی بی سی (2008). داستان ریاضی.
    • ریاضیات رنسانس، بحث رادیو بی بی سی 4 با حضور رابرت کاپلان، جیم بنت، و جکی استال (در زمان ما، 2 ژوئن 2005).

    آرشیو MacTutor History of Mathematics، که توسط John J. O'Connor و Edmund F. Robertson در دانشگاه سنت اندروز، اسکاتلند نگهداری می شود، شرح حال مفصلی از ریاضیدانان تاریخی و معاصر را در منحنی ها و تاریخچه ریاضی دانان مختلف ارائه می دهد.

    • آرشیو تاریخچه ریاضیات MacTutor (جان جی. اوکانر و ادموند اف. رابرتسون؛ دانشگاه سنت اندروز، اسکاتلند). یک وب سایت برنده جوایز حاوی شرح حال دقیق بسیاری از ریاضیدانان تاریخی و معاصر، و همچنین اطلاعاتی در مورد منحنی های قابل توجه و موضوعات مختلف در تاریخ ریاضیات.
    • صفحه اصلی تاریخچه ریاضیات، که توسط دیوید ای. جویس از دانشگاه کلارک مدیریت می شود، دارای مقالاتی در مورد موضوعات مختلف ریاضی تاریخی است که با کتابشناسی گسترده تکمیل شده است.
    • تاریخ ریاضیات، گردآوری شده توسط دیوید آر. ویلکینز در کالج ترینیتی، دوبلین، مجموعه‌ای از مطالب مربوط به پیشرفت‌های ریاضی از قرن هفدهم تا نوزدهم را شامل می‌شود.
    • اولین کاربردهای شناخته شده برخی از کلمات ریاضیات، تألیف جف میلر، کاربردهای اولیه ثبت شده اصطلاحات ریاضی را مستند می کند.
    • اولین استفاده از نمادهای مختلف ریاضی، همچنین توسط جف میلر، زمینه تاریخی را برای نمادهای ریاضی فراهم می کند.
    • واژه‌های ریاضی: ریشه‌ها و منابع، نوشته جان آلدریچ از دانشگاه ساوتهمپتون، ریشه‌شناسی واژگان ریاضی معاصر را بررسی می‌کند.
    • بیوگرافی زنان ریاضیدان، که توسط لری ریدل در کالج اگنس اسکات گردآوری شده است، اطلاعات بیوگرافی در مورد ریاضیدانان زن برجسته ارائه می دهد.
    • ریاضیدانان دیاسپورای آفریقایی که توسط اسکات دبلیو ویلیامز از دانشگاه بوفالو گردآوری شده است، مشارکت ریاضیدانان دیاسپورای آفریقا را برجسته می کند.
    • یادداشت‌هایی برای دوره کوتاه MAA: تدریس یک دوره در تاریخ ریاضیات. (2009) (V. Frederick Rickey & Victor J. Katz).
    • روم باستان: کیلومترشمار ویتروف بازسازی تصویری (متحرک) کیلومتر شمار رومی ویتوسیوس را ارائه می دهد.

    کتابشناسی آثار گردآوری شده و مکاتبات ریاضیدانان، آرشیو مورخ 17 مارس 2007، توسط استیون دبلیو راکی در کتابخانه دانشگاه کرنل گردآوری شد.

    • کتابشناسی آثار گردآوری شده و مکاتبات ریاضیدانان آرشیو مورخ 17/3/2007 (استیون دبلیو راکی؛ کتابخانه دانشگاه کرنل).

    سازمان ها

    • کمیسیون بین المللی تاریخ ریاضیات

    مجلات

    • Historia Mathematica
    • Convergence، مجله آنلاین تاریخ ریاضی انجمن ریاضی آمریکا
    • بایگانی تاریخچه ریاضیات ریاضی (دانشگاه تنسی، ناکسویل)
    • تاریخچه/بیوگرافی، انجمن ریاضی (دانشگاه درکسل)
    • تاریخ ریاضیات (کتابخانه یادبود دادگاه)
    • تاریخچه وب سایت های ریاضیات (دیوید کالویس؛ کالج بالدوین والاس)
    • تاریخ ریاضیات (دانشگاه لا لاگونا)
    • تاریخ ریاضیات (دانشگاه کویمبرا)
    • استفاده از تاریخچه در کلاس ریاضی
    • منابع ریاضی: تاریخچه ریاضیات (برونو کیویوس)
    • تاریخ ریاضیات (روبرتا توچی)