قضیه فیثاغورث (Pythagorean theorem)

در ریاضیات، قضیه فیثاغورث یا قضیه فیثاغورث یک رابطه اساسی در هندسه اقلیدسی بین سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه است. آن…

در ریاضیات، قضیه فیثاغورث، که به عنوان قضیه فیثاغورث نیز شناخته می شود، یک رابطه اساسی در هندسه اقلیدسی در مورد سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه برقرار می کند. این فرض می‌کند که مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس (ضلع مقابل زاویه راست) معادل مجموع مساحت مربع‌های ساخته شده در دو ضلع دیگر است.

در ریاضیات، قضیه فیثاغورث یا قضیه فیثاغورث یک رابطه اساسی در هندسه اقلیدسی بین سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه است. بیان می‌کند که مساحت مربعی که ضلع آن هیپوتنوز است (ضلعی مقابل زاویه قائمه) برابر است با مجموع مساحت مربع‌های دو ضلع دیگر.

این قضیه را می‌توان به صورت معادله‌ای بیان کرد که طول اضلاع a و b را با ضلع c و c به‌عنوان معادله به هم مرتبط می‌کند. معادله فیثاغورث: $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$ 19§ + b §2829§ = c §3839§ . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.} این قضیه به فیثاغورث فیلسوف یونانی نسبت داده می شود که در حدود سال 570 قبل از میلاد متولد شد. این از طریق روش شناسی های متمایز متعدد، به طور بالقوه بیش از هر قضیه ریاضی دیگری نشان داده شده است. این برهان‌ها تنوع قابل‌توجهی را نشان می‌دهند، که هم رویکردهای هندسی و هم جبری را در بر می‌گیرد، که برخی از آنها هزاره‌ها پیش منشا گرفته‌اند.

در هندسه تحلیلی، زمانی که فضای اقلیدسی با یک سیستم مختصات دکارتی نشان داده می‌شود، فاصله اقلیدسی بین دو نقطه در فاصله فیثاغورثی برابر است. مختصات مربوطه آنها.

این قضیه قابل تعمیم‌های مختلف است، و کاربرد آن را در فضاهای با ابعاد بالاتر، هندسه‌های غیر اقلیدسی، اشیاء غیر از مثلث قائم الزاویه، و حتی جامدات n-بعدی که اصلا مثلث نیستند، گسترش می‌دهد.

تاریخچه

تجلیات قضیه فیثاغورث در بسیاری از تمدن های باستانی شناسایی شده است، اما تاریخ دقیق کشف اولیه و اولین اثبات رسمی آن نامشخص است. پیشرفت تاریخی این قضیه شامل چندین وجه است، از جمله محاسبات مربوط به مثلث های قائم الزاویه خاص، درک ثلاث فیثاغورثی، تشخیص رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، و فرمول بندی براهین در یک سیستم قیاسی.

تقریباً به c. پاپیروس برلین 6619 مسئله ای را در مورد دو مربع ارائه می دهد که مساحت آنها با یک مربع سوم برابری می کند و به عنوان راه حل سه گانه فیثاغورثی 6:8:10 را به دست می دهد. با این حال، مشکل به طور واضح به یک مثلث اشاره نمی کند. پلوتارک که قرن ها بعد نوشت، نشان داد که مصریان باستان از مثلث قائم الزاویه 3:4:5 آگاه بودند و اضلاع آن را به ترتیب با اوزیریس، ایسیس و هوروس مرتبط می‌کردند.

محققان ریاضیات بین‌النهرین به این نتیجه رسیده‌اند که حکومت فیثاغورث به طور گسترده‌ای در دوران بابیل تا دهم قرن بیستم مورد استفاده قرار می‌گرفت. قرن‌های قبل از میلاد)، که بیش از یک هزار سال پیش از تولد فیثاغورث است. لوح بین النهرینی Plimpton 322، حکاکی شده در نزدیکی لارسا در حدود c. 1800 قبل از میلاد، حاوی مدخل هایی است که به صورت اضلاع و مورب های 15 ثلاث فیثاغورثی قابل تفسیر هستند. تبلت دیگری از دوران مشابه، YBC 7289، جزئیات محاسبه مورب مربع، یا معادل آن، مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را شرح می دهد.

در هند، باودایانا شولبا سوترا، که تاریخ‌های متفاوتی بین قرن‌های 8 و 5 قبل از میلاد دارد، شامل مجموعه‌ای از ثلاث فیثاغورثی و بیان قضیه فیثاغورث می‌شود که هم نمونه خاص مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین و هم مورد کلی را پوشش می‌دهد. Apastamba Shulba Sutra (تقریباً ج. 600 قبل از میلاد) به طور مشابه این مفاهیم را ارائه می دهد.

در قرن پنجم پس از میلاد، پروکلوس فیلسوف و ریاضیدان نوافلاطونی بیزانسی، دو قانون حسابی را برای ایجاد ثلاث فیثاغورثی خاص مستند کرد که یکی را به افلاطون و دیگری را به فیثاغورث نسبت داد. قاعده منسوب به فیثاغورث (c. 570 – حدود 495 پیش از میلاد) با یک عدد فرد شروع می‌شود و یک سه برابر را به دست می‌دهد که در آن ساق و هیپوتانوس با یک واحد تغییر می‌کنند. برعکس، قاعده منسوب به افلاطون (428/427 یا 424/423 – 348/347 پیش از میلاد) با یک عدد زوج شروع می‌شود و یک سه‌گانه ایجاد می‌کند که در آن ساق و هیپوتنوس دو واحد متفاوت هستند. توماس ال. هیث (1861-1940) خاطرنشان کرد که هیچ انتساب صریحی از قضیه فیثاغورث به خود فیثاغورث در ادبیات یونانی موجود از پنج قرن پس از زندگی او یافت نمی شود. با این وجود، انتساب قضیه به فیثاغورث توسط نویسندگانی مانند پلوتارک و سیسرو نشان می دهد که این ارتباط به طور گسترده ای شناخته شده و بدون اختلاف پذیرفته شده است. کرت فون فریتز کلاسیک گرا اظهار داشت که، صرف نظر از اینکه آیا این فرمول به طور دقیق به شخص فیثاغورث نسبت داده می شود یا خیر، می توان با اطمینان تصور کرد که منشأ آن از اولین دوران ریاضیات فیثاغورثی است. تقریباً 300 سال قبل از میلاد، عناصر اقلیدس اولین برهان بدیهی باقیمانده از این قضیه را در کنار فرمول خود اقلیدس برای استنتاج تمام سه گانه های ابتدایی فیثاغورثی ارائه کرد.

اگرچه محتوای آن بسیار زودتر شناخته شده بود، متن چینیSuanj> (周髀算经)، همچنین به عنوان (کلاسیک حسابی گنومون و مسیرهای دایره‌ای بهشت) شناخته می‌شود، دلیلی منطقی برای قضیه فیثاغورث به‌طور خاص برای مثلث (3، 4، 5) ارائه می‌کند، جایی که در آن به عنوان "狋苐" (狐嚮) (苐嚮) چین. در طول سلسله هان (202 قبل از میلاد تا 220 پس از میلاد)، سه گانه فیثاغورثی، همراه با بحث در مورد مثلث های قائم الزاویه، در نه فصل در مورد هنر ریاضی مستند شده است. برخی از محققان معتقدند که این قضیه در اوایل قرن یازدهم قبل از میلاد در چین سرچشمه گرفته است، جایی که به عنوان "قضیه شانگ گائو" (商高定理) نیز شناخته می شود. این لقب به افتخار اخترشناس و ریاضیدان دوک ژو، که مشارکت‌های او اکثریت محتوای Zhoubi Suanjing را تشکیل می‌داد، می‌باشد.

اثبات مربوط به مربع های ساخته شده

اثبات بر اساس بازآرایی

یک اثبات بازآرایی متداول از دو مربع استفاده می‌کند، هر کدام با طول ضلع $a+b$ . درون هر مربع چهار مثلث قائم الزاویه وجود دارد که با اضلاع a، b و یک فرضیه c مشخص می‌شوند. در مربع سمت راست، این مثلث ها به گونه ای چیده شده اند که رئوس زاویه قائم آنها با گوشه های مربع همخوانی داشته باشد، بنابراین یک مربع مرکزی با طول ضلع c را در بر می گیرد. هر مربع بزرگتر دارای مساحتی معادل (a + b)§35 $a+b$ است که همچنین می‌تواند به صورت 39§ab + c§43 $a+b$ a و b هستند. این آرایش جدید مستطیل ها دو مربع اضافی را مشخص می کند: یکی با طول ضلع a در گوشه پایین سمت چپ، و دیگری با طول ضلع b در گوشه بالا سمت راست. در نتیجه، مربع سمت چپ، در این پیکربندی، مساحت (a + b)§63 $a+b$ (a + b) alttext="{\displaystyle a+b}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">67§ab + a§71 $a+b$ a§71 $a+b$ a+b}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">76§. با توجه به اینکه هر دو مربع بزرگ مساحت کل یکسان (a + b)§83 $a+b$ را به اشتراک می گذارند، منطقاً باید از عبارت جایگزین آنها نیز پیروی کند: alttext="{\displaystyle a+b}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">87§ab + c§91 $a+b$ c§91 $a+b$ a§99 $a+b$ b§103 $a+b$ a§109 $a+b$ §thML">110§thmathML">11013 a+b}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">114§ = c§117 $a+b$ .

دربرگیرنده هر یک از ثانيه‌ها به‌منظور تقويت ثانيه‌هاي ديگر، مي‌توان به اين نتيجه اشاره کرد گوشه های متوالی مربع بزرگتر. این پیکربندی دو مربع کوچک‌تر را ایجاد می‌کند که در گوشه‌های متوالی قرار گرفته‌اند، با نواحی a§34§ و b§910§، که در نهایت منجر به یک عبارت کل مساحت یکسان می‌شود: §1213§ab + a§2>a§17>

سر توماس هیث، ریاضیدان انگلیسی، این دلیل را در تفسیر خود بر گزاره I.47 از عناصر اقلیدس ارائه می‌کند. او همچنین به گزاره‌های ریاضیدانان آلمانی کارل آنتون برشنایدر و هرمان هنکل اشاره می‌کند که معتقد بودند فیثاغورث احتمالاً با این اثبات آشنا بوده است. در حالی که خود هیث از پیشنهادی جایگزین برای اثبات فیثاغورثی طرفداری می کند، او در ابتدای بحث خود تصدیق می کند که "ادبیات یونانی که ما در اختیار داریم متعلق به پنج قرن اول پس از فیثاغورث است، هیچ بیانیه ای ندارد که این یا هر کشف هندسی بزرگ خاص دیگری را برای او مشخص کند." تحقیقات معاصر به طور فزاینده ای نقش مهم فیثاغورث در ایجاد ریاضیات را زیر سوال می برد، اگرچه این موضوع همچنان موضوع بحث های جاری است.

براهین جبری

قضیه را می‌توان با چیدن چهار مثلث یکسان به صورت متقارن در اطراف یک مربع مرکزی با ضلع c به صورت جبری نشان داد، همانطور که در بخش پایینی نمودار نشان داده شده است. این پیکربندی مربع بزرگتری را با طول ضلع a + b و مساحت (a + b)§1314§ تشکیل می دهد. مساحت ترکیبی چهار مثلث و مربع داخلی ضلع c باید با مساحت این مربع بزرگتر برابر باشد: $(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,$ 37§ = c §4647§ + §5253§ a b §6263§ = c §7273§ + §7879§ a b ، {\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,} که ساده می کند: $c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.$ 105§ = ( b + a ) §122123§ − §129130§ a b = b §141142§ + §147148§ a b + a §159160§ − §166167§ a b = a §178179§ + b §188189§ . {\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}

یک برهان مشابه از چهار مثلث قائم الزاویه متجانس استفاده می کند که هر یک دارای اضلاع به طول های a، b و c هستند. این مثلث ها در یک مربع به طول ضلع c چیده شده اند، همانطور که در قسمت بالای نمودار همراه نشان داده شده است. هر یک از این مثلث های مشابه دارای مساحتی هستند که به صورت ⁠§1112§/§1516§⁠ab محاسبه می شود. به طور همزمان، یک مربع داخلی کوچکتر با طول ضلع b - a تشکیل می‌شود که منجر به مساحت (b − a)§3334§ می‌شود. در نتیجه، مساحت کل مربع بزرگتر با عبارت زیر تعیین می شود: $(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.$ 56§ + §6162§ a b §7172§ = ( b − a ) §9091§ + §9697§ a b = b §108109§ − §115116§ a b + a §127128§ + §133134§ a b = a §145146§ + b §155156§ . {\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}

اما، این پیکربندی هندسی مربعی با طول ضلع c را نیز نشان می‌دهد که مساحت آن c§56§ است. این منجر به اشتقاق می شود: $c^{2}=a^{2}+b^{2}.$ 19§ = a §2829§ + b §3839§ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}

تظاهرات جایگزین قضیه

فرض بر این است که این قضیه دارای تعداد بیشتری از اثبات های شناخته شده نسبت به هر قضیه ریاضی دیگری است، با قانون متقابل درجه دوم نیز کاندیدای قوی برای این تمایز منحصر به فرد در نظر گرفته می شود. قابل توجه، نشریه با عنوان گزاره فیثاغورث مجموعه گسترده ای از 370 دلیل متمایز را گردآوری می کند.

اثبات با استفاده از مثلث های مشابه

این اثبات خاص اساساً بر اصل تناسب بین اضلاع سه مثلث مشابه متکی است. به طور خاص، از این ویژگی ذاتی استفاده می‌کند که نسبت بین هر دو ضلع متناظر مثلث‌های مشابه، بدون توجه به ابعاد مطلق آن مثلث‌ها، ثابت بماند.

ABC را به عنوان یک مثلث قائم الزاویه در نظر بگیرید، جایی که زاویه قائمه در راس C قرار دارد، همانطور که در شکل همراه نشان داده شده است. یک ارتفاع از راس C، متقاطع ضلع AB در نقطه H ترسیم شده است. این نقطه H هیپوتنوس را که c نشان می‌دهند، به بخش‌های d و e تقسیم می‌کند. مثلث تازه تشکیل شده، ACH، شبیه مثلث ABC است. این شباهت به این دلیل به وجود می آید که هر دو مثلث دارای یک زاویه قائمه (با تعریف ارتفاع) هستند و در راس A زاویه مشترک دارند. در نتیجه، زوایای سوم آنها نیز باید متجانس باشند، با این زاویه مشترک در شکل θ تعیین شده است. پس از استدلال مشابه، مثلث CBH نیز مشابه ABC است. ایجاد شباهت این مثلث ها، به کارگیری اصل مثلث را ضروری می کند، که بیان می کند که مجموع زوایای داخل هر مثلث برابر با دو زاویه قائمه است، این اصل معادل اصل موازی است. تشابه ایجاد شده بین این مثلث ها در نتیجه برابری های زیر را در نسبت اضلاع متناظر آنها به دست می دهد: ${\begin{aligned}{\frac {BC}{AB}}&={\frac {BH}{BC}}\\{\frac {AC}{AB}}&={\frac {AH}{AC}}.\end{aligned}}$

معادله اولیه برابری کسینوس‌های زاویه θ را تعیین می‌کند، در حالی که معادله بعدی برابری سینوس‌های آنها را نشان می‌دهد.

این نسبت‌ها به صورت زیر قابل بیان هستند: ${\begin{aligned}BC^{2}&=AB\times BH,\\AC^{2}&=AB\times AH.\end{aligned}}$ از جمع این دو برابری به دست می آید: ${\begin{aligned}BC^{2}+AC^{2}&=AB\times BH+AB\times AH\\&=AB(AH+BH),\end{aligned}}$ پس از ساده سازی، این معادله به طور مستقیم قضیه فیثاغورث را نشان می دهد: $BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.$

اهمیت تاریخی این اثبات خاص همچنان موضوعی برای حدس و گمان دانشگاهی قابل توجه است. یک تحقیق مرکزی حول تصمیم اقلیدس برای ابداع یک دلیل جایگزین به جای استفاده از این یکی می چرخد. یک حدس رایج بیان می‌کند که اثبات مبتنی بر مثلث‌های مشابه، یک نظریه نسبت‌ها را ضروری می‌کند، مفهومی که فقط در بخش‌های بعدی عناصر معرفی می‌شود و نشان می‌دهد که چارچوب نظری برای نسبت‌ها هنوز در آن دوره نوپا بوده است.

اثبات با استفاده از تشریح و مقیاس‌بندی

در یکی از اثبات‌های کالبد شکافی، که گاهی به آلبرت انیشتین نسبت داده می‌شود، قطعات هندسی نیازی به تغییر مکان ندارند. این کالبد شکافی شامل انداختن یک عمود از راس زاویه قائم مثلث به هیپوتنوس آن است و بدین ترتیب مثلث اصلی به دو مثلث کوچکتر تقسیم می شود. این دو مثلث به دست آمده شبیه مثلث قائم الزاویه اصلی هستند و پایه های مثلث اصلی به عنوان هیپوتنوس مربوط به آنها عمل می کنند. مهمتر از همه، مجموع مساحت آنها برابر با مساحت مثلث اصلی است. از آنجایی که نسبت مساحت یک مثلث قائم الزاویه به مربع هیپوتانوس آن برای مثلث های مشابه ثابت است، رابطه بین مساحت های سه مثلث مستقیماً به مربع های اضلاع متناظر آنها تبدیل می شود. بنابراین، از آنجایی که مساحت مثلث اصلی مجموع مساحت دو مثلث کوچکتر است، و با توجه به اینکه مقیاس یک مثلث، مساحت آن را با مجذور ضریب مقیاس تغییر می دهد، مجذور هیپوتانوس اصلی برابر است با مجموع مربع های هیپوتانوس های کوتاهتر.

اثبات اقلیدس

برهان ارائه شده در عناصر اقلیدس (کتاب اول، گزاره 47) را می توان به صورت زیر خلاصه کرد. مربع ساخته شده روی هیپوتانوس به دو مستطیل تقسیم می شود: یک چپ و یک راست. سپس یک مثلث ساخته می شود که نصف مساحت مستطیل سمت چپ را دارد. پس از آن، مثلث دوم ساخته می شود که مساحت آن نصف مربع در پای مربوطه (سمت چپ ترین ضلع) است. نشان داده می شود که این دو مثلث متجانس هستند، بنابراین مشخص می شود که مربع روی ساق دارای مساحتی معادل مستطیل سمت چپ است. سپس یک آرگومان موازی به مستطیل سمت راست و مربع باقی مانده در پای دیگر اعمال می شود. با ترکیب این دو مستطیل برای بازسازی مربع روی هیپوتانوس، مساحت کل آن برابر با مجموع مساحت مربع های دو پایه نشان داده می شود. بخش های بعدی شرح مفصلی ارائه می دهند.

یک مثلث قائم الزاویه با راس های A، B، و C را در نظر بگیرید، جایی که زاویه قائم در A قرار دارد. از راس A، یک عمود بر فرضیه ترسیم می‌شود و این خط برای تقسیم مربع ساخته شده روی هیپوتنوز کشیده می‌شود. این خط، مربع روی فرضیه را به دو مستطیل تقسیم می‌کند، که هر کدام دارای مساحتی معادل یکی از مربع‌های ساخته شده بر روی پایه‌های مثلث قائم الزاویه است.

برهان رسمی مستلزم چهار لم اساسی است:

اگر دو مثلث دارای دو ضلع و زاویه مشمول یکی برابر با دو ضلع و زاویه مشمول دیگری به ترتیب دارای دو ضلع باشند، این مثلث ها متجانس هستند (معیار ضلع-زاویه-ضلع).
مساحت یک مثلث دقیقاً نصف مساحت هر متوازی الاضلاع دارای قاعده یکسان و دارای ارتفاع یکسان است.
مساحت یک مستطیل با حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور آن تعیین می شود.
مساحت مربع به عنوان حاصل ضرب طول دو ضلع آن محاسبه می شود (پیامد مستقیم لم 3).

سپس اثبات با ایجاد رابطه بین هر یک از مربع های روی پاها و یک مثلث ادامه می یابد. این مثلث با مثلث دوم همخوانی دارد، که سپس به یکی از دو مستطیل که مربع روی هیپوتنوس را تشکیل می دهند، مرتبط می شود.

اثبات دقیق در زیر ارائه شده است:

یک مثلث قائم الزاویه را با ACB در نظر بگیرید، جایی که زاویه قائمه در CAB قرار دارد.
مربع‌ها در هر یک از اضلاع BC، AB و CA ساخته می‌شوند که به ترتیب به‌عنوان CBDE، BAGF و ACIH تعیین می‌شوند. ساخت این مربع‌ها به قضایای بلافاصله قبل از این گزاره در عناصر اقلیدس متکی است و مشروط به فرض موازی است.
از راس A، خطی موازی با BD و CE رسم می‌شود. این خط به ترتیب BC را در نقطه K و DE را در نقطه L به‌طور عمود بر هم قطع خواهد کرد.
قطعات CF و AD به هم متصل شده‌اند، در نتیجه مثلث‌های BCF و BDA را تشکیل می‌دهند.
از آنجایی که زوایای CAB و BAG هر دو قائم هستند، بنابراین نقاط C، A و G هم خط هستند.
با توجه به اینکه زوایای CBD و FBA هر دو قائم هستند، زاویه ABD برابر با زاویه FBC است، زیرا هر دو زاویه از مجموع یک زاویه قائمه و زاویه ABC تشکیل می‌شوند.
از آنجایی که AB برابر است با FB، BD برابر است با BC، و زاویه ABD برابر است با زاویه FBC، مشخص شده است که مثلث ABDruent toa> است. FBC.
با توجه به اینکه A-K-L یک خط مستقیم موازی با BD است، مستطیل BDLK دارای مساحت دو برابر مثلث ABD است. این به این دلیل است که آنها پایه مشترک BD را دارند و دارای ارتفاع یکسانی هستند که با BK نشان داده می‌شود (یعنی خطی عمود بر پایه مشترک آنها که خطوط موازی BD و AL را به هم متصل می‌کند)، مطابق با لم 2.
از آنجایی که C با A و G هم خط است، و این خط موازی با FB است، پس مساحت مربع BAGF دو برابر مساحت مثلث FBC
در نتیجه، مستطیل BDLK تعیین می‌شود که مساحتی مشابه مربع داشته باشد BAGF = AB§78§.
اعمال مراحل 3 تا 10 در طرف مقابل شکل به طور مشابه نشان می دهد که مستطیل CKLE دارای مساحتی معادل مربع ACIH است که به صورت AC§78§ نشان داده می شود.
از جمع این دو نتیجه معادله به دست می آید: AB§34§ + AC§78§ = BD × BK + KL × KC.
با توجه به اینکه BD = KL، عبارت BD × BK + KL × KC ساده می شود به BD که(BD) برابر است BD × پیش از میلاد.
در نتیجه، معادله AB§34§ + AC§78§ = پیش از میلاد§1112§ برقرار می‌شود، زیرا CBDE یک مربع را تشکیل می‌دهد، به این معنی که (BCD) پیش از میلاد§2526§).

این برهان خاص که به عنوان گزاره 47 در کتاب 1 عناصر اقلیدس مستند شده است، نشان می‌دهد که مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه معادل مجموع مساحت مربع‌های دو طرف دیگر است. این روش به طور قابل توجهی با اثبات مبتنی بر شباهت مثلث، که به طور گسترده فرض می شود رویکرد اصلی فیثاغورس است، تفاوت دارد.

اثبات با استفاده از تشریح و بازآرایی

یک اثبات جایگزین، با استفاده از تنظیم مجدد، در انیمیشن مرکزی به تصویر کشیده شده است. یک مربع بزرگ با مساحت c§34§، از چهار مثلث قائم الزاویه متجانس ساخته شده است که هر یک دارای اضلاع a، b و c هستند که در اطراف یک مربع مرکزی کوچک مرتب شده‌اند. در ادامه با جابجایی این مثلث ها دو مستطیل با اضلاع a و b تشکیل می شود. ادغام مربع کوچکتر با این مستطیل ها منجر به دو مربع می شود، با مساحت های a§1920§ و b§2526§، که لزوماً برابر با مساحت مربع بزرگ اصلی است.

تصویر سوم، که در سمت راست قرار دارد، به طور مشابه اثباتی را ارائه می دهد. دو مربع بالایی، همانطور که با سایه آبی و سبز نشان داده شده است، به بخش هایی تقسیم می شوند که پس از بازآرایی، دقیقاً در مربع پایینی ساخته شده روی هیپوتنوز قرار می گیرند. برعکس، مربع بزرگتر را می توان به اجزایی تقسیم کرد که به طور کامل دو مربع کوچکتر را اشغال می کنند. این روش تجزیه یک شکل به اجزای تشکیل دهنده و مونتاژ مجدد آنها برای تشکیل یک شکل متفاوت، کالبد شکافی نامیده می شود. این فرآیند به صراحت نشان می دهد که مساحت مربع بزرگ معادل مساحت های ترکیبی دو مربع کوچکتر است.

تغییرهای برشی حفظ منطقه با استفاده از اثبات

همانطور که در انیمیشن همراه نشان داده شده است، نگاشت برشی حفظ منطقه و حرکات ترجمه می تواند به طور موثر مربع های واقع در اضلاع مجاور زاویه سمت راست را تغییر دهد، آنها را دقیقاً بر روی مربع روی هیپوتنوس قرار داده و در نتیجه آن را به طور کامل پوشش دهد. هر عملیات برش پایه و ارتفاع را حفظ می کند و در نتیجه منطقه را حفظ می کند. به طور مشابه، ترجمه ها شکل ها را تغییر نمی دهند، در نتیجه ناحیه را حفظ می کنند. در ابتدا، هر مربع تحت یک تبدیل برشی به متوازی الاضلاع قرار می گیرد، سپس یک تبدیل بیشتر به یک مستطیل انجام می شود، که سپس می تواند برای پوشاندن بخش خاصی از مربع روی هیپوتانوس ترجمه شود.

براهین جبری اضافی

یک مدرک مرتبط، منسوب به رئیس جمهور ایالات متحده، جیمز ای. گارفیلد، در دوران تصدی وی به عنوان نماینده ایالات متحده، قبل از انتخابات ریاست جمهوری وی منتشر شد. این اثبات از یک ذوزنقه به جای مربع استفاده می کند، که می تواند از مربع ارائه شده در برهان دوم که قبلاً ذکر شد، با نصف کردن آن در امتداد یک مورب مربع داخلی برای تشکیل ذوزنقه ای که در نمودار نشان داده شده است، استخراج شود. مساحت این ذوزنقه به اندازه نصف مساحت مربع قابل تعیین است، به طور خاص: ${\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.$ 10§ §11 ${\tfrac {1+a$ ( b + a class="MJX-TeXAtom-ORD"> §28 ${\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.$ > {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.}

مربع داخلی نیز به همین ترتیب نصف می‌شود، و از آنجایی که فقط دو مثلث به طور مشابه با یک استثنا درگیر می‌شوند. فاکتور ⁠ ${\tfrac {1}{2}}$ 11§ §1213§ §1213§ {\tfrac {1}{2}}} ⁠. این عامل متعاقباً با ضرب عبارت در دو حذف می شود و در نتیجه نتیجه نهایی به دست می آید.

اثبات استفاده از حساب دیفرانسیل

قضیه فیثاغورث را می توان با تجزیه و تحلیل رابطه بین تغییرات در طول ضلع و تغییر حاصل در هیپوتانوس، با استفاده از اصول حساب به دست آورد.

همانطور که در بخش بالای نمودار نشان داده شده است، مثلث ABC یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می‌دهد که در آن BC به‌عنوان فرضیه آن عمل می‌کند. به طور همزمان، بخش پایینی نمودار ابعاد مثلث را نشان می دهد: هیپوتنوس دارای طول y، ضلع AC اندازه گیری x، و ضلع AB دارای طول a است.

اگر x به‌طور تدریجی با مقدار کمی dx از طریق گسترش جزئی سمت AC به نقطه D افزایش یابد، سپس y به طور مشابه افزایش dy را تجربه خواهد کرد. این افزایش ها دو ضلع از یک مثلث جدید، CDE را تعریف می کنند. با انتخاب نقطه E به گونه‌ای که CE عمود بر هپوتنوز باشد، مثلث CDE به یک مثلث قائم‌العاده تبدیل می‌شود که تقریباً شبیه به ABC است. در نتیجه، نسبت اضلاع متناظر آنها باید معادل باشد، که به صورت زیر بیان شود: ${\}{\cdysplay{\}{\display{\c-tex"> {x}{y}}.}$ این رابطه را می‌توان از نظر جبری به معادله دیفرانسیل y dy = x dx بازآرایی کرد، که جواب‌دهی به راه‌حل مستقیم می‌باشد. alttext="{\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx,}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> d y = ∫ x d y = ∫ {\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx,} ادغام به دست می‌آید: ${{2}+style$ 133§ + C . encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.} ثابت یکپارچه‌سازی C را می‌توان با اعمال شرایط اولیه x = 0 و 0 تعیین کرد. a، که معادله را به دست می‌آورد: $y^{2}=x^{2}+a^{2}.$ 171§ = x X-JT §180181§ + a §190191§ . encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.} این نمایش به جای اثبات رسمی، یک اثبات شهودی در نظر گرفته می شود. می‌توان آن را از طریق اعمال محدودیت‌های مناسب به جای dx و dy دقیق‌تر کرد.

مکالمه

عکس این قضیه نیز صادق است:

برای مثلثی که دارای اضلاع به طول‌های a، b، و c است، اگر شرط a§1011§ + b§1415، پس از آن a و b متمایز می شود، یک زاویه قائمه است.

با توجه به هر سه عدد حقیقی مثبت a، b، و c که معادله a§910§ + b§1314§ = ccs a، §17 را برآورده می‌کنند. a، b و c لزوماً وجود دارد، واقعیتی که از عکس نابرابری مثلث حاصل می‌شود.

این گزاره معکوس در کار اصلی اقلیدس، عناصر (کتاب اول، گزاره 48) مستند شده است، و بیان می‌کند: "اگر در یک مثلث، مربع یکی از ضلع‌ها برابر مجموع مربع‌های دو ضلع باقی‌مانده مثلث باشد، آنگاه زاویه ای که توسط دو ضلع باقی‌مانده است می‌تواند قائم الزاویه باشد." از طریق اعمال قانون کسینوس یا با استفاده از روش بعدی نشان داده شده است:

یک مثلث ABC با طول اضلاع a، b و c در نظر بگیرید، جایی که a§1112§ + b§1516§ = c§1920§. یک مثلث دوم بسازید که دارای اضلاع به طول های a و b است که یک زاویه قائمه را در بر می گیرد. طبق قضیه فیثاغورث، فرضیه این مثلث جدید ساخته شده دارای طولی برابر با ⁠ $\textstyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 55§ {\displaystyle \textstyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} ⁠⁠ با توجه به اینکه هر دو مثلث دارای طول ضلع یکسان هستند -a، b، و c، آنها متجانس هستند و در نتیجه دارای زوایای یکسان هستند. بنابراین، زاویه ای که بین اضلاع طول های a و b در مثلث اصلی قرار دارد باید یک زاویه قائمه باشد.

تظاهرات قبلی برعکس به خود قضیه فیثاغورث متکی است. متناوباً، می‌توان عکس را بدون پیش‌فرض گرفتن قضیه فیثاغورث ایجاد کرد.

یک نتیجه مستقیم که از عکس قضیه فیثاغورث به دست می‌آید، روش ساده‌ای را برای طبقه‌بندی مثلث به‌عنوان راست، منفرد یا حاد ارائه می‌دهد. برای اعمال این، c را به‌عنوان طولانی‌ترین ضلع از سه ضلع تعیین کنید، و مطمئن شوید که a + b > c، که پیش نیاز تشکیل مثلث بر اساس نابرابری مثلث است. سپس شرایط بعدی نوع مثلث را تعیین می کند:

اگر a§34§ + b§78§ = c§1112§، مثلث به عنوان مثلث قائم الزاویه طبقه بندی می شود.
اگر a§34§ + b§78§ > c§1112§، مثلث یک مثلث حاد است.
اگر a§34§ + b§78§ < c§1112§، مثلث یک مثلث منفرد است.

Edsger W. Dijkstra این گزاره را در مورد مثلث‌های حاد، راست و منفرد با استفاده از فرمول زیر بیان کرد: $\operatorname {sgn} (\alpha +\beta -\gamma )=\n}نام عامل {s (a^{2}+b^{2}-c^{2}),$ در اینجا، α زاویه طرف مقابل را نشان می‌دهد a، β نشان‌دهنده زاویه مقابل است b منطبق بر زاویه است. c، و sgn به تابع علامت اشاره دارد.

اطلاعات و کاربردهای قضیه

سه گانه فیثاغورث

یک ثلاث فیثاغورثی از سه عدد صحیح مثبت تشکیل شده است، a، b و c که معادله a§910§ + b§1314 را برآورده می‌کند. c§1718§. اساساً، این سه ضلع ها طول ضلع صحیح یک مثلث قائم الزاویه را نشان می دهند. آنها به طور معمول در قالب (a، b، c) بیان می شوند. نمونه های قابل توجه عبارتند از (3، 4، 5) و (5، 12، 13).

یک سه گانه فیثاغورثی ابتدایی به عنوان اعداد صحیح a، a، ~~, ، a و ~~, ، تعریف می‌شود. coprime، به این معنی که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها (GCD) 1 است.~~~~

لیست بعدی سه گانه های اولیه فیثاغورثی را برمی شمارد که در آن همه مقادیر کمتر از 100 هستند:

فرمول های متعددی برای تولید سه گانه های فیثاغورثی وجود دارد. در این میان، فرمول اقلیدس به عنوان رایج ترین شناخته شده است. هنگامی که با اعداد صحیح مثبت دلخواه m و n ارائه می شود، این فرمول مشخص می کند که اعداد صحیح حاصل $a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}$ 21§ − n §3132§ ، b = §4344§ m n ، c = m §6162§ + n §7172§ {\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}} یک سه گانه فیثاغورثی را تشکیل می دهد.

قضیه فیثاغورث معکوس

یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع را در نظر بگیرید $a,b,c$ ، که از زاویه راست و گسترش می‌یابد. عمود بر هیپوتانوس c. قضیه فیثاغورث به صورت:

بیان می شود

طولهای غیرقابل قیاس

قضیه فیثاغورث نشان می‌دهد که پاره‌های خط با طول‌های غیرقابل قیاس - به این معنی که نسبت آنها یک عدد گویا نیست - می‌توانند به صورت هندسی فقط با استفاده از یک خط مستقیم و قطب‌نما ساخته شوند. این قابلیت به این دلیل به وجود می‌آید که این قضیه از طریق عمل ریشه مربع، فرضیه یک مثلث قائم الزاویه را به اضلاع آن مرتبط می‌کند.

یک نمایش بصری ساخت پاره‌های خطی را نشان می‌دهد که طول آنها با جذر هر عدد صحیح مثبت متناسب است. هر مثلث دارای یک ضلع است که "1" تعیین شده است که به عنوان واحد اساسی اندازه گیری عمل می کند. در هر مثلث قائم الزاویه، قضیه فیثاغورث طول هیپوتنوس را نسبت به این واحد تعیین می کند. وقتی طول یک فرضیه به صورت جذر یک عدد صحیح مثبت بیان می شود که مربع کامل نیست، یک طول غیرقابل قیاس با واحد را نشان می دهد، به عنوان مثال، ⁠ ${\sqrt {2}}$ 10§ en\xteXAtom-ORD {\sqrt {2}}} ⁠، ⁠ ${\sqrt {3}}$ ⁠⁠، و class="MJX-TeXAtom-ORD">55§ {\displaystyle {\sqrt {5}}} ‏ وجود طول‌های غیرقابل قیاس، چالش مهمی را برای اعتقاد بنیادین مکتب فیثاغورثی به وجود آورد که اعداد فقط از اعداد کامل تشکیل شده‌اند. فیثاغورثی ها معمولاً نسبت ها را از طریق مقایسه مضرب های صحیح یک زیر واحد مشترک مورد بررسی قرار می دادند. افسانه ها حاکی از آن است که هیپاسوس متاپونتوم (ج. 470 پیش از میلاد) ظاهراً به دلیل افشای وجود مقادیر غیرمنطقی یا غیرقابل قیاس در دریا غرق شده است. کورت فون فریتز تحلیلی دقیق از مشارکت های هیپاسوس ارائه کرد.

اعداد پیچیده

برای هر عدد مختلط $z=x+iy,$ ${style/x-tex"> {x^{2}+y^{2}}}}.}$ در نتیجه، سه کمیت r، x و y از طریق معادله Pythagorean r، x و y به هم متصل می‌شوند: r^{2}=x^{2}+y^{2}.}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> r class="MJX-TeXAtom-ORD"> §102 $z=x+iy,$ = §112 $z=x+iy,$ + class="MJX-TeXAtom-ORD"> §122 $z=x+iy,$ . style encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.} توجه به این نکته مهم است که در حالی که r به عنوان یک مقدار غیر منفی تعریف می شود، es ارزش ها از نظر هندسی، r نشان دهنده فاصله عدد مختلط z از مبدا O در صفحه مختلط است.

این اصل را می توان برای تعیین فاصله بین دو نقطه دلخواه، مانند z§34§ و z§910§ گسترش داد. فاصله به صورت ریاضی به صورت زیر بیان می شود: $|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},$ 27§ − z §3738§ | = ( x §5556§ − x §6667§ ) §7475§ + ( y §8687§ − y §9798§ ) §105106§ ، {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}،} این رابطه همچنین از گونه ای از قضیه فیثاغورث مشتق شده است: $|z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.$ 136§ − z §146147§ | §156157§ = ( x §168169§ − x §179180§ ) §187188§ + ( y §199200§ − y §210211§ ) §218219§ . {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}

فاصله اقلیدسی

فرمول فاصله در مختصات دکارتی از قضیه فیثاغورث سرچشمه می گیرد. برای دو نقطه در یک صفحه، (x§34§, y§78§) و (x§1314§, y§1718§)، فاصله آنها به عنوان Epar، تعریف شده است::

${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$ 15§ − x §25 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$ ) §33 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$ + ( y §4546§ − y §56 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$ ) §64 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$ . {\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}

به طور کلی، در فضای اقلیدسی n-فاصله اقلیدسی بین دو نقطه، $A=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})$ 19§ ، a §30 pan> §30 ، … ، a ) {\displaystyle A=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})} و ${\,{1},{100}{101} ,\,b_{n})}$ 80§ ، b 92§ ، … ، n ) {\displaystyle B=(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,\,\u003e{2},\,\dots ,\,\,\u003e{n},,,,,,, به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث، که به صورت:

بیان می شود

${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$ 15§ −<->-> class="MJX-TeXAtom-ORD"> §2526§ ) §32 ${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}$ + ( a alt. {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}}"}"{2} xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">46§ − b §56 ${\q {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}}$ ) §63 ${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}$ + ⋯ + ( n − b n ) {9\extretchy="false"> {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}}"}"{2} xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">100 § = ∑ = §119120§ n ( a i ) §151ttplay="{\srtplay"> §151 {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i}}"}"{2} xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">152§ . {\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}

در روش دیگر، استفاده از مربع فاصله اقلیدسی، که به عنوان فاصله اقلیدسی مجذور (SED) شناخته می شود، نیاز به ریشه های مربع را از بین می برد. این یک معادله ساده شده به دست می دهد که فقط مجموع مجذور اختلاف مختصات است:

$(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{2}-b_{2})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{2}-b_$ 13§ − b §2324§ ) §31 $(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{2$ + ( a §43 ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{2})$ − b §54 ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{2})$ ) §62 ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{2})$ + ⋯ + ( a n − b n ) §98 ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{2})$ = ∑ i = §113114§ n ( a i − b i ) §146 ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i})$ . {\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}

فاصله اقلیدسی مجذور یک تابع صاف و محدب را با توجه به هر دو نقطه درگیر تشکیل می دهد. این ویژگی آن را به طور گسترده در تئوری بهینه‌سازی و آمار کاربرد دارد، جایی که به عنوان اصل اساسی برای روش‌های حداقل مربعات عمل می‌کند.

فاصله اقلیدسی در سیستم های مختصات جایگزین

وقتی از سیستم‌های مختصاتی غیر از دکارتی استفاده می‌شود - مانند مختصات قطبی در دو بعد یا به طور گسترده‌تر، مختصات منحنی - عبارات فاصله اقلیدسی پیچیده‌تر از کاربرد مستقیم قضیه فیثاغورث می‌شوند، اما همچنان قابل استخراج از آن هستند. یک تصویر برجسته از تبدیل فواصل خط مستقیم بین دو نقطه به مختصات منحنی در کاربردهای فیزیکی چند جمله‌ای لژاندر مشهود است. این فرمول‌ها را می‌توان با اعمال قضیه فیثاغورث در رابطه با معادلاتی که سیستم‌های مختصات منحنی و دکارتی را به هم مرتبط می‌کنند، مشخص کرد. به عنوان مثال، مختصات قطبی که به صورت (r، θ) نشان داده می شوند، ممکن است به صورت زیر تعریف شوند:

$x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .$

در نتیجه، فاصله s جدا کننده دو نقطه واقع در (r§34§، θ§78§) و (, θ§1718§) توسط:

داده شده است

$s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ 23§ − x §33 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ ) §41 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ + ( y §5354§ − y §64 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ ) §72 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ = ( r §8485§ cos ⁡ θ §9899§ − r §109 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ cos ⁡ θ §123 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ ) §131 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ + ( r §143144§ sin ⁡ θ §157158§ − r §168 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ sin ⁡ θ §182 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ ) §190 $s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$ .

هویت مثلثاتی فیثاغورث

در یک مثلث قائم الزاویه، که در آن اضلاع به صورت a و b نشان داده می شوند، و فرضیه آن c است، توابع مثلثاتی برای زاویه θ تشکیل شده بین ضلع a و زیر هستند: alttext="{\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> <معناشناسی> گناه ⁡ θ = b c ، cos ⁡ θ = a c . {\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}

در نتیجه، هویت زیر مشتق می‌شود: ${\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}=b^{2}}=b^{2$ 71§ ، {\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,} این اشتقاق از قضیه فیثاغورث در مرحله نهایی خود استفاده می کند. این رابطه بین توابع سینوس و کسینوس اغلب به عنوان هویت مثلثاتی اساسی فیثاغورث نامیده می شود. برای مثلث های مشابه، نسبت اضلاع آنها صرف نظر از ابعاد مطلق مثلث ها، صرفاً به زوایای آنها ثابت می ماند. بنابراین، در شکل نشان‌داده‌شده، مثلثی که دارای یک هیپوتانوس طول واحد است، یک ضلع مخالف طول sin θ و یک ضلع مجاور به طول cos θ خواهد داشت که بر حسب واحد هپوتنوس بیان می‌شود.

ارتباط با محصول متقابل

قضیه فیثاغورث همچنین یک رابطه قابل مقایسه بین حاصلضرب متقاطع و حاصل ضرب نقطه‌ای برقرار می‌کند که به صورت زیر بیان می‌شود: $\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\| \|^{2}.$

رابطه بین محصول متقاطع و محصول نقطه‌ای از تعاریف مربوطه آنها مشهود است که به صورت ${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\,\mathbf {n} \sin {\thetath }\ &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}$ ، که در آن n یک بردار واحد متعامد به هر دو a و

علاوه بر این، این اصل می تواند به عنوان یک تعریف جایگزین برای محصول متقابل عمل کند. از طریق بازآرایی جبری، معادله بعدی به دست می آید: $\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {2}\|\mathbf {2}\|\mathbf {2}\|\mathbf {2}\|\mathbf {2}\|\mathbf \mathbf {b} ^{2}.$ ‖ ‖ §59 $\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|\{2} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$ <-><-mo> ( a ⋅ a ⋅ brow="mi stretchy="false"> §82 ${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {2}-(\mathbf {2}) display=$ . {\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf{\b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.} .

این معادله را می‌توان به‌عنوان یک مولفه یکپارچه‌ای از محصول تعریف کرد. مربوط به زمینه هایی مانند فضاهای هفت بعدی.

به عنوان یک اصل بدیهی

با فرض اعتبار چهار اصل اولیه هندسه اقلیدسی، قضیه فیثاغورث هم ارزی با فرض پنجم را نشان می دهد. به طور خاص، فرض پنجم اقلیدس، قضیه فیثاغورث را ضروری می کند، و برعکس، قضیه فیثاغورث بر فرضیه پنجم دلالت دارد.

تعمیمات قضیه

کاربرد برای فیگورهای مشابه در هر سه طرف

قضیه فیثاغورث کاربرد خود را فراتر از مساحت مربع های ساخته شده در سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه و شامل هر شکل هندسی مشابهی گسترش می دهد. این تعمیم توسط بقراط خیوس در طول قرن 5 قبل از میلاد به رسمیت شناخته شد و متعاقبا توسط اقلیدس در اثر اصلی خود، عناصر:
گنجانده شد.
اگر فردی اشکال مشابه (به هندسه اقلیدسی مراجعه کنید) با اضلاع متناظر در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه برپا کند، مجموع مساحت آنهایی که در دو ضلع کوچکتر قرار دارند برابر با مساحت یکی در ضلع بزرگتر است.
این کاربرد تعمیم‌یافته پیش‌فرض می‌گیرد که اضلاع مثلث اولیه به‌عنوان اضلاع متناظر برای سه شکل مشابه عمل می‌کنند، بنابراین نسبت‌های اضلاع مشترک a : b : c در بین آنها ایجاد می‌شود. اگرچه نمایش اولیه اقلیدس محدود به چند ضلعی های محدب بود، اعتبار این قضیه به چند ضلعی های مقعر و حتی به شکل های مشابهی که دارای مرزهای منحنی هستند گسترش می یابد، مشروط بر اینکه بخشی از مرز شکل با ضلعی از مثلث اصلی منطبق باشد.

اصل بنیادی زیربنای این تعمیم فرض می کند که مساحت یک شکل مسطح مستقیماً با مربع هر بعد خطی، به ویژه با مربع طول هر ضلع معین، متناسب است. در نتیجه، اگر اشکال هندسی مشابه دارای مناطق A، B، و C بر روی اضلاع با طول‌های متناظر a، b، و c ساخته شده‌اند، پس رابطه زیر alstyle="{dispan>> > برقرار می‌شود: {\begin{aligned}&{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\\&\quad \implies A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C.\end{aligned}}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> columnalign="راست چپ راست چپ راست چپ راست چپ راست چپ راست چپ راست چپ" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"> A a §3233§ = b §4849§ = class="MJX-TeXAtom-ORD"> §6465§ ⟹ A + B = a §101102§ c §109102§ c §109110 §m> C + b §125126§ mrow> class="MJX-TeXAtom-ORD"> §133134§ C . encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\\&\quad \implies A+B={\frac{2}{C^+ {b^{2}}{c^{2}}}C.\end{aligned}}}

اما، طبق قضیه فیثاغورث، a§34§ + b§78; در نتیجه، A + B = C.

برعکس، نشان می‌دهد که A + B = C برای سه رقم مشابه مستقل از قضیه‌ی قاعده‌ی قاعده‌ی پیثاغورث قابل استنتاج وجود دارد. به عنوان مثال، مثلث مرکزی اولیه را می توان کپی کرد و به صورت مثلث C روی هیپوتانوس آن قرار داد. پس از آن، دو مثلث قائم الزاویه مشابه (A و B) را می توان در دو ضلع باقیمانده با نصف کردن مثلث مرکزی با ارتفاع آن ساخت. بنابراین مساحت ترکیبی دو مثلث کوچکتر برابر با مثلث سوم است و A + B = C را ایجاد می کند. با معکوس کردن این پیشرفت منطقی، قضیه فیثاغورث به دست می آید: a§2526§ + b§2930§ = c§3334§.

قانون کسینوس

قضیه فیثاغورث نمونه خاصی از قانون جامع‌تر کسینوس‌ها را نشان می‌دهد که رابطه بین طول ضلع هر مثلث را برقرار می‌کند. این قانون به طور رسمی به صورت زیر بیان می شود: $a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}$ ، جایی که $\theta$ نشان دهنده زاویه واقع بین اضلاع است $a$ و ⁠ $b$ ⁠.

اگر $\theta$ برابر است با ${\tfrac {\pi }{2}}$ رادیان یا 90 درجه، سپس ⁠ $\cos {\theta }=0$ 62§ {\displaystyle \cos {\theta }=0} ⁠، که باعث می شود فرمول کلی به قضیه فیثاغورث استاندارد ساده شود.

مثلث دلخواه

در هر مثلث کلی با اضلاع a، b، و c، می‌توان یک مثلث متساوی الساقین را به گونه‌ای درج کرد که زوایای قاعده آن، که با θ نشان داده می‌شوند، با زاویه انتخابی از مثلث کلی همخوانی داشته باشند. با فرض اینکه زاویه انتخاب شده θ ضلع مقابل c باشد، کتیبه این مثلث متساوی الساقین مثلث CAD را ایجاد می کند، جایی که زاویه θ ضلع مقابل b و ضلع r در امتداد قرار دارد. به طور همزمان، مثلث دومی تشکیل می شود که دارای زاویه θ ضلع مقابل a و یک ضلع به طول s است که در امتداد c قرار گرفته است، همانطور که در شکل همراه نشان داده شده است. ثابت بن قره رابطه بین اضلاع این سه مثلث را به صورت زیر بیان کرد: $a^{2}+b^{2}=c(r+s).$ 39§ + b §4849§ = c ( r + s ) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s).} با نزدیک شدن به زاویه θ به π/2، قاعده مثلث متساوی الساقین به تدریج باریک می شود و منجر به همپوشانی بین طول های r و s می شود. وقتی θ = π/2، مثلث ADB به یک مثلث قائم الزاویه تبدیل می‌شود و شرط r + s = c را برآورده می‌کند و در نتیجه Pyorem اصلی را بازیابی می‌کند.

یک اثبات خاص نشان می‌دهد که مثلث ABC و مثلث CAD دارای زوایای متجانس هستند، البته در یک دنباله معکوس. این همخوانی به این دلیل به وجود می‌آید که هر دو مثلث در راس A زاویه مشترک دارند و هر دو شامل زاویه θ می‌شوند، در نتیجه بر تساوی زوایای سوم آنها مطابق با فرض مثلث دلالت می‌کنند. در نتیجه، مثلث ABC شبیه انعکاس مثلث CAD، به‌ویژه مثلث DAC است، همانطور که در پانل پایین نشان داده شده است. با تعیین نسبت اضلاع مقابل و مجاور به زاویه θ، ${\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}.$ به همین ترتیب، با در نظر گرفتن انعکاس مثلث جایگزین، ${\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}.$ حذف مخرج ها و جمع این دو رابطه مشتق شده به دست می آید: $cs+cr=a^{2}+b^{2},$ 107§ + b §116117§ ، {\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2},} که نتیجه مطلوب را تشکیل می دهد.

این قضیه حتی زمانی که زاویه θ منفرد باشد، اعتبار خود را حفظ می‌کند، در این صورت بخش‌های طول‌های r و s همپوشانی ندارند.

تعمیم به مثلث های دلخواه از طریق متوازی الاضلاع

قضیه مساحت پاپوس تعمیم بیشتری ارائه می دهد و با استفاده از متوازی الاضلاع در هر سه ضلع به جای مربع، که البته نمونه خاصی از متوازی الاضلاع هستند، مفهوم را به مثلث های غیر قائم الزاویه گسترش می دهد. همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، برای هر مثلث مقیاسی، مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده در طولانی ترین ضلع آن برابر است با مجموع مساحت متوازی الاضلاع در دو ضلع دیگر. با توجه به اینکه متوازی الاضلاع در طولانی ترین ضلع بر اساس دستورالعمل های خاص ساخته شده است، که در آن ابعاد نشان داده شده با فلش ها یکسان است و اضلاع متوازی الاضلاع پایه را مشخص می کند، صادق است. این جایگزینی مربع ها با متوازی الاضلاع شباهت مشخصی به قضیه اصلی فیثاغورث نشان می دهد و به عنوان تعمیم توسط پاپوس اسکندریه در سال 4 پس از میلاد شناخته شد.
اجزای این برهان در شکل پایین نشان داده شده است. مستقیماً به بخش سمت چپ تصویر توجه کنید. متوازی الاضلاع سبز در سمت چپ دارای مساحتی معادل با قسمت آبی در سمت چپ متوازی الاضلاع پایینی است که به دلیل پایه مشترک آنها b و ارتفاع یکسان h است. علاوه بر این، مساحت متوازی الاضلاع سبز سمت چپ نیز با متوازی الاضلاع سبز سمت چپ مربوطه در شکل بالا مطابقت دارد، زیرا آنها از یک قاعده (سمت چپ بالای مثلث) و یک ارتفاع یکسان عمود بر آن ضلع مثلثی خاص استفاده می کنند. با اعمال همان استدلال در سمت راست شکل، می توان نشان داد که مساحت کل متوازی الاضلاع پایینی برابر است با مجموع مساحت دو متوازی الاضلاع سبز.

قضیه بطلمیوس

قضیه بطلمیوس فرض می‌کند که برای هر چهارضلعی که در یک دایره محاط شده است (یعنی یک چهارضلعی حلقوی)، مجموع حاصلضرب طول اضلاع مقابل آن معادل حاصلضرب طول قطرهای آن است. این قضیه در مورد خاصی که چهار ضلعی مستطیل است به قضیه فیثاغورث ساده می شود. علاوه بر این، قضیه بطلمیوس به عنوان روشی برای اثبات قانون کسینوس ها عمل می کند.

هندسه جامد

در هندسه جامد، قضیه فیثاغورث به سه بعد گسترش می یابد. برای مکعب نشان داده شده، طول مورب صورت AC با استفاده از قضیه فیثاغورث تعیین می‌شود که به صورت زیر بیان می‌شود: ${\displaystyle {\overline {AC}}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+}},{\,2}BC,{\overline xmlns=$ 26§ A B ¯ >inms §4849§ + B C ¯ <-->¯ <--> class="MJX-TeXAtom-ORD"> §7172§ ، {\line {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2},}
این محاسبه به سه ضلع متکی است که یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند. پس از آن، با اعمال قضیه فیثاغورث برای بار دوم در مورب AC و لبه افقی CD، می توان طول قطر بدنه AD را تعیین کرد: ${\overline {2}} {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2},$ 30§ = A C ¯ <--> ¯ <--> class="MJX-TeXAtom-ORD"> §5253§ + ¯ §7576§ encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}}^{\,2},} می‌توان به صورت متناوب، کل گام را به یک گام تبدیل کرد. ${\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}.$ 113§ = §112113§ = ¯ §135136§ class="MJX-TeXAtom-ORD"> B C ¯ >inms §158159§ + C D ¯> §181182§ .

این فرمول بیان سه بعدی را برای بزرگی یک بردار v (که با قطر AD نشان داده شده است) بر حسب اجزای متعامد آن ارائه می‌کند {v_kکه در هر دو طرف هستند (w) اضلاع):
در حالی که این فرمول تک مرحله ای ممکن است به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث به ابعاد بالاتر تلقی شود، اساساً کاربرد مکرر قضیه فیثاغورث اصلی برای دنباله ای از مثلث های قائم الزاویه است که در داخل صفحات متعامد قرار گرفته اند. به نام ژان پل دو گوا د مالوز. این قضیه بیان می کند که اگر چهار وجهی دارای یک گوشه قائم الزاویه، شبیه به راس یک مکعب باشد، آنگاه مربع مساحت وجه در مقابل این گوشه قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های مساحت سه وجه دیگر. این اصل را می توان بیشتر به عنوان "n-قضیه فیثاغورث بعدی" گسترش داد:
اجازه دهید $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 12§ ، x §2122§ ، … ، x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} بردارهای متعامد در Rⁿ باشند. سیمپلکس n-بعدی S را با رئوس ⁠ $0,x_{1},\ldots,x_{n}$ 76§ ، … ، x n {\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}} ⁠. اگر (n − 1)-بعدی سیمپلکس با راس $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 118§ ، … ، x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} (به استثنای مبدأ) "هیپوتنوز" S در نظر گرفته می‌شود، و باقی‌مانده‌های (n − 1)-بعدی S "پاهای" آن هستند، سپس مجذور کم مصرف حجم ~~برابر است. مربع های حجم پاهای n.~~

این ادعا به صورت بصری در سه بعدی توسط چهار وجهی نشان داده شده در شکل نشان داده شده است. "هیپوتنوز" مربوط به پایه چهار وجهی است که در پشت تصویر قرار دارد، در حالی که "پاها" سه وجهی هستند که از رأس در پیش زمینه منشا می گیرند. با افزایش فاصله عمود از راس تا قاعده، ناحیه جمعی "پاها" منبسط می شود، در حالی که مساحت پایه ثابت می ماند. این قضیه نشان می دهد که وقتی این عمق به مقداری می رسد که یک راس راست را تشکیل می دهد، تعمیم قضیه فیثاغورث قابل اجرا می شود. این را می توان به صورت زیر بیان کرد:

برای سیمپلکس مستطیلی n-بعدی n-مستطیلی، مربع محتوای (n − 1)- وجه مخالف راس سمت راست برابر با مجموع n است. 1)-محتوای وجوه باقیمانده.

فضاهای محصول داخلی

قضیه فیثاغورث به فضاهای محصول درونی گسترش می‌یابد، که نمایانگر بسط هندسه‌های دو بعدی و سه بعدی اقلیدسی است. به عنوان مثال، در تجزیه و تحلیل تابعی، یک تابع را می توان به عنوان یک بردار با تعداد نامتناهی مولفه در فضای محصول داخلی تصور کرد.
در فضای محصول داخلی، مفهوم عمودگرایی جایگزین مفهوم متعامد می شود. به طور خاص، دو بردار، v و w، متعامد در نظر گرفته می‌شوند که حاصل ضرب درونی آنها به $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ ، به صفر می رسد. این محصول درونی به عنوان یک مفهوم گسترده تر عمل می کند که حاصلضرب نقطه ای بردارها را در بر می گیرد. در حالی که محصول نقطه ای به طور خاص به عنوان محصول داخلی استاندارد یا اقلیدسی نامیده می شود، محصولات داخلی جایگزین نیز وجود دارد.
مفهوم طول به مفهوم هنجار تعمیم داده می شود، که ‖v‖ نشان داده می شود، برای بردار به صورت تعریف می شود. ${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\textstyle {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle }}{\vphantom {\big |t}}>.$

در فضای محصول درونی، قضیه فیثاغورث بیان می‌کند که برای هر جفت بردار متعامد، به ویژه v و w، رابطه زیر برقرار است:
قانون متوازی الاضلاع یک تعمیم بیشتر از قضیه فیثاغورث را نشان می دهد، و قابلیت کاربرد آن را در فضای محصول داخلی برای احاطه بر بردارهای غیر متعامد گسترش می دهد. این اصل به صورت ریاضی به صورت زیر بیان می شود: $2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}،$ 9§ ‖ v ‖ §2223§ + §2829§ ‖ و ‖ §4243§ = ‖ v + و ‖ §6465§ + ‖ v − و ‖ §8788§ ، {\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|an^{2}
این قانون مقرر می‌دارد که دو برابر مجموع مجذورات طول ضلع متوازی الاضلاع، برابر مجموع مربع‌های طول‌های مورب آن است. در نتیجه، هر هنجاری که این برابری را برآورده می‌کند خودسرانه نشان‌دهنده یک محصول درونی متناظر است.
هویت فیثاغورثی را می‌توان به‌گونه‌ای گسترش داد که مجموع‌هایی را شامل شود که بیش از دو بردار متعامد را شامل می‌شود. در فضای محصول درونی، اگر v§56§، v§1112§، ...، v_n مجموعه‌ای از برنامه‌های کاربردی veterwise-orthorethore theore theal را تشکیل می‌دهند. به جفت های متوالی از این بردارها معادله زیر به دست می آید: ${\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}$ 44§ n v k ‖ §6970§ = ∑ k = §8485§ n ‖ v k ‖ §110111§ {\displaystyle {\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\no^t
مجموعه‌های m-اشیاء بعدی در یک n-فضای بعدی

یک تعمیم متمایز از قضیه فیثاغورث مربوط به مجموعه‌های اشیاء قابل اندازه‌گیری توسط لبگ در ابعاد مختلف است. به طور خاص، مجذور اندازه یک مجموعه m-بعدی از اشیاء، که در یک یا چند صفحه موازی m-بعدی در فضای اقلیدسی n-بعدی قرار گرفته اند، معادل مجموع مجذورهای این اشیاء بر روی تمام اندازه های ضلعی است. m-زیر فضاهای مختصات بعدی.

از نظر ریاضی، رابطه به صورت زیر بیان می‌شود: $\mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mu _{mp_{i}}^{2}$ <-=over <-mund> ∑ --> i = §3233§ x <μ-up> <μ-up> --> m p i 58§ جایی که:

$\mu _{m}$ شامل مفاهیمی مانند طول برای یک بعد، مساحت برای دو بعد و حجم برای سه بعد.

$styleencoding="application/x-tex">{\displaystyle s}$ مجموعه‌ای از یک یا چند شیء m بدون هم‌بُعدی را نشان می‌دهد که در یک یا چند mm-dimens>-بُعدی موازی قرار گرفته‌اند. فضای اقلیدسی.

$\mu _{ms}$ ~~از مجموعه مشخص شده m اشیاء بعدی.~~

$p style encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}$ نشان‌دهنده یک نمایش m بعدی از مجموعه اولیه بر روی یک زیرفضای مختصات متعامد است.
$\mu _{mp_{i}}$ نشان‌دهنده اندازه نمایش مجموعه بعدی m بر روی زیرفضای مختصات بعدی m i است. با توجه به اینکه پیش بینی های شی ممکن است در یک زیرفضای مختصات همپوشانی داشته باشند، محاسبه اندازه هر طرح ریزی شی منفرد در مجموعه به طور جداگانه ضروری است. متعاقباً، این معیارهای فردی جمع می‌شوند تا کل اندازه‌گیری را برای مجموعه پیش‌بینی‌ها در زیرفضای مختصات مشخص شده به دست آورند.

$x style encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}$ تعداد فضاهای مختصات متعامد m-بعدی را در یک فضای n-بعدی نشان می دهد. (Rⁿ) که اجسام ابعادی m بر روی آن تابیده می شوند، جایی که (m ≤ n):

$x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$

هندسه غیر اقلیدسی

قضیه فیثاغورث از بدیهیات هندسه اقلیدسی سرچشمه می گیرد. در نتیجه، اگر این قضیه برای هر مثلث قائم الزاویه ای شکست بخورد، صفحه حاوی آن مثلث لزوماً غیر اقلیدسی خواهد بود. به‌طور دقیق‌تر، قضیه فیثاغورث هم با اصل موازی (پنجم) اقلیدس دلالت دارد و هم بر آن دلالت دارد. بنابراین، مثلث های قائم الزاویه در هندسه های غیر اقلیدسی به قضیه فیثاغورث پایبند نیستند. به عنوان مثال، در هندسه کروی، یک مثلث قائم الزاویه (با اضلاع a، b، و c) که یک اکتان از واحد کره را محدود می‌کند، هر سه ضلع آن برابر با π/2 و همه زوایا به‌صورت قائم الزاویه است. این پیکربندی قضیه فیثاغورث را نقض می کند، زیرا a§1112§ + b§1516§ = 2c§1920§، که بزرگتر از c§2324§.
این بحث دو نوع هندسه غیراقلیدسی را بررسی می‌کند: هندسه کروی و هندسه صفحه هذلولی. در هر دو مورد، مشابه مثلث های غیر قائم الزاویه در هندسه اقلیدسی، رابطه ای که جایگزین قضیه فیثاغورث می شود، از قانون کسینوس مناسب گرفته شده است.
با این وجود، اگر شرط یک مثلث قائم الزاویه با مجموع مثلث قائم الزاویه با مجموع دو، به جای آن دو زاویه سوم جایگزین شود، قضیه فیثاغورث در هندسه های هذلولی و بیضوی معتبر باقی می ماند. A + B = C. در این شرایط، اضلاع به‌گونه‌ای به هم مرتبط هستند که مجموع مساحت دایره‌های با قطرهای a و b برابر با مساحت دایره با قطر c باشد.

هندسه کروی
برای هر مثلث قائم الزاویه روی کره ای به شعاع R (به عنوان مثال، اگر γ در شکل همراه، زاویه قائمه را نشان می دهد)، با اضلاع a، b و c، رابطه بین این ضلع ها بیان می شود: $\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.$
این معادله را می توان به عنوان مثال خاصی از قانون کروی کسینوس ها استخراج کرد که برای همه مثلث های کروی قابل اعمال است: ${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\n\cos>$
برای مثلث های بی نهایت کوچک روی یک کره، یا به طور معادل، برای مثلث های کروی محدود روی کره ای با شعاع بی نهایت بزرگ، رابطه کروی بین اضلاع مثلث قائم الزاویه به شکل اقلیدسی Pythorem همگرا می شود. برای نشان دادن این موضوع، یک مثلث کروی با طول ضلع های ثابت a، b و c را روی کره ای در نظر بگیرید که شعاع آن R در حال انبساط است. همانطور که R به بی نهایت نزدیک می شود، نسبت های a/R، b/R، و c/R تمایل به کاهش هویت span به سمت صفر به سمت کاوس دارند. {{{1}}}، که نیاز به بررسی بسط مجانبی آن دارد.

بسط سری Maclaurin برای تابع کسینوس به صورت ${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}} بیان می‌شود. xmlns=$

همین اصل برای a و b نیز صادق است. با جایگزین کردن انبساط مجانبی برای هر کسینوس در رابطه کروی برای یک مثلث قائم الزاویه، نتیجه زیر به دست می آید:
به دنبال تفریق یک و نفی بعدی هر دو طرف، معادله به صورت زیر بیان می شود: ${\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.$ = class="MJX-TeXAtom-ORD"> §38 ${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+Op^{. xmlns=$ §43 ${\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}} {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.$ + b §64 ${\display alttext$ §69 ${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^)=$ class="MJX-TeXAtom-ORD"> ( R − §978. ) . {\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}+ {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}
یک ضرب بعدی در 2R§34§، با بیان c بازدهی c شرایط پارامترهای ثابت a و b، و متغیر R: $c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.$
رابطه فیثاغورثی اقلیدسی، ${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ ، در حد بازیابی می‌شود، زیرا با نزدیک شدن شعاع R به نهایت، عبارت باقی‌مانده به صفر می‌رسد.
در محاسبات عملی شامل مثلث‌های قائم الزاویه کوچک در مثلثات کروی، کسینوس‌ها را می‌توان با استفاده از هویت دوزاویه جایگزین کرد. <معناشناسی> cos ⁡ §12 $\cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$ = §2021§ − §25 $\cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$ {\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }} برای کاهش افت دقت عددی.در نتیجه، قضیه کروی فیثاغورث را می توان در یک فرمول جایگزین به صورت زیر بیان کرد: $\sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{\frac ^{2}, {b}{2R}}.$
هندسه هایپربولیک

در یک فضای هذلولی که با انحنای گاوسی یکنواخت −1/R§34§ مشخص می‌شود، برای یک مثلث قائم الزاویه دارای پاهای a و b، و یک فرضیه c در میان اضلاع آن هنر است: $\cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}$

کسینوس هذلولی که به عنوان cosh مشخص می شود، در این زمینه استفاده می شود. این فرمول بیان خاصی از قانون هذلولی کسینوس‌ها را تشکیل می‌دهد که به طور کلی برای همه مثلث‌های هذلولی قابل اجرا است: $\cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {\frac {a}{R}}\,\sinh {\frac {b}{R}}\,\cos \gamma ,$ که در آن γ نمایانگر زاویه در رأس طرف مقابل c است.
در برنامه Mac، بیش‌ازپیش، در برنامه Maclaur در برنامه‌های کاربردی بیش‌تر. به طور خاص cosh x ≈ 1 + x§56§/2، می توان نشان داد که با کاهش اندازه یک مثلث هذلولی (به عنوان مثال، زمانی که a، b، و ge از سمت راست a به سمت راست یک رابطه برقرار می‌کنند) ساختار قضیه فیثاغورث را تقریبی می کند.
در زمینه مثلث های قائم الزاویه کوچک، به ویژه هنگامی که (a، b ≪ R)، شرایط کسینوس هذلولی را می توان حذف کرد تا از کاهش اهمیت عددی جلوگیری شود و عبارت زیر را به دست آورد: {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}.}" display=" display="block" xmlth/9th="8/9/93.html sinh §1819§ ⁡ class="MJX-TeXAtom-ORD"> c §3031§ R = sinh §mrow class="MJX-TeXAtom-ORD" ⁡ a §5556§ R + < msup> class="MJX-TeXAtom-ORD"> §6869§ ⁡ b §8081§ §8081§ + §8990§ sinh §9596§ ⁡ R sinh §117118§ ⁡ §129130§ R . {\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac}{\h} {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}.} .

مثلث هایی با ابعاد ناچیز
برای هر گونه انحنای یکنواخت K (مثبت، صفر یا منفی)، در حوزه مثلث‌های قائم الزاویه بسیار کوچک که با یک افت فشار c مشخص می‌شود و شرایط را برآورده می‌کند |K|a§910 |K|b§1718§ ≪ 1، معادله بعدی صادق است: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^\{2})- {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10}).$ 33§ = a §4243§ + b §5253§ − K §6364§ a §7172§ b §7980§ − K §9293§ §9697§ a §104105§ b §112113§ ( a §122123§ + b §132133§ ) − §144145§ K §150151§ 945 a §163164§ b §171172§ ( a §181182§ − b §192193§ ) §200201§ + O ( K §214215§ c §222223§ ) . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{ {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10}).}

هندسه دیفرانسیل
در هندسه دیفرانسیل، قضیه فیثاغورث برای مثلث های بی نهایت کوچک قابل استفاده است. به طور خاص، در یک بافت فضایی سه بعدی، فاصله بین دو نقطه بی نهایت از هم جدا شده به رابطه زیر پایبند است: $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

در این زمینه، ds عنصر فاصله بینهایت کوچک را نشان می‌دهد و (dx، dy، dz) اجزای بردار را نشان می‌دهد که دو نقطه را از هم جدا می‌کند. این پیکربندی یک فضای اقلیدسی را تعریف می کند. با این وجود، هندسه ریمانی بیانی تعمیم‌یافته ارائه می‌دهد که هم برای مختصات کلی (فراتر از سیستم‌های دکارتی) و هم برای فضاهای متنوع (نه منحصراً اقلیدسی) قابل استفاده است که به‌صورت زیر فرمول‌بندی می‌شود: $ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}$ 21§ = ∑ §2021§ = ∑ <-><-> j n g i j width="thinmathspace"> d x i d class="MJX-TeXAtom-ORD"> j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx__>
این عبارت به عنوان تانسور متریک شناخته می‌شود که می‌تواند وابسته به موقعیت باشد و اغلب هندسه‌های فضایی منحنی را مشخص می‌کند. یک تصویر ساده شامل نمایش فضای اقلیدسی (مسطح) با استفاده از مختصات منحنی است. برای مثال، در مختصات قطبی، متریک به شکل زیر است: $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.$

یادداشت ها و مراجع

یادداشت ها و مراجع

یادداشت ها

مراجع

کارهای ذکر شده

قضیه فیثاغورث (Pythagorean theorem)