توپولوژی (Topology)

توپولوژی، شاخه ای از ریاضیات، بر ویژگی های اجسام هندسی که تحت تغییر شکل های مداوم مانند کشش، پیچش، مچاله شدن و خم شدن باقی می مانند، تمرکز دارد. این تغییر شکل‌ها به‌طور خاص به عنوان دگرگونی‌هایی تعریف می‌شوند که شامل بسته شدن یا باز کردن سوراخ‌ها، پاره شدن، چسباندن یا خود تقاطع نمی‌شوند. ریشه شناسی این اصطلاح به کلمات یونانی τόπος ("مکان، مکان") و λόγος ("مطالعه") باز می گردد.

توپولوژی (از کلمات یونانی τόπος، 'مکان، مکان'، و lang="span>" مطالعه') شاخه‌ای از ریاضیات است که به ویژگی‌های یک جسم هندسی مربوط می‌شود که تحت تغییر شکل‌های پیوسته، مانند کشش، پیچش، مچاله شدن، و خم شدن حفظ می‌شوند. یعنی بدون بستن سوراخ‌ها، باز کردن سوراخ‌ها، پاره شدن، چسباندن یا عبور از خود.

یک فضای توپولوژیکی اساساً مجموعه‌ای است مجهز به یک ساختار خاص، که توپولوژی نامیده می‌شود، که تعریف تغییر شکل پیوسته را برای زیرفضاهای آن و به طور گسترده‌تر، اشکال مختلف تداوم را تسهیل می‌کند. فضاهای اقلیدسی و به طور کلی فضاهای متریک به عنوان نمونه های گویا از فضاهای توپولوژیکی عمل می کنند، با توجه به اینکه هر فاصله یا متریک تعریف شده ذاتاً یک توپولوژی را ایجاد می کند. در توپولوژی، تغییر شکل‌های اولیه مورد بررسی، هومورفیسم‌ها و هموتوپی‌ها هستند. هر مشخصه ای که علیرغم چنین تغییر شکل هایی بدون تغییر باقی بماند به عنوان یک ویژگی توپولوژیکی طبقه بندی می شود. نمونه های اساسی این ویژگی ها عبارتند از بعد، که یک خط را از یک سطح متمایز می کند. فشردگی، که یک خط را از یک دایره متمایز می کند. و اتصال، که یک دایره واحد را از دو دایره متمایز و غیر متقاطع جدا می‌کند.

مبانی مفهومی توپولوژی را می‌توان در گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس جستجو کرد، که در قرن هفدهم مفاهیم محل تحلیل. کار اصلی لئونارد اویلر در مورد هفت پل مشکل کونیگزبرگ و فرمول چند وجهی او به طور گسترده به عنوان اولین قضایای این حوزه در نظر گرفته می شود. اصطلاح خاص توپولوژی توسط یوهان بندیکت لیستینگ در قرن نوزدهم ابداع شد. با این حال، توسعه جامع مفهوم فضای توپولوژیکی تا دهه های اولیه قرن بیستم محقق نشد.

انگیزه

فرض اصلی اصلی توپولوژی این است که برخی چالش‌های هندسی مشروط به مورفولوژی دقیق اجسام مورد نظر نیستند، بلکه به ترتیب ذاتی و اتصال آنها بستگی دارد. به عنوان مثال، یک مربع و یک دایره دارای ویژگی های توپولوژیکی متعددی هستند: هر دو از منظر توپولوژیکی اشیای یک بعدی در نظر گرفته می شوند و هر کدام صفحه را به دو ناحیه مجزا ترسیم می کنند - داخلی و خارجی.

لئونارد اویلر، در یکی از اولین مشارکت ها در توپولوژی، به طور قطعی ناتوانی شهر را به نمایش گذاشته است. کالینینگراد) از طریق مسیری که از هر هفت پل آن دقیقاً یک بار عبور می کند. این یافته اصلی مستقل از ابعاد فیزیکی پل ها یا جدایی فضایی آنها بود و در عوض تنها بر ویژگی های اتصال آنها تکیه داشت - به ویژه اینکه کدام پل ها جزایر یا سواحل رودخانه های خاصی را به هم متصل می کردند. حل این مسئله هفت پل کونیگزبرگ در نهایت توسعه تئوری گراف، شاخه ای متمایز از ریاضیات را تسریع کرد.

به طور مشابه، قضیه توپ مودار، یک اصل در توپولوژی جبری، فرض می کند که شانه کردن موها بر روی یک سطح کروی حداقل بدون ایجاد «تولید» غیرممکن است. در حالی که این توضیح شهودی به راحتی با بسیاری طنین انداز می شود، بیان ریاضی رسمی آن بیان می کند که هیچ میدان برداری مماس پیوسته ناپدید نشدنی نمی تواند روی یک کره وجود داشته باشد. مشابه مشکل پل های کونیگزبرگ، این نتیجه مشروط به هندسه دقیق کره نیست. بلکه برای هر جسم صاف، بدون سوراخ و لکه مانند صادق است.

برای رسیدگی موثر به مسائلی که مستقل از مورفولوژی دقیق یک شی هستند، تعریف دقیق ویژگی هایی که این مشکلات واقعاً به آنها بستگی دارند ضروری است. این ضرورت باعث پیدایش مفهوم همومورفیسم می شود. در نتیجه، عدم امکان عبور از هر پل دقیقاً یک بار به هر پیکربندی پل همومورف با آرایش اصلی کونیگزبرگ گسترش می‌یابد، و قضیه توپ مودار برای هر فضایی که از نظر توپولوژیکی معادل یک کره از طریق هومومورفیسم است، قابل اعمال است.

به طور شهودی، اگر بتوان یکی از آنها را بدون نیاز به عملیات برش یا چسباندن، به طور مداوم به دیگری تغییر شکل داد، دو فضا همومورف در نظر گرفته می شوند. یک تصویر به طور گسترده شناخته شده، که اغلب "صبحانه توپولوژیست" نامیده می شود، بیان می کند که یک توپولوژیست هیچ تفاوت اساسی بین یک لیوان قهوه و یک دونات درک نمی کند. این هم ارزی با این واقعیت نشان داده می شود که یک چنبره چکش خوار، به شکل یک دونات، می تواند از طریق فرآیند ایجاد و گسترش گودی به یک لیوان قهوه تبدیل شود و به طور همزمان دهانه مرکزی آن را منقبض کند تا دسته لیوان را تشکیل دهد.

در حالی که هومیومورفیسم نشان دهنده اساسی ترین شکل همو توپولوژیک است، معادلات توپولوژیکی پیچیده تر، معادل های توپولوژیکی مهم تر است. نوع اگرچه یک تعریف دقیق نیاز به جزئیات فنی دارد، مفهوم اصلی این است که دو شی معادل هموتوپی در نظر گرفته می‌شوند، اگر هر دو بتوانند از "لغزش" یا تغییر شکل مداوم یک شی بزرگتر و معمولی مشتق شوند.

تاریخچه

توپولوژی، به عنوان یک رشته ریاضی متمایز، در اوایل قرن بیستم ظهور کرد، اگرچه مفاهیم پیشین را می توان قرن ها قبل از آن شناسایی کرد. لئونارد اویلر مسائل هندسی خاصی را بررسی کرد و رساله 1736 او در مورد هفت پل کونیگزبرگ به عنوان یک کاربرد عملی پایه توپولوژی در نظر گرفته شد. اویلر در نامه‌ای به تاریخ 14 نوامبر 1750، اهمیت لبه‌های چند وجهی را به رسمیت شناخت. این بینش در فرمول چند وجهی او به اوج رسید، V − E + F = 2 (که در آن V، E، و F به ترتیب تعداد رئوس، hron، وجه‌های e را نشان می‌دهند). برخی از محققان این مشارکت تحلیلی را قضیه آغازین می دانند که پیدایش توپولوژی را مشخص می کند.

پیشرفت های بعدی توسط آگوستین-لوئیس کوشی، لودویگ شلافلی، یوهان بندیکت لیستینگ، برنهارد ریمان و انریکو بتی ارائه شد. لستینگ اصطلاح "Topologie" را در سال 1847 در نشریه آلمانی خود، Vorstudien zur Topologie ابداع کرد، اصطلاحی که او یک دهه قبل از انتشار رسمی آن را در مکاتبات به کار می برد. معادل انگلیسی، "توپولوژی" در سال 1883 در آگهی ترحیم لیستینگ در مجله Nature ظاهر شد، که در خدمت تمایز "هندسه کیفی از هندسه معمولی است که در آن روابط کمی عمدتاً مورد بررسی قرار می گیرد." انتشارات مهم او در سال 1895، Analysis Situs، مفاهیمی را که در حال حاضر به عنوان هموتوپی و همسانی شناخته می شوند، ایجاد کرد، که هر دو اکنون جزء یک توپولوژی جبری هستند.

قرن بیستم شاهد پیشرفت قابل توجهی در توپولوژی بود که هم زیربنای نظری و هم کاربرد آن را در حوزه‌های مختلف ریاضی در بر می‌گرفت. موریس فرشه، در سال 1906، تحقیقات گئورگ کانتور، ویتو ولترا، سزار آرزلا، ژاک هادامارد، جولیو آسکولی و سایر محققان را در مورد فضاهای تابعی ترکیب کرد و بدین وسیله مفهوم فضای متریک را معرفی کرد. در حال حاضر، یک فضای متریک به عنوان یک نمونه خاص از یک فضای توپولوژیکی عمومی درک می شود، که در آن یک فضای توپولوژیکی واحد می تواند فضاهای متریک متمایز متعددی ایجاد کند. فلیکس هاسدورف، در سال 1914، اصطلاح "فضای توپولوژیک" را ابداع کرد و تعریفی را برای آنچه که اکنون به عنوان فضای هاسدورف شناخته می شود، فرموله کرد. تعریف معاصر فضای توپولوژیکی که توسط کازیمیرز کوراتوفسکی در سال 1922 ارائه شد، بیانگر تعمیم متوسطی از فضاهای هاسدورف است.

توپولوژی معاصر عمیقاً تحت تأثیر اصول نظریه مجموعه ها است که گئورگ کانتور در نیمه دوم قرن نوزدهم توسعه داد. فراتر از ایجاد مفاهیم بنیادی نظریه مجموعه ها، کانتور مجموعه های نقطه ای را در فضای اقلیدسی نیز به عنوان جزئی جدایی ناپذیر از تحقیقات سری فوریه خود بررسی کرد.

دنیس سالیوان جایزه آبل 2022 را به‌خاطر قدردانی از مشارکت‌های پیشگام خود در توپولوژی در گسترده‌ترین تفسیر آن، به ویژه شامل ابعاد جبری، هندسی و دینامیکی آن دریافت کرد.

مفاهیم بنیادی

تعریف توپولوژی ها در مجموعه ها

عنوان "توپولوژی" همچنین نشان دهنده یک ساختار ریاضی خاص است که در زمینه ریاضیات دارای همین نام است. به صورت محاوره ای، توپولوژی روابط فضایی بین عناصر را در یک مجموعه مشخص مشخص می کند. یک مجموعه منفرد ممکن است دارای چندین توپولوژی مجزا باشد. برای مثال، خط واقعی، صفحه مختلط و مجموعه کانتور را می‌توان به عنوان مجموعه‌های یکسانی که دارای ساختارهای توپولوژیکی متفاوتی هستند، مفهوم‌سازی کرد.

به طور رسمی، X را به‌عنوان مجموعه و τ را به‌عنوان مجموعه‌ای از زیر مجموعه‌های X در نظر بگیرید. سپس، τ به عنوان یک توپولوژی در X تعریف می‌شود، مشروط بر اینکه:

1. هم مجموعه خالی و هم خود مجموعه X باید اعضای τ باشند.
2. اتحاد هر مجموعه دلخواه از عناصر از τ نیز باید عنصری از τ باشد.
3. تقاطع هر تعداد محدودی از عناصر از τ باید به طور مشابه عنصری از τ باشد.

وقتی τ یک توپولوژی در X تشکیل می‌دهد، جفت مرتب شده (X، τ) به عنوان فضای توپولوژیکی تعیین می‌شود. نماد X_τ می تواند نشان دهنده مجموعه ای X باشد که مجهز به توپولوژی خاص τ است. طبق تعریف ذاتی، هر توپولوژی ذاتاً به عنوان یک سیستم π عمل می‌کند.

عناصری که τ را تشکیل می‌دهند به عنوان مجموعه‌های باز در X نامیده می‌شوند. زیر مجموعه ای از X در صورتی بسته تعریف می شود که مکمل آن متعلق به τ باشد (یعنی مکمل آن باز باشد). یک زیرمجموعه معین از X را می توان به عنوان باز، بسته، هر دو (مجموعه کلوپن نامیده می شود) یا هیچکدام طبقه بندی کرد. هم مجموعه خالی و هم خود X همیشه دارای ویژگی بسته بودن و باز بودن همزمان هستند. یک زیرمجموعه باز از X که یک نقطه x را در بر می گیرد به عنوان یک محله باز از x تعیین می شود.

نگاشتهای پیوسته و هومئومورفیسم

یک تابع یا نگاشت بین فضاهای توپولوژیکی به عنوان پیوسته تعریف می شود اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز نیز باز باشد. هنگامی که این تابع بین اعداد واقعی، هر دو دارای توپولوژی استاندارد، عمل می کند، این تعریف پیوستگی با تعریف مورد استفاده در حساب دیفرانسیل و انتگرال همسو می شود. اگر یک تابع پیوسته دوگانه (یک به یک و روی) و معکوس آن نیز پیوسته باشد، به آن هومورفیسم می گویند که نشان می دهد دامنه آن نسبت به محدوده آن همومورف است. این به معنای گسترش طبیعی تابع به توپولوژی است. فضاهای هومومورفیک خواص توپولوژیکی یکسانی دارند و از نظر توپولوژیکی معادل در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال، یک مکعب و یک کره همومورف هستند، همانطور که یک فنجان قهوه و یک دونات. با این حال، یک کره به یک دونات همومورف نیست.

منیفولد

در حالی که فضاهای توپولوژیکی می توانند تنوع و پیچیدگی قابل توجهی از خود نشان دهند، بسیاری از حوزه های توپولوژی بر روی یک کلاس معمولی از فضاها به نام منیفولد تمرکز می کنند. یک منیفولد یک فضای توپولوژیکی است که به صورت محلی شبیه فضای اقلیدسی است. به طور دقیق‌تر، هر نقطه در یک منیفولد n-بعدی دارای همسایگی است که با فضای اقلیدسی n-بعدی همومورف است. خطوط و دایره‌ها نمونه‌هایی از منیفولدهای یک‌بعدی هستند، در حالی که شکل هشت چنین نیست. به منیفولدهای دو بعدی سطوح نیز گفته می شود. نمونه‌های گویا عبارتند از صفحه، کره و چنبره، که همگی می‌توانند به صورت سه بعدی بدون خودتقاطع جاسازی شوند، برخلاف بطری کلاین و صفحه نمایش واقعی که نمی‌توانند.

زیر فیلدها

توپولوژی عمومی

توپولوژی عمومی شاخه ای از توپولوژی را تشکیل می دهد که به تعاریف و ساختارهای نظری مجموعه های بنیادی مربوط می شود. این به عنوان پایه اساسی برای بسیاری از رشته های توپولوژیکی دیگر، از جمله توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی هندسی، و توپولوژی جبری عمل می کند. توپولوژی عمومی به عنوان توپولوژی مجموعه نقطه نیز شناخته می شود.

موضوع اصلی بررسی در توپولوژی عمومی، فضاهای توپولوژیکی است که مجموعه هایی هستند که دارای یک توپولوژی هستند. توپولوژی به عنوان مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌ها تعریف می‌شود که به عنوان مجموعه‌های باز تعیین می‌شوند، که بسته شدن را در تقاطع‌های محدود و اتحادیه‌های دلخواه (متناهی یا نامتناهی) برآورده می‌کند. مفاهیم توپولوژیکی اصلی، از جمله پیوستگی، فشردگی، و ارتباط، با استفاده از این مجموعه‌های باز فرمول‌بندی می‌شوند. از نظر مفهومی، توابع پیوسته نقاط نزدیک را به سایر نقاط نزدیک ترسیم می کنند. مجموعه‌های فشرده آن‌هایی هستند که می‌توانند توسط تعداد محدودی از مجموعه‌ها با ابعاد کوچک دلخواه پوشش داده شوند. مجموعه های متصل آنهایی هستند که در برابر تقسیم به دو جزء مجزا از هم مقاومت می کنند. اصطلاحات نزدیک، خودسرانه کوچک، و دور از هم به طور دقیق از طریق استفاده از مجموعه‌های باز تعریف می‌شوند. چندین توپولوژی را می توان بر روی یک مجموعه واحد ایجاد کرد. تغییر یک توپولوژی مستلزم اصلاح مجموعه مجموعه‌های باز است که متعاقباً بر طبقه‌بندی توابع به‌عنوان پیوسته و زیرمجموعه‌ها به‌عنوان فشرده یا متصل تأثیر می‌گذارد.

فضاهای متریک دسته قابل‌توجهی از فضاهای توپولوژیکی را نشان می‌دهند که در آن تفکیک بین هر دو نقطه با تابعی به نام متریک تعیین می‌شود. در یک فضای متریک، یک مجموعه باز توسط اتحادیه ای از دیسک های باز تشکیل می شود، که در آن یک دیسک باز با شعاع r در مرکز x همه نقاطی را در بر می گیرد که فاصله آنها از x کمتر از r است. فضاهای رایج متعدد، فضاهای توپولوژیکی هستند که توپولوژی آنها را می توان از یک متریک مشتق کرد، از جمله خط واقعی، صفحه مختلط، فضاهای برداری هنجاری واقعی و پیچیده، و فضاهای اقلیدسی. وجود یک متریک اغلب اثبات های ریاضی را ساده می کند.

توپولوژی جبری

توپولوژی جبری یک رشته ریاضی است که از روش های جبری برای بررسی فضاهای توپولوژیکی استفاده می کند. هدف اساسی آن شناسایی متغیرهای جبری است که قادر به طبقه‌بندی فضاهای توپولوژیکی هستند، یا تا هومومورفیسم یا غالباً تا هم ارزی هموتوپی.

مهم‌ترین در میان این متغیرها شامل گروه‌های همتوپی، همسانی و هم‌شناسی است.

در حالی که تکنیک‌های جبری برتر به توپولوژی برتر جبری می‌پردازد. چالش‌ها، گاهی اوقات می‌توان از مفاهیم توپولوژیکی برای حل مسائل جبری استفاده کرد. به عنوان مثال، توپولوژی جبری یک اثبات زیبا ارائه می دهد که نشان می دهد هر زیرگروهی از یک گروه آزاد، خود یک گروه آزاد است.

توپولوژی دیفرانسیل

توپولوژی دیفرانسیل، دامنه ریاضی متمرکز بر توابع متمایز تعریف شده بر روی منیفولدهای متمایز است. این زمینه ارتباط نزدیکی با هندسه دیفرانسیل دارد و در مجموع، نظریه هندسی جامع منیفولدهای متمایزپذیر را تشکیل می دهند.

به طور خاص، توپولوژی دیفرانسیل خواص و ساختارهای قابل تعریف را صرفاً توسط یک ساختار منیفولد صاف بررسی می کند. منیفولدهای صاف نسبت به منیفولدهای دارای ساختارهای هندسی اضافی انعطاف‌پذیرتر در نظر گرفته می‌شوند، که می‌تواند محدودیت‌هایی را بر انواع خاصی از هم ارزی‌ها و تغییر شکل‌های رایج در توپولوژی دیفرانسیل تحمیل کند. به عنوان مثال، حجم و انحنای ریمانی متغیرهایی هستند که قادر به تمایز پیکربندی‌های هندسی متمایز در یک منیفولد صاف هستند. می توان به آرامی منیفولدهای خاصی را به یک پیکربندی "مسطح" تغییر شکل داد، اما این ممکن است به اعوجاج فضایی نیاز داشته باشد و در نتیجه انحنا یا حجم را تغییر دهد.

توپولوژی هندسی

توپولوژی هندسی شاخه‌ای از توپولوژی را تشکیل می‌دهد که عمدتاً منیفولدهای کم‌بعد، به‌ویژه فضاهای دو، سه، و چهار بعدی و تأثیر متقابل آن‌ها با اصول هندسی را بررسی می‌کند، هرچند که جنبه‌های خاصی از توپولوژی با ابعاد بالاتر را نیز در بر می‌گیرد. حوزه‌های کلیدی مطالعه عبارتند از جهت‌پذیری، تجزیه دسته، صافی موضعی، مچاله شدن، و قضیه شونفلیس مسطح و با ابعاد بالاتر.

در توپولوژی با ابعاد بالا، کلاس‌های مشخصه به عنوان یک متغیر اساسی عمل می‌کنند، و نظریه جراحی یک چارچوب نظری محوری را نشان می‌دهد.

توپولوژی کم‌بعدی ذاتاً هندسی است، که با قضیه یکنواخت‌سازی برای منیفولدهای دوبعدی اثبات می‌شود - هر سطح دارای یک انحنای ثابت است. از نظر هندسی، اینها با سه هندسه متمایز مطابقت دارند: کروی (انحنای مثبت)، اقلیدسی (انحنای صفر)، و هذلولی (انحنای منفی) - و حدس هندسی (قضیه فعلی) برای منیفولدهای سه بعدی - هر سه منیفولد را می توان یک قسمت بنیادی را به صورت eight تجزیه کرد. هندسه ها.

توپولوژی دو بعدی قابل مطالعه از طریق لنز هندسه پیچیده با یک متغیر است (سطوح ریمان منحنی های پیچیده هستند). قضیه یکنواخت سازی نشان می دهد که هر کلاس همسان از معیارها با یک ساختار پیچیده منحصر به فرد مطابقت دارد. به طور مشابه، توپولوژی چهار بعدی را می توان از منظر هندسه پیچیده با دو متغیر (سطوح پیچیده) بررسی کرد، با این حال، همه چهار منیفولد ساختار پیچیده ای ندارند.

کلیات

در زمینه‌های خاصی، روش‌های توپولوژیکی در مواردی که چارچوب مرسوم "مجموعه نقاط" وجود ندارد، مورد نیاز است. به عنوان مثال، توپولوژی بی نقطه، شبکه مجموعه های باز را به عنوان مفهوم اساسی خود مطرح می کند. برعکس، توپولوژی‌های Grothendieck ساختارهایی را نشان می‌دهند که بر روی دسته‌های دلخواه تعریف شده‌اند، و تعریف شیوها و در نتیجه، نظریه‌های هم‌شناسی عمومی را در آن دسته‌ها تسهیل می‌کنند.

برنامه ها

زیست شناسی

توپولوژی در مطالعه سیستم‌های بیولوژیکی متنوع، شامل مولکول‌ها و نانوساختارها، مانند اجسام غشایی، کاربرد پیدا می‌کند. به طور خاص، توپولوژی مدار و نظریه گره به طور گسترده ای برای طبقه بندی و مقایسه پیکربندی های توپولوژیکی پروتئین های تا شده و اسیدهای نوکلئیک استفاده شده است. توپولوژی مدار زنجیره‌های مولکولی تا شده را بر اساس سازمان‌دهی زوجی تماس‌های درون زنجیره‌ای و تقاطع‌های زنجیره‌ای دسته‌بندی می‌کند. نظریه گره، زیر شاخه توپولوژی، در زیست شناسی برای بررسی تاثیر آنزیم های خاص بر روی DNA استفاده می شود. این آنزیم‌ها DNA را می‌شکافند، می‌پیچانند و دوباره پیوند می‌دهند و گره‌هایی را ایجاد می‌کنند که در اثرات قابل مشاهده، مانند کاهش تحرک الکتروفورتیک، ظاهر می‌شود.

علوم کامپیوتر

تحلیل داده‌های توپولوژیکی از تکنیک‌های مشتق شده از توپولوژی جبری برای تعیین ساختار ماکروسکوپی یک مجموعه داده استفاده می‌کند، برای مثال، تشخیص اینکه آیا یک ابر نقطه مورفولوژی کروی یا حلقوی را نشان می‌دهد. روش اولیه مورد استفاده در تجزیه و تحلیل داده های توپولوژیکی شامل مراحل زیر است:

1. جایگزینی مجموعه‌ای از نقاط داده با خانواده‌ای از مجتمع‌های ساده که توسط یک متریک مجاورت پارامتر شده است.
2. تجزیه و تحلیل این مجتمع های توپولوژیکی از طریق توپولوژی جبری، به ویژه با استفاده از نظریه همسانی پایدار.
3. کدگذاری همسانی مداوم یک مجموعه داده به عنوان یک نوع پارامتری از یک عدد Betti، که معمولاً بارکد نامیده می‌شود.

زیرحوزه های مختلف معناشناسی زبان برنامه نویسی، از جمله نظریه دامنه، از طریق اصول توپولوژیکی رسمیت یافته است. در این چارچوب، استیو ویکرز، با گسترش مشارکت‌های سامسون آبرامسکی و مایکل بی. اسمیت، فضاهای توپولوژیکی را به‌عنوان جبرهای بولی یا هیتینگ تعریف می‌کند که بر روی مجموعه‌های باز ساخته شده‌اند، که خود به‌عنوان ویژگی‌های نیمه‌تصمیم‌پذیر (یا به‌طور معادل، کاملاً قابل مشاهده) مشخص می‌شوند.

فیزیک

توپولوژی در حوزه های مختلف فیزیک، از جمله فیزیک ماده متراکم، نظریه میدان کوانتومی، محاسبات کوانتومی، و کیهان شناسی فیزیکی، ارتباط قابل توجهی دارد.

ویژگی های توپولوژیکی جامدات به طور قابل توجهی بر خواص مکانیکی آنها تأثیر می گذارد، موضوعی که در مهندسی مکانیک و علم مواد مورد توجه است. هر دو ویژگی الکتریکی و مکانیکی به آرایش و پیکربندی شبکه مولکول ها و واحدهای اساسی در مواد بستگی دارد. تحقیق در مورد مقاومت فشاری توپولوژی های مچاله شده با هدف روشن کردن نسبت استثنایی مقاومت به وزن مشاهده شده در این سازه ها، که عمدتاً از فضای خالی تشکیل شده اند، است. علاوه بر این، توپولوژی در مکانیک تماس اهمیت زیادی دارد، جایی که رابطه بین سختی، اصطکاک و ابعاد ساختارهای سطحی، به ویژه برای کاربردهای آن در فیزیک چند جسمی، یک حوزه کلیدی تحقیق است.

یک نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی (TQFT)، همچنین به عنوان یک نظریه ساختاری زمینه‌شناسی میدان کوانتومی طراحی شده است. در حالی که فیزیکدانان در ابتدا TQFT ها را تصور کردند، آنها همچنین دارای علاقه ریاضی قابل توجهی هستند که به زمینه های مختلفی مانند نظریه گره، نظریه چهار چندگانه در توپولوژی جبری و نظریه فضاهای مدول در هندسه جبری متصل می شوند. ریاضیدانان برجسته دونالدسون، جونز، ویتن و کونتسویچ هر کدام مدال فیلدز را به خاطر مشارکتشان در زمینه نظریه میدان توپولوژیکی دریافت کرده اند.

طبقه بندی توپولوژیکی منیفولدهای Calabi-Yau پیامدهای قابل توجهی را در نظریه ریسمان به همراه دارد، با توجه به اینکه انواع مختلف منیفولد دارای قابلیت strings. رایانه‌های کوانتومی توپولوژیکی، کیوبیت‌ها با استفاده از ویژگی‌های توپولوژیکی کدگذاری می‌شوند، که ذاتاً تغییرناپذیری را تحت هموتوپی‌ها حفظ می‌کنند.

در زمینه کیهان‌شناسی، توپولوژی به عنوان چارچوبی برای توصیف هندسه جهانی جهان عمل می‌کند. این حوزه خاص از تحقیق به طور گسترده به عنوان توپولوژی فضا-زمان شناخته می شود.

یک کاربرد قابل توجه فیزیک توپولوژیکی در ماده متراکم شامل تحقق یک جریان یک طرفه است که ذاتاً در برابر پراکندگی عقب مقاومت می کند. این پدیده ابتدا از طریق اثر مشهور کوانتومی هال در الکترونیک مشاهده شد و متعاقباً به سایر حوزه های فیزیک مانند فوتونیک گسترش یافت. دیوید تولس، دانکن هالدن و مایکل کوسترلیتز جایزه نوبل فیزیک 2016 را برای تحقیقات پیشگام خود در مورد نظم های توپولوژیکی دریافت کردند.

رباتیک

موقعیت‌های بالقوه یک ربات از نظر ریاضی با یک منیفولد به نام فضای پیکربندی نشان داده می‌شود. در حوزه برنامه ریزی حرکت، محققان مسیرهایی را شناسایی می کنند که دو نقطه مجزا را در این فضای پیکربندی به هم متصل می کنند. این مسیرها مربوط به حرکت مفاصل و سایر اجزای ربات برای رسیدن به یک حالت مشخص است.

بازی‌ها و پازل‌ها

پازل‌های جداسازی اصول عملیاتی خود را از ویژگی‌های توپولوژیکی اشکال و اجزای تشکیل‌دهنده خود استخراج می‌کنند.

هنر فیبر

برای دستیابی به اتصال مداوم اجزای مدولار در یک ساختار، باید یک مسیر بدون وقفه ایجاد کرد که هر قطعه را احاطه کرده و هر لبه را دقیقاً یک بار طی کند. این روش نمونه ای از کاربرد مسیر اویلری است.

منابع و تحقیقات

مجله های اصلی

• هندسه & توپولوژی: یک مجله تحقیقاتی ریاضی که توسط انتشارات علوم ریاضی منتشر می شود و بر هندسه، توپولوژی و کاربردهای متنوع آنها تمرکز دارد.
• مجله توپولوژی: یک مجله علمی که به انتشار مقالات با کیفیت بالا و قابل توجه در توپولوژی، هندسه و زمینه های ریاضی مرتبط اختصاص دارد.

کتابهای اصلی

• Munkres, James R. (2000). توپولوژی (ویرایش دوم). رودخانه فوقانی زین، نیوجرسی: سالن پرنتیس. ISBN 978-0-13-181629-9
• ویلارد، استفان (2016). توپولوژی عمومی. کتاب های دوور در ریاضیات. مینولا، نیویورک: انتشارات دوور. ISBN 978-0-486-43479-7
• آرمسترانگ، M. A. (1983). توپولوژی پایه. متون کارشناسی ریاضی. نیویورک: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90839-7
• کلی، جان (1979). "توپولوژی عمومی". Springer.

مراجع

مراجع

نقل‌ها

کتابشناسی

• Aleksandrov، P.S. (1969) [1956]. "فصل هجدهم توپولوژی". در الکساندروف، A.D. کولموگروف، A.N. لاورنتف، M.A. (ویرایشگران). ریاضیات / محتوا، روش ها و معنی آن (ویرایش دوم). M.I.T. فشار دهید.کروم، فرد اچ. (1989). اصول توپولوژی. انتشارات کالج ساندرز. ISBN 978-0-03-029804-2.ریچسون، دی. (2008). گوهر اویلر: فرمول چند وجهی و تولد توپولوژی. انتشارات دانشگاه پرینستون.Engelking، Ryszard (1989). توپولوژی عمومی. Heldermann Verlag، Sigma Series in Pure Mathematics. ISBN 3-88538-006-4.
  • Ryszard Engelking، General Topology، Heldermann Verlag، Sigma Series in Pure Mathematics، دسامبر 1989، ISBN 3-88538-006-4.
  • بورباکی (1966). عناصر ریاضی: توپولوژی عمومی. ادیسون-وسلی.
  • Breitenberger, E. (2006). "لیستینگ یوهان بندیکت." در جیمز، I.M. (ویرایش)، تاریخ توپولوژی. هلند شمالی ISBN 978-0-444-82375-5.
  • براون، رونالد (2006). توپولوژی و گروپوئیدها. کتابفروشی. ISBN 978-1-4196-2722-4.نوار موبیوس: گروه شگفت‌انگیز دکتر آگوست موبیوس در ریاضیات، بازی‌ها، ادبیات، هنر، فناوری، و کیهان‌شناسی. مطبوعات Thunder's Mouth. ISBN 978-1-56025-826-1. ctx_ver="Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Topology&rft.edition=ft.pub=D; over+Publications+Inc.&rft.date=1990&rft.isbn=978-0-486-66522-1&rft.aulast=Gemignani&rft.aufirst=Michael+C.𝔯_id=info%3Asid%2/en. title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+M%C3%B6b ius+Strip%3A+Dr.+August+M%C3%B6bius%27s+Band+ شگفت انگیز+در+ریاضی%2C+بازی%2C+ادبیات%2C+هنر%2C+تکنولوژی%2C+و+Cosmo logy&rft.pub=Thunder%27s+Muth+Press&rft.date=2006&rft.isbn=978-1-56025-826-1&rft.aulast=Pickover&rft.aufi rst=Clifford+A.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fmbiusstripdrau00pick𝔯_id=info%3Asid%2Fen.
  (این کار مقدمه ای در دسترس برای زمینه های توپولوژی و هندسه ارائه می دهد.)
• جمینانی، مایکل سی. (1990) [1967]. توپولوژی ابتدایی (ویرایش دوم). Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-66522-1."توپولوژی، عمومی." در دایره المعارف ریاضیات. EMS Press، 2001 [1994] ..
  • "توپولوژی، عمومی". دایره المعارف ریاضیات. پرس EMS 2001 [1994].