سیستم مختصات دکارتی (Cartesian coordinate system)

در هندسه، سیستم مختصات دکارتی ( UK: , US: ) در یک صفحه یک سیستم مختصاتی است که هر نقطه را منحصراً توسط یک جفت اعداد حقیقی به نام…

در هندسه، یک سیستم مختصات دکارتی (UK: , US: ) در یک صفحه به طور منحصر به فرد هر نقطه را از طریق یک جفت اعداد واقعی، که به عنوان مختصات شناخته می شوند، شناسایی می کند. این مختصات نشان دهنده فواصل علامت دار از نقطه تا دو خط ثابت، عمود بر و جهت دار است که به آنها خطوط مختصات، محور مختصات یا به سادگی محور (جمع محور) سیستم می گویند. نقطه تقاطع این محورها به عنوان مبدأ، مربوط به مختصات (0، 0) تعیین می شود. جهت محورها یک مبنای متعامد ایجاد می کند و ترکیب این مبدا و مبنا یک چارچوب مختصاتی را تشکیل می دهد که به آن چارچوب دکارتی می گویند.

در هندسه، یک سیستم مختصات دکارتی (بریتانیا: ، ایالات متحده: ) در یک صفحه، یک سیستم مختصاتی است که هر نقطه را منحصراً توسط یک جفت اعداد حقیقی به نام مشخص می‌کند، که نقطه‌ای را ثابت می‌کند. خطوط عمود بر جهت، که خطوط مختصات، محورهای مختصات یا فقط محور (جمع محور) سیستم نامیده می شوند. نقطه ای که محورها به هم می رسند منشا نامیده می شود و دارای مختصات (0, 0) است. جهت محورها یک مبنای متعامد را نشان می دهد. ترکیب مبدأ و مبنا یک قاب مختصاتی به نام قاب دکارتی را تشکیل می‌دهد.

به طور مشابه، مکان هر نقطه در فضای سه‌بعدی با سه مختصات دکارتی تعریف می‌شود که نشان‌دهنده فواصل علامت‌دار از آن نقطه تا سه صفحه متقابل عمود بر یکدیگر است. با بسط این مفهوم، مختصات دکارتی n نقطه ای را در فضای اقلیدسی n-بعدی برای هر بعد معین n تعریف می کند. این مختصات مربوط به فواصل علامت‌گذاری شده از نقطه تا n ابرصفحه‌های ثابت عمود متقابل است.

نامگذاری "مختصات دکارتی" به احترام رنه دکارت، که نوآوری قرن هفدهمی او ریاضیات را عمیقاً با امکان فرمول بندی مسائل هندسی با استفاده از اصول جبری و حساب دیفرانسیل و انتگرال دگرگون کرد. از طریق سیستم مختصات دکارتی، موجودات هندسی مانند منحنی ها را می توان با معادلاتی مشخص کرد که مختصات نقاط تشکیل دهنده آنها را به هم مرتبط می کند. به عنوان مثال، دایره ای با شعاع 2 که در مرکز مبدأ هواپیما قرار دارد، به عنوان مکان تمام نقاطی تعریف می شود که مختصات آنها x و y معادله x§1112§ + 1 § § 1112 § = 1 . از این معادله، ویژگی‌هایی مانند مساحت، محیط، و خط مماس در هر نقطه معین را می‌توان با استفاده از حساب انتگرال و دیفرانسیل، روشی که برای هر منحنی قابل استفاده است، محاسبه کرد.

مختصات دکارتی به عنوان مبنای اساسی هندسه تحلیلی عمل می‌کنند و بینش‌های هندسی عمیقی را در بین رشته‌های مختلف، تحلیل‌های مختلف جبری، خطی پیچیده ریاضی ارائه می‌کنند. هندسه، حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره، و نظریه گروه، از جمله. یک تصویر اساسی از کاربرد آنها، نمایش گرافیکی یک تابع است. علاوه بر این، مختصات دکارتی ابزار ضروری در بیشتر زمینه‌های کاربردی مربوط به هندسه، مانند نجوم، فیزیک و مهندسی را تشکیل می‌دهند. آنها سیستم مختصات غالبی هستند که در گرافیک کامپیوتری، طراحی هندسی به کمک کامپیوتر، و اشکال مختلف دیگر پردازش داده های مرتبط با هندسه به کار می روند.

تاریخچه

اصطلاح دکارتی برگرفته از ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی رنه دکارت است که به طور رسمی این مفهوم را در سال 1637 در زمان اقامت خود در هلند معرفی کرد. به طور همزمان، پیر دو فرما به طور مستقل همان ایده را توسعه داد و آن را به سه بعد گسترش داد، اگرچه یافته های خود را منتشر نکرد. قابل‌توجه، روحانی فرانسوی، نیکول اورسمه، از ساختارهای مشابه مختصات دکارتی به‌طور قابل‌توجهی قبل از مشارکت‌های دکارت و فرما استفاده می‌کرد.

هر دو دکارت و فرما در ابتدا از یک محور در چارچوب‌های مربوطه خود استفاده کردند، با طول‌های متغیری که نسبت به این محور اندازه‌گیری می‌شد. نوآوری استفاده از یک جفت محور متعاقباً و پس از ترجمه لاتین La Géométrie دکارت توسط فرانس ون شوتن و همکارانش در سال 1649 پدیدار شد. این مفسران، در تلاش خود برای روشن کردن ایده های اصلی دکارت، چندین مفهوم اضافی را معرفی کردند.

تکامل سیستم مختصات دکارتی در توسعه همزمان حساب توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس بسیار مهم بود. متعاقباً، نمایش دو مختصات صفحه بسط و تعمیم داده شد و به مفهوم بنیادی فضاهای برداری تعمیم داده شد.

از زمان مشارکت دکارت، سیستم های مختصات متعدد دیگری ابداع شده است، از جمله مختصات قطبی برای نمایش مسطح، و مختصات کروی و استوانه ای برای فضای سه بعدی

توضیح

یک بعد

یک خط افین مجهز به سیستم مختصات دکارتی تعیین شده خط عدد نامیده می شود. در این خط، هر نقطه مربوط به یک مختصات اعداد واقعی منحصر به فرد است، و برعکس، هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه خاص از خط است.

یک سیستم مختصات دکارتی برای یک خط دو درجه آزادی ارائه می دهد. این سیستم را می توان با انتخاب دو نقطه متمایز روی خط و مرتبط ساختن آنها با دو عدد واقعی منحصر به فرد، معمولاً صفر و یک، ایجاد کرد. پس از آن، به تمام نقاط دیگر می توان مقادیر عددی منحصر به فرد را از طریق درونیابی خطی نسبت داد. از طرف دیگر، یک نقطه را می توان به یک عدد واقعی خاص، مانند منشا مربوط به صفر، تعیین کرد. سپس یک واحد طول جهت‌دار در امتداد خط انتخاب می‌شود که جهت آن همبستگی بین جهات روی خط و مقادیر عددی مثبت یا منفی را تعیین می‌کند. مختصات هر نقطه فاصله علامت‌دار آن از مبدأ است که شامل یک مقدار مطلق برابر با فاصله و یک علامت + یا − است که با جهت آن نسبت به مبدأ تعیین می‌شود.

تبدیل‌های هندسی یک خط با توابع یک متغیر واقعی قابل نمایش هستند. به عنوان مثال، ترجمه خط مربوط به جمع است، در حالی که مقیاس بندی خط مربوط به ضرب است. هر دو سیستم مختصات دکارتی در یک خط معین توسط یک تابع خطی به شکل $x\mapsto ax+b$ )، که مختصات یک نقطه را از یک سیستم به معادل آن در سیستم دیگر ترسیم می کند. علاوه بر این، ایجاد یک سیستم مختصات برای هر یک از دو خط مجزا، یک نقشه پیوندی بین آنها ایجاد می‌کند، جایی که هر نقطه در خط اول به نقطه خط دوم که دارای مختصات یکسان است، نگاشت می‌شود.

دو بعد

یک سیستم مختصات دکارتی دوبعدی، که به‌عنوان سیستم مختصات مستطیلی یا سیستم مختصات متعامد دکارتی نیز شناخته می‌شود، توسط یک جفت خطوط عمود بر هم (محور)، یک واحد طول یکنواخت قابل اعمال برای هر دو محور، و یک جهت مشخص برای هر محور ایجاد می‌شود. نقطه تقاطع این محورها به عنوان مبدأ برای هر دو عمل می کند و به طور مؤثر هر محور را به یک خط اعداد تبدیل می کند. برای تعیین مختصات هر نقطه P، خطی از P عمود بر هر محور رسم می شود. سپس نقطه تقاطع در هر محور به عنوان یک مقدار عددی تفسیر می شود. این دو عدد که به ترتیب مشخص شده ارائه شده اند، مختصات دکارتی P را تشکیل می دهند. برعکس، نقطه P را می توان با توجه به مختصات آن از طریق معکوس این ساختار به طور منحصر به فردی شناسایی کرد.

اولین مختصات P آبسیسا نامیده می شود، در حالی که مختصات دوم به عنوان مرتب شناخته می شود. نقطه تقاطع محورها به عنوان منشا سیستم مختصات تعیین شده است. مختصات معمولاً به صورت یک جفت مرتب از اعداد محصور در پرانتز و با کاما از هم جدا می شوند، برای مثال (3, 10.5-). در نتیجه، مبدأ با (0، 0) نشان داده می شود، و نقاطی که یک واحد از مبدا در امتداد نیم محورهای مثبت قرار دارند با (1، 0) و (0، 1) نشان داده می شوند.

در میان رشته‌های ریاضی، فیزیک، و مهندسی، محور اولیه معمولاً به‌صورت افقی ایجاد یا نشان داده می‌شود، جهت‌گیری به سمت راست است، در حالی که محور ثانویه عمودی است و به سمت بالا هدایت می‌شود. (قابل توجه است که در برخی برنامه های گرافیکی کامپیوتری، محور ارتین ممکن است به سمت پایین باشد.) مبدا اغلب با O نشان داده می شود، و دو مختصات معمولاً با حروف X و Y، یا x و y نشان داده می شوند. بر این اساس، محورها اغلب به عنوان محور X و Y-محور نامیده می شوند. این قرارداد حرفی از رویه تاریخی استفاده از بخش آخر الفبا برای مقادیر ناشناخته و قسمت اولیه برای مقادیر شناخته شده سرچشمه می گیرد.

یک صفحه اقلیدسی مجهز به یک سیستم مختصات دکارتی انتخاب شده، صفحه دکارتی نامیده می شود. در این چارچوب، امکان تعریف نمایش های متعارف برای اشکال هندسی مختلف وجود دارد. مثال‌ها شامل دایره واحد است که با شعاع معادل طول واحد مشخص می‌شود و در مرکز مبدا قرار دارد. مربع واحد که مورب آن نقاط (0, 0) و (1, 1) را به هم متصل می کند. و هذلولی واحد، در میان دیگران.

دو محور صفحه را به چهار ناحیه راست‌زاویه تقسیم می‌کنند که به عنوان ربع شناخته می‌شوند. در حالی که این ربع‌ها را می‌توان از طریق قراردادهای مختلف تعیین یا شماره‌گذاری کرد، منطقه‌ای که همه مختصات مثبت هستند معمولاً به عنوان ربع اول نامیده می‌شود.

برای نقطه‌ای با مختصات (x، y)، فواصل آن از محور X و محور Y با |y| و به ترتیب |x|، جایی که | · | نشان دهنده قدر مطلق است.

سه بعد

یک سیستم مختصات دکارتی در فضای سه‌بعدی توسط یک سه‌گانه مرتب از خطوط تعریف می‌شود که به‌عنوان محور تعیین می‌شوند، که در یک نقطه مشترک، منشا قطع می‌شوند و متقابلاً عمود هستند. این سیستم همچنین به یک جهت اختصاص داده شده برای هر محور و یک واحد طول یکنواخت در هر سه محور نیاز دارد. مشابه سیستم دو بعدی، هر محور به عنوان یک خط عددی عمل می کند. برای تعیین مختصات هر نقطه P در فضا، یک صفحه از طریق P، عمود بر هر محور مختصات مفهوم سازی می شود. تقاطع این صفحه با هر محور یک مقدار عددی به دست می دهد. این سه عدد، که به ترتیب مشخص مرتب شده اند، مختصات دکارتی P را تشکیل می دهند. برعکس، یک نقطه P را می توان با سه مختصات داده شده خود از طریق این ساختار معکوس به طور منحصر به فرد قرار داد.

به طور متناوب، هر مختصات یک نقطه P را می توان به عنوان فاصله عمود آن از صفحه تشکیل شده توسط دو محور دیگر تعریف کرد، با علامت جبری تعیین شده توسط جهت گیری مربوطه. صفحه مختصات متمایز. در مجموع، این صفحات فضای سه بعدی را به هشت ناحیه مجزا تقسیم می کنند که به اکتانت معروف هستند. این اکتانت ها با ترکیبات علامت مختصات زیر مشخص می شوند:

${\شروع{تراز شده}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&&(+x,-y,+z)&& y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{تراز شده}}$

معمولا مختصات به صورت سه تایی از اعداد یا فرمول‌های جبری بیان می‌شوند که در داخل پرانتز قرار می‌گیرند و با کاما مشخص می‌شوند، به عنوان مثال، (3, −2.5, 1) یا (t, u + pv) در نتیجه، مبدأ با مختصات (0، 0، 0) نشان داده می‌شود، در حالی که نقاط واحد در امتداد سه محور به‌عنوان (1، 0، 0)، (0، 1، 0)، و (0, 0

term fortheology،) تعیین می‌شوند. مختصات در امتداد سه محور شامل abscissa، ordinate، و applicate است. این مختصات اغلب با حروف x، y و z نشان داده می شوند. بر این اساس، محورها اغلب به‌عنوان محور x، محور y و محور z تعیین می‌شوند. پس از آن، صفحات مختصات به صورت xy-plane، yz-plane، و xz-plane مشخص می شوند.

در رشته های ریاضی، فیزیکی و مهندسی، دو محور اولیه معمولاً ایجاد می شوند یا به صورت عمودی به صورت افقی نشان داده می شوند. در چنین تنظیماتی، مختصات سوم ممکن است ارتفاع یا ارتفاع نامیده شود. جهت استاندارد دیکته می کند که زاویه 90 درجه از محور اول به محور دوم در خلاف جهت عقربه های ساعت در هنگام مشاهده از نقطه (0, 0, 1) ظاهر شود. این کنوانسیون به طور گسترده به عنوان قانون دست راست شناخته می شود.

ابعاد بالاتر

با توجه به ماهیت منحصر به فرد و بدون ابهام مختصات دکارتی، نقاط درون یک صفحه دکارتی را می توان دقیقاً با جفت های مرتب شده از اعداد واقعی مرتبط کرد. این مکاتبات به طور رسمی توسط محصول دکارتی نشان داده شده است $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ، جایی که $\mathbb {R}$ مجموعه تمام اعداد حقیقی را نشان می دهد. به طور مشابه، نقاط در هر فضای اقلیدسی nبعدی را می توان با n-tuples (فهرست) مرتب شده از اعداد واقعی، مربوط به محصول دکارتی $\mathbb {R} ^{n}$ .

کلیات

مفهوم اساسی مختصات دکارتی را می توان برای تطبیق محورهایی که متقابل عمود نیستند، یا برای ترکیب مقیاس های واحد متفاوت در امتداد هر محور گسترش داد. در چنین چارچوب تعمیم‌یافته‌ای، هر مختصات با طرح یک نقطه معین بر روی یک محور، در امتداد جهتی موازی با محورهای باقی‌مانده (یا به‌طور گسترده‌تر، با ابر صفحه تعریف‌شده توسط تمام محورهای دیگر) به دست می‌آید. در یک سیستم مختصات مورب، محاسبات برای فواصل و زوایا مستلزم تغییراتی از آنچه در سیستم‌های دکارتی استاندارد به کار می‌رود، بسیاری از فرمول‌های مرسوم (مانند قضیه فیثاغورث برای فاصله) را غیرقابل اجرا می‌کند.

نشان‌گذاری و قراردادها

مختصات دکارتی یک نقطه خاص معمولاً در داخل پرانتز ارائه می‌شوند و با کاما مشخص می‌شوند. مبدا اغلب با حرف بزرگ O مشخص می شود. در هندسه تحلیلی، مختصات نامشخص یا تعمیم یافته معمولاً با حروف (x، y) برای زمینه های مسطح و (x، y، z) برای فضای سه بعدی نشان داده می شوند. این عمل از یک قرارداد جبری سرچشمه می گیرد که از حروف قسمت آخر الفبا برای متغیرهای ناشناخته (مثلاً مختصات نقطه در مسائل هندسی متعدد) و حروف از قسمت اولیه برای مقادیر شناخته شده استفاده می کند.

در حالی که این نام گذاری های مرسوم اغلب در زمینه های دیگر از جمله فیزیک و مهندسی حروف جایگزین استفاده می شود، ممکن است از حروف جایگزین استفاده شود. به عنوان مثال، در یک نمایش گرافیکی که تغییرات فشار را در طول زمان نشان می دهد، مختصات ممکن است p و t برچسب گذاری شوند. به طور معمول، هر محور با توجه به مختصاتی که اندازه گیری می کند نامگذاری می شود. بنابراین، اصطلاحاتی مانند محور x، محور y، یا محور t معمولا استفاده می‌شوند.

یک قرارداد جایگزین برای نام‌گذاری مختصات شامل استفاده از زیرنویس‌هایی است که با (x§23§, x§6_{7§, ..., x_n) برای نشان دادن مختصات nمخصوصاً در یک فضای ، مثال می‌شود. n از سه بیشتر می شود یا تعریف نشده باقی می ماند. برخی از محققان طرح شماره گذاری را انتخاب می کنند (x§2223§، x§2627§، ...، x_n−1). چنین سیستم‌های نمادی مزایای خاصی را در زمینه‌های برنامه‌نویسی کامپیوتری ارائه می‌دهند، زیرا ذخیره مختصات نقطه‌ای را در ساختار آرایه، به جای یک رکورد، تسهیل می‌کنند، و به زیرنویس اجازه می‌دهند تا به‌عنوان یک شاخص مستقیم برای مختصات عمل کند.}

در بازنمایی‌های ریاضی سیستم‌های دکارتی دو بعدی، مختصات اولیه، مختصات افقی معمولی، که به طور معمول در امتداد مختصات افقی نامیده می‌شوند. از چپ به راست متعاقباً، مختصات دوم، که به عنوان مختصات شناخته می شود، در امتداد یک محور عمودی اندازه گیری می شود، که عموماً از پایین به بالا جهت گیری می کند. برای اهداف آموزشی، به‌ویژه در مورد یادگیرندگان جوان، توالی برای تفسیر مقادیر مختصات اغلب قبل از مفهوم‌سازی کامل محورهای x-، y- و z تعیین می‌شود. این امر غالباً از طریق یادداشت‌های دوبعدی، مانند «در امتداد سالن راه بروید و سپس از پله‌ها بالا بروید» به دست می‌آید، که به طور استعاری با پیمایش افقی در امتداد محور x قبل از صعود عمودی در امتداد محور y مطابقت دارد.

برعکس، در آن، در حوزه‌های گرافیکی مختصات و پردازش تصویر به طور مکرر در رایانه به کار می‌رود. محور y روی صفحه نمایش به سمت پایین هدایت می شود. این قرارداد خاص در طول دهه 1960، یا احتمالاً زودتر از آن، ناشی از روش‌شناسی اولیه برای ذخیره‌سازی تصاویر در بافرهای نمایشگر پدید آمد.

در سیستم‌های مختصات سه‌بعدی، یک روش استاندارد شامل به تصویر کشیدن صفحه xy در جهت افقی و ادغام مقادیر z به سمت بالا با امتداد z به سمت بالا است. علاوه بر این، یک قرارداد رایج، محور x را رو به ناظر قرار می دهد، با یک سوگیری جهت به سمت راست یا چپ. اگر یک نمودار، خواه یک طرح ریزی سه بعدی یا یک طراحی پرسپکتیو دو بعدی، محور x- را به صورت افقی و محور y- را به صورت عمودی نشان دهد، محور z معمولاً به صورت "خارج از صفحه" به سمت بیننده یا دوربین به تصویر کشیده می شود. در چنین بازنمایی دو بعدی از یک سیستم سه بعدی، محور z به صورت یک خط یا پرتو به سمت پایین و یا به چپ یا راست، مشروط به چشم انداز مفروض بیننده یا دوربین ظاهر می شود. جهت گیری کلی سه محور در هر نمودار یا نمایشگر ذاتاً دلخواه است. با این وجود، جهت گیری نسبی آنها باید به طور مداوم به قانون دست راست پایبند باشد، مگر اینکه یک انحراف صریح نشان داده شود. این قرارداد راست دست برای همه قوانین فیزیکی و ریاضی اساسی است و در نتیجه ثبات را تضمین می کند.

در نمودارهای سه بعدی، اصطلاحات "آبسیسا" و "مرتبط" به ندرت برای مختصات x و y به کار می روند. در مواردی که از این اصطلاحات استفاده می شود، مختصات z گاه به عنوان کاربرد تعیین می شود. همچنین قابل توجه است که "abscissa" "ordinate" و "applicate" ممکن است به خود محورهای مختصات اشاره داشته باشند نه مقادیر عددی متناظر آنها.

ربع و اکتانت دکارتی

محورهای متقاطع یک سیستم دکارتی دو بعدی، صفحه را به چهار ناحیه نامحدود، که ربع نامیده می‌شوند، ترسیم می‌کند، که هر کدام با دو نیم محور مشخص می‌شوند. این مناطق به طور معمول از اول تا چهارم برشمرده می شوند و با اعداد رومی نشان داده می شوند: ربع I، که در آن هر دو مختصات علائم مثبت را نشان می دهند. ربع دوم، که با یک ابسیسا منفی و یک ارتین مثبت مشخص می شود. ربع III، که در آن هر دو ابسیسا و مختصات منفی هستند. و ربع IV که با یک ابسیسا مثبت و یک ارتکاب منفی تعریف می شود. با پیروی از قرارداد استاندارد ریاضی برای نمایش محور، دنباله شماره‌گذاری در خلاف جهت عقربه‌های ساعت پیش می‌رود و از ربع سمت راست بالا یا "شمال شرقی" شروع می‌شود.

به طور مشابه، یک سیستم دکارتی سه بعدی فضا را بر اساس ترکیبات علامت مختصات نقطه به هشت ناحیه مجزا، به نام اکتانت تقسیم می کند. نامگذاری تعیین شده برای شناسایی یک اکتانت خاص شامل برشمردن علائم مختصات آن است. به عنوان مثال، (+ + +) یا (− + −). بسط مفهومی ربع ها و اکتان ها به تعداد دلخواه ابعاد اورتان نامیده می شود که از روش نامگذاری قابل مقایسه

استفاده می کند.

فرمول‌های صفحه دکارتی

فاصله بین نقاط

فاصله اقلیدسی که دو نقطه مجزا را در یک صفحه دکارتی از هم جدا می‌کند، که با مختصات آنها مشخص می‌شود ${\displaystyle (x_{1},y_{1})$ 13§ ، class="MJX-TeXAtom-ORD"> §2223§ ) {\displaystyle (x_{1}>) و $(x_{2},y_{2})$ ، به این صورت تعریف می شود:

$d= {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ 60§ ) §66 $</sub>) {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ . {\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}

این معادله بیانگر فرمول دکارتی قضیه فیثاغورث است. وقتی به فضای سه‌بعدی گسترش می‌یابد، فاصله بین دو نقطه به صورت $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 13§ , y §2223§ ، z §3233§ ) encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} و $(x_{2},y_{2},$ ، y 69§ ، z 79§ ) - ding" (x_{2},y_{2},z_{2})} ، توسط:

تعیین می شود

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$ 30§ ) §37 $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}،$ + ( y §49 $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}،$ − y §6061§ ) §68 $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}،$ + ( z §80 $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}،$ − z §9192§ ) §99 $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$ ، {\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}،}

این فرمول را می توان از طریق دو کاربرد متوالی قضیه فیثاغورث به دست آورد.

تغییرات اقلیدسی

تحرکات اقلیدسی که به آنها حرکات اقلیدسی نیز گفته می‌شود، نگاشت‌های دوطرفه‌ای از نقاط داخل صفحه اقلیدسی را بر روی خود نشان می‌دهند که با حفظ فواصل بین نقاط مشخص می‌شود. این نقشه‌برداری‌ها که به نام ایزومتریک نیز شناخته می‌شوند، چهار دسته مجزا را شامل می‌شوند: ترجمه‌ها، چرخش‌ها، بازتاب‌ها، و بازتاب‌های سر خوردن.

ترجمه

فرایند ترجمه مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه، در حالی که فواصل بین نقطه‌ای و جهت‌های نسبی آن‌ها حفظ می‌شود، مربوط به افزایش مختصات دکارتی هر نقطه در مجموعه با یک جفت عدد ثابت، به‌ویژه (a، b) است. در نتیجه، اگر مختصات اولیه یک نقطه (x، y) باشد، مختصات آن پس از ترجمه این خواهد بود:

$(x',y')=(x+a,y+b).$

چرخش

چرخش یک شکل هندسی در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول مبدا توسط یک زاویه مشخص، که به عنوان $\theta$ ، از نظر ریاضی معادل جایگزینی هر نقطه با مختصات (x،y) با یک نقطه جدید دارای مختصات (x'،y') است، به شرطی که:

معادلات تبدیل برای یک چرخش به صورت زیر بیان می‌شوند: ${\display\code&tex -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

در نتیجه،

مختصات تبدیل‌شده را می‌توان به صورت زیر نشان داد: $(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).$ (x، y)، انعکاس آن در سراسر محور y (محور مختصات دوم) مختصات (−x، y)(x، -y) منجر می شود. به طور گسترده‌تر، بازتابی در سراسر خطی که از مبدأ با زاویه عبور می‌کند $\theta$ نسبت به محور x یک نقطه با مختصات (x با مختصات جدید، ) را تبدیل می کند. (x′،y′)، تعریف شده توسط:

${\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'& .\end{aligned}}$ y ′ = x sin ⁡7/19 θ --> − y cos ⁡ §86 ${\begin{aligned}x'&=x\cos 2\thetathe +y 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}$ style {\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}>

تغییر را می توان به صورت زیر بیان کرد: $(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).$

بازتاب سر خوردن

بازتاب لغزشی به عنوان تبدیل ترکیبی ناشی از بازتاب در یک خط مشخص تعریف می‌شود که توسط ترجمه موازی با همان خط انجام می‌شود. قابل توجه است که توالی این عملیات جابجایی است، به این معنی که ترجمه ممکن است قبل از بازتاب بدون تغییر در نتیجه نهایی باشد.

نمایش ماتریس عمومی تبدیل‌ها

نمایش‌های ماتریسی یک روش استاندارد برای توصیف همه تبدیل‌های وابسته در یک صفحه ارائه می‌دهند. برای تسهیل این کار، مختصات $(x,y)$ از یک نقطه معین به صورت ستونی به صورت ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

تبدیل‌های اقلیدسی، زیرمجموعه‌ای از تبدیل‌های وابسته، با متعامد بودن ماتریس تعریف می‌شوند $A$ . این متعامد نشان می دهد که ستون های ماتریس بردارهای متعامد با هنجار اقلیدسی یک هستند. به طور خاص، این شرط با معادلات بیان می شود: $A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0$ 27§ ، §30<31§s 31§pan A §3738§ , §41 $A$ 42§ + §51 $52§ , §5556§$ A §62 $}$ {\displaystyle A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0} و A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> scriptlevel="0"> A §9495§ ، §9899§ §101 $}$ + A §111 $116§ §119 120§$ = 120§ , §133 $134§ §137 138$ + A §147 $148§tt , 148§1 ,<1}\displaystyle A xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">152§ §155 156 §$ encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.}

A و جابجایی آن ماتریس هویت را به دست می‌دهد. اگر این شرایط برآورده نشود، فرمول داده شده نشان‌دهنده کلاس وسیع‌تری از تبدیل‌های وابسته است.

یک تبدیل منحصراً زمانی به عنوان ترجمه طبقه‌بندی می‌شود که ماتریس A با ماتریس هویت مطابقت داشته باشد. برعکس، یک تبدیل نشان دهنده چرخش در مورد یک نقطه خاص است اگر و فقط اگر A به عنوان یک ماتریس چرخشی عمل کند، که مستلزم متعامد بودن و پایبندی آن به این شرط است: ${\displaystyle A_{1,1}A__{2,1}A_{1,1}A__{2,1,1,1,A_{2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, به نقل از ایرنا display=$ 49§ A §5556§ ، §5960§ = 1. {\ نمایش پاسخبازتاب یا انعکاس سر خوردن در شرایط خاصی رخ می‌دهد که در آن: $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.$ 11§ ، §1415§ A §21 $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.$ − − §36 $A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,1$

وقتی ترجمه‌ها استفاده نمی‌شوند (به عنوان مثال، $b_{1}=b_{2}=0$ 11§ = b aldisplay{20> al b_{1}=b_{2}=0}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">21§ = §2627§ b_{1}=b_{2}=0}

)، تبدیل ها را می توان از طریق ضرب مستقیم ماتریس های تبدیل متناظر آنها ترکیب کرد.

تغییر افین

تغییرهای افین در صفحه اقلیدسی همخطی بودن را حفظ می‌کنند، خطوط را به خطوط نگاشت می‌کنند، اما می‌توانند فواصل و زوایا را تغییر دهند. چنین تبدیل‌هایی را می‌توان با استفاده از ماتریس‌های تقویت‌شده نشان داد: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\ end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.} display=$ b §ttext="\display"> §ttext="\dis" {\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\ end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.} display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">86§ §9394§ §97~~102§~~ ) ( d x y §129130§ ) ( x ′ ′ §167168§ ) . td> encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pm atrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}

تبدیل‌های اقلیدسی زیرمجموعه‌ای از تبدیل‌های وابسته را تشکیل می‌دهند که در آن ماتریس 2×2 از $A_{i,j}$ متعامد است.

ماتریس تقویت‌شده که ترکیب دو تبدیل افین را نشان می‌دهد از ضرب matric مربوطه به دست می‌آید.

برخی از تبدیل‌های وابسته که واجد شرایط تبدیل اقلیدسی نیستند، نام‌های مجزایی دارند.

مقیاس‌سازی

مقیاس‌سازی یک تبدیل وابسته را نشان می‌دهد که اقلیدسی نیست. تنظیم اندازه یک شکل، یا بزرگ کردن یا کاهش آن، شامل ضرب مختصات دکارتی هر نقطه در یک اسکالر مثبت ثابت، m است. در نتیجه، اگر (x، y) مختصات یک نقطه را در شکل اولیه نشان دهد، نقطه مربوطه در شکل مقیاس شده دارای مختصاتی خواهد بود که به صورت زیر تعریف شده اند:

$(x',y')=(mx,my).$

وقتی m از 1 بیشتر شود، رقم بزرگ می شود. برعکس، اگر m در بازه (0، 1) باشد، رقم کاهش می یابد.

تغییرهای برشی

یک تبدیل برشی یک مربع را با جابجایی لبه بالایی آن به صورت جانبی منحرف می‌کند و در نتیجه یک متوازی الاضلاع ایجاد می‌کند. برش افقی به طور رسمی به این صورت تعریف می شود:

$(x',y')=(x+ys,y)$

برش عمودی را می‌توان از طریق تبدیل زیر نیز اجرا کرد:

$(x',y')=(x,xs+y)$

جهت گیری و دستی در سیستم های مختصات

سیستم های دو بعدی

مشخصات محور x ذاتاً محور y را مشخص می کند، البته با ابهام جهت. به طور خاص، محور y باید بر محور x- عمود باشد و در مبدا (0) محور x- تلاقی کند. با این حال، باید تصمیم گرفت که کدام یک از دو نیم خط حاصل در امتداد این عمود به عنوان مثبت و کدام یک منفی تعیین شود. هر انتخاب متمایز یک جهت منحصر به فرد ایجاد می کند که به آن دست بودن نیز گفته می شود، برای صفحه دکارتی.

جهت متعارف صفحه، که با محور مثبت x که به سمت راست گسترش می یابد و محور مثبت y که به سمت بالا گسترش می یابد مشخص می شود (که در آن محور اصلی به عنوان طراحی شده است و -i> طراحی شده است. محور y به عنوان محور ثانویه)، به عنوان جهت‌گیری مثبت یا استاندارد شناخته می‌شود که غالباً جهت‌گیری راست دست نامیده می‌شود. هنگامی که یک دست راست نیمه بسته روی صفحه قرار می گیرد و شست آن به سمت بالا است، انگشتان جهت را از محور x به محور y در داخل یک سیستم مختصات مثبت گرا نشان می دهند.

در روش دیگر، می توان صفحه را با اعمال قاعده دست چپ با قرار دادن پلان با دست چپ، جهت گیری کرد. به سمت بالا هدایت می شود.

اگر انگشت شست از مبدا در امتداد یک محور در جهت مثبت کشیده شود، انحنای طبیعی انگشتان نشان دهنده جهت چرخشی مثبت حول آن محور خاص است.

صرف نظر از روشی که برای جهت‌گیری صفحه استفاده می‌شود، چرخش سیستم مختصات جهت ذاتی خود را حفظ می‌کند. معکوس کردن یک محور، جهت گیری را معکوس می کند، در حالی که معکوس کردن هر دو محور، جهت اصلی را حفظ می کند.

سیستم های سه بعدی

با تعریف محورهای x- و y-، مسیر برای محور z مشخص می شود. با این حال، دو جهت مجزا برای این خط ممکن است. سیستم مختصات حاصل در نتیجه به عنوان "راست دست" یا "چپ دست" طبقه بندی می شوند. جهت متعارف، با یک صفحه xy افقی و محور z به سمت بالا مشخص می شود (با محورهای x- و y که یک سیستم مختصات دوبعدی مثبت گرا را در داخل xy-صفحه از در هنگام مشاهده تشکیل می دهند. xy-plane)، به عنوان راست دست یا مثبت تعیین شده است.

نامگذاری از قانون دست راست نشات می گیرد. هنگامی که انگشت اشاره دست راست به جلو کشیده می شود، انگشت میانی با زاویه قائم نسبت به آن به سمت داخل خم می شود، و شست عمود بر هر دو قرار می گیرد، این سه رقم جهت گیری نسبی محورهای x-، y-، و z- را در یک سیستم هماهنگ شده راست نشان می دهند. به طور خاص، انگشت شست محور x-، انگشت اشاره محور y- و انگشت وسط محور z- را مشخص می کند. برعکس، اعمال این روش با دست چپ یک سیستم چپ دست را به دست می‌دهد.

شکل 7 یک سیستم مختصات چپ‌دست و راست‌دست را نشان می‌دهد. نمایش یک شی سه بعدی بر روی یک صفحه نمایش دو بعدی به طور ذاتی باعث ایجاد اعوجاج و ابهام بالقوه می شود. محور رو به پایین (و سمت راست) برای پرتاب به سمت ناظر در نظر گرفته شده است، در حالی که محور "وسط" طوری طراحی شده است که دور از ناظر فاصله بگیرد. دایره قرمز، که موازی با صفحه xy-افقی قرار گرفته است، نشان دهنده چرخش از محور x به محور y در هر دو پیکربندی است. در نتیجه، فلش قرمز در مقابل محور z- را طی می کند.

شکل 8 یک تصویر جایگزین از یک سیستم مختصات راست دست را نشان می دهد. مشابه مثال قبلی، نمایش یک سیستم سه بعدی بر روی یک صفحه دو بعدی باعث ایجاد ابهام ذاتی می شود. تعداد زیادی از بینندگان شکل 8 را در نوسان بین یک مکعب محدب و یک "گوشه" مقعر، که منعکس کننده دو جهت فضایی بالقوه است، درک می کنند. با تفسیر شکل به صورت محدب، یک سیستم مختصات چپ به دست می آید. بنابراین، چشم انداز مناسب برای مشاهده شکل 8 شامل مفهوم سازی محور x به عنوان امتداد به ناظر، در نتیجه درک یک گوشه مقعر است.

نمایش بردار در پایه استاندارد

در یک سیستم مختصات دکارتی، یک نقطه فضایی را می توان با یک بردار موقعیت نشان داد که به عنوان یک فلش از مبدأ سیستم مختصات تا نقطه خاص گسترش می یابد. هنگامی که مختصات نشان دهنده موقعیت مکانی (جابجایی) است، بردار منشاء از مبدأ تا نقطه مورد نظر معمولاً به صورت $\mathbf {r}$ . برای زمینه های دو بعدی، بردار از مبدأ تا نقطه ای که با مختصات دکارتی (x, y) تعریف شده است به صورت زیر فرموله می شود:

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,$

اینجا، $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ 20§ §2526§ ) en\xing=" \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} و $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ 62§ §6768§ {\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} نشان دهنده بردارهای واحد تراز شده با محورهای x- و y- است. اینها معمولاً به عنوان پایه استاندارد شناخته می‌شوند، اگرچه در زمینه‌های کاربردی خاص، ممکن است به آنها نسخه‌ها نیز گفته شود. گسترش این مفهوم به سه بعد، یک برداری که از مبدأ مختصات نشات می گیرد و در نقطه ای که توسط مختصات دکارتی تعریف شده ختم می شود displaystyle="true" scriptlevel="0"> ( x ، y ، z ) را می توان به صورت زیر بیان کرد: $\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k$

اینجا، ${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}،$ 70§ §7576§ §8182§ ، {\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}،} k = ( ‏ §125126§ §131132§ . {\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}

هیچ روش ذاتی برای ضرب بردارها وجود ندارد تا به طور پیوسته بردار دیگری در تمام ابعاد به دست آید. با این وجود، اعداد مختلط مکانیزمی برای چنین عملیاتی ارائه می دهند. در یک صفحه دکارتی دو بعدی، نقطه ای که با مختصات (x، y) تعریف شده است را می توان با عدد مختلط z = x + iy مرتبط کرد. در این زمینه، i واحد خیالی مربوط به نقطه (0, 1) را نشان می دهد و بنابراین ن معادل بردار واحد در امتداد محور x است. با توجه به اینکه اعداد مختلط دارای یک عملیات ضربی هستند که منجر به یک عدد مختلط دیگر می شود، این مطابقت شکلی از ضرب برداری را ممکن می کند. به طور مشابه، در یک فضای دکارتی سه بعدی، با استفاده از زیرمجموعه خاصی از کواترنیون ها می توان یک ارتباط قابل مقایسه ایجاد کرد.

روبات مختصات دکارتی

ربات مختصات دکارتی
افقی و عمودی
نمودار جونز، که به جای دو متغیر، چهار متغیر را ترسیم می کند
مختصات متعامد، نوعی سیستم مختصات منحنی
سیستم مختصات قطبی
شبکه منظم
سیستم مختصات کروی

یادداشت ها

نقل‌ها

مرجع کلی و استناد شده

اکسلر، شلدون (2015). جبر خطی درست انجام شد. متون کارشناسی ریاضی. اسپرینگر. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. بایگانی شده از نسخه اصلی در 27 مه 2022. بازیابی شده در 17 آوریل، 2022.
برلینسکی، دیوید (2011). سیری در حساب دیفرانسیل و انتگرال. گروه انتشارات Knopf Doubleday. ISBN 9780307789730.
برانان، دیوید ای. اسپلن، متیو اف. گری، جرمی جی (1998). هندسه. کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. ISBN 978-0-521-59787-6.
برتون، دیوید ام. (2011). تاریخ ریاضیات/یک مقدمه (7th ). نیویورک: McGraw-Hill. ISBN
978-0-07-338315.گریفیث، دیوید جی. (1999). مقدمه ای بر الکترودینامیک. سالن پرنتیس ISBN 978-0-13-805326-0.هیوز هالت، دبورا؛ مک کالوم، ویلیام جی.؛ گلیسون، اندرو ام. (2013). حساب: تک و چند متغیره (ویرایش ششم). جان وایلی و پسران. ISBN 978-0470-88861-2.کنت، الکساندر جی.; ووجاکویچ، پیتر (4 اکتبر 2017). راهنمای نقشه برداری و نقشه برداری Routledge. راتلج.ISBN 9781317568216.Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th ed.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5آنتون، هاوارد; Bivens, Irl C.; دیویس، استفان (2021). حساب: چند متغیره. جان وایلی & پسران ص 657. ISBN 978-1-119-77798-4.Descartes، René (2001). گفتار در مورد روش، اپتیک، هندسه، و هواشناسی. ترجمه شده توسط Paul J. Oscamp (تجدید نظر شده.). Indianapolis، IN: Hackett Publishing. OCLC 488633510.
Descartes, René (2001) Discourse on Method, Optics, Geometry, and Pauls. IN: Hackett Publishing 978-0-87220-567-3 OCLC 488633510.Korn GA، Korn TM (1961). راهنمای ریاضی برای دانشمندان و مهندسان (ویرایش اول). نیویورک: مک گراو هیل. صص 55-79. LCCN 59-14456. OCLC 19959906.مارگناو اچ، مورفی جی ام (1956). ریاضیات فیزیک و شیمی. نیویورک: دی. ون نوسترند. LCCN 55-10911. title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle =ریاضیات+فیزیک+و+شیمی&rft.place=نیویورک&rft.pub=D.+van+Nostrand&rft.date=1956&a mp;rft_id=info%3Alccn%2F55-10911&rft.aulast=Margenau&rft.aufirst=H&rft.au=Murphy%2C+GM&rft_id=ht tps%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fmathematicsofphy0002marg&rfr_id=info%3Asid%2Fen.

کتاب راهنمای تئوری میدان، شامل سیستم‌های مختصات، معادلات دیفرانسیل، و راه‌حل‌های آنها (تصحیح چاپ دوم، چاپ سوم). نیویورک: Springer-Verlag. صفحات 9-11 (جدول 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.Morse PM, Feshbach H (1969). روشهای فیزیک نظری، قسمت اول (اولین ویرایش). نیویورک: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-. LCCN 52-11515.Sauer R, Szabó I (1967). ابزارهای ریاضی برای مهندسان. نیویورک: Springer Verlag. LCCN 67-25285.سیستم مختصات دکارتی
سیستم مختصات دکارتی
وایسستاین، اریک دبلیو. "مختصات دکارتی". MathWorld.

مبدل مختصات - تبدیل بین مختصات قطبی، دکارتی و کروی

مختصات یک نقطه – ابزار تعاملی برای کاوش مختصات یک نقطه

کلاس جاوا اسکریپت منبع باز برای دستکاری سیستم مختصات دکارتی 2D/3D

سیستم مختصات دکارتی (Cartesian coordinate system)