عدد اول (Prime number)

یک عدد اول که به آن عدد اول نیز می گویند، به عنوان عدد طبیعی بیش از 1 تعریف می شود که نمی تواند به عنوان حاصل ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر بیان شود. برعکس، هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 که اول نباشد، عدد مرکب است. به عنوان مثال، عدد 5 اول است زیرا تنها تجزیه های ضربی آن، 1 × 5 یا 5 × 1، لزوماً شامل 5 می شود. در مقابل، 4 به عنوان مرکب طبقه‌بندی می‌شود، زیرا می‌توان آن را از حاصلضرب (2×2) تشکیل داد که در آن هر دو عامل کمتر از 4 هستند. اعداد اول به دلیل قضیه اساسی حساب، جایگاهی اساسی در نظریه اعداد دارند، که بیان می‌کند که هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 یا خود عدد اول است یا دارای یک عامل‌سازی منحصربه‌فرد به یک حاصل ضرب ضرایب اول است.

یک عدد اول (یا یک اول) یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است که حاصل ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر نیست. عدد طبیعی بزرگتر از 1 که اول نباشد، عدد مرکب نامیده می شود. به عنوان مثال، 5 عدد اول است زیرا تنها راه های نوشتن آن به عنوان یک محصول، 1 × 5 یا 5 ​​× 1، خود 5 را شامل می شود. با این حال، 4 مرکب است زیرا حاصلضربی است (2 × 2) که در آن هر دو اعداد کوچکتر از 4 هستند. اعداد اول به دلیل قضیه اساسی حساب در نظریه اعداد مرکزی هستند: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 یا خود اول است یا می تواند به عنوان حاصل ضرب اعداد اول که به ترتیب آنها منحصر به فرد است، فاکتور شود.

اصطلاح prime مشخصه بودن است. یک تکنیک ساده، هرچند ناکارآمد، برای تعیین اولیه بودن یک عدد معین ⁠${\displaystyle n}$⁠ یک بخش آزمایشی است، که شامل بررسی اینکه آیا ⁠${\displaystyle n}$⁠ بر هر عدد صحیح از 2 تا ⁠${\displaystyle {\sqrt {n}}}$⁠. الگوریتم‌های سریع‌تری وجود دارند، مانند آزمون اولیه میلر-رابین، که سرعت را به قیمت احتمال خطای جزئی ارائه می‌دهد، و آزمون اولیه AKS، که نتیجه صحیح را در زمان چند جمله‌ای تضمین می‌کند، اما عموماً برای کاربردهای عملی بسیار کند است. روش‌های تخصصی و فوق‌العاده سریع برای اعداد با ساختار خاص قابل استفاده هستند که نمونه‌ای از آن‌ها با اعداد مرسن است. تا اکتبر 2024، بزرگترین عدد اول شناسایی شده، عدد اول مرسن است که دارای 41,024,320 رقم اعشاری است.

بی نهایت اعداد اول توسط اقلیدس تقریباً 300 سال قبل از میلاد مسیح ایجاد شد. در حال حاضر، هیچ فرمول ساده ای برای تشخیص اعداد اول از اعداد مرکب وجود ندارد. با این وجود، توزیع اعداد اول در مقیاس بزرگ در بین اعداد طبیعی را می توان به طور موثر از نظر آماری مدل کرد. دستاورد اصلی در این زمینه، قضیه اعداد اول است که در اواخر قرن نوزدهم اثبات شد، که فرض می‌کند احتمال اول بودن یک عدد صحیح تصادفی بزرگ تقریباً با تعداد ارقام آن یا معادل لگاریتم آن نسبت معکوس دارد.

بسیاری از سوالات طولانی مدت در مورد اعداد اول حل نشده باقی مانده اند. قابل توجه در میان اینها حدس گلدباخ است که پیشنهاد می کند هر عدد صحیح زوج بیش از 2 را می توان به عنوان مجموع دو عدد اول نشان داد، و حدس اول دوقلو، که وجود بی نهایت جفت اول را فرض می کند که با دو تفاوت دارند. این پرس‌وجوها، تکامل زیرشاخه‌های متنوعی را در نظریه اعداد تحریک کرده‌اند که بر ویژگی‌های تحلیلی یا جبری اعداد تأکید دارند. اعداد اول جدایی‌ناپذیر پروتکل‌های مختلف فناوری اطلاعات هستند، از جمله رمزنگاری کلید عمومی، که چالش محاسباتی فاکتورگیری اعداد صحیح بزرگ را در اجزای اصلی آنها اعمال می‌کند. در جبر انتزاعی، مفاهیمی مشابه با اعداد اول، که رفتار اعداد اول تعمیم یافته را نشان می دهند، عناصر اول و ایده آل های اول را در بر می گیرند.

تعریف و مثال‌های گویا

یک عدد طبیعی (مثلاً 1، 2، 3، 4، 5، 6) به عنوان عدد اول (یا به سادگی اول) تعیین می شود اگر از 1 بیشتر شود و نمی توان آن را به عنوان حاصل ضرب دو عدد طبیعی بیان کرد که هر دو کوچکتر از خودش هستند. اعداد طبیعی بزرگتر از 1 که این معیار را برآورده نمی کنند، اعداد مرکب نامیده می شوند. یا یک عدد ⁠${\displaystyle n}$⁠ اول است اگر ⁠${\displaystyle n}$⁠ اقلام گسسته را نمی توان به گروه های کوچکتر و با اندازه مساوی که حاوی بیش از یک آیتم هستند، یا ⁠${\displaystyle n}$⁠ را نمی توان در یک شبکه مستطیلی با ابعاد بزرگتر از یک نقطه در عرض و ارتفاع مرتب کرد. به عنوان مثال، در دنباله ای از اعداد از 1 تا 6، 2، 3، و 5 به عنوان اعداد اول شناخته می شوند زیرا به طور مساوی بر هیچ اعداد صحیح دیگری (یعنی بدون باقیمانده) بخش پذیر نیستند. عدد 1 اول در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صراحت توسط تعریف حذف شده است. هر دو 4 = 2 × 2 و 6 = 2 × 3 نمونه هایی از اعداد ترکیبی هستند.

قسمت‌گیرنده‌های یک عدد طبیعی ⁠${\displaystyle n}$⁠ به عنوان اعداد طبیعی که ⁠⁠ بدون باقیمانده. هر عدد طبیعی حداقل دارای دو مقسوم علیه است: 1 و خود عدد. اگر عددی غیر از 1 و خودش مقسوم علیه داشته باشد اول نیست. در نتیجه، اعداد اول به طور معادل به عنوان اعداد صحیحی که دقیقاً دارای دو مقسوم علیه مثبت هستند، تعریف می‌شوند. این دو مقسوم علیه 1 و خود عدد هستند. از آنجایی که 1 فقط یک مقسوم علیه دارد (خود) از مجموعه اعداد اول در این تعریف مستثنی است. از طرف دیگر، یک عدد ⁠${\displaystyle n}$⁠ اگر از یک بیشتر شود، اول در نظر گرفته می شود و بدون باقیمانده بر هیچ عدد صحیحی در دنباله <{3-1, 1-1-1-2-2003، \display/style="span>\display/style="2,3,1,1, 2008 alttts " xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> §6061§ ، §6465§ ، …<!-- … --> ، n −<!-- − --> §7879§ encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2,3,\dots ,n-1} .

25 عدد اول اولیه که همه اعداد اول زیر 100 را در بر می گیرند به شرح زیر فهرست شده اند:

2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 79، دنباله OE A000040).

یک عدد زوج ⁠${\displaystyle n}$⁠ بیش از 2 نمی تواند اول باشد، زیرا همیشه می تواند به عنوان محصول بیان شود ⁠ xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> §2526§ × MJX-TeXAtom-ORD"> / §3637§ {\displaystyle 2\times n/2} . در نتیجه، همه اعداد اول به جز 2 فرد هستند و به آنها اعداد اول فرد می گویند. علاوه بر این، در سیستم اعشاری استاندارد، اعداد اول بزرگتر از 5 به طور پیوسته با ارقام 1، 3، 7، یا 9 خاتمه می‌یابند. اعدادی که با ارقام دیگر خاتمه می‌یابند مرکب هستند: اعدادی که به 0، 2، 4، 6 یا 8 ختم می‌شوند زوج هستند، در حالی که اعدادی که به 0 یا 5 ختم می‌شوند، قابل تقسیم هستند.

مجموعه جمعی همه اعداد اول معمولاً با علامت {\displaystyle \mathbf {P} } (boldceapital) (پان‌اسپان)>${\displaystyle \mathbb {P} }$ (یک P بزرگ تخته سیاه).

تاریخچه

قدمت تقریباً به 1550 سال قبل از میلاد مسیح، پاپیروس ریاضی Rhind شامل بسط کسری مصری است که بین اعداد اول و مرکب تفاوت قائل می شود. با این وجود، اولین مستندات موجود در مورد مطالعه سیستماتیک اعداد اول از ریاضیدانان یونان باستان سرچشمه می گیرد که آنها را به عنوان prōtos arithmòs (πρῶτος ἀριθμὸς). کار اصلی اقلیدس، عناصر (حدود 300 سال قبل از میلاد)، اثبات نامتناهی اعداد اول را ارائه می دهد، قضیه اساسی حساب را ایجاد می کند، و روشی را برای ساخت اعداد کامل از اعداد اول مرسن بیان می کند. غربال اراتوستن، یکی دیگر از نوآوری های مهم یونانی، روشی معاصر برای تولید فهرستی از اول است.

در حدود سال 1000 پس از میلاد، ریاضیدان اسلامی ابن هیثم (الهازن) قضیه ویلسون را کشف کرد که اعداد اول را به عنوان اعداد صحیح مشخص می کند ⁠

در سال 1640، پیر دو فرما، قضیه کوچک فرما را بیان کرد، گزاره‌ای که او بدون اثبات رسمی ارائه کرد، که متعاقباً توسط لایب‌نیتس و اویلر اثبات شد. فرما علاوه بر این، تحقیقاتی را در مورد اولیه بودن اعداد فرما انجام داد که به صورت ⁠9§ §1213§ n + §2324§ {\displaystyle 2^{2^{n}}+1} ⁠. همزمان، مارین مرسن تحقیقاتی را در مورد اعداد اول مرسن انجام داد که اعداد اولی هستند که با شکل 42§ p − §5152§ {\displaystyle 2^{p}-1} ، جایی که ⁠${\displaystyle p}$⁠ خود یک عدد اول است. در مکاتبه ای در سال 1742 با اویلر، کریستین گلدباخ حدس گلدباخ را پیشنهاد کرد و فرض کرد که هر عدد صحیح را می توان به صورت مجموع دو عدد اول بیان کرد. اویلر متعاقباً اعتبار حدس آلهازن را نشان داد (که در حال حاضر به عنوان قضیه اقلیدس-اویلر شناخته می شود) و ثابت کرد که همه اعداد زوج کامل از اعداد اول مرسن قابل مشتق هستند. علاوه بر این، اویلر روش‌های تحلیلی را از طریق نمایش ماهیت نامتناهی اعداد اول و واگرایی سری‌های متقابل اعداد اول که به صورت ⁠90§ §9192§ + §101102§ §103104§ + §113114§ §115116§ + §125126§ §127128§ + §137138§ §139140§ + ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots } ⁠.در اوایل قرن نوزدهم، لژاندر و گاوس به طور مستقل فرض کردند که به عنوان ⁠${\displaystyle x}$⁠ به بی نهایت نزدیک می شود، تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی ⁠${\displaystyle x}$⁠ به طور مجانبی معادل ⁠${\displaystyle x/\log x}$⁠، با ${\displaystyle \log x}$ نشان دهنده لگاریتم طبیعی ⁠${\displaystyle x}$⁠. اصل برتراند، مفهومی کمتر دقیق از این چگالی بالای مشاهده شده اعداد اول، بیان می کند که برای هر عدد صحیح 273§ {\displaystyle n>1} ، یک عدد اول دقیقاً بین ⁠${\displaystyle n}$⁠ و ⁠308§ n {\displaystyle 2n} ⁠، پیشنهادی که در سال 1852 توسط پافنوتی چبیشف به طور جدی مطرح شد. انتشارات برنهارد ریمان در سال 1859 در مورد تابع زتا چارچوبی مفهومی برای اثبات حدس ارائه شده توسط لژاندر و گاوس ارائه کرد. در حالی که فرضیه ریمان ارتباط نزدیکی به اثبات ندارد، چارچوب بنیادی ریمان در نهایت در سال 1896 توسط هادامارد و د لا والی پوسین رسمیت یافت و به آنچه اکنون به عنوان قضیه اعداد اول شناخته می شود به اوج خود رسید. یکی دیگر از دستاوردهای مهم ریاضی قرن نوزدهم، قضیه دیریکله در مورد پیشروی های حسابی بود، که نشان داد پیشروی های حسابی خاص تعداد نامحدودی از اعداد اول را در بر می گیرند.

تعداد زیادی از ریاضیدانان برای اعدادی که از محدودیت های عملی تقسیم آزمایشی فراتر رفته اند، آزمون های اولیه ایجاد کرده اند. آزمون‌های ابتدایی تخصصی، قابل اجرا بر تعداد اشکال خاص، شامل آزمون پپین برای اعداد فرما (1877)، قضیه پروث (حدود 1878)، آزمون ابتدایی لوکاس-لمر (منبع 1856)، و آزمون اولیه لوکاس تعمیم‌یافته است. از این تست ها روی کامپیوتر جستجوی مداوم برای اعداد اول به طور فزاینده بزرگ، توجه گسترده تری را فراتر از ریاضیات دانشگاهی به خود جلب کرده است، به ویژه از طریق ابتکاراتی مانند Great Internet Mersenne Prime Search و دیگر پروژه های محاسباتی توزیع شده. این تصور که اعداد اول کاربرد محدودی فراتر از ریاضیات محض دارند، در دهه 1970 با ظهور رمزنگاری کلید عمومی و سیستم رمزنگاری RSA، که هر دو اساساً مبتنی بر اعداد اول هستند، اساساً تغییر کرد.

اهمیت عملی فزاینده آزمایش اولیه کامپیوتری و فاکتورسازی، توسعه روش‌های دلخواه اعداد را ضروری کرد. همزمان، نظریه ریاضی اعداد اول به طور قابل توجهی با قضیه گرین-تائو (2004) پیشرفت کرد و وجود پیشروی های حسابی خودسرانه طولانی اعداد اول را نشان داد، و اثبات Yitang Zhang در سال 2013، وجود بی نهایت شکاف های اول از magnitu محدود را ثابت کرد.

اولیه یک

در دوران باستان، بیشتر ریاضیدانان یونانی اولیه، 1 را به عنوان یک عدد طبقه بندی نمی کردند، که مانع از هرگونه در نظر گرفتن اولیه بودن آن می شد. اقلیتی از محققان سنت یونانی و رومی بعدی، مانند نیکوماخوس، ایامبلیخوس، بوئتیوس و کاسیودوروس، اعداد اول را به عنوان زیرمجموعه ای از اعداد فرد طبقه بندی کردند، در نتیجه ⁠§78§ application ⁠ از primality. برعکس، اقلیدس و بسیاری دیگر از ریاضیدانان یونانی ⁠26§ {\displaystyle 2} ⁠ به عنوان عدد اول. ریاضیدانان اسلامی قرون وسطی عموماً دیدگاه یونانی را پذیرفتند و 1 را عددی در نظر نگرفتند. در طول قرون وسطی و رنسانس، ریاضیدانان شروع به تصدیق 1 به عنوان یک عدد کردند و در قرن هفدهم، برخی حتی آن را به عنوان عدد اول اولیه طبقه بندی کردند. در اواسط قرن هجدهم، کریستین گلدباخ در طول مکاتبات با لئونارد اویلر، 1 را در فهرست اعداد اول خود قرار داد. با این حال، اویلر خود 1 را به عنوان اول در نظر نمی گرفت. بسیاری از ریاضیدانان قرن نوزدهم به بررسی عدد اول ادامه دادند و دریک نورمن لمر آن را در فهرست اعداد اول کمتر از ده میلیون خود که در سال 1914 منتشر شد، گنجاند. 1 نباید به عنوان اول طبقه بندی شود، بلکه باید به عنوان یک دسته منحصر به فرد، یک "واحد" تعیین شود.

طبقه بندی 1 به عنوان عدد اول مستلزم بازنویسی دست و پا گیر بسیاری از گزاره های ریاضی در مورد اعداد اول است. به عنوان مثال، قضیه اساسی حساب به فرمول بندی مجدد برای تعیین فاکتورسازی ها به اعداد اول بزرگتر از 1 نیاز دارد، زیرا در غیر این صورت هر عددی دارای فاکتورسازی های متعددی است که مقدار دلخواه 1 را در بر می گیرد. به همین ترتیب، غربال اراتوستن در صورتی که 1 به عنوان عدد اول در نظر گرفته شود دچار نقص می شود، زیرا به اشتباه همه مضرب های 1 (یعنی همه اعداد صحیح دیگر) را حذف می کند و فقط خود عدد 1 را به دست می دهد. علاوه بر این، چندین ویژگی فنی مشخصه اعداد اول برای 1 اعمال نمی شود. برای مثال، فرمول های تابع totient اویلر و مجموع تابع مقسوم علیه برای اعداد اول در مقایسه با 1 متفاوت است.

ویژگی های ابتدایی

فاکتورسازی منحصر به فرد

نمایش یک عدد صحیح به عنوان حاصلضرب اعداد اول را ضریب‌بندی اول می‌گویند. به عنوان مثال:

= §40style {\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\{2\&=2\times.

اجزای منفرد در یک محصول به عنوان عوامل اصلی نامیده می شوند. یک عامل اصلی خاص می تواند چندین بار ظاهر شود. برای مثال، در این تصویر، عامل اصلی ${\displaystyle 5.}$ دو بار وجود دارد. هنگامی که یک عدد اول تکرار می‌شود، توان روشی را برای ادغام این نمونه‌های مکرر ارائه می‌کند: به عنوان مثال، در نمایش جایگزین محصولی که قبلاً ذکر شد، 29§ en\display="tpplication 5^{2}} نشان‌دهنده مربع یا قدرت دوم ⁠⁠${\displaystyle 5}$تعداد vot هم در نظریه اعداد و هم در ریاضیات گسترده تر از قضیه اساسی حساب سرچشمه می گیرد. این قضیه فرض می‌کند که هر عدد صحیحی که بیش از یک باشد را می‌توان به صورت حاصلضرب شامل یک یا چند عدد اول بیان کرد. علاوه بر این، این عامل‌سازی به‌طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شود، به این معنی که هر دو عامل‌سازی اول از یک عدد یکسان، به‌رغم تغییرات بالقوه در دنباله‌شان، همواره دارای تعدد یکسانی از هر عدد اول هستند. در نتیجه، علی‌رغم وجود الگوریتم‌های فاکتورسازی اعداد صحیح متنوع، همه روش‌ها تضمین می‌شوند که یک نتیجه یکسان را به همراه داشته باشند. بنابراین، اعداد اول به عنوان «بلوک‌های ساختمانی اساسی» سیستم اعداد طبیعی مفهوم‌سازی می‌شوند.

چندین نمایش از منحصربه‌فرد بودن فاکتورسازی‌های اول به لم اقلیدس تکیه می‌کنند که می‌گوید: اگر ⁠${\displaystyle p}$⁠ یک عدد اول است و alttext="{\displaystyle p}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> p en\display/xtext=application p}

بی نهایت

وجود تعداد نامتناهی اعداد اول یک مفهوم اساسی در نظریه اعداد است. این بدان معناست که دنباله

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,...}$

اعداد اول پایان ناپذیر است. این ادعای اساسی به عنوان قضیه اقلیدس شناخته می‌شود که از نام ریاضی‌دان یونانی باستان اقلیدس نام‌گذاری شده است، که اولین اثبات شناخته شده را ارائه می‌کند. اثبات‌های بعدی متعددی برای نامتناهی اعداد اول ایجاد شده‌اند، به ویژه اثبات تحلیلی توسط اویلر، اثبات گلدباخ برگرفته از اعداد فرما، اثبات فورستنبرگ با استفاده از توپولوژی عمومی و تظاهرات پالایش شده کومر.

اثبات اقلیدس به‌طور کامل هر عدد را نشان می‌دهد. ناقص اصل اصلی شامل ضرب همه اعداد اول در یک لیست مشخص شده و متعاقبا اضافه کردن ${\displaystyle 1.}$. برای فهرستی شامل اعداد اول 27§ ، p §3637§ ، … ، p n ، {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},} ، این عملیات عدد

11§ + p §1819§ ⋅ p §2930§ ⋯ p n . {\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}

طبق قضیه اساسی حساب، ⁠${\displaystyle N}$⁠ دارای یک عامل بندی اول منحصر به فرد است که به صورت

15§ ⋅ p §2728§ ⋯ p m {\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}

جایی که ⁠${\displaystyle N}$⁠ دارای یک یا چند عامل اول است. در حالی که ⁠${\displaystyle N}$⁠ کاملاً بر هر یک از این عوامل تازه شناسایی شده قابل تقسیم است، وقتی بر هر عدد اول از لیست اولیه تقسیم می شود، باقیمانده یک به دست می آید. در نتیجه، هیچ یک از عوامل اصلی ⁠${\displaystyle N}$⁠ می‌تواند اعضای فهرست متناهی اصلی باشد. این استنتاج منطقی تأیید می‌کند که هیچ فهرست محدودی نمی‌تواند همه اعداد اول را در بر بگیرد، در نتیجه کمیت نامتناهی آنها را تعیین می‌کند.

اعدادی که با افزودن یک به حاصل ضرب اعداد اول اولیه به دست می‌آیند، به عنوان اعداد اقلیدسی تعیین می‌شوند. پنج عدد اول از این اعداد اول هستند، در حالی که عدد ششم،

7§ + ( §16 {\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}

یک عدد ترکیبی است.

فرمول‌های اعداد اول

هیچ فرمول کارآمدی برای تولید اعداد اول کشف نشده است. به عنوان مثال، هیچ چند جمله‌ای غیر ثابت، حتی یکی شامل چندین متغیر، منحصراً مقادیر اول را به دست نمی‌دهد. با این وجود، عبارات مختلفی وجود دارد که یا همه اعداد اول را رمزگذاری می کنند یا فقط اعداد اول را تولید می کنند. یکی از این فرمول ها که از قضیه ویلسون به دست آمده است، عدد 2 را چندین بار تولید می کند در حالی که تمام اعداد اول دیگر را دقیقاً یک بار تولید می کند. علاوه بر این، مجموعه خاصی از معادلات دیوفانتین، شامل نه متغیر و یک پارامتر واحد، دارای این ویژگی است که پارامتر اول است اگر و تنها در صورتی که سیستم معادلات مربوطه دارای راه حلی در مجموعه اعداد طبیعی باشد. این ویژگی امکان استخراج یک فرمول منفرد را فراهم می کند که خروجی های مثبت آن منحصراً اعداد اول هستند.

نمونه های بیشتری از فرمول هایی که قادر به تولید اعداد اول هستند توسط قضیه میلز و یک قضیه نسبت داده شده به رایت ارائه شده است. این قضایا وجود ثابت های واقعی را مطرح می کنند 11§ {\displaystyle A>1} و ${\displaystyle \mu }$، به ترتیب، به طوری که

⌋ {\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }

این عبارات اعداد اول را برای هر عدد طبیعی به دست می‌دهند ⁠${\displaystyle n}$⁠ در فرمول اولیه، و برای هر تعداد مشخص شده از توان در فرمول بعدی. نماد ${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$ نشان دهنده تابع کف است که بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی آرگومان را برمی گرداند. با این وجود، این فرمول ها فاقد کاربرد عملی برای تولید اول هستند، زیرا مقادیر ⁠${\displaystyle A}$⁠ یا ${\displaystyle \mu .}$ ابتدا باید با استفاده از اعداد اول از قبل موجود محاسبه شود.

سوالات حل نشده

حدس های متعددی در مورد اعداد اول ارائه شده است. با وجود فرمول‌بندی‌های اغلب ابتدایی‌شان، بسیاری از این حدس‌ها برای دهه‌ها در برابر اثبات مقاومت کرده‌اند. برای مثال، هر چهار مشکل لاندو که در سال 1912 مطرح شد، حل نشده باقی مانده است. یک مثال بارز حدس گلدباخ است که فرض می‌کند هر عدد صحیح ⁠${\displaystyle n}$⁠ بیش از ⁠><\spantttt="{2}"> xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> §2526§ {xte-encoding> 2} ⁠ را می توان به صورت مجموع دو عدد اول بیان کرد. تا سال 2014، این حدس به صورت محاسباتی برای همه اعداد صحیح تا ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$ در حالی که اظهارات گلدباخ مرتبط با آن ثابت نشده است. برای مثال، قضیه وینوگرادوف نشان می دهد که هر عدد صحیح فرد به اندازه کافی بزرگ را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نشان داد. علاوه بر این، قضیه چن بیان می کند که هر عدد زوج به اندازه کافی بزرگ را می توان به صورت مجموع اول و نیمه اول بیان کرد که به عنوان حاصلضرب دو عدد اول تعریف می شود. علاوه بر این، هر عدد صحیح بیش از 10 را می توان به مجموع شش عدد اول تجزیه کرد. رشته تئوری اعداد که به بررسی این نوع سؤالات اختصاص دارد، به عنوان نظریه اعداد جمعی شناخته می شود.

یک دسته مجزا از تحقیقات ریاضی مربوط به شکاف های اول است که به عنوان تفاوت مشاهده شده بین اعداد اول متوالی تعریف می شود. وجود شکاف های اول با بزرگی دلخواه با مشاهده دنباله شامل می‌باشد. n − §5859§ x اعداد مرکب برای هر عدد طبیعی ${\displaystyle n.}$ با این وجود، شکاف‌های اولیه قابل توجهی به‌طور قابل‌توجهی زودتر از این نشان می‌دهند. به عنوان مثال، شکاف اول اولیه به طول 8 بین اعداد اول 89 و 97 قرار دارد، مقداری که به طور قابل توجهی کمتر از ${\displaystyle 8!0.}$ حدس اول دوقلو وجود تعداد نامتناهی از اعداد اول دوقلو را مطرح می‌کند که جفت‌هایی از اعداد اول با 2 تفاوت دارند. xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> k ، {x-xte" k,} ، بی نهایت جفت اعداد اول متوالی وجود دارد که تفاوت آنها ${\displaystyle 2k.}$ چندین حدس، از جمله حدسیات Andrica، Brocard، Legendre، و Oppermann در محدوده حداکثر 1 تا 1 ⁠n encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}⁠ نباید از تقریباً ، نتیجه ای که از فرضیه ریمان ناشی می شود.در مقابل، حدس Cramér بسیار دقیق‌تر، بزرگ‌ترین اندازه شکاف را به‌عنوان ⁠⁠⁠. مفهوم شکاف‌های اول را می‌توان به اول ⁠${\displaystyle k}$⁠-tuples، که نشان دهنده الگوهای تفاوت بین بیش از دو عدد اول هستند. اولین حدس هاردی-لیتل وود به بی نهایت و چگالی آنها می پردازد، گزاره ای که توسط مشاهدات اکتشافی پشتیبانی می شود که اعداد اول رفتاری مشابه با دنباله تصادفی اعداد نشان می دهند، با چگالی که توسط قضیه اعداد اول تعیین می شود.

ویژگی های تحلیلی

نظریه اعداد تحلیلی، نظریه اعداد را با استفاده از چارچوب توابع پیوسته، حدود، سری های نامتناهی و مفاهیم ریاضی مرتبط با بی نهایت و بی نهایت کوچک بررسی می کند.

زمینه مطالعه با لئونارد اویلر آغاز شد، که مشارکت اولیه مهم او حل مشکل بازل بود. این مشکل مقدار سری بی نهایت را جستجو می‌کند §67§ + §1§m<1316§ + §28§25 + §3738§ §3940§ … ، {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{\tfrac {1}{16}+{\tfrac {1}{16} ، که اکنون به عنوان مقدار ${\displaystyle \zeta (2)}$ تابع زتای ریمان. این تابع یک رابطه قوی با اعداد اول نشان می دهد و در فرضیه ریمان، یکی از عمیق ترین مسائل حل نشده ریاضیات، مرکزی است. اویلر نشان داد که ⁠ ⁠. معکوس این مقدار، ⁠⁠، نشان دهنده این احتمال محدود است که دو عدد صحیح تصادفی انتخاب شده از یک محدوده قابل توجه نسبتا اول باشند، به این معنی که هیچ عامل مشترکی ندارند.

توزیع ماکروسکوپی اعداد اول، از جمله تعداد اعداد اول زیر یک آستانه بزرگ مشخص، با قضیه اعداد اول مشخص می‌شود. با این حال، یک فرمول کارآمد برای تعیین ⁠${\displaystyle n}$⁠-امین اول هنوز کشف نشده است. قضیه دیریکله در مورد پیشروی های حسابی، در فرمول اساسی خود، چند جمله ای های خطی را فرض می کند

$(annotation encoding="application/x-tex">{nno=tx">{nno=dis$

جایی که اعداد صحیح ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠${\displaystyle b}$ are relatively تعداد نامتناهی از مقادیر اول به دست می آید. نسخه‌های پیشرفته‌تر این قضیه بیان می‌کنند که مجموع متقابل‌های این مقادیر اول متفاوت است و چندجمله‌ای خطی متمایز دارای پارامتر یکسانی هستند ⁠${\displaystyle b}$

نمایش تحلیلی قضیه اقلیدس

اثبات اویلر، که نامتناهی اعداد اول را مشخص می‌کند، شامل بررسی مجموع اعداد متقابل آنها می‌شود.

9§ §1019§ §20<معناشناسی>21§ + §2829§ §3031§ + §3839§ §4041§ + ⋯ + §5354§ p . {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}

اولر نشان داد که برای هر عدد واقعی دلخواه ⁠${\displaystyle x}$⁠، علامت اول ⁠${\displaystyle p}$⁠ به گونه ای وجود دارد که این مجموع از ⁠${\displaystyle x}$⁠. این یافته بی نهایت اعداد اول را مشخص می کند، زیرا مجموعه محدودی از اعداد اول نشان می دهد که مجموع در بزرگترین اول به حداکثر محدود می رسد، به جای اینکه پیوسته از هر ⁠${\displaystyle x}$⁠. قضیه دوم مرتنز توصیف دقیق تری از نرخ رشد این مجموع ارائه می دهد. در مقابل، مجموع

9§ §1112§ §14 + §2425§ §27§30 + §4041§ §43<معناشناسی>44§ §46 + ⋯ + §6162§ n §67 {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}

به عنوان ⁠${\displaystyle n}$⁠ به بی نهایت نزدیک می شود. این پدیده در مسئله بازل به تفصیل آمده است. در نتیجه، اعداد اول با وجود نامتناهی بودن هر دو مجموعه، در مقایسه با مجذورهای اعداد طبیعی فراوانی بیشتری را نشان می دهند. قضیه برون همچنین بیان می کند که مجموع متقابل های اعداد اول دوقلو،

13§ §14<معناشناسی>15§ + §2223§ §2425§ ) + ( §4041§ §4243§ + §5051§ §5253§ ) + ( §6869§ §7071§ + §7879§ §8081§ ) + ⋯ ، {\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({1}frac {1}{\frac{1}+ {1}{13}}}\right)+\cdots ,}

متناهی است. قضیه برون ثابت می کند که روش اویلر را نمی توان برای حل حدس اول دوقلو، که وجود بی نهایت اعداد اول دوقلو را مطرح می کند، به کار برد.

شمارش اعداد اول تا یک حد مشخص

تابع شمارش اول، با ${\displaystyle \pi (n)}$، تعداد اعداد اولی را که از ⁠${\displaystyle n}$⁠. برای مثال، ⁠${\displaystyle \pi (11)=5}$⁠، که منعکس کننده حضور پنج عدد اول کوچکتر یا مساوی 11 است. الگوریتم هایی مانند الگوریتم میسل-لمر، محاسبه دقیق ${\displaystyle \pi (n)}$ با کارایی بیشتر از شمارش هر عدد اول تا ⁠${\displaystyle n}$⁠. قضیه اعداد اول ادعا می کند که ${\displaystyle \pi (n)}$ رفتار مجانبی معادل ⁠${\displaystyle n/\log n}$⁠، رابطه ای که به طور رسمی به این صورت بیان می شود:

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

این نشان می‌دهد که نسبت ${\displaystyle \pi (n)}$<-verge 1 toction the ⁠n encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}⁠ به سمت بی نهایت میل می کند. در نتیجه، احتمال اینکه یک عدد صحیح به طور تصادفی کوچکتر از ⁠⁠ {\displaystyle n} ⁠ عدد اول است تقریباً با تعداد ارقام در ⁠نسبت معکوس دارد. n}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> n x ⁠

قضیه گرین-تائو وجود پیشروی‌های محاسباتی محدود با طول دلخواه را نشان می‌دهد که کاملاً از اعداد اول تشکیل شده‌اند.

مقادیر اصلی ایجاد شده توسط چندجمله‌ای درجه دوم

اویلر مشاهده کرد که تابع ریاضی

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

این تابع اعداد اول را برای ⁠8§≤n≤40 40}⁠، اما اعداد ترکیبی در خروجی‌های بعدی آن ظاهر می‌شوند. بررسی این مشاهدات به توسعه نظریه اعداد جبری عمیق در مورد اعداد هگنر و مسئله اعداد کلاس کمک کرد. حدس هاردی-لیتل‌وود F چگالی اعداد اول را در میان خروجی‌های چندجمله‌ای درجه دوم با ضرایب صحیح، که از طریق انتگرال لگاریتمی و ضرایب خود چند جمله‌ای بیان می‌شود، بیان می‌کند. تا به امروز، هیچ چندجمله‌ای درجه دومی نشان داده نشده است که دنباله‌ای نامتناهی از مقادیر اول را تولید کند.

مارپیچ Ulam اعداد طبیعی را در یک شبکه دو بعدی سازمان‌دهی می‌کند و مربع‌های متحدالمرکزی را تشکیل می‌دهد که از مبدأ به بیرون مارپیچ می‌شوند و اعداد اول به طور مشخص مشخص شده‌اند. یک بازرسی بصری نشان می‌دهد که اعداد اول تمایل دارند در امتداد مورب‌های خاص جمع شوند تا سایرین، که به این معنی است که چند جمله‌ای درجه دوم، مقادیر اول را با فرکانس بیشتر تولید می‌کنند.

تابع زتا و فرضیه ریمان

فرضیه ریمان که در سال 1859 فرموله شد و به عنوان یکی از مسائل جایزه هزاره شناخته شد، معمای برجسته ریاضی حل نشده را نشان می دهد. این به دنبال تعیین مکان دقیق صفرهای تابع زتای ریمان است که به صورت ${\displaystyle \zeta (s)}$⁠ با داشتن بخش واقعی بیش از یک، می‌توان آن را به‌طور معادل هم به‌عنوان جمع نامتناهی روی همه اعداد صحیح و هم به‌عنوان حاصلضرب نامتناهی روی اعداد اول بیان کرد.

ζ<!-- ζ -->(s)=∑<!-- ∑ -->n=§2627§§3638§ns=∏ps.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\t\prod _{ {1}{1-p^{-s}}}.}

کشف اویلر در مورد این برابری حاصل جمع - حاصل ضرب اویلر شناخته می شود. حاصلضرب اویلر که از قضیه اساسی حساب بدست می آید، رابطه عمیق بین تابع زتا و اعداد اول را روشن می کند. این اصل همچنین یک اثبات جایگزین برای نامتناهی اعداد اول ارائه می دهد: با فرض تعداد محدودی از اعداد اول، تساوی حاصل جمع- حاصل در ⁠12§ {\>}⁠. با این حال، در این مرحله، مجموع (سری هارمونیک ⁠§2930§ + scriptlevel="0"> §3 §9> §3 §3 + §4849§ §5051§ + … x {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots } ⁠) واگرا می‌شود، در حالی که حاصلضرب محدود می‌ماند و منجر به تناقض منطقی می‌شود.

فرضیه ریمان فرض می‌کند که تمام صفرهای تابع زتا یا اعداد صحیح زوج منفی هستند یا اعداد مختلط دارای بخش واقعی 1/2 هستند. نمایش اولیه قضیه اعداد اول بر نسخه ضعیف تری از این فرضیه تکیه داشت، به ویژه اینکه هیچ صفری با بخش واقعی 1 وجود ندارد. با این حال، پس از آن، شواهد ابتدایی‌تر بعدی پدیدار شد. فرمول صریح ریمان اجازه می دهد تا تابع شمارش اول به صورت مجموع بیان شود، جایی که هر عبارت سازنده از صفر تابع زتا منشأ می گیرد. مؤلفه اصلی این جمع انتگرال لگاریتمی است که عبارت‌های باقیمانده نوساناتی را در اطراف این مؤلفه اصلی القا می‌کنند. در نتیجه، این صفرها بر نظم توزیع اعداد اول حاکم است. اگر فرضیه ریمان صحت داشته باشد، این نوسانات حداقل خواهند بود و توزیع مجانبی اعداد اول، همانطور که با قضیه اعداد اول مشخص شده است، به فواصل بسیار کوتاه تری (تقریباً جذر ⁠${\displaystyle x}$ فواصل نزدیک به ⁠${\displaystyle x}$⁠).

جبر انتزاعی

حساب مدولار و فیلدهای محدود

از دیدگاه جبر انتزاعی، ظرفیت تقسیم نشان می‌دهد که محاسبات مدولار با مدول اول یک میدان یا به‌طور دقیق‌تر، یک میدان محدود را تشکیل می‌دهد. در مقابل، مدول های دیگر فقط یک حلقه ایجاد می کنند، نه یک میدان.

حساب مدولار چارچوبی برای بیان قضایای مختلف در مورد اعداد اول فراهم می کند. برای مثال، قضیه کوچک فرما بیان می کند که اگر 11§ {\displaystyle a\not \equiv 0} (spand> p en\display/xtext=application p} ⁠)، سپس 54§ <--mo>≥ §6061 § {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1} (mod al. xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> p ⁠). جمع‌آوری این نتیجه در تمام مقادیر ممکن ⁠${\displaystyle a}$⁠ معادله زیر را به دست می دهد:

p − §2425§ a <-> <−-TeXAtom-ORD"> <-> <-> §3738§ ≡ ( p − §5152§ " --> §5859§ ≡ − §6667§ > p ) ، {\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}

این معادله منحصراً زمانی صادق است که ⁠${\displaystyle p}$⁠ یک عدد اول است. حدس گیوگا نشان می‌دهد که این معادله شرط کافی برای ⁠⁠ {\displaystyle p} ⁠ اول باشد. علاوه بر این، قضیه ویلسون ثابت می کند که یک عدد صحیح 47§ {\displaystyle p>1} اگر و فقط اگر وفقط اگر و فقط در صورتی که اگر و فقط اگر آن را نشان می‌دهد، عامل اول باشد، ( p<-pan->-mo> --<-9 ) ! {\displaystyle (p-1)!} ، همخوانی با al> xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> − §9293§ 93§ style encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1} ماژول ⁠${\displaystyle p}$pan.این شرط را نمی توان برای یک عدد ترکیبی ⁠⁠$n=r\cdot <!--\; \cdot \; -->s$ {\displaystyle n=r\cdot s} ⁠، زیرا حداقل یکی از عوامل آن n و ⁠164§ )style {\displaystyle (n-1)!} ⁠، که تطابق را {\displaystyle (n-v1) {n}}} غیر ممکن است.

p-adic Numbers

⁠⁠-ترتیب آدیک، با علامت ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ برای یک عدد صحیح ⁠ n ⁠، شار ⁠${\displaystyle p}$⁠ در فاکتورسازی اول {n}\displaystyle{n} xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> n ⁠.

چارچوب مفهومی شامل نظم، قدر مطلق، و فیلدهای کامل مشتق شده از آنها را می توان به فیلدهای اعداد جبری گسترش داد. این تعمیم شامل ارزش‌گذاری‌هایی است که نگاشت‌های خاصی از گروه ضربی یک میدان به یک گروه افزودنی کاملاً مرتب شده (همچنین سفارشات نامیده می‌شوند) هستند. مقادیر مطلق، به عنوان نگاشت های ضربی از میدان به اعداد واقعی (همچنین به عنوان هنجار شناخته می شود) تعریف می شود. و مکان‌ها، که پسوندهایی را برای تکمیل فیلدها نشان می‌دهند که در آن فیلد اصلی یک زیرمجموعه متراکم را تشکیل می‌دهد (که به آن تکمیل‌ها نیز گفته می‌شود). به عنوان مثال، گسترش از اعداد گویا به اعداد حقیقی نمونه ای از مکانی است که فاصله بین اعداد با قدر مطلق استاندارد تفاوت آنها تعیین می شود. در حالی که لگاریتم قدر مطلق می تواند به عنوان یک نگاشت متناظر با یک گروه افزایشی عمل کند، معیارهای یک ارزش گذاری را به طور کامل برآورده نمی کند. قضیه اوستروفسکی بیان می کند که تحت یک رابطه هم ارزی طبیعی، اعداد حقیقی و ⁠${\displaystyle p}$⁠-اعداد آدیک، به همراه ترتیبات و مقادیر مطلق مربوط به آنها، تنها ارزش گذاری ها، مقادیر مطلق و مکان های تعریف شده بر روی اعداد گویا را تشکیل می دهند. اصل محلی-جهانی حل مشکلات خاص مربوط به اعداد گویا را با ترکیب راه حل های مشتق شده از هر یک از مکان های مربوطه تسهیل می کند و در نتیجه بر نقش اساسی اعداد اول در نظریه اعداد تأکید مجدد می کند.

عناصر اصلی در یک حلقه

حلقه جابجایی ساختار جبری را تشکیل می دهد که با عملیات تعریف شده جمع، تفریق و ضرب مشخص می شود. مجموعه اعداد صحیح یک حلقه را تشکیل می دهد و مفهوم اعداد اول در اعداد صحیح از طریق دو طبقه بندی مجزا به حلقه های عمومی تعمیم داده شده است: عناصر اول و عناصر تقلیل ناپذیر. یک عنصر ⁠${\displaystyle p}$⁠ در یک حلقه ⁠${\displaystyle R}$⁠ به عنوان اول تعیین می شود اگر غیر صفر باشد، فاقد معکوس ضربی باشد (یعنی یک واحد نباشد)، و این شرط را برآورده می کند که هر زمان ⁠${\displaystyle p}$⁠ محصول را تقسیم می کند ${\displaystyle xy}$ از دو عنصر از ⁠${\displaystyle R}$⁠، همچنین باید حداقل یکی از ⁠${\displaystyle x}$⁠ یا ⁠${\displaystyle y}$⁠. برعکس، یک عنصر در صورتی غیرقابل تقلیل تلقی می شود که نه یک واحد باشد و نه قابل بیان به عنوان حاصل ضرب دو عنصر غیر واحد دیگر. در حلقه اعداد صحیح، عناصر اول و غیر قابل تقلیل مجموعه ای یکسان را تشکیل می دهند.

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

در یک حلقه دلخواه، هر عنصر اول لزوماً تقلیل ناپذیر است. با این حال، عکس این عبارت به طور کلی درست نیست، اگرچه به طور خاص برای حوزه های فاکتورسازی منحصر به فرد صادق است.

قضیه اساسی حساب ذاتاً در حوزه های عاملی منحصر به فرد معتبر است. یک نمونه قابل توجه از چنین دامنه ای، اعداد صحیح گاوسی است که با ⁠⁠. این حلقه از اعداد مختلط تشکیل شده است که به صورت ${\displaystyle a+bi}$، جایی که ⁠⁠ واحد خیالی را نشان می‌دهد و ⁠${\displaystyle a}$⁠ و ⁠ b ⁠ اعداد صحیح هستند. عناصر اول در این حوزه را اعداد اول گاوسی می نامند. توجه به این نکته ضروری است که همه اعداد صحیح که در مجموعه اعداد صحیح اول هستند، اولیت خود را در اعداد صحیح گاوسی حفظ نمی کنند. به عنوان مثال، عدد صحیح 2 را می توان به عنوان حاصل ضرب دو عدد اول گاوسی بیان کرد: {\displaystyle 1+i} §129130-§-mo> --->mi {\displaystyle 1-i} ⁠. اعداد اول گوسی (یعنی اعداد اول در مجموعه اعداد صحیح) که با 3 مدول 4 همخوانی دارند به عنوان اعداد اول گوسی طبقه بندی می شوند، در حالی که آنهایی که با 1 مدول 4 همخوانی دارند، نیستند. این تمایز از قضیه فرما در مورد مجموع دو مربع ناشی می‌شود، که فرض می‌کند عدد اول فرد ⁠${\displaystyle p}$⁠ را می توان به صورت مجموع دو بیان کرد. ⁠179§ + y §178179§ + y <88>TeXAtom-ORD"> 1 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} ⁠.در نتیجه، به‌عنوان ⁠ {\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)} ⁠><دقیقاً alttext="{\displaystyle p}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> p en\display/xtext=application p} ⁠ با 1 مدول 4 مطابقت دارد.

ایده‌آل‌های اصلی

هر حلقه یک دامنه فاکتورسازی منحصر به فرد را تشکیل نمی دهد. به عنوان مثال، حلقه اعداد script = "tru" + b −<!-- − --> §1718§ style encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}} (جایی که ⁠${\displaystyle a}$pan و/span ⁠style encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}⁠ اعداد صحیح هستند) فاکتوربندی منحصر به فردی را نشان نمی دهد. این را با عدد ، که دارای دو عامل بندی متمایز است: ⁠§88 9=9> §88 8 ⋅<!-- ⋅ --> §9798§ = ( §103104§ + §107108§ −<!-- − --> §114115§msqstyle stretchy="false">) ( §122123§ − §127−<!-- − --> §134135§ ) {\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})} ⁠. در این مثال، هیچ یک از چهار عامل را نمی توان بیشتر کاهش داد، در نتیجه مانع از فاکتورسازی منحصر به فرد می شود. برای گسترش فاکتوربندی منحصر به فرد به یک کلاس وسیع‌تر از حلقه‌ها، مفهوم عدد با مفهوم ایده‌آل جایگزین می‌شود، که به عنوان زیرمجموعه‌ای از عناصر حلقه تعریف می‌شود که تحت جمع بسته می‌شود (شامل تمام مجموع جفت‌های عناصر آن) و تحت ضرب در هر عنصر حلقه.

طیف یک حلقه فضای هندسی را تعریف می کند که نقاط آن با ایده آل های اصلی آن حلقه مطابقت دارد. این مفهوم همچنین در هندسه حسابی مفید است، جایی که اصول متعددی بین هندسه و نظریه اعداد مشترک است. برای مثال، فاکتورسازی یا شاخه‌بندی ایده‌آل‌های اول پس از گسترش به یک میدان بزرگ‌تر، که یک چالش اساسی در نظریه اعداد جبری است، موازی‌هایی را با شاخه‌های هندسی نشان می‌دهد. چنین مفاهیمی حتی می‌توانند به تحقیقات صرفاً نظری اعداد که منحصراً بر اعداد صحیح متمرکز شده‌اند کمک کنند. برای مثال، استفاده از ایده‌آل‌های اول در حلقه اعداد صحیح فیلدهای اعداد درجه دوم، اثبات تقابل درجه دوم را تسهیل می‌کند، قضیه‌ای که به وجود ریشه‌های مربع اعداد اول اعداد صحیح می‌پردازد. تلاش‌های اولیه برای ایجاد آخرین قضیه فرما، کومر را بر آن داشت تا اعداد اول منظم را معرفی کند که اعداد اول صحیح هستند که با تجزیه عامل‌سازی منحصربه‌فرد در اعداد صحیح سیکلوتومیک مرتبط هستند. قضیه چگالی Chebotarev به تحقیق در مورد تعداد اعداد اول صحیح می‌پردازد که به ایده‌آل‌های اول متعدد در یک میدان اعداد جبری می‌پردازند. هنگامی که این قضیه برای اعداد صحیح سیکلوتومیک اعمال می شود، قضیه دیریکله در مورد اعداد اول در پیشروی های حسابی را به عنوان یک نمونه خاص در بر می گیرد.

نظریه گروه

در نظریه گروه های محدود، قضایای سایلو ثابت می کند که اگر توان یک عدد اول، به طور خاص ${\displaystyle p^{n}}$، ترتیب یک گروه را تقسیم می‌کند، سپس گروه الزاماً دارای یک زیرگروه به ترتیب است ⁠${\displaystyle p^{n}}$⁠. علاوه بر این، قضیه لاگرانژ حکم می‌کند که هر گروهی که مرتبه اول دارد، حلقوی است، در حالی که قضیه برنزاید بیان می‌کند که هر گروهی که ترتیب آن دقیقاً بر دو عدد اول تقسیم‌پذیر باشد، قابل حل است.

روش های محاسباتی

از نظر تاریخی، تئوری اعداد، و به طور خاص مطالعه اعداد اول، به طور گسترده به عنوان مثال اصلی ریاضیات محض در نظر گرفته می شد که هیچ کاربرد عملی فراتر از استفاده از دندانه های چرخ دنده با اعداد اول برای اطمینان از توزیع یکنواخت سایش ندارد. نکته قابل توجه، نظریه پردازان اعداد مانند ریاضی دان بریتانیایی جی. اچ. هاردی به انجام تحقیقاتی عاری از هرگونه ارتباط نظامی افتخار می کردند.

این درک از خلوص ذاتی نظریه اعداد در دهه 1970 با افشای عمومی مبنی بر اینکه اعداد اول می توانند مبنای اساسی برای توسعه رمزنگاری رمزنگاری با کلید عمومی را تشکیل دهند، اساساً تغییر کرد. این کاربردهای عملی تحقیقات گسترده‌ای را در مورد الگوریتم‌هایی برای محاسبات شامل اعداد اول، به‌ویژه تمرکز بر آزمایش اولیه - روش‌هایی که برای تعیین اول بودن یک عدد معین طراحی شده‌اند، تحریک کرده‌اند. ابتدایی ترین روش آزمایش اولیه، تقسیم آزمایشی، به دلیل کندی محاسباتی برای اعداد بزرگ ناکارآمد است. در حالی که یک دسته از آزمون‌های ابتدایی معاصر برای اعداد دلخواه مناسب است، آزمون‌های محاسباتی کارآمدتری برای اعدادی که ویژگی‌های خاصی را نشان می‌دهند وجود دارد. اکثر آزمون‌های اولیه صرفاً نشان می‌دهند که آرگومان ورودی آنها اول است یا مرکب. الگوریتم هایی که علاوه بر این یک عامل اصلی (یا همه عوامل اول) ورودی های ترکیبی را ارائه می دهند، الگوریتم های فاکتورسازی نامیده می شوند. علاوه بر این، اعداد اول در محاسبات برای برنامه‌هایی مانند جمع‌های چک، جداول هش، و مولدهای اعداد شبه تصادفی کاربرد دارند.

بخش آزمایشی

رویکرد اساسی برای تعیین اولیه بودن یک عدد صحیح مشخص شده ⁠${\displaystyle n}$⁠ به عنوان بخش آزمایشی شناخته می شود. این روش شامل تقسیم ⁠${\displaystyle n}$⁠ با هر عدد صحیح از 2 تا ریشه دوم آن، ⁠⁠. اگر هر یک از این اعداد صحیح ⁠${\displaystyle n}$⁠ بدون باقیمانده، سپس ⁠⁠ به عنوان کامپوزیت طبقه بندی می شود. در غیر این صورت، اول تلقی می شود. بررسی اعداد صحیح بیش از ریشه دوم ضروری نیست، زیرا اگر ⁠${\displaystyle n=a\cdotion>b$⁠، حداقل یکی از عوامل، ⁠${\displaystyle a}$⁠ یا ⁠ xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> b ⁠، باید کوچکتر یا مساوی با جذر ⁠${\displaystyle n}$⁠. یک بهینه‌سازی بیشتر شامل محدود کردن مقسوم‌گیرندگان در این محدوده منحصراً به اعداد اول است. به عنوان مثال، برای تعیین ابتدایی بودن 37، این تکنیک مستلزم تقسیم آن بر اعداد اول بین 2 و ⁠⁠-XM row = "-ORGM> §182183§ ⁠، مخصوصاً 2، 3، و 5. از آنجایی که هر تقسیم یک باقیمانده غیر صفر به دست می دهد، 37 به عنوان یک عدد اول تأیید می شود.

در حالی که از نظر مفهومی ساده است، این روش برای ارزیابی اولیه بودن اعداد صحیح قابل‌توجه غیرممکن می‌شود، زیرا تعداد مورد نیاز آزمون‌ها به صورت تصاعدی با تعداد ارقام در عدد صحیح افزایش می‌یابد. با این وجود، تقسیم آزمایشی کاربرد خود را حفظ می کند، که اغلب با حد مقسوم علیه کوچکتر از جذر، برای شناسایی سریع اعداد ترکیبی دارای فاکتورهای جزئی، قبل از استفاده از الگوریتم های پیچیده تر برای اعداد صحیحی که این غربالگری اولیه را با موفقیت پشت سر می گذارند، استفاده می شود.

روش های غربال

قبل از ظهور رایانه‌ها، جداول ریاضی که اعداد اول را می‌شمارند یا فاکتورسازی آنها تا آستانه مشخصی به طور معمول منتشر می‌شد. قدیمی ترین الگوریتم شناخته شده برای تهیه فهرستی از اعداد اول، غربال اراتوستن است. یک نوع بهینه از این روش توسعه یافته است. یک تکنیک غربالگری متمایز که کارایی مجانبی برتر را برای این مشکل خاص ارائه می دهد، غربال اتکین است. در زمینه‌های ریاضی پیشرفته، نظریه غربال روش‌های مشابهی را برای رسیدگی به طیف وسیع‌تری از مسائل گسترش می‌دهد.

تمایز بین تست اولیه و اثبات اولیه

آزمون‌های ابتدایی مدرن، به‌ویژه آنهایی که برای سرعت طراحی شده‌اند، اغلب از الگوریتم‌های احتمالی (مونته کارلو) برای تعیین اینکه آیا یک عدد دلخواه ⁠${\displaystyle n}$span. این روش‌ها ذاتاً دارای یک احتمال جزئی و تصادفی برای به دست آوردن یک نتیجه اشتباه هستند. به عنوان مثال، آزمایش اولیت Solovay–Strassen، هنگامی که بر یک عدد اعمال می‌شود ⁠ {\displaystyle p} ⁠، شامل انتخاب یک عدد صحیح تصادفی است ⁠ xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> a ⁠ از محدوده [2, 66§ {\displaystyle p-2} سپس از توان مدولار برای تعیین اینکه آیا 93§ ) ) §100101§ ± §107108§ scriptlevel="0"> p {\displaystyle p} ⁠. یک نتیجه مثبت نشان دهنده اولیه بودن است، در حالی که یک نتیجه منفی نشان دهنده ترکیبی بودن است. آیا باید ⁠⁠ واقعاً اول است، آزمون همیشه یک تأیید مثبت خواهد داشت. با این حال، اگر ⁠⁠ ترکیبی است، احتمال مثبت کاذب (با پاسخ بله) حداکثر 1/2 است، در حالی که احتمال تشخیص صحیح آن به عنوان ترکیبی 1/2 حداقل است.وقتی این تست به طور مکرر انجام می شود ⁠${\displaystyle n}$⁠ بار در یک عدد، احتمال اینکه یک عدد ترکیبی به طور پیوسته همه تکرارها را پشت سر بگذارد با <{math> al="al="span>tt <{math>alt⁠ محدود می‌شود. 1/2^{n}}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> §196197§ §196197§ §203204§ n ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ ⁠. این کاهش نمایی در احتمال به طور قابل‌توجهی این اطمینان را افزایش می‌دهد که تعدادی از آزمایش‌های مکرر که با موفقیت تحمل می‌کنند، واقعاً اول هستند، اگرچه قطعیت مطلق ارائه نمی‌کند. برعکس، هر شکست منفرد در آزمون به طور قطعی عدد را به عنوان ترکیبی تعیین می کند. یک عدد ترکیبی که به اشتباه از چنین آزمایش اولیه عبور می کند، شبه اول نامیده می شود.

در مقابل، برخی از الگوریتم‌های جایگزین تضمینی برای صحت مطلق در تعیین‌های خود ارائه می‌دهند: اعداد اول بدون شکست به عنوان اول شناسایی می‌شوند و اعداد مرکب به‌طور پیوسته به‌عنوان ترکیبی شناخته می‌شوند. تقسیم آزمایشی نمونه ای از چنین روشی است. الگوریتم‌هایی که خروجی‌های به‌طور قابل تأیید درستی تولید می‌کنند، هم رویکردهای قطعی (غیر تصادفی) مانند آزمون اولیه AKS و هم الگوریتم‌های تصادفی لاس وگاس را در بر می‌گیرند. در مورد دوم، انتخاب های تصادفی انجام شده در طول اجرا، دقت نتیجه نهایی را به خطر نمی اندازد، همانطور که در پیاده سازی های خاص اثبات اولیه منحنی بیضی مشاهده شد. با تعیین اولیه بودن یک عدد، روش منحنی بیضوی یک گواهی اولیه تولید می کند که می تواند به سرعت تایید شود. در حالی که آزمون اولیه منحنی بیضوی از نظر تجربی کارآمدترین روش در بین روش‌های صحیح تضمین شده است، تجزیه و تحلیل زمان اجرا آن به جای اثبات‌های ریاضی رسمی به استدلال اکتشافی متکی است. برعکس، آزمون ابتدایی AKS دارای پیچیدگی زمانی ثابت ریاضی است، اما عملکرد عملی کندتری را در مقایسه با اثبات اولیه منحنی بیضوی نشان می‌دهد. این تکنیک‌ها تولید اعداد اول تصادفی بزرگ را با تولید و آزمایش اعداد صحیح تصادفی تا زمانی که عدد اول شناسایی شود، تسهیل می‌کنند. در این فرآیند، یک آزمون احتمالی اولیه و سریع‌تر می‌تواند به طور مؤثر اکثر اعداد ترکیبی را فیلتر کند و الگوریتم‌های محاسباتی فشرده‌تر و تضمین‌شده‌ای صحیح را برای تأیید نهایی نامزدهای باقی‌مانده ذخیره کند.

جدول بعدی چندین مورد از این تست ها را برمی شمارد. مدت زمان عملیاتی آنها در رابطه با ⁠${\displaystyle n}$⁠ که عدد صحیح مورد بررسی را نشان می‌دهد و برای الگوریتم‌های احتمالی، کمیت alttext="{\displaystyle k}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> k en\dingtex="tpplication k} ⁠، نشان دهنده تعداد تکرارهای انجام شده است. علاوه بر این، نشان دهنده یک مقدار مثبت دلخواه کوچک است و "log" به لگاریتم با پایه نامشخص اشاره دارد. نماد O بزرگ دلالت بر این دارد که هر بار کران نیازمند ضرب در یک عامل ثابت برای تبدیل آن از واحدهای بدون بعد به واحدهای زمانی است. این عامل منوط به ویژگی‌های پیاده‌سازی، مانند سخت‌افزار محاسباتی به‌کار گرفته شده است، اما مستقل از پارامترهای ورودی باقی می‌ماند ⁠${\displaystyle n}$⁠ و k ⁠.

الگوریتم های تخصصی و بزرگترین اعداد اولیه شناسایی شده

فراتر از آزمایش‌های اولیه عمومی که برای هر عدد طبیعی قابل اعمال است، اعداد خاصی که ساختار خاصی دارند، می‌توانند با کارایی بیشتری مورد ارزیابی اولیه قرار گیرند. به عنوان مثال، آزمون ابتدایی لوکاس-لمر می تواند به طور قطعی، اولیه بودن یک عدد مرسن (تعریف شده به عنوان یک کمتر از توان دو) را در بازه زمانی محاسباتی معادل یک تکرار واحد از آزمون میلر-رابین تعیین کند. در نتیجه، از سال 1992 (تا اکتبر 2024)، بزرگترین اول شناخته شده پیوسته اول مرسن بوده است. یک حدس رایج وجود تعداد نامتناهی اعداد اول مرسن را مطرح می‌کند.

جدول بعدی بزرگترین اعداد اول شناسایی شده را در طبقه‌بندی‌های مختلف نشان می‌دهد. تعدادی از این اعداد اول از طریق ابتکارات محاسباتی توزیع شده کشف شده اند. در سال 2009، پروژه Great Internet Mersenne Prime Search جایزه 100000 دلاری آمریکا را به خاطر اولین کسی که یک عدد اول شامل حداقل 10 میلیون رقم را شناسایی کرد، دریافت کرد. بنیاد Electronic Frontier علاوه بر این، برای کشف اعداد اول با حداقل 100 میلیون رقم و 1 میلیارد رقم، مشوق هایی 150000 دلاری و 250000 دلاری ارائه می دهد.

فاکتورسازی عدد صحیح

برای یک عدد صحیح ترکیبی معین ⁠${\displaystyle n}$⁠، فرآیند شناسایی یک یا همه عوامل اصلی آن را عامل‌سازی al n ⁠. این عملیات چالش بسیار بزرگتری نسبت به آزمایش اولیه دارد. علیرغم وجود الگوریتم‌های فاکتورسازی متعدد، آنها به طور کلی عملکرد کندتری را در مقایسه با کارآمدترین روش‌های تست اولیه نشان می‌دهند. تکنیک هایی مانند تقسیم آزمایشی و الگوریتم rho پولارد برای کشف عوامل بسیار کوچک ⁠${\displaystyle n}$ ⁠در هنگام منحنی بیضوی موثر n en\displayco" n} ⁠ دارای فاکتورهایی با قدر متوسط است. روش های همه منظوره مناسب برای اعداد خودسرانه بزرگ، صرف نظر از اندازه عامل آنها، شامل غربال درجه دوم و غربال میدان اعداد عمومی است. مشابه آزمایش اولیه، الگوریتم‌های فاکتورسازی خاصی برای ورودی‌هایی با ساختارهای خاص، مانند غربال فیلد عددی ویژه، طراحی شده‌اند. از دسامبر 2019، بزرگترین عددی که با موفقیت توسط یک الگوریتم همه منظوره فاکتور گرفته شد RSA-240 بود که از 240 رقم اعشاری (795 بیت) تشکیل شده است و حاصلضرب دو عدد اول قابل توجه را نشان می‌دهد.

الگوریتم Shor این قابلیت را ارائه می‌دهد که هر اعداد صحیحی را که در یک چندجمله‌ای اجرا می‌شود فاکتور کند. با این وجود، محدودیت های تکنولوژیک معاصر، کاربرد این الگوریتم را تنها به تعداد بسیار کمی محدود می کند. از اکتبر 2012، حداکثر عدد صحیح که با موفقیت توسط یک کامپیوتر کوانتومی با استفاده از الگوریتم Shor فاکتور شد، 21 بود.

برنامه های محاسباتی اضافی

الگوریتم‌های رمزنگاری کلید عمومی متعدد، از جمله RSA و تبادل کلید Diffie–Hellman، اساساً بر اعداد اول بزرگ متکی هستند و اعداد اول 2048 بیتی استاندارد رایجی هستند. پارادایم امنیتی RSA مبتنی بر عدم تقارن محاسباتی بین ضرب دو عدد اول بزرگ است، ⁠${\displaystyle x}$⁠ و ⁠${\displaystyle y}$⁠ و فاکتورگیری محصول آنها، ${\displaystyle xy}$، برای بازیابی اعداد اول اصلی ⁠${\displaystyle x}$⁠ و ⁠${\displaystyle y}$⁠ (که فرض می شود کوپرایم هستند). برعکس، تبادل کلید Diffie–Hellman از وجود الگوریتم‌های کارآمد برای توان مدولار (به ویژه، محاسبه ⁠${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$⁠)، در تضاد با حل نشدنی محاسباتی درک شده معکوس آن، مسئله لگاریتم گسسته.

اعداد اول کاربرد گسترده ای در طراحی جداول هش پیدا می کنند. به عنوان مثال، طرح هش جهانی اساسی که توسط کارتر و وگمن پیشنهاد شده بود، از توابع خطی تصادفی استفاده می کرد که اعداد اول بزرگ مدول را برای تولید توابع هش محاسبه می کرد. متعاقبا، کارتر و وگمن این روش را برای دستیابی به ⁠${\displaystyle k}$⁠-درهم‌سازی مستقل از طریق استفاده از چندجمله‌ای درجه بالاتر، همچنین با استفاده از مدول‌های اول بزرگ. فراتر از نقشی که در ساخت تابع هش دارند، اعداد اول برای تعیین اندازه جداول هش در طرح‌های کاوش درجه دوم نیز حیاتی هستند، در نتیجه تضمین می‌کنند که دنباله کاوشگر به طور موثر کل جدول را طی می‌کند.

خواص ریاضی اعداد اول زیربنای چندین الگوریتم جمع کنترلی است. برای مثال، جمع‌های کنترلی گنجانده شده در شماره‌های استاندارد بین‌المللی کتاب (ISBN) با محاسبه باقی‌مانده عدد هنگام تقسیم بر 11، که یک عدد اول است، به دست می‌آیند. اولیه بودن 11 این روش را قادر می سازد تا به طور موثر خطاهای تک رقمی و جابجایی ارقام مجاور را شناسایی کند. علاوه بر این، الگوریتم Adler-32 checksum از مدول حسابی 65521 استفاده می کند که نشان دهنده بزرگترین عدد اول کوچکتر از ⁠9§ 16 {\displaystyle 2^{16}} ⁠. علاوه بر این، اعداد اول جدایی ناپذیر از مولدهای اعداد شبه تصادفی مختلف هستند، مانند مولدهای متجانس خطی و Mersenne Twister.

سایر برنامه ها

در حالی که اعداد اول در نظریه اعداد مرکزی هستند، همچنین دارای کاربردهای قابل توجهی در حوزه های مختلف ریاضی، از جمله جبر انتزاعی و هندسه ابتدایی هستند. برای مثال، پیکربندی‌هایی وجود دارد که می‌توان تعداد اولیه‌ای از نقاط را روی یک شبکه دو بعدی مرتب کرد، به گونه‌ای که هیچ سه نقطه‌ای خطی نباشند، یا به‌طور متناوب، به گونه‌ای که هر مثلثی که توسط سه نقطه از این نقاط تشکیل شده باشد، یک ناحیه قابل توجه را در بر می‌گیرد. مثال دیگر، معیار آیزنشتاین است که با بررسی بخش پذیری ضرایب آن بر عدد اول و مربع آن، آزمونی برای تقلیل ناپذیری چند جمله ای ارائه می دهد.

ماهیت بنیادی اعداد اول منجر به تعمیم آنها در رشته های مختلف ریاضی شده است. به طور معمول، اصطلاح "اول" به حداقل بودن یا تجزیه ناپذیری در یک زمینه ریاضی خاص اشاره دارد. به عنوان مثال، میدان اول مرتبط با یک فیلد معین نشان‌دهنده حداقل زیرفیلد آن است که هم 0 و هم 1 را در بر می‌گیرد. این میدان اول یا میدان اعداد گویا است یا یک میدان متناهی است که با تعدادی عنصر اول مشخص می‌شود، که نامگذاری آن را توضیح می‌دهد. علاوه بر این، اصطلاح "اول" اغلب به معنای ثانویه دلالت می کند: ظرفیت برای هر جسمی که به طور منحصر به فرد به اجزای اصلی اصلی خود تجزیه شود. به عنوان مثال، در نظریه گره، گره اول به عنوان یک گره تجزیه ناپذیر تعریف می شود، به این معنی که نمی توان آن را به صورت مجموع متصل دو گره غیر ضروری بیان کرد. هر گره دارای یک نمایش منحصر به فرد به عنوان مجموع متصل گره های اول است. تجزیه اول 3 منیفولد به عنوان مثال دیگری از این اصل عمل می کند.

فرای کاربردهایشان در ریاضیات و محاسبات، اعداد اول ارتباط بالقوه ای با مکانیک کوانتومی نشان می دهند و به صورت استعاری در زمینه های هنری و ادبی به کار رفته اند. علاوه بر این، آنها در زیست شناسی تکاملی برای روشن کردن چرخه زندگی سیکادا مفید هستند.

چند ضلعی های ساختنی و پارتیشن های چند ضلعی

اعداد اول فرمت به عنوان اعداد اول مطابق با ساختار تعریف می شوند:

33§ ، {\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}

جایی که ⁠${\displaystyle k}$⁠ یک عدد صحیح غیر منفی را نشان می دهد. این اعداد به افتخار پیر دو فرما نامگذاری شده اند، که فرضیه ای را مطرح کرد که همه اعداد این شکل اول هستند. در حالی که پنج عدد فرما اولیه (3، 5، 17، 257 و 65،537) اول هستند، ${\displaystyle F_{5}}$ ترکیبی است، مشخصه ای است که توسط همه اعداد فرما تأیید شده دیگر تا سال 2017 به اشتراک گذاشته شده است. ⁠${\displaystyle n}$⁠-gon را می توان تنها با استفاده از یک خط مستقیم و قطب نما ساخت، اگر و فقط در صورتی که ضرایب اول عجیب آن (باید وجود داشته باشد) اعداد اول فرما متمایز باشند. به طور مشابه، یک ⁠${\displaystyle n}$⁠-gon را می توان با استفاده از یک خط مستقیم، قطب نما، و یک سه ضلع زاویه ساخت، اگر و تنها در صورتی که فاکتورهای اصلی ⁠${\displaystyle n}$⁠ شامل هر تعداد عامل 2 یا 3، همراه با مجموعه ای (بالقوه خالی) از اعداد اول مجزای پیرپونت است که اعداد اول به شکل ⁠121§ a §128129§ b + §137138§ {\displaystyle 2^{a}3^{b}+1} ⁠.

هر چند ضلعی محدب را می توان به ⁠${\displaystyle n}$⁠ چند ضلعی های محدب کوچکتر، هر کدام دارای مساحت مساوی و محیط مساوی هستند، مشروط بر اینکه ⁠${\displaystyle n}$⁠ توان یک عدد اول است. با این حال، این ویژگی برای مقادیر دیگر ⁠${\displaystyle n}$⁠.

مکانیک کوانتومی

از دهه 1970، با شروع تحقیقات انجام شده توسط هیو مونتگومری و فریمن دایسون، ریاضیدانان و فیزیکدانان رابطه ای بین صفرهای تابع زتای ریمان و سطوح انرژی مشاهده شده در سیستم های کوانتومی مطرح کردند. علاوه بر این، اعداد اول اهمیت قابل توجهی در علم اطلاعات کوانتومی دارند، به دلیل نقش آنها در ساختارهای ریاضی مانند پایه های متقابل بی طرفانه و معیارهای متقارن اطلاعاتی کامل با ارزش عملگر مثبت.

زیست شناسی

جنس سیکادا، Magicicada، از یک استراتژی تکاملی استفاده می کند که اعداد اول را در خود جای می دهد. این حشرات اکثریت عمر خود را به عنوان لارو زیرزمینی سپری می کنند تا پس از 7، 13 یا 17 سال شفیره شده و از لانه های خود خارج شوند. پس از ظهور، آنها درگیر پرواز، تولید مثل می شوند و متعاقباً ظرف چند هفته از بین می روند. زیست‌شناسان فرض می‌کنند که این دوره‌های زاد و ولد با اعداد اول به عنوان مکانیزمی برای جلوگیری از همگام‌سازی شکارچیان با چرخه زندگی آن‌ها تکامل یافته است. برعکس، فواصل چند ساله بین رویدادهای گلدهی در گونه‌های بامبو به‌عنوان اعداد صاف حدس می‌آیند که با فاکتورگیری‌هایی که فقط شامل اعداد اول کوچک هستند مشخص می‌شود.

هنر و ادبیات

اعداد اول تأثیر قابل توجهی بر هنرمندان و شخصیت‌های ادبی متعددی گذاشته‌اند. برای مثال، آهنگساز فرانسوی، اولیویه مسیان، از اعداد اول برای ساختن موسیقی آمتریک استفاده کرد و از «پدیده‌های طبیعی» الهام گرفت. در ساخته هایی مانند La Nativité du Seigneur (1935) و Quatre études de rythme (1949-1950)، مسیان به طور همزمان از موتیف های موسیقی استفاده می کند که مدت زمان آنها با اعداد اول متمایز مطابقت دارد، در نتیجه ریتم غیرقابل پیش بینی را ایجاد می کند. به طور خاص، اعداد اول 41، 43، 47 و 53 در اتود سوم با عنوان "Neumes rythmiques" مشهود است. خود مسیاین بیان کرد که این رویکرد ترکیبی «الهام گرفته از حرکات طبیعت، حرکاتی با مدت زمان آزاد و نابرابر است.»

در رمان علمی تخیلی خود تماس، دانشمند کارل سیگان پیشنهاد کرد که فاکتورسازی اولیه می تواند به عنوان روشی برای ایجاد هواپیماهای تصویری دوبعدی اولیه با هوش آمریکایی با یک مفهوم اطلاعاتی فوق‌العاده عمل کند. فرانک دریک در سال 1975. رمان مارک هادون حادثه عجیب سگ در شب یک راوی را نشان می دهد که بخش های روایت را با استفاده از اعداد اول متوالی ساختار می دهد و به طور موثر وضعیت روانی قهرمان داستان، نوجوانی با استعداد ریاضی با آسپرجر را منتقل می کند. علاوه بر این، اعداد اول به عنوان استعاره ای از تنهایی و انزوا در رمان پائولو جووردانو تنهایی اعداد اول عمل می کنند، جایی که آنها به عنوان "غیرخودی" در مجموعه اعداد صحیح نشان داده می شوند.

مراجع

"شماره اول." دایره المعارف ریاضیات. EMS Press، 2001 [1994].

• "عدد اول". دایره المعارف ریاضیات. پرس EMS 2001 [1994].در زمان ما، بی بی سی.
• "بسته معلم: اعداد اول." به علاوه، 1 دسامبر 2008، تولید شده توسط پروژه ریاضیات هزاره در دانشگاه کمبریج.

• محاسبه فاکتورهای اول می تواند هر عدد صحیح مثبت را تا 20 رقم فاکتورسازی کند.
• پایگاه داده عظیمی از اعداد اول.
• اعداد اول تا 1 تریلیون. بایگانی شده در 27-02-2021 در Wayback Machine.