Bande de Möbius (Möbius strip)

En mathématiques, une bande de Möbius, une bande de Möbius ou une boucle de Möbius est une surface qui peut être formée en attachant les extrémités d'une bande de papier avec un…

Dans le domaine des mathématiques, une bande de Möbius, également connue sous le nom de bande de Möbius ou boucle de Möbius, représente une surface distinctive créée en joignant les extrémités d'une bande de papier après avoir appliqué une demi-torsion. Bien que formellement identifiée comme une entité mathématique par Johann Benedict Listing et August Ferdinand Möbius en 1858, sa présence est antérieure à cette découverte, comme en témoigne sa représentation sur des mosaïques romaines datant du troisième siècle de notre ère. De manière caractéristique, la bande de Möbius est classée comme surface non orientable, ce qui implique qu'au sein de sa structure topologique, une différenciation cohérente entre les orientations dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est impossible. De manière significative, chaque surface non orientable intègre intrinsèquement une bande de Möbius.

En mathématiques, une bande de Möbius, une bande de Möbius ou une boucle de Möbius est une surface qui peut être formée en attachant les extrémités d'une bande de papier ensemble avec une demi-torsion. En tant qu'objet mathématique, il a été découvert par Johann Benedict Listing et August Ferdinand Möbius en 1858, mais il était déjà apparu dans des mosaïques romaines du troisième siècle de notre ère. La bande de Möbius est une surface non orientable, ce qui signifie qu'on ne peut pas distinguer systématiquement les rotations dans le sens des aiguilles d'une montre des rotations dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Chaque surface non orientable contient une bande de Möbius.

Du point de vue d'un espace topologique abstrait, la bande de Möbius permet diverses intégrations dans l'espace euclidien tridimensionnel. Ces variations incluent des distinctions entre les demi-torsions dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ainsi que les intégrations comportant un nombre impair de torsions dépassant un, ou celles incorporant une ligne centrale nouée. Fondamentalement, deux plongements partageant un nœud central identique et un nombre et une orientation de torsions équivalents sont considérés comme topologiquement équivalents. Bien que ces intégrations spécifiques présentent systématiquement une caractéristique unilatérale, la bande de Möbius peut se manifester comme une surface bilatérale lorsqu'elle est située dans des contextes spatiaux alternatifs. Une caractéristique déterminante est la possession d'une courbe limite unique.

Diverses constructions géométriques confèrent des propriétés structurelles supplémentaires à la bande de Möbius. Cette surface peut être générée sous forme de surface réglée par la rotation d'un segment de ligne dans un plan en rotation, présentant potentiellement des auto-intersections. Lorsqu'elle est fabriquée à partir d'une fine bande de papier aux extrémités jointes, la bande de Möbius peut soit se déformer en douceur comme une surface développable, soit être pliée dans une configuration plane ; des exemples notables de ces formes aplaties incluent le trihexaflexagone. Des variantes spécifiques incluent la bande soudanaise de Möbius, identifiée comme une surface minimale dans une hypersphère, et la bande de Meeks Möbius, qui constitue une surface minimale auto-entrecroisée dans l'espace euclidien conventionnel. La bande soudanaise de Möbius et le cross-cap, une autre bande de Möbius auto-sécante, sont caractérisées par une limite circulaire. Une bande de Möbius ouverte, définie comme une bande de Möbius dépourvue de limite, possède la capacité de former des surfaces présentant une courbure constante. De plus, des espaces spécifiques hautement symétriques, où des points individuels correspondent à des lignes dans un plan, adoptent les caractéristiques morphologiques d'une bande de Möbius.

La bande de Möbius trouve de nombreuses applications pratiques, notamment des courroies mécaniques conçues pour une usure uniforme sur les deux surfaces, des montagnes russes à double voie où les chariots alternent entre les chemins et des cartes du monde configurées pour afficher des antipodes dans des positions opposées. De plus, les bandes de Möbius sont observées dans des structures moléculaires et des dispositifs présentant des caractéristiques électriques et électromécaniques innovantes et ont joué un rôle déterminant dans la démonstration des théorèmes d'impossibilité dans la théorie du choix social. Dans la culture populaire, la bande de Möbius figure en bonne place dans les créations artistiques de M. C. Escher, Max Bill et d'autres artistes, ainsi que dans le design emblématique du symbole de recyclage. De nombreux concepts architecturaux s'inspirent de la bande de Möbius, notamment illustré par la conception du bâtiment du NASCAR Hall of Fame. Des magiciens de la scène, tels que Harry Blackstone Sr. et Thomas Nelson Downs, ont imaginé des astuces exploitant les propriétés uniques de la bande de Möbius. De plus, les canons composés par J. S. Bach ont été soumis à une analyse utilisant les principes des bandes de Möbius. La bande de Möbius apparaît fréquemment dans la fiction spéculative ; plus largement, une structure narrative reflétant la bande de Möbius, caractérisée par des événements récurrents avec un élément transformateur, est un trope répandu dans les œuvres de fiction.

Historique

La découverte indépendante de la bande de Möbius en tant qu'entité mathématique est attribuée aux mathématiciens allemands Johann Benedict Listing et August Ferdinand Möbius en 1858. Néanmoins, son existence à la fois en tant qu'objet physique et motif artistique est antérieure à cette formalisation mathématique, apparaissant notamment dans plusieurs mosaïques romaines du troisième siècle de notre ère. Fréquemment, ces mosaïques représentent des rubans enroulés servant de bordures. Les rubans avec un nombre impair de bobines forment intrinsèquement des bandes de Möbius, tandis que ceux avec un nombre pair de bobines sont topologiquement analogues aux anneaux non torsadés. Par conséquent, la présence d’une configuration en bandes de Möbius dans ces cas pourrait être accidentelle plutôt qu’une décision artistique délibérée. Une mosaïque spécifique illustre un ruban avec des couleurs distinctes sur les côtés opposés, rendu avec un nombre impair de bobines, obligeant l'artiste à mettre en œuvre une correction maladroite là où les couleurs ne parvenaient pas à aligner. De plus, une mosaïque de Sentinum (telle que représentée) représente le zodiaque, soutenu par la divinité Aion, comme un groupe présentant une torsion singulière. L’intentionnalité derrière la nature unilatérale de cette représentation du temps céleste reste sans fondement ; il aurait pu être choisi simplement pour garantir que tous les signes du zodiaque étaient visibles à la surface de la bande. D'autres représentations anciennes, telles que les ouroboros ou les motifs en huit, sont également supposées représenter des bandes de Möbius, bien que leur intention initiale de représenter toute forme de bande plate reste ambiguë.

Au-delà du domaine de la théorie mathématique, les machinistes ont historiquement reconnu que les courroies mécaniques configurées comme des bandes de Möbius présentent environ la moitié du taux d'usure par rapport aux courroies conventionnelles. Cette durabilité accrue provient de l'utilisation de la totalité de la surface de la courroie, par opposition à la seule surface intérieure d'une courroie non torsadée. De plus, une telle configuration de ceinture peut atténuer le curling latéral. Un premier récit écrit de cette application pratique a été publié en 1871, à la suite des premiers traités mathématiques sur la bande de Möbius. De manière significative plus tôt, une illustration de 1206 d'une pompe à chaîne dans l'œuvre d'Ismail al-Jazari représente une chaîne d'entraînement disposée dans une configuration de bande de Möbius. Une autre application historique de cette surface unique impliquait des couturières parisiennes (à une époque indéterminée), qui auraient initié des apprentis en leur demandant de coudre une bande de Möbius en guise de col sur un vêtement.

Propriétés

La bande de Möbius possède plusieurs caractéristiques intrigantes. Avant tout, il constitue une surface non orientable : un objet bidimensionnel asymétrique traversant une fois la bande retrouvera son orientation initiale comme son image miroir. Plus précisément, une flèche incurvée orientée dans le sens des aiguilles d'une montre (↻) réapparaîtrait sous la forme d'une flèche orientée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (↺), indiquant l'impossibilité de définir de manière cohérente le sens des aiguilles d'une montre ou le sens inverse des aiguilles d'une montre dans la géométrie intrinsèque de la bande de Möbius. Elle représente la surface non orientable la plus fondamentale ; toute autre surface est classée comme non orientable si et seulement si elle contient une bande de Möbius comme sous-ensemble. De plus, lorsqu'elle est située dans l'espace euclidien, la bande de Möbius présente un côté singulier. Un objet tridimensionnel faisant le tour de la surface de la bande n'est pas inversé ; au lieu de cela, il revient au même point sur ce qui semble localement être son côté opposé, démontrant ainsi que les deux positions perçues font partie intégrante d'une seule surface continue. Ce phénomène s'écarte du comportement des surfaces orientables conventionnelles en trois dimensions, telles que des feuilles de papier plates, des pailles cylindriques ou des sphères creuses, dont les côtés distincts restent déconnectés. Néanmoins, cette unilatéralité est une conséquence de son intégration dans un contexte spatial spécifique plutôt qu’un attribut topologique inhérent à la bande de Möbius elle-même. En effet, il existe des espaces topologiques alternatifs dans lesquels la bande de Möbius peut être incorporée pour manifester deux côtés. Par exemple, si les faces avant et arrière d'un cube sont jointes via une réflexion miroir gauche-droite, l'espace topologique tridimensionnel résultant (un produit cartésien d'une bande de Möbius et d'un intervalle) permet la séparation des moitiés supérieure et inférieure du cube par une bande de Möbius à deux faces. Contrairement à la bande topologique. disques, sphères et cylindres, qui permettent l'intégration simultanée d'un ensemble incalculable de copies disjointes dans un espace tridimensionnel, seul un nombre dénombrable de bandes de Möbius peut être simultanément intégré.

La limite entière d'une bande de Möbius forme une courbe singulière et continue, qui peut être parcourue depuis n'importe quel point le long de son bord jusqu'à son origine. Lorsqu’une bande de Möbius est construite en joignant et en tordant une bande rectangulaire, sa longueur limite est précisément le double de celle de sa ligne centrale. Par conséquent, la bande de Möbius se distingue d'un anneau non torsadé, tout en ressemblant à un disque circulaire, en possédant une limite singulière. Dans l'espace euclidien, une bande de Möbius présente une chiralité, ce qui signifie qu'elle ne peut pas être transformée ou déformée en sa propre image miroir, possédant ainsi une droiterie ou une gauche inhérente. Les bandes de Möbius se caractérisent par un nombre impair de demi-torsions dépassant une, ou celles pré-nouées avant leur formation, sont considérées comme distinctes lorsqu'elles sont intégrées dans un espace tridimensionnel, malgré leur équivalence topologique en tant que surfaces bidimensionnelles. Plus précisément, deux bandes de Möbius sont considérées comme intégrées de manière équivalente dans un espace tridimensionnel si leurs lignes centrales respectives définissent un nœud identique et qu'elles partagent la même quantité de torsions l'une une autre. À l'inverse, une bande avec un nombre pair de torsions donne une surface topologiquement distincte, connu sous le nom d'anneau.

La bande de Möbius est capable de se transformer continuellement en sa ligne centrale grâce à un processus de rétrécissement progressif, tout en conservant les positions fixes des points le long de son axe central. Cette transformation illustre une rétraction de déformation, impliquant que la bande de Möbius partage de nombreuses propriétés avec sa ligne médiane, qui est topologiquement équivalente à un cercle. Concrètement, son groupe fondamental correspond à celui d'un cercle, constituant un groupe cyclique infini. Par conséquent, les chemins sur la bande de Möbius commençant et se terminant au même point sont topologiquement différenciables (jusqu'à l'homotopie) uniquement par le nombre de leurs encerclements autour de la bande.

La section longitudinale d'une bande de Möbius le long de sa ligne centrale donne une seule bande allongée possédant quatre demi-torsions (par rapport à un anneau ou un cylindre non torsadé), au lieu de deux segments distincts. Deux de ces demi-torsions surviennent parce que la bande plus mince résultante traverse deux fois la demi-torsion de la bande de Möbius originale, tandis que les deux autres proviennent de l'enroulement mutuel des deux moitiés de la bande plus mince. Ce résultat n’est pas une autre bande de Möbius, mais plutôt un équivalent topologique d’un cylindre. Une coupe ultérieure de cette bande à double torsion le long de sa ligne médiane donne deux bandes à double torsion interconnectées. Alternativement, si une bande de Möbius est coupée dans le sens de la longueur à environ un tiers de sa largeur, elle génère deux bandes liées. Parmi ceux-ci, l'un constitue une bande de Möbius centrale plus étroite, tandis que l'autre possède deux demi-torsions. Ces configurations interconnectées, résultant de divisions longitudinales de bandes de Möbius de différentes largeurs, sont parfois appelées paradromiques anneaux.

La bande de Möbius peut être divisée en six régions mutuellement adjacentes, démontrant que les cartes sur sa surface peuvent nécessiter six couleurs, contrairement au théorème des quatre couleurs applicable au plan. Un maximum de six couleurs est systématiquement suffisant. Cette découverte fait partie intégrante du théorème de Ringel-Youngs, qui quantifie le nombre minimum de couleurs requis pour chaque surface topologique. Les arêtes et les sommets délimitant ces six régions constituent le graphe de Tietze, qui fonctionne comme un graphe double sur cette surface pour le graphe complet à six sommets, mais ne peut être restitué sans intersections sur une surface plane. Une classe supplémentaire de graphiques intégrables sur la bande de Möbius, mais pas dans un plan, comprend les échelles de Möbius, qui représentent les limites des subdivisions de la bande de Möbius en rectangles connectés bout à bout. Cette catégorie englobe le graphe utilitaire, un graphe biparti complet à six sommets, dont l'intégration sur la bande de Möbius illustre que le problème des trois utilités peut être résolu sur un Möbius transparent. strip, un exploit impossible à réaliser sur une surface plane. La caractéristique d'Euler de la bande de Möbius est nulle, ce qui implique que pour toute subdivision de la bande en régions définies par des sommets et des arêtes, les quantités $V$ (sommets), $E$ (bords), et $F$ (régions) adhèrent à la formule $V-E+F=0$ 76§ {\displaystyle V-E+F=0} . À titre d'illustration, le graphique de Tietze comprend $12$ sommets, $108§$ bords et $§123$ 124§ {\displaystyle 6} régions, satisfaisant ainsi $146§ + §149$ 150§ = §153154§ {\displaystyle 12-18+6=0} .

Méthodes de construction

De nombreuses méthodologies existent pour définir des surfaces géométriques possédant les caractéristiques topologiques d'une bande de Möbius, aboutissant à diverses réalisations avec des attributs géométriques distincts.

Génération par balayage d'un segment de ligne

Une méthode courante pour intégrer une bande de Möbius dans un espace euclidien tridimensionnel consiste à la générer par un segment de ligne qui tourne dans un plan, qui lui-même tourne autour de l'une de ses lignes. Pour garantir que la surface générée se connecte de manière transparente après une demi-torsion, la rotation du segment de ligne autour de son propre centre doit se produire précisément à la moitié de la vitesse angulaire de rotation du plan. Cette configuration peut être représentée mathématiquement comme une surface paramétrique, définie par les équations suivantes pour ses coordonnées cartésiennes :

Une ligne ou un segment de ligne, lorsqu'il est soumis à un mouvement spécifique impliquant une rotation dans un plan horizontal autour de l'origine tout en se traduisant simultanément verticalement, génère le conoïde de Plücker, également connu sous le nom de cylindroïde. Cette surface algébrique réglée se manifeste sous la forme d'une bande de Möbius auto-entrecroisée et trouve une utilité dans l'ingénierie des engrenages.

Surfaces polyédriques et pliages plats

Une bande de papier peut être configurée en une bande de Möbius plane et aplatie en la pliant à $60^{\circ }$ angles, en s'assurant que sa ligne médiane s'aligne avec un triangle équilatéral, puis en joignant ses extrémités. La bande minimale capable de cette configuration comprend trois triangles équilatéraux, pliés le long de leurs bords communs. Le rapport hauteur/largeur d'une telle bande, défini comme le rapport entre sa longueur et sa largeur, est ${\sqrt {3}}\approx 1.73$ ; cette technique de pliage est applicable à toute bande possédant un plus grand rapport d'aspect. Lorsqu'une bande composée de neuf triangles équilatéraux est pliée de cette manière, elle forme un trihexaflexagone, une structure capable d'être fléchie pour exposer diverses facettes de son surface. Pour les bandes qui ne sont pas suffisamment longues pour une application directe de cette méthode, un premier "pli en accordéon" peut être effectué le long de la largeur de la bande, en utilisant un nombre pair de plis. Par exemple, deux de ces plis transformeraient un $1\times 1$ 61§ × §6566§ {\displaystyle 1\times 1} bande en $1\times {\tfrac {1}{3}}$ 82§ × §8990§ §9192§ {\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}> bande pliée, caractérisée par une section transversale en forme de "N" qui persiste même après une demi-torsion. Cette bande plus étroite pliée en accordéon peut ensuite être pliée et assemblée en utilisant la même méthodologie appliquée à une bande plus longue.

La bande de Möbius peut être intégrée sous forme de surface polyédrique dans un espace tridimensionnel ou pliée à plat dans une configuration planaire, nécessitant simplement cinq faces triangulaires partageant cinq sommets. Par conséquent, il présente une plus grande simplicité par rapport à un cylindre, qui nécessite six triangles et six sommets, même lorsqu'il est conceptualisé de manière abstraite comme un complexe simplicial. Une bande de Möbius composée de cinq triangles atteint sa représentation la plus symétrique à travers cinq des dix triangles équilatéraux constituant un simplexe régulier à quatre dimensions. Cette bande de Möbius polyédrique à quatre dimensions spécifique constitue la seule bande de Möbius étroite, caractérisée par sa quadridimensionnalité complète et la propriété que toutes les intersections d'hyperplans la divisent en deux composants topologiquement équivalents, ressemblant à des disques ou à des cercles.

Les plongements polyédriques supplémentaires de bandes de Möbius englobent des configurations comportant quatre faces quadrilatérales convexes, une autre avec trois des faces quadrilatères non convexes, et une construction utilisant les sommets et le point central d'un octaèdre régulier, ce qui donne une limite triangulaire. Toute triangulation abstraite du plan projectif est capable d'être intégrée en trois dimensions comme une bande de Möbius polyédrique possédant une limite triangulaire, après la suppression de l'une de ses faces. Un exemple illustratif est le plan projectif à six sommets, dérivé en augmentant la bande de Möbius à cinq sommets avec un sommet supplémentaire, qui est ensuite relié par des triangles à chacune des bords limites de la bande. Néanmoins, toutes les triangulations abstraites de la bande de Möbius ne sont pas géométriquement représentables comme une surface polyédrique. Pour qu'une telle représentation soit réalisable, la condition nécessaire et suffisante est l'absence de deux disjoints non contractibles. 3 cycles dans la triangulation.

Rectangles intégrés en douceur

Une bande de Möbius rectangulaire, formée en joignant les extrémités d'un rectangle de papier, peut être intégrée en douceur dans un espace tridimensionnel si son rapport hauteur/largeur dépasse ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1,73>$ , a rapport identique à celui de la variante en triangle équilatéral plié à plat de la bande de Möbius. Cet encastrement triangulaire plan peut être élevé à un encastrement tridimensionnel lisse, où la bande repose à plat dans trois plans parallèles, positionnés entre trois rouleaux cylindriques, chacun tangent à deux des plans. D'un point de vue mathématique, une feuille de papier enrobée en douceur est représentable comme une surface développable, capable de se plier mais pas étirement. À mesure que son rapport hauteur/largeur diminue vers ${\sqrt {3}}$ , toutes les intégrations lisses semblent converger vers une forme triangulaire identique.

Les plis longitudinaux inhérents à une bande de Möbius plate pliée en accordéon empêchent la formation d'un enrobage tridimensionnel où les couches sont distinctes et se plient en douceur sans se froisser ni s'étendre au-delà des plis. Par conséquent, contrairement au scénario plié à plat, un rapport d'aspect minimum existe pour les bandes de Möbius rectangulaires lisses. Ce rapport hauteur/largeur ne doit pas être inférieur à $\pi /2\approx 1.57$ 17§ ≈ 1.57 {\displaystyle \pi /2\approx 1.57> , même lorsque les auto-intersections sont autorisées. Des bandes de Möbius lisses qui s'auto-entrecroisent sont possibles pour tout rapport hauteur/largeur dépassant cette limite. Si les auto-intersections sont interdites, le rapport hauteur/largeur doit être au minimum de moins ${\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.$ 45§ §4647§ §5152§ + §5556§ §5960§ ≈ 1.695. {\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}

Pour les formats d'image compris entre cette limite et ${\sqrt {3}}$ ,, l'existence d'intégrations fluides et sans auto-intersection est restée un problème non résolu. En 2023, Richard Schwartz a présenté une preuve affirmant leur inexistence ; cependant, ces résultats font actuellement l'objet d'un examen par les pairs et attendent une publication officielle. Si le critère de douceur est assoupli pour permettre des surfaces continuellement différenciables, le théorème de Nash-Kuiper indique que les deux bords opposés de n'importe quel rectangle peuvent être joints pour créer une bande de Möbius incorporée, quelle que soit la diminution de son rapport d'aspect devient. La condition asymptotique, représentée par une surface dérivée d'une bande plane infinie délimitée par deux lignes parallèles et jointe avec des orientations opposées, est appelée Möbius illimité. strip ou le véritable faisceau de lignes tautologiques. Bien qu'il lui manque une intégration fermée et douce dans un espace tridimensionnel, il peut être intégré en douceur comme un sous-ensemble fermé dans un espace euclidien à quatre dimensions.

La configuration de l'énergie minimale pour une bande de Möbius lisse construite à partir d'un rectangle n'a pas de description analytique établie ; néanmoins, il se prête au calcul numérique et a été largement étudié dans le cadre de la théorie des plaques depuis les recherches fondamentales de Michael Sadowsky en 1930. De plus, des surfaces algébriques capables de contenir des bandes rectangulaires développables peuvent être identifiées.

Configuration des limites circulaires

La limite d'une bande de Möbius est topologiquement équivalente à un cercle. Bien que les bandes de Möbius typiques ne ressemblent pas physiquement à un cercle, leur nature non nouée leur permet d'être continuellement déformées sans auto-intersection, rendant leur limite parfaitement circulaire. Cette équivalence topologique est illustrée par la bouteille de Klein, une surface unilatérale sans limite. Bien que la bouteille Klein ne puisse pas être intégrée dans un espace tridimensionnel, elle peut être immergée, ce qui signifie qu'elle est autorisée à se croiser sous des contraintes spécifiques. Une bouteille Klein est formée en joignant deux bandes de Möbius le long de leurs bords ; à l'inverse, une bouteille de Klein peut être divisée en deux le long d'une coupe précisément sélectionnée pour produire deux bandes de Möbius. Dans le cas spécifique de la bouteille de Klein de Lawson, la courbe de bissection peut être rendue circulaire, générant ainsi des bandes de Möbius possédant des bords circulaires.

La bouteille Klein de Lawson est caractérisée comme une surface minimale auto-entrecroisée au sein de l'hypersphère unitaire de l'espace à quatre dimensions, définie par l'ensemble de points $(\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )$ pour les plages de paramètres $0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi$ 100§ ≤ θ ≪ π , §114115§ ≤ ϕ ≪ §124 $(\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )$ {\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi } . Une moitié spécifique de cette bouteille Klein, correspondant au sous-ensemble où $0\leq \phi <\pi$ 145§ ≤ ϕ ≪ π {\displaystyle 0\leq \phi <\pi } , constitue une bande de Möbius intégrée dans l'hypersphère comme une surface minimale, délimitée par un grand cercle. Cet encastrement particulier est parfois appelé la « bande de Möbius soudanaise », du nom des topologues Sue Goodman et Daniel Asimov, qui l'ont identifié au cours des années 1970. Géométriquement, la bouteille Klein de Lawson peut être conceptualisé comme la surface générée en balayant un grand cercle à travers une trajectoire grand circulaire au sein des 3 sphères.La bande soudanaise de Möbius est par conséquent dérivée soit en balayant un demi-cercle au lieu d'un cercle complet, soit en divisant la bouteille de Klein en deux le long d'un cercle orthogonal à tous les cercles balayés. La projection stéréographique facilite la transformation de cette forme géométrique d'un espace sphérique tridimensionnel en un espace euclidien tridimensionnel, tout en conservant la nature circulaire de sa limite. La projection symétrique maximale est obtenue en employant un point de projection situé sur le grand cercle qui traverse le milieu de chaque demi-cercle ; cependant, cela donne un intégration illimité où le point de projection est exclu de sa ligne médiane. À l'inverse, conserver la bande soudanaise de Möbius non projetée dans la 3-sphère lui confère un groupe infini de symétries, qui est isomorphe au groupe orthogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (2)>$ , représentant les symétries d'un cercle.

La bande soudanaise de Möbius s'étend nécessairement des deux côtés de son cercle frontalier pour empêcher toute auto-intersection. En revanche, une autre variante, connue sous le nom de cross-cap ou crosscap, présente également une limite circulaire mais reste confinée à un seul côté du plan contenant ce cercle, facilitant ainsi sa fixation à des ouvertures circulaires dans d'autres surfaces. Cette configuration nécessite cependant une auto-intersection. Sa construction consiste à exciser un quadrilatère du sommet d'un hémisphère, à orienter alternativement ses bords, puis à joindre des paires opposées de ces bords conformément à cette orientation. Les composants de surface résultants, dérivés des deux paires de bords collés, se croisent, formant un point de pincement analogue à celui d'un parapluie Whitney à chaque extrémité du segment qui se croise, une configuration topologique également observée dans conoïde de Plücker.

Surfaces à courbure constante

La bande de Möbius ouverte représente l'intérieur relatif d'une bande de Möbius conventionnelle, obtenu en excluant ses points limites. Cette surface peut être dotée d'une géométrie riemannienne caractérisée par une courbure gaussienne constante positive, négative ou nulle. Les surfaces présentant une courbure négative ou nulle sont classées comme géodésiquement complètes, ce qui implique que toutes les géodésiques (conceptualisées comme des « lignes droites » sur la surface) peuvent être étendues à l'infini dans les deux directions.

Courbure nulle: Une bande ouverte possédant une courbure nulle peut être formée en identifiant les bords opposés d'une bande plane située entre deux lignes parallèles, une configuration précédemment caractérisée comme le faisceau de lignes tautologiques. La métrique résultante transforme la bande ouverte de Möbius en une surface plane géodésiquement complète, ce qui signifie qu'elle présente une courbure gaussienne nulle partout. Cette métrique représente la seule métrique plate et complète sur la bande de Möbius, mise à l'échelle uniforme modulo. Topologiquement, il constitue l'espace quotient d'un plan sous une réflexion glissante, et c'est l'une des cinq variétés plates complètes bidimensionnelles, aux côtés du plan, du cylindre, du tore et de la bouteille de Klein.
Courbure négative: La bande ouverte de Möbius peut également accueillir des métriques complètes caractérisées par une courbure négative constante. Cela peut être démontré en utilisant le modèle du demi-plan supérieur (Poincaré) du plan hyperbolique, une géométrie à courbure constante où les géodésiques sont représentées comme des demi-cercles coupant le $x$ -axe perpendiculairement. En sélectionnant un sous-ensemble du demi-plan supérieur délimité par deux demi-cercles imbriqués et en identifiant le demi-cercle extérieur avec l'inverse gauche-droite du demi-cercle intérieur, une construction spécifique est obtenue. Le résultat topologique est une bande de Möbius complète et non compacte possédant une courbure négative constante. Cela représente une surface hyperbolique complète « non standard », car elle englobe un demi-plan hyperbolique complet (en particulier, deux de ces demi-plans situés sur les côtés opposés de l'axe de réflexion-glisse), et est comptée parmi seulement 13 de ces surfaces non standard. De manière analogue, cette structure peut être conceptualisée comme le quotient du plan hyperbolique sous une réflexion de glissement.
Courbure positive: Une bande de Möbius caractérisée par une courbure positive constante ne peut pas être complète, étant donné le fait établi que les seules surfaces complètes avec une courbure positive constante sont la sphère et le plan projectif. Néanmoins, conceptuellement, elle est à « un point » de l'exhaustivité, car la bande ouverte de Möbius est homéomorphe au plan projectif une fois perforé, qui est la surface résultant de la suppression de tout point unique du plan projectif.

Les surfaces minimales sont définies par la possession d'une courbure moyenne nulle constante, plutôt que d'une courbure gaussienne constante. Alors que la bande soudanaise de Möbius a été conçue comme une surface minimale délimitée par un grand cercle à l'intérieur d'une 3-sphère, il existe une surface minimale complète (sans frontières) distincte et unique, immergée dans l'espace euclidien, qui présente la topologie d'une bande de Möbius ouverte. Cette surface est appelée la bande de Meeks Möbius, nommée en l'honneur de William Hamilton Meeks, III, qui l'a décrite en 1982. Malgré son instabilité globale en tant que surface minimale, des régions localisées de la bande de Meeks Möbius, délimitées par des courbes non contractibles au sein de sa structure, sont capables de former des surfaces minimales encastrées stables. La bande de Meeks Möbius et l'ensemble des surfaces minimales de dimension supérieure possédant la topologie d'une bande de Möbius peuvent être générées grâce à des solutions au problème de Björling, une méthode qui spécifie de manière unique une surface minimale basée sur sa courbe limite et les plans tangents associés le long de cette courbe.

Espaces de ligne

L'ensemble des lignes dans un plan peut être conceptualisé comme un espace topologique lisse, où chaque ligne individuelle correspond à un point distinct. Cet espace de lignes résultant présente une équivalence topologique à une bande de Möbius ouverte. Cette équivalence peut être démontrée en étendant le plan euclidien dans le plan projectif réel grâce à l'inclusion d'une ligne supplémentaire, connue sous le nom de ligne à l'infini. En raison de la dualité projective, l'espace comprenant les lignes dans le plan projectif est congru à son espace de points, qui est le plan projectif lui-même. La suppression de la ligne à l'infini, un processus qui donne l'espace des lignes euclidiennes, perce effectivement cet espace de lignes projectives. Par conséquent, l'espace des lignes euclidiennes est caractérisé comme un plan projectif perforé, une configuration qui représente une manifestation de la bande ouverte de Möbius. De plus, l'espace des lignes dans le plan hyperbolique peut être paramétré en considérant des paires non ordonnées de points distincts situés sur un cercle, qui correspondent aux points à l'infini pour chaque droite. Cet espace particulier possède également la topologie d'une bande de Möbius ouverte.

Ces espaces linéaires présentent une symétrie substantielle. Les symétries pertinentes pour les lignes euclidiennes englobent les transformations affines, tandis que celles pour les lignes hyperboliques incluent les transformations de Möbius. Les transformations affines et de Möbius constituent des groupes de Lie 6 dimensions, qui sont des espaces topologiques dotés d'une structure algébrique compatible avec la composition des symétries. Étant donné que chaque ligne dans un plan est symétrique par rapport à toutes les autres lignes, l'ouvert La bande de Möbius fonctionne comme un espace homogène, défini par des symétries capables de mapper n'importe quel point à n'importe quel autre point. Les espaces homogènes dérivés des groupes de Lie sont appelés variétés solv. La bande de Möbius sert de contre-exemple pertinent, illustrant que toutes les variétés solv ne sont pas des variétés nulles et, de plus, que toutes les variétés solv ne peuvent pas être décomposées en un produit direct d'une variété solv compacte avec $\mathbb {R} ^{n}$ . Ces symétries inhérentes offrent également une méthode alternative pour construire la bande de Möbius elle-même, conceptualisée comme un modèle de groupe de ces groupes de Lie. Un modèle de groupe est composé d'un groupe de Lie et d'un sous-groupe stabilisateur associé à son action ; la contraction des cosets du sous-groupe en points individuels génère un espace topologiquement identique à l'espace homogène sous-jacent. Plus précisément, pour les symétries des lignes euclidiennes, le stabilisateur du $x$ -axis comprend toutes les symétries qui préservent la position de l'axe. Chaque ligne $\ell$ correspond à un coset unique, représentant l'ensemble des symétries qui mappent $\ell$ au $x$ -axe. Par conséquent, l'espace quotient résultant, qui attribue un seul point à chaque coset et dérive sa topologie de l'espace des symétries, est congru à l'espace des lignes et est, une fois de plus, une bande de Möbius ouverte.

Applications

En plus des utilisations précédemment détaillées des bandes de Möbius dans l'ingénierie des courroies mécaniques qui présentent une usure uniforme sur toute leur surface, et de l'application du conoïde de Plücker dans la conception d'engrenages, d'autres applications des bandes de Möbius comprennent :

Les rubans de graphène, lorsqu'ils sont tordus selon des configurations de bandes de Möbius, manifestent de nouvelles propriétés électroniques, telles que le magnétisme hélicoïdal.
Aromaticité de Möbius, caractéristique observée dans les composés organiques où la structure moléculaire forme un arrangement cyclique, les orbitales moléculaires présentant un alignement le long de ce cycle d'une manière analogue à une bande de Möbius.
La résistance de Möbius, qui comprend une bande de matériau conducteur appliquée sur la surface singulière d'une bande de Möbius diélectrique, est conçue pour annuler intrinsèquement son auto-inductance.
Résonateurs dotés d'une conception compacte et d'une fréquence de résonance exactement la moitié de celle des bobines linéaires construites avec des spécifications identiques.
Modèles de polarisation observés dans la lumière émise par une plaque q.
Une démonstration établissant l'impossibilité de règles d'agrégation bipartite continues, anonymes et unanimes dans le cadre de la théorie du choix social.
Les montagnes russes à boucle de Möbius représentent une catégorie distincte de manèges à deux voies, caractérisées par deux pistes qui s'entrelacent un nombre impair de fois, garantissant ainsi que les véhicules du manège terminent leur voyage sur la piste alternative à partir de leur point d'origine.
Les cartes du monde projetées sur une bande de Möbius présentent des caractéristiques avantageuses, notamment l'élimination des frontières est-ouest et la capacité de localiser l'antipode de n'importe quel point donné sur la surface imprimée opposée à la position identique sur la bande de Möbius.

En outre, les recherches scientifiques ont porté sur les propriétés énergétiques des films de savon configurés sous forme de bandes de Möbius, la synthèse chimique de molécules adoptant une géométrie de bandes de Möbius et la fabrication de bandes de Möbius à l'échelle nanométrique plus grandes grâce à des techniques d'origami d'ADN.

Dans la culture populaire

La bande de Möbius est un motif récurrent dans l'art bidimensionnel, illustré par le tableau sans titre de Corrado Cagli de 1947, qui a ensuite été commémoré dans un poème de Charles Olson. M. C. Escher a également exploré ce concept dans deux gravures : Möbius Band I (1961), qui illustre trois vers plats pliés se mordant la queue, et Möbius Band II (1963), représentant des fourmis traversant une bande de Möbius en forme de lemniscate. Cette forme est également un sujet important dans la sculpture mathématique, avec des contributions notables d'artistes tels que Max Bill (Endless Ribbon, 1953), José de Rivera (Infinity, 1967) et Sebastián. Immortality (1982) de John Robinson incorpore une bande de Möbius à nœud trèfle, tandis que Continuum (1976) de Charles O. Perry est l'une des nombreuses œuvres de Perry qui étudient les variations de la bande de Möbius.

La morphologie facilement identifiable des bandes de Möbius en fait un élément fréquent dans la conception graphique. Le logo emblématique du recyclage à trois flèches, conçu en 1970, tire sa forme de la configuration triangulaire douce de la bande de Möbius, un principe de conception également adopté pour le logo environnemental de l'Expo '74. Certaines itérations du symbole de recyclage utilisent une intégration alternative comportant trois demi-torsions au lieu d'une, et le logo initial de Google Drive utilisait de la même manière une bande de Möbius pliée à trois torsions, une approche de conception reprise dans d'autres graphiques comparables. L'Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) brésilien incorpore une bande de Möbius lisse et stylisée comme emblème et expose une sculpture en bande de Möbius à grande échelle correspondante dans ses locaux. De plus, la bande de Möbius est apparue sur les illustrations de timbres-poste émis par des pays tels que le Brésil, la Belgique, les Pays-Bas et la Suisse.

Les bandes de Möbius ont souvent servi d'inspiration architecturale pour les bâtiments et les ponts. Néanmoins, une proportion importante de ces exemples représentent des conceptions conceptuelles ou basées sur des projets plutôt que des structures achevées, ou étendent l'interprétation de la bande de Möbius au-delà de sa reconnaissance mathématique claire ou de son intégration architecturale fonctionnelle. Par exemple, la Bibliothèque nationale du Kazakhstan a été initialement conçue avec une forme de bande de Möbius épaissie, bien que la conception finale ait été modifiée après le retrait des architectes d'origine du projet. Un exemple remarquable de construction incorporant une bande de Möbius est le NASCAR Hall of Fame, qui présente un important ruban torsadé en acier inoxydable faisant à la fois office de façade et d'auvent, évoquant ainsi l'esthétique curviligne des pistes de course. À une échelle plus intime, la Moebius Chair de Pedro Reyes (2006) est un banc de cour dont les éléments fondamentaux et latéraux adoptent la configuration en bandes de Möbius. Dans le domaine des mathématiques et des arts textiles, les foulards sont tricotés en bandes de Möbius depuis les travaux pionniers d'Elizabeth Zimmermann au début des années 1980. Dans la présentation culinaire, les lanières de Möbius ont trouvé des applications dans le tranchage de bagels, la formation de boucles de bacon et la création de nouvelles géométries de pâtes.

Malgré leur nature purement spatiale en tant que concepts mathématiques, la bande de Möbius et la quatrième dimension ont souvent servi de dispositifs narratifs dans la fiction spéculative, formant souvent la base de boucles temporelles qui piègent des personnages sans méfiance. Des exemples notables de ce motif incluent "No-Sided Professor" de Martin Gardner (1946), "A Subway Named Mobius" d'Armin Joseph Deutsch (1950) et le film de 1996 Moebius, qui s'inspire de ce dernier. "Le Mur des Ténèbres" d'Arthur C. Clarke (1946) présente un monde entier configuré comme une bande de Möbius, tandis que William Hazlett Upson a incorporé des bandes de Möbius conventionnelles comme engins ingénieux dans plusieurs histoires au cours des années 1940. En outre, diverses œuvres littéraires et cinématographiques ont été interprétées comme possédant une qualité structurelle semblable à une bande de Möbius, caractérisée par des éléments d'intrigue récurrents avec des modifications significatives ; il s'agit notamment de À la recherche du temps perdu de Marcel Proust (1913-1927), de Six personnages de Luigi Pirandello à la recherche d'un auteur (1921), de C'est une vie merveilleuse de Frank Capra (1946), de John Lost in the Funhouse de Barth (1968), Dhalgren de Samuel R. Delany (1975) et le film Donnie Darko (2001).

Un exemple notable de l'influence conceptuelle de la bande de Möbius sur la musique se trouve dans le cinquième des 14 canons de J. S. Bach. (BWV 1087), découvert en 1974 dans la copie personnelle de Bach des Variations Goldberg. Ce canon présente une symétrie glissement-réflexion, où chaque voix réitère une version inversée d'un motif introduit deux mesures auparavant. Par conséquent, cette structure compositionnelle peut être représentée métaphoriquement comme une partition inscrite sur une bande de Möbius. Dans la théorie musicale, les notes séparées par une octave sont généralement considérées comme équivalentes enharmoniquement, établissant le cercle chromatique comme espace conceptuel pour toutes les hauteurs potentielles. Étant donné que la bande de Möbius constitue l'espace de configuration de deux points non ordonnés sur un cercle, l'ensemble du domaine des accords à deux notes prend la forme topologique d'une bande de Möbius. Ce cadre théorique, ainsi que ses extensions à des configurations impliquant plus de points, représentent une application cruciale des orbifolds dans la théorie musicale. Les ensembles musicaux contemporains qui ont adopté la bande de Möbius comme homonyme incluent le trio de rock électronique américain Mobius Band et le groupe de rock progressif norvégien Ring Van Möbius.

Le "Möbius flip" désigne une manœuvre de ski acrobatique difficile caractérisée par un flip complet combiné à une rotation. Le court métrage de ski expérimental de 1969, The Moebius Flip, dépeint des skieurs qui, après avoir exécuté cette astuce, passent à une réalité alternative et doivent ensuite effectuer la manœuvre éponyme pour revenir à leur monde d'origine.

Les caractéristiques uniques des bandes de Möbius ont été utilisées stratégiquement dans le développement d'illusions magiques de scène. Un exemple notable est l'astuce connue sous le nom de « bandes afghanes », qui exploite la propriété selon laquelle une bande de Möbius, lorsqu'elle est coupée longitudinalement, donne paradoxalement une seule boucle plus grande plutôt que deux boucles distinctes. Cette illusion est apparue dans les années 1880 et a acquis une popularité considérable tout au long de la première moitié du XXe siècle. De nombreuses variantes de cette astuce ont été conçues et exécutées par des illusionnistes renommés, dont Harry Blackstone Sr. et Thomas Nelson Downs.

Le compteur Möbius est un type spécifique de registre à décalage où le bit de sortie subit une complémentation logique avant d'être réinséré comme bit d'entrée.

Compteur Möbius, un registre à décalage dont le bit de sortie est complété avant d'être réinjecté dans le bit d'entrée
Le triangle de Penrose est une figure impossible, caractérisée par une limite qui suggère visuellement un enroulement continu, semblable à une bande de Möbius.
La théorie du ruban constitue un cadre mathématique dédié à l'étude de bandes infinitésimales conformes à la géométrie des courbes spatiales nouées.
L'attracteur de Smale-Williams est une structure fractale générée par un processus itératif impliquant l'épaississement d'une courbe spatiale en une bande de Möbius, suivi de son remplacement par son bord limite.
Tore ombilical.

Références

Les médias relatifs à la bande de Möbius sont disponibles sur Wikimedia Commons.

Médias liés à la bande de Moebius sur Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Möbius Strip." MathWorld.

Bande de Möbius (Möbius strip)