La teoria musicale esamina sistematicamente l'altezza, l'organizzazione temporale e gli elementi strutturali delle composizioni musicali. Impiega principi matematici per indagare varie componenti musicali, tra cui tempo, progressioni armoniche, strutture formali e metro ritmico. Lo sforzo di concettualizzare e articolare nuovi approcci alla composizione musicale e alla percezione uditiva ha portato all'applicazione della teoria degli insiemi, dell'algebra astratta e della teoria dei numeri all'interno di contesti musicali.
Sebbene la teoria musicale contemporanea manchi di un quadro assiomatico all'interno della matematica moderna, le proprietà fondamentali del suono musicale sono suscettibili di descrizione matematica attraverso l'acustica e dimostrano una notevole gamma di caratteristiche numeriche.
Contesto storico
Mentre le antiche civiltà cinese, indiana, egiziana e mesopotamica sono riconosciute per le loro indagini sulle basi matematiche del suono, i pitagorici dell'antica Grecia, in particolare Filolao e Archita, sono considerati i primi ricercatori conosciuti a esplorare la rappresentazione delle scale musicali attraverso rapporti numerici, in particolare quelli che coinvolgono piccoli numeri interi. Il loro principio filosofico fondamentale affermava che "tutta la natura consiste di armonia derivante dai numeri".
A partire da Platone, l'armonia era considerata un dominio essenziale della fisica, un campo ora identificato come acustica musicale. I primi teorici indiani e cinesi esibirono metodologie comparabili, sforzandosi universalmente di dimostrare che i principi matematici che governano le armoniche e i ritmi erano cruciali non solo per comprendere il mondo ma anche per promuovere il benessere umano. Confucio, simile a Pitagora, considerava i numeri interi 1, 2, 3 e 4 l'origine di ogni perfezione.
Organizzazione temporale, ritmo e contatore
La musica si basa fondamentalmente sui vincoli della struttura ritmica, che comprende l'organizzazione coerente e regolare della ripetizione degli impulsi, dell'accentuazione, del fraseggio e della durata temporale. L'applicazione contemporanea della terminologia musicale come "metro" e "misura" sottolinea il significato storico della musica, insieme all'astronomia, nel far avanzare i concetti di enumerazione, aritmetica e quantificazione precisa del tempo e della periodicità, che sono fondamentali per la fisica.
I componenti della forma musicale spesso incorporano proporzioni precise o strutture ipermetriche, spesso derivate dalle potenze degli interi 2 e 3.
Struttura musicale
La forma musicale definisce lo schema organizzativo attraverso il quale una composizione musicale concisa viene sviluppata ed ampliata. Il concetto di "piano" è utilizzato in modo simile in architettura, disciplina alla quale la forma musicale viene spesso paragonata. Analogamente a un architetto, un compositore deve considerare lo scopo previsto dell'opera e le risorse disponibili, esercitando economia e impiegando principi di ripetizione e ordine. I tipi formali prevalenti, come le strutture binarie e ternarie, che significano disposizioni "duplici" e "triplici", illustrano ulteriormente il ruolo fondamentale dei piccoli valori interi nel migliorare la chiarezza musicale e il fascino estetico.
Frequenza e relazioni armoniche
Una scala musicale costituisce una raccolta distinta di altezze impiegate nella creazione o nell'analisi della musica. Sebbene la scala diatonica ricopra un’importanza fondamentale all’interno della tradizione musicale occidentale, numerose altre scale sono state utilizzate e proposte in diversi periodi storici e regioni globali. Ogni singola altezza è correlata a una frequenza specifica, quantificata in hertz (Hz), talvolta denominata cicli al secondo (c.p.s.). Una scala possiede intrinsecamente un intervallo di ripetizione, tipicamente l'ottava. L'ottava di una determinata altezza denota una frequenza esattamente doppia di quella dell'altezza originale.
Le superottave successive rappresentano altezze che si verificano a frequenze che sono quattro, otto, sedici volte e multipli progressivamente più alti della frequenza fondamentale. Al contrario, le altezze con frequenze equivalenti alla metà, un quarto, un ottavo e così via della fondamentale sono designate come subottave. All'interno dell'armonia musicale, se una particolare altezza è considerata consonante, anche le sue ottave sono invariabilmente percepite come consonanti. Di conseguenza, a ogni nota e alle sue ottave corrispondenti viene tipicamente assegnata una nomenclatura analoga all'interno dei sistemi musicali (ad esempio, a tutte può essere fatto riferimento come doh, A o Sa, a seconda del sistema specifico).
Quando concettualizzata come larghezza di banda di frequenza, un'ottava, come A2–A3, comprende una gamma da Da 110 Hz a 220 Hz, che rappresenta un intervallo di 110 Hz. L'ottava successiva si estenderà da 220 Hz a 440 Hz, coprendo un intervallo di 220 Hz. La terza ottava varia quindi da 440 Hz a 880 Hz, con un intervallo di 440 Hz, e questo schema continua. Ogni ottava consecutiva copre quindi una gamma di frequenze esattamente doppia rispetto a quella dell'ottava precedente.
Dato che la descrizione di una scala musicale spesso dà priorità alle relazioni o ai rapporti tra le altezze, chiamati intervalli, rispetto alle loro esatte frequenze assolute, è consuetudine esprimere tutte le altezze della scala come rapporti relativi a un'altezza di riferimento designata, a cui viene assegnato il valore uno (spesso indicato come 1/1). Questa altezza di riferimento serve tipicamente come tonica della scala. Per l'analisi comparativa delle dimensioni degli intervalli, vengono comunemente utilizzati i centesimi.
- Sistemi di ottimizzazione
Sistemi di ottimizzazione
Esistono due famiglie principali di sistemi di accordatura: temperamento equabile e semplice accordatura. Le scale di temperamento equabile sono costruite dividendo logaritmicamente un'ottava in intervalli, risultando in scale perfettamente uniformi ma con rapporti di frequenza irrazionali. Al contrario, le scale giuste sono formate moltiplicando le frequenze per numeri razionali, il che produce rapporti di frequenza semplici ma divisioni di scala irregolari.
Una distinzione significativa tra temperamento equabile e accordature giuste risiede nel fenomeno del battito acustico quando due note vengono suonate contemporaneamente, influenzando la percezione soggettiva di consonanza e dissonanza. Entrambi i sistemi, insieme alla maggior parte delle tradizioni musicali, presentano scale che si ripetono all'intervallo di ogni ottava, definite da un rapporto di frequenza 2:1. Ciò implica che lo schema della scala si ripete ogni volta che la frequenza raddoppia.
Questo campione presenta due onde sinusoidali suonate consecutivamente: un mezzo passo a 550 Hz (Do♯ nella scala di giusta intonazione) seguito da un mezzo passo a 554,37 Hz (Do♯ nella scala del temperamento equabile).
- Due onde sinusoidali suonate consecutivamente: questo campione ha un semitono a 550 Hz (Do♯ nella scala della giusta intonazione), seguito da un mezzo tono a 554,37 Hz (Do♯ nella scala del temperamento equabile).
- Questo campione presenta le stesse due note, presentate come una "diade" contro un pedale A440 sostenuto. La nota più bassa rimane un LA costante (440 Hz in entrambe le scale), mentre la nota più alta passa da un Do♯ nella scala del temperamento equabile per il secondo iniziale a un Do♯ nella scala di giusta intonazione per il secondo successivo. Le differenze di fase facilitano il rilevamento di questa transizione più facilmente rispetto al campione precedente.
Solo accordature
L'accordatura a cinque limiti, riconosciuta come la forma più diffusa di intonazione giusta, è un sistema che utilizza toni derivati da numeri armonici regolari di una singola frequenza fondamentale. Giovanni Keplero introdusse questa scala nella sua opera del 1619, *Harmonices Mundi*, associandola al moto planetario. Alexander Malcolm, matematico e teorico musicale scozzese, presentò una versione trasposta di questa scala nella sua pubblicazione del 1721, *Treatise of Musick: Speculative, Practical and Historical*. Anche il teorico del XX secolo Jose Wuerschmidt descrisse questo sistema. Una variante di questa accordatura è attualmente utilizzata nella musica dell'India settentrionale.
Il compositore americano Terry Riley ha incorporato una forma invertita di questa accordatura nella sua composizione "Harp of New Albion". La sola intonazione produce risultati acustici superiori in contesti con progressione di accordi minima o assente, poiché cantanti e strumentisti tendono naturalmente ad essa quando possibile. Tuttavia, rappresenta una sfida per gli strumenti ad accordatura fissa, come i pianoforti, producendo due distinti intervalli di tono intero (9:8 e 10:9) a causa della loro incapacità di regolare dinamicamente la tonalità. Per determinare la frequenza di una nota all'interno di una scala basata su rapporti, il rapporto di frequenza viene moltiplicato per la frequenza della tonica. Ad esempio, con una tonica di LA4 (LA naturale sopra il DO centrale) a 440 Hz, una quinta giustamente accordata sopra di essa (MI5) viene calcolata come 440 × (3:2), risultando in 660 Hz.
L'accordatura pitagorica è un sistema fondato esclusivamente sulle consonanze perfette, in particolare l'ottava perfetta, la quinta perfetta e la quarta perfetta. Di conseguenza, la terza maggiore non è considerata una terza indipendente ma piuttosto un "ditono", che letteralmente significa "due toni", calcolato come (9:8)2 = 81:64, in contrasto con l'indipendente e armonicamente giusto 5:4 = 80:64. Un tono intero, in questo sistema, è un intervallo secondario derivato da due quinte perfette meno un'ottava, espresso come (3:2)2/2 = 9:8.
La terza maggiore (5:4) e la terza minore (6:5) divergono dai rispettivi equivalenti pitagorici (81:64 e 32:27) per una virgola sintonica, che è un rapporto di 81:80. Carl Dahlhaus (1990, p. 187) ha osservato che "la terza dipendente è conforme a quella pitagorica, la terza indipendente all'accordatura armonica degli intervalli."
La musica comune occidentale in genere necessita di una scala sistematicamente temperata piuttosto che della semplice intonazione. Questo temperamento può incorporare le irregolarità inerenti al buon temperamento o essere strutturato come un temperamento regolare, come una forma di temperamento equabile o un altro sistema mesotonico regolare. Indipendentemente dall’approccio specifico, le caratteristiche fondamentali del temperamento mesotonico sono costantemente coinvolte. Ad esempio, se la fondamentale dell'accordo ii è accordata una quinta perfetta sopra la dominante, sarebbe un tono intero maggiore (9:8) sopra la tonica. Al contrario, se è accordato appena una terza minore (6:5) al di sotto di un grado appena sottodominante di 4:3, l'intervallo risultante dalla tonica sarebbe un tono intero minore (10:9). Il temperamento meschino serve a diminuire la discrepanza tra questi due toni interi (9:8 e 10:9). Il loro rapporto, (9:8)/(10:9) = 81:80, è convenzionalmente trattato come un unisono. Questo intervallo, 81:80, noto come virgola sintonica o virgola di Didimo, rappresenta la virgola fondamentale all'interno del temperamento mesotonico.
Accordature del temperamento equabile
Nel temperamento equabile, l'ottava è logaritmicamente suddivisa in segmenti equidistanti. Sebbene le scale di temperamento equabile possano essere costruite con vari numeri di note, ad esempio il sistema arabo a 24 toni, la configurazione prevalente prevede 12 divisioni, formando la scala cromatica di temperamento equabile. Nei contesti musicali occidentali, si presuppone generalmente una divisione in dodici intervalli a meno che non venga esplicitamente dichiarata un'alternativa.
Nella scala cromatica, l'ottava è segmentata in dodici divisioni equivalenti, con ciascun semitono (mezzo passo) che rappresenta un intervallo equivalente alla dodicesima radice di due. Di conseguenza dodici semitoni uguali costituiscono esattamente un'ottava. Per gli strumenti a tasti, il temperamento equabile si rivela estremamente vantaggioso, poiché facilita l’allineamento uniforme dei tasti su tutte le corde. Storicamente, nella tradizione musicale europea, il temperamento equabile veniva applicato alla musica per liuto e chitarra molto prima rispetto ad altri strumenti, compresi gli strumenti a tastiera. Questa traiettoria storica ha stabilito che il temperamento equabile dodecafonico è il sistema di intonazione predominante nel mondo occidentale e in molte regioni non occidentali.
Sono state implementate scale ugualmente temperate e costruiti strumenti corrispondenti, utilizzando diversi numeri di intervalli uguali. Il temperamento 19-equabile, inizialmente proposto e utilizzato da Guillaume Costeley nel XVI secolo, incorpora 19 toni equidistanti. Questo sistema produce terze maggiori superiori e terze minori significativamente migliorate rispetto al temperamento equabile standard di 12 semitoni, anche se a scapito di una quinta più piatta. Il risultato cumulativo è un maggiore senso di consonanza. Il temperamento equabile ventiquattro, caratterizzato da ventiquattro toni equidistanti, è ampiamente adottato nelle pratiche pedagogiche e notazionali della musica araba. Tuttavia, sia teoricamente che praticamente, l'intonazione musicale araba aderisce a rapporti razionali, in contrasto con i rapporti irrazionali inerenti ai sistemi ugualmente temperati.
Sebbene un analogo esatto al quarto di tono ugualmente temperato sia del tutto assente nei sistemi di intonazione arabi, si incontrano spesso approssimazioni di tre quarti di tono, o secondo neutro. Questi secondi neutri, tuttavia, mostrano lievi variazioni nei loro rapporti, dipendenti dallo specifico maqam e dalla regione geografica. Come notato dallo storico della musica araba Habib Hassan Touma, "l'ampiezza della deviazione di questo passo musicale è un ingrediente cruciale nel sapore peculiare della musica araba. Temperare la scala dividendo l'ottava in ventiquattro quarti di tono di uguale dimensione significherebbe rinunciare a uno degli elementi più caratteristici di questa cultura musicale."
Il sistema di temperamento equabile a 53 ha origine dall'equivalenza approssimativa di 53 quinte perfette a 31 ottave, un fenomeno osservato da Jing Fang e Nicholas Mercatore.
Connessioni matematiche
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi musicale utilizza la terminologia della teoria matematica degli insiemi in modo fondamentale per classificare le entità musicali e delineare le loro interrelazioni. Per l'analisi strutturale di una composizione musicale (tipicamente atonale) utilizzando questo quadro, il processo generalmente inizia con una raccolta di toni, che possono costituire motivi o accordi. L'applicazione di operazioni fondamentali, come la trasposizione e l'inversione, facilita l'identificazione delle strutture profonde sottostanti all'interno della musica. Queste operazioni, trasposizione e inversione, sono chiamate isometrie per la loro proprietà di preservare le relazioni intervallari tra i toni all'interno di un dato insieme.
Algebra astratta
Sulla base delle metodologie della teoria degli insiemi musicali, alcuni teorici hanno sfruttato l'algebra astratta per l'analisi musicale. Ad esempio, le classi di altezze all'interno di un'ottava ugualmente temperata costituiscono un gruppo abeliano comprendente 12 elementi. Inoltre, solo l'intonazione può essere caratterizzata utilizzando la struttura di un gruppo abeliano libero.
David Lewin ha sviluppato la teoria trasformazionale, un ramo della teoria musicale che raggiunge un'ampia applicabilità concentrandosi sulle trasformazioni tra entità musicali piuttosto che sulle entità stesse.
I teorici musicali hanno inoltre suggerito applicazioni musicali per concetti algebrici avanzati. La teo
Numeri e serie
Alcuni compositori hanno integrato la sezione aurea e i numeri di Fibonacci nelle loro composizioni musicali.
Teoria delle categorie
Guerino Mazzola, matematico e musicologo, ha utilizzato la teoria delle categorie, in particolare la teoria dei topos, come quadro fondamentale per la teoria musicale. Questo approccio incorpora la topologia per stabilire una teoria del ritmo e dei motivi e la geometria differenziale per sviluppare una teoria del fraseggio, del tempo e dell'intonazione musicale.
Musicisti con notevole background matematico
- Albert Einstein – Un abile pianista e violinista.
- Art Garfunkel (di Simon & Garfunkel) – Ha conseguito un Master in Didattica della Matematica presso la Columbia University.
- Brian Cox – Professore di fisica delle particelle presso la Scuola di fisica e astronomia dell'Università di Manchester.
- Brian May (dei Queen) – Ha conseguito una laurea con lode in matematica e fisica e un dottorato di ricerca in astrofisica, entrambi presso l'Imperial College di Londra.
- Brian Wecht (di Ninja Sex Party) – Ha conseguito un dottorato di ricerca in fisica delle particelle presso l'Università della California, San Diego.
- Dan Snaith – Possiede un dottorato di ricerca in matematica presso l'Imperial College di Londra.
- Delia Derbyshire – Ha conseguito una laurea in matematica e musica a Cambridge.
- Donald Knuth – Organista e compositore, Knuth ha completato un pezzo per organo intitolato "Fantasia Apocalyptica" nel 2016, presentato in anteprima in Svezia il 10 gennaio 2018.
- Ethan Port (di Savage Republic) – Ha conseguito un dottorato di ricerca in matematica presso la University of Southern California.
- Gregg Turner (di Angry Samoans) – Possiede un dottorato di ricerca in matematica presso la Claremont Graduate University.
- Jerome Hines – Autore di cinque articoli pubblicati su Mathematics Magazine tra il 1951 e il 1956.
- Jonny Buckland (dei Coldplay) – Ha proseguito gli studi di astronomia e matematica presso l'University College di Londra.
- Kit Armstrong – Ha conseguito una laurea in musica e un master in matematica.
- Manjul Bhargava – Suonatore di tabla, ha ricevuto la medaglia Fields nel 2014.
- Phil Alvin (dei The Blasters) – Ha studiato matematica all'Università della California, a Los Angeles.
- Philip Glass – Ha intrapreso studi di matematica e filosofia presso l'Università di Chicago.
- Robert Schneider (di The Apples in Stereo) – Ha conseguito un dottorato di ricerca in matematica presso la Emory University.
- Tom Lehrer – Ha conseguito una laurea in matematica presso l'Università di Harvard.
- William Herschel – Un astronomo che si esibiva all'oboe, al violino, al clavicembalo e all'organo. Compose 24 sinfonie, numerosi concerti e vari brani di musica sacra.
Portale musicale
Riferimenti
- Dahlhaus, Carl. 1990. Concezione di Wagner del dramma musicale. Deutscher Taschenbuch Verlag. Kassel: Bärenreiter. ISBN 9783423045384; ISBN 9783761845387.
- Ivor Grattan-Guinness (1995) "Mozart 18, Beethoven 32: Ombre nascoste di numeri interi nella musica classica", pagine 29–47 in Storia della matematica: stati dell'arte, a cura di Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Knobloch e Hans Wussing. Stampa accademica. ISBN 0-12-204055-4.
- Cool math for hot music - Una prima introduzione alla matematica per teorici musicali di Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353
- Musica e matematica di Thomas E. Fiore
- Sonantometria o musica come disciplina matematica.
- L'uso di Nicolaus Mercator della teoria delle proporzioni nella musica alla convergenza
- Nel romanzo di Hermann Hesse, Il gioco delle perle di vetro, alla musica e alla matematica è stato assegnato un ruolo fondamentale nella concettualizzazione e nell'evoluzione del gioco.
- Il discorso accademico esplora spesso i principi di armonia e proporzione, insieme ai contributi di Pitagora alla musica e alla comprensione spaziale.
- "Algebra lineare e musica"
- Notefreqs fornisce una tabella completa delle frequenze delle note e dei rapporti corrispondenti tra vari strumenti, tra cui MIDI, pianoforte, chitarra, basso e violino, fornendo ulteriori dettagli sulle misurazioni dei tasti sia in centimetri che in pollici per la costruzione dello strumento.
- Un dibattito su BBC Radio 4 intitolato "Matematica e musica", con Marcus du Sautoy, Robin Wilson e Ruth Tatlow, è stato trasmesso il 25 maggio 2006, come parte del programma In Our Time.
- "Misurazione della somiglianza delle note con noccioli definiti positivi"