Calcolo (Calculus)

Il calcolo infinitesimale è lo studio matematico del cambiamento continuo e il principale precursore della moderna analisi matematica. Originariamente chiamato calcolo infinitesimale...

Il calcolo rappresenta la disciplina matematica dedicata allo studio del cambiamento continuo e funge da precursore principale della moderna analisi matematica. Inizialmente chiamato calcolo infinitesimale o calcolo degli infinitesimi, comprende due rami principali: il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Il calcolo differenziale indaga i tassi di cambiamento istantanei e i gradienti delle curve, mentre il calcolo integrale esamina l'accumulo di quantità e le aree sotto o tra le curve. Questi due rami sono intrinsecamente legati dal teorema fondamentale del calcolo infinitesimale. Il calcolo sfrutta la convergenza di sequenze infinite e serie infinite verso un limite matematico definito con precisione.

Calcolo è lo studio matematico del cambiamento continuo e il principale precursore della moderna analisi matematica. Originariamente chiamato calcolo infinitesimale o calcolo degli infinitesimi, ha due rami principali, il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Il calcolo differenziale analizza i tassi di variazione istantanei e le pendenze delle curve; il calcolo integrale analizza l'accumulo di quantità e aree sotto o tra le curve. Questi due rami sono legati tra loro dal teorema fondamentale del calcolo infinitesimale. Il calcolo utilizza la convergenza di sequenze infinite e serie infinite verso un limite matematico ben definito.

Il calcolo funziona come quadro matematico essenziale per affrontare problemi in cui quantità variabili subiscono cambiamenti nel tempo o rispetto a un altro parametro specificato. È stato anche caratterizzato come uno strumento fondamentale nella scienza fisica.

Alla fine del XVII secolo, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz svilupparono indipendentemente il calcolo infinitesimale. Il successivo lavoro accademico, inclusa la formalizzazione del concetto di limiti, stabilì una base concettuale più solida per il calcolo. I principi e le metodologie del calcolo infinitesimale hanno ampie applicazioni nella scienza, nell'ingegneria e in altre discipline matematiche.

Etimologia

In latino, il termine calcolo significa "ciottolo", una definizione che rimane rilevante in contesti medici. Dato che i ciottoli servivano come contatori sugli abaci romani, i romani si riferivano ai loro calcoli come "posizionare i ciottoli" (calculos ponere) e finalizzavano le questioni finanziarie "chiamando qualcuno ai ciottoli" (vocare aliquem ad calculos). La parola latina calculare è emersa intorno al 400 d.C. in Spagna. La parola inglese calculate fu impiegata con questa connotazione almeno dal 1672, precedendo di diversi anni le pubblicazioni matematiche latine di Leibniz e Newton. Oltre al calcolo differenziale e integrale, il termine designa anche particolari metodologie computazionali o quadri teorici che coinvolgono il calcolo. Esempi illustrativi di questa applicazione comprendono il calcolo proposizionale, il calcolo di Ricci, il calcolo delle variazioni, il calcolo lambda, il calcolo sequenziale e il calcolo dei processi. Inoltre, il "calcolo" ha trovato diverse applicazioni nell'ambito dell'etica e della filosofia, esemplificate da sistemi come il calcolo felicifico di Bentham e il calcolo etico.

Concetti fondamentali e notazione

Il calcolo offre un'estensione dei principi presenti nella geometria elementare e nell'algebra. Ad esempio, mentre la geometria elementare definisce la pendenza di una linea retta, il calcolo infinitesimale consente la descrizione della pendenza variabile di una curva complessa. La geometria elementare offre formule per le aree di forme regolari come triangoli, quadrati e altri poligoni; al contrario, il calcolo infinitesimale fornisce metodi per determinare l'area di una forma delimitata da una funzione complessa. Nell'algebra elementare, è possibile calcolare la distanza percorsa da un oggetto a velocità costante nel tempo; tuttavia, il calcolo consente il calcolo della distanza per un oggetto con velocità variabile.

Limiti e infinitesimi

Il calcolo viene tipicamente formulato attraverso la manipolazione di quantità estremamente piccole. Storicamente, l’approccio iniziale coinvolgeva gli infinitesimi. Queste entità, sebbene trattabili come numeri reali, sono concettualmente "infinitamente piccole". Ad esempio, un numero infinitesimo supererebbe lo zero ma sarebbe inferiore a qualsiasi termine nella sequenza 1, 1/2, 1/3, ..., essendo quindi inferiore a qualsiasi numero reale positivo. Di conseguenza, da questa prospettiva, il calcolo infinitesimale rappresenta un compendio di metodologie per la manipolazione degli infinitesimi.

L'approccio infinitesimale perse importanza nel corso del XIX secolo perché mancava di una formalizzazione rigorosa. Alla fine del XIX secolo, gli infinitesimi furono sostituiti nel discorso accademico dalla definizione di limiti epsilon-delta. I limiti caratterizzano il comportamento di una funzione su un input specifico esaminando i suoi valori in prossimità di quell'input. Questo metodo cattura il comportamento microscopico sfruttando la struttura intrinseca del sistema di numeri reali. Di conseguenza, il calcolo infinitesimale, in questo quadro, costituisce un insieme di tecniche per manipolare limiti specifici. Gli infinitesimi vengono soppiantati da sequenze di numeri progressivamente più piccoli e il comportamento infinitesimo di una funzione viene determinato valutando il comportamento limitante di queste sequenze. Percepiti come una base più rigorosa per il calcolo infinitesimale, i limiti sono diventati di conseguenza l'approccio predominante per tutto il XX secolo. Tuttavia, il concetto infinitesimale ha conosciuto una rinascita nel XX secolo con l'avvento dell'analisi non standard e dell'analisi infinitesimale uniforme, che hanno entrambe stabilito solide basi teoriche per la manipolazione infinitesimale.

Calcolo differenziale

Il calcolo differenziale esamina la definizione, le proprietà e le applicazioni della derivata di una funzione. La procedura per determinare la derivata è chiamata differenziazione. Per una data funzione e un punto specifico all'interno del suo dominio, la derivata in quel punto incapsula il comportamento localizzato della funzione. Calcolando la derivata in ogni punto del suo dominio, è possibile generare una nuova funzione, denominata funzione derivativa o semplicemente derivata della funzione iniziale. Dal punto di vista geometrico, la derivata estende il concetto di pendenza di una linea, fornendo un metodo per quantificare la pendenza del grafico di una funzione, anche quando il grafico è curvilineo.

La notazione di Lagrange designa il simbolo della derivata come un segno simile a un apostrofo, noto come numero primo. Di conseguenza, la derivata di una funzione f è rappresentata da f′, comunemente pronunciata "f prime" o "f dash". Ad esempio, se f(x) = x§1516§ denota la funzione di quadratura, allora la sua derivata è f′(x) = 2x.

Quando una funzione è lineare (cioè il suo grafico forma una linea retta), può essere espressa come y = mx + b, dove x rappresenta la variabile indipendente, y la variabile dipendente, b l'intercetta y e:

m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.

Questa formula fornisce la pendenza precisa di una linea retta. Tuttavia, se il grafico della funzione non è lineare, il rapporto tra la variazione di y e la variazione di x non è costante. I derivati forniscono una definizione precisa del concetto di variazione dell’output rispetto alla variazione dell’input. Nello specifico, considera una funzione f e un punto fisso a all'interno del suo dominio. La coppia di coordinate (a, f(a)) rappresenta un punto sul grafico della funzione. Se h è un valore vicino allo zero, allora a + h è un valore in prossimità di a. Di conseguenza il punto (a + h, f(a + h)) si trova vicino a (a, f(a)). La pendenza che collega questi due punti è

m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Questa espressione matematica è chiamata quoziente di differenza. Una linea che interseca una curva in due punti distinti è definita retta secante; di conseguenza, m rappresenta la pendenza della retta secante che collega i punti (a, f(a)) e (a + h, f(a + h)). Questa linea secante fornisce semplicemente un'approssimazione del comportamento della funzione nel punto specifico a, poiché non riesce a catturare la dinamica funzionale che si verifica tra a e a + h. Determinare il comportamento della funzione esattamente in a impostando h su zero non è fattibile, poiché questa operazione richiederebbe la divisione per zero, una condizione matematica indefinita. La derivata è formalmente definita valutando il limite quando h si avvicina a zero, analizzando quindi il comportamento della funzione f su valori infinitesimamente piccoli di h per ricavare un valore coerente per lo scenario in cui h è zero:

\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.

16§ f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}

Da una prospettiva geometrica, la derivata rappresenta la pendenza della linea tangente al grafico di f nel punto a. La linea tangente stessa emerge come limite delle linee secanti, rispecchiando il modo in cui la derivata è concettualizzata come limite dei quozienti di differenza.

Quando la variabile indipendente della funzione indica il tempo, la sua derivata quantifica il tasso di cambiamento rispetto al tempo. Ad esempio, se f denota una funzione in cui il tempo è l'input e la posizione di una palla in un momento specifico è l'output, la derivata di f esprime la velocità istantanea di cambiamento di posizione nel tempo, che corrisponde alla velocità della palla.

Notazione Leibniz

Una notazione ampiamente riconosciuta, attribuita a Leibniz, per rappresentare la derivata nel contesto sopra menzionato è

{\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}

Nell'ambito del calcolo basato sui limiti, la notazione ⁠dy/ dx⁠ indica una rappresentazione concisa del limite precedentemente calcolato, piuttosto che una divisione di due valori numerici distinti. Al contrario, Leibniz concepì questa notazione come il rapporto tra due quantità infinitesimamente piccole: dy, che rappresenta un'alterazione infinitesima in y, risultante da una variazione infinitesima dx applicata a x. In alternativa, ⁠d/ dx⁠ può essere concettualizzato come un operatore di differenziazione che trasforma una funzione di input nella sua derivata, che è un'altra funzione. Di seguito è riportato un esempio illustrativo:

{\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.

All'interno di questa convenzione di notazione, il termine dx posizionato al denominatore significa differenziazione "rispetto a x." Un ulteriore esempio di notazione appropriata è presentato come segue:

{\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}

41§ d d t g ( t ) = §72

{\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}

{\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}}

Calcolo integrale

calcolo integrale comprende l'esame delle definizioni, delle caratteristiche e degli usi pratici di due costrutti matematici interconnessi: l'integrale indefinito e l'integrale definito. La procedura per determinare il valore di un integrale è chiamata integrazione. L'integrale indefinito, chiamato anche antiderivativa, funziona come l'operazione inversa della differenziazione. Nello specifico, F rappresenta un integrale indefinito di f se f costituisce la derivata di F. Questa convenzione di utilizzare rispettivamente lettere minuscole e maiuscole per una funzione e il suo integrale indefinito, è una pratica standard nel calcolo infinitesimale. Al contrario, l'integrale definito prende una funzione come input e produce un output numerico, che indica la somma algebrica delle aree delimitate dal grafico della funzione e dall'asse x. La definizione matematica precisa dell'integrale definito si basa sul limite di una somma di aree rettangolari, noto come somma di Riemann.

Un esempio fondamentale riguarda la distanza percorsa in una durata specificata. Quando la velocità rimane costante, il suo calcolo richiede semplicemente la moltiplicazione:

\mathrm {Distanza} =\mathrm {Velocità} \cdot \mathrm {Tempo}

Al contrario, quando la velocità varia, è necessaria una metodologia più sofisticata per accertare la distanza. Un approccio efficace prevede la stima della distanza segmentando il tempo totale in numerosi brevi intervalli. All'interno di ciascun intervallo, il tempo trascorso viene moltiplicato per una velocità rappresentativa di tale intervallo e questi prodotti vengono quindi sommati per ottenere una distanza totale approssimativa (una somma di Riemann). Il principio di base è che su durate sufficientemente brevi la velocità può essere considerata relativamente costante. Tuttavia, una somma di Riemann fornisce di per sé solo un'approssimazione della distanza percorsa. Per determinare la distanza precisa, è imperativo valutare il limite di queste somme di Riemann.

In scenari di velocità costante, la distanza cumulativa percorsa durante un intervallo di tempo specificato è accertabile attraverso la moltiplicazione di velocità e tempo. Ad esempio, mantenendo una velocità costante di 50 miglia orarie per 3 ore si ottiene una distanza totale di 150 miglia. Rappresentando graficamente la velocità in funzione del tempo in tal caso si produce una forma rettangolare, dove l'altezza corrisponde alla velocità e la larghezza al tempo trascorso. Di conseguenza, il prodotto della velocità e del tempo quantifica anche l'area rettangolare sotto la curva della velocità (costante). Questa relazione fondamentale tra l'area sotto una curva e la distanza percorsa è generalizzabile a qualsiasi regione di forma irregolare che descrive una velocità variabile attraverso una durata definita. Se f(x) indica la velocità man mano che cambia nel tempo, la distanza accumulata tra i punti temporali designati da a e b corrisponde all'area della regione delimitata da f(x) e dall'asse x, in particolare all'interno dell'asse intervallo da x = a a x = b.

Per stimare quest'area, un approccio semplice prevede la partizione dell'intervallo tra a e b in più segmenti di uguale lunghezza, con la lunghezza di ciascun segmento indicata da Δx. Per ciascun segmento diminutivo è possibile selezionare un singolo valore della funzione f(x), qui indicato come h. Successivamente, l'area di un rettangolo avente base Δx e altezza h rappresenta la distanza percorsa all'interno di quel segmento (calcolata come tempo Δx moltiplicato per la velocità h). Ad ogni segmento è associato il valore funzionale medio sopra di esso, espresso come f(x) = h. La somma di queste aree rettangolari fornisce un'approssimazione della regione tra l'asse e la curva, approssimando così la distanza totale percorsa. Una riduzione del valore di Δx risulterà in un numero maggiore di rettangoli e tipicamente in un'approssimazione più precisa; tuttavia, per una determinazione esatta, è necessario valutare il limite quando Δx si avvicina allo zero.

Il simbolo di integrazione, $\int$ , è una S allungata, che rappresenta visivamente la sommatoria. La notazione per l'integrale definito è presentata come segue:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Questa espressione è resa verbalmente come "l'integrale da a a b di f-di-x rispetto a x." La notazione Leibniz, nello specifico dx, rappresenta concettualmente la suddivisione dell'area sottostante una curva in una serie infinita di rettangoli, dove la larghezza di ciascun rettangolo, inizialmente indicata come Δx, si avvicina al valore infinitesimo dx.

Viene rappresentato l'integrale indefinito, noto anche come antiderivativa. come:

\int f(x)\,dx.

Le funzioni che variano esclusivamente in base a un termine costante possiedono derivate identiche. Di conseguenza, l'antiderivativa di una determinata funzione costituisce una famiglia di funzioni, ciascuna diversa esclusivamente per una costante. Ad esempio, dato che la derivata della funzione y = x§56§ + C (dove C denota una costante arbitraria) è y′ = 2x, l'antiderivativa di 2x è espressa come:

\int 2x\,dx=x^{2}+C.

La costante C, che rimane non specificata all'interno di un integrale o di un'antiderivativa indefinita, è formalmente chiamata costante di integrazione.

Teorema Fondamentale

Il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale presuppone che la differenziazione e l'integrazione siano operazioni matematiche inverse. Nello specifico, questo teorema stabilisce una relazione tra i valori delle antiderivative e degli integrali definiti. Dato che calcolare una primitiva è generalmente meno complesso che applicare direttamente la definizione di integrale definito, il teorema fondamentale offre un metodo efficiente per valutare gli integrali definiti. Inoltre, serve come precisa articolazione della relazione inversa tra differenziazione e integrazione.

Il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale afferma formalmente quanto segue: se una funzione f mantiene continuità attraverso l'intervallo [a, b] e se F rappresenta una funzione la cui derivata corrisponde a f all'interno dell'intervallo (a, b), quindi:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Inoltre, per ogni x situato all'interno dell'intervallo (a, b), vale quanto segue:

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

La scoperta indipendente di questo principio sia da parte di Newton che di Leibniz fu determinante nel successivo e diffuso sviluppo dei metodi analitici. L'influenza precisa dei loro predecessori, in particolare del lavoro di Isaac Barrow su Leibniz, rimane difficile da accertare a causa della disputa storica sulla priorità tra Newton e Leibniz. Questo teorema fondamentale offre un approccio algebrico per il calcolo di numerosi integrali definiti, aggirando la necessità di processi limite identificando formule antiderivative. Inoltre, funge da modello fondamentale per la risoluzione di equazioni differenziali. Le equazioni differenziali, che stabiliscono relazioni tra una funzione sconosciuta e le sue derivate, sono diffuse in tutte le discipline scientifiche.

Concetti avanzati

Calcolo multivariabile e vettoriale

Il calcolo multivariabile rappresenta un'espansione del calcolo a variabile singola, applicando i suoi principi a funzioni di più variabili. Ciò comporta la differenziazione e l'integrazione di funzioni che dipendono da più variabili (multivariata), anziché da una singola.

Il calcolo vettoriale, un sottocampo del calcolo multivariabile, si concentra sulla differenziazione e integrazione di campi vettoriali, prevalentemente all'interno dello spazio euclideo tridimensionale, indicato come $\mathbb {R} ^{3}.$ . Occasionalmente, la designazione calcolo vettoriale viene utilizzata in modo intercambiabile con la disciplina più ampia del calcolo multivariabile. Questo campo è cruciale nella geometria differenziale e nell'analisi delle equazioni alle derivate parziali. Le sue applicazioni sono diffuse in fisica e ingegneria, in particolare per la modellazione di campi elettromagnetici, campi gravitazionali e dinamica dei fluidi.

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale stabilisce una relazione tra una o più funzioni sconosciute e le rispettive derivate. Nelle applicazioni pratiche, queste funzioni denotano tipicamente quantità fisiche, mentre i loro derivati indicano tassi di cambiamento, con l'equazione differenziale che articola la connessione tra loro. Data la loro prevalenza nella modellazione matematica e nei principi scientifici, le equazioni differenziali sono fondamentali in numerosi campi, come ingegneria, fisica, economia e biologia.

Ad esempio, l'equazione differenziale ${\frac {df}{dt}}=-af(t)$ ha una soluzione sotto forma di funzione $f(t)$ che è direttamente proporzionale alla sua stessa derivata. Tali funzioni adottano universalmente la struttura $f(t)=Ce^{-at},$ , dove $C$ denota una costante. Questa particolare equazione differenziale modella il decadimento esponenziale.

L'obiettivo principale nello studio delle equazioni differenziali implica l'analisi delle loro soluzioni (l'insieme di funzioni che soddisfano ciascuna equazione) e la comprensione delle caratteristiche di queste soluzioni. Sebbene solo le equazioni differenziali più semplici forniscano soluzioni analitiche esplicite, numerose proprietà delle soluzioni di una determinata equazione differenziale possono essere accertate senza un calcolo esatto. Inoltre, le equazioni differenziali prive di soluzioni esatte sono spesso suscettibili di tecniche di approssimazione numerica.

Analisi reale

L'analisi reale stabilisce i rigorosi principi fondamentali del calcolo infinitesimale, dimostrando la solida base teorica per i concetti spesso presentati in modo euristico nel calcolo introduttivo. Il suo campo di applicazione comprende l'esame dei numeri reali, delle sequenze e delle serie di numeri reali e delle funzioni reali. Le proprietà chiave indagate nell'analisi reale includono convergenza, limiti, continuità, uniformità, differenziabilità e integrabilità.

Analisi complessa

L'analisi complessa è dedicata allo studio delle funzioni che coinvolgono variabili complesse. La sua utilità si estende a numerose discipline matematiche, come l'analisi reale, la geometria algebrica, la teoria dei numeri, la combinatoria analitica e varie aree della matematica applicata. È altrettanto indispensabile in fisica, in particolare nell'idrodinamica, nella termodinamica, nella meccanica quantistica e nella teoria dei twistor. Inoltre, i principi dell'analisi complessa trovano applicazione pratica in diversi settori dell'ingegneria, tra cui l'ingegneria nucleare, aerospaziale, meccanica ed elettrica.

La derivata di una funzione $f$ di una variabile complessa $z$ può essere formalmente definito analogamente alla sua definizione nel calcolo reale elementare: ${\frac {df}{dz}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}.$ 69§ f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z . {\displaystyle {\frac {df}{dz}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}.} Dato che il limite $\Delta z\to 0$ 136§ {\displaystyle \Delta z\to 0} può essere affrontato da qualsiasi direzione nel piano complesso, il criterio di differenziabilità è considerevolmente più stringente per le funzioni di variabile complessa che per le funzioni di variabile reale. L'analisi complessa si concentra specificamente sulle funzioni olomorfe, che sono le funzioni differenziabili di una variabile complessa. In netto contrasto con il dominio reale, una funzione olomorfa mostra invariabilmente una differenziabilità infinita e può essere rappresentata dalla somma delle sue serie di Taylor all'interno di un intorno specifico di ogni punto del suo dominio. Di conseguenza, le metodologie e i risultati derivati dall'analisi complessa divergono sostanzialmente da quelli caratteristici dell'analisi reale.

Calcolo delle variazioni

Il calcolo delle variazioni (o calcolo variazionale) esamina i funzionali, tracciando un'analogia con il modo in cui il calcolo elementare indaga le funzioni. Mentre il calcolo elementare analizza le variazioni infinitesimali nei valori di input e output delle funzioni, il calcolo delle variazioni, al contrario, affronta le perturbazioni infinitesimali all'interno delle funzioni stesse. Un funzionale è formalmente definito come una mappatura che trasforma un insieme di funzioni in numeri reali. Questo campo indaga la risposta dell'output di un funzionale ad alterazioni infinitesimali nella sua funzione di input.

Un problema illustrativo all'interno di questo dominio riguarda la determinazione della curva di lunghezza minima che collega due punti specificati. In assenza di vincoli, la soluzione ottimale è un segmento di linea retta compreso tra questi punti. Tuttavia, quando la curva è limitata a una superficie specifica nello spazio tridimensionale, la soluzione diventa meno evidente e possono sorgere potenzialmente più soluzioni. Queste particolari soluzioni sono chiamate geodetiche. Il principio di Fermat presenta una sfida correlata, affermando che la luce attraversa il percorso di lunghezza ottica più breve tra due punti, un percorso contingente alle proprietà del mezzo intermedio. In meccanica, un concetto parallelo è articolato dal principio di azione minima o stazionaria.

I funzionali sono spesso rappresentati come integrali definiti che incorporano funzioni e le loro derivate. L'equazione di Eulero-Lagrange, derivata dal calcolo delle variazioni, può essere utilizzata per identificare le funzioni che massimizzano o minimizzano questi funzionali.

Contesto storico

La struttura moderna del calcolo infinitesimale emerse nell'Europa del XVII secolo, sviluppata indipendentemente da Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, che pubblicarono le loro scoperte contemporaneamente. Tuttavia, i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale possono essere fatti risalire all'antico Egitto e alla Grecia, per poi apparire in Cina, nel Medio Oriente e successivamente nell'Europa medievale e in India.

Primi antecedenti

Egitto e Babilonia

I primi calcoli di volume e area, che costituiscono un obiettivo primario del calcolo integrale, sono documentati nel papiro egiziano di Mosca (c. 1820 a.C.). Tuttavia, queste formule vengono presentate come istruzioni semplici, prive di qualsiasi spiegazione della loro derivazione. Si ipotizza inoltre che i Babilonesi potrebbero aver sviluppato in modo indipendente la regola trapezoidale durante le loro osservazioni astronomiche di Giove.

Grecia

L'antico matematico greco Eudosso di Cnido (c. 390–337 a.C.) stabilì i principi fondamentali per il calcolo integrale e anticipò il concetto di limiti attraverso lo sviluppo del metodo di esaustione, che utilizzò per ricavare formule per i volumi di coni e piramidi.

Durante l'era ellenistica, Archimede (c. 287 – c. 212a.C.) fece avanzare il metodo dell'esaurimento integrandolo con il concetto di indivisibili, che servì come prima forma di infinitesimi. Questa innovazione gli permise di risolvere diversi problemi che oggi vengono affrontati utilizzando il calcolo integrale. Ad esempio, nella sua opera Il metodo dei teoremi meccanici, descrive in dettaglio i calcoli per il centro di gravità di un emisfero solido, il centro di gravità del tronco di un paraboloide circolare e l'area racchiusa da una parabola e una delle sue linee secanti.

Cina

Il metodo dell'esaurimento fu riscoperto in modo indipendente in Cina durante il III secolo d.C. da Liu Hui, che lo applicò per determinare l'area di un cerchio. Successivamente, nel V secolo d.C., Zu Gengzhi, figlio di Zu Chongzhi, formulò una tecnica che sarebbe stata poi riconosciuta come il principio di Cavalieri per il calcolo del volume di una sfera.

Periodo medievale

Medio Oriente

In Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, noto in latino come Alhazen (c. 965 – ca. 1040d.C.), sviluppò una formula per la somma delle quarte potenze. Ha poi applicato questi risultati per eseguire quella che oggi è intesa come un'integrazione di questa funzione, utilizzando formule per la somma dei quadrati integrali e delle quarte potenze per calcolare il volume di un paraboloide.

India

Bhāskara II (c. 1114–1185) dimostrò familiarità con alcuni concetti di calcolo differenziale, proponendo che il "coefficiente differenziale" diventa zero in corrispondenza di un valore estremo di una funzione.

Durante il XIV secolo, i matematici indiani introdussero un metodo non rigoroso, simile alla differenziazione, applicabile a specifiche funzioni trigonometriche. Madhava di Sangamagrama e la Scuola di Astronomia e Matematica del Kerala hanno articolato varie componenti del calcolo. Tuttavia, come notato da Victor J. Katz, non riuscirono a "combinare molte idee diverse sotto i due temi unificanti della derivata e dell'integrale, mostrare la connessione tra i due e trasformare il calcolo infinitesimale nel grande strumento di risoluzione dei problemi che abbiamo oggi."

Europa

L'indagine matematica sulla continuità conobbe una rinascita nel XIV secolo, guidata dai calcolatori di Oxford e da collaboratori francesi come Nicole Oresme. Oresme ha dimostrato in particolare la divergenza della serie armonica, ed entrambi i gruppi sono anche riconosciuti per aver formulato il teorema della velocità media.

Sviluppi moderni

La pubblicazione di Giovanni Keplero, Stereometria Doliorum (1615), pose le basi fondamentali per il calcolo integrale. Keplero ideò una tecnica per determinare l'area di un'ellisse sommando le lunghezze di numerosi raggi originati da uno dei suoi fuochi. Basandosi sui contributi di Keplero, Bonaventura Cavalieri ipotizzò che volumi e aree potessero essere calcolati aggregando i volumi e le aree di sezioni trasversali infinitesimamente sottili.

La formalizzazione del calcolo integrava il concetto di infinitesimi di Cavalieri con il calcolo delle differenze finite, che si stava evolvendo contemporaneamente in Europa. Pierre de Fermat, ispirandosi a Diofanto, introdusse la nozione di adeuguaglianza, intendendo uguaglianza con un margine di errore infinitesimale. Questa sintesi fu infine compiuta da John Wallis, Isaac Barrow e James Gregory, con Barrow e Gregory che dimostrarono in particolare una parte del teorema fondamentale del calcolo infinitesimale intorno al 1670.

Isaac Newton ha utilizzato una notazione peculiare per utilizzare concetti come la regola del prodotto, la regola della catena, le derivate superiori, le serie di Taylor e le funzioni analitiche, applicandoli per risolvere problemi di fisica matematica. Per allinearsi alle convenzioni matematiche contemporanee, Newton riformulò le sue idee, sostituendo i calcoli infinitesimi con argomenti geometrici indiscutibili. La sua applicazione dei metodi di calcolo affrontò varie sfide, tra cui il movimento planetario, la configurazione superficiale dei fluidi rotanti, l'oblazione della Terra e la dinamica di un peso su una cicloide, oltre ad altre questioni dettagliate nel suo Principia Mathematica (1687). Inoltre, ha sviluppato espansioni in serie per funzioni, comprendendo potenze frazionarie e irrazionali, dimostrando una chiara comprensione dei principi delle serie di Taylor. Tuttavia, non tutte queste scoperte furono pubblicate, poiché i metodi infinitesimi furono allora considerati poco affidabili.

Gottfried Wilhelm Leibniz organizzò sistematicamente questi concetti in un calcolo coerente di infinitesimi, nonostante le iniziali accuse di plagio da parte di Newton. Ora è riconosciuto come un ideatore indipendente e un contributore significativo al calcolo infinitesimale. Il contributo fondamentale di Leibniz implicava la creazione di un quadro preciso per la manipolazione di quantità infinitesimali, che facilitava il calcolo delle derivate seconde e superiori e formalizzava le regole del prodotto e della catena sia nelle loro manifestazioni differenziali che integrali. In particolare, Leibniz dedicò un'attenzione meticolosa allo sviluppo del suo sistema di notazione, in contrasto con l'approccio di Newton.

Gli studi contemporanei attribuiscono tipicamente sia a Leibniz che a Newton l'invenzione indipendente e il progresso del calcolo infinitesimale. Newton ha aperto la strada all'applicazione del calcolo infinitesimale alla fisica generale, mentre Leibniz è responsabile di gran parte della notazione attualmente impiegata in questo campo. Le loro intuizioni fondamentali hanno portato collettivamente alla formulazione di leggi di differenziazione e integrazione, al riconoscimento di queste come operazioni inverse, alla creazione di metodologie per il calcolo delle derivate seconde e superiori e all'articolazione del concetto per l'approssimazione delle serie polinomiali.

La pubblicazione iniziale dei risultati da parte di Newton e Leibniz accese una controversia significativa riguardo al legittimo pretendente all'invenzione del calcolo infinitesimale, implicando così il prestigio nazionale. Sebbene Newton avesse derivato le sue scoperte in precedenza, successivamente pubblicate nel suo Metodo delle flussioni, Leibniz fu il primo a pubblicare il suo "Nova Methodus pro Maximis et Minimis". Newton affermò che Leibniz aveva plagiato concetti dai suoi appunti inediti, che erano stati condivisi con membri selezionati della Royal Society. Questa disputa favorì uno scisma prolungato tra i matematici di lingua inglese e quelli dell'Europa continentale, influenzando negativamente lo sviluppo della matematica inglese. La successiva meticolosa analisi dei rispettivi lavori indica che sia Leibniz che Newton arrivarono indipendentemente alle loro conclusioni, con Leibniz inizialmente concentrato sull'integrazione e Newton sulla differenziazione. Tuttavia fu Leibniz a dare alla disciplina il suo nome duraturo. Newton si riferiva al suo calcolo come "la scienza delle flussioni", una nomenclatura che persistette nelle istituzioni educative inglesi fino al XIX secolo. Il primo trattato completo sul calcolo infinitesimale, scritto in inglese e che adotta la notazione di Leibniz, non apparve fino al 1815.

Seguendo i contributi fondamentali di Leibniz e Newton, numerosi matematici hanno ulteriormente avanzato il campo del calcolo infinitesimale. In particolare, Maria Gaetana Agnesi fu autrice di uno dei primi e più completi trattati sul calcolo infinitesimale e integrale nel 1748.

Fondazioni

All'interno della disciplina del calcolo infinitesimale, fondamenti denota la costruzione sistematica e rigorosa della materia partendo da assiomi e definizioni fondamentali. Durante le fasi nascenti del calcolo infinitesimale, l'applicazione delle quantità infinitesimali era ampiamente percepita come priva di rigore e di conseguenza suscitò aspre critiche da parte di vari studiosi, in particolare Michel Rolle e Bishop Berkeley. Berkeley notoriamente definì gli infinitesimi come "i fantasmi delle quantità scomparse" nella sua pubblicazione del 1734, The Analyst. Il tentativo di stabilire una solida struttura di base per il calcolo infinitesimale impegnò i matematici per una parte sostanziale del secolo successivo a Newton e Leibniz.

Diversi matematici, compreso Maclaurin, tentarono di stabilire la validità rigorosa degli infinitesimi; tuttavia, un metodo definitivo per aggirare le "nozioni" imprecise di quantità infinitamente piccole fu sviluppato solo circa 150 anni dopo, attraverso i contributi fondamentali di Cauchy e Weierstrass. Questi progressi consolidarono i principi fondamentali del calcolo differenziale e integrale. Il Cours d'Analyse di Cauchy presenta in particolare una vasta gamma di metodologie fondamentali, che comprendono una definizione di continuità basata su infinitesimi e un primo prototipo, sebbene alquanto impreciso, di una definizione (ε, δ) dei limiti nel contesto della differenziazione. Successivamente, Weierstrass formalizzò il concetto di limite, eliminando così in gran parte gli infinitesimi, sebbene il suo quadro possa ancora accogliere infinitesimi nilquadrati. In seguito al lavoro di Weierstrass, il calcolo si basò prevalentemente su limiti piuttosto che su quantità infinitesime, sebbene il termine "calcolo infinitesimale" persista occasionalmente. Bernhard Riemann utilizzò ulteriormente questi concetti per formulare una definizione precisa dell'integrale. Allo stesso tempo, i principi del calcolo infinitesimale furono estesi al piano complesso con l'emergere dell'analisi complessa.

Nella matematica contemporanea, gli aspetti fondamentali del calcolo infinitesimale sono integrati nel campo dell'analisi reale, che fornisce definizioni e dimostrazioni complete per i teoremi del calcolo infinitesimale. Anche l’ambito del calcolo infinitesimale si è notevolmente ampliato. Henri Lebesgue, basandosi sul lavoro precedente di Émile Borel, sviluppò la teoria della misura, che applicò per definire gli integrali per quasi tutte le funzioni, escludendo solo i casi più patologici. Laurent Schwartz ha successivamente introdotto le distribuzioni, consentendo la differenziazione di qualsiasi funzione.

I limiti non rappresentano l'unico approccio rigoroso ai fondamenti del calcolo infinitesimale. Una metodologia alternativa prevede l'analisi non standard di Abraham Robinson, sviluppata negli anni '60. L'approccio di Robinson utilizza tecniche avanzate della logica matematica per ampliare il sistema dei numeri reali con numeri infinitesimi e infiniti, allineandosi così alle concezioni originali di Newton e Leibniz. I numeri iperreali risultanti facilitano uno sviluppo in stile Leibniz delle regole standard del calcolo. Un altro approccio distinto è l'analisi infinitesimale liscia, che diverge dall'analisi non standard imponendo di trascurare gli infinitesimi di potenza superiore durante le derivazioni. Basandosi sulle idee di F. W. Lawvere e utilizzando la teoria delle categorie, l'analisi infinitesimale liscia presuppone che tutte le funzioni siano continue e non possano essere espresse in termini di entità discrete. Una caratteristica notevole di questa formulazione è la non applicabilità della legge del terzo escluso. La legge del terzo escluso è respinta anche nella matematica costruttiva, un ramo che insiste che le prove dell'esistenza di oggetti matematici (come numeri o funzioni) debbano fornire una costruzione di quell'oggetto. Le riformulazioni del calcolo all'interno di un quadro costruttivo sono generalmente classificate sotto l'analisi costruttiva.

Significato

Mentre numerosi concetti alla base del calcolo infinitesimale erano stati sviluppati in precedenza in varie regioni tra cui Grecia, Cina, India, Iraq, Persia e Giappone, l'applicazione sistematica del calcolo infinitesimale ebbe origine in Europa durante il XVII secolo, quando Newton e Leibniz sintetizzarono il lavoro dei matematici precedenti per introdurne i principi fondamentali. L'eclettico ungherese John von Neumann ha commentato questo risultato:

Il calcolo infinitesimale è stato il primo risultato della matematica moderna ed è difficile sopravvalutare la sua importanza. Penso che definisca in modo più inequivocabile di ogni altra cosa l'inizio della matematica moderna, e il sistema di analisi matematica, che ne è lo sviluppo logico, costituisce ancora il più grande progresso tecnico nel pensiero esatto.

Le applicazioni del calcolo differenziale comprendono calcoli relativi a velocità, accelerazione, pendenze delle curve e ottimizzazione. Le applicazioni del calcolo integrale includono calcoli che coinvolgono area, volume, lunghezza dell'arco, centro di massa, lavoro e pressione. Le applicazioni più avanzate si estendono alle serie di potenze e alle serie di Fourier.

Il calcolo infinitesimale facilita inoltre una comprensione più accurata di spazio, tempo e movimento. Storicamente, matematici e filosofi erano alle prese con paradossi riguardanti la divisione per zero o la somma di quantità infinite. Tali domande emergono frequentemente nell'analisi del movimento e dell'area. Zenone di Elea, un antico filosofo greco, presentò in particolare molti di questi paradossi. Il calcolo offre metodologie, in particolare i concetti di limiti e serie infinite, per risolvere questi problemi complessi.

Applicazioni

Il calcolo trova utilità in numerose discipline, tra cui le scienze fisiche, le scienze attuariali, l'informatica, la statistica, l'ingegneria, l'economia, gli affari, la medicina e la demografia, nonché in qualsiasi ambito in cui si ricercano modelli matematici e soluzioni ottimali. Consente la transizione da tassi di variazione non costanti alla variazione totale, o viceversa, un requisito comune quando si analizzano problemi in cui una quantità è nota e l'altra deve essere determinata. Inoltre, il calcolo infinitesimale può essere integrato con altri campi della matematica. Ad esempio, la sua combinazione con l'algebra lineare facilita la determinazione dell'approssimazione lineare ottimale per un dato insieme di punti dati all'interno di un dominio specifico. Nella teoria della probabilità, il calcolo infinitesimale è determinante nel calcolare il valore atteso di una variabile casuale continua, purché sia fornita la sua funzione di densità di probabilità. All'interno della geometria analitica, che prevede lo studio dei grafici delle funzioni, il calcolo infinitesimale viene utilizzato per identificare massimi e minimi, pendenze, concavità, punti di flesso e aree sia sotto che tra le curve. Inoltre, il calcolo viene applicato abitualmente per ricavare soluzioni approssimate per le equazioni, fungendo da approccio standard per risolvere equazioni differenziali ed eseguire la ricerca delle radici nella maggior parte delle applicazioni pratiche. I metodi illustrativi includono il metodo di Newton, l'iterazione a punto fisso e l'approssimazione lineare. Ad esempio, la navigazione dei veicoli spaziali impiega spesso una variante del metodo di Eulero per approssimare traiettorie curve in ambienti a gravità zero.

La fisica utilizza ampiamente il calcolo infinitesimale, poiché tutti i concetti fondamentali della meccanica classica e dell'elettromagnetismo sono interconnessi attraverso i suoi principi. Il calcolo consente di determinare la massa di un oggetto data la sua densità, il momento di inerzia di vari corpi e le energie potenziali risultanti dalle forze gravitazionali ed elettromagnetiche. Un esempio lampante del calcolo infinitesimale in meccanica è la seconda legge del moto di Newton, che presuppone che la derivata temporale della quantità di moto di un oggetto sia equivalente alla forza complessiva esercitata su di esso. In alternativa, questa legge può essere formulata come la forza risultante uguale al prodotto della massa di un oggetto e della sua accelerazione, dove l'accelerazione è definita come la derivata temporale della velocità e, di conseguenza, la derivata temporale seconda della posizione spaziale. Comprendendo l'accelerazione di un oggetto, il calcolo consente di ricavarne la traiettoria.

Sia la teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell che la teoria della relatività generale di Einstein sono articolate utilizzando la struttura del calcolo differenziale. In chimica, il calcolo infinitesimale viene applicato per accertare le velocità di reazione e per studiare i processi di decadimento radioattivo. In biologia, la dinamica delle popolazioni modella le fluttuazioni della popolazione incorporando i tassi di riproduzione e di mortalità.

Il teorema di Green, che stabilisce la relazione tra un integrale di linea su una semplice curva chiusa C e un integrale doppio sulla regione planare D racchiusa da C, trova applicazione pratica in un dispositivo chiamato planimetro. Questo strumento viene utilizzato per calcolare l'area di una superficie piana raffigurata in un disegno. Ad esempio, può determinare l'area occupata da un'aiuola o da una piscina di forma irregolare durante la progettazione del layout della proprietà.

In campo medico, il calcolo facilita l'identificazione dell'angolo di ramificazione ottimale per un vaso sanguigno per massimizzare il flusso del fluido. Inoltre, può essere applicato per accertare la velocità con cui un agente farmaceutico viene eliminato dall'organismo o il tasso di crescita di un tumore canceroso.

In economia, il calcolo consente la determinazione del profitto massimo fornendo un metodo semplice per calcolare sia il costo marginale che il ricavo marginale. Inoltre, viene utilizzato nella determinazione del prezzo delle opzioni finanziarie, in particolare attraverso il modello Black-Scholes.

Glossario di calcolo infinitesimale
Elenco di derivate e integrali nei calcoli alternativi
Pubblicazioni sul calcolo infinitesimale
Riferimenti

Riferimenti

"Calcolo", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994]Weisstein, Eric W. "Calcolo". MathWorld.
Calcolo reso facile (1914) di Silvanus P. Thompson.
Calcolo reso facile (1914) di Silvanus P. Thompson Testo completo in PDF
Calcolo, presentato in In Our Time della BBC.
La pagina del calcolo presso l'Università della California, Davis.
I primi usi conosciuti della terminologia matematica selezionata: calcolo e analisi.
Il ruolo del calcolo nella matematica collegiale.
OpenCourseWare Calculus, fornito dal Massachusetts Institute of Technology.
Calcolo infinitesimale: un articolo sul suo sviluppo storico, presente nell'Enciclopedia della matematica, a cura di Michiel Hazewinkel.
Daniel Kleitman (MIT): "Calcolo per principianti e artisti".Fonte: Archivio TORIma Accademia

Calcolo (Calculus)