Qanûna hejmarên mezin (Law of large numbers)

Di teorîya îhtimalê de, Qanûna hejmarên mezin diyar dike ku navînîya encamên ku ji hejmareke girîng a nimûneyên rasthatî yên serbixwe hatine wergirtin ber bi nirxa rastîn ve diçe, bi şertê ku nirxek wusa hebe. Bi rastî, ji bo nimûneyek nirxên serbixwe û bi heman rengî belavkirî, ev qanûn destnîşan dike ku navînîya nimûneyê dê ber bi navînîya rastîn ve biçe.

Qanûna hejmarên mezin JGirîng e ji bo garantîkirina encamên demdirêj ên stabîl ji bo navînîyên hin bûyerên rasthatî. Mînak, her çend qumarxaneyek dibe ku di yek zivirîna ruletê de zirarê bibîne, lê qezencên wê yên berhevkirî dê di seranserê qebareyek girîng a zivirînan de ber bi rêjeyek pêşbînîkirî ve biçin. Rêzika serketinê ya her lîstikvanek dê di encamê de ji hêla îhtimalên xwerû yên lîstikê ve were kêm kirin. JGirîng e, ev qanûn bi taybetî dema ku hejmareke mezin a çavdêriyan têne hesibandin derbas dibe. Ew nayê vê wateyê ku hejmareke sînorkirî ya çavdêriyan dê bi nirxa hêvîkirî re hevaheng be, ne jî ku rêzek yek encam dê tavilê ji hêla yên din ve were "hevseng kirin" (Şaşitiya qumarbaz).

Di dîrokê de, gelek matematîkzan beşdarî pêşxistina vê qanûnê bûne. Niha, qanûna hejmarên mezin di gelek dîsîplînên cihê de, wekî îstatîstîk, teorîya îhtimalê, aborî, û sîgortayê de, tê bikaranîn.

Mînakên Raveker

Yek avêtina zerikek şeş-alî yek ji hejmarên 1, 2, 3, 4, 5, an 6 dide, ku her yek xwedî îhtimalek wekhev a rûdanê ye. Wekî encam, nirxa hêvîkirî ji bo avêtinek wusa wiha tê hesibandin:

9 + §1314§ + §1718§ + §2122§ + §2526§ + §2930§ §3233§ = 3.5 {\displaystyle {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}

Li gorî qanûna hejmarên mezin, dema ku pîvanek girîng a zerikên şeş-alî têne avêtin, navînîya nirxên wan (ku wekî navînîya nimûneyê jî tê zanîn) dê ber bi 3.5 ve biçe, digel ku rastbûn bi rêjeyî bi hejmara zerikên avêtî re zêde dibe.

Qanûna hejmarên mezin tê vê wateyê ku îhtimala serketinê ya empirîk di nav de rêzek ceribandinên Bernoulli de ber bi hevtayê xwe yê teorîk ve diçe. Ji bo Guherbarek rasthatî ya Bernoulli, nirxa hêvîkirî bi îhtimala serketinê ya teorîk re têkildar e, û navînîya n Guherbarên wusa (bihesibînin ku ew serbixwe û bi heman rengî belavkirî ne (i.i.d.)) bi rastî Frekansa têkildar pêk tîne.

Wekî mînak, avêtina pereyekî adil ceribandinek Bernoulli temsîl dike. Dema ku pereyekî adil carekê tê avêtin, îhtimala teorîk a bûyîna serî 1⁄3 ye. Wekî encam, li gorî qanûna hejmarên mezin, rêjeya seriyan di hejmareke mezin a avêtinên pereyan de dê nêzîkî §78§⁄§910§ be. Bi taybetî, rêjeya seriyan piştî n avêtinan dê hema bê guman ber bi §1516§⁄§1718§ ve biçe dema ku n ber bi bêdawîbûnê ve diçe.

Dema ku rêjeya serî (û dûv) ber bi 1⁄3 ve diçe, cudahiya mutleq di navbera hejmara serî û dûvan de dê hema bêje bêguman bi girîngî zêde bibe, her ku hejmara giştî ya avêtinan mezin dibe. Bi gotineke din, îhtîmala ku ev cudahiya mutleq hejmareke biçûk be, ber bi sifirê ve diçe, her ku hejmara avêtinan zêde dibe. Herwiha, rêjeya cudahiya mutleq li hember hejmara giştî ya avêtinan dê hema bêje bêguman ber bi sifirê ve biçe. Ji aliyê têgehî ve, cudahiya bendewar zêde dibe, her çend bi rêjeyek hêdîtir ji hejmara giştî ya avêtinan be jî.

Mînakeke din a balkêş a qanûna hejmarên mezin ji hêla rêbazên Monte Carlo ve tê pêşkêş kirin. Ev rêbaz kategoriyeke fireh a algorîtmayên hesabker in ku nimûneya rasthatî ya dubarekirî bikar tînin da ku encamên hejmarî bi dest bixin. Dubarekirinên zêdekirî bi gelemperî nêzîkatiyên çêtir peyda dikin. Girîngiya van rêbazan bi giranî ji wê yekê tê ku nêzîkatiyên alternatîf carinan ne pratîkî an ne gengaz in.

Sînorkirin

Yekbûna navînî ya encamên ji gelek ceribandinan bi gerdûnî ne garantî ye. Mînak, navînî ya n encamên ku ji belavbûnek Cauchy an hin belavbûnên Pareto (ku α<1) hatine nimûnekirin, dê yek nebe dema ku n zêde dibe, ev bûyerek e ku ji ber dûvikên wan ên giran tê hesibandin. Van her du belavbûnan senaryoyên cûda nîşan didin: belavbûna Cauchy bendewariyek diyarkirî tune, dema ku belavbûna Pareto (α<1) bendewariyek Bêdawî heye. Rêbazek pratîkî ji bo çêkirina nirxên bi belavbûna Cauchy ev e ku hejmarên rasthatî bi tangenta goşeyek ku di navbera −90° û +90° de bi yekrengî belavkirî ye, wekhev bêne danîn. Di vê rewşê de, medyan sifir e, lê nirxa bendewar nediyarkirî dimîne. Wekî encam, navînî ya n guherbarên weha heman belavbûnê wekî guherbarek yekane diparêze, û di îhtîmalê de ber bi sifirê an nirxek din a taybetî ve yek nabe dema ku n nêzî Bêdawîyê dibe.

Dema ku ceribandin bi xwe xwedî alîgiriya hilbijartinê ne, ku taybetmendiyek berbelav e di tevgera aborî an rasyonel a mirovan de, qanûna hejmarên mezin nikare vê alîgiriyê kêm bike. Alîgiriya hilbijartinê bêyî zêdebûna hejmara ceribandinan berdewam dike.

Çarçoveya Dîrokî

Matematîkzanê Îtalî Gerolamo Cardano (1501–1576) bêyî îsbatkirina fermî, diyar kir ku rastbûna îstatîstîkên ampîrîk bi gelemperî bi zêdebûna hejmara ceribandinan re baştir dibe. Ev çavdêrî paşê wekî qanûna hejmarên mezin hate fermîkirin. Jacob Bernoulli îsbatkirina destpêkê ji bo guhertoyek taybetî ya vê qanûnê peyda kir, ku ji bo guherbarek rasthatî ya binary tê sepandin. Pêşandana wî ya matematîkî ya hişk, ku ji bo pêşveçûnê zêdetirî du dehsalan hewce kir, di sala 1713an de piştî mirina wî di karê wî yê bi navê Ars Conjectandi (Hunera Texmînkirinê) de hate weşandin. Bernoulli ev wekî "teorema xwe ya zêrîn" bi nav kir, her çend paşê bi berfirehî wekî "teorema Bernoulli" hate nas kirin. Divê ev teorem bi prensîba Bernoulli re neyê tevlihev kirin, ku navê wê li ser navê biraziyê wî, Daniel Bernoulli, hatiye danîn. Di sala 1837an de, S. D. Poisson li ser vê têgehê bêtir xebitî, û navê "la loi des grands nombres" ("qanûna hejmarên mezin") destnîşan kir. Paşê, ev prensîb bi her du navan dihat zanîn, lê "qanûna hejmarên mezin" bûye termînolojiya serdest.

Piştî beşdariyên bingehîn ên Bernoulli û Poisson, gelek matematîkzanên din, di nav de Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov, û Khinchin, ev qanûn zêdetir pêş xistin. Markov nîşan da ku ev qanûn dikare ji bo guherbarên rasthatî yên ku varyansa wan a sînordar tune ye jî were berfireh kirin, bi şertê ku hin texmînên qelstir werin bicihanîn. Di sala 1929an de, Khinchin destnîşan kir ku ji bo rêzikek guherbarên rasthatî yên serbixwe û bi heman awayî belavkirî, tenê hebûna nirxa hêvîkirî ji bo bicihanîna qanûna qels a hejmarên mezin bes e. Van lêkolînên paşîn bûn sedema pêşkeftina du Formên sereke yên qanûna hejmarên mezin: qanûna "qels" û qanûna "xurt". Van navdêran ji bo awayên cûda yên nêzîkbûna navînên nimûneyî yên berhevkirî ber bi nirxa hêvîkirî ve têne bikar anîn, digel ku Forma xurt bi taybetî Forma qels dihewîne.

Formûlasyon

Qanûna hejmarên mezin di du guhertoyên cûda de tê pêşkêş kirin: qanûna xurt a hejmarên mezin û qanûna qels a hejmarên mezin. Ger rêzikek Bêdawî ya guherbarên rasthatî yên serbixwe û bi heman awayî belavkirî (i.i.d.) yên Lebesgue-întegrebil, ku wekî X10, X§1415§, ... têne nîşankirin, her yek xwedî nirxek hêvîkirî E(X§1819§) = E(X§2223§) = ... = μ be, her du Formûlasyon jî destnîşan dikin ku navîna nimûneyî

X ¯<!-- ¯ --> n =25 n ( X 37 + ⋯ + X n ) {\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}

ber bi nirxa hêvîkirî ya pêşbînîkirî ve diçe:

Entegrabilîteya Lebesgue ya X_j tê wateya ku nirxa wê ya hêvîkirî, E(X_j), sînordar e û li gorî Entegrasyona Lebesgue heye. Lê belê, ev Merc nayê wateya ku Pîvana îhtîmalê ya têkildar bi tevahî li gorî Pîvana Lebesgue domdar e.

Bi gelemperî, pirtûkên dersê yên îhtîmalê yên destpêkê jî destnîşan dikin ku guherbarên rasthatî xwedî varyansa sînordar a yekbûyî ne, ku wekî Var ⁡<!-- ⁡ --> ( X i ) = σ<!-- σ --> 30 {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}} (ji bo her ${\displaystyle i}$) tê îfadekirin, digel nebûna têkiliyek di navbera wan de. Di bin van Mercan de, varyansa navîna n guherbarên rasthatî wiha tê hesibandin:

Var ⁡<!-- ⁡ --> ( X ¯<!-- ¯ --> n ) = Var ⁡<!-- ⁡ --> (42 n ( X 55 + ⋯ + X n ) ) = 82 n §8889§ Var ⁡ ( X 105 + ⋯ + X n ) = n σ 138 n 147 = σ 162 n . {\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatorname {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}))={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}

Ev pêşbîniya taybet kurtkirin û hêsankirina îsbatkirinan hêsan dike. Lê belê, pêşgotina guherbara sînordar ne pêwîst e ku qanûn derbasdar be; her çend guherbara mezin an Bêdawî dibe ku leza nêzîkbûnê asteng bike jî, qanûna hejmarên mezin derbasdar dimîne.

Mercê serxwebûna hevdu di nav de guherbarên rasthatî dikare bi serxwebûna cotane an jî guhertinê were guhertin di her du dubarekirinên qanûnê de.

Cudahî di nav de guhertoyên xurt û qels de bi awayê taybet ê nêzîkbûnê ve girêdayî ye ku tê îdîakirin. Şîrovekirina van awayên nêzîkbûnê li cîhek din bi berfirehî hatiye ravekirin.

Qanûna Qels

Qanûna Qels a Hejmarên Mezin, ku wekî Qanûna Khinchin jî tê zanîn, destnîşan dike ku ji bo komek nimûneyên serbixwe û bi heman rengî belavkirî (iid) yên ku ji guherbarek rasthatî ya xwedî navînek sînordar hatine girtin, navîna nimûneyê di îhtimalê de ber bi nirxa hêvîkirî ve diçe.

Bi taybetî, ji bo her nirxek hejmarî ya erênî ε,

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}$$

Ev encam tê vê wateyê ku qanûna qels destnîşan dike ku ji bo her marjînek keyfî ya piçûk, ne-sifir (ε), mezinahiya nimûneyek têra xwe mezin îhtimalek bilind misoger dike ku navîna çavdêrîkirî dê nêzî nirxa hêvîkirî bibe, di nav de marjîna diyarkirî de bimîne.

Qanûna qels a hejmarên mezin ne tenê ji bo guherbarên rasthatî yên serbixwe û bi heman awayî belavbûyî (i.i.d.) derbasdar e, lê di senaryoyên din de jî berfireh dibe. Mînak, qanûn derbasdar dimîne heke varyans ji bo her guherbarek rasthatî di nav rêzekê de cudahî nîşan bide, bi şertê ku nirxa hêvîkirî Berdewam bimîne. Çebîşev di sala 1867an de nîşan da ku heke ev varyans sînordar bin, qanûn derbasdar e. (Heke nirxên hêvîkirî di seranserê rêzê de cudahî nîşan bidin, qanûn dikare li ser dûrketina navînî ji nirxên wan ên hêvîkirî yên têkildar were sepandin, ku nîşana nêzîkbûna di îhtimalê de ber bi sifirê ve dide.) Îspata Çebîşev bi bandor e heya ku varyansa navînî ya nirxên destpêkê yên n nêzîkî sifirê dibe dema ku n ber bi bêdawîtiyê ve diçe. Bifikirin rewşek mînakî ku tê de her guherbarek rasthatî di rêzê de li gorî belavbûnek Gaussî (normal) bi navînek sifir tevdigere, lê xwedî varyansek bê sînor e ku wekhev e bi 10 n / log ⁡ ( n + §2930§ ) {\displaystyle 2n/\log(n+1)} . Li her Dikê, navînî dê belavbûnek normal nîşan bide, ku li gorî navînîkirina guherbarên bi awayekî normal belavbûyî ye. Varyansa berhevokê bi berhevoka varyansên takekesî re têkildar e, bi awayekî asîmptotîk nêzîkî n §5152§ / log ⁡ n {\displaystyle n^{2}/\log n} dibe. Wekî encam, varyansa navînî bi awayekî asîmptotîk wekhev e bi ${\displaystyle 1/\log n}$, bi vî awayî ber bi sifirê ve diçe.

Herwiha, rewş hene ku tê de qanûna qels derbasdar e Tevî nebûna nirxek hêvîkirî.

Qanûna Xurt a Hejmarên Mezin

Qanûna xurt a hejmarên mezin, ku wekî qanûna Kolmogorov jî tê zanîn, îdîa dike ku navînîya nimûneyê hema hema bi teqezî ber bi nirxa xwe ya hêvîkirî ve diçe.

Bi taybetî,

$${\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1.}$$

Ev tê vê wateyê ku dema ku hejmara ceribandinan n ber bi bêdawîtiyê ve diçe, îhtimala ku navînîya çavdêrîkirî ber bi nirxa hêvîkirî ve biçe yek e. Îspata nûjen a qanûna xurt ji ya qanûna qels tevlihevtir e, ku hilbijartina jêr-rêzek guncaw pêwîst dike.

Qanûna xurt a hejmarên mezin dikare wekî mînakek taybetî ya teorema ergodîk a xalî were têgihîştin. Ev Perspektîf têgihîştina bînbar a nirxa hêvîkirî ya guherbarek rasthatî (ku bi taybetî ji bo Entegrasyon a Lebesgue derbasdar e) wekî "navînîya wê ya demdirêj" dema ku bi nimûnekirina dubare re rû bi rû dimîne, piştrast dike.

Ev qanûna sêyemîn wekî qanûna xurt tê binavkirin, ji ber ku guhêrbarên rasthatî yên ku nêzîkbûna xurt (hema bêje bêguman) nîşan didin, tê garantîkirin ku bi qelsî (di îhtîmalê de) nêzîk bibin. Lêbelê, tê dîtin ku qanûna qels di bin şert û mercên taybetî de derbas dibe ku qanûna xurt derbas nabe, û wekî encam nêzîkbûnek tenê qels (di îhtîmalê de) çêdibe.

Qanûna xurt ji bo guhêrbarên rasthatî yên serbixwe û bi heman rengî belavkirî yên ku xwedan nirxek hêvîkirî ne, derbasdar e, taybetmendiyek ku bi qanûna qels re hevpar e. Kolmogorov ev di sala 1930an de nîşan da. Sepandina wê di senaryoyên din de jî berfireh dibe. Herwiha, Kolmogorov di sala 1933an de destnîşan kir ku ji bo guhêrbarên serbixwe û bi heman rengî belavkirî, nêzîkbûna hema bêje bêguman a navînî ber bi tiştekî (ku dikare wekî formulekirinek alternatîf a qanûna xurt were hesibandin) hebûna nirxek hêvîkirî pêwîst dike, ku li ser wê navînî dê paşê hema bêje bêguman nêzîk bibe.

Ger hejmarên ku tên berhevkirin serbixwe bin lê ne bi heman rengî belavkirî bin, wê demê

bi şertê ku her X_k xwedî momentek duyemîn a sînorkirî be û

15 ∞ 26 k §32 Var ⁡ [ X k ] < ∞ . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\operatorname {Var} [X_{k}]<\infty .}

Ev îdîa wekî qanûna xurt a Kolmogorov tê nasîn, wek ku ji aliyê Sen & Singer (1993, Teorem 2.3.10) ve hatiye mînakdan.

Cûdahiyên Di Navbera Qanûnên Qels û Xurt de

Qanûna qels diyar dike ku ji bo nek têra xwe mezin, navînî ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ dê îhtîmal e ku nêzî μ bibe. Wekî encam, ew îhtîmala ku ${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon }$, wekî bûyerek, Bêdawî caran çêbibe, her çend di navberên kêm de be jî, qebûl dike. (Ev ne hewce ye ku tê wateya | X ¯<!-- ¯ --> n −<!-- − --> μ<!-- μ --> | ≠<!-- ≠ -->121 {\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |\neq 0} ji bo hemî n be).

Qanûna xurt nîşan dide ku ev bûyer hema bêje bêguman çênabe. Bi taybetî, bi îhtîmala 1, ji bo her ε > 0, newekhevî ${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon }$ ji bo hemî nirxên têra xwe mezin ên n tê bicîhanîn.

Senaryoyên taybetî hene ku qanûna xurt lê derbas nabe, her çend qanûna qels derbasdar dimîne jî.

Qanûnên Yekreng ên Hejmarên Mezin

Qanûna hejmarên mezin hatiye berfirehkirin da ku komên texmînkeran bigire nav xwe, li cihê ku hevgirtin li seranserê tevahiya komê yekrengî nîşan dide; ev taybetmendî dibe sedema binavkirina qanûna yekreng a hejmarên mezin.

Fonksiyonek f(x,θ) bifikirin ku ji bo θ ∈ Θ hatiye pênasekirin û li gorî θ domdar e. Ji bo her θ ya sabît, rêzeya {f(X,θ), f(X§2425§,θ), ...} rêzeyek ji guhêrbarên rasthatî yên serbixwe û bi heman rengî belavkirî pêk tîne. Wekî encam, navînî ya nimûneyî ya vê rêzeyê di îhtîmalê de ber bi E[f(X,θ)] ve diçe. Ev Bûyer wekî hevgirtina xalî li gorî θ tê binavkirin.

Mînakek taybetî ya qanûna yekreng a hejmarên mezin şert û mercên ku di bin wan de hevgirtin bi awayekî yekreng li gorî θ çêdibe, diyar dike. Ev şert û merc têne bicihanîn eger:

1. Θ komek kompakt e,
2. f(x,θ) ji bo hema hema hemî nirxên x li her θ ∈ Θ domdar e, û ew ji bo her θ Fonksiyonek pîvandî ya x ye.
3. Fonksiyonek serdest d(x) heye ku nirxa hêvîkirî E[d(X)] sînordar e, û $${\displaystyle \left\|f(x,\theta )\right\|\leq d(x)\quad {\text{for all}}\ \theta \in \Theta .}$$

Wekî encam, E[f(X,θ)] li gorî θ domdar e, û

sup θ<!-- θ --> ∈<!-- ∈ --> Θ<!-- Θ --> ‖26 n ∑ i = §4142§ n f ( X i , θ ) − E ⁡ [ f ( X , θ ) ] ‖ → P   0. {\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta }\left\|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i},\theta )-\operatorname {E} [f(X,\theta )]\right\|{\overset {\mathrm {P} }{\rightarrow }}\ 0.}

Ev encam di damezrandina hevgirtina çînek berfireh a texmînkeran de girîng e.

Qanûna Borel a Hejmarên Mezin

Li gorî navê Émile Borel, Qanûna Hejmarên Mezin a Borel diyar dike ku dema ceribandinek bi awayekî dubare û serxwebûn di bin şert û mercên domdar de tê kirin, rêjeya bûyerên taybetî yên ku hatine dîtin dê nêzîkî îhtîmala bûyerê di her ceribandinekê de bibe. Ev nêzîkbûn bi zêdebûna hejmara dubareyan re baştir dibe. Bi awayekî fermî, heke E bûyerê temsîl bike, p îhtîmala wê be, û N_n(E) frekansa E di nav n ceribandinên destpêkê de nîşan bide, wê demê bi îhtîmala yekê, têkiliya jêrîn derbasdar e: $${\displaystyle {\frac {N_{n}(E)}{n}}\to p{\text{ as }}n\to \infty .}$$

Ev teorî têgeha îhtîmalê ya bînbar wekî frekansa nisbî ya demdirêj a pêşbînîkirî ya bûyerekê fermî dike. Ew di nav kategoriya berfirehtir a qanûnên giştîkirî yên hejmarên mezin di teorîya îhtîmalê de mînakek taybetî pêk tîne.

Nîşandana Qanûna Qels

Ger rêzikek bêdawî ya guhêrbarên rasthatî yên serxwebûn û bi heman rengî belavkirî (i.i.d.) were hesibandin, X, X§6_{7§, ..., ku her yek xwedî nirxek hêvîkirî ya sînorkirî ye 39§ ) = ⋯ = μ < ∞ {\displaystyle E(X_{1})=E(X_{2})=\cdots =\mu <\infty } , bala sereke li ser taybetmendiyên nêzîkbûna navînî ya nimûneyê ye.}

X ¯<!-- ¯ --> n =26 n ( X 39 + ⋯ + X n ) . {\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}

Qanûna qels a hejmarên mezin jêrîn îdîa dike:

Îspatkirin Bi Bikaranîna Newekheviya Chebyshev, Di Bin Pêşgotina Varyansa Sînorkirî de

Ev nîşandan li ser pêşgotina varyansek sînorkirî ye, bi taybetî Var ⁡<!-- ⁡ --> ( X i ) = σ<!-- σ --> 30 {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}} (ji bo her ${\displaystyle i}$). Serxwebûna xwerû ya van guhêrbarên rasthatî wekî encam nebûna têkiliyê di navbera wan de destnîşan dike, ku ev yek digihîje encamê ku

Var ⁡<!-- ⁡ --> ( X ¯<!-- ¯ --> n ) = Var ⁡<!-- ⁡ --> (42 n ( X 55 + ⋯ + X n ) ) = 82 n §8889§ Var ⁡ ( X 105 + ⋯ + X n ) = n σ 138 n 147 = σ 162 n . {\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatorname {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}))={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}

Navîna nifûsê ya hevpar, ku bi μ tê nîşankirin, bi nirxa bendewarî ya navîna nimûneyê re wekhev e.

$${\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}$$

Sepandina newekheviya Chebyshev li ser navîna nimûneyê ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$, îfadeya jêrîn peyda dike:

P ⁡<!-- ⁡ --> ( | X ¯<!-- ¯ --> n −<!-- − --> μ<!-- μ --> | ≥<!-- ≥ --> ε<!-- ε --> ) ≤<!-- ≤ --> σ<!-- σ --> 60 n ε 71 . {\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}

Ev têkilî dikare ji bo derxistina encama jêrîn were bikaranîn:

51 − P ⁡ ( | X ¯ n − μ | ≥ ε ) ≥ §103104§ − σ §115 n ε §127 . {\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}

Dema ku n ber bi bêdawiyê ve diçe, nirxa îfadeyê ber bi 1 ve diçe. Ev encam bi pênaseya gihîştina di îhtîmalê de li hev tê.

Îspat Bi Bikaranîna Gihîştina Fonksiyona Taybetmendiyê

Li gorî teorema Taylor ji bo fonksiyonên Tevlihev, fonksiyona taybetmendiyê ya her guherbarek rasthatî, X, ku xwedî navînek sînordar μ ye, dikare wekî jêrîn were îfadekirin:

φ<!-- φ --> X ( t ) =23 + i t μ + o ( t ) , t → 0. {\displaystyle \varphi _{X}(t)=1+it\mu +o(t),\quad t\rightarrow 0.}

Ji ber ku hemî guherbar, bi taybetî X, X§6_{7§, û termên paşîn, fonksiyonek taybetmendiyê ya yekane parve dikin, ew ê bi yekrengî wekî φX.} were nîşankirin.

Taybetmendiyên Bingehîn ên fonksiyonên taybetmendiyê ev in:

Fonksiyona taybetmendiyê taybetmendiyên jêrîn pêk tîne: ji bo guherbarek rasthatî ya pîvandî, φ<!-- φ -->13nX(t)=φX(tn); û ji bo berhevoka du guherbarên rasthatî yên serbixwe, û φX+Y(t)=φX(t)φY(t). Van têkiliyan bi fermî wekî jêrîn têne îfadekirin: {\displaystyle \varphi _{{\frac {1}{n}}X}(t)=\varphi _{X}({\tfrac {t}{n}})\quad {\text{and}}\quad \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)\quad } , bi şertê ku X û Y serbixwe bin.

Van rêgezan hesabkirina fonksiyona taybetmendiyê ji bo navîna nimûneyê, ku wekî ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ tê nîşankirin, li gorî φ_X hêsan dikin:

Fonksiyona taybetmendiyê ya navîna nimûneyê,

Sînor e^itμ fonksiyona taybetmendiyê ya guherbara rasthatî ya Berdewam μ temsîl dike. Wekî encam, li gorî teorema berdewamiyê ya Lévy, ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ di belavbûnê de ber bi μ ve diçe.

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\overset {\mathcal {D}}{\rightarrow }}\,\mu \qquad {\text{for}}\qquad n\to \infty .}$$

Ji ber ku μ Berdewam e, ev tê vê wateyê ku gihîştina di belavkirinê de ber bi μ û gihîştina di îhtîmalê de ber bi μ ve wekhev in. Wekî encam,

Ev nîşan dide ku navgîna nimûneyê di îhtîmalê de ber bi jêdera fonksiyona taybetmendiyê ya li Jêderê ve diçe, bi şertê ku ya paşîn hebe.

Îspata Qanûna Xurt

Îspateke Hêsan a Qanûna Xurt tê pêşkêşkirin, ku li ser bingeha texmînên ku ${\displaystyle X_{i}}$ bi serbixwe û bi heman rengî hatine belavkirin (i.i.d.), ku ${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}]=:\mu <\infty }$, ku < ∞ {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}<\infty } , û ku .

Di destpêkê de, girîng e ku were Nota kirin ku, Bêyî windakirina giştîtiyê, destûr e ku were texmîn kirin ku μ<!-- μ --> =11 {\displaystyle \mu =0} bi navendkirina Dane. Di bin vî Mercî de, qanûna xurt diyar dike ku

Îhtîmala ku Sînorê navgîna nimûneyê, Pr(limn→<!-- → -->∞<!-- ∞ -->X¯<!-- ¯ -->n=§4546§)=§5354§,{\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=0\right)=1,}, yek e.

Hêvî wiha tê hesibandin: E [ S n 22 ] = E [ ( ∑<!-- ∑ --> i =53 n X i ) §7475§ ] = E [ ∑ §9899§ ≤ i , j , k , l ≤ n X i X j X k X l ] . {\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]={\mathbb {E} }\left[\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{4}\right]={\mathbb {E} }\left[\sum _{1\leq i,j,k,l\leq n}X_{i}X_{j}X_{k}X_{l}\right].}

${\displaystyle n}$ têgînên bi Formê hene.

Encam

Qanûna hejmarên mezin dihêle ku hem hêvî û hem jî taybetmendiyên din ên belavbûna îhtîmalê ya Nenas ji pêkanîna rêzikekê werin texmîn kirin. Bi taybetî, qanûna hejmarên mezin a Borel derxistina fonksiyona girseya îhtîmalê hêsan dike. Ji bo her Bûyerê Di nav de fonksiyona girseya îhtîmalê ya objektîf, îhtîmala rûdana wê dikare bi Rêjeya carên ku ew Bûyer diyar dibe were nêzîk kirin. Dubarekirinên zêde nêzîkbûnek rasttir peyda dikin. Di warê domdar de, vê navberê bifikirin: ${\displaystyle C=(a-h,a+h]}$, ji bo h-yek erênî ya têra xwe biçûk. Wekî encam, ji bo hejmareke mezin a ceribandinan (n):

$${\displaystyle {\frac {N_{n}(C)}{n}}\thickapprox p=P(X\in C)=\int _{a-h}^{a+h}f(x)\,dx\thickapprox 2hf(a)}$$

Bi karanîna vê metodolojiyê, tevahiya eksena x dikare li ser tora navberên yekreng (her yek bi firehiya 2h) were dabeş kirin da ku grafîkek stûnî, ku bi gelemperî wekî hîstogram tê zanîn, were çêkirin.

Bikaranîn

Yek ji bikaranînên JGirîng ên qanûna hejmarên mezin rêbaza Monte Carlo ye, ku Teknîkek nêzîkkirinê ya JGirîng e ku nimûneya rasthatî bikar tîne da ku encamên hejmarî texmîn bike. Pêvajoya ji bo hesibandina întegrala f(x) li ser navbera [a, b] li jêr tê vegotin:

1. Guhêrbarên rasthatî yên yekreng X₁, X₂, …, X_n Hilberandin, ku bi gelemperî bi rêya nivîsbarî tê kirin, an jî tabloyek hejmarên rasthatî bikar bînin da ku U, U§8_{9§, …, Un bidest bixin, yên ku guhêrbarên rasthatî yên serbixwe û bi heman rengî belavkirî (i.i.d.) ne û bi yekrengî li ser [0, 1] belav bûne. Dûv re, ji bo her i ji 1 heta n, Xi = a + (b - a) Ui diyar bikin. Wekî encam, X§16}17§, X§18_{19§, …, Xn komek ji guhêrbarên rasthatî yên yekreng ên serbixwe û bi heman rengî belavkirî li ser navbera [a, b] pêk tînin.}
2. f(X₁), f(X₂), …, f(X_n) hesab bikin.
3. Navîna nirxên fonksiyonê f(X₁), f(X₂), …, f(X_n) wekî ( b −<!-- − --> a ) f ( X ) + f ( X §51_52§ ) + ⋯ + f ( X n ) n {\displaystyle (b-a){\tfrac {f(X_{1})+f(X_{2})+\dots +f(X_{n})}{n}}} tê hesabkirin. Dûv re, li gorî qanûna xurt a hejmarên mezin, ev îfade ber bi ${\displaystyle (b-a)\operatorname {E} (f(X_{1}))=(b-a)\int _{a}^{b}f(x){\tfrac {1}{b-a}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x){dx}}$ ve diçe.

Întegala fonksiyonê f ( x ) = cos 20 ⁡ ( x ) x 39 + 45 {\displaystyle f(x)=\cos ^{2}(x){\sqrt {x^{3}+1}}} li ser navbera [-1, 2] ji bo teknîkên entegrasyonê yên kevneşopî zehmetiyên girîng derdixe holê. Wekî encam, rêbaza Monte Carlo ji bo hesabkirina wê tê bikaranîn. Sepandina algorîtma ku li jor hate gotin encama jêrîn dide:

∫<!-- ∫ --> −<!-- − -->14 18 f ( x ) d x = 0.905 {\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x)\,dx=0.905} bi n = 25 hate bidestxistin.

û

Dema ku n wekî 250 tê girtin, nêzîkatiya hejmarî ya ji bo entegrasyonê wiha tê pêşkêşkirin: ∫<!-- ∫ --> −<!-- − -->14 18 f ( x ) d x = 1.028 {\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x)\,dx=1.028} .

Tê dîtin ku zêdebûna nirxa 'n' bi bilindbûna nirxa hejmarî re têkildar e. Encama rastîn a entegrasyonê jî li dû wê tê pêşkêşkirin.

∫<!-- ∫ --> −<!-- − -->14 18 f ( x ) d x = 1.000194 {\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x)\,dx=1.000194} .

Bi sepandina Qanûna Hejmarên Mezin (LLN), nêzîkatiya entegrasyonê bêtir nêzî nirxa xwe ya rastîn bû, û bi vî rengî rastbûna wê hate zêdekirin.

Mînakek din jî entegrasyona fonksiyona f ( x ) = e x −<!-- − -->30 e − 39 {\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}-1}{e-1}}} di navbera [0, 1] de ye. Bi bikaranîna hem rêbaza Monte Carlo û hem jî Qanûna Hejmarên Mezin (LLN), tê xuyakirin ku zêdebûna hejmara nimûneyan dibe sedem ku nirxa hejmarî hêdî hêdî ber bi 0.4180233 ve biçe.

Notes

"Qanûna hejmarên mezin", Ansîklopediya Matematîkê, EMS Press, 2001 [1994]

"Law of large numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

• "Qanûna hejmarên mezin", Ansîklopediya Matematîkê, EMS Press, 2001 [1994]Weisstein, Eric W. "Qanûna Qels a Hejmarên Mezin". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Qanûna Xurt a Hejmarên Mezin". MathWorld.
• Anîmasyonên ku Qanûna Hejmarên Mezin rave dikin, û ji hêla Yihui Xie ve hatine çêkirin, bi rêya pakêta R ya bi navê `animation` ve têne peyda kirin.
• Tim Cook, CEOyê Apple, daxuyaniyek da ku ji hêla statîstîkzanan ve hate qeydkirin: "Em bi qanûnên wekî qanûnên hejmarên mezin bawer nakin. Ev, bi awayekî, dogma kevn e, ez difikirim, ku ji hêla kesekî ve hatiye çêkirin [..]". Berevajî vê, Business Insider zelal kir ku "qanûna hejmarên mezin ti têkiliya wê bi şîrketên mezin, dahatên zêde, an rêjeyên mezinbûnê yên bilind re nîne. Qanûna hejmarên mezin di teoriya îhtîmal û statîstîkê de têgehek bingehîn e, ku îhtîmalên teorîk ên ku em dikarin hesab bikin bi encamên rastîn ên ceribandinên ku em bi awayekî empirîkî pêk tînin ve girêdide."