Sabîteya Matematîkî (mathematical constant)

Sabîteya Matematîkî (mathematical constant)

Hejmara e sabîteke matematîkî ye, bi qasî 2.71828 e, ku bingeha logarîtma xwezayî û fonksiyona eksponensiyal e. Carinan ew…

Sabîteya matematîkî e, nêzîkî 2.71828, wek baz ji bo hem logarîtma xwezayî û hem jî fonksiyona eksponensiyal kar dike. Carna ev sabîte wekî hejmara Euler tê binavkirin, li ser navê matematîkzanê Swîsreyî Leonhard Euler; Lê belê, ev navandin dikare bibe sedema tevliheviyê bi hejmarên Euler re an jî bi sabîteya Euler re, ku ew sabîteyeke cuda ye û bi gelemperî wekî γ tê sembolîzekirin. Navdêrînek alternatîf ji bo e sabîteya Napier e, ji bo rûmetkirina John Napier. Jacob Bernoulli, matematîkzanekî Swîsreyî, Di dema lêkolînên xwe yên li ser faîza pêkhatî de, yekem car ev sabîte nas kir.

Hejmara e sabîteyeke matematîkî ye, ku nêzîkî 2.71828 e, û ew baza logarîtma xwezayî û fonksiyona eksponensiyal e. Carna jê re hejmara Euler tê gotin, li ser navê matematîkzanê Swîsreyî Leonhard Euler, lê ev dikare bibe sedema tevliheviyê bi hejmarên Euler re, an jî bi sabîteya Euler re, ku ew sabîteyeke cûda ye û bi gelemperî bi $\gamma$ tê nîşankirin. Wekî din, e dikare jê re sabîteya Napier bê gotin, li ser navê John Napier. Matematîkzanê Swîsreyî Jacob Bernoulli ev sabîte Di dema lêkolîna faîza pêkhatî de keşf kir.

Sabîteya e xwedî girîngiyeke matematîkî ya mezin e, wekhev bi 0, 1, π, û i. Ev pênc sabîteyên bingehîn beşek JGirîng in ji formulekirina nasnameya Euler, bi taybetî $e^{i\pi }+1=0$ §29 = 32 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} , û bi hev re rolên JGirîng û dubare li seranserê dîsîplînên matematîkî yên cihêreng pêk tînin. Sabîteya e îrrasyonel e, ku tê wateya ku ew nikare wekî rêjeya du hejmarên tam bê îfadekirin. Herwiha, mîna sabîteya π, ew xwedî taybetmendiyên transendental e, ku nîşan dide ku ew ne Reh (kok) a tu hevkêşeya polînomî ya ne-sifir e ku xwedî hejmarên rasyonel e. Nirxa e, ku heta 30 cihên dehanî hatiye kurtkirin, ev e:

Pênaseyên

Sabîteya e wek sînor tê pênasekirin: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$ §34 + 39§§41 n ) n , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}. Ev îfade pir caran Di hesabên ku tê de faîza pêkhatî heye de derdikeve holê.

Ew dikare wekî berhevoka rêzeya bêdawî ya jêrîn jî were îfadekirin: $e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$ 19 ∞ 30 n ! = 42 + §4849§ §5051§ + §5859§ §6162§ ⋅ §66 $e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$ + §7576§ §7879§ ⋅ §83 $e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$ + ⋯ . {\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}

Berdewam e bi awayekî bêhempa wekî hejmara pozîtîf a tê pênasekirin, ku grafîka fonksiyona y = a^x li xala ku x = 0 palek 1 nîşan dide.

Berdewam $e=\exp(1),$ 17 ) , {\displaystyle e=\exp(1),} bi rêya fonksiyona eksponensiyel a xwezayî tê pênasekirin, ku wekî $\exp$ tê nîşankirin. Ev fonksiyona bêhempa bi bûyîna xwe ya wekhevî bi derîvatîva xwe û bicihanîna merc $\exp(0)=1.$ 60 ) = 1. {\displaystyle \exp(0)=1.} tê taybetmendîkirin. Wekî encam, e wekî baz ji bo logarîtma xwezayî kar dike, ku berevajiya fonksiyona eksponensiyel a xwezayî ye.

Bi alternatîfî, berdewam e dikare bi temsîla xwe ya întegral were pênasekirin: $\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.$ §19 e d x x = 1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}

Dîrok

Yekemîn îşaretên li ser vê berdewamê di sala 1618an de di nav de tabloya pêveka pirtûka John Napier a li ser logarîtmayan de derketin. Lê belê, ev weşanê berdewam bi eşkereyî pêşkêş nekir; li şûna wê, wê berhevkirinek logarîtmayan bi baz $e$ peyda kir. Nivîskariya vê tabloyê bi gelemperî ji William Oughtred re tê veqetandin. Paşê, di sala 1661an de, Christiaan Huygens hesabkirina logarîtmîk bi rêbazên geometrîkî lêkolîn kir. Wî nirxek destnîşan kir ku, piştî analîzek paşîn, bi logarîtma baz-10 ya e re têkildar e; lê belê, wî e wekî berdewamek matematîkî ya girîng û cuda nas nekir.

Berdewama han di sala 1683an de ji aliyê Jacob Bernoulli ve bi awayekî fermî hate nasandin, ku ew ji karê wî yê li ser pirsgirêka faîza pêkhatî ya Berdewam derketibû holê. Di nav derxistina wî de, Berdewama e wekî sînor derket holê: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$ §38 n ! = 49§§51 53 ! $n=12$ 78§ ! + 85 ! + 97 ! + ⋯ , {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,} . Li vir, n frekansa demên pêkhatinê di nav salekê de nîşan dide (mînak, $n=12$ ji bo pêkhatina mehane).

Gottfried Leibniz di dema nameyên xwe yên bi Christiaan Huygens re di salên 1690 û 1691an de, tîpa b wekî Sembola destpêkê ji bo vê Berdewamê bi kar anî.

Leonhard Euler dora salên 1727 an 1728an dest bi bikaranîna tîpa e kir da ku Berdewamê temsîl bike. Ev bikaranîn di Destnivîsek neçapkirî de ku li ser hêzên teqîner ên di topan de bû, û her weha di nameyekê de ku di 25ê Mijdara 1731ê de ji Christian Goldbach re hatibû şandin, xuya bû. Yekemîn derketina çapkirî ya e di Karê Euler ê sala 1736an de, Mechanica, bû. Sedema hilbijartina tîpa e ji aliyê Euler ve nehatiye piştrastkirin. Dema ku hin lêkolîneran di salên paşîn de tîpa c pejirandin, e zêdetir belav bû û di encamê de bû nîşana damezrandî.

Euler nîşan da ku e dikare wekî berhevoka rêza Bêdawî were îfadekirin: $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,$ 21 ∞ 32§§38 n ! = 49§§51 53 ! + ! + §7778§ ! + §9192§ ! + §105 $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,$ + ⋯ , {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,} , li cihê ku n! faktoriya n nîşan dide. Wekheviya di navbera van her du taybetmendiyan de, yek sînorek û ya din rêzek Bêdawî dihewîne, dikare bi rêya teorema bînomî were damezrandin.

Serlêdan

Faîza Pêkhatî

Jacob Bernoulli yekem car ev Berdewama matematîkî di sala 1683an de, di dema lêkolînên xwe yên li ser faîza pêkhatî de, nas kir û pirsa jêrîn kir:

Hesabek ku bi 1.00 $ dest pê kiriye û faîza salane ya 100 ji sedî berhev dike, bifikirin. Ger ev faîz tenê carekê, di encama salê de, were sepandin, nirxa dawîn a hesabê dê bibe 2.00 $. Pirs derdikeve holê: çi dibe ger hesabkirin û krediyên faîzê di nav salê de pir caran werin kirin?

Ger faîz nîvsalane were hesibandin, rêjeya ji bo her şeş mehan dibe 50%. Wekî encam, 1$a destpêkê du caran bi 1.5 tê zêdekirin, ku di dawiya salê de nirxek $1.00 × 1.5² = $2.25 dide. Hesibandina çaryekane $1.00 × 1.255 = $2.44140625 peyda dike, dema ku hesibandina mehane $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035... encam dide. Ji bo n demên hesibandinê, rêjeya faîzê ya her demê 100%/n ye, û nirxa salane ya dawîn $1.00 × (1 + 1/n)ⁿ. ye.

Bernoulli dît ku ev rêzefîlm ber bi sînorek taybetî ve diçe, ku gelek caran wekî hêza faîzê tê binavkirin, her ku n zêde dibe û, wekî encam, her ku demên hesibandinê kêm dibin. Hesibandina heftane (n = 52) $2.692596... encam dide, dema ku hesibandina rojane (n = 365) $2.714567... (zêdebûnek nêzîkî du sentan) peyda dike. Nirxa ku n ber bi bêdawiyê ve diçe, Berdewam a matematîkî ye ku paşê wekî e hate destnîşankirin. Ji ber vê yekê, di şert û mercên hesibandina berdewam de, nirxa hesabê dê ber bi $2.718281828... ve biçe. Di çarçoveyek berfirehtir de, hesabek ku bi 1$ dest pê dike û rêjeya faîzê ya salane ya R pêşkêş dike, dê di nav t salan de, dema ku bi berdewamî were hesibandin, bigihîje e^Rt dolaran. Di vê formulasyonê de, R forma dehanî ya rêjeya faîzê temsîl dike, ku wekî ji sedî tê îfadekirin; mînakî, rêjeya faîzê ya 5% bi R = 5/100 = 0.05 re têkildar e.

Ceribandinên Bernoulli

Berdewam e di teorîya îhtîmalê de jî tê bikaranîn, gelek caran di çarçoveyên ku rasterast bi mezinbûna eksponensiyel ve ne girêdayî ne. Senaryoyek bifikirin ku qumarbazek makîneyek slotê bi îhtîmala dayîna yek di n de dixebitîne, û qumarbaz n caran bi vê makîneyê dilîze. Her ku hejmara lîstikan, n, zêde dibe, îhtîmala ku qumarbaz dê hemî n behîsên xwe winda bike ber bi 1/e ve diçe, ku nêzîkî 36.79% e. Mînak, dema ku n = 20 be, ev îhtîmal jixwe nêzîkî 1/2.789509... (an jî nêzîkî 35.85%) ye.

Ev senaryo mînakek pêvajoyek ceribandinên Bernoulli ye. Di her rewşê de ku qumarbaz bi makîneyên slotê re mijûl dibe, îhtîmala serketinê yek di n de ye. Encama lîstina n caran bi belavbûna bînomî ve tê destnîşarkirin, ku têgehek e ku bi eslê xwe bi teorîya bînomî û sêgoşeya Pascal ve girêdayî ye. Îhtîmala bidestxistina k serketinan di nav n ceribandinan de wiha tê hesibandin:

\Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.

62 n ) k ( 81 − §8889§ n ) n − k . {\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}

Bi taybetî, îhtimala bidestxistina sifir serkeftinan (k = 0) wiha tê îfadekirin:

\Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.

10 w i n s o f n ] = ( §4344§ − §5051§ n ) n . {\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Dema ku n nêzî bêdawîtiyê dibe, sînora îfadeya jorîn bi rastî ber bi 1/e ve diçe.

Mezinbûna Eksponensiyal û Xirabûn

Mezinbûna eksponensiyal pêvajoyekê vedibêje ku bi pîvanek zêde dibe di ser demê re tê nîşankirin, li cihê ku rêjeya zêdebûnê bi xwe berdewam lez dike. Ev bûyer xwe nîşan dide dema ku rêjeya guherîna yekser (ango, derîvatîv) ya pîvanek diyarkirî, li gorî demê, rasterast bi pîvanê bi xwe re rêjeyî ye. Ji aliyê fonksiyonel ve, pîvanek ku mezinbûna eksponensiyal nîşan dide wekî fonksiyonek eksponensiyal a demê tê temsîlkirin, ku tê wateya ku guherbara demê wekî eksponentê kar dike, û wê ji şêwazên din ên mezinbûnê yên wekî mezinbûna kuadratîk cuda dike. Berovajî, heke berdewama rêjeyîbûnê neyînî be, pîvan di ser demê re kêm dibe, pêvajoyek ku jê re xirabûna eksponensiyal tê gotin. Prensîba bingehîn a mezinbûna eksponensiyal dikare di cûrbecûr formên matematîkî yên hevwate de were vegotin, gelek caran bingehên cûda bikar tîne; lê belê, hejmara e gelek caran ji bo hevparî û rehetiya wê ya matematîkî tê hilbijartin:

Formula ji bo vê bûyerê wiha tê îfadekirin: $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.$ 21§⋅ekt=x§4344§⋅et/τ.{\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.} Di vê hevkêşeyê de, $x_{0}$ 86§{\displaystyle x_{0}} nirxa destpêkê ya pîvana x temsîl dike, k berdewama mezinbûnê nîşan dide, û $\tau$ dema taybetmendiyê ya ku ji bo pîvanê hewce ye ku bi faktorek e zêde bibe destnîşan dike.

Belavbûna normal a standard.

Belavbûnek normal ku bi navînek sifir û devjêberdanek standard a yekîneyî tê nîşankirin, wekî belavbûna normal a standard tê pênasekirin, ku bi fonksiyona tîrbûna îhtimalê ya jêrîn tê temsîlkirin: $\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$ 25§πe−§4344§x§5052§.{\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}

Pêwîstiya ji bo standard deviasyoneke yekîneyî, ku wekî encam varyanseke yekîneyî destnîşan dike, faktora ⁠2/§67§⁠ di nav de eksponentê tîne. Herwiha, mercê ku qada giştî ya di bin kêşeya $\phi (x)$ divê yek be, pêdivî bi tevlîkirina faktora $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$ 41§/§4749§π{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}} dike. Ev fonksiyon li dora x = 0 sîmetriyê nîşan dide, li wir digihîje lûtkeya xwe ya herî bilind a $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$ 76§/§8284§π{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}, û xalên înfleksiyonê li x = ±1 hene.

Derangements

Berdewama e di pirsgirêka derangements de jî tê bikaranîn, ku qismen ji aliyê Jacob Bernoulli û Pierre Remond de Montmort ve hatiye zelalkirin. Ev bi gelemperî wekî pirsgirêka kontrolkirina şapikan tê zanîn. Di vê senaryoyê de, n mêvan beşdarî bûyerekê dibin, û her yek şapika xwe dispêre xizmetkarekî. Xizmetkar paşê van şapikan dixe nav n qutiyan, ku her yek ji bo mêvanekî taybetî hatiye veqetandin. Lê belê, ji ber ku nasnameyên mêvanan nizane, xizmetkar bi awayekî rasthatî şapikan li qutiyan belav dike. Pirsgirêka De Montmort hewl dide ku îhtimala ku tu şapik ji xwediyên xwe yên rast re nayên vegerandin diyar bike. Ev îhtimal, ku wekî $p_{n}\!$ tê sembolîzekirin, wiha tê pênasekirin:

p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

16 − §2324§ §2627§ ! + §3738§ §40

p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

− §5253§ §5556§ ! + ⋯ + ( − §7778§ ) n n ! = ∑ k = §106107§ n ( − §123124§ ) k k ! . {\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}

Gava ku n nêzî bêdawiyê dibe, îhtimala p_n ber bi 1/e ve diçe. Zêdetir, ji bo her hejmareke tam a pozîtîf n, hejmara giştî ya derangements (rêyên danîna şapikan ku tu yek di qutiya rast de nebin) nêzîkî n!/e, ye, dema ku li hejmara tam a herî nêzîk tê dorvekirin.

Pirsgirêkên plansaziyê yên herî baş

Fonksiyona ${\sqrt[{x}]{x}}$ nirxa xwe ya herî bilind digihîje dema ku $x=e$ be. Bi heman rengî, ji bo her Baz b ku ji 1 mezintir e, nirxa herî zêde ya îfadeya $x^{-1}\log _{b}x$ 61 Qurm b ⁡ x {\displaystyle x^{-1}\log _{b}x} dema ku $x=e$ tê bidestxistin (ev têgeh di pirsgirêka Steiner de bêtir tê vekolîn).

Ev têgeh ji bo pirsgirêka dabeşkirina darek bi dirêjahiya L li n beşên wekhev tê bikaranîn. Nirxa herî baş a n ku berhema van dirêjiyên beşan herî zêde dike, wiha tê destnîşankirin:

n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor

an jî

\left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .

Îfadeya $x^{-1}\log _{b}x$ agahdariya ku ji Bûyerek bi îhtîmala $1/x$ tê wergirtin, diyar dike. Ev nirx Nêzîkî $36.8\%$ ye dema ku $x=e$ be, ku nîşan dide ku stratejiyên dabeşkirina herî baş ên bi vî rengî di gelek pirsgirêkên Optimîzasyonê de, wekî pirsgirêka sekreter, têne dîtin.

Tevgera Asîmptotîk

Berdewama e bi gelemperî di gelek pirsgirêkên asîmptotîk de derdikeve holê. Mînakek berbiçav formula Stirling e, ku tevgera asîmptotîk a Fonksiyona faktoriyel rave dike û hem e û hem jî π di nav xwe de dihewîne: $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Wekî encam, têkiliya jêrîn derbasdar e: $e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

Taybetmendî

Hesabê Diferensiyel û Întegral

Sedema sereke ya danasîna Berdewama e, bi taybetî Di nav de hesabê, ji ber kêrhatîbûna wê di pêkanîna operasyonên diferensiyel û întegral de li ser Fonksiyonên eksponensiyel û Qurmî tê. Fonksiyonek eksponensiyel a gelemperî function y = a^x, xwedî derîvatîfek e ku bi Sînorek tê pênasekirin:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}

45 a x + h − a x h = lim h → 91 a x a h − a x h = a x ⋅ ( lim h → 164 a h − 182 h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}

Sînorê di nav kevanan de li aliyê rastê, serbixwe ji Guherbar x kar dike. Nirxa wê ya hejmarî bi Qurmê a yê bi Baz e re têkildar e. Wekî encam, dema ku a nirxa e digire, ev Sînor dibe 13, û bi vî awayî nasnameya hêsan a jêrîn derdikeve holê:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

Wekî encam, Fonksiyona eksponensiyal, bi taybetî dema ku Bazê wê e be, ji bo operasyonên kalkulusê bi awayekî awarte guncan e. Hilbijartina e wekî Bazê Fonksiyona eksponensiyal, li şûna nirxek hejmarî ya din, hesabkirinên derîvatîvê bi awayekî girîng hêsan dike.

Sedemek din jî ji lêkolîna derîvatîva Qurmê bi Baz a (bi taybetî, Qurm_a x) derdikeve holê, ku dema x > 0 derbasdar e:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}

Cîgirtina u = h/x hate bikaranîn. Bi sembolîk, Qurmê bi Baz a yê e dibe 1 dema ku a wekhevî e be.

{\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.

35 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}

Ev Qurmê bi Baz ê taybetî wekî Qurmê xwezayî tê binavkirin, ku bi gelemperî wekî ln tê nîşandan. Bikêrhatina wê di derîvasyonê de ji nebûna Sînorek nediyar derdikeve, ku hesabkirinan hêsan dike.

Wekî encam, du rêbazên cuda hene ji bo diyarkirina hejmareke wisa Bêhempa a. Ya yekem tê de ye ku derîvatîva fonksiyona eksponensiyal a^x bi a^x re were wekhev kirin û paşê ji bo a were çareser kirin. Rêbaza duyemîn daxwaz dike ku derîvatîva logarîtma bi baza-a bi 1/x re were danîn û paşê ji bo a were çareser kirin. Her du rêbaz jî bazek pratîkî ji bo operasyonên kalkulusê peyda dikin. Balkêş e, ev her du çareseriyên ji bo a digihîjin nirxeke yekane: hejmara e.

Vekirina rêza Taylor ji bo fonksiyona eksponensiyal dikare ji du taybetmendiyên Bingehîn were derxistin: derîvatîva wê bi xwe ye, û nirxa wê 1 e dema ku li 0 tê nirxandin. $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$ 25 ∞ x n n ! . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.} Bi danîna $x=1$ 72 {\displaystyle x=1} , pênaseya e wekî berhevoka rêzek Bêdawî tê bidestxistin.

Fonksiyona logarîtma xwezayî wekî întegrala ji 1 heta $x$ ya $1/t$ 22 / t {\displaystyle 1/t} tê pênasekirin. Dûv re, fonksiyona eksponensiyal dikare wekî berevajiya logarîtma xwezayî were damezrandin. Hejmara e nirxa fonksiyona eksponensiyal nîşan dide dema ku li $x=1$ 50 {\displaystyle x=1} tê nirxandin, an jî, bi heman awayî, ew hejmar e ku logarîtma wê ya xwezayî 1 e. Wekî encam, e hejmara rastîn a pozîtîf a yekane ye ku mercê jêrîn bicîh tîne: $\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.$ 73 e 83 t d t = 1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}

Fonksiyona e^x bi Bêhempa tê taybetmendîkirin ku ew bi derîvatîva xwe re wekhev e, rê dide pirbûna bi Berdewam K.

${\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},$

Wekî encam, ew di heman demê de wekî antîderîvatîva xwe jî Fonksiyon dike.

$\int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.$

Di formulekirineke hevwate de, koma Fonksiyonan bi vî awayî tê pênasekirin:

$y(x)=Ke^{x}$

Li cihê ku K hejmareke rastîn an Tevlihev temsîl dike, ev Bişêvk a temam a hevkêşeya diferensiyel pêk tîne.

$y'=y.$

Newekhevî

Berdewam e hejmara rastîn a yekane temsîl dike ku mercê jêrîn bicîh tîne: $\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}$ §20 + 25§§27 x ) x < e < ( + x ) x + {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x} ji bo her nirxeke pozîtîf a x.

Herwiha, newekhevîya jêrîn derbasdar e:

$e^{x}\geq x+1$ 21 {\displaystyle e^{x}\geq x+1} ji bo hemî hejmarên rastîn x derbasdar e, Wekhevî tenê dema ku x = 0 pêk tê. Zêdetir, e wekî yekane Baz a eksponensiyel xizmet dike ku ji bo wê newekhevî a^x ≥ x + 1 ji bo hemî nirxên x derbasdar dimîne. Ev têkiliya taybetî mercê sînor a newekheviya Bernoulli temsîl dike.

Fonksiyonên Taybetmendiyên Eksponensiyel Nîşan Didin

Pirsgirêka Steiner diyar dike ka meriv çawa maksimuma gerdûnî ya Fonksiyonê ku wekî jêrîn tê pênasekirin diyar dike:

$f(x)=x^{\frac {1}{x}}.$ 21 x . {\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}

Ev maksimuma gerdûnî bi taybetî dema ku x = e tê dîtin. (Verastkirin piştrast dike ku derîvatîva ln f(x) tenê di vê nirxa taybetî ya x de sifir e.)

Bi heman awayî, mînîmuma gerdûnî ya Fonksiyonê dema ku x = 1/e tê bidestxistin.

Fonksiyon wekî jêrîn tê pênasekirin: $f(x)=x^{x}.$

Têgeha tetrasyona Bêdawî tê destnîşankirin.

Ev bi îfadeyên jêrîn tê temsîlkirin:

x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}

an jî

{^{\infty }}x

Tetrasyona Bêdawî tenê û tenê dema ku x Di nav de be di navbera [(1/e)^e, e^1/e], Nêzîkî [0.06599, 1.4447] , mercêk ku ji hêla Teorîyek a Leonhard Euler ve hatî damezrandin, digihîje hev.

Teoriya Hejmaran

Hejmara rastîn e ne-rêjeyî ye, rastiyek ku ji aliyê Euler ve bi taybetmendiya berfirehkirina wê ya kasra berdewam a hêsan a ku qet naqede hate îspatkirin.

Herwiha, li gorî teorema Lindemann–Weierstrass, e transendental e, ev tê wê wateyê ku ew nikare bibe Reh (root)a tu hevkêşeya polînomî ya ne-sifir bi hejmarên rêjeyî. Charles Hermite di sala 1873an de îspata wê pêşkêş kir, bi vî awayî e bû yekem hejmar ku wekî transendental hate destnîşankirin bêyî ku bi taybetî ji bo wê armancê hatibe çêkirin, berevajî hejmarên Liouville. Herwiha, e di nav koma sînorkirî ya hejmarên transendental de ye ku ji bo wan eksponenta ne-rêjeyî ya rastîn tê destnîşankirin, ku wekî $\mu (e)=2$ {\displaystyle \mu (e)=2} tê îfadekirin.

Pirsgirêkek berdewam a neçareserkirî têkildarî serxwebûna cebîrî ya hejmarên e û π ye. Çareserî (Resolution)a vê pirsê dê bi texmîna Schanuel pêk bihata, ku ew giştîkirinek ne-îspatkirî ya teorema Lindemann–Weierstrass e.

Tê texmînkirin ku e hejmarek normal e, ev tê wê wateyê ku reqemên wê di her nûnertiya bazê (base) de bi awayekî yekreng belavkirî ne, ango ew di her rêzikek bi dirêjahiya diyarkirî de bi îhtîmala wekhev xuya dibin.

Di nav geometriya cebîrî de, period wekî hejmarek ku dikare wekî întegrala fonksiyonek cebîrî li ser domenek cebîrî were îfadekirin tê pênasekirin. Dema ku Berdewam (constant) π wekî periyodek tê dabeşkirin, tê texmînkirin ku e ne wusa ye.

Hejmarên Tevlihev

Fonksiyona eksponensiyel, ku wekî e^x tê nîşankirin, dikare wekî rêzeya Taylor were îfadekirin.

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$ 16 + x §2526§ ! + x §40 $e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$ §45 $e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$ + x §6061§ §6566§ ! + ⋯ = ∑ n = §8889§ ∞ x n n ! . {\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}

Ji ber ku ev rêze ji bo hemî nirxên Tevlihev (complex) ên x digihîje hev, ew bi gelemperî ji bo giştîkirina pênaseya e^x tê bikar anîn da ku hejmarên Tevlihev (complex) jî bigire nav xwe. Ev giştîkirin, bi berfirehkirinên rêzeya Taylor ji bo sin û cos x re, derxistina formula Euler hêsan dike:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

Ev formula ji bo hemî hejmarên Tevlihev (complex) x derbasdar e. Mînakek balkêş, bi taybetî dema ku x wekhevî π ye, nasnameya Euler dide:

Ev nasname $e^{i\pi }+1=0,$ 19 = §2324§ , {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,} bi berfirehî wekî Paradîgmayek ji zerafeta matematîkî tê hesibandin, ku têkiliyek kûr di navbera sabitên herî Bingehîn ên matematîkê de nîşan dide. Herwiha, ew rolek rasterast di nîşandana transendansa π de dilîze, bi vî awayî ne mumkunbûna çargoşekirina çemberê saz dike. Zêdetir, di nav Şaxê sereke yê logarîtmayê de, ev nasname nîşan dide ku:

$\ln(-1)=i\pi .$ 16 ) = i π . {\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}

Zêdetir, bi sepandina prensîbên hêzdarkirinê,

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx$

Ev têkilî ji bo her hejmarek tam n derbasdar e, ku Formûla de Moivre pêk tîne.

Formûlasyonên ji bo $\sin(x)$ û $\cos(x)$ , ku bi karanîna Fonksiyona eksponensiyel hatine îfadekirin, dikarin ji berfirehkirinên rêzeya Taylor ên wan ên têkildar werin derxistin, wekî jêrîn: $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.$ , sin ⁡ x = e i x − e − i x $\sin(x)$ . {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}

Îfadeya matematîkî

Form ${\textstyle \cos x+i\sin x}$ carinan bi kurteya $\mathrm {cis} (x)$ tê nîşankirin.

Entropî

Sabîteya matematîkî $e$ di çarçoveyên teorîk ên entropiyê de, hem di teoriya îhtimalê de hem jî di teoriya ergodîk de, xwedî girîngiyeke mezin e. Bingehîn, ev dabeşkirina fezayek îhtimalê dike komek sînorkirî ya komên pîvandî, ku wekî $\xi =(A_{1},\cdots ,A_{k})$ 33,⋯,Ak){\displaystyle \xi =(A_{1},\cdots ,A_{k})} tê nîşandan. Entropiya dabeşkirineke wisa, agahdariya navînî ya ku derbarê belavbûna îhtimalê de bi rêya pêvajoyek nimûnekirina rasthatî an 'ceribandinê' tê bidestxistin, diyar dike. Entropiya vê dabeşkirinê bi awayekî fermî wiha tê pênasekirin: $p$ i){\displaystyle x=p(A_{i})} $f(x)=-x\ln x$ i{\displaystyle A_{i}} $x=p(A_{i})$ 196/e{\displaystyle p(A_{i})=1/e} be. Wekî encam, bûyerên ku an pir îhtimalî ne an jî pir neîhtimalî ne, kêmtir beşdarî entropiya giştî dikin.

Rêbazên Nîşandanê

Sabîteya hejmarî e dikare bi awayên cûrbecûr ên matematîkî were îfadekirin, di nav de rêzikên bêdawî, berhemên bêdawî, perçeyên berdewam, û sînorên rêzikan. Wêdetirî sînor û rêzikên ku berê hatine behs kirin, nîşandana perçeyek berdewam a hêsan jî heye.

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],

Vekirina eşkere ya vê perçeya domdar wekî jêrîn e:

e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.

. {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

Berhema Bêdawî ya jêrîn digihîje e:

$e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .$ §1415§ ( 24 §2627§ ) 34 / §40 $e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .$ ( 51 ⋅ §5657§ 60 ⋅ ) §7475§ / §8081§ ( §9192§ ⋅ §9697§ ⋅ §101102§ ⋅ §106107§ ⋅ §115116§ ⋅ ⋅ ) §134135§ / §140141§ ⋯ . {\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}

Ji bo e gelek awayên nûnertiyê yên alternatîf hatine destnîşankirin, ku rêze, rêzik, perçeyên domdar, û berhemên Bêdawî yên cihêreng di nav xwe de dihewînin.

Nûnertiyên Stokastîk

Wêdetir ji formûlasyonên analîtîk ên bi rastî ji bo e, metodolojiyên stokastîk ji bo texmînkirina wê hene. Yek rêbazek girîng bi rêzeyek Bêdawî ya guhêrbarên rasthatî yên serbixwe dest pê dike, bi taybetî X§78§, X§1314§..., ku ji belavbûnek yekreng li ser navbera [0, 1] têne nimûnekirin. Bila V jimareya herî biçûk n nîşan bide ku tê de berhevoka berhevkirî ya n çavdêriyên destpêkê ji 1 derbas dibe:

V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.

25 + X

{\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>36§ </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class=

> §5657§ } . {\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}

Wekî encam, nirxa hêvîkirî ya V bi rastî e ye, ku wekî E(V) = e tê îfadekirin.

Rastiya Hesabkirinê ya Reqeman

Pîvan a reqemên zanîn ji bo e piştî derketina teknolojiya hesabkirinê bi girîngî berfireh bûye, ev pêşveçûn hem ji ber performansa hesabkirinê ya çêtir û hem jî ji ber pêşketinên di algorîtmayan de ye.

Nêzîkî ji sala 2010an ve, berbelavbûna berfireh a komputerên sermaseyê yên bilez ên nûjen hiştiye ku ne-pispor trîlyonan reqemên e di demên maqûl de hesab bikin. Rekoreke nû di 24ê Kanûna Pêşîn a 2023an de hate danîn, dema ku Jordan Ranous e heta 35,000,000,000,000 reqemên bêhempa hesab kir.

Metodolojiyên ji bo Hesabkirina Reqeman

Nirxa hejmarî ya e dikare bi karanîna rêzeya jêrîn were hesab kirin:

Rêbazeke xweşbînkirî du fonksiyonên rekursîv bikar tîne, bi taybetî $p(a,b)$ û $q(a,b)$ . Ev fonksiyon bi îfadeya perçekirî ya jêrîn bi awayekî fermî têne pênase kirin: ${\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}$ 116 b ) , if b = a + 143 , ( p ( a , m ) q ( m , b ) + p ( m , b ) q ( a , m ) q ( m , b ) ) , otherwise, where m = ⌊ ( a + b ) / $p(a,b)$ {\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}

Îfadeya matematîkî $1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}$ 6 + p ( §1718§ , n ) q ( §3132§ , n ) {\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}} encama beşa n-emîn a rêzeya jorîn dide. Ev teknîk dabeşkirina binary bikar tîne da ku e hesab bike, bi vî awayî operasyonên arîtmetîkî yên yek-reqemî kêm dike û wekî encam tevliheviya bitê kêm dike. Entegrasyona vê nêzîkatiyê bi rêbazên pirjimariyê yên hejmarên tam ên li ser bingeha veguherîna Fourier a bilez hesabkirina van reqeman bi awayekî girîng lez dike.

Di nav qada çanda komputerê de.

Hem kes û hem jî rêxistinan berdewamiya e di nav çanda Înternetê de qebûl kirine.

Mînakek destpêkê têkildar e bi zanyarê komputerê Donald Knuth, ku hejmarên versiyonên bernameya xwe ya Metafontê sêwirand da ku gav bi gav nêzîkî e bibe. Rêzeya versiyonan di nav de 2, 2.7, 2.71, 2.718, û dubareyên paşîn hene.

Herwiha, di dema serlêdana xwe ya IPO ya sala 2004an de, Google ji armancên kevneşopî yên berhevkirina fonan ên bi hejmarên dorvekirî dûr ket û niyeta xwe ya bidestxistina 2,718,281,828 USD ragihand, mîqdarek ku dema li dolarê herî nêzîk were dorvekirin, wekhevî e milyar dolar e.

Google herwiha kampanyayek bîlbordan fînanse kir, ku Di destpêkê de li Newal a Sîlîkonê hate destpêkirin û paşê berfireh kirin bo Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; û Austin, Texas. Bîlbordê nivîsa "{hejmara pêşîn a 10-reqemî ya sereke ku di reqemên li pey hev ên e de tê dîtin}.com" nîşan dida. Hejmara pêşîn a 10-reqemî ya sereke di nav e de 7427466391 e, ku ji reqema 99emîn dest pê dike. Çareserkirina vê puzzleê bi serkeftî û gihîştina malpera reklamkirî (niha neçalak) pirsgirêkek tevlihevtir pêşkêş kir: nasîna endamê pêncemîn ê rêzeya 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Paşê hate dîtin ku ev rêze ji hejmarên 10-reqemî pêk dihat ku ji reqemên li pey hev ên e hatibûn girtin, ku berhevkirina reqemên wan 49 bû. Endamê pêncemîn ê vê rêzeyê 5966290435 e, ku ji reqema 127emîn dest pê dike. Qedandina vê pirsgirêka duyemîn di encamê de beşdaran ber bi rûpelek malperê ya Google Labs ve bir, ku ew vexwendin ku kurteyek jiyanê bişînin.

Derketina fermî ya dawîn a şîrovekarê Python 2, versiyona 2.7.18, hurmetek hejmarî ji bo e dihewîne.

Di çarçoveya hesabkeriyê de.

Di nav sepanên hesabkeriya zanistî de, berdewamiya $e$ pir caran rasterast di nav kodê de tê bicîhkirin. Mînak, pirtûkxaneya standard a Pythonê math.e = 2.718281828459045 peyda dike, ku nêzîkbûnek xala herikbar a $e$ temsîl dike. Lêbelê, bi gelemperî ji hêla hejmarî ve zexmtir û ji hêla hesabkerî ve bikêrtir e ku meriv fonksiyona eksponensiyel a hundurîn a zimanekî bikar bîne, wek math.exp(x) ya Pythonê, li şûna hesabkirina $e^{x}$ bi rêya fonksiyonek hêzê ya giştî mîna pow(e, x), tewra dema ku $x$ hejmarek tam be.

Piraniya bicîhanînên fonksiyonên eksponensiyel teknîkên wekî kêmkirina rêzê, tabloyên lêgerînê, û nêzîkatiyên polînomî an rasyonel (mînak, nêzîkatiyên Padé an berfirehkirinên Taylor) bikar tînin da ku rastbûna li ser nirxên têketinê yên cihêreng misoger bikin. Berovajî, fonksiyonên eksponensiyona gelemperî, wekî pow, dikarin hesabên navîn ên zêde, di nav de Qurm û pirjimariyê, derxînin holê, ku ev yek dikare bibe sedema zêdebûna berhevkirina xeletiyên dorvekirinê, nemaze dema ku $e$ di formata xala herikbar de tê temsîl kirin.

Ji bo hesaban ku rastbûna awarte bilind hewce dikin, fonksiyona eksponensiyel dikare bi karanîna rêbazên ku ji fonksiyonên elîptîkî hatine girtin, digel taybetmendiyên hevgirtina bilez a navînî ya arîtmetîk-geometrîk (AGM) û rêbaza Newton, were destnîşankirin. Wekî encam, berfirehkirina hejmarî ya $e$ ji $\exp(1).$ 29 ) . {\displaystyle \exp(1).} tê girtin. Tevî ku ev nêzîkatî li ser teknîkên hesabkirina fonksiyonên eksponensiyel ên alternatîf avantajên leza asîmptotîk pêşkêş dike, bi gelemperî ji ber lêçûna wê ya hesabkirinê ya girîng ne pratîkî tê hesibandin.

Amûrên hesabkirinê yên taybetî, wekî y-cruncher, ji bo hesabkirina gelek reqemên sabitên matematîkî yên taybetî yên mîna $e$ hatine sêwirandin. Van amûran bi gelemperî berfirehkirina rêzeya Taylor ji bo $e$ bikar tînin ji ber hevgirtina wê ya bilez, nemaze dema ku bi teknîkên optimîzasyonê yên cihêreng ve tê zêdekirin. Bi taybetî, rêbaza dabeşkirina binarî ji bo hesabkirina rêzeya ji bo $e$ bi awayekî taybetî bi bandor e, berevajî rêzeya ji bo $\exp(x)$ , ji ber ku termên di rêzeya berê de hejmarên rasyonel ên Hêsan in. Ev taybetmendî dihêle ku tevliheviya hesabkirinê ji bo destnîşankirina $n$ reqemên $e$ were kêmkirin bo $O(n\log ^{2}n)$ ⁡ n ) {\displaystyle O(n\log ^{2}n)} , ku bi rêbazên AGM re asîmptotîkî wekhev e lê di sepanên pratîkî de Bi awayekî girîng bi bandortir e.

Çavkanî

Maor, Eli, ed. (2009). e: Çîroka Hejmarekê. Pirtûkxaneya Zanistê ya Princeton. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2.

Maor, Eli, ed. (2009). e: Çîroka Hejmarekê. Pirtûkxaneya Zanistê ya Princetonê. Princeton, N.J: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2.McCartin, Brian J. (Adar 2006). "e: Serwerê Hemûyan" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 28 (2): 10–21. doi:10.1007/BF02987150. ISSN 0343-6993. S2CID 123033482.
Bikaranînên Herî Pêşîn ên Sembolên ji bo Sabitan 13 Çile 2008
e Motora Lêgerînê 2 milyar reqemên lêgerînbar ên e, π û √2

Sabîteya Matematîkî (mathematical constant)