Hejmara Asal (Prime number)

Hejmareke asal, ku wek asal jî tê zanîn, wek hejmareke xwezayî ya ji 1 mezintir tê pênasekirin ku nikare wek berhema du hejmarên xwezayî yên biçûktir were îfadekirin. Berovajî, her hejmareke xwezayî ya ji 1 mezintir ku ne asal e, wek hejmareke pêkhatî tê binavkirin. Mînak, hejmara 5 asal e ji ber ku tenê dabeşkirinên wê yên zêdekirinê, 1 × 5 an 5 × 1, bi neçarî 5 bi xwe dihewînin. Berevajî, 4 wek pêkhatî tê dabeşkirin, ji ber ku ew dikare bi berhema (2 × 2) were çêkirin ku her du faktor ji 4 biçûktir in. Hejmarên asal di teoriya hejmaran de cihekî Bingehîn digirin ji ber teorema Bingehîn a arîtmetîkê, ku diyar dike ku her hejmareke xwezayî ya ji 1 mezintir an bi xwe hejmareke asal e an jî xwedî faktorîzasyoneke Bêhempa ye ku dibe berhemeke asal, bêyî ku Rêkûpêkî ya faktoran were hesibandin.

Hejmareke asal (an jî asalek) hejmareke xwezayî ye ku ji 1 mezintir e û ne berhema du hejmarên xwezayî yên biçûktir e. Hejmareke xwezayî ya ji 1 mezintir ku ne asal e, wek hejmareke pêkhatî tê binavkirin. Mînak, 5 asal e ji ber ku tenê awayên nivîsandina wê wek berhemek, 1 × 5 an 5 × 1, 5 bi xwe dihewînin. Lê belê, 4 pêkhatî ye ji ber ku ew berhemeke (2 × 2) ye ku her du hejmarên wê ji 4 biçûktir in. Asal di teoriya hejmaran de Bingehîn in ji ber teorema Bingehîn a arîtmetîkê: her hejmareke xwezayî ya ji 1 mezintir an bi xwe asal e an jî dikare wek berhemeke asal were faktorîzekirin ku heta Rêkûpêkî ya wan Bêhempa ye.

Taybetmendiya Bûyîn asal wek asalbûn tê binavkirin. Teknîkeke hêsan, lê belê ne bi bandor, ji bo tespîtkirina asalîbûna hejmareke diyarkirî ⁠${\displaystyle n}$⁠, dabeşkirina ceribandinê ye, ku tê de tê kontrolkirin ka ⁠${\displaystyle n}$⁠ ji hêla her hejmareke tam a ji 2 heta ⁠${\displaystyle {\sqrt {n}}}$⁠ ve tê dabeşkirin. Algorîtmayên Bilez tir hene, wek testa asalîbûnê ya Miller–Rabin, ku Bilezî pêşkêş dike lê bi îhtîmala xeletiyeke biçûk, û testa asalîbûnê ya AKS, ku di dema polînomî de encamek rast garantî dike lê bi gelemperî ji bo sepanên pratîkî pir Hêdî ye. Rêbazên taybetî û pir Bilez ji bo hejmarên bi avahiyên taybetî têne bikaranîn, mînak hejmarên Mersenne. Ji Cotmeha 2024-an ve, hejmara asal a herî mezin a hatî tespîtkirin asaleke Mersenne ye, ku xwedî 41,024,320 reqemên dehanî ye.

Bêdawîbûna hejmarên asal ji hêla Euclid ve Nêzîkî 300 BZ hate damezrandin. Niha, tu formuleke hêsan tune ku hejmarên asal ji hejmarên pêkhatî cuda bike. Digel vê yekê, belavbûna asalên bi Pûlik mezin di nav hejmarên xwezayî de dikare bi bandor bi awayekî îstatîstîkî were modelkirin. Serkeftina Bingehîn di vê qadê de teorema hejmara asal e, ku di dawiya Sedsala 19-an de hate îspatkirin, ku diyar dike ku îhtîmala ku hejmareke tam a mezin a bi awayekî rasthatî hatî hilbijartin asal be, Nêzîkî berevajî rêjeyî ye bi hejmara reqemên wê re, an jî bi hevwate, bi logarîtma wê re.

Gelek pirsên kevnar ên derbarê hejmarên seretayî de bêçareser dimînin. Di nav van de, texmîna Goldbach heye, ku pêşniyar dike ku her hejmareke cot a ku ji 2-ê mezintir e, dikare wekî berhevoka du hejmarên seretayî were nîşandan, û texmîna hejmarên seretayî yên cêwî, ku hebûna bêdawî ya cotên seretayî yên ku cudahiya wan du ye, diyar dike. Van lêkolînan pêşveçûna binkategoriyên cihêreng di nav Teorîya hejmaran de teşwîq kirine, ku balê dikişînin ser taybetmendiyên analîtîk an cebîrî yên hejmaran. Hejmarên seretayî ji bo protokolên teknolojiya agahdariyê yên cihêreng girîng in, di nav de Krîptografiya mifteya giştî, ku kêşeya hesabkirinê ya dabeşkirina hejmarên mezin li pêkhateyên wan ên seretayî bikar tîne. Di nav cebîra razber de, têgehên mîna hejmarên seretayî, ku tevgerên giştî yên mîna seretayî nîşan didin, hêmanên seretayî û îdealên seretayî dihewînin.

Pênase û Mînakên Raveker

Hejmareke xwezayî (mînak, 1, 2, 3, 4, 5, 6) wekî hejmareke seretayî (an bi tenê seretayî) tê destnîşankirin ger ew ji 1-ê mezintir be û nikare wekî berhema du hejmarên xwezayî, ku her du jî ji xwe biçûktir in, were îfadekirin. Hejmarên xwezayî yên ji 1-ê mezintir ku vê pîvanê bicîh nakin, wekî hejmarên pêkhatî têne binavkirin. Wekî din, hejmarek ⁠${\displaystyle n}$⁠ seretayî ye ger ⁠${\displaystyle n}$⁠ tiştên cuda nikarin li komên piçûktir, bi mezinahiya wekhev ên ku ji yek tiştî zêdetir dihewînin, werin dabeşkirin, an jî ger ⁠${\displaystyle n}$⁠ xal nikarin li ser torgilokek çargoşeyî bi pîvanên ji yek xalê mezintir hem di firehî û hem jî di bilindahiyê de werin rêzkirin. Mînak, di nav rêza hejmarên ji 1 heta 6 de, 2, 3, û 5 wekî hejmarên seretayî têne nasîn ji ber ku ew bi tu hejmarên din re bi yeksan nayên dabeşkirin (ango, bêyî bermayî). Hejmara 1 ne seretayî tê hesibandin, ji ber ku ew bi eşkere ji hêla pênaseyê ve tê derxistin. Hem 4 = 2 × 2 û hem jî 6 = 2 × 3 mînakên hejmarên pêkhatî ne.

Dabeşkerên hejmareke xwezayî ⁠${\displaystyle n}$⁠ wekî hejmarên xwezayî têne pênasekirin ku ⁠${\displaystyle n}$⁠ bêyî bermayî dabeş dikin. Her hejmareke xwezayî herî kêm du dabeşkeran dihewîne: 1 û hejmar bi xwe. Hejmarek ne seretayî ye ger dabeşkerek wê ji bilî 1 û xwe hebe. Wekî encam, hejmarên seretayî bi heman awayî wekî hejmarên tam têne pênasekirin ku bi rastî du dabeşkerên erênî dihewînin. Ev her du dabeşker 1 û hejmar bi xwe ne. Ji wê demê ve ku 1 tenê yek dabeşkerek (xwe) heye, ew di bin vê pênaseyê de ji koma hejmarên seretayî tê derxistin. Wekî din, hejmarek ⁠${\displaystyle n}$⁠ seretayî tê hesibandin ger ew ji yekê mezintir be û bêyî bermayî ji hêla tu hejmareke tam di rêza 60 , §6465§ , …<!-- … --> , n −<!-- − --> §7879§ {\displaystyle 2,3,\dots ,n-1} de nayê dabeşkirin.

25 hejmarên seretayî yên destpêkê, ku hemî hejmarên seretayî yên di bin 100-î de dihewînin, wiha têne rêzkirin:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (rêzeya OEIS A000040).

Hejmareke cot ⁠${\displaystyle n}$⁠ ku ji 2 mezintir e, nikare asal be, ji ber ku ew her tim dikare wekî berhema ⁠25 × n / §3637§ {\displaystyle 2\times n/2} ⁠ were îfadekirin. Wekî encam, hemî hejmarên asal ji bilî 2 tek in û wekî asalên tek têne binavkirin. Herwiha, di pergala dehanî ya standard de, hejmarên asal ên ji 5 mezintir her tim bi reqemên 1, 3, 7, an 9 bi dawî dibin. Hejmarên ku bi reqemên din bi dawî dibin, hejmarên pêkhatî ne: yên ku bi 0, 2, 4, 6, an 8 bi dawî dibin cot in, dema ku yên bi 0 an 5 bi dawî dibin ji 5 re parvebar in.

Koma giştî ya hemî hejmarên asal bi gelemperî bi nîşana ${\displaystyle \mathbf {P} }$ (P-ya mezin a stûr) an ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (P-ya mezin a blackboard bold) tê temsîlkirin.

Dîrok

Ji Nêzîkî 1550 BZ, Papîrûsa Matematîkî ya Rhind berfirehkirinên perçeyên Misrî dihewîne ku di navbera hejmarên asal û pêkhatî de cudahiyê dike. Lêbelê, belgeya herî kevn a heyî ya derbarê lêkolîna sîstematîk a hejmarên asal de ji matematîkzanên Yewnanî yên Kevnar derdikeve, yên ku wan wekî prōtos arithmòs (πρῶτος ἀριθμὸς) binav kirin. Karê bingehîn ê Euclid, Elements (Nêzîkî 300 BZ), delîlên bêdawîbûna asalên dide, teorema bingehîn a arîtmetîkê saz dike, û rêbazek ji bo avakirina hejmarên bêkêmasî ji asalên Mersenne diyar dike. Sîstema Eratosthenes, nûbûnek din a girîng a Yewnanî, wekî rêbazek hevdem ji bo çêkirina lîsteyên asalên dimîne.

Nêzîkî sala 1000 PZ, matematîkzanê Îslamî Îbn el-Heysem (Alhazen) teorema Wilson keşf kir, ku hejmarên asal wekî wan hejmarên tam diyar dike ⁠

Di sala 1640an de, Pierre de Fermat Teorema Biçûk a Fermat anî ziman, pêşniyarek ku wî Bêyî îsbatkirineke fermî pêşkêş kiribû û paşê ji aliyê Leibniz û Euler ve hate piştrastkirin. Herwiha, Fermat lêkolîn li ser asaletiya hejmarên Fermat kir, ku wek ⁠8§1213§n+23{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}⁠ têne îfadekirin. Di heman demê de, Marin Mersenne lêkolîn li ser hejmarên asal ên Mersenne kir, ku hejmarên asal in û bi Form 41p−51{\displaystyle 2^{p}-1} têne diyarkirin, li wir ⁠${\displaystyle p}$⁠ bi xwe hejmareke asal e. Di nameyek sala 1742an de bi Euler re, Christian Goldbach Hîpoteza Goldbach pêşniyar kir, ku digot her hejmareke cot dikare wekî berhevoka du hejmarên asal were îfadekirin. Euler paşê rastbûna Hîpoteza Alhazen (ku niha wekî teorema Euclid–Euler tê nasîn) îsbat kir, û diyar kir ku hemî hejmarên kamil ên cot ji hejmarên asal ên Mersenne têne wergirtin. Herwiha, Euler rêbazên analîtîkî xist nav vê qadê bi îsbatên xwe yên Bêdawîbûna hejmarên asal û veqetîna rêza ku ji berevajîyên hejmarên asal pêk tê, ku wek ⁠89§9192§+101§103104§+113§115116§+125§127128§+137§139140§+⋯{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }⁠ tê nîşandan. Di destpêka Sedsal a 19an de, Legendre û Gauss bi serê xwe Hîpotez kirin ku dema ⁠${\displaystyle x}$⁠ nêzîkî Bêdawî dibe, hejmara hejmarên asal ên ku ji ⁠${\displaystyle x}$⁠ kêmtir an wekhev in, bi awayekî asîmptotîkî wekhev e bi ⁠${\displaystyle x/\log x}$⁠, li vir ${\displaystyle \log x}$ Qurm a xwezayî ya ⁠${\displaystyle x}$⁠ nîşan dide. Postulata Bertrand, encameke kêmtir hişk a vê Tîrbûn a bilind a hejmarên asal ên çavdêrîkirî, diyar dike ku ji bo her hejmareke tam 272{\displaystyle n>1}, hejmareke asal bi teqez di navbera ⁠${\displaystyle n}$⁠ û ⁠307n{\displaystyle 2n}⁠ de heye, ev pêşniyar di sala 1852an de ji aliyê Pafnuty Chebyshev ve bi awayekî hişk hate îsbatkirin. Weşana Bernhard Riemann a sala 1859an derbarê Fonksiyon a zeta de Çarçoveyek têgehî ji bo piştrastkirina Hîpoteza ku ji aliyê Legendre û Gauss ve hatibû pêşkêşkirin, anî ziman. Digel ku Hîpoteza Riemann a bi hev ve girêdayî hîn jî Bêyî îsbatkirin dimîne, Çarçoveya bingehîn a Riemann Di encamê de di sala 1896an de ji aliyê Hadamard û de la Vallée Poussin ve hate fermîkirin, û di encamê de bû tiştê ku niha wekî Teorema Hejmara Asal tê nasîn. Serkeftineke din a girîng a matematîkî ya Sedsal a 19an Teorema Dirichlet a li ser Pêşveçûnên Aritmetîkî bû, ku îsbat kir ku pêşveçûnên aritmetîkî yên taybet Bêdawî Pîvan hejmarên asal dihewînin.

Gelek matematîkzanan testên seretayîbûnê ji bo hejmarên ku sînorên pratîkî yên dabeşkirina ceribandinê derbas dikin, pêş xistine. Testên seretayîbûnê yên taybet, ku ji bo hejmarên bi formên taybetî guncan in, di nav xwe de testa Pépin ji bo hejmarên Fermat (1877), teorîya Proth (nêzîkî 1878), testa seretayîbûnê ya Lucas–Lehmer (di sala 1856an de dest pê kir), û testa seretayîbûnê ya Lucas a giştîkirî hene.

Ji sala 1951an ve, hejmarên seretayî yên herî mezin ên naskirî bi rêya sepandina van testan li ser komputeran hatine tespîtkirin. Lêgerîna domdar ji bo hejmarên seretayî yên her ku diçe mezintir eleqeyek berfirehtir ji wêdetir matematîka akademîk kişandiye, bi taybetî bi rêya înîsiyatîfên wekî Great Internet Mersenne Prime Search û projeyên din ên hesabkirina belavkirî. Têgihiştina ku hejmarên seretayî ji wêdetir matematîka safî kêrhatîbûnek sînorkirî hebû, di salên 1970an de bi derketina krîptografiya mifteya giştî û sîstema krîptoyê ya RSA bi awayekî bingehîn guherî, ku her du jî bi awayekî bingehîn li ser hejmarên seretayî ne.

Girîngiya pratîkî ya zêde ya testkirina seretayîbûnê û faktorîzasyona bi komputerê, pêşxistina rêbazên pêşkeftî ji bo pêvajokirina hejmarên mezin ên bi formên keyfî pêwîst kir. Di heman demê de, teorîya matematîkî ya hejmarên seretayî bi awayekî girîng pêş ket bi teorîya Green–Tao (2004), ku hebûna rêzikên aritmetîkî yên hejmarên seretayî yên bi dirêjahiya keyfî nîşan dide, û îspata Yitang Zhang ya 2013an, ku hebûna bêdawî gelek valahiyên seretayî yên bi mezinahiya sînorkirî destnîşan dike.

Seretayîbûna Yekê

Di Serdema Antîk de, piraniya matematîkzanên Yewnanî yên destpêkê 1 wekî hejmarek nehesibandin, û bi vî awayî her nirxandinek li ser seretayîbûna wê asteng kirin. Kêmarîyek ji zanyarên di nav kevneşopiyên Yewnanî û paşê yên Romayî de, wekî Nicomachus, Iamblichus, Boethius, û Cassiodorus, hejmarên seretayî wekî binkomek ji hejmarên tek kategorîze kirin, wekî encam ⁠7 {\displaystyle 2} ⁠ ji seretayîbûnê derxistin. Berovajî, Euclid û piraniya matematîkzanên din ên Yewnanî ⁠25 {\displaystyle 2} ⁠ wekî hejmarek seretayî nas kirin. Matematîkzanên Îslamî yên Serdema Navîn bi gelemperî perspektîfa Yewnanî pejirandin, û 1 wekî hejmarek nehesibandin. Di dema Serdema Navîn û Ronesansê de, matematîkzanan dest bi naskirina 1 wekî hejmarek kirin, û heta sedsala 17an, hinan ew wekî seretayîya destpêkê jî kategorîze kirin. Di nîvê sedsala 18an de, Christian Goldbach di dema nameyên xwe yên bi Leonhard Euler re 1 di lîsteya xwe ya hejmarên seretayî de cîh girt; lê belê, Euler bi xwe 1 wekî seretayî nehesiband. Gelek matematîkzanên sedsala 19an berdewam kirin ku 1 wekî seretayî bihesibînin, bi taybetî Derrick Norman Lehmer ew di lîsteya xwe ya hejmarên seretayî yên ji deh mîlyonî kêmtir de cîh girt, ku di sala 1914an de hat weşandin. Lîsteyên hejmarên seretayî yên ku 1 di nav xwe de digirtin, heta sala 1956an jî hatin weşandin. Lê belê, heta destpêka sedsala 20an, di nav matematîkzanan de lihevkirinek çêbû ku 1 divê wekî seretayî neyê kategorîzekirin, lê belê wekî kategoriyek bêhempa, "yekîne"yek, were destnîşankirin.

Dabeşkirina hejmara 1 wekî hejmareke asal, dê bibe sedema guhertinên dijwar di gelek daxuyaniyên matematîkî yên derbarê hejmarên asal de. Mînak, teorîya bingehîn a arîtmetîkê dê hewce bike ku ji nû ve were formulekirin da ku dabeşkirinên nav hejmarên asal ên ji 1 mezintir diyar bike, ji ber ku her hejmar dê wekî din xwediyê gelek dabeşkirinan be ku tê de pîvaneke keyfî ya 1an hebe. Bi heman awayî, Sêva Eratosthenes dê xelet bixebite ger 1 wekî hejmareke asal bihata hesibandin, ji ber ku dê bi xeletî hemî pirjimariyên 1ê (ango, hemî hejmarên din ên tam) ji holê rake, û tenê hejmara 1 bi xwe bihêle. Herwiha, çend taybetmendiyên teknîkî yên hejmarên asal ji bo 1ê derbasdar nînin; mînak, formûlên ji bo fonksiyona totient a Euler û fonksiyona berhevoka dabeşkeran ji bo hejmarên asal li gorî 1ê cûda ne.

Taybetmendiyên Bingehîn

Dabeşkirina Bêhempa

Nûnertiya hejmareke tam wekî berhemeke hejmarên asal wekî dabeşkirina wê ya asal tê binavkirin. Mînak:

${\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}}$

Pêkhateyên takekesî yên di nav berhemekê de wekî faktorên asal têne binavkirin. Faktoreke asal a taybet dikare gelek caran xuya bibe; mînak, di vê mînakê de, faktora asal ${\displaystyle 5.}$ du caran niha ye. Dema hejmareke asal dubare dibe, hêzdarî rêbazek pêşkêş dike ku van dubareyan yek bike: mînak, di nûnertiya alternatîf a berhema ku berê hate gotin de, 25 §2829§ {\displaystyle 5^{2}} çargoşeya, ango hêza duyemîn, a ⁠${\displaystyle 5}$⁠ nîşan dide.

Rola bingehîn a hejmarên asal di hem teorîya hejmaran de û hem jî di matematîka berfirehtir de ji teorîya bingehîn a arîtmetîkê derdikeve. Ev teorî diyar dike ku her hejmareke tam a ji yekê mezintir dikare wekî berhemeke ku ji yek an jî zêdetir hejmarên asal pêk tê were îfadekirin. Herwiha, ev dabeşkirin bi awayekî bêhempa tê destnîşankirin, ango, her du dabeşkirinên asal ên hejmareke yekane dê her tim heman pirjimariya her hejmareke asal hebin, tevî guhertinên gengaz di rêzika wan de. Wekî encam, tevî hebûna algorîtmayên dabeşkirina hejmarên tam ên cihêreng, hemî rêbaz garantî ne ku encamek yekane bidin. Bi vî awayî, hejmarên asal wekî bingehîn "kevirên avahiyê yên bingehîn" ên pergala hejmarên xwezayî têne têgihîştin.

Çend îsbatên yekanebûna faktorîzasyonên seretayî li ser lemmaya Euclid disekinin, ku dibêje: Heke ⁠${\displaystyle p}$⁠ jimareyek seretayî be û ⁠${\displaystyle p}$⁠ berhema ${\displaystyle ab}$ ya jimareyên tam ⁠${\displaystyle a}$⁠ û ${\displaystyle b,}$ parve bike, wê demê ⁠${\displaystyle p}$⁠ divê ⁠${\displaystyle a}$⁠ parve bike an jî ⁠${\displaystyle p}$⁠ divê ⁠${\displaystyle b}$⁠ parve bike (an herduyan). Berovajî, heke jimareyek ⁠${\displaystyle p}$⁠ xwedî wê taybetmendiyê be ku dabeşkirina wê ya berhemekê her tim dibe sedem ku ew herî kêm yek Faktorek ji wê berhemê parve bike, wê demê ⁠${\displaystyle p}$⁠ bi neçarî seretayî ye.

Bêdawîbûn

Hebûna hejmareke Bêdawî ya jimareyên seretayî, têgehek Bingehîn e di Teorîya jimareyan de. Ev tê wê wateyê ku rêza

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,...}$

ya jimareyên seretayî bêdawî ye. Ev îdiaya Bingehîn wekî teorema Euclid tê zanîn, ku navê xwe ji matematîkzanê Kevnar ê Yewnanî Euclid girtiye, yê ku bi pêşkêşkirina îsbatkirina herî kevnar tê nasîn. Gelek îsbatên din ên bêdawîbûna jimareyên seretayî paşê hatine pêşxistin, bi taybetî îsbatek analîtîk ji hêla Euler ve, îsbata Goldbach a ku ji jimareyên Fermat hatiye derxistin, îsbata Furstenberg a ku topolojiya giştî bikar tîne, û pêşandanek pêşkeftî ya Kummer.

Îsbata Euclid nîşan dide ku her jimartineke sînordar a jimareyên seretayî bi xwezayî ne temam e. Navik prensîb ev e ku hemî jimareyên seretayî Di nav de lîsteyek diyarkirî têne zêdekirin û paşê ${\displaystyle 1.}$ lê tê zêdekirin. Ji bo lîsteyek ku ji jimareyên seretayî p26 , p 36 , … , p n , {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},} pêk tê, ev operasyon jimareya jêrîn dide:

N =10 + p §1819§ ⋅ p §2930§ ⋯ p n . {\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}

Li gorî teorema Bingehîn a arîtmetîkê, ⁠${\displaystyle N}$⁠ xwediyê dabeşkirineke seretayî ya Bêhempa ye, ku wiha tê îfadekirin:

N = p14 ′ ⋅ p 27 ′ ⋯ p m ′ {\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}

Li vir ⁠${\displaystyle N}$⁠ xwediyê yek an jî zêdetir faktorên seretayî ye. Her çend ⁠${\displaystyle N}$⁠ bi her yek ji van faktorên nû hatine tespîtkirin bi temamî tê dabeşkirin jî, dema ku bi her hejmareke seretayî ji lîsteya destpêkê ve tê dabeşkirin, bermayiyek yek dide. Wekî encam, ti yek ji faktorên seretayî yên ⁠${\displaystyle N}$⁠ nikare bibe endamê lîsteya sînorkirî ya orîjînal. Ev Daşikandina mentiqî piştrast dike ku ti lîsteyeke sînorkirî nikare hemî hejmarên seretayî bigire nav xwe, bi vî awayî Pîvana wan a Bêdawî saz dike.

Hejmarên ku bi lêzêdekirina yekê li berhema hejmarên seretayî yên destpêkê têne bidestxistin wekî hejmarên Euclid têne binavkirin. Pênc hejmarên pêşîn ên van hejmaran seretayî ne, lê ya şeşemîn,

6 + ( §1617§ ⋅<!-- ⋅ --> §2122§ ⋅<!-- ⋅ --> §2627§ ⋅<!-- ⋅ --> ⋅<!-- ⋅ --> §3637§ ⋅<!-- ⋅ --> ) = 30031 = 59 ⋅<!-- ⋅ --> 509 , {\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}

hejmareke hevedudanî ye.

Formûlên ji bo Hejmarên Seretayî

Heta niha ti formûleke bibandor ji bo çêkirina hejmarên seretayî nehatiye dîtin. Mînak, ti polînomeke ne-Berdewam, heta ya ku çend guherbar tê de hebin jî, bi taybetî nirxên seretayî nade. Lêbelê, îfadeyên cûrbecûr hene ku an hemî hejmarên seretayî kod dikin an jî tenê hejmarên seretayî çêdikin. Yek ji van formûlan, ku ji teorema Wilson hatiye girtin, hejmara 2 gelek caran çêdike, lê hemî hejmarên seretayî yên din Bi rastî carekê çêdike. Wekî din, komek taybetî ya hevkêşeyên Diophantine, ku ji neh guherbar û yek Parametre pêk tê, xwediyê taybetmendiyê ye ku Parametre seretayî ye heke û tenê heke Pergal a hevkêşeyên têkildar Di nav koma hejmarên xwezayî de Bişêvkek hebe. Ev taybetmendî rê dide ku formûleke Bêhempa were derxistin ku encamên wê yên pozîtîv bi taybetî hejmarên seretayî ne.

Mînakên din ên formûlên ku dikarin hejmarên seretayî hilberînin ji hêla Teorema Mills û teoremeke ku ji Wright re tê vegotin ve têne pêşkêş kirin. Van teorîyan hebûna sabitên rastîn 10 {\displaystyle A>1} û ${\displaystyle \mu }$, bi rêzê ve, destnîşan dikin, bi awayekî ku

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

Van îfadeyan ji bo her hejmareke xwezayî ⁠${\displaystyle n}$⁠ di formûla destpêkê de, û ji bo her hejmareke diyarkirî ya eksponentan di formûla paşîn de, hejmarên seretayî didin. Nîşana ${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$ Fonksiyona qatê nîşan dide, ku jimara herî mezin a tam ku ji argumanê kêmtir an wekhev e vedigerîne. Tevî vê yekê, van formûlan ji bo Nifşa hejmarên seretayî kêrhatîbûna pratîkî tune, ji ber ku nirxên ⁠${\displaystyle A}$⁠ an ${\displaystyle \mu .}$ divê pêşî bi karanîna hejmarên seretayî yên berê heyî bêne hesabkirin.

Pirsên Çaresernebûyî

Gelek texmîn derbarê hejmarên seretayî de hatine pêşniyarkirin. Tevî ku gelek caran formûlasyonên wan hêsan in, gelek ji van texmînan bi dehsalan li hember îspatê rawestiyane; mînak, her çar pirsgirêkên Landau, ku di sala 1912an de hatine pêşkêşkirin, hîn jî çaresernebûyî ne. Mînakek berbiçav texmîna Goldbach e, ku destnîşan dike ku her jimareke cot ⁠${\displaystyle n}$⁠ ku ji ⁠25 {\displaystyle 2} ⁠ mezintir e, dikare wekî berhevoka du hejmarên seretayî were îfadekirin. Heta sala 2014an, ev texmîn bi awayekî hesabkerî ji bo hemî hejmarên tam heta ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$ hatibû piştrastkirin. Her çend texmîna Goldbach nehatiye îspatkirin jî, daxuyaniyên têkildar ên qelstir hatine damezrandin; mînak, Teorema Vinogradov nîşan dide ku her jimareke tek a têra xwe mezin dikare wekî berhevoka sê hejmarên seretayî were temsîlkirin. Herwiha, Teorema Chen îdîa dike ku her jimareke cot a têra xwe mezin dikare wekî berhevoka hejmarek seretayî û hejmarek nîv-seretayî were îfadekirin, ku wekî berhema du hejmarên seretayî tê pênasekirin. Wekî din, her jimareke cot a ku ji 10an mezintir e dikare wekî berhevoka şeş hejmarên seretayî were veqetandin. Qada Teorîya hejmaran ku ji bo lêkolîna van cûre pirsan hatiye veqetandin, wekî Teorîya hejmaran a lêzêdekirinê tê zanîn.

Beşeke cuda ya lêkolîna matematîkî bi valahiyên hejmarên seretayî ve girêdayî ye, ku wekî cudahiyên di navbera hejmarên seretayî yên li pey hev de têne pênasekirin. Hebûna valahiyên seretayî yên bi Mezinahîya keyfî bi Çavdêrîya vê yekê tê îsbatkirin ku rêzeya ${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$ ji n −<!-- − -->58 {\displaystyle n-1} hejmarên hevedudanî pêk tê ji bo her hejmareke xwezayî ${\displaystyle n.}$ Lêbelê, valahiyên seretayî yên girîng bi awayekî berbiçav zûtir derdikevin holê ji ya ku ev avahiya teorîk pêşniyar dike. Mînak, valaheya seretayî ya destpêkê ya bi dirêjahiya 8 di navbera hejmarên seretayî 89 û 97 de ye, nirxek ku Bi awayekî girîng kêmtir e ji ${\displaystyle 8!=40320.}$ Hîpoteza hejmarên seretayî yên cêwî Hebûna hejmareke Bêdawî ya hejmarên seretayî yên cêwî pêşniyar dike, ku cotên hejmarên seretayî ne û cudahiya wan 2 ye. Bi awayekî berfirehtir, Hîpoteza Polignac îdîa dike ku ji bo her hejmareke tam a pozîtîf ${\displaystyle k,}$, hejmareke Bêdawî cotên hejmarên seretayî yên li pey hev hene ku cudahiya wan ${\displaystyle 2k.}$ Çend Hîpotez, di nav de yên Andrica, Brocard, Legendre, û Oppermann, pêşniyar dikin ku valahiyên seretayî yên herî zêde Di nav de rêjeya ji 1 heta ⁠${\displaystyle n}$⁠ divê Nêzîkî ji ${\displaystyle {\sqrt {n}},}$ zêdetir nebe, ev Encam tê zanîn ku ji Hîpoteza Riemann derdikeve. Berevajî vê, Hîpoteza Cramér a Bi awayekî girîng hişktir mezinahiya valahiya herî mezin wekî ⁠O ( ( Qurm ⁡<!-- ⁡ --> n ) 210 ) {\displaystyle O((\log n)^{2})} ⁠ pêşniyar dike. Têgeha valahiyên seretayî dikare were berfirehkirin bo k-tupleyên seretayî ⁠${\displaystyle k}$⁠, ku şêweyên cudahiyan di navbera zêdetirî du hejmarên seretayî de nîşan didin. Hîpoteza yekem a Hardy–Littlewood bi Bêdawîbûn û Tîrbûna wan ve mijûl dibe, pêşniyarek ku ji hêla Çavdêrîya heurîstîk ve tê piştgirî kirin ku hejmarên seretayî tevgerê dişibin rêzeyek hejmarên rasthatî nîşan didin, bi Tîrbûnek ku ji hêla teorema hejmarên seretayî ve tê destnîşankirin.

Taybetmendiyên analîtîk

Teoriya hejmaran a analîtîk, teoriya hejmaran bi karanîna çarçoveya fonksiyonên berdewam, sînoran, rêzikên Bêdawî û têgehên matematîkî yên têkildar ên bi Bêdawî û bêdawîçûkan ve girêdayî lêkolîn dike.

Ev qada lêkolînê bi Leonhard Euler dest pê kir, ku beşdariya wî ya giring a destpêkê Çareseriya pirsgirêka Baselê bû. Ev pirsgirêk li nirxa rêzika Bêdawî 6 + §1314§ §1516§ + §2526§ + §3738§ + … , {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,} digeriya, ku niha wekî nirxa ${\displaystyle \zeta (2)}$ ya fonksiyona zeta ya Riemann tê nasîn. Ev fonksiyon têkiliyek xurt bi hejmarên seretayî re nîşan dide û di navenda hîpoteza Riemann de ye, ku yek ji pirsgirêkên herî kûr û neçareserkirî yên matematîkê ye. Euler nîşan da ku ⁠${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$⁠. Berevajî vê nirxê, ⁠${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$⁠, îhtîmala sînorî temsîl dike ku du hejmarên tam ên bi awayekî tesadufî ji rêzek berfireh hatine hilbijartin dê bi hev re seretayî bin, ango, ew ti faktorên Berbelav parve nakin.

Belavbûna makroskopîk a hejmarên seretayî, di nav de Pîvana hejmarên seretayî yên di bin sînorek mezin a diyarkirî de, ji hêla teorema hejmarên seretayî ve tê diyar kirin. Lê belê, formulek bikêrhatî ji bo diyarkirina hejmara seretayî ya ⁠${\displaystyle n}$⁠-emîn hîn nehatiye dîtin. Teorema Dirichlet li ser rêzikên aritmetîkî, di formulekirina xwe ya Bingehîn de, destnîşan dike ku polînomên xêzî

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

ku reqemên tam ⁠${\displaystyle a}$⁠ û ⁠${\displaystyle b}$⁠ hevseretayî ne, hejmareke Bêdawî ya nirxên seretayî peyda dikin. Guhertoyên pêşketîtir ên vê teoremê destnîşan dikin ku berhevkirina berevajîyên van nirxên seretayî ji hev dûr dikeve, û ku polînomên xêzî yên cuda yên ku heman Parametre ⁠${\displaystyle b}$⁠ rêjeyên seretayî yên Nêzîkî wekhev nîşan didin. Her çend texmînên derbarê rêjeyên seretayî yên ku ji hêla polînomên pilebilind ve têne hilberandin hatine pêşniyar kirin jî, ev hîn nehatine îsbat kirin. Herwiha, niha Nenas e gelo her polînomeke çargoşeyî dikare hejmarên seretayî Gelek caran bi awayekî Bêdawî hilberîne dema ku bi têketinên tam tê nirxandin.

Îsbatkirina Analîtîk a Teorema Euclid

Îsbata Euler, ku Bêdawîbûna hejmarên seretayî destnîşan dike, lêkolînek li ser berhevkirina berevajîyên wan dihewîne.

8§1011§ + 18 §2021§ + 28 §3031§ + 38 §4041§ + ⋯ + 53 p . {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}

Euler nîşan da ku ji bo her hejmareke rastîn a keyfî ⁠${\displaystyle x}$⁠, hejmareke seretayî ⁠${\displaystyle p}$⁠ heye ku ev berhevkirin ji ⁠${\displaystyle x}$⁠ mezintir dibe. Ev vedîtin Bêdawîbûna hejmarên seretayî îsbat dike, ji ber ku komek sînordar a hejmarên seretayî dê bide xuyakirin ku berhevkirin li seretayiya herî mezin digihîje herî zêdeyek sînordar, li şûna ku bi berdewamî her ⁠${\displaystyle x}$⁠ derbas bike. Teorema duyemîn a Mertens ravekireke rasttir a rêjeya mezinbûna vê berhevkirinê peyda dike. Berevajî, berhevkirin

8 §1112§ §1415§ + 24 §2728§ §3031§ + 40 §4344§ §4647§ + ⋯ + 61 n §6768§ {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}

ber bi Bêdawî ve naçe dema ku ⁠${\displaystyle n}$⁠ nêzîkî Bêdawî dibe. Ev bûyer di pirsgirêka Baselê de bi berfirehî hatiye vegotin. Wekî encam, hejmarên seretayî li gorî çargoşeyên hejmarên xwezayî frekansek bilindtir a rûdanê nîşan didin, tevî ku her du kom jî Bêdawî ne. Teorema Brun her wiha diyar dike ku berhevoka berevajîyên hejmarên seretayî yên cêwî,

(12 §1415§ + 22 §2425§ ) + ( 40 §4243§ + 50 §5253§ ) + ( 68 §7071§ + 78 ) + ⋯ , {\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}

sînordar e. Teorema Brun destnîşan dike ku rêbaza Euler nikare were bikaranîn ji bo çareserkirina texmîna hejmarên seretayî yên cêwî, ya ku hebûna hejmareke Bêdawî ya hejmarên seretayî yên cêwî pêşniyar dike.

Hejmartina Hejmarên Seretayî Heta Sînorek Diyarkirî

Fonksiyona hejmartina hejmarên seretayî, ku wekî ${\displaystyle \pi (n)}$ tê nîşankirin, hejmara hejmarên seretayî yên ku ji ⁠${\displaystyle n}$⁠ derbas nabin diyar dike. Mînak, ⁠${\displaystyle \pi (11)=5}$⁠, hebûna pênc hejmarên seretayî yên ku ji 11 kêmtir an wekhev in nîşan dide. Algorîtmayên mîna algorîtma Meissel–Lehmer, hesabkirina rast a ${\displaystyle \pi (n)}$ bi bandortir ji hejmartina her hejmareke seretayî heta ⁠${\displaystyle n}$⁠ gengaz dikin. Teorema Hejmara Seretayî diyar dike ku ${\displaystyle \pi (n)}$ tevgera asîmptotîk a wekhevî ⁠${\displaystyle n/\log n}$⁠ nîşan dide, têkiliyek ku bi fermî wiha tê îfadekirin:

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

Ev tê wê wateyê ku rêjeya ${\displaystyle \pi (n)}$ li hemberî kasra aliyê rastê, dema ku ⁠${\displaystyle n}$⁠ ber bi Bêdawî ve diçe, nêzîkî 1 dibe. Wekî encam, îhtîmala ku hejmareke tam a bi awayekî rasthatî hatiye hilbijartin û ji ⁠${\displaystyle n}$⁠ biçûktir e, seretayî be, Nêzîkî bi awayekî berevajî rêjeyî ye bi hejmara reqemên di ⁠${\displaystyle n}$⁠ de. Herwiha, ev teorî destnîşan dike ku hejmara seretayî ya ⁠${\displaystyle n}$⁠-emîn bi awayekî rêjeyî bi ${\displaystyle n\log n}$ re mezin dibe, ku tê wateya ku Mezinahiya navîn a valahiya seretayî rêjeyî ye bi ⁠${\displaystyle \log n}$⁠. Texmînek rasttir ji bo ${\displaystyle \pi (n)}$ ji hêla întegrala Qurmî ya jicîhûştî ve tê peyda kirin.

π<!-- π --> ( n ) ∼<!-- ∼ --> Li ⁡<!-- ⁡ --> ( n ) = ∫<!-- ∫ --> 36 n d t log ⁡ t . {\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}

Rêzên Aritmetîkî

Rêzeke aritmetîkî rêzeke hejmaran a sînordar an Bêdawî pêk tîne, ku cudahiya di navbera endamên li pey hev de Berdewam dimîne. Ev cudahiya Berdewam wekî modulusa rêzê tê binavkirin. Mînak,

${\displaystyle 3,12,21,30,39,...,}$

Ev rêze rêzeke aritmetîkî ya Bêdawî ye ku modulusa wê 9 e. Di nav rêzeke aritmetîkî de, hemî endam dema ku li ser modulusê têne dabeşkirin, bermayiyek yekta didin; di vê rewşa taybetî de, bermayî 3 e. Ji wê demê ve ku hem modulus (9) û hem jî bermayî (3) dabeşbarê 3 ne, her Elementek di nav vê rêzê de di heman demê de pirjimara 3 ye. Wekî encam, ev rêze tenê hejmareke seretayî ya yekane dihewîne, ku ew 3 ye. Bi awayekî berfirehtir, rêzeke Bêdawî ya bi vî Formî

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

Rêzikeke arîtmetîkî dikare zêdetirî yek hejmara seretayî bi tenê dema ku bermayiya wê ⁠${\displaystyle a}$⁠ û modûla wê ⁠${\displaystyle q}$⁠ hevseretayî bin, di nav xwe de bigire. Ger ev nirx hevseretayî bin, Teorema Dirichlet li ser rêzikên arîtmetîkî hebûna hejmareke bêdawî ya hejmarên seretayî di nav wê rêzikê de garantî dike.

Teorema Green–Tao hebûna rêzikên arîtmetîkî yên sînordar ên bi dirêjahiya keyfî ku bi tevahî ji hejmarên seretayî pêk tên, nîşan dide.

Nirxên Seretayî yên ku Ji hêla Polînomên Kuadratîk ve Tên Hilberandin

Euler çavdêrî kir ku fonksiyona matematîkî

n10−n+41{\displaystyle n^{2}-n+41}

Ev fonksiyon ji bo ⁠7≤n≤40{\displaystyle 1\leq n\leq 40}⁠ hejmarên seretayî hilberîne, lê hejmarên pêkhatî di nav encamên wê yên paşîn de derketin holê. Lêkolîna li ser vê çavdêriyê beşdarî pêşketina teoriya hejmaran a cebîrî ya kûr derbarê hejmarên Heegner û pirsgirêka hejmara çînê de kir. Hîpoteza Hardy–Littlewood F tîrbûna hejmarên seretayî di nav encamên polînomên kuadratîk ên bi hevkêşeyên tam de pêşniyar dike, ku bi rêya întegrala logarîtmîk û hevkêşeyên polînomê bi xwe tê îfadekirin. Heta niha, ti polînoma kuadratîk nehatiye nîşandan ku rêzikeke bêdawî ya nirxên seretayî hilberîne.

Spîrala Ulam hejmarên xwezayî di nav tora du-alî de rêz dike, çargoşeyên hevcemserî çêdike ku ji jêderê ber bi derve dizivirin, bi hejmarên seretayî yên bi zelalî hatine nîşankirin. Çavdêriya dîtbarî eşkere dike ku hejmarên seretayî meyl dikin ku li ser diagonalên taybetî kom bibin ne li ser yên din, tê wateya ku hin polînomên kuadratîk nirxên seretayî bi frekansa mezintir hilberînin.

Fonksiyona Zeta û Hîpoteza Riemann

Hîpoteza Riemann, ku di sala 1859an de hatiye formulekirin û wekî yek ji Pirsgirêkên Xelata Hezarzale tê naskirin, enigmayeke matematîkî ya girîng û neçareserkirî temsîl dike. Ew hewl dide ku cihên rastîn ên sifirên fonksiyona zeta ya Riemann, ku wekî ${\displaystyle \zeta (s)}$ tê nîşankirin, diyar bike. Ev fonksiyon wekî fonksiyoneke analîtîk li seranserê hejmarên tevlihev kar dike. Ji bo hejmarên tevlihev ⁠${\displaystyle s}$⁠ ku xwedî beşeke rastîn a ji yekê mezintir in, ew dikare bi hevwateyî wekî hem kombûneke bêdawî li ser hemî hejmarên tam û hem jî berhemeke bêdawî li ser hejmarên seretayî were îfadekirin.

ζ<!-- ζ -->(s)=∑<!-- ∑ -->n=§2627§∞§3638§ns=∏p prime§6467§§6870§−p−s.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}

Vedîtina Euler a vê wekheviya berhem-komê wekî berhemeke Euler tê zanîn. Berhema Euler, ku ji teorema bingehîn a arîtmetîkê tê derxistin, têkiliya kûr a di navbera fonksiyona zeta û hejmarên seretayî de ronî dike. Ev prensîb di heman demê de selmandineke alternatîf ji bo bêsînoriya hejmarên seretayî peyda dike: heke hejmareke sînorkirî ya hejmarên seretayî were texmîn kirin, wekheviya berhem-komê dê li ⁠s =11 {\displaystyle s=1} ⁠ derbasdar be. Lê belê, di vê xalê de, kom (rêzeya harmonîk ⁠29 + §3637§ §3839§ + §4849§ §5051§ + … {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots } ⁠) dê diverje, lê berhem dê sînorkirî bimîne, ku ev yek dibe sedema nakokiyeke mentiqî.

Hîpoteza Riemann destnîşan dike ku hemî sifirên fonksiyona zeta an hejmarên cot ên neyînî ne an jî hejmarên tevlihev in ku xwedî beşa rastîn a 1/2 ne. Selmandina destpêkê ya teorema hejmara seretayî pişta xwe da guhertoyeke qelstir a vê hîpotezê, bi taybetî ku ti sifirên bi beşa rastîn a 1 tune ne; lê belê, ji wê demê ve selmandinên paşê, yên hêsantir derketine holê. Formula eşkere ya Riemann dihêle ku fonksiyona hejmartina seretayî wekî komek were vegotin, ku her yek ji endamên pêkhatî ji sifirek fonksiyona zeta derdikeve. Pêkhateya sereke ya vê komkirinê întegrala logarîtmîk e, digel ku endamên mayî li dora vê pêkhateya sereke dibin sedema lerizînan. Wekî encam, ev sifir rêkûpêkiya belavbûna hejmarên seretayî birêve dibin. Ger hîpoteza Riemann rast Selmandin, ev lerizîn dê herî kêm bin, û belavbûna asîmptotîk a hejmarên seretayî, ku ji hêla teorema hejmara seretayî ve hatî damezrandin, dê berfireh bibe ser navberên bi awayekî girîng kurttir (nêzîkî koka çargoşe ya ⁠${\displaystyle x}$⁠ ji bo navberên nêzîkî ⁠${\displaystyle x}$⁠).

Cebîra razber

Arîtmetîka modular û zeviyên sînorkirî

Ji perspektîfa cebîra razber, kapasîteya dabeşkirinê tê wateya ku arîtmetîka modular bi modûlek seretayî zeviyekê pêk tîne, an jî bi rastî, zeviyeke sînorkirî. Berevajî vê, modûlên din tenê zengilekê damezrînin, ne zeviyekê.

Aritmetîka modular Çarçoveyekê ji bo vegotina teoremên cihêreng ên derbarê hejmarên seretayî de pêşkêş dike. Mînak, Teorema Biçûk a Fermat dibêje ku heke a ≢10 {\displaystyle a\not \equiv 0} (mod ⁠${\displaystyle p}$⁠) be, wê demê a p −<!-- − -->53 ≡ 60 {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1} (mod ⁠${\displaystyle p}$⁠) ye. Berhevkirina vê encamê li ser hemî nirxên gengaz ên ⁠${\displaystyle a}$⁠, ev hevkêşeya jêrîn dide:

∑<!-- ∑ --> a =15 p − 24 a p − 37 ≡ ( p − 51 ) ⋅ §5859§ ≡ − §6667§ ( mod p ) , {\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}

Ev hevkêşe tenê dema ku ⁠${\displaystyle p}$⁠ hejmareke seretayî be rast e. Texmîna Giuga diyar dike ku ev hevkêşe herwiha wekî Mercê têrker ji bo ku ⁠${\displaystyle p}$⁠ seretayî be kar dike. Herwiha, Teorema Wilson destnîşan dike ku hejmareke tam 46 {\displaystyle p>1} seretayî ye heke û tenê heke faktoriya wê, ( p −<!-- − -->69 ) ! {\displaystyle (p-1)!} , bi −<!-- − -->92 {\displaystyle -1} modulo ⁠${\displaystyle p}$⁠ re hevaheng be. Ev Merc nikare ji bo hejmareke pêkhatî ⁠${\displaystyle n=r\cdot s}$⁠ were bicîhanîn, Ji ber ku qet nebe yek ji faktorên wê hem n û hem jî ⁠( n −<!-- − -->163 ) ! {\displaystyle (n-1)!} ⁠ parve dike, ku hevahengiya ( n −<!-- − -->191 ) ! ≡ − §203204§ ( mod n ) {\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}} ne gengaz dike.

Hejmarên p-adîk

Rêza ⁠${\displaystyle p}$⁠-adîk, ku wekî ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ tê nîşankirin, ji bo hejmareke tam ⁠${\displaystyle n}$⁠, hêza ⁠${\displaystyle p}$⁠ di faktorîzasyona wê ya seretayî de diyar dike.

Çarçoveya têgînî ya ku nîzam, nirxa mutleq û zeviyên wan ên temamkirî yên jêderkirî dihewîne, dikare berbi zeviyên hejmarên cebîrî ve were berfirehkirin. Ev giştîkirin nirxandinan dihewîne, ku ew nexşekirinên taybetî ne ji koma pirjimarî ya zeviyekê berbi komeke lêker a bi tevahî rêzkirî (ku wekî nîzam jî tên binavkirin); nirxên mutleq, ku wekî nexşekirinên pirjimarî ji zeviyê berbi hejmarên rastîn (ku wekî norm jî tên zanîn) têne pênasekirin; û cihan, ku ew berfirehkirinên berbi zeviyên temamkirî ne ku tê de zeviya orîjînal binekomeke tîr çêdike (ku wekî temamkirin jî têne binavkirin). Mînak, berfirehkirina ji hejmarên rasyonel berbi hejmarên rastîn mînakek cîhek e ku tê de dûrahiya di navbera hejmaran de ji hêla nirxa mutleq a standard a cudahiya wan ve tê destnîşankirin. Her çend logarîtma nirxa mutleq dikare wekî nexşekirinek têkildar ji komeke lêker re xizmet bike jî, ew pîvanên ji bo nirxandinê bi tevahî têr nake. Teorema Ostrowski diyar dike ku, di bin têkiliyek hevwate ya xwezayî de, hejmarên rastîn û hejmarên ⁠${\displaystyle p}$⁠-adîk, digel nîzamên wan ên pêwendîdar û nirxên mutleq, nirxandin, nirxên mutleq û cihên yekane ne ku li ser hejmarên rasyonel hatine pênasekirin. Prensîba herêmî-gerdûnî Çareseriya pirsgirêkên taybetî yên derbarê hejmarên rasyonel de hêsan dike bi sentezkirina çareseriyên ku ji her yek ji cihên wan ên têkildar hatine wergirtin, bi vî rengî rola Bingehîn a hejmarên seretayî di Teorîya hejmaran de ji nû ve tekez dike.

Elementên Seretayî Di nav de Zengekê

Zengilek komutatîv avahiyek cebîrî pêk tîne ku bi operasyonên diyarkirî yên kombûn, jêderxistin û pirbûnê tê taybetmendîkirin. Koma hejmarên tam zengilekê çêdike, û têgeha hejmarên asal di nav hejmarên tam de ji bo zengilên giştî bi du dabeşkirinên cûda hatiye berfirehkirin: Elementên asal û Elementên nekêmkirî. Elementek ⁠${\displaystyle p}$⁠ di nav zengilekê ⁠${\displaystyle R}$⁠ de wek asal tê binavkirin eger ne sifir be, berevajîyek pirbûnê tune be (ango, ne yekîne be), û mercê ku her gava ⁠${\displaystyle p}$⁠ berhema ${\displaystyle xy}$ ya du Elementan ji ⁠${\displaystyle R}$⁠ dabeş bike, divê herî kêm yek ji ⁠${\displaystyle x}$⁠ an ⁠${\displaystyle y}$⁠ jî dabeş bike, bicîh bîne. Berovajî, Elementek wek nekêmkirî tê hesibandin eger ne yekîne be û ne jî wek berhema du Elementên din ên ne-yekîne were îfadekirin. Di nav zengila hejmarên tam de, Elementên asal û nekêmkirî komek wekhev pêk tînin.

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

Di nav zengilek keyfî de, her Elementek asal bi neçarî nekêmkirî ye. Lê belê, berevajîya vê gotinê bi gerdûnî ne rast e, tevî ku ew bi taybetî ji bo qadên faktorîzasyona Bêhempa derbasdar e.

Teorema bingehîn a arîtmetîkê bi xwezayî di nav domainên faktorîzasyona bêhempa de derbasdar e. Mînakek berbiçav ji domainek wusa hejmarên Gaussî ne, ku wekî ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$⁠ têne nîşankirin. Ev zengil ji hejmarên Tevlihev pêk tê ku wekî ${\displaystyle a+bi}$ hatine avakirin, li ku ⁠${\displaystyle i}$⁠ yekîneya xeyalî temsîl dike, û ⁠${\displaystyle a}$⁠ û ⁠${\displaystyle b}$⁠ hejmarên tam in. Elementên asal di nav vê domainê de wekî asalên Gaussî têne binavkirin. Pêwîst e ku were zanîn ku ne hemî hejmarên tam ên ku di koma hejmarên tam de asal in, asalbûna xwe di nav hejmarên Gaussî de diparêzin. Mînak, hejmara tam 2 dikare wekî berhema du asalên Gaussî were îfadekirin: 108 + i {\displaystyle 1+i} û ⁠129 − i {\displaystyle 1-i} ⁠. Asalên rasyonel (ango, hejmarên asal di koma hejmarên tam de) ku bi 3 modulo 4 re hevaheng in, wekî asalên Gaussî têne dabeşkirin, dema ku yên ku bi 1 modulo 4 re hevaheng in ne wusa ne. Ev cudahî ji teorema Fermat li ser berhevoka du çargoşeyan derdikeve, ku diyar dike ku asalek tek ⁠${\displaystyle p}$⁠ dikare wekî berhevoka du çargoşeyan were îfadekirin, bi taybetî ⁠p = x178 + y 188 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} ⁠. Wekî encam, ew dikare wekî ⁠${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$⁠ were faktorîzekirin, bi rastî dema ku ⁠${\displaystyle p}$⁠ bi 1 modulo 4 re hevaheng e.

Îdealên asal

Ne her zengilek qadeke faktorîzasyona Bêhempa pêk tîne. Mînak, zengila hejmarên ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ (li cihê ku ⁠${\displaystyle a}$⁠ û ⁠${\displaystyle b}$⁠ hejmarên tam in) faktorîzasyona Bêhempa nîşan nade. Ev yek bi hejmara ${\displaystyle 21}$ tê nîşandan, ku du faktorîzasyonên cuda hene: ⁠§8889§ = §9293§ ⋅<!-- ⋅ --> = ( §103104§ + §107108§ −<!-- − --> §114115§ ) ( §122123§ − §127128§ −<!-- − --> §134135§ ) {\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})} ⁠. Di vê rewşê de, yek ji çar Faktoran jî nikare bêtir were kêmkirin, bi vî awayî rê li ber faktorîzasyona Bêhempa digire. Ji bo berfirehkirina faktorîzasyona Bêhempa li ser çînek berfirehtir a zengilan, têgeha hejmarê bi ya îdealê tê guhertin, ku wekî binekomakek ji Elementên zengilê tê pênasekirin ku di bin kombûnê de (hemî berhevokên cotên Elementên xwe dihewîne) û di bin pirbûna bi her Elementek zengilê de girtî ye.

Spektrumek zengilê Feza geometrîk pênase dike, li cihê ku xalên wê bi îdealên sereke yên wê zengilê re li hev tên. Ev têgeh di geometriye arîtmetîk de jî sûdmend e, li cihê ku gelek prensîb di navbera geometrî û teoriya hejmaran de têne parvekirin. Mînak, faktorîzasyon an şaxbûna îdealên sereke dema ku berfireh dibin bo qadek mezintir, ku pirsgirêkek Bingehîn e di teoriya hejmarên cebîrî de, paralelî bi şaxbûna geometrîk re nîşan dide. Têgehên weha dikarin di lêkolînên tenê yên teoriya hejmaran de jî alîkariyê bikin, yên ku bi taybetî li ser hejmarên tam disekinin. Mînak, sepandina îdealên sereke Di nav zengila hejmarên tam ên qadên hejmarên çargoşeyî de, îspatkirina recîprokîtiya çargoşeyî hêsan dike, ku Teorîyek e ku Hebûna kokên çargoşeyî modulo hejmarên sereke yên tam vedibêje. Hewldanên destpêkê yên ji bo îspatkirina Teorema Dawîn a Fermat, Kummer teşwîq kir ku hejmarên sereke yên rêkûpêk bide nasîn, yên ku hejmarên sereke yên tam in û bi hilweşîna faktorîzasyona Bêhempa di hejmarên tam ên sîklotomîk de ve girêdayî ne. Teorema tîrbûnê ya Chebotarev bersiva lêpirsîna li ser hejmara hejmarên sereke yên tam dide ku di nav gelek îdealên sereke de Di nav qadek hejmarên cebîrî de Faktor dibin; dema ku li ser hejmarên tam ên sîklotomîk tê sepandin, ev Teorî, Teorema Dirichlet li ser hejmarên sereke di rêzikên arîtmetîk de wekî mînakek taybetî dihewîne.

Teoriya komê

Di nav Teoriya komên sînorkirî de, teoremên Sylow destnîşan dikin ku heke hêzeke hejmareke asal, bi rastî ${\displaystyle p^{n}}$, rêkûpêkiya komekê parve bike, wê demê ew kom bi neçarî binkomek bi rêkûpêkiya ⁠${\displaystyle p^{n}}$⁠ dihewîne. Herwiha, teoremeya Lagrange diyar dike ku her komek bi rêkûpêkiya asal sîklîk e, dema ku teoremeya Burnside îdîa dike ku her komek ku rêkûpêkiya wê bi rastî ji hêla du hejmarên asal ve tê parvekirin, çareserkirî ye.

Rêbazên hesabkerî

Di dîrokê de, Teoriya hejmaran, û bi taybetî lêkolîna hejmarên asal, bi berfirehî wekî mînaka herî baş a matematîka paqij dihat dîtin, ku ti serlêdanên wê yên pratîkî tune bûn, wêdetirî bikaranîna diranên çerxên bi hejmarên asal ji bo dabînkirina belavbûna yekreng a xişandinê. Bi taybetî, teorîsyenên hejmaran ên mîna matematîkzanê Brîtanî G. H. Hardy serbilind bûn ku lêkolînên bêyî girîngiya leşkerî dikin.

Ev têgihîştina paqijiya xwerû ya Teoriya hejmaran di salên 1970an de bi eşkerekirina giştî ya ku hejmarên asal dikarin bingeha bingehîn ji bo pêşxistina algorîtmayên Krîptografiya mifteya giştî pêk bînin, bi bingehîn hate guhertin. Van serlêdanên pratîkî lêkolînên berfireh di algorîtmayên ji bo hesabên ku hejmarên asal tê de ne, bi taybetî li ser ceribandina asalîbûnê – rêbazên ku ji bo tespîtkirina gelo hejmarek diyarkirî asal e an na, hatine sêwirandin – teşwîq kirine. Rêbaza herî bingehîn a ceribandina asalîbûnê, dabeşkirina ceribandinê, ji bo hejmarên mezin ji ber hêdîbûna xwe ya hesabkerî bêbandor e. Dema ku yek kategorî ya ceribandinên asalîbûnê yên nûjen ji bo hejmarên kêfî guncan e, ceribandinên bi bandortir ên hesabkerî ji bo hejmarên ku taybetmendiyên taybetî nîşan didin hene. Piraniya ceribandinên asalîbûnê tenê destnîşan dikin ka argumana wan a Têketinê asal e an hevedudanî ye. Algorîtmayên ku Herwiha Faktorek asal (an hemî Faktorên asal) ên têketinên hevedudanî peyda dikin, wekî algorîtmayên faktorîzasyonê têne binavkirin. Herwiha, hejmarên asal di hesabkeriyê de ji bo serlêdanên mîna kontrolsuman, tabloyên heşê, û jeneratorên hejmarên pseudorandom bikêrhatî ne.

Dabeşkirina ceribandinê

Rêbaza bingehîn ji bo zelalkirina asaletiya hejmareke diyarkirî ⁠${\displaystyle n}$⁠ wekî dabeşkirina ceribandinê tê zanîn. Ev pêvajo tê de ye ku ⁠${\displaystyle n}$⁠ bi her hejmarekê ji 2 heta koka wê ya çargoşe, ⁠${\displaystyle n}$⁠, were dabeşkirin. Heke yek ji van hejmaran ⁠${\displaystyle n}$⁠ bêyî bermayî dabeş bike, wê demê ⁠${\displaystyle n}$⁠ wekî hejmareke pêkhatî tê dabeşkirin; wekî din, ew asal tê hesibandin. Ne hewce ye ku hejmarên ku ji koka çargoşe mezintir in werin lêkolîn kirin, ji ber ku heke ⁠${\displaystyle n=a\cdot b}$⁠ be, qet nebe yek ji faktorên, ⁠${\displaystyle a}$⁠ an jî ⁠${\displaystyle b}$⁠, divê ji koka çargoşe ya ⁠${\displaystyle n}$⁠ kêmtir an wekhev be. Optimîzasyoneke din tê de ye ku dabeşkerên di nav vê rêzê de tenê ji bo hejmarên asal werin sînordarkirin. Mînak, ji bo diyarkirina asaletiya 37, ev teknîk pêk tîne ku ew bi hejmarên asal ên di navbera 2 û ⁠182§§188 {\displaystyle {\sqrt {37}}} ⁠ de, bi taybetî 2, 3, û 5, were dabeşkirin. Her dabeşkirin bermayiyek ne-sifir dide, lewra 37 wekî hejmareke asal tê piştrastkirin.

Her çend di warê têgînî de hêsan be jî, ev rêbaz ji bo nirxandina asaletiya hejmarên mezin ji bo pêkanînê ne gengaz dibe, ji ber ku hejmara ceribandinên pêwîst bi hejmara reqemên di hejmarê de bi awayekî eksponensiyel zêde dibe. Lêbelê, dabeşkirina ceribandinê kêrhatî dimîne, gelek caran bi sînorek dabeşker ku ji koka çargoşe piçûktir e tê bikaranîn, da ku zû hejmarên pêkhatî yên xwedî faktorên piçûk werin nasîn, berî sepandina algorîtmayên pêşketîtir li ser hejmarên ku vê sînorê destpêkê bi serfirazî derbas dikin.

Rêbazên Sîvê

Berî derketina komputeran, tabloyên matematîkî yên ku hejmarên asal an jî faktorîzasyonên wan heta astek diyarkirî rêz dikirin, bi rêkûpêk dihatin weşandin. Algorîtma herî kevnar a naskirî ji bo berhevkirina lîsteyek hejmarên asal wekî Sîva Eratosthenes tê binavkirin. Cureyek optimîzekirî ya vê rêbazê hatiye pêşxistin. Teknîkek sîvê ya cuda, ku karîgeriyeke asîmptotîk a bilindtir ji bo vê pirsgirêka taybetî pêşkêş dike, Sîva Atkin e. Di nav çarçoveyên matematîkî yên pêşketî de, teoriya sîvê metodolojiyên mîna hev berfireh dike da ku spektrumek firehtir a pirsgirêkan çareser bike.

Cudahiya Di Navbera Ceribandina Asaletiyê û Îspatkirina Asaletiyê de

Testên seretayî yên nûjen, nemaze yên ku ji bo lezê hatine sêwirandin, Gelek caran algorîtmayên îhtîmalî (Monte Carlo) bikar tînin da ku diyar bikin gelo hejmareke keyfî ⁠${\displaystyle n}$⁠ seretayî ye. Van rêbazan bi xwezayî îhtîmaleke piçûk û rasthatî dihewînin ku encamek xelet bidin. Wek mînak, testa seretayî ya Solovay–Strassen, dema ku li ser hejmarek ⁠${\displaystyle p}$⁠ tê sepandin, hilbijartina hejmareke tam a rasthatî ⁠${\displaystyle a}$⁠ ji navbera [2, p −<!-- − -->65 {\displaystyle p-2} ] pêk tîne. Paşê ew hêzdarkirina modular bi kar tîne da ku diyar bike gelo a ( p −<!-- − -->92 ) / §100101§ ± 107 {\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1} bi ⁠${\displaystyle p}$⁠ tê dabeşkirin. Encamên erênî seretayîbûnê destnîşan dikin, dema ku encamên neyînî pêkhatîbûnê pêşniyar dikin. Ger ⁠${\displaystyle p}$⁠ bi rastî seretayî be, test dê her gav erêkirinek erênî bide. Lê belê, eger ⁠${\displaystyle p}$⁠ pêkhatî be, îhtîmala pozîtîfek derewîn (bersiva erê) herî zêde 1/2 ye, dema ku îhtîmala ku ew bi durustî wekî pêkhatî were nasîn (bersiva na) herî kêm 1/2 ye. Dema ku ev test ⁠${\displaystyle n}$⁠ caran li ser heman hejmarê bi dubarekirî tê kirin, îhtîmala ku hejmareke pêkhatî bi domdarî hemî dubarekirinan derbas bike, bi ⁠196 / §203204§ n {\displaystyle 1/2^{n}} ⁠ ve sînorkirî ye. Ev kêmbûna îhtîmalê ya eksponensiyel bi awayekî girîng baweriyê zêde dike ku hejmarek ku bi serkeftî testên dubarekirî derbas dike, bi rastî seretayî ye, tevî ku ew ne diyarîyek bêkêmasî peyda nake. Berovajî, her têkçûnek yekane ya testê bi teqez hejmarê wekî pêkhatî destnîşan dike. Hejmareke pêkhatî ya ku bi xeletî testek seretayîbûnê derbas dike, wekî hejmareke derewîn-seretayî (pseudoprime) tê binavkirin.

Berevajî vê, hin algorîtmayên alternatîf garantiyek rastiya bêkêmasî di diyarkirinên xwe de pêşkêş dikin: hejmarên asal bêkêmasî wekî asal têne nasîn, û hejmarên pêkhatî bi domdarî wekî pêkhatî têne pejirandin. Dabeşkirina ceribandinê mînakek rêbazek wusa ye. Algorîtmayên ku encamên rast ên verastkirî didin, hem nêzîkatiyên determinîst (ne-rasthatî), wekî testa asalî ya AKS, hem jî algorîtmayên rasthatî yên Las Vegasê dihewînin. Di ya paşîn de, hilbijartinên rasthatî yên ku di dema cîbicîkirinê de têne kirin, rastiya encama dawîn xera nakin, wekî ku di hin cîbicîkirinên îsbatkirina asalî ya kevaniya elîptîk de tê dîtin. Piştî diyarkirina asalî ya hejmarekê, rêbaza kevaniya elîptîk sertîfîkayek asalî diafirîne, ku dikare zû were pejirandin. Her çend testa asalî ya kevaniya elîptîk di nav rêbazên bi rastiya garantîkirî de ji hêla ezmûnî ve ya herî bikêrhatî ye, analîza dema xebata wê xwe dispêre ramana hîssî (heurîstîk) ne ku îsbatên matematîkî yên fermî. Berevajî, testa asalî ya AKS xwedî tevliheviyek demê ya matematîkî ya sazkirî ye, lêbelê ew performansek pratîkî ya hêdîtir nîşan dide li gorî îsbatkirina asalî ya kevaniya elîptîk. Van teknîkan nifşa hejmarên asal ên rasthatî yên mezin hêsan dikin bi hilberandin û ceribandina dubare ya hejmarên tam ên rasthatî heta ku asalelek were nasîn. Di vê pêvajoyê de, testek destpêkê, îhtîmalî ya zûtir dikare bi bandor piraniya hejmarên pêkhatî derxîne, algorîtmayên bi hesabkirina zêdetir, bi rastiya garantîkirî veqetîne ji bo verastkirina dawîn a berendamên mayî.

Tabloya jêrîn çend ji van testan rêz dike. Dema xebata wan li gorî ⁠${\displaystyle n}$⁠ tê îfadekirin, ku hejmara tam a di bin lêkolînê de temsîl dike, û ji bo algorîtmayên îhtîmalî, pîvan ⁠${\displaystyle k}$⁠, ku hejmara dubarekirinên hatine kirin nîşan dide. Herwiha, ${\displaystyle \varepsilon }$ nirxek erênî ya bi keyfî biçûk nîşan dide, û "Qurm" (log) qurmê bi bazek ne diyar vedibêje. Nîşana O ya mezin tê vê wateyê ku her sînorek demê hewcedariya pirbûna bi faktorek berdewam (constant) heye ji bo ku ew ji yekîneyên bê-dimensî veguhezîne yekîneyên demkî; ev faktor bi taybetmendiyên cîbicîkirinê ve girêdayî ye, wekî reqalava (hardware) hesabker a hatî bikar anîn, lê serbixwe dimîne ji parametreyên têketinê (input) ⁠${\displaystyle n}$⁠ û ⁠${\displaystyle k}$⁠.

Algorîtmayên Taybetmendî û Hejmarên Asal ên Herî Mezin ên Hatine Nasîn

Wêdetirî ceribandinên giştî yên asalîtiyê yên ku ji bo her hejmareke xwezayî derbasdar in, hin hejmarên xwedî avahiyeke taybet dikarin bi bandortir werin nirxandina asalîtiyê. Mînak, ceribandina asalîtiyê ya Lucas–Lehmer dikare bi awayekî diyarker asalîtiya hejmareke Mersenne (ku wekî yek kêmtir ji hêzeke du tê pênasekirin) di nav dema hesabkirinê de ku bi yek dubarekirina ceribandina Miller–Rabin re wekhev e, piştrast bike. Wekî encam, ji sala 1992-an ve (heta Cotmeha 2024-an), asalê herî mezin ê naskirî bi domdarî asalek Mersenne bûye. Texmînek berbelav hebûna hejmareke Bêdawî ya asalên Mersenne pêşniyar dike.

Tabloya jêrîn asalên herî mezin ên hatine nasîn li seranserê dabeşkirinên cûda pêşkêş dike. Gelek ji van asalan bi rêya înîsiyatîfên hesabkirina belavkirî hatine dîtin. Di sala 2009-an de, projeya Lêgerîna Asalên Mersenne yên Înternetê ya Mezin xelatek 100,000 dolarên Amerîkî wergirt ji ber ku ew yekem bû ku hejmareke asal a ku herî kêm 10 mîlyon reqem tê de hene nas kir. Sînorê Xwezayê ya Elektronîkî (Electronic Frontier Foundation) her weha teşwîqên 150,000 û 250,000 dolaran pêşkêş dike ji bo dîtina asalan bi kêmanî 100 mîlyon reqem û 1 mîlyar reqem, bi rêzê.

Faktorîzasyona Hejmarên Tam

Ji bo hejmareke tam a hevedudanî ⁠${\displaystyle n}$⁠, pêvajoya nasîna yek an hemî faktorên wê yên asal wekî faktorîzasyona ⁠${\displaystyle n}$⁠ tê binavkirin. Ev operasyon ji ceribandina asalîtiyê pir dijwartir e; Tevî hebûna gelek algorîtmayên faktorîzasyonê, ew bi gelemperî li gorî metodolojiyên ceribandina asalîtiyê yên herî bikêrhatî performansek hêdîtir nîşan didin. Teknîkên wekî dabeşkirina ceribandinê û algorîtma rho ya Pollard ji bo dîtina faktorên pir piçûk ên ⁠${\displaystyle n}$⁠ têne bikar anîn, dema ku faktorîzasyona kêşeya elîptîkî bi bandor derdikeve dema ku ⁠${\displaystyle n}$⁠ xwedî faktorên Mezinahîya nerm e. Rêbazên giştî yên ku ji bo hejmarên bêserûber mezin guncan in, bêyî mezinahiya faktorên wan, sîveya çargoşeyî û sîveya qada hejmarên giştî vedihewînin. Mîna ceribandina asalîtiyê, hin algorîtmayên faktorîzasyonê ji bo têketinên bi avahiyên taybetî hatine sêwirandin, wekî sîveya qada hejmarên taybet. Ji Kanûna Pêşîn a 2019-an ve, hejmara herî mezin a ku bi serfirazî ji hêla algorîtmayek giştî ve hatî faktorîzekirin RSA-240 bû, ku ji 240 reqemên dehanî (795 bit) pêk tê û berhema du hejmarên asal ên girîng temsîl dike.

Algorîtma Shor kapasîteya faktorîzekirina her hejmareke tam di nav hejmareke polînomî ya gavan de pêşkêş dike dema ku li ser komputerek Kuantum tê meşandin. Lêbelê, sînorên teknolojîk ên hevdem sepandina vê algorîtmayê tenê ji bo hejmarên pir piçûk sînordar dikin. Ji Cotmeha 2012-an ve, hejmara tam a herî zêde ya ku bi serfirazî ji hêla komputerek Kuantum ve bi karanîna algorîtma Shor hatî faktorîzekirin 21 bû.

Serlêdanên Hesabkirinê yên Zêde

Gelek algorîtmayên krîptografîk ên mifteya giştî, di nav de RSA û danûstendina mifteyê ya Diffie–Hellman, bi bingehîn xwe dispêrin hejmarên seretayî yên mezin, ku hejmarên seretayî yên 2048-bit standardek berbelav in. Paradîgmaya ewlehiyê ya RSA li ser asîmetriya hesabkerî ya di navbera pirbûna du hejmarên seretayî yên mezin, ⁠${\displaystyle x}$⁠ û ⁠${\displaystyle y}$⁠, û faktorîzekirina berhema wan, ${\displaystyle xy}$, ji bo vegerandina hejmarên seretayî yên orîjînal ⁠${\displaystyle x}$⁠ û ⁠${\displaystyle y}$⁠ (ku tê texmîn kirin ku hevseretayî ne) hatiye damezrandin. Berovajî, danûstendina mifteyê ya Diffie–Hellman hebûna algorîtmayên bikêrhatî ji bo hêzdarkirina modular (bi taybetî, hesabkirina ⁠${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$⁠) bi kar tîne, ku ev yek berevajî neçareseriya hesabkerî ya têgihîştî ya berevajiya wê, pirsgirêka logarîtma dîskret e.

Hejmarên seretayî di sêwirana tabloyên haşê de serlêdanek berfireh dibînin. Mînakî, şêweya haşkirina gerdûnî ya bingehîn ku ji hêla Carter û Wegman ve hat pêşniyar kirin, fonksiyonên xêzî yên rasthatî yên ku modulo hejmarên seretayî yên mezin hatine hesab kirin bikar anî da ku fonksiyonên haşê Hilberandin. Dûv re, Carter û Wegman ev metodolojî berfireh kirin da ku haşkirina ⁠${\displaystyle k}$⁠-serbixwe bi karanîna polînomên pileya bilindtir, ku ew jî modulo hejmarên seretayî yên mezin dixebitin, bi dest bixin. Wêdetir ji rola wan di avakirina fonksiyona haşê de, hejmarên seretayî di diyarkirina mezinahiya tabloyên haşê de di şêweyên lêgerîna çargoşeyî de jî krîtîk in, bi vî rengî garantî dikin ku rêzika lêgerînê bi bandor tevahiya tabloyê derbas dike.

Taybetmendiyên matematîkî yên hejmarên seretayî bingehê çend algorîtmayên kontrolê (checksum) ne. Mînakî, kontrolên ku di Hejmarên Pirtûkên Standard ên Navneteweyî (ISBN) de cih digirin, bi hesabkirina bermayiya hejmarê dema ku li 11 tê dabeş kirin, ku hejmarek seretayî ye, têne wergirtin. Seretayîbûna 11 rê dide vê rêbazê ku bi bandor hem xeletiyên yek-reqemî û hem jî veguheztinên reqemên cîran nas bike. Herwiha, algorîtma kontrolê ya Adler-32 arîtmetîka modulo 65521 bikar tîne, ku ev hejmara seretayî ya herî mezin e ku ji ⁠8 16 {\displaystyle 2^{16}} ⁠ piçûktir e. Zêdetir, hejmarên seretayî ji bo cûrbecûr hilberînerên hejmarên pseudorasthatî, wekî hilberînerên kongruensî yên xêzî û Mersenne Twister, bingehîn in.

Serlêdanên Din

Digel ku hejmarên asal di teoriya hejmaran de bingehîn in, ew di gelek qadên matematîkî yên cihêreng de, di nav de cebreya razber û geometriya bingehîn, serlêdanên girîng jî hene. Mînakî, mîheng hene ku tê de hejmareke asal a xalan dikare li ser torgilokek du-alî were rêzkirin, bi awayekî ku sê xal ne li ser heman xetê bin, an jî, her sêgoşeyek ku ji sê xalên van pêk tê, rûberek berbiçav digire. Nimûneyek din jî krîtera Eisenstein e, ku bi lêkolîna dabeşbûna hejmarên pêşîn ên polînomê ji hêla hejmareke asal û çargoşeya wê ve, testek ji bo ne-kêmkirina polînomê peyda dike.

Xwezaya bingehîn a hejmarên asal bûye sedema giştîkirina wan di dîsîplînên matematîkî yên cihêreng de. Bi gelemperî, peyva "asal" kêmî an ne-rizînê di nav çarçoveyek matematîkî ya taybetî de destnîşan dike. Mînakî, qada asal a ku bi qadek diyarkirî ve girêdayî ye, qada wê ya jêrîn a herî kêm e ku hem 0 û hem jî 1 dihewîne. Ev qada asal an qada hejmarên rasyonel e an jî qadek sînorkirî ye ku bi hejmareke asal a elementan ve tê diyar kirin, ku ev jî navdariya wê rave dike. Herwiha, peyva "asal" bi gelemperî wateyek duyemîn jî dihewîne: kapasîteya ku her tiştek bi awayekî bêhempa di nav pêkhateyên xwe yên asal ên bingehîn de were Rizîn. Mînakî, di teoriya girêkan de, girêkek asal wekî girêkek ne-rizîn tê pênasekirin, ku tê vê wateyê ku ew nikare wekî berhevoka girêdayî ya du girêkên ne-trivial were îfadekirin. Her girêkek xwedî nûnerek bêhempa ye wekî berhevoka girêdayî ya girêkên asal. Rizîn a asal a 3-manifoldan wekî nimûneyek din a vê prensîbê xizmet dike.

Wêdetirî serlêdanên wan di matematîk û hesabkeriyê de, hejmarên asal têkiliyên potansiyel bi Mekanîka Kuantumê re nîşan didin û bi awayekî metaforîk di çarçoveyên hunerî û wêjeyî de hatine bikaranîn. Herwiha, wan di biyolojiya evolusyonî de kêrhatîbûn dîtine ji bo zelalkirina çerxên jiyanê yên cicadan.

Polîgonên Avaker û Dabeşkirinên Polîgonan

Hejmarên asal ên Fermat wekî hejmarên asal têne pênasekirin ku li gorî avahiyê ne:

F k = 17 §2122§ k +32 , {\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}

ku ⁠${\displaystyle k}$⁠ jimareke tam a neyînî nîne. Ev hejmar li rûmeta Pierre de Fermat hatine binavkirin, yê ku hîpotez kiribû ku hemî hejmarên vê Formê seretayî ne. Dema ku pênc hejmarên Fermat ên destpêkê—3, 5, 17, 257, û 65,537—seretayî ne, ${\displaystyle F_{5}}$ hejmareke pêkhatî ye. Ev taybetmendî ji hêla hemî hejmarên din ên Fermat ve, yên ku heya sala 2017-an hatine piştrastkirin, tê parvekirin. Polîgonek rêkûpêk a ⁠${\displaystyle n}$⁠-alî dikare tenê bi bikaranîna rastek û pergalek were çêkirin, heke û tenê heke faktorên wê yên seretayî yên tek (eger hebin) hejmarên Fermat ên cuda bin. Bi heman rengî, polîgonek rêkûpêk a ⁠${\displaystyle n}$⁠-alî dikare bi bikaranîna rastek, pergalek, û sêparçekerek goşeyî were çêkirin, heke û tenê heke faktorên seretayî yên ⁠${\displaystyle n}$⁠ ji her hejmarek faktorên 2 an 3 pêk werin, bi komek (dibe ku vala) ji hejmarên Pierpont ên cuda re, yên ku hejmarên seretayî yên ⁠§120121§ a §128129§ b + §137138§ {\displaystyle 2^{a}3^{b}+1} ⁠ Formê ne.

Her polîgonek qepçûk dikare bibe ⁠${\displaystyle n}$⁠ polîgonên qepçûk ên biçûktir were dabeşkirin, ku her yek ji wan xwedî rûberek wekhev û dorhêlek wekhev be, bi şertê ku ⁠${\displaystyle n}$⁠ Hêzeke hejmareke seretayî be; Lê belê, ev taybetmendî ji bo nirxên din ên ⁠${\displaystyle n}$⁠ nehatiye piştrastkirin.

Mekanîka Kuantumê

Ji wê demê ve salên 1970-an, bi lêkolînên ku ji hêla Hugh Montgomery û Freeman Dyson ve hatine kirin dest pê kir, matematîkzan û fîzîknasan têkiliyek di navbera sifirên Fonksiyona zeta ya Riemann û astên Enerjîyê yên ku di pergalên Kuantumê de têne dîtin de pêşniyar kirine. Herwiha, hejmarên seretayî di nav Zanista agahdariya Kuantumê de girîngiyek mezin digirin, ji ber rola wan di avahiyên matematîkî de mîna bingehên hevdu yên bêalî û pîvanên operator-nirxkirî yên pozîtîf ên agahdarî-temam ên sîmetrîk.

Biyolojî

Cinsê çîçikan, Magicicada, stratejiyeke pêşveçûnê bi kar tîne ku hejmarên seretayî dihewîne. Ev kêzik piraniya hebûna xwe wek kurmikên binerdî derbas dikin, tenê piştî ku dibin pûpa û bi rastî piştî 7, 13, an 17 salan ji qulên xwe Derketin holê. Piştî Derketin holê, ew difirin, zêdebûnê dikin û paşê di nav çend hefteyan de Mirin / Tine Bûn. Biyolog texmîn dikin ku ev demên çerxên zêdebûnê yên bi hejmarên seretayî wek mekanîzmayek pêşve çûne da ku pêşî li hevrêziya nêçîrvanan bi çerxên jiyana wan re bigirin. Berovajî, navberên çend-salî yên di navbera bûyerên kulîlkdanê de di cureyên bambû de tê texmîn kirin ku hejmarên nerm in, ku bi faktorîzasyonên ku tenê hejmarên seretayî yên biçûk dihewînin têne diyar kirin.

Huner û Wêje

Hejmarên seretayî bandorek berbiçav li ser gelek hunermend û kesayetiyên wêjeyî kirine. Awazdanerê Frensî Olivier Messiaen, mînak, hejmarên seretayî bi kar anîn da ku muzîka ametrîk biafirîne, îlhamê ji "fenomenên xwezayî" girt. Di berhemên wek La Nativité du Seigneur (1935) û Quatre études de rythme (1949–1950) de, Messiaen di heman demê de motîfên muzîkê bi kar tîne ku demên wan bi hejmarên seretayî yên cihêreng re têkildar in, bi vî awayî şêwazên rîtmîk ên Pêşbînînekirî diafirîne. Bi taybetî, hejmarên seretayî 41, 43, 47, û 53 di etûda sêyemîn de, bi sernavê "Neumes rythmiques," diyar in. Messiaen bi xwe diyar kir ku ev nêzîkatiya bestekariyê "ji tevgerên xwezayê, tevgerên bi demên azad û nehevseng" îlhama xwe girtiye.

Di romana xwe ya zanistî-fantastîk Contact de, zanyar Carl Sagan pêşniyar kir ku faktorîzasyona seretayî dikare wekî rêbazek ji bo damezrandina balafirên wêneyên du-alî di dema ragihandinê de bi îstîxbarata Derveyî Erdê re xizmet bike, konsepta ku wî Di destpêkê de bi nefermî bi stêrnasê Amerîkî Frank Drake re di sala 1975an de formule kiribû. Romana Mark Haddon The Curious Incident of the Dog in the Night-Time xwedî vebêjerek e ku beşên vegotinê bi karanîna hejmarên seretayî yên li pey hev saz dike, bi bandor rewşa psîkolojîk ya Karakterê Sereke, ciwanekî bi jêhatiya matematîkê û bi sendroma Asperger, radigihîne. Herwiha, hejmarên seretayî wekî Metaforek ji bo tenêtî û îzolasyonê di romana Paolo Giordano The Solitude of Prime Numbers de tevdigerin, ku ew wekî "derveyî" di nav koma hejmarên tam de têne nîşandan.

Çavkanî

"Hejmara seretayî." Ansîklopediya Matematîkê. EMS Press, 2001 [1994].

• "Hejmara seretayî". Ansîklopediya Matematîkê. EMS Press. 2001 [1994].Di Dema Me de, BBC.
• "Pakêta mamosteyan: Hejmarên seretayî." Plus, 1ê Kanûnê, 2008, ji hêla Projeya Matematîkê ya Hezarzale ve li Zanîngeha Cambridge hatî hilberandin.

• Hesibkera faktorên seretayî dikare her hejmareke tam a pozîtîf heta 20 reqeman faktorîze bike.
• Danegîrek mezin a hejmarên seretayî.
• Hejmarên Seretayî heta 1 trîlyonî. Arşîvkirî 2021-02-27.