Tunelamento quântico (Quantum tunnelling)

Na física, o tunelamento quântico, também conhecido como penetração de barreira ou simplesmente tunelamento, descreve um fenômeno da mecânica quântica onde uma partícula, como um elétron ou átomo, atravessa uma barreira de energia potencial apesar de não ter a energia mecânica clássica necessária para superá-la.

Na física, tunelamento quântico, penetração de barreira ou simplesmente túnel é um fenômeno da mecânica quântica no qual um objeto como um elétron ou átomo passa através de uma barreira de energia potencial que, de acordo com a mecânica clássica, não deveria ser transitável devido ao objeto não ter energia suficiente para passar ou superar a barreira.

Esse fenômeno surge da dualidade onda-partícula da matéria e do princípio da quântica. indeterminação. A função de onda quântica caracteriza os estados de uma partícula ou sistema físico, com equações de onda como a equação de Schrödinger detalhando sua evolução temporal. Dentro de um sistema com uma barreira de potencial curta e estreita, uma fração da função de onda pode se manifestar além da barreira, indicando uma probabilidade de tunelamento.

A probabilidade de um pacote de ondas atravessar uma barreira diminui exponencialmente com o aumento da altura da barreira, largura e massa da partícula de tunelamento. Consequentemente, o tunelamento é mais evidente em partículas de baixa massa, como os elétrons, à medida que penetram em barreiras atomicamente estreitas. No entanto, o tunelamento foi observado com prótons e até mesmo com átomos inteiros, e tem sido invocado para elucidar os efeitos físicos envolvendo partículas dessas escalas maiores.

O tunelamento é fundamental para vários fenômenos físicos, incluindo a fusão nuclear e o decaimento radioativo alfa dos núcleos atômicos. Suas aplicações abrangem diodo de túnel, computação quântica, memória flash e microscópio de tunelamento de varredura. Além disso, o tunelamento impõe um limite fundamental à miniaturização de dispositivos microeletrônicos, já que os elétrons podem facilmente tunelar através de camadas isolantes e transistores mais finos que aproximadamente 1 nanômetro.

Esse efeito foi teoricamente previsto no início do século 20, ganhando ampla aceitação como um fenômeno físico fundamental em meados do século.

Estrutura Conceitual

O tunelamento quântico é um conceito central da mecânica quântica. Para ilustrar este fenômeno, podemos considerar partículas tentando atravessar uma barreira de potencial, análoga a uma bola tentando rolar uma colina. A mecânica quântica e a mecânica clássica oferecem interpretações distintas deste cenário.

De acordo com a mecânica clássica, as partículas sem energia suficiente para superar uma barreira são incapazes de alcançar o lado oposto; por exemplo, uma bola sem energia adequada para subir uma colina simplesmente rolaria para trás. Em contraste, a mecânica quântica postula que uma partícula possui uma probabilidade pequena, diferente de zero, de túnel para o outro lado, atravessando assim a barreira. Essa divergência decorre do tratamento mecânico quântico da matéria como exibindo propriedades semelhantes a ondas e partículas.

Certas fontes acadêmicas definem o tunelamento como a mera penetração de uma função de onda em uma barreira, mesmo sem transmissão subsequente para o outro lado, exemplificada pela penetração nas paredes de um poço de potencial finito.

O problema do túnel

A função de onda de um sistema físico de partículas encapsula todas as informações verificáveis sobre esse sistema. Conseqüentemente, os problemas da mecânica quântica envolvem a análise da função de onda de um sistema. Através de formulações matemáticas, como a equação de Schrödinger, a evolução temporal de uma função de onda conhecida pode ser determinada. O valor absoluto quadrado desta função de onda correlaciona-se diretamente com a distribuição de probabilidade das posições das partículas, indicando a probabilidade de medir partículas em locais específicos.

Quando um pacote de ondas colide com uma barreira, a maior parte é refletida, enquanto uma parte é transmitida. O pacote de ondas subsequentemente torna-se mais deslocalizado, existindo em ambos os lados da barreira com uma amplitude máxima reduzida, mas mantendo uma magnitude quadrada integrada igual, o que significa que a probabilidade da partícula estar em algum lugar permanece uma. Um aumento na largura da barreira e na energia se correlaciona com uma diminuição na probabilidade de escavação de túneis.

Certos modelos de barreiras de túneis, como as barreiras retangulares representadas, são passíveis de análise e solução algébrica. No entanto, a maioria desses problemas carece de soluções algébricas, necessitando do uso de métodos numéricos. Os métodos semiclássicos, incluindo a aproximação WKB, fornecem soluções aproximadas que são computacionalmente menos intensivas.

Contexto Histórico

A equação de Schrödinger, introduzida em 1926, foi aplicada pela primeira vez a problemas de tunelamento quântico por Friedrich Hund. Em uma série de artigos publicados em 1927, Hund investigou soluções para um potencial de poço duplo e analisou espectros moleculares, demonstrando o tunelamento entre regiões classicamente permitidas através de uma barreira de potencial. Independentemente, Leonid Mandelstam e Mikhail Leontovich também descobriram o tunelamento, publicando suas descobertas em 1928.

Em 1927, Lothar Nordheim, em colaboração com Ralph Fowler, escreveu um artigo examinando a emissão termiônica e a reflexão de elétrons em superfícies metálicas. Nordheim postulou uma barreira de potencial superficial que restringe os elétrons dentro do metal. Ele demonstrou que os elétrons possuem uma probabilidade finita de tunelar ou refletir a partir desta barreira quando suas energias se aproximam da energia da barreira, um forte contraste com a física clássica, onde a transmissão ou reflexão seria 100% certa com base na energia. Posteriormente, em 1928, J. Robert Oppenheimer publicou dois artigos sobre emissão de campo, ou seja, a emissão de elétrons provocada por campos elétricos intensos. Nordheim e Fowler posteriormente simplificaram a derivação de Oppenheimer, produzindo valores de corrente emitida e função de trabalho consistentes com observações experimentais.

Um triunfo significativo da teoria do tunelamento foi sua elucidação matemática do decaimento alfa, um fenômeno explicado em 1928 por George Gamow e, independentemente, por Ronald Gurney e Edward Condon. Gurney e Condon resolveram simultaneamente a equação de Schrödinger para um modelo de potencial nuclear, estabelecendo uma correlação entre a meia-vida da partícula e sua energia de emissão, que dependia diretamente da probabilidade matemática de tunelamento. Todos os três cientistas estavam familiarizados com as pesquisas existentes sobre emissão de campo, e Gamow também estava ciente das descobertas de Mandelstam e Leontovich.

Durante os estágios iniciais da teoria quântica, o fenômeno não foi denominado "efeito túnel", mas sim descrito como a penetração ou vazamento através de uma barreira. Walter Schottky introduziu o termo alemão wellenmechanischer Tunneleffekt em 1931. O equivalente em inglês, efeito túnel, foi estabelecido em 1932 através de sua inclusão no livro de Yakov Frenkel.

Em 1957, Leo Esaki demonstrou o tunelamento de elétrons através de uma barreira em escala nanométrica dentro de uma estrutura semicondutora, posteriormente desenvolvendo um diodo aproveitando esse efeito de túnel. Com base na pesquisa de Esaki, Ivar Giaever confirmou experimentalmente em 1960 que o tunelamento também ocorre em supercondutores, com o espectro de tunelamento resultante fornecendo evidência direta da lacuna de energia supercondutora. Brian Josephson previu ainda o tunelamento de pares supercondutores de Cooper em 1962. Esaki, Giaever e Josephson receberam conjuntamente o Prêmio Nobel de Física de 1973 por suas contribuições seminais para o tunelamento quântico em sólidos. Gerd Binnig e Heinrich Rohrer desenvolveram o microscópio de tunelamento de varredura em 1981. Este novo instrumento, que opera com base no princípio do tunelamento quântico, permite imagens de superfície em nível atômico. Binnig e Rohrer receberam o Prêmio Nobel de Física em 1986 por esta descoberta inovadora.

Em 2025, John Clarke, John M. Martinis e Michel H. Devoret receberam o Prêmio Nobel de Física por seus experimentos de 1984 e 1985. Esses experimentos demonstraram o tunelamento quântico macroscópico, envolvendo numerosas partículas. Eles construíram um circuito elétrico composto por dois supercondutores, materiais capazes de conduzir corrente sem resistência elétrica, separados por uma fina camada não condutora. Através desta configuração, eles provaram a capacidade de controlar e examinar um fenômeno onde todas as partículas carregadas dentro do supercondutor agem de forma coesa, comportando-se efetivamente como uma única partícula que preenche o circuito.

Aplicativos

O tunelamento quântico fornece explicações para vários fenômenos físicos macroscópicos significativos.

Física do estado sólido

Eletrônicos

Na eletrônica de integração em grande escala (VLSI), o tunelamento quântico contribui para o vazamento de corrente, levando a um consumo considerável de energia e a efeitos prejudiciais de aquecimento nesses dispositivos. Representa uma restrição fundamental à miniaturização de componentes microeletrônicos. Além disso, o tunelamento é um mecanismo essencial empregado na programação das portas flutuantes da memória flash.

Emissão fria

A emissão fria de elétrons é importante nos campos da física de semicondutores e supercondutores. Este fenômeno compartilha semelhanças com a emissão termiônica, onde os elétrons partem espontaneamente de uma superfície metálica sob um viés de tensão, tendo adquirido energia suficiente para superar a barreira de potencial através de colisões estocásticas com outras partículas. Em casos de campos elétricos excepcionalmente fortes, a barreira de potencial diminui adequadamente, permitindo que os elétrons façam um túnel quântico a partir de seus estados atômicos. Este processo gera uma corrente elétrica que apresenta uma dependência exponencial aproximada da intensidade do campo elétrico. Esses materiais são cruciais para aplicações que incluem memória flash, tubos de vácuo e tipos específicos de microscópios eletrônicos.

Entroncamento do túnel

Uma barreira fundamental pode ser estabelecida interpondo uma camada isolante extremamente fina entre dois materiais condutores. O tunelamento de elétrons torna-se facilmente observável em junções de filmes finos com barreiras potenciais de aproximadamente 3 nanômetros de espessura ou menos. As junções Josephson aproveitam os princípios do tunelamento quântico e da supercondutividade para manifestar o efeito Josephson. Esse fenômeno tem utilidade na medição precisa de tensões e campos magnéticos, além de sua aplicação em células solares multijunções.

Diodo túnel

Diodos são dispositivos semicondutores projetados para facilitar o fluxo de corrente elétrica predominantemente em uma única direção. Sua funcionalidade depende de uma camada de depleção formada entre semicondutores tipo N e tipo P. Quando estes semicondutores são fortemente dopados, a camada de depleção pode tornar-se suficientemente fina para permitir o tunelamento quântico. Após a aplicação de uma tendência direta modesta, a corrente de tunelamento torna-se substancial. Esta corrente atinge seu pico quando a polarização de tensão aplicada alinha os níveis de energia dos elétrons de valência na região do tipo P com os dos elétrons da banda de condução na região do tipo N. À medida que a polarização de tensão continua a aumentar, o alinhamento dessas bandas de energia é interrompido, fazendo com que o diodo reverta às suas características operacionais convencionais.

Dada a rápida decadência da corrente de tunelamento, os diodos de túnel podem ser projetados para exibir uma faixa de tensão onde a corrente diminui à medida que a tensão aumenta. Esta característica distintiva é explorada em várias aplicações, particularmente em dispositivos de alta velocidade onde a probabilidade de tunelamento inerente responde rapidamente a mudanças na tensão de polarização.

O diodo de tunelamento ressonante emprega tunelamento quântico através de um mecanismo distinto para alcançar um resultado comparável. Este diodo possui uma tensão ressonante na qual o fluxo de corrente é otimizado para uma tensão específica, condição realizada pelo posicionamento de duas camadas finas com uma banda de alta condutância de energia próximas. Esta configuração estabelece um potencial quântico bem caracterizado por um nível de energia discreto mais baixo. Se este nível de energia ultrapassar o dos elétrons, o tunelamento é inibido e o diodo opera sob polarização reversa. Quando as duas energias de tensão se alinham, os elétrons atravessam o dispositivo sem impedimentos, semelhante a um circuito aberto. Aumentos subsequentes na tensão tornam o tunelamento improvável, fazendo com que o diodo retome a operação normal até que um segundo nível de energia se torne acessível.

Transistores de efeito de campo em túnel

Uma iniciativa de investigação europeia demonstrou com sucesso transistores de efeito de campo onde o controlo da porta (canal) é conseguido através de tunelamento quântico, em oposição à injecção térmica. Esta inovação resultou numa redução da tensão da porta de aproximadamente 1 volt para 0,2 volts e numa diminuição do consumo de energia de até 100 vezes. Caso esses transistores sejam escaláveis para integração em chips de integração em escala muito grande (VLSI), eles terão o potencial de aumentar significativamente a eficiência energética dos circuitos integrados.

Condutividade de sólidos cristalinos

Embora o modelo de condutividade elétrica de Drude-Lorentz forneça previsões precisas sobre a condução de elétrons em metais, seu poder explicativo pode ser aumentado pela incorporação de tunelamento quântico para elucidar as características das colisões de elétrons. Quando um pacote de ondas de elétrons livres encontra um conjunto estendido e uniformemente espaçado de barreiras potenciais, o componente refletido do pacote de ondas sofre interferência uniforme com o componente transmitido entre todas as barreiras, permitindo assim a transmissão completa. As previsões teóricas sugerem que se os núcleos carregados positivamente estiverem dispostos em uma rede perfeitamente retangular, os elétrons formarão um túnel através do metal como partículas livres, resultando em uma condutância excepcionalmente alta. Por outro lado, prevê-se que a presença de impurezas no metal interrompa esse fenômeno.

Microscópio de Varredura de Tunelamento

O microscópio de varredura por tunelamento (STM), inventado por Gerd Binnig e Heinrich Rohrer, permite a imagem de átomos individuais em superfícies de materiais. Funciona explorando a correlação entre o tunelamento quântico e a proximidade espacial. Quando a ponta da agulha do STM é posicionada próxima a uma superfície condutora sob uma polarização de tensão, a medição da corrente de tunelamento de elétrons entre a ponta e a superfície fornece uma indicação precisa de sua separação. As hastes piezoelétricas, que alteram suas dimensões em resposta à tensão aplicada, facilitam o ajuste da altura da ponta para manter uma corrente de tunelamento consistente. As tensões flutuantes aplicadas a essas hastes são registradas e posteriormente utilizadas para gerar uma imagem da superfície do condutor. Os microscópios de tunelamento de varredura atingem uma resolução de 0,001 nm, que se aproxima de 1% do diâmetro atômico.

Física Nuclear

Fusão Nuclear

O tunelamento quântico é um fenômeno crítico na fusão nuclear. As temperaturas centrais estelares são normalmente inadequadas para que os núcleos atômicos superem a barreira de Coulomb e iniciem a fusão termonuclear. O tunelamento quântico, entretanto, aumenta significativamente a probabilidade de penetração da barreira. Apesar desta probabilidade permanecer baixa, a imensa quantidade de núcleos dentro do núcleo de uma estrela é suficiente para manter uma reação de fusão sustentada.

Decaimento Radioativo

O decaimento radioativo é o processo pelo qual um núcleo atômico instável emite partículas e energia, transformando-se em um produto mais estável. Esta transformação ocorre através do tunelamento quântico de uma partícula a partir do núcleo; inversamente, a captura de elétrons envolve um tunelamento de elétrons no núcleo. Historicamente, esse fenômeno representou a aplicação inicial reconhecida do tunelamento quântico. De uma perspectiva astrobiológica, o decaimento radioativo é significativo porque esta consequência do tunelamento quântico fornece uma fonte de energia consistente e de longo prazo para ambientes além da zona habitável circunstelar, particularmente onde a insolação solar é inviável ou ineficaz, como em oceanos subterrâneos.

O tunelamento quântico é considerado um mecanismo potencial para o decaimento de prótons.

Química

Reações Energeticamente Proibidas

No meio interestelar, as reações químicas ocorrem em níveis de energia excepcionalmente baixos. Entre estes, a interação entre íons de hidrogênio e moléculas de hidrogênio é considerada uma reação íon-molécula fundamental. A taxa de tunelamento da mecânica quântica para uma reação análoga envolvendo o isótopo de hidrogênio deutério, especificamente ${\displaystyle {\ce {D- + H2 -> H- + HD}}}$, foi quantificado experimentalmente dentro de uma armadilha de íons. Durante o experimento, o deutério foi introduzido em uma armadilha de íons e posteriormente resfriado, após o que a armadilha foi carregada com hidrogênio. Nas temperaturas experimentais, a barreira energética para esta reação impediria a sua ocorrência com base apenas na dinâmica clássica. No entanto, o tunelamento quântico facilitou a reação em eventos de colisão pouco frequentes. A análise dos dados experimentais indicou uma probabilidade de reação de uma em cada cem bilhões de colisões.

Efeito de isótopo cinético

No campo da cinética química, a substituição de um isótopo mais leve de um elemento por um equivalente mais pesado normalmente leva a uma taxa de reação diminuída. Este fenômeno é comumente atribuído a disparidades nas energias vibracionais do ponto zero de ligações químicas envolvendo isótopos mais leves versus isótopos mais pesados, e geralmente é modelado através da teoria do estado de transição. No entanto, casos específicos revelam efeitos isotópicos substanciais que são inexplicáveis pelas abordagens semiclássicas, necessitando da inclusão do tunelamento quântico. R. P. Bell formulou um tratamento cinético de Arrhenius modificado, que é amplamente empregado para modelar este fenômeno específico.

Astroquímica em nuvens interestelares

A incorporação de princípios de tunelamento quântico elucida a síntese astroquímica de numerosas moléculas dentro de nuvens interestelares, incluindo hidrogênio molecular, água (em sua fase de gelo) e o composto pré-bioticamente significativo formaldeído. Observações experimentais confirmaram o tunelamento do hidrogênio molecular em laboratório.

Biologia

O tunelamento quântico representa um fenômeno quântico não trivial fundamental dentro da biologia quântica. Sua importância neste campo abrange o tunelamento de elétrons e prótons. O tunelamento de elétrons desempenha um papel crucial em inúmeras reações redox bioquímicas, incluindo fotossíntese e respiração celular, e também na catálise enzimática. O tunelamento de prótons é o principal contribuinte para a mutação espontânea do DNA.

As mutações espontâneas surgem quando a replicação do DNA prossegue após o tunelamento de um próton crítico. Os pares de bases do DNA estão ligados por ligações de hidrogênio. Dentro de uma ligação de hidrogênio, um potencial de poço duplo separa uma barreira de energia potencial. Supõe-se que esse potencial de poço duplo seja assimétrico, apresentando um poço mais profundo que o outro, onde normalmente reside o próton. Para que uma mutação se manifeste, o próton deve entrar no poço mais raso. Este deslocamento do próton de sua posição normal é denominado transição tautomérica. Caso a replicação do DNA ocorra neste estado alterado, as regras fundamentais de emparelhamento de bases do DNA podem ser comprometidas, levando a uma mutação. Per-Olov Lowdin foi o pioneiro no desenvolvimento desta teoria sobre a mutação espontânea na dupla hélice do DNA. Além disso, mutações induzidas por tunelamento quântico em sistemas biológicos estão implicadas como potenciais contribuintes para o envelhecimento e o cancro.

Astrofísica

Teoriza-se que o tunelamento quântico ocorre no horizonte de eventos dos buracos negros, resultando na radiação Hawking. Embora a física clássica determine que nada pode escapar de um buraco negro, o tunelamento quântico fornece uma probabilidade mínima para a emissão de radiação.

Discussão Matemática

Equação de Schrödinger

The time-independent Schrödinger equation, applicable to a single particle in one dimension, can be expressed as follows: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$ Alternatively, it can be written as: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$ where the following definitions apply:

• ${\displaystyle \hbar }$ denota a constante de Planck reduzida;
• ${\displaystyle m}$ representa a massa da partícula;
• ${\displaystyle x}$ significa a distância, medida ao longo da direção do movimento da partícula;
• ${\displaystyle \Psi }$ refere-se à função de onda de Schrödinger;
• ${\displaystyle V}$ denota a energia potencial da partícula, normalmente referenciada a um dado adequado.
• ${\displaystyle E}$ representa a energia da partícula, especificamente aquela associada ao seu movimento ao longo do ${\displaystyle x}$-eixo, relativo a ${\displaystyle V}$.
• ${\displaystyle M(x)}$ é uma quantidade física definida como ${\displaystyle V(x)-E}$, para o qual atualmente não existe uma nomenclatura universalmente aceita dentro da física.

As soluções para a equação de Schrödinger exibem formas variadas dependendo dos valores de ${\displaystyle x}$, especificamente se ${\displaystyle M(x)}$ é positivo ou negativo. Nos casos em que ${\displaystyle M(x)}$ permanece constante e negativa, a equação de Schrödinger pode ser expressa como: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

As soluções para esta equação descrevem ondas de propagação, caracterizadas por uma constante de fase de ${\displaystyle +k}$ ou ${\displaystyle -k}$.

As soluções para esta equação se manifestam como exponenciais ascendentes e descendentes, características de ondas evanescentes. Quando ${\displaystyle M(x)}$ exibe variação posicional, surge uma distinção comportamental análoga, dependendo se ${\displaystyle M(x)}$ é negativo ou positivo. Consequentemente, o sinal algébrico de ${\displaystyle M(x)}$ dita as propriedades intrínsecas do meio; um negativo ${\displaystyle M(x)}$ corresponde ao meio A, enquanto um ${\displaystyle M(x)}$ significa meio B. Portanto, o acoplamento de ondas evanescentes é viável quando uma região caracterizada por ${\displaystyle M(x)}$ é interposto entre duas regiões exibindo ${\displaystyle M(x)}$, formando assim uma barreira potencial.

Abordando as complexidades matemáticas que surgem quando ${\displaystyle M(x)}$ varia com ${\displaystyle x}$ se mostra desafiador, exceto em cenários específicos que normalmente não têm correspondência com fenômenos físicos empíricos. Uma exposição matemática abrangente é apresentada na monografia de 1965 de autoria de Fröman e Fröman. Embora as suas contribuições teóricas não tenham sido integradas nos currículos de física padrão, os ajustes propostos produzem um impacto quantitativo insignificante.

Aproximação WKB

A função de onda é representada como o exponencial de uma função específica: $${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$ onde $${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$ ${\displaystyle \Phi '(x)}$ é posteriormente decomposto em seus componentes reais e imaginários: $${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$ com ${\displaystyle A(x)}$ e ${\displaystyle B(x)}$ sendo exclusivamente com valor real funções.

A substituição da segunda equação pela primeira, juntamente com o requisito de que a parte imaginária seja igual a zero, produz:

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

Para a resolução desta equação por meio da aproximação semiclássica, cada função necessita de expansão em uma série de potências em relação a ${\displaystyle \hbar }$. A análise das equações revela que a série de potências deve começar com uma ordem mínima de ℏ<!-- ℏ --> −<!-- − --> §3132§ {\displaystyle \hbar ^{-1}} para garantir a satisfação do componente real da equação. Para atingir um limite clássico ideal, é vantajoso priorizar a maior potência possível da constante de Planck, resultando nas seguintes expressões: A ( x ) = §6162§ ℏ ∑ k = §7778§ ∞ ℏ k A k ( x ) {\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)} e B ( x ) = §135136§ ℏ ∑ k = §151152§ ∞ ℏ k B k ( x ) , {\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),} .Essas expansões estão sujeitas às restrições subsequentes em seus termos de ordem mais baixa: A §203204§ ( x ) §214215§ − B §226227§ ( x ) §237238§ = §244${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$ e A §287288§ ( x ) B §301302§ ( x ) = 0. {\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.} .

Posteriormente, dois cenários extremos distintos merecem consideração.

Caso 1

Quando a amplitude varia lentamente em comparação com a fase, as condições A §1011§ ( x ) = §2223§ {\displaystyle A_{0}(x)=0} e B §4243§ ( x ) = ± §5960§ m ( E −<!-- − --> V ( x ) ) {\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}} são satisfeito, o que corresponde ao movimento clássico. A resolução subsequente da próxima ordem de expansão produz a seguinte aproximação: $${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$$

Cenário 2

Quando a fase exibe uma variação lenta em relação à amplitude,

O denominador revela que essas soluções aproximadas tornam-se não confiáveis nas proximidades dos pontos de inflexão clássicos, onde ${\displaystyle E=V(x)}$. Além da barreira de potencial, a partícula apresenta características semelhantes a uma onda oscilante livre; inversamente, dentro da barreira de potencial, a amplitude da partícula sofre modificação exponencial. Uma solução global abrangente pode ser formulada analisando o comportamento nesses limites e pontos de inflexão clássicos.

Inicialmente, um ponto de inflexão clássico, designado como x §1011§ {\displaystyle x_{1}} , está selecionado. Posteriormente, a expressão ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ é expandido em uma série de potências em torno de x §8687§ {\displaystyle x_{1}} , produzindo: §107108§ m ℏ<!-- ℏ --> §117118§ ( V ( x ) −<!-- − --> E ) = v §150151§ ( x − x §165166§ ) + v §177178§ ( x − x §192193§ ) §199200§ + ⋯ {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }

Reter apenas o termo de primeira ordem garante a linearidade: §910§ m ℏ<!-- ℏ --> §1920§ ( V ( x ) −<!-- − --> E ) = v §5253§ ( x − x §6768§ ) . {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}

Aplicando esta aproximação, a equação na vizinhança de x §1011§ {\displaystyle x_{1}} se transforma na seguinte equação diferencial: d §3435§ d x §4546§ Ψ<!-- Ψ --> ( x ) = v §6768§ Ψ ( x ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}

Esta equação diferencial pode ser resolvida empregando funções de Airy como soluções, resultando em: Ψ<!-- Ψ --> ( x ) = C A A i ( v §3940§ §4445§ ( x − x §6061§ ) ) + C B B i ( v §9495§ §99100§ ( x − x §115116§ ) ) {\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}

Ao integrar estas soluções em todos os pontos de viragem clássicos, uma solução global abrangente pode ser construída para interligar as soluções limitantes. Consequentemente, se os dois coeficientes de um lado de um ponto de viragem clássico forem conhecidos, os dois coeficientes correspondentes no lado oposto podem ser determinados através da aplicação desta solução local para ligação.

Consequentemente, as soluções de funções de Airy aproximam-se assintoticamente das funções seno, cosseno e exponencial sob condições limitantes apropriadas. As relações entre os parâmetros ${\displaystyle C,\theta }$ e ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$ são definidos pelo seguinte equação: C + = §7273§ §7475§ C cos ⁡ ( θ − π §101102§ ) {\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}} e

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

Uma vez determinados estes coeficientes, a solução global abrangente pode ser derivada. Consequentemente, o coeficiente de transmissão para uma partícula submetida a tunelamento quântico através de uma barreira de potencial singular é expresso como T ( E ) = e −<!-- − --> §2324§ ∫<!-- ∫ --> x §3435§ x §4344§ d x §5960§ m ℏ §6970§ [ V ( x ) − E ] , {\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},} onde x §120121§ , e x §129130§ {\displaystyle x_{1},x_{2}} denotam os dois pontos de inflexão clássicos da barreira potencial.

Para uma barreira retangular, esta expressão é simplificada para a seguinte forma: T ( E ) = e −<!-- − --> §2324§ §3031§ m ℏ<!-- ℏ --> §4041§ ( V §5253§ − E ) ( x §7172§ − x §8283§ ) . {\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}

Túnel Superluminal

Em 1998, Francis E. Low forneceu uma revisão concisa do fenômeno do tunelamento em tempo zero. Posteriormente, Günter Nimtz publicou dados experimentais sobre os tempos de tunelamento de fônons, fótons e elétrons. Além disso, uma experiência supervisionada por A. M. Steinberg parecia sugerir que as partículas poderiam criar túneis a velocidades aparentemente superiores à velocidade da luz.

Por outro lado, outros físicos, incluindo Herbert Winful, contestaram estas afirmações. Winful postulou que o pacote de ondas de uma partícula em tunelamento exibe propagação local, impedindo assim o tunelamento não local através da barreira. Ele argumentou ainda que os experimentos que supostamente demonstravam a propagação não local foram sujeitos a interpretações errôneas. Especificamente, ele destacou que a velocidade de grupo de um pacote de ondas não quantifica sua velocidade real, mas se correlaciona com a duração que o pacote de ondas permanece dentro da barreira. Além disso, quando o tunelamento quântico é modelado usando a equação relativística de Dirac, teoremas matemáticos estabelecidos demonstram que o processo é inteiramente subluminal. Além disso, foi demonstrado que dentro de uma estrutura relativística da teoria quântica de campos, o tunelamento não pode ocorrer em velocidades superluminais, não obstante os casos em que a velocidade do grupo possa exceder a velocidade da luz.

Túnel Dinâmico

O conceito de tunelamento quântico pode ser estendido a cenários que envolvam transporte quântico entre regiões classicamente desconectadas, mesmo na ausência de uma barreira potencial explícita. Este fenômeno é denominado tunelamento dinâmico.

Tunelamento no espaço de fase

O conceito de tunelamento dinâmico é particularmente pertinente para enfrentar os desafios do tunelamento quântico em sistemas de alta dimensão (11§ {\displaystyle d>1} ). Dentro de um sistema integrável, onde as trajetórias clássicas limitadas estão confinadas a toros no espaço de fase, o tunelamento é conceituado como o transporte quântico que ocorre entre estados semiclássicos construídos sobre dois toros distintos, porém simétricos.

Túnel Assistido pelo Caos

Em aplicações práticas, a maioria dos sistemas se desvia da integrabilidade e exibe vários graus de comportamento caótico. Consequentemente, a dinâmica clássica é caracterizada como mista, e o espaço de fase do sistema normalmente compreende ilhas de órbitas regulares envoltas por uma extensa região de órbitas caóticas. A presença deste mar caótico, que permite o transporte clássico, situado entre os dois toros simétricos, facilita posteriormente o tunelamento quântico entre eles. Este fenômeno, conhecido como tunelamento assistido por caos, é caracterizado por ressonâncias pronunciadas na taxa de tunelamento mediante variação de qualquer parâmetro do sistema.

Túnel Assistido por Ressonância

Quando ${\displaystyle \hbar }$ é significativamente menor que as dimensões das ilhas regulares, a estrutura fina do espaço de fase clássico torna-se um determinante crítico nos processos de tunelamento. Especificamente, os dois toros simétricos estão interligados através de uma sequência de transições classicamente proibidas que abrangem as ressonâncias não lineares que rodeiam estas ilhas.

Fenômenos Associados

Múltiplos fenômenos exibem características análogas ao tunelamento quântico. Exemplos notáveis ​​incluem o acoplamento de ondas evanescentes, que envolve a aplicação da equação de onda de Maxwell à luz, e o uso da equação de onda não dispersiva da acústica para descrever ondas em cordas.

Esses efeitos são modelados usando uma estrutura análoga à barreira de potencial retangular. Tais cenários normalmente envolvem um meio de transmissão primário (meio A) onde a propagação das ondas é uniforme ou quase uniforme, e um meio secundário (meio B) onde as características das ondas diferem. Esta configuração pode ser conceituada como uma região delgada do meio B situada entre duas regiões do meio A. A abordagem analítica para uma barreira retangular, empregando a equação de Schrödinger, é adaptável a esses outros fenômenos, dependendo da equação de onda produzindo soluções de ondas viajantes no meio A e soluções exponenciais reais no meio B.

No contexto da óptica, o meio A corresponde ao vácuo, enquanto o meio B representa o vidro. Por outro lado, em acústica, o meio A pode ser líquido ou gasoso, com o meio B sendo sólido. Em ambos os casos, o meio A designa uma região espacial onde a energia total da partícula ultrapassa a sua energia potencial, e o meio B funciona como barreira potencial. Esses sistemas normalmente apresentam uma onda incidente e ondas subsequentes que se propagam em ambas as direções. A complexidade pode estender-se a múltiplos meios e barreiras, que não são necessariamente discretos. Consequentemente, as aproximações mostram-se valiosas em tais análises.

Inicialmente, uma associação onda-partícula clássica foi analisada como uma analogia ao tunelamento quântico; no entanto, investigações subsequentes revelaram uma origem na dinâmica dos fluidos ligada ao momento vertical transmitido às partículas próximas à barreira.

Descarga de barreira dielétrica: Uma descarga elétrica que ocorre entre dois eletrodos que são separados por uma barreira dielétrica isolante.

• Descarga por barreira dielétrica – Descarga elétrica entre dois eletrodos separados por uma barreira dielétrica isolante
• Emissão de elétrons de campo: A emissão de elétrons provocada por um campo eletrostático.
• Método Holstein-Herring: Uma metodologia numérica empregada em química quântica.
• Túnel de prótons: uma categoria específica de túnel quântico.
• Clonagem quântica: um processo que envolve a replicação de um estado quântico sem alterar o original.
• Junção de túnel supercondutor: um dispositivo eletrônico.
• Diodo túnel: Um diodo que opera com base no princípio do tunelamento quântico.
• Junção do túnel: uma barreira posicionada entre materiais eletricamente condutores.
• Buraco branco: uma região hipotética dentro do espaço-tempo.

Referências

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  • Animação, aplicações e pesquisas ligadas ao efeito túnel e outros fenômenos quânticos (Université Paris Sud)
  • Uma ilustração animada que descreve o fenômeno do tunelamento quântico.
  • Uma ilustração animada demonstrando o tunelamento quântico em um dispositivo RTD.
  • Uma solução interativa para a equação do túnel de Schrödinger.