Diagrama de Venn (Venn diagram)

Um diagrama de Venn constitui uma representação gráfica predominante que ilustra as relações lógicas entre conjuntos distintos, uma metodologia popularizada por John Venn (1834–1923) durante a década de 1880. Esses diagramas servem como ferramentas pedagógicas para a teoria fundamental dos conjuntos e elucidam relações diretas de conjuntos em várias disciplinas, incluindo probabilidade, lógica, estatística, linguística e ciência da computação. Fundamentalmente, um diagrama de Venn emprega curvas fechadas básicas, normalmente círculos ou elipses, dentro de um espaço planar para denotar conjuntos.

Um diagrama de Venn é um estilo de diagrama amplamente utilizado que mostra a relação lógica entre conjuntos, popularizado por John Venn (1834–1923) na década de 1880. Os diagramas são usados ​​para ensinar teoria elementar de conjuntos e para ilustrar relações simples de conjuntos em probabilidade, lógica, estatística, linguística e ciência da computação. Um diagrama de Venn usa curvas fechadas simples em um plano para representar conjuntos. As curvas são frequentemente círculos ou elipses.

Os precursores da conceituação de Venn incluem propostas de Christian Weise em 1712, documentadas em Nucleus Logicoe Wiesianoe, e de Leonhard Euler em 1768, apresentadas em Cartas a uma Princesa Alemã. No entanto, Venn avançou e disseminou significativamente este conceito no Capítulo V, "Representação Diagrama", de sua publicação de 1881, Lógica Simbólica.

Visão geral detalhada

Um diagrama de Venn, alternativamente denominado diagrama de conjunto ou diagrama lógico, ilustra todos os relacionamentos lógicos potenciais entre uma agregação finita de conjuntos distintos. Estas representações gráficas retratam elementos individuais como pontos dentro de um plano, com conjuntos delineados como regiões delimitadas por curvas. Normalmente compreendendo várias curvas fechadas sobrepostas, muitas vezes circulares, cada curva em um diagrama de Venn corresponde a um conjunto específico. Os pontos situados dentro de uma curva designada S significam elementos pertencentes ao conjunto S, enquanto os pontos externos ao seu limite denotam elementos não contidos no conjunto S. Esta metodologia facilita interpretações visuais claras; por exemplo, a coleção de todos os elementos comuns a ambos os conjuntos S e T, formalmente expresso como S ∩ T e verbalmente referido como "a intersecção de S e T", é representado visualmente pela área sobreposta das regiões S e T.

Os diagramas de Venn são caracterizados pelo sobreposição abrangente de suas curvas constituintes, exibindo assim todas as relações concebíveis entre os conjuntos. Consequentemente, eles representam uma instância específica de diagramas de Euler, que nem sempre ilustram todas as relações potenciais. John Venn originou o conceito de diagramas de Venn aproximadamente em 1880. Sua aplicação se estende ao ensino da teoria dos conjuntos fundamentais e à elucidação das relações básicas dos conjuntos em diversos campos, como probabilidade, lógica, estatística, linguística e ciência da computação.

Uma forma especializada de diagrama de Venn, onde a área de cada forma geométrica corresponde proporcionalmente à cardinalidade dos elementos que ela abrange, é designada como proporcional à área (ou em escala) Diagrama de Venn.

Exemplo ilustrativo

Considere um cenário ilustrativo envolvendo dois conjuntos distintos de organismos, representados como círculos que se cruzam: um círculo abrange todas as espécies caracterizadas pela locomoção bípede, enquanto o outro representa criaturas capazes de voar. Cada espécie individual pode ser conceituada como um ponto discreto dentro deste diagrama. Organismos que possuem capacidades de bipedalismo e de voo - como os papagaios - são, portanto, membros de ambos os conjuntos, correspondendo a pontos situados na região de sobreposição entre os dois círculos. Esta área compartilhada contém exclusivamente elementos (neste contexto, criaturas) que são constituintes tanto do conjunto das criaturas bípedes quanto do conjunto das criaturas voadoras.

Humanos e pinguins, por serem bípedes, estão localizados dentro do círculo “tem duas pernas”; entretanto, sua incapacidade de voar os coloca no segmento desse círculo que não cruza com o círculo "pode ​​voar". Por outro lado, os mosquitos possuem a capacidade de voar, mas são hexápodes, não bípedes, portanto, sua representação está dentro da porção do círculo “pode voar” que não se sobrepõe ao círculo “tem duas pernas”. Organismos que não exibem bipedalismo nem capacidade de vôo (por exemplo, baleias e aranhas) são representados como pontos situados externamente a ambos os círculos.

A área agregada que abrange ambos os conjuntos é chamada de união, simbolizada como A ∪ B, onde A designa o círculo "tem duas pernas" e B denota o círculo "pode ​​voar". Neste caso específico, a união compreende todos os organismos vivos que são bípedes ou capazes de voar (ou ambos). A área comum a A e B, representando a sobreposição entre os dois conjuntos, é chamada de intersecção de A e B, formalmente expressa como A ∩ B.

Contexto Histórico

John Venn introduziu formalmente os diagramas de Venn em 1880 através de seu artigo, "Sobre a representação diagramática e mecânica de proposições e raciocínios", publicado na Philosophical Magazine and Journal of Science. Este trabalho explorou vários métodos para representar proposições lógicas em diagrama. Embora a aplicação de tais diagramas na lógica formal seja anterior a Venn, conforme observado por Frank Ruskey e Mark Weston, eles estão "corretamente associados" a ele devido à sua pesquisa abrangente, formalização e generalização pioneira de seu uso.

Diagramas de círculos sobrepostos, ilustrando uniões e interseções como anéis borromeanos, eram comumente empregados durante a Idade Média. No entanto, a sua classificação como precursores diretos dos diagramas de Venn continua a ser um tema de debate académico. Os diagramas de Euler, conceitualmente semelhantes aos diagramas de Venn, mas nem sempre representando todas as uniões e interseções potenciais, receberam sua nomenclatura do matemático do século XVIII Leonhard Euler. Apesar disso, estes diagramas, amplamente considerados como antecedentes dos diagramas de Venn, comprovadamente são originários do século XVI. Os primeiros contribuidores notáveis ​​​​para a tradição do diagrama de Euler incluem Erhard Weigel (1625-1699) e seus alunos Johann Christoph Sturm (1635-1703) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Christian Weise (1642–1708) também merece reconhecimento, especialmente porque seu aluno, Johann Christian Lange, conduziu um extenso trabalho sobre essas representações diagramáticas. Euler posteriormente desenvolveu esses diagramas, com Immanuel Kant (1724-1804) e seus alunos contribuindo para sua ampla adoção no século XIX.

O próprio John Venn não empregou o termo "diagrama de Venn", em vez disso designou o conceito como "Círculos Eulerianos". Sua introdução aos diagramas de Euler ocorreu em 1862, e mais tarde ele observou que a ideia dos diagramas de Venn surgiu "muito mais tarde" durante seus esforços para adaptar os diagramas de Euler para a lógica booleana. Na declaração introdutória de sua publicação de 1880, Venn afirmou que os diagramas de Euler constituíam o único método diagramático para representar a lógica que havia alcançado "qualquer aceitação geral". Venn conceituou seus diagramas como um instrumento instrucional, traçando um paralelo com a verificação empírica de princípios físicos através da experimentação. Ilustrando a sua utilidade, ele demonstrou que um diagrama de três conjuntos poderia representar eficazmente o silogismo: 'Todo A é algum B. Nenhum B é qualquer C. Portanto, nenhum A é qualquer C.'

Charles L. Dodgson, conhecido como Lewis Carroll, incorporou o "Método de Diagramas de Venn" e o "Método de Diagramas de Euler" em um "Apêndice, Dirigido aos Professores" em sua obra Lógica Simbólica, cuja quarta edição foi publicada em 1896. A nomenclatura O "diagrama de Venn" foi posteriormente introduzido por Clarence Irving Lewis em 1918, aparecendo em sua publicação A Survey of Symbolic Logic.

Avanços significativos na teoria do diagrama de Venn ocorreram durante o século XX. Em 1963, David Wilson Henderson demonstrou que a presença de um diagrama n-Venn exibindo simetria rotacional n exigia que n fosse um número primo. Além disso, ele estabeleceu a existência de tais diagramas de Venn simétricos para casos onde n é igual a cinco ou sete. Posteriormente, em 2002, Peter Hamburger identificou diagramas de Venn simétricos para n = 11, e em 2003, Griggs, Killian e Savage provaram a sua existência para todos os números primos restantes. Coletivamente, essas descobertas confirmam que os diagramas de Venn rotacionalmente simétricos existem exclusivamente quando n é um número primo.

Durante a década de 1960, os diagramas de Venn e Euler foram integrados ao ensino da teoria dos conjuntos, alinhando-se com o movimento de reforma educacional da "nova matemática". Posteriormente, sua aplicação se expandiu para currículos de diversas disciplinas, incluindo compreensão de leitura. Através das contribuições de Sun-Joo Shin, os diagramas de Venn ganharam reconhecimento como um sistema lógico que possui equivalência à lógica simbólica. Metodologias análogas foram posteriormente adotadas na matemática e, mais tarde, na ciência da computação.

Cultura popular

Os diagramas de Venn têm aparecido frequentemente em memes da Internet. Além disso, pelo menos uma figura política enfrentou o ridículo público pela aplicação incorreta dos diagramas de Venn.

Visão geral

Um diagrama de Venn é composto fundamentalmente por uma série de curvas fechadas simples delineadas dentro de uma superfície plana. Conforme articulado por Lewis, o "princípio fundamental desses diagramas é que as classes [ou conjuntos] sejam representadas por regiões em tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis dessas classes possam ser indicadas no mesmo diagrama." Isto implica que o diagrama acomoda inicialmente todas as relações concebíveis entre classes, com a relação específica ou observada posteriormente definida pela designação de certas regiões como nulas ou não nulas.

Normalmente, os diagramas de Venn consistem em círculos que se cruzam. A área interna de um círculo denota os elementos pertencentes a um conjunto específico, enquanto a área externa significa os elementos não incluídos nesse conjunto. Por exemplo, dentro de um diagrama de Venn de dois conjuntos, um círculo pode simbolizar a coleção de todos os itens de madeira, enquanto o outro pode representar o conjunto de todas as mesas. Consequentemente, a área de sobreposição, ou intersecção, ilustraria o conjunto de todas as mesas de madeira. Formas alternativas, além dos círculos, também podem ser utilizadas, conforme demonstrado pelos avançados diagramas de conjuntos de Venn. É importante notar que os diagramas de Venn geralmente não transmitem informações sobre as magnitudes relativas ou absolutas (cardinalidade) dos conjuntos; eles são principalmente representações esquemáticas que normalmente não são desenhadas em escala.

Os diagramas de Venn compartilham semelhanças com os diagramas de Euler. No entanto, um diagrama de Venn projetado para n conjuntos de constituintes é necessário para representar todas as 2ⁿ zonas teoricamente possíveis, cada uma correspondendo a uma combinação única de inclusão ou exclusão nos conjuntos de componentes. Em contraste, os diagramas de Euler ilustram apenas as zonas que são realmente possíveis dentro de um contexto específico. Uma região sombreada em um diagrama de Venn pode significar um conjunto vazio, enquanto em um diagrama de Euler essa região correspondente está simplesmente ausente. Por exemplo, se um conjunto denota laticínios e outro queijos, o diagrama de Venn incluiria uma zona para queijos que não são laticínios. No entanto, assumindo que neste contexto, queijo se refere inerentemente a um tipo de produto lácteo, o diagrama de Euler mostraria a zona do queijo completamente incluída na zona do produto lácteo, omitindo assim qualquer região para queijo não lácteo inexistente. Consequentemente, à medida que o número de contornos aumenta, os diagramas de Euler geralmente apresentam menos complexidade visual em comparação com seus diagramas de Venn equivalentes, especialmente quando há poucas interseções não vazias.

A distinção entre diagramas de Euler e Venn é exemplificada pela ilustração a seguir, envolvendo três conjuntos específicos:

• A = { §1213§ , §1819§ , §2425§ } {\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}
• B = { §1213§ , §1819§ } {\displaystyle B=\{1,\,6\}}
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Os diagramas de Euler e Venn correspondentes para esses conjuntos são apresentados a seguir:

Extensões para um maior número de conjuntos

Embora os diagramas de Venn geralmente ilustrem dois ou três conjuntos, certas configurações acomodam uma quantidade maior. Conforme representado posteriormente, quatro esferas que se cruzam constituem o diagrama de Venn de ordem mais alta que exibe simetria simplex e é passível de representação visual. As dezesseis interseções resultantes se correlacionam com os vértices de um tesseract ou, alternativamente, com as células de um tesseract de 16 células.

Ao lidar com um número maior de conjuntos, um grau de redução de simetria nos diagramas torna-se inevitável. Venn buscou ativamente "figuras simétricas ... elegantes em si mesmas" capazes de representar conjuntos mais numerosos, concebendo em última análise um elegante diagrama de quatro conjuntos empregando elipses. Além disso, ele desenvolveu um método para construir diagramas de Venn para qualquer quantidade de conjuntos, em que cada curva subsequente que define um conjunto se entrelaça com as curvas anteriores, começando no diagrama fundamental de três círculos.

Diagramas Edwards–Venn

Anthony William Fairbank Edwards desenvolveu uma série de diagramas de Venn, posteriormente denominados diagramas de Edwards-Venn, segmentando a superfície de uma esfera para representar um número maior de conjuntos. Por exemplo, três conjuntos são facilmente representados utilizando três hemisférios ortogonais da esfera (x = 0, y = 0 e z = 0). Um quarto conjunto pode ser incorporado nesta representação através de uma curva semelhante à costura de uma bola de tênis, que atravessa o equador em um padrão ondulado, e este método pode ser estendido ainda mais. Esses conjuntos resultantes podem então ser projetados em uma superfície plana, produzindo diagramas de rodas dentadas caracterizados por um número crescente de dentes, conforme ilustrado. Notavelmente, esses diagramas foram concebidos durante o processo de design de um vitral em homenagem a Venn.

Sistemas diagramáticos alternativos

Os diagramas de Edwards-Venn exibem equivalência topológica aos diagramas desenvolvidos por Branko Grünbaum, que são baseados na interseção de polígonos que possuem um número crescente de lados. Além disso, servem como representações bidimensionais de hipercubos.

Henry John Stephen Smith formulou diagramas de nconjuntos análogos empregando curvas senoidais, definidas pela seguinte série de equações: s eu = pecado ⁡<!-- ⁡ --> ( §3132§ eu x ) §4647§ eu  onde  §5960§ ≤ eu ≤ n − §7475§  e  eu ∈ N . {\displaystyle y_{i}={\frac {\sin \left(2^{i}x\right)}{2^{i}}}{\text{ onde }}0\leq i\leq n-1{\text{ e }}i\in \mathbb {N} .}

Charles Lutwidge Dodgson, também conhecido por seu pseudônimo Lewis Carroll, concebeu um diagrama de cinco conjuntos conhecido como quadrado de Carroll. Por outro lado, Joaquin e Boyles introduziram regras suplementares para o diagrama de Venn convencional para abordar cenários problemáticos específicos. Por exemplo, no que diz respeito à representação de afirmações singulares, eles defendem a interpretação de um círculo do diagrama de Venn como denotando um conjunto de entidades e a aplicação da lógica de primeira ordem e da teoria dos conjuntos para conceituar afirmações categóricas como afirmações sobre conjuntos. Além disso, propõem que as declarações singulares sejam consideradas como declarações relativas à adesão a um conjunto. Assim, para ilustrar a afirmação "a é F" dentro desta estrutura modificada do diagrama de Venn, a letra minúscula "a" pode ser posicionada dentro do círculo correspondente ao conjunto F.

Conceitos Associados

Os diagramas de Venn exibem uma correspondência com tabelas verdade para proposições como ${\displaystyle x\in A}$, ${\displaystyle x\in B}$, e assim por diante, dado que cada região distinta dentro de um diagrama de Venn mapeia para uma linha única na tabela verdade correspondente. Este tipo diagramático específico também é conhecido como diagrama de Johnston. Um método alternativo para representar conjuntos envolve os diagramas R de John F. Randolph.

Gráfico existencial (Charles Sanders Peirce)

• Gráfico existencial (por Charles Sanders Peirce)
• Conectivo lógico
• Diagrama de informações
• Diagrama de Marquand (com derivações subsequentes, incluindo a carta de Veitch e o mapa de Karnaugh)
• Octaedro esférico – A projeção estereográfica de um octaedro regular gera um diagrama de Venn de três conjuntos, manifestado como três grandes círculos ortogonais, cada um dividindo o espaço em duas metades distintas.
• Demonstrador Stanhope
• Modelo de três círculos
• Triquetra
• Vesica piscis
• Planta UpSet

Notas

Referências

• "Diagrama de Venn," em Enciclopédia de Matemática, EMS Press, 2001 [1994].Fonte: Arquivo da TORIma Academia