Sistema de coordenadas cartesianas (Cartesian coordinate system)

Em geometria, um sistema de coordenadas cartesianas (Reino Unido: , EUA: ) dentro de um plano identifica exclusivamente cada ponto através de um par de números reais, conhecidos como coordenadas. Essas coordenadas representam as distâncias sinalizadas do ponto a duas linhas fixas, perpendiculares e orientadas, que são denominadas linhas de coordenadas, eixos de coordenadas ou simplesmente eixos (o plural de eixo) do sistema. O ponto de intersecção desses eixos é designado como origem, correspondendo às coordenadas (0, 0). As orientações dos eixos estabelecem uma base ortogonal, e a combinação desta origem e base constitui um referencial de coordenadas denominado referencial cartesiano.

Em geometria, um sistema de coordenadas cartesianas (Reino Unido: , EUA: ) em um plano é um sistema de coordenadas que especifica cada ponto exclusivamente por um par de números reais chamados coordenadas, que são as distâncias sinalizadas ao ponto a partir de duas linhas perpendiculares fixas orientadas, chamadas linhas coordenadas, eixos coordenados ou apenas eixos (plural de eixo) do sistema. O ponto onde os eixos se encontram é chamado de origem e tem (0, 0) como coordenadas. As direções dos eixos representam uma base ortogonal. A combinação de origem e base forma um referencial de coordenadas denominado referencial cartesiano.

De forma análoga, a localização de qualquer ponto no espaço tridimensional é definida por três coordenadas cartesianas, representando as distâncias sinalizadas desse ponto a três planos perpendiculares entre si. Estendendo este conceito, as coordenadas cartesianas n definem um ponto dentro de um espaço euclidiano n-dimensional para qualquer dimensão n. Essas coordenadas correspondem às distâncias sinalizadas do ponto até n hiperplanos fixos mutuamente perpendiculares.

A nomenclatura "coordenadas cartesianas" homenageia René Descartes, cuja inovação do século XVII transformou profundamente a matemática ao permitir a formulação de problemas geométricos usando princípios algébricos e de cálculo. Através do sistema de coordenadas cartesianas, entidades geométricas, como curvas, podem ser caracterizadas por equações que relacionam as coordenadas de seus pontos constituintes. Por exemplo, um círculo com raio 2, centrado na origem do plano, é definido como o lugar geométrico de todos os pontos cujas coordenadas x e y satisfazem a equação x§1112§ + y§1516§ = 4. A partir desta equação, propriedades como a área, o perímetro e a linha tangente em qualquer ponto podem ser calculadas usando cálculo integral e diferencial, uma metodologia aplicável a qualquer curva.

As coordenadas cartesianas servem como base fundamental da geometria analítica e oferecem insights geométricos profundos em inúmeras disciplinas matemáticas, incluindo álgebra linear, análise complexa, geometria diferencial, cálculo multivariado e teoria de grupos, entre outras. Uma ilustração por excelência de sua utilidade é a representação gráfica de uma função. Além disso, as coordenadas cartesianas constituem instrumentos indispensáveis ​​na maioria dos campos aplicados que envolvem geometria, como astronomia, física e engenharia. Eles são o sistema de coordenadas predominante empregado em computação gráfica, projeto geométrico auxiliado por computador e várias outras formas de processamento de dados relacionados à geometria.

Histórico

O termo cartesiano deriva do matemático e filósofo francês René Descartes, que introduziu formalmente este conceito em 1637 durante a sua residência na Holanda. Ao mesmo tempo, Pierre de Fermat desenvolveu de forma independente a mesma ideia, estendendo-a a três dimensões, embora não tenha publicado as suas descobertas. Notavelmente, o clérigo francês Nicole Oresme utilizou construções análogas às coordenadas cartesianas consideravelmente antes das contribuições de Descartes e Fermat. Tanto Descartes quanto Fermat empregaram inicialmente um único eixo em suas respectivas estruturas, com comprimentos variáveis ​​medidos em relação a este eixo. A inovação de utilizar um par de eixos surgiu posteriormente, após a tradução latina de La Géométrie, de Descartes, em 1649, por Frans van Schooten e seus colaboradores. Esses comentaristas, em seus esforços para elucidar as ideias originais de Descartes, introduziram vários conceitos adicionais.

A evolução do sistema de coordenadas cartesianas foi fundamental no desenvolvimento simultâneo do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Posteriormente, a representação do plano em duas coordenadas foi expandida e generalizada no conceito fundamental de espaços vetoriais.

Desde as contribuições de Descartes, vários outros sistemas de coordenadas foram concebidos, incluindo coordenadas polares para representação plana e coordenadas esféricas e cilíndricas para espaço tridimensional.

Descrição

Uma dimensão

Uma linha afim equipada com um sistema de coordenadas cartesianas designado é chamada de reta numérica. Nesta linha, cada ponto corresponde a uma coordenada única de número real e, inversamente, cada número real corresponde a um ponto específico na linha.

Um sistema de coordenadas cartesianas para uma linha oferece dois graus de liberdade. Este sistema pode ser estabelecido selecionando dois pontos distintos na reta e associando-os a dois números reais únicos, normalmente zero e um. Posteriormente, todos os outros pontos podem receber valores numéricos exclusivos por meio de interpolação linear. Alternativamente, um único ponto pode ser designado para um número real específico, como uma origem correspondente a zero. Um comprimento unitário orientado ao longo da linha é então escolhido, com sua orientação determinando a correlação entre as direções na linha e os valores numéricos positivos ou negativos. A coordenada de cada ponto é a sua distância sinalizada da origem, compreendendo um valor absoluto igual à distância e um sinal + ou − determinado pela sua direção relativa à origem.

As transformações geométricas de uma linha são representáveis ​​por funções de uma variável real; por exemplo, a tradução da linha corresponde à adição, enquanto a escala da linha corresponde à multiplicação. Quaisquer dois sistemas de coordenadas cartesianas em uma determinada linha são interconectados por uma função linear da forma ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$), que mapeia a coordenada de um ponto de um sistema para seu equivalente no outro. Além disso, estabelecer um sistema de coordenadas para cada uma das duas linhas distintas cria um mapa afim entre elas, onde cada ponto da primeira linha é mapeado para o ponto da segunda linha que possui a coordenada idêntica.

Duas Dimensões

Um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, também conhecido como sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é estabelecido por um par ordenado de linhas perpendiculares (eixos), uma unidade uniforme de comprimento aplicável a ambos os eixos e uma orientação especificada para cada eixo. O ponto de intersecção desses eixos serve de origem para ambos, transformando efetivamente cada eixo em uma reta numérica. Para determinar as coordenadas de qualquer ponto P, uma linha é traçada através de P perpendicular a cada eixo; o ponto de intersecção em cada eixo é então interpretado como um valor numérico. Esses dois números, apresentados na ordem designada, constituem as coordenadas cartesianas de P. Por outro lado, o ponto P pode ser identificado exclusivamente dadas as suas coordenadas através do inverso desta construção.

A primeira coordenada de P é denominada abscissa, enquanto a segunda é conhecida como ordenada. O ponto de intersecção dos eixos é designado como a origem do sistema de coordenadas. As coordenadas são convencionalmente expressas como um par ordenado de números entre parênteses e separados por uma vírgula, por exemplo, (3, −10,5). Consequentemente, a origem é representada por (0, 0), e os pontos localizados a uma unidade da origem ao longo dos semieixos positivos são denotados por (1, 0) e (0, 1).

Nas disciplinas de matemática, física e engenharia, o eixo primário é normalmente estabelecido ou ilustrado horizontalmente, orientado para a direita, enquanto o eixo secundário é vertical e direcionado para cima. (É digno de nota que em certas aplicações de computação gráfica, o eixo das ordenadas pode estar orientado para baixo.) A origem é frequentemente denotada por O, e as duas coordenadas são comumente representadas pelas letras X e Y, ou x e y. Conseqüentemente, os eixos são frequentemente chamados de eixo X e eixo Y. Esta convenção de letras origina-se da prática histórica de empregar a última parte do alfabeto para quantidades desconhecidas e a parte inicial para valores conhecidos.

Um plano euclidiano equipado com um sistema de coordenadas cartesianas selecionado é denominado plano cartesiano. Neste quadro, é possível definir representações canônicas para diversas figuras geométricas. Exemplos incluem o círculo unitário, caracterizado por um raio equivalente ao comprimento unitário e centrado na origem; o quadrado unitário, cuja diagonal conecta os pontos (0, 0) e (1, 1); e a hipérbole unitária, entre outras.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões em ângulo reto, conhecidas como quadrantes. Embora esses quadrantes possam ser designados ou numerados por meio de várias convenções, a região onde todas as coordenadas são positivas é convencionalmente chamada de primeiro quadrante.

Para um ponto com coordenadas (x, y), suas distâncias do eixo X e do eixo Y são dadas por |y| e |x|, respectivamente, onde | · | significa o valor absoluto.

Três Dimensões

Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional é definido por um trio ordenado de linhas, designados como eixos, que se cruzam em um ponto comum, a origem, e são mutuamente perpendiculares. Este sistema também requer uma orientação atribuída para cada eixo e uma unidade uniforme de comprimento em todos os três eixos. Análogo ao sistema bidimensional, cada eixo funciona como uma reta numérica. Para determinar as coordenadas de qualquer ponto P no espaço, um plano é conceituado através de P, perpendicular a cada eixo de coordenadas. A intersecção deste plano com cada eixo produz um valor numérico. Esses três números, dispostos na ordem especificada, constituem as coordenadas cartesianas de P. Por outro lado, um ponto P pode ser localizado exclusivamente por suas três coordenadas dadas através desta construção inversa.

Alternativamente, cada coordenada de um ponto P pode ser definida como sua distância perpendicular ao plano formado pelos outros dois eixos, com o sinal algébrico determinado pela orientação do respectivo eixo.

Cada par de eixos estabelece um plano de coordenadas distinto. Coletivamente, esses planos dividem o espaço tridimensional em oito regiões distintas, conhecidas como octantes. Esses octantes são caracterizados pelas seguintes combinações de sinais de coordenadas:

${\estilo de exibição {\begin{aligned}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,- y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{aligned}}}$

As coordenadas são normalmente expressas como um trio de números ou fórmulas algébricas, entre parênteses e delimitadas por vírgulas, por exemplo, (3, −2,5, 1) ou (t, u + v, π/2). Consequentemente, a origem é representada pelas coordenadas (0, 0, 0), enquanto os pontos unitários ao longo dos três eixos são designados como (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).

A terminologia convencional para as coordenadas ao longo dos três eixos inclui abscissa, ordenada e aplicar. Essas coordenadas são frequentemente simbolizadas pelas letras x, y e z. Conseqüentemente, os eixos são frequentemente designados como eixo x, eixo y e eixo z. Posteriormente, os planos de coordenadas são identificados como plano xy, plano yz e plano xz.

Nas disciplinas matemáticas, físicas e de engenharia, os dois eixos iniciais são comumente estabelecidos ou ilustrados horizontalmente, com o terceiro eixo orientado verticalmente para cima. Nessas configurações, a terceira coordenada pode ser denominada altura ou altitude. A orientação padrão determina que o ângulo de 90 graus do primeiro eixo ao segundo eixo apareça no sentido anti-horário quando visto do ponto (0, 0, 1); esta convenção estabelecida é amplamente conhecida como regra da mão direita.

Dimensões superiores

Dada a natureza única e inequívoca das coordenadas cartesianas, os pontos dentro de um plano cartesiano podem ser correlacionados com precisão com pares ordenados de números reais. Esta correspondência é formalmente representada pelo produto cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, onde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ denota o conjunto de todos os números reais. Analogamente, pontos em qualquer espaço euclidiano n-dimensional podem ser identificados com n-tuplas (listas) ordenadas de números reais, correspondendo ao produto cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Generalizações

O conceito fundamental de coordenadas cartesianas pode ser estendido para acomodar eixos que não são mutuamente perpendiculares ou para incorporar escalas unitárias variadas ao longo de cada eixo. Dentro de tal estrutura generalizada, cada coordenada é derivada projetando um determinado ponto em um eixo, ao longo de uma direção paralela aos eixos restantes (ou, mais amplamente, ao hiperplano definido por todos os outros eixos). Em um sistema de coordenadas oblíquas, os cálculos de distâncias e ângulos necessitam de modificações daqueles empregados em sistemas cartesianos padrão, tornando muitas fórmulas convencionais (por exemplo, o teorema de Pitágoras para distância) inaplicáveis.

Notação e convenções

As coordenadas cartesianas de um ponto específico são convencionalmente apresentadas entre parênteses e delimitadas por vírgulas, exemplificadas por (10, 5) ou (3, 5, 7). A origem é frequentemente designada pela letra maiúscula O. Dentro da geometria analítica, coordenadas não especificadas ou generalizadas são comumente representadas pelas letras (x, y) para contextos planares e (x, y, z) para espaço tridimensional. Esta prática origina-se de uma convenção algébrica que emprega letras da última parte do alfabeto para variáveis ​​desconhecidas (por exemplo, coordenadas de pontos em vários problemas geométricos) e letras da parte inicial para quantidades conhecidas.

Embora essas designações convencionais sejam frequentemente aplicadas em outros campos, incluindo física e engenharia, letras alternativas também podem ser empregadas. Por exemplo, numa representação gráfica que ilustra a variação da pressão ao longo do tempo, as coordenadas podem ser rotuladas como p e t. Normalmente, cada eixo é nomeado de acordo com a coordenada que mede; portanto, termos como eixo x, eixo y ou eixo t são comumente usados.

Uma convenção alternativa para nomenclatura de coordenadas envolve o uso de subscritos, exemplificados por (x§23§, x§6_{7§, ..., xn) para denotar as coordenadas n dentro de um espaço n-dimensional, particularmente quando n excede três ou permanece indefinido. Certos pesquisadores optam pelo esquema de numeração (x§2223§, x§2627§, ..., xn−1). Tais sistemas de notação oferecem benefícios particulares em contextos de programação de computadores, pois facilitam o armazenamento de coordenadas de pontos dentro de uma estrutura de matriz, em vez de um registro, permitindo que o subscrito funcione como um índice direto para as coordenadas.}

Nas representações matemáticas de sistemas cartesianos bidimensionais, a coordenada inicial, convencionalmente denominada abcissa, é quantificada ao longo de um eixo horizontal, normalmente direcionado da esquerda para a direita. Posteriormente, a segunda coordenada, conhecida como ordenada, é medida ao longo de um eixo vertical, geralmente orientado de baixo para cima. Para fins pedagógicos, especialmente com alunos jovens, a sequência para interpretar os valores das coordenadas é muitas vezes estabelecida antes da conceituação completa dos eixos x-, y- e z. Isso é frequentemente conseguido por meio de mnemônicos bidimensionais, como 'Ande ao longo do corredor e depois suba as escadas', que metaforicamente corresponde a percorrer horizontalmente ao longo do eixo x antes de subir verticalmente ao longo do eixo y.

Por outro lado, nos domínios da computação gráfica e processamento de imagens, um sistema de coordenadas é freqüentemente empregado em que o eixo y é direcionado para baixo na tela de exibição. Esta convenção específica surgiu durante a década de 1960, ou potencialmente antes, decorrente das metodologias iniciais para armazenar imagens em buffers de exibição.

Em sistemas de coordenadas tridimensionais, uma prática padrão envolve representar o plano xy em uma orientação horizontal e incorporar o eixo z para denotar a altura, com valores positivos estendendo-se para cima. Além disso, uma convenção comum posiciona o eixo x voltado para o observador, com uma tendência direcional para a direita ou para a esquerda. Se um diagrama, seja uma projeção 3D ou um desenho em perspectiva 2D, ilustrar o eixo x horizontalmente e o eixo y verticalmente, o eixo z é normalmente representado como se estendendo "para fora da página" em direção ao visualizador ou à câmera. Dentro de tal representação bidimensional de um sistema tridimensional, o eixo z se manifestaria como uma linha ou raio direcionado para baixo e para a esquerda ou para a direita, dependendo da perspectiva assumida do observador ou da câmera. A orientação geral dos três eixos em qualquer diagrama ou exibição é inerentemente arbitrária. No entanto, a sua orientação relativa deve aderir consistentemente à regra da mão direita, a menos que seja indicado um desvio explícito. Esta convenção para destros é fundamental para todas as leis físicas e matemáticas, garantindo assim consistência.

Em diagramas tridimensionais, os termos "abscissa" e "ordenada" são raramente aplicados às coordenadas x e y, respectivamente. Nos casos em que esses termos são empregados, a coordenada z é ocasionalmente designada como aplicar. É também digno de nota que 'abscissa', 'ordenada' e 'aplicado' podem referir-se aos próprios eixos coordenados, em vez de aos seus valores numéricos correspondentes.

Quadrantes Cartesianos e Octantes

Os eixos que se cruzam de um sistema cartesiano bidimensional delineiam o plano em quatro regiões ilimitadas, denominadas quadrantes, cada uma delimitada por dois semieixos. Estas regiões são convencionalmente enumeradas da primeira à quarta e representadas por algarismos romanos: Quadrante I, onde ambas as coordenadas apresentam sinais positivos; Quadrante II, caracterizado por abscissa negativa e ordenada positiva; Quadrante III, onde tanto a abscissa quanto a ordenada são negativas; e Quadrante IV, definido por uma abscissa positiva e uma ordenada negativa. Seguindo a convenção matemática padrão para representação de eixos, a sequência de numeração progride no sentido anti-horário, começando no quadrante superior direito ou "nordeste".

De forma análoga, um sistema cartesiano tridimensional particiona o espaço em oito regiões distintas, conhecidas como octantes, com base nas combinações de sinais das coordenadas dos pontos. A nomenclatura estabelecida para identificar um determinado octante envolve enumerar os sinais de suas coordenadas; por exemplo, (+ + +) ou (− + −). A extensão conceitual de quadrantes e octantes para um número arbitrário de dimensões é chamada de ortante, que emprega uma metodologia de nomenclatura comparável.

Fórmulas para o Plano Cartesiano

Distância entre pontos

A distância euclidiana que separa dois pontos distintos dentro de um plano cartesiano, identificados por suas coordenadas ( x §1213§ , y §2223§ ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} e ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, é definido como:

d = ( x §1819§ −<!-- − --> x §2930§ ) §3637§ + ( y §4849§ − y §5960§ ) §6667§ . {\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}

Esta equação representa a formulação cartesiana do teorema de Pitágoras. Quando estendido ao espaço tridimensional, a distância entre dois pontos, denotada como ( x §1213§ , y §2223§ , z §3233§ ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} e ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$, é determinado por:

d = ( x §1819§ −<!-- − --> x §2930§ ) §3738§ + ( s §4950§ − s §6061§ ) §6869§ + ( z §8081§ − z §9192§ ) §99100§ , {\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}

Esta fórmula pode ser derivada através de duas aplicações sequenciais do teorema de Pitágoras.

Transformações Euclidianas

As transformações euclidianas, também chamadas de movimentos euclidianos, representam mapeamentos bijetivos de pontos dentro do plano euclidiano sobre si mesmos, caracterizados pela preservação das distâncias entre os pontos. Esses mapeamentos, também conhecidos como isometrias, abrangem quatro categorias distintas: translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes.

Tradução

O processo de transladar um conjunto de pontos dentro de um plano, mantendo suas distâncias entre pontos e direções relativas, corresponde a aumentar as coordenadas cartesianas de cada ponto do conjunto por um par constante de números, especificamente (a, b). Consequentemente, se as coordenadas iniciais de um ponto forem (x, y), suas coordenadas após a translação serão:

$${\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}$$

Rotação

Girar uma figura geométrica no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo especificado, denotado como ${\displaystyle \theta }$, é matematicamente equivalente a substituir cada ponto com coordenadas (x,y) por um novo ponto que possua coordenadas (x',y'), sob a condição de que:

As equações de transformação para uma rotação são expressas como: $${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Consequentemente,

as coordenadas transformadas podem ser representadas como: $${\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}$$

Reflexão

Ao considerar um ponto definido por coordenadas cartesianas (x, y), seu reflexo no eixo y (o segundo eixo de coordenadas) produz coordenadas (−x, y), análogas a uma imagem espelhada. Da mesma forma, a reflexão através do eixo x (o primeiro eixo de coordenadas) resulta em coordenadas (x, −y). Mais amplamente, uma reflexão através de uma linha que passa pela origem em um ângulo ${\displaystyle \theta }$ relativo ao eixo x transforma um ponto com coordenadas (x, y) em um novo ponto com coordenadas (x′,y′), definido por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}}$$

A transformação pode ser expressa da seguinte forma: $${\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}$$

Reflexão deslizante

Uma reflexão deslizante é definida como a transformação composta resultante de uma reflexão através de uma linha especificada, seguida por uma translação executada paralelamente a essa mesma linha. Vale ressaltar que a sequência dessas operações é comutativa, implicando que a tradução pode preceder a reflexão sem alterar o resultado final.

Representação matricial geral de transformações

As representações matriciais fornecem um método padronizado para descrever todas as transformações afins dentro de um plano. Para facilitar isso, as coordenadas ${\displaystyle (x,y)}$ de um determinado ponto são convencionalmente expressos como a matriz de coluna ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

As transformações euclidianas, um subconjunto de transformações afins, são definidas pela ortogonalidade de sua matriz ${\displaystyle A}$. Esta ortogonalidade implica que as colunas da matriz são vetores ortogonais com norma euclidiana igual a um. Especificamente, esta condição é expressa pelas equações: A §2627§ , §3031§ A §3738§ , §4142§ + A §5152§ , §55<span>56§ </span>A §6263§ , §6667§ = §7273§ {\displaystyle A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0} e A §9495§ , §9899§ §101102§ + A §111112§ , §115<span>116§ §119<math alttext="{\displaystyle A}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">120§ </math></span>= A §129130§ , §133134§ §137138§+ A §147148§ , §151<math alttext="{\displaystyle A}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">152§ §155<math alttext="{\displaystyle A}" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">156§ </math></math>= 1. {\displaystyle A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.}

Esta propriedade é matematicamente equivalente a afirmar que o produto da matriz A e sua transposta produz a matriz identidade. Caso estas condições não sejam satisfeitas, a fórmula dada representa uma classe mais ampla de transformações afins.

Uma transformação é classificada como uma tradução exclusivamente quando a matriz A corresponde à matriz identidade. Por outro lado, uma transformação representa uma rotação em torno de um ponto específico se e somente se A funciona como uma matriz de rotação, o que requer sua ortogonalidade e aderência à condição: A §1819§ , §2223§ A §2930§ , §3334§ − A §4445§ , §4849§ A §5556§ , §5960§ = 1. {\displaystyle A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.}

Uma reflexão ou reflexão deslizante ocorre sob a condição específica em que: A §1011§ , §1415§ A §2122§ , §25<math alttext="{\displaystyle A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.}" display="block" xmlns="w3.org/1998/Math/MathML">26§ </math> − A §3637§ , §40<span>41§ </span>A §4748§ , §5152§= − 1. {\displaystyle A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.}

Quando as traduções não são empregadas (ou seja, b §1011§ = b §2021§ = §2627§ {\displaystyle b_{1}=b_{2}=0} ), as transformações podem ser compostas através da multiplicação direta de suas matrizes de transformação correspondentes.

Transformação Afim

As transformações afins no plano euclidiano preservam a colinearidade, mapeando linhas em linhas, mas são capazes de alterar distâncias e ângulos. Tais transformações podem ser representadas usando matrizes aumentadas: 18§ , §2122§ A §3132§ , §3536§ b §4546§ A §5758§ , §61 A §71 b §85 §9394§ §9798§ §101102§ ) ( x y §129130§ ) = ( x ′ y ′ §167168§ ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pm atriz}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}

As transformações euclidianas constituem um subconjunto de transformações afins onde a matriz 2×2 do A i , j {\displaystyle A_{i,j}} é ortogonal.

A matriz aumentada que representa a composição de duas transformações afins é derivada através da multiplicação de suas respectivas matrizes aumentadas.

Certas transformações afins que não se qualificam como transformações euclidianas recebem nomes distintos.

Escalonamento

A escala exemplifica uma transformação afim que não é euclidiana. Ajustar o tamanho de uma figura, seja ampliando-a ou reduzindo-a, envolve multiplicar as coordenadas cartesianas de cada ponto por um escalar positivo consistente, m. Consequentemente, se (x, y) representa as coordenadas de um ponto na figura inicial, o ponto correspondente na figura em escala possuirá coordenadas definidas como:

$${\displaystyle (x',y')=(mx,my).}$$

Quando m excede 1, o número sofre ampliação; inversamente, se m estiver dentro do intervalo (0, 1), o número sofrerá redução.

Transformações de cisalhamento

Uma transformação de cisalhamento distorce um quadrado deslocando sua borda superior lateralmente, criando assim um paralelogramo. O cisalhamento horizontal é formalmente definido como:

$${\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}$$

O cisalhamento vertical também pode ser implementado por meio da seguinte transformação:

$${\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}$$

Orientação e lateralidade em sistemas de coordenadas

Sistemas Bidimensionais

A especificação do eixo x define inerentemente o eixo y, embora com ambiguidade direcional. Especificamente, o eixo y deve ser perpendicular ao eixo x, cruzando na origem (0) do eixo x. No entanto, deve ser tomada uma decisão sobre qual das duas semi-retas resultantes ao longo desta perpendicular será designada como positiva e qual como negativa. Cada seleção distinta estabelece uma orientação única, também conhecida como lateralidade, para o plano cartesiano.

A orientação convencional do plano, caracterizada pelo eixo x positivo estendendo-se para a direita e o eixo y positivo estendendo-se para cima (onde o eixo x é designado como o primário e o eixo y como o eixo secundário), é reconhecido como o eixo Orientação positiva ou padrão, frequentemente chamada de orientação destra.

A regra da mão direita serve como um mnemônico predominante para estabelecer a orientação positiva. Quando uma mão direita parcialmente fechada é posicionada no plano com o polegar direcionado para cima, os dedos indicam a direção do eixo x até o eixo y dentro de um sistema de coordenadas orientado positivamente.

Alternativamente, o plano pode ser orientado aplicando a regra da mão esquerda, que envolve colocar a mão esquerda no plano com o polegar direcionado para cima.

Se o polegar for estendido a partir da origem ao longo de um eixo na direção positiva, a curvatura natural dos dedos significa uma direção de rotação positiva em torno desse eixo específico.

Independentemente do método empregado para a orientação do plano, uma rotação do sistema de coordenadas mantém sua orientação inerente. A inversão de um único eixo inverterá a orientação, enquanto a inversão de ambos os eixos preservará a orientação original.

Sistemas Tridimensionais

Ao definir os eixos x e y, a trajetória para o eixo z é estabelecida; no entanto, duas orientações distintas são possíveis para esta linha. Os sistemas de coordenadas resultantes são consequentemente categorizados como 'destros' ou 'canhotos'. A orientação convencional, caracterizada por um plano xy horizontal e o eixo z apontando para cima (com os eixos x e y formando um sistema de coordenadas bidimensional orientado positivamente dentro do plano xy quando visto de acima do plano xy), é designada como destro ou positivo.

A nomenclatura origina-se da regra da mão direita. Quando o dedo indicador da mão direita é estendido para frente, o dedo médio é dobrado para dentro em um ângulo reto e o polegar é posicionado perpendicularmente a ambos. Esses três dígitos ilustram a orientação relativa dos eixos x-, y- e z dentro de um sistema de coordenadas destros. Especificamente, o polegar designa o eixo x, o dedo indicador o eixo y e o dedo médio o eixo z. Por outro lado, aplicar este método com a mão esquerda produz um sistema para canhotos.

A Figura 7 ilustra um sistema de coordenadas para canhotos e para destros. A representação de um objeto tridimensional em uma tela bidimensional introduz inerentemente distorção e ambiguidade potencial. O eixo orientado para baixo (e para a direita) destina-se a projetar na direção do observador, enquanto o eixo "do meio" é projetado para se afastar do observador. O círculo vermelho, posicionado paralelo ao plano xy horizontal, significa rotação do eixo x para o eixo y em ambas as configurações. Consequentemente, a seta vermelha passa na frente do eixo z.

A Figura 8 apresenta uma representação alternativa de um sistema de coordenadas para destros. Semelhante ao exemplo anterior, projetar um sistema tridimensional em um plano bidimensional introduz uma ambiguidade inerente. Muitos observadores percebem a Figura 8 como oscilando entre um cubo convexo e um “canto” côncavo, que reflete as duas orientações espaciais potenciais. Interpretar a figura como convexa resulta em um sistema de coordenadas para canhotos. Portanto, a perspectiva apropriada para visualizar a Figura 8 envolve conceituar o eixo x como se estendendo em direção ao observador, percebendo assim um canto côncavo.

Representação de um Vetor dentro da Base Padrão

Dentro de um sistema de coordenadas cartesianas, um ponto espacial pode ser denotado por um vetor de posição, conceituado como uma seta que se estende da origem do sistema de coordenadas até o ponto específico. Quando as coordenadas significam posições espaciais (deslocamentos), o vetor originado da origem até o ponto de interesse é convencionalmente expresso como ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Para contextos bidimensionais, o vetor da origem até um ponto definido por coordenadas cartesianas (x, y) é formulado como:

$${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,}$$

Aqui, i = ( §1920§ §2526§ ) {\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} e j = ( §6162§ §6768§ ) {\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} representam os vetores unitários alinhados com o eixo x e o eixo y, respectivamente. Eles são comumente conhecidos como base padrão, embora em certos contextos de aplicação também possam ser chamados de versores. Estendendo este conceito para três dimensões, um vetor originado na origem da coordenada e terminando no ponto definido pelas coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,}$$

Aqui, i = ( §1920§ §2526§ §3132§ ) , {\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},} j = ( §6970§ §7576§ §8182§ ) , {\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},} e k = ( §119120§ §125126§ §131132§ ) . {\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.} são os vetores unitários correspondentes aos eixos x, y e z, respectivamente.

Não existe um método inerente para multiplicar vetores para produzir consistentemente outro vetor em todas as dimensões; no entanto, os números complexos oferecem um mecanismo para tal operação. Dentro de um plano cartesiano bidimensional, um ponto definido pelas coordenadas (x, y) pode ser associado ao número complexo z = x + iy. Neste contexto, i representa a unidade imaginária, correspondente ao ponto (0, 1), e portanto não é equivalente ao vetor unitário ao longo do eixo x. Dado que os números complexos possuem uma operação multiplicativa resultando em outro número complexo, esta correspondência permite uma forma de multiplicação vetorial. Analogamente, num espaço cartesiano tridimensional, uma associação comparável pode ser estabelecida utilizando um subconjunto específico de quaterniões.

Robô de coordenadas cartesianas

• Robô de coordenadas cartesianas
• Horizontal e vertical
• Diagrama de Jones, que representa quatro variáveis em vez de duas
• Coordenadas ortogonais, uma espécie de sistema de coordenadas curvilíneas
• Sistema de coordenadas polares
• Grade regular
• Sistema de coordenadas esféricas

Notas

Citações

Referências gerais e citadas

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    • Sistema de Coordenadas Cartesianas
    • Weisstein, Eric W. "Coordenadas Cartesianas". MathWorld.
    • Conversor de coordenadas – converte entre coordenadas polares, cartesianas e esféricas
    • Coordenadas de um ponto – ferramenta interativa para explorar as coordenadas de um ponto
    • classe JavaScript de código aberto para manipulação de sistema de coordenadas cartesianas 2D/3D