Beyaz gürültü (White noise)

Sinyal işlemede, beyaz gürültü, çeşitli frekanslarda tekdüze yoğunluk sergileyen ve sabit bir güç spektral yoğunluğuyla sonuçlanan rastgele bir sinyal olarak tanımlanır. Bu terminoloji veya benzer yorumlar, fizik, akustik mühendisliği, telekomünikasyon ve istatistiksel tahmin gibi çok sayıda bilimsel ve teknik alanda uygulama alanı bulur. Beyaz gürültünün belirli bir sinyali belirtmekten ziyade sinyaller ve kaynakları için istatistiksel bir modeli temsil ettiğini belirtmek önemlidir. 'Beyaz gürültü' tanımı beyaz ışıktan kaynaklanır; ancak beyaz olarak algılanan ışık genellikle görünür spektrum boyunca düz bir güç spektral yoğunluğuna sahip değildir.

Ayrık bir zaman çerçevesinde, beyaz gürültü, tek tek örneklerin, sıfır ortalama ve sonlu varyansa sahip, seri olarak ilişkisiz rastgele değişkenlerin bir dizisi olarak kabul edildiği ayrı bir sinyal olarak ortaya çıkar; beyaz gürültünün tekil bir örneğine rastgele şok adı verilir. Bazı bağlamlar ayrıca bu örneklerin bağımsız olmasını ve aynı olasılık dağılımını sergilemesini şart koşarak bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenleri beyaz gürültünün en basit temsili haline getirir. Spesifik olarak, her örnek sıfır ortalamalı normal bir dağılım izlediğinde, sinyal daha sonra toplamsal beyaz Gauss gürültüsü olarak sınıflandırılır.

Beyaz gürültü sinyali içeren örnekler zaman içinde sıralı olarak sıralanabilir veya bir veya daha fazla uzamsal boyuta dağıtılabilir. Dijital görüntü işleme alanında, beyaz gürültü görüntüsündeki pikseller genellikle dikdörtgen bir ızgara halinde düzenlenir ve belirli bir aralık boyunca tekdüze olasılık dağılımına sahip bağımsız rastgele değişkenler olduğu varsayılır. Bu kavram, küresel veya toroidal geometriler de dahil olmak üzere daha karmaşık alanlara yayılan sinyalleri de kapsar.

Sonsuz bant genişliğine sahip beyaz gürültü sinyali tamamen teorik bir yapıyı temsil eder. Pratik uygulamalarda beyaz gürültünün bant genişliği, gürültü üretim mekanizması, iletim ortamı ve gözlem yeteneklerindeki doğal sınırlamalar tarafından kısıtlanır. Sonuç olarak, spektrumları belirli bir bağlama uygun frekans aralığı boyunca düz görünüyorsa, rastgele sinyaller beyaz gürültü olarak sınıflandırılır. Bir ses sinyali için ilgili spektrum, tipik olarak 20 ila 20.000 Hz arasında değişen duyulabilir ses frekanslarını kapsar. Böyle bir sinyal, insan kulağı tarafından, sürekli aspirasyon sırasında üretilen /h/ sesine benzer, belirgin bir tıslama sesi olarak algılanır. Bunun tersine, sh sesi /ʃ/, ash kelimesinde duyulduğu şekliyle karakteristik formant yapısı nedeniyle renkli bir gürültü oluşturur. Müzik ve akustik disiplinlerinde, beyaz gürültü tanımı, karşılaştırılabilir bir tıslama işitsel etkisi üreten herhangi bir sinyale uygulanabilir.

Filogenetik temelli istatistiksel metodolojiler çerçevesinde, beyaz gürültü terimi, karşılaştırmalı veri kümelerinde filogenetik desenlemenin bulunmadığını ifade edebilir. Teknik olmayan söylemde bu terim bazen 'asıl içerikten yoksun rastgele iletişim' anlamına gelir.

İstatistiksel Özellikler

Sıfır DC bileşenine sahip olması koşuluyla herhangi bir değer dağılımına izin verilir. 1 veya -1 değerleriyle sınırlı bir ikili sinyal bile, dizisi istatistiksel olarak korelasyonsuzsa beyaz gürültü özellikleri sergileyebilir. Doğal olarak, normal dağılım gibi sürekli bir dağılımla karakterize edilen gürültü de beyaz olarak sınıflandırılabilir.

Yaygın bir yanılgı, Gauss genlik dağılımına sahip gürültü olarak tanımlanan (normal dağılıma atıfta bulunan) Gauss gürültüsünün doğası gereği beyaz gürültüyü ima ettiğidir; ancak hiçbir özellik diğerini gerektirmez. Gaussluk, sinyal değerlerinin olasılık dağılımıyla, özellikle sinyalin genliğinin belirli bir aralıkta düşme olasılığıyla ilgilidir. Bunun tersine, 'beyaz' tanımlayıcısı, sinyal gücünün özellikle bağımsız olarak zaman veya frekanslar arasında nasıl dağıtıldığını karakterize eder.

Beyaz gürültünün spesifik bir tezahürü, Wiener sürecinin veya Brownian hareketinin genelleştirilmiş ortalama kare türevidir.

Beyaz gürültü ölçüsü, rastgele alanlar da dahil olmak üzere sonsuz boyutlu uzaylardaki rastgele öğelere uygulanabilen bir genellemeyi temsil eder.

Pratik Uygulamalar

Müzik

Beyaz gürültü, elektronik müzik üretiminde doğrudan veya alternatif gürültü sinyali türleri oluşturmak için bir filtreye girdi olarak kullanılarak sıklıkla uygulama alanı bulur. Kullanımı, ses sentezinde, özellikle de frekans alanları içinde doğası gereği önemli gürültü içeriğine sahip olan ziller veya trampet gibi vurmalı çalgıların taklit edilmesinde yaygındır. Beyaz gürültünün açık bir örneği, var olmayan bir radyo istasyonundan kaynaklanan statiktir.

Elektronik Mühendisliği

Beyaz gürültü, özellikle amplifikatörler ve diğer ses cihazları olmak üzere elektrik devrelerinin darbe tepkisini belirlemek için de kullanılır. Ancak aşırı yüksek frekanslı spektral içeriği nedeniyle hoparlör testi için uygun değildir. Bunun tersine, her oktav boyunca eşit enerji dağılımıyla ayırt edilen pembe gürültü, hoparlörler ve mikrofonlar gibi dönüştürücüleri değerlendirmek için kullanılır.

Bilgi İşlem

Beyaz gürültü, belirli rastgele sayı üreteçleri için temel bir öğe görevi görür. Örneğin Random.org, beyaz gürültü olarak doğru bir şekilde temsil edilebilen kaynaklardan elde edilen rastgele rakam dizileri üretmek için atmosferik antenlerden oluşan bir ağ kullanıyor.

Çınlama tedavisi

Beyaz gürültü, kulak çınlaması tedavisinde ses maskeleme amacıyla sıklıkla kullanılan sentetik bir gürültü kaynağıdır. Ticari beyaz gürültü jeneratörleri mahremiyeti artıran, uykuyu kolaylaştıran ve kulak çınlaması semptomlarını hafifleten cihazlar olarak pazarlanmaktadır. 1962 yılında satıcı Jim Buckwalter tarafından geliştirilen Marpac Sleep-Mate, ilk yerli beyaz gürültü makinesini temsil ediyor. Daha basit ve ekonomik bir alternatif, bir AM radyonun kullanılmayan bir frekansa ayarlanmasını ve beyaz gürültü işlevi gören "statik" üretilmesini içerir. Bununla birlikte, boş bir frekansa ayarlanmış standart bir ticari radyo alıcısı tarafından üretilen beyaz gürültü, bitişik radyo istasyonları, uzak istasyonlardan gelen harmonikler, yakındaki elektrikli ekipmanlardan kaynaklanan parazitler veya güneş patlamaları ve yıldırım gibi atmosferik olaylar dahil olmak üzere sahte sinyallerden kaynaklanan kirlenmeye karşı oldukça hassastır.

Çalışma ortamı

Beyaz gürültünün bilişsel işlevler üzerindeki etkisi çelişkili bulgular sunuyor. 2007'de yapılan sınırlı bir araştırma, ortamdaki beyaz gürültü uyarımının, dikkat eksikliği hiperaktivite bozukluğu (DEHB) tanısı alan ortaöğretim öğrencilerinde bilişsel performansı arttırdığını, ancak aynı zamanda DEHB olmayan öğrencilerin performansını da azalttığını bildirdi. Daha ileri araştırmalar, ortamdaki ofis gürültüsünü gizleyerek çalışanların ruh halini ve üretkenliğini artırmada etkili olduğunu öne sürüyor, ancak karmaşık kart sıralama egzersizlerinde bilişsel performansı bozduğu gözlemlendi.

İlgili bir araştırmada, altmış altı sağlıklı katılımcının yer aldığı bir deney, beyaz gürültüyü bir öğrenme ortamına dahil etmenin avantajlarını araştırdı. Katılımcılara, farklı arka plan işitsel uyaranların ortasında çeşitli görüntüleri tanımlama görevi verildi. Kümülatif bulgular, beyaz gürültünün gerçekten de öğrenmeye ilişkin faydalar sağladığını gösterdi. Özellikle çalışmalar, katılımcıların öğrenme yeteneklerinde ve tanıma hafızasında beyaz gürültüye atfedilebilecek ılımlı bir gelişme olduğunu gösterdi.

Matematiksel tanımlar

Beyaz gürültü vektörü

Rⁿ'e rastgele değişken eşlemesi olarak tanımlanan bir rastgele vektör, kendisini oluşturan bileşenlerin her biri sıfır ortalama ve sonlu varyans ile karakterize edilen bir olasılık dağılımı sergiliyorsa beyaz gürültü vektörü veya beyaz rastgele vektör olarak sınıflandırılır. Her ne kadar geleneksel sinyal işleme tanımları, tamamen düz bir güç spektrumu sağlamak için aynı varyansları zorunlu kılsa da, daha kapsamlı istatistiksel çerçeveler bazen yalnızca sonlu varyansları ve bileşenler arasında istatistiksel bağımsızlığı şart koşar; bu da bunların ortak olasılık dağılımlarının, bireysel dağılımlarının ürünü olması gerektiği anlamına gelir.

İki değişkenin istatistiksel bağımsızlığı için genellikle yeterli bir koşul olmasa da bir önkoşul, bunların istatistiksel korelasyonsuzluğudur, yani sıfır kovaryansa işaret eder. Sonuç olarak, bir beyaz gürültü vektörünün w n bileşenleri için kovaryans matrisi R bir n x n diyagonal matris olmalıdır, burada her bir R_ii köşegen girişi w_i bileşeninin varyansına karşılık gelir. Ayrıca korelasyon matrisinin n x n birim matrisi olması gerekir. Varyansların aynı olması durumunda, kovaryans matrisi, kimlik matrisinin skaler bir katına basitleştirilir ve şu şekilde ifade edilir: R = σ<!-- σ --> §3738§ Ben {\displaystyle R=\sigma ^{2}I .

Bir w vektörü, kendisini oluşturan değişkenlerin bağımsızlığının ötesinde, her bir değişken sıfır ortalamalı ve 14§ {\displaystyle \sigma ^{2} . Bu senaryoda, w'nin ortak dağılımı, değişkenler arasındaki bağımsızlığın n boyutlu bir uzay içindeki dağılıma küresel simetri kazandırdığı çok değişkenli bir normal dağılımdır. Sonuç olarak, bu vektöre uygulanan herhangi bir ortogonal dönüşüm aynı zamanda bir Gauss beyaz rastgele vektörü üretecektir. Özellikle, FFT ve Hartley dönüşümleri gibi çoğu ayrık Fourier dönüşümü metodolojileri altında, w'nin W dönüşümü aynı zamanda bir Gauss beyaz gürültü vektörü olacaktır. Bu, w'nin n Fourier katsayılarının, her biri sıfır ortalama ve özdeş varyansı ile karakterize edilen bağımsız Gauss değişkenleri olacağı anlamına gelir. σ<!-- σ --> §5051§ {\displaystyle \sigma ^{2} .

Rastgele bir w vektörünün güç spektrumu P, P_i = denklemiyle temsil edilen W Fourier dönüşümünden her bir katsayının kare modülünün beklenen değeri olarak tanımlanır. E(|W_i|§1415§). Bu tanıma dayanarak, bir Gauss beyaz gürültü vektörü, tüm i için P_i = σ§2223§ ile tamamen düz bir güç spektrumu sergiler.

w beyaz rastgele bir vektör olarak tanımlanırsa ancak Gauss özelliğinden yoksunsa, Fourier katsayıları W_i tamamen bağımsız olmayacak. Bununla birlikte, n'in büyük değerleri için ve ortak olasılık dağılımları altında, bu bağımlılıklar genellikle çok incelikli olup, ikili korelasyonlarının sıfır olduğu varsayımına izin verir.

Beyaz gürültü tanımı sıklıkla, istatistiksel bağımsızlığın aksine, istatistiksel korelasyonsuzluğun daha zayıf durumunu içerir. Bununla birlikte, beyaz gürültü için tipik olarak beklenen düz güç spektrumu gibi çeşitli özellikler, bu daha az katı kriter kapsamında geçerli olmayabilir. Bu daha zayıf varsayım altında çalışırken, daha kesin olan değişken açıkça bağımsız bir beyaz gürültü vektörü olarak adlandırılabilir. Bazı yazarlar alternatif olarak "güçlü beyaz" ve "zayıf beyaz" terimlerini kullanır.

Zayıf anlamda Gauss beyaz gürültüsünü oluşturan ancak güçlü anlamda olmayan rastgele bir vektörün açıklayıcı bir örneği x = [ x §1617§ , x §2627§ ] {\displaystyle x=[x_{1},x_{2}] . Bu yapıda, x §5051§ {\displaystyle x_{1} sıfır ortalamalı normal bir rastgele değişkendir ve ${\displaystyle x_{2}$ ya da + x §9697§ {\displaystyle +x_{1} veya −<!-- − --> x §121122§ {\displaystyle -x_{1} , her biri eşit olasılıkla meydana gelir. Bu değişkenler birbiriyle ilişkili değildir ve bireysel olarak normal dağılıma sahiptir; ancak bunlar ne ortaklaşa normal dağılır ne de bağımsızdır. If ${\displaystyle x$ 45 derecelik bir dönüşe uğrar, iki bileşeni ilişkisiz kalacaktır ancak dağılımları artık normal olmayacaktır.

Belirli bağlamlarda tanım, beyaz bir rastgele vektörün her bir bileşenine izin verecek şekilde genişletilebilir ${\displaystyle w$ sıfırdan farklı bir beklenen değere sahip olmak için ${\displaystyle \mu$. Özellikle örneklerin genellikle pozitif değerlerle sınırlandırıldığı görüntü işlemede, ${\displaystyle \mu$ sıklıkla maksimum örnek değerinin yarısına ayarlanır. Sonuç olarak, Fourier katsayısı W §6061§ {\displaystyle W_{0} , sıfır frekans bileşenini temsil eder (etkili olarak w i {\displaystyle w_{i} ), benzer şekilde ${\displaystyle \mu {\sqrt {n}}$. Bu senaryoda, güç spektrumu ${\displaystyle P$ düzlüğü yalnızca sıfır olmayan frekanslarda koruyacaktır.

Ayrık zamanlı beyaz gürültü

Ayrık zamanlı bir stokastik süreç, şu şekilde gösterilir: ${\displaystyle W(n)$, rastgele bir vektörün sonlu bir bileşenden sonsuz sayıda bileşene kadar olan uzantısını temsil eder. Bu tür ayrık zamanlı stokastik süreç, özellikle ${\displaystyle W(n)$, eğer iki koşul karşılanırsa zayıf algılamalı beyaz gürültü (sinyal işleme bağlamlarında sıklıkla "beyaz gürültü" olarak adlandırılır) olarak tanımlanır: birincisi, ortalama hepsi için sıfırdır ${\displaystyle n$, şu şekilde ifade edilir: E ⁡<!-- ⁡ --> [ W ( n ) ] = §8788§ {\displaystyle \operatorname {E} [W(n)]=0} ; ve ikincisi, otomatik korelasyon işlevi, ${\displaystyle R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$, yalnızca n = §166167§ {\displaystyle n=0} .Bu ikinci koşul resmi olarak şu şekilde ifade edilir: ${\displaystyle R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$, burada σ<!-- σ --> §235236§ {\displaystyle \sigma ^2 varyansı belirtir ve δ<!-- δ --> ( n ) {\displaystyle \delta (n)> Kronecker delta fonksiyonunu temsil eder.

${\displaystyle W(n)$, değişkenlerin yalnızca korelasyonsuz olması gerekir, istatistiksel olarak bağımsız olması gerekmez. Bu ayrım çok önemlidir çünkü beyaz gürültünün tanımlayıcı düz güç spektral yoğunluğu yalnızca sürecin ikinci dereceden momentleri, özellikle de otokorelasyon fonksiyonu tarafından belirlenir. Buna karşılık, örneklerinin bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış (i.i.d.) olmasını gerektiren bir süreç, kesin anlamda beyaz gürültü olarak tanımlanır. Bu ilişkisiz rastgele değişkenler aynı zamanda ortak bir Gauss dağılımı sergiliyorsa istatistiksel bağımsızlıklarının doğası gereği garanti altına alındığını belirtmek önemlidir.

Sürekli beyaz gürültü

Sürekli zamanlı sinyal teorisi çerçevesinde beyaz gürültü kavramını oluşturmak için, geleneksel rastgele vektörün yerini sürekli zamanlı rastgele bir sinyal almalıdır. Bu, bir işlev oluşturabilen rastgele bir işlemi ima eder ${\displaystyle w$, gerçek değerli bir parametreye bağlıdır ${\displaystyle t$.

Bir süreç, ${\displaystyle w(t)$ herhangi bir zamanda ${\displaystyle t$ ${\displaystyle t$. Daha az kısıtlayıcı bir tanım, yalnızca değerler arasında bağımsızlığı zorunlu kılar w ( t §6869§ ) {\displaystyle w(t_{1}) ve ${\displaystyle w(t_{2})$ her farklı zaman noktası çifti için t §120121§ {\displaystyle t_{1} ve ${\displaystyle t_{2}$. Daha da rahat bir tanım yalnızca bu tür çiftlerin, özellikle w ( t §168169§ ) {\displaystyle w(t_{1}) ve ${\displaystyle w(t_{2})$, ilişkisiz olmalıdır. Ayrık durumla tutarlı olarak, bazı araştırmacılar beyaz gürültü için daha zayıf bir tanım kullanır ve "bağımsız" terimini daha kesin tanımlardan herhangi birini belirtmek için saklar.Bunun tersine, diğer bilim insanları bu tanımları "zayıf beyaz" ve "güçlü beyaz" tanımlayıcılarını kullanarak farklılaştırıyor.

Bu kavramlar için kesin bir tanım oluşturmak önemli zorluklar doğurur; çünkü ayrık sistemlerde sonlu toplamlar olarak temsil edilen niceliklerin, her zaman yakınsamayabilen integrallerle değiştirilmesi gerekir. Sonuç olarak, bir sinyal için tüm potansiyel gerçekleşmelerin toplamı ${\displaystyle w}$ sonlu boyutlu bir uzaydan geçişler ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$'i sonsuz boyutlu bir fonksiyon uzayına taşıyın. Ayrıca, kullanılan özel tanımdan bağımsız olarak, bir beyaz gürültü sinyali ${\displaystyle w$ doğası gereği her noktada esaslı bir süreksizlik sergiler. Bu özellik, ${\displaystyle w$, örneğin sonlu bir aralıktaki entegrasyon gibi.

Bazı mühendislik giriş metinleri bunu kesin bir matematiksel tanımdan ziyade buluşsal bir yöntem olarak kavramsallaştırır ve her değerin ${\displaystyle w(t)$ bir beklentiye sahip gerçek değerli bir rastgele değişken olmalıdır ${\displaystyle \mu$ ve sonlu varyans ${\displaystyle \sigma ^{2}$. Sonuç olarak, kovaryans E ( w ( t §8283§ ) ) ⋅ w ( t §99100§) ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2})) iki farklı zaman noktasındaki değerler arasında, t §125126§ {\displaystyle t_{1} ve ${\displaystyle t_{2}$ kesin olarak tanımlanmıştır: zamanlar farklı olduğunda sıfır olarak değerlendirilir ve ${\displaystyle \sigma ^{2}$ aynı olduklarında. Bununla birlikte, bu spesifik tanım kapsamında integral

${\displaystyle W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt$

Sonuç olarak, bu integral, pozitif genişliğe sahip herhangi bir aralıkta değerlendirildiğinde ${\displaystyle r$, yalnızca genişlik ile beklentinin çarpımına eşit olur: ${\displaystyle r\mu$. Her ne kadar sıfır beklentisi doğası gereği sorunlu olmasa da, sonlu bir noktasal varyans bu integral için sıfır varyansa yol açacaktır, bu da sinyalin ölçülebilir herhangi bir enerjiden yoksun olduğunu gösterir. Bu özellik, ister fiziksel ister matematiksel açıdan ele alınsın, konsepti beyaz gürültü sinyalleri için uygun bir model olarak temelden diskalifiye eder. Gerçek bir beyaz gürültü süreci, doğası gereği sonlu yerine sonsuz bir noktasal varyans gerektiren düz bir güç spektral yoğunluğunu gerektirir.

Sonuç olarak, araştırmacıların çoğunluğu sinyali karakterize ediyor ${\displaystyle w$'i dolaylı bir yöntemle kullanarak, ${\displaystyle w(t)$ ve ${\displaystyle |w(t)|^{2}$ her aralıkta ${\displaystyle [a,a+r]$.

Bu çerçevede, ${\displaystyle W_{I}$ / w(t){\displaystyle w(t) belirli bir aralıkta ${\displaystyle I=[a,b]$ tipik olarak karakterize edilen gerçek bir rastgele değişken olarak tanımlanır. normal dağılım, sıfır ortalama ve ${\displaystyle (b-a)\sigma ^{2}$.Ayrıca, kovaryans ${\displaystyle \mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ WBen{\displaystyle W_I> ve WJ{\displaystyle W_J, ${\displaystyle r\sigma ^{2}$, burada ${\displaystyle r$ kesişimin uzunluğunu temsil eder ${\displaystyle I\cap J$ iki aralığın ${\displaystyle I,J>$. Bu yapılandırmaya Gauss beyaz gürültü sinyali veya süreci adı verilir.

Beyaz gürültü analizinin matematiksel disiplini dahilinde, Gauss tipi beyaz gürültü, ${\displaystyle w$, resmi olarak stokastik temperlenmiş bir dağılım olarak tanımlanır. Bu, değerleri ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ dengeli dağıtımların. Sonlu boyutlu rastgele vektörler için kullanılan metodolojiye benzer şekilde, sonsuz boyutlu uzaya ilişkin bir olasılık yasası ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ karakteristik fonksiyonu aracılığıyla oluşturulabilir. Bu tanımın varlığı ve benzersizliği, özellikle Bochner-Minlos-Sazanov teoremi olarak bilinen Bochner-Minlos teoreminin bir uzantısı ile sağlanır.

• Çok değişkenli normal dağılıma benzer şekilde, şu şekilde temsil edilir: ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )$, karakteristik fonksiyon şu şekilde tanımlanır:

∀<!-- ∀ --> k ∈<!-- ∈ --> R n : E ( e i ⟨<!-- ⟨ --> k , X ⟩<!-- ⟩ --> ) = e i ⟨<!-- ⟨ --> k , μ<!-- μ --> ⟩<!-- ⟩ --> −<!-- − --> §9091§ §9293§ ⟨ k , Σ k ⟩ , {\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ quad \ mathrm {E} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ langle k, X \ rangle }) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ langle k, \ mu \ rangle - {\ frac {1} {2}} \ langle k,\Sigma k\rangle },

• Beyaz gürültü, şu şekilde gösterilir: ${\displaystyle w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$, aşağıdaki koşulu yerine getirmek için gereklidir:

∀<!-- ∀ --> φ<!-- φ --> ∈<!-- ∈ --> S ( R ) : E ( e i ⟨<!-- ⟨ --> w , φ<!-- φ --> ⟩<!-- ⟩ --> ) = e −<!-- − --> §7980§ §8182§ ‖ φ ‖ §96101§ , {\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},

• İfade ${\displaystyle \langle w,\varphi \rangle$, temperlenmiş dağıtım arasındaki kanonik eşleşmeyi temsil eder ${\displaystyle w(\omega )$ ve Schwartz işlevi ${\displaystyle \varphi$.Bu bağlamda, ${\displaystyle \varphi$, ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$, ${\displaystyle k$ daha önce tartışılmıştı.
• Ayrıca, ${\displaystyle \|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x$ tanımlandı.

Matematik uygulamaları

Zaman serisi analizi ve regresyon

İstatistik ve ekonometride, gözlemlenen bir veri serisinin, belirli bağımsız (açıklayıcı) değişkenlere ve bir dizi rastgele gürültü değerine bağlı olan deterministik bir doğrusal süreç tarafından üretilen değerlerin toplamından kaynaklandığı sıklıkla öne sürülür. Daha sonra, örneğin sıradan en küçük kareler yoluyla ampirik verilerden model süreç parametrelerini çıkarmak için regresyon analizi kullanılır. Bu aynı zamanda her parametrenin sıfır olduğu sıfır hipotezinin sıfır olmayan bir parametrenin alternatif hipotezine karşı test edilmesini de içerir. Tipik olarak hipotez testi, gürültü değerlerinin karşılıklı olarak ilişkisiz olduğunu, sıfır ortalamaya sahip olduğunu ve aynı Gauss olasılık dağılımına bağlı olduğunu varsayar; bu da gürültünün yalnızca beyaz değil Gauss beyazı olduğunu ima eder. Farklı gözlemleri destekleyen gürültü değerleri arasında sıfır olmayan bir korelasyonun mevcut olması halinde, tahmin edilen model parametreleri tarafsız kalır; ancak güven aralıkları gibi belirsizlik tahminleri önyargı sergileyecektir (yani ortalama olarak doğru olmayacaktır). Bu fenomen, gürültünün heteroskedastik olması durumunda da ortaya çıkar, yani farklı veri noktaları arasında değişen varyanslar gösterir.

Tersine, regresyon analizinin özel bir alanı olan zaman serisi analizi alanında, açıklayıcı değişkenler sıklıkla modellenen bağımlı değişkenin tarihsel değerleriyle sınırlıdır. Bu koşullar altında, gürültü süreci genellikle bağımlı değişkenin mevcut değerinin sıralı beyaz gürültü sürecinin hem mevcut hem de önceki değerleri tarafından belirlendiği hareketli ortalama süreci olarak kavramsallaştırılır.

Rastgele vektör dönüşümleri

Renklendirme dönüşümü olarak adlandırılan uygun bir doğrusal dönüşüm aracılığıyla, beyaz bir rastgele vektör, önceden tanımlanmış bir kovaryans matrisine sahip öğelerle karakterize edilen, beyaz olmayan bir rastgele vektör (yani rastgele değişkenlerin bir koleksiyonu) oluşturmak için kullanılabilir. Bunun tersine, belirlenmiş bir kovaryans matrisine sahip bir rastgele vektör, uygun bir beyazlatma dönüşümü yoluyla beyaz bir rastgele vektöre dönüştürülebilir.

Bu iki prensip, iletişim ve ses sistemleri içindeki kanal tahmini ve kanal eşitleme dahil olmak üzere çeşitli uygulamalarda temeldir. Ayrıca bu kavramlar veri sıkıştırma metodolojilerinde de kullanım alanı bulur.

Nesil

Beyaz gürültünün dijital üretimi, dijital sinyal işlemcisi, mikroişlemci veya mikro denetleyici kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu işlem genellikle bir dijital-analog dönüştürücüye uygun bir rasgele sayı dizisinin sağlanmasını içerir. Ortaya çıkan beyaz gürültünün aslına uygunluğu, doğrudan temeldeki algoritmanın etkinliğine bağlıdır.

Günlük Konuşma Uygulamaları

"Beyaz gürültü" terimi bazen halk dilinde belirsiz veya sürekli bir işitsel ortam üreten ortamdaki ses ortamını karakterize etmek için kullanılır. Açıklayıcı örnekler şunları kapsar:

• Kapalı bir alanın akustik sınırları içinde gerçekleşen çok sayıda konuşmanın kolektif sesleri.
• Dışarıdaki arka plan rahatsızlıklarını gizlemek ve rahatlama veya uyku durumlarını kolaylaştırmak için kullanılan, kalıcı, müdahaleci olmayan bir işitsel girdi.
• Siyasi şahsiyetlerin, kabul edilmemesini istedikleri belirli noktaları gizlemek için sıklıkla kullandıkları gereksiz ve kafa karıştırıcı retorik.
• Hoş olmayan, sert, ahenksiz veya uyumsuz niteliklerle karakterize edilen, fark edilebilir melodik yapıdan yoksun müzik besteleri.

Ayrıca bu terim, Don DeLillo'nun 1985 tarihli romanı Beyaz Gürültü'de örneklendirildiği gibi metaforik bir uygulama da bulur. Bu edebi eser, çağdaş kültürün, bireyin kişisel fikirlerini ve kimliğini gerçekleştirme kapasitesini engelleyen yakınsak tezahürlerini araştırıyor.

Referanslar

Referanslar