Fraktal boyut (Fractal dimension)

Geometrik ölçü teorisinde fraktal boyutlar, kalıplardaki karmaşıklığın tutarlı istatistiksel indekslerini mümkün kılar. Fraktal desenler ölçek-değişken olabildiği için…

Geometrik ölçü teorisi dahilinde, fraktal boyutlar, model karmaşıklığı için tutarlı istatistiksel endeksler sağlar. Fraktal desenlerin ölçek-farklılık gösterdiği göz önüne alındığında, alanı doldurma kapasitesinin nicelendirilmesi, tamsayı olmayan (fraktal) boyutların kullanılmasını gerektirir.

Temel "kırılmış" boyutlar kavramı, matematikte önemli bir tarihsel yörüngeye sahiptir. Bununla birlikte, özel terminoloji, Benoit Mandelbrot tarafından, kesirli boyutları araştırdığı kendi kendine benzerlik hakkındaki 1967 tarihli yayınından yararlanılarak popüler hale getirildi. Bu yazıda Mandelbrot, Lewis Fry Richardson'ın daha önceki araştırmasına atıfta bulunarak, bu araştırmada, bir kıyı şeridinin ölçülen uzunluğunun, kullanılan ölçüm cihazının uzunluğuna göre değiştiği şeklindeki mantık dışı olguyu açıklığa kavuşturdu. Bu kavramı genişleterek, bir kıyı şeridinin fraktal boyutu, kıyı şeridini tanımlamak için gereken ölçekli ölçüm birimlerinin sayısı ile bu birimlere uygulanan ölçek arasındaki ilişkiyi nicelikselleştirir. Fraktal boyutun çoklu biçimsel matematiksel tanımları, ölçek değişikliğine bağlı olarak detay değişiminin bu temel ilkesine dayanır.

Sonuçta Mandelbrot, kendi icat ettiği bir neolojizm olan fraktal kelimesinin anlamını özetlemek için fraktal boyut terimini en uygun ifade olarak buldu. Uzun bir süre boyunca yapılan çok sayıda iyileştirmenin ardından Mandelbrot, dilsel tercihini resmileştirdi: "bilgili bir tanım olmadan fraktal kullanmak ve tüm varyantlara uygulanabilir genel bir terim olarak fraktal boyutu kullanmak."

Koch kar tanesinin fraktal boyutu, önemsiz olmayan göze çarpan bir örnek sağlar. 1 topolojik boyutuna sahip olmasına rağmen, Koch kar tanesi üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki eğrinin uzunluğu sonsuz olduğundan, bu açıkça düzeltilemez. Onun sonsuz küçüklükteki hiçbir parçası bir çizgiye benzemez; bunun yerine, değişen açılarda birleştirilmiş sonsuz sayıda parçadan oluşur. Bir eğrinin fraktal boyutu, bir fraktal çizginin tek boyutluluk için aşırı ayrıntıya sahip, ancak iki boyutluluk için yetersiz karmaşıklığa sahip bir varlık olarak ele alınmasıyla sezgisel olarak kavramsallaştırılabilir. Sonuç olarak, boyutu, 1'lik geleneksel topolojik boyutuyla değil, tipik olarak bir ile iki arasında kalan fraktal boyutuyla daha doğru bir şekilde karakterize edilir; Koch kar tanesi için bu değer yaklaşık 1,2619'dur.

Giriş

Bir Fraktal boyut, fraktal desenleri veya kümeleri karakterize etmek için bir indeks görevi görür ve bunların karmaşıklığını, ayrıntı değişiminin ölçek değişimine oranı yoluyla ölçer. Çeşitli fraktal boyut türleri hem teorik hem de ampirik ölçümlere uygundur. Fraktal boyutlar, soyut yapılardan türbülans, nehir ağları, kentsel gelişim, insan fizyolojisi, tıbbi uygulamalar ve pazar dinamikleri gibi somut olaylara kadar uzanan geniş bir dizi nesneyi karakterize etmek için kullanılır. Kesirli veya fraktal boyutların temel kavramı, 17. yüzyıla kadar izlenebilen önemli bir matematik geçmişine sahiptir; ancak fraktal ve fraktal boyut özel terimleri matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından 1975 yılında icat edildi.

Başlangıçta fraktal boyutlar, ince ayrıntıların genel makroskobik temsilin yerini aldığı karmaşık geometrik formları karakterize etmek için bir indeks olarak kullanıldı. Geleneksel geometrik şekilleri temsil eden kümeler için teorik fraktal boyut, kümenin belirlenmiş Öklid veya topolojik boyutuna tam olarak karşılık gelir. Sonuç olarak nokta kümeleri için (0 boyutlu) 0'dır; Çizgi kümeleri için 1 (1 boyutlu, yalnızca uzunluğa sahip); Yüzey setleri için 2 (2 boyutlu, uzunluk ve genişliğe sahip); ve hacim kümeleri için 3 (3 boyutlu, uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip). Ancak bu ilişki fraktal kümeler için farklılık göstermektedir. Bir kümenin teorik fraktal boyutunun topolojik boyutunu aşması halinde küme, fraktal geometri sergileyen olarak sınıflandırılır.

Topolojik boyutlardan farklı olarak fraktal indeks, tamsayı olmayan değerler üstlenebilir; bu da bir kümenin, geleneksel geometrik kümelerden niteliksel ve niceliksel olarak farklı bir şekilde yer kapladığını gösterir. Örneğin, 1,10 gibi 1'e yakın bir fraktal boyuta sahip bir eğri, standart bir çizgiye benzer özellikler sergilerken, 1,9'luk bir fraktal boyuta sahip bir eğri, bir yüzeye çok benzeyen, oldukça kıvrımlı bir şekilde uzayı kat eder. Benzer şekilde, fraktal boyutu 2,1 olan bir yüzey, sıradan bir yüzeye çok benzer şekilde yer kaplar, ancak fraktal boyutu 2,9 olan yüzey, alanı neredeyse bir hacim gibi etkili bir şekilde doldurarak katlanır ve akar. Bu kapsayıcı ilişki, Şekil 2 ve Şekil 3'te gösterilen iki fraktal eğri ile gösterilmektedir: Şekil 2'deki kıvrımlı ve boşluk dolduran 32 bölümlü kontur, yaklaşık 1,2619 fraktal boyuta sahip olan, Şekil 3'teki belirgin şekilde daha az karmaşık olan Koch eğrisinin aksine, 1,67'lik bir fraktal boyuta sahiptir.

Artan fraktal boyut, boşluk doldurmayla bir korelasyon olduğunu düşündürse de, fraktal boyutların yoğunluğu ölçtüğüne işaret ediyor olsa da, bu yanlıştır; iki kavram kesin olarak birbiriyle ilişkili değildir. Bunun yerine, fraktal bir boyut, fraktalların temel özelliklerine doğası gereği bağlı olan bir kavram olan karmaşıklığı ölçer: kendine benzerlik ve karmaşık ayrıntı veya düzensizlik. Bu nitelikler yukarıda belirtilen iki fraktal eğri örneğinde açıkça gösterilmiştir. Her ikisi de topolojik boyutu 1 olan eğrilerdir; bu durum, sıradan eğrilere uygulanabilen yöntemler kullanılarak uzunluklarının ve türevinin ölçülmesi olasılığını öngörmeye yol açar. Bununla birlikte, fraktal eğriler, sıradan eğrilerde bulunmayan, kendine benzerlik ve karmaşık ayrıntılar olarak ortaya çıkan bir karmaşıklık düzeyine sahip olduğundan, bu tür ölçümler mümkün değildir. Kendi kendine benzerlik sonsuz ölçeklendirmeden kaynaklanırken, ayrıntı her kümenin tanımlayıcı öğelerinde bulunur. Bu eğriler üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki uzunluk, yakınlıklarına bakılmaksızın sonsuzdur; bu, böyle bir eğrinin uzunluğunun, onu çok sayıda küçük parçaya bölerek yaklaşık olarak tahmin edilmesini engeller. Her küçük parça, ilk yinelemeyi tam olarak kopyalayan sonsuz sayıda ölçeklendirilmiş bileşenden oluşur. Bunlar düzeltilemeyen eğrilerdir; yani uzunlukları, ilgili ölçülere yaklaşan birden fazla parçaya ayrıştırılarak belirlenemez. Sonuç olarak uzunluklarının ve türevlerinin hesaplanmasıyla anlamlı bir şekilde karakterize edilemezler. Bununla birlikte, fraktal boyutları belirlenebilir; bu da her iki eğri tipinin de alanı sıradan çizgilerden daha kapsamlı, ancak yüzeylerden daha az kapladığını gösterir ve böylece bu özel açıdan karşılaştırılmalarına olanak sağlar.

Yukarıda bahsedilen iki fraktal eğri, kolayca görselleştirilebilen tekrarlanan bir ayrıntı birimiyle karakterize edilen kesin bir kendi kendine benzerlik biçimi sergiler. Bu yapısal özellik diğer mekansal boyutlara da yansıtılabilir; örneğin Koch eğrisini üç boyutlu uzaya genişleten bir fraktalın teorik D'si 2,5849'dur. Bununla birlikte, bu kadar açıkça ölçülebilir karmaşıklık, fraktalların doğasında bulunan kendine benzerliğin ve karmaşık ayrıntıların yalnızca bir tezahürünü temsil eder. Örneğin Britanya'nın kıyı şeridi, yaklaşık bir model ve ölçeklendirme ile karakterize edilen yaklaşık bir kendi kendine benzerlik göstermektedir. Genel olarak fraktallar, görsel olarak kolayca görülemeyen farklı türde ve derecelerde kendine benzerlik ve ayrıntı sergiler. Bunlar arasında, örneğin, detayın esas olarak biriken düzgün kısımlar olarak nitelendirildiği garip çekiciler; girdaplar üzerine karmaşık girdaplar olarak kendini gösteren Julia kümesi; ve zaman içinde tekrarlanan ve ölçeklenen kaba ani artışlar şeklinde ortaya çıkan kalp atış hızları. Fraktal karmaşıklık, gelişmiş analitik yöntemler kullanılmadan her zaman kolayca anlaşılabilecek ayrıntı ve ölçek birimlerine ayrıştırılamayabilir, ancak yine de fraktal boyutlar yoluyla ölçülebilir olmaya devam eder.

Geçmiş

Fraktal boyut ve fraktal terimleri, Mandelbrot tarafından 1975'te, Britanya kıyı şeridinin kendine benzerliği hakkındaki yayınından yaklaşık on yıl sonra tanıtıldı. Tarihsel kayıtlar genellikle Mandelbrot'a yüzyıllar süren karmaşık teorik matematik ve mühendisliğin entegrasyonunu atfeder; o daha sonra bunu geleneksel doğrusal açıklamalara direnen karmaşık geometrileri analiz etmek için yenilikçi bir şekilde uygular. Mandelbrot'un daha sonra fraktal boyuta sentezlediği temel kavramların izi, fraktalların matematiksel tanımı için temel olan ve hesabın keşfiyle eşzamanlı olarak ortaya çıkan, türevlenemeyen, sonsuz derecede kendine benzeyen fonksiyonlarla ilgili 17. yüzyılın ortalarındaki metinlere kadar açıkça izlenebilir. Bu ilk dönemi takiben, bu tür işlevler üzerine yayınlanmış araştırmalarda geçici bir düşüş meydana geldi ve bunu 19. yüzyılın sonlarında artık kanonik fraktallar olarak tanınan matematiksel işlevlerin ve kümelerin (örneğin, von Koch, Sierpiński ve Julia'nın çalışmaları) tanıtılmasıyla yeniden canlanma izledi, ancak başlangıçta bunlar genellikle alışılmadık matematiksel 'canavarlar' olarak görülüyordu. Fraktal boyut kavramının evrimindeki önemli bir gelişme, Hausdorff'un 20. yüzyılın başlarındaki çalışmasıydı; burada, fraktalların çağdaş tanımında sıklıkla kullanılan ve daha sonra kendi adıyla anılan 'kesirli' bir boyutu tanımlamıştı.

Matematiksel Tanım

Fraktal boyutun matematiksel tanımı, geleneksel boyutların ölçekleme sırasında ölçüm değişikliklerini nasıl etkilediğinin gözlemlenmesi ve ardından genelleştirilmesiyle elde edilir. Örneğin, bir doğru parçasını ve eşdeğer uzunlukta bir ölçüm çubuğunu düşünün. Çubuk orijinal boyutunun üçte birine küçültülürse, bu tür üç çubuk artık çizgi parçasına sığabilir. Benzer şekilde, iki boyutta, eğer bir kare aynı "ölçü karesi" ile ölçülürse ve ölçü karesinin kenarı uzunluğunun üçte birine indirilirse, daha büyük karenin içine 3^2 = 9 ölçü karesi sığacaktır. Bu belirlenen ölçeklendirme ilişkileri denklem (1) ile uyumludur; burada ${\displaystyle \varepsilon$ ölçeklendirme faktörünü temsil eder, ${\displaystyle D$ boyutu belirtir ve ${\displaystyle N$ ölçülen nesne içindeki birimlerin (ör. çubuklar, kareler) sonuç sayısını belirtir:

Çizgi örneği için, boyut $D=1$ 11§ {\displaystyle D=1 çünkü ${\displaystyle N=3$ birimleri mevcut olduğunda ölçeklendirme faktörü $\varepsilon =1/3$ 52§ / §5758§ {\displaystyle \varepsilon =1/3 . Bunun tersine, kare örneğinde, $D=2$ şuna göre $N=9$ When $\varepsilon =1/3$ 119§ / §124125§ {\displaystyle \varepsilon =1/3 .

Fraktal boyut, kesirli değerlere izin vererek geleneksel boyut kavramını genişletir, ancak ölçeklendirmeyle aynı ilişkiyi korur; aslında türetilmesi, (1) denkleminin doğrudan yeniden düzenlenmesini içerir:

${\displaystyle D$ , bir nesnenin 'yarıçapının' belirli bir ölçeklendirilmesine bağlı olarak, bir nesnenin ölçüsü için ölçeklendirme faktörünün üssü olarak kavramsallaştırılabilir.

Örneğin, Koch kar tanesinin fraktal boyutu ${\displaystyle D=1.26185\ldots$ . Bu değer, yarıçapı genişledikçe ölçüsünün tek boyutlu bir formun (ör. çokgen)kini aşan bir oranda arttığı, ancak iki boyutlu formun (ör. dolu çokgen) yetersiz kaldığı anlamına gelir.

Burada sunulan görüntülerin gerçek fraktallar olmadığını belirtmek önemlidir, çünkü ölçeklendirme ${\displaystyle D$ en küçük bileşeni olan pikselde sonlanır. Tersine, bu görüntülerin tasvir ettiği teorik modeller ayrı, piksel benzeri unsurlardan yoksundur; bunun yerine sonsuz sayıda ölçeklendirilmiş parçadan oluşan sonsuz bir seriden oluşurlar ve belirtilen fraktal boyutları gerçekten sergilerler.

D

Çizgilere, karelere ve küplere atanan boyutlara benzer şekilde fraktal boyutlar, desenleri tekil olarak karakterize etmeyen genel tanımlayıcılar olarak hizmet eder. Örneğin, yukarıda adı geçen Koch fraktalının D değeri, onun içsel ölçeklendirme davranışını niceliksel olarak belirler ancak benzersiz bir şekilde tanımlanması veya yeniden yapılandırılmasını sağlamak için yetersizdir. Şekil 6'da gösterildiği gibi, aynı ölçeklendirme ilişkilerini sergileyen ancak Koch eğrisinden önemli ölçüde farklı olan çok sayıda fraktal yapı veya desen oluşturulabilir.

Fraktal Yüzey Yapıları

Yüzey nitelikleri ile işlevsel özellikler arasında bir bağlantı kuran fraktallık ilkesi, yüzey biliminde giderek daha fazla kullanılmaktadır. Çeşitli uzunluk ölçeklerinde sıklıkla kendine özgü özellikler sergileyen, görünüşte düz yüzeylerin yapısını analiz etmek için çeşitli yüzey tanımlayıcıları kullanılır. Tipik olarak R_A olarak adlandırılan ortalama yüzey pürüzlülüğü en yaygın yüzey tanımlayıcısını temsil ederken, ortalama eğim ve ortalama karekök pürüzlülüğü (R_RMS) gibi diğer pek çok başka tanımlayıcı da rutin olarak uygulanır. Bununla birlikte, birçok fiziksel yüzey olgusunun bu tanımlayıcılar kullanılarak kolaylıkla açıklanamadığı gözlemlenmiştir. Sonuç olarak, yüzey yapısını, özellikle de ölçeklendirme davranışını performansla ilişkilendirmek için fraktal boyut giderek benimseniyor. Yüzeylerin fraktal boyutları, temas mekaniği, sürtünme davranışı, elektriksel temas direnci ve şeffaf iletken oksitler gibi alanlardaki olguların aydınlatılmasında ve anlaşılmasının geliştirilmesinde etkili olmuştur.

Açıklayıcı Örnekler

Bu makalede sunulan fraktal boyut kavramı, karmaşık bir yapıya temel bir bakış açısı sunmaktadır. Sağlanan örnekler, ölçeklendirme birimleri ve oranları önceden belirlenmiş şekilde netlik sağlamak amacıyla seçilmiştir. Ancak pratik uygulamalarda fraktal boyutlar, boyuta karşı ölçeğe ilişkin log-log grafiklerindeki regresyon çizgilerinden türetilen sınırlardan yaklaşık ölçeklendirme ve ayrıntıyı hesaplayan yöntemlerle belirlenebilir. Aşağıda çeşitli fraktal boyut türleri için çeşitli resmi matematiksel tanımlar bulunmaktadır. Bu boyutlar, tam afin kendine benzerlik sergileyen kompakt kümeler için yakınsasa da genellikle eşdeğer değildir.

Kutu sayma boyutu, aşağıdaki formülle ifade edilen bir kuvvet yasasının üssü olarak hesaplanır:
$D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.$
13§
= lim ε → §28
29§
log ⁡ N ( ε ) log ⁡ §58
59§ ε
. {\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.
Bilgi boyutu, kutu boyutuna göre ölçeklendirme davranışını inceleyerek, dolu bir kutuyu tanımlamak için gereken ortalama bilgiyi ölçer. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir: burada ${\displaystyle p>$ bir olasılığı temsil eder:
$D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.$ 29§ = lim ε → §4445§ − ⟨ log ⁡ p ε ⟩ log ⁡ §8384§ ε . {\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.
Korelasyon boyutu, ${\displaystyle M$ , bir fraktalın temsilini oluşturmak için kullanılan toplam nokta sayısını temsil eder ve g_ε, ε'dan daha küçük bir mesafeyle ayrılan nokta çiftlerinin sayısını belirtir. Formül şu şekildedir:
$D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.$ 63§ log ⁡ ( g ε / M §93 $M$ ) log ⁡ ε . {\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.
Genelleştirilmiş veya Rényi boyutları, resmi olarak şu şekilde tanımlanan, α düzeyindeki genelleştirilmiş boyutların sürekli bir spektrumu içindeki belirli örnekler olarak kutu sayımı, bilgi ve korelasyon boyutlarını kapsar:
$D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.$
30§
§38
39§ α − §47
48§
log ⁡ ( ∑ i p i α ) log ⁡ ε . {\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.
Higuchi boyutu matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
${\displaystyle D={\frac {d\log L(k)}{d\log k}}.$
Lyapunov boyutu
Multifraktal boyutlar, belirli bir modelin farklı bölgeleri arasında varyasyon sergileyen ölçeklendirme davranışıyla karakterize edilen, Rényi boyutlarının belirli bir kategorisini temsil eder.
Belirsizlik üssü
Hausdorff boyutu fraktal geometride temel bir kavramdır. Herhangi bir alt küme için ${\displaystyle S$ bir metrik uzay içinde ${\displaystyle X$ ve negatif olmayan herhangi bir gerçek sayı için $d\geq 0$ 44§{\displaystyle d\geq 0}, d boyutlu Hausdorff içeriği S resmi olarak şu şekilde ifade edilir: $C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ yarıçaplı toplarla }}S{\text{'nin bir örtüsü vardır}}r_{i}>0{\Bigr \}}.$ 137§.{\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ yarıçaplı toplarla }}S{\text{'nin bir örtüsü vardır}}r_{i}>0{\Bigr \}}. Daha sonra, S'nin Hausdorff boyutu tam olarak şu şekilde tanımlanır:
$\dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$ 193§:CHd(X)=§216217§.{\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.
Paketleme boyutu
Assouad boyutu
Yerel bağlantılı boyut
Derece boyutu, grafiklerin derece dağılımında bulunan fraktal özelliklerin niceliğini belirtir.
Parabolik Hausdorff boyutu

Deneysel Verilerden Tahmin

Çok sayıda gerçek dünya olgusu, sınırlı veya istatistiksel fraktal özellikler sergiler; fraktal boyutları, gelişmiş bilgisayar tabanlı fraktal analiz metodolojileri aracılığıyla sıklıkla örneklenmiş verilerden tahmin edilir. Pratik uygulamalarda, fraktal boyutların ölçümü, sayısal veya deneysel gürültüye duyarlılık ve veri hacminin getirdiği kısıtlamalar dahil olmak üzere çeşitli metodolojik zorluklara karşı hassastır. Bu zorluklara rağmen, istatistiksel olarak kendine benzeyen fenomenler için tahmin edilen fraktal boyutların çok sayıda disiplinde önemli pratik fayda sunduğu göz önüne alındığında, alan hızlı bir genişleme yaşamaktadır. Bunlara astronomi, akustik, mimari, jeoloji ve yer bilimleri, tanısal görüntüleme, ekoloji, elektrokimyasal süreçler, görüntü analizi, biyoloji ve tıp, sinir bilimi, ağ analizi, fizyoloji, fizik ve Riemann zeta sıfırlarının incelenmesi dahildir. Ayrıca ampirik çalışmalar, fraktal boyut tahminleri ile gerçek dünya veri kümelerindeki, özellikle de psikoakustik ve sinirbilimden kaynaklanan Lempel-Ziv karmaşıklığı arasında bir korelasyon olduğunu göstermiştir.

Doğrudan ölçüm yerine alternatif bir yaklaşım, gerçek dünyadaki bir fraktal nesnenin oluşumunu simüle eden bir matematiksel modelin kullanılmasını içerir. Daha sonra modelin öngördüğü fraktal olmayan özelliklerin ampirik verilerle karşılaştırılması yoluyla model doğrulaması yapılabilir. Kolloidal fizik alanında, farklı fraktal boyutlar sergileyen parçacıklardan oluşan sistemler sıklıkla ortaya çıkar. Bu sistemleri karakterize etmek çoğu zaman fraktal boyutların dağılımını ve ardından bunların toplama ve birleşmenin karmaşık etkileşiminden etkilenen dinamik bir süreç olan zamansal evrimini tartışmayı gerektirir.

Hausdorff boyutuna göre fraktalların listesi
Fraktal türev – Türevin fraktallara genelleştirilmesi

Referanslar

Mandelbrot, Benoit B.; Hudson, Richard L. (2010). Piyasaların (Yanlış)Davranışı: Risk, Yıkım ve Ödüle Fraktal Bir Bakış. Profil Kitapları. ISBN 978-1-84765-155-6.

Mandelbrot, Benoit B.; Hudson, Richard L. (2010). Piyasaların (Yanlış)Davranışı: Risk, Yıkım ve Ödüle Fraktal Bir Bakış. Profil Kitapları. ISBN 978-1-84765-155-6.
- TruSoft'un Benoit fraktal analiz yazılım ürünü, fraktal boyutları ve kırılma üslerini hesaplar.
- Fraktal Analize Giriş
- "Fraktallar genellikle kendilerine benzer değildir". 3Mavi1Kahverengi.

Fraktal boyut (Fractal dimension)