Öklid geometrisi (Euclidean geometry)

Öklid geometrisi, eski Yunan matematikçisi Öklid'e atfedilen ve geometri ders kitabı Elementler'de ayrıntılı olarak açıklanan bir matematik sistemidir. Öklid'in metodolojisi, sezgisel olarak zorlayıcı aksiyomların (varsayımların) sınırlı bir koleksiyonunu öne sürmeyi ve ardından bunlardan çok sayıda başka önerme (teorem) türetmeyi içeriyordu. Bunlar arasında Öklid düzlemindeki paralel çizgilerle ilgili olan paralellik postülası da vardır. Öklid'in bulgularının çoğu daha önce ifade edilmiş olsa da, kendisi bu önermeleri her sonucun aksiyomlar ve önceden belirlenmiş teoremler aracılığıyla gösterildiği tutarlı bir mantıksal sistem halinde yapılandırmada öncüydü.

Elementler, orta öğretimde temel bir konu olmaya devam eden ve aksiyomatik sistemlere ve matematiksel kanıta giriş görevi gören düzlem geometrisi ile başlar. Daha sonra çalışma üç boyutlu katı geometriyi kapsayacak şekilde ilerliyor. Elementler'in önemli bir kısmı artık cebir ve sayı teorisi altında kategorize edilmiş ve geometrik prensiplerle ifade edilmiş bulgular sunmaktadır.

İki bin yıldan fazla bir süre boyunca "Öklidyen" tanımlayıcısı gereksizdi, çünkü Öklid'in aksiyomları o kadar apaçık görünüyordu ki (paralel postülanın olası istisnası hariç), onlardan türetilen teoremler evrensel olarak doğru kabul edildi ve alternatif geometrilerin olasılığı ortadan kaldırıldı. Ancak şu anda iki farklı ve kendi içinde tutarlı Öklid dışı geometri tanınmaktadır; hiperbolik ve eliptik geometri. Albert Einstein'ın genel görelilik teorisinin önemli bir sonucu, fiziksel uzayın kendisinin Öklid ilkelerine uymamasıdır; Öklid uzayı yalnızca sınırlı mesafelerde veya zayıf çekim alanları koşullarında doğru bir yaklaşım görevi görür.

Öklid geometrisi, noktalar ve çizgiler gibi geometrik varlıkların temel özelliklerini tanımlayan aksiyomlardan bu nesnelerle ilgili önermelere mantıksal ilerlemesiyle karakterize edilen sentetik geometriyi örneklendirir. Bu yaklaşım, René Descartes'ın yaklaşık iki bin yıl sonra tanıttığı ve cebirsel ifadeler aracılığıyla geometrik özellikleri ifade etmek için koordinatları kullanan analitik geometriyle çelişiyor.

Öğeler

Elementler öncelikle önceden var olan geometrik bilginin sistematik bir organizasyonunu temsil eder. Önceki çalışmalara göre üstünlüğü hızla kabul edildi ve bu da bunların korunmasına olan ilginin azalmasına yol açtı ve sonuç olarak bu eski metinlerin neredeyse tamamen kaybolmasıyla sonuçlandı.

Elementler on üç kitaptan oluşur:

Kitap I–IV ve VI düzlemsel geometriye adanmıştır ve düzlemsel şekillerle ilgili çok sayıda kanıt sunar. Açıklayıcı örnekler arasında, "Herhangi bir üçgende, herhangi bir şekilde bir araya getirilen iki açı, iki dik açıdan küçüktür" şeklindeki önerme (Kitap I, Önerme 17) ve "Dik açılı üçgenlerde, dik açıyı gören kenardaki kare, dik açıyı içeren kenarlardaki karelere eşittir" diyen Pisagor teoremi (Kitap I, Önerme 47) yer alır.

Kitap V ve VII-X adres sayısı teorisi, sayıların geometrik olarak çizgi parçalarının uzunlukları veya yüzey bölgelerinin alanları olarak kavramsallaştırıldığı yer. Asal sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar gibi temel kavramlar tanıtılır. Sunulan önemli bir kanıt, asal sayıların sonsuzluğunu göstermektedir.

XI-XIII. Kitaplar katı geometriye odaklanır. Temsili bir bulgu, aynı yükseklik ve taban boyutlarına sahip bir koni ile bir silindir arasındaki 1:3 hacim oranıdır. Ayrıca bu kitaplarda Platonik cisimler sistematik olarak inşa edilmiştir.

Aksiyomlar

Öklid geometrisi aksiyomatik bir sistem olarak işlev görür; burada "doğru ifadeler" olarak anlaşılan tüm teoremler, sınırlı sayıda temel aksiyomlardan çıkarılır. Öklid dışı geometrinin ortaya çıkmasından önce, bu aksiyomlar fiziksel dünyada yaygın olarak apaçık doğru olarak kabul ediliyordu, dolayısıyla türetilmiş tüm teoremlerin evrensel doğruluğunu ima ediyordu. Bununla birlikte, Öklid'in ilk varsayımlardan nihai sonuçlara doğru mantıksal ilerleyişi, fiziksel gerçeklikten bağımsız olarak geçerliliğini korur.

Elementler'in ilk kitabının başlarında Öklid, özellikle düzlem geometri için yapıcı ifadeler olarak sunulan beş önermeyi (aksiyom) ifade eder (Thomas Heath'in çevirisine göre):

Aşağıdakiler öne sürülmektedir:

1. Herhangi iki nokta arasına düz bir çizgi çizilebilir.
2. Sonlu bir düz çizgi, sürekli olarak düz bir çizgi halinde uzatılabilir.
3. Bir daire, herhangi bir merkez ve belirli bir uzaklık (yarıçap) ile tanımlanabilir.
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.
5. [Paralellik varsayımı]: Bir düz çizgi, aynı taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçük olacak şekilde diğer iki düz çizgiyi keserse, bu iki düz çizgi, süresiz olarak uzatılırsa, açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişecektir.

Öklid, inşa edilmiş geometrik nesnelerin varlığını açıkça belirtirken, onun mantığı örtülü olarak onların benzersizliğini varsayar.

Elementler ayrıca beş "ortak kavramı" sıralar:

1. Aynı varlığa eşdeğer varlıklar aynı zamanda birbirlerine de eşdeğerdir, bu da Öklid ilişkisinin geçişli özelliğini gösterir.
2. Eşit miktarlar eşit miktarlara eklendiğinde ortaya çıkan toplamlar eşit olur ve bu da eşitliğin toplama özelliğini temsil eder.
3. Eşit niceliklerden eşit nicelikler çıkarıldığında ortaya çıkan farklar eşit kalır, bu da eşitliğin çıkarma özelliğiyle tutarlıdır.
4. Birbirleriyle mükemmel şekilde örtüşen nesneler eşit kabul edilir ve bu da yansıma özelliğini gösterir.
5. Bütünlük her zaman onu oluşturan parçaların herhangi birinden daha büyüktür.

Çağdaş akademisyenler, Öklid'in orijinal önermelerinin onun geometrik açıklaması için gerekli olan kapsamlı mantıksal temelden yoksun olduğu konusunda hemfikirdir; modern yaklaşımlar daha kapsamlı ve eksiksiz aksiyomatik sistemler kullanır.

Paralel Postüla

Antik matematikçiler için paralellik varsayımı diğer aksiyomlara göre daha az açık görünüyordu. Amaçları kesin olarak belirli önermelerden oluşan bir sistem oluşturmaktı ve sonuç olarak paralel doğru önermesinin daha temel ifadelerden türetmeyi gerektirdiğini algıladılar. Paralellik önermesinin doğru olduğu ve diğer aksiyomların geçerli olmadığı tutarlı geometrik sistemlerin oluşturulabileceği (diğer aksiyomlara bağlı kalarak) göz önüne alındığında, böyle bir kanıtın elde edilemez olduğu artık anlaşılmıştır. Öklid'in kendisi görünüşte bu postulatı niteliksel olarak farklı kabul ediyordu; bu, ilk 28 önermenin uygulaması olmadan kanıtlanabildiği Öğeler'in yapısına yansıyan bir perspektifti.

Diğer aksiyomlar çerçevesinde paralel postülaya mantıksal olarak eşdeğer olan çok sayıda alternatif aksiyom formüle edilebilir. Örneğin Playfair'in aksiyomu şunu öne sürüyor:

Belirli bir düzlemde, belirli bir düz çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, orijinal çizgiyle hiçbir zaman kesişmeyecek en fazla bir çizgi çizilebilir.

"En fazla" ifadesi yeterlidir çünkü en az bir paralel çizginin varlığı diğer aksiyomlardan gösterilebilmektedir.

Kanıt Metodolojileri

Öklid geometrisi temelde yapıcıdır. 1, 2, 3 ve 5 numaralı varsayımlar belirli geometrik şekillerin varlığını ve tekil doğasını doğrular ve bu bildirimler doğası gereği yapıcı yöntemler sağlar. Bu, yalnızca belirli varlıkların varlığının belirtilmediği, aynı zamanda bunların yalnızca bir pusula ve işaretsiz bir cetvel kullanılarak yaratılmasına yönelik prosedürlerin de sağlandığı anlamına gelir. Sonuç olarak, Öklid geometrisi, nesnelerin varlığını sıklıkla yapılarını detaylandırmadan öne süren, hatta teori içinde doğası gereği yapılandırılamayan nesnelerin varlığını öne süren küme teorisi gibi çok sayıda çağdaş aksiyomatik sistemle karşılaştırıldığında daha fazla somutluk sergiler. Kağıt üzerinde titizlikle gösterilen çizgiler, doğrudan örneklemelerden ziyade resmi sistem içinde tanımlanan nesnelerin modelleri işlevi görür. Örneğin, bir Öklid düz çizgisinin genişliği yoktur, oysa fiziksel olarak çizilen herhangi bir çizginin genişliği olacaktır. Çoğu modern matematikçi yapıcı olmayan kanıtları mantıksal olarak yapıcı olanlar kadar geçerli görse de, ikincisi genellikle daha az zarif, sezgisel veya pratik olarak uygulanabilir olarak algılanır. Öklid'in yapıcı kanıtları sıklıkla hatalı, yapıcı olmayan argümanların yerini almıştır; örneğin tüm sayıların rasyonelliğini varsayan ve çoğu zaman "En büyük ortak ölçüsünü bulun..." gibi direktifleri gerektiren bazı Pisagor kanıtları gibi.

Euclid sıklıkla çelişki yoluyla kanıt yöntemini kullanırdı.

Gösterim Kuralları ve Terminoloji

Noktaların ve Geometrik Şekillerin Tanımlanması

Noktalar geleneksel olarak alfabenin büyük harfleriyle tanımlanır. Çizgiler, üçgenler veya daireler de dahil olmak üzere diğer geometrik şekiller, ilgili diyagram içinde onları benzersiz şekilde ayırt etmek için yeterli sayıda nokta numaralandırılarak gösterilir; örneğin ABC üçgeni karakteristik olarak köşe noktaları A, B ve C noktalarında bulunan bir üçgeni belirtir.

Tamamlayıcı ve Tamamlayıcı Açılar

Toplamları dik açıya eşit olan açılara tümler denir. Bu açılar, bir ışın aynı tepe noktasından çıktığında ve dik açıyı tanımlayan ilk iki ışın arasında yönlendirildiğinde ortaya çıkar. Bu tür ara ışınlardan sonsuz sayıda mevcut olabilir.

Toplamları bir düz açı oluşturan açılara bütünler denir. Ek açılar, bir ışın ortak bir tepe noktasını paylaştığında ve düz açıyı (180 derece) oluşturan iki orijinal ışın arasında yönlendirildiğinde oluşturulur. İki orijinal ışın arasında yer alan ışınların miktarı sonsuzdur.

Öklid Gösteriminin Çağdaş Uyarlamaları

Modern matematik kuralları genellikle açıları derece veya radyan birimlerini kullanarak ölçer.

Çağdaş eğitim metinleri genellikle farklı geometrik şekiller arasında ayrım yapar: çizgiler (sonsuz kapsam), ışınlar (yarı sonsuz) ve çizgi parçaları (sonlu uzunluk). Buna karşılık Öklid, ışını tek yönde sonsuzca uzanan bir nesne olarak kavramsallaştırmadı; bunun yerine, bazen "sonsuz çizgilerden" bahsetmesine rağmen, genellikle "çizgi yeterli uzunluğa kadar uzatılırsa" gibi ifadeler kullandı. Öklid'e göre "çizgi" terimi düz ya da kavisli bir yolu ifade edebiliyordu ve belirlilik gerektiğinde daha kesin bir tanımlayıcı olan "düz çizgi"yi gerektiriyordu.

Temel Teoremler ve Önermeler

Pons Asinorum

Kıç köprüsü olarak da bilinen Pons Asinorum, ikizkenar üçgenlerde tabandaki açıların birbirine eşit olduğunu ve eşit düz çizgiler daha da üretilirse tabanın altındaki açıların birbirine eşit olduğunu iddia eder. Bu adlandırma muhtemelen Euclid'in Öğeler'indeki ilk entelektüel meydan okuma olarak öneminden kaynaklanıyor ve daha karmaşık sonraki önermeler için bir hazırlık adımı olarak hizmet ediyor. Alternatif olarak bu ad, geometrik diyagramın yalnızca ayakları yere basan bir hayvanın geçebileceği dik bir köprüye olan görsel benzerliğinden kaynaklanıyor olabilir.

Üçgen Eşlik Ölçütü

Üçgenler belirli koşulları karşılıyorlarsa uyumlu olarak tanımlanırlar: Kitap I, önermeler 4, 8 ve 26'da ayrıntılı olarak açıklandığı gibi üç kenarın tümü eşittir (SSS), iki kenar ve iç açı eşittir (SAS) veya iki açı ve karşılık gelen kenar eşittir (ASA). Üç eşit açıya (AAA) sahip üçgenler benzer olsa da, doğası gereği uyumlu değildirler. Ayrıca, iki kenarı eşit ve bir açı komşu olan üçgenlerin mutlaka uyumlu olması gerekmez.

Üçgendeki Açıların Toplamı

Bir üçgenin iç açılarının toplam ölçüsü her zaman 180 derece olan düz açıya eşittir. Sonuç olarak, bir eşkenar üçgen, her biri 60 derece olan üç iç açıyla karakterize edilir. Bu ilke aynı zamanda her üçgenin en az iki dar açı içermesi gerektiğini ve üçüncü açının geniş veya dik açı olmasını gerektirir.

Pisagor Teoremi

Kitap I, önerme 47'de sunulan ünlü Pisagor teoremi, herhangi bir dik açılı üçgende, hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerinde oluşturulan karenin alanının, iki bacak (dik açıyı oluşturan kenarlar) üzerinde oluşturulan karelerin kümülatif alanına eşdeğer olduğunu öne sürer.

Thales Teoremi

Miletoslu Thales'e atfedilen Thales Teoremi, eğer A, B ve C noktaları bir daire üzerinde yer alıyorsa ve AC doğru parçası dairenin çapını oluşturuyorsa, ABC açısının dik açı olduğunu ileri sürer. Cantor, Thales'in bu teoremi Euclid'in III. Kitap, Önerme 31'inde bulunana benzer bir metodolojiyi takip ederek Euclid'in I. Kitabı, Önerme 32'sini kullanarak gösterdiğini varsaydı.

Alan ve Hacim için Ölçekleme İlkeleri

Çağdaş matematik söyleminde, iki boyutlu bir şeklin alanı, ${\displaystyle A\propto L^{2}$. Benzer şekilde, üç boyutlu bir katının hacmi onun doğrusal boyutlarının küpüyle orantılıdır ve şu şekilde temsil edilir: ${\displaystyle V\propto L^{3}$. Öklid bu ilkeleri bir dairenin alanı ve paralelyüzlü bir katının hacmi dahil olmak üzere birkaç özel örnek için oluşturdu. Öklid orantılılığın bazı sabitlerini tespit etse de hepsini belirlemedi; örneğin, onun halefi Arşimed daha sonra bir kürenin hacminin onu çevreleyen silindirin hacminin üçte ikisi olduğunu gösterdi.

Ölçüm Sistemi ve Aritmetik İşlemler

Öklid geometrisi temel olarak iki farklı ölçüm kategorisini içerir: açısal ve doğrusal mesafe. Açısal ölçek mutlaktır; Öklid temel birim olarak dik açıyı kullanır; sonuç olarak 45 derecelik bir açı, dik açının yarısı olarak tanımlanacaktır. Tersine, mesafe ölçeği görecelidir ve birim olarak hizmet etmek için sıfır olmayan belirli bir uzunluğa sahip bir çizgi parçasının keyfi olarak seçilmesini gerektirir ve daha sonra diğer tüm mesafeler buna göre ifade edilir. Uzaklık ekleme işlemi, bir çizgi parçasının uzunluğunu uzatmak için diğerinin ucuna bitişik olarak inşa edilmesiyle geometrik olarak tasvir edilir; çıkarma için de benzer bir metodoloji uygulanır.

Alan ve hacim ölçümleri temel olarak doğrusal mesafelerden elde edilir. Örneğin eni 3 birim, uzunluğu 4 birim olan bir dikdörtgenin alanı 12 birimdir, bu da çarpımını temsil eder. Ancak çarpmanın bu geometrik yorumu üç boyutla sınırlıydı ve dört veya daha fazla sayının çarpımını kavramsallaştırmaya yönelik doğrudan bir yöntemin önüne geçiyordu. Sonuç olarak, Öklid bu tür yüksek dereceli çarpımlardan genel olarak kaçındı, ancak bunların anlamı örneğin IX. Kitap, Önerme 20'nin ispatında açıkça görülüyor.

Öklid bir çift çizgiyi veya bir çift düzlemsel veya katı şekli, ilgili uzunlukları, alanları veya hacimleri aynıysa "eşit" (ἴσος) olarak tanımlar; bu prensip aynı zamanda açılara da uzanır. Daha kesin bir ifade olan "uyumlu" terimi, tam olarak aynı boyut ve şekli paylaşan şekilleri ifade eder. Alternatif olarak, iki şekil, yansımalar da dahil olmak üzere, biri diğerinin üzerine mükemmel şekilde bindirilebiliyorsa uyumludur. Örneğin, 2x6'lık bir dikdörtgen ve 3x4'lük bir dikdörtgenin alanı eşittir ancak uyumlu değildir, halbuki R harfi ayna görüntüsüyle uyumludur. Aynı şekillere sahip ancak boyutları farklı olan şekiller, eşit karşılık gelen açılar ve orantılı karşılık gelen kenarlarla karakterize edilen "benzer" olarak sınıflandırılır.

Mühendislikte

Tasarım ve analiz

• Gerilim analizi: Öklid geometrisi, yapısal bütünlüğün ve dayanıklılığın sağlanmasında kritik bir faktör olan mekanik bileşenler içindeki gerilim dağılımının belirlenmesinde çok önemlidir.

• Dişli tasarımı: Çok sayıda mekanik sistemin temel bileşenleri olan dişlilerin mühendisliği, verimli güç aktarımı için optimum diş profillerine ve kavramaya ulaşmak amacıyla büyük ölçüde Öklid geometrisine dayanır.

• Isı eşanjörü tasarımı: Isı mühendisliğinde, geometrik konfigürasyonun ısıl verimliliği önemli ölçüde etkilediği ısı eşanjörlerinin tasarımına Öklid geometrisi uygulanır.

• Lens tasarımı: Optik mühendislikte, hassas geometrik şekiller odaklanma özelliklerini belirlediğinden Öklid geometrisi mercek tasarımı için kritik öneme sahiptir. İlgili bir alan olan geometrik optik, merceklerin ve aynaların ışığı nasıl odakladığını analiz eder.

Dinamikler

• Titreşim analizi: Öklid geometrisi, mekanik sistemlerdeki titreşimleri analiz etmek ve anlamak için gereklidir, böylece bu salınım olaylarına etkili bir şekilde direnebilecek veya bunlardan yararlanabilecek sistemlerin tasarımını kolaylaştırır.

• Kanat tasarımı: Öklid geometrisinin aerodinamikte uygulanması, geometrik şeklin kaldırma ve sürükleme özelliklerini doğrudan etkilediği uçak kanatlarının, kanat profillerinin ve hidrofoillerin tasarımında açıkça görülmektedir.

• Uydu yörüngeleri: Öklid geometrisi, uzay görevlerinin ve devam eden uydu operasyonlarının başarısı için kritik bir işlev olan uydu yörüngelerinin hesaplanmasına ve tahmin edilmesine yardımcı olur.

CAD sistemleri

• 3B modelleme: Bilgisayar destekli tasarım (CAD) sistemlerinde Öklid geometrisi, mekanik parçaların doğru üç boyutlu modellerini oluşturmanın temel temelini oluşturur. Bu modeller, üretim öncesi tasarımların görselleştirilmesi ve test edilmesi için vazgeçilmezdir.

• Tasarım ve üretim: Bilgisayar destekli imalatın (CAM) önemli bir kısmı Öklid geometrisine dayanmaktadır. CAD/CAM'de kullanılan tasarım geometrisi tipik olarak düzlemler, silindirler, koniler, toriler ve diğer benzer Öklid şekilleriyle sınırlanan formlardan oluşur. Şu anda CAD/CAM, otomobilleri, uçakları, deniz taşıtlarını ve cep telefonlarını kapsayan çok sayıda ürünün tasarım yelpazesinde vazgeçilmezdir.

• Taslak hazırlama uygulamalarının evrimi: Tarihsel olarak, Pascal ve Brianchon'un teoremleri de dahil olmak üzere gelişmiş Öklid geometrisi, taslak hazırlama metodolojilerinin ayrılmaz bir parçasıydı. Bununla birlikte, çağdaş bilgisayar destekli tasarım (CAD) sistemlerinin ortaya çıkışı, modern tasarım ve üretim iş akışlarında bu kadar derin teorik bilgiye olan ihtiyacı azaltmıştır.

Devre tasarımı

• PCB düzenleri: Baskılı devre kartı (PCB) tasarımı, bileşenlerin verimli konumlandırılmasını ve yönlendirilmesini kolaylaştırmak için Öklid geometrisini kullanır, böylece operasyonel işlevsellik sağlar ve mekansal kullanımı optimize eder. PCB'lerdeki elektronik bileşenlerin etkili bir şekilde düzenlenmesi, sinyal girişimini azaltmak ve genel devre performansını artırmak için çok önemlidir.

Elektromanyetik ve akışkan akış alanları

• Anten tasarımı: Uzaysal düzenleme ve boyutlar, elektromanyetik dalgaların iletilmesi ve alınmasında antenlerin ve dizilerin performansını doğrudan etkilediğinden, Öklid geometrisi anten tasarımında etkilidir.

• Alan teorisi: Viskoz olmayan akış ve elektromanyetik alanların incelenmesi kapsamında Öklid geometrisi, karmaşık potansiyel akış problemlerinin görselleştirilmesini ve çözümlenmesini kolaylaştırır. Bu uygulama, dönmeyen solenoidal veya korunumlu vektör alanlarıyla karakterize edilen üç boyutlu uzaydaki akışkan hız alanları ile elektromanyetik alanlar arasındaki etkileşimleri anlamak için çok önemlidir.

Kontroller

• Kontrol sistemi analizi: Öklid geometrisinin kontrol teorisine entegrasyonu, kontrol sistemlerinin analizini ve tasarımını destekler, özellikle sistem kararlılığı ve yanıt özelliklerinin anlaşılmasını ve optimizasyonunu geliştirir.

• Hesaplama araçları: Öklid geometrisinin uygulanması, mekanik ve elektrik mühendisliği disiplinlerindeki dönüşümler ve kontrol sistemleri için Jacobian matrislerinin kullanılması açısından temeldir ve sistem davranışı ve özelliklerine ilişkin kritik bilgiler sunar. Jacobian, istatistiksel regresyon ve eğri uydurmada doğrusallaştırılmış bir tasarım matrisi olarak işlev görür. Ayrıca rastgele matrislerde, moment hesaplamalarında, istatistiklerde ve teşhislerde de kullanım alanı bulur.

Diğer genel uygulamalar

Öklid geometrisinin matematikteki temel rolü göz önüne alındığında, uygulamalarının kapsamlı bir listesini sunmak pratik değildir; bu nedenle yalnızca temsili bir seçim sağlanır.

Etimolojisiyle tutarlı olarak, araştırma hem geometrik araştırma için eski bir ivmeyi hem de yaygın bir çağdaş uygulamayı temsil eder. Ölçmenin ötesinde, Öklid geometrisi klasik mekanikte ve görsel nesne algısının bilişsel ve hesaplamalı modellerinde uygulanmıştır. 3-4-5 üçgeninin dik açı özelliği gibi Öklid geometrisinden türetilen pratik sonuçlar, resmi kanıtlarından çok önce ampirik olarak kullanıldı. Öklid geometrisindeki temel ölçümler (mesafeler ve açılar) araştırmacılar tarafından doğrudan ölçülebilir. Tarihsel olarak, mesafeler sıklıkla Gunter zinciri gibi aletler kullanılarak ölçülürken, açılar dereceli daireler ve ardından teodolit ile belirlenirdi.

Öklid katı geometrisi, küreleri n boyutlu uzaylarda verimli bir şekilde paketleme zorluğuyla örneklenen, optimal paketleme düzenlemelerinin belirlenmesinde uygulama bulur. Bu özel sorun, hata tespit ve düzeltme metodolojileriyle alakalıdır.

Geometri mimaride yaygın olarak kullanılmaktadır.

Geometri origami tasarımına uygulanabilir. Yalnızca pusula ve cetvelle çözülemeyen bazı klasik geometrik yapı sorunlarının origami teknikleriyle çözülebilmesi dikkat çekicidir.

Daha sonraki tarih

Arşimet ve Apollonius

Arşimet (c. 287 BCE – c. 212 BCE), çok sayıda anekdotla ilişkilendirilen önemli bir tarihsel figür, Öklid'le birlikte antik çağın en önemli matematikçilerinden biri olarak kabul edilmektedir. Öklid, çalışmasının temel ilkelerini oluştursa da Arşimet'in katkıları tamamen orijinal kabul ediliyor. Çeşitli iki ve üç boyutlu şekillerin hacimleri ve alanları için denklemler türetmiş ve sonlu sayıların Arşimet özelliğini ifade etmiştir.

Pergalı Apollonius (c. 240 BCE – c. 190 BCE) öncelikle konik kesitler üzerine yaptığı kapsamlı araştırmalarıyla tanınır.

17. yüzyıl: Descartes

René Descartes (1596–1650), geometrik kavramların cebirsel ifadelere dönüştürülmesini vurgulayan, geometriyi resmileştirmeye alternatif bir yaklaşım olan analitik geometriye öncülük etti.

Bu çerçevede, düzlemsel bir nokta, Kartezyen (x, y) koordinatlarıyla, bir doğru ise ona karşılık gelen denklemle gösterilir ve benzer gösterimler diğer geometrik varlıklar için de geçerlidir.

Altında Öklid'in orijinal metodolojisi Pisagor teoremi onun aksiyomlarının doğrudan bir sonucudur. Bunun tersine, Kartezyen sistemde, cebirin temel aksiyomları cebirin aksiyomlarıdır ve Pisagor teoremini temsil eden denklem, daha sonra teorem olarak kabul edilecek olan Öklid aksiyomları içindeki bir terimin tanımı olarak hizmet eder.

Denklem

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,$

P = (p_x, p_y) ve Q = (q_x, q_y) noktaları arasındaki mesafeyi tanımlayan bu formül, resmi olarak Öklid metriği olarak tanınır; alternatif metrikler ise tersine, Öklid dışı geometriler oluşturur.

Analitik geometri çerçevesinde, klasik geometrik ilkelerin yalnızca bir pusula ve düz kenarla elde edilebilecek yapılarla sınırlandırılması, birinci ve ikinci dereceden denklemlere yönelik bir sınırlama anlamına gelir; y = 2x + 1 (bir çizgiyi temsil eder) veya x§67§ + y§1011§ = 7 (bir daireyi temsil eder).

17. yüzyılda, perspektif teorisinin ilkelerinden etkilenen Girard Desargues, sonsuzlukta konumlanan idealleştirilmiş noktalar, çizgiler ve düzlemler kavramsallaştırmasını ortaya attı. Bu gelişme, genelleştirilmiş geometrinin, özellikle de projektif geometrinin bir biçimi olarak yorumlanabilir; ancak aynı zamanda geleneksel Öklid geometrisi dahilinde kanıtların formüle edilmesine de hizmet eder, böylece gerekli özel durum sayısı en aza indirilir.

Onsekizinci Yüzyıl

On sekizinci yüzyılda geometri uzmanları Öklid sisteminin kesin sınırlarını belirlemede önemli zorluklarla karşılaştılar. Önceki dört önermeden beşinci önermeyi çıkarmak için çok sayıda girişimde bulunuldu ancak başarısızlıkla sonuçlandı. 1763'e gelindiğinde en az 28 farklı kanıt dağıtılmıştı, ancak daha sonra her birinin hatalı olduğu belirlendi.

Bu çağdan önce, geometri uzmanları ayrıca Öklid geometrisinde mümkün olan yapıların kapsamını belirlemeye de çabalıyorlardı. Örneğin, yalnızca bir pusula ve cetvel kullanarak bir açıyı üçe bölmenin zorluğu, doğası gereği teoriden kaynaklanır, çünkü teorinin aksiyomları, bu aletlerle gerçekleştirilebilecek yapıcı işlemleri tanımlar. Bununla birlikte, Pierre Wantzel 1837'de bunun imkansızlığını kesin olarak ortaya koyana kadar yüzyıllarca süren ısrarlı çabalar, bu özel soruna hiçbir çözüm getirmedi. Daha sonra imkansız olduğu kanıtlanan ek yapılar, küpün çoğaltılmasını ve dairenin dörtgenlenmesini kapsar. Spesifik olarak, küpü ikiye katlamanın imkansızlığı, pusula ve düz kenar yöntemlerinin sırası ikinin tamsayılı kuvveti olan denklemlerle sınırlı olduğu, halbuki bir küpün kopyalanması üçüncü dereceden bir denklemin çözümlenmesini gerektiren denklemlerden kaynaklanmaktadır.

Euler, afin geometri olarak adlandırılan ve aynı anda üçüncü ve dördüncü postülaları zayıflatırken aynı anda orijinal formunda koruyan Öklid geometrisinin bir genellemesini araştırdı. açı kavramları (dik üçgenleri tanımsız hale getirir) ve doğru parçası uzunluklarının genel eşitliği (sonuç olarak daireleri tanımsız hale getirir). Tersine, çizgiler arasında bir eşdeğerlik ilişkisi ve paralel doğru parçaları için uzunlukların eşitliği olarak paralellik kavramını korur ve doğru parçalarının bir orta noktayı korumasını sağlar.

Ondokuzuncu Yüzyıl

On dokuzuncu yüzyılın başlangıç döneminde, Carnot ve Möbius işaretli açıların ve doğru parçalarının uygulamasını sistematik olarak geliştirdiler ve böylece geometrik sonuçların basitleştirilmesini ve birleştirilmesini kolaylaştırdılar.

Daha Yüksek Boyutlar

1840'larda William Rowan Hamilton kuaterniyonları formüle ederken, John T. Graves ve Arthur Cayley bağımsız olarak oktonyonları geliştirdiler. Bu matematiksel yapılar, karmaşık sayıların alanını genişleten normlu cebirleri temsil eder. Daha sonra kuaterniyonların aynı zamanda dört gerçek Kartezyen koordinatla karakterize edilen bir Öklid geometrik sistemi oluşturduğu fark edildi. Cayley, dört boyutlu Öklid uzayındaki dönmelerin analizi için özellikle kuaterniyonlardan yararlandı.

Ludwig Schläfli, 19. yüzyılın ortalarında kapsamlı Öklid uzayı kavramını formüle etti ve böylece Öklid geometrisini daha yüksek boyutlara genişletti. Daha sonra politoplar olarak adlandırılan ve çokgenlerin ve çokyüzlülerin yüksek boyutlu karşılıklarını temsil eden polisşemalar'ı tanıttı. Schläfli teorik çerçevelerini geliştirdi ve tüm düzenli politopları, özellikle de ${\displaystyle n}$normal çokgenlerin ve Platonik katıların boyutlu eşdeğerleri. Araştırması, dört boyutta altı adet düzenli dışbükey politopun ve dördü aşan tüm boyutlarda üç adet düzenli dışbükey politopun varlığını ortaya çıkardı.

Schläfli bu araştırmayı sınırlı bir tanınmayla yürüttü ve tamamı ölümünden sonra 1901'de yayınlandı. Çalışma, H.S.M. tarafından yeniden keşfedilip kapsamlı belgelenene kadar büyük ölçüde etkisiz kaldı. 1948'de Coxeter.

1878'de William Kingdon Clifford, Hamilton kuaterniyonlarını Hermann Grassmann cebiriyle bütünleştirerek ve bu sistemlerin doğal geometrik özelliklerini özellikle dört boyutta açıklayarak, şu anda geometrik cebir olarak bilinen şeyi kurdu. Clifford cebiri içindeki işlemler, söz konusu geometrik nesnelerin yansıtılmasını, döndürülmesini, ötelenmesini ve yeniden konumlandırılmasını kolaylaştırır. 3-kürenin yüzeyinde yer alan Clifford simidi, silindir yüzeyinin "düzlüğüne" benzer şekilde, iki dairenin Kartezyen çarpımının en basit ve simetrik düz yerleşimini temsil eder.

Öklid Dışı Geometri

19. yüzyıl geometrisinde çok önemli bir gelişme, 1830 civarında, János Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky'nin Öklid dışı geometri üzerine araştırmalarını bağımsız olarak yayınlamalarıyla ortaya çıktı; bu paralel önermenin geçerli olmadığı bir çerçeveydi. Öklid dışı geometrinin Öklid geometrisiyle nispeten tutarlı olduğu kanıtlanabilir bir şekilde kanıtlandığı göz önüne alındığında, paralel önermenin diğer aksiyomlardan türetilemeyeceği sonucu çıkar.

19. yüzyılda, Öklid'in on aksiyomunun ve ortak kavramlarının Elementler'de sunulan tüm teoremleri doğrulamak için yetersiz olduğu ortaya çıktı. Örneğin Öklid üstü kapalı olarak her çizginin en az iki noktadan oluştuğunu öne sürdü; ancak bu öncül onun diğer aksiyomlarından çıkarılamaz ve dolayısıyla kendi aksiyomatik statüsünü gerektirir. Elemanlar içindeki herhangi bir çizgi parçasının bir üçgenin parçasını oluşturduğunu gösteren ilk geometrik kanıt, geleneksel olarak Öklid tarafından her iki uç noktanın etrafına daireler çizilerek ve bunların kesişimlerinin üçüncü köşe olarak belirlenerek oluşturulur. Bununla birlikte, Öklid aksiyomları, Kartezyen koordinatlarda gerçek sayıların tamlık özelliğine karşılık gelen sürekliliğin geometrik özelliğine dair bir iddiadan yoksun oldukları için bu dairelerin kesişimini garanti etmez. Moritz Pasch'ın 1882'deki çalışmasının ardından geometri için çok sayıda rafine aksiyomatik sistem geliştirildi; bunların en önemlisi Hilbert, George Birkhoff ve Tarski tarafından geliştirilenlerdi.

20. Yüzyıl ve Görelilik

Einstein'ın özel görelilik teorisi, Minkowski uzayı olarak bilinen ve Öklidyen olmayan özellikler sergileyen dört boyutlu bir uzay-zamanı varsayar. Bu, başlangıçta paralel önermenin kanıtlanamazlığını göstermek için geliştirilen Öklidyen olmayan geometrilerin aynı zamanda fiziksel evreni tanımlamak için değerli araçlar olarak hizmet ettiğini göstermektedir.

Bununla birlikte, Minkowski uzayının üç boyutlu uzaysal bileşeni Öklid geometrisinin özelliklerini korur. Bu karakteristik, uzay-zamanın uzamsal bileşeninin geometrisinin Öklidyen olmadığı genel görelilikte farklılık gösterir. Örneğin, üç ışık ışınının oluşturduğu bir üçgen, yerçekimi etkisinin bir sonucu olarak genellikle toplamı 180 dereceye ulaşmayan iç açılar sergileyecektir. Dünya veya Güneş ile ilişkili olanlar gibi nispeten zayıf bir yerçekimi alanı, Öklidyen'e yaklaşan ancak tam olarak öyle olmayan bir metrikle karakterize edilir. 20. yüzyıldan önce teknolojik yetenekler, ışık ışınlarının Öklid geometrisinden bu sapmalarını tespit etmek için yetersizdi; ancak Einstein onların varlığını öne sürdü. Bu tahminler daha sonra, 1919'daki güneş tutulması sırasında yıldız ışığının Güneş tarafından ince bir şekilde saptırılması da dahil olmak üzere gözlemlerle desteklendi ve bu ilkeler artık Küresel Konumlandırma Sisteminin (GPS) operasyonel yazılımı için temel teşkil ediyor.

Uzayın Yapısını Açıklama

Öklid, aksiyomlarının fiziksel gerçekliğe ilişkin apaçık önermeler oluşturduğunu öne sürdü. Bununla birlikte, Öklid'in kanıtları, temel aksiyomlarında açıkça belirtilmeyen varsayımlara, özellikle de Öklid hareketleri olarak adlandırılan, ötelemeleri, yansımaları ve dönmeleri kapsayan- figürlerin belirli dönüşümlerinin kenar uzunlukları ve iç açılar gibi içsel geometrik özelliklerini değiştirmediğine dolaylı olarak dayanıyordu. Mekanın fiziksel bir karakterizasyonu olarak yorumlanan Postülat 2 (çizgi uzantısı), mekansal deliklerin veya sınırların yokluğunu ima eder; Varsayım 4 (dik açıların eşitliği), uyumlu şekillerin değiştirilmeden yeniden konumlandırılmasına izin veren uzamsal izotropiyi önerir; ve 5. Varsayım (paralel varsayım), içsel eğrilikten yoksun düz bir uzayı belirtir.

Albert Einstein'ın görelilik teorisi bu perspektifi önemli ölçüde değiştirir.

Öklid'in orijinal aksiyomatik formülasyonundaki doğal belirsizlik, yorumcular arasında bunun mekansal yapıya, özellikle de sonsuzluğuna ve topolojik özelliklerine ilişkin çıkarımlarına ilişkin farklı yorumlara izin verir. Bu aksiyomatik sistemin çağdaş, daha katı yeniden formülasyonları genellikle bu spesifik kaygıların daha net bir şekilde tanımlanmasını amaçlamaktadır. Bu çağdaş yorumlayıcı çerçeveyi benimseyen aksiyomlar 1-4, hem sonsuz hem de sonlu uzaysal modellerle (ör. eliptik geometri) uyumluyken, beş aksiyomun tümü bir dizi topolojiye (ör. iki boyutlu Öklid geometrisinde bir düzlem, bir silindir veya bir simit) uyum sağlar.

Sonsuzlukla İlgili Hususlar

Sonsuz Varlıklar

Öklid zaman zaman "sonlu çizgiler" (örneğin, Postülat 2) ile "sonsuz çizgiler" (Kitap I, Önerme 12) arasında açık bir ayrım yapmıştır. Ancak zorunlu görülmedikçe bu tür ayrımlardan genellikle kaçınmıştır. Postülaların kendileri açıkça sonsuz çizgilerden bahsetmiyor; ancak bazı yorumcular, herhangi bir yarıçapa sahip bir dairenin varlığını varsayan Postülat 3'ü dolaylı olarak sonsuz bir uzaysal boyuta işaret ediyormuş gibi yorumluyorlar.

Sonsuz küçük nicelikler kavramı Elea Okulu tarafından kapsamlı bir şekilde araştırılmıştı; ancak Zeno'nunki gibi evrensel fikir birliğinden yoksun çözülmemiş paradoksların da gösterdiği gibi, bunlar için sağlam bir mantıksal temel hala elde edilmesi zor bir konu olarak kaldı. Öklid ise bunun tersine, sonsuz küçükler yerine tükenme yöntemini kullandı.

Proclus (MS 410-485) da dahil olmak üzere daha sonraki antik yorumcular, sonsuzlukla ilgili çok sayıda soruyu kesin kanıt gerektiren konular olarak gördüler; örneğin Proclus, çift ve tek sayıda kurucu nokta içeren senaryoları inceleyen çelişki yoluyla kanıt kullanarak bir doğrunun sonsuz bölünebilirliğinin bir gösterimini ileri sürdü.

20. yüzyılın başlarında Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond ve Giuseppe Veronese gibi bilim adamları, iki nokta arasındaki mesafenin sonsuz veya sonsuz küçük olabileceği Öklid geometrisinin Arşimet dışı modelleri üzerinde çekişmeli araştırmalar geliştirdiler. Newton-Leibniz çerçevesi. Elli yıl sonra Abraham Robinson, Veronese'nin katkıları için sağlam bir mantıksal temel oluşturdu.

Sonsuz Süreçler

Antik geometri bilimciler muhtemelen paralel önermeyi (iki paralel doğrunun hiçbir zaman kesişmediğini belirten) diğer aksiyomlara göre daha az apaçık olarak değerlendirdiler; bunun temel nedeni, sonsuz uzaklıktaki uzaysal bölgelerle ilgili bir koşul öne sürmesi ve dolayısıyla ampirik doğrulamayı imkansız hale getirmesiydi.

Tümevarım yoluyla kanıtın çağdaş formülasyonu 17. yüzyılda ortaya çıkmış olsa da, daha sonraki bazı yorumcular, asal sayıların sonsuzluğu kanıtı gibi, Öklid'in bazı kanıtlarında bunun örtülü varlığını algıladılar. sayılar.

Zeno'nun paradoksu da dahil olmak üzere sonsuz serilerle ilgili varsayımsal paradokslar Öklid'in döneminden önce de mevcuttu. Öklid bu tür teorik tartışmaları kasıtlı olarak atlattı; örneğin IX.35'te bir geometrik serinin kısmi toplamlarına ilişkin formülü sonsuz sayıda terimin sonuçlarına değinmeden sundu.

Mantıksal Temeller

Klasik Mantık

Öklid'in çelişki yoluyla kanıtlamayı sıklıkla uygulaması, Öklid geometrisinin geleneksel temsilinin klasik mantığa dayanmasını gerektirir. Bu mantıksal çerçeve, her önermenin ya doğru ya da yanlış olduğunu varsayar; özellikle herhangi bir P önermesi için "P ya da P değil" ifadesi doğası gereği geçerlidir. Absürde indirgeme olarak da bilinen çelişki yoluyla ispat yöntemi, temel olarak klasik mantığın iki temel ilkesine dayanır: çelişki yasası ve ortanın hariç tutulması yasası. Basitçe söylemek gerekirse, çelişki yasası eğer S herhangi bir ifadeyse, o zaman S ve S'nin bir çelişkisinin (yani onun olumsuzlanmasının) her ikisinin de geçerli olamayacağını ileri sürer. Dahası, dışlanan ortanın kanunu ya S'nin ya da S'nin reddedilmesinin geçerli olması gerektiğini emrederek herhangi bir üçüncü veya ara olasılığın bulunmadığını ima eder. Sonuç olarak bu yöntem, kurulması amaçlanan bir önermenin yanlış olduğu yönünde hipotez kurmayı içerir; eğer bu varsayım saçmalığa yol açıyorsa, hipotezin sürdürülemez olduğu sonucuna varılır ve bu nedenle orijinal önermenin doğru olması gerekir.

Çağdaş Kesinlik Standartları

Yüzyıllar boyunca matematikçiler Öklid geometrisini sağlam bir aksiyomatik temel üzerine kurmakla derinden ilgilendiler. 1900 Paris konferansında Peano delegasyonunu temsil eden Alessandro Padoa, ilkel kavramların veya tanımsız kavramların önemini dikkate değer bir açıklıkla ifade etti:

...bir teorinin formülasyonuna başlarken, tanımlanmamış sembollerin tamamen anlamdan yoksun olduğu ve kanıtlanmamış önermelerin yalnızca bu tanımsızlara dayatılan koşulları temsil ettiği düşünülebilir. semboller.

Daha sonra, başlangıçta seçilen fikirler sistemi, tanımlanmamış sembollerin yalnızca bir yorumunu oluşturur. Bununla birlikte, bu özel yorum, zihinsel olarak onu öngörülen koşulları karşılayan başka bir yorumla değiştirme özgürlüğünü elinde bulunduran okuyucu tarafından göz ardı edilebilir.

Sonuç olarak, mantıksal araştırmalar ampirik veya psikolojik değerlendirmelerden tamamen bağımsız hale gelir.

Tanımlanmamış sembollerin çerçevesi bu nedenle, Tanımlanmamış semboller sisteminin yerine ilgili yorumların her biri sırayla yerleştirildiğinde ortaya çıkan özelleşmiş teoriler.

Aslında matematik, hiyerarşik bir çerçeve içinde yapılandırılmış bağlamdan bağımsız bilgiyi temsil eder. Bertrand Russell bu bakış açısını ünlü bir şekilde ifade etmiştir:

Eğer hipotezimiz bir veya daha fazla belirli varlık yerine herhangi bir şey ile ilgiliyse, çıkarımlarımız matematiğin temelini oluşturur. Sonuç olarak matematik, sürekli olarak söylemimizin konusundan veya iddialarımızın doğruluğundan habersiz olduğumuz bir disiplin olarak nitelendirilebilir.

Aksiyomatik Formülasyonlar

Geometri, kesin olmayan rakamlara uygulanan hassas akıl yürütme bilimini oluşturur.

• Öklid Aksiyomları: Bertrand Russell, Trinity College, Cambridge tezinde, kendi döneminin filozofları arasında Öklid geometrisine ilişkin gelişen algıyı özetledi. Bu entelektüel değişim, ampirik gözlemden bağımsız olarak belirli bilgilerin peşinde koşma ile deneysel verileri gerektiren ampirizm arasındaki temel çatışmayı temsil ediyordu. Bu tartışmanın can alıcı noktası, paralellik önermesinin evrensel olarak geçerli olmadığının anlaşılmasıyla ortaya çıktı ve bunun uygunluğu, uygun geometrinin Öklidyen mi yoksa Öklidyen olmayan mı olduğunu belirleyen ampirik bir soru haline geldi.
• Hilbert Aksiyomları: Hilbert aksiyomatik sisteminin amacı, en önemli geometrik teoremlerin türetilebileceği basit, tam ve bağımsız bir aksiyomlar seti tanımlamaktı. Temel hedefler arasında Öklid geometrisinin kesin bir şekilde tanımlanması (belirtilmemiş varsayımları ortadan kaldırarak) ve paralel önermenin sonuçlarının açıklanması yer alıyordu.
• Birkhoff Aksiyomları: Birkhoff, Öklid geometrisi için bir ölçek ve iletki kullanılarak deneysel doğrulamaya uygun dört postüla sundu. Bu sistem büyük ölçüde gerçek sayıların özelliklerine bağımlıdır ve açı ve uzaklık kavramlarını ilkel duruma
yükseltir.
• Alfred Tarski (1902–1983) ve çalışma arkadaşları, temel ilkeleri bakımından küme teorisinden farklı olarak, birinci dereceden mantıkla ifade edilebilen biçimsel bir sistem olarak temel Öklid geometrisini kurdular. Bu yaklaşım, Hilbert'in nokta kümeleri gibi küme-teorik kavramlarını içeren aksiyomlarıyla çelişir. Tarski, temel Öklid geometrisine yönelik aksiyomatik çerçevesinin hem tutarlılığa hem de belirli bir bütünlük biçimine sahip olduğunu gösterdi; bu, herhangi bir önermenin doğruluk değerini belirleme kapasitesine sahip bir algoritmanın varlığını ima ediyor. Öklid geometrisi, bu teoremlerin uygulanabilmesi için yeterli bir aritmetik bölümünü resmileştirme ifade gücünden yoksun olduğundan, bu özellik Gödel'in eksiklik teoremleriyle çelişmez. Sonuç olarak bu formülasyon, temel Öklid geometrisinin temel model olarak hizmet ettiği gerçek kapalı alanların karar verilebilirliğine benzer.

Klasik teoremler

Referanslar

• Ball, W. W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4. baskı, orijinal yayından Macmillan & Co., Londra, 1908 tarafından yeniden basılmıştır). New York: Dover Yayınları. s. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.{{citebook}}: ISBN / Tarih uyumsuzluğu (yardım)
• Coxeter, H. S. M. (1961). Geometriye Giriş. New York: Wiley.Eves, Howard (1963). Geometri Araştırması (Birinci Cilt). Allyn ve Bacon.Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2. baskı, Cambridge University Press tarafından hazırlanan orijinal yayının bir kopyası, 1925). New York: Dover Yayınları.Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Yerçekimi. W. H. Freeman.Mlodinow (2001). Euclid'in Penceresi. Özgür Basın. ISBN 9780684865232.Nagel, E.; Newman, J. R. (1958). Gödel'in Kanıtı. New York University Press.Tarski, Alfred (1951). Temel Cebir ve Geometri için Bir Karar Yöntemi. Üniv. of California Press.Stillwell, John (Ocak 2001). "120 Hücrenin Hikayesi" (PDF). AMS Bildirimleri.48 (1): 17–25.Perez-Gracia, Alba; Thomas, Federico (2017). "On Cayley'nin 4D Döndürme ve Uygulamaların Çarpanlarına Ayrılması Üzerine" (PDF). Gelişmiş Uygulama Clifford Cebirleri. 27: 523–538. doi:10.1007/s00006-016-0683-9.hdl:2117/113067.
  • "Öklid geometrisi", Matematik Ansiklopedisi, EMS Press, 2001 [1994]Kaynak: TORİma Akademi Arşivi