Emmy Noether

أمالي إيمي نويثر (23 مارس 1882 - 14 أبريل 1935) كانت عالمة رياضيات ألمانية اشتهرت بمساهماتها الكبيرة في الجبر التجريدي. كما أسست نظريتي نويثر الأولى والثانية، والتي تعتبر أساسية في الفيزياء الرياضية. علماء الرياضيات البارزون بما في ذلك بافيل الكسندروف، ألبرت أينشتاين، جان ديودوني، هيرمان ويل، ونوربرت وينر وصفوا نويثر بأنها الشخصية الأنثوية الأكثر محورية في تاريخ الرياضيات. وباعتبارها عالمة رياضيات بارزة في عصرها، فقد صاغت نظريات تتعلق بالحلقات والمجالات والجبر. في عالم الفيزياء، توضح نظرية نويثر العلاقة الجوهرية بين قوانين التناظر والحفظ.

أمالي إيمي نويثر (23 مارس 1882 - 14 أبريل 1935) كانت عالمة رياضيات ألمانية قدمت العديد من المساهمات المهمة في الجبر التجريدي. كما أثبتت نظريتي نويثر الأولى والثانية، والتي تعتبر أساسية في الفيزياء الرياضية. تم وصف نويثر من قبل بافيل ألكسندروف، وألبرت أينشتاين، وجان ديودوني، وهيرمان فايل، ونوربرت وينر بأنها أهم امرأة في تاريخ الرياضيات. باعتبارها واحدة من علماء الرياضيات الرائدين في عصرها، طورت نظريات الحلقات والمجالات والجبر. في الفيزياء، تشرح نظرية نويثر العلاقة بين التناظر وقوانين الحفظ.

وُلد نويثر في عائلة يهودية في إرلانجن، وهي بلدة فرانكونية. كان والدها ماكس نويثر عالم رياضيات أيضًا. في البداية، كانت تنوي ممارسة مهنة تدريس اللغتين الفرنسية والإنجليزية، بعد اجتياز الامتحانات المطلوبة؛ ومع ذلك، فقد اختارت في النهاية دراسة الرياضيات في جامعة إرلانجن-نورمبرغ، حيث كان والدها يشغل منصبًا محاضرًا. بعد حصولها على درجة الدكتوراه في عام 1907، تحت إشراف بول جوردان، أمضت سبع سنوات تعمل بدون أجر في معهد الرياضيات في إرلانجن. خلال هذه الفترة، مُنعت النساء بشكل عام من شغل مناصب أكاديمية. في عام 1915، وجه ديفيد هيلبرت وفيليكس كلاين لها دعوة للانضمام إلى قسم الرياضيات في جامعة غوتنغن، وهي مركز معترف به عالميًا لأبحاث الرياضيات. أثارت هيئة التدريس الفلسفية اعتراضات، مما دفعها إلى إلقاء محاضرات لمدة أربع سنوات تحت اسم هيلبرت. تمت الموافقة على تأهيلها في عام 1919، مما مكنها من الحصول على رتبة Privatdozent.

حافظت نويثر على دور بارز داخل قسم الرياضيات في غوتنغن حتى عام 1933؛ كان يُشار إلى طلابها أحيانًا باسم "Noether Boys". في عام 1924، أصبحت عالمة الرياضيات الهولندية بي إل فان دير وايردن جزءًا من مجموعتها الأكاديمية وسرعان ما برزت كمفسر أساسي لمفاهيم نويثر؛ شكل بحثها الأساس للمجلد الثاني من كتابه المدرسي المؤثر الصادر عام 1931 بعنوان الجبر الحديث. اكتسبت خبرتها الجبرية اعترافًا عالميًا بحلول وقت إلقاء خطابها العام في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات عام 1932 في زيورخ. وفي العام التالي، طردت الحكومة النازية الألمانية الأكاديميين اليهود من مناصبهم الجامعية، مما دفع نويثر إلى الانتقال إلى الولايات المتحدة لشغل منصب في كلية برين ماور في بنسلفانيا. في برين ماور، قامت بتعليم طالبات الدراسات العليا وما بعد الدكتوراه، ولا سيما ماري جوانا فايس وأولغا توسكي تود. وفي الوقت نفسه، ألقت محاضرات وأجرت أبحاثًا في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيو جيرسي.

تم تصنيف مساهمات نويثر الرياضية إلى ثلاث "عصور" متميزة. خلال الحقبة الأولى (1908-1919)، طورت نظريات الثوابت الجبرية ومجالات الأعداد. وقد تم الإشادة بأبحاثها حول الثوابت التفاضلية ضمن حساب التفاضل والتكامل للتغيرات، والمعروفة باسم نظرية نويثر، باعتبارها "واحدة من أهم النظريات الرياضية التي تم تأسيسها على الإطلاق في توجيه تطور الفيزياء الحديثة". وفي العصر الثاني (1920-1926)، بدأت العمل الذي "حوّل مشهد الجبر [التجريدي]". في بحثها الرائد عام 1921، Idealtheorie in Ringbereichen (نظرية المُثُل في مجالات الحلقات)، طورت نويثر نظرية المُثُل في الحلقات التبادلية، وحولتها إلى أداة قابلة للتطبيق على نطاق واسع. لقد استخدمت ببراعة شرط السلسلة التصاعدية، وتم تصنيف الكائنات الرياضية التي تحقق هذا الشرط على أنها نوثيرية تكريمًا لها. خلال الحقبة الثالثة (1927-1935)، نشرت بحثًا عن الجبر غير التبادلي والأعداد المفرطة التعقيد، ودمجت نظرية تمثيل المجموعات مع نظرية الوحدات والمثل العليا. بالإضافة إلى منشوراتها الشخصية، شاركت نويثر أفكارها بسخاء وهي معروفة بأنها ألهمت العديد من الاتجاهات البحثية التي اتبعها علماء الرياضيات الآخرون، حتى في المجالات البعيدة عن تركيزها الأساسي، مثل الطوبولوجيا الجبرية.

السيرة الذاتية

الحياة المبكرة

ولدت أمالي إيمي نويثر في 23 مارس 1882 في إرلانجن، بافاريا. كانت الابنة الكبرى بين أربعة أطفال ولدوا لعالم الرياضيات ماكس نويثر وإيدا أماليا كوفمان، وكلاهما ينحدران من عائلات تجارية يهودية ثرية. على الرغم من أن اسمها الأول كان "أمالي"، إلا أنها تبنت اسمها الأوسط منذ سن مبكرة واستخدمته باستمرار طوال حياتها البالغة وفي أعمالها المنشورة.

في شبابها، لم تحقق نويثر التميز الأكاديمي ولكن تم الاعتراف بها بذكائها وتصرفاتها اللطيفة. لقد عانت من قصر النظر ولثغة طفيفة خلال طفولتها. روى أحد معارف العائلة لاحقًا حكاية من شباب نويثر، توضح فطنتها المنطقية المبكرة من خلال الحل السريع للغز فكري في تجمع للأطفال. تلقت تعليمًا في المهارات المنزلية، وهي ممارسة شائعة للفتيات في عصرها، وتلقت دروسًا في العزف على البيانو. ورغم أنها لم تمارس أيًا من هذه الأنشطة بحماس خاص، إلا أنها أبدت ولعًا قويًا بالرقص.

كان لدى نويذر ثلاثة أشقاء أصغر منه. ولد أكبرهم ألفريد نويثر عام 1883، وحصل على الدكتوراه في الكيمياء من إرلانجن عام 1909 لكنه توفي بعد تسع سنوات. ولد فريتز نويثر عام 1884، ودرس في ميونيخ وساهم في مجال الرياضيات التطبيقية. من المحتمل أنه تم إعدامه في الاتحاد السوفيتي عام 1941 خلال الحرب العالمية الثانية. أصغرهم، غوستاف روبرت نويثر، ولد عام 1889، وعانى من مرض مزمن وتوفي عام 1928؛ التفاصيل المتعلقة بحياته نادرة.

التعليم

أظهر نويثر كفاءة مبكرة في اللغتين الفرنسية والإنجليزية. في أوائل عام 1900، تقدمت لامتحان معلمي اللغة، وحصلت على تقييم شامل في سحر القناة (جيد جدًا). على الرغم من أن هذا الأداء جعلها مؤهلة لتدريس اللغات في مدارس البنات، إلا أنها اختارت بدلاً من ذلك مواصلة المساعي الأكاديمية في جامعة إرلانجن-نورمبرغ، حيث كان والدها يشغل منصب الأستاذية.

وشكل هذا اختيارًا غير تقليدي؛ قبل عامين، أكد مجلس الشيوخ الأكاديمي بالجامعة أن التعليم المختلط من شأنه أن "يطيح بكل النظام الأكاديمي". باعتبارها واحدة من امرأتين فقط من بين 986 طالبًا، سُمح لنويثر فقط بمراجعة الدورات، مما يحول دون المشاركة الكاملة، واستلزم الحصول على موافقة فردية من الأساتذة الذين ترغب في حضور محاضراتهم. على الرغم من هذه العوائق، نجحت في اجتياز امتحان التخرج في Realgymnasium في نورمبرغ في 14 يوليو 1903.

خلال الفصل الدراسي الشتوي 1903-1904، أجرت دراسات في جامعة غوتنغن، وشاركت في محاضرات ألقاها عالم الفلك كارل شوارزشيلد وعلماء الرياضيات هيرمان مينكوفسكي وأوتو. بلومنثال، فيليكس كلاين، وديفيد هيلبرت.

في عام 1903، تم رفع القيود المفروضة على الالتحاق الكامل للنساء بالجامعات البافارية. عادت نويثر إلى إرلانجن، وأعادت تسجيلها رسميًا في الجامعة في أكتوبر 1904، وأعربت عن تفانيها الحصري في الرياضيات. كانت واحدة من ست نساء في مجموعتها (بما في ذلك مدققان) والمرأة الوحيدة في القسم الأكاديمي الذي اختارته. تحت إشراف بول جوردان، أكملت أطروحتها للدكتوراه، Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (في الأنظمة الكاملة للثوابت للأشكال التربيعية الثلاثية)، في عام 1907، وحصلت على التخرج مع بامتياز مع مرتبة الشرف في وقت لاحق من ذلك العام. أشرف جوردان، أحد مؤيدي المدرسة "الحسابية" للنظرية الثابتة، على أطروحة اختتمت بتعداد أكثر من 300 من الثوابت المشتقة بشكل واضح. تم استبدال هذا النهج تجاه الثوابت لاحقًا بالمنهجية الأكثر تجريدًا وتعميمًا التي قدمها هيلبرت. على الرغم من استحسانها في ذلك الوقت، إلا أن نويثر وصفت أطروحتها والمنشورات اللاحقة ذات الصلة بأنها "حماقة". وتحولت مساعيها البحثية اللاحقة بالكامل إلى مجال متميز.

جامعة إرلانجن-نورمبرج

من عام 1908 إلى عام 1915، عملت نويثر كمحاضرة غير مدفوعة الأجر في معهد إرلانجن للرياضيات، وكانت تنوب بشكل دوري عن والدها، ماكس نويثر، عندما أصبح عاجزًا عن إلقاء المحاضرات بسبب المرض. أصبحت عضوًا في Circolo Matematico di Palermo في عام 1908 وفي Deutsche Mathematiker-Vereinigung في عام 1909. وفي عامي 1910 و1911، أصدرت منشورات توسع أبحاث الدكتوراه الخاصة بها من ثلاثة متغيرات إلى متغيرات n.

تقاعد جوردان في عام 1910، وواصلت نويثر مهامها التعليمية تحت إشراف خليفته، إيرهارد شميدت وإرنست فيشر، اللذين تولى المنصب خلفًا لجوردان في عام 1911. ووفقًا لزميلها هيرمان فايل وكاتب سيرتها الذاتية أوغست ديك، مارس فيشر تأثيرًا كبيرًا على نويثر، لا سيما من خلال تعريفها بمساهمات ديفيد هيلبرت. أقام نويثر وفيشر علاقة فكرية نابضة بالحياة فيما يتعلق بالرياضيات وكثيرًا ما انخرطا في مناقشات مكثفة بعد المحاضرة. يقال إن نويثر أرسلت بطاقات بريدية إلى فيشر، مما أدى إلى توسيع نطاق مداولاتها الرياضية.

بين عامي 1913 و1916، قام نويثر بتأليف العديد من المنشورات التي توسعت في منهجيات هيلبرت وطبقتها على البنيات الرياضية، بما في ذلك مجالات الدوال العقلانية وثوابت المجموعات المحدودة. مثلت هذه الفترة التزام نويثر الأولي بالجبر المجرد، وهو المجال الذي حققت فيه تقدمًا كبيرًا لاحقًا.

أثناء وجودها في إرلانغن، قدمت نويثر التوجيه لاثنين من مرشحي الدكتوراه، هانز فالكنبرج وفريتز سايدلمان، اللذين دافعا بنجاح عن أطروحتهما في عامي 1911 و1916، على التوالي. على الرغم من مشاركة نويثر الكبيرة، إلا أن كلا الطالبتين كانتا تحت إشراف والدها رسميًا. بعد حصوله على الدكتوراه، شغل فالكنبرج مناصب في براونشفايغ وكونيجسبيرج قبل تعيينه أستاذًا في جامعة جيسن، في حين حصل سيدلمان على درجة الأستاذية في ميونيخ.

جامعة غوتنغن

التأهيل وتطوير نظرية نويثر

في أوائل عام 1915، وجه ديفيد هيلبرت وفيليكس كلاين دعوة إلى نويثر للانضمام مرة أخرى إلى جامعة غوتنغن. واجهت مساعيهم لتعيينها مقاومة أولية من فقهاء اللغة والمؤرخين داخل هيئة التدريس الفلسفية، الذين أكدوا أن النساء غير مناسبات لمنصب privatdozenten. وخلال اجتماع القسم الذي انعقد لمناقشة هذه القضية، أعرب أحد أعضاء هيئة التدريس عن معارضته قائلاً: "ماذا سيفكر جنودنا عندما يعودون إلى الجامعة ويجدون أنهم مطالبون بالتعلم عند أقدام امرأة؟" أكد هيلبرت أن مؤهلات نويثر كانت العامل الوحيد ذي الصلة وأن جنس المرشحة غير مهم، واعترض بشدة ووبخ أولئك الذين يعارضون تأهيلها. على الرغم من عدم وجود كلمات دقيقة له، فقد ورد في كثير من الأحيان أن اعتراضه شمل التأكيد على أن الجامعة "ليست حمامًا". تشير ذكريات بافيل ألكساندروف إلى أن معارضة أعضاء هيئة التدريس لنويثر لم تنبع من التمييز الجنسي فحسب، بل أيضًا من عدم الموافقة على قناعاتها السياسية الديمقراطية الاجتماعية وتراثها اليهودي.

انتقل نويثر إلى غوتنغن في أواخر أبريل؛ بعد أسبوعين، توفيت والدتها بشكل غير متوقع في إرلانجن. على الرغم من أنها خضعت سابقًا لعلاج طبي لحالة في العين، إلا أن طبيعتها المحددة وتأثيرها على وفاتها لا تزال غير محددة. في الوقت نفسه، تقاعد والد نويثر، والتحق شقيقها بالجيش الألماني للخدمة في الحرب العالمية الأولى. وعادت بعد ذلك إلى إرلانغن لمدة عدة أسابيع، في المقام الأول لرعاية والدها المسن.

خلال سنواتها الأولى من التدريس في غوتنغن، لم تحصل على أي تعيين رسمي ولم تتلق أي أجر. تم نشر محاضراتها بشكل متكرر تحت اسم هيلبرت، مع تقديم نويثر "المساعدة".

بعد وقت قصير من وصولها إلى غوتنغن، أظهرت براعتها الفكرية من خلال صياغة ما يعرف الآن بنظرية نويثر، والتي تؤسس علاقة أساسية بين قوانين الحفظ والتماثلات القابلة للتفاضل داخل النظام الفيزيائي. قدمت ورقتها البحثية المهمة، التي تحمل عنوان مشكلة الاختلافات الثابتة، من قبل زميلها، فيليكس كلاين، في 26 يوليو 1918، خلال جلسة للجمعية الملكية للعلوم في غوتنغن. من المفترض أن نويثر لم تقدم العمل شخصيًا، بسبب عدم عضويتها في المجتمع. في منشورهما التناظر والكون الجميل، يؤكد الفيزيائيان الأمريكيان ليون إم ليدرمان وكريستوفر تي هيل أن نظرية نويثر تمثل "بالتأكيد واحدة من أهم النظريات الرياضية التي أثبتت على الإطلاق في توجيه تطور الفيزياء الحديثة، وربما على قدم المساواة مع نظرية فيثاغورس".

لقد أدى انتهاء الحرب العالمية الأولى والثورة الألمانية اللاحقة في 1918-1919 إلى حدوث تحولات جوهرية في الأعراف المجتمعية، بما في ذلك التوسع في حقوق المرأة. وبالتالي، في عام 1919، سمحت جامعة غوتنغن لنويثر بمتابعة تأهيلها، وهو شرط أساسي للوظيفة. تم إجراء امتحانها الشفهي في أواخر شهر مايو، وتلاه إلقاء محاضرة التأهيلية بنجاح في يونيو 1919. وحصلت نويثر بعد ذلك على مرتبة privatdozent، وخلال فصل الخريف التالي، قدمت المحاضرات الافتتاحية المنسوبة إليها رسميًا. وعلى الرغم من هذه التطورات، إلا أنها استمرت في عدم الحصول على أي تعويض مقابل مساهماتها الأكاديمية.

بعد ثلاث سنوات من ذلك، منحها أوتو بوليتز، وزير العلوم والفنون والتعليم العام البروسي، رسميًا لقب nicht beamteter ausserordentlicher Professor، مما يدل على أنها أستاذة غير ثابتة ذات مسؤوليات إدارية داخلية مقيدة. يمثل هذا التعيين أستاذية "استثنائية" غير مدفوعة الأجر، تختلف عن الأستاذية "العادية" الأعلى مرتبة، والتي تشكل تعيينًا في الخدمة المدنية. ومع الاعتراف بأهمية مساهماتها، إلا أن هذا الدور لم يتضمن راتبًا. ظلت محاضرات نويثر بدون أجر حتى تم تعيينها في الدور المتخصص Lehrbeauftragte für Algebra (محاضر في الجبر) في العام التالي.

مساهمات في الجبر التجريدي

أثرت نظرية نويثر بشكل عميق على الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم. ومع ذلك، فهي معروفة في المجتمع الرياضي في المقام الأول بمساهماتها الأساسية في الجبر التجريدي. ناثان جاكوبسون، في مقدمته لـ الأوراق المجمعة لنويثر، أوضح أن:

يُعزى تطور الجبر التجريدي، وهو ابتكار مميز فريد في رياضيات القرن العشرين، إلى حد كبير إلى مساهماتها، وهو واضح في أوراقها المنشورة، ومحاضراتها، وتأثيرها الشخصي على معاصريها.

بدأت نويثر أبحاثها الجبرية في عام 1920، وشاركت في تأليف ورقة بحثية مع تلميذها فيرنر شميدلر. ركز هذا المنشور على نظرية المُثُل، حيث وضعوا تعريفات للمثل اليسرى واليمنى داخل بنية حلقية.

وفي العام التالي، نشرت Idealtheorie in Ringbereichen، وهي ورقة بحثية حللت شروط السلسلة الصاعدة المتعلقة بالمثل الرياضية. وفي هذا العمل، قدمت دليلاً شاملاً لنظرية لاسكر-نويثر. وصف عالم الجبر البارز إيرفينغ كابلانسكي هذه المساهمة بأنها "ثورية". أدى هذا المنشور أيضًا إلى صياغة المصطلح Noetherian لوصف الكائنات الرياضية التي تستوفي شرط السلسلة التصاعدية.

في عام 1924، بدأ بارتيل ليندرت فان دير وايردن، وهو عالم رياضيات هولندي شاب، دراسته في جامعة غوتنغن. وسرعان ما تعاون مع نويثر، الذي زوده بمنهجيات لا غنى عنها للتصور المفاهيمي المجرد. لاحظت فان دير وايردن لاحقًا أن أصالتها كانت "مطلقة لا يمكن مقارنتها". عند عودته إلى أمستردام، قام بتأليف الجبر الحديث، وهي أطروحة تأسيسية من مجلدين في هذا المجال. المجلد الثاني، الذي صدر عام 1931، اعتمد على نطاق واسع على أبحاث نويثر. على الرغم من أن نويثر لم تسعى جاهدة للحصول على الاعتراف، إلا أن فان دير وايردن اعترفت بمساهماتها في مذكرة ضمن الطبعة السابعة، مشيرة إلى أن العمل "يعتمد جزئيًا على محاضرات إي.آرتين وإي.نويثر". منذ عام 1927 فصاعدًا، انخرط نويثر في تعاون وثيق مع إميل أرتين وريتشارد براور وهيلموت هاس في موضوع الجبر غير التبادلي.

تزامن وجود فان دير فايردن في غوتنغن مع تدفق أوسع لعلماء الرياضيات على مستوى العالم، حيث تطورت الجامعة لتصبح مركزًا بارزًا للبحث الرياضي والفيزيائي. كان عالما الرياضيات الروسيان بافيل ألكساندروف وبافل أوريسون من بين أوائل الزوار الدوليين في عام 1923. ومن عام 1926 إلى عام 1930، ألقى ألكساندروف محاضرات منتظمة في الجامعة، مما عزز صداقته الوثيقة مع نويثر. لقد أشار إليها بمودة باسم der Noether، مستخدمًا der باعتباره استخدامًا تشريفيًا بدلاً من استخدام المقال الألماني المذكر التقليدي. سعى نويثر لتسهيل تعيينه كأستاذ منتظم في غوتنغن، لكنه لم ينجح في النهاية إلا في مساعدته في الحصول على منحة مؤسسة روكفلر للعام الدراسي 1927-1928 في جامعة برينستون.

طلاب الدكتوراه

في غوتنغن، أشرف نويثر على دراسات الدكتوراه لأكثر من اثني عشر طالبًا. ومع ذلك، نظرًا للقيود المؤسسية التي تمنعها من الإشراف بشكل مستقل على الأطروحات، فقد تم الإشراف على معظمها بالاشتراك مع إدموند لانداو وأعضاء هيئة التدريس الآخرين. كانت طالبة الدكتوراه الأولى لها هي جريت هيرمان، التي دافعت بنجاح عن أطروحتها في فبراير 1925. في حين أن هيرمان معروفة في المقام الأول بمساهماتها في أسس ميكانيكا الكم، إلا أن أطروحتها نفسها اعتبرت تقدمًا مهمًا في النظرية المثالية. أشار هيرمان بعد ذلك إلى نويثر باحترام باعتبارها "أم الأطروحة".

وفي الوقت نفسه، أكمل هاينريش جريل ورودولف هولزر أطروحاتهما تحت إشراف نويثر. ومن المأساوي أن هولزر استسلم لمرض السل قبل وقت قصير من دفاعه المقرر. دافع جريل عن أطروحته بنجاح في عام 1926، ثم شغل بعد ذلك مناصب في جامعة جينا وجامعة هالي. في عام 1935، فقد رخصة التدريس الخاصة به بعد اتهامه بارتكاب أفعال مثلية، ولكن تمت إعادته لاحقًا، وأصبح في النهاية أستاذًا في جامعة هومبولت في عام 1948.

قامت إيمي نويثر بعد ذلك بتقديم المشورة لفيرنر فيبر وجاكوب ليفيتسكي، وكلاهما نجح في الدفاع عن أطروحات الدكتوراه الخاصة بهما في عام 1929. وعلى الرغم من اعتبار فيبر عالم رياضيات محدود التميز، فقد شارك لاحقًا في طرد علماء الرياضيات اليهود من غوتنغن. على العكس من ذلك، شغل ليفيتسكي مناصب في جامعة ييل قبل انضمامه إلى الجامعة العبرية في القدس في فلسطين الانتدابية تحت الحكم البريطاني، حيث قدم مساهمات كبيرة في نظرية الحلقات، ولا سيما من خلال نظرية ليفيتسكي ونظرية هوبكنز-ليفيتسكي.

وشمل الطلاب الإضافيون الذين تم إرشادهم من قبل نويثر، والذين يشار إليهم غالبًا باسم "أولاد نويثر"، ماكس ديورينغ، وهانز فيتينغ، وإرنست ويت، وتشيونغتز سي. تسن، و أوتو شيلينغ. حصل ديورينغ، الذي يعتبر على نطاق واسع أكثر طلاب نويثر الواعدين، على درجة الدكتوراه في عام 1930. وشملت حياته المهنية العمل في هامبورغ، وماردن، وغوتنغن، حيث أصبح معروفًا بمساهماته الكبيرة في الهندسة الحسابية. أكمل فيتنج تخرجه في عام 1931 بأطروحة ركزت على الزمر الأبيلية، وهو معروف بعمله التأسيسي في نظرية الزمر، وتحديدًا نظرية فيتنج و فيتنج ليما. ومن المؤسف أنه توفي عن عمر يناهز 31 عامًا بسبب مرض في العظام.

تابع إرنست ويت دراسته في البداية تحت إشراف نويثر. ومع ذلك، تم إلغاء منصبها الأكاديمي في أبريل 1933، مما أدى إلى إعادة تعيينه إلى جوستاف هيرجلوتز. حصل ويت على درجة الدكتوراه في يوليو 1933، حيث قدم أطروحته حول نظرية ريمان-روش ووظائف زيتا، وبعد ذلك قدم العديد من المساهمات البارزة التي ترتبط الآن باسمه. تشيونغتز سي. تسين، المعروف في المقام الأول بتأسيس نظرية تسين، حصل على درجة الدكتوراه في ديسمبر من نفس العام. عاد إلى الصين في عام 1935، وبدأ مسيرته التعليمية في جامعة تشيكيانغ الوطنية، لكنه توفي بعد خمس سنوات فقط. بدأ أوتو شيلينغ أيضًا دراسات الدكتوراه مع نويثر، لكنه اضطر للبحث عن مشرف جديد بعد هجرتها. حصل على درجة الدكتوراه عام 1934 في جامعة ماربورغ تحت إشراف هيلموت هاس. بعد ذلك، أجرى أبحاث ما بعد الدكتوراه في كلية ترينيتي، كامبريدج، قبل الانتقال إلى الولايات المتحدة.

من بين طلاب الدكتوراه الآخرين في نويثر كان فيلهلم دورنت، الذي حصل على الدكتوراه في عام 1927 بأطروحة حول المجموعات؛ فيرنر فوربيك، الذي حصل على الدكتوراه عام 1935 بأطروحة حول تقسيم الحقول؛ وولفغانغ ويتشمان، الذي ركزت رسالة الدكتوراه في عام 1936 على نظرية p-adic. في حين أن التفاصيل المتعلقة بدورنتي وفوربيك لا تزال غير متاحة، فقد تم توثيق أن ويتشمان دعم بنشاط مبادرة طلابية سعت دون جدوى لإلغاء فصل نويثر. وتوفي بعد ذلك كجندي على الجبهة الشرقية خلال الحرب العالمية الثانية.

مدرسة النويثر

إلى جانب طلاب الدكتوراه المباشرين، قامت نويثر بتكوين مجتمع وثيق من علماء الرياضيات الذين تبنوا منهجيتها في الجبر التجريدي وساهموا بشكل كبير في تطوير هذا المجال. كثيرا ما يطلق على هذه المجموعة اسم "مدرسة النويثر". ومن الأمثلة البارزة على هذا التعاون عملها المكثف مع فولفجانج كرول، الذي ساهمت مساهماته، بما في ذلك Hauptidealsatz ونظرية البعد للحلقات التبادلية، في دفع الجبر التبادلي بشكل كبير. وبالمثل، طور جوتفريد كوته نظرية الكميات المفرطة التعقيد من خلال تطبيق الأساليب التي طورها نويثر وكرول.

وبخلاف فطنتها الرياضية العميقة، كانت نويثر موضع تقدير لاهتمامها بالعلاقات الشخصية. على الرغم من أنها أظهرت في بعض الأحيان فظاظة تجاه زملائها المعارضين، إلا أنها اكتسبت سمعة طيبة في المساعدة والإرشاد الصبور للطلاب الجدد. إن التزامها الذي لا يتزعزع بالدقة الرياضية دفع أحد زملائها إلى وصفها بأنها "ناقدة شديدة"، ومع ذلك قامت بمواءمة هذا الطلب الصارم على الدقة مع سلوك داعم ومغذي. في نعي نويثر، قدمت فان دير وايردن الوصف التالي:

كانت خالية تمامًا من الأنا والغرور، ولم تسعى أبدًا إلى الاعتراف الشخصي، بل أعطت الأولوية لإنجازات طلابها ودافعت عنها قبل كل شيء.

أظهرت نويثر تفانيًا استثنائيًا في انضباطها وطلابها، والذي امتد إلى ما هو أبعد من الساعات الأكاديمية التقليدية. في إحدى المناسبات، عندما كان الوصول إلى مبنى الجامعة غير ممكن بسبب عطلة رسمية، قامت بدعوة فصلها الدراسي على الدرجات الخارجية، وأرشدتهم عبر منطقة حرجية، وألقت محاضرتها في مقهى قريب. وبعد ذلك، وبعد فصلها من التدريس من قبل ألمانيا النازية، قامت بتوجيه الدعوات للطلاب إلى مقر إقامتها، حيث شاركوا في مناقشات حول خططهم المستقبلية والمفاهيم الرياضية المختلفة.

محاضرات مؤثرة

في البداية، كان أسلوب حياة نويثر التقشفي ينبع من رفض الجامعة تعويضها عن مساهماتها الأكاديمية. حتى بعد أن بدأت الجامعة بدفع راتب متواضع لها في عام 1923، حافظت على وجود بسيط وغير متفاخر. وعلى الرغم من زيادة أجرها في وقت لاحق من حياتها، إلا أنها كانت تدخر باستمرار نصف أرباحها بنية توريثها لابن أخيها، جوتفريد إي. نويثر.

يشير كتاب السيرة الذاتية إلى أن إيمي نويثر أعطت الأولوية لمساعيها الأكاديمية على الاهتمام بالمظهر الشخصي والآداب الاجتماعية. روت أولجا تاوسكي تود، عالمة الجبر البارزة التي درست على يد نويثر، حادثة في مأدبة غداء حيث كانت نويثر، المنغمسة بعمق في مناقشة رياضية، "تومئ بعنف" أثناء تناول الطعام، و"تسكب طعامها باستمرار" و"تمسحه عن فستانها، دون أن تنزعج تمامًا". وبحسب ما ورد شعر الطلاب المهتمون باللياقة بالانزعاج بسبب استرجاعها منديلًا من بلوزتها وتجاهلها لشعرها الأشعث بشكل متزايد أثناء المحاضرات. في إحدى المناسبات، حاولت طالبتان نقل مخاوفهما أثناء استراحة في فصل دراسي مدته ساعتين، لكنهما وجدتا نفسيهما غير قادرين على مقاطعة حديثها الرياضي المفعم بالحيوية مع الطلاب الآخرين.

لم تكن محاضرات نويثر منظمة وفقًا لخطة درس رسمية. جعل تسليمها السريع عروضها التقديمية صعبة الفهم بالنسبة للكثيرين، بما في ذلك علماء الرياضيات البارزين كارل لودفيج سيجل وبول دوبريل. الطلاب الذين وجدوا نهجها التربوي غير ملائم كثيرًا ما شعروا بالانفصال. غالبًا ما يغادر "الغرباء" الزائرون الذين يحضرون محاضرات نويثر خلال ثلاثين دقيقة، بسبب الإحباط أو الارتباك. وقد علقت إحدى الطالبات المنتظمات ذات مرة على مثل هذا الحدث قائلة: "لقد هُزم العدو؛ لقد تم تطهيره".

استخدمت نويثر محاضراتها كمنتدى تفاعلي للمناقشات العفوية مع طلابها، مما يسهل استكشاف وتوضيح المشكلات الرياضية المهمة. ظهرت العديد من النتائج الأكثر أهمية التي توصلت إليها من جلسات المحاضرات هذه، وكانت الملاحظات التي جمعها طلابها فيما بعد بمثابة مادة أساسية للكتب المدرسية المؤثرة، بما في ذلك تلك التي ألفها فان دير وايردن وديورينج. لقد غرست حماسًا رياضيًا معديًا لدى طلابها الأكثر التزامًا، والذين قدروا بشدة تبادلاتهم الفكرية الديناميكية معها.

حضر العديد من زملاء نويثر محاضراتها، وسمحت أحيانًا للآخرين، بما في ذلك طلابها، بالحصول على نسب لمفاهيمها، مما أدى إلى ظهور جزء كبير من مساهماتها في منشورات لا تحمل اسمها. تشير السجلات إلى أن نويثر قدم ما لا يقل عن خمس دورات دراسية لمدة فصل دراسي في غوتنغن:

• شتاء 1924–1925: Gruppentheorie und Hyperkomplexe Zahlen [نظرية المجموعة والأرقام المعقدة]
• شتاء 1927-1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [الكميات المفرطة التعقيد ونظرية التمثيل]
• صيف 1928: الجبر غير التبادلي [الجبر غير التبادلي]
• صيف 1929: الحساب غير التبادلي [الحساب غير التبادلي]
• شتاء 1929–1930: Algebra der Hyperkomplexen Grössen [جبر الكميات المفرطة التعقيد]

جامعة موسكو الحكومية

خلال العام الدراسي 1928-1929، قبلت نويثر دعوة إلى جامعة موسكو الحكومية، حيث استأنفت تعاونها مع ب.س. ألكساندروف. بالإضافة إلى أبحاثها المستمرة، قدمت دورات في الجبر التجريدي والهندسة الجبرية. كما تعاملت أيضًا مع علماء الطوبولوجيا المتميزين ليف بونترياجين ونيكولاي تشيبوتاريوف، وكلاهما أشاد لاحقًا بمساهماتها الكبيرة في تقدم نظرية جالوا.

على الرغم من أن السياسة لم تكن محور حياتها الأساسي، فقد أظهرت نويثر اهتمامًا قويًا بالشؤون السياسية، وكما أشار ألكسندروف، فقد أعربت عن دعمها الكبير للثورة الروسية. ورحبت بشكل خاص بالتقدم السوفييتي في العلوم والرياضيات، واعتبرته دليلاً على الإمكانيات الجديدة التي عززتها المبادرة البلشفية. أدى هذا المنظور إلى صعوبات بالنسبة لها في ألمانيا، وبلغت ذروتها بطردها من مسكن للمعاشات التقاعدية بعد أن قدم زعماء الطلاب شكاوى بشأن الإقامة مع "يهودية ذات ميول ماركسية". وروى هيرمان فايل أنه "خلال الأوقات العصيبة التي أعقبت ثورة عام 1918، وقف نويثر بشكل أو بآخر إلى جانب الديمقراطيين الاشتراكيين". كانت منتسبة إلى حزب الديمقراطيين الاشتراكيين المستقلين، وهو حزب منشق قصير العمر، من عام 1919 إلى عام 1922. وقد وصف المنطق والمؤرخ كولين ماكلارتي موقفها بالقول: "لم تكن بلشفية، لكنها لم تكن خائفة من أن يطلق عليها اسم البلشفية".

كان نويثر يعتزم العودة إلى موسكو، وهو مسعى دعمه ألكسندروف. بعد مغادرتها ألمانيا عام 1933، حاولت ألكسندروف تسهيل تعيينها في كرسي الأستاذية في جامعة موسكو الحكومية عبر وزارة التعليم السوفيتية. على الرغم من أن هذا الجهد لم ينجح، إلا أنهم حافظوا على مراسلات متكررة طوال ثلاثينيات القرن العشرين، وبحلول عام 1935، كانت قد صاغت خططًا للعودة إلى الاتحاد السوفيتي.

التعرف

في عام 1932، تم تكريم إيمي نويثر وإميل أرتين بجائزة أكرمان-توبنر التذكارية لمساهماتهم الهامة في الرياضيات. اعتُبرت الجائزة، التي تضمنت جائزة مالية قدرها 500 جنيه إسترليني، على نطاق واسع بمثابة اعتراف رسمي متأخر بإنجازاتها الكبيرة في هذا المجال. على الرغم من هذا الاعتراف، أعرب أقرانها عن عدم رضاهم لأنها لم يتم انتخابها لعضوية غوتنغن Gesellschaft der Wissenschaften (أكاديمية العلوم) ولم تحصل أبدًا على رتبة Ordentlicher Professor (أستاذ كامل).

في عام 1932، احتفل زملاؤها بعيد ميلاد نويثر الخمسين بطريقة مميزة علماء الرياضيات. خصص هيلموت هاس لها مقالًا في Mathematische Annalen، حيث أثبت صحة فرضيتها القائلة بأن بعض جوانب الجبر غير التبادلي أقل تعقيدًا من نظيراتها التبادلية، من خلال عرض قانون المعاملة بالمثل غير التبادلي. وقد جلب هذا الاكتشاف لها قدرًا كبيرًا من الرضا. بالإضافة إلى ذلك، قدمت لها هاس لغزًا رياضيًا، أطلق عليه اسم "m_μν-لغز المقاطع"، والذي قامت بحله على الفور؛ لكن اللغز نفسه لم يعد موجوداً.

في سبتمبر من نفس العام، قدم نويثر خطابًا أمام الجمهور (großer Vortrag) بعنوان "الأنظمة شديدة التعقيد في علاقاتها بالجبر التبادلي ونظرية الأعداد" في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في زيورخ. اجتذب المؤتمر 800 مشارك، من بينهم زملاؤها هيرمان ويل، وإدموند لانداو، وولفجانج كرول. وضم الحدث 420 مشاركًا رسميًا وواحد وعشرين عرضًا تقديميًا في الجلسة العامة. يبدو أن مكانة نويثر المميزة في التحدث سلطت الضوء على أهمية مساهماتها في الرياضيات. يُوصف مؤتمر عام 1932 أحيانًا بأنه ذروة مسارها المهني.

الطرد من غوتنغن من قبل ألمانيا النازية

بعد تعيين أدولف هتلر في منصب Reichskanzler الألماني في يناير 1933، تكثفت الأنشطة النازية بشكل ملحوظ في جميع أنحاء البلاد. في جامعة غوتنغن، قادت جمعية الطلاب الألمان حملة ضد "الروح غير الألمانية" المرتبطة بالأفراد اليهود، وتلقت الدعم من privatdozent وطالب نويثر السابق، فيرنر فيبر. وقد عززت معاداة السامية المنتشرة هذه بيئة معادية بشكل علني للأساتذة اليهود. ونقل عن أحد المتظاهرين الشباب قوله: "الطلاب الآريون يطالبون بالرياضيات الآرية، وليس الرياضيات اليهودية".

من بين التدابير التشريعية الأولية التي سنتها إدارة هتلر كان قانون استعادة الخدمة المدنية المهنية. فرض هذا التشريع فصل الأفراد اليهود والموظفين الحكوميين المشتبه بهم سياسيًا، بما في ذلك أساتذة الجامعات، من مناصبهم، ما لم يتمكنوا من إثبات "ولائهم لألمانيا" من خلال الخدمة في الحرب العالمية الأولى. في أبريل 1933، تلقت نويثر إخطارًا رسميًا من الوزارة البروسية للعلوم والفنون والتعليم العام، والذي جاء فيه: "على أساس الفقرة 3 من قانون الخدمة المدنية الصادر في 7 أبريل 1933، أسحب منك حق التدريس في جامعة بروسيا". غوتنغن." في الوقت نفسه، تعرض العديد من زملاء نويثر، مثل ماكس بورن وريتشارد كورانت، أيضًا لإلغاء تعييناتهم.

استجابت نويثر للقرار برباطة جأش، وقدمت المساعدة للآخرين وسط الشدائد السائدة. لاحظ هيرمان ويل لاحقًا أن "إيمي نويثر - شجاعتها، وصراحتها، وعدم اهتمامها بمصيرها، وروحها التصالحية - كانت في وسط كل الكراهية والخسة واليأس والحزن المحيط بنا، عزاءً أخلاقيًا". ومن المميز أن نويثر حافظت على تركيزها على المساعي الرياضية، حيث دعت الطلاب في مقر إقامتها للتداول حول نظرية المجال الطبقي. عند ظهور إحدى طالباتها بالزي الرسمي للمنظمة شبه العسكرية النازية Sturmabteilung (SA)، لم تظهر عليها أي علامات استياء، ووفقًا للتقارير، فقد وجدت روح الدعابة في الموقف لاحقًا.

البحث عن ملجأ في برين ماور وبرينستون

ومع سعي العديد من الأساتذة العاطلين عن العمل مؤخرًا إلى الحصول على عمل خارج حدود ألمانيا، سعى نظراؤهم في الولايات المتحدة إلى تقديم الدعم والفرص المهنية. حصل ألبرت أينشتاين وهيرمان ويل على تعيينات في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، بينما عمل أكاديميون آخرون على تحديد الرعاة الأساسيين للهجرة القانونية. تلقى نويثر مبادرات من ممثلي مؤسستين أكاديميتين: كلية برين ماور في الولايات المتحدة وكلية سومرفيل في جامعة أكسفورد في إنجلترا. وبعد مناقشات مستفيضة مع مؤسسة روكفلر، تمت الموافقة على منحة لنويثر للانضمام إلى برين ماور، حيث بدأت دورها الجديد في أواخر عام 1933.

خلال فترة عملها في برين ماور، أقامت نويثر صداقة مع آنا ويلر، التي سبق لها أن تابعت دراستها في غوتنغن قبل وصول نويثر. تم تقديم المزيد من الدعم المؤسسي من قبل رئيسة برين ماور، ماريون إدواردز بارك، التي شجعت علماء الرياضيات المحليين بنشاط على مراقبة أعمال الدكتورة نويثر.

أثناء وجودها في برين ماور، قامت نويثر بتكوين مجموعة بحثية، تُعرف بشكل غير رسمي باسم "فتيات نويثر"، وتضم أربعة باحثين في مرحلة ما بعد الدكتوراه - جريس شوفر كوين، وماري جوانا فايس، وأولجا توسكي تود، وجميعهم حققوا إنجازات فيما بعد. مهن متميزة في الرياضيات، وطالبة دكتوراه، روث ستوفر. انخرطت هذه المجموعة بجد في الجبر الحديث I لفان دير وايردن ومختارات من Theorie der algebraischen Zahlen لإريك هيكي (نظرية الأعداد الجبرية). كانت روث ستوفر مرشحة الدكتوراه الوحيدة لنويثر في الولايات المتحدة. ومع ذلك، توفي نويثر قبل وقت قصير من تخرج ستوفر. أكملت ستوفر امتحان الدكتوراه بنجاح مع ريتشارد براور، وحصلت على شهادتها في يونيو 1935 بأطروحة عن الامتدادات الطبيعية القابلة للفصل. بعد حصولها على الدكتوراه، تابعت ستوفر مهنة قصيرة في التدريس قبل أن تكرس أكثر من ثلاثة عقود للعمل كإحصائية.

في عام 1934، بدأت نويثر بإلقاء المحاضرات في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، بعد دعوة من أبراهام فليكسنر وأوزوالد فيبلين. خلال هذه الفترة، تعاونت مع أبراهام ألبرت وهاري فانديفر. وفيما يتعلق بجامعة برينستون، علقت بشكل خاص على وضعها غير المرحب به في "جامعة الرجال، حيث لا يُقبل أي شيء نسائي".

كانت فترة عمل نويثر في الولايات المتحدة مريحة، حيث تميزت ببيئة أكاديمية داعمة ومشاركة عميقة في اهتماماتها البحثية الأساسية. في منتصف عام 1934، قدمت ملخصًا لفريتز نويثر، بعد أن تم فصله من منصبه في المدرسة العليا التقنية بريسلاو، وقبل لاحقًا تعيينًا في معهد أبحاث الرياضيات والميكانيكا في تومسك، الواقع داخل المنطقة الفيدرالية السيبيرية في روسيا.

على الرغم من أن العديد من زملائها السابقين قد تم تهجيرهم من مناصبهم الجامعية، فقد سُمح لنويثر باستخدام مرافق مكتبة غوتنغن "كباحث أجنبي". بعد ذلك، عادت إلى الولايات المتحدة دون وقوع أي حادث، واستأنفت مساعيها الأكاديمية في برين ماور.

الموت

في أبريل 1935، اكتشف الأطباء وجود ورم في حوض نويثر. أدت المخاوف بشأن المضاعفات الجراحية المحتملة إلى فترة أولية من الراحة في الفراش لمدة يومين. وخلال العملية اللاحقة، تم اكتشاف كيس على المبيض، يوصف بأنه "بحجم الشمام الكبير". ظهر ورمان صغيران في الرحم حميدان ولم يتم استئصالهما لمنع إطالة مدة الجراحة. لمدة ثلاثة أيام بعد العملية، أظهرت نويثر فترة نقاهة طبيعية، وسرعان ما تعافت من انهيار الدورة الدموية في اليوم الرابع. ومع ذلك، في 14 أبريل، فقدت نويثر وعيها، وارتفعت درجة حرارتها إلى 109 درجة فهرنهايت (42.8 درجة مئوية)، واستسلمت. لاحظ أحد الأطباء المعالجين أنه "ليس من السهل أن أقول ما حدث للدكتور نويثر"، مفترضًا أنه "من الممكن أن يكون هناك شكل من أشكال العدوى غير العادية والخبيثة، التي أصابت قاعدة الدماغ حيث من المفترض أن توجد مراكز الحرارة." وكان عمرها وقت وفاتها 53 عاماً.

بعد أيام من وفاة نويثر، أقام أصدقاؤها وزملاؤها في برين ماور حفل تأبين خاصًا، وتم استضافته في مقر إقامة كوليدج بريزيدنت بارك. سافر هيرمان ويل وريتشارد براور من برينستون لإلقاء خطاب التأبين. في الأشهر التالية، ظهرت العديد من التكريمات المكتوبة على المستوى الدولي، حيث قدمت شخصيات بارزة مثل ألبرت أينشتاين، وفان دير وايردن، وويل، وبافيل ألكسندروف احترامهم. تم حرق رفاتها، وتم دفن الرماد تحت الممشى المحيط بأديرة المكتبة القديمة في برين ماور.

مساهمات في الرياضيات والفيزياء

أثرت مساهمات نويثر في الجبر المجرد والطوبولوجيا بشكل كبير على مجال الرياضيات. في الوقت نفسه، تحمل نظرية نويثر آثارًا واسعة النطاق على الفيزياء النظرية والأنظمة الديناميكية. وأظهرت قدرة عميقة على التصور المجرد، مما مكنها من صياغة أساليب جديدة ومبتكرة للمسائل الرياضية. قام زميلها وصديقها الموقر، هيرمان فايل، بتصنيف إنجازاتها العلمية إلى ثلاث فترات متميزة:

(1) فترة الاعتماد النسبي، الممتدة من 1907 إلى 1919.

(2) تركزت التحقيقات على النظرية العامة للمثل العليا، والتي أجريت من 1920 إلى 1926.

(3) فحص الجبر غير التبادلي، وتمثيلاته من خلال التحولات الخطية، وتطبيقها اللاحق على تحليل حقول الأعداد التبادلية وما يرتبط بها من الحساب.

خلال حقبتها الأولى (1907–1919)، تناولت نويثر في المقام الأول الثوابت التفاضلية والجبرية، بدءًا من بحث الدكتوراه الخاص بها تحت إشراف بول جوردان. توسع نطاقها الرياضي، وتطور عملها نحو قدر أكبر من العمومية والتجريد، من خلال مشاركتها مع مساهمات ديفيد هيلبرت وتبادلاته التعاونية مع خليفة جوردان، إرنست سيغيسموند فيشر. وبعد فترة وجيزة من انتقالها إلى غوتنغن في عام 1915، أسست نظريتي نويثر، اللتين تعتبران "واحدة من أهم النظريات الرياضية التي أثبتت على الإطلاق في توجيه تطور الفيزياء الحديثة".

في عصرها الثاني (1920-1926)، كرست نويثر جهودها لتطوير نظرية الحلقات الرياضية. بعد ذلك، في العصر الثالث (1927-1935)، ركزت على الجبر غير التبادلي، والتحويلات الخطية، ومجالات الأعداد التبادلية. في حين أن نتائج حقبة نويثر الأولى كانت جديرة بالملاحظة وقيمة، فإن شهرتها بين علماء الرياضيات تُعزى في المقام الأول إلى المساهمات الرائدة التي قدمتها خلال حقبتها الثانية والثالثة، كما تم توضيحه في نعيها من قبل هيرمان فايل وبي إل فان دير وايردن.

عبر هذه العصور، لم تقم ببساطة بتطبيق الأفكار والمنهجيات الموجودة من علماء الرياضيات السابقين؛ وبدلاً من ذلك، قامت بصياغة أنظمة جديدة للتعريفات الرياضية التي أثرت لاحقًا على المساعي الرياضية المستقبلية. وعلى وجه التحديد، أسست نظرية جديدة تمامًا للمثل العليا في الحلقات، مما أدى إلى توسيع العمل التأسيسي لريتشارد ديديكيند. علاوة على ذلك، فهي معروفة بإدخالها شروط السلسلة التصاعدية، وهو معيار نهائي مباشر أثبت فعاليته بشكل ملحوظ في تطبيقاتها. سمحت هذه الظروف، إلى جانب نظرية المُثُل، لنويثر بتعميم العديد من النتائج السابقة والتعامل مع المشكلات القائمة من وجهة نظر جديدة، بما في ذلك الثوابت الجبرية، وهو موضوع سبق أن استكشفه والدها، ونظرية الحذف.

تضمنت مساهمات نويثر الأساسية في الرياضيات تقدم مجال الجبر التجريدي الناشئ.

ولتمييزها عن العديد من معاصريها، لم يتضمن نهج نويثر في التجريد التعميم من أمثلة محددة؛ وبدلاً من ذلك، انخرطت بشكل مباشر في المفاهيم المجردة. كما روتها فان دير وايردن في نعيها،

يمكن صياغة المبدأ الذي استرشدت به إيمي نويثر طوال عملها على النحو التالي: "أي علاقات بين الأرقام والوظائف والعمليات تصبح شفافة وقابلة للتطبيق بشكل عام ومثمرة بالكامل فقط بعد أن يتم عزلها عن كائناتها الخاصة وصياغتها كمفاهيم صالحة عالميًا."

يجسد هذا النهج begriffliche Mathematik (الرياضيات المفاهيمية البحتة)، وهي السمة المميزة لمنهجية نويثر. وفي وقت لاحق، اكتسب هذا الأسلوب الرياضي اعتمادًا بين علماء الرياضيات الآخرين، لا سيما في مجال الجبر التجريدي الناشئ.

العصر الأول (1908–1919)

النظرية الجبرية الثابتة

ركز جزء كبير من بداية مسيرة نويثر المهنية، خلال حقبتها الأولى، على النظرية الثابتة، وخاصة النظرية الجبرية الثابتة. تبحث النظرية الثابتة في التعبيرات الرياضية التي تحتفظ بقيمتها (أي تظل ثابتة) في ظل مجموعات محددة من التحولات. على سبيل المثال، في تشبيه فيزيائي شائع، يؤدي تدوير عصا قياس صلبة إلى تغيير إحداثيات نقاط النهاية الخاصة بها، ومع ذلك يظل طولها دون تغيير. هناك رسم توضيحي أكثر تعقيدًا للثابت وهو المميز B§56§ − 4AC لمتعدد الحدود التربيعي المتجانس Ax§1314§ + Bxy + Cy§1920§، حيث يمثل x وy العناصر غير المحددة. يُطلق على هذا التمييز اسم "ثابت" نظرًا لثباته تحت الاستبدالات الخطية x → ax + by وy → cx + dy، بشرط أن يكون محددهما ad − bc يساوي 1. بشكل جماعي، تشكل هذه البدائل المجموعة الخطية الخاصة SL§5152§.

ويمكن أن يمتد البحث إلى تحديد جميع كثيرات الحدود في A، وB، وC التي تظل ثابتة بموجب إجراء SL§910§؛ هذه، في الواقع، كثيرات حدود المميز. على نطاق أوسع، يمكن للمرء البحث عن ثوابت كثيرات الحدود المتجانسة ذات الدرجة الأعلى، مثل A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r، والتي تظهر كمتعددات حدود محددة في المعاملات A§4344§, ..., A_r. ويمكن توسيع هذا الخط من التساؤلات ليشمل كثيرات الحدود المتجانسة التي تتضمن أكثر من متغيرين.

كان الهدف الأساسي للنظرية الثابتة هو حل "مشكلة الأساس المحدود." بحثت هذه المشكلة فيما إذا كان يمكن اشتقاق جميع الثوابت من مجموعة محدودة من الثوابت الأولية، تسمى المولدات، من خلال الجمع التكراري أو الضرب، نظرًا لأن مجموع أو حاصل ضرب أي اثنين من الثوابت يشكل أيضًا ثابتًا. على سبيل المثال، يوفر المميز أساسًا محدودًا، يشتمل على عنصر واحد، لمتغيرات كثيرة الحدود التربيعية.

اكتسب بول جوردان، المستشار الأكاديمي لنويثر، شهرة باعتباره "ملك النظرية الثابتة"، حيث كانت مساهمته الرياضية الأساسية هي الحل لعام 1870 لمشكلة الأساس المحدود لمتغيرات كثيرات الحدود المتجانسة في متغيرين. قدم برهان جوردان منهجية بناءة لتحديد جميع الثوابت ومولداتها؛ ومع ذلك، لم يتمكن من توسيع هذا النهج ليشمل الثوابت التي تتضمن ثلاثة متغيرات أو أكثر. بعد ذلك، في عام 1890، أنشأ ديفيد هيلبرت نظرية مماثلة لثوابت كثيرات الحدود المتجانسة عبر عدد عشوائي من المتغيرات. ومن الجدير بالذكر أن منهجية هيلبرت لم تطبق فقط على المجموعة الخطية الخاصة ولكن أيضًا على العديد من مجموعاتها الفرعية، بما في ذلك المجموعة المتعامدة الخاصة.

بمحاكاة مسار جوردان العلمي، كرست نويثر أطروحة الدكتوراه والعديد من المنشورات اللاحقة للنظرية الثابتة. توسع عملها بناءً على النتائج التي توصل إليها جوردان ودمج أبحاث هيلبرت. ومع ذلك، أعربت لاحقًا عن ازدرائها لهذا العمل المبكر، معتبرة إياه ذا أهمية ثانوية واعترفت بأنها نسيت تعقيداته المحددة. لاحظ هيرمان ويل:

[A] لا يمكن تصور تباين أكبر من التباين بين بحثها الأول، والأطروحة، وأعمالها الناضجة؛ فالأول هو مثال متطرف للحسابات الرسمية، بينما يشكل الأخير مثالًا متطرفًا وعظيمًا للتفكير البديهي المفاهيمي في الرياضيات.

نظرية جالوا

تبحث نظرية جالوا في التحولات داخل حقول الأعداد التي تعيد ترتيب جذور المعادلة. ضع في اعتبارك معادلة متعددة الحدود تتضمن متغير x من الدرجة n، حيث تنشأ معاملاتها من حقل أرضي محدد، مثل مجال الأعداد الحقيقية أو الأعداد النسبية أو الأعداد الصحيحة modulo 7. تسمى حلول x التي تتسبب في تقييم كثير الحدود هذا إلى الصفر بالجذور، على الرغم من أن هذه الحلول قد لا تكون موجودة دائمًا داخل الحقل الأولي. على سبيل المثال، إذا كان كثير الحدود هو x§1516§ + 1 وكان المجال الأرضي هو الأعداد الحقيقية، فلا توجد جذور، لأن أي قيمة حقيقية لـ x تؤدي إلى أن يكون كثير الحدود أكبر من أو يساوي واحدًا. ومع ذلك، فإن توسيع الحقل يمكن أن يقدم جذورًا، وسيحتوي الحقل الممتد بشكل كافٍ دائمًا على عدد من الجذور المكافئة لدرجة كثيرة الحدود.

بتوسيع الرسم التوضيحي السابق، إذا تم توسيع الحقل ليشمل الأعداد المركبة، فإن كثير الحدود يكتسب جذرين: +i و −i، حيث يمثل i الجذر التخيلي الوحدة، المعرفة بواسطة i ² = −1. بشكل عام، يتم تحديد حقل الامتداد الذي يمكن من خلاله تحليل كثيرة الحدود بالكامل إلى الجذور المكونة لها على أنه حقل تقسيم لذلك كثير الحدود.

يتم تعريف مجموعة جالوا لكثيرة الحدود على أنها مجموعة من جميع تحويلات مجال الانقسام الخاص بها والتي تحافظ على كل من المجال الأرضي وجذور كثير الحدود. (تسمى هذه التحولات على وجه التحديد automorphisms.) بالنسبة لكثير الحدود x§45§ + 1، تتكون مجموعة Galois من عنصرين: تحويل الهوية، الذي يربط كل رقم مركب لنفسه، والاقتران المعقد، الذي يحول +i إلى −i. وبما أن مجموعة جالوا تحافظ على المجال الأرضي، فإنها تترك بالتالي معاملات كثيرة الحدود دون تغيير، وبالتالي، مجموعة الجذور بأكملها. قد يتم تعيين كل جذر إلى جذر آخر، مما يعني أن كل تحويل ينشئ تبديلًا بين الجذور n. تنبع الأهمية العميقة لمجموعة جالوا من النظرية الأساسية لنظرية جالوا، والتي توضح وجود تطابق واحد لواحد بين الحقول الوسيطة الواقعة بين المجال الأرضي ومجال الانقسام، والمجموعات الفرعية لمجموعة جالوا.

تناول منشور نويثر عام 1918 مشكلة جالوا العكسية. بدلاً من التركيز على تحديد مجموعة تحويلات جالوا لحقل محدد وامتداده، قام نويثر بالتحقيق فيما إذا كان من الممكن دائمًا العثور على امتداد لحقل معين يمتلك مجموعة معينة مثل مجموعة جالوا الخاصة به. تم اختصار هذا الاستفسار لاحقًا إلى "مشكلة نويثر"، والتي تتساءل عما إذا كان الحقل الثابت لمجموعة فرعية G ضمن مجموعة التقليب S_n، عند التصرف في المجال k(x§1516§, ..., x_n)، يشكل دائمًا امتدادًا متعاليا خالصًا للمجال k. عرضت نويثر هذه المشكلة في البداية في ورقة بحثية عام 1913، ونسبت أصلها إلى زميلها فيشر. وأظهرت صلاحيتها في الحالات التي يكون فيها n يساوي 2 أو 3 أو 4. ومع ذلك، في عام 1969، حدد ريتشارد سوان مثالًا مضادًا لمسألة نويثر، وتحديدًا يتضمن n = 47 وG كمجموعة دورية من الرتبة 47 (على الرغم من أن هذه المجموعة المحددة يمكن تحقيقها كمجموعة جالوا على العقلانيات من خلال الإنشاءات البديلة). لا تزال مشكلة جالوا العكسية تمثل تحديًا رياضيًا لم يتم حله.

الفيزياء

في عام 1915، دعا ديفيد هيلبرت وفيليكس كلاين نويثر إلى غوتنغن، للحصول على معرفتها المتخصصة في النظرية الثابتة لمساعدتهم على فهم النسبية العامة، وهي نظرية هندسية للجاذبية طورها ألبرت أينشتاين في المقام الأول. لاحظ هيلبرت انتهاكًا واضحًا لحفظ الطاقة في النسبية العامة، وعزا ذلك إلى قدرة طاقة الجاذبية على ممارسة تأثير الجاذبية الخاص بها. حل نويثر هذه المفارقة وقدم أداة تأسيسية للفيزياء النظرية الحديثة في منشور عام 1918. قدمت هذه الورقة البحثية نظريتين، الأولى منها معروفة عالميًا باسم نظرية نويثر. بشكل جماعي، لم تعالج هذه النظريات المشكلة في إطار النسبية العامة فحسب، بل حددت أيضًا الكميات المحفوظة لكل نظام فيزيائي يتميز بالتناظر المستمر. بعد مراجعته لعملها، تواصل أينشتاين مع هيلبرت:

لقد تلقيت أمس ورقة بحثية جذابة للغاية حول الثوابت من الآنسة نويثر. إنني معجب بالقدرة على فهم مثل هذه المفاهيم بهذه العمومية. يجب على الأكاديميين الراسخين في غوتنغن أن يتعلموا من الآنسة نويثر؛ خبرتها تبدو عميقة.

على سبيل المثال، إذا أظهر النظام الفيزيائي سلوكًا متطابقًا بغض النظر عن اتجاهه المكاني، فإن القوانين الفيزيائية الحاكمة له تعتبر متماثلة دورانيًا؛ توضح نظرية نويثر أن هذا التناظر يستلزم الحفاظ على الزخم الزاوي للنظام. النظام المادي نفسه لا يتطلب التماثل المتأصل؛ على سبيل المثال، كويكب خشن يدور في الفضاء لا يزال يحافظ على الزخم الزاوي على الرغم من شكله غير المنتظم. وبدلاً من ذلك، ينشأ قانون الحفظ من التماثل المتأصل في القوانين الفيزيائية التي تحكم النظام. علاوة على ذلك، إذا كانت التجربة الفيزيائية تسفر عن نتائج متسقة بغض النظر عن موقعها أو وقتها، فإن قوانينها الأساسية تمتلك التماثل في ظل الترجمات المكانية والزمنية المستمرة؛ وتنص نظرية نويثر على أن هذه التماثلات تتوافق مع قوانين الحفاظ على الزخم الخطي والطاقة، على التوالي، داخل هذا النظام.

في الوقت نفسه، افتقر الفيزيائيون إلى الإلمام بنظرية سوفوس لي للمجموعات المستمرة، والتي شكلت الأساس التأسيسي لعمل نويثر. واجه عدد كبير من الفيزيائيين نظرية نويثر في البداية من خلال مقال بقلم إدوارد لي هيل، والذي قدم فقط مثالًا متخصصًا للنظرية. ونتيجة لذلك، لم يتم التعرف على الآثار الشاملة للنتائج التي توصلت إليها على الفور. ومع ذلك، في النصف الأخير من القرن العشرين، تطورت نظرية نويثر لتصبح حجر الزاوية في الفيزياء النظرية الحديثة، وقد تم تقديرها لرؤاها العميقة في قوانين الحفظ وفائدتها كأداة حسابية عملية. تمكن هذه النظرية الباحثين من استنتاج الكميات المحفوظة مباشرة من التماثلات الملحوظة المتأصلة في النظام الفيزيائي. وعلى العكس من ذلك، فهو يساعد في وصف النظام الفيزيائي من خلال الرجوع إلى فئات القوانين الفيزيائية الافتراضية. لتوضيح ذلك، فكر في الاكتشاف الافتراضي لظاهرة فيزيائية جديدة. تقدم نظرية نويثر اختبارًا حاسمًا للنماذج النظرية التي تشرح مثل هذه الظاهرة: إذا تضمنت النظرية تناظرًا مستمرًا، فإن النظرية تضمن وجود كمية محفوظة، ولكي تكون النظرية صالحة، يجب أن يكون هذا الحفظ قابلاً للتحقق تجريبيًا من خلال التجريب.

العصر الثاني (1920–1926)

شروط السلسلة التصاعدية والتنازلية

خلال هذه الفترة، اكتسبت نويثر التقدير لتطبيقها الماهر لشروط السلسلة التصاعدية (Teilerkettensatz) والتنازلية (Vielfachenkettensatz). تسلسل تصاعدي للمجموعات الفرعية غير الفارغة، مثل A§78§, A§1112§, A§1516§, ...، ضمن مجموعة S يتم تعريفها بشكل تقليدي من خلال احتواء كل مجموعة فرعية ضمن المجموعة اللاحقة.

11§ ⊆ <مسوب> <مي>أ §21${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}$

على العكس من ذلك، يُطلق على سلسلة من المجموعات الفرعية ضمن S اسم تنازلي عندما يتم تضمين كل مجموعة فرعية متتالية ضمن سابقتها.

11§ ⊇ <مسوب> <مي>أ §21${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}$

يتم تعريف السلسلة بأنها تصبح ثابتة بعد عدد محدود من الخطوات في حالة وجود عدد صحيح n بحيث ${\displaystyle A_{n}=A_{m}}$ للجميع m ≥ n. يتم استيفاء شرط السلسلة الصاعدة من خلال مجموعة من المجموعات الفرعية ضمن مجموعة معينة إذا استقر كل تسلسل تصاعدي في النهاية. وبالمثل، يتم استيفاء شرط السلسلة التنازلية إذا استقر أي تسلسل تنازلي أيضًا بعد عدد محدود من الخطوات. تعتبر شروط السلسلة هذه مفيدة في إثبات وجود العناصر القصوى أو الدنيا ضمن أي مجموعة من الكائنات الفرعية، أو في إثبات أنه يمكن إنشاء كائنات معقدة من عدد أقل من العناصر المكونة.

يمكن للعديد من الهياكل الجبرية في الجبر المجرد تلبية شروط السلسلة؛ عادةً، يتم تصنيف أولئك الذين يستوفون شرط السلسلة التصاعدية على أنهم Noetherian، تقديرًا لمساهماتها. على وجه التحديد، تتميز الحلقة النويثرية باستيفاء شرط السلسلة الصاعدة في كل من مُثُلها اليمنى واليسرى. في المقابل، يتم تعريف المجموعة النويثرية على أنها مجموعة تكون فيها كل سلسلة تصاعدية من المجموعات الفرعية محدودة. الوحدة النويثرية هي وحدة تستقر فيها كل سلسلة تصاعدية من الوحدات الفرعية بعد عدد محدود من الخطوات. علاوة على ذلك، يشير الفضاء النويثري إلى فضاء طوبولوجي تلتزم مجموعاته الفرعية المفتوحة بحالة السلسلة الصاعدة، وبالتالي تصنيف طيف الحلقة النويثرية كفضاء طوبولوجي نويثري.

تُظهر حالة السلسلة في كثير من الأحيان خاصية وراثة بين الكائنات الفرعية. على سبيل المثال، جميع الفضاءات الجزئية داخل الفضاء النويثري هي في حد ذاتها نويثيرية؛ وبالمثل، فإن جميع المجموعات الفرعية ومجموعات حاصل القسمة المشتقة من مجموعة نويثرية هي أيضًا نويثرية. وبشكل مماثل، مع مراعاة ما يقتضيه اختلاف الحال، يمتد هذا المبدأ إلى الوحدات الفرعية ووحدات حاصل القسمة للوحدة النويثرية. علاوة على ذلك، يمكن وراثة حالة السلسلة من خلال مجموعات أو امتدادات مختلفة للكائن النويثري. على سبيل المثال، تحتفظ المجموعات المباشرة المحدودة من الحلقات النويثرية بالخاصية النويثرية، كما هو الحال مع حلقة سلسلة القوى الرسمية المبنية على الحلقة النويثرية.

يمثل الاستقراء النويثيري، والذي يطلق عليه أيضًا الاستقراء المبني على أسس جيدة، تطبيقًا إضافيًا لشروط السلسلة هذه ويعمل بمثابة تعميم للاستقراء الرياضي. يتم استخدام هذه الطريقة بشكل متكرر لتبسيط التأكيدات العامة المتعلقة بمجموعات الكائنات إلى عبارات حول كائنات معينة ضمن تلك المجموعات. اعتبر S مجموعة مرتبة جزئيًا. يتضمن النهج الشائع لإنشاء بيان حول العناصر داخل S افتراض وجود مثال مضاد ومن ثم استخلاص التناقض، وبالتالي إظهار عكس التأكيد الأولي. يؤكد المبدأ الأساسي للاستقراء النويثري أن كل مجموعة فرعية غير فارغة من S يجب أن تحتوي على الحد الأدنى من العناصر. على وجه التحديد، ستتضمن مجموعة جميع الأمثلة المضادة عنصرًا أدنى، يُشار إليه باسم المثال المضاد الأدنى. وبالتالي، للتحقق من صحة العبارة الأصلية، يكفي توضيح شرط يبدو أقل صرامة: وهو أنه بالنسبة لأي مثال مضاد معين، يوجد مثال مضاد أصغر.

الحلقات التبادلية والمثل والوحدات

منشور نويثر الأساسي عام 1921، بعنوان Idealtheorie in Ringbereichen (نظرية المثل في مجالات الحلقة)، أسس الأساس لنظرية الحلقة التبادلية العامة وقدم واحدًا من أقدم التعريفات الشاملة للحلقة التبادلية. قبل عملها، كانت غالبية النتائج في الجبر التبادلي محصورة في حالات محددة من الحلقات التبادلية، بما في ذلك الحلقات متعددة الحدود فوق الحقول أو حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية. أثبت نويثر أنه داخل أي حلقة تحقق شرط السلسلة الصاعدة في المُثُل، يتم إنشاء كل مثال بشكل محدود. قدم عالم الرياضيات الفرنسي كلود شيفالي مصطلح الحلقة النويثرية في عام 1943 لوصف هذه الخاصية المحددة. مساهمة كبيرة في بحث نويثر عام 1921 هي نظرية لاسكر-نويثر، التي توسع نظرية لاسكر الأصلية فيما يتعلق بالتحلل الأولي للمثل العليا في حلقات متعددة الحدود لتشمل جميع حلقات نويثر. يمكن تصور هذه النظرية كامتداد للنظرية الأساسية في الحساب، والتي تفترض أن كل عدد صحيح موجب يمتلك تحليلًا فريدًا إلى أعداد أولية.

في منشورها عام 1927، Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (البنية المجردة لنظرية المُثُل في الأعداد الجبرية والمجالات الوظيفية)، حدد نويثر خصائص الحلقات حيث تعرض المُثُل تحليلًا فريدًا إلى مُثُل أولية، والتي تُعرف الآن باسم مجالات Dedekind. لقد أوضحت أن هذه الحلقات يتم تحديدها من خلال خمسة معايير محددة: يجب أن تلتزم بشروط السلسلة التصاعدية والتنازلية، وتحتوي على عنصر وحدة بينما لا تحتوي على مقسومات صفرية، وتكون مغلقة بشكل متكامل داخل مجال الكسور المقابل لها. تعرض هذه الورقة بالإضافة إلى ذلك ما يعرف الآن بنظريات التماثل، والتي توضح التماثلات الطبيعية الأساسية، إلى جانب النتائج الأساسية الأخرى المتعلقة بالوحدات النويثرية والأرتينية.

نظرية الإقصاء

بين عامي 1923 و1924، قامت نويثر بتوسيع نظريتها المثالية لتشمل نظرية الإقصاء، مستخدمة صيغة نسبتها إلى تلميذها كورت هينتزلت. أظهر عملها أن النظريات الأساسية المتعلقة بتحليل كثيرات الحدود كانت قابلة للتحويل مباشرة إلى هذا السياق.

تاريخيًا، ركزت نظرية الحذف على عملية إزالة واحد أو أكثر من المتغيرات من نظام المعادلات متعددة الحدود، وذلك باستخدام طريقة النتائج في كثير من الأحيان. ولأغراض توضيحية، غالبًا ما يمكن التعبير عن نظام المعادلات بالشكل التالي:

Mv = 0

في هذا التمثيل، مصفوفة (أو تحويل خطي) M، مستقلة عن المتغير x، مضروبة في متجه v (يحتوي فقط على قوى غير صفرية لـ x)، ينتج عنها المتجه الصفري، §89§. وبالتالي، فإن محدد المصفوفة M يجب أن يساوي الصفر، وبالتالي تقديم معادلة جديدة تم حذف المتغير x منها بنجاح.

النظرية الثابتة للمجموعات المحدودة

افتقرت الأساليب السابقة، مثل حل هيلبرت غير البناء لمشكلة الأساس المحدود، إلى القدرة على توفير بيانات كمية فيما يتعلق بثوابت العمل الجماعي ولم تكن قابلة للتطبيق عالميًا على جميع أعمال المجموعة. في منشورها عام 1915، قدمت نويثر حلاً لمشكلة الأساس المحدود لمجموعة محدودة من التحويلات G التي تعمل على مساحة متجهة محدودة الأبعاد فوق حقل ذو خاصية الصفر. أظهرت النتائج التي توصلت إليها أن حلقة الثوابت تتولد من ثوابت متجانسة لا تتجاوز درجتها ترتيب المجموعة المحدودة، وهو مبدأ يُعرف باسم حدود نويثر. قدمت ورقتها برهانين لحدود نويثر، وكلاهما صالح أيضًا عندما تكون خاصية الحقل متطابقة مع ${\displaystyle \left|G\right|!}$ (معامل ترتيب المجموعة ${\displaystyle \left|G\right|}$). ومع ذلك، فإن درجات المولدات قد لا تلتزم بحد نويثر إذا كانت خاصية الحقل تقسم الرقم ${\displaystyle \left|G\right|}$. لم يتمكن نويثر من التأكد من صحة الحد عندما تنقسم خصائص الحقل ${\displaystyle \left|G\right|!}$ ولكن ليس ${\displaystyle \left|G\right|}$. ظل هذا السيناريو المحدد، المعروف باسم "فجوة نويثر"، مشكلة لم يتم حلها لسنوات عديدة حتى تم حلها بشكل مستقل من قبل فليشمان في عام 2000 وفوغارتي في عام 2001، وكلاهما يوضح استمرار صلاحية الحد.

قام منشور نويثر عام 1926 بتوسيع نظرية هيلبرت لتشمل تمثيلات المجموعات المحدودة عبر أي مجال، ولا سيما معالجة السيناريو الجديد حيث تقسم خاصية المجال أمر المجموعة، وهي حالة لم يغطيها عمل هيلبرت الأصلي. قام ويليام حبوش بعد ذلك بتوسيع نتائج نويثر لتشمل جميع المجموعات الاختزالية من خلال إثباته لحدسية مومفورد. في نفس البحث، قدم نويثر أيضًا معايير تطبيع Noether، التي تنص على أن المجال المولد بشكل محدود A عبر حقل k يحتوي على مجموعة {x§1314§, ..., x_n} من عناصر مستقلة جبريًا، مثل A جزء لا يتجزأ من k[x§3132§, ..., x_n].

الطوبولوجيا

سلط هيرمان ويل، في نعيه لنويثر، الضوء على مساهماتها الكبيرة في الطوبولوجيا، مؤكدا على كرمها الفكري والأثر التحويلي لرؤاها عبر مختلف التخصصات الرياضية. تتضمن الطوبولوجيا فحص خصائص الكائن التي تظل دون تغيير على الرغم من التشوه، مثل الاتصال. ينص أحد الرسوم التوضيحية الفكاهية الشائعة على أن "لا يستطيع عالم الطوبولوجيا التمييز بين قطعة الدونات وفنجان القهوة"، نظرًا لقابليتهما للتشوه المستمر في بعضهما البعض.

يشتهر نويثر بالمفاهيم الأساسية الرائدة التي سهلت تطور الطوبولوجيا الجبرية عن سابقتها، الطوبولوجيا التوافقية، لا سيما من خلال إدخال مجموعات التماثل. روى ألكسندروف أنه خلال المحاضرات التي ألقاها هو وهاينز هوبف في عامي 1926 و1927، "واصل نويثر "إبداء الملاحظات التي كانت غالبًا عميقة ودقيقة"، موضحًا ذلك بشكل أكبر،

عند مواجهة الإطار المنهجي للطوبولوجيا التوافقية،

أدركت على الفور قيمة التحقيق المباشر في مجموعات المجمعات والدورات الجبرية داخل متعدد السطوح معين، جنبًا إلى جنب مع المجموعة الفرعية من الدورات المتماثلة للصفر. بدلًا من الالتزام بالتعريف التقليدي لأرقام بيتي، اقترحت تعريف مجموعة بيتي على أنها مجموعة حاصل القسمة التي تتكون من مجموعة جميع الدورات والمجموعة الفرعية من الدورات المتماثلة مع الصفر. ورغم أن هذه الرؤية تبدو بديهية اليوم، إلا أنها مثلت منظورًا جديدًا بشكل أساسي خلال الفترة من 1925 إلى 1928.

تم تبني اقتراح نويثر للنهج الجبري للطوبولوجيا بسرعة من قبل علماء الرياضيات مثل هوبف وألكساندروف، وأصبح موضوعًا بارزًا للخطاب بين مجتمع غوتنغن الرياضي. أشارت إلى أن مفهومها لمجموعة بيتي قد بسط فهم صيغة أويلر – بوانكاريه، ومساهمات هوبف اللاحقة في هذا المجال عكست تأثيرها. أشارت نويثر نفسها لفترة وجيزة فقط إلى أفكارها الطوبولوجية في منشور صدر عام 1926، حيث قدمتها كتطبيق لنظرية المجموعة.

وفي الوقت نفسه، ظهرت هذه المنهجية الجبرية للطوبولوجيا بشكل مستقل في النمسا. خلال دورة 1926-1927 التي ألقيت في فيينا، قدم ليوبولد فيتوريس مفهوم مجموعة التماثل، والتي صاغها فالتر ماير لاحقًا في تعريف بديهي في عام 1928.

العصر الثالث (1927–1935)

الأعداد المفرطة التعقيد ونظرية التمثيل

تم إجراء أبحاث مكثفة حول الأعداد المفرطة التعقيد وتمثيلات المجموعات طوال القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، إلا أن هذه الجهود كانت تفتقر إلى التماسك إلى حد كبير. قام نويثر بتجميع هذه النتائج السابقة، مؤسسًا نظرية التمثيل العامة الافتتاحية للمجموعات والجبر. يعود الفضل إلى هذه المساهمة الفريدة لنويثر في بدء حقبة جديدة في الجبر الحديث وإثبات أنها أساسية لتطوره اللاحق.

في الجوهر، قام نويثر بدمج نظرية بنية الجبر الترابطي ونظرية تمثيل المجموعات في نظرية حسابية موحدة تتمحور حول الوحدات والمثل العليا داخل الحلقات التي تلبي شروط السلسلة الصاعدة.

الجبر غير التبادلي

كما قاد نويثر العديد من التطورات الأخرى في الجبر. بالتعاون مع إميل أرتين، وريتشارد براور، وهيلموت هاس، أسست نظرية الجبر المركزي البسيط.

تناول منشور تعاوني لنويثر وهاس وبراور جبر القسمة، وهي هياكل جبرية تسمح بالتقسيم. لقد أظهروا نظريتين مهمتين: أولاً، نظرية محلية-عالمية تؤكد أن جبر التقسيم المركزي محدود الأبعاد على حقل رقم، إذا انقسم محليًا في كل مكان، فإنه ينقسم عالميًا أيضًا (وبالتالي يصبح تافهًا)؛ ومن هذا، اشتقوا Hauptsatz ("النظرية الرئيسية"):

كل جبر تقسيم مركزي محدود الأبعاد على حقل عدد جبري F ينقسم على امتداد سيكلوتومي دوري.

تسهل هذه النظريات تصنيف جميع جبر التقسيم المركزي محدود الأبعاد عبر حقل رقم محدد. أظهر منشور لاحق لنويثر، كمثال خاص لنظرية أوسع، أن جميع الحقول الفرعية القصوى لجبر القسمة D تشكل حقول تقسيم. تعرض هذه الورقة بالإضافة إلى ذلك نظرية سكولم-نويثر، التي تفترض أن أي دمجين لامتداد المجال k في جبر مركزي بسيط محدود الأبعاد على k يكونان مترافقين. توفر نظرية براور-نويثر توصيفًا لحقول الانقسام لجبر التقسيم المركزي على الحقل.

Legacy

تظل مساهمات نويثر وثيقة الصلة بتقدم الفيزياء النظرية والرياضيات، مما عزز مكانتها كواحدة من أهم علماء الرياضيات في القرن العشرين. طوال حياتها وحتى يومنا هذا، أشاد علماء الرياضيات البارزون، بما في ذلك بافيل ألكساندروف، وهيرمان فايل، وجان ديودوني، بنويثر باعتبارها عالمة الرياضيات الأكثر استثنائية في التاريخ المسجل.

في رسالة موجهة إلى نيويورك تايمز، قال ألبرت أينشتاين:

في حكم علماء الرياضيات الأحياء الأكثر كفاءة، كانت فرولين نويثر أهم عبقرية رياضية إبداعية تم إنتاجها حتى الآن منذ بدء التعليم العالي للنساء. وفي عالم الجبر، الذي كان علماء الرياضيات الأكثر موهبة مشغولين به لعدة قرون، اكتشفت طرقًا أثبتت أهميتها الهائلة في تطور الجيل الشاب من علماء الرياضيات في الوقت الحاضر.

في نعيه، أشاد زميله في علم الجبر بي إل فان دير وايردن بأصالتها الرياضية ووصفها بأنها "مطلقة لا يمكن مقارنتها"، في حين أكد هيرمان ويل أن مساهمات نويثر "غيرت وجه الجبر [المجرد]". لاحظ عالم الرياضيات والمؤرخ جيريمي جراي أن تأثير نويثر واضح في أي كتاب مدرسي للجبر التجريدي، مشيرًا إلى أن "علماء الرياضيات ببساطة يقومون بنظرية الحلقة على طريقتهم". نُسب اسمها بعد وفاتها إلى العديد من الكيانات الرياضية والكويكب 7001 نويثر. في عام 2019، احتفلت مجلة تايم بذكرى المرأة لهذا العام منذ عام 1920 من خلال إنشاء 89 غلافًا جديدًا، واختيار Noether لعام 1921.

• الجدول الزمني للمرأة في العلوم
• ملاحظات

ملاحظات

المراجع

المصادر

أعمال مختارة لإيمي نويثر

الكتب

الكتب

• لي فيليبس (2024)، معلم أينشتاين: قصة إيمي نويثر واختراع الفيزياء الحديثة، PublicAffairs، ISBN 9781541702974هاس، هيلموت؛ نويثر، إيمي (2006)، ليميرماير، فرانز؛ روكيت، بيتر (محررون)، هيلموت هاس وإيمي نويثر – يموت كوريسبوندينز 1925–1935 [هلموت هاس وإيمي نويثر – مراسلاتهما 1925–1935] (PDF)، جامعة غوتنغن، doi:10.17875/gup2006-49، رقم ISBN 978-3-938616-35-2المقالات
  • ناتالي أنجير (26 مارس 2012)، "عالم الرياضيات العظيم الذي لم تسمع عنه من قبل"، نيويورك تايمز، تم استرجاعه 27 يناير 2024بلو، ميريديث (2001)، نظرية جالوا ومشكلة نويثر (PDF)، الاجتماع السنوي الرابع والثلاثون لجمعية الرياضيات الأمريكية، قسم MAA في فلوريدا، المؤرشف من (PDF) الأصلي في 29 مايو 2008، تم استرجاعه 9 يونيو 2018لي فيليبس (26 مايو 2015)، "عالمة الرياضيات التي غيرت مسار الفيزياء - لكنها لم تتمكن من الحصول على وظيفة"، Ars Technica، كاليفورنيا: كوندي ناست، تم استرجاعه في 27 يناير 2024"عدد خاص عن المرأة في الرياضيات" (PDF)، إشعارات جمعية الرياضيات الأمريكية، 38 (7)، بروفيدنس، رود آيلاند: جمعية الرياضيات الأمريكية: 701–773، سبتمبر 1991، ISSN 0002-9920شين، قينا (سبتمبر 2019)، "باحث لاجئ من ألمانيا النازية: كلية إيمي نويثر وبرين ماور"، المخابرات الرياضية، 41 (3): 52–65, دوى:10.1007/s00283-018-9852-0، S2CID 128009850السير الذاتية على الإنترنت
    • بايرز، نينا (16 مارس 2001)، "Emmy Noether"، مساهمات نساء القرن العشرين في الفيزياء، جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس، أرشفة من النسخة الأصلية في 12 فبراير 2008تايلور، ماندي (22 فبراير 2023)، "Emmy Noether"، السير الذاتية لعالمات الرياضيات، كلية أغنيس سكوتتشون، ماركوس (5 مارس 2025)، "إيمي نويثر: العبقرية التي علمت أينشتاين"، Prospect
      • إيمي نويثر في مشروع علم الأنساب في الرياضيات
      • طلب نويثر للقبول في جامعة إيرلانجن-نورمبرج وثلاث من سيرتها الذاتية من موقع الويب الخاص بالمؤرخة كوردولا تولمين

      الوسائط

      • صورة نويثر ملتقطة بواسطة هانا كونش — المجموعات الخاصة بمكتبة كلية برين ماور
      • صور زملاء ومعارف نويثر من موقع ويب كلارك كيمبرلنج