Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (23. März 1882 – 14. April 1935) war eine deutsche Mathematikerin, die für ihre bedeutenden Beiträge zur abstrakten Algebra bekannt war. Sie begründete auch den ersten und zweiten Satz von Noether, die grundlegend für die mathematische Physik sind. Prominente Mathematiker wie Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl und Norbert Wiener bezeichneten Noether als die bedeutendste weibliche Figur in der Geschichte der Mathematik. Als herausragende Mathematikerin ihrer Zeit formulierte sie Theorien über Ringe, Körper und Algebren. Im Bereich der Physik verdeutlicht das Noether-Theorem die intrinsische Beziehung zwischen Symmetrie und Erhaltungsgesetzen.

Amalie Emmy Noether (23. März 1882 – 14. April 1935) war eine deutsche Mathematikerin, die viele wichtige Beiträge zur abstrakten Algebra leistete. Sie bewies auch den ersten und zweiten Satz von Noether, die für die mathematische Physik von grundlegender Bedeutung sind. Noether wurde von Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl und Norbert Wiener als die bedeutendste Frau in der Geschichte der Mathematik beschrieben. Als eine der führenden Mathematikerinnen ihrer Zeit entwickelte sie Ring-, Körper- und Algebrentheorien. In der Physik erklärt der Noether-Satz den Zusammenhang zwischen Symmetrie und Erhaltungssätzen.

Noether wurde in einer jüdischen Familie in Erlangen, einer fränkischen Stadt, geboren; Ihr Vater, Max Noether, war ebenfalls Mathematiker. Zunächst wollte sie eine Karriere als Französisch- und Englischlehrerin anstreben, nachdem sie die erforderlichen Prüfungen bestanden hatte; Sie entschied sich jedoch schließlich für ein Mathematikstudium an der Universität Erlangen-Nürnberg, wo ihr Vater einen Lehrauftrag innehatte. Nach Abschluss ihrer Promotion im Jahr 1907 bei Paul Gordan arbeitete sie sieben Jahre lang unbezahlt am Mathematischen Institut in Erlangen. Während dieser Zeit war es Frauen grundsätzlich untersagt, akademische Positionen zu bekleiden. Im Jahr 1915 lud David Hilbert und Felix Klein sie ein, an die mathematische Fakultät der Universität Göttingen zu gehen, einem weltweit anerkannten Zentrum für mathematische Forschung. Die philosophische Fakultät erhob Einspruch und veranlasste sie, vier Jahre lang unter Hilberts Namen Vorlesungen zu halten. Ihre Habilitation wurde 1919 genehmigt und ermöglichte ihr die Erlangung des Ranges einer Privatdozentin.

Noether behielt bis 1933 eine herausragende Rolle innerhalb der Göttinger Mathematikfakultät; Ihre Schüler wurden gelegentlich als „Noether Boys“ bezeichnet. Im Jahr 1924 wurde der niederländische Mathematiker B. L. van der Waerden Teil ihrer akademischen Gruppe und entwickelte sich schnell zu einem Hauptinterpreten von Noethers Konzepten; Ihre Forschungen bildeten die Grundlage für den zweiten Band seines einflussreichen Lehrbuchs Moderne Algebra aus dem Jahr 1931. Ihr algebraisches Fachwissen erlangte weltweite Anerkennung, als sie 1932 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Zürich ihre Plenarrede hielt. Im darauffolgenden Jahr verwies die deutsche Nazi-Regierung jüdische Akademiker von Universitätsposten, was Noether dazu veranlasste, in die Vereinigten Staaten zu ziehen, um eine Stelle am Bryn Mawr College in Pennsylvania anzunehmen. Bei Bryn Mawr unterrichtete sie Doktorandinnen und Postdoktorandinnen, insbesondere Marie Johanna Weiss und Olga Taussky-Todd. Gleichzeitig hielt sie Vorträge und forschte am Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey.

Noethers mathematische Beiträge werden in drei verschiedene „Epochen“ eingeteilt. In der ersten Epoche (1908–1919) entwickelte sie die Theorien algebraischer Invarianten und Zahlenkörper weiter. Ihre Forschung zu Differentialinvarianten innerhalb der Variationsrechnung, bekannt als Noethers Theorem, wurde als „einer der bedeutendsten mathematischen Theoreme, die jemals aufgestellt wurden, um die Entwicklung der modernen Physik zu steuern“ gelobt. In der zweiten Epoche (1920–1926) initiierte sie Arbeiten, die „die Landschaft der [abstrakten] Algebra veränderten“. In ihrer bahnbrechenden Arbeit Idealtheorie in Ringbereichen (Theorie der Ideale in Ringbereichen) von 1921 entwickelte Noether die Theorie der Ideale in kommutativen Ringen weiter und verwandelte sie in ein weithin anwendbares Werkzeug. Sie nutzte meisterhaft die Bedingung der aufsteigenden Kette, und mathematische Objekte, die diese Bedingung erfüllen, werden zu Ehren ihr als Noetherian bezeichnet. Während der dritten Epoche (1927–1935) veröffentlichte sie Forschungen zu nichtkommutativen Algebren und hyperkomplexen Zahlen und integrierte die Darstellungstheorie von Gruppen mit der Modul- und Idealtheorie. Über ihre persönlichen Veröffentlichungen hinaus teilte Noether großzügig ihre Erkenntnisse und ist dafür bekannt, dass sie mehrere Forschungsrichtungen anderer Mathematiker inspiriert hat, selbst in Bereichen, die von ihrem Hauptschwerpunkt entfernt liegen, wie etwa der algebraischen Topologie.

Biografie

Frühes Leben

Amalie Emmy Noether wurde am 23. März 1882 im bayerischen Erlangen geboren. Sie war das älteste von vier Kindern der Mathematiker Max Noether und Ida Amalia Kaufmann, die beide aus wohlhabenden jüdischen Kaufmannsfamilien stammten. Obwohl ihr Vorname „Amalie“ war, nahm sie schon in jungen Jahren ihren zweiten Vornamen an und verwendete ihn ihr ganzes Erwachsenenleben lang und in ihren veröffentlichten Werken.

Noether erlangte in ihrer Jugend keine akademischen Auszeichnungen, wurde aber für ihren Intellekt und ihr liebenswürdiges Wesen anerkannt. Während ihrer Kindheit litt sie unter Kurzsichtigkeit und einem leichten Lispeln. Ein Familienbekannter erzählte später eine Anekdote aus Noethers Jugend und veranschaulichte ihren frühen logischen Scharfsinn durch die schnelle Lösung eines intellektuellen Rätsels bei einem Kindertreffen. Sie erhielt Unterricht in häuslichen Fertigkeiten, eine gängige Praxis für Mädchen ihrer Zeit, und nahm Klavierunterricht. Obwohl sie keine dieser Aktivitäten mit besonderem Eifer ausübte, zeigte sie eine starke Vorliebe für das Tanzen.

Noether hatte drei jüngere Brüder. Der Älteste, Alfred Noether, geboren 1883, promovierte 1909 in Erlangen in Chemie, verstarb jedoch neun Jahre später. Fritz Noether, geboren 1884, studierte in München und leistete Beiträge auf dem Gebiet der angewandten Mathematik. Er wurde wahrscheinlich 1941 während des Zweiten Weltkriegs in der Sowjetunion hingerichtet. Der jüngste, Gustav Robert Noether, geboren 1889, litt an einer chronischen Krankheit und starb 1928; Details zu seinem Leben sind rar.

Bildung

Noether bewies schon früh seine Begabung sowohl in Französisch als auch in Englisch. Anfang 1900 legte sie die Prüfung zur Sprachlehrerin ab und erhielt die Gesamtnote sehr gut (sehr gut). Obwohl diese Leistung ihr die Berechtigung gab, Sprachen an Mädchenschulen zu unterrichten, entschied sie sich stattdessen für eine weitere akademische Laufbahn an der Universität Erlangen-Nürnberg, wo ihr Vater eine Professur innehatte.

Dies war eine unorthodoxe Entscheidung; Zwei Jahre zuvor hatte der Akademische Senat der Universität behauptet, dass koedukativer Unterricht „die gesamte akademische Ordnung stürzen“ würde. Als eine von nur zwei Frauen unter 986 Studierenden durfte Noether nur Lehrveranstaltungen als Gasthörer wahrnehmen, was eine vollständige Teilnahme ausschloss und die Einholung einer individuellen Zustimmung der Professoren erforderte, deren Vorlesungen sie besuchen wollte. Trotz dieser Hindernisse bestand sie am 14. Juli 1903 erfolgreich die Abschlussprüfung an einem Realgymnasium in Nürnberg.

Im Wintersemester 1903–1904 studierte sie an der Universität Göttingen und nahm an Vorlesungen des Astronomen Karl Schwarzschild und der Mathematiker Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein und David Hilbert teil.

Im Jahr 1903 wurden die Beschränkungen für die vollständige Immatrikulation von Frauen an bayerischen Universitäten aufgehoben. Noether kehrte nach Erlangen zurück, schrieb sich im Oktober 1904 offiziell wieder an der Universität ein und brachte ihr ausschließliches Engagement für die Mathematik zum Ausdruck. Sie war eine von sechs Frauen in ihrer Kohorte (darunter zwei Auditoren) und die einzige Frau in der von ihr gewählten akademischen Abteilung. Unter der Aufsicht von Paul Gordan schloss sie 1907 ihre Doktorarbeit Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ab und schloss sie später im selben Jahr mit der Auszeichnung summa cum laude ab. Gordan, ein Befürworter der „rechnerischen“ Schule der Invariantentheorie, leitete eine These, die mit einer Aufzählung von über 300 explizit abgeleiteten Invarianten endete. Dieser Ansatz für Invarianten wurde später durch die abstraktere und allgemeinere Methodik von Hilbert ersetzt. Obwohl sie damals positiv aufgenommen wurde, bezeichnete Noether ihre Dissertation und nachfolgende Veröffentlichungen später als „Mist“. Ihre anschließenden Forschungsbemühungen divergierten völlig in einem eigenen Bereich.

Universität Erlangen–Nürnberg

Von 1908 bis 1915 war Noether als unbezahlte Dozentin am Mathematischen Institut in Erlangen tätig und vertrat regelmäßig ihren Vater Max Noether, wenn dieser krankheitsbedingt daran gehindert war, Vorlesungen zu halten. Sie wurde 1908 Mitglied des Circolo Matematico di Palermo und 1909 der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. In den Jahren 1910 und 1911 veröffentlichte sie Veröffentlichungen, in denen sie ihre Doktorarbeit von drei Variablen auf n Variablen erweiterte.

Gordan ging 1910 in den Ruhestand und Noether setzte ihre Lehrtätigkeit unter der Leitung seiner Nachfolger Erhard Schmidt und Ernst Fischer fort, die 1911 die Position von Erstgenanntem übernahmen. Laut ihrem Kollegen Hermann Weyl und ihrem Biographen Auguste Dick übte Fischer einen erheblichen Einfluss auf Noether aus, insbesondere indem er sie mit den Beiträgen von David Hilbert vertraut machte. Noether und Fischer pflegten eine lebhafte intellektuelle Beziehung in Bezug auf Mathematik und führten häufig ausführliche Diskussionen nach der Vorlesung; Berichten zufolge werden Noether Postkarten an Fischer geschickt, wodurch ihre mathematischen Überlegungen ausgeweitet werden.

Zwischen 1913 und 1916 verfasste Noether mehrere Veröffentlichungen, in denen Hilberts Methoden erweitert und auf mathematische Konstrukte angewendet wurden, darunter Felder rationaler Funktionen und die Invarianten endlicher Gruppen. Diese Zeit stellte Noethers erste Auseinandersetzung mit der abstrakten Algebra dar, einem Bereich, in dem sie später bahnbrechende Fortschritte erzielen sollte.

Während ihres Aufenthalts in Erlangen betreute Noether zwei Doktoranden, Hans Falckenberg und Fritz Seidelmann, die ihre Dissertationen 1911 bzw. 1916 erfolgreich verteidigten. Trotz Noethers erheblichem Engagement wurden beide Schüler offiziell von ihrem Vater betreut. Im Anschluss an seine Promotion war Falckenberg bis zu seiner Berufung als Professor an die Universität Gießen in Braunschweig und Königsberg tätig, während Seidelmann eine Professur in München erlangte.

Die Universität Göttingen

Habilitation und die Entwicklung des Noether-Theorems

Anfang 1915 lud David Hilbert und Felix Klein Noether ein, wieder an die Universität Göttingen zu gehen. Ihr Versuch, sie zu ernennen, stieß zunächst auf den Widerstand von Philologen und Historikern innerhalb der philosophischen Fakultät, die behaupteten, Frauen seien für die Stelle als Privatdozenten ungeeignet. Während einer Abteilungssitzung, die zur Erörterung des Themas einberufen wurde, äußerte ein Fakultätsmitglied Widerspruch und erklärte: „Was werden unsere Soldaten denken, wenn sie an die Universität zurückkehren und feststellen, dass sie an den Füßen einer Frau lernen müssen?“ Hilbert behauptete, dass Noethers Qualifikationen der einzige relevante Faktor seien und dass das Geschlecht der Kandidatin unerheblich sei, erhob vehement Einwände und tadelte diejenigen, die sich ihrer Habilitation widersetzten. Obwohl seine genauen Worte nicht überliefert sind, soll sein Einwand häufig die Behauptung enthalten haben, dass die Universität „kein Badehaus“ sei. Pavel Alexandrovs Erinnerungen deuten darauf hin, dass der Widerstand der Fakultät gegen Noether nicht nur auf Sexismus, sondern auch auf Missbilligung ihrer sozialdemokratischen politischen Überzeugungen und ihres jüdischen Erbes zurückzuführen war.

Noether zog Ende April nach Göttingen; Vierzehn Tage später verstarb ihre Mutter unerwartet in Erlangen. Obwohl sie sich zuvor wegen einer Augenerkrankung einer medizinischen Behandlung unterzogen hatte, sind deren spezifische Natur und ihr Einfluss auf ihren Tod noch ungeklärt. Gleichzeitig ging Noethers Vater in den Ruhestand und ihr Bruder trat in die deutsche Wehrmacht ein, um im Ersten Weltkrieg zu dienen. Anschließend kehrte sie für mehrere Wochen nach Erlangen zurück, hauptsächlich um sich um ihren älteren Vater zu kümmern.

Während ihrer ersten Lehrjahre in Göttingen hatte sie keine offizielle Anstellung und erhielt keine Vergütung. Ihre Vorlesungen wurden häufig unter Hilberts Namen veröffentlicht, wobei Noether „Unterstützung“ leistete.

Kurz nach ihrer Ankunft in Göttingen stellte sie ihr intellektuelles Können unter Beweis, indem sie das formulierte, was heute als Noethers Theorem anerkannt ist, das einen grundlegenden Zusammenhang zwischen Erhaltungsgesetzen und differenzierbaren Symmetrien innerhalb eines physikalischen Systems herstellt. Ihre bahnbrechende Arbeit mit dem Titel Invariante Variationsprobleme wurde von ihrem Kollegen Felix Klein am 26. Juli 1918 während einer Sitzung der Royal Society of Sciences in Göttingen vorgestellt. Vermutlich präsentierte Noether das Werk nicht persönlich, da sie der Gesellschaft nicht angehörte. In ihrer Veröffentlichung Symmetry and the Beautiful Universe behaupten die amerikanischen Physiker Leon M. Lederman und Christopher T. Hill, dass Noethers Theorem „sicherlich einer der wichtigsten mathematischen Theoreme ist, die jemals bewiesen wurden, um die Entwicklung der modernen Physik zu steuern, möglicherweise auf Augenhöhe mit dem Satz des Pythagoras“.

Das Ende des Ersten Weltkriegs und die anschließende Deutsche Revolution von 1918–1919 führten zu erheblichen Veränderungen in den gesellschaftlichen Normen, einschließlich einer Ausweitung der Frauenrechte. Infolgedessen ermächtigte die Universität Göttingen Noether 1919, ihre Habilitation anzustreben, eine Voraussetzung für eine Anstellung. Ihre mündliche Prüfung fand Ende Mai statt, gefolgt von der erfolgreichen Habilitationsvorlesung im Juni 1919. Noether erlangte anschließend den Status einer Privatdozentin und hielt im darauffolgenden Herbstsemester die ihr offiziell zugeschriebenen Antrittsvorlesungen. Trotz dieser Fortschritte erhielt sie weiterhin keine Vergütung für ihre akademischen Leistungen.

Drei Jahre später verlieh ihr Otto Boelitz, der preußische Minister für Wissenschaft, Kunst und Volksbildung, offiziell den Titel „nicht offizieller außerordentlicher Professor“, was eine unbefristete Professorin mit eingeschränkten internen Verwaltungsaufgaben bedeutet. Bei dieser Ernennung handelte es sich um eine unbezahlte „außerordentliche“ Professur, im Gegensatz zur höherrangigen „ordentlichen“ Professur, bei der es sich um eine Anstellung im öffentlichen Dienst handelte. Obwohl sie die Bedeutung ihrer Beiträge anerkennt, beinhaltet diese Rolle kein Gehalt. Noethers Vorlesungen blieben bis zu ihrer Ernennung zur Lehrbeauftragten für Algebra im darauffolgenden Jahr unbezahlt.

Beiträge zur abstrakten Algebra

Noethers Theorem hat die klassische Mechanik und die Quantenmechanik tiefgreifend beeinflusst; In der mathematischen Gemeinschaft wird sie jedoch vor allem für ihre wegweisenden Beiträge zur abstrakten Algebra anerkannt. Nathan Jacobson artikulierte in seiner Einleitung zu Noethers Collected Papers:

Die Entwicklung der abstrakten Algebra, eine einzigartige Innovation in der Mathematik des 20. Jahrhunderts, ist größtenteils ihren Beiträgen zuzuschreiben, die sich in ihren veröffentlichten Arbeiten, Vorträgen und ihrem persönlichen Einfluss auf ihre Zeitgenossen zeigen.

Noether begann ihre algebraische Forschung im Jahr 1920 und verfasste gemeinsam mit ihrem Schützling Werner Schmeidler eine Arbeit. Diese Veröffentlichung konzentrierte sich auf die Theorie der Ideale, wobei sie Definitionen für linke und rechte Ideale innerhalb einer Ringstruktur festlegte.

Im folgenden Jahr veröffentlichte sie Idealtheorie in Ringbereichen, eine Arbeit, die aufsteigende Kettenbedingungen in Bezug auf mathematische Ideale analysierte. In dieser Arbeit lieferte sie einen umfassenden Beweis des Lasker-Noether-Theorems. Der bekannte Algebraist Irving Kaplansky bezeichnete diesen Beitrag als „revolutionär“. Diese Veröffentlichung führte auch zur Prägung des Begriffs Noetherian, um mathematische Objekte zu beschreiben, die die Bedingung der aufsteigenden Kette erfüllen.

Im Jahr 1924 begann Bartel Leendert van der Waerden, ein junger niederländischer Mathematiker, sein Studium an der Universität Göttingen. Er arbeitete umgehend mit Noether zusammen, der ihn mit unverzichtbaren Methoden für die abstrakte Konzeptualisierung versorgte. Van der Waerden bemerkte anschließend, dass ihre Originalität „absolut unvergleichlich“ sei. Nach seiner Rückkehr nach Amsterdam verfasste er Moderne Algebra, eine grundlegende zweibändige Abhandlung auf diesem Gebiet. Der zweite Band, der 1931 erschien, stützte sich weitgehend auf Noethers Forschungen. Obwohl Noether sich nicht aktiv um Anerkennung bemühte, würdigte van der Waerden ihre Beiträge in einer Notiz in der siebten Auflage und erklärte, die Arbeit basiere „teilweise auf Vorträgen von E. Artin und E. Noether“. Ab 1927 arbeitete Noether eng mit Emil Artin, Richard Brauer und Helmut Hasse zum Thema nichtkommutative Algebren zusammen.

Van der Waerdens Anwesenheit in Göttingen fiel mit einem größeren Zustrom von Mathematikern aus aller Welt zusammen, da sich die Universität zu einem herausragenden Zentrum für mathematische und physikalische Forschung entwickelt hatte. Zu den ersten internationalen Besuchern im Jahr 1923 gehörten die russischen Mathematiker Pavel Alexandrov und Pavel Urysohn. Von 1926 bis 1930 hielt Alexandrov regelmäßig Vorlesungen an der Universität und pflegte eine enge Freundschaft mit Noether. Er nannte sie liebevoll der Noether und benutzte der als Ehrenbezeichnung und nicht als herkömmlichen männlichen deutschen Artikel. Noether bemühte sich, seine Ernennung zum ordentlichen Professor in Göttingen zu ermöglichen, doch letztendlich gelang es ihm nur, ihm zu helfen, ein Stipendium der Rockefeller Foundation für das akademische Jahr 1927–1928 an der Princeton University zu erhalten.

Doktoranden

In Göttingen betreute Noether das Doktoratsstudium von über zwölf Studenten; Aufgrund institutioneller Beschränkungen, die sie jedoch daran hinderten, Dissertationen unabhängig zu betreuen, wurden die meisten von ihnen gemeinsam mit Edmund Landau und anderen Fakultätsmitgliedern betreut. Ihre erste Doktorandin war Grete Hermann, die ihre Dissertation im Februar 1925 erfolgreich verteidigte. Während Hermann vor allem für ihre Beiträge zu den Grundlagen der Quantenmechanik anerkannt wird, wurde ihre Dissertation selbst als bedeutender Fortschritt in der Idealtheorie angesehen. Hermann bezeichnete Noether später voller Ehrfurcht als ihre „Dissertationsmutter“.

Gleichzeitig fertigten Heinrich Grell und Rudolf Hölzer ihre Dissertationen unter Noethers Anleitung an. Tragischerweise erlag Hölzer kurz vor seiner geplanten Verteidigung einer Tuberkulose. Grell verteidigte seine Dissertation 1926 erfolgreich und bekleidete anschließend Positionen an der Universität Jena und der Universität Halle. 1935 verlor er aufgrund von Vorwürfen homosexueller Handlungen seine Lehrbefugnis, wurde aber später wieder eingestellt und wurde schließlich 1948 Professor an der Humboldt-Universität.

Emmy Noether beriet anschließend Werner Weber und Jakob Levitzki, die beide 1929 ihre Doktorarbeiten erfolgreich verteidigten. Obwohl Weber als Mathematiker von begrenztem Rang galt, beteiligte er sich später an der Vertreibung jüdischer Mathematiker aus Göttingen. Levitzki hingegen hatte Positionen an der Yale University inne, bevor er an die Hebräische Universität Jerusalem im britisch regierten Mandatsgebiet Palästina wechselte, wo er wesentliche Beiträge zur Ringtheorie leistete, insbesondere durch Levitzkys Theorem und das Hopkins-Levitzki-Theorem.

Zu den weiteren von Noether betreuten Studenten, die oft als „Noether Boys“ bezeichnet werden, gehörten Max Deuring, Hans Fitting, Ernst Witt, Chiungtze C. Tsen und Otto Schilling. Deuring, der weithin als Noethers vielversprechendster Schüler gilt, erlangte 1930 seinen Doktortitel. Seine Karriere umfasste Arbeiten in Hamburg, Marden und Göttingen, wo er für seine bedeutenden Beiträge zur arithmetischen Geometrie anerkannt wurde. Fitting schloss sein Studium 1931 mit einer Arbeit über abelsche Gruppen ab und ist bekannt für seine grundlegenden Arbeiten zur Gruppentheorie, insbesondere zum Fitting-Theorem und zum Fitting-Lemma. Tragischerweise verstarb er im Alter von 31 Jahren an einer Knochenerkrankung.

Ernst Witt setzte sein Studium zunächst unter Noethers Anleitung fort; Ihre akademische Position wurde jedoch im April 1933 aufgehoben, was zu seiner Neuzuweisung zu Gustav Herglotz führte. Witt promovierte im Juli 1933 mit einer Dissertation über das Riemann-Roch-Theorem und Zeta-Funktionen und lieferte anschließend mehrere bemerkenswerte Beiträge, die heute mit ihm in Verbindung gebracht werden. Chiungtze C. Tsen, der vor allem für die Aufstellung des Tsen-Theorems bekannt wurde, erhielt im Dezember desselben Jahres seinen Doktortitel. Er kehrte 1935 nach China zurück und begann seine Lehrtätigkeit an der National Chekiang University, verstarb jedoch nur fünf Jahre später. Auch Otto Schilling begann sein Doktoratsstudium bei Noether, war jedoch nach ihrer Emigration gezwungen, einen neuen Betreuer zu suchen. Er promovierte 1934 an der Universität Marburg bei Helmut Hasse. Anschließend forschte er als Postdoktorand am Trinity College in Cambridge, bevor er in die Vereinigten Staaten übersiedelte.

Zu Noethers anderen Doktoranden gehörten Wilhelm Dörnte, der 1927 mit einer Arbeit über Gruppen promovierte; Werner Vorbeck, der 1935 mit einer Arbeit über die Feldaufteilung promovierte; und Wolfgang Wichmann, dessen Promotion 1936 sich auf die p-adische Theorie konzentrierte. Während Details zu Dörnte und Vorbeck noch nicht verfügbar sind, ist dokumentiert, dass Wichmann aktiv eine Studenteninitiative unterstützte, die erfolglos versuchte, Noethers Entlassung aufzuheben. Anschließend starb er als Soldat an der Ostfront im Zweiten Weltkrieg.

Die Noether-Schule

Über ihre direkten Doktoranden hinaus pflegte Noether eine enge Gemeinschaft von Mathematikern, die ihre Methodik in der abstrakten Algebra aufgriffen und die Entwicklung des Fachgebiets erheblich voranbrachten; Dieses Kollektiv wird häufig als „Noether-Schule“ bezeichnet. Ein bemerkenswertes Beispiel dieser Zusammenarbeit ist ihre umfangreiche Arbeit mit Wolfgang Krull, dessen Beiträge, einschließlich seines Hauptidealsatzes und der Dimensionstheorie für kommutative Ringe, die kommutative Algebra wesentlich vorangetrieben haben. In ähnlicher Weise entwickelte Gottfried Köthe die Theorie hyperkomplexer Größen voran, indem er die von Noether und Krull entwickelten Methoden anwendete.

Noether wurde nicht nur für ihr ausgeprägtes mathematisches Verständnis, sondern auch für ihre zwischenmenschliche Rücksichtnahme geschätzt. Obwohl sie gegenüber andersdenkenden Kollegen gelegentlich Schroffheit an den Tag legte, pflegte sie sich einen Ruf für Hilfsbereitschaft und geduldige Betreuung junger Studenten. Ihr unerschütterlicher Einsatz für mathematische Präzision veranlasste einen Kollegen, sie als „eine strenge Kritikerin“ zu bezeichnen, doch sie brachte diese strenge Forderung nach Genauigkeit mit einem unterstützenden und fürsorglichen Auftreten in Einklang. In Noethers Nachruf gab Van der Waerden die folgende Beschreibung:

Völlig frei von Ego und Eitelkeit suchte sie nie nach persönlicher Anerkennung, sondern priorisierte und verteidigte vielmehr die Leistungen ihrer Schüler über alles andere.

Noether zeigte ein außergewöhnliches Engagement sowohl für ihr Fach als auch für ihre Studenten, das weit über die herkömmlichen akademischen Stunden hinausging. Einmal, als das Universitätsgebäude wegen eines Feiertags nicht zugänglich war, versammelte sie ihre Klasse auf der Außentreppe, führte sie durch ein Waldgebiet und hielt ihren Vortrag in einem nahegelegenen Kaffeehaus. Nach ihrer Entlassung aus der Lehrtätigkeit durch Nazi-Deutschland lud sie anschließend Studenten zu sich nach Hause ein, wo sie über ihre Zukunftspläne und verschiedene mathematische Konzepte diskutierten.

Wirkungsvolle Vorträge

Anfangs war Noethers strenger Lebensstil darauf zurückzuführen, dass die Universität sich weigerte, sie für ihre akademischen Leistungen zu entschädigen. Selbst nachdem die Universität 1923 begann, ihr ein bescheidenes Gehalt zu zahlen, führte sie ein einfaches und unaufdringliches Dasein. Obwohl ihr Gehalt später in ihrem Leben stieg, sparte sie stets die Hälfte ihres Verdienstes mit der Absicht, es ihrem Neffen Gottfried E. Noether zu vermachen.

Biografen weisen darauf hin, dass Emmy Noether ihren akademischen Aktivitäten Vorrang vor Bedenken hinsichtlich des persönlichen Aussehens und der sozialen Etikette einräumte. Olga Taussky-Todd, eine prominente Algebraistin, die bei Noether studierte, erzählte von einem Vorfall bei einem Mittagessen, bei dem Noether, tief in eine mathematische Diskussion vertieft, beim Essen „wild gestikulierte“, „ständig ihr Essen verschüttete“ und es „völlig ungerührt von ihrem Kleid wischte“. Studenten, die auf Anstand achten, waren Berichten zufolge verunsichert darüber, dass sie ein Taschentuch aus ihrer Bluse holte und während der Vorlesungen ihre zunehmend zerzausten Haare missachtete. Einmal versuchten zwei Studentinnen, ihre Bedenken während einer Pause in einem zweistündigen Unterricht zu äußern, konnten ihren lebhaften mathematischen Diskurs mit anderen Studenten jedoch nicht unterbrechen.

Noethers Vorlesungen waren nicht durch einen formellen Unterrichtsplan strukturiert. Aufgrund ihrer schnellen Vortragsweise waren ihre Vorträge für viele schwer verständlich, darunter auch für die namhaften Mathematiker Carl Ludwig Siegel und Paul Dubreil. Schüler, die ihren pädagogischen Ansatz als unangenehm empfanden, verspürten häufig ein Gefühl der Distanziertheit. Zu Besuch kommende „Außenstehende“, die Noethers Vorlesungen besuchten, reisten oft innerhalb von dreißig Minuten ab, weil sie frustriert oder verwirrt waren. Eine ordentliche Studentin bemerkte einmal zu einem solchen Vorfall und sagte: „Der Feind wurde besiegt; er hat sich vertrieben.“

Noether nutzte ihre Vorlesungen als interaktives Forum für spontane Diskussionen mit ihren Studenten und erleichterte so die Erforschung und Erläuterung wichtiger mathematischer Probleme. Einige ihrer wichtigsten Erkenntnisse gingen aus diesen Vorlesungen hervor, und die von ihren Studenten zusammengestellten Notizen dienten später als Grundlage für einflussreiche Lehrbücher, darunter die von van der Waerden und Deuring. Sie weckte bei ihren engagiertesten Studenten eine ansteckende Begeisterung für Mathematik, die ihren dynamischen intellektuellen Austausch mit ihr sehr schätzten.

Viele von Noethers Kollegen besuchten ihre Vorlesungen, und gelegentlich erlaubte sie anderen, einschließlich ihren Studenten, eine Nennung ihrer Konzepte zu erhalten, was dazu führte, dass ein erheblicher Teil ihrer Beiträge in Publikationen erschien, die nicht ihren Namen trugen. Aus den Aufzeichnungen geht hervor, dass Noether in Göttingen mindestens fünf Semesterkurse abgehalten hat:

• Winter 1924–1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen]
• Winter 1927–1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie]
• Sommer 1928: Nichtkommutative Algebra [Nichtkommutative Algebra]
• Sommer 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Nichtkommutative Arithmetik]
• Winter 1929–1930: Algebra der hyperkomplexen Grössen [Algebra of Hypercomplex Quantities]

Staatliche Universität Moskau

Im akademischen Jahr 1928–1929 folgte Noether einer Einladung an die Moskauer Staatsuniversität, wo sie ihre Zusammenarbeit mit P. S. Alexandrov wieder aufnahm. Über ihre laufende Forschung hinaus hielt sie Kurse in abstrakter Algebra und algebraischer Geometrie. Sie arbeitete auch mit den angesehenen Topologen Lev Pontryagin und Nikolai Chebotaryov zusammen, die beide anschließend ihre bedeutenden Beiträge zur Weiterentwicklung der Galois-Theorie lobten.

Während Politik nicht der Hauptschwerpunkt ihres Lebens war, zeigte Noether ein starkes Interesse an politischen Angelegenheiten und brachte, wie Alexandrow anmerkte, erhebliche Unterstützung für die Russische Revolution zum Ausdruck. Sie begrüßte insbesondere die sowjetischen Fortschritte in Naturwissenschaften und Mathematik und betrachtete sie als Beweis für neue Möglichkeiten, die durch die bolschewistische Initiative gefördert wurden. Diese Perspektive führte zu Schwierigkeiten für sie in Deutschland und gipfelte in ihrem Rauswurf aus einer Pensionsunterkunft, nachdem Studentenführer Beschwerden wegen der Unterbringung bei „einer marxistisch eingestellten Jüdin“ eingereicht hatten. Hermann Weyl erzählte, dass Noether „in den wilden Zeiten nach der Revolution von 1918 mehr oder weniger auf der Seite der Sozialdemokraten stand“. Sie war von 1919 bis 1922 Mitglied der Unabhängigen Sozialdemokraten, einer kurzlebigen Splitterpartei. Der Logiker und Historiker Colin McLarty charakterisierte ihre Haltung mit den Worten: „Sie war keine Bolschewistin, hatte aber keine Angst davor, als solche bezeichnet zu werden.“

Noether beabsichtigte, nach Moskau zurückzukehren, ein Unterfangen, das Alexandrow unterstützte. Nach ihrer Abreise aus Deutschland im Jahr 1933 versuchte Alexandrow, ihr über das sowjetische Bildungsministerium eine Berufung auf eine Professur an der Moskauer Staatsuniversität zu ermöglichen. Obwohl diese Bemühungen erfolglos blieben, unterhielten sie in den 1930er Jahren einen häufigen Briefwechsel, und 1935 hatte sie Pläne für eine Rückkehr in die Sowjetunion formuliert.

Anerkennung

Im Jahr 1932 wurden Emmy Noether und Emil Artin für ihre bedeutenden mathematischen Beiträge mit dem Ackermann-Teubner-Gedächtnispreis geehrt. Die Auszeichnung, die ein Preisgeld von 500 ℛ︁ℳ︁ beinhaltete, wurde weithin als verspätete offizielle Anerkennung ihrer bedeutenden Leistungen in diesem Fach angesehen. Trotz dieser Anerkennung äußerten ihre Kollegen ihre Unzufriedenheit darüber, dass sie nicht in die Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften gewählt worden war und nie den Rang eines Ordentlichen Professors erreicht hatte.

Noethers fünfzigster Geburtstag wurde 1932 von ihren Kollegen in einer für Mathematiker charakteristischen Weise gefeiert. Helmut Hasse widmete ihr einen Artikel in den Mathematischen Annalen, in dem er ihre Hypothese, dass bestimmte Facetten der nichtkommutativen Algebra weniger komplex sind als ihre kommutativen Gegenstücke, durch den Nachweis eines nichtkommutativen Reziprozitätsgesetzes untermauerte. Diese Entdeckung brachte ihr große Genugtuung. Darüber hinaus stellte Hasse sie vor ein mathematisches Rätsel, das „m_μν-Silbenrätsel“ genannt wurde, das sie prompt löste; Das Rätsel selbst existiert jedoch nicht mehr.

Im September desselben Jahres hielt Noether auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Zürich einen großen Vortrag mit dem Titel „Hyperkomplexe Systeme in ihren Beziehungen zur kommutativen Algebra und zur Zahlentheorie“. Der Kongress zog 800 Teilnehmer an, darunter ihre Kollegen Hermann Weyl, Edmund Landau und Wolfgang Krull. Die Veranstaltung umfasste 420 offizielle Teilnehmer und einundzwanzig Plenarvorträge. Noethers hervorragende Redezeit unterstrich scheinbar die Bedeutung ihrer mathematischen Beiträge. Der Kongress von 1932 wird gelegentlich als Höhepunkt ihrer beruflichen Laufbahn bezeichnet.

Entlassung aus Göttingen durch Nazi-Deutschland

Nach der Ernennung Adolf Hitlers zum deutschen Reichskanzler im Januar 1933 intensivierten sich die Aktivitäten der Nazis im ganzen Land deutlich. An der Universität Göttingen führte der Deutsche Studentenbund eine Kampagne gegen den „undeutschen Geist“ jüdischer Menschen an und erhielt dabei Unterstützung von Privatdozent und Noethers ehemaligem Studenten Werner Weber. Dieser allgegenwärtige Antisemitismus förderte ein Umfeld, das jüdischen Professoren offen feindselig gegenüberstand. Berichten zufolge wurde ein junger Demonstrant mit den Worten zitiert: „Arische Studenten fordern arische Mathematik, nicht jüdische Mathematik.“

Zu den ersten gesetzgeberischen Maßnahmen der Hitler-Administration gehörte das Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums. Dieses Gesetz sah die Entlassung jüdischer Personen und politisch verdächtiger Staatsbediensteter, darunter auch Universitätsprofessoren, von ihren Ämtern vor, sofern sie nicht durch den Einsatz im Ersten Weltkrieg ihre „Treue zu Deutschland“ nachweisen konnten. Im April 1933 erhielt Noether eine offizielle Mitteilung des preußischen Ministeriums für Wissenschaft, Kunst und Volksbildung, in der es hieß: „Auf der Grundlage des § 3 der Beamtenordnung vom 7. April 1933 entziehe ich Ihnen hiermit die Lehrbefugnis an der Universität Göttingen.“ Gleichzeitig erlebten auch mehrere Kollegen von Noether, darunter Max Born und Richard Courant, den Widerruf ihrer Ernennung.

Noether reagierte gelassen auf die Entscheidung und bot anderen inmitten der vorherrschenden Widrigkeiten Hilfe an. Hermann Weyl bemerkte anschließend: „Emmy Noether – ihr Mut, ihre Offenheit, ihre Gleichgültigkeit gegenüber dem eigenen Schicksal, ihr versöhnlicher Geist – war inmitten all des Hasses und der Gemeinheit, der Verzweiflung und des Kummers, die uns umgaben, ein moralischer Trost.“ Bezeichnenderweise konzentrierte sich Noether weiterhin auf mathematische Aktivitäten und versammelte Studenten in ihrem Wohnheim, um über die Klassenfeldtheorie zu beraten. Beim Erscheinen eines ihrer Schüler in der Uniform der NS-Sturmabteilung (SA) zeigte sie keine Anzeichen von Verzweiflung und fand Berichten zufolge später sogar Humor in der Situation.

Suche Zuflucht in Bryn Mawr und Princeton

Während zahlreiche kürzlich arbeitslose Professoren eine Anstellung über die Grenzen Deutschlands hinaus suchten, waren ihre Kollegen in den USA bestrebt, ihnen Unterstützung und berufliche Möglichkeiten zu bieten. Albert Einstein und Hermann Weyl sicherten sich Anstellungen am Institute for Advanced Study in Princeton, während andere Wissenschaftler daran arbeiteten, Sponsoren zu identifizieren, die für die legale Einwanderung unerlässlich waren. Noether erhielt Annäherungsversuche von Vertretern zweier akademischer Institutionen: des Bryn Mawr College in den Vereinigten Staaten und des Somerville College an der Universität Oxford in England. Nach ausführlichen Gesprächen mit der Rockefeller Foundation wurde Noether ein Stipendium für den Beitritt zu Bryn Mawr genehmigt, wo sie Ende 1933 ihre neue Rolle antrat.

Während ihrer Zeit bei Bryn Mawr knüpfte Noether eine Freundschaft mit Anna Wheeler, die vor Noethers Ankunft zuvor in Göttingen studiert hatte. Weitere institutionelle Unterstützung leistete Bryn Mawrs Präsidentin Marion Edwards Park, die lokale Mathematiker aktiv dazu ermutigte, die Arbeit von Dr Mathematik – und eine Doktorandin, Ruth Stauffer. Diese Gruppe beschäftigte sich intensiv mit van der Waerdens Moderne Algebra I und Auszügen aus Erich Heckes Theorie der algebraischen Zahlen. Ruth Stauffer war Noethers einzige Doktorandin in den Vereinigten Staaten; Noether verstarb jedoch kurz vor Stauffers Abschluss. Stauffer schloss ihre Doktorprüfung bei Richard Brauer erfolgreich ab und erlangte im Juni 1935 ihren Abschluss mit einer Dissertation über trennbare Normalverlängerungen. Nach ihrer Promotion verfolgte Stauffer eine kurze Karriere als Lehrerin, bevor sie sich über drei Jahrzehnte der Arbeit als Statistikerin widmete.

Im Jahr 1934 begann Noether auf Einladung von Abraham Flexner und Oswald Veblen als Dozentin am Institute for Advanced Study in Princeton zu lehren. Während dieser Zeit arbeitete sie mit Abraham Albert und Harry Vandiver zusammen. In Bezug auf die Princeton University äußerte sie sich insbesondere zu ihrem als unwillkommen empfundenen Status an „der Männeruniversität, an der keine Frauen zugelassen sind“.

Noethers Amtszeit in den Vereinigten Staaten erwies sich als angenehm, geprägt von einem unterstützenden akademischen Umfeld und einer intensiven Auseinandersetzung mit ihren primären Forschungsinteressen. Mitte 1934 berichtete sie kurz darüber, dass Fritz Noether, nachdem er von seiner Stelle an der Technischen Hochschule Breslau entlassen worden war, anschließend einen Ruf an das Forschungsinstitut für Mathematik und Mechanik in Tomsk im Föderationskreis Sibirien angenommen hatte.

Obwohl zahlreiche ehemalige Kollegen von ihren Universitätsstellen vertrieben worden waren, durfte Noether die Räumlichkeiten der Göttinger Bibliothek als „ausländischer Gelehrter“ nutzen. Anschließend kehrte sie ohne Zwischenfälle in die Vereinigten Staaten zurück und nahm ihre akademische Tätigkeit bei Bryn Mawr wieder auf.

Tod

Im April 1935 entdeckten Mediziner einen Tumor in Noethers Becken. Bedenken hinsichtlich möglicher chirurgischer Komplikationen führten zu einer vorläufigen zweitägigen Bettruhe. Bei der anschließenden Operation wurde eine Eierstockzyste entdeckt, die „die Größe einer großen Melone“ hatte. Zwei kleinere Gebärmuttertumoren erschienen gutartig und wurden nicht entfernt, um eine Verlängerung der Operationsdauer zu verhindern. Drei Tage nach der Operation zeigte Noether eine normale Rekonvaleszenz, am vierten Tag erholte sie sich rasch von einem Kreislaufkollaps. Am 14. April verlor Noether jedoch das Bewusstsein, ihre Temperatur stieg auf 109 °F (42,8 °C) und sie erlag. Ein behandelnder Arzt merkte an: „Es ist nicht leicht zu sagen, was bei Dr. Zum Zeitpunkt ihres Todes war sie 53 Jahre alt.

Tage nach Noethers Tod hielten ihre Freunde und Kollegen in Bryn Mawr einen privaten Gedenkgottesdienst in der Residenz von College-Präsidentin Park ab. Hermann Weyl und Richard Brauer reisten aus Princeton an, um Lobreden zu halten. In den folgenden Monaten entstanden auf internationaler Ebene zahlreiche schriftliche Ehrungen, darunter namhafte Persönlichkeiten wie Albert Einstein, van der Waerden, Weyl und Pavel Alexandrov, die ihre Verehrung ausdrückten. Ihre sterblichen Überreste wurden eingeäschert und die Asche unter dem Gehweg bestattet, der den Kreuzgang der Alten Bibliothek in Bryn Mawr umgibt.

Beiträge zur Mathematik und Physik

Noethers Beiträge zur abstrakten Algebra und Topologie haben das Gebiet der Mathematik maßgeblich beeinflusst; Gleichzeitig hat das Noether-Theorem weitreichende Implikationen für die theoretische Physik und dynamische Systeme. Sie zeigte eine ausgeprägte Begabung für abstrakte Konzeptualisierung, die es ihr ermöglichte, neuartige und innovative Ansätze für mathematische Probleme zu formulieren. Ihr geschätzter Kollege und Freund Hermann Weyl kategorisierte ihre wissenschaftlichen Leistungen in drei verschiedene Perioden:

(1) Die Zeit der relativen Abhängigkeit von 1907 bis 1919.

(2) Die Untersuchungen konzentrierten sich auf die allgemeine Theorie der Ideale und wurden von 1920 bis 1926 durchgeführt.

(3) Die Untersuchung nichtkommutativer Algebren, ihrer Darstellungen durch lineare Transformationen und ihre anschließende Anwendung auf die Analyse kommutativer Zahlenkörper und ihrer zugehörigen Arithmetik.

In ihrer ersten Epoche (1907–1919) befasste sich Noether hauptsächlich mit Differential- und algebraischen Invarianten, beginnend mit ihrer Doktorarbeit bei Paul Gordan. Durch die Auseinandersetzung mit David Hilberts Beiträgen und den gemeinsamen Austausch mit Gordans Nachfolger Ernst Sigismund Fischer erweiterte sich ihr mathematischer Anwendungsbereich und ihre Arbeit entwickelte sich hin zu größerer Allgemeingültigkeit und Abstraktion. Kurz nach ihrem Umzug nach Göttingen im Jahr 1915 stellte sie die beiden Sätze von Noether auf, die als „einer der wichtigsten jemals bewiesenen mathematischen Sätze zur Steuerung der Entwicklung der modernen Physik“ gelten.

In ihrer zweiten Epoche (1920–1926) widmete Noether ihre Bemühungen der Weiterentwicklung der Theorie der mathematischen Ringe. Anschließend konzentrierte sie sich in der dritten Epoche (1927–1935) auf nichtkommutative Algebra, lineare Transformationen und kommutative Zahlenkörper. Während die Ergebnisse aus Noethers erster Epoche bemerkenswert und wertvoll waren, wird ihre Bedeutung unter Mathematikern in erster Linie den bahnbrechenden Beiträgen ihrer zweiten und dritten Epoche zugeschrieben, wie in ihren Nachrufen von Hermann Weyl und B. L. van der Waerden hervorgehoben.

In diesen Epochen wandte sie nicht einfach bestehende Ideen und Methoden früherer Mathematiker an; Stattdessen formulierte sie neuartige Systeme mathematischer Definitionen, die später zukünftige mathematische Bemühungen beeinflussten. Insbesondere etablierte sie eine völlig neue Theorie der Ideale in Ringen und erweiterte damit die grundlegende Arbeit von Richard Dedekind. Darüber hinaus ist sie für die Einführung aufsteigender Kettenbedingungen bekannt – ein einfaches Endlichkeitskriterium, das sich in ihren Anwendungen als bemerkenswert effektiv erwiesen hat. Diese Bedingungen, gepaart mit der Theorie der Ideale, ermöglichten es Noether, zahlreiche frühere Erkenntnisse zu verallgemeinern und etablierte Probleme aus einem neuen Blickwinkel anzugehen, einschließlich algebraischer Invarianten, einem Thema, das zuvor von ihrem Vater erforscht wurde, und der Eliminierungstheorie.

Noethers wichtigste Beiträge zur Mathematik beinhalteten die Weiterentwicklung des entstehenden Bereichs der abstrakten Algebra.

Noethers Herangehensweise an die Abstraktion unterschied sie von vielen Zeitgenossen dadurch, dass sie keine Verallgemeinerung anhand spezifischer Beispiele beinhaltete; Stattdessen beschäftigte sie sich direkt mit abstrakten Konzepten. Wie van der Waerden in ihrem Nachruf erzählt:

Die Maxime, von der sich Emmy Noether bei ihrem gesamten Schaffen leiten ließ, lässt sich wie folgt formulieren: „Jede Beziehung zwischen Zahlen, Funktionen und Operationen wird erst dann transparent, allgemein anwendbar und voll produktiv, wenn sie von ihren jeweiligen Objekten isoliert und als allgemeingültige Konzepte formuliert wurde.“

Dieser Ansatz veranschaulicht die begriffliche Mathematik, ein Markenzeichen von Noethers Methodologie. Anschließend wurde dieser mathematische Stil von anderen Mathematikern übernommen, insbesondere im aufstrebenden Bereich der abstrakten Algebra.

Erste Epoche (1908–1919)

Algebraische Invariantentheorie

Ein bedeutender Teil von Noethers früher Karriere, während ihrer ersten Epoche, konzentrierte sich auf die Invariantentheorie, insbesondere die algebraische Invariantentheorie. Die Invariantentheorie untersucht mathematische Ausdrücke, die unter bestimmten Gruppen von Transformationen ihren Wert behalten (d. h. invariant bleiben). Beispielsweise ändert sich in einer gängigen physikalischen Analogie durch Drehen eines starren Meterstabs die Koordinaten seiner Endpunkte, seine Länge bleibt jedoch unverändert. Eine komplexere Darstellung einer Invariante ist die Diskriminante B§56§ − 4AC eines homogenen quadratischen Polynoms Ax§1314§ + Bxy + Cy§1920§, wobei x und y stehen für Unbestimmte. Diese Diskriminante wird aufgrund ihrer Konstanz unter linearen Substitutionen x → ax + by und y → cx + dy als „invariant“ bezeichnet, sofern ihre Determinante ad − bc gleich 1 ist. Zusammen bilden diese Substitutionen die spezielle lineare Gruppe SL§5152§.

Die Untersuchung kann sich auf die Identifizierung aller Polynome in A, B und C erstrecken, die unter der Wirkung von SL§910§ invariant bleiben; es handelt sich tatsächlich um Polynome der Diskriminante. Im weiteren Sinne kann man nach den Invarianten homogener Polynome höheren Grades suchen, wie zum Beispiel A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r, die sich als spezifische Polynome in den Koeffizienten A§4344§, ..., A_r manifestieren. Diese Fragestellung kann weiter auf homogene Polynome mit mehr als zwei Variablen ausgeweitet werden.

Ein Hauptziel der Invariantentheorie bestand darin, das „Problem der endlichen Basis“ zu lösen. Bei diesem Problem wurde untersucht, ob alle Invarianten durch iterative Addition oder Multiplikation aus einer endlichen Menge von Anfangsinvarianten, sogenannten Generatoren, abgeleitet werden können, vorausgesetzt, dass die Summe oder das Produkt zweier beliebiger Invarianten ebenfalls eine Invariante darstellt. Beispielsweise liefert die Diskriminante eine endliche Basis, die aus einem einzigen Element besteht, für die Invarianten eines quadratischen Polynoms.

Paul Gordan, Noethers akademischer Berater, erlangte Berühmtheit als „König der Invariantentheorie“. Sein bahnbrechender mathematischer Beitrag war die Lösung des endlichen Basisproblems für Invarianten homogener Polynome in zwei Variablen im Jahr 1870. Gordans Beweis stellte eine konstruktive Methode zur Identifizierung aller Invarianten und ihrer jeweiligen Generatoren dar; Allerdings konnte er diesen Ansatz nicht auf Invarianten mit drei oder mehr Variablen erweitern. Anschließend stellte David Hilbert 1890 einen analogen Satz für die Invarianten homogener Polynome über eine beliebige Anzahl von Variablen auf. Bemerkenswerterweise galt Hilberts Methodik nicht nur für die spezielle lineare Gruppe, sondern auch für verschiedene ihrer Untergruppen, einschließlich der speziellen orthogonalen Gruppe.

Noether orientierte sich an Gordans wissenschaftlichem Werdegang und widmete ihre Doktorarbeit und mehrere nachfolgende Veröffentlichungen der Invariantentheorie. Ihre Arbeit baute auf Gordans Erkenntnissen auf und integrierte Hilberts Forschungen. Dennoch äußerte sie später ihre Verachtung für dieses frühe Werk, hielt es für von untergeordneter Bedeutung und gestand, seine spezifischen Feinheiten vergessen zu haben. Hermann Weyl bemerkte:

[Ein] größerer Kontrast ist kaum vorstellbar als zwischen ihrer ersten Arbeit, der Dissertation, und ihren Reifewerken; denn Ersteres ist ein extremes Beispiel für formale Berechnungen und Letzteres stellt ein extremes und grandioses Beispiel für konzeptionelles axiomatisches Denken in der Mathematik dar.

Galois-Theorie

Die Galois-Theorie untersucht Transformationen innerhalb von Zahlenfeldern, die die Wurzeln einer Gleichung neu ordnen. Betrachten Sie eine Polynomgleichung mit einer Variablen x vom Grad n, deren Koeffizienten aus einem bestimmten Grundfeld stammen, z. B. dem Feld der reellen Zahlen, rationalen Zahlen oder ganzen Zahlen Modulo 7. Lösungen für x, die dazu führen, dass dieses Polynom zu Null ausgewertet wird, werden als Wurzeln bezeichnet, obwohl solche Lösungen möglicherweise nicht immer im Anfangsfeld existieren. Wenn das Polynom beispielsweise x§1516§ + 1 ist und das Grundfeld die reellen Zahlen sind, existieren keine Wurzeln, da jeder reelle Wert für x dazu führt, dass das Polynom größer oder gleich eins ist. Durch die Erweiterung des Feldes können jedoch Wurzeln eingeführt werden, und ein ausreichend erweitertes Feld enthält ausnahmslos eine Anzahl von Wurzeln, die dem Grad des Polynoms entspricht.

Wenn wir die obige Abbildung erweitern und das Feld auf komplexe Zahlen erweitern, erhält das Polynom zwei Wurzeln: +i und −i, wobei i die imaginäre Einheit darstellt, definiert durch i ² = −1. Im Allgemeinen wird der Erweiterungskörper, innerhalb dessen ein Polynom vollständig in seine konstituierenden Wurzeln zerlegt werden kann, als Teilungskörper dieses Polynoms bezeichnet.

Die Galois-Gruppe eines Polynoms ist definiert als die Sammlung aller Transformationen seines Aufspaltungskörpers, die sowohl das Grundfeld als auch die Wurzeln des Polynoms beibehalten. (Diese Transformationen werden speziell als Automorphismen bezeichnet.) Für das Polynom x§45§ + 1 umfasst seine Galois-Gruppe zwei Elemente: die Identitätstransformation, die jede komplexe Zahl auf sich selbst abbildet, und die komplexe Konjugation, die +i in −i transformiert. Da die Galois-Gruppe das Grundfeld beibehält, bleiben die Koeffizienten des Polynoms und damit auch der gesamte Satz von Wurzeln unverändert. Jede Wurzel kann einer anderen Wurzel zugeordnet werden, was bedeutet, dass jede Transformation eine Permutation zwischen den n Wurzeln herstellt. Die tiefgreifende Bedeutung der Galois-Gruppe ergibt sich aus dem Grundsatz der Galois-Theorie, der eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Zwischenfeldern zwischen dem Grundfeld und dem Spaltungsfeld und den Untergruppen der Galois-Gruppe zeigt.

Noethers Veröffentlichung von 1918 befasste sich mit dem inversen Galois-Problem. Anstatt sich auf die Identifizierung der Galois-Gruppe von Transformationen für ein bestimmtes Feld und seine Erweiterung zu konzentrieren, untersuchte Noether, ob eine Erweiterung eines bestimmten Feldes ausnahmslos eine bestimmte Gruppe als Galois-Gruppe besitzt. Diese Untersuchung wurde später auf das „Noether-Problem“ reduziert, das fragt, ob das feste Feld einer Untergruppe G innerhalb der Permutationsgruppe S_n, wenn es auf das Feld k(x§1516§, ..., x_n) einwirkt, stellt durchweg eine rein transzendentale Erweiterung des Feldes k dar. Noether stellte dieses Problem zunächst in einer Arbeit aus dem Jahr 1913 vor und führte seinen Ursprung auf ihren Kollegen Fischer zurück. Sie demonstrierte seine Gültigkeit für Fälle, in denen n gleich 2, 3 oder 4 ist. 1969 identifizierte Richard Swan jedoch ein Gegenbeispiel zu Noethers Problem, das insbesondere n = 47 und G als zyklische Gruppe der Ordnung 47 beinhaltete (obwohl diese spezielle Gruppe als Galois-Gruppe über den Rationalen durch Alternative realisierbar war). Konstruktionen). Das inverse Galois-Problem ist weiterhin eine ungelöste mathematische Herausforderung.

Physik

Im Jahr 1915 luden David Hilbert und Felix Klein Noether nach Göttingen ein, um ihr Fachwissen in der Invariantentheorie einzuholen, um ihnen beim Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie zu helfen, einer geometrischen Gravitationstheorie, die hauptsächlich von Albert Einstein entwickelt wurde. Hilbert hatte eine offensichtliche Verletzung der Energieerhaltung innerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie festgestellt und diese auf die Fähigkeit der Gravitationsenergie zurückgeführt, ihren eigenen Gravitationseinfluss auszuüben. Noether löste dieses Paradoxon und stellte in einer Veröffentlichung von 1918 ein grundlegendes Instrument für die moderne theoretische Physik vor. In dieser bahnbrechenden Arbeit wurden zwei Theoreme vorgestellt, von denen der erste allgemein als Noether-Theorem anerkannt ist. Insgesamt befassten sich diese Theoreme nicht nur mit dem Problem der Allgemeinen Relativitätstheorie, sondern legten auch die Erhaltungsgrößen für jedes physikalische System fest, das durch kontinuierliche Symmetrie gekennzeichnet ist. Nach seiner Rezension ihrer Arbeit teilte Einstein Hilbert mit:

Ich habe gestern von Frau Noether einen äußerst ansprechenden Aufsatz über Invarianten erhalten. Ich bin beeindruckt von der Fähigkeit, solche Konzepte so allgemein zu verstehen. Die etablierten Göttinger Wissenschaftler sollten von Frau Noether lernen; Ihr Fachwissen scheint tiefgreifend zu sein.

Wenn beispielsweise ein physikalisches System unabhängig von seiner räumlichen Ausrichtung ein identisches Verhalten zeigt, werden seine maßgeblichen physikalischen Gesetze als rotationssymmetrisch betrachtet; Der Satz von Noether zeigt, dass diese Symmetrie die Erhaltung des Drehimpulses des Systems erfordert. Das physikalische System selbst erfordert keine inhärente Symmetrie; Beispielsweise behält ein gezackter Asteroid, der im Weltraum rotiert, trotz seiner unregelmäßigen Form immer noch seinen Drehimpuls. Stattdessen ergibt sich das Erhaltungsgesetz aus der Symmetrie, die den physikalischen Gesetzen innewohnt, die das System regeln. Wenn ein physikalisches Experiment unabhängig von Ort und Zeit konsistente Ergebnisse liefert, weisen die zugrunde liegenden Gesetze außerdem Symmetrie unter kontinuierlichen räumlichen und zeitlichen Verschiebungen auf; Der Satz von Noether legt fest, dass diese Symmetrien den Erhaltungssätzen des linearen Impulses bzw. der linearen Energie in diesem System entsprechen.

Zeitgleich waren die Physiker nicht mit der Theorie der kontinuierlichen Gruppen von Sophus Lie vertraut, die die Grundlage für Noethers Arbeit bildete. Eine beträchtliche Anzahl von Physikern begegnete dem Noether-Theorem zunächst durch einen Artikel von Edward Lee Hill, der jedoch nur ein spezielles Beispiel des Theorems vorstellte. Infolgedessen wurden die umfassenden Implikationen ihrer Erkenntnisse nicht sofort erkannt. Dennoch entwickelte sich Noethers Theorem in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu einem Eckpfeiler der modernen theoretischen Physik, der sowohl wegen seiner tiefgreifenden Einsichten in Erhaltungsgesetze als auch wegen seiner Nützlichkeit als praktisches Recheninstrument geschätzt wurde. Dieser Satz ermöglicht es Forschern, Erhaltungsgrößen direkt aus den beobachteten Symmetrien eines physikalischen Systems abzuleiten. Umgekehrt hilft es bei der Charakterisierung eines physikalischen Systems, indem es auf Kategorien hypothetischer physikalischer Gesetze verweist. Betrachten Sie zur Veranschaulichung die hypothetische Entdeckung eines neuartigen physikalischen Phänomens. Der Satz von Noether bietet einen entscheidenden Test für theoretische Modelle, die ein solches Phänomen erklären: Wenn eine Theorie eine kontinuierliche Symmetrie beinhaltet, garantiert der Satz die Existenz einer Erhaltungsgröße, und damit die Theorie gültig ist, muss diese Erhaltung durch Experimente empirisch überprüfbar sein.

Zweite Epoche (1920–1926)

Aufsteigende und absteigende Kettenbedingungen

In dieser Zeit erlangte Noether Anerkennung für ihre geschickte Anwendung der aufsteigenden (Teilerkettensatz) und absteigenden (Vielfachenkettensatz) Kettenbedingungen. Eine aufsteigende Folge nicht leerer Teilmengen, wie z. B. A§78§, A§1112§, A§1516§, ..., innerhalb einer Menge S wird herkömmlicherweise dadurch definiert, dass jede Teilmenge in der nachfolgenden enthalten ist.

A §1011§ ⊆ A §2122§ ⊆ A §3233§ ⊆ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}

Umgekehrt wird eine Folge von Teilmengen innerhalb von S als absteigend bezeichnet, wenn jede nachfolgende Teilmenge in ihrem Vorgänger enthalten ist.

A §1011§ ⊇ A §2122§ ⊇ A §3233§ ⊇ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}

Eine Kette ist so definiert, dass sie nach einer endlichen Anzahl von Schritten konstant wird, wenn eine ganze Zahl n existiert, so dass A n = A m {\displaystyle A_n=A_m} für alle m ≥ n. Die Bedingung der aufsteigenden Kette wird von einer Sammlung von Teilmengen innerhalb einer bestimmten Menge erfüllt, wenn sich jede aufsteigende Sequenz schließlich stabilisiert. Ebenso ist die Bedingung der absteigenden Kette erfüllt, wenn sich eine absteigende Sequenz auch nach einer endlichen Anzahl von Schritten stabilisiert. Diese Kettenbedingungen tragen dazu bei, die Existenz maximaler oder minimaler Elemente innerhalb einer beliebigen Menge von Unterobjekten zu demonstrieren oder zu beweisen, dass komplexe Objekte aus einer reduzierten Anzahl konstituierender Elemente generiert werden können.

Zahlreiche algebraische Strukturen in der abstrakten Algebra können Kettenbedingungen erfüllen; Typischerweise werden diejenigen, die die Bedingung einer aufsteigenden Kette erfüllen, als Noetherian bezeichnet, eine Hommage an ihre Beiträge. Insbesondere zeichnet sich ein Noether-Ring dadurch aus, dass er sowohl im linken als auch im rechten Ideal eine aufsteigende Kettenbedingung erfüllt. Im Gegensatz dazu wird eine Noether-Gruppe als eine Gruppe definiert, bei der jede streng aufsteigende Kette von Untergruppen endlich ist. Ein Noethersches Modul ist ein Modul, in dem sich jede streng aufsteigende Kette von Submodulen nach einer endlichen Anzahl von Schritten stabilisiert. Darüber hinaus bezieht sich ein Noether-Raum auf einen topologischen Raum, dessen offene Teilmengen der Bedingung der aufsteigenden Kette entsprechen, wodurch das Spektrum eines Noether-Rings als Noether-Topologieraum klassifiziert wird.

Die Kettenbedingung weist häufig eine Vererbungseigenschaft zwischen Unterobjekten auf. Beispielsweise sind alle Unterräume innerhalb eines Noether-Raums selbst Noether-Raum; Ebenso sind alle von einer Noether-Gruppe abgeleiteten Untergruppen und Quotientengruppen ebenfalls Noether-Gruppen. Analog gilt dieses Prinzip mutatis mutandis auch für Submodule und Quotientenmodule eines Noether-Moduls. Darüber hinaus kann die Kettenbedingung auf verschiedene Kombinationen oder Erweiterungen eines Noether-Objekts vererbt werden. Beispielsweise behalten endliche direkte Summen von Noether-Ringen die Noether-Eigenschaft bei, ebenso wie der Ring formaler Potenzreihen, die über einem Noether-Ring konstruiert wurden.

Noethersche Induktion, auch fundierte Induktion genannt, stellt eine weitere Anwendung dieser Kettenbedingungen dar und dient als Verallgemeinerung der mathematischen Induktion. Diese Methode wird häufig verwendet, um allgemeine Aussagen zu Objektsammlungen in Aussagen über bestimmte Objekte innerhalb dieser Sammlungen zu vereinfachen. Betrachten Sie S als eine teilweise geordnete Menge. Ein üblicher Ansatz, um eine Aussage über Elemente innerhalb von S zu treffen, besteht darin, die Existenz eines Gegenbeispiels zu postulieren und anschließend einen Widerspruch abzuleiten, um so das Gegenteil der ursprünglichen Behauptung zu demonstrieren. Das Grundprinzip der Noetherschen Induktion besagt, dass jede nicht leere Teilmenge von S ein minimales Element enthalten muss. Insbesondere enthält die Sammlung aller Gegenbeispiele ein minimales Element, das als minimales Gegenbeispiel bezeichnet wird. Um die ursprüngliche Aussage zu validieren, reicht es daher aus, eine scheinbar weniger strenge Bedingung nachzuweisen: dass für jedes gegebene Gegenbeispiel ein kleineres Gegenbeispiel existiert.

Kommutative Ringe, Ideale und Module

Noethers bahnbrechende Veröffentlichung von 1921 mit dem Titel Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains) legte den Grundstein für die allgemeine Theorie des kommutativen Rings und präsentierte eine der frühesten umfassenden Definitionen eines kommutativen Rings. Vor ihrer Arbeit beschränkten sich die meisten Erkenntnisse in der kommutativen Algebra auf bestimmte Fälle kommutativer Ringe, darunter Polynomringe über Körpern oder Ringe algebraischer ganzer Zahlen. Noether zeigte, dass in jedem Ring, der die Bedingung der aufsteigenden Kette für Ideale erfüllt, jedes Ideal endlich erzeugt wird. Der französische Mathematiker Claude Chevalley führte 1943 den Begriff Noetherscher Ring ein, um diese spezielle Eigenschaft zu charakterisieren. Ein wesentlicher Beitrag von Noethers Arbeit von 1921 ist das Lasker-Noether-Theorem, das Laskers ursprünglichen Satz über die primäre Zerlegung von Idealen in Polynomringen erweitert, um alle Noether-Ringe einzubeziehen. Dieser Satz kann als Erweiterung des Grundsatzes der Arithmetik verstanden werden, der besagt, dass jede positive ganze Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.

In ihrer Veröffentlichung von 1927, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, beschrieb Noether die Eigenschaften von Ringen, bei denen Ideale eine einzigartige Faktorisierung in Primideale aufweisen, die heute als Dedekind-Domänen anerkannt sind. Sie zeigte, dass diese Ringe durch fünf spezifische Kriterien definiert werden: Sie müssen sowohl den Bedingungen einer aufsteigenden als auch einer absteigenden Kette entsprechen, ein Einheitselement ohne Nullteiler enthalten und innerhalb ihres entsprechenden Bruchkörpers ganzzahlig abgeschlossen sein. In diesem Artikel werden außerdem die sogenannten Isomorphismustheoreme vorgestellt, die grundlegende natürliche Isomorphismen erläutern, sowie andere grundlegende Erkenntnisse zu Noether- und Artin-Modulen.

Eliminationstheorie

Zwischen 1923 und 1924 erweiterte Noether ihre Idealtheorie zur Eliminationstheorie und verwendete dabei eine Formulierung, die sie ihrem Schüler Kurt Hentzelt zuschrieb. Ihre Arbeit zeigte, dass Kerntheoreme der Polynomfaktorisierung direkt auf diesen Kontext übertragbar sind.

In der Vergangenheit konzentrierte sich die Eliminationstheorie auf den Prozess der Entfernung einer oder mehrerer Variablen aus einem System polynomialer Gleichungen, wobei häufig die Methode der Resultanten zum Einsatz kam. Zur Veranschaulichung kann ein Gleichungssystem oft in der folgenden Form ausgedrückt werden:

Mv = 0

In dieser Darstellung ergibt eine Matrix (oder lineare Transformation) M, unabhängig von der Variablen x, multipliziert mit einem Vektor v (der nur Nicht-Null-Potenzen von x enthält), den Nullvektor §89§. Folglich muss die Determinante der Matrix M gleich Null sein, wodurch eine neuartige Gleichung bereitgestellt wird, aus der die Variable x erfolgreich eliminiert wurde.

Invariante Theorie endlicher Gruppen

Frühere Methoden, wie Hilberts nicht-konstruktive Lösung des Finite-Basis-Problems, waren nicht in der Lage, quantitative Daten zu den Invarianten einer Gruppenaktion bereitzustellen und waren nicht universell auf alle Gruppenaktionen anwendbar. In ihrer Veröffentlichung von 1915 präsentierte Noether eine Lösung des endlichen Basisproblems für eine endliche Gruppe von Transformationen G, die auf einem endlichdimensionalen Vektorraum über einem Feld mit der Charakteristik Null operieren. Ihre Ergebnisse zeigten, dass der Ring der Invarianten durch homogene Invarianten erzeugt wird, deren Grad die Ordnung der endlichen Gruppe nicht überschreitet, ein Prinzip, das als Noether-Schrank bekannt ist. Ihre Arbeit lieferte zwei Beweise für die Noether-Schranke, die beide auch gültig sind, wenn die Eigenschaft des Feldes teilerfremd zu ist | G | ! {\displaystyle \left|G\right|!} (die Fakultät der Gruppenordnung | G | {\displaystyle \left|G\right|}). Die Grade der Generatoren entsprechen jedoch möglicherweise nicht der Noether-Grenze, wenn die Charakteristik des Feldes die Zahl teilt | G | {\displaystyle \left|G\right|}. Noether konnte die Gültigkeit der Grenze nicht feststellen, wenn die Eigenschaft des Feldes | teilt G | ! {\displaystyle \left|G\right|!} aber nicht | G | {\displaystyle \left|G\right|}. Dieses spezielle Szenario, bekannt als „Noethers Lücke“, blieb viele Jahre lang ein ungelöstes Problem, bis es unabhängig voneinander von Fleischmann im Jahr 2000 und Fogarty im Jahr 2001 gelöst wurde, was beide die anhaltende Gültigkeit der Grenze demonstrierten.

Noethers Veröffentlichung von 1926 erweiterte Hilberts Theorem, um Darstellungen endlicher Gruppen in jedem Feld einzubeziehen, und befasste sich insbesondere mit dem neuartigen Szenario, in dem die Charakteristik des Feldes die Ordnung der Gruppe teilt, einem Fall nicht von Hilberts Originalwerk abgedeckt. Anschließend erweiterte William Haboush Noethers Erkenntnisse durch seinen Beweis der Mumford-Vermutung auf alle reduktiven Gruppen. In derselben Arbeit stellte Noether auch das Noether-Normalisierungslemma vor, das festlegt, dass ein endlich erzeugter Bereich A über einem Feld k eine Menge {x§1314§, ..., x_n} von algebraisch unabhängigen Elementen enthält. so dass A ganzzahlig über k[x§3132§, ..., x_n] ist.

Topologie

Hermann Weyl hob in seinem Nachruf auf Noether ihre bedeutenden Beiträge zur Topologie hervor und unterstrich ihre intellektuelle Großzügigkeit und die transformative Wirkung ihrer Erkenntnisse in verschiedenen mathematischen Disziplinen. Bei der Topologie geht es um die Untersuchung von Objekteigenschaften, die trotz Verformung unverändert bleiben, beispielsweise die Konnektivität. Eine gängige humorvolle Illustration besagt, dass „ein Topologe einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden kann“, da sie sich kontinuierlich ineinander verformen lassen.

Noether wird für seine Pionierarbeit bei grundlegenden Konzepten anerkannt, die die Entwicklung der algebraischen Topologie gegenüber ihrem Vorgänger, der kombinatorischen Topologie, insbesondere durch die Einführung von Homologiegruppen erleichterten. Alexandrov berichtete, dass Noether während der Vorlesungen, die er und Heinz Hopf 1926 und 1927 hielten, „kontinuierlich Beobachtungen machte, die oft tiefgreifend und subtil waren“, und führte dies weiter aus.

Als sie den systematischen Rahmen der kombinatorischen Topologie kennenlernte

, erkannte sie sofort den Wert der direkten Untersuchung der Gruppen algebraischer Komplexe und Zyklen innerhalb eines gegebenen Polyeders sowie der Untergruppe der zu Null homologen Zyklen. Anstatt sich an die herkömmliche Definition der Betti-Zahlen zu halten, schlug sie vor, die Betti-Gruppe als die Quotientengruppe zu definieren, die aus der Gruppe aller Zyklen und der Untergruppe der zu Null homologen Zyklen besteht. Während diese Einsicht heute selbstverständlich erscheint, stellte sie in der Zeit von 1925 bis 1928 eine grundlegend neue Perspektive dar.

Noethers Vorschlag für einen algebraischen Ansatz zur Topologie wurde schnell von Mathematikern wie Hopf und Alexandrov angenommen und wurde zu einem prominenten Diskussionsthema in der Göttinger Mathematikgemeinschaft. Sie bemerkte, dass ihr Konzept einer Betti-Gruppe das Verständnis der Euler-Poincaré-Formel vereinfachte und Hopfs spätere Beiträge auf diesem Gebiet ihren Einfluss widerspiegelten. Noether selbst erwähnte ihre topologischen Erkenntnisse in einer Veröffentlichung von 1926 nur kurz und stellte sie als Anwendung der Gruppentheorie dar.

Gleichzeitig entstand diese algebraische Methodik für die Topologie unabhängig in Österreich. Während eines Kurses, der 1926–1927 in Wien stattfand, führte Leopold Vietoris das Konzept einer Homologiegruppe ein, das Walther Mayer anschließend 1928 in eine axiomatische Definition formalisierte.

Dritte Epoche (1927–1935)

Hypercomplexe Zahlen und Darstellungstheorie

Im gesamten 19. und frühen 20. Jahrhundert gab es umfangreiche Forschungen zu hyperkomplexen Zahlen und Gruppendarstellungen, doch diesen Bemühungen mangelte es weitgehend an Kohärenz. Noether fasste diese früheren Erkenntnisse zusammen und begründete damit die erste allgemeine Darstellungstheorie für Gruppen und Algebren. Diesem einzigartigen Beitrag von Noether wird zugeschrieben, dass er eine neue Ära in der modernen Algebra eingeleitet und sich als Grundlage für deren spätere Entwicklung erwiesen hat.

Im Wesentlichen integrierte Noether die Strukturtheorie assoziativer Algebren und die Darstellungstheorie von Gruppen in eine einheitliche arithmetische Theorie, die sich auf Module und Ideale innerhalb von Ringen konzentriert, die aufsteigende Kettenbedingungen erfüllen.

Nichtkommutative Algebra

Noether war auch Vorreiter mehrerer anderer Fortschritte in der Algebra. In Zusammenarbeit mit Emil Artin, Richard Brauer und Helmut Hasse begründete sie die Theorie der zentralen einfachen Algebren.

Eine gemeinsame Veröffentlichung von Noether, Hasse und Brauer befasste sich mit Divisionsalgebren, bei denen es sich um algebraische Strukturen handelt, die eine Division ermöglichen. Sie demonstrierten zwei wichtige Theoreme: Erstens ein lokal-globales Theorem, das besagt, dass eine endlichdimensionale zentrale Divisionsalgebra über einem Zahlenkörper, wenn sie sich überall lokal aufspaltet, auch global aufspaltet (und dadurch trivial wird); und daraus leiteten sie ihren Hauptsatz ab:

Jede endlichdimensionale zentrale Divisionsalgebra über einem algebraischen Zahlenkörper F spaltet sich über eine zyklische zyklotomische Erweiterung auf.

Diese Theoreme erleichtern die Klassifizierung aller endlichdimensionalen zentralen Divisionsalgebren über einem bestimmten Zahlenkörper. Eine spätere Veröffentlichung von Noether zeigte als besonderes Beispiel eines umfassenderen Theorems, dass alle maximalen Teilkörper einer Divisionsalgebra D Aufspaltungskörper darstellen. In diesem Artikel wird außerdem das Skolem-Noether-Theorem vorgestellt, das besagt, dass zwei beliebige Einbettungen einer Körpererweiterung k in eine endlichdimensionale zentrale einfache Algebra über k konjugiert sind. Das Brauer-Noether-Theorem bietet eine Charakterisierung der Aufteilungskörper für eine zentrale Divisionsalgebra über einen Körper.

Legacy

Noethers Beiträge bleiben für die Weiterentwicklung der theoretischen Physik und Mathematik relevant und festigen ihren Status als eine der bedeutendsten Mathematikerinnen des 20. Jahrhunderts. Während ihres gesamten Lebens und bis zum heutigen Tag haben prominente Mathematiker wie Pavel Alexandrov, Hermann Weyl und Jean Dieudonné Noether als die außergewöhnlichste Mathematikerin der aufgezeichneten Geschichte gefeiert.

In einem Brief an die The New York Times artikulierte Albert Einstein:

Nach dem Urteil der kompetentesten lebenden Mathematiker war Fräulein Noether das bedeutendste kreative mathematische Genie, das jemals seit Beginn der Hochschulbildung von Frauen hervorgebracht wurde. Auf dem Gebiet der Algebra, mit dem sich seit Jahrhunderten die begabtesten Mathematiker beschäftigen, entdeckte sie Methoden, die für die Entwicklung der heutigen jüngeren Generation von Mathematikern von enormer Bedeutung waren.

In seinem Nachruf lobte ihr Algebrakollege B. L. van der Waerden ihre mathematische Originalität als „unvergleichlich absolut“, während Hermann Weyl behauptete, dass Noethers Beiträge „das Gesicht der [abstrakten] Algebra veränderten“. Der Mathematiker und Historiker Jeremy Gray stellte fest, dass Noethers Einfluss in jedem Lehrbuch der abstrakten Algebra offensichtlich ist, und erklärte: „Mathematiker machen die Ringtheorie einfach auf ihre Art.“ Ihr Name wurde posthum zahlreichen mathematischen Einheiten und dem Asteroiden 7001 Noether zugeschrieben. Im Jahr 2019 würdigte das Magazin Time die Frauen des Jahres seit 1920 mit 89 neuen Covern und wählte Noether für das Jahr 1921 aus.

• Zeitleiste von Frauen in der Wissenschaft
• Notizen

Notizen

Referenzen

Quellen

Ausgewählte Werke von Emmy Noether

Bücher

Bücher

• Phillips, Lee (2024), Einstein's Tutor: The Story of Emmy Noether and the Invention of Modern Physics, PublicAffairs, ISBN 9781541702974Hasse, Helmut; Noether, Emmy (2006), Lemmermeyer, Franz; Roquette, Peter (Hrsg.), Helmut Hasse und Emmy Noether – Die Korrespondenz 1925–1935 [Helmut Hasse und Emmy Noether – Ihre Korrespondenz 1925–1935] (PDF), Universität Göttingen, doi:

Artikel

• Angier, Natalie (26. März 2012), „The Mighty Mathematician You've Never Heard Of“, The New York Times, abgerufen am 27. Januar 2024Blue, Meredith (2001), Galois Theory and Noether's Problem (PDF), 34. Jahrestagung der Mathematical Association of America, MAA Florida Section, archiviert vom Original (PDF) am 29. Mai 2008, abgerufen 9. Juni 2018Phillips, Lee (26. Mai 2015), „Die Mathematikerin, die den Kurs der Physik veränderte – aber keinen Job bekommen konnte“, Ars Technica, Kalifornien: Condé Nast, abgerufen am 27. Januar 2024"Special Issue on Women in Mathematics" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 38 (7), Providence, RI: American Mathematical Society: 701–773, September 1991, ISSN 0002-9920Shen, Qinna (September 2019), „A Refugee Scholar from Nazi Germany: Emmy Noether and Bryn Mawr College“, The Mathematical Intelligencer, 41 (3): 52–65, doi:10.1007/s00283-018-9852-0, S2CID 128009850Online-Biografien
  • Byers, Nina (16. März 2001), „Emmy Noether“, Contributions of 20th Century Women to Physics, UCLA, archiviert vom Original am 12. Februar 2008Taylor, Mandie (22. Februar 2023), „Emmy Noether“, Biographies of Women Mathematicians, Agnes Scott CollegeChown, Marcus (5. März 2025), „Emmy Noether: das Genie, das Einstein unterrichtete“, Prospect
    • Emmy Noether beim Mathematics Genealogy Project
    • Noethers Bewerbung um Aufnahme an der Universität Erlangen-Nürnberg und drei ihrer Lebensläufe von der Website der Historikerin Cordula Tollemien

    Medien

    • Foto von Noether, aufgenommen von Hanna Kunsch – Spezialsammlungen der Bibliothek des Bryn Mawr College
    • Fotos von Noethers Kollegen und Bekannten von der Website von Clark Kimberling