Prueba de que pi es irracional (Proof that pi is irrational)

Durante la década de 1760, Johann Heinrich Lambert fue pionero en la demostración de que el número π es irracional, lo que significa que no se puede representar como una fracción. un / segundo , {\displaystyle a/b,} donde ambos un {\displaystyle a} y segundo {\displaystyle b} son números enteros. Posteriormente, en el siglo XIX, Charles Hermite desarrolló una prueba que sólo requiere una comprensión fundamental del cálculo. Mary Cartwright, Ivan Niven y "Nicolas Bourbaki" contribuyeron cada uno con simplificaciones de la prueba original de Hermite. Miklós Laczkovich también proporcionó una prueba clara que sirve como simplificación del método de Lambert. Un número importante de estas pruebas emplean la técnica de la contradicción.

En la década de 1760, Johann Heinrich Lambert fue el primero en demostrar que el número π es irracional, lo que significa que no se puede expresar como una fracción un / b , {\displaystyle a/b,} donde un {\displaystyle a} y b {\displaystyle b} son ambos números enteros. En el siglo XIX, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere conocimientos previos más allá del cálculo básico. Tres simplificaciones de la prueba de Hermite se deben a Mary Cartwright, Ivan Niven y "Nicolas Bourbaki". Otra prueba, que es una simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich. Muchas de ellas son pruebas por contradicción.

En 1882, Ferdinand von Lindemann estableció que π<!-- π --> {\displaystyle \pi } no es simplemente un número irracional, sino también trascendental.

Prueba de Lambert

En 1761, Johann Heinrich Lambert demostró la irracionalidad de π<!-- π --> {\displaystyle \pi } presentando inicialmente su expansión en fracción continua como válida:

Lambert demostró posteriormente que si ${\displaystyle x}$ es un número racional distinto de cero, la expresión correspondiente es necesariamente irracional. Dado que tan ⁡<!-- ⁡ --> π<!-- π --> §3334§ = §4041§ {\displaystyle \tan {\tfrac {\pi }{4}}=1} , lógicamente se deduce que ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ debe ser irracional, lo que a su vez implica que ${\displaystyle \pi }$ también es irracional. A continuación se presenta una versión simplificada de la prueba de Lambert.

Prueba de Hermite

Desarrollada en 1873, esta prueba aprovecha la definición de π<!-- π --> {\displaystyle \pi } como el valor positivo mínimo para el cual su mitad constituye un cero de la función coseno. Además, establece la irracionalidad de ${\displaystyle \pi ^{2}}$. De acuerdo con numerosas pruebas de irracionalidad, esta demostración emplea una prueba por contradicción.

Consideremos las secuencias de funciones reales, ${\displaystyle A_{n}}$ y ${\displaystyle U_{n}}$, para n ∈<!-- ∈ --> N §6162§ {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} , definido de la siguiente manera:

15§ ( x ) = pecado ⁡ ( x ) , Un n + §5556§ ( x ) = ∫ §7273§ x y Un n ( y ) d y U §110111§ ( x ) = pecado ⁡ ( x ) x , U n + §159160§ ( x ) = − U n ′ ( x ) x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(x)&=\sin(x),&&A_{n+1}(x)=\int _ {0}^{x}yA_{n}(y)\,dy\\[4pt]U_{0}(x)&={\frac {\sin(x)}{x}},&&U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}\end{aligned}}}

Las relaciones posteriores se pueden establecer formalmente mediante inducción matemática:

43§ ( §4956§ ) ! ! − x §75 §86 + x §118 §129 ∓ ⋯ U n ( x ) = §190191§ ( §195202§ ) ! ! − x §221 §226 + x §258259§ §263 ∓ ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+3}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \\[4pt]U_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}}

Consequently, the following relationship is established:

U n ( x ) = Un n ( x ) x §4445§ n + §5051§ . {\displaystyle U_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}.\,}

En consecuencia,

22§ ( x ) x §36 = U n + §6263§ ( x ) = − U n ′ ( x ) x = − §108109§ x d d x ( A n ( x ) x §155162§ ) = − §185186§ x ( A n ′ ( x ) ⋅ x §220227§ − ( §235242§ ) x §249 A n ( x ) x §274285§ ) ) = ( §310317§ ) A n ( x ) − x A n ′ ( x ) x §360 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}}&=U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{x}}\left({\frac {A_{n}'(x)\cdot x^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}A_{n}(x)}{x^{2(2n+1)}}}\right)\\[6pt]&={\frac {(2n+1)A_{n}(x)-xA_{n}'(x)}{x^{2n+3}}}\end{aligned}}}

This relationship is equivalent to the following expression:

Un n + §1415§ ( x ) = ( §2829§ n + §3435§ ) Un n ( x ) − x §5960§ Un n − §7273§ ( x ) . {\displaystyle A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x).\,}

Aplicando la definición de secuencia y utilizando la inducción matemática, se puede demostrar que:

${\displaystyle A_{n}(x)=P_{n}(x^{2})\sin(x)+xQ_{n}(x^{2})\cos(x),\,}$

Estas son funciones polinómicas, ${\displaystyle P_{n}}$ y ${\displaystyle Q_{n}}$, que poseen coeficientes enteros.El grado de ${\displaystyle P_{n}}$ es menor o igual que ⌊§8081§§8283§n⌋.{\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n{\bigr \rfloor }.} Específicamente, An(§128129§§130131§π)=Pn(§163164§§165166§π§176177§).{\displaystyle A_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=P_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}{\bigr )}.}

Hermite además proporcionó una expresión de forma cerrada para la función ${\displaystyle A_{n},}$, que se define como:

An(x)=x§2829§n+§3435§§4041§nn!∫§5859§§6263§(§6869§−z§7778§)ncos⁡(xz)dz.{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z.\,}

Aunque Hermite no proporcionó una justificación para esta afirmación, su prueba es sencilla. Fundamentalmente, esta afirmación equivale a

La función Un(x) se define formalmente mediante la siguiente expresión integral: §89§ §1213§ n n ! ∫ §3132§ §3536§ ( §4142§ − z §5051§ ) n porque ⁡ ( x z ) d z = Un n ( x ) x §107108§ n + §113114§ = U n ( x ) . {\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}=U_{n}(x).}

Para iniciar la prueba inductiva, considere el caso base donde n=§1011§. ${\displaystyle n=0.}$

Para este caso específico, la integral se evalúa como: ∫<!-- ∫ --> §1112§ §1516§ porque ⁡ ( x z ) d z = pecado ⁡ ( x ) x = U §6768§ ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {\sin(x)}{x}}=U_{0}(x)}

Posteriormente, para el paso inductivo, consideramos un número natural arbitrario n. n . {\displaystyle n.} Si

se supone que la siguiente relación es válida para Un(x): §89§ §1213§ n n ! ∫ §3132§ §3536§ ( §4142§ − z §5051§ ) n porque ⁡ ( x z ) d z = U n ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=U_{n}(x),}

Posteriormente, mediante la aplicación de la integración por partes y la regla de Leibniz, se obtiene

Suponiendo que

El valor de ${\displaystyle N=q^{\lfloor n/2\rfloor }{A_{n}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=q^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {1}{2^{n}n!}}\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi z\right)\,\mathrm {d} z.}$

Sin embargo, esta cantidad es inequívocamente mayor que ${\displaystyle 0.}$ Por el contrario, el límite de esta cantidad es ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N<1.}$ Esto conduce a una contradicción lógica.

La prueba de Hermite no fue un objetivo aislado sino más bien un resultado secundario de su búsqueda para demostrar la trascendencia de ${\displaystyle \pi .}$ Utilizó relaciones de recurrencia para desarrollar y derivar una representación integral adecuada. Una vez establecida esta representación integral, existen varios enfoques para construir una prueba concisa y autónoma, como lo ejemplifican las presentaciones de Cartwright, Bourbaki y Niven. Hermite pudo discernir fácilmente estos métodos, reflejando su enfoque al demostrar la trascendencia de ${\displaystyle e}$.

Además, la prueba de Hermite se parece más a la prueba de Lambert de lo que inicialmente parecía. Específicamente, ${\displaystyle A_{n}(x)}$ representa el "residuo" o "resto" de la fracción continua de Lambert para ${\displaystyle \tan x.}$

Prueba de Cartwright

Harold Jeffreys documentó que Mary Cartwright introdujo esta prueba como un problema de examen en la Universidad de Cambridge en 1945, aunque no había identificado su fuente original. Esta prueba continúa apareciendo en la cuarta hoja de problemas del curso Análisis IA de la Universidad de Cambridge.

Se consideran las siguientes integrales:

In(x)=∫<!-- ∫ -->−<!-- − -->§3031§§3435§(§4041§−z§4950§)ncos⁡(xz)dz,{\displaystyle I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz,}

dónde ${\displaystyle n}$ denota un número entero no negativo.

Aplicar la integración por partes dos veces produce la siguiente relación de recurrencia:

x§1011§In(x)=§3031§n(§3637§n−<!-- − -->§4344§)In−§5657§(x)−§6970§n(n−§8081§)Yon−§9394§(x).(n≥§114115§){\displaystyle x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).\qquad (n\geq 2)}

Si

La relación se expresa como Jn(x)=x§2627§n+§3233§In(x),{\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x),}.

Posteriormente, esta expresión se transforma en:

Jn(x)=§2223§n(§2829§n−<!-- − -->§3536§)Jn−§4849§(x)−§6162§n(n−§7273§)x§8081§Jn−§9394§(x).{\displaystyle J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x).}

Además, las condiciones iniciales se definen como J§1011§(x)=§2223§sin⁡<!-- ⁡ -->x{\displaystyle J_{0}(x)=2\sin x} y J§4950§(x)=−§6465§xcos⁡x+§7778§sin⁡x.{\displaystyle J_{1}(x)=-4x\cos x+4\sin x.} Estas condiciones son válidas para todos los ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+},}$.

Jn(x)=x§2627§n+§3233§In(x)=n!(Pn(x)sin⁡(x)+Qn(x)cos⁡(x)),{\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)=n!{\bigl (}P_{n}(x)\sin(x)+Q_{n}(x)\cos(x){\bigr )},}

Estos polinomios, específicamente ${\displaystyle P_{n}(x)}$ y ${\displaystyle Q_{n}(x)}$, poseer un grado de ${\displaystyle \leq n,}$ y presentan coeficientes enteros que dependen de ${\displaystyle n}$.

Sea x=§1314§§1516§π,{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi ,} y supongamos, en aras de la contradicción, que §4243§§4445§π=a/b{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi =a/b}, donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son números naturales (lo que implica que ${\displaystyle \pi }$ es racional). Entonces

a§1213§n+§1819§n!In(§4748§§4950§π)=Pn(§8283§§8485§π)b§102103§n+§108109§.{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}I_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=P_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}b^{2n+1}.}

El lado derecho de la ecuación es un número entero. Sin embargo, la desigualdad §27§<In(§2728§§29π)<§44${\displaystyle 0 es verdadero porque el intervalo${\displaystyle [-1,1]} tiene una longitud de {\displaystyle 2}, y los valores del integrando están confinados exclusivamente entre{\displaystyle 0} y{\displaystyle 1.} Por el contrario,

a§1213§n+§1819§n!→§3334§ como n→∞.{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}\to 0\quad {\text{ as }}n\to \infty .}

Por lo tanto, para {\displaystyle n},

Se establece la siguiente desigualdad: 7§ < a §1724§ I n ( π §43 ) n ! < §6162§ , {\displaystyle 0<{\frac {a^{2n+1}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1,}

Esto implica la existencia de un número entero entre §67§ {\displaystyle 0} y ${\displaystyle 1.}$ Tal hallazgo constituye una contradicción, que surge de la suposición inicial de que ${\displaystyle \pi }$ es un número racional.

Esta prueba es análoga a la demostración de Hermite; de hecho,

41§ ∫ − §5253§ §5657§ ( §6263§ − z §71 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = §112125§ ∫ §133134§ §137138§ ( §143144§ − z §152 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = §194202§ n ! A n ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2x^{2n+1}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2^{n+1}n!A_{n}(x).\end{aligned}}}

Nevertheless, this approach offers a distinct simplification, which is realized by omitting the inductive definition of the functions ${\displaystyle A_{n}}$ and instead commencing with their integral expression.

Prueba de Niven

Esta prueba utiliza la caracterización de ${\displaystyle \pi }$ como la raíz positiva mínima de la función seno.

Supongamos que ${\displaystyle \pi }$ es un número racional, lo que implica que se puede expresar como ${\displaystyle \pi =a/b}$, donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son números enteros positivos, sin pérdida de generalidad. Para cualquier entero positivo ${\displaystyle n,}$ la función polinómica se define como:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}}$

Además, para cada ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, definir:

{\displaystyle F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x).}

Afirmación 1: La suma ${\displaystyle F(0)+F(\pi )}$ es un número entero.

Prueba:

Conversely, given ${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$, it follows that ( −<!-- − --> §4950§ ) k f ( k ) ( π − x ) = f ( k ) ( x ) {\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(\pi -x)=f^{(k)}(x)} for every non-negative integer ${\displaystyle k.}$ Specifically, ( −<!-- − --> §140141§ ) k f ( k ) ( π ) = f ( k ) ( §185186§ ) . {\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(\pi )=f^{(k)}(0).} Consequently, ${\displaystyle f^{(k)}(\pi )}$ is likewise an integer, which implies that ${\displaystyle F(\pi )}$ is an integer (indeed, it can be readily demonstrated that F ( π<!-- π --> ) = F ( §277278§ ) {\displaystyle F(\pi )=F(0)} ). As both F ( §300301§ ) {\displaystyle F(0)} and ${\displaystyle F(\pi )}$ are integers, their sum is also an integer.

Afirmación 2:

∫<!-- ∫ --> §1011§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = F ( §5152§ ) + F ( π ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(0)+F(\pi )}

Prueba: Dado que f(§1415§n+§2021§){\displaystyle f^{(2n+2)}} representa el polinomio cero, se deduce que:

${\displaystyle F''+F=f.}$

Las derivadas de las funciones seno y coseno se definen como sin' = cos y cos' = −sin, respectivamente. En consecuencia, aplicando la regla del producto se obtiene:

${\displaystyle (F'\cdot \sin {}-F\cdot \cos {})'=f\cdot \sin }$

Según el teorema fundamental del cálculo,

∫<!-- ∫ -->§1617§πf(x)sin⁡(x)dx=(F′(x)sin⁡x−F(x)cos⁡x)|§106107§π.{\displaystyle \left.\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx={\bigl (}F'(x)\sin x-F(x)\cos x{\bigr )}\right|_{0}^{\pi }.}

Dado que sin⁡<!-- ⁡ -->§1112§=sin⁡π=§2526§{\displaystyle \sin 0=\sin \pi =0} y cos⁡<!-- ⁡ -->§4647§=−cos⁡π=§6364§{\displaystyle \cos 0=-\cos \pi =1} (utilizando la caracterización previamente establecida de ${\displaystyle \pi }$ como raíz de la función seno), por lo tanto queda justificada la afirmación 2.

Conclusión: Dado que 19§ {\displaystyle f(x)>0} y 44§ {\displaystyle \sin x>0} para el intervalo 60§ < x < π {\displaystyle 0 (como ${\displaystyle \pi }$ representa la raíz positiva más pequeña de la función seno), las afirmaciones 1 y 2 demuestran colectivamente que F ( §107108§ ) + F ( π ) {\displaystyle F(0)+F(\pi )} constituye un entero positivo. Además, considerando que §138139§ ≤ x ( a − b x ) ≤ π a {\displaystyle 0\leq x(a-bx)\leq \pi a} y §180181§ ≤ sin ⁡ x ≤ §195196§ {\displaystyle 0\leq \sin x\leq 1} para el rango §211212§ ≤ x ≤ π , {\displaystyle 0\leq x\leq \pi ,} se deduce de la definición original de ${\displaystyle f,}$

∫<!-- ∫ --> §1112§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x ≤ π ( π a ) n n ! {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\leq \pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}}

Este valor es menor que §67§{\displaystyle 1} para ${\displaystyle n,}$. En consecuencia, 45§)+F(π)<§6162§{\displaystyle F(0)+F(\pi )<1} se cumple para estos valores específicos de ${\displaystyle n,}$ según la Reivindicación 2. Sin embargo, este resultado es imposible para el entero positivo F(§99100§)+F(π).{\displaystyle F(0)+F(\pi ).} Esto demuestra que la premisa inicial, afirmando que ${\displaystyle \pi }$ es racional, resulta en una contradicción, concluyendo así la prueba.

La prueba anterior representa una versión refinada, intencionalmente simplificada en cuanto a su conocimiento previo, derivada de un análisis de la siguiente fórmula:

∫<!-- ∫ -->§1112§πf(x)sin⁡(x)dx=∑j=§5657§n(−§6970§)j(f(§8990§j)(π)+f(§112113§j)(§122123§))+(−§137138§)n+§147148§∫§155156§πf(§170(x)sin⁡(x)dx,{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(f^{(2j)}(\pi )+f^{(2j)}(0)\right)+(-1)^{n+1}\int _{0}^{\pi }f^{(2n+2)}(x)\sin(x)\,dx,}

Este resultado se obtiene mediante ${\displaystyle 2n+2}$ integraciones sucesivas por partes. La afirmación 2 fundamenta esta fórmula, donde la variable ${\displaystyle F}$ implícitamente representa el proceso de integración iterativo.El término integral final se vuelve cero porque ${\displaystyle f^{(2n+2)}}$ constituye el polinomio cero. Además, la reivindicación 1 demuestra que la suma restante produce un valor entero.

La prueba de Niven muestra un mayor parecido con la metodología de Cartwright (y, en consecuencia, con la de Hermite) de lo que se percibía inicialmente. En concreto,

41§ ∫ − §5253§ §5657§ ( §6263§ − z §71 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = ∫ − §120121§ §124125§ ( x §137 − ( x z ) §154 ) n x cos ⁡ ( x z ) d z . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\&=\int _{-1}^{1}\left(x^{2}-(xz)^{2}\right)^{n}x\cos(xz)\,dz.\end{aligned}}}

En consecuencia, la aplicación de la sustitución ${\displaystyle xz=y}$ convierte esta integral en la siguiente forma:

${\displaystyle \int _{-x}^{x}(x^{2}-y^{2})^{n}\cos(y)\,dy.}$

Específicamente,

142§ π ( π §162 §166167§ − ( y − π §188 ) §197 ) n cos ⁡ ( y − π §229 ) d y = ∫ §258259§ π y n ( π − y ) n sin ⁡ ( y ) d y = n ! b n ∫ §343344§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-y^{2}\right)^{n}\cos(y)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\right)^{n}\cos \left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }y^{n}(\pi -y)^{n}\sin(y)\,dy\\[5pt]&={\frac {n!}{b^{n}}}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx.\end{aligned}}}

A further connection between these proofs is evident in Hermite's observation that if ${\displaystyle f}$ represents a polynomial function, and

${\displaystyle F=f-f^{(2)}+f^{(4)}\mp \cdots ,}$ está definido,

entonces se cumple la siguiente identidad integral:

${\displaystyle \int f(x)\sin(x)\,dx=F'(x)\sin(x)-F(x)\cos(x)+C,}$

En consecuencia, se puede deducir que

∫<!-- ∫ --> §1112§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = F ( π ) + F ( §6263§ ) . {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(\pi )+F(0).}

La prueba de Bourbaki

La prueba atribuida a Bourbaki se presenta como un ejercicio dentro de su exhaustivo tratado de cálculo. Para cada número natural b y cada entero no negativo ${\displaystyle n,}$ se define lo siguiente:

A n ( b ) = b n ∫<!-- ∫ --> §3435§ π x n ( π − x ) n n ! sin ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle A_{n}(b)=b^{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {x^{n}(\pi -x)^{n}}{n!}}\sin(x)\,dx.}

Dado que ${\displaystyle A_{n}(b)}$ representa la integral de una función definida en el intervalo [ §3637§ , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} , que se evalúa como §5960§ {\displaystyle 0} en ambos §7576§ {\displaystyle 0} y ${\displaystyle \pi }$ pero es estrictamente mayor que §108109§ {\displaystyle 0} en otros lugares, se deduce que ${\displaystyle A_{n}(b)>0.}$.Además, para cualquier número natural ${\displaystyle b,}$ la condición 191§ {\displaystyle A_{n}(b)<1} se mantiene cuando ${\displaystyle n}$ es suficientemente grande, porque

${\displaystyle x(\pi -x)\leq \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}$

En consecuencia,

A n ( b ) ≤<!-- ≤ --> π<!-- π --> b n §3536§ n ! ( π §5455§ ) §5960§n = π ( b π §8081§ <!-- π -->/ §8586§ ) n n ! .{\displaystyle A_{n}(b)\leq \pi b^{n}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}=\pi {\frac {(b\pi ^{2}/4)^{n}}{n!}}.}

Por el contrario, mediante la aplicación iterativa de la integración por partes, se puede establecer que si ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son números naturales tales que ${\displaystyle \pi =a/b}$, y si ${\displaystyle f}$ denota el mapeo de funciones polinómicas del intervalo [ §8384§ , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} a ${\displaystyle \mathbb {R} }$, definido de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}},}$

entonces se cumple lo siguiente:

36§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = [ − f ( x ) cos ⁡ ( x ) ] x = §121122§ x = π − [ − f ′ ( x ) sin ⁡ ( x ) ] x = §185186§ x = π + ⋯   ± [ f ( §228 ( x ) cos ⁡ ( x ) ] x = §265266§ x = π ± ∫ §288289§ π f ( §303310§ ) ( x ) cos ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(b)&=\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\\[5pt]&={\Big [}{-f(x)\cos(x)}{\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }\,-{\Big [}{-f'(x)\sin(x)}{\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }+\cdots \\[5pt]&\ \qquad \pm {\Big [}f^{(2n)}(x)\cos(x){\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }\,\pm \int _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}(x)\cos(x)\,dx.\end{aligned}}}

The final integral evaluates to §67§ , {\displaystyle 0,} because f ( §3031§ n + §3637§ ) {\displaystyle f^{(2n+1)}} represents the null function.Esto se debe a ${\displaystyle f}$ siendo un polinomio de grado ${\displaystyle 2n}$. Dado que cada función ${\displaystyle f^{(k)}}$ (para §119120§ ≤ k ≤ §129130§ n {\displaystyle 0\leq k\leq 2n} ) produce valores enteros en §148149§ {\displaystyle 0} y ${\displaystyle \pi }$, y considerando el comportamiento análogo de las funciones seno y coseno, se establece que ${\displaystyle A_{n}(b)}$ es un número entero. Además, dado que este valor también es mayor que §209210§ , {\displaystyle 0,} debe ser un número natural. Sin embargo, también se ha demostrado que 244§ {\displaystyle A_{n}(b)<1} para ${\displaystyle n}$, lo que presenta una contradicción.

Esta prueba en particular tiene un gran parecido con la prueba de Niven; su distinción principal radica en la metodología empleada para demostrar que los valores ${\displaystyle A_{n}(b)}$ son números enteros.

La prueba de Laczkovich

Miklós Laczkovich desarrolló una prueba que simplifica la metodología original de Lambert. Su enfoque implica considerar funciones específicas.

f k ( x ) = §2223§ − x §3334§ k + x §4950§ §5455§ ! k ( k + §6667§ ) − x §8283§ §8788§ ! k ( k + §99100§ ) ( k + §109110§ ) + ⋯ ( k ∉ { §132133§ , − §139140§ , − §146147§ , …<!-- … --> } ) . {\displaystyle f_{k}(x)=1-{\frac {x^{2}}{k}}+{\frac {x^{4}}{2!k(k+1)}}-{\frac {x^{6}}{3!k(k+1)(k+2)}}+\cdots \quad (k\notin \{0,-1,-2,\ldots \}).}

Estas funciones están definidas explícitamente para cualquier número real ${\displaystyle x.}$ Además,

f §1011§ / §1617§ ( x ) = porque ⁡ ( §3536§ x ) , {\displaystyle f_{1/2}(x)=\cos(2x),}

${\displaystyle f_{3/2}(x)={\frac {\sin(2x)}{2x}}.}$

Afirmación 1: La relación de recurrencia posterior es válida para cualquier número real x {\displaystyle x}:

{\displaystyle {\frac {x^2}{k(k+1)}}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_k(x).}

La prueba de esta afirmación implica un análisis comparativo de los coeficientes asociados con las potencias de {\displaystyle x.}

La afirmación 2 postula que para cada número real {\displaystyle x,} se cumple lo siguiente:

{\displaystyle \lim _{k\to +\infty }f_k(x)=1.}

Prueba: La secuencia {\displaystyle x^{2n}/n!} está claramente acotada, ya que converge a{\displaystyle 0}. En consecuencia, si{\displaystyle C} representa un límite superior y

Se cumple la siguiente desigualdad: {\displaystyle \left|f_{k}(x)-1\right|\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C}{k^{n}}}=C{\frac {1/k}{1-1/k}}={\frac {C}{k-1}}.} Esto demuestra que la diferencia absoluta entre fk(x) y 1 está limitada por una serie infinita que converge a C dividida por (k menos 1).

La afirmación 3 afirma que si x no es igual a §1314§ (es decir, {\displaystyle x\neq 0,}), y si x es al cuadrado (es decir, {\displaystyle x^{2}}) es un número racional y, además, si k pertenece al conjunto de números racionales excluyendo 0 y enteros negativos (es decir, {\displaystyle k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}}), entonces se cumplen las siguientes condiciones aplicar:

Específicamente, fk(x) no será igual a §2324§, y la relación de fk+§4445§(x) a fk(x) no será un número racional, como formalmente indicado: {\displaystyle f_{k}(x)\neq 0\quad {\text{ and }}\quad {\frac {f_{k+1}(x)}{f_{k}(x)}}\notin \mathbb {Q}.}

Prueba: De lo contrario, supongamos que existe un número distinto de cero y y números enterosa yb satisfacen las condicionesf_k(x)=ay yf_{k+1}(x)=by.

La función 44§cnk(k+§6768§)⋯(k+n−§7980§)fk+n(x)n≠§103104§{\displaystyle g_{n}={\begin{cases}f_{k}(x)&n=0\\{\dfrac {c^{n}}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)&n\neq 0\end{cases}}} se define de la siguiente manera:

Entonces se deduce que

Los términos iniciales están dados por g§1011§=fk(x)=ay∈Zy y g§5657§=ckfk+§7778§(x)=bcky∈Zy.{\displaystyle g_{0}=f_{k}(x)=ay\in \mathbb {Z} y\quad {\text{ and }}\quad g_{1}={\frac {c}{k}}f_{k+1}(x)={\frac {bc}{k}}y\in \mathbb {Z} y.}.

Por el contrario, la Reivindicación 1 establece que

60§ ) ⋯ ( k + n − §7778§ ) ⋅ x §93 ( k + n ) ( k + n + §118119§ ) f k + n + §137 ( x ) = c n + §167 x §176 k ( k + §188189§ ) ⋯ ( k + n − §206207§ ) f k + n + §225226§ ( x ) − c n + §248 x §257 k ( k + §269270§ ) ⋯ ( k + n − §287288§ ) f k + n ( x ) = c ( k + n ) x §342 g n + §356357§ − c §369 x §377 g n = ( c k x §417 + c x §433 n ) g n + §453454§ − c §466 x §474 g n , {\displaystyle {\begin{aligned}g_{n+2}&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}\cdot {\frac {x^{2}}{(k+n)(k+n+1)}}f_{k+n+2}(x)\\[5pt]&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n+1}(x)-{\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)\\[5pt]&={\frac {c(k+n)}{x^{2}}}g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n}\\[5pt]&=\left({\frac {ck}{x^{2}}}+{\frac {c}{x^{2}}}n\right)g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n},\end{aligned}}}

This expression represents a linear combination of g n + §1415§ {\displaystyle g_{n+1}} and ${\displaystyle g_{n}}$, featuring integer coefficients.En consecuencia, cada término ${\displaystyle g_{n}}$ constituye un múltiplo entero de ${\displaystyle y.}$ Además, con base en la Reivindicación 2, se establece que cada ${\displaystyle g_{n}}$ excede §116117§ {\displaystyle 0} (lo que implica que ${\displaystyle g_{n}\geq |y|}$) para suficientemente grande ${\displaystyle n}$, y que la secuencia que comprende todos los ${\displaystyle g_{n}}$ converge hacia ${\displaystyle 0.}$ Sin embargo, una secuencia de números que son consistentemente mayores o iguales a ${\displaystyle |y|}$ no puede converger a ${\displaystyle 0.}$

Dado que f §1011§ / §1617§ ( §2526§ §2728§ π ) = cos ⁡ §4748§ §4950§ π = §5960§ , {\displaystyle f_{1/2}({\tfrac {1}{4}}\pi )=\cos {\tfrac {1}{2}}\pi =0,} , la afirmación 3 demuestra lógicamente que §8081§ §8283§ π §9293§ {\displaystyle {\tfrac {1}{16}}\pi ^{2}} es irracional, lo que a su vez demuestra que ${\displaystyle \pi }$ es irracional.

Por el contrario, dado que

bronceado ⁡<!-- ⁡ --> x = pecado ⁡<!-- ⁡ --> x porque ⁡<!-- ⁡ --> x = x f §4849§ / §5455§ ( x / §6667§ ) f §7677§ / §8283§ ( x / §9495§ ) , {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=x{\frac {f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2)}},}

Una implicación adicional de la afirmación 3 es que si x ∈<!-- ∈ --> Q ∖<!-- ∖ --> { §2021§ } , {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},} luego ${\displaystyle \tan x}$ es un número irracional.

La prueba de Laczkovich se centra en la función hipergeométrica. Específicamente, f k ( x ) = §2627§ F §3435§ ( k − x §4950§ ) {\displaystyle f_{k}(x)={}_{0}F_{1}(k-x^{2})} . Gauss había establecido previamente una expansión fraccionaria continua para la función hipergeométrica utilizando su ecuación funcional. Este trabajo fundamental permitió a Laczkovich desarrollar una prueba novedosa y más sencilla de la expansión fraccional continua de la función tangente, un descubrimiento originalmente atribuido a Lambert.

Los hallazgos de Laczkovich pueden articularse alternativamente utilizando funciones de Bessel del primer tipo, específicamente ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$. Específicamente, la relación se define por Γ<!-- Γ --> ( k ) J k −<!-- − --> §5354§ ( §5960§ x ) = x k −<!-- − --> §7677§ f k ( x ) {\displaystyle \Gamma (k)J_{k-1}(2x)=x^{k-1}f_{k}(x)} , donde ${\displaystyle \Gamma }$ denota la función gamma. En consecuencia, el hallazgo de Laczkovich es equivalente a la afirmación de que si x ≠<!-- ≠ --> §130131§ , {\displaystyle x\neq 0,} y ${\displaystyle x^{2}}$ es racional, con k ∈<!-- ∈ --> Q ∖<!-- ∖ --> { §184185§ , − §191192§ , − §198199§ , …<!-- … --> } {\displaystyle k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}} , entonces

x J k ( x ) J k −<!-- − --> §3637§ ( x ) ∉ Q . {\displaystyle {\frac {xJ_{k}(x)}{J_{k-1}(x)}}\notin \mathbb {Q}.}

Demostración de la irracionalidad de e

• Prueba de que e es irracional
• Demostración de la trascendencia de π

Referencias