Espace-temps (Spacetime)

En physique, l'espace-temps, également appelé continuum espace-temps, constitue un cadre mathématique qui unifie les trois dimensions spatiales avec la dimension temporelle unique en un continuum quadridimensionnel singulier. Les diagrammes spatio-temporels constituent des outils précieux pour visualiser et comprendre les phénomènes relativistes, en particulier la façon dont divers observateurs perçoivent le lieu et le moment des événements.

En physique, l'espace-temps, également appelé continuum espace-temps, est un modèle mathématique qui fusionne les trois dimensions de l'espace et la dimension du temps en un seul continuum à quatre dimensions. Les diagrammes spatio-temporels sont utiles pour visualiser et comprendre les effets relativistes, tels que la façon dont différents observateurs perçoivent où et quand les événements se produisent.

Avant le 20e siècle, l'hypothèse dominante postulait que la géométrie tridimensionnelle de l'univers (englobant les descriptions des emplacements, des formes, des distances et des directions) était fondamentalement distincte du temps, qui était compris comme la mesure des occurrences d'événements. Néanmoins, l'avènement de la transformation de Lorentz et la théorie de la relativité restreinte ont fondamentalement redéfini les concepts d'espace et de temps.

En 1908, Hermann Minkowski a introduit une interprétation géométrique de la relativité restreinte, qui intégrait le temps et les trois dimensions spatiales dans un continuum quadridimensionnel unifié, appelé par la suite espace de Minkowski. Cette conceptualisation s'est avérée cruciale pour la théorie générale de la relativité, où la masse et l'énergie induisent une courbure dans l'espace-temps.

Concepts fondamentaux

Définitions

Dans la mécanique classique non relativiste, le temps est conceptualisé comme une quantité scalaire universelle et uniforme, distincte de l'espace et universellement acceptée par tous les observateurs. La mécanique classique postule que le temps progresse à un rythme constant, indépendamment du mouvement de l'observateur ou de toute influence extérieure. De plus, cela suppose que l'espace est euclidien, adhérant aux principes géométriques conventionnels.

À l'inverse, dans le cadre de la relativité restreinte, le temps est inextricablement lié aux trois dimensions spatiales, étant donné que la progression temporelle observée pour un objet dépend de sa vitesse par rapport à l'observateur. La relativité générale explique en outre comment les champs gravitationnels peuvent ralentir le passage du temps pour un objet, tel que perçu par un observateur externe.

Dans des contextes spatiaux conventionnels, une position est définie par trois valeurs numériques, appelées dimensions. Dans le système de coordonnées cartésiennes, ceux-ci sont communément désignés par x, y et z. Un point spécifique dans l'espace-temps est appelé un événement, nécessitant quatre spécifications numériques : la localisation spatiale tridimensionnelle combinée à la position temporelle (Fig. 1). Par conséquent, un événement est caractérisé par un ensemble de coordonnées x, y, z et t, établissant l'espace-temps comme étant intrinsèquement quadridimensionnel.

Contrairement aux analogies courantes utilisées dans la littérature populaire, telles que les pétards ou les étincelles, les événements mathématiques possèdent une durée nulle et dénotent un point singulier dans l'espace-temps. Même si un observateur peut être en mouvement par rapport à la détonation d'un pétard ou à l'émission d'une étincelle, il est fondamentalement impossible pour un observateur d'être en mouvement par rapport à un événement lui-même.

La trajectoire d'une particule à travers l'espace-temps est conceptualisée comme une succession d'événements. Cette séquence d’événements peut être interconnectée pour former une courbe qui délimite la progression de la particule dans l’espace-temps. Ce chemin spécifique est désigné comme la ligne du monde de la particule.

Mathématiquement, l'espace-temps est caractérisé comme une variété, ce qui implique qu'il apparaît localement « plat » autour d'un point donné, un peu comme la surface d'un globe apparaît plane à des échelles suffisamment petites. Un facteur d'échelle crucial, ${\displaystyle c}$, classiquement connue sous le nom de vitesse de la lumière, établit la relation entre les distances spatiales et temporelles. L'immense ampleur de ce facteur - où environ 300 000 kilomètres (190 000 miles) dans l'espace correspondent à une seconde dans le temps - ainsi que la propriété multiple de l'espace-temps, indiquent qu'à des vitesses ordinaires non relativistes et à des distances à l'échelle humaine, les observations présentent un écart négligeable par rapport à ce à quoi on pourrait s'attendre dans un univers euclidien. Des écarts significatifs entre les observations empiriques et les prédictions dérivées de l'hypothèse implicite de l'espace euclidien n'ont commencé à être remarqués qu'au milieu des années 1800, suite à l'avènement de mesures scientifiques sensibles telles que l'expérience Fizeau et l'expérience Michelson-Morley.

En relativité restreinte, le terme « observateur » désigne généralement un cadre de référence à partir duquel les mesures d'objets ou d'événements sont effectuées. Cette définition s’écarte considérablement de la compréhension anglaise courante du mot. Étant donné que les cadres de référence sont des entités intrinsèquement non locales, il est inapproprié, dans ce contexte, d'attribuer un emplacement spécifique à un observateur.

Comme l'illustre la figure 1-1, on peut conceptualiser le cadre de référence comme étant doté d'un réseau étendu et synchronisé d'horloges, qui imprègne indéfiniment les trois dimensions spatiales. La position précise d’une horloge individuelle dans ce réseau est sans conséquence. Ce réseau d'horloges sert à déterminer les coordonnées temporelles et spatiales des événements se produisant tout au long de l'image. Par conséquent, le terme observateur englobe l'ensemble des horloges liées à un seul référentiel inertiel.

Dans ce scénario idéalisé, chaque point spatial est équipé d'une horloge, permettant un enregistrement instantané des événements sans aucun décalage temporel entre l'occurrence d'un événement et son enregistrement. En revanche, un observateur réel subit un délai entre l’émission du signal et la détection, attribuable à la vitesse finie de la lumière. Pour obtenir la synchronisation de l'horloge pendant la réduction des données post-expérience, l'heure de réception du signal est ajustée pour correspondre à l'heure réelle à laquelle elle aurait été enregistrée par un réseau d'horloge idéalisé.

De nombreux textes sur la relativité restreinte, en particulier des publications antérieures, emploient le mot « observateur » dans son sens plus conventionnel. Généralement, la signification voulue est perceptible à partir du contexte environnant.

Les physiciens font la différence entre ce qui est mesuré ou observé (après avoir pris en compte les délais de propagation du signal) et ce qui est perçu visuellement sans ces corrections. Un manque de compréhension concernant cette distinction entre mesure et perception visuelle directe conduit souvent à une confusion importante parmi les étudiants qui étudient la relativité.

Historique

Au milieu du XIXe siècle, des expériences telles que l'observation de la tache d'Arago et les mesures comparatives de la vitesse de la lumière dans l'air et dans l'eau ont été largement interprétées comme une preuve de la nature ondulatoire de la lumière, contredisant les théories corpusculaires. On a ensuite émis l'hypothèse que la propagation des ondes nécessitait un milieu ondulant, qui, pour les ondes lumineuses, était appelé l'éther lumineux. Cependant, les efforts visant à définir les caractéristiques de ce support hypothétique ont produit des résultats incohérents. Par exemple, l'expérience Fizeau de 1851, réalisée par le physicien français Hippolyte Fizeau, a révélé que la vitesse de la lumière dans l'eau en mouvement était inférieure à la vitesse combinée de la lumière dans l'air et de la vitesse de l'eau, la réduction étant dépendante de l'indice de réfraction de l'eau.

Entre autres complications, l'entraînement partiel de l'éther suggéré par cette expérience, qui variait avec l'indice de réfraction dépendant de la longueur d'onde, impliquait la conclusion problématique que l'éther se déplaçait simultanément à des vitesses distinctes pour différentes couleurs de lumière. De plus, l'expérience Michelson-Morley de 1887 (Fig. 1-2) n'a détecté aucun effet différentiel du mouvement de la Terre à travers l'éther hypothétique sur la vitesse de la lumière. L'explication la plus plausible, l'entraînement complet de l'éther, contredit les observations d'aberration stellaire.

En 1889, George Francis FitzGerald, suivi indépendamment par Hendrik Lorentz en 1892, postula que les objets matériels traversant l'éther stationnaire subissaient des altérations physiques. Plus précisément, ils ont proposé une contraction dans la direction du mouvement, précisément suffisante pour expliquer les résultats nuls de l'expérience de Michelson-Morley. Aucun changement de longueur correspondant n'était prédit dans les directions perpendiculaires au mouvement.

En 1904, Lorentz avait affiné sa théorie, développant des équations formellement identiques à celles dérivées plus tard par Einstein, connues sous le nom de transformation de Lorentz. En tant que théorie dynamique (concernant les forces, les couples et leur impact sur le mouvement), son cadre postulait de véritables déformations physiques au sein des constituants matériels de la matière. Les équations de Lorentz ont introduit une quantité qu'il a appelée temps local, qui lui a permis d'élucider des phénomènes tels que l'aberration de la lumière et l'expérience de Fizeau.

Henri Poincaré a été le pionnier de l'intégration de l'espace et du temps dans l'espace-temps. En 1898, il postule que la simultanéité de deux événements constitue un aspect conventionnel. En 1900, il identifia « l'heure locale » de Lorentz comme la mesure réelle fournie par les horloges en mouvement, grâce à l'application d'une définition opérationnelle explicite pour la synchronisation des horloges, fondée sur l'hypothèse d'une vitesse de lumière constante. En 1900 et 1904, il proposa l'indétectabilité intrinsèque de l'éther, soulignant ainsi la validité de son « principe de relativité ». Entre 1905 et 1906, il a affiné mathématiquement la théorie électronique de Lorentz pour l'aligner sur le postulat de la relativité.

Au cours de son exploration de diverses hypothèses concernant la gravitation invariante de Lorentz, Poincaré a été le pionnier du concept innovant d'un espace-temps à quatre dimensions, obtenu en définissant plusieurs quatre vecteurs, en particulier quatre positions, quatre vitesses et quatre forces. Cependant, il n'a pas continué avec le formalisme quadridimensionnel dans ses publications ultérieures, remarquant que cette direction de recherche semblait « entraîner de grandes difficultés pour un profit limité », et concluant finalement que « le langage tridimensionnel semble le mieux adapté à la description de notre monde ». Jusqu'en 1909, Poincaré persistait à articuler l'interprétation dynamique de la transformation de Lorentz.

En 1905, Albert Einstein examinait la relativité restreinte à travers le prisme de la cinématique (l'étude du mouvement indépendant des forces) plutôt que de la dynamique. Ses découvertes démontraient une équivalence mathématique avec les travaux de Lorentz et Poincaré. Il a dérivé ces résultats en postulant que la théorie complète pouvait être construite à partir de deux postulats fondamentaux : le principe de relativité et le principe de constance de la vitesse de la lumière. Ses publications étaient caractérisées par des images évocatrices, y compris des scénarios tels que l'échange de signaux lumineux entre des horloges en mouvement et des mesures précises de la longueur des tiges en mouvement.

En 1905, Einstein a dépassé les efforts antérieurs pour établir une relation masse-énergie électromagnétique en introduisant l'équivalence universelle de la masse et de l'énergie. Ce concept s'est avéré crucial pour sa formulation ultérieure du principe d'équivalence en 1907, qui affirme l'équivalence entre la masse inertielle et gravitationnelle. En utilisant l’équivalence masse-énergie, Einstein a démontré que la masse gravitationnelle d’un corps est directement proportionnelle à son contenu énergétique, une idée fondamentale dans le développement de la relativité générale. Bien qu'au départ il ne semblait pas conceptualiser l'espace-temps de manière géométrique, Einstein a pleinement intégré le formalisme de l'espace-temps au cours de l'évolution ultérieure de la relativité générale.

Parallèlement à la publication d'Einstein de 1905, son ancien professeur de mathématiques, Hermann Minkowski, avait déduit de manière indépendante de nombreux composants fondamentaux de la relativité restreinte. Max Born a raconté plus tard une rencontre avec Minkowski, au cours de laquelle il cherchait à devenir l'élève ou le collaborateur de Minkowski :

Je me suis rendu à Cologne, où j'ai rencontré Minkowski et assisté à sa célèbre conférence « Espace et temps », prononcée le 2 septembre 1908. [...] Il m'a informé plus tard qu'il avait été très surpris lorsque l'article d'Einstein a été publié, qui déclarait l'équivalence des différentes heures locales pour les observateurs en mouvement relatif ; car il était parvenu indépendamment aux mêmes conclusions mais ne les avait pas publiées, désirant d'abord développer pleinement la structure mathématique dans toute sa grandeur. Il n'a jamais affirmé de priorité et a systématiquement attribué à Einstein sa pleine contribution à cette découverte capitale.

Minkowski était préoccupé par l'état de l'électrodynamique à la suite des expériences révolutionnaires de Michelson depuis au moins l'été 1905. Cette période comprenait un séminaire avancé qu'il a co-dirigé avec David Hilbert, auquel ont participé d'éminents physiciens de l'époque et s'est concentré sur les travaux de Lorentz, Poincaré et d'autres. Minkowski considérait les contributions d'Einstein comme une extension des théories de Lorentz et reconnaissait Poincaré comme son influence la plus directe.

Le 5 novembre 1907, un peu plus d'un an avant son décès, Minkowski a dévoilé son interprétation géométrique de l'espace-temps lors d'une conférence intitulée Le principe de relativité (Das Relativitätsprinzip) à la Société mathématique de Göttingen. Par la suite, le 21 septembre 1908, Minkowski prononça son discours, Espace et Temps (Raum und Zeit), à la Société allemande des scientifiques et des médecins. Les remarques introductives de Espace et Temps contiennent l'affirmation célèbre de Minkowski : « Désormais, l'espace pour lui-même et le temps pour lui-même seront complètement réduits à une simple ombre, et seule une sorte d'union des deux préservera l'indépendance. » Cette présentation, Espace et temps, marquait la première présentation publique de diagrammes d'espace-temps (Fig. 1-4) et présentait une démonstration notable que le concept d'intervalle invariant, combiné à la découverte empirique d'une vitesse finie de la lumière, permet la dérivation complète de la relativité restreinte.

Le cadre conceptuel de l'espace-temps et le groupe de Lorentz présentent des liens étroits avec des catégories spécifiques d'espace-temps sphérique, hyperbolique ou géométries conformes et leurs groupes de transformation associés, qui ont été établis au 19ème siècle. Ces systèmes géométriques antérieurs utilisaient également des intervalles invariants analogues à l'intervalle espace-temps.

Au départ, Einstein a exprimé son scepticisme quant à l'interprétation géométrique de la relativité restreinte de Minkowski, la qualifiant de überflüssige Gelehrsamkeit (apprentissage superflu). Néanmoins, alors qu’Einstein poursuivait sa quête de la relativité générale, entamée en 1907, la perspective géométrique de la relativité devint indispensable. En 1916, Einstein reconnaissait ouvertement sa profonde dette envers Minkowski, dont le cadre interprétatif facilitait considérablement la progression vers la relativité générale. Compte tenu de l'existence d'autres modèles d'espace-temps, tels que l'espace-temps courbe de la relativité générale, le concept d'espace-temps au sein de la relativité restreinte est désormais désigné comme Espace-temps de Minkowski.

Espace-temps en relativité restreinte

Intervalle spatio-temporel

Dans un espace euclidien tridimensionnel, la distance ${\displaystyle \Delta {d}}$ séparant deux points est quantifiable grâce à l'application du théorème de Pythagore :

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

Bien que des observateurs distincts puissent utiliser différents systèmes de coordonnées pour déterminer les positions x, y et z de deux points, la séparation spatiale entre ces points reste identique pour les deux, à condition qu'ils utilisent des unités de mesure cohérentes. Cette caractéristique implique que la distance est « invariante ».

À l'inverse, dans le cadre de la relativité restreinte, la distance entre deux points cesse d'être identique lorsqu'elle est mesurée par deux observateurs en mouvement relatif, phénomène attribué à la contraction de Lorentz. La complexité augmente encore si les deux points sont séparés par des intervalles à la fois spatiaux et temporels. Par exemple, un observateur témoin de deux événements au même endroit mais à des moments différents constatera qu'un observateur en mouvement relatif perçoit ces mêmes événements comme se produisant à des positions spatiales distinctes. Cette divergence se produit parce que l'observateur en mouvement considère son propre système de référence comme stationnaire, interprétant la position de l'événement comme étant en retrait ou en approche. Par conséquent, une métrique distincte est nécessaire pour quantifier la « distance » effective entre deux événements dans l’espace-temps.

Dans l'espace-temps à quatre dimensions, le concept analogue à la distance est l'intervalle. Bien que le temps fonctionne comme une quatrième dimension, son traitement diffère fondamentalement de celui des dimensions spatiales. Par conséquent, l'espace de Minkowski présente des distinctions significatives par rapport à l'espace euclidien à quatre dimensions. La principale justification de l’intégration de l’espace et du temps dans l’espace-temps découle de leur manque d’invariance individuel ; plus précisément, dans certaines conditions, des observateurs distincts percevront des écarts dans la séparation temporelle entre deux événements (en raison de la dilatation du temps) ou dans la séparation spatiale entre eux (en raison de la contraction de la longueur). La relativité restreinte introduit un nouvel invariant, appelé intervalle spatio-temporel, qui unifie les distances spatiales et temporelles. Tous les observateurs mesurant le temps et la distance entre deux événements calculeront invariablement le même intervalle spatio-temporel. Si un observateur mesure deux événements comme étant séparés dans le temps par ${\displaystyle \Delta t}$ et par une distance spatiale de ${\displaystyle \Delta x.}$, puis l'intervalle espace-temps au carré ( Δ<!-- Δ --> s ) §6162§ {\displaystyle (\Delta {s})^{2}} entre ces deux événements, séparés par une distance ${\displaystyle \Delta {x}>$ dans l'espace et par ${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$ dans le ${\displaystyle ct}$-coordonnée, est défini comme :

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

Alternativement, pour trois dimensions spatiales, l'équation est :

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$

La constante ${\displaystyle c,>$, représentant la vitesse de la lumière, convertit les unités temporelles (par exemple, les secondes), notées par ${\displaystyle t}$, en unités spatiales (par exemple, mètres). L'intervalle carré, exprimé sous la forme ${\displaystyle \Delta s^{2}}$, quantifie la séparation spatio-temporelle entre deux événements, A et B. Cette séparation peut provenir soit de deux objets distincts subissant des événements, soit d'un seul objet subissant un mouvement inertiel entre ses événements dans l'espace. Plus précisément, cet intervalle de séparation est défini comme la différence entre le carré de la distance spatiale séparant l'événement B de l'événement A et le carré de la distance spatiale parcourue par un signal lumineux pendant l'intervalle de temps identique. scriptlevel="0">Δt{\displaystyle \Delta t}.Lorsque la séparation entre les événements est uniquement attribuable à un signal lumineux, cette différence devient nulle, ce qui entraîne Δ<!-- Δ -->=§9192§{\displaystyle \Delta s=0}.

Pour les événements infiniment proches, l'expression suivante peut être formulée :

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

Dans un référentiel inertiel alternatif, défini par des coordonnées ${\displaystyle (t',x',y',z')>$, l'intervalle espace-temps d s ′ {\displaystyle ds'} conserve la même forme mathématique que celle décrite précédemment. En raison de la vitesse invariante de la lumière, les événements semblables à la lumière présentent systématiquement un intervalle espace-temps nul dans tous les référentiels inertiels, exprimé comme d s = d s ′ = §9293§ {\displaystyle ds=ds'=0} .Pour tout autre événement infinitésimal où d s ≠<!-- ≠ --> §115116§ {\displaystyle ds\neq 0} , on peut démontrer que ${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$, ce qui donne ensuite ${\displaystyle s=s'>$ lors de l'intégration. Cette invariance de l'intervalle spatio-temporel pour des événements identiques dans tous les référentiels inertiels constitue un principe fondamental de la théorie restreinte de la relativité.

Bien que les expressions d'intervalle soient souvent présentées sans notation delta par souci de concision, y compris dans les discussions ultérieures, il est crucial de reconnaître que ${\displaystyle x>$ signifie généralement ${\displaystyle \Delta {x}}$, et de même pour les autres coordonnées. L'accent reste systématiquement mis sur les différences entre les valeurs de coordonnées spatiales ou temporelles de deux événements distincts ; les valeurs de coordonnées individuelles n'ont pas de signification intrinsèque en raison de l'absence d'origine préférée.

Cette équation ressemble au théorème de Pythagore, mais elle incorpore un signe négatif entre les ${\displaystyle (ct)^{2}>$ et ${\displaystyle x^{2}>$ termes. L'intervalle spatio-temporel est défini comme la quantité ${\displaystyle s^{2},}$ plutôt que ${\displaystyle s}$ directement. Cette distinction est due au fait que, contrairement aux distances euclidiennes, les intervalles dans l'espace-temps de Minkowski peuvent prendre des valeurs négatives. Pour éviter les calculs impliquant les racines carrées de nombres négatifs, les physiciens traitent conventionnellement ${\displaystyle s^{2}}$ en tant que symbole indépendant, pas simplement le carré d'une autre quantité.

Il est important de noter que deux conventions de signes distinctes sont utilisées dans la littérature sur la relativité : la première est représentée par

s §14

15§

= ( c t ) §30

31§

− x §41

42§

− y §52

53§

− z §63

64§

{\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} .

La deuxième convention est donnée par

s §1213§ = − ( c t ) §3132§ + x §4142§ + y §5152§ + z §6162§ {\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}} .

Ces conventions de signes correspondent aux signatures métriques (+−−−) et (−+++), respectivement. Une légère modification consiste à positionner la coordonnée temporelle à la fin au lieu du début. Les deux conventions sont largement utilisées dans cette discipline académique.

Pour l'analyse ultérieure, la première convention sera adoptée.

La quantité ${\displaystyle s^{2}>$ peut prendre n'importe quelle valeur numérique réelle. Quand ${\displaystyle s^{2}>$ est positif, l'intervalle spatio-temporel est classé comme timelike. Cette classification est due au fait que la distance spatiale couverte par tout objet massif est invariablement inférieure à la distance parcourue par la lumière au cours de la même durée temporelle, garantissant ainsi que les intervalles positifs sont toujours temporels. Inversement, si ${\displaystyle s^{2}>$ est négatif, l'intervalle espace-temps est désigné comme semblable à un espace.Les intervalles spatio-temporels deviennent nuls lorsque ${\displaystyle x=\pm ct.>$ Cela implique que l'intervalle spatio-temporel entre deux événements se produisant sur la ligne du monde d'une entité se déplaçant à la vitesse de la lumière est précisément nul. Un tel intervalle est appelé lightlike ou null. Par exemple, un photon atteignant l'œil d'un observateur depuis une étoile lointaine ne subit aucun vieillissement, bien qu'il ait traversé des années (par rapport au cadre de référence de l'observateur) au cours de son voyage.

Les diagrammes spatio-temporels sont classiquement représentés à l'aide d'une seule coordonnée spatiale et temporelle. La figure 2-1 illustre un tel diagramme, montrant les lignes du monde (trajectoires dans l'espace-temps) de deux photons, A et B, qui proviennent d'un événement commun et se propagent dans des directions opposées. De plus, la ligne C représente la ligne d’univers d’un objet se déplaçant à une vitesse inférieure à la vitesse de la lumière. La coordonnée temporelle verticale est mise à l'échelle par ${\displaystyle c}$ pour garantir que ses unités (mètres) s'alignent sur celles de la coordonnée spatiale horizontale. Étant donné que les photons se déplacent à la vitesse de la lumière, leurs lignes d’univers correspondantes présentent une pente de ±1. Par conséquent, chaque mètre parcouru horizontalement par un photon nécessite environ 3,3 nanosecondes de progression temporelle.

Cadres de référence

Pour comprendre la comparaison des coordonnées spatio-temporelles mesurées par les observateurs dans des référentiels distincts, il est avantageux d'utiliser un agencement simplifié comportant des référentiels dans une configuration standard. Cette approche, lorsqu'elle est appliquée judicieusement, facilite la simplification mathématique sans compromettre la généralité des conclusions dérivées. La figure 2-2 présente deux référentiels galiléens (cadres spatiaux tridimensionnels conventionnels) en mouvement relatif. La trame S est associée à un observateur primaire O, tandis que la trame S′ (prononcée « S prime ») correspond à un observateur secondaire O′.

• Les axes x, y et z du cadre S sont alignés parallèlement aux axes amorcés correspondants du cadre S′.
• Le cadre S′ se déplace dans la direction x du cadre S à une vitesse constante v, telle qu'observée depuis le cadre S.
• Les origines des images S et S′ coïncident lorsque le temps t = 0 dans l'image S et t′ = 0 dans l'image S′.

La figure 2-3a reconfigure la figure 2-2 avec une orientation alternative. La figure 2-3b représente un diagramme espace-temps relativiste du point de vue de l'observateur O. Étant donné que les trames S et S′ sont dans une configuration standard, leurs origines s'alignent aux instants t = 0 dans la trame S et t′ = 0 dans la trame S′. L'axe ct′ coupe les événements dans l'image S′ où x′ = 0. Cependant, ces points, caractérisés par x′ = 0, sont en mouvement le long de la direction x de l'image S avec une vitesse v. Par conséquent, ils ne coïncident avec l’axe ct à aucun instant autre que zéro. Ainsi, l'axe ct′ est incliné par rapport à l'axe ct d'un angle θ, qui est défini par :

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

L'axe x′ est également incliné par rapport à l'axe x. Pour déterminer l'angle de cette inclinaison, on rappelle que la pente de la ligne d'univers d'une impulsion lumineuse est systématiquement ±1. La figure 2-3c illustre un diagramme espace-temps du point de vue de l'observateur O'. L'événement P signifie l'émission d'une impulsion lumineuse à x′ = 0, ct′ = −a. Cette impulsion est réfléchie par un miroir positionné à une distance a de la source lumineuse (événement Q), et retourne ensuite à la source lumineuse à x′ = 0, ct′ = a (événement R).

Les événements identiques P, Q et R sont représentés sur la figure 2-3b dans le cadre de référence de l'observateur O. Les trajectoires de la lumière présentent des pentes de 1 et −1 ; par conséquent, le triangle PQR constitue un triangle rectangle, avec les segments PQ et QR orientés chacun à 45 degrés par rapport aux axes x et ct. Étant donné que OP = OQ = OR, l'angle séparant x′ et x est nécessairement θ.

Bien que le cadre de repos comporte des axes spatiaux et temporels qui se coupent perpendiculairement, le cadre mobile est représenté avec des axes convergeant selon un angle aigu. Fondamentalement, ces cadres sont équivalents. Cette asymétrie observée résulte de distorsions inhérentes à la projection des coordonnées spatio-temporelles sur un plan cartésien et est comparable aux distorsions observées dans une projection Mercator de la Terre, où les dimensions relatives des masses continentales proches des pôles (par exemple, le Groenland et l'Antarctique) sont considérablement amplifiées par rapport à celles situées près de l'équateur.

Cône de lumière

Dans la figure 2-4, l'événement O est positionné à l'origine d'un diagramme espace-temps, où les deux lignes diagonales délimitent tous les événements possédant un intervalle espace-temps nul par rapport à l'événement d'origine. Collectivement, ces lignes constituent le cône de lumière de l'événement O, car l'inclusion d'une deuxième dimension spatiale (illustrée dans la figure 2-5) révèle la forme de deux cônes circulaires droits convergeant à leurs sommets en O. L'un des cônes se projette dans le futur (t>0), tandis que l'autre s'étend dans le passé (t<0).

Un cône léger (ou double) divise l'espace-temps en régions distinctes par rapport à son sommet. L'intérieur du futur cône de lumière englobe tous les événements dont la séparation du sommet est caractérisée par une distance temporelle supérieure à celle requise pour parcourir leur distance spatiale à la vitesse de la lumière ; ces événements définissent collectivement le futur temporel de l'événement O. De même, le passé temporel se compose des événements intérieurs au sein du cône de lumière passé. Par conséquent, pour les intervalles temporels, Δct dépasse Δx, rendant ces intervalles positifs.

La région externe au cône de lumière comprend des événements séparés de l'événement O par une distance spatiale supérieure à celle qui peut être parcourue à la vitesse de la lumière dans le temps spécifié. Ces événements constituent la région semblable à un espace de l'événement O, désignée comme "Ailleurs" sur la figure 2-4. Les événements situés directement sur le cône de lumière sont caractérisés comme semblables à la lumière (ou séparés de zéro) de O. En raison de l'invariance de l'intervalle espace-temps, tous les observateurs attribueront le même cône de lumière à tout événement spécifique, concourant ainsi à cette division fondamentale de l'espace-temps.

Le cône de lumière joue un rôle crucial dans le cadre de la causalité. Un signal se déplaçant à la vitesse de la lumière ou en dessous peut se propager des coordonnées spatio-temporelles de O à celles de D (Figure 2-4). Par conséquent, l'événement O peut exercer une influence causale sur l'événement D. Le futur cône de lumière englobe tous les événements susceptibles d'être influencés causalement par O. De même, un signal se déplaçant à la vitesse de la lumière ou en dessous peut se propager des coordonnées spatio-temporelles de A à celles de O. Le cône de lumière passé comprend tous les événements capables d'exercer une influence causale sur O. À l'inverse, dans l'hypothèse où les signaux ne peuvent pas dépasser la vitesse de la lumière, tout événement, tel que B ou C, situé dans la région semblable à l'espace (ailleurs), ne peut ni affecter l'événement O ni être affecté par l'événement O à travers une telle signalisation. Cette hypothèse exclut toute relation causale entre l'événement O et les événements situés dans la région spatiale d'un cône de lumière.

Relativité de la simultanéité

Tous les observateurs conviennent qu'un événement situé dans le futur cône de lumière d'un événement spécifié se produira invariablement après cet événement. De même, un événement situé dans le cône de lumière passé d'un événement spécifié se produira invariablement avant celui-ci. Cet ordre temporel, observé pour des événements séparés dans le temps, reste invariant quel que soit le cadre de référence de l'observateur ou son mouvement. Cependant, le scénario diverge considérablement pour les événements séparés par des espaces. Par exemple, Fig. 2-4 décrit un cadre de référence dans lequel l'observateur est stationnaire, avec v = 0. Dans ce cadre, on observe que l'événement C suit l'événement O, tandis que l'événement B précède l'événement O.

Vue à partir d'un cadre de référence alternatif, la séquence temporelle de ces événements non causalement liés peut être inversée. Plus précisément, si deux événements sont simultanés dans un cadre de référence donné, ils sont nécessairement séparés par un intervalle semblable à un espace, indiquant un manque de lien causal. Ce phénomène, où la simultanéité n'est pas absolue mais dépend du cadre de référence de l'observateur, est connu sous le nom de relativité de la simultanéité.

La figure 2-6 illustre l'utilisation de diagrammes espace-temps dans l'analyse de la relativité de la simultanéité. Bien que les événements dans l'espace-temps soient invariants, leurs référentiels de coordonnées subissent des transformations comme détaillé précédemment pour la figure 2-3. Les trois événements, désignés (A, B, C), sont perçus comme simultanés par un observateur dans un référentiel avec v = 0. A l'inverse, un observateur dans un référentiel se déplaçant à v = 0,3c, perçoit ces événements dans la séquence C, B, A. Pour un observateur dans un référentiel avec v = −0.5c, les événements sont observés dans l'ordre A, B, C. La ligne blanche désigne un plan de simultanéité, qui traverse le passé de l'observateur jusqu'à son futur, mettant ainsi en évidence les événements qui s'y situent. La région grise représente le cône de lumière de l'observateur, qui maintient son invariance.

Un intervalle spatio-temporel de type espace correspond à la distance qu'un observateur mesurerait si les événements considérés étaient simultanés de leur point de vue. Par conséquent, un intervalle espace-temps de type espace quantifie la distance appropriée, représentant la vraie distance, exprimée comme suit : −<!-- − --> s §1718§ . {\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.} De même, un intervalle spatio-temporel de type temps produit la même mesure temporelle que le temps écoulé cumulé enregistré par une horloge traversant une ligne mondiale spécifique. Par conséquent, un intervalle spatio-temporel de type temps fournit une mesure du temps propre, calculé comme : s §4748§ . {\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}

Hyperbole invariante

Dans l'espace euclidien, qui ne possède que des dimensions spatiales, les points équidistants d'un point central, tel que défini par la métrique euclidienne, constituent un cercle à deux dimensions ou une sphère à trois dimensions. À l'inverse, dans l'espace-temps de Minkowski (1+1)dimensionnel, caractérisé par une dimension temporelle et une dimension spatiale, les points maintenant un intervalle espace-temps constant à partir de l'origine, selon la métrique de Minkowski, délimitent des courbes décrites par les deux équations suivantes :

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

Ces équations, où ${\displaystyle s^{2}>$ représente une constante réelle positive, délimite deux familles distinctes d'hyperboles dans un diagramme espace-temps x–ct, collectivement désignées comme hyperboles invariantes.

La figure 2-7a illustre que chaque hyperbole magenta relie tous les événements caractérisés par une séparation spatiale constante de l'origine, tandis que les hyperboles vertes relient les événements présentant une séparation temporelle équivalente.

Les hyperboles magenta, coupant l'axe x, constituent des courbes temporelles. Ces courbes représentent les trajectoires réelles que les particules soumises à une accélération constante peuvent suivre dans l'espace-temps. Une relation causale est réalisable entre deux événements situés sur une telle hyperbole, car l'inverse de la pente pour toutes les sécantes - qui dénote la vitesse requise - reste en dessous scriptlevel="0"> c {\displaystyle c} . À l'inverse, les hyperboles vertes, qui coupent l'axe ct, sont des courbes spatiales. Cette classification se produit parce que tous les intervalles le long de ces hyperboles sont des intervalles semblables à des espaces, excluant tout lien causal entre deux points quelconques sur une seule hyperbole. Cela est dû au fait que toutes les sécantes correspondent à des vitesses dépassant ${\displaystyle c}$.

La figure 2-7b illustre ce scénario dans un espace-temps de Minkowski (1+2)dimensionnel, caractérisé par une dimension temporelle et deux dimensions spatiales, et ses hyperboloïdes associés. Dans ce contexte, les hyperboles invariantes décalées par des intervalles de type spatial à partir de l'origine produisent des hyperboloïdes d'une seule feuille, tandis que celles décalées par des intervalles de type temporel à partir de l'origine génèrent des hyperboloïdes de deux feuilles.

La limite dimensionnelle (1+2) délimitant les hyperboloïdes de type spatial et temporel, qui est définie par des événements présentant un intervalle d'espace-temps nul à partir de l'origine, est formée par la dégénérescence de ces hyperboloïdes en un cône de lumière. Dans les dimensions (1+1), les hyperboles dégénèrent en deux lignes grises à 45° illustrées sur la figure 2-7a.

Dilatation temporale et contraction de la longueur

La figure 2-8 représente l'hyperbole invariante englobant tous les événements accessibles depuis l'origine dans un temps approprié de 5 mètres (environ 1,67×10⁻⁸ s). Des lignes d'univers distinctes correspondent à des horloges se déplaçant à des vitesses variables. Une horloge au repos par rapport à l'observateur présente une ligne d'univers verticale, où le temps écoulé enregistré par l'observateur est identique au temps propre. Cependant, pour une horloge évoluant à 0,3 c, l'observateur mesure un temps écoulé de 5,24 mètres (1,75ק1415§−8 s). De plus, pour une horloge se déplaçant à 0,7 c, le temps écoulé observé est de 7,00 mètres (2,34ק2425§−8 s).

Cette observation illustre le phénomène appelé dilatation du temps. Les horloges se déplaçant à des vitesses plus élevées nécessitent une durée plus longue (dans le cadre de référence de l'observateur) pour enregistrer une quantité équivalente de temps propre. Parallèlement, ils parcourent une plus grande distance le long de l’axe des x pendant ce temps approprié qu’ils ne le feraient en l’absence de dilatation du temps. La mesure de la dilatation du temps entre deux observateurs dans des référentiels inertiels distincts est réciproque. Plus précisément, si l'observateur O perçoit les horloges de l'observateur O' comme fonctionnant plus lentement dans le cadre de O, alors l'observateur O' percevra, à son tour, les horloges de l'observateur O comme fonctionnant plus lentement.

La contraction de la longueur, analogue à la dilatation du temps, représente une conséquence directe de la relativité de la simultanéité. La détermination de la longueur nécessite de mesurer l'intervalle spatio-temporel entre deux événements simultanés dans un cadre de référence spécifique. Cependant, les événements jugés simultanés dans un cadre de référence ne le sont généralement pas lorsqu'ils sont observés à partir d'autres cadres de référence.

La figure 2-9 représente le mouvement d'une tige de 1 mètre se déplaçant à 0,5 c le long de l'axe x. Les limites de la bande bleue délimitent les lignes du monde correspondant aux deux extrémités du bâton. Une hyperbole invariante signifie des événements spatialement séparés de l'origine par un intervalle de 1 mètre. Les points finaux O et B, lorsqu'ils sont mesurés à t′ = 0, constituent des événements simultanés dans le cadre de référence S′. Cependant, pour un observateur situé dans le repère S, les événements O et B ne sont pas perçus comme simultanés. Pour vérifier la longueur, un observateur dans le cadre S détermine les extrémités de la tige en les projetant sur l'axe x le long de leurs lignes d'univers respectives. Cette projection de la feuille du monde de la tige sur l'axe x donne la longueur raccourcie OC.

Bien que cela ne soit pas explicitement illustré, la construction d'une ligne verticale passant par le point A pour couper l'axe x′ révèle que tout comme OB apparaît raccourci du point de vue de l'observateur O, OA est également raccourci du point de vue de l'observateur O′. Ce phénomène est parallèle à l'observation où chaque observateur perçoit les horloges de l'autre comme fonctionnant à un rythme plus lent et, par conséquent, chaque observateur mesure les règles de l'autre comme étant contractées.

Concernant la contraction mutuelle des longueurs, la Figure 2-9 démontre que les cadres de référence amorcés et non amorcés subissent une rotation mutuelle d'un angle hyperbolique, qui est analogue aux angles conventionnels de la géométrie euclidienne. Cet effet de rotation fait apparaître raccourcie la projection d'un bâton de mesure amorcé sur l'axe x non amorcé, et de même, la projection d'un bâton de mesure non amorcé sur l'axe x′ amorcé est également raccourcie.

La dilatation mutuelle du temps et le paradoxe des jumeaux

Dilation mutuelle du temps

La dilatation mutuelle du temps et la contraction de la longueur apparaissent souvent aux novices comme des concepts intrinsèquement contradictoires. Si un observateur dans le cadre S perçoit une horloge, stationnaire dans le cadre S′, comme fonctionnant plus lentement que la sienne, tandis que S′ se déplace à une vitesse de v par rapport à S, alors le principe de relativité exige qu'un observateur dans le cadre S′ perçoive de la même manière une horloge dans le cadre S, se déplaçant à une vitesse de −v par rapport à S′, comme fonctionnant plus lentement que la sienne. La question de savoir comment deux horloges peuvent fonctionner simultanément toutes deux plus lentement l'une que l'autre est une enquête fondamentale qui « va au cœur de la compréhension de la relativité restreinte ».

Cette contradiction perçue résulte d'une prise en compte inadéquate des configurations distinctes requises pour les mesures associées. Ces configurations spécifiques permettent une résolution cohérente de la contradiction simplement apparente. L’enjeu ne concerne pas le fonctionnement abstrait de deux horloges identiques, mais plutôt la méthodologie permettant de mesurer l’intervalle temporel entre deux ticks d’une horloge en mouvement au sein d’un même référentiel. Il est établi que lors de l'observation mutuelle de la durée entre les tics d'horloge, chaque horloge se déplaçant dans son cadre respectif, des ensembles distincts d'horloges sont nécessairement utilisés. Pour connaître la durée du tick d'une horloge mobile W′ (stationnaire dans S′) à partir de la trame S, il faut utiliser deux horloges supplémentaires synchronisées, W§45§ et W§67§, positionnées en deux points arbitrairement fixes dans S, séparés par une distance spatiale d.

Deux événements peuvent être définis par la condition « deux horloges sont simultanément à un seul endroit », spécifiquement lorsque W′ dépasse à la fois W₁ et W§34§. Pour chacun de ces événements, les lectures respectives des horloges colocalisées sont documentées. La disparité entre les deux lectures de W§5_{6§ et W§7}8§ représente la séparation temporelle des deux événements dans la trame S, leur séparation spatiale étant d. A l'inverse, la différence entre les deux lectures de W' constitue la séparation temporelle de ces événements dans la trame S'. Au sein de S ', ces événements sont exclusivement séparés temporellement et se produisent à la même position spatiale. En raison de l'invariance de l'intervalle spatio-temporel englobant ces deux événements, couplée à la séparation spatiale non nulle d dans S, la distance temporelle observée dans S′ doit être inférieure à celle dans S. Par conséquent, la plus petite distance temporelle entre les deux événements, dérivée des lectures de l'horloge mobile W′, correspond au fonctionnement plus lent de l'horloge W′.

Inversement, pour évaluer la séparation temporelle de deux événements sur une horloge mobile W (stationnaire en S) du point de vue de la trame S′, deux horloges stationnaires en S′ sont nécessaires.

Dans cette analyse comparative, on observe que l'horloge W se déplace avec une vitesse de −v. Le réenregistrement des quatre lectures d'événements, caractérisés par « deux horloges simultanément en un seul endroit », donne des distances temporelles analogues pour les deux événements. Ces événements sont désormais temporellement et spatialement distincts dans la trame S', mais seulement temporellement séparés et colocalisés dans la trame S. Pour que l'intervalle spatio-temporel reste invariant, la distance temporelle dans S doit être inférieure à celle dans S', en raison de la séparation spatiale des événements dans S'. Par conséquent, l'horloge W est perçue comme fonctionnant à un rythme plus lent.

Les mesures requises pour ces deux évaluations, impliquant respectivement "une horloge mobile" et "deux horloges fixes" dans les trames S et S′, nécessitent l'utilisation de deux ensembles distincts, comprenant chacun trois horloges. Étant donné que différents ensembles d'horloges sont utilisés pour ces mesures, il n'existe aucune exigence intrinsèque que les mesures présentent une cohérence réciproque ; ainsi, si un observateur perçoit l'horloge en mouvement comme lente, l'autre observateur n'est pas intrinsèquement obligé de percevoir l'autre horloge comme rapide.

La figure 2-10 représente visuellement le concept susmentionné de dilatation mutuelle du temps grâce à l'application des diagrammes de Minkowski. Le diagramme supérieur représente les mesures du point de vue du cadre S, considéré « au repos » et utilisant des axes rectangulaires non amorcés. L'image S′ est représentée "en mouvement avec v > 0" et est coordonnée par des axes obliques amorcés, inclinés vers la droite. À l'inverse, le diagramme inférieur illustre le cadre S′ comme « au repos », en utilisant des coordonnées rectangulaires amorcées, tandis que le cadre S est représenté « se déplaçant avec −v < 0 », avec des axes obliques non amorcés inclinés vers la gauche.

Toute ligne tracée parallèlement à un axe spatial (x, x′) signifie une ligne de simultanéité. Tous les événements situés sur une telle ligne partagent une valeur temporelle identique (ct, ct′). De même, chaque ligne construite parallèlement à un axe temporel (ct, ct′) désigne une ligne de valeurs de coordonnées spatiales équivalentes (x, x′).

Dans les deux diagrammes, l'origine O (= O′) peut être définie comme l'événement où « l'horloge en mouvement » coïncide spatialement avec la « première horloge stationnaire » dans les deux scénarios comparatifs. De toute évidence, lors de cet événement spécifique, les lectures des deux horloges dans les deux comparaisons sont nulles. Par conséquent, les lignes d'univers représentant les horloges en mouvement sont l'axe ct′, incliné vers la droite (dans les diagrammes supérieurs, pour l'horloge W′), et les axes ct, inclinés vers la gauche (dans les diagrammes inférieurs, pour l'horloge W). Les lignes d'univers pour W§1112§ et W′§1314§ correspondent aux axes verticaux du temps (ct dans les diagrammes supérieurs et ct′ dans les diagrammes inférieurs).

Dans le diagramme supérieur, la position de W₂ est désignée par A_x > 0. Par conséquent, la ligne d'univers de cette horloge (qui n'est pas représentée) coupe la ligne d'univers de l'horloge en mouvement (l'axe ct′) lors de l'événement étiqueté A, signifiant "deux horloges simultanément en un seul endroit". À l'inverse, dans le diagramme du bas, la position de W′§1112§ est fixée à C_x′ < 0. Par conséquent, pendant cette mesure, l'horloge mobile W dépasse W′§1920§ lors de l'événement C.

Dans le diagramme supérieur, la coordonnée ct A_t de l'événement A (représentant la lecture de W§910§) est désignée par B. Ceci indique le temps écoulé entre les deux événements, tel que mesuré par W§1314§ et W§1516§, qui est OB. À des fins de comparaison, la durée de l'intervalle de temps OA, enregistré par W′, nécessite une transformation pour s'aligner sur l'échelle de l'axe ct. Cette transformation est réalisée via l'hyperbole invariante, passant par A, qui relie tous les événements possédant un intervalle spatio-temporel identique à l'origine comme A. Ce processus identifie l'événement C sur l'axe ct, démontrant que OC < OB, confirmant ainsi que l'horloge "en mouvement" W′ fonctionne à un rythme plus lent.

Pour illustrer directement la dilatation temporelle mutuelle dans le diagramme supérieur, l'événement D peut être construit à x′ = 0 (la position de l'horloge W′ dans la trame S′), simultanément avec C (où OC partage un intervalle spatio-temporel équivalent avec OA) dans S′. Cette construction révèle que l'intervalle de temps OD dépasse OA, démontrant ainsi que l'horloge « en mouvement » fonctionne à une vitesse réduite.

Dans le diagramme du bas, le cadre S est représenté comme se déplaçant avec une vitesse de −v par rapport au cadre stationnaire S′. La ligne d'univers de l'horloge W s'aligne sur l'axe ct, qui est incliné vers la gauche. La ligne du monde pour W′§45§ correspond à l'axe vertical ct′, tandis que la ligne du monde pour W′§89§ est représentée par la ligne verticale passant par l'événement C, possédant une coordonnée ct′ de D. Un événement d'intersection d'hyperbole invariant C met à l'échelle l'intervalle de temps OC à OA, qui est manifestement plus court que OD. De plus, le point B est construit (analogue à D dans les diagrammes supérieurs) pour être simultané avec A dans le cadre S, spécifiquement à x = 0. Cette configuration donne le résultat OB > ; OC, conformément à l'explication précédente.

Le terme « mesure » ​​revêt une importance significative. En physique classique, l'acte d'observation d'un observateur n'influence pas l'objet observé ; cependant, l'état de mouvement de l'objet peut effectivement avoir un impact sur les observations de l'observateur sur cet objet.

Le paradoxe des jumeaux

De nombreux textes d'introduction à la relativité restreinte expliquent les distinctions entre la relativité galiléenne et la relativité restreinte à travers la présentation de divers « paradoxes ». Ces prétendus paradoxes sont, par essence, des problèmes mal définis résultant d’une connaissance insuffisante des vitesses proches de la vitesse de la lumière. La résolution implique une résolution approfondie de problèmes au sein de la relativité restreinte pour cultiver une compréhension de ses prédictions apparemment contre-intuitives. Le cadre géométrique d'analyse de l'espace-temps est largement considéré comme une méthodologie supérieure pour favoriser l'intuition contemporaine dans ce domaine.

Le paradoxe des jumeaux constitue une expérience de pensée impliquant des jumeaux identiques, dans laquelle l'un des jumeaux entreprend un voyage spatial à grande vitesse et revient ensuite sur Terre, découvrant que le frère ou la sœur resté immobile a vieilli de manière plus significative. Ce résultat semble à première vue déroutant, car chaque jumeau perçoit l’autre comme étant en mouvement, ce qui suggère que tous deux devraient observer l’autre comme ayant moins vieilli. Le paradoxe des jumeaux contourne la nécessité d’une troisième horloge, contournant ainsi la justification évoquée précédemment d’une dilatation mutuelle du temps. Néanmoins, le paradoxe des jumeaux n'est pas un véritable paradoxe, car sa résolution est facilement réalisable dans le cadre de la relativité restreinte.

La perception d'un paradoxe naît d'une mauvaise interprétation des principes de la relativité restreinte. La relativité restreinte postule l'équivalence des seuls référentiels inertiels, pas de tous les référentiels. Le référentiel du jumeau voyageur est non inertiel pendant les phases d'accélération. De plus, une distinction observable existe entre les jumeaux : le jumeau voyageur doit engager des fusées pour faciliter le voyage de retour, une exigence absente pour le jumeau stationnaire.

Ces distinctions fondamentales conduisent intrinsèquement à une disparité dans l'âge des jumeaux. Le diagramme espace-temps de la figure 2-11 illustre un scénario simple dans lequel un jumeau se déplace linéairement le long de l'axe des x et inverse rapidement sa direction. Du point de vue du jumeau stationnaire, le paradoxe des jumeaux ne présente aucune difficulté conceptuelle. Le temps propre cumulé mesuré le long de la ligne d'univers du jumeau en voyage, de l'événement O à C puis de C à B, est manifestement plus court que le temps propre vécu par le jumeau stationnaire, mesuré de O à A à B. Pour des trajectoires plus complexes, déterminer le temps propre total vécu par le jumeau en voyage nécessite d'intégrer le temps propre entre les événements pertinents le long du chemin courbe, réalisant ainsi une intégrale de chemin.

L'analyse du paradoxe des jumeaux du point de vue du jumeau en voyage introduit des éléments supplémentaires. complexités.

Désormais, la nomenclature de Weiss sera adoptée, identifiant le jumeau stationnaire comme Terence et le jumeau voyageant comme Stella.

Le référentiel de Stella est non inertiel. Par conséquent, on affirme parfois, bien qu'à tort, qu'une résolution complète du paradoxe des jumeaux nécessite l'application de la relativité générale :

Une analyse pure de relativité restreinte (SR) postule que : Du point de vue du cadre de repos de Stella, elle reste stationnaire tout au long du voyage. En initiant la manœuvre de retournement avec ses fusées, elle rencontre une pseudo-force semblable à une force gravitationnelle. Fig. 2-6 et 2-11 démontrent le concept de lignes (ou plans) de simultanéité : les lignes parallèles à l'axe x (ou au plan xy) d'un observateur délimitent les événements considérés comme simultanés dans le cadre de cet observateur. Plus précisément, sur la figure 2-11, les lignes bleues relient les événements sur la ligne mondiale de Terence que Stella perçoit comme simultanés avec les événements sur sa propre ligne mondiale. À l’inverse, Terence percevrait un ensemble distinct de lignes horizontales de simultanéité. Pendant les phases aller et retour du voyage de Stella, elle observe les horloges de Terence fonctionner à un rythme plus lent que la sienne. Cependant, pendant la phase de retournement (représentée par l'intervalle entre les lignes bleues en gras sur la figure), une modification notable se produit dans l'angle de ses lignes de simultanéité. Ce changement correspond à une transition rapide, sautant effectivement une séquence d'événements sur la ligne mondiale de Terence que Stella considérait auparavant comme simultanés avec la sienne. Par conséquent, à la fin de son voyage, Stella constate que Terence a beaucoup plus vieilli qu'elle.

Bien que la relativité générale ne soit pas strictement nécessaire pour analyser le paradoxe des jumeaux, l'utilisation du principe d'équivalence de la relativité générale offre un aperçu supplémentaire de ce phénomène. Stella ne reste pas stationnaire dans un référentiel inertiel. Du point de vue du cadre de repos de Stella, on observe qu'elle est immobile tout au long du voyage. Pendant les périodes de roue libre, son cadre de repos est inertiel, ce qui donne l'impression que l'horloge de Terence tourne lentement. Cependant, lorsqu'elle active ses fusées pour le retournement, son cadre de repos devient un cadre accéléré et elle perçoit une force qui simule une poussée dans un champ gravitationnel. Dans ce champ simulé, Terence semblerait être situé à un potentiel gravitationnel plus élevé et, en raison de la dilatation gravitationnelle du temps, son horloge semblerait fonctionner plus rapidement. Cet effet est suffisamment prononcé pour que le résultat global soit que Terence ait plus vieilli que Stella lors de leurs retrouvailles. Les fondements théoriques de la dilatation gravitationnelle du temps ne sont pas propres à la relativité générale. En effet, toute théorie gravitationnelle qui adhère au principe d'équivalence, même la théorie newtonienne, prédirait la dilatation gravitationnelle du temps.

Gravitation

Ce segment d'introduction a principalement abordé le continuum espace-temps au sein de la relativité restreinte, compte tenu de sa relative simplicité de description. L’espace-temps de Minkowski se caractérise par sa planéité, son mépris des effets gravitationnels, sa nature uniforme et sa fonction de simple toile de fond statique pour les événements qui se produisent. À l’inverse, l’inclusion de la gravité complique considérablement la conceptualisation de l’espace-temps. Au sein de la relativité générale, l’espace-temps transcende son rôle d’arrière-plan passif, mais s’engage activement dans les systèmes physiques qu’il englobe. Il présente une courbure en présence de matière, facilite la propagation des ondes, dévie la lumière et manifeste de nombreux autres phénomènes. Des exemples sélectionnés de ces phénomènes sont développés dans les sections suivantes de cet article.

Principes mathématiques fondamentaux de l'espace-temps

Transformations galiléennes

Un objectif fondamental consiste à comparer les mesures effectuées par des observateurs en mouvement relatif. Considérons un observateur O dans le cadre S qui a déterminé les coordonnées spatio-temporelles d'un événement, en le désignant avec trois coordonnées cartésiennes et une valeur temporelle obtenue à partir d'un réseau d'horloge synchronisé, représenté par (x, y, z, t) (comme illustré sur la Fig. 1-1). Un deuxième observateur, O′, situé dans un cadre distinct S′, mesure l'événement identique en utilisant son propre système de coordonnées et son réseau d'horloge synchronisé, donnant les coordonnées (x′, y′, z′, t′). Dans le contexte des référentiels inertiels, où aucun des observateurs ne subit d'accélération, un ensemble d'équations simples facilite la corrélation des coordonnées (x, y, z, t) avec (x′, y′, z′, t′). En supposant que les deux systèmes de coordonnées sont dans une configuration standard - impliquant un alignement avec des axes (x, y, z) parallèles et que t = 0 lorsque t′ = 0 - la transformation de coordonnées correspondante est exprimée comme :

${\displaystyle x'=x-vt}$

La relation mathématique suivante est établie : ${\displaystyle y'=y}$

De même, la relation pour la coordonnée z est exprimée comme suit : ${\displaystyle z'=z}$

De plus, la relation temporelle est définie par : ${\displaystyle t'=t.}$

La figure 3-1 démontre que, dans le cadre de la mécanique newtonienne, le temps est considéré comme universel, contrairement à la vitesse de la lumière. Pour illustrer ce principe, considérons un scénario hypothétique : un train, représenté par une flèche rouge, se déplace à 0,4 c par rapport à un quai stationnaire. A l'intérieur du train, un passager tire une balle qui atteint une vitesse de 0,4 c dans le référentiel du train. Un observateur positionné sur la voie ferrée, indiqué par une flèche bleue, mesurerait donc la vitesse de la balle à 0,8 c. Ce résultat correspond aux attentes conventionnelles et intuitives.

Dans un contexte plus généralisé, si le cadre S′ se traduit à une vitesse v par rapport au cadre S, un observateur O′ dans le cadre S′ mesurera la vitesse d'un objet comme u′. La vitesse u, par rapport à l'image S, peut être dérivée des relations x = ut, x′ = x − vt et t = t′. Par conséquent, x′ = ut − vt = (u − v)t = (u − v)t′. Cette dérivation aboutit à l'expression u′ = x′/t′, conduisant à l'équation finale :

${\displaystyle u'=u-v}$ ou, alternativement, ${\displaystyle u=u'+v,}$

Cette équation représente la loi galiléenne conventionnelle pour l'addition de vitesses, cohérente avec l'intuition classique.

Composition relativiste des vitesses

La méthodologie de composition des vitesses diverge considérablement dans le cadre de l'espace-temps relativiste. Pour rationaliser les expressions mathématiques, une notation abrégée standardisée est introduite pour le rapport entre la vitesse d'un objet et la vitesse de la lumière :

${\displaystyle \beta =v/c}$

La figure 3-2a représente un train rouge avançant à une vitesse définie par v/c = β = s/a. Dans le cadre de référence amorcé du train, un passager tire une balle avec une vitesse caractérisée par u′/c = β′ = n/m, où les distances sont quantifiées le long d'un axe parallèle à l'axe rouge x′, distinct de l'axe x noir. L'objectif est de déterminer la vitesse résultante u de la balle par rapport à la plateforme, comme indiqué par la flèche bleue. En référence à la figure 3-2b :

1. Du point de vue de la plate-forme, la vitesse composite de la balle est exprimée comme u = c(s + r)/(a + b).
2. Les deux triangles jaunes présentent des similitudes, car ce sont tous deux des triangles rectangles partageant un angle commun, α. Dans le plus grand triangle jaune, le rapport s/a est équivalent à v/c, qui est en outre égal à β.
3. Étant donné les rapports constants des côtés correspondants entre les deux triangles jaunes, il s'ensuit que r/a = b/s = n/m = β′. Par conséquent, b = u′s/c et r = u′a/c.
4. En remplaçant les expressions pour b et r dans l'expression pour u de l'étape 1, la formule d'Einstein pour l'addition des vitesses est dérivée :

   tu = v + tu ′ §3334§ + ( v tu ′ / c §5556§ ) . {\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}

La formule relativiste pour l'addition de vitesses, telle que présentée, présente plusieurs caractéristiques importantes :

• Lorsque u′ et v sont considérablement inférieurs à la vitesse de la lumière, le produit vu′/c§1213§ s'approche de zéro. Par conséquent, l'expression résultante devient impossible à distinguer de la formule galiléenne (de Newton) pour l'addition de vitesse : u = u′ + v. Cela indique que la formule galiléenne représente une instance spécifique de la formule relativiste, valable dans des conditions de faibles vitesses.
• Si u′ est égal à c, la formule donne systématiquement u = c, quelle que soit la valeur initiale de v. Cela démontre que la vitesse de la lumière reste constante pour tous les observateurs, quel que soit leur mouvement par rapport à la source émettrice.

Revisiter la dilatation du temps et la contraction de la longueur

Les expressions quantitatives de la dilatation du temps et de la contraction de la longueur peuvent être facilement dérivées. La figure 3-3 présente une image composite, comprenant des images individuelles de deux animations précédentes, qui ont été simplifiées et réétiquetées spécifiquement pour cette section.

Pour réduire légèrement la complexité des équations, diverses notations abrégées existent pour ct :

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$ et ${\displaystyle w=ct}$ sont fréquemment employés.

La convention ${\displaystyle c=1.}$ est également fréquemment utilisé.

Dans la figure 3-3a, les segments OA et OK désignent des intervalles spatio-temporels équivalents. La dilatation du temps est quantifiée par le rapport OB/OK. L'hyperbole invariante est définie par l'équation w = √x§1617§ + k§2021§, où k = OK. La ligne rouge, qui représente la ligne d'univers d'une particule en mouvement, a l'équation w = x/β = xc/v. La manipulation algébrique donne : O B = O K / §6263§ −<!-- − --> v §7172§ / c §8384§ . {\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}

L'expression contenant le symbole de la racine carrée est omniprésente en relativité ; son inverse est appelé facteur de Lorentz, symbolisé par la lettre grecque gamma ${\displaystyle \gamma }$ :

γ<!-- γ --> = §1314§ §1617§ − v §2526§ / c §3738§ = §4849§ §5152§ − β §6162§ {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}

Si v est égal ou supérieur à c, l'expression mathématique de ${\displaystyle \gamma }$ perd sa signification physique, indiquant ainsi que c représente la vitesse ultime atteignable dans l'univers. Alors que le facteur de Lorentz dépasse invariablement l'unité pour tout v supérieur à zéro, son profil de courbe démontre qu'à faibles vitesses, le facteur se rapproche de très près de un.

Dans la figure 3-3b, les segments OA et OK désignent des intervalles spatio-temporels équivalents. La contraction de la longueur est quantifiée par le rapport OB/OK. L'hyperbole invariante est définie par l'équation x = √w§1617§ + k§2021§, où k = OK. De plus, les limites de la région bleue, qui illustrent les lignes du monde des extrémités d'une tige en mouvement, possèdent une pente de 1/β = c/v. L'événement A est situé aux coordonnées (x, w) = (γk, γβk). Étant donné que la tangente passant par A et B adhère à l'équation w = (x − OB)/β, il s'ensuit que γβk = (γk − OB)/β, conduisant à :

O B / O K = γ<!-- γ --> ( §2526§ − β §3536§ ) = §4546§ γ {\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}

Transformations de Lorentz

Les transformations galiléennes, ainsi que le principe associé d'addition de vitesse, décrivent avec précision les phénomènes dans le domaine quotidien des basses vitesses, englobant des objets tels que des avions, des automobiles et des projectiles. Néanmoins, à partir du milieu du XIXe siècle, des instruments scientifiques avancés ont commencé à détecter des écarts incompatibles avec le modèle conventionnel d'addition de vitesse.

Dans le contexte de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz servent à convertir les coordonnées d'un événement entre différents référentiels inertiels.

Le facteur de Lorentz fait partie intégrante des transformations de Lorentz, se manifestant dans leur formulation mathématique :

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}>$

Les transformations de Lorentz inverses sont fournies par les équations suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}>$

Lorsque la vitesse v est considérablement inférieure à la vitesse de la lumière c et que la coordonnée spatiale x est suffisamment petite, les termes v§89§/c§1213§ et vx/c§1819§ deviennent négligeables, conduisant les transformations de Lorentz à approximer les transformations galiléennes.

Les équations de transformation de Lorentz, souvent présentées comme ${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),>$ ${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)>$${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$ ${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)>$x désigne implicitement Δx. Fondamentalement, ces transformations abordent les différences spatio-temporelles entre des événements distincts.

Désigner un ensemble de transformations de Lorentz comme « normal » et un autre comme « inverse » est imprécis, étant donné l'absence de distinction inhérente entre les cadres de référence. Divers auteurs qualifient de manière incohérente l'un ou l'autre ensemble de transformation « inverse ». Les transformations directes et inverses sont directement interconnectées car la trame S ne peut présenter qu'un mouvement vers l'avant ou vers l'arrière par rapport à S′. Par conséquent, inverser ces équations nécessite simplement d'échanger les variables amorcées et non amorcées et de remplacer v par −v.

Exemple : Prenons l'exemple d'une course spatiale Terre-Mars impliquant Terence, un officiel sur la ligne de départ, et Stella, une participante. Au moment initial, t = t′ = 0, le vaisseau spatial de Stella accélère instantanément jusqu'à une vitesse de 0,5 c. La distance mesurée entre la Terre et Mars est de 300 secondes-lumière, ce qui correspond à environ 90,0ק171819§ km. Terence observe Stella terminer la course à t = 600,00 s. À l'inverse, Stella enregistre l'heure sur son chronomètre embarqué comme ⁠${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$77,9ק9899100§ km.

Dérivation des transformations de Lorentz

Depuis les travaux fondateurs d'Einstein en 1905, de nombreuses dérivations des transformations de Lorentz ont émergé, chacune mettant l'accent sur des aspects distincts. Alors que la formulation initiale d'Einstein reposait sur l'invariance de la vitesse de la lumière, d'autres principes physiques peuvent servir de prémisses fondamentales. Fondamentalement, ces divers points de départ représentent diverses articulations du principe de localité, qui postule que l'influence entre les particules ne peut pas se propager instantanément.

La dérivation présentée ici, représentée sur la figure 3-5, provient de Bais et intègre les découvertes antérieures des sections sur la composition relativiste des vitesses, la dilatation du temps et la contraction des longueurs. L'événement P est caractérisé par les coordonnées (w, x) dans le "système de repos" désigné (cadre noir) et par les coordonnées (w′, x′) dans le cadre rouge, ce qui se traduit par un paramètre de vitesse β = v/c. Dans un premier temps, il est plus simple de déduire la transformation inverse de Lorentz pour exprimer w′ et x′ en termes de w et x, ou vice versa.

1. Les dimensions transversales excluent toute expansion ou contraction de longueur ; par conséquent, y' doit être équivalent à y, et z′ doit être égal à z. Le non-respect de cette condition impliquerait que la capacité d’une balle d’un mètre se déplaçant rapidement à traverser une ouverture circulaire de 1 mètre deviendrait dépendante de l’observateur. Une telle expansion ou contraction transversale contreviendrait directement au premier postulat de la relativité, qui affirme l'équivalence de tous les référentiels inertiels.
2. Comme illustré dans le dessin, les relations sont définies comme w = a + b et x = r + s.
3. Sur la base de dérivations antérieures impliquant des triangles similaires, il est établi que s/a = b/r = v/c = β.
4. Par conséquent, la dilatation du temps dicte que a = γw′.
5. La substitution de l'équation (4) dans l'expression s/a = β donne s = γw′β.
6. En appliquant les principes de contraction de longueur et de triangles similaires, nous obtenons r = γx′ et b = βr = βγx′.
7. En remplaçant les expressions dérivées de s, a, r et b dans les équations établies à l'étape 2, les relations suivantes sont directement obtenues : $${\displaystyle {\begin{aligned}w&=\gamma w'+\beta \gamma x'\\x&=\gamma x'+\beta \gamma w'\end{aligned}}}$$.

Ces équations susmentionnées représentent des formulations alternatives pour les composantes temporelles (t) et spatiales (x) de la transformation de Lorentz inverse. Cette équivalence devient évidente en remplaçant ct par w, ct′ par w′ et v/c par β. Par la suite, les équations de la transformation directe peuvent être déduites de cette transformation inverse en résolvant algébriquement t′ et x′.

La linéarité des transformations de Lorentz

Les transformations de Lorentz présentent une linéarité, une propriété mathématique où x′ et t′ sont exprimés sous forme de combinaisons linéaires de x et t, sans impliquer de puissances supérieures. Cette linéarité souligne une caractéristique fondamentale, implicitement assumée, de l’espace-temps lors de la dérivation : les attributs des référentiels inertiels restent cohérents quelle que soit leur position spatiale ou temporelle. Par conséquent, en l’absence de champs gravitationnels, l’espace-temps apparaît partout uniforme. Tous les observateurs inertiels seront d’accord sur la distinction entre mouvement accéléré et non accéléré. Bien que les observateurs individuels puissent utiliser leurs propres mesures spatiales et temporelles, celles-ci ne sont pas absolues ; les conventions d'observation alternatives sont également valables.

Une conséquence directe de la linéarité est que l'application séquentielle de deux transformations de Lorentz produit une autre transformation de Lorentz.

Par exemple : Terence perçoit Stella s'éloigner de lui à 0,500 c, lui permettant d'appliquer des transformations de Lorentz avec β = 0,500 pour établir une corrélation Les mesures de Stella avec les siennes. Depuis son cadre de référence, Stella observe Ursula s'éloigner à 0,250 c, et elle peut utiliser les transformations de Lorentz avec β = 0,250 pour relier les mesures d'Ursula aux siennes. En raison de la linéarité de ces transformations et de la composition relativiste des vitesses, Terence peut directement utiliser les transformations de Lorentz avec β = 0,666 pour établir une relation entre les mesures d'Ursula et les siennes.

L'effet Doppler

L'effet Doppler décrit la modification de la fréquence ou de la longueur d'onde d'une onde lorsqu'un récepteur et une source sont en mouvement relatif. Pour plus de clarté, cette discussion se concentre sur deux scénarios principaux : (1) la source et/ou le récepteur se déplacent précisément le long de la ligne qui les relie, connue sous le nom d'effet Doppler longitudinal ; et (2) leurs mouvements sont perpendiculaires à cette ligne de connexion, appelé effet Doppler transversal. Les cas impliquant des angles de mouvement intermédiaires ne sont pas abordés ici.

Effet Doppler longitudinal

L'analyse Doppler classique concerne les ondes se propageant à travers un milieu, tel que les ondes sonores ou les ondulations de l'eau, transmises entre les sources et les récepteurs en mouvement relatif. L'interprétation de ces ondes varie selon que la source, le récepteur ou les deux se déplacent par rapport au milieu. Dans un scénario spécifique où le récepteur reste stationnaire par rapport au support et où la source s'éloigne directement du récepteur à une vitesse de v_s, correspondant à un paramètre de vitesse de β_s, la longueur d'onde subit une augmentation et la fréquence observée f est déterminée par :

f = §1213§ §1516§ + β s f §3536§ {\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}

À l'inverse, dans un scénario où la source reste stationnaire et le récepteur s'éloigne directement de la source à une vitesse de v_r, caractérisé par un paramètre de vitesse de β_r, la longueur d'onde reste inchangée. Cependant, la vitesse de transmission des ondes par rapport au récepteur diminue, et la fréquence observée f s'exprime comme suit :

f = ( §1213§ − β r ) f §3233§ {\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}

La lumière, contrairement aux phénomènes tels que le son ou les ondulations de l'eau, ne nécessite pas de milieu de propagation. Par conséquent, il n'existe aucune distinction entre une source qui s'éloigne d'un récepteur et un récepteur qui s'éloigne d'une source. La figure 3-6 présente un diagramme espace-temps relativiste illustrant une source se séparant d'un récepteur avec un paramètre de vitesse ${\displaystyle \beta,}$. Cette configuration implique que la séparation entre la source et le récepteur au moment ${\displaystyle w>$ est ${\displaystyle \beta w>$. En raison de la dilatation du temps, la relation ${\displaystyle w=\gamma w'.}$ tient. Étant donné que la pente du rayon de lumière verte est de −1, l'expression T = w + β<!-- β --> w = γ<!-- γ --> w ′ ( §115116§ + β ) . {\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).} est dérivé. Par conséquent, l'effet Doppler relativiste est défini par :

f = §1415§ − β §2425§ + β f §4142§ . {\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}

Effet Doppler transversal

Considérons un scénario dans lequel une source et un récepteur s'approchent l'un de l'autre selon un mouvement inertiel uniforme le long de chemins non sécants, atteignant leur point de plus grande proximité. Classiquement, on pourrait s'attendre à ce que le récepteur ne détecte aucun décalage Doppler. Toutefois, en raison de la complexité analytique, cette attente n’est pas universellement valable. Lorsqu'il est défini avec précision, le décalage Doppler transversal constitue un phénomène relativiste sans contrepartie classique. Les subtilités sous-jacentes sont les suivantes :

Dans le scénario (a), le point d'approche le plus proche est invariant à travers les référentiels et signifie l'instant où le taux de changement de distance par rapport au temps est nul (c'est-à-dire, dr/dt = 0, où r désigne la distance entre le récepteur et la source), excluant ainsi tout décalage Doppler longitudinal. La source perçoit le récepteur comme étant éclairé par une lumière avec une fréquence de f′, tout en observant simultanément l'horloge du récepteur comme dilatée dans le temps. Par conséquent, dans la trame S, le récepteur est éclairé par une lumière décalée vers le bleu à une fréquence de :

f = f ′ γ<!-- γ --> = f ′ / §3334§ − β §4344§ {\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

Dans le scénario (b), le diagramme représente le récepteur éclairé par une lumière provenant de la position de la source à son approche la plus proche, malgré le mouvement ultérieur de la source. Étant donné que les horloges de la source présentent une dilatation du temps lorsqu'elles sont mesurées dans l'image S, et en considérant que dr/dt était nul à ce point spécifique, la lumière émise par la source à cette proximité la plus proche est décalée vers le rouge, ce qui donne une fréquence de :

f = f ′ / γ<!-- γ --> = f ′ §3334§ − β §4344§ {\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

L'analyse des scénarios (c) et (d) peut être réalisée en utilisant des principes simples de dilatation du temps. Plus précisément, dans le scénario (c), le récepteur perçoit la lumière de la source comme étant décalée vers le bleu d'un facteur ${\displaystyle \gamma }$, alors que dans le scénario (d), la lumière subit un redshift. Une complexité potentielle découle du mouvement accéléré des objets en orbite. Néanmoins, pour un observateur inertiel, le calcul de la dilatation du temps pour une horloge accélératrice dépend uniquement de sa vitesse instantanée. Il est important de noter que l’inverse de ce principe n’est pas valable. La majorité des cas documentés de décalage Doppler transversal caractérisent le phénomène comme un redshift, l'analysant généralement dans le cadre des scénarios (b) ou (d).

Énergie et élan

Extension de Momentum à quatre dimensions

Dans la mécanique classique, l'état cinématique d'une particule est défini par sa masse et sa vitesse. L'élan linéaire, calculé comme le produit de la masse et de la vitesse d'une particule, constitue une quantité vectorielle dont la direction s'aligne sur celle de la vitesse : p = mv. Cette quantité est conservée, ce qui implique que l'impulsion linéaire totale d'un système fermé reste invariante en l'absence de forces externes.

La mécanique relativiste nécessite l'expansion du vecteur impulsion en quatre dimensions. Une composante temporelle est ajoutée au vecteur impulsion, permettant au vecteur impulsion espace-temps de se transformer de manière analogue au vecteur de position espace-temps ⁠${\displaystyle (x,t)}$⁠. Pour étudier les caractéristiques de l'élan spatio-temporel, nous commençons par analyser une particule au repos, comme le montre la figure 3-8a. Dans le cadre de repos, la composante spatiale de l'élan est nulle (c'est-à-dire p = 0), tandis que la composante temporelle est équivalente à mc.

Les composantes transformées de ce vecteur dans le cadre mobile peuvent être dérivées à l'aide de transformations de Lorentz ou directement déduites de l'illustration, étant donné que ⁠${\displaystyle (mc)^{\prime }=\gamma mc}$⁠ et ⁠${\displaystyle p^{\prime }=-\beta \gamma mc}$⁠, en raison du redimensionnement gamma des axes rouges. La figure 3-8b représente graphiquement ce scénario du point de vue du repère mobile. De toute évidence, les composantes spatiales et temporelles de l'impulsion à quatre divergent vers l'infini à mesure que la vitesse du cadre mobile s'approche de c.

Cette information sera ensuite utilisée pour formuler une expression pour l'impulsion à quatre.

Élan de Lumière

Les photons, qui sont des particules lumineuses, se propagent à une vitesse de c, une constante classiquement désignée comme la vitesse de la lumière. Cette affirmation n’est pas tautologique, car de nombreux cadres relativistes contemporains ne posent pas la constance de la vitesse de la lumière comme postulat initial. Par conséquent, les photons traversent une ligne d'univers semblable à la lumière et, lorsqu'ils sont exprimés dans des unités appropriées, présentent des composantes spatiales et temporelles équivalentes pour tous les observateurs.

La théorie de l'électromagnétisme de Maxwell établit que la lumière transmet à la fois l'énergie et l'impulsion, leur rapport restant constant : ⁠${\displaystyle E/p=c>$⁠. Cette relation peut être réorganisée en ⁠${\displaystyle E/c=p>$⁠. Étant donné que les photons possèdent des composantes spatiales et temporelles égales, le terme E/c est par conséquent équivalent à la composante temporelle du vecteur impulsion espace-temps.

Malgré leur déplacement à la vitesse de la lumière, les photons présentent une impulsion et une énergie finies. Cette caractéristique nécessite que le terme de masse dans l'expression γmc soit nul, classant ainsi les photons comme des particules sans masse. Bien que le produit de l'infini et de zéro soit mathématiquement indéterminé, la quantité E/c reste définie avec précision.

Selon cette analyse, si l'énergie d'un photon est E dans son référentiel de repos, son énergie dans un référentiel en mouvement est donnée par ⁠${\displaystyle E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E}$⁠. Ce résultat peut être établi soit en examinant la figure 3-9, soit en employant des transformations de Lorentz, et il s'aligne sur l'analyse présentée précédemment de l'effet Doppler.

Relation masse-énergie

Einstein a formulé plusieurs conclusions importantes en examinant les relations entre les différentes composantes du vecteur impulsion relativiste.

• Dans la limite de faible vitesse, lorsque β = v/c tend vers zéro, le facteur de Lorentz γ se rapproche de 1. Par conséquent, la composante spatiale de l'élan relativiste, exprimée par ⁠${\displaystyle \beta \gamma mc=\gamma mv>$⁠, converge vers mv, qui représente l'élan classique. De ce point de vue, γm peut être compris comme une généralisation relativiste de m. Einstein a postulé que la masse relativiste d'un objet augmente avec sa vitesse, telle que définie par la formule ⁠${\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m}$⁠.
• De même, en comparant la composante temporelle de l'impulsion relativiste avec celle d'un photon, l'équivalence suivante est établie : ⁠${\displaystyle \gamma mc=m_{\text{rel}}c=E/c>$⁠. Cette dérivation a conduit Einstein à la relation fondamentale ⁠E = m rel c §6768§ {\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}} ⁠. Lorsqu'elle est simplifiée pour une vitesse nulle, cette équation représente la célèbre équivalence masse-énergie d'Einstein.

Une perspective alternative sur la relation masse-énergie consiste à examiner une expansion en série de γmc§34§ à faible vitesse : 55§ − β §6465§ = m c §8788§ + §9596§ §9798§ m v §107108§ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+\cdots \end{aligned}}} Le deuxième terme de cette expansion représente l'énergie cinétique de la particule, illustrant ainsi cette masse peut être comprise comme une manifestation de l'énergie.

L'introduction par Einstein en 1905 du concept de masse relativiste, m_rel, malgré sa validation quotidienne dans les accélérateurs de particules du monde entier et dans divers instruments reposant sur des particules à haute vitesse (par exemple, les microscopes électroniques, les téléviseurs couleur plus anciens), n'a pas émergé comme un concept fructueux en physique, n'ayant pas réussi à servir de fondement à des théories théoriques ultérieures. avancées. Par exemple, la masse relativiste n'a aucune signification dans le cadre de la relativité générale.

Par conséquent, et pour des raisons pédagogiques, la majorité des physiciens privilégient actuellement une terminologie alternative lorsqu'ils discutent de la relation masse-énergie. Le terme « masse relativiste » est désormais considéré comme obsolète. Le terme « masse » seul désigne désormais la masse au repos ou masse invariante, qui correspond à la longueur invariante du vecteur impulsion relativiste. Cette relation peut être formellement exprimée comme :

${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{\text{rest}}^{2}c^{4}}$

Cette formule est universellement applicable à toutes les particules, englobant à la fois les entités sans masse et les entités massives. Plus précisément, pour les photons, où m_rest est nul, l'équation se simplifie comme suit : ⁠${\displaystyle E=\pm pc}$⁠.

Quatre-momentum

Compte tenu du lien intrinsèque entre la masse et l'énergie, l'impulsion à quatre, également connue sous le nom d'impulsion à 4, est fréquemment appelée le vecteur à 4 énergie-impulsion. Lorsqu'un P majuscule signifie l'impulsion à quatre et qu'un p minuscule représente l'impulsion spatiale, l'impulsion à quatre peut être exprimée comme suit :

${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

Alternativement, l'impulsion à quatre peut être exprimée comme suit : ${\displaystyle P\equiv (E,{\vec {p}})=(E,p_{x},p_{y},p_{z})}$, en adoptant la convention où ${\displaystyle c=1.}$

Lois sur la conservation

En physique, les lois de conservation postulent que les attributs mesurables spécifiques d'un système physique isolé restent invariants tout au long de son évolution temporelle. En 1915, Emmy Noether démontrait que chaque loi de conservation est fondamentalement ancrée dans une symétrie naturelle. Par exemple, l'invariance translationnelle spatiale des processus physiques (c'est-à-dire leur indépendance par rapport au où ils se produisent) correspond à la conservation de l'impulsion, tandis que leur invariance translationnelle temporelle (c'est-à-dire leur indépendance par rapport au quand ils se produisent) correspond à la conservation de l'énergie, entre autres symétries. Cette section analysera les perspectives newtoniennes sur la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie à travers une lentille relativiste.

Momentum total

Pour comprendre les modifications nécessaires au concept newtonien de conservation de la quantité de mouvement dans un cadre relativiste, une analyse d'une collision unidimensionnelle impliquant deux corps est présentée.

Dans la mécanique newtonienne, deux scénarios extrêmes distincts de ce problème peuvent être identifiés, chacun offrant une complexité mathématique minimale :

1. Les deux corps subissent une collision parfaitement élastique, rebondissant l'un sur l'autre.
2. Les deux corps fusionnent, se déplaçant ensuite comme une seule particule composite, ce qui constitue une collision parfaitement inélastique.

Dans les deux scénarios (1) et (2), la quantité de mouvement, la masse et l'énergie totale sont des quantités conservées. Néanmoins, l'énergie cinétique n'est pas conservée lors de collisions inélastiques, puisqu'une partie de l'énergie cinétique initiale est transformée en chaleur.

Dans le deuxième scénario, deux masses distinctes, possédant des impulsions définies comme ⁠p §1314§ = m §2324§ v §3334§ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}> ⁠ et ⁠p §5960§ = m §6970§ v §7980§ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}} ⁠ respectivement, subissent une collision. Cette interaction aboutit à la formation d’une seule particule composite. Cette particule résultante présente une masse totale conservée, exprimée comme ⁠m = m §107108§ + m §117118§ {\displaystyle m=m_{1}+m_{2}> ⁠, et se déplace au centre de vitesse de masse du système initial, qui est donnée par v c m = ( m §158159§ v §166167§ + m §178179§ v §186187§ ) / ( m §208209§ + m §218219§ ) {\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)} .Tout au long de ce processus, l'élan total, représenté par ⁠p = p §250251§ + p §260261§ {\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}} ⁠, reste conservé.

La figure 3-10 représente la collision inélastique de deux particules dans un cadre relativiste. Les composants temporels, en particulier ⁠E §1112§ / c {\displaystyle E_{1}/c> ⁠ et ⁠E §4142§ / c {\displaystyle E_{2}/c} ⁠, somme du total E/c du vecteur résultant, démontrant ainsi la conservation de l'énergie. De même, les composants spatiaux ⁠p §7475§ {\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}} ⁠ et ⁠p §100101§ {\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}> ⁠ se combinent pour constituer p du vecteur résultant. Par conséquent, l’impulsion à quatre reste une quantité conservée, comme prévu. Néanmoins, la masse invariante de la particule fusionnée, définie par l'intersection de l'hyperbole invariante de l'impulsion totale avec l'axe de l'énergie, n'équivaut pas à la somme des masses invariantes des particules constitutives en collision. Plus précisément, cette masse invariante dépasse la somme des masses individuelles, exprimée par l'inégalité : ⁠132§ + m §141142§ {\displaystyle m>m_{1}+m_{2}> ⁠.

L'examen de ce scénario à l'envers révèle que la masse la non-conservation est un phénomène fréquent : par exemple, lorsqu'une particule élémentaire instable subit une désintégration spontanée en deux particules plus légères, l'énergie totale reste conservée, mais la masse totale ne l'est pas. Une partie de la masse est transformée en énergie cinétique.

Sélection des référentiels

La flexibilité de sélectionner n'importe quel cadre de référence pour l'analyse permet d'en choisir un particulièrement avantageux. Dans le contexte des problèmes de quantité de mouvement et d'énergie, le « cadre au centre de la quantité de mouvement » (également connu sous le nom de cadre à impulsion nulle ou cadre COM) offre généralement la plus grande commodité. Ce cadre est caractérisé par une composante spatiale nulle pour la quantité de mouvement totale du système. La figure 3-11 montre la fragmentation d'une particule à grande vitesse en deux particules filles. Dans le cadre du laboratoire, les particules filles présentent une émission préférentielle le long de la trajectoire de la particule mère. À l'inverse, dans le cadre COM, les deux particules filles sont émises dans des directions opposées, même si leurs masses et leurs amplitudes de vitesse sont généralement différentes.

Conservation de l'énergie et de l'élan

Dans une analyse newtonienne de particules en interaction, les transformations de trame sont simples, ne nécessitant que l'application de la transformation galiléenne à toutes les vitesses. Étant donné que ⁠${\displaystyle v'=v-u}$⁠, l'élan est par conséquent ⁠${\displaystyle p'=p-mu}$⁠. Par conséquent, si l'impulsion totale d'un système de particules en interaction est conservée dans un référentiel, elle sera également conservée dans tous les autres référentiels.

Dans le cadre du centre de masse (COM), le principe de conservation de la quantité de mouvement nécessite que la quantité de mouvement totale, p = 0, reste nulle avant et après une collision. La mécanique newtonienne postule en outre que la masse est conservée, exprimée par l'équation ⁠m = m §1920§ + m §2930§ {\displaystyle m=m_{1}+m_{2}} ⁠. Pour les scénarios de collision unidimensionnels simplifiés considérés, une contrainte supplémentaire, spécifiquement une condition énergétique, est requise pour déterminer la quantité de mouvement sortante des particules en interaction. Dans une collision unidimensionnelle parfaitement élastique, où aucune énergie cinétique n'est dissipée, les vitesses sortantes des particules rebondissantes dans le cadre COM seront exactement égales en ampleur et en direction opposée à leurs vitesses entrantes. À l'inverse, dans une collision totalement inélastique, caractérisée par une perte totale d'énergie cinétique, les vitesses sortantes des particules en collision seront nulles.

Moment newtonien, défini comme ⁠${\displaystyle p=mv}$⁠, présente un comportement inapproprié lorsqu'il est soumis à des transformations lorentziennes. La transformation de vitesse linéaire conventionnelle, ⁠${\displaystyle v'=v-u}$⁠, est remplacé par une transformation relativiste hautement non linéaire, ⁠v ′<!-- ′ --> = ( v −<!-- − --> tu ) / ( §9091§ − v tu / c §110111§ ) {\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})} ⁠. Par conséquent, une démonstration de conservation de la quantité de mouvement valable dans un référentiel serait invalide dans d’autres. Cela a placé Einstein devant un dilemme : soit abandonner le principe de conservation de la quantité de mouvement, soit réviser sa définition fondamentale. Il a opté pour cette dernière approche.

La loi de conservation relativiste, englobant à la fois l'énergie et la quantité de mouvement, remplace les trois lois classiques distinctes de conservation pour l'énergie, la quantité de mouvement et la masse. Dans ce cadre, la masse n’est plus une quantité conservée indépendamment, ayant été intégrée au concept d’énergie relativiste totale. Par conséquent, la conservation relativiste de l’énergie devient un principe plus simple que son homologue non relativiste, puisque l’énergie totale est conservée sans stipulations supplémentaires. Toute conversion d'énergie cinétique en chaleur ou en énergie potentielle interne est observée comme une augmentation correspondante de la masse.

Introduction à l'espace-temps courbe

Sujets techniques

L'espace-temps est-il intrinsèquement courbé ?

Selon la perspective conventionnaliste de Poincaré, les principaux déterminants du choix entre les géométries euclidiennes et non euclidiennes sont des considérations d'économie et de simplicité. Une interprétation réaliste affirme qu'Einstein a démontré empiriquement la nature non euclidienne de l'espace-temps. À l’inverse, un conventionnaliste soutiendrait qu’Einstein a simplement identifié la géométrie non euclidienne comme étant plus pratique pour décrire l’espace-temps. Du point de vue conventionnaliste, le cadre analytique d'Einstein n'offrait aucune déclaration définitive concernant la géométrie intrinsèque de l'espace-temps.

Nonobstant ces considérations,

1. Est-il possible de formuler la relativité générale dans un cadre espace-temps plat ?
2. Existe-t-il des contextes spécifiques dans lesquels une interprétation de l'espace-temps plat de la relativité générale pourrait s'avérer plus pratique par rapport à l'interprétation classique de l'espace-temps courbe ?

En réponse à l'enquête initiale, plusieurs auteurs, dont Deser, Grishchuk, Rosen et Weinberg, ont présenté diverses formulations de la gravitation comme un champ au sein d'une variété plate. Ces cadres théoriques sont appelés diversement « gravité bimétrique », « approche théorique des champs de la relativité générale » et des désignations similaires. Kip Thorne a fourni une revue largement accessible de ces théories.

Le paradigme de l'espace-temps plat postule que la matière génère un champ gravitationnel, qui provoque la contraction des règles lorsqu'elles sont orientées radialement à partir d'une position circonférentielle et induit une dilatation du rythme des horloges. Ce paradigme est tout à fait équivalent au paradigme de l’espace-temps courbe, car les deux représentent des phénomènes physiques identiques. Cependant, leurs formulations mathématiques sont nettement différentes. Les physiciens en exercice basculent régulièrement entre les techniques d'espace-temps courbes et plates, en fonction des exigences spécifiques du problème. Le paradigme de l’espace-temps plat est particulièrement pratique pour effectuer des calculs approximatifs dans des champs faibles. Par conséquent, les techniques d'espace-temps plat ont tendance à être utilisées pour résoudre les problèmes d'ondes gravitationnelles, tandis que les techniques d'espace-temps courbes sont généralement utilisées dans l'analyse des trous noirs.

Symétries asymptotiques

Le groupe de symétrie espace-temps pour la relativité restreinte est le groupe de Poincaré, un groupe à dix dimensions comprenant trois boosts de Lorentz, trois rotations et quatre traductions espace-temps. Il est logique de se demander quelles symétries, le cas échéant, pourraient s'appliquer à la Relativité Générale. Un cas traitable implique de considérer les symétries de l’espace-temps telles que perçues par des observateurs situés à distance de toutes les sources du champ gravitationnel. L'attente naïve de symétries spatio-temporelles asymptotiquement plates pourrait simplement être une extension et une reproduction des symétries spatio-temporelles plates de la relativité restreinte, à savoir le groupe de Poincaré.

En 1962, Hermann Bondi, M. G. van der Burg, A. W. Metzner et Rainer K. Sachs ont abordé ce problème de symétrie asymptotique pour étudier le flux d'énergie à l'infini. résultant de la propagation des ondes gravitationnelles. Leur première étape consistait à établir des conditions aux limites physiquement solides pour le champ gravitationnel à l'infini de la lumière, caractérisant ainsi ce qui constitue une métrique asymptotiquement plate, sans faire d'hypothèses a priori sur la nature ou même l'existence du groupe de symétrie asymptotique. Après la formulation de ce qu'ils considéraient comme les conditions aux limites les plus appropriées, ils ont procédé à l'analyse des caractéristiques des transformations de symétrie asymptotique résultantes qui préservent la forme de ces conditions aux limites adaptées aux champs gravitationnels asymptotiquement plats.

Leurs résultats ont révélé que les transformations de symétrie asymptotique constituent effectivement un groupe et que sa structure reste indépendante du champ gravitationnel spécifique présent. Cela implique que, comme prévu, la cinématique de l’espace-temps peut être séparée de la dynamique du champ gravitationnel, au moins à l’infini spatial. La découverte surprenante de 1962 fut un vaste groupe de dimension infinie, connu sous le nom de groupe BMS, servant de groupe de symétrie asymptotique, plutôt que le groupe de Poincaré de dimension finie, qui est un sous-groupe du groupe BMS. Au-delà des transformations de Lorentz, il existe des transformations supplémentaires qui ne sont pas des transformations de Lorentz mais sont classées comme transformations de symétrie asymptotique. Plus précisément, ils ont identifié un ensemble infini de générateurs de transformation supplémentaires appelés supertranslations. Cela conduit à la conclusion que la Relativité Générale (GR) ne se simplifie pas en relativité restreinte dans les scénarios impliquant des champs faibles sur de longues distances.

Géométrie riemannienne

Collecteurs courbes

D'un point de vue physique, le continuum espace-temps est mathématiquement caractérisé comme une variété lorentzienne à quatre dimensions, lisse et connectée, notée ${\displaystyle (M,g)>$. Cette définition implique que la métrique fluide de Lorentz ${\displaystyle g}$ possède une signature de ( §4849§ , §5253§ ) {\displaystyle (3,1)> . Cette métrique est fondamentale pour établir la géométrie de l'espace-temps et pour déterminer les trajectoires (géodésiques) des particules et des faisceaux lumineux. À chaque point ou événement de cette variété, des diagrammes de coordonnées sont utilisés pour représenter les observateurs dans des cadres de référence spécifiques. Généralement, les coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y,z,t)>$ sont utilisé. De plus, pour une simplification conceptuelle, les unités de mesure sont classiquement sélectionnées telles que la vitesse de la lumière, ${\displaystyle c}$, est normalisé à 1.

Chaque cadre de référence, incarnant un observateur, correspond à un diagramme de coordonnées spécifique, permettant à cet observateur de caractériser un événement donné ${\displaystyle p}$. Un cadre de référence distinct est représenté de la même manière par un diagramme de coordonnées distinct centré autour du même événement ${\displaystyle p}$. Par conséquent, deux observateurs, chacun situé dans un référentiel différent, fourniront des descriptions divergentes d'un événement identique ${\displaystyle p}$.

En règle générale, un collecteur nécessite de nombreux graphiques de coordonnées qui se chevauchent pour une couverture complète. Considérons deux de ces graphiques : un événement englobant ${\displaystyle p}$ (représentant un observateur principal) et un autre événement contenant ${\displaystyle q}$ (représentant un observateur secondaire). L'intersection de ces graphiques délimite la région espace-temps où les deux observateurs peuvent quantifier les phénomènes physiques et ensuite comparer leurs découvertes. La corrélation entre ces ensembles distincts de mesures est établie grâce à une transformation de coordonnées non singulières appliquée au sein de cette intersection. Cette conceptualisation des cartes de coordonnées en tant qu'observateurs localisés capables d'effectuer des mesures dans leur environnement immédiat s'aligne bien avec la méthodologie empirique d'acquisition de données physiques, qui est intrinsèquement locale.

À titre d'exemple illustratif, considérons deux observateurs : l'un situé sur Terre et l'autre à bord d'une fusée à grande vitesse en route vers Jupiter. Les deux pourraient être témoins d'une comète impactant Jupiter, un événement désigné comme ${\displaystyle p}$. Ces observateurs rapporteront généralement des coordonnées disparates pour l'emplacement précis et l'occurrence temporelle de l'impact, ce qui signifie qu'ils enregistreront des 4-tuples distincts ${\displaystyle (x,y,z,t)}$ en raison de leurs systèmes de coordonnées différents. Malgré ces divergences cinématiques, les lois dynamiques fondamentales, telles que la conservation de la quantité de mouvement et la première loi de la thermodynamique, restent valables. La théorie de la relativité impose cependant une condition plus stricte : elle exige que ces lois physiques et toutes les autres lois physiques présentent la même forme mathématique dans tous les systèmes de coordonnées autorisés. Ce principe nécessite l'incorporation de tenseurs dans le cadre de la relativité, car toutes les grandeurs physiques sont représentées à travers ces objets mathématiques.

Les géodésiques sont classées comme temporelles, nulles ou spatiales en fonction de la nature de leur vecteur tangent à un point donné. Dans l'espace-temps, les trajectoires des particules sont représentées par des géodésiques temporelles, tandis que les faisceaux lumineux suivent des géodésiques nulles (ou lumineuses).

La nature distinctive de l'espace-temps 3+1

Remarques

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Références

Barrow, John D. ; Tipler, Frank J. (1986). Le principe cosmologique anthropique (1ère éd.). Presse de l'Université d'Oxford. ISBN978-0-19-282147-8. LCCN 87028148.

• Barrow, John D. ; Tipler, Frank J. (1986). Le principe cosmologique anthropique (1ère éd.). Presse de l'Université d'Oxford. ISBN 978-0-19-282147-8. LCCN 87028148.Penrose, Roger (2004). La route vers la réalité. Oxford : Oxford University Press. ISBN 0-679-45443-8.Taylor, E. F. ; Wheeler, John A. (1992). Physique de l'espace-temps, deuxième édition. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.Arkani-Hamed, Nima (1er décembre 2017). Le destin de l'espace-temps : pourquoi il doit se dissoudre dans des structures plus fondamentales (discours). Présenté lors de la 2 384e réunion de la Société, Washington, D.C. Consulté le 16 juillet 2022.
  • Médias liés à l'espace-temps sur Wikimedia Commons
  • Article d'Albert Einstein de 1926 sur l'espace-temps, tiré de la 13e édition de l'Encyclopædia Britannica Historical.
  • Articles d'experts sur l'espace-temps et la gravitation de Scholarpedia.
  • "Espace et temps : cadres inertiels" par Robert DiSalle, de l'Encyclopédie de philosophie de Stanford.