Musique et mathématiques (Music and mathematics)

La théorie musicale examine systématiquement la hauteur, l'organisation temporelle et les éléments structurels des compositions musicales. Il utilise des principes mathématiques pour étudier diverses composantes musicales, notamment le tempo, les progressions harmoniques, les structures formelles et la mesure rythmique. Les efforts visant à conceptualiser et à articuler de nouvelles approches de la composition musicale et de la perception auditive ont abouti à l'application de la théorie des ensembles, de l'algèbre abstraite et de la théorie des nombres dans des contextes musicaux.

Bien que la théorie musicale contemporaine manque de cadre axiomatique dans les mathématiques modernes, les propriétés fondamentales du son musical se prêtent à une description mathématique par l'acoustique et démontrent une gamme notable de caractéristiques numériques.

Contexte historique

Alors que les anciennes civilisations chinoise, indienne, égyptienne et mésopotamienne sont reconnues pour leurs recherches sur les fondements mathématiques du son, les Pythagoriciens de la Grèce antique, notamment Philolaus et Archytas, sont considérés comme les premiers chercheurs connus à explorer la représentation des gammes musicales à travers des rapports numériques, en particulier ceux impliquant de petits nombres entiers. Leur principe philosophique principal affirmait que « toute la nature est constituée d'harmonie issue des nombres ».

Depuis Platon, l'harmonie était considérée comme un domaine essentiel de la physique, un domaine désormais identifié comme l'acoustique musicale. Les premiers théoriciens indiens et chinois ont présenté des méthodologies comparables, s’efforçant universellement de démontrer que les principes mathématiques régissant les harmoniques et les rythmes étaient cruciaux non seulement pour comprendre le monde mais aussi pour promouvoir le bien-être humain. Confucius, semblable à Pythagore, considérait les nombres entiers 1, 2, 3 et 4 comme l'origine de toute perfection.

Organisation temporelle, rythme et compteur

La musique repose fondamentalement sur les contraintes de la structure rythmique, qui englobe l'organisation cohérente et régulière de la répétition des impulsions, de l'accentuation, du phrasé et de la durée temporelle. L'application contemporaine de terminologies musicales telles que « mètre » et « mesure » souligne l'importance historique de la musique, aux côtés de l'astronomie, en faisant progresser les concepts d'énumération, d'arithmétique et de quantification précise du temps et de la périodicité, qui sont fondamentaux pour la physique.

Les composants de la forme musicale incorporent fréquemment des proportions précises ou des structures hypermétriques, souvent dérivées des puissances des nombres entiers 2 et 3.

Structure musicale

La forme musicale définit le schéma organisationnel à travers lequel une composition musicale concise est développée et développée. Le concept de « plan » est également employé en architecture, discipline à laquelle la forme musicale est fréquemment assimilée. À l’instar d’un architecte, un compositeur doit tenir compte du but recherché de l’œuvre et des ressources disponibles, en faisant preuve d’économie et en employant des principes de répétition et d’ordre. Les types formels courants, tels que les structures binaires et ternaires, qui signifient des arrangements « doubles » et « triples », illustrent davantage le rôle critique des petites valeurs entières dans l'amélioration de la clarté musicale et de l'attrait esthétique.

Relations de fréquence et harmoniques

Une gamme musicale constitue un ensemble distinct de hauteurs utilisées dans la création ou l'analyse de la musique. Bien que la gamme diatonique revête une importance primordiale dans la tradition musicale occidentale, de nombreuses autres gammes ont été utilisées et proposées à travers diverses périodes historiques et régions du monde. Chaque hauteur individuelle est en corrélation avec une fréquence spécifique, quantifiée en hertz (Hz), parfois appelée cycles par seconde (c.p.s.). Une gamme possède intrinsèquement un intervalle de répétition, généralement l'octave. L'octave d'une hauteur donnée dénote une fréquence précisément double de celle de la hauteur d'origine.

Les superoctaves suivantes représentent les hauteurs se produisant à des fréquences quatre, huit, seize fois et des multiples progressivement plus élevés de la fréquence fondamentale. À l’inverse, les hauteurs avec des fréquences équivalentes à la moitié, au quart, au huitième, etc. de la fondamentale sont désignées comme sous-octaves. Dans l'harmonie musicale, si une hauteur particulière est considérée comme une consonne, ses octaves sont invariablement également perçues comme une consonne. Par conséquent, toute note donnée et ses octaves correspondantes se voient généralement attribuer une nomenclature analogue dans les systèmes musicaux (par exemple, toutes peuvent être appelées doh, A ou Sa, selon le système spécifique).

Lorsqu'elle est conceptualisée comme une bande passante de fréquence, une octave, telle que A₂–A₃, englobe une plage allant de 110 Hz à 220 Hz, ce qui représente une plage de 110 Hz. L'octave suivante s'étendra de 220 Hz à 440 Hz, couvrant une plage de 220 Hz. La troisième octave s'étend alors de 440 Hz à 880 Hz, avec un intervalle de 440 Hz, et ce schéma continue. Chaque octave consécutive couvre ainsi une gamme de fréquences précisément double de celle de l'octave précédente.

Étant donné que la description d'une gamme musicale donne souvent la priorité aux relations ou aux rapports entre les hauteurs, appelés intervalles, par rapport à leurs fréquences absolues exactes, il est d'usage d'exprimer toutes les hauteurs de la gamme sous forme de rapports par rapport à une hauteur de référence désignée, à laquelle est attribuée la valeur un (souvent notée 1/1). Cette hauteur de référence sert généralement de tonique de la gamme. Pour une analyse comparative des tailles d'intervalle, les centimes sont couramment utilisés.

Systèmes de réglage

Systèmes de réglage

Il existe deux principales familles de systèmes d'accordage : le tempérament égal et l'accordage simple. Les gammes de tempérament égal sont construites en divisant logarithmiquement une octave en intervalles, ce qui donne des gammes parfaitement uniformes mais avec des rapports de fréquence irrationnels. À l'inverse, les gammes justes sont formées en multipliant les fréquences par des nombres rationnels, ce qui donne des rapports de fréquences simples mais des divisions d'échelles inégales.

Une distinction significative entre un tempérament égal et des accords justes réside dans leurs phénomènes de battement acoustique lorsque deux notes sont jouées simultanément, influençant la perception subjective de la consonance et de la dissonance. Les deux systèmes, ainsi que la majorité des traditions musicales, comportent des gammes qui se répètent à intervalles de chaque octave, définies par un rapport de fréquence de 2:1. Cela implique que le modèle de gamme se réitère chaque fois que la fréquence double.

Cet échantillon présente deux ondes sinusoïdales jouées consécutivement : un demi-ton à 550 Hz (C♯ dans la gamme d'intonation juste) suivi d'un demi-ton à 554,37 Hz (C♯ dans la gamme de tempérament égal).

• Deux ondes sinusoïdales jouées consécutivement : cet échantillon comporte un demi-ton à 550 Hz (C♯ dans l'échelle d'intonation juste), suivi d'un demi-ton à 554,37 Hz (C♯ dans l'échelle de tempérament égal).
• Cet échantillon présente les deux mêmes notes, présentées comme une "dyade" contre une pédale A440 soutenue. La note inférieure reste un la constant (440 Hz dans les deux gammes), tandis que la note supérieure passe d'un C♯ dans la gamme tempérée égale pendant la seconde initiale à un C♯ dans la gamme d'intonation juste pour la seconde suivante. Les différences de phase facilitent la détection de cette transition plus facilement que dans l'échantillon précédent.

Juste des réglages

L'accordage à cinq limites, reconnu comme la forme d'intonation juste la plus répandue, est un système qui utilise des tonalités dérivées d'harmoniques numériques régulières d'une seule fréquence fondamentale. Johannes Kepler a introduit cette échelle dans son ouvrage de 1619, *Harmonices Mundi*, en l'associant au mouvement planétaire. Alexander Malcolm, mathématicien et théoricien de la musique écossais, a présenté une version transposée de cette échelle dans sa publication de 1721, *Treatise of Musick : Speculative, Practical and Historical*. Le théoricien du XXe siècle José Wuerschmidt a également décrit ce système. Une variante de cet accordage est actuellement utilisée dans la musique du nord de l'Inde.

Le compositeur américain Terry Riley a incorporé une forme inversée de cet accord dans sa composition "Harp of New Albion". L'intonation juste donne des résultats acoustiques supérieurs dans des contextes avec une progression d'accords minime ou absente, car les chanteurs et les instrumentistes ont naturellement tendance à y recourir lorsque cela est possible. Cependant, cela présente un défi pour les instruments à accord fixe, tels que les pianos, en produisant deux intervalles de tons entiers distincts (9:8 et 10:9) en raison de leur incapacité à ajuster dynamiquement la tonalité. Pour déterminer la fréquence d'une note dans une échelle basée sur le rapport, le rapport de fréquence est multiplié par la fréquence tonique. Par exemple, avec une tonique de A4 (La naturel au-dessus du Do médian) à 440 Hz, une quinte justement accordée au-dessus (E5) est calculée comme 440 × (3:2), ce qui donne 660 Hz.

L'accordage pythagoricien est un système fondé exclusivement sur les consonances parfaites, en particulier l'octave parfaite, la quinte parfaite et la quarte parfaite. Par conséquent, la tierce majeure n'est pas considérée comme une tierce indépendante mais plutôt comme une « ditone », signifiant littéralement « deux tons », calculée comme (9:8)² = 81:64, contrastant avec la tierce indépendante et harmoniquement juste 5:4 = 80:64. Un ton entier, dans ce système, est un intervalle secondaire dérivé de deux quintes parfaites moins une octave, exprimé comme (3:2)²/2 = 9:8.

La tierce majeure juste (5:4) et la tierce mineure (6:5) divergent de leurs équivalents pythagoriciens respectifs (81:64 et 32:27) par une virgule syntonique, qui est un rapport de 81h80. Carl Dahlhaus (1990, p. 187) a observé que « la tierce dépendante se conforme au système pythagoricien, la tierce indépendante à l'accord harmonique des intervalles ».

La musique occidentale courante nécessite généralement une gamme systématiquement tempérée plutôt qu'une simple intonation. Ce tempérament peut incorporer les irrégularités inhérentes au bon tempérament ou être structuré comme un tempérament régulier, comme une forme de tempérament égal ou un autre système de tons moyens régulier. Quelle que soit l’approche spécifique, les caractéristiques fondamentales du tempérament mésonique sont systématiquement impliquées. Par exemple, si la fondamentale de l'accord ii est accordée une quinte juste au-dessus de la dominante, ce serait un ton entier majeur (9:8) au-dessus de la tonique. À l'inverse, s'il est accordé une tierce mineure (6:5) en dessous d'un degré juste sous-dominant de 4:3, l'intervalle résultant de la tonique serait un ton entier mineur (10:9). Le tempérament méantonique sert à diminuer l'écart entre ces deux tons entiers (9:8 et 10:9). Leur rapport, (9:8)/(10:9) = 81:80, est classiquement traité comme un unisson. Cet intervalle, 81:80, connu sous le nom de virgule syntonique ou virgule de Didyme, représente la virgule essentielle dans le tempérament mésonique.

Réglage du tempérament égal

Dans un tempérament égal, l'octave est divisée de manière logarithmique en segments équidistants. Bien que les gammes à tempérament égal puissent être construites avec différents nombres de notes (par exemple, le système arabe à 24 tons), la configuration répandue implique 12 divisions, formant la gamme chromatique à tempérament égal. Dans les contextes musicaux occidentaux, une division en douze intervalles est généralement présumée à moins qu'une alternative ne soit explicitement indiquée.

Dans l'échelle chromatique, l'octave est segmentée en douze divisions équivalentes, chaque demi-ton (demi-ton) représentant un intervalle équivalent à la douzième racine de deux. Par conséquent, douze demi-tons égaux constituent précisément une octave. Pour les instruments à frettes, le tempérament égal s'avère très avantageux, car il facilite l'alignement uniforme des frettes sur toutes les cordes. Historiquement, au sein de la tradition musicale européenne, le tempérament égal a été appliqué à la musique pour luth et pour guitare bien plus tôt qu'à d'autres instruments, y compris les instruments à clavier. Cette trajectoire historique a établi le tempérament égal à douze tons comme système d'intonation prédominant dans le monde occidental et dans de nombreuses régions non occidentales.

Des gammes également tempérées ont été mises en œuvre et des instruments correspondants construits, utilisant divers nombres d'intervalles égaux. Le tempérament 19 égaux, initialement proposé et employé par Guillaume Costeley au XVIe siècle, intègre 19 tons équidistants. Ce système produit des tierces majeures supérieures et des tierces mineures considérablement améliorées par rapport au tempérament égal standard de 12 demi-tons, bien qu'au détriment d'une quinte plus plate. Le résultat cumulatif est un sentiment accru de consonance. Vingt-quatre tempéraments égaux, caractérisés par vingt-quatre tons équidistants, sont largement adoptés dans les pratiques pédagogiques et de notation de la musique arabe. Néanmoins, tant théoriquement que pratiquement, l'intonation musicale arabe adhère à des rapports rationnels, contrastant avec les rapports irrationnels inhérents aux systèmes à tempérament égal.

Bien qu'un analogue exact du quart de ton également tempéré soit totalement absent des systèmes d'intonation arabe, des approximations d'un trois quarts de ton, ou d'une seconde neutre, sont fréquemment rencontrées. Ces secondes neutres présentent cependant de légères variations dans leurs ratios, en fonction du maqam spécifique et de la région géographique. Comme l'a noté l'historien de la musique arabe Habib Hassan Touma, « l'ampleur de la déviation de ce pas musical est un ingrédient crucial dans la saveur particulière de la musique arabe. Tempérer la gamme en divisant l'octave en vingt-quatre quarts de ton de taille égale reviendrait à abandonner l'un des éléments les plus caractéristiques de cette culture musicale. Nicolas Mercator.

Connexions mathématiques

Théorie des ensembles

La théorie des ensembles musicaux utilise la terminologie de la théorie mathématique des ensembles de manière fondamentale pour catégoriser les entités musicales et délimiter leurs interrelations. Pour l'analyse structurelle d'une composition musicale (généralement atonale) utilisant ce cadre, le processus commence généralement par une collection de tons, qui peuvent constituer des motifs ou des accords. L'application d'opérations fondamentales, telles que la transposition et l'inversion, facilite l'identification des structures sous-jacentes profondes au sein de la musique. Ces opérations, transposition et inversion, sont appelées isométries en raison de leur propriété de préserver les relations intervalles entre les tons au sein d'un ensemble donné.

Algèbre abstraite

En s'appuyant sur les méthodologies de la théorie des ensembles musicaux, certains théoriciens ont exploité l'algèbre abstraite pour l'analyse musicale. Par exemple, les classes de hauteur au sein d'une octave également tempérée constituent un groupe abélien comprenant 12 éléments. De plus, l'intonation juste peut être caractérisée en utilisant le cadre d'un groupe abélien libre.

David Lewin a développé la théorie transformationnelle, une branche de la théorie musicale qui atteint une large applicabilité en se concentrant sur les transformations entre les entités musicales plutôt que sur les entités elles-mêmes.

Les théoriciens de la musique ont également suggéré des applications musicales pour des concepts algébriques avancés. La théorie des tempéraments réguliers, par exemple, a été considérablement avancée grâce à des approches mathématiques sophistiquées, telles que la corrélation de chaque tempérament régulier avec un point rationnel sur un grassmannien.

La gamme chromatique présente une action libre et transitive du groupe cyclique ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$, où cette action est définie par transposition de note. Par conséquent, la gamme chromatique peut être conceptualisée comme un torseur pour ce groupe.

Nombres et séries

Certains compositeurs ont intégré le nombre d'or et les nombres de Fibonacci dans leurs compositions musicales.

Théorie des catégories

Guerino Mazzola, mathématicien et musicologue, a utilisé la théorie des catégories, en particulier la théorie des topos, comme cadre fondamental de la théorie musicale. Cette approche intègre la topologie pour établir une théorie du rythme et des motifs, et la géométrie différentielle pour développer une théorie du phrasé musical, du tempo et de l'intonation.

Musiciens avec une formation mathématique notable

• Albert Einstein – Un pianiste et violoniste accompli.
• Art Garfunkel (de Simon & Garfunkel) : titulaire d'une maîtrise en enseignement des mathématiques de l'Université de Columbia.
• Brian Cox – Professeur de physique des particules à l'École de physique et d'astronomie de l'Université de Manchester.
• Brian May (de Queen) – Titulaire d'une licence (avec distinction) en mathématiques et en physique, ainsi que d'un doctorat en astrophysique, tous deux obtenus à l'Imperial College de Londres.
• Brian Wecht (de Ninja Sex Party) : titulaire d'un doctorat en physique des particules de l'Université de Californie à San Diego.
• Dan Snaith – Possède un doctorat en mathématiques de l'Imperial College de Londres.
• Delia Derbyshire – Titulaire d'un baccalauréat en mathématiques et en musique de Cambridge.
• Donald Knuth – Organiste et compositeur, Knuth a réalisé une pièce pour orgue intitulée "Fantasia Apocalyptica" en 2016, dont la première a eu lieu en Suède le 10 janvier 2018.
• Ethan Port (de Savage Republic) : titulaire d'un doctorat en mathématiques de l'Université de Californie du Sud.
• Gregg Turner (de Angry Samoans) – Possède un doctorat en mathématiques de la Claremont Graduate University.
• Jerome Hines – Auteur de cinq articles publiés dans Mathematics Magazine entre 1951 et 1956.
• Jonny Buckland (de Coldplay) – A poursuivi des études en astronomie et en mathématiques à l'University College de Londres.
• Kit Armstrong – Titulaire d'un diplôme en musique et d'une maîtrise en mathématiques.
• Manjul Bhargava – Joueur de tabla, il a reçu la médaille Fields en 2014.
• Phil Alvin (de The Blasters) – A étudié les mathématiques à l'Université de Californie à Los Angeles.
• Philip Glass – A étudié les mathématiques et la philosophie à l'Université de Chicago.
• Robert Schneider (de The Apples in Stereo) – Titulaire d'un doctorat en mathématiques de l'Université Emory.
• Tom Lehrer : titulaire d'un baccalauréat en mathématiques de l'Université Harvard.
• William Herschel – Un astronome qui jouait du hautbois, du violon, du clavecin et de l'orgue. Il a composé 24 symphonies, de nombreux concertos et diverses pièces de musique religieuse.

Portail musical

Références

• Dahlhaus, Carl. 1990. La conception wagnérienne du drame musical. Deutscher Taschenbuch Verlag. Cassel : Bärenreiter. ISBN 9783423045384 ; ISBN 9783761845387.
• Ivor Grattan-Guinness (1995) "Mozart 18, Beethoven 32 : Hidden shadows of integers in classic music", pages 29 à 47 dans Histoire des mathématiques : états de l'art, édité par Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Knobloch et Hans Wussing. Presse académique. ISBN 0-12-204055-4.

• Des mathématiques sympas pour la musique chaude - Une première introduction aux mathématiques pour les théoriciens de la musique par Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353

• Musique et mathématiques par Thomas E. Fiore
• La sonantométrie ou la musique comme discipline mathématique.
• Nicolas Mercator utilise la théorie des ratios dans la musique à la convergence
• Dans le roman d'Hermann Hesse, Le jeu des perles de verre, la musique et les mathématiques se sont vu attribuer un rôle central dans la conceptualisation et l'évolution du jeu.
• Le discours universitaire explore fréquemment les principes d'harmonie et de proportion, ainsi que les contributions de Pythagore à la musique et à la compréhension spatiale.
• "Algèbre linéaire et musique"
• Notefreqs fournit un tableau complet des fréquences de notes et de leurs rapports correspondants sur divers instruments, notamment le MIDI, le piano, la guitare, la basse et le violon, détaillant davantage les mesures des frettes en centimètres et en pouces pour la construction des instruments.
• Une discussion sur BBC Radio 4 intitulée "Mathematics & Music", avec Marcus du Sautoy, Robin Wilson et Ruth Tatlow, a été diffusée le 25 mai 2006 dans le cadre de l'émission In Our Time.
• "Mesurer la similarité des notes avec des noyaux définis positifs"