Preuve que pi est irrationnel (Proof that pi is irrational)

Au cours des années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le pionnier de la démonstration que le nombre π est irrationnel, ce qui signifie son incapacité à être représenté sous forme de fraction. un / b , { displaystyle a/b,} où les deux un { displaystyle a} et b { displaystyle b} sont des entiers. Par la suite, au XIXe siècle, Charles Hermite a développé une preuve qui ne nécessite qu'une compréhension fondamentale du calcul. Mary Cartwright, Ivan Niven et « Nicolas Bourbaki » ont chacun contribué à simplifier la preuve originale d'Hermite. Miklós Laczkovich a également fourni une preuve distincte, qui sert de simplification de la méthode de Lambert. Un nombre important de ces preuves emploient la technique de la contradiction.

Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert fut le premier à prouver que le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction ${\displaystyle a/b,}$ où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont tous deux des nombres entiers. Au 19ème siècle, Charles Hermite a trouvé une preuve qui ne nécessite aucune connaissance préalable au-delà du calcul de base. Trois simplifications de la preuve d'Hermite sont dues à Mary Cartwright, Ivan Niven et « Nicolas Bourbaki ». Une autre preuve, qui est une simplification de la preuve de Lambert, est due à Miklós Laczkovich. Beaucoup d'entre elles sont des preuves par contradiction.

En 1882, Ferdinand von Lindemann a établi que ${\displaystyle \pi }$ n'est pas seulement un nombre irrationnel, mais aussi un nombre transcendantal.

La preuve de Lambert

En 1761, Johann Heinrich Lambert a démontré l'irrationalité de ${\displaystyle \pi }$ en présentant initialement son expansion continue de fraction comme valide :

Lambert a ensuite démontré que si ${\displaystyle x}$ est un nombre rationnel non nul, l'expression correspondante est nécessairement irrationnelle. Étant donné que tan ⁡<!-- ⁡ --> π<!-- π --> §3334§ = §4041§ {\displaystyle \tan {\tfrac {\pi }{4}}=1} , il s'ensuit logiquement que ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ doit être irrationnel, ce qui à son tour implique que ${\displaystyle \pi }$ est également irrationnel. Une version simplifiée de la preuve de Lambert est présentée ultérieurement.

La preuve d'Hermite

Développée en 1873, cette preuve exploite la définition de π<!-- π --> {\displaystyle \pi } comme valeur positive minimale pour laquelle sa moitié constitue un zéro de la fonction cosinus. Cela établit en outre l'irrationalité de ${\displaystyle \pi ^{2}>$. Conformément à de nombreuses preuves d'irrationalité, cette démonstration utilise une preuve par contradiction.

Considérons les séquences de fonctions réelles, ${\displaystyle A_{n}}$ et ${\displaystyle U_{n}}$, pour n ∈<!-- ∈ --> N §6162§ {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} , défini comme suit :

15§ ( x ) = péché ⁡ ( x ) , A n + §5556§ ( x ) = ∫ §7273§ x o A n ( o ) d o U §110111§ ( x ) = péché ⁡ ( x ) x , U n + §159160§ ( x ) = − U n ′ ( x ) x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(x)&=\sin(x),&&A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y)\,dy\\[4pt]U_{0}(x)&={\frac {\sin(x)}{x}},&&U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}\end{aligned}}}

Les relations ultérieures peuvent être formellement établies par induction mathématique :

43§ ( §4956§ ) ! ! − x §75 §86 + x §118 §129 ∓ ⋯ U n ( x ) = §190191§ ( §195202§ ) ! ! − x §221 §226 + x §258259§ §263 ∓ ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+3}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \\[4pt]U_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}}

Consequently, the following relationship is established:

U n ( x ) = A n ( x ) x §4445§ n + §5051§ . {\displaystyle U_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}.\,}

Par conséquent,

22§ ( x ) x §36 = U n + §6263§ ( x ) = − U n ′ ( x ) x = − §108109§ x d d x ( A n ( x ) x §155162§ ) = − §185186§ x ( A n ′ ( x ) ⋅ x §220227§ − ( §235242§ ) x §249 A n ( x ) x §274285§ ) ) = ( §310317§ ) A n ( x ) − x A n ′ ( x ) x §360 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}}&=U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{x}}\left({\frac {A_{n}'(x)\cdot x^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}A_{n}(x)}{x^{2(2n+1)}}}\right)\\[6pt]&={\frac {(2n+1)A_{n}(x)-xA_{n}'(x)}{x^{2n+3}}}\end{aligned}}}

This relationship is equivalent to the following expression:

A n + §1415§ ( x ) = ( §2829§ n + §3435§ ) A n ( x ) − x §5960§ A n − §7273§ ( x ) . {\displaystyle A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x).\,}

En appliquant la définition de la séquence et en utilisant l'induction mathématique, il peut être démontré que :

${\displaystyle A_{n}(x)=P_{n}(x^{2})\sin(x)+xQ_{n}(x^{2})\cos(x),\,}$

Ce sont des fonctions polynomiales, ${\displaystyle P_{n}}$ et ${\displaystyle Q_{n}}$, qui possèdent des coefficients entiers.Le degré de ${\displaystyle P_{n}}$ est inférieur ou égal à ⌊§8081§§8283§n⌋.{\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n{\bigr \rfloor }.} Plus précisément, An(§128129§§130131§π)=Pn(§163164§§165166§π§176177§).{\displaystyle A_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=P_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}{\bigr )}.}

Hermite a également fourni une expression fermée pour la fonction ${\displaystyle A_{n},>$, qui est défini comme :

An(x)=x§2829§n+§3435§§4041§nn!∫§5859§§6263§(§6869§−z§7778§)ncos⁡(xz)dz.{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z.\,}

Bien qu'Hermite n'ait pas fourni de justification à cette affirmation, sa preuve est simple. Fondamentalement, cette affirmation équivaut à

La fonction Un(x) est formellement définie par l'expression intégrale suivante : §89§ §1213§ n n ! ∫ §3132§ §3536§ ( §4142§ − z §5051§ ) n cos ⁡ ( x z ) d z = A n ( x ) x §107108§ n + §113114§ = U n ( x ) . {\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}=U_{n}(x).}

Pour lancer la preuve inductive, considérons le cas de base où n=§1011§. ${\displaystyle n=0.}$

Pour cette instance spécifique, l'intégrale est évaluée comme : ∫<!-- ∫ --> §1112§ §1516§ cos ⁡ ( x z ) d z = péché ⁡ ( x ) x = U §6768§ ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {\sin(x)}{x}}=U_{0}(x)}

Par la suite, pour l'étape inductive, nous considérons un nombre naturel arbitraire n. ${\displaystyle n.}$ Si

la relation suivante est supposée être valable pour Un(x) : §89§ §1213§ n n ! ∫ §3132§ §3536§ ( §4142§ − z §5051§ ) n cos ⁡ ( x z ) d z = U n ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=U_{n}(x),}

Par la suite, grâce à l'application de l'intégration par parties et de la règle de Leibniz, on obtient

En supposant que

La valeur de ${\displaystyle N=q^{\lfloor n/2\rfloor }{A_{n}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=q^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {1}{2^{n}n!}}\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi z\right)\,\mathrm {d} z.}$

Cependant, cette quantité est sans équivoque supérieure à ${\displaystyle 0.}$ A l'inverse, la limite de cette quantité est ${\displaystyle n>$${\displaystyle n}$${\displaystyle N<1.}$ Cela conduit à une contradiction logique.

La preuve d'Hermite n'était pas un objectif isolé mais plutôt un résultat secondaire de sa quête visant à démontrer la transcendance de ${\displaystyle \pi .}$ Il a utilisé des relations de récurrence pour développer et dériver une représentation intégrale appropriée. Après avoir établi cette représentation intégrale, plusieurs approches existent pour construire une preuve concise et autonome, comme en témoignent les présentations de Cartwright, Bourbaki et Niven. Hermite pouvait facilement discerner ces méthodes, reflétant son approche pour prouver la transcendance de ${\displaystyle e}$.

De plus, la preuve d'Hermite ressemble plus à la preuve de Lambert qu'on ne le pensait initialement. Plus précisément, ${\displaystyle A_{n}(x)}$ représente le "résidu" ou "reste" de la fraction continue de Lambert pour ${\displaystyle \tan x.}$

Preuve de Cartwright

Harold Jeffreys a documenté que Mary Cartwright avait présenté cette preuve comme un problème d'examen à l'Université de Cambridge en 1945, bien qu'elle n'ait pas identifié sa source originale. Cette preuve continue de figurer sur la quatrième fiche de problème du cours Analyse IA de l'Université de Cambridge.

Les intégrales suivantes sont prises en compte :

In(x)=∫<!-- ∫ -->−<!-- − -->§3031§§3435§(§4041§−z§4950§)ncos⁡(xz)dz,{\displaystyle I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz,}

où ${\displaystyle n$ désigne un entier non négatif.

Appliquer deux fois l'intégration par parties donne la relation de récurrence suivante :

x§1011§In(x)=§3031§n(§3637§n−<!-- − -->§4344§)Jen−§5657§(x)−§6970§n(n−§8081§)Jen−§9394§(x).(n≥§114115§){\displaystyle x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).\qquad (n\geq 2)>

Si

La relation est exprimée sous la forme Jn(x)=x§2627§n+§3233§In(x),{\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x),}.

Par la suite, cette expression se transforme en :

Jn(x)=§2223§n(§2829§n−<!-- − -->§3536§)Jn−§4849§(x)−§6162§n(n−§7273§)x§8081§Jn−§9394§(x).{\displaystyle J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x).}

De plus, les conditions initiales sont définies comme J§1011§(x)=§2223§sin⁡<!-- ⁡ -->x{\displaystyle J_{0}(x)=2\sin x} et J§4950§(x)=−§6465§xcos⁡x+§7778§sin⁡x.{\displaystyle J_{1}(x)=-4x\cos x+4\sin x.} Ces conditions sont valables pour tous les ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+},}$.

Jn(x)=x§2627§n+§3233§Jen(x)=n!(Pn(x)péché⁡(x)+Qn(x)cos⁡(x)),{\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)=n !{\bigl (}P_{n}(x)\sin(x)+Q_{n}(x)\cos(x){\bigr )},

Ces polynômes, en particulier ${\displaystyle P_{n}(x)}$ et ${\displaystyle Q_{n}(x)>$, posséder un diplôme de ${\displaystyle \leq n,>$ et présentent des coefficients entiers qui dépendent de ${\displaystyle n}$.

Laissez x=§1314§§1516§π,{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi ,} et supposons, par souci de contradiction, que §4243§§4445§π=a/b{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi =a/b}, où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des nombres naturels (ce qui implique que ${\displaystyle \pi }$ est rationnel). Alors

a§1213§n+§1819§n !Jen(§4748§§4950§π)=Pn(§8283§§8485§π)b§102103§n+§108109§.{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}I_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=P_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}b^{2n+1}.}

Le membre de droite de l'équation est un nombre entier. Cependant, l'inégalité §27§<In(§2728§§29π)<§44${\displaystyle 0 est vrai car l'intervalle${\displaystyle [-1,1]} a une longueur de {\displaystyle 2}, et le les valeurs de l'intégrande sont exclusivement confinées entre{\displaystyle 0} et{\displaystyle 1.} À l'inverse,

a§1213§n+§1819§n!→§3334§ comme n→∞.{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}\to 0\quad {\text{ as }}n\to \infty .}

Par conséquent, pour {\displaystyle n} suffisamment grand,

L'inégalité suivante est établie : 7§ < a §1724§ Je n ( π §43 ) n ! < §6162§ , {\displaystyle 0<{\frac {a^{2n+1}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1,}

Cela implique l'existence d'un entier entre §67§ {\displaystyle 0} et ${\displaystyle 1.>$ Une telle constatation constitue une contradiction, qui découle de l'hypothèse initiale selon laquelle ${\displaystyle \pi }$ est un nombre rationnel.

Cette preuve est analogue à la démonstration d'Hermite ; en effet,

41§ ∫ − §5253§ §5657§ ( §6263§ − z §71 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = §112125§ ∫ §133134§ §137138§ ( §143144§ − z §152 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = §194202§ n ! A n ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2x^{2n+1}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2^{n+1}n!A_{n}(x).\end{aligned}}}

Nevertheless, this approach offers a distinct simplification, which is realized by omitting the inductive definition of the functions ${\displaystyle A_{n}}$ and instead commencing with their integral expression.

La preuve de Niven

Cette preuve utilise la caractérisation de ${\displaystyle \pi }$ comme racine positive minimale de la fonction sinus.

Supposons que ${\displaystyle \pi }$ est un nombre rationnel, ce qui implique qu'il peut être exprimé comme ${\displaystyle \pi =a/b}$, où ${\displaystyle a>$ et ${\displaystyle b}$ sont des entiers positifs, sans perte de généralité. Pour tout entier positif ${\displaystyle n,}$ la fonction polynomiale est définie comme :

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}}$

De plus, pour chaque ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, nous définissons :

${\displaystyle F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x).}$

Réclamation 1 : La somme ${\displaystyle F(0)+F(\pi )}$ est un entier.

Preuve :

Conversely, given ${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$, it follows that ( −<!-- − --> §4950§ ) k f ( k ) ( π − x ) = f ( k ) ( x ) {\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(\pi -x)=f^{(k)}(x)} for every non-negative integer ${\displaystyle k.}$ Specifically, ( −<!-- − --> §140141§ ) k f ( k ) ( π ) = f ( k ) ( §185186§ ) . {\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(\pi )=f^{(k)}(0).} Consequently, ${\displaystyle f^{(k)}(\pi )}$ is likewise an integer, which implies that ${\displaystyle F(\pi )}$ is an integer (indeed, it can be readily demonstrated that F ( π<!-- π --> ) = F ( §277278§ ) {\displaystyle F(\pi )=F(0)} ). As both F ( §300301§ ) {\displaystyle F(0)} and ${\displaystyle F(\pi )}$ are integers, their sum is also an integer.

Réclamation 2 :

∫<!-- ∫ --> §1011§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = F ( §5152§ ) + F ( π ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(0)+F(\pi )}

Preuve : Étant donné que f(§1415§n+§2021§){\displaystyle f^{(2n+2)}} représente le polynôme zéro, il s'ensuit que :

${\displaystyle F''+F=f.}$

Les dérivées des fonctions sinus et cosinus sont définies respectivement comme sin' = cos et cos' = −sin. Par conséquent, l'application de la règle du produit donne :

${\displaystyle (F'\cdot \sin {}-F\cdot \cos {})'=f\cdot \sin$

D'après le théorème fondamental du calcul,

∫<!-- ∫ -->§1617§πf(x)péché⁡(x)dx=(F′(x)sin⁡x−F(x)cos⁡x)|§106107§π.{\displaystyle \left.\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx={\bigl (}F'(x)\sin x-F(x)\cos x{\bigr )}\right|_{0}^{\pi }.}

Étant donné que sin⁡<!-- ⁡ -->§1112§=sin⁡π=§2526§{\displaystyle \sin 0=\sin \pi =0} et cos⁡<!-- ⁡ -->§4647§=−cos⁡π=§6364§{\displaystyle \cos 0=-\cos \pi =1} (en utilisant la caractérisation précédemment établie de ${\displaystyle \pi$ comme racine de la fonction sinus), l'affirmation 2 est par conséquent justifiée.

Conclusion : Étant donné que 19§ {\displaystyle f(x)>0} et 44§ {\displaystyle \sin x>0} pour l'intervalle 60§ < x < π {\displaystyle 0 (comme ${\displaystyle \pi }$ représente la plus petite racine positive de la fonction sinusoïdale), les revendications 1 et 2 démontrent collectivement que F ( §107108§ ) + F ( π ) {\displaystyle F(0)+F(\pi )> constitue un entier positif. De plus, considérant que §138139§ ≤ x ( a − b x ) ≤ π a {\displaystyle 0\leq x(a-bx)\leq \pi a} et §180181§ ≤ sin ⁡ x ≤ §195196§ {\displaystyle 0\leq \sin x\leq 1} pour la plage §211212§ ≤ x ≤ π , {\displaystyle 0\leq x\leq \pi ,> il découle de la définition originale de ${\displaystyle f,}$

∫<!-- ∫ --> §1112§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x ≤ π ( π a ) n n ! {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\leq \pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}}

Cette valeur est inférieure à §67§{\displaystyle 1} pour ${\displaystyle n,}$. Par conséquent, 45§)+F(π)<§6162§{\displaystyle F(0)+F(\pi )<1} est valable pour ces valeurs spécifiques de ${\displaystyle n,>$ selon la revendication 2. Cependant, ce résultat est impossible pour l'entier positif F(§99100§)+F(π).{\displaystyle F(0)+F(\pi ).} Cela démontre que la prémisse initiale, affirmant que ${\displaystyle \pi$ est rationnel, aboutit à une contradiction, concluant ainsi la preuve.

La preuve précédente représente une version raffinée, intentionnellement simplifiée quant à ses connaissances préalables, dérivée d'une analyse de la formule suivante :

∫<!-- ∫ -->§1112§πf(x)sin⁡(x)dx=∑j=§5657§n(−§6970§)j(f(§8990§j)(π)+f(§112113§j)(§122123§))+(−§137138§)n+§147148§∫§155156§πf(§170(x)sin⁡(x)dx,{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(f^{(2j)}(\pi )+f^{(2j)}(0)\right)+(-1)^{n+1}\int _{0}^{\pi }f^{(2n+2)}(x)\sin(x)\,dx,}

Ce résultat est dérivé de ${\displaystyle 2n+2}$ intégrations successives par parties. La revendication 2 justifie cette formule, où la variable ${\displaystyle F}$ rend implicitement compte du processus d'intégration itératif.Le terme intégral final devient zéro car ${\displaystyle f^{(2n+2)}}$ constitue le polynôme zéro. De plus, la revendication 1 démontre que la somme restante donne une valeur entière.

La preuve de Niven présente une plus grande ressemblance avec la méthodologie de Cartwright (et par conséquent d'Hermite) qu'on ne le pensait initialement. Plus précisément,

41§ ∫ − §5253§ §5657§ ( §6263§ − z §71 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = ∫ − §120121§ §124125§ ( x §137 − ( x z ) §154 ) n x cos ⁡ ( x z ) d z . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\&=\int _{-1}^{1}\left(x^{2}-(xz)^{2}\right)^{n}x\cos(xz)\,dz.\end{aligned}}}

Par conséquent, l'application de la substitution ${\displaystyle xz=y}$ convertit cette intégrale sous la forme suivante :

${\displaystyle \int _{-x}^{x}(x^{2}-y^{2})^{n}\cos(y)\,dy.}$

Plus précisément,

142§ π ( π §162 §166167§ − ( y − π §188 ) §197 ) n cos ⁡ ( y − π §229 ) d y = ∫ §258259§ π y n ( π − y ) n sin ⁡ ( y ) d y = n ! b n ∫ §343344§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-y^{2}\right)^{n}\cos(y)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\right)^{n}\cos \left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }y^{n}(\pi -y)^{n}\sin(y)\,dy\\[5pt]&={\frac {n!}{b^{n}}}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx.\end{aligned}}}

A further connection between these proofs is evident in Hermite's observation that if ${\displaystyle f}$ represents a polynomial function, and

${\displaystyle F=f-f^{(2)}+f^{(4)}\mp \cdots ,}$ est défini,

alors l'identité intégrale suivante est vraie :

${\displaystyle \int f(x)\sin(x)\,dx=F'(x)\sin(x)-F(x)\cos(x)+C,}$

Par conséquent, on peut en déduire que

∫<!-- ∫ --> §1112§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = F ( π ) + F ( §6263§ ) . {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(\pi )+F(0).}

La preuve de Bourbaki

La preuve attribuée à Bourbaki est présentée comme un exercice dans son traité complet de calcul. Pour chaque nombre naturel b et chaque entier non négatif ${\displaystyle n,}$ ce qui suit est défini :

A n ( b ) = b n ∫<!-- ∫ --> §3435§ π x n ( π − x ) n n ! sin ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle A_{n}(b)=b^{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {x^{n}(\pi -x)^{n}}{n!}}\sin(x)\,dx.}

Étant donné que ${\displaystyle A_{n}(b)>$ représente l'intégrale d'une fonction définie sur l'intervalle [ §3637§ , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} , qui donne §5960§ {\displaystyle 0} aux deux §7576§ {\displaystyle 0} et ${\displaystyle \pi }$ mais est strictement supérieur à §108109§ {\displaystyle 0} ailleurs, il s'ensuit que ${\displaystyle A_{n}(b)>0.>$.De plus, pour tout nombre naturel ${\displaystyle b,}$ la condition 191§ {\displaystyle A_{n}(b)<1} est valable lorsque ${\displaystyle n}$ est suffisamment grand, car

${\displaystyle x(\pi -x)\leq \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}$

Par conséquent,

A n ( b ) ≤<!-- ≤ --> π<!-- π --> b n §3536§ n ! ( π §5455§ ) §5960§n = π ( b π §8081§ <!-- π -->/ §8586§ ) n n ! .{\displaystyle A_{n}(b)\leq \pi b^{n}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}=\pi {\frac {(b\pi ^{2}/4)^{n}}{n!}}.}

Inversement, grâce à l'application itérative de l'intégration par parties, il peut être établi que si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des nombres naturels tels que ${\displaystyle \pi =a/b}$, et si ${\displaystyle f}$ désigne le mappage de la fonction polynomiale à partir de l'intervalle [ §8384§ , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} à ${\displaystyle \mathbb {R} }$, défini comme suit :

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}},}$

alors ce qui suit est valable :

36§ π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = [ − f ( x ) cos ⁡ ( x ) ] x = §121122§ x = π − [ − f ′ ( x ) sin ⁡ ( x ) ] x = §185186§ x = π + ⋯   ± [ f ( §228 ( x ) cos ⁡ ( x ) ] x = §265266§ x = π ± ∫ §288289§ π f ( §303310§ ) ( x ) cos ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(b)&=\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\\[5pt]&={\Big [}{-f(x)\cos(x)}{\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }\,-{\Big [}{-f'(x)\sin(x)}{\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }+\cdots \\[5pt]&\ \qquad \pm {\Big [}f^{(2n)}(x)\cos(x){\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }\,\pm \int _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}(x)\cos(x)\,dx.\end{aligned}}}

The final integral evaluates to §67§ , {\displaystyle 0,} because f ( §3031§ n + §3637§ ) {\displaystyle f^{(2n+1)}} represents the null function.Cela est dû à ${\displaystyle f}$ étant un polynôme de degré ${\displaystyle 2n>$. Étant donné que chaque fonction ${\displaystyle f^{(k)}}$ (pour §119120§ ≤ k ≤ §129130§ n {\displaystyle 0\leq k\leq 2n> ) donne des valeurs entières à §148149§ {\displaystyle 0} et ${\displaystyle \pi }$, et compte tenu du comportement analogue des fonctions sinus et cosinus, il est établi que ${\displaystyle A_{n}(b)>$ est un entier. De plus, puisque cette valeur est également supérieure à §209210§ , {\displaystyle 0,> il doit s'agir d'un nombre naturel. Cependant, il a également été démontré que 244§ {\displaystyle A_{n}(b)<1} pour ${\displaystyle n}$, ce qui présente une contradiction.

Cette preuve particulière ressemble beaucoup à la preuve de Niven ; leur principale distinction réside dans la méthodologie utilisée pour démontrer que les valeurs ${\displaystyle A_{n}(b)>$ sont des nombres entiers.

Preuve de Laczkovich

Miklós Laczkovich a développé une preuve qui simplifie la méthodologie originale de Lambert. Son approche consiste à considérer des fonctions spécifiques.

f k ( x ) = §2223§ − x §3334§ k + x §4950§ §5455§ ! k ( k + §6667§ ) − x §8283§ §8788§ ! k ( k + §99100§ ) ( k + §109110§ ) + ⋯ ( k ∉ { §132133§ , − §139140§ , − §146147§ , …<!-- … --> } ) . {\displaystyle f_{k}(x)=1-{\frac {x^{2}}{k}}+{\frac {x^{4}}{2!k(k+1)}}-{\frac {x^{6}}{3!k(k+1)(k+2)}}+\cdots \quad (k\notin \{0,-1,-2,\ldots \}).

Ces fonctions sont explicitement définies pour tout nombre réel ${\displaystyle x.}$ De plus,

f §1011§ / §1617§ ( x ) = cos ⁡ ( §3536§ x ) , {\displaystyle f_{1/2}(x)=\cos(2x),>

${\displaystyle f_{3/2}(x)={\frac {\sin(2x)}{2x}}.}$

Réclamation 1 : La relation de récurrence ultérieure est valide pour tout nombre réel ${\displaystyle x}$ :

{\displaystyle {\frac {x^2}{k(k+1)}}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_k(x).}

La preuve de cette affirmation implique une analyse comparative des coefficients associés aux puissances de {\displaystyle x.}

La revendication 2 postule que pour tout nombre réel {\displaystyle x,} ce qui suit est valable :

{\displaystyle \lim _{k\to +\infty }f_k(x)=1.}

Preuve : La séquence {\displaystyle x^{2n}/n!} est manifestement délimitée, car elle converge vers{\displaystyle 0}. Par conséquent, si{\displaystyle C} représente une limite supérieure et

L'inégalité suivante est vraie : {\displaystyle \left|f_{k}(x)-1\right|\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C}{k^{n}}}=C{\frac {1/k}{1-1/k}}={\frac {C}{k-1}}.} Ceci démontre que la différence absolue entre fk(x) et 1 est délimitée par une série infinie qui converge vers C divisé par (k moins 1).

La revendication 3 affirme que si x n'est pas égal à §1314§ (c'est-à-dire {\displaystyle x\neq 0,>), et si x au carré (c'est-à-dire {\displaystyle x^{2}>) est un nombre rationnel, et de plus, si k appartient à l'ensemble des nombres rationnels excluant 0 et les entiers négatifs (c'est-à-dire {\displaystyle k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}>), alors les conditions suivantes s'appliquent :

Plus précisément, fk(x) ne sera pas égal à §2324§, et le rapport de fk+§4445§(x) à fk(x) ne sera pas un nombre rationnel, comme formellement a déclaré : {\displaystyle f_{k}(x)\neq 0\quad {\text{ and }}\quad {\frac {f_{k+1}(x)}{f_{k}(x)}}\notin \mathbb {Q} .}

Preuve : Sinon, supposons qu'il existe un nombre non nul y et des entiersa etb satisfaisant les conditionsf_k(x)=ay etf_{k+1}(x)=by.

La fonction 44§cnk(k+§6768§)⋯(k+n−§7980§)fk+n(x)n≠§103104§{\displaystyle g_{n}={\begin{cases}f_{k}(x)&n=0\\{\dfrac {c^{n}}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)&n\neq 0\end{cases}}} est défini comme suit :

Il s'ensuit que

Les termes initiaux sont donnés par g§1011§=fk(x)=ay∈Zy et g§5657§=ckfk+§7778§(x)=bcky∈Zy.{\displaystyle g_{0}=f_{k}(x)=ay\in \mathbb {Z} y\quad {\text{ et }}\quad g_{1}={\frac {c}{k}}f_{k+1}(x)={\frac {bc}{k}}y\in \mathbb {Z} y.}.

À l'inverse, il est établi par la revendication 1 que

60§ ) ⋯ ( k + n − §7778§ ) ⋅ x §93 ( k + n ) ( k + n + §118119§ ) f k + n + §137 ( x ) = c n + §167 x §176 k ( k + §188189§ ) ⋯ ( k + n − §206207§ ) f k + n + §225226§ ( x ) − c n + §248 x §257 k ( k + §269270§ ) ⋯ ( k + n − §287288§ ) f k + n ( x ) = c ( k + n ) x §342 g n + §356357§ − c §369 x §377 g n = ( c k x §417 + c x §433 n ) g n + §453454§ − c §466 x §474 g n , {\displaystyle {\begin{aligned}g_{n+2}&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}\cdot {\frac {x^{2}}{(k+n)(k+n+1)}}f_{k+n+2}(x)\\[5pt]&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n+1}(x)-{\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)\\[5pt]&={\frac {c(k+n)}{x^{2}}}g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n}\\[5pt]&=\left({\frac {ck}{x^{2}}}+{\frac {c}{x^{2}}}n\right)g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n},\end{aligned}}}

This expression represents a linear combination of g n + §1415§ {\displaystyle g_{n+1}} and ${\displaystyle g_{n}}$, featuring integer coefficients.Par conséquent, chaque terme ${\displaystyle g_{n}>$ constitue un multiple entier de ${\displaystyle y.>$ De plus, sur la base de la revendication 2, il est établi que chaque ${\displaystyle g_{n}}$ dépasse §116117§ {\displaystyle 0} (impliquant que ${\displaystyle g_{n}\geq |y|}$) pour ${\displaystyle n}$, et que la séquence comprenant tous les ${\displaystyle g_{n}>$ converge vers ${\displaystyle 0.}$ Cependant, une séquence de nombres qui sont systématiquement supérieurs ou égaux à ${\displaystyle |y|>$ ne peut pas converger vers ${\displaystyle 0.}$

Étant donné que f §1011§ / §1617§ ( §2526§ §2728§ π ) = cos ⁡ §4748§ §4950§ π = §5960§ , {\displaystyle f_{1/2}({\tfrac {1}{4}}\pi )=\cos {\tfrac {1}{2}}\pi =0,} , la revendication 3 démontre logiquement que §8081§ §8283§ π §9293§ {\displaystyle {\tfrac {1}{16}}\pi ^{2}} est irrationnel, ce qui prouve à son tour que ${\displaystyle \pi }$ est irrationnel.

À l'inverse, étant donné que

bronzage ⁡<!-- ⁡ --> x = péché ⁡<!-- ⁡ --> x cos ⁡<!-- ⁡ --> x = x f §4849§ / §5455§ ( x / §6667§ ) f §7677§ / §8283§ ( x / §9495§ ) , {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=x{\frac {f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2)}},}

Une autre implication de la revendication 3 est que si x ∈<!-- ∈ --> Q ∖<!-- ∖ --> { §2021§ } , {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},} puis ${\displaystyle \tan x}$ est un nombre irrationnel.

La preuve de Laczkovich se concentre sur la fonction hypergéométrique. Plus précisément, f k ( x ) = §2627§ F §3435§ ( k − x §4950§ ) {\displaystyle f_{k}(x)={}_{0}F_{1}(k-x^{2})} . Gauss avait précédemment établi une expansion continue de fraction pour la fonction hypergéométrique en utilisant son équation fonctionnelle. Ce travail fondamental a permis à Laczkovich de développer une preuve nouvelle et plus simple de l'expansion fractionnaire continue de la fonction tangente, une découverte initialement attribuée à Lambert.

Les découvertes de Laczkovich peuvent également être articulées à l'aide des fonctions de Bessel du premier type, en particulier ${\displaystyle J_{\nu }(x)>$. Plus précisément, la relation est définie par Γ<!-- Γ --> ( k ) J k −<!-- − --> §5354§ ( §5960§ x ) = x k −<!-- − --> §7677§ f k , où ${\displaystyle \Gamma }$ désigne la fonction gamma. Par conséquent, la découverte de Laczkovich équivaut à l'affirmation selon laquelle si x ≠<!-- ≠ --> §130131§ , {\displaystyle x\neq 0,> et ${\displaystyle x^{2}}$ est rationnel, avec k ∈<!-- ∈ --> Q ∖<!-- ∖ --> §184185§ , − §191192§ , − §198199§ , …<!-- … --> } {\displaystyle k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}> , puis

x J k ( x ) J k −<!-- − --> §3637§ ( x ) ∉ Q . {\displaystyle {\frac {xJ_{k}(x)}{J_{k-1}(x)}}\notin \mathbb {Q} .}

Démonstration de l'irrationalité de e

• Preuve que e est irrationnel
• Démonstration de la transcendance de π

Références