Hypothèse de Riemann (Riemann hypothesis)

En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est la conjecture selon laquelle la fonction zêta de Riemann n'a ses zéros qu'aux nombres entiers pairs négatifs et aux nombres complexes…

En mathématiques, l'hypothèse de Riemann postule que les zéros de la fonction zêta de Riemann se produisent exclusivement sur des nombres entiers pairs négatifs et des nombres complexes possédant une partie réelle de ⁠§45§/§89§⁠. Cette conjecture est largement considérée comme le problème non résolu le plus important en mathématiques pures. Ses profondes implications pour la distribution des nombres premiers en font un sujet d’intérêt considérable au sein de la théorie des nombres. Bernhard Riemann, son homonyme, a initialement proposé l'hypothèse. Malgré des preuves numériques accablantes soutenant l'hypothèse, comme l'indique une enquête de 2026, une preuve formelle reste insaisissable.

L'hypothèse de Riemann, aux côtés de plusieurs de ses généralisations, la conjecture de Goldbach et la conjecture des jumeaux premiers, constitue le huitième problème de Hilbert dans la compilation de David Hilbert de vingt-trois défis mathématiques non résolus. En outre, il est désigné comme l'un des problèmes du Prix du Millénaire par le Clay Mathematics Institute, qui attribue 1 million de dollars américains pour la résolution réussie de l'un de ces problèmes. Le terme « hypothèse de Riemann » s'étend également à plusieurs conjectures analogues, dont certaines ont été rigoureusement démontrées, comme l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur des champs finis, prouvée par André Weil.

La fonction zêta de Riemann, notée $\zeta$ , est une fonction à valeur complexe qui accepte tout nombre complexe autre que 1 comme argument. Il présente des zéros, même des entiers négatifs ; plus précisément, $\zeta (s)=0$ 35§ {\displaystyle \zeta (s)=0} quand $s$ appartient à l'ensemble ${\displaystyle -2,-4,-6,\dots$ . Ceux-ci sont classiquement appelés ses zéros triviaux. La fonction zêta possède également des zéros pour d'autres valeurs de $s$ , appelés zéros non triviaux. L'hypothèse de Riemann aborde spécifiquement les emplacements de ces zéros non triviaux, affirmant que :

La composante réelle de chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est précisément ${\frac {1}{2}}$ 10§ §1112§ {\displaystyle {\frac {1}{2}}} .

Par conséquent, l'hypothèse affirme que tous les zéros non triviaux sont situés sur la ligne critique, qui comprend des nombres complexes de la forme ${\tfrac {1}{2}}+it$ 14§ + je t {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it} , où $t$ représente un nombre réel et $i$ désigne l'unité imaginaire.

Fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann est formellement définie pour les nombres complexes $s$ , où la partie réelle dépasse 1, à travers la série infinie absolument convergente suivante :

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots

27§ ∞ §3738§ n s = §5354§ §5657§ s + §6970§ §72

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots

+ §8586§ §8889§ s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }

Au cours des années 1730, Leonhard Euler a étudié cette série à la recherche de valeurs réelles de $s$ . Cette enquête a été menée parallèlement à sa résolution du problème de Bâle. De plus, Euler a démontré son équivalence avec le produit Euler.

\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots

33§ §3536§ − p − s = §5859§ §6162§ − §67

\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots

⋅ §8586§ §8889§ − §9495§ − s ⋅ §112113§ §115116§ − §121122§ − s ⋅ §139140§ §142143§ − §148149§ − s ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots}

Ce produit infini englobe tous les nombres premiers, désignés par $p$ .

L'hypothèse de Riemann concerne les zéros situés en dehors de la région de convergence de cette série et du produit d'Euler. Pour comprendre pleinement l'hypothèse, la fonction nécessite une continuation analytique pour obtenir une forme valide pour tous les $s$ . Puisque la fonction zêta est méromorphe, toutes les approches de cette continuation analytique produiront le même résultat, conformément au théorème d’identité. Une étape préliminaire dans cette suite consiste à noter la relation satisfaite par la série pour la fonction zêta et la fonction êta de Dirichlet.

\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,

11§ − §17

\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots,

) ζ ( s ) = η ( s ) = ∑ n = §6465§ ∞ ( − §8182§ ) n + §9192§ n s = §110111§ §113114§ s − §127128§ §130

\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots,

+ §142143§ §145146§ s − ⋯ , {\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}

dans la région de convergence pour les deux séries. Cependant, la série de fonctions eta, représentée à droite, ne converge pas seulement lorsque la partie réelle de $s$ dépasse un, mais plus largement lorsque $s$ possède une partie réelle positive.Par conséquent, la fonction zeta peut être redéfinie comme $\eta (s)/(1-2/2^{s})$ 54§ − §58 $59§ / {§65}^{66§ s})$ {\displaystyle \eta (s)/(1-2/2^{s})} . Cette redéfinition étend son domaine de $\operatorname {Re} (s)>1$ 102§ {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1} vers la région plus large $\operatorname {Re} (s)>0$ 131§ {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0} , à l'exclusion des points où $1-2/2^{s}$ 147§ − §151 $152§ / {§158}^{159§ s}$ {\displaystyle 1-2/2^{s}> est égal à zéro. Ces points spécifiques sont définis par $s=1+2\pi in/\log 2$ 184§ + §187 $188§ π i n / \log §205 206§$ {\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2} , où $n$ représente tout entier différent de zéro. La fonction zêta peut également être étendue à ces valeurs via un processus de limitation, produisant une valeur finie pour tous les $s$ avec une partie réelle positive, à la seule exception d'un simple pôle à $s=1$ 258§ {\displaystyle s=1} .

Dans la bande définie par $0<\operatorname {Re} (s)<1$ 7§ < Re ⁡ ( s ) < §2324§ {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1} , cette forme étendue de la fonction zêta adhère à l'équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante est établie :

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).

36§ péché⁡(πs§58

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).

) Γ(§7273§−s) ζ(§8889§−s).{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}

Par conséquent, la fonction ${\displaystyle \zeta (s)>$ peut être défini pour tous les autres nombres complexes non nuls $s {\displaystyle s}$ (en particulier, où $\operatorname {Re} (s)\leq 0$ 60§{\displaystyle \operatorname {Re} (s)\leq 0} et $s\neq 0$ 81§{\displaystyle s\neq 0}). Ceci est réalisé en appliquant l'équation susmentionnée en dehors de la bande conventionnelle, en définissant $\zeta (s)$ égal au côté droit de l'équation chaque fois que $s {\displaystyle s}$ possède un réel non positif partie (et $s\neq 0$ 141§{\displaystyle s\neq 0}).

Si $s {\displaystyle s}$ représente un entier pair négatif, alors $\zeta (s)=0$ 34§{\displaystyle \zeta (s)=0}. Cela se produit parce que le facteur $\sin(\pi s/2)$ est évalué à zéro, conduisant à ce que l'on appelle les zéros triviaux de la fonction zêta. Il est important de noter que ce raisonnement ne s'étend pas aux cas où $s {\displaystyle s}$ est un entier pair positif, car les zéros de la fonction sinus sont décalés par les pôles de la fonction gamma lorsqu'elle reçoit des arguments entiers négatifs.

La valeur ζ(0) = −1/2 n'est pas directement dérivée de l'équation fonctionnelle ; au lieu de cela, il représente la valeur limite de ${\displaystyle \zeta (s)>$ comme $s$ s'approche de zéro. De plus, l’équation fonctionnelle dicte que la fonction zêta ne possède aucun zéro avec une partie réelle négative, en dehors des zéros triviaux. Par conséquent, tous les zéros non triviaux sont situés dans la bande critique, où se trouve la partie réelle de $s$ se situe entre 0 et 1.

Origine

... il est fort probable que toutes les racines soient réelles. Une preuve rigoureuse de cela serait, bien entendu, souhaitable ; cependant, après quelques tentatives brèves et infructueuses, j'ai temporairement mis de côté la recherche d'une telle preuve, car elle semblait inutile pour le but immédiat de mon enquête.

À la mort de Riemann, une note découverte parmi ses documents déclarait : "Ces caractéristiques de ζ(s) (la fonction en question) sont dérivées d'une expression de il, que je n'ai cependant pas pu simplifier suffisamment pour la publication. La nature précise de cette expression reste totalement inconnue. Concernant les propriétés qu'il s'est contenté d'articuler, environ trois décennies se sont écoulées avant que je puisse toutes les établir, à l'exception d'une seule [l'hypothèse de Riemann elle-même].

L'impulsion initiale de Riemann pour étudier la fonction zêta et ses zéros découlait de leur présence dans sa formule explicite pour calculer la quantité de nombres premiers, notée ${\displaystyle \pi (x)>$ , qui sont inférieurs ou égaux à une valeur spécifiée $x$ . Cette formule a été présentée dans sa publication de 1859, "Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée", et a été exprimée à l'aide d'une fonction connexe.

\Pi (x)=\pi (x)+{\frac {\pi (x^{1/2})}{2}}+{\frac {\pi (x^{1/3})}{3}}+{\frac {\pi (x^{1/4})}{4}}+{\frac {\pi (x^{1/5})}{5}}+{\frac {\pi (x^{1/6})}{6}}+\cdots

41§ / §46

\Pi (x)=\pi (x)+{\frac {\pi (x^{1/2})}{2}}+{\frac {\pi (x^{1/3})}{3}}+{\frac {\pi (x^{1/4})}{4}}+{\frac {\pi (x^{1/5})}{5}}+{\frac {\pi (x^{1/6})}{6}}+\cdots

) §53

\Pi (x)=\pi (x)+{\frac {\pi (x^{1/2})}{2}}+{\frac {\pi (x^{1/3})}{3}}+{\frac {\pi (x^{1/4})}{4}}+{\frac {\pi (x^{1/5})}{5}}+{\frac {\pi (x^{1/6})}{6}}+\cdots

+ π ( x §7172§ / §7778§ ) §8485§ + π ( x §102103§ / §108109§ ) §115116§ + π ( x §133134§ / §139140§ ) §146147§ + π ( x §164165§ / §170171§ ) §177178§ + ⋯ {\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\frac {\pi (x^{1/2})}{2}}+{\frac {\pi (x^{1/3})}{3}}+{\frac {\pi (x^{1/4})}{4}}+{\frac {\pi (x^{1/5})}{5}}+{\frac {\pi (x^{1/6})}{6}}+\cdots }

Cette fonction énumère les nombres premiers et les puissances premières jusqu'à $x$ , avec chaque puissance première $p^{n}$ pondéré comme $1/n$ 45§/n{\displaystyle 1/n}.Le nombre total de nombres premiers peut ensuite être dérivé de cette fonction grâce à l'application de la formule d'inversion de Möbius.

La fonction de comptage des nombres premiers

{\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots,\end{aligned}}

35§ ∞ μ ( n ) n Π ( x §6970§ / n ) = Π ( x ) − §105106§ §107

{\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}

Π ( x §120121§ / §126

{\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}

) − §137138§ §139140§ Π ( x §152153§ / §158159§ ) − §169170§ §171172§ Π ( x §184185§ / §190191§ ) + §200201§ §202203§ Π ( x §215216§ / §221222§ ) − ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}>

Dans ce contexte, $\mu$ désigne la fonction Möbius.La formule de Riemann se présente ensuite comme :

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}

12§ ( x ) = li ⁡ ( x ) − ∑ ρ li ⁡ ( x ρ ) − log ⁡ §73

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}

116§ ) log ⁡ t {\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}} ,

La sommation englobe les zéros non triviaux de la fonction zêta et $\Pi _{0}$ 12§ {\displaystyle \Pi _{0}} constitue une version modifiée de $\Pi$ , qui remplace ses valeurs aux points de discontinuité par la moyenne de ses limites supérieure et inférieure.

\Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.

12§ ( x ) = lim ε → §3334§ Π ( x − ε ) + Π ( x + ε ) §72

\Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.

. {\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}

La sommation dans la formule de Riemann ne présente pas de convergence absolue ; cependant, il peut être évalué en ordonnant les zéros. {\displaystyle \rho } en fonction de la valeur absolue de leurs parties imaginaires. La fonction $\operatorname {li}$ , présent dans le premier terme, représente la fonction intégrale logarithmique non décalée, dérivée de la valeur principale de Cauchy de l'intégrale divergente ci-dessous :

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.

25§ x d t log ⁡ t . {\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}

Les termes $\operatorname {li} (x^{\rho })$ , qui impliquent les zéros de la fonction zêta, nécessitent une définition minutieuse car $\operatorname {li}$ possède des points de branchement à 0 et 1. Ces termes sont définis pour $x>1$ 59§{\displaystyle x>1} via la continuation analytique dans la variable complexe $\rho$ dans la région où $\operatorname {Re} (\rho )>0$ 106§{\displaystyle \operatorname {Re} (\rho )>0}. Par conséquent, ils doivent être interprétés comme Ei(ρ log x). D'autres termes correspondent également à des zéros : le terme dominant ${\displaystyle \operatorname {li} (x)>$ provient du pôle à $s=1$ 157§{\displaystyle s=1}, qui est considéré comme un zéro de multiplicité $-1$ 176§{\displaystyle -1}, tandis que les termes mineurs restants proviennent des zéros triviaux.Pour des représentations graphiques des sommes des termes initiaux de cette série, reportez-vous à Riesel & Göhl (1970) ou Zagier (1977).

Cette formule indique que les zéros de la fonction zêta de Riemann gouvernent les oscillations des nombres premiers autour de leurs positions anticipées. Riemann a reconnu que les zéros non triviaux de la fonction zêta présentent une distribution symétrique autour de la ligne $s=1/2+it$ 11§/§16 $s=1/2+it$ {\displaystyle s=1/2+it}. De plus, il a compris que tous les zéros non triviaux doivent être situés dans la plage $0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1$ 39§≤Re⁡(s)≤§5758§{\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}. Il a vérifié qu'un sous-ensemble de ces zéros résidait sur la ligne critique, possédant une partie réelle de $1/2$ 74§/§79 $s=1/2+it$ {\displaystyle 1/2}, et a proposé que tous les zéros non triviaux partagent cette caractéristique ; cette proposition est connue sous le nom d'hypothèse de Riemann.

Ce résultat a captivé la communauté mathématique en raison de sa nature inattendue, établissant un lien entre deux domaines mathématiques apparemment disparates : la théorie des nombres, qui étudie les structures discrètes, et l'analyse complexe, qui aborde les processus continus.

Conséquences

Les applications pratiques de l'hypothèse de Riemann englobent de nombreuses propositions qui sont connues pour être vraies en supposant l'hypothèse, ainsi que plusieurs déclarations manifestement équivalentes à celle-ci.

Distribution des nombres premiers

La formule explicite de Riemann, qui quantifie le nombre de nombres premiers en dessous d'une valeur donnée, démontre que l'ampleur des oscillations des nombres premiers autour de leurs positions anticipées est régie par les parties réelles des zéros de la fonction zêta de Riemann. Plus précisément, le terme d’erreur dans le théorème des nombres premiers est directement lié à l’emplacement de ces zéros. Par exemple, si $\beta$ représente la limite supérieure pour les parties réelles de ces zéros, alors la relation suivante est valable : ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x) = O \! displaystyle="true" scriptlevel="0">π(x){\displaystyle \pi (x)>$ désigne la fonction de comptage des nombres premiers et ${\displaystyle \operatorname {li} (x)>$ est la fonction intégrale logarithmique. Il a été établi que $1/2\leq \beta \leq 1$ 139§/§144 $\beta$ 156§{\displaystyle 1/2\leq \beta \leq 1}.

Helge von Koch a démontré que l'hypothèse de Riemann fournit la limite optimale pour l'erreur associée au théorème des nombres premiers. Une formulation plus précise de la découverte de von Koch, attribuée à Schoenfeld (1976), indique que l'hypothèse de Riemann implique ce qui suit :

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x)

42§§4445§πxlog⁡(x){\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x)}

Cette inégalité vaut pour tous ${\displaystyle x\geq 2657>$ . De plus, Schoenfeld (1976) a démontré que l'hypothèse de Riemann implique également :

|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x

33§§3536§πxlog§53

|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x

⁡x{\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x}

pour tous ${\displaystyle x\geq 73.2>$ , où ${\displaystyle \psi (x)>$ désigne la deuxième fonction de Chebyshev.

Adrian Dudek a démontré que l'hypothèse de Riemann nécessite l'existence d'un $p$ pour $x\geq 2$ , ce qui satisfait

{\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x

La constante $4/\pi$ peut être réduit à $1+\varepsilon$ 30§ + ε {\displaystyle 1+\varepsilon } , en supposant $x$ est suffisamment grand. Cette formulation représente une itération explicite d'un théorème de Cramér.

Croissance des fonctions arithmétiques

Au-delà de ses implications pour la fonction de comptage des nombres premiers, l'hypothèse de Riemann impose également des limites strictes aux taux de croissance de nombreuses autres fonctions arithmétiques.

Un exemple notable concerne la fonction de Möbius μ. L'affirmation selon laquelle l'équation

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}

9§ ζ ( s ) = ∑ n = §3435§ ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}

est valable pour tout s possédant une partie réelle supérieure à 1/2, et où la somme du membre de droite converge, est manifestement équivalent à l'hypothèse de Riemann. Par conséquent, on peut en déduire que si la fonction de Mertens est définie comme suit :

{\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)>

puis l'affirmation selon laquelle

M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)

28§ §29

M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)

+ ε ) {\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}

L'équivalence entre l'hypothèse de Riemann et une condition spécifique, applicable pour tout ε positif, a été établie par J. E. Littlewood en 1912 (Titchmarsh (1986), paragraphe 14.25). Le déterminant de l'ordre n de la matrice de Redheffer est défini comme M(n), permettant ainsi de formuler l'hypothèse de Riemann comme une condition concernant le taux de croissance de ces déterminants. Les progrès ultérieurs ont affiné les découvertes initiales de Littlewood, avec des contributions notables d'Edmund Landau, Edward Charles Titchmarsh, Helmut Maier, Hugh Montgomery et Kannan Soundararajan. Les recherches de Soundararajan démontrent que, en supposant que l'hypothèse de Riemann soit vraie,

M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).

27§ / §32

M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).

exp ⁡ ( ( journal ⁡ x ) §5859§ / §64

M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).

( journal ⁡ journal ⁡ x ) §8687§ ) ) . {\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}

L'hypothèse de Riemann impose une contrainte relativement stricte sur la croissance de M. Ceci est important car Odlyzko & te Riele (1985) avait précédemment réfuté la conjecture de Mertens, qui postulait une limite légèrement plus forte.

|M(x)|\leq {\sqrt {x}}.

Björner (2011) a présenté une autre découverte connexe, qui établit l'équivalence entre l'hypothèse de Riemann et la condition selon laquelle la caractéristique d'Euler du complexe simplicial, dérivée du réseau d'entiers sous divisibilité, est $o(n^{1/2+\epsilon })$ 15§ / §20 $o(n^{1/2+\epsilon })$ ) {\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })> pour tous $\epsilon >0$ 51§ {\displaystyle \epsilon >0} .

L'hypothèse de Riemann est équivalente à de nombreuses autres conjectures concernant les taux de croissance de diverses fonctions arithmétiques, au-delà du simple μ(n). Une illustration représentative est le théorème de Robin, qui postule que si σ(n) désigne la fonction sigma, définie comme :

\sigma (n)=\sum _{d\mid n}d

alors

{\displaystyle \sigma (n)

Cette inégalité s'applique à tous les n > 5040 si et seulement si l'hypothèse de Riemann est valide, où γ désigne la constante d'Euler-Mascheroni.

En 2002, Jeffrey Lagarias a établi une limite connexe, démontrant l'équivalence de l'hypothèse de Riemann à l'énoncé suivant :

{\displaystyle \sigma (n)

Cela vaut pour chaque nombre naturel n > 1, où $H_{n}$ représente le nième nombre harmonique.

De plus, l'hypothèse de Riemann est valide si et seulement si l'inégalité suivante est vérifiée :

{\frac {n}{\varphi (n)}

Cette inégalité est satisfaite pour tout n ≥ 120569#, où φ(n) désigne la fonction totient d'Euler et 120569# signifie le produit des 120569 premiers nombres premiers.

Jérôme Franel a identifié un autre exemple, que Landau a ensuite développé (Franel & Landau (1924)). L'hypothèse de Riemann est manifestement équivalente à plusieurs propositions indiquant la régularité relative des termes au sein de la séquence de Farey. Une telle équivalence stipule que si F_n représente la séquence de Farey d'ordre n, allant de 1/n à 1/1, alors l'assertion tient que pour tout ε > 0

\sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)

16§ m | F n ( je ) − je m | = O ( n §7172§ §73

\sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)

+ ϵ ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}

Cette expression est équivalente à l'hypothèse de Riemann. Dans ce contexte,

m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)

20§ n φ ( je ) {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}

représente le nombre total de termes dans la séquence de Farey d'ordre n.

En considérant un exemple de la théorie des groupes, si g(n) désigne la fonction de Landau, qui spécifie l'ordre maximal des éléments dans le groupe symétrique S_n de degré n, alors Massias, Nicolas et Robin (1988) ont démontré que l'hypothèse de Riemann équivaut précisément à la borne suivante :

\log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}

31§ ⁡ ( n ) {\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}

applicable à toutes les valeurs suffisamment grandes de n.

L'hypothèse de Lindelöf et les caractéristiques de croissance de la fonction Zeta

L'hypothèse de Riemann implique également plusieurs implications plus faibles, notamment l'hypothèse de Lindelöf. Cette hypothèse concerne le taux de croissance de la fonction zêta le long de la ligne critique, affirmant que pour tout ε > 0,

\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),

16§ §17

\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),

+ je t ) = O ( t ε ) , {\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}

à mesure que t s'approche $\infty$

De plus, l'hypothèse de Riemann fournit des limites particulièrement précises pour le zêta le taux de croissance de la fonction dans d'autres régions de la bande critique. Par exemple, cela suggère que

e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }

47§ + je t ) | journal ⁡ journal ⁡ t ≤ §80

e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }

{\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}

{\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }

53§ / | ζ ( §6768§ + je t ) | journal ⁡ journal ⁡ t ≤ §103104§ π §110

{\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }

e γ {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}

Par conséquent, le taux de croissance de ζ(1 + it) et son inverse sont déterminés avec une précision allant jusqu'à un facteur 2.

Conjecture sur les grands écarts principaux

Le théorème des nombres premiers établit qu'en moyenne, l'intervalle entre un nombre premier p et son nombre premier suivant est d'environ log p. Néanmoins, certains prime gaps peuvent largement dépasser cette moyenne. Cramér a démontré que, sous réserve de l'hypothèse de Riemann, tous ces écarts sont limités par O(√p log p). Ce cas particulier met en évidence une divergence dans laquelle la limite la plus robuste dérivée de l’hypothèse de Riemann reste considérablement moins précise que ce qui est intuitivement attendu. Plus précisément, la conjecture de Cramér postule que chaque écart est O((log p)§2324§), une valeur qui, bien qu'elle soit supérieure à l'écart moyen, est nettement inférieure à la limite supérieure suggérée par l'hypothèse de Riemann. Les données empiriques corroborent la conjecture de Cramér.

Critères analytiques équivalents à l'hypothèse de Riemann

De nombreuses affirmations ont été identifiées comme équivalentes à l'hypothèse de Riemann ; cependant, aucun de ces éléments n’a encore facilité des progrès substantiels dans sa preuve ou sa réfutation. Des exemples représentatifs sont présentés ci-dessous. (Des équivalences supplémentaires concernent la fonction diviseur σ(n).)

Le critère de Riesz, formulé par Riesz en 1916, affirme que la limite

-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)

Cette condition est satisfaite pour tout ε > 0 si et seulement si l'hypothèse de Riemann est valide.

Nyman (1950) a démontré que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'espace des fonctions défini par les expressions de la forme

f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)

où ρ(z) désigne la composante fractionnaire de z, et 0 ≤ θ_ν ≤ 1, avec la contrainte supplémentaire que

\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,

Cet espace est dense au sein de l'espace de Hilbert L²(0,1), qui comprend des fonctions carrées intégrables sur l'intervalle unitaire. Beurling (1955) a développé cela en démontrant que la fonction zêta manque de zéros avec une partie réelle dépassant 1/p si et seulement si cet espace fonctionnel spécifique présente une densité en L^p(0,1). Par la suite, Baez-Duarte a renforcé ce critère de Nyman-Beurling, l'étendant aux scénarios où $\theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}$ .

Salem (1953) a établi que l'hypothèse de Riemann est valable si et seulement si l'équation intégrale suivante est satisfaite :

\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0

12§ ∞ z − σ − §3637§ φ ( z ) e x / z + §6970§ d z = §8283§ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}

Cette équation ne possède aucune solution bornée non triviale pour $\varphi$ quand $1/2<\sigma <1$ 24§ / §29 $\varphi$ 39§ {\displaystyle 1/2<\sigma <1} .

Le critère de Weil postule que la positivité d'une fonction spécifique est équivalente à l'hypothèse de Riemann. De même, le critère de Li stipule que la positivité d'une séquence particulière de nombres est également équivalente à l'hypothèse de Riemann.

Speiser (1934) a démontré que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle ζ′(s), qui représente la dérivée de ζ(s), ne contient aucun zéro dans la bande spécifiée.

0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.

7§ ≪ ℜ ( s ) ≪ §2324§ §25

0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.

. {\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}

La condition selon laquelle ζ(s) possède exclusivement des zéros simples sur la ligne critique équivaut à sa dérivée ne présentant aucun zéro sur la même ligne critique.

La séquence de Farey établit deux équivalences, qui ont été identifiées par Jérôme Franel et Edmund Landau en 1924.

La constante de Bruijn-Newman, symbolisée par Λ et nommée en l'honneur de Nicolaas Govert de Bruijn et Charles M. Newman, est défini comme le nombre réel singulier pour lequel la fonction

H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du

27§ ∞ e λ tu §46

H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du

Φ ( tu ) cos ⁡ ( z tu ) d tu {\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du} ,

Cette fonction est paramétrée par un paramètre réel λ, intègre une variable complexe z et est définie par l'application d'une fonction à décroissance super-exponentielle.

\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}

27§ ∞ ( §37

\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}

{\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}} .

Une fonction possède exclusivement des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ. Étant donné que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle tous les zéros de H(0, z) sont réels, il s'ensuit que l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture selon laquelle Λ ≤ 0. Brad Rodgers et Terence Tao ont par la suite établi que cette équivalence est précisément Λ = 0, obtenue en démontrant que zéro constitue la borne inférieure de la constante. Par conséquent, prouver que zéro est la limite supérieure validerait l’hypothèse de Riemann. Newman a fait remarquer que cette conjecture (maintenant un théorème prouvé) « est une version quantitative du dicton selon lequel l'hypothèse de Riemann, si elle est vraie, ne l'est qu'à peine ». Depuis avril 2020, la limite supérieure établie est Λ ≤ 0,2.

Implications de l'hypothèse de Riemann généralisée

De nombreuses applications exploitent l'hypothèse de Riemann généralisée pour les séries L de Dirichlet ou les fonctions zêta des champs numériques, allant au-delà de la portée de l'hypothèse de Riemann standard. De nombreuses propriétés fondamentales de la fonction zêta de Riemann sont facilement généralisables à toutes les séries L de Dirichlet, ce qui suggère qu'une méthodologie capable de prouver l'hypothèse de Riemann pour la fonction zêta de Riemann pourrait également être applicable à l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions L de Dirichlet. Alors que plusieurs résultats initialement établis à l'aide de l'hypothèse de Riemann généralisée ont ensuite été prouvés de manière inconditionnelle sans qu'on s'y fie, ces preuves inconditionnelles présentaient généralement une complexité beaucoup plus grande. Une partie substantielle des conséquences énumérées dans la liste suivante provient de Conrad (2010).

En 1913, Grönwall a démontré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique l'exhaustivité de la compilation de Gauss de champs quadratiques imaginaires possédant un numéro de classe de 1. Cependant, Baker, Stark et Heegner ont par la suite fourni des preuves inconditionnelles de cette affirmation, indépendamment de l'hypothèse de Riemann généralisée.
En 1917, Hardy et Littlewood ont démontré que l'hypothèse généralisée de Riemann corroborait une conjecture de Chebyshev, exprimée par $\lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,$ 17§ − ∑ p > §35 ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>36§ </mrow> </munder> <mo stretchy=$ 45§ ) ( p + §5657§ ) / §64 ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>65§ </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class=$ = + ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,} . Cette conjecture suggère que les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 se produisent avec une plus grande fréquence que ceux congrus à 1 modulo 4, dans un contexte mathématique spécifique.
En 1923, Hardy et Littlewood ont démontré que l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH) implique une version plus faible de la conjecture de Goldbach pour les nombres impairs, en particulier que tout nombre impair suffisamment grand peut être exprimé comme la somme de trois nombres premiers. Cependant, Vinogradov a fourni une preuve inconditionnelle de cette affirmation en 1937. Par la suite, en 1997, Deshouillers, Effinger, te Riele et Zinoviev ont établi que le GRH implique en outre que tout nombre impair supérieur à 5 est la somme de trois nombres premiers. Plus récemment, en 2013, Harald Helfgott a prouvé avec succès la conjecture ternaire de Goldbach indépendamment du GRH, un exploit accompli avec l'assistance informatique approfondie de David J. Platt.
En 1934, Chowla a établi que l'hypothèse de Riemann généralisée implique une limite supérieure pour le premier nombre premier dans une progression arithmétique a mod m, en particulier qu'elle est d'au plus Km§67§log(m)§1011§ pour une certaine constante fixe K.
En 1967, Hooley a démontré que l'hypothèse généralisée de Riemann fournit une base à la conjecture d'Artin sur les racines primitives.
En 1973, Weinberger a prouvé que l'hypothèse de Riemann généralisée implique l'exhaustivité de l'énumération des nombres idoneaux d'Euler.
Weinberger (1973) a en outre démontré que l'hypothèse de Riemann généralisée, lorsqu'elle est appliquée aux fonctions zêta de tous les corps de nombres algébriques, implique que tout corps de nombres possédant un numéro de classe de 1 doit être soit euclidien, soit un corps de nombres quadratiques imaginaire caractérisé par un discriminant de −19, −43, −67 ou −163.
En 1976, G. Miller a établi que l'hypothèse de Riemann généralisée permet de tester la primalité en temps polynomial grâce à l'application du test de Miller. Par la suite, en 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal et Nitin Saxena ont fourni une preuve inconditionnelle de ce résultat en développant le test de primalité AKS.
Odlyzko (1990) a exploré l'utilité de l'hypothèse de Riemann généralisée pour dériver des estimations plus précises des discriminants et des numéros de classe associés aux champs numériques.
Ono & Soundararajan (1997) a démontré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que la forme quadratique intégrale de Ramanujan, exprimée comme x§34§ + y§78§ + 10z§1112§, représente tous les entiers qu'elle représente localement, à l'exception de 18 cas précisément.
En 2021, Alexander (Alex) Dunn et Maksym Radziwill ont prouvé avec succès la conjecture de Patterson concernant les sommes cubiques de Gauss, en fonction de l'hypothèse de l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH).

Le principe du milieu exclu

Certaines implications de l'hypothèse de Riemann (RH) sont également des conséquences de sa négation, les établissant ainsi comme théorèmes. Dans leur analyse du théorème de Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn, Ireland & Rosen (1990, p. 359) déclare :

La méthode de preuve ici est vraiment étonnante. Si l’hypothèse de Riemann généralisée est vraie, alors le théorème est vrai. Si l’hypothèse généralisée de Riemann est fausse, alors le théorème est vrai. Ainsi, le théorème est vrai !!

Il est crucial de faire preuve de prudence lorsque l'on affirme que l'hypothèse de Riemann généralisée est fausse, car une telle affirmation nécessite une spécification précise de la classe de séries de Dirichlet pour laquelle un contre-exemple existe.

Théorème de Littlewood

Cette section traite du signe du terme d'erreur dans le théorème des nombres premiers. Les calculs ont démontré que π(x) < li(x) pour tout x ≤ 10²⁵, et aucune valeur de x n'a été identifiée pour laquelle π(x) > li(x).

En 1914, Littlewood a démontré l'existence de valeurs arbitrairement grandes de x pour lesquelles

\pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,

33§ §3435§ x journal ⁡ x journal ⁡ journal ⁡ journal ⁡ x , {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}

et qu'il existe également des valeurs arbitrairement grandes de x pour lesquelles

\pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.

34§ §3536§ x journal ⁡ x journal ⁡ journal ⁡ journal ⁡ x . {\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}

Par conséquent, la différence π(x) − li(x) subit un nombre infini de changements de signe. Le nombre de Skewes fournit une estimation de la valeur de x à laquelle ce changement de signe initial se produit.

La preuve de Littlewood est structurée en deux cas distincts : un où l'hypothèse de Riemann (RH) est présumée fausse (détaillée dans environ une demi-page d'Ingham 1932, chapitre V), et un autre où l'hypothèse de Riemann (RH) est présumée vraie (s'étendant sur environ une douzaine de pages). Par la suite, Stanisław Knapowski a publié un article étudiant la fréquence à laquelle ${\displaystyle \Delta (n)>$ change de signe dans l'intervalle ${\displaystyle \Delta (n)>$ .

Conjecture du numéro de classe de Gauss

Cette conjecture, initialement articulée dans l'article 303 des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, postule que seul un nombre fini de champs quadratiques imaginaires possèdent un numéro de classe spécifique. Une méthode potentielle pour sa preuve consiste à démontrer que lorsque le discriminant D s'approche de l'infini négatif (D → −∞), le numéro de classe h(D) tend vers l'infini (h(D) → ∞).

La série ultérieure de théorèmes, qui intègrent l'hypothèse de Riemann, est détaillée dans Ireland & Rosen (1990, pp. 358-361) :

(Dans les travaux de Hecke et Heilbronn, les seules fonctions L considérées sont celles associées à des caractères quadratiques imaginaires. Par conséquent, l'affirmation selon laquelle GRH est vraie ou GRH est fausse se rapporte spécifiquement à ces L-fonctions particulières. Bien qu'un échec de l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH) pour la fonction L d'un Le caractère cubique de Dirichlet impliquerait, par définition stricte, que GRH est faux, ce n'était pas le type spécifique d'échec de GRH envisagé par Heilbronn. Par conséquent, son hypothèse était plus contrainte qu'une déclaration générale de GRH est fausse.)

En 1935, Carl Siegel a considérablement amélioré ce résultat, obtenant l'amélioration sans aucune dépendance sur l'hypothèse de Riemann (RH) ou sur l'hypothèse de Riemann généralisée. (GRH).

Croissance de la fonction Totient d'Euler

En 1983, J. L. Nicolas a démontré que l'inégalité ${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}>$ est valable pour un infini nombre de n, où φ(n) représente la fonction totale d'Euler et γ désigne la constante d'Euler. Ribenboim a souligné la nature intrigante de la méthode de preuve, notant que l'inégalité a été établie initialement en supposant que l'hypothèse de Riemann était vraie, puis en supposant qu'elle était fausse.

Cette section aborde les généralisations et les concepts analogues liés à l'hypothèse de Riemann.

La discussion ici concerne la série Dirichlet L et leur pertinence dans d'autres champs numériques.

L'hypothèse de Riemann peut être étendue en remplaçant la fonction zêta de Riemann par des fonctions L globales, qui sont formellement analogues mais considérablement plus complètes. Dans ce cadre élargi, il est postulé que les zéros non triviaux des fonctions L globales possèdent une partie réelle de 1/2. Ces conjectures plus larges, plutôt que l'hypothèse classique de Riemann concernant uniquement la fonction zêta de Riemann, soulignent la profonde signification de l'hypothèse de Riemann dans les mathématiques contemporaines.

L'hypothèse de Riemann généralisée la plus largement reconnue étend l'hypothèse originale pour englober toutes les fonctions L de Dirichlet. Plus précisément, cette généralisation postule la non-existence des zéros de Siegel, qui sont définis comme des zéros de fonctions L situées dans l'intervalle (1/2, 1).

L'hypothèse de Riemann étendue élargit la portée de l'hypothèse de Riemann pour inclure toutes les fonctions zêta de Dedekind associées aux champs de nombres algébriques. Étant donné que la fonction zêta de Dedekind pour une extension abélienne des rationnels peut être formulée comme un produit des fonctions L de Dirichlet, et étant donné que le seul pôle potentiel de la fonction zêta de Riemann se produit en 1 (empêchant ainsi tout pôle d'annuler un zéro non trivial), cette formulation particulière de l'hypothèse de Riemann implique par conséquent l'hypothèse de Riemann généralisée.

De plus, l'hypothèse de Riemann peut être étendue à la Fonctions L correspondant aux caractères Hecke des champs numériques. Comme les fonctions L de Dirichlet sont un type spécifique de fonctions L de Hecke pour les caractères finis, cette extension implique directement l'hypothèse de Riemann généralisée. De plus, puisque les fonctions zêta de Dedekind peuvent être représentées comme un produit de fonctions L de Hecke et que le seul pôle potentiel d'une fonction L de Hecke est à 1, cette itération de l'hypothèse de Riemann implique également la version applicable aux fonctions zêta de Dedekind.

Deux approches principales semblent offrir les extensions les plus complètes de l'hypothèse de Riemann. L'hypothèse du Grand Riemann élargit sa portée pour englober toutes les fonctions L automorphes, y compris les transformées de Mellin des formes propres de Hecke. À l'inverse, l'hypothèse de Riemann pour la classe Selberg étend l'hypothèse aux fonctions qui remplissent des propriétés spécifiques (qui sont conjecturalement satisfaites par la plupart des fonctions communément appelées fonctions zêta ou fonctions L), plutôt qu'aux fonctions définies par des formules explicites. Bien que la classe de Selberg soit censée être équivalente à la classe des fonctions L automorphes, ce qui suggère que ces approches devraient être interchangeables, l'établissement de cette équivalence reste un problème ouvert important et une composante du programme de Langlands.

Cette section examine les champs de fonctions et les fonctions zêta des variétés définies sur des champs finis.

En 1924, Artin a introduit les fonctions zêta globales pour les champs de fonctions (quadratiques) et a proposé une hypothèse de Riemann analogue pour eux. Cette conjecture a ensuite été prouvée par Hasse pour le cas du genre 1 et généralement par Weil en 1948. Par exemple, l'observation selon laquelle la somme de Gauss du caractère quadratique d'un corps fini de taille q (où q est impair) possède une valeur absolue de ${\sqrt {q}}$ illustre l'hypothèse de Riemann dans le contexte du champ de fonction. Ce développement a incité Weil en 1949 à émettre une hypothèse similaire pour toutes les variétés algébriques, conduisant aux conjectures de Weil, qui ont finalement été établies par Pierre Deligne.

Cette section traite des fonctions zêta arithmétiques des schémas arithmétiques et de leurs facteurs L correspondants.

Les fonctions zêta arithmétiques étendent les concepts des fonctions zêta de Riemann et Dedekind, ainsi que les fonctions zêta des variétés sur des corps finis, pour englober tout schéma arithmétique ou schéma de type fini sur des nombres entiers. Pour un schéma arithmétique équidimensionnel régulier, connecté avec la dimension de Kronecker n, sa fonction zêta arithmétique peut être décomposée en un produit de facteurs L correctement définis et d'un facteur auxiliaire. En supposant l'existence d'une équation fonctionnelle et d'une continuation méromorphique, l'hypothèse de Riemann généralisée pour le facteur L postule que ses zéros se trouvent dans la bande critique ℜ ( s ) ∈ ( §2223§ , n ) {\displaystyle \Re (s)\in (0,n)> sont situés sur la ligne centrale. Par conséquent, l’hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction zêta arithmétique d’un tel schéma affirme que ses zéros dans la bande critique se trouvent sur des lignes verticales class="MJX-TeXAtom-ORD"> ℜ ( s ) = §5556§ / §6162§ , §6566§ / §7172§ , … , n − §8586§ / §9192§ {\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2} , et ses pôles à l'intérieur de la bande critique sont situés sur des lignes verticales $\Re (s)=1,2,\dots ,n-1$ 123§ , … , n − §136137§ {\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1} . Si cette hypothèse a été établie pour les schémas à caractéristique positive, attribuée aux travaux de Pierre Deligne, elle reste totalement non prouvée pour la caractéristique nulle.

Fonctions Zeta de Selberg

En 1956, Selberg a introduit la fonction zêta de Selberg pour une surface de Riemann. Ces fonctions présentent des similitudes avec la fonction zêta de Riemann, possédant une équation fonctionnelle et un développement de produit infini analogue au produit d'Euler, mais défini sur des géodésiques fermées au lieu de nombres premiers. La formule de trace de Selberg sert de contrepartie pour ces fonctions aux formules explicites trouvées dans la théorie des nombres premiers. Selberg a démontré que les fonctions zêta de Selberg adhèrent à un analogue de l'hypothèse de Riemann, où les composantes imaginaires de leurs zéros correspondent aux valeurs propres de l'opérateur laplacien de la surface de Riemann.

Fonctions Ihara Zeta

La fonction zêta d'Ihara, définie pour un graphe fini, représente un analogue de la fonction zêta de Selberg. Yasutaka Ihara a initialement présenté cette fonction dans le cadre de sous-groupes discrets du groupe linéaire spécial p-adique deux par deux. Comme l'a noté T. Sunada, un graphe fini régulier est considéré comme un graphe de Ramanujan - un modèle mathématique pour des réseaux de communication efficaces - si et seulement si sa fonction zêta d'Ihara remplit l'analogue de l'hypothèse de Riemann.

Conjecture de corrélation de paires de Montgomery

En 1973, Montgomery a proposé la conjecture de corrélation de paires, qui postule que les fonctions de corrélation des zéros correctement normalisés de la fonction zêta devraient s'aligner sur celles des valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire. Les travaux ultérieurs d'Odlyzko en 1987 ont fourni des preuves numériques étayant cette conjecture grâce à des calculs approfondis de ces fonctions de corrélation.

Montgomery a démontré que, sous l'hypothèse de Riemann, au moins les deux tiers de tous les zéros sont simples. Une conjecture connexe postule que tous les zéros de la fonction zêta sont simples ou, plus largement, manquent de relations linéaires entières non triviales entre leurs parties imaginaires. En revanche, les fonctions zêta de Dedekind, qui sont des généralisations de la fonction zêta de Riemann pour les champs de nombres algébriques, présentent fréquemment plusieurs zéros complexes. Ce phénomène se produit parce que les fonctions zêta de Dedekind se décomposent en un produit de puissances des fonctions L d'Artin, conduisant à des cas où les zéros des fonctions L d'Artin génèrent plusieurs zéros dans les fonctions zêta de Dedekind. D'autres exemples de fonctions zêta possédant plusieurs zéros incluent les fonctions L associées à certaines courbes elliptiques ; ceux-ci peuvent comporter plusieurs zéros au point réel de leur ligne critique. La conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer postule que la multiplicité d'un tel zéro correspond au rang de la courbe elliptique.

Autres fonctions Zeta

Il existe de nombreuses autres fonctions zêta qui présentent des analogues de l'hypothèse de Riemann, certaines ayant déjà été rigoureusement prouvées. Par exemple, les fonctions zêta de Goss des champs de fonctions possèdent une hypothèse de Riemann, que Sheats (1998) a démontrée avec succès. La conjecture centrale de la théorie d'Iwasawa, établie par Barry Mazur et Andrew Wiles pour les champs cyclotomiques et par Wiles pour les champs totalement réels, corrèle les zéros d'une fonction p-adique L avec les valeurs propres d'un opérateur. Par conséquent, cela peut être considéré comme un concept analogue à la conjecture de Hilbert – Pólya pour les fonctions p-adiques L.

Tentatives de preuves

Bien que de nombreux mathématiciens se soient penchés sur l'hypothèse de Riemann, aucune des solutions proposées n'a jusqu'à présent été acceptée comme preuve définitive. Watkins (2021) propose une compilation de plusieurs solutions erronées.

Théorie des opérateurs

Hilbert et Pólya ont proposé que l'hypothèse de Riemann puisse être établie en identifiant un opérateur auto-adjoint. L'existence d'un tel opérateur, soumis au critère des valeurs propres réelles, impliquerait logiquement l'énoncé concernant les parties réelles des zéros de ζ(s). Ce concept est soutenu par plusieurs fonctions zêta de Riemann analogues où les zéros s'alignent sur les valeurs propres de l'opérateur. Plus précisément, les zéros d'une fonction zêta pour une variété sur un corps fini correspondent aux valeurs propres d'un élément de Frobenius au sein d'un groupe de cohomologie étale. De même, les zéros d'une fonction zêta de Selberg représentent les valeurs propres d'un opérateur laplacien sur une surface de Riemann, et les zéros d'une fonction zêta p-adique sont en corrélation avec les vecteurs propres d'une action de Galois sur des groupes de classes idéaux.

Odlyzko (1987) a démontré que la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann présente des points communs statistiques avec les valeurs propres des matrices aléatoires dérivées. de l'ensemble unitaire gaussien. Cette observation donne du crédit à la conjecture de Hilbert-Pólya.

En 1999, Michael Berry et Jonathan Keating ont postulé l'existence d'une quantification inconnue ${\displaystyle {\hat {H}}>$ pour l'hamiltonien classique H = xp, tel que $\zeta (1/2+i{\hat {H}})=0$ 43§ / §48 ${\hat {H}}$ 70§ {\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0} . Ils ont en outre supposé que les zéros de Riemann correspondent précisément au spectre de l'opérateur $1/2+i{\hat {H}}$ 86§ / §91 ${\hat {H}}$ {\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}} . Cette proposition s'écarte de la quantification canonique, qui aboutit généralement au principe d'incertitude de Heisenberg, exprimé par $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$ , et donne les nombres naturels comme spectre pour l'oscillateur harmonique quantique. Un aspect critique de cette conjecture est que l'hamiltonien doit être un opérateur auto-adjoint, permettant ainsi à la quantification de remplir le programme Hilbert-Pólya. Développant ce problème de mécanique quantique, Berry et Connes ont proposé que l'inverse du potentiel de l'hamiltonien soit lié à la demi-dérivée de la fonction xmlns="w3.org/1998/Math/MathML"> N ( s ) = §178179§ π Arg ⁡ ξ ( §194195§ / §200 ${\hat {H}}$ {\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})} .Par conséquent, dans le cadre Hilbert-Pólya, cette relation est exprimée comme $V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.$ 287§ / §292 ${\hat {H}}$ . {\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.} Cette formulation produit un hamiltonien dont les valeurs propres correspondent au carré de la composante imaginaire des zéros de Riemann, et dont le déterminant fonctionnel est précisément la fonction de Riemann Xi. Plus précisément, la fonction Riemann Xi est supposée proportionnelle au déterminant fonctionnel (produit Hadamard) $\det(H+1/4+s(s-1))$ , menant à la relation ${\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.$ 408§ ) + §413414§ / §419420§ ) det ( H + §432433§ / §438439§ ) . {\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.} . Néanmoins, cet opérateur s'avère peu pratique car il intègre la fonction inverse (une fonction implicite) du potentiel plutôt que le potentiel directement. Une analogie tirée de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis indique que l'espace de Hilbert englobant les vecteurs propres associés aux zéros pourrait constituer un premier groupe de cohomologie du spectre Spec (Z) des entiers. Deninger (1998) a documenté divers efforts visant à établir une telle théorie de la cohomologie.

Zagier (1981) a développé un espace naturel de fonctions invariantes sur le demi-plan supérieur, où les valeurs propres de l'opérateur laplacien correspondaient aux zéros de la fonction zêta de Riemann. Il a noté que si un produit scalaire défini positif approprié pouvait être établi pour cet espace, l'hypothèse de Riemann serait prouvée. Cartier (1982) a présenté un cas similaire dans lequel un programme informatique, en raison d'une erreur inhabituelle, a identifié les zéros de la fonction zêta de Riemann comme valeurs propres de l'opérateur laplacien identique.

Schumayer et Hutchinson (2011) ont passé en revue divers efforts visant à développer un modèle physique approprié associé à la fonction zêta de Riemann.

Théorème de Lee-Yang

Le théorème de Lee-Yang postule que les zéros de fonctions de partition spécifiques en mécanique statistique sont exclusivement situés sur une « ligne critique » où leur partie réelle est nulle, ce qui incite à des conjectures quant à son lien avec l'hypothèse de Riemann.

Résultat de Turán

Pál Turán a démontré que si les fonctions $\sum _{n=1}^{N}n^{-s}$ 16§ N n − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}} ne possède pas de zéros lorsque la partie réelle de s dépasse un, alors $T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,$ 95§ pour x > §104105§ , {\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ pour }}x>0,} serait valable, où λ(n) représente la fonction de Liouville, définie comme (−1)^r si n a r facteurs premiers. Turán a affirmé que cette condition impliquerait, à son tour, la véracité de l'hypothèse de Riemann. Cependant, Haselgrove (1958) a démontré plus tard que T(x) est négatif pour un nombre infini de valeurs x (réfutant ainsi également la conjecture de Pólya associée). Par la suite, Borwein, Ferguson et Mossinghoff (2008) ont identifié le plus petit x comme §134135§185376951205. De plus, Spira (1968) a calculé numériquement que la série finie de Dirichlet susmentionnée pour N = 19 possède un zéro avec une partie réelle supérieure à 1. Turán a également proposé qu'une prémisse légèrement plus faible - l'absence de zéros avec une partie réelle dépassant 1 + N^−1/2+ε pour les grands N dans la série finie de Dirichlet — conduirait également à l'hypothèse de Riemann. Néanmoins, Montgomery (1983) a établi que pour tout N suffisamment grand, ces séries contiennent des zéros avec une partie réelle supérieure à 1 + (log log N)/(4 log N). Par conséquent, le résultat initial de Turán est rendu faux et ne peut pas contribuer à prouver l'hypothèse de Riemann.

Géométrie non commutative

Alain Connes a élucidé un lien entre l'hypothèse de Riemann et la géométrie non commutative, démontrant qu'un analogue approprié de la formule de trace de Selberg, appliquée à l'action du groupe de classes idèle sur l'espace de classe adèle, établirait l'hypothèse de Riemann. De plus amples détails sur ces concepts sont fournis par Lapidus (2008).

Espaces de Hilbert de fonctions entières

Louis de Branges a proposé que l'hypothèse de Riemann puisse être dérivée d'une condition de positivité au sein d'un espace de Hilbert spécifique de fonctions entières. Cependant, Conrey et Li (2000) ont démontré par la suite que les conditions de positivité requises ne sont pas remplies. Malgré ce défi, de Branges a persisté à développer une preuve de l'hypothèse de Riemann en utilisant cette approche, même si elle n'a pas été largement acceptée par les mathématiciens.

Quasicristaux

L'hypothèse de Riemann postule que les zéros de la fonction zêta constituent un quasi-cristal, caractérisé par une distribution de support discrète dont la transformée de Fourier présente de la même manière un support discret. Dyson (2009) a proposé une approche pour prouver l'hypothèse de Riemann à travers la classification ou l'étude approfondie des quasi-cristaux unidimensionnels.

Fonctions zêta arithmétiques des modèles de courbes elliptiques sur des champs numériques

La transition d'une dimension géométrique de un, telle qu'un champ numérique algébrique, à une dimension géométrique de deux, illustrée par un modèle régulier d'une courbe elliptique sur un corps numérique, révèle que la composante bidimensionnelle de l'hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction zêta arithmétique du modèle concerne les pôles de la fonction zêta. Contrairement au cas unidimensionnel, où l'étude de l'intégrale zêta dans la thèse de Tate ne donne aucun aperçu nouveau et significatif de l'hypothèse de Riemann, le travail d'Ivan Fesenko sur une généralisation bidimensionnelle de la thèse de Tate incorpore une représentation intégrale d'une intégrale zêta intimement liée à la fonction zêta. Ce nouveau contexte bidimensionnel, inaccessible en une seule dimension, permet l'examen des pôles de la fonction zêta à travers l'intégrale zêta et ses groupes adèles associés. Une conjecture connexe d'Ivan Fesenko, concernant la positivité de la dérivée quatrième d'une fonction frontière liée à l'intégrale zêta, implique fondamentalement l'aspect lié aux pôles de l'hypothèse de Riemann généralisée. Suzuki (2011) a démontré que cette implication, lorsqu'elle est combinée avec des hypothèses techniques spécifiques, justifie la conjecture de Fesenko.

Fonctions Zeta multiples

La preuve de Deligne de l'hypothèse de Riemann pour les corps finis a exploité les fonctions zêta des variétés de produits, où leurs zéros et leurs pôles sont en corrélation avec les sommes des zéros et des pôles de la fonction zêta d'origine, permettant ainsi de délimiter les parties réelles des zéros de la fonction zêta d'origine. Suivant cette analogie, Kurokawa (1992) a introduit plusieurs fonctions zêta, dont les zéros et les pôles correspondent de la même manière aux sommes des zéros et des pôles de la fonction zêta de Riemann. Pour assurer la convergence des séries, Kurokawa a imposé une restriction, en ne considérant que les sommes de zéros ou de pôles possédant des parties imaginaires non négatives. Actuellement, les limites établies sur les zéros et les pôles de plusieurs fonctions zêta sont insuffisantes pour fournir des estimations efficaces des zéros de la fonction zêta de Riemann.

Emplacement des zéros

Nombre de zéros

L'équation fonctionnelle, en conjonction avec le principe d'argument, indique que la quantité de zéros de la fonction zêta possédant une partie imaginaire comprise entre 0 et T est déterminée par l'expression suivante :

N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)

19§ π A r g ⁡ ( ξ ( s ) ) = §5556§ π A r g ⁡ ( Γ ( s §87

N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)

) π − s §106

N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)

ζ ( s ) s ( s − §130131§ ) / §138

N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)

{\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta(s)s(s-1)/2)}

Cette formule s'applique pour s = 1/2 + iT, avec l'argument établi par variation continue le long de la ligne où Im(s) = T, en commençant par un argument de 0 à ∞ + iT. Le résultat représente la somme d'un terme substantiel mais parfaitement compris.

{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)

9§ π A r g ⁡ ( Γ ( s §40

{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)

) π − s / §61

{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)

s ( s − §7475§ ) / §82

{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}

De plus, un terme mineur mais quelque peu énigmatique est introduit.

S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).

19§ π A r g ⁡ ( ζ ( §4546§ / §51

S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).

{\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}

Par conséquent, la densité de zéros possédant une composante imaginaire proche de T se rapproche de log(T)/(2π). La fonction S quantifie les écarts mineurs par rapport à cette approximation. Plus précisément, la fonction S(t) présente un saut d'unité à chaque zéro de la fonction zêta, et pour t ≥ 8, elle démontre une diminution monotone entre les zéros, avec sa dérivée approchant −log t.

Trudgian (2014) a établi que, si T > e, alors

L'inégalité suivante fournit une limite supérieure pour la différence entre N(T) et son approximation asymptotique :

|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}

En 1996, Karatsuba a démontré que tout intervalle (T, T + H], à condition que $H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }$ , contient un minimum de

H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}

23§ §2425§ e − c log ⁡ log ⁡ T {\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}

points où la fonction S(t) présente un changement de signe.

Selberg (1946) a démontré que les moments moyens des puissances paires de S sont déterminés par ce qui suit.

\int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).

12§ T | S ( t ) | §37

\int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).

d t = ( §54

\int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).

k ! ( §70

\int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).

T ( journal ⁡ journal ⁡ T ) k + O ( T ( journal ⁡ journal ⁡ T ) k − §143144§ / §149

\int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).

) . {\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}

L'expression S(T)/(log log T)^1/2 est indiquée pour se rapprocher d'une variable aléatoire gaussienne, possédant une moyenne de 0 et une variance de 2π§1213§ ; cette approximation a été étayée par Ghosh en 1983. Plus précisément, la magnitude |S(T)| se rapproche généralement de (log log T)^1/2, bien qu'il puisse parfois atteindre des valeurs nettement supérieures. L'ordre de croissance précis de S(T) reste indéterminé. La limite initiale de Riemann, S(T) = O(log T), n'a pas été améliorée de manière inconditionnelle ; cependant, l'hypothèse de Riemann suggère une limite légèrement plus stricte de S(T) = O(log T/log log T). L'ordre de grandeur réel pourrait être quelque peu inférieur, étant donné que les fonctions aléatoires présentant une distribution analogue à S(T) démontrent généralement un ordre de croissance se rapprochant de log(T)^1/2. A l'inverse, la valeur ne peut pas être excessivement petite : Selberg a démontré en 1946 que S(T) ≠ o((log T)^1/3/(log log T)^7/3), et sous l'hypothèse de Riemann, Montgomery établi que S(T) ≠ o((log T)^1/2/(log log T)^1/2).

Les analyses informatiques corroborent la croissance exceptionnellement lente de S : plus précisément, |S(T)| reste inférieur à 1 pendant T < 280 et |S(T)| est inférieur à 2 pour T < §2728§800000. De plus, la valeur maximale observée de |S(T)| à ce jour n'a pas sensiblement dépassé 3.

L'estimation de Riemann, S(T) = O(log T), indique que les intervalles entre les zéros sont finis. Littlewood a ensuite affiné cela, démontrant que les disparités entre leurs composantes imaginaires convergent vers zéro.

Théorème d'Hadamard et de la Vallée-Poussin

En 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin ont établi indépendamment qu'aucun zéro ne pouvait être situé sur la droite Re(s) = 1. Cette découverte, combinée à l'équation fonctionnelle et à l'absence de zéros ayant une partie réelle supérieure à 1, a démontré que tous les zéros non triviaux sont nécessairement confinés à l'intérieur de la bande critique, définie comme 0 < Re(s) < 1. Cela a constitué une avancée cruciale dans leurs dérivations initiales du théorème des nombres premiers.

Les premières preuves démontrant que la fonction zêta ne possède pas de zéros avec une partie réelle de 1 présentent des similitudes. Ces preuves reposent sur l'établissement que si ζ(1 + it) est égal à zéro, alors ζ(1 + 2it) doit être singulier, une condition mathématiquement impossible. Ceci peut être réalisé grâce à l'application de l'inégalité suivante :

|\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1

74§ {\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}

Cette inégalité est valable pour σ > 1, où t est un nombre réel, et est examiné en considérant la limite lorsque σ se rapproche de 1. La dérivation de cette inégalité implique de prendre la partie réelle du logarithme du produit d'Euler, ce qui révèle que :

|\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},

Dans ce contexte, la sommation englobe toutes les puissances premières pⁿ, ce qui conduit à l'implication suivante :

|\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}

Cette expression est manifestement au moins égale à 1, car tous les termes constitutifs de la sommation sont positifs, conséquence de l'inégalité suivante :

3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.

47§ + cos ⁡ ( θ ) ) §66

3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.

≥ 0. {\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}

Régions sans zéro

Une recherche informatique approfondie menée par Platt et Trudgian a validé l'hypothèse de Riemann pour les valeurs de |t| jusqu'à 3 0001753328×§131415§, à la recherche de contre-exemples. Au-delà de cette plage, les régions sans zéro sont caractérisées par des inégalités relatives à σ + i t, qui représente les zéros potentiels. La première formulation d'une telle région a été établie par De la Vallée-Poussin (1899-1900), qui a démontré l'existence d'un domaine libre de zéro satisfaisant 1 − σ ≥ ⁠C/log(t)⁠ pour une constante positive spécifique C. Cela implique que les zéros ne peuvent pas s'approcher arbitrairement de la ligne σ = 1, indiquant la présence d'une région sans zéro à proximité. Des recherches ultérieures menées par divers auteurs ont élargi cette région, en employant des méthodologies telles que le théorème de la valeur moyenne de Vinogradov.

Une publication récente de Mossinghoff, Trudgian et Yang, datée de décembre 2022, délimite quatre régions sans zéro. Ces résultats représentent une avancée par rapport aux résultats antérieurs, en particulier ceux présentés par Kevin Ford en 2002, Mossinghoff et Trudgian en 2015, et l'amélioration mineure des travaux de Ford par Pace Nielsen en octobre 2022 :

L'inégalité

\sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}

13§−§1920§5.558691log⁡|t|{\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}} est applicable à condition que

|t|\geq 2

De plus, l'inégalité

\sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}

13§−§1920§55.241(log⁡|t|)§47

\sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}

(log⁡log⁡|t|)§8788§/§9394§{\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}} est valable pour

|t|\geq 3

.Cette limite particulière est reconnue comme la plus grande région connue dans la plage

3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}

L'inégalité

\sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}

13§ − 0.04962 − 0.0196 1.15 + log ⁡ §3940§ + §4546§ §4748§ log ⁡ t + log ⁡ log ⁡ t 0,685 + log ⁡ §8687§ + §9293§ §9495§ log ⁡ t + 1.155 ⋅ log ⁡ log ⁡ t {\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}> est valide chaque fois que

|t|\geq 1.88\cdot 10^{14}

{\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}>

L'inégalité suivante,

\sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}

13§ − 0,05035 27 164 ( log ⁡ | t | ) + 7,096 + 0,0349 ( §6970§ 164 ( log ⁡ | t | ) + 7.096 ) §104

\sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}

{\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}} , est valide lorsque

{\displaystyle |t|\geq \exp(1000)>

, représentant la plus grande région connue dans ses propres limites définies.

L'article de recherche introduit en outre une amélioration de la deuxième région sans zéro. Les limites précises de cette région restent indéterminées car $|t|$ est uniquement présumé être « suffisamment grand » pour satisfaire aux conditions de la preuve présentée dans l'article. Cette région particulière est définie comme :

\sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}

13§ − §1920§ 48.1588 ( log ⁡ | t | ) §47

\sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}

( log ⁡ log ⁡ | t | ) §8788§ / §9394§ {\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}} .

Zéros sur la ligne critique

Hardy (1914) et Hardy & Littlewood (1921) a démontré l'existence d'une infinité de zéros sur la ligne critique à travers une analyse des moments de fonctions spécifiques liées à la fonction zêta. Selberg (1942) a ensuite prouvé qu'au moins une petite proportion positive de ces zéros se trouvait sur cette droite. Levinson (1974) a avancé ce constat en établissant qu'au moins un tiers des zéros sont situés sur la droite en corrélant les zéros de la fonction zêta avec ceux de sa dérivée. Conrey (1989) a encore affiné cette estimation, augmentant la proportion à deux cinquièmes. En 2020, Pratt, Robles, Zaharescu et Zeindler ont étendu cette estimation à cinq douzièmes en employant des mollificateurs étendus conçus pour prendre en charge les dérivées d'ordre supérieur de la fonction zêta et leurs sommes de Kloosterman associées.

La majorité des zéros sont situés à proximité immédiate de la ligne critique. Plus précisément, Bohr & Landau (1914) a démontré que pour tout ε positif, le nombre de zéros avec une partie réelle d'au moins 1/2+ε et une partie imaginaire entre −T et T est $O(T)$ . Lorsqu'il est combiné avec le fait que les zéros sur la bande critique sont symétriques par rapport à la ligne critique et que le nombre total de zéros dans la bande critique est ${\displaystyle \Theta (T\log T)>$ , cela implique que presque tous les zéros non triviaux se trouvent à une distance de ε de la ligne critique. Ivić (1985) fournit plusieurs versions plus précises de ce résultat, appelées estimations de densité nulle, qui limitent le nombre de zéros dans les régions avec une partie imaginaire d'au plus T et une partie réelle d'au moins 1/2 + ε.

Conjectures Hardy-Littlewood

En 1914, Godfrey Harold Hardy a démontré que la fonction $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ 17§ §18 $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ + je t ) {\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)} possède un nombre infini de zéros réels.

Les deux conjectures suivantes proposées par Hardy et John Edensor Littlewood ont lancé deux nouvelles directions de recherche concernant la fonction zêta de Riemann. Ces conjectures concernaient, premièrement, la distance entre les zéros réels de $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ 17§ §18 $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ + i t ) {\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)} , et deuxièmement, la densité des zéros pour $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ 58§ §59 $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ + i t ) {\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)} dans l'intervalle ${\displaystyle (T,T+H]>$ . Ces enquêtes reposaient sur les conditions dans lesquelles $T>0$ 121§ {\displaystyle T>0} soit suffisamment grand, $H=T^{a+\varepsilon }$ , et que la valeur de $a>0$ 172§ {\displaystyle a>0} être minimisé, où $\varepsilon >0$ 193§ {\displaystyle \varepsilon >0} désigne une quantité positive arbitrairement petite.

Pour toute valeur positive $\varepsilon >0$ 12§ {\displaystyle \varepsilon >0} , une limite inférieure correspondante $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ 32§ = T §4142§ ( ε ) > §5455§ {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} peuvent être identifiés. Cette limite garantit que pour tous les $T\geq T_{0}$ 80§ {\displaystyle T\geq T_{0}> et pour $H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }$ 109§ §110111§ + ε {\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }} , l'intervalle ${\displaystyle (T,T+H]>$ contient invariablement un zéro d'ordre impair pour le function $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ 177§ §178 ${\displaystyle \varepsilon >179§ </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mrow class=$

Laissez ${\displaystyle N(T)>$ désigne le nombre cumulé de zéros réels, et $N_{0}(T)$ 33§ ( T ) {\displaystyle N_{0}(T)> représente le nombre total de zéros d'ordre impair pour la fonction $~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~$ 69§ §70 $N(T)$ + i t ) {\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~} dans l'intervalle $(0,T]~$ 104§ , T ] {\displaystyle (0,T]~} .

Pour tout $\varepsilon >0$ 12§ {\displaystyle \varepsilon >0} , il existe une valeur seuil $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ 32§ = T §4142§ ( ε ) > §5455§ {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} et une constante positive $c=c(\varepsilon )>0$ 86§ {\displaystyle c=c(\varepsilon )>0} . Par conséquent, pour tous les $T\geq T_{0}$ 111§ {\displaystyle T\geq T_{0}> et quand $H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }$ 140§ §141 ${\displaystyle \varepsilon >142§ </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <annotation encoding=$ , l'inégalité suivante est vraie : $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH$ 172§ ( T + H ) − N §192193§ ( T ) ≥ c H {\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH} .

La conjecture de la fonction zêta de Selberg.

Atle Selberg a étudié le problème Hardy-Littlewood 2, démontrant que pour tout ε > 0, il existe des constantes $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ 15§ = T §2425§ ( ε ) > §3738§ {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} et c = c(ε) > 0. Ces constantes garantissent que pour $T\geq T_{0}$ 71§ {\displaystyle T\geq T_{0}} et $H=T^{0.5+\varepsilon }$ , l'inégalité $N(T+H)-N(T)\geq cH\log T$ est vrai. Selberg a ensuite supposé que ce résultat pourrait être affiné en définissant $H=T^{0.5}$ .Anatoly Karatsuba a prouvé plus tard que pour un ε fixe satisfaisant 0 < ε < 0,001, et pour un T suffisamment grand, si ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }>$ avec $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ 243§ = §252253§ §254255§ − §265266§ §267268§ {\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}} , alors l'intervalle (T, T+H) contient un minimum de cH log(T) zéros réels de la fonction zêta de Riemann $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ 313§ + je t ) {\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)} . Cette découverte a effectivement corroboré la conjecture de Selberg. Il est important de noter que l'ordre de croissance de ces estimations de Selberg et Karatsuba ne peut pas être affiné davantage à mesure que T s'approche de l'infini .

Karatsuba (1992) a démontré qu'un analogue de la conjecture de Selberg est valable pour presque tous les intervalles (T, T+H], où $H=T^{\varepsilon }$ et ε représente une valeur positive fixe et arbitrairement petite. La méthode Karatsuba facilite l'étude des zéros de la fonction zêta de Riemann dans des intervalles « ultra-courts » sur la ligne critique. Ces intervalles, notés (T, T+H], possèdent une longueur H qui augmente plus lentement que n'importe quel degré, même infinitésimal, de T. Plus précisément, Karatsuba a prouvé que pour tout nombre donné ε et $\varepsilon _{1}$ 63§ {\displaystyle \varepsilon _{1}} satisfaisant les conditions $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ 81§ ≪ ε , ε §9495§ ≪ §100101§ {\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1} , presque tous les intervalles (T, T+H] où $H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}$ contiennent un minimum de $H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}$ 188§ − ε §197198§ {\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}} zéros pour la fonction $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ 228§ §229230§ + je t ) {\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)} . Cette estimation se rapproche étroitement du résultat dérivé de l'hypothèse de Riemann.

Calculs numériques

La fonction

\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)

Cette fonction partage les mêmes zéros que la fonction zêta dans la bande critique et présente des valeurs réelles sur la ligne critique en raison de son équation fonctionnelle. Par conséquent, la présence de zéros précisément sur la ligne réelle entre deux points peut être établie en vérifiant numériquement que la fonction affiche des signes opposés en ces points respectifs. Généralement, la notation utilisée est :

\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}

15§ §16

\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}

+ je t ) = Z ( t ) e − je θ ( t ) {\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}>

Cette équation définit de manière unique la fonction Z de Hardy et la fonction thêta de Riemann – Siegel θ, sous réserve qu'elles soient des fonctions réelles lisses où θ(0) = 0. L'identification de nombreux intervalles où la fonction Z subit un changement de signe fournit la preuve de l'existence de plusieurs zéros sur la ligne critique. Pour valider l'hypothèse de Riemann jusqu'à une partie imaginaire spécifiée T pour les zéros, il est en outre nécessaire de confirmer l'absence de tout autre zéro en dehors de la ligne critique dans cette région. Cette confirmation peut être obtenue en employant la méthode de Turing pour calculer le nombre total de zéros dans la région et en vérifiant ensuite que ce nombre correspond précisément au nombre de zéros situés sur la ligne critique. Par conséquent, l'hypothèse de Riemann peut être vérifiée informatiquement pour toute valeur souhaitée de T, à condition que tous les zéros de la fonction zêta dans ce domaine soient simples et situés sur la ligne critique.

Ces calculs sont également applicables pour estimer ${\displaystyle \pi (x)>$ sur des intervalles finis de $x$ . Par exemple, des découvertes récentes de 2020, qui ont étendu le zéro calcul à une hauteur de $3\times 10^{12}$ , ont démontré que :

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.

42§ §4445§ π x journal ⁡ ( x ) , pour 2657 ≤ x ≤ 1.101 × §9394§ §9697§ . {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}

Généralement, cette inégalité est valable à condition que

Les conditions de cette analyse sont

{\displaystyle x\geq 2657>

{\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,

Ici, $T$ représente la valeur maximale établie pour laquelle l'hypothèse de Riemann est vraie pour tous les zéros $\rho$ , à condition que leur partie imaginaire satisfasse à la condition $\Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]$ 61§,T]{\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}.

La "hauteur" d'une fonction zêta zéro est définie comme la grandeur de sa composante imaginaire, avec la hauteur du nième zéro désigné par γ_n. Tous les zéros examinés à ce jour ont été situés sur la ligne critique et sont caractérisés comme simples. La présence d'un zéro multiple compliquerait les algorithmes de recherche de zéro, qui reposent sur la détection des changements de signe entre des zéros successifs.

Points Gram

Un point de Gram est défini comme un emplacement spécifique sur la ligne critique, représenté par 1/2 + it, où la fonction zêta donne une valeur réelle et non nulle. En utilisant l'expression de la fonction zêta sur la ligne critique, ζ(1/2 + it) = Z(t)e^−iθ(t), où la fonction de Hardy, Z, est réelle pour réel t, et θ désigne la fonction thêta de Riemann – Siegel, il est évident que la fonction zêta est réelle lorsque sin(θ(t)) = 0. Cette condition implique que θ(t) doit être un multiple entier de π, facilitant ainsi le calcul simple des points de Gram grâce à l'inversion de la formule pour θ. Ces points sont classiquement indexés comme g_n pour n = 0, 1, ..., où g_n représente l'unique solution de l'équation θ(t) = nπ.

Gram a noté qu'un seul zéro de la fonction zêta se produisait fréquemment entre deux points de Gram successifs, une observation que Hutchinson a ensuite appelée loi de Gram. Plusieurs autres propositions connexes sont également parfois appelées loi de Gram ; par exemple, l'expression (−1)ⁿZ(g_n) est généralement positive, ou Z(t) présente généralement des signes opposés à des points de Gram consécutifs. Les composantes imaginaires γ_n des zéros initiaux et les premiers points de Gram correspondants g_n sont présentés.

L'instance initiale d'échec de la loi de Gram est observée au 127ème zéro et au point de Gram g₁₂₆, où leur ordre attendu est inversé.

Un point de Gram t est défini comme "bon" si la fonction zêta présente une valeur positive à 1/2 + it. Les indices correspondant aux "mauvais" points de Gram, où Z affiche un signe anormal, incluent 126, 134, 195, 211, et ainsi de suite (se référer à la séquence A114856 dans l'OEIS). Un bloc Gram constitue un intervalle délimité par deux bons points Gram, dans lequel tous les points Gram intermédiaires sont classés comme mauvais. La règle de Rosser, un raffinement de la loi de Gram proposée par Rosser, Yohe et Schoenfeld (1969), postule que les blocs de Gram contiennent fréquemment le nombre prévu de zéros, équivalent au nombre d'intervalles de Gram, même si les intervalles de Gram individuels dans le bloc ne contiennent pas chacun précisément un zéro. Par exemple, l'intervalle défini par g₁₂₅ et g₁₂₇ représente un bloc de Gram qui englobe un seul mauvais point de Gram, g₁₂₆. Ce bloc contient les deux zéros attendus, bien qu'aucun de ses deux intervalles de Gram constitutifs ne contienne un zéro unique. Rosser et ses collègues ont vérifié l'absence d'exceptions à la règle de Rosser parmi les 3 millions de zéros initiaux ; cependant, il existe un nombre infini d'exceptions à la règle de Rosser dans l'ensemble de la fonction zêta.

La règle de Gram et la règle de Rosser suggèrent que les zéros restent généralement à proximité de leurs emplacements prévus. L'écart d'un zéro par rapport à sa position prédite est régi par la fonction S définie précédemment, qui présente une croissance exceptionnellement lente ; sa magnitude moyenne se rapproche de (log log T)^1/2, atteignant une valeur de 2 uniquement lorsque T est d'environ 10²⁴. Par conséquent, ces règles sont largement valables pour de petites valeurs de T mais deviennent fréquemment inexactes avec le temps. En effet, Trudgian (2011) a démontré que la loi de Gram et la règle de Rosser échouent dans une proportion significative de cas. Plus précisément, il est projeté qu'environ 66 % des intervalles de Gram, définis par deux points de Gram successifs, contiennent un zéro, tandis que 17 % ne contiennent aucun zéro et 17 % supplémentaires contiennent deux zéros à long terme (Hanga, 2020).

Théorie des matrices aléatoires et chaos quantique

Sous l'hypothèse de Riemann, une enquête se pose concernant des régularités supplémentaires qui pourraient régir la distribution des zéros de la fonction zêta le long de la ligne critique. Une conjecture dominante postule que les zéros critiques de la fonction zêta présentent un comportement statistique analogue aux valeurs propres de matrices hermitiennes aléatoires étendues. Ce concept est né des recherches de Hugh Montgomery concernant la conjecture de corrélation de paires relative aux zéros de la fonction zêta. Après une mise à l'échelle appropriée pour compenser la densité croissante de zéros à des valeurs plus élevées, la fonction de corrélation de paires hypothétique s'aligne sur celle observée pour les valeurs propres au sein de l'ensemble unitaire gaussien (GUE) dans la théorie des matrices aléatoires.

Andrew Odlyzko a mené des tests numériques de cette connexion, révélant que les statistiques d'espacement des zéros situés en haut de la ligne critique démontrent une forte concordance avec les prédictions dérivées de la théorie des matrices aléatoires GUE. Cette congruence s'étend au-delà des espacements des voisins les plus proches pour englober des fonctions de corrélation d'ordre supérieur et est largement considérée comme une preuve convaincante que les zéros sont modélisés avec précision par les statistiques locales identiques trouvées dans les matrices aléatoires.

L'analogie avec les matrices aléatoires est également pertinente pour la conjecture de Hilbert-Pólya et les concepts du chaos quantique. Dans les systèmes chaotiques quantiques, les valeurs propres se conforment fréquemment aux statistiques matricielles aléatoires ; ainsi, la manifestation de statistiques identiques dans les zéros de la fonction zêta peut être interprétée comme une indication que ces zéros pourraient provenir d'un opérateur auto-adjoint ou d'un système dynamique chaotique. Cela fournit une explication heuristique de la raison pour laquelle les zéros pourraient résider sur une raie spectrale et pourquoi leurs espacements démontrent une répulsion significative au lieu d'un regroupement aléatoire.

Cette perspective a été adoptée par Nicholas Katz et Peter Sarnak, qui ont postulé que les familles de fonctions L possèdent des types de symétrie dictés par des groupes classiques compacts (unitaires, orthogonaux ou symplectiques) et que les distributions de leurs zéros de basse position devraient correspondre aux ensembles de matrices aléatoires respectifs. Dans le cas de la fonction zêta de Riemann, l'ensemble pertinent est associé au groupe unitaire.

La théorie des matrices aléatoires a généré des hypothèses concernant les schémas de croissance des moments de la fonction zêta le long de la ligne critique. Plus précisément, Jonathan Keating et Nina Snaith ont utilisé des moyennes dérivées de matrices unitaires aléatoires pour prévoir les principales constantes dans des formules de moment asymptotique, telles que ${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt$ 9§ T ∫ §1920§ T | ζ ( §3637§ / §42 ${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt$ {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt} comme ${\displaystyle T\to \infty$ . Leurs conjectures proposées délimitent un facteur de matrice aléatoire universel distinct d'un facteur de produit arithmétique d'Euler, influençant ainsi les recherches ultérieures sur les moments et les rapports des fonctions L.

Par conséquent, la théorie des matrices aléatoires et le chaos quantique constituent un cadre heuristique pertinent à l'hypothèse de Riemann, malgré l'absence de toute preuve connue de l'hypothèse dérivée de cette méthodologie.

Arguments soutenant et s'opposant à l'hypothèse de Riemann

Les publications scientifiques traitant de l'hypothèse de Riemann adoptent généralement une position circonspecte et sans engagement quant à sa véracité. Parmi les auteurs qui expriment une opinion, la majorité, dont Riemann (1859) et Bombieri (2000), suggèrent une attente ou un espoir quant à sa véracité. À l’inverse, un nombre limité d’universitaires expriment d’importantes réserves ; par exemple, Ivić (2008) énumère plusieurs motifs de scepticisme, tandis que Littlewood (1962) a déclaré sans équivoque sa croyance en sa fausseté, affirmant l'absence de preuves à l'appui et de toute justification imaginable de sa validité. L'opinion dominante dans les articles de l'enquête (Bombieri 2000, Conrey 2003 et Sarnak 2005) indique que même si les preuves sont substantielles, elles ne sont pas concluantes, ce qui implique que malgré leur véracité probable, un certain degré de doute raisonnable persiste.

Sarnak (2005), Conrey (2003) et Ivić (2008) énumèrent plusieurs arguments soutenant et réfutant l'hypothèse de Riemann. hypothèse, qui englobe les points suivants :

Plusieurs versions analogues de l’hypothèse de Riemann ont été rigoureusement démontrées. La preuve par Deligne (1974) de l'hypothèse de Riemann pour les variétés sur des champs finis constitue sans doute la justification théorique la plus convaincante de l'hypothèse originale de Riemann. Cette réalisation donne du crédit à la conjecture plus large selon laquelle toutes les fonctions zêta liées aux formes automorphes adhèrent à une hypothèse de Riemann, englobant ainsi l'hypothèse classique de Riemann comme exemple spécifique. De même, les fonctions zêta de Selberg sont conformes à l'hypothèse analogue de Riemann, présentant des ressemblances avec la fonction zêta de Riemann à travers leurs équations fonctionnelles et leurs expansions de produits infinies, qui sont parallèles à l'expansion du produit d'Euler. Néanmoins, des distinctions significatives existent ; par exemple, ils ne sont pas définis par les séries de Dirichlet. L'hypothèse de Riemann pour la fonction zêta de Goss a été établie par Sheats (1998). A l’inverse, bien qu’elles possèdent un nombre infini de zéros sur la ligne critique, certaines fonctions zêta d’Epstein ne satisfont pas à l’hypothèse de Riemann. Bien que ces fonctions présentent une similitude considérable avec la fonction zêta de Riemann, comportant un développement en série de Dirichlet et une équation fonctionnelle, celles identifiées comme échouant à l'hypothèse de Riemann n'ont pas de produit d'Euler et ne sont pas directement associées à des représentations automorphes.
La vérification numérique initiale, indiquant de nombreux zéros sur la ligne critique, semble initialement fournir un support solide à l'hypothèse de Riemann. Cependant, l’histoire de la théorie analytique des nombres comprend de nombreuses conjectures qui, bien que étayées par des preuves numériques substantielles, ont ensuite été réfutées. Une illustration notable est le nombre de Skewes, où l'on estime que l'écart initial par rapport à une conjecture plausible, liée à l'hypothèse de Riemann, se produit autour de 10³¹⁶. Un contre-exemple potentiel à l’hypothèse de Riemann avec une partie imaginaire de cette ampleur serait insoluble sur le plan informatique par des méthodes directes. Ce défi se pose car le comportement est fréquemment influencé par des fonctions qui augmentent exceptionnellement lentement, telles que log log T. Bien que ces fonctions tendent vers l’infini, leur taux de croissance est si progressif qu’il échappe à la détection par analyse informatique. De telles fonctions font partie intégrante de la théorie de la fonction zêta, régissant les caractéristiques de ses zéros. Par exemple, la fonction S(T) présente une magnitude moyenne se rapprochant de (log log T)^1/2. Étant donné que S(T) augmente d'au moins 2 pour tout contre-exemple à l'hypothèse de Riemann, il est plausible que de tels contre-exemples ne se manifesteraient que lorsque S(T) atteint une valeur substantielle. Bien que les calculs montrent qu'elle n'a pas dépassé 3, la fonction est connue pour être illimitée, ce qui implique que les calculs actuels n'ont peut-être pas encore exploré le domaine comportemental typique de la fonction zêta.
L'argument probabiliste de Denjoy concernant l'hypothèse de Riemann postule que si μ(x) représente une séquence aléatoire de "1" et de "−1", alors pour tout ε > 0, les sommes partielles ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)>$ (qui correspondent aux positions dans une marche aléatoire simple) satisfont la limite $M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })$ 86§ + ε ) {\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })> avec une probabilité de 1. L'hypothèse de Riemann est manifestement équivalente à cette limite spécifique lorsqu'elle est appliquée à la fonction de Möbius μ et à la fonction de Mertens M, dérivées de manière analogue. Par conséquent, l'hypothèse de Riemann peut être interprétée comme affirmant que μ(x) présente un comportement semblable à une séquence aléatoire de lancers de pièces de monnaie. Lorsque μ(x) est non nul, son signe indique la parité du nombre de facteurs premiers de x. Ainsi, de manière informelle, l'hypothèse de Riemann suggère que la parité des facteurs premiers d'un entier se comporte de manière stochastique. Même si de tels arguments probabilistes en théorie des nombres donnent souvent des résultats corrects, leur formalisation rigoureuse s'avère souvent difficile et ils conduisent parfois à des conclusions erronées, comme l'illustre le théorème de Maier.
Les calculs présentés par Odlyzko (1987) indiquent une forte ressemblance entre le comportement des zéros de la fonction zêta et les valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire. Cette observation suggère que ces zéros pourraient correspondre aux valeurs propres d'un opérateur auto-adjoint, une découverte qui validerait intrinsèquement l'hypothèse de Riemann. Cependant, toutes les tentatives visant à identifier un tel opérateur ont jusqu'à présent échoué.
Plusieurs théorèmes, y compris la conjecture faible de Goldbach pour les nombres impairs suffisamment grands, ont été initialement prouvés sous l'hypothèse de l'hypothèse de Riemann généralisée. Par la suite, ces théorèmes se sont révélés vrais de manière inconditionnelle. Cette progression pourrait être interprétée comme une preuve modeste soutenant l'hypothèse généralisée de Riemann, étant donné que de multiples « prédictions » qui en découlent ont été confirmées.
Le phénomène de Lehmer, caractérisé par la proximité occasionnelle de deux zéros, est parfois cité comme base du scepticisme concernant l'hypothèse de Riemann. Néanmoins, on s’attend statistiquement à ce que de tels événements se produisent par hasard, même si l’hypothèse de Riemann est vraie. De plus, les calculs d'Odlyzko indiquent que la fréquence des paires de zéros rapprochées s'aligne précisément sur les prédictions de la conjecture de Montgomery.
Patterson postule que la principale motivation de la plupart des mathématiciens concernant l'hypothèse de Riemann vient de l'attente d'une distribution la plus régulière possible des nombres premiers.

Remarques

Références

Expositions populaires

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Hypothèse de Riemann (Riemann hypothesis)