Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 – 14 avril 1935) était une mathématicienne allemande réputée pour ses contributions significatives à l'algèbre abstraite. Elle a également établi les premier et deuxième théorèmes de Noether, qui sont fondamentaux en physique mathématique. D'éminents mathématiciens, dont Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl et Norbert Wiener, ont qualifié Noether de figure féminine la plus marquante de l'histoire des mathématiques. En tant que mathématicienne éminente de son époque, elle a formulé des théories concernant les anneaux, les champs et les algèbres. Dans le domaine de la physique, le théorème de Noether élucide la relation intrinsèque entre la symétrie et les lois de conservation.

Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 – 14 avril 1935) était une mathématicienne allemande qui a apporté de nombreuses contributions importantes à l'algèbre abstraite. Elle a également démontré le premier et le deuxième théorème de Noether, fondamentaux en physique mathématique. Noether a été décrite par Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl et Norbert Wiener comme la femme la plus importante de l'histoire des mathématiques. En tant que l'une des principales mathématiciennes de son époque, elle a développé les théories des anneaux, des champs et des algèbres. En physique, le théorème de Noether explique le lien entre la symétrie et les lois de conservation.

Noether est né dans une famille juive à Erlangen, une ville de Franconie ; son père, Max Noether, était également mathématicien. Au départ, elle avait l'intention de poursuivre une carrière dans l'enseignement du français et de l'anglais, après avoir réussi les examens requis ; cependant, elle a finalement choisi d'étudier les mathématiques à l'Université d'Erlangen-Nuremberg, où son père occupait un poste de chargé de cours. Après avoir terminé son doctorat en 1907, sous la direction de Paul Gordan, elle a passé sept ans à travailler sans rémunération à l'Institut mathématique d'Erlangen. Durant cette période, les femmes n’avaient généralement pas le droit d’occuper des postes universitaires. En 1915, David Hilbert et Felix Klein lui ont lancé une invitation à rejoindre le département de mathématiques de l'Université de Göttingen, un centre de recherche mathématique mondialement reconnu. La faculté de philosophie souleva des objections, ce qui la conduisit à donner des cours pendant quatre ans sous le nom de Hilbert. Son habilitation fut approuvée en 1919, ce qui lui permit d'atteindre le rang de Privatdozent.

Noether conserva un rôle de premier plan au sein du département de mathématiques de Göttingen jusqu'en 1933 ; ses élèves étaient parfois appelés les « Noether Boys ». En 1924, le mathématicien néerlandais B. L. van der Waerden rejoint son groupe universitaire et émerge rapidement comme l'un des principaux interprètes des concepts de Noether ; ses recherches ont servi de base au deuxième volume de son manuel influent de 1931, Moderne Algebra. Son expertise algébrique a acquis une reconnaissance mondiale au moment de son discours en plénière au Congrès international des mathématiciens de 1932 à Zürich. L'année suivante, le gouvernement nazi allemand a expulsé les universitaires juifs des postes universitaires, ce qui a incité Noether à déménager aux États-Unis pour occuper un poste au Bryn Mawr College en Pennsylvanie. À Bryn Mawr, elle a enseigné à des étudiantes diplômées et postdoctorales, notamment Marie Johanna Weiss et Olga Taussky-Todd. Parallèlement, elle a donné des conférences et mené des recherches à l'Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey.

Les contributions mathématiques de Noether sont classées en trois « époques » distinctes. Au cours de la première époque (1908-1919), elle a avancé les théories des invariants algébriques et des champs numériques. Ses recherches sur les invariants différentiels dans le calcul des variations, connues sous le nom de théorème de Noether, ont été saluées comme « l'un des théorèmes mathématiques les plus importants jamais établis pour orienter l'évolution de la physique moderne ». À la deuxième époque (1920-1926), elle entreprit des travaux qui « transformèrent le paysage de l'algèbre [abstraite] ». Dans son article fondateur de 1921, Idealtheorie in Ringbereichen (Théorie des idéaux dans les domaines des anneaux), Noether a avancé la théorie des idéaux dans les anneaux commutatifs, la transformant en un outil largement applicable. Elle a utilisé magistralement la condition de chaîne ascendante, et les objets mathématiques remplissant cette condition sont désignés comme Noetherian en son hommage. Au cours de la troisième époque (1927-1935), elle publie des recherches sur les algèbres non commutatives et les nombres hypercomplexes, intégrant la théorie de la représentation des groupes avec la théorie des modules et des idéaux. Au-delà de ses publications personnelles, Noether a généreusement partagé ses idées et est reconnue pour avoir inspiré plusieurs directions de recherche poursuivies par d'autres mathématiciens, même dans des domaines éloignés de son objectif principal, comme la topologie algébrique.

Biographie

Petite vie

Amalie Emmy Noether est née le 23 mars 1882 à Erlangen, en Bavière. Elle était l'aînée des quatre enfants du mathématicien Max Noether et d'Ida Amalia Kaufmann, tous deux issus de riches familles de marchands juifs. Bien que son prénom soit « Amalie », elle a adopté son deuxième prénom dès son plus jeune âge et l'a utilisé de manière constante tout au long de sa vie adulte et dans ses ouvrages publiés.

Dans sa jeunesse, Noether n'a pas obtenu de distinction académique mais a été reconnue pour son intelligence et son caractère aimable. Elle a souffert de myopie et d'un léger zozotage pendant son enfance. Une connaissance de la famille a raconté plus tard une anecdote de la jeunesse de Noether, illustrant son sens de la logique précoce à travers la résolution rapide d'une énigme intellectuelle lors d'une réunion d'enfants. Elle a reçu un enseignement sur les compétences domestiques, une pratique courante pour les filles de son époque, et a pris des cours de piano. Même si elle ne pratiquait aucune de ces activités avec une ferveur particulière, elle manifestait un fort penchant pour la danse.

Noether avait trois frères plus jeunes. L'aîné, Alfred Noether, né en 1883, obtint un doctorat en chimie à Erlangen en 1909 mais décéda neuf ans plus tard. Fritz Noether, né en 1884, a étudié à Munich et a contribué au domaine des mathématiques appliquées. Il a probablement été exécuté en Union soviétique en 1941, pendant la Seconde Guerre mondiale. Le plus jeune, Gustav Robert Noether, né en 1889, souffrait d'une maladie chronique et décéda en 1928 ; les détails concernant sa vie sont rares.

Éducation

Noether a démontré très tôt des aptitudes en français et en anglais. Au début des années 1900, elle se présente à l'examen de professeur de langues et obtient une évaluation globale de sehr gut (très bien). Bien que cette performance lui ait permis d'enseigner les langues dans les écoles de filles, elle a plutôt choisi de poursuivre ses études académiques à l'Université d'Erlangen-Nuremberg, où son père était professeur.

Cela constituait un choix peu orthodoxe ; deux ans auparavant, le Sénat académique de l'université avait affirmé que l'enseignement mixte « renverserait tout ordre académique ». En tant que l'une des deux seules femmes parmi 986 étudiants, Noether était autorisée uniquement à auditer les cours, ce qui empêchait une pleine participation, et devait obtenir le consentement individuel des professeurs dont elle souhaitait assister aux cours. Malgré ces obstacles, elle réussit l'examen de fin d'études au Realgymnasium de Nuremberg le 14 juillet 1903.

Au cours du semestre d'hiver 1903-1904, elle entreprit des études à l'Université de Göttingen, participant à des conférences données par l'astronome Karl Schwarzschild et les mathématiciens Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein et David. Hilbert.

En 1903, les restrictions imposées à l'inscription complète des femmes dans les universités bavaroises ont été levées. Noether retourna à Erlangen, se réinscrivant officiellement à l'université en octobre 1904 et exprimant son dévouement exclusif aux mathématiques. Elle était l'une des six femmes de sa cohorte (dont deux auditeurs) et la seule femme dans le département universitaire qu'elle avait choisi. Sous la direction de Paul Gordan, elle a complété sa thèse de doctorat, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sur les systèmes complets d'invariants pour les formes biquadratiques ternaires), en 1907, obtenant son diplôme avec les honneurs summa cum laude plus tard cette année-là. Gordan, un partisan de l'école « computationnelle » de théorie des invariants, a supervisé une thèse qui se terminait par une énumération de plus de 300 invariants explicitement dérivés. Cette approche des invariants a ensuite été supplantée par la méthodologie plus abstraite et généralisée avancée par Hilbert. Bien qu'accueillies favorablement à l'époque, Noether a plus tard qualifié sa thèse et les publications connexes ultérieures de « merde ». Ses efforts de recherche ultérieurs se sont entièrement divergés dans un domaine distinct.

Université d'Erlangen-Nuremberg

De 1908 à 1915, Noether a été chargée de cours non rémunérée à l'Institut mathématique d'Erlangen, remplaçant périodiquement son père, Max Noether, lorsqu'il était incapable de donner des cours à cause d'une maladie. Elle devient membre du Circolo Matematico di Palermo en 1908 et de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1909. En 1910 et 1911, elle publie des publications étendant ses recherches doctorales de trois variables à n variables.

Gordan a pris sa retraite en 1910 et Noether a continué ses fonctions d'enseignante sous la direction de ses successeurs, Erhard Schmidt et Ernst Fischer, qui ont succédé au premier en 1911. Selon son collègue Hermann Weyl et son biographe Auguste Dick, Fischer a exercé une influence significative sur Noether, notamment en la familiarisant avec les contributions de David Hilbert. Noether et Fischer ont cultivé une relation intellectuelle dynamique concernant les mathématiques et se sont fréquemment engagés dans de longues discussions après le cours ; Noether aurait reçu des cartes postales à Fischer, prolongeant ainsi ses délibérations mathématiques.

Entre 1913 et 1916, Noether est l'auteur de plusieurs publications qui développent et appliquent les méthodologies de Hilbert aux constructions mathématiques, y compris les domaines des fonctions rationnelles et les invariants des groupes finis. Cette période représente l'engagement initial de Noether dans l'algèbre abstraite, un domaine dans lequel elle réalisera par la suite des avancées majeures.

À Erlangen, Noether a conseillé deux doctorants, Hans Falckenberg et Fritz Seidelmann, qui ont soutenu avec succès leurs thèses en 1911 et 1916, respectivement. Malgré l'implication substantielle de Noether, les deux étudiants étaient formellement supervisés par son père. Après avoir obtenu son doctorat, Falckenberg a occupé des postes à Braunschweig et à Königsberg avant d'être nommé professeur à l'Université de Giessen, tandis que Seidelmann a obtenu une chaire à Munich.

L'Université de Göttingen

Habilitation et développement du théorème de Noether

Au début de 1915, David Hilbert et Felix Klein ont invité Noether à rejoindre l'Université de Göttingen. Leur tentative de la nommer s'est heurtée au début à la résistance des philologues et des historiens de la faculté de philosophie, qui soutenaient que les femmes ne convenaient pas au poste de privatdozenten. Lors d'une réunion départementale convoquée pour discuter de la question, un membre du corps professoral a exprimé son opposition, déclarant : « Que penseront nos soldats lorsqu'ils retourneront à l'université et découvriront qu'ils doivent apprendre aux pieds d'une femme ? Hilbert, affirmant que les qualifications de Noether étaient le seul facteur pertinent et que le sexe de la candidate était sans importance, s'y est opposé avec véhémence et a réprimandé ceux qui s'opposaient à son habilitation. Bien que ses propos précis n'existent pas, son objection aurait souvent inclus l'affirmation selon laquelle l'université n'était « pas un bain public ». Les souvenirs de Pavel Alexandrov indiquent que l'opposition des professeurs à Noether provenait non seulement du sexisme mais aussi de la désapprobation de ses convictions politiques social-démocrates et de son héritage juif.

Noether a déménagé à Göttingen fin avril ; Quinze jours plus tard, sa mère décède subitement à Erlangen. Même si elle avait déjà suivi un traitement médical pour une maladie oculaire, la nature spécifique de celle-ci et son influence sur son décès restent indéterminées. Parallèlement, le père de Noether a pris sa retraite et son frère s'est enrôlé dans l'armée allemande pour servir pendant la Première Guerre mondiale. Elle est ensuite retournée à Erlangen pour une période de plusieurs semaines, principalement pour s'occuper de son père âgé.

Au cours de ses premières années d'instruction à Göttingen, elle n'a occupé aucun poste officiel et n'a reçu aucune rémunération. Ses conférences étaient fréquemment publiées sous le nom de Hilbert, avec Noether apportant son « aide ».

Peu de temps après son arrivée à Göttingen, elle démontra ses prouesses intellectuelles en formulant ce qui est maintenant reconnu comme le théorème de Noether, qui établit un lien fondamental entre les lois de conservation et les symétries différentiables au sein d'un système physique. Son article fondateur, intitulé Invariante Variationsprobleme, a été présenté par son collègue Felix Klein le 26 juillet 1918, lors d'une session de la Royal Society of Sciences à Göttingen. Noether n'a probablement pas présenté l'œuvre personnellement, en raison de sa non-appartenance à la société. Dans leur publication Symmetry and the Beautiful Universe, les physiciens américains Leon M. Lederman et Christopher T. Hill affirment que le théorème de Noether est « certainement l'un des théorèmes mathématiques les plus importants jamais prouvés pour guider le développement de la physique moderne, peut-être à égalité avec le théorème de Pythagore ».

La fin de la Première Guerre mondiale et la révolution allemande de 1918-1919 qui a suivi ont précipité des changements substantiels dans les normes sociétales, notamment une expansion des droits des femmes. Par conséquent, en 1919, l'Université de Göttingen autorisa Noether à poursuivre son habilitation, condition préalable à la titularisation. Son examen oral eut lieu fin mai, suivi de la réussite de sa conférence d'habilitation en juin 1919. Noether obtint par la suite le statut de privatdozent et, au cours du semestre d'automne suivant, elle présenta les conférences inaugurales qui lui étaient officiellement attribuées. Malgré ces progrès, elle a continué à recevoir aucune compensation pour ses contributions académiques.

Trois ans plus tard, Otto Boelitz, le ministre prussien des Sciences, des Arts et de l'Instruction publique, lui a officiellement décerné le titre de nicht beamteter ausserordentlicher Professor, signifiant un professeur non titulaire avec des responsabilités administratives internes restreintes. Cette désignation représentait une chaire « extraordinaire » non rémunérée, distincte de la chaire « ordinaire » plus élevée, qui constituait une nomination dans la fonction publique. Tout en reconnaissant l'importance de ses contributions, ce rôle n'incluait pas de salaire. Les conférences de Noether sont restées non rémunérées jusqu'à sa nomination au poste spécialisé de Lehrbeauftragte für Algebra (Conférencière en algèbre) l'année suivante.

Contributions à l'algèbre abstraite

Le théorème de Noether a profondément influencé la mécanique classique et quantique ; cependant, au sein de la communauté mathématique, elle est principalement reconnue pour ses contributions fondamentales à l'algèbre abstraite. Nathan Jacobson, dans son introduction aux Collected Papers de Noether, a expliqué que :

Le développement de l'algèbre abstraite, une innovation singulièrement distinctive dans les mathématiques du XXe siècle, est largement attribuable à ses contributions, évidentes dans ses articles publiés, ses conférences et son influence personnelle sur ses contemporains.

Noether a commencé ses recherches algébriques en 1920, co-auteur d'un article avec son protégé Werner Schmeidler. Cette publication s'est concentrée sur la théorie des idéaux, dans laquelle ils ont établi des définitions des idéaux gauche et droit au sein d'une structure en anneau.

L'année suivante, elle a publié Idealtheorie in Ringbereichen, un article qui analysait les conditions de la chaîne ascendante concernant les idéaux mathématiques. Dans ce travail, elle a fourni une preuve complète du théorème de Lasker-Noether. L'éminent algébriste Irving Kaplansky a qualifié cette contribution de « révolutionnaire ». Cette publication a également conduit à la création du terme Noetherian pour décrire les objets mathématiques qui remplissent la condition de chaîne ascendante.

En 1924, Bartel Leendert van der Waerden, un jeune mathématicien néerlandais, commença ses études à l'université de Göttingen. Il collabore rapidement avec Noether, qui lui fournit des méthodologies indispensables à la conceptualisation abstraite. Van der Waerden a ensuite fait remarquer que son originalité était « absolue, au-delà de toute comparaison ». À son retour à Amsterdam, il est l'auteur de Moderne Algebra, un traité fondamental en deux volumes dans ce domaine. Le deuxième volume, publié en 1931, s'inspire largement des recherches de Noether. Bien que Noether n'ait pas activement recherché la reconnaissance, van der Waerden a reconnu ses contributions dans une note de la septième édition, déclarant que le travail était « basé en partie sur les conférences de E. Artin et E. Noether ». À partir de 1927, Noether s'est engagé dans une étroite collaboration avec Emil Artin, Richard Brauer et Helmut Hasse sur le sujet des algèbres non commutatives.

La présence de Van der Waerden à Göttingen a coïncidé avec un afflux plus large de mathématiciens à l'échelle mondiale, l'université étant devenue un centre prééminent de recherche mathématique et physique. Les mathématiciens russes Pavel Alexandrov et Pavel Urysohn figuraient parmi les premiers visiteurs internationaux en 1923. De 1926 à 1930, Alexandrov donna régulièrement des cours à l'université, entretenant ainsi une étroite amitié avec Noether. Il l'appelait affectueusement der Noether, employant der comme titre honorifique plutôt que son usage masculin conventionnel dans l'article allemand. Noether s'efforça de faciliter sa nomination comme professeur régulier à Göttingen, mais ne réussit finalement qu'à l'aider à obtenir une bourse de la Fondation Rockefeller pour l'année universitaire 1927-1928 à l'Université de Princeton.

Étudiants au doctorat

À Göttingen, Noether a supervisé les études doctorales de plus de douze étudiants ; cependant, en raison de restrictions institutionnelles l'empêchant de superviser de manière indépendante les thèses, la plupart étaient co-supervisées avec Edmund Landau et d'autres membres du corps professoral. Sa première doctorante fut Grete Hermann, qui défendit avec succès sa thèse en février 1925. Bien qu'Hermann soit principalement reconnue pour ses contributions aux fondements de la mécanique quantique, sa thèse elle-même était considérée comme une avancée significative dans la théorie idéale. Hermann a ensuite qualifié Noether avec révérence de « mère de thèse ».

Parallèlement, Heinrich Grell et Rudolf Hölzer ont terminé leurs thèses sous la direction de Noether. Tragiquement, Hölzer a succombé à la tuberculose peu avant sa défense prévue. Grell a défendu avec succès sa thèse en 1926 et a ensuite occupé des postes à l'Université d'Iéna et à l'Université de Halle. En 1935, il perdit son permis d'enseigner à la suite d'accusations d'actes homosexuels, mais fut ensuite réintégré, devenant finalement professeur à l'Université Humboldt en 1948.

Emmy Noether a ensuite conseillé Werner Weber et Jakob Levitzki, qui ont tous deux soutenu avec succès leur thèse de doctorat en 1929. Weber, bien qu'il soit considéré comme un mathématicien de peu de distinction, a ensuite participé à l'expulsion des mathématiciens juifs de Göttingen. Levitzki, à l'inverse, a occupé des postes à l'Université de Yale avant de rejoindre l'Université hébraïque de Jérusalem dans la Palestine mandataire sous domination britannique, où il a apporté des contributions substantielles à la théorie des anneaux, notamment à travers le théorème de Levitzky et le théorème de Hopkins-Levitzki.

D'autres étudiants encadrés par Noether, souvent appelés « Noether Boys », comprenaient Max Deuring, Hans Fitting, Ernst Witt, Chiungtze C. Tsen et Otto Schilling. Deuring, largement considéré comme l'étudiant le plus prometteur de Noether, a obtenu son doctorat en 1930. Sa carrière l'a impliqué dans des travaux à Hambourg, Marden et Göttingen, où il a été reconnu pour ses contributions significatives à la géométrie arithmétique. Fitting a obtenu son diplôme en 1931 avec une thèse axée sur les groupes abéliens et est connu pour son travail fondateur en théorie des groupes, en particulier le théorème de Fitting et le lemme de Fitting. Tragiquement, il est décédé à 31 ans des suites d'une maladie osseuse.

Ernst Witt a d'abord poursuivi ses études sous la direction de Noether ; cependant, son poste universitaire fut annulé en avril 1933, conduisant à sa réaffectation à Gustav Herglotz. Witt a obtenu son doctorat en juillet 1933, soumettant une thèse sur le théorème de Riemann-Roch et les fonctions zêta, et a ensuite apporté plusieurs contributions notables qui lui sont désormais associées de manière éponyme. Chiungtze C. Tsen, principalement reconnu pour avoir établi le théorème de Tsen, a obtenu son doctorat en décembre de la même année. Il retourna en Chine en 1935, commençant sa carrière d'enseignant à l'Université nationale de Chekiang, mais décéda cinq ans plus tard. Otto Schilling a également commencé ses études doctorales avec Noether mais a été contraint de chercher un nouveau directeur après son émigration. Il a terminé son doctorat en 1934 à l'Université de Marbourg sous la direction d'Helmut Hasse. Par la suite, il entreprit des recherches postdoctorales au Trinity College de Cambridge, avant de déménager aux États-Unis.

Parmi les autres doctorants de Noether se trouvaient Wilhelm Dörnte, qui obtint son doctorat en 1927 avec une thèse sur les groupes ; Werner Vorbeck, qui a terminé son doctorat en 1935 avec une thèse sur le fractionnement des champs ; et Wolfgang Wichmann, dont le doctorat en 1936 portait sur la théorie p-adique. Bien que les détails concernant Dörnte et Vorbeck ne soient pas disponibles, il est documenté que Wichmann a activement soutenu une initiative étudiante qui cherchait en vain à annuler le licenciement de Noether. Il mourut ensuite en tant que soldat sur le front de l'Est pendant la Seconde Guerre mondiale.

L'école Noether

Au-delà de ses doctorants directs, Noether a cultivé une communauté étroite de mathématiciens qui ont adopté sa méthodologie en algèbre abstraite et ont considérablement fait progresser le développement du domaine ; ce collectif est souvent appelé « l'école Noether ». Un exemple notable de cette collaboration est son travail approfondi avec Wolfgang Krull, dont les contributions, notamment son Hauptidealsatz et sa théorie des dimensions pour les anneaux commutatifs, ont considérablement propulsé l'algèbre commutative. De même, Gottfried Köthe a fait progresser la théorie des quantités hypercomplexes en appliquant les méthodes développées par Noether et Krull.

Au-delà de son sens aigu des mathématiques, Noether était appréciée pour sa considération interpersonnelle. Même si elle a parfois fait preuve de brusquerie envers ses collègues dissidents, elle a cultivé une réputation de serviabilité et de mentorat patient envers les étudiants naissants. Son engagement inébranlable envers la précision mathématique a incité un collègue à la qualifier de « critique sévère », mais elle a pourtant harmonisé cette exigence rigoureuse d'exactitude avec une attitude solidaire et encourageante. Dans la nécrologie de Noether, Van der Waerden a proposé la description suivante :

Complètement dépourvue d'ego et de vanité, elle n'a jamais recherché la reconnaissance personnelle, mais a plutôt donné la priorité et défendu les réalisations de ses étudiants par-dessus tout.

Noether a fait preuve d'un dévouement exceptionnel envers sa discipline et ses étudiants, allant bien au-delà des heures académiques conventionnelles. À une occasion, alors que le bâtiment de l'université était inaccessible en raison d'un jour férié, elle a convoqué sa classe sur les marches extérieures, les a guidées à travers une zone boisée et a donné sa conférence dans un café voisin. Par la suite, suite à son renvoi de l'enseignement par l'Allemagne nazie, elle a invité les étudiants à sa résidence, où ils ont engagé des discussions concernant leurs projets futurs et divers concepts mathématiques.

Conférences percutantes

Au départ, le style de vie austère de Noether découlait du refus de l'université de la récompenser pour ses contributions académiques. Même après que l’université ait commencé à lui verser un modeste salaire en 1923, elle a maintenu une existence simple et sans ostentation. Bien que sa rémunération ait augmenté plus tard dans sa vie, elle a toujours économisé la moitié de ses gains avec l'intention de les léguer à son neveu, Gottfried E. Noether.

Les biographes indiquent qu'Emmy Noether a donné la priorité à ses études universitaires plutôt qu'à ses préoccupations concernant son apparence personnelle et l'étiquette sociale. Olga Taussky-Todd, une éminente algébriste qui a étudié auprès de Noether, a raconté un cas lors d'un déjeuner où Noether, profondément absorbée par une discussion mathématique, « gesticulait sauvagement » en mangeant, « renversait constamment sa nourriture » et « l'essuyait de sa robe, complètement imperturbable ». Les étudiants attentifs au décorum auraient été déconcertés par le fait qu'elle récupérait un mouchoir de son chemisier et par son mépris pour ses cheveux de plus en plus ébouriffés pendant les cours. À une occasion, deux étudiantes ont tenté de faire part de leurs préoccupations pendant une pause dans un cours de deux heures, mais elles se sont retrouvées incapables d'interrompre son discours mathématique animé avec d'autres étudiants.

Les cours de Noether n'étaient pas structurés par un plan de cours formel. Sa rapidité d'exécution a rendu ses présentations difficiles à comprendre pour beaucoup, y compris les mathématiciens notables Carl Ludwig Siegel et Paul Dubreil. Les étudiants qui trouvaient son approche pédagogique peu sympathique éprouvaient souvent un sentiment de détachement. Les « étrangers » en visite assistant aux conférences de Noether partaient souvent dans les trente minutes, invoquant leur frustration ou leur confusion. Un étudiant régulier a un jour fait remarquer un tel événement en déclarant : « L'ennemi a été vaincu ; il s'est vidé. »

Noether a utilisé ses cours comme un forum interactif pour des discussions spontanées avec ses étudiants, facilitant l'exploration et l'élucidation de problèmes mathématiques importants. Plusieurs de ses découvertes les plus cruciales ont émergé de ces séances de cours, et les notes compilées par ses étudiants ont ensuite servi de matériau de base pour des manuels influents, notamment ceux rédigés par van der Waerden et Deuring. Elle a insufflé une ferveur mathématique contagieuse à ses étudiants les plus engagés, qui appréciaient grandement leurs échanges intellectuels dynamiques avec elle.

De nombreux collègues de Noether ont assisté à ses conférences, et elle a parfois permis à d'autres, y compris ses étudiants, de recevoir des attributions pour ses concepts, ce qui a conduit à ce qu'une partie substantielle de ses contributions paraisse dans des publications ne portant pas son nom. Les archives indiquent que Noether a dispensé au moins cinq cours d'un semestre à Göttingen :

• Hiver 1924-1925 : Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [Théorie des groupes et nombres hypercomplexes]
• Hiver 1927-1928 : Hyperkoplexe Grössen und Darstellungstheorie [Grandeurs hypercomplexes et théorie des représentations]
• Été 1928 : Algèbre Nichtkommutative [Algèbre non commutative]
• Été 1929 : Nichtkommutative Arithmetik [Arithmétique non commutative]
• Hiver 1929-1930 : Algèbre des hypercomplexes Grössen [Algèbre des quantités hypercomplexes]

Université d'État de Moscou

Au cours de l'année universitaire 1928-1929, Noether accepta une invitation à l'Université d'État de Moscou, où elle reprit sa collaboration avec P. S. Alexandrov. Au-delà de ses recherches continues, elle a dispensé des cours d'algèbre abstraite et de géométrie algébrique. Elle s'est également engagée avec les éminents topologues Lev Pontryagin et Nikolai Chebotaryov, qui ont tous deux salué par la suite ses contributions significatives à l'avancement de la théorie de Galois.

Bien que la politique ne soit pas l'objectif principal de sa vie, Noether a démontré un vif intérêt pour les affaires politiques et, comme l'a noté Alexandrov, a exprimé un soutien substantiel à la révolution russe. Elle a particulièrement salué les progrès soviétiques en matière de sciences et de mathématiques, les considérant comme la preuve des nouvelles possibilités favorisées par l'initiative bolchevique. Cette perspective lui a valu des difficultés en Allemagne, culminant avec son expulsion d'une pension après que des dirigeants étudiants ont déposé des plaintes au sujet de sa résidence chez « une juive de tendance marxiste ». Hermann Weyl a raconté que "Pendant les temps difficiles qui ont suivi la Révolution de 1918", Noether "s'est plus ou moins rangé du côté des sociaux-démocrates". Elle était affiliée aux sociaux-démocrates indépendants, un parti dissident éphémère, de 1919 à 1922. Le logicien et historien Colin McLarty a caractérisé sa position en déclarant : « elle n'était pas bolchevique, mais n'avait pas peur d'être appelée telle. »

Noether avait l'intention de retourner à Moscou, une entreprise soutenue par Alexandrov. Après son départ d'Allemagne en 1933, Alexandrov tenta de faciliter sa nomination à une chaire professorale à l'Université d'État de Moscou via le ministère soviétique de l'Éducation. Bien que cet effort ait échoué, ils entretinrent une correspondance fréquente tout au long des années 1930 et, en 1935, elle avait formulé des plans pour un retour en Union soviétique.

Reconnaissance

En 1932, Emmy Noether et Emil Artin ont reçu le prix commémoratif Ackermann-Teubner pour leurs importantes contributions mathématiques. Le prix, qui comprenait une récompense monétaire de 500 ℛ︁ℳ︁, a été largement considéré comme une reconnaissance officielle tardive de ses réalisations substantielles dans la discipline. Malgré cette reconnaissance, ses pairs ont exprimé leur mécontentement car elle n'avait pas été élue à la Gesellschaft der Wissenschaften de Göttingen (académie des sciences) et n'avait jamais atteint le rang de Ordentlicher Professor (professeur ordinaire).

En 1932, le cinquantième anniversaire de Noether a été commémoré par ses collègues d'une manière caractéristique des mathématiciens. Helmut Hasse lui a consacré un article dans les Mathematische Annalen, où il a étayé son hypothèse selon laquelle certaines facettes de l'algèbre non commutative sont moins complexes que leurs homologues commutatives, grâce à la démonstration d'une loi de réciprocité non commutative. Cette découverte lui apporta une grande satisfaction. De plus, Hasse lui a présenté une énigme mathématique, appelée la « m_μν-énigme des syllabes », qu'elle a rapidement résolue ; cependant, l'énigme elle-même n'existe plus.

En septembre de la même année, Noether a présenté un discours en séance plénière (großer Vortrag) intitulé "Les systèmes hyper-complexes dans leurs relations avec l'algèbre commutative et la théorie des nombres" au Congrès international des mathématiciens de Zürich. Le congrès a attiré 800 participants, parmi lesquels ses collègues Hermann Weyl, Edmund Landau et Wolfgang Krull. L'événement a réuni 420 participants officiels et vingt et une présentations plénières. Le discours distingué de Noether a apparemment souligné l'importance de ses contributions mathématiques. Le congrès de 1932 est parfois qualifié d'apogée de sa trajectoire professionnelle.

Licenciement de Göttingen par l'Allemagne nazie

Après la nomination d'Adolf Hitler au poste de Reichskanzler allemand en janvier 1933, les activités nazies se sont considérablement intensifiées à travers le pays. À l'Université de Göttingen, l'Association des étudiants allemands a mené une campagne contre « l'esprit non allemand » associé aux individus juifs, bénéficiant du soutien du privatdozent et de l'ancien étudiant de Noether, Werner Weber. Cet antisémitisme omniprésent a favorisé un environnement ouvertement hostile envers les professeurs juifs. Un jeune manifestant aurait déclaré : « Les étudiants aryens exigent des mathématiques aryennes, pas des mathématiques juives. »

Parmi les premières mesures législatives adoptées par l'administration hitlérienne figurait la loi pour la restauration de la fonction publique professionnelle. Cette législation imposait le licenciement des individus juifs et des employés du gouvernement politiquement suspects, y compris des professeurs d'université, à moins qu'ils ne puissent prouver leur « loyauté envers l'Allemagne » en servant pendant la Première Guerre mondiale. En avril 1933, Noether reçut une notification officielle du ministère prussien des Sciences, des Arts et de l'Instruction publique, qui déclarait : « Sur la base du paragraphe 3 du Code de la fonction publique du 7 avril 1933, je vous retire par la présente le droit d'enseigner à l'Université de Göttingen." Parallèlement, plusieurs collègues de Noether, tels que Max Born et Richard Courant, ont également connu la révocation de leur nomination.

Noether a répondu à la décision avec sang-froid, offrant son aide aux autres au milieu de l'adversité ambiante. Hermann Weyl a ensuite fait remarquer qu '"Emmy Noether - son courage, sa franchise, son insouciance quant à son propre sort, son esprit conciliant - était au milieu de toute la haine et la méchanceté, le désespoir et le chagrin qui nous entouraient, un réconfort moral". De manière caractéristique, Noether a maintenu sa concentration sur les activités mathématiques, convoquant les étudiants dans sa résidence pour délibérer sur la théorie des champs en classe. Lors de l'apparition d'une de ses élèves en uniforme de l'organisation paramilitaire nazie Sturmabteilung (SA), elle n'a montré aucun signe de détresse et, selon les rapports, a même trouvé plus tard de l'humour dans la situation.

Cherche refuge à Bryn Mawr et Princeton

Alors que de nombreux professeurs récemment au chômage cherchaient un emploi au-delà des frontières allemandes, leurs homologues américains se sont efforcés de leur offrir un soutien et des opportunités professionnelles. Albert Einstein et Hermann Weyl ont obtenu des nominations à l'Institute for Advanced Study de Princeton, tandis que d'autres universitaires travaillaient à identifier des sponsors essentiels à l'immigration légale. Noether a reçu des offres de la part de représentants de deux établissements universitaires : le Bryn Mawr College aux États-Unis et le Somerville College de l'Université d'Oxford en Angleterre. Après de longues discussions avec la Fondation Rockefeller, une subvention fut approuvée pour permettre à Noether de rejoindre Bryn Mawr, où elle commença son nouveau rôle à la fin de 1933.

Au cours de son mandat à Bryn Mawr, Noether a noué une amitié avec Anna Wheeler, qui avait déjà poursuivi des études à Göttingen avant l'arrivée de Noether. Un soutien institutionnel supplémentaire a été fourni par la présidente de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, qui a activement encouragé les mathématiciens locaux à observer le travail du Dr Noether.

À Bryn Mawr, Noether a formé un groupe de recherche, officieusement connu sous le nom de « filles Noether », composé de quatre chercheuses postdoctorales : Grace Shover Quinn, Marie Johanna Weiss et Olga Taussky-Todd, qui ont toutes par la suite réalisé des carrières distinguées en mathématiques, et une doctorante, Ruth Stauffer. Ce groupe a étudié avec diligence l'Algèbre moderne I de van der Waerden et des sélections de la Theorie der algebraischen Zahlen (Théorie des nombres algébriques) d'Erich Hecke. Ruth Stauffer était la seule candidate au doctorat de Noether aux États-Unis ; cependant, Noether est décédé peu de temps avant l'obtention du diplôme de Stauffer. Stauffer a terminé avec succès son examen de doctorat avec Richard Brauer, obtenant son diplôme en juin 1935 avec une thèse sur les extensions normales séparables. Après son doctorat, Stauffer a poursuivi une brève carrière dans l'enseignement avant de consacrer plus de trois décennies à travailler comme statisticienne.

En 1934, Noether a commencé à enseigner à l'Institute for Advanced Study de Princeton, suite à une invitation lancée par Abraham Flexner et Oswald Veblen. Durant cette période, elle collabore avec Abraham Albert et Harry Vandiver. Concernant l'Université de Princeton, elle a notamment commenté son statut perçu comme importun dans « l'université pour hommes, où aucune femme n'est admise ».

Le mandat de Noether aux États-Unis s'est avéré agréable, caractérisé par un environnement universitaire favorable et un profond engagement dans ses principaux intérêts de recherche. Au milieu de l'année 1934, elle fit un bref mémoire. Fritz Noether, après avoir été démis de ses fonctions à la Technische Hochschule Breslau, avait par la suite accepté un poste à l'Institut de recherche en mathématiques et en mécanique de Tomsk, situé dans le district fédéral sibérien de Russie.

Bien que de nombreux anciens collègues aient été déplacés de leurs postes universitaires, Noether fut autorisé à utiliser les installations de la bibliothèque de Göttingen en tant que « chercheur étranger ». Par la suite, elle est retournée aux États-Unis sans incident, reprenant ses études à Bryn Mawr.

Mort

En avril 1935, des professionnels de la santé identifièrent une tumeur dans le bassin de Noether. Les inquiétudes concernant d’éventuelles complications chirurgicales ont conduit à une période préliminaire d’alitement de deux jours. Au cours de l'opération qui a suivi, un kyste ovarien, décrit comme « de la taille d'un gros cantaloup », a été découvert. Deux tumeurs utérines plus petites semblaient bénignes et n'ont pas été excisées pour éviter de prolonger la durée chirurgicale. Pendant trois jours après l'opération, Noether a présenté une convalescence normale et elle s'est rapidement remise d'un collapsus circulatoire le quatrième jour. Cependant, le 14 avril, Noether a perdu connaissance, sa température est montée à 109 °F (42,8 °C) et elle a succombé. Un médecin traitant a noté : « [Il] n'est pas facile de dire ce qui s'est passé chez le Dr Noether », postulant : « Il est possible qu'il y ait eu une forme d'infection inhabituelle et virulente, qui a frappé la base du cerveau, là où les centres de chaleur sont censés être situés. » Elle avait 53 ans au moment de son décès.

Quelques jours après la mort de Noether, un service commémoratif privé a été organisé par ses amis et collègues à Bryn Mawr, organisé à la résidence du président du Collège Park. Hermann Weyl et Richard Brauer sont venus de Princeton pour prononcer des éloges funèbres. Au cours des mois qui ont suivi, de nombreux hommages écrits ont émergé à l'échelle internationale, avec des personnalités notables telles qu'Albert Einstein, van der Waerden, Weyl et Pavel Alexandrov offrant leurs respects. Ses restes ont été incinérés et les cendres ont été enterrées sous la passerelle entourant le cloître de l'ancienne bibliothèque de Bryn Mawr.

Contributions aux mathématiques et à la physique

Les contributions de Noether à l'algèbre abstraite et à la topologie ont influencé de manière significative le domaine des mathématiques ; parallèlement, le théorème de Noether a des implications considérables pour la physique théorique et les systèmes dynamiques. Elle a démontré une profonde aptitude pour la conceptualisation abstraite, lui permettant de formuler des approches nouvelles et innovantes des problèmes mathématiques. Son estimé collègue et ami, Hermann Weyl, a classé ses réalisations universitaires en trois périodes distinctes :

(1) La période de dépendance relative, s'étendant de 1907 à 1919.

(2) Les recherches centrées sur la théorie générale des idéaux, menées de 1920 à 1926.

(3) L'examen des algèbres non commutatives, de leurs représentations par des transformations linéaires et de leur application ultérieure à l'analyse des champs de nombres commutatifs et de leurs arithmétique.

Au cours de sa première époque (1907-1919), Noether s'est principalement intéressée aux invariants différentiels et algébriques, en commençant par ses recherches doctorales sous la direction de Paul Gordan. Son champ d'action mathématique s'est élargi et son travail a évolué vers une plus grande généralité et abstraction, grâce à son engagement dans les contributions de David Hilbert et à ses échanges collaboratifs avec le successeur de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Peu de temps après avoir déménagé à Göttingen en 1915, elle a établi les deux théorèmes de Noether, reconnus comme « l'un des théorèmes mathématiques les plus importants jamais prouvés pour guider le développement de la physique moderne ».

Au cours de sa deuxième époque (1920-1926), Noether a consacré ses efforts à faire progresser la théorie des anneaux mathématiques. Par la suite, à la troisième époque (1927-1935), elle se concentre sur l'algèbre non commutative, les transformations linéaires et les champs numériques commutatifs. Même si les résultats de la première époque de Noether étaient remarquables et précieux, son importance parmi les mathématiciens est principalement attribuée aux contributions pionnières apportées au cours de ses deuxième et troisième époques, comme le soulignent dans ses nécrologies Hermann Weyl et B. L. van der Waerden.

À travers ces époques, elle n'a pas simplement appliqué les idées et les méthodologies existantes des mathématiciens précédents ; au lieu de cela, elle a formulé de nouveaux systèmes de définitions mathématiques qui ont ensuite influencé les futurs efforts mathématiques. Plus précisément, elle a établi une toute nouvelle théorie des idéaux dans les anneaux, prolongeant ainsi le travail fondateur de Richard Dedekind. De plus, elle est reconnue pour avoir introduit des conditions de chaîne ascendante – un critère de finitude simple qui s'est avéré remarquablement efficace dans ses applications. Ces conditions, associées à la théorie des idéaux, ont permis à Noether de généraliser de nombreuses découvertes antérieures et d'aborder des problèmes établis d'un point de vue nouveau, y compris les invariants algébriques, un sujet précédemment exploré par son père, et la théorie de l'élimination. au lieu de cela, elle s’est directement engagée dans des concepts abstraits. Comme le raconte van der Waerden dans sa nécrologie,

La maxime qui a guidé Emmy Noether tout au long de son travail pourrait être formulée comme suit : "Toutes relations entre les nombres, les fonctions et les opérations ne deviennent transparentes, généralement applicables et pleinement productives qu'après avoir été isolées de leurs objets particuliers et formulées comme des concepts universellement valables."

Cette approche illustre le begriffliche Mathematik (mathématiques purement conceptuelles), une caractéristique de la méthodologie de Noether. Par la suite, ce style mathématique a été adopté par d'autres mathématiciens, en particulier dans le domaine émergent de l'algèbre abstraite.

Première époque (1908-1919)

Théorie algébrique des invariants

Une partie importante du début de la carrière de Noether, au cours de sa première époque, s'est concentrée sur la théorie des invariants, en particulier la théorie des invariants algébriques. La théorie des invariants étudie les expressions mathématiques qui conservent leur valeur (c'est-à-dire restent invariantes) sous des groupes spécifiques de transformations. Par exemple, dans une analogie physique courante, la rotation d’un mètre rigide modifie les coordonnées de ses extrémités, mais sa longueur reste inchangée. Une illustration plus complexe d'un invariant est le discriminant B§56§ − 4AC d'un polynôme quadratique homogène Ax§1314§ + Bxy + Cy§1920§, où x et y représentent des valeurs indéterminées. Ce discriminant est appelé « invariant » en raison de sa constance sous substitutions linéaires x → ax + by et y → cx + dy, à condition que leur déterminant ad − bc soit égal à 1. Collectivement, ces substitutions constituent le groupe linéaire spécial SL§5152§.

L'enquête peut s'étendre à l'identification de tous les polynômes dans A, B et C qui restent invariants sous l'action de SL§910§ ; ce sont en fait des polynômes du discriminant. Plus largement, on peut rechercher les invariants de polynômes homogènes de degré supérieur, tels que A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r, qui se manifestent sous forme de polynômes spécifiques dans les coefficients A§4344§, ..., A_r. Cette ligne de questionnement peut être étendue aux polynômes homogènes impliquant plus de deux variables.

L'un des principaux objectifs de la théorie des invariants impliquait de résoudre le « problème des bases finies ». Ce problème visait à savoir si tous les invariants pouvaient être dérivés d'un ensemble fini d'invariants initiaux, appelés générateurs, par addition ou multiplication itérative, étant donné que la somme ou le produit de deux invariants constitue également un invariant. Par exemple, le discriminant fournit une base finie, comprenant un seul élément, pour les invariants d'un polynôme quadratique.

Paul Gordan, le conseiller académique de Noether, s'est fait connaître comme le « roi de la théorie des invariants », avec sa contribution mathématique fondamentale étant la résolution en 1870 du problème des bases finies pour les invariants de polynômes homogènes à deux variables. La preuve de Gordan présentait une méthodologie constructive pour identifier tous les invariants et leurs générateurs respectifs ; cependant, il ne pouvait pas étendre cette approche aux invariants impliquant trois variables ou plus. Par la suite, en 1890, David Hilbert a établi un théorème analogue pour les invariants de polynômes homogènes sur un nombre arbitraire de variables. Notamment, la méthodologie de Hilbert s'appliquait non seulement au groupe linéaire spécial, mais également à divers de ses sous-groupes, y compris le groupe orthogonal spécial.

Imitant la trajectoire scientifique de Gordan, Noether a consacré sa thèse de doctorat et plusieurs publications ultérieures à la théorie des invariants. Son travail élargit les découvertes de Gordan et intègre les recherches de Hilbert. Néanmoins, elle exprima plus tard son mépris pour ces premiers travaux, les jugeant d'une importance mineure et avouant avoir oublié ses subtilités spécifiques. Hermann Weyl a observé :

[Un] plus grand contraste est difficilement imaginable qu'entre son premier article, la thèse, et ses travaux de maturité ; car le premier est un exemple extrême de calculs formels et le second constitue un exemple extrême et grandiose de pensée axiomatique conceptuelle en mathématiques.

Théorie de Galois

La théorie de Galois étudie les transformations au sein de champs numériques qui réordonnent les racines d'une équation. Considérons une équation polynomiale impliquant une variable x de degré n, où ses coefficients proviennent d'un champ fondamental spécifié, tel que le champ des nombres réels, des nombres rationnels ou des entiers modulo 7. Les solutions pour x qui font que ce polynôme s'évalue à zéro sont appelées racines, bien que de telles solutions n'existent pas toujours dans le champ initial. Par exemple, si le polynôme est x§1516§ + 1 et que le champ de base est constitué de nombres réels, aucune racine n'existe, car toute valeur réelle pour x entraîne que le polynôme soit supérieur ou égal à un. Cependant, étendre le champ peut introduire des racines, et un champ suffisamment étendu contiendra invariablement un nombre de racines équivalent au degré du polynôme.

En étendant l'illustration précédente, si le champ est étendu pour englober des nombres complexes, le polynôme acquiert deux racines : +i et −i, où i représente le unité imaginaire, définie par i ² = −1. D'une manière générale, le champ d'extension dans lequel un polynôme peut être complètement pris en compte dans ses racines constitutives est désigné comme le champ de division de ce polynôme.

Le groupe de Galois d'un polynôme est défini comme l'ensemble de toutes les transformations de son champ de division qui maintiennent à la fois le champ fondamental et les racines du polynôme. (Ces transformations sont spécifiquement appelées automorphismes.) Pour le polynôme x§45§ + 1, son groupe de Galois comprend deux éléments : la transformation d'identité, qui mappe chaque nombre complexe sur lui-même, et la conjugaison complexe, qui transforme +i en −i. Comme le groupe de Galois préserve le champ fondamental, il laisse par conséquent inchangés les coefficients du polynôme et, par extension, l'ensemble des racines. Chaque racine peut être mappée sur une autre racine, ce qui implique que chaque transformation établit une permutation parmi les n racines. L'importance profonde du groupe de Galois découle du théorème fondamental de la théorie de Galois, qui démontre une correspondance biunivoque entre les champs intermédiaires situés entre le champ fondamental et le champ de division, et les sous-groupes du groupe de Galois.

La publication de Noether de 1918 abordait le problème inverse de Galois. Plutôt que de se concentrer sur l'identification du groupe de transformations de Galois pour un champ spécifié et son extension, Noether a étudié si une extension d'un champ donné pouvait invariablement posséder un groupe particulier comme groupe de Galois. Cette enquête a ensuite été réduite au "problème de Noether", qui se demande si le corps fixe d'un sous-groupe G au sein du groupe de permutation S_n, lorsqu'il agit sur le corps k(x§1516§, ..., x_n), constitue systématiquement une pure extension transcendantale du champ k. Noether a initialement présenté ce problème dans un article de 1913, attribuant son origine à son collègue Fischer. Elle a démontré sa validité pour les cas où n est égal à 2, 3 ou 4. Cependant, en 1969, Richard Swan a identifié un contre-exemple au problème de Noether, impliquant spécifiquement n = 47 et G comme groupe cyclique d'ordre 47 (bien que ce groupe particulier soit réalisable en tant que groupe de Galois). sur les rationnels à travers des constructions alternatives). Le problème de Galois inverse continue d'être un défi mathématique non résolu.

Physique

En 1915, David Hilbert et Felix Klein ont invité Noether à Göttingen, cherchant ses connaissances spécialisées en théorie des invariants pour les aider à comprendre la relativité générale, une théorie géométrique de la gravitation principalement développée par Albert Einstein. Hilbert avait noté une violation apparente de la conservation de l'énergie au sein de la relativité générale, attribuant cela à la capacité de l'énergie gravitationnelle à exercer sa propre influence gravitationnelle. Noether a résolu ce paradoxe et a présenté un instrument fondamental pour la physique théorique moderne dans une publication de 1918. Cet article fondateur a introduit deux théorèmes, dont le premier est universellement reconnu comme le théorème de Noether. Collectivement, ces théorèmes ont non seulement abordé le problème de la relativité générale, mais ont également établi les quantités conservées pour chaque système physique caractérisé par une symétrie continue. Suite à sa révision de son travail, Einstein a communiqué à Hilbert :

J'ai reçu hier un article très intéressant sur les invariants de Miss Noether. Je suis impressionné par la capacité à appréhender de tels concepts avec une telle généralité. Les universitaires établis à Göttingen devraient apprendre de Miss Noether ; son expertise semble profonde.

Par exemple, si un système physique présente un comportement identique quelle que soit son orientation spatiale, ses lois physiques régissant sont considérées comme symétriques en rotation ; Le théorème de Noether démontre que cette symétrie nécessite la conservation du moment cinétique du système. Le système physique lui-même ne nécessite pas de symétrie inhérente ; par exemple, un astéroïde déchiqueté tournant dans l’espace conserve toujours son moment cinétique malgré sa forme irrégulière. Au lieu de cela, la loi de conservation découle de la symétrie inhérente aux lois physiques qui régissent le système. De plus, si une expérience physique donne des résultats cohérents quel que soit le lieu ou le moment, ses lois sous-jacentes possèdent une symétrie dans des traductions spatiales et temporelles continues ; Le théorème de Noether établit que ces symétries correspondent respectivement aux lois de conservation de la quantité de mouvement linéaire et de l'énergie au sein de ce système.

À l'époque, les physiciens manquaient de familiarité avec la théorie des groupes continus de Sophus Lie, qui constituait la base fondamentale des travaux de Noether. Un nombre important de physiciens ont initialement découvert le théorème de Noether à travers un article d'Edward Lee Hill, qui ne présentait cependant qu'un exemple spécialisé du théorème. En conséquence, les implications globales de ses découvertes n’ont pas été immédiatement reconnues. Néanmoins, dans la seconde moitié du XXe siècle, le théorème de Noether est devenu une pierre angulaire de la physique théorique moderne, apprécié à la fois pour sa profonde compréhension des lois de conservation et pour son utilité en tant qu'instrument de calcul pratique. Ce théorème permet aux chercheurs de déduire les quantités conservées directement à partir des symétries observées inhérentes à un système physique. À l’inverse, il aide à caractériser un système physique en faisant référence à des catégories de lois physiques hypothétiques. Pour illustrer cela, considérons la découverte hypothétique d’un nouveau phénomène physique. Le théorème de Noether offre un test crucial pour les modèles théoriques expliquant un tel phénomène : si une théorie intègre une symétrie continue, le théorème garantit l'existence d'une quantité conservée, et pour que la théorie soit valide, cette conservation doit être empiriquement vérifiable par l'expérimentation.

Deuxième époque (1920-1926)

Conditions de chaîne ascendantes et descendantes

Au cours de cette période, Noether a été reconnue pour son application habile des conditions de chaîne ascendantes (Teilerkettensatz) et descendantes (Vielfachenkettensatz). Une séquence ascendante de sous-ensembles non vides, tels que A§78§, A§1112§, A§1516§, ..., au sein d'un ensemble S est classiquement définie par chaque sous-ensemble étant contenu dans le suivant.

A §1011§ ⊆ A §2122§ ⊆ A §3233§ ⊆ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}

À l'inverse, une séquence de sous-ensembles au sein de S est dite descendante lorsque chaque sous-ensemble successif est contenu dans son prédécesseur.

A §1011§ ⊇ A §2122§ ⊇ A §3233§ ⊇ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}

Une chaîne est définie comme devenant constante après un nombre fini d'étapes si un entier n existe tel que ${\displaystyle A_{n}=A_{m}}$ pour tout m ≥ n. La condition de chaîne ascendante est satisfaite par une collection de sous-ensembles au sein d’un ensemble donné si chaque séquence ascendante finit par se stabiliser. De même, la condition de chaîne descendante est remplie si une séquence descendante se stabilise également après un nombre fini d’étapes. Ces conditions de chaîne jouent un rôle déterminant pour démontrer l'existence d'éléments maximaux ou minimaux au sein de tout ensemble de sous-objets, ou pour prouver que des objets complexes peuvent être générés à partir d'un nombre réduit d'éléments constitutifs.

De nombreuses structures algébriques en algèbre abstraite peuvent remplir des conditions de chaîne ; généralement, ceux qui satisfont à une condition de chaîne ascendante sont désignés comme Noetherian, un hommage à ses contributions. Plus précisément, un anneau noéthérien se caractérise par la satisfaction d'une condition de chaîne ascendante sur ses idéaux gauche et droit. En revanche, un groupe noéthérien est défini comme un groupe dans lequel toute chaîne de sous-groupes strictement ascendante est finie. Un module noéthérien est un module dans lequel chaque chaîne de sous-modules strictement ascendante se stabilise après un nombre fini d'étapes. De plus, un espace noéthérien fait référence à un espace topologique dont les sous-ensembles ouverts adhèrent à la condition de chaîne ascendante, classant ainsi le spectre d'un anneau noéthérien comme un espace topologique noéthérien.

La condition de chaîne présente fréquemment une propriété d'héritage entre les sous-objets. Par exemple, tous les sous-espaces au sein d’un espace noéthérien sont eux-mêmes noéthériens ; de même, tous les sous-groupes et groupes quotients dérivés d'un groupe noéthérien sont également noéthériens. De manière analogue, mutatis mutandis, ce principe s'étend aux sous-modules et modules quotients d'un module noéthérien. De plus, la condition de chaîne peut être héritée par diverses combinaisons ou extensions d’un objet noéthérien. Par exemple, les sommes directes finies d'anneaux noéthériens conservent la propriété noéthérienne, tout comme l'anneau de séries formelles de puissances construites sur un anneau noéthérien.

L'induction noéthérienne, également appelée induction bien fondée, représente une autre application de ces conditions de chaîne et sert de généralisation de l'induction mathématique. Cette méthode est fréquemment utilisée pour simplifier les assertions générales concernant les collections d'objets en déclarations sur des objets particuliers au sein de ces collections. Considérez S comme un ensemble partiellement ordonné. Une approche courante pour établir une déclaration sur des éléments au sein de S consiste à postuler l'existence d'un contre-exemple et à en dériver ensuite une contradiction, démontrant ainsi la contrapositive de l'affirmation initiale. Le principe fondamental de l'induction noéthérienne affirme que chaque sous-ensemble non vide de S doit contenir un élément minimal. Plus précisément, la collection de tous les contre-exemples comprendra un élément minimal, appelé contre-exemple minimal. Par conséquent, pour valider la déclaration originale, il suffit de démontrer une condition apparemment moins stricte : que pour tout contre-exemple donné, il existe un contre-exemple plus petit.

Anneaux commutatifs, idéaux et modules

La publication phare de Noether de 1921, intitulée Idealtheorie in Ringbereichen (Théorie des idéaux dans les domaines des anneaux), a jeté les bases de la théorie générale des anneaux commutatifs et a présenté l'une des premières définitions complètes d'un anneau commutatif. Avant ses travaux, la majorité des découvertes en algèbre commutative se limitaient à des cas spécifiques d'anneaux commutatifs, notamment les anneaux polynomiaux sur des corps ou les anneaux d'entiers algébriques. Noether a démontré que dans tout anneau satisfaisant la condition de chaîne ascendante sur les idéaux, chaque idéal est de génération finie. Le mathématicien français Claude Chevalley a introduit le terme Anneau noéthérien en 1943 pour caractériser cette propriété spécifique. Une contribution significative de l'article de Noether de 1921 est le théorème de Lasker-Noether, qui élargit le théorème original de Lasker concernant la décomposition primaire des idéaux en anneaux polynomiaux pour englober tous les anneaux noéthériens. Ce théorème peut être conceptualisé comme une extension du théorème fondamental de l'arithmétique, qui postule que chaque entier positif possède une factorisation unique en nombres premiers.

Dans sa publication de 1927, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Structure abstraite de la théorie des idéaux dans les nombres algébriques et champs de fonctions), Noether a délimité les caractéristiques des anneaux où les idéaux présentent une factorisation unique en idéaux premiers, maintenant reconnus comme domaines de Dedekind. Elle a démontré que ces anneaux sont définis par cinq critères spécifiques : ils doivent adhérer à des conditions de chaîne ascendante et descendante, contenir un élément unitaire sans diviseur zéro et être intégralement fermés dans leur champ de fractions correspondant. Cet article présente en outre ce que l'on appelle maintenant les théorèmes d'isomorphisme, qui élucident les isomorphismes naturels fondamentaux, ainsi que d'autres découvertes fondamentales concernant les modules noéthériens et artiniens.

Théorie de l'élimination

Entre 1923 et 1924, Noether a étendu sa théorie idéale à la théorie de l'élimination, en employant une formulation qu'elle attribue à son élève, Kurt Hentzelt. Ses travaux ont démontré que les théorèmes fondamentaux relatifs à la factorisation polynomiale étaient directement transférables à ce contexte.

Historiquement, la théorie de l'élimination s'est concentrée sur le processus de suppression d'une ou plusieurs variables d'un système d'équations polynomiales, en utilisant fréquemment la méthode des résultantes. À des fins d'illustration, un système d'équations peut souvent être exprimé sous la forme suivante :

Mv = 0

Dans cette représentation, une matrice (ou transformation linéaire) M, indépendante de la variable x, multipliée par un vecteur v (contenant uniquement des puissances non nulles de x), donne le vecteur zéro, §89§. Par conséquent, le déterminant de la matrice M doit être égal à zéro, fournissant ainsi une nouvelle équation de laquelle la variable x a été éliminée avec succès.

Théorie invariante des groupes finis

Les méthodes antérieures, telles que la solution non constructive de Hilbert au problème des bases finies, n'avaient pas la capacité de fournir des données quantitatives concernant les invariants d'une action de groupe et n'étaient pas universellement applicables à toutes les actions de groupe. Dans sa publication de 1915, Noether a présenté une solution au problème de base finie pour un groupe fini de transformations G opérant sur un espace vectoriel de dimension finie sur un champ de caractéristique zéro. Ses découvertes ont démontré que l'anneau d'invariants est généré par des invariants homogènes dont le degré ne dépasse pas l'ordre du groupe fini, un principe connu sous le nom de limite de Noether. Son article fournit deux preuves de la limite de Noether, qui sont toutes deux également valables lorsque la caractéristique du champ est première avec ${\displaystyle \left|G\right|!}$ (la factorielle de l'ordre du groupe ${\displaystyle \left|G\right|}$). Cependant, les degrés des générateurs peuvent ne pas adhérer à la limite de Noether si la caractéristique du champ divise le nombre. | G | {\displaystyle \left|G\right|} . Noether n'a pas pu vérifier la validité de la limite lorsque la caractéristique du champ se divise ${\displaystyle \left|G\right|!}$ mais pas ${\displaystyle \left|G\right|}$. Ce scénario spécifique, connu sous le nom de « fossé de Noether », est resté un problème non résolu pendant de nombreuses années jusqu'à ce qu'il soit résolu indépendamment par Fleischmann en 2000 et Fogarty en 2001, démontrant tous deux la validité continue de la limite.

La publication de Noether en 1926 a élargi le théorème de Hilbert pour englober les représentations de groupes finis dans n'importe quel domaine, abordant en particulier le nouveau scénario où la caractéristique du champ divise l'ordre du groupe, un cas non couvert par l'œuvre originale de Hilbert. William Haboush a ensuite élargi les découvertes de Noether pour inclure tous les groupes réducteurs grâce à sa preuve de la conjecture de Mumford. Dans ce même article, Noether a également présenté le Lemme de normalisation de Noether, qui établit qu'un domaine de génération finie A sur un champ k contient un ensemble {x§1314§, ..., x_n} de éléments algébriquement indépendants, tels que A est intégral sur k[x§3132§, ..., x_n].

Topologie

Hermann Weyl, dans sa nécrologie de Noether, a souligné ses contributions significatives à la topologie, soulignant sa générosité intellectuelle et l'impact transformateur de ses idées dans diverses disciplines mathématiques. La topologie implique l'examen des propriétés des objets qui persistent inchangées malgré la déformation, comme la connectivité. Une illustration humoristique courante déclare que "un topologue ne peut pas distinguer un beignet d'une tasse à café", étant donné leur déformabilité continue l'un dans l'autre.

Noether est reconnu pour ses concepts fondamentaux pionniers qui ont facilité l'évolution de la topologie algébrique par rapport à son prédécesseur, la topologie combinatoire, notamment grâce à l'introduction de groupes d'homologie. Alexandrov a raconté que lors des conférences que lui et Heinz Hopf ont données en 1926 et 1927, Noether "a continuellement fait des observations qui étaient souvent profondes et subtiles", précisant plus loin :

En rencontrant le cadre systématique de la topologie combinatoire,

elle a rapidement reconnu l'intérêt d'étudier directement les groupes de complexes algébriques et les cycles au sein d'un polyèdre donné, aux côtés du sous-groupe de cycles homologues à zéro. Plutôt que d'adhérer à la définition conventionnelle des nombres de Betti, elle propose de définir le groupe de Betti comme le groupe quotient formé par le groupe de tous les cycles et le sous-groupe des cycles homologues à zéro. Bien que cette idée semble évidente aujourd'hui, elle représentait une perspective fondamentalement nouvelle au cours de la période 1925-1928.

La proposition de Noether concernant une approche algébrique de la topologie a été rapidement adoptée par des mathématiciens tels que Hopf et Alexandrov, devenant ainsi un sujet de débat important au sein de la communauté mathématique de Göttingen. Elle a noté que son concept de groupe de Betti simplifiait la compréhension de la formule d'Euler-Poincaré et que les contributions ultérieures de Hopf dans ce domaine reflétaient son influence. Noether elle-même n'a fait que brièvement référence à ses idées topologiques dans une publication de 1926, les présentant comme une application de la théorie des groupes.

Parallèlement, cette méthodologie algébrique pour la topologie a émergé de manière indépendante en Autriche. Au cours d'un cours dispensé à Vienne en 1926-1927, Leopold Vietoris a introduit le concept de groupe d'homologie, que Walther Mayer a ensuite formalisé en une définition axiomatique en 1928.

Troisième époque (1927-1935)

Nombres hypercomplexes et théorie des représentations

Des recherches approfondies sur les nombres hypercomplexes et les représentations de groupes ont eu lieu tout au long du XIXe et du début du XXe siècle, mais ces efforts ont largement manqué de cohésion. Noether a synthétisé ces découvertes antérieures, établissant la première théorie générale de la représentation pour les groupes et les algèbres. On attribue à cette contribution singulière de Noether le début d'une nouvelle ère dans l'algèbre moderne et s'est révélée fondamentale pour son évolution ultérieure.

En substance, Noether a intégré la théorie de la structure des algèbres associatives et la théorie de la représentation des groupes dans une théorie arithmétique unifiée centrée sur des modules et des idéaux au sein d'anneaux qui satisfont aux conditions de chaîne ascendante.

Algèbre non commutative

Noether a également été le fer de lance de plusieurs autres avancées en algèbre. En collaboration avec Emil Artin, Richard Brauer et Helmut Hasse, elle a établi la théorie des algèbres simples centrales.

Une publication collaborative de Noether, Hasse et Brauer portait sur les algèbres de division, qui sont des structures algébriques permettant la division. Ils ont démontré deux théorèmes importants : premièrement, un théorème local-global affirmant qu'une algèbre de division centrale de dimension finie sur un corps numérique, si elle se divise localement partout, se divise également globalement (devenant ainsi triviale) ; et de là, ils ont dérivé leur Hauptsatz ("théorème principal") :

Chaque algèbre de division centrale de dimension finie sur un corps de nombres algébriques F se divise sur une extension cyclotomique cyclique.

Ces théorèmes facilitent la classification de toutes les algèbres de division centrale de dimension finie sur un corps numérique spécifié. Une publication ultérieure de Noether a démontré, comme exemple particulier d'un théorème plus large, que tous les sous-champs maximaux d'une algèbre de division D constituent des champs de division. Cet article présente en outre le théorème de Skolem-Noether, qui postule que deux intégrations quelconques d'une extension de champ k dans une algèbre centrale simple de dimension finie sur k sont conjuguées. Le théorème de Brauer-Noether fournit une caractérisation des champs de division pour une algèbre de division centrale sur un corps.

Legacy

Les contributions de Noether restent pertinentes pour l'avancement de la physique théorique et des mathématiques, consolidant ainsi son statut de l'une des mathématiciennes les plus importantes du XXe siècle. Tout au long de sa vie et jusqu'à nos jours, d'éminents mathématiciens, dont Pavel Alexandrov, Hermann Weyl et Jean Dieudonné, ont acclamé Noether comme la femme mathématicienne la plus exceptionnelle de l'histoire.

Dans une lettre adressée au New York Times, Albert Einstein a déclaré :

De l'avis des mathématiciens vivants les plus compétents, Fräulein Noether était le génie mathématique créatif le plus important produit jusqu'à présent depuis le début de l'enseignement supérieur des femmes. Dans le domaine de l'algèbre, dans lequel les mathématiciens les plus doués travaillent depuis des siècles, elle a découvert des méthodes qui se sont révélées d'une importance capitale dans le développement de la jeune génération actuelle de mathématiciens.

Dans sa nécrologie, son collègue algébriste B. L. van der Waerden a salué son originalité mathématique comme étant « absolue, au-delà de toute comparaison », tandis qu'Hermann Weyl affirmait que les contributions de Noether « ont changé le visage de l'algèbre [abstraite] ». Le mathématicien et historien Jeremy Gray a observé que l'influence de Noether est évidente dans tout manuel d'algèbre abstraite, déclarant que « les mathématiciens font simplement la théorie des anneaux à leur manière ». Son nom a été attribué à titre posthume à de nombreuses entités mathématiques et à l'astéroïde 7001 Noether. En 2019, le magazine Time a commémoré les femmes de l'année depuis 1920 en créant 89 nouvelles couvertures, en sélectionnant Noether pour l'année 1921.

• Chronologie des femmes dans la science
• Remarques

Remarques

Références

Sources

Œuvres sélectionnées d'Emmy Noether

Livres

Livres

• Phillips, Lee (2024), Le tuteur d'Einstein : L'histoire d'Emmy Noether et l'invention de la physique moderne, PublicAffairs, ISBN 9781541702974Hasse, Helmut ; Noether, Emmy (2006), Lemmermeyer, Franz ; Roquette, Peter (éd.), Helmut Hasse et Emmy Noether – Die Korrespondenz 1925-1935 [Helmut Hasse et Emmy Noether – Leur correspondance 1925-1935] (PDF), Université de Göttingen, doi :10.17875/gup2006-49, ISBN 978-3-938616-35-2Articles
  • Angier, Natalie (26 mars 2012), "Le puissant mathématicien dont vous n'avez jamais entendu parler", The New York Times, récupéré le 27 janvier 2024Blue, Meredith (2001), Théorie de Galois et problème de Noether (PDF), 34e réunion annuelle de la Mathematical Association of America, MAA Florida Section, archivé de l'original (PDF) le 29 mai 2008, récupéré le 9 juin 2018Phillips, Lee (26 mai 2015), "La mathématicienne qui a changé le cours de la physique – mais n'a pas pu trouver de travail", Ars Technica, Californie : Condé Nast, récupéré le 27 janvier 2024"Numéro spécial sur les femmes en mathématiques" (PDF), Avis de l'American Mathematical Society, 38 (7), Providence, RI : American Mathematical Society : 701–773, septembre 1991, ISSN 0002-9920Shen, Qinna (septembre 2019), "Un chercheur réfugié de l'Allemagne nazie : Emmy Noether et Bryn Mawr College", The Mathematical Intelligencer, 41 (3) : 52–65, est ce que je:10.1007/s00283-018-9852-0, S2CID 128009850Biographies en ligne
    • Byers, Nina (16 mars 2001), "Emmy Noether", Contributions des femmes du 20e siècle à la physique, UCLA, archivé depuis l'original le 12 février 2008Taylor, Mandie (22 février 2023), "Emmy Noether", Biographies de femmes mathématiciennes, Agnes Scott CollegeChown, Marcus (5 mars 2025), "Emmy Noether : le génie qui a enseigné à Einstein", Prospect
      • Emmy Noether au projet de généalogie mathématique
      • Demande d'admission de Noether à l'Université d'Erlangen-Nuremberg et trois de ses curriculum vitae provenant du site Web de l'historienne Cordula Tollmien

      Médias

      • Photographie de Noether prise par Hanna Kunsch — Collections spéciales de la bibliothèque du Collège Bryn Mawr
      • Photographies des collègues et connaissances de Noether provenant du site Web de Clark Kimberling