Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (23 marzo 1882 – 14 aprile 1935) è stata una matematica tedesca famosa per i suoi contributi significativi all'algebra astratta. Ha inoltre stabilito il primo e il secondo teorema di Noether, che sono fondamentali nella fisica matematica. Matematici di spicco tra cui Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl e Norbert Wiener hanno caratterizzato Noether come la figura femminile più importante nella storia della matematica. Essendo una matematica eminente della sua epoca, formulò teorie riguardanti anelli, campi e algebre. Nel campo della fisica, il teorema di Noether chiarisce la relazione intrinseca tra simmetria e leggi di conservazione.

Amalie Emmy Noether (23 marzo 1882 – 14 aprile 1935) è stata una matematica tedesca che ha dato molti importanti contributi all'algebra astratta. Ha anche dimostrato il primo e il secondo teorema di Noether, fondamentali nella fisica matematica. Noether fu descritta da Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl e Norbert Wiener come la donna più importante nella storia della matematica. Essendo una dei principali matematici del suo tempo, sviluppò teorie di anelli, campi e algebre. In fisica, il teorema di Noether spiega la connessione tra simmetria e leggi di conservazione.

Noether nacque in una famiglia ebrea a Erlangen, una città della Franconia; anche suo padre, Max Noether, era un matematico. Inizialmente intendeva intraprendere la carriera di insegnante di francese e inglese, dopo aver superato gli esami richiesti; tuttavia, alla fine scelse di studiare matematica presso l'Università di Erlangen-Norimberga, dove suo padre ricopriva un incarico di docente. Dopo il completamento del dottorato nel 1907, sotto la supervisione di Paul Gordan, trascorse sette anni lavorando non retribuita presso l'Istituto di Matematica di Erlangen. Durante questo periodo, alle donne era generalmente vietato ricoprire incarichi accademici. Nel 1915, David Hilbert e Felix Klein le invitarono a unirsi al dipartimento di matematica dell'Università di Göttingen, un centro riconosciuto a livello mondiale per la ricerca matematica. La facoltà di filosofia sollevò obiezioni, portandola a tenere lezioni per quattro anni sotto il nome di Hilbert. La sua abilitazione fu approvata nel 1919, cosa che le permise di raggiungere il grado di Privatdozent.

Noether mantenne un ruolo di primo piano all'interno del dipartimento di matematica di Gottinga fino al 1933; i suoi studenti venivano occasionalmente chiamati i "Noether Boys". Nel 1924, il matematico olandese B. L. van der Waerden entrò a far parte del suo gruppo accademico e rapidamente emerse come il principale interprete dei concetti di Noether; la sua ricerca costituì la base per il secondo volume del suo influente libro di testo del 1931, Moderne Algebra. La sua esperienza algebrica ottenne un riconoscimento globale al momento del suo discorso in plenaria al Congresso internazionale dei matematici del 1932 a Zurigo. L'anno successivo, il governo nazista tedesco espulse gli accademici ebrei dagli incarichi universitari, spingendo Noether a trasferirsi negli Stati Uniti per una posizione al Bryn Mawr College in Pennsylvania. A Bryn Mawr, ha istruito studentesse laureate e post-dottorato, in particolare Marie Johanna Weiss e Olga Taussky-Todd. Allo stesso tempo, ha tenuto conferenze e condotto ricerche presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel New Jersey.

I contributi matematici di Noether sono classificati in tre "epoche" distinte. Durante la prima epoca (1908-1919), avanzò le teorie degli invarianti algebrici e dei campi numerici. La sua ricerca sugli invarianti differenziali nel calcolo delle variazioni, nota come teorema di Noether, è stata lodata come "uno dei teoremi matematici più significativi mai stabiliti nel dirigere l'evoluzione della fisica moderna". Nella seconda epoca (1920-1926), iniziò un lavoro che "trasformò il panorama dell'algebra [astratta]". Nel suo fondamentale articolo del 1921, Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria degli ideali nei domini degli anelli), Noether avanzò la teoria degli ideali negli anelli commutativi, trasformandola in uno strumento ampiamente applicabile. Ha utilizzato magistralmente la condizione della catena ascendente e gli oggetti matematici che soddisfano questa condizione sono designati come Noetheriani in suo omaggio. Durante la terza epoca (1927-1935), pubblicò ricerche sulle algebre non commutative e sui numeri ipercomplessi, integrando la teoria della rappresentazione dei gruppi con la teoria dei moduli e degli ideali. Al di là delle sue pubblicazioni personali, Noether ha condiviso generosamente le sue intuizioni ed è riconosciuta per aver ispirato diverse direzioni di ricerca perseguite da altri matematici, anche in aree distanti dal suo obiettivo principale, come la topologia algebrica.

Biografia

Primi anni

Amalie Emmy Noether è nata il 23 marzo 1882 a Erlangen, in Baviera. Era la maggiore di quattro figli nati dal matematico Max Noether e Ida Amalia Kaufmann, entrambi provenienti da ricche famiglie di mercanti ebrei. Sebbene il suo nome fosse "Amalie", adottò il suo secondo nome fin dalla tenera età e lo usò costantemente per tutta la sua vita adulta e nei suoi lavori pubblicati.

Nella sua giovinezza, Noether non ottenne riconoscimenti accademici, ma fu riconosciuta per il suo intelletto e il suo carattere amabile. Ha sperimentato la miopia e un leggero balbettio durante la sua infanzia. Un conoscente di famiglia raccontò in seguito un aneddoto della giovinezza di Noether, illustrando il suo primo acume logico attraverso la rapida risoluzione di un enigma intellettuale durante una riunione di bambini. Ha ricevuto istruzioni sulle abilità domestiche, una pratica comune per le ragazze della sua epoca, e ha preso lezioni di piano. Sebbene non svolgesse nessuna di queste attività con particolare fervore, dimostrò una forte passione per la danza.

Nessuno dei due aveva tre fratelli minori. Il maggiore, Alfred Noether, nato nel 1883, conseguì il dottorato in chimica a Erlangen nel 1909 ma morì nove anni dopo. Fritz Noether, nato nel 1884, studiò a Monaco e contribuì al campo della matematica applicata. Probabilmente fu giustiziato in Unione Sovietica nel 1941 durante la seconda guerra mondiale. Il più giovane, Gustav Robert Noether, nato nel 1889, soffriva di una malattia cronica e morì nel 1928; i dettagli sulla sua vita sono scarsi.

Istruzione

Nessuno dei due ha dimostrato una precoce attitudine sia in francese che in inglese. All'inizio del 1900 sostenne l'esame per insegnanti di lingue, ottenendo una valutazione complessiva di sehr gut (molto buono). Sebbene questo risultato la rendesse idonea a insegnare lingue nelle scuole femminili, scelse invece di perseguire ulteriori impegni accademici presso l'Università di Erlangen-Norimberga, dove suo padre era professore.

Ciò costituì una scelta non ortodossa; due anni prima, il Senato accademico dell'università aveva affermato che l'istruzione mista avrebbe "rovesciato ogni ordine accademico". Essendo una delle uniche due donne tra 986 studenti, a Noether era consentito esclusivamente di controllare i corsi, precludendo la piena partecipazione, e necessitava di ottenere il consenso individuale dai professori alle cui lezioni desiderava partecipare. Nonostante questi ostacoli, superò con successo l'esame di laurea al Realgymnasium di Norimberga il 14 luglio 1903.

Durante il semestre invernale 1903-1904, intraprese gli studi presso l'Università di Göttingen, partecipando alle lezioni tenute dall'astronomo Karl Schwarzschild e dai matematici Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein e David Hilbert.

Nel 1903 furono abolite le limitazioni all'immatricolazione completa delle donne nelle università bavaresi. Noether tornò a Erlangen, reiscrivendosi formalmente all'università nell'ottobre 1904 e articolando la sua dedizione esclusiva alla matematica. Era una delle sei donne nel suo gruppo (inclusi due revisori dei conti) e l'unica donna nel dipartimento accademico prescelto. Sotto la supervisione di Paul Gordan, completò la sua tesi di dottorato, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sui sistemi completi di invarianti per forme biquadratiche ternarie), nel 1907, ottenendo la laurea con summa cum laude lode nello stesso anno. Gordan, un sostenitore della scuola "computazionale" della teoria degli invarianti, ha supervisionato una tesi che si è conclusa con un'enumerazione di oltre 300 invarianti esplicitamente derivati. Questo approccio agli invarianti fu successivamente soppiantato dalla metodologia più astratta e generalizzata avanzata da Hilbert. Sebbene accolta favorevolmente all'epoca, Noether in seguito definì "schifezza" la sua tesi di laurea e le successive pubblicazioni correlate. I suoi successivi sforzi di ricerca si sono concentrati interamente su un ambito distinto.

Università di Erlangen–Norimberga

Dal 1908 al 1915, Noether prestò servizio come docente non retribuito presso l'Istituto di matematica di Erlangen, sostituendo periodicamente suo padre, Max Noether, quando era impossibilitato a tenere lezioni a causa di una malattia. Divenne membro del Circolo Matematico di Palermo nel 1908 e della Deutsche Mathematiker-Vereinigung nel 1909. Nel 1910 e 1911 pubblicò pubblicazioni estendendo la sua ricerca di dottorato da tre variabili a n variabili.

Gordan si ritirò nel 1910 e Noether continuò i suoi compiti di insegnante sotto la guida dei suoi successori, Erhard Schmidt ed Ernst Fischer, che assunsero l'incarico dal primo nel 1911. Secondo il suo collega Hermann Weyl e il suo biografo Auguste Dick, Fischer esercitò un'influenza significativa su Noether, in particolare familiarizzandola con i contributi di David Hilbert. Noether e Fischer coltivarono un vivace rapporto intellettuale riguardo alla matematica e spesso si impegnarono in ampie discussioni post-lezione; Si dice che nessuno dei due abbia inviato cartoline a Fischer, estendendo così le sue riflessioni matematiche.

Tra il 1913 e il 1916, Noether è autore di numerose pubblicazioni che ampliano e applicano le metodologie di Hilbert ai costrutti matematici, inclusi i campi delle funzioni razionali e gli invarianti dei gruppi finiti. Questo periodo rappresentò l'impegno iniziale di Noether con l'algebra astratta, un campo in cui avrebbe successivamente raggiunto progressi fondamentali.

Mentre era a Erlangen, Noether fornì guida a due candidati al dottorato, Hans Falckenberg e Fritz Seidelmann, che difesero con successo le loro tesi rispettivamente nel 1911 e nel 1916. Nonostante il sostanziale coinvolgimento di Noether, entrambi gli studenti erano formalmente supervisionati da suo padre. Dopo aver conseguito il dottorato, Falckenberg ha ricoperto incarichi a Braunschweig e Königsberg prima della sua nomina a professore presso l'Università di Giessen, mentre Seidelmann ha conseguito una cattedra a Monaco.

L'Università di Gottinga

Abilitazione e sviluppo del teorema di Noether

All'inizio del 1915, David Hilbert e Felix Klein invitarono Noether a ricongiungersi all'Università di Gottinga. Il loro tentativo di nominarla incontrò inizialmente la resistenza di filologi e storici della facoltà filosofica, i quali sostenevano che le donne non erano adatte alla posizione di privatdozenten. Durante una riunione di dipartimento convocata per discutere la questione, un docente si è espresso contrariamente, affermando: "Cosa penseranno i nostri soldati quando torneranno all'università e scopriranno che sono tenuti a imparare ai piedi di una donna?" Hilbert, affermando che le qualifiche di Noether erano l'unico fattore pertinente e che il sesso della candidata era irrilevante, si oppose con veemenza e rimproverò coloro che si opponevano alla sua abilitazione. Sebbene le sue parole precise non siano pervenute, si dice spesso che la sua obiezione includesse l'affermazione che l'università "non era uno stabilimento balneare". I ricordi di Pavel Alexandrov indicano che l'opposizione dei docenti a Noether derivava non solo dal sessismo ma anche dalla disapprovazione delle sue convinzioni politiche socialdemocratiche e della sua eredità ebraica.

Noether si è trasferito a Gottinga alla fine di aprile; due settimane dopo, sua madre morì improvvisamente a Erlangen. Sebbene in precedenza fosse stata sottoposta a cure mediche per una condizione oculare, la sua natura specifica e l'influenza sulla sua morte rimangono indeterminate. Allo stesso tempo, il padre di Noether andò in pensione e suo fratello si arruolò nell'esercito tedesco per prestare servizio nella prima guerra mondiale. Successivamente tornò a Erlangen per un periodo di diverse settimane, principalmente per prendersi cura del suo anziano padre.

Durante i suoi primi anni di istruzione a Gottinga, non ricoprì alcun incarico ufficiale e non ricevette alcuna remunerazione. Le sue lezioni furono spesso pubblicizzate sotto il nome di Hilbert, con Noether che forniva "assistenza".

Poco dopo il suo arrivo a Gottinga, dimostrò la sua abilità intellettuale formulando quello che ora è riconosciuto come il teorema di Noether, che stabilisce una connessione fondamentale tra leggi di conservazione e simmetrie differenziabili all'interno di un sistema fisico. Il suo articolo fondamentale, intitolato Invariante Variationsprobleme, fu presentato dal suo collega, Felix Klein, il 26 luglio 1918, durante una sessione della Royal Society of Sciences a Göttingen. Nessuna delle due presumibilmente ha presentato il lavoro personalmente, a causa della sua non appartenenza alla società. Nella loro pubblicazione Symmetry and the Beautiful Universe, i fisici americani Leon M. Lederman e Christopher T. Hill sostengono che il teorema di Noether è "certamente uno dei teoremi matematici più importanti mai dimostrati nel guidare lo sviluppo della fisica moderna, forse alla pari con il teorema di Pitagora".

La conclusione della prima guerra mondiale e la successiva rivoluzione tedesca del 1918-1919 determinarono cambiamenti sostanziali nelle norme sociali, comprendendo un'espansione dei diritti delle donne. Di conseguenza, nel 1919, l'Università di Gottinga autorizzò Noether a conseguire la sua abilitazione, un prerequisito per il possesso di ruolo. Il suo esame orale ebbe luogo alla fine di maggio, seguito dal successo della sua lezione di abilitazione nel giugno 1919. Noether successivamente ottenne lo status di privatdozent e durante il successivo semestre autunnale presentò le lezioni inaugurali che le erano state ufficialmente attribuite. Nonostante questi progressi, ha continuato a non ricevere alcun compenso per i suoi contributi accademici.

Tre anni dopo, Otto Boelitz, ministro prussiano della scienza, dell'arte e della pubblica istruzione, le conferì formalmente il titolo di nicht beamteter ausserordentlicher Professor, che significa professore non di ruolo con responsabilità amministrative interne limitate. Questa designazione rappresentava una cattedra "straordinaria" non retribuita, distinta dalla cattedra "ordinaria" più anziana, che costituiva un incarico di servizio civile. Pur riconoscendo l'importanza dei suoi contributi, questo ruolo non includeva uno stipendio. Le lezioni di Noether rimasero non retribuite fino alla sua nomina al ruolo specializzato di Lehrbeauftragte für Algebra (Docente di Algebra) l'anno successivo.

Contributi all'algebra astratta

Il teorema di Noether influenzò profondamente la meccanica classica e quantistica; tuttavia, all'interno della comunità matematica, è riconosciuta principalmente per i suoi contributi fondamentali all'algebra astratta. Nathan Jacobson, nella sua introduzione ai Collected Papers di Noether, afferma che:

Lo sviluppo dell'algebra astratta, un'innovazione singolarmente distintiva nella matematica del ventesimo secolo, è in gran parte attribuibile ai suoi contributi, evidenti negli articoli pubblicati, nelle conferenze e nell'influenza personale sui suoi contemporanei.

Noether iniziò la sua ricerca algebrica nel 1920, scrivendo un articolo insieme al suo protetto Werner Schmeidler. Questa pubblicazione si concentrava sulla teoria degli ideali, in cui stabilivano le definizioni per gli ideali sinistro e destro all'interno di una struttura ad anello.

L'anno successivo pubblicò Idealtheorie in Ringbereichen, un articolo che analizzava le condizioni della catena ascendente riguardanti gli ideali matematici. In questo lavoro, ha fornito una dimostrazione completa del teorema di Lasker-Noether. L'eminente algebrista Irving Kaplansky definì questo contributo "rivoluzionario". Questa pubblicazione portò anche alla coniazione del termine Noetheriano per descrivere oggetti matematici che soddisfano la condizione della catena ascendente.

Nel 1924, Bartel Leendert van der Waerden, un giovane matematico olandese, iniziò i suoi studi presso l'Università di Göttingen. Collaborò prontamente con Noether, che gli fornì metodologie indispensabili per la concettualizzazione astratta. Van der Waerden ha successivamente osservato che la sua originalità era "assoluta senza paragoni". Al suo ritorno ad Amsterdam, scrisse Moderne Algebra, un trattato fondamentale in due volumi in questo campo. Il secondo volume, pubblicato nel 1931, si ispirava ampiamente alla ricerca di Noether. Sebbene Noether non abbia cercato attivamente il riconoscimento, van der Waerden ha riconosciuto i suoi contributi in una nota all'interno della settima edizione, affermando che il lavoro era "basato in parte su lezioni di E. Artin ed E. Noether". Dal 1927 in poi, Noether si impegnò in una stretta collaborazione con Emil Artin, Richard Brauer e Helmut Hasse sul tema delle algebre non commutative.

La presenza di Van der Waerden a Gottinga coincise con un più ampio afflusso di matematici a livello globale, poiché l'università si era evoluta in un centro preminente per la ricerca matematica e fisica. I matematici russi Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn furono tra i primi visitatori internazionali nel 1923. Dal 1926 al 1930, Alexandrov tenne lezioni regolari all'università, coltivando una stretta amicizia con Noether. Si riferiva a lei affettuosamente come der Noether, impiegando der come titolo onorifico piuttosto che come uso convenzionale dell'articolo tedesco maschile. Noether cercò di facilitare la sua nomina a professore ordinario a Gottinga, ma alla fine riuscì solo ad aiutarlo a ottenere una borsa di studio della Fondazione Rockefeller per l'anno accademico 1927-1928 presso l'Università di Princeton.

Studenti di dottorato

A Gottinga, Noether ha supervisionato gli studi di dottorato di oltre dodici studenti; tuttavia, a causa delle restrizioni istituzionali che le impedivano di supervisionare in modo indipendente le dissertazioni, la maggior parte era co-supervisionata con Edmund Landau e altri membri della facoltà. La sua prima studentessa di dottorato fu Grete Hermann, che difese con successo la sua tesi nel febbraio 1925. Sebbene Hermann sia riconosciuta principalmente per i suoi contributi ai fondamenti della meccanica quantistica, la sua tesi stessa fu considerata un progresso significativo nella teoria ideale. Hermann successivamente si riferì a Noether con reverenza come alla sua "madre della dissertazione".

Contemporaneamente, Heinrich Grell e Rudolf Hölzer completarono le loro tesi sotto la guida di Noether. Tragicamente, Hölzer morì di tubercolosi poco prima della sua difesa programmata. Grell difese con successo la sua tesi nel 1926 e successivamente ricoprì incarichi presso l'Università di Jena e l'Università di Halle. Nel 1935 perse la licenza di insegnante in seguito ad accuse di atti omosessuali, ma fu successivamente reintegrato, diventando infine professore all'Università Humboldt nel 1948.

Emmy Noether successivamente consigliò Werner Weber e Jakob Levitzki, i quali difesero entrambi con successo le loro tesi di dottorato nel 1929. Weber, nonostante fosse considerato un matematico di limitata distinzione, in seguito partecipò all'espulsione dei matematici ebrei da Gottinga. Levitzki, al contrario, ha ricoperto incarichi presso l'Università di Yale prima di unirsi all'Università Ebraica di Gerusalemme nella Palestina mandataria governata dagli inglesi, dove ha dato un contributo sostanziale alla teoria degli anelli, in particolare attraverso il teorema di Levitzky e il teorema di Hopkins-Levitzki.

Altri studenti guidati da Noether, spesso definiti "Noether Boys", includevano Max Deuring, Hans Fitting, Ernst Witt, Chiungtze C. Tsen e Otto Schilling. Deuring, ampiamente considerato lo studente più promettente di Noether, conseguì il dottorato nel 1930. La sua carriera lo coinvolse lavorando ad Amburgo, Marden e Gottinga, dove fu riconosciuto per i suoi significativi contributi alla geometria aritmetica. Fitting completò la sua laurea nel 1931 con una tesi incentrata sui gruppi abeliani ed è ricordato per il suo lavoro fondamentale nella teoria dei gruppi, in particolare per il teorema di Fitting e il lemma di Fitting. Morì tragicamente all'età di 31 anni a causa di una malattia alle ossa.

Ernst Witt proseguì inizialmente i suoi studi sotto la guida di Noether; tuttavia, la sua posizione accademica fu revocata nell'aprile 1933, portando alla sua riassegnazione a Gustav Herglotz. Witt ottenne il dottorato di ricerca nel luglio 1933, presentando una tesi sul teorema di Riemann-Roch e sulle funzioni zeta, e successivamente diede numerosi contributi degni di nota che ora sono associati a lui in modo eponimo. Chiungtze C. Tsen, riconosciuto principalmente per aver stabilito il teorema di Tsen, conseguì il dottorato nel dicembre dello stesso anno. Tornò in Cina nel 1935, iniziando la sua carriera di insegnante presso l'Università Nazionale di Chekiang, ma morì solo cinque anni dopo. Anche Otto Schilling iniziò i suoi studi di dottorato con Noether, ma fu costretto a cercare un nuovo supervisore dopo la sua emigrazione. Completò il suo dottorato di ricerca nel 1934 presso l'Università di Marburg sotto la guida di Helmut Hasse. Successivamente, intraprese una ricerca post-dottorato al Trinity College di Cambridge, prima di trasferirsi negli Stati Uniti.

Tra gli altri studenti di dottorato di Noether c'erano Wilhelm Dörnte, che conseguì il dottorato nel 1927 con una tesi sui gruppi; Werner Vorbeck, che completò il suo dottorato nel 1935 con una tesi sulla suddivisione dei campi; e Wolfgang Wichmann, il cui dottorato nel 1936 si concentrò sulla teoria p-adica. Sebbene i dettagli riguardanti Dörnte e Vorbeck non siano disponibili, è documentato che Wichmann sostenne attivamente un'iniziativa studentesca che cercò senza successo di ribaltare il licenziamento di Noether. Successivamente morì come soldato sul fronte orientale durante la seconda guerra mondiale.

La scuola Noether

Oltre ai suoi studenti di dottorato diretti, Noether coltivò una stretta comunità di matematici che abbracciarono la sua metodologia nell'algebra astratta e fecero avanzare significativamente lo sviluppo del campo; questo collettivo è spesso chiamato la "scuola Noether". Un esempio notevole di questa collaborazione è il suo ampio lavoro con Wolfgang Krull, i cui contributi, inclusi il suo Hauptidealsatz e la teoria delle dimensioni per gli anelli commutativi, hanno sostanzialmente dato impulso all'algebra commutativa. Allo stesso modo, Gottfried Köthe avanzò la teoria delle quantità ipercomplesse applicando metodi sviluppati da Noether e Krull.

Oltre al suo profondo acume matematico, Noether era stimata per la sua considerazione interpersonale. Sebbene occasionalmente mostrasse bruscità nei confronti dei colleghi dissenzienti, coltivò una reputazione di disponibilità e paziente tutoraggio degli studenti nascenti. Il suo incrollabile impegno per la precisione matematica ha spinto un collega a definirla "una critica severa", eppure ha armonizzato questa rigorosa richiesta di accuratezza con un comportamento solidale e incoraggiante. Nel necrologio di Noether, Van der Waerden ha offerto la seguente descrizione:

Completamente priva di ego e vanità, non ha mai cercato il riconoscimento personale, ma piuttosto ha dato priorità e sostenuto i risultati dei suoi studenti sopra ogni altra cosa.

Noether ha dimostrato una dedizione eccezionale sia alla sua disciplina che ai suoi studenti, estendendosi ben oltre le ore accademiche convenzionali. In un'occasione, quando l'edificio universitario era inaccessibile a causa di una festività nazionale, convocò la classe sui gradini esterni, li guidò attraverso una zona boscosa e tenne la sua conferenza in un caffè vicino. Successivamente, in seguito al suo licenziamento dall'insegnamento da parte della Germania nazista, invitò gli studenti nella sua residenza, dove si impegnarono in discussioni sui loro progetti futuri e su vari concetti matematici.

Lezioni di grande impatto

Inizialmente, lo stile di vita austero di Noether derivava dal rifiuto dell'università di ricompensarla per i suoi contributi accademici. Anche dopo che l'università iniziò a pagarle un modesto stipendio nel 1923, mantenne un'esistenza semplice e discreta. Anche se la sua retribuzione aumentò più avanti nella sua vita, risparmiò costantemente la metà dei suoi guadagni con l'intenzione di lasciarli in eredità a suo nipote, Gottfried E. Noether.

I biografi indicano che Emmy Noether dava priorità alle sue attività accademiche rispetto alle preoccupazioni relative all'aspetto personale e all'etichetta sociale. Olga Taussky-Todd, un'eminente algebrista che studiò con Noether, raccontò un caso durante un pranzo in cui Noether, profondamente assorbito in una discussione di matematica, "gesticolava selvaggiamente" mentre mangiava, "versò costantemente il cibo" e "se lo asciugò dal vestito, completamente imperturbabile". Secondo quanto riferito, gli studenti attenti al decoro sarebbero rimasti sconcertati dal fatto che lei avesse recuperato un fazzoletto dalla camicetta e dal suo disprezzo per i suoi capelli sempre più arruffati durante le lezioni. In un'occasione, due studentesse hanno tentato di esprimere le loro preoccupazioni durante una pausa in una lezione di due ore, ma non sono riuscite a interrompere il suo animato discorso matematico con gli altri studenti.

Le lezioni di No non erano strutturate da un programma di lezione formale. La sua rapidità di esposizione ha reso le sue presentazioni difficili da comprendere per molti, inclusi i matematici di rilievo Carl Ludwig Siegel e Paul Dubreil. Gli studenti che trovavano il suo approccio pedagogico poco congeniale spesso sperimentavano un senso di distacco. Gli "estranei" in visita che assistevano alle lezioni di Noether spesso se ne andavano entro trenta minuti, citando frustrazione o confusione. Uno studente regolare una volta osservò un simile evento, affermando: "Il nemico è stato sconfitto; se n'è andato."

Noether utilizzava le sue lezioni come forum interattivo per discussioni spontanee con i suoi studenti, facilitando l'esplorazione e la delucidazione di importanti problemi matematici. Molte delle sue scoperte più cruciali sono emerse da queste sessioni di lezioni, e gli appunti compilati dai suoi studenti successivamente sono serviti come materiale fondamentale per libri di testo influenti, compresi quelli scritti da van der Waerden e Deuring. Instillò un contagioso fervore matematico nei suoi studenti più impegnati, che apprezzavano molto i loro dinamici scambi intellettuali con lei.

Molti colleghi di Noether frequentavano le sue lezioni e lei occasionalmente permetteva ad altri, compresi i suoi studenti, di ricevere attribuzioni per i suoi concetti, portando una parte sostanziale dei suoi contributi ad apparire in pubblicazioni che non portavano il suo nome. I registri indicano che Noether ha tenuto un minimo di cinque corsi semestrali a Göttingen:

• Inverno 1924–1925: Gruppentheorie und hyperkomplex Zahlen [Teoria dei gruppi e numeri ipercomplessi]
• Inverno 1927–1928: Hyperkomplex Grössen und Darstellungstheorie [Quantità ipercomplesse e teoria delle rappresentazioni]
• Estate 1928: Nichtkommutative Algebra [Algebra non commutativa]
• Estate 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Aritmetica non commutativa]
• Inverno 1929–1930: Algebra der hyperkomplexen Grössen [Algebra delle quantità ipercomplesse]

Università statale di Mosca

Durante l'anno accademico 1928-1929, Noether accettò un invito all'Università statale di Mosca, dove riprese la sua collaborazione con P. S. Alexandrov. Oltre alla sua ricerca continua, ha tenuto corsi di algebra astratta e geometria algebrica. Ha anche collaborato con gli illustri topologi Lev Pontryagin e Nikolai Chebotaryov, entrambi i quali successivamente hanno lodato i suoi significativi contributi al progresso della teoria di Galois.

Sebbene la politica non fosse l'obiettivo principale della sua vita, Noether dimostrò un forte interesse per gli affari politici e, come notato da Alexandrov, espresse un sostanziale sostegno alla rivoluzione russa. Accolse con particolare favore i progressi sovietici nella scienza e nella matematica, considerandoli come una prova delle nuove possibilità promosse dall'iniziativa bolscevica. Questa prospettiva le causò difficoltà in Germania, culminate con la sua espulsione da un alloggio pensionistico dopo che i leader studenteschi avevano presentato denunce per aver convissuto con "un'ebrea di tendenza marxista". Hermann Weyl raccontò che "Durante i tempi selvaggi dopo la Rivoluzione del 1918," Noether "si schierò più o meno con i socialdemocratici". Fu affiliata ai Socialdemocratici Indipendenti, un partito scissionista di breve durata, dal 1919 al 1922. Il logico e storico Colin McLarty caratterizzò la sua posizione affermando: "non era una bolscevica, ma non aveva paura di essere chiamata tale". Dopo la sua partenza dalla Germania nel 1933, Alexandrov tentò di facilitare la sua nomina a una cattedra presso l'Università statale di Mosca tramite il Ministero dell'Istruzione sovietico. Sebbene questo tentativo non ebbe successo, mantennero una frequente corrispondenza per tutti gli anni '30 e nel 1935 lei aveva formulato piani per un ritorno in Unione Sovietica.

Riconoscimento

Nel 1932, Emmy Noether ed Emil Artin furono insigniti dell'Ackermann–Teubner Memorial Award per i loro significativi contributi matematici. Il premio, che includeva un premio in denaro di 500 ℛ︁ℳ︁, è stato ampiamente considerato come un tardivo riconoscimento ufficiale dei suoi sostanziali risultati nella disciplina. Nonostante questo riconoscimento, i suoi colleghi espressero insoddisfazione per il fatto che non fosse stata eletta alla Gesellschaft der Wissenschaften (accademia delle scienze) di Göttingen e non avesse mai raggiunto il grado di Ordentlicher Professor (professore ordinario).

Nel 1932, il cinquantesimo compleanno di Noether fu commemorato dai suoi colleghi in un modo caratteristico dei matematici. Helmut Hasse le dedicò un articolo sui Mathematische Annalen, in cui sosteneva la sua ipotesi secondo cui alcuni aspetti dell'algebra non commutativa sono meno complessi delle loro controparti commutative, attraverso la dimostrazione di una legge di reciprocità non commutativa. Questa scoperta le diede una notevole soddisfazione. Inoltre, Hasse le presentò un enigma matematico, chiamato "l'enigma delle sillabe m_μν", che lei prontamente risolse; tuttavia, l'enigma stesso non esiste più.

Nel settembre dello stesso anno, Noether presentò un discorso plenario (großer Vortrag) intitolato "Sistemi ipercomplessi nelle loro relazioni con l'algebra commutativa e con la teoria dei numeri" al Congresso internazionale dei matematici di Zurigo. Il congresso attirò 800 partecipanti, tra cui i suoi colleghi Hermann Weyl, Edmund Landau e Wolfgang Krull. L'evento ha visto la partecipazione di 420 partecipanti ufficiali e ventuno presentazioni plenarie. Il distinto modo di parlare di Noether apparentemente sottolineava l'importanza dei suoi contributi matematici. Il congresso del 1932 viene talvolta definito l'apice del suo percorso professionale.

Licenziamento da Gottinga da parte della Germania nazista

Dopo la nomina di Adolf Hitler a Reichskanzler tedesco nel gennaio 1933, le attività naziste si intensificarono in modo significativo in tutta la nazione. All'Università di Gottinga, l'Associazione studentesca tedesca guidò una campagna contro lo "spirito antitedesco" associato agli individui ebrei, ricevendo il sostegno di privatdozent e dell'ex studente di Noether, Werner Weber. Questo antisemitismo pervasivo favorì un ambiente apertamente ostile nei confronti dei professori ebrei. Un giovane manifestante avrebbe affermato: "Gli studenti ariani chiedono la matematica ariana, non la matematica ebraica".

Tra le prime misure legislative emanate dall'amministrazione di Hitler c'era la legge per il ripristino del servizio civile professionale. Questa legislazione imponeva il licenziamento di individui ebrei e impiegati governativi politicamente sospetti, compresi professori universitari, dai loro incarichi, a meno che non potessero dimostrare la loro "lealtà alla Germania" prestando servizio nella prima guerra mondiale. Nell'aprile 1933, Noether ricevette una notifica ufficiale dal Ministero prussiano per le scienze, le arti e la pubblica istruzione, che affermava: "Sulla base del paragrafo 3 del Codice della funzione pubblica del 7 aprile 1933, ti tolgo il diritto di insegnare all'Università di Gottinga." Allo stesso tempo, anche molti colleghi di Noether, come Max Born e Richard Courant, hanno subito la revoca delle loro nomine.

Noether ha risposto alla decisione con compostezza, offrendo assistenza agli altri in mezzo alle avversità prevalenti. Hermann Weyl successivamente osservò che "Emmy Noether - il suo coraggio, la sua franchezza, la sua indifferenza per il proprio destino, il suo spirito conciliante - era in mezzo a tutto l'odio e la meschinità, la disperazione e il dolore che ci circondavano, un conforto morale". Tipicamente, Noether mantenne la sua attenzione sulle attività matematiche, convocando gli studenti nella sua residenza per deliberare sulla teoria dei campi di classe. Quando una delle sue studentesse si è presentata con l'uniforme dell'organizzazione paramilitare nazista Sturmabteilung (SA), non ha mostrato segni di disagio e, secondo quanto riferito, in seguito ha persino trovato divertente la situazione.

Cerca rifugio a Bryn Mawr e Princeton

Mentre numerosi professori recentemente disoccupati cercavano lavoro oltre i confini della Germania, i loro colleghi negli Stati Uniti si sforzavano di offrire sostegno e opportunità professionali. Albert Einstein e Hermann Weyl si assicurarono incarichi presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, mentre altri accademici lavorarono per identificare gli sponsor essenziali per l'immigrazione legale. Nessuno dei due ha ricevuto aperture da rappresentanti di due istituzioni accademiche: il Bryn Mawr College negli Stati Uniti e il Somerville College presso l'Università di Oxford in Inghilterra. A seguito di ampie discussioni con la Fondazione Rockefeller, fu approvata una sovvenzione affinché Noether potesse unirsi a Bryn Mawr, dove iniziò il suo nuovo ruolo alla fine del 1933.

Durante il suo mandato a Bryn Mawr, Noether stabilì un'amicizia con Anna Wheeler, che aveva precedentemente proseguito gli studi a Gottinga prima dell'arrivo di Noether. Ulteriore sostegno istituzionale fu fornito dal presidente di Bryn Mawr, Marion Edwards Park, che incoraggiò attivamente i matematici locali a osservare il lavoro del dottor Noether.

Mentre era a Bryn Mawr, Noether coltivò un gruppo di ricerca, informalmente noto come le "ragazze Noether", comprendente quattro ricercatrici post-dottorato: Grace Shover Quinn, Marie Johanna Weiss e Olga Taussky-Todd, che successivamente raggiunsero tutte carriere illustri in matematica e una studentessa di dottorato, Ruth Stauffer. Questo gruppo si è impegnato diligentemente con la Moderne Algebra I di van der Waerden e con brani tratti dalla Theorie der algebraischen Zahlen (Teoria dei numeri algebrici) di Erich Hecke. Ruth Stauffer era l'unica dottoranda di Noether negli Stati Uniti; tuttavia, Noether morì poco prima della laurea di Stauffer. Stauffer completò con successo il suo esame di dottorato con Richard Brauer, conseguendo la laurea nel giugno 1935 con una tesi sulle estensioni normali separabili. Dopo il dottorato, Stauffer intraprese una breve carriera nell'insegnamento prima di dedicarsi per oltre tre decenni al lavoro come statistico.

Nel 1934, Noether iniziò a tenere lezioni presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, a seguito di un invito esteso da Abraham Flexner e Oswald Veblen. Durante questo periodo, ha collaborato con Abraham Albert e Harry Vandiver. Per quanto riguarda l'Università di Princeton, ha commentato in particolare il suo status percepito come sgradito presso "l'università maschile, dove non è ammessa nessuna donna".

Il mandato di Noether negli Stati Uniti si è rivelato piacevole, caratterizzato da un ambiente accademico favorevole e da un profondo impegno con i suoi interessi di ricerca primari. A metà del 1934, fece una breve nota. Fritz Noether, dopo essere stato licenziato dalla Technische Hochschule Breslau, aveva successivamente accettato un incarico presso l'Istituto di ricerca di matematica e meccanica di Tomsk, situato nel distretto federale siberiano della Russia.

Sebbene numerosi ex colleghi fossero stati spostati dalle loro posizioni universitarie, a Noether fu permesso di utilizzare le strutture della biblioteca di Gottinga come "studioso straniero". Successivamente, è tornata negli Stati Uniti senza incidenti, riprendendo i suoi studi accademici presso Bryn Mawr.

Morte

Nell'aprile 1935, i professionisti medici identificarono un tumore nella pelvi di Noether. Le preoccupazioni riguardanti le potenziali complicanze chirurgiche hanno portato ad un periodo preliminare di riposo a letto di due giorni. Durante l'operazione successiva fu scoperta una cisti ovarica, descritta come "delle dimensioni di un grande melone". Due tumori uterini più piccoli apparivano benigni e non sono stati asportati per evitare di prolungare la durata dell'intervento. Per tre giorni dopo l'intervento, Noether ha mostrato una normale convalescenza e si è ripresa rapidamente da un collasso circolatorio il quarto giorno. Tuttavia, il 14 aprile, Noether ha perso conoscenza, la sua temperatura è salita a 42,8 ° C (109 ° F) e ha ceduto. Un medico curante ha osservato: "[Non] è facile dire cosa fosse successo al dottor Noether", postulando: "È possibile che ci fosse qualche forma di infezione insolita e virulenta, che ha colpito la base del cervello dove dovrebbero essere localizzati i centri di calore. " Aveva 53 anni al momento della sua scomparsa.

Giorni successivi alla morte di Noether, i suoi amici e colleghi hanno celebrato una cerimonia commemorativa privata a Bryn Mawr, ospitata nella residenza del College President Park. Hermann Weyl e Richard Brauer si sono recati da Princeton per pronunciare gli elogi. Nei mesi successivi, numerosi tributi scritti emersero a livello internazionale, con figure importanti come Albert Einstein, van der Waerden, Weyl e Pavel Alexandrov che offrirono i loro omaggi. I suoi resti furono cremati e le ceneri furono sepolte sotto la passerella che circondava i chiostri della Vecchia Biblioteca a Bryn Mawr.

Contributi a matematica e fisica

I contributi di Noether all'algebra astratta e alla topologia influenzarono in modo significativo il campo della matematica; allo stesso tempo, il teorema di Noether ha ampie implicazioni per la fisica teorica e i sistemi dinamici. Ha dimostrato una profonda attitudine per la concettualizzazione astratta, consentendole di formulare approcci nuovi e innovativi ai problemi matematici. Il suo stimato collega e amico, Hermann Weyl, ha classificato i suoi successi accademici in tre periodi distinti:

(1) Il periodo di dipendenza relativa, dal 1907 al 1919.

(2) Ricerche incentrate sulla teoria generale degli ideali, condotte dal 1920 al 1926.

(3) L'esame delle algebre non commutative, le loro rappresentazioni attraverso trasformazioni lineari e la loro successiva applicazione all'analisi dei campi di numeri commutativi e dei loro associati aritmetica.

Durante il suo primo periodo (1907-1919), Noether si occupò principalmente di invarianti differenziali e algebrici, iniziando con la sua ricerca di dottorato sotto Paul Gordan. Il suo ambito matematico si espanse e il suo lavoro si evolse verso una maggiore generalità e astrazione, attraverso il suo impegno con i contributi di David Hilbert e gli scambi collaborativi con il successore di Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Subito dopo essersi trasferita a Gottinga nel 1915, stabilì i due teoremi di Noether, riconosciuti come "uno dei teoremi matematici più importanti mai dimostrati nel guidare lo sviluppo della fisica moderna".

Nella sua seconda epoca (1920-1926), Noether dedicò i suoi sforzi al progresso della teoria degli anelli matematici. Successivamente, nella terza epoca (1927-1935), si concentrò sull'algebra non commutativa, sulle trasformazioni lineari e sui campi numerici commutativi. Sebbene i risultati della prima epoca di Noether fossero degni di nota e preziosi, la sua importanza tra i matematici è principalmente attribuita ai contributi pionieristici forniti durante la sua seconda e terza epoca, come evidenziato nei suoi necrologi da Hermann Weyl e B. L. van der Waerden.

In queste epoche, lei non applicò semplicemente idee e metodologie esistenti dei matematici precedenti; formulò invece nuovi sistemi di definizioni matematiche che successivamente influenzarono i futuri sforzi matematici. Nello specifico, stabilì una teoria completamente nuova degli ideali negli anelli, estendendo il lavoro fondamentale di Richard Dedekind. Inoltre, è nota per aver introdotto condizioni di catena ascendente, un semplice criterio di finitezza che si è rivelato straordinariamente efficace nelle sue applicazioni. Queste condizioni, insieme alla teoria degli ideali, permisero a Noether di generalizzare numerose scoperte precedenti e di affrontare problemi consolidati da un nuovo punto di vista, inclusi gli invarianti algebrici, un argomento precedentemente esplorato da suo padre, e la teoria dell'eliminazione.

I contributi fondamentali di Noether alla matematica implicarono l'avanzamento del nascente campo dell'algebra astratta.

Distinguendola da molti contemporanei, l'approccio di Noether all'astrazione non implicava la generalizzazione da esempi specifici; invece, si è impegnata direttamente con concetti astratti. Come raccontato da van der Waerden nel suo necrologio,

La massima che ha guidato Emmy Noether nel suo lavoro potrebbe essere formulata come segue: "Qualsiasi relazione tra numeri, funzioni e operazioni diventa trasparente, generalmente applicabile e pienamente produttiva solo dopo essere stata isolata dai suoi oggetti particolari e formulata come concetti universalmente validi."

Questo approccio esemplifica la begriffliche Mathematik (matematica puramente concettuale), un segno distintivo della metodologia di Noether. Successivamente, questo stile matematico venne adottato da altri matematici, in particolare nel dominio emergente dell'algebra astratta.

Prima epoca (1908-1919)

Teoria degli invarianti_algebrici

Una parte significativa degli inizi della carriera di Noether, durante la sua prima epoca, si concentrò sulla teoria degli invarianti, in particolare sulla teoria degli invarianti algebrici. La teoria degli invarianti indaga le espressioni matematiche che mantengono il loro valore (cioè rimangono invarianti) sotto specifici gruppi di trasformazioni. Ad esempio, in una comune analogia fisica, la rotazione di un metro rigido altera le coordinate dei suoi punti finali, ma la sua lunghezza rimane invariata. Un'illustrazione più complessa di un invariante è il discriminante B§56§ − 4AC di un polinomio quadratico omogeneo Ax§1314§ + Bxy + Cy§1920§, dove x e y rappresentano indeterminati. Questo discriminante è chiamato "invariante" a causa della sua costanza sotto sostituzioni lineari x → ax + by e y → cx + dy, a condizione che il loro determinante ad − bc sia uguale a 1. Collettivamente, queste sostituzioni costituiscono lo speciale gruppo lineare SL§5152§.

L'indagine può estendersi all'identificazione di tutti i polinomi in A, B e C che rimangono invarianti sotto l'azione di SL§910§; questi sono, infatti, polinomi del discriminante. Più in generale, si possono cercare gli invarianti di polinomi omogenei di grado superiore, come A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r, che si manifestano come polinomi specifici nei coefficienti A§4344§, ..., A_r. Questa linea di domande può essere ulteriormente estesa a polinomi omogenei che coinvolgono più di due variabili.

Un obiettivo primario della teoria degli invarianti prevedeva la risoluzione del "problema delle basi finite". Questo problema indagava se tutti gli invarianti potessero essere derivati ​​da un insieme finito di invarianti iniziali, chiamati generatori, attraverso addizione o moltiplicazione iterativa, dato che anche la somma o il prodotto di due invarianti qualsiasi costituisce un invariante. Ad esempio, il discriminante fornisce una base finita, comprendente un singolo elemento, per gli invarianti di un polinomio quadratico.

Paul Gordan, consigliere accademico di Noether, si guadagnò la fama di "re della teoria degli invarianti", con il suo fondamentale contributo matematico essendo la risoluzione del 1870 del problema delle basi finite per gli invarianti di polinomi omogenei in due variabili. La dimostrazione di Gordan ha presentato una metodologia costruttiva per identificare tutti gli invarianti e i loro rispettivi generatori; tuttavia, non poteva estendere questo approccio agli invarianti che coinvolgevano tre o più variabili. Successivamente, nel 1890, David Hilbert stabilì un teorema analogo per gli invarianti di polinomi omogenei su un numero arbitrario di variabili. In particolare, la metodologia di Hilbert si applicava non solo allo speciale gruppo lineare ma anche a vari dei suoi sottogruppi, incluso lo speciale gruppo ortogonale.

Emulando il percorso accademico di Gordan, Noether dedicò la sua tesi di dottorato e diverse pubblicazioni successive alla teoria degli invarianti. Il suo lavoro ha ampliato le scoperte di Gordan e ha integrato la ricerca di Hilbert. Tuttavia, in seguito espresse disprezzo per questo primo lavoro, ritenendolo di minore importanza e confessando di aver dimenticato le sue specifiche complessità. Hermann Weyl osservò:

[Un] contrasto maggiore è difficilmente immaginabile di quello tra il suo primo articolo, la tesi, e i suoi lavori della maturità; poiché il primo è un esempio estremo di calcoli formali e i secondi costituiscono un esempio estremo e grandioso di pensiero assiomatico concettuale in matematica.

Teoria di Galois

La teoria di Galois studia le trasformazioni all'interno dei campi numerici che riordinano le radici di un'equazione. Consideriamo un'equazione polinomiale che coinvolge una variabile x di grado n, dove i suoi coefficienti hanno origine da un campo fondamentale specificato, come il campo dei numeri reali, dei numeri razionali o degli interi modulo 7. Le soluzioni per x che fanno sì che questo polinomio venga valutato a zero sono chiamate radici, sebbene tali soluzioni potrebbero non sempre esistere all'interno del campo iniziale. Ad esempio, se il polinomio è x§1516§ + 1 e il campo base sono i numeri reali, non esistono radici, poiché qualsiasi valore reale per x fa sì che il polinomio sia maggiore o uguale a uno. Tuttavia, l'estensione del campo può introdurre radici, e un campo sufficientemente esteso conterrà invariabilmente un numero di radici equivalente al grado del polinomio.

Estendendo l'illustrazione precedente, se il campo viene espanso per comprendere numeri complessi, il polinomio acquisisce due radici: +i e −i, dove i rappresenta l'unità immaginaria, definita per i ² = −1. In generale, il campo di estensione all'interno del quale un polinomio può essere completamente scomposto nelle sue radici costituenti è designato come campo di suddivisione di quel polinomio.

Il gruppo di Galois di un polinomio è definito come l'insieme di tutte le trasformazioni del suo campo di scissione che mantengono sia il campo fondamentale che le radici del polinomio. (Queste trasformazioni sono specificatamente chiamate automorfismi.) Per il polinomio x§45§ + 1, il suo gruppo di Galois comprende due elementi: la trasformazione dell'identità, che mappa ogni numero complesso su se stesso, e la coniugazione complessa, che trasforma +i in −i. Poiché il gruppo di Galois preserva il campo terrestre, lascia di conseguenza inalterati i coefficienti del polinomio e, per estensione, l'intero insieme delle radici. Ogni radice può essere mappata su un'altra radice, il che implica che ogni trasformazione stabilisce una permutazione tra le n radici. La profonda importanza del gruppo di Galois deriva dal teorema fondamentale della teoria di Galois, che dimostra una corrispondenza biunivoca tra i campi intermedi situati tra il campo terrestre e il campo di scissione, e i sottogruppi del gruppo di Galois.

La pubblicazione di Noether del 1918 affrontava il problema inverso di Galois. Piuttosto che concentrarsi sull'identificazione del gruppo di trasformazioni di Galois per un campo specifico e la sua estensione, Noether ha indagato se si potesse invariabilmente scoprire che un'estensione di un dato campo possiede un particolare gruppo come suo gruppo di Galois. Successivamente questa domanda è stata ridotta al "problema di Noether", che chiede se il campo fisso di un sottogruppo G all'interno del gruppo di permutazioni S_n, quando agisce sul campo k(x§1516§, ..., x_n), costituisce coerentemente una pura estensione trascendentale del campo k. Noether presentò inizialmente questo problema in un articolo del 1913, attribuindone l'origine al suo collega Fischer. Ne dimostrò la validità per i casi in cui n è uguale a 2, 3 o 4. Tuttavia, nel 1969, Richard Swan identificò un controesempio al problema di Noether, coinvolgendo specificamente n = 47 e G come gruppo ciclico di ordine 47 (nonostante questo particolare gruppo sia realizzabile come gruppo di Galois sui razionali attraverso costruzioni alternative). Il problema inverso di Galois continua a essere una sfida matematica irrisolta.

Fisica

Nel 1915, David Hilbert e Felix Klein invitarono Noether a Gottinga, cercando la sua conoscenza specializzata nella teoria degli invarianti per aiutarli a comprendere la relatività generale, una teoria geometrica della gravitazione sviluppata principalmente da Albert Einstein. Hilbert aveva notato un'apparente violazione della conservazione dell'energia all'interno della relatività generale, attribuendola alla capacità dell'energia gravitazionale di esercitare la propria influenza gravitazionale. Noether risolse questo paradosso e introdusse uno strumento fondamentale per la fisica teorica moderna in una pubblicazione del 1918. Questo articolo fondamentale introduce due teoremi, il primo dei quali è universalmente riconosciuto come il teorema di Noether. Collettivamente, questi teoremi non solo affrontarono la questione nell'ambito della relatività generale, ma stabilirono anche le quantità conservate per ogni sistema fisico caratterizzato da simmetria continua. In seguito alla revisione del suo lavoro, Einstein comunicò a Hilbert:

Ieri ho ricevuto un articolo molto interessante sugli invarianti dalla signorina Noether. Sono impressionato dalla capacità di comprendere tali concetti con tale generalità. Gli accademici affermati di Gottinga dovrebbero imparare dalla signorina Noether; la sua competenza sembra profonda.

Ad esempio, se un sistema fisico mostra un comportamento identico indipendentemente dal suo orientamento spaziale, le sue leggi fisiche che lo governano sono considerate rotazionalmente simmetriche; Il teorema di Noether dimostra che questa simmetria richiede la conservazione del momento angolare del sistema. Il sistema fisico stesso non richiede simmetria intrinseca; per esempio, un asteroide frastagliato che ruota nello spazio conserva ancora il momento angolare nonostante la sua forma irregolare. La legge di conservazione nasce invece dalla simmetria insita nelle leggi fisiche che governano il sistema. Inoltre, se un esperimento fisico produce risultati coerenti indipendentemente dalla sua posizione o tempo, le sue leggi sottostanti possiedono simmetria sotto continue traslazioni spaziali e temporali; Il teorema di Noether stabilisce che queste simmetrie corrispondono rispettivamente alle leggi di conservazione della quantità di moto lineare e dell'energia all'interno di quel sistema.

Contemporaneamente, i fisici non avevano familiarità con la teoria dei gruppi continui di Sophus Lie, che costituiva la base fondamentale per il lavoro di Noether. Un numero significativo di fisici si imbatté inizialmente nel teorema di Noether attraverso un articolo di Edward Lee Hill, che, tuttavia, presentava solo un esempio specializzato del teorema. Di conseguenza, le implicazioni generali delle sue scoperte non furono immediatamente riconosciute. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo, il teorema di Noether si è evoluto in una pietra miliare della fisica teorica moderna, apprezzato sia per le sue profonde intuizioni sulle leggi di conservazione sia per la sua utilità come strumento computazionale pratico. Questo teorema consente ai ricercatori di dedurre quantità conservate direttamente dalle simmetrie osservate inerenti a un sistema fisico. Al contrario, aiuta a caratterizzare un sistema fisico facendo riferimento a categorie di ipotetiche leggi fisiche. Per illustrare, consideriamo l'ipotetica scoperta di un nuovo fenomeno fisico. Il teorema di Noether offre un test cruciale per i modelli teorici che spiegano tale fenomeno: se una teoria incorpora una simmetria continua, il teorema garantisce l'esistenza di una quantità conservata e, affinché la teoria sia valida, questa conservazione deve essere empiricamente verificabile attraverso la sperimentazione.

Seconda epoca (1920–1926)

Condizioni della catena ascendente e discendente

Durante questo periodo, Noether ottenne riconoscimenti per la sua abile applicazione delle condizioni della catena ascendente (Teilerkettensatz) e discendente (Vielfachenkettensatz). Una sequenza ascendente di sottoinsiemi non vuoti, come A§78§, A§1112§, A§1516§, ..., all'interno di un insieme S è convenzionalmente definita dal fatto che ciascun sottoinsieme è contenuto in quello successivo.

A §1011§ ⊆ A §2122§ ⊆ A §3233§ ⊆ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}

Al contrario, una sequenza di sottoinsiemi all'interno di S è definita discendente quando ciascun sottoinsieme successivo è contenuto nel suo predecessore.

A §1011§ ⊇ A §2122§ ⊇ A §3233§ ⊇ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}

Una catena è definita come diventa costante dopo un numero finito di passaggi se esiste un numero intero n tale che ${\displaystyle A_{n}=A_{m}}$ per tutti i m ≥ n. La condizione della catena ascendente è soddisfatta da una raccolta di sottoinsiemi all'interno di un dato insieme se ogni sequenza ascendente alla fine si stabilizza. Allo stesso modo, la condizione della catena discendente è soddisfatta se anche una qualsiasi sequenza discendente si stabilizza dopo un numero finito di passaggi. Queste condizioni di catena sono strumentali nel dimostrare l'esistenza di elementi massimi o minimi all'interno di qualsiasi insieme di sottooggetti, o nel dimostrare che oggetti complessi possono essere generati da un numero ridotto di elementi costitutivi.

Numerose strutture algebriche nell'algebra astratta possono soddisfare condizioni di catena; tipicamente, coloro che soddisfano una condizione di catena ascendente sono designati come Noetheriani, un tributo ai suoi contributi. Nello specifico, un anello noetheriano è caratterizzato dal soddisfare una condizione di catena ascendente sia sul suo ideale sinistro che su quello destro. Al contrario, un gruppo noetheriano è definito come quello in cui ogni catena di sottogruppi strettamente ascendente è finita. Un modulo noetheriano è un modulo in cui ogni catena di sottomoduli strettamente ascendente si stabilizza dopo un numero finito di passi. Inoltre, uno spazio noetheriano si riferisce a uno spazio topologico i cui sottoinsiemi aperti aderiscono alla condizione di catena ascendente, classificando così lo spettro di un anello noetheriano come spazio topologico noetheriano.

La condizione di catena esibisce spesso una proprietà di ereditarietà tra i sottooggetti. Ad esempio, tutti i sottospazi all'interno di uno spazio noetheriano sono essi stessi noetheriani; allo stesso modo, anche tutti i sottogruppi e i gruppi quoziente derivati ​​da un gruppo noetheriano sono noetheriani. Analogamente, mutatis mutandis, questo principio si estende ai sottomoduli e ai moduli quoziente di un modulo noetheriano. Inoltre, la condizione di catena può essere ereditata da varie combinazioni o estensioni di un oggetto noetheriano. Ad esempio, le somme dirette finite degli anelli noetheriani mantengono la proprietà noetheriana, così come l'anello delle serie di potenze formali costruito su un anello noetheriano.

L'induzione noetheriana, chiamata anche induzione ben fondata, rappresenta un'ulteriore applicazione di queste condizioni della catena e serve come generalizzazione dell'induzione matematica. Questo metodo viene spesso utilizzato per semplificare asserzioni generali riguardanti raccolte di oggetti in affermazioni su oggetti particolari all'interno di tali raccolte. Considera S come un insieme parzialmente ordinato. Un approccio comune per stabilire un'affermazione sugli elementi all'interno di S implica postulare l'esistenza di un controesempio e successivamente derivare una contraddizione, dimostrando così la contropositiva dell'affermazione iniziale. Il principio fondamentale dell'induzione noetheriana asserisce che ogni sottoinsieme non vuoto di S deve contenere un elemento minimo. Nello specifico, la raccolta di tutti i controesempi includerà un elemento minimo, denominato controesempio minimo. Di conseguenza, per convalidare l'affermazione originale, è sufficiente dimostrare una condizione apparentemente meno stringente: che per ogni dato controesempio, esiste un controesempio più piccolo.

Anelli commutativi, ideali e moduli

La pubblicazione fondamentale di Noether del 1921, intitolata Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria degli ideali nei domini degli anelli), stabilì le basi per la teoria generale degli anelli commutativi e presentò una delle prime definizioni complete di anello commutativo. Prima del suo lavoro, la maggior parte delle scoperte nell'algebra commutativa erano limitate a casi specifici di anelli commutativi, inclusi anelli polinomiali su campi o anelli di interi algebrici. Nessuno dei due ha dimostrato che all'interno di qualsiasi anello che soddisfi la condizione della catena ascendente sugli ideali, ogni ideale è infinitamente generato. Il matematico francese Claude Chevalley introdusse il termine anello noetheriano nel 1943 per caratterizzare questa specifica proprietà. Un contributo significativo dell'articolo di Noether del 1921 è il teorema di Lasker-Noether, che amplia il teorema originale di Lasker riguardante la scomposizione primaria degli ideali negli anelli polinomiali per comprendere tutti gli anelli noetheriani. Questo teorema può essere concettualizzato come un'estensione del teorema fondamentale dell'aritmetica, che presuppone che ogni intero positivo possieda un'unica fattorizzazione in numeri primi.

Nella sua pubblicazione del 1927, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Struttura astratta della teoria degli ideali in numeri algebrici e Function Fields), Noether delineò le caratteristiche degli anelli in cui gli ideali mostrano una fattorizzazione unica in ideali primi, ora riconosciuti come domini di Dedekind. Ha dimostrato che questi anelli sono definiti da cinque criteri specifici: devono aderire alle condizioni della catena sia ascendente che discendente, contenere un elemento unitario pur mancando di divisori zero ed essere integralmente chiusi nel corrispondente campo di frazioni. Questo articolo presenta inoltre quelli che oggi sono conosciuti come teoremi di isomorfismo, che chiariscono gli isomorfismi naturali fondamentali, insieme ad altre scoperte fondamentali riguardanti i moduli noetheriani e artiniani.

Teoria dell'eliminazione

Tra il 1923 e il 1924, Noether estese la sua teoria ideale alla teoria dell'eliminazione, utilizzando una formulazione che attribuì al suo studente, Kurt Hentzelt. Il suo lavoro ha dimostrato che i teoremi fondamentali relativi alla fattorizzazione polinomiale erano direttamente trasferibili in questo contesto.

Storicamente, la teoria dell'eliminazione si è concentrata sul processo di rimozione di una o più variabili da un sistema di equazioni polinomiali, spesso utilizzando il metodo delle risultanti. A scopo illustrativo, un sistema di equazioni può spesso essere espresso nella seguente forma:

Mv = 0

In questa rappresentazione, una matrice (o trasformazione lineare) M, indipendente dalla variabile x, moltiplicata per un vettore v (contenente solo potenze diverse da zero di x), produce il vettore zero, §89§. Di conseguenza, il determinante della matrice M deve essere uguale a zero, fornendo così una nuova equazione dalla quale la variabile x è stata eliminata con successo.

Teoria degli invarianti dei gruppi finiti

I metodi precedenti, come la soluzione non costruttiva di Hilbert al problema delle basi finite, non avevano la capacità di fornire dati quantitativi riguardanti gli invarianti di un'azione di gruppo e non erano universalmente applicabili a tutte le azioni di gruppo. Nella sua pubblicazione del 1915, Noether presentò una soluzione al problema delle basi finite per un gruppo finito di trasformazioni G operanti su uno spazio vettoriale a dimensione finita su un campo con caratteristica zero. Le sue scoperte hanno dimostrato che l'anello degli invarianti è generato da invarianti omogenei il cui grado non supera l'ordine del gruppo finito, un principio noto come limite di Noether. Il suo articolo ha fornito due prove per il limite di Noether, entrambe valide anche quando la caratteristica del campo è coprima con ${\displaystyle \left|G\right|!}$ (il fattoriale dell'ordine del gruppo ${\displaystyle \left|G\right|}$). Tuttavia, i gradi dei generatori potrebbero non aderire al limite di Noether se la caratteristica del campo divide il numero ${\displaystyle \left|G\right|}$. Noether non è stato in grado di accertare la validità del limite quando la caratteristica del campo divide ${\displaystyle \left|G\right|!}$ ma non ${\displaystyle \left|G\right|}$. Questo scenario specifico, noto come "gap di Noether", rimase un problema irrisolto per molti anni fino a quando non fu risolto indipendentemente da Fleischmann nel 2000 e Fogarty nel 2001, entrambi dimostrando la continua validità del limite.

La pubblicazione di Noether del 1926 ampliò il teorema di Hilbert per comprendere rappresentazioni di gruppi finiti in qualsiasi campo, in particolare affrontando il nuovo scenario in cui la caratteristica del campo divide il gruppo ordine, un caso non coperto dal lavoro originale di Hilbert. William Haboush successivamente ampliò le scoperte di Noether per includere tutti i gruppi riduttivi attraverso la sua dimostrazione della congettura di Mumford. All'interno di questo stesso articolo, Noether presentò anche il lemma di normalizzazione di Noether, che stabilisce che un dominio finitamente generato A su un campo k contiene un insieme {x§1314§, ..., x_n} di algebricamente indipendenti elementi, tali che A è intero su k[x§3132§, ..., x_n].

Topologia

Hermann Weyl, nel suo necrologio per Noether, ha evidenziato i suoi contributi significativi alla topologia, sottolineando la sua generosità intellettuale e l'impatto trasformativo delle sue intuizioni in varie discipline matematiche. La topologia implica l'esame delle proprietà dell'oggetto che persistono invariate nonostante la deformazione, come la connettività. Un'illustrazione umoristica comune afferma che "un topologo non può distinguere una ciambella da una tazza di caffè," data la loro continua deformabilità l'una nell'altra.

Nessuno dei due è riconosciuto per i concetti fondamentali pionieristici che hanno facilitato l'evoluzione della topologia algebrica dal suo predecessore, la topologia combinatoria, in particolare attraverso l'introduzione di gruppi di omologia. Alexandrov raccontò che durante le lezioni tenute da lui e da Heinz Hopf nel 1926 e nel 1927, Noether "faceva continuamente osservazioni che erano spesso profonde e sottili", elaborando ulteriormente il fatto,

Dopo aver incontrato il quadro sistematico della topologia combinatoria,

ha subito riconosciuto l'importanza di indagare direttamente i gruppi di complessi e cicli algebrici all'interno di un dato poliedro, insieme al sottogruppo di cicli omologhi allo zero. Invece di aderire alla definizione convenzionale dei numeri di Betti, propose di definire il gruppo di Betti come il gruppo quoziente formato dal gruppo di tutti i cicli e dal sottogruppo dei cicli omologhi a zero. Sebbene questa intuizione appaia evidente oggi, rappresentò una prospettiva fondamentalmente nuova durante il periodo 1925-1928.

La proposta di Noether per un approccio algebrico alla topologia fu rapidamente abbracciata da matematici come Hopf e Alexandrov, diventando un importante argomento di dibattito nella comunità matematica di Gottinga. Notò che il suo concetto di gruppo Betti semplificava la comprensione della formula di Eulero-Poincaré, e i successivi contributi di Hopf in questo campo riflettevano la sua influenza. La stessa Noether fece solo brevemente riferimento alle sue intuizioni topologiche in una pubblicazione del 1926, presentandole come un'applicazione della teoria dei gruppi.

Contemporaneamente, questa metodologia algebrica per la topologia emerse in modo indipendente in Austria. Durante un corso tenuto a Vienna nel 1926-1927, Leopold Vietoris introdusse il concetto di gruppo di omologia, che Walther Mayer successivamente formalizzò in una definizione assiomatica nel 1928.

Terza epoca (1927–1935)

Numeri ipercomplessi e teoria della rappresentazione

Nel corso del XIX secolo e dell'inizio del XX secolo furono effettuate ricerche approfondite sui numeri ipercomplessi e sulle rappresentazioni di gruppo, ma questi sforzi mancavano in gran parte di coesione. Noether sintetizzò questi risultati precedenti, stabilendo la prima teoria della rappresentazione generale per gruppi e algebre. A questo singolare contributo di Noether viene attribuito il merito di aver dato inizio a una nuova era nell'algebra moderna e di essersi rivelato fondamentale per la sua successiva evoluzione.

In sostanza, Noether ha integrato la teoria della struttura delle algebre associative e la teoria della rappresentazione dei gruppi in una teoria aritmetica unificata centrata su moduli e ideali all'interno di anelli che soddisfano le condizioni della catena ascendente.

Algebra noncommutativa

Noether fu anche il promotore di numerosi altri progressi nel campo dell'algebra. Collaborando con Emil Artin, Richard Brauer e Helmut Hasse, stabilì la teoria delle algebre semplici centrali.

Una pubblicazione collaborativa di Noether, Hasse e Brauer affrontava le algebre di divisione, che sono strutture algebriche che consentono la divisione. Hanno dimostrato due teoremi significativi: il primo, un teorema locale-globale che afferma che un'algebra di divisione centrale di dimensione finita su un campo numerico, se si divide localmente ovunque, si divide anche a livello globale (diventando così banale); e da questo derivarono il loro Hauptsatz ("teorema principale"):

Ogni algebra di divisione centrale di dimensione finita su un campo numerico algebrico F si divide su un'estensione ciclotomica ciclica.

Questi teoremi facilitano la classificazione di tutte le algebre di divisione centrale di dimensione finita su un campo numerico specificato. Una successiva pubblicazione di Noether dimostrò, come esempio particolare di un teorema più ampio, che tutti i sottocampi massimali di un'algebra di divisione D costituiscono campi di divisione. Questo articolo presenta inoltre il teorema di Skolem-Noether, che presuppone che due qualsiasi incorporazioni di un'estensione di campo k in un'algebra semplice centrale a dimensione finita su k siano coniugate. Il teorema di Brauer–Noether fornisce una caratterizzazione dei campi di divisione per un'algebra di divisione centrale su un campo.

Legacy

I contributi di Noether rimangono pertinenti al progresso della fisica teorica e della matematica, consolidando il suo status di uno dei matematici più importanti del ventesimo secolo. Nel corso della sua vita e fino ai giorni nostri, matematici di spicco tra cui Pavel Alexandrov, Hermann Weyl e Jean Dieudonné hanno acclamato Noether come la matematica donna più eccezionale della storia.

In una lettera indirizzata al The New York Times, Albert Einstein ha articolato:

Secondo il giudizio dei matematici viventi più competenti, Fräulein Noether è stato il genio matematico creativo più significativo finora prodotto da quando è iniziata l'istruzione superiore delle donne. Nel campo dell'algebra, in cui i matematici più dotati si sono impegnati per secoli, ha scoperto metodi che si sono rivelati di enorme importanza nello sviluppo delle giovani generazioni di matematici di oggi.

Nel suo necrologio, il collega algebrista B. L. van der Waerden ha lodato la sua originalità matematica definendola "assoluta senza paragoni", mentre Hermann Weyl ha affermato che i contributi di Noether "hanno cambiato il volto dell'algebra [astratta]". Il matematico e storico Jeremy Gray ha osservato che l'influenza di Noether è evidente in qualsiasi libro di testo di algebra astratta, affermando che "i matematici semplicemente fanno la teoria degli anelli a modo suo". Il suo nome è stato attribuito postumo a numerose entità matematiche e all'asteroide 7001 Noether. Nel 2019, la rivista Time ha commemorato le donne dell'anno dal 1920 creando 89 nuove copertine, selezionando Noether per l'anno 1921.

• Cronologia delle donne nella scienza
• Note

Note

Riferimenti

Fonti

Opere selezionate di Emmy Noether

Libri

Libri

• Phillips, Lee (2024), Il tutor di Einstein: la storia di Emmy Noether e l'invenzione della fisica moderna, PublicAffairs, ISBN 9781541702974Hasse, Helmut; Noether, Emmy (2006), Lemmermeyer, Franz; Roquette, Peter (a cura di), Helmut Hasse und Emmy Noether – Die Korrespondenz 1925–1935 [Helmut Hasse ed Emmy Noether – La loro corrispondenza 1925–1935] (PDF), Università di Göttingen, doi:10.17875/gup2006-49, ISBN 978-3-938616-35-2Articoli
  • Angier, Natalie (26 marzo 2012), "The Mighty Mathematician You've Never Heard Of", The New York Times, consultato il 27 gennaio 2024Blue, Meredith (2001), Galois Theory and Noether's Problem (PDF), 34th Annual Meeting of the Mathematical Association of America, MAA Florida Sezione, archiviato dall'originale (PDF) il 29 maggio 2008, recuperato il 9 giugno 2018Phillips, Lee (26 maggio 2015), "La matematica donna che cambiò il corso della fisica – ma non riuscì a trovare un lavoro", Ars Technica, California: Condé Nast, consultato il 27 gennaio 2024"Special Issue on Women in Mathematics" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 38 (7), Providence, RI: American Mathematical Society: 701–773, settembre 1991, ISSN 0002-9920Shen, Qinna (settembre 2019), "A Refugee Scholar from Nazi Germany: Emmy Noether and Bryn Mawr College", The Mathematical Intelligencer, 41 (3): 52–65, doi:10.1007/s00283-018-9852-0, S2CID 128009850Biografie online
    • Byers, Nina (16 marzo 2001), "Emmy Noether", Contributions of 20th Century Women to Physics, UCLA, archiviato dall'originale il 12 febbraio 2008Taylor, Mandie (22 febbraio 2023), "Emmy Noether", Biografie di donne matematiche, Agnes Scott CollegeChown, Marcus (5 marzo 2025), "Emmy Noether: il genio che insegnò a Einstein", Prospect
      • Emmy Noether al progetto di genealogia matematica
      • Domanda di Noether per l'ammissione all'Università di Erlangen-Norimberga e tre dei suoi curriculum vitae dal sito web della storica Cordula Tollmien

      Media

      • Fotografia di Noether scattata da Hanna Kunsch - Collezioni speciali della Biblioteca del Bryn Mawr College
      • Fotografie di colleghi e conoscenti di Noether dal sito Web di Clark Kimberling