Zexma Platonîk (Platonic solid)

Di geometriyê de, zexmek Platonîk polîhedronake qûç, rêk e di fezaya Ewklîdî ya sê-alî de. Bûyîna polîhedronake rêk tê wê wateyê ku rûyên wê…

Di geometriyê de, Cewherê Platonî wekî polîhedronêkî qûz, rêkûpêk tê pênasekirin ku di nav feza sê-alî ya Euklîdî de cih digire. Taybetmendiya bûyîna polîhedronêkî rêkûpêk tê wateya ku rûyên wê polîgonên rêkûpêk ên hevaheng in, yanî ew di şewe û pîvanê de yek in, xwedî goşeyên hevaheng in, û xwedî keviyên hevaheng in. Herwiha, hejmareke wekhev a rûyan li her lûtkeyê dicivin. Tenê pênc polîhedronên wisa hene: tetrahedrone, ku çar rûyên sêgoşeyî hene; kûb, bi şeş rûyên çargoşeyî; oktahedrone, ku ji heşt rûyên sêgoşeyî pêk tê; dodekahedrone, ku bi diwanzdeh rûyên pêncgoşeyî tê naskirin; û îkosahedrone, ku bîst rûyên sêgoşeyî hene.

Lêkolîna cewherên Platonî bi hezaran salan e ku geometrîzanan mijûl kiriye. Van şeweyên geometrîk navê xwe ji fîlozofê Kevnar ê Yewnanî Platon digirin, ku, di diyalogê xwe yê Timaeus de, anî ziman ku elementên klasîk ên Bingehîn ji van cewherên rêkûpêk pêk hatine.

Dîrok

Hebûna cewherên Platonî ji Serdema Antîk ve hatiye naskirin. Texmîn hene ku hin gogên kevirî yên neqişandî, ku ji aliyê civakên Neolîtîk ên dereng ên li Skotlandê ve hatine çêkirin, dibe ku van şeweyan temsîl bikin. Lêbelê, van berheman girêkên gilover hene li şûna ku avahiyên polîhedral nîşan bidin. Pîvana girêkan gelek caran ji hejmarên lûtkeyên cewherên Platonî cuda bû. Bi taybetî, tu golek bi girêkên ku bi 20 lûtkeyên dodekahedrone re têkildar in nehatiye dîtin, û rêzkirina van girêkan bi domdarî ne sîmetrîk bû.

Lêkolîneke berfireh li ser cewherên Platonî ji aliyê Yewnaniyên Kevnar ve hate kirin. Dema ku hin çavkaniyên dîrokî, wek yên Proclus, vedîtina wan ji Pîtagoras re vedigirin, piştrastên alternatîf destnîşan dikin ku Pîtagoras dibe ku tenê bi tetrahedrone, kûb, û dodekahedrone re nas bûye. Vedîtina oktahedrone û îkosahedrone li şûna wê gelek caran ji Theaetetus, hemdemê Platon, re tê vegotin. Tevî vê yekê, Theaetetus ravekirineke matematîkî ya berfireh a her pênc cewheran pêşkêş kir û dibe ku berpirsiyarê yekemîn piştrasta naskirî be ku ne-hebûna tu polîhedronên rêkûpêk ên qûz ên din nîşan dide.

Cewherên Platonî cihekî girîng di nav felsefeya Platon de digirin, ku navê xwe jê digirin. Platon van şeweyan di diyalogê xwe yê Timaeus de nîqaş kir, ku dora c. 360 B.C. hate nivîsandin, û tê de wî her yek ji çar elementên klasîk—Dinya, hewa, av, û agir—bi cewherekî rêkûpêk ê taybet ve girêda. Dinya bi kûb ve hate girêdan, hewa bi oktahedrone, av bi îkosahedrone, û agir bi tetrahedrone. Derbarê cewherê Platonî yê pêncemîn, dodekahedrone de, Platon gotineke razdar kir, ku anî ziman ku "...xwedê [ew] ji bo rêzkirina komstêrkan li seranserê asîmanê bikar anî." Dûv re, Arîstoteles elementek pêncemîn, aither (di Latînî de wek aether û di Îngilîzî de wek "ether" tê zanîn) destnîşan kir, ku anî ziman ku Qada Asmanî ji vê cewherê pêk hatine, her çend wî hewl neda ku wê bi cewherê pêncemîn ê Platon re hevaheng bike.

Euklîd di berhema xwe ya sereke, Elements de, ravekirineke matematîkî ya berfireh a cisimên Platonîk pêşkêş kir, ku cîlda dawî (Pirtûka XIII) bi tevahî ji taybetmendiyên wan re hatiye veqetandin. Pêşniyarên 13–17 di nav Pirtûka XIII de rêzeya avakirinê ya tetrahedr, oktahedr, kûb, îkosahedr û dodekahedr bi hûrgilî vedibêjin. Ji bo her cisimekî hişk, Euklîd rêjeya di navbera tîreya navîn a kûreya wê ya dorpêçkirî û dirêjahiya keviya wê de diyar kir. Di Pêşniyara 18an de, ew îdîa dike ku tu polîhedrayên birêkûpêk ên qûçî yên din tune ne. Andreas Speiser nêrîna ku avakirina van pênc cisimên birêkûpêk armanca sereke ya pergala deduktîf a ku di Elements de hatiye fermîkirin temsîl dike, pêş xistiye. Beşek girîng ji naveroka ku di Pirtûka XIII de tê dîtin îhtîmal e ku ji berhema Theaetetus a berê hatiye girtin.

Di sedsala 16an de, stêrnasê Alman Johannes Kepler hewl da ku têkiliyekê di navbera pênc gerstêrkên derveyî Erdê yên ku wê demê dihatin zanîn û pênc cisimên Platonîk de saz bike. Di berhema xwe ya Mysterium Cosmographicum de, ku di sala 1596an de hate weşandin, Kepler modelek Pergala Rojê pêşniyar kir ku tê de pênc cisim di nav hev de hatibûn bicihkirin, ku ji hêla rêzikek kûreyên hundirîn û derveyî ve hatibûn veqetandin. Kepler teorîze kir ku têkiliyên dûrahiyê di navbera şeş gerstêrkên ku wê demê hatibûn nasîn dikaribû bi rêya rêzkirina pênc cisimên Platonîk ên ku di nav kûreyekê de hatibûn dorpêçkirin ku rêgeha Keywanê temsîl dikir, were fêmkirin. Her yek ji şeş kûreyan bi gerstêrkekê re têkildar bû (Merkûr, Gelawêj, Dinya, Behram, Jupîter û Keywan). Cisim ji hundir ber bi derve ve wek oktahedr, paşê îkosahedr, dodekahedr, tetrahedr, û di dawiyê de kûb hatibûn rêzkirin, bi vî awayî îdîa kir ku cisimên Platonîk avahiya Pergala Rojê û dûrahiyên gerstêrkan diyar dikirin. Di encamê de, hîpoteza destpêkê ya Kepler ne pêkan derket û jê hate vekişandin; lê belê, lêkolîna wî bû sedema formulekirina sê qanûnên wî yên dînamîkên rêgehê. Yekem ji van qanûnan, ku digot rêgehên gerstêrkan elîps in ne xelek, bi bingehîn rêgeha fîzîk û astronomî guhert. Wî her weha cisimên Kepler nas kir, ku ji du polîhedrayên birêkûpêk ên ne-qûçî pêk tên.

Koordînatên Kartesî

Ji bo cisimên Platonîk ên ku li jêderê navendî ne, koordînatên Kartesî yên hêsan ên lûtkeyên wan li jêr têne pêşkêş kirin. Tîpa Yewnanî $\varphi$ ji bo nîşankirina rêjeya zêrîn tê bikaranîn, ku wekî ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180$ 26 + §3233§ $\varphi$ ≈ 1.6180 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180} tê pênasekirin.

Koordînatên tetrahedron, dodecahedron û icosahedron di du veavakirinan de têne pêşkêş kirin, ku her yek ji ya din dikare were derxistin. Ji bo tetrahedronê, ev derxistin guhertina nîşana hemî koordînatan vedihewîne, ku sîmetriya navendî temsîl dike. Di rewşên din de, ew danûstendina du koordînatan pêk tîne, ku bi rengvedanek li ser yek ji sê balafirên diagonal re têkildar e.

Van koordînatan têkiliyên taybetî di navbera hişkên Platonîk de Eşkere dikin. Mînakî, lûtkeyên tetrahedronekê nîvê lûtkeyên kubekê pêk tînin, ku wekî {4,3} an tê nîşankirin. Ev bi yek ji du komên çar lûtkeyên di pozîsyonên dualî de têkildar e, ku wekî h{4,3} an tê temsîl kirin. Yekbûna her du pozîsyonên tetrahedral pêkhatê oktahedrona stêrkirî çêdike.

Koordînatên icosahedronê bi du komên koordînatên alternatîf ên ku ji oktahedrona qutkirî ya neyekser hatine derxistin ve girêdayî ne, ku wekî t{3,4} an tê destnîşankirin. Ev şikil wekî oktahedrona snub jî tê zanîn, ku wekî s{3,4} an tê temsîl kirin, û têkiliya wê di pêkhatê du icosahedronan de diyar e.

Heşt lûtkeyên dodecahedronê bi yên kubekê re hevaheng in. Dema ku hemî rêgezên gengaz têne hesibandin, ev têkilî di çêbûna pêkhatê pênc kuban de digihîje lûtkeyê.

Taybetmendiyên kombînatorî

Polîhedrona qevaz tenê dema ku her sê pîvanên jêrîn têne bicîhanîn wekî hişkek Platonîk tê hesibandin.

Divê hemî rûber hevaheng, qevaz û polîgonên rêkûpêk bin.
Rûber nabe ku hevûdu bibirin, ji bilî li ser keviyên xwe yên hevpar.
Divê hejmareke yekane ya rûberan li her lûtkeyê bicivin.

Wekî encam, her hişkek Platonîk dikare bi cotek hejmarî {p, q} were taybetmendîkirin. Di vê nîşankirinê de, p hejmara keviyan (an, bi heman awayî, lûtkeyan) li ser her rûberê temsîl dike, dema ku q hejmara rûberan (an, bi heman awayî, keviyan) ku li her lûtkeyê dicivin destnîşan dike. Ev cot, {p, q}, wekî sembola Schläfli tê zanîn û ravekirinek kombînatorî ya polîhedronê peyda dike. Sembolên Schläfli yên pênc hişkên Platonîk di tabloya jêrîn de têne pêşkêş kirin.

Hemî daneyên din ên kombînatorî yên têkildarî van hişkan, di nav de hejmara giştî ya lûtkeyan (V), keviyan (E), û rûberan (F), dikarin ji nirxên p û q werin derxistin. Ji ber ku her keviyek du lûtkeyan girêdide û ji hêla du rûberên cîran ve tê parve kirin, divê têkiliyên jêrîn derbasdar bin:

$pF=2E=qV.\,$

Têkiliyek din a bingehîn di navbera van mîqdaran de ji hêla formula Euler ve tê damezrandin:

$V-E+F=2.\,$

Ev îdîa dikare bi delîlên cûrbecûr were piştrast kirin. Bi hev re, van sê têkiliyan nirxên V, E, û F bi awayekî yekane diyar dikin:

$V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.$

Guherîna p û q dibe sedema danûstendina berevajî ya F û V, dema ku E neguherî dimîne.

Nûnertiya Konfîgurasyonê

Elementên polîhedronê dikarin di nav matrisek konfîgurasyonê de bên temsîlkirin, ku rêz û stûn lûtke, qerax û rûyan nîşan didin. Têketinên diagonal hejmara giştî ya her elementê di nav polîhedronê de destnîşan dikin. Têketinên ne-diagonal hejmara elementên stûnê yên ku bi elementa rêza têkildar ve girêdayî ne an di nav wê de ne diyar dikin. Bi taybetî, matrîsên konfîgurasyonê yên polîhedronên dualî li hember hev sîmetrîyek zivirî ya 180-pileyî nîşan didin.

Dabeşkirin

Encamek bingehîn di geometriyê de hebûna tenê pênc polîhedronên rêkûpêk ên qûçî destnîşan dike. Gotûbêjên paşîn du argumanên berbelav pêşkêş dikin ku nîşan didin ku ji pênc hişkên Platonî zêdetir nikarin hebin; lê belê, îsbatkirina erênî ya hebûna hişkek taybetî pêdivî bi avakirinek eşkere heye.

Îsbatkirina Geometrîk

Argumana geometrîk a paşîn bi nêzîkî dişibe ya ku ji aliyê Euclid ve di Elements de hatiye pêşkêşkirin:

Îsbatkirina Topolojîk

Îsbatkirinek topolojîk a safî dikare were avakirin bi tenê bikaranîna dane yên kombînatorî yên ku bi hişkan ve girêdayî ne. Di navenda vê nêzîkatiyê de çavdêriya Euler heye ku V − E + F = 2, ligel têkiliya pF = 2E = qV, ku p hejmara qeraxan li ser her rûyekê temsîl dike û q hejmara qeraxên ku bi her lûtkeyekê ve girêdayî ne destnîşan dike. Têkeliya van hevkêşan îfadeya jêrîn dide:

${\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.$

Manipulasyona cebîrî ya hêsan a paşîn encama jêrîn dide:

${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.$ 8 q + 18 p = 28 ${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.$ + 38 E . {\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}

Ji ber ku E bi tevahî erênî ye, ev yek bi neçarî encam dide ku:

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.$ 8 q + 18 p > 28 ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>31§ </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding=$

Li ber çavan girtin ku hem p hem jî q divê ji 3 mezintir an wekhev bin, diyar e ku tenê pênc îhtîmalên cuda ji bo koma {p, q} hene:

Taybetmendiyên Geometrîk

Goşe

Her Hişkek Platonîk çend goşeyên pêwendîdar hene. Goşeya dîhedral, ku wekî goşeya hundirîn a ku di navbera du rûyên cîran de çêdibe tê pênasekirin, ji bo Hişkek {p,q} bi θ tê nîşankirin û dikare bi karanîna formula jêrîn were hesibandin:

$\sin(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.$

Bi awayekî din, ev têkilî dikare bi karanîna Fonksiyona tangentê bi awayekî hêsantir were îfadekirin:

$\tan(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.$

Nirxa h, ku wekî hejmara Coxeter tê zanîn, ji bo tetrahedrone 4 e, ji bo hem kûb hem jî oktahedrone 6 e, û ji bo hem dodekahedrone hem jî îkosahedrone 10 e.

Kêmasiya goşeyî li ser lûtkeya polîhedronekê wekî cudahiya di navbera koma goşeyên rûyên wê yên têkildar û 2π radyanan de tê pênasekirin. Ji bo her lûtkeyek Hişkên Platonîk, ku wekî {p,q} tê nîşankirin, ev kêmasî, δ, wiha tê hesibandin:

$\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).$

Li gorî teorema Descartes, ev kêmasiya goşeyî wekhev e bi 4π ku li ser hejmara giştî ya lûtkeyan hatiye dabeşkirin, ku tê wateya ku kêmasiya berhevkirî ya li ser hemî lûtkeyan digihîje 4π.

Hevparê sê-alî ji bo goşeyek rûyî goşeya Hişk e. Ji bo Hişkek Platonîk, goşeya Hişk, ku wekî Ω tê nîşankirin, li her lûtkeyekê dikare di têkiliya bi goşeya dîhedral re wiha were îfadekirin:

$\Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,$

Ev têkilî ji formula zêdehiya gogî ya ku ji polîgonên gogî re derbasdar e tê wergirtin, bihesibîne ku şiklê lûtkeya polîedronek {p,q} polîgonek q-alî ya rêkûpêk pêk tîne.

Goşeya Hişk a ku ji aliyê rûxarekê ve ji navenda Hişkek Platonîk tê girtin, wekhev e bi goşeya Hişk a gogek temam (4π steradian) ku bi hejmara giştî ya rûxaran hatiye dabeşkirin. Hêjayî gotinê ye ku ev nirx di heman demê de bi kêmasiya goşeyî ya polîedrona dualî ya Hişkê re jî têkildar e.

Tabloyek berfireh ji goşeyên cihêreng ên ku bi Hişkên Platonîk ve girêdayî ne dê li jêr were pêşkêşkirin. Hemî nirxên hejmarî yên ji bo goşeyên Hişk bi steradianan têne îfadekirin. Berdewam φ, ku wekî ⁠1 + √6/§1213§⁠ tê pênasekirin, Rêjeya Zêrîn temsîl dike.

Tîre, Rûxar û Qebare

Taybetmendiyek girîng a rêkûpêkiya wan ew e ku hemî Hişkên Platonîk her gav sê gogên hevcendî dihewînin:

goga dorpêçkirî, ku polîedronê dorpêç dike û di hemî lûtkeyên wê re derbas dibe;
goga navîn, ku bi her keviyekê ve Bi rastî li xala wê ya navîn têkilî ye; û
goga nivîsandî, ku bi her rûxarekê ve li navenda wê ya geometrîk têkilî ye.

Tîreyên têkildar ên van gogan wekî tîreya dorpêçkirî, tîreya navîn, û tîreya nivîsandî têne destnîşankirin. Ev bi dûrahiyên ji navenda polîedronê heta lûtkeyên wê, xalên navîn ên keviyan, û navendên rûxaran, bi rêzê, têkildar in. Ji bo Hişkek {p, q} bi dirêjahiya keviyek a, tîreya dorpêçkirî û tîreya nivîsandî bi îfadeyên jêrîn têne destnîşankirin:

${\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$ tan ⁡ ( π q ) tan ⁡ ( θ ${\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$ ) r = a ${\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$ cot ⁡ ( π p ) tan ⁡ ( θ ${\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$ ) {\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}

Li vir, θ goşeya dîedral temsîl dike. Tîreya navîn, ku wekî ρ tê nîşankirin, bi formula jêrîn tê hesibandin:

$\rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}$ cos ⁡ ( π p ) csc ( π h ) {\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}

Di vê Çarçoveyê de, h behsa pîvanê dike ku berê di pênaseya goşeya dihedrî de hatibû pênasekirin, bi nirxên gengaz ên ku h = 4, 6, 6, 10, an 10 in. Bi taybetî, rêjeya di navbera tîreya derdorê û tîreya hundirîn de li gorî p û q sîmetrî nîşan dide:

${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$ ( θ ${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$ ) − cos ${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$ ( α ${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$ ) sin ⁡ ( α ${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$ ) . {\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}

Rûxara, A, ya hişkekî Platonî {p, q} ji berhema rûxara p-goşeyekî rêkûpêk û hejmara giştî ya rûyan, F, tê wergirtin. Ev têkilî bi vî rengî tê îfadekirin:

$A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).$ ) $A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).$ F p cot ⁡ ( π p ) . {\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}

Qebare bi berhema hejmara rûyan, F, û qebareya pîramîdekê tê destnîşankirin. Ev pîramîd xwedî baze ku ji aliyê p-goşeyekî rêkûpêk ve hatiye pênasekirin û tîreya hundirîn a r wekî bilindahiya wê kar dike. Bi taybetî,

$V={\frac {1}{3}}rA.$ 12 §1415§ r A . {\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}

Di tabloya jêrîn de lîsteyek berfireh tê pêşkêşkirin, ku tîreya cuda, rûxar û qebareya her Hişkek Platonîk bi hûrgilî diyar dike. Ji bo standardîzekirinê, dirêjahiya kêlekê, ku wekî a tê nîşankirin, bi nirxek 2 hatiye danîn.

Sabîtên φ û ξ yên ku li vir hatine behskirin wekî jêrîn têne pênasekirin:

$\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.$

Di nav kategoriya Hişkên Platonîk de, hem dodekahedron û hem jî îkosahedron wekî nêzîkbûnên herî baş ên gogekê têne hesibandin. Îkosahedron bi hebûna hejmara herî zêde ya rûyan û goşeya dîhedral a herî mezin xwe cuda dike, ku di encamê de goga xwe ya hundirîn bi awayê herî rast digire. Herwiha, rêjeya rûxar-bo-qebareya wê herî zêde bi ya gogek bi pîvanên wekhev re têkildar e, çi bi rûxarê çi jî bi qebareyê were pîvandin. Berovajî, dodekahedron bi kêmasiya goşeyî ya herî kêm, goşeya Hişk a lûtkeyê ya herî zêde, û kapasîteya xwe ya bilindtir a girtina goga xwe ya derdorî tê nasîn.

Xalek di Feza de

Xalek keyfî ku di nav qada Feza ya Hişkek Platonîk de ye, ku xwedî tîreyek derdorî ye ku bi R tê nîşankirin, dûrahiyên wê yên ji navenda Hişkê û ji her yek ji n lûtkeyên wê bi rêzê ve bi L û d_i têne temsîl kirin. Di bin van şertan de, û

$S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}$ 32 n ∑ i = 47 n d i $S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}$ {\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}} ,

têkiliya jêrîn tê damezrandin:

${\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}$

$S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.$

Ger d_i dûrahiyên ji n lûtkeyên Hişka Platonî heya xalek keyfî li ser goga wê ya dorpêçkirî nîşan dide, wê demê têkiliya jêrîn derbasdar e:

$4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.$ 23§ n d i §38 $4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.$ ) §47 $4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.$ = §5354§ n ∑ i = §6667§ n d i §8283§ . {\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}

Taybetmendiya Rupert

Polîhedronek, ku wekî P tê nîşankirin, xwediyê taybetmendiya Rupert e ger polîhedronek din, ku di Şewe de bi P re wekhev e lê bi mezinahiya wekhev an mezintir e, dikare di nav de ji vekirîbûnekê derbas bibe P. Ev taybetmendî di her pênc Hişkên Platonî de tê dîtin.

Sîmetrî

Polîhedronên Dual

Her polîhedronek xwediyê dualek e, ku wekî polîhedronek 'polar' jî tê binavkirin, ku bi guhertina rû û lûtkeyên xwe tê taybetmendîkirin bi rû û lûtkeyên guhertî. Bi taybetî, dualê her Hişka Platonî bi xwe Hişkek Platonî ya din e, ku rê dide dabeşkirina pênc Hişkan li cotên dual ên cûda.

Tetrahedron xwediyê xweser-dualîtiyê ye, ango Form a wê ya dual jî tetrahedron e.
Kûb û oktahedron cotek dual pêk tînin.
Dodekahedron û îkosahedron jî cotek dual pêk tînin.

Ger polîhedronek bi Sembola Schläfli {p, q} tê nîşankirin, polîhedrona wê ya dual a têkildar dê xwediyê Sembola {q, p} be. Ev têkilî tê wateya ku her taybetmendiya kombînatorî ya Hişkek Platonî dikare wekî taybetmendiyek kombînatorî ya analog a dualê wê were şîrovekirin.

Polîhedrona dual dikare bi diyarkirina navendên rûyên fîgurê orîjînal wekî lûtkeyên dual were çêkirin. Dûv re, girêdana navendên rûyên cîran ên di polîhedrona orîjînal de, keviyên dualê saz dike, bi vî awayî hejmara rû û lûtkeyan diguherîne dema ku hejmara giştî ya keviyan diparêze.

Bi berfirehî, Hişkek Platonî dikare li gorî gogek bi tîreya d ku bi Hişkê re hemnavend e, were dualîzekirin. Tîreyên Hişka orîjînal (R, ρ, r) û yên dualê wê (R*, ρ*, r*) bi têkiliya jêrîn ve girêdayî ne:

$d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .$ = R ∗ r = r ∗ R = ρ ∗ ρ . {\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}

Dualîzekirin li gorî goga navîn (d = ρ) pir caran bi feyde ye, ji ber ku goga navîn bi her du polîhedronan re têkiliyek wekhev diparêze. Dema ku d6 = Rr tê sepandin, Hişka dual a encamdar xwediyê tîreya dorpêçkirî û tîreya hundirîn a wekhev e, bi taybetî R* = R û r* = r.

Komên Sîmetrî

Di nav de matematîkê, têgeha sîmetrîyê bi awayekî hişk bi rêya çarçoveya komeke matematîkî tê lêkolînkirin. Her polîhedron bi komeke sîmetrîyê ya pêwendîdar tê taybetmendîkirin, ku tevahiya koma veguherînan (îzometrîyên Euklîdî) dihewîne, yên ku forma neguherbar a polîhedronê diparêzin. Kardînalîteya vê koma sîmetrîyê bi hejmara giştî ya sîmetrîyên ku ji hêla polîhedronê ve têne xuyang kirin re têkildar e. Cudahîyek bi gelemperî tê kirin di navbera koma sîmetrîyê ya tam, ku rengvedanan dihewîne, û koma sîmetrîyê ya rast, ku tenê bi zivirandinan ve sînorkirî ye.

Komên sîmetrîyê yên ku bi Hişkên Platonî re têkildar in, kategoriyek cûda ya komên xalî yên sê-alî pêk tînin, bi taybetî wekî komên polîhedral têne binavkirin. Sîmetrîya berbiçav a ku di Hişkên Platonî de heye dikare ji gelek aliyan ve were fêm kirin. Ya girîng, hemî lûtke, qerax û rûyên her hişkek di bin xebata koma sîmetrîyê ya wê de wekhev in. Ev tê vê wateyê ku çalakiya koma sîmetrîyê li ser lûtke, qerax û rûyan veguherbar e. Wekî encam, ev taybetmendî pênaseyek alternatîf ji bo rêkûpêkiya polîhedral pêşkêş dike: polîhedronek rêkûpêk tê hesibandin heke û tenê heke ew li ser lûtke, qerax û rûyên xwe yekrengî nîşan bide.

Tenê sê komên sîmetrîyê yên cûda bi Hişkên Platonî re têkildar in, ne pênc, ji ber ku koma sîmetrîyê ya her polîhedronek diyarkirî bi ya dualê wê re yek e. Ev wekhevî dema ku pêvajoya çêkirina polîhedronek dualî tê analîz kirin, eşkere dibe, ku her sîmetrîyek ku di polîhedrona orîjînal de niha ye, divê sîmetrîyek dualê wê jî be, û berovajî. Sê komên polîhedral ên hatine nasîn ev in:

koma tetrahedral, ku wekî T tê nîşankirin,
koma oktahedral, ku wekî O tê nîşankirin (ku herwiha wekî koma sîmetrîyê ji bo kûbê jî kar dike), û
koma îkosahedral, ku wekî I tê nîşankirin (ku herwiha koma sîmetrîyê ya dodekahedronê jî temsîl dike).

Rêzên komên rast (zivirî) bi rêzê ve 12, 24, û 60 in, ku bi rastî bi du qat hejmara qeraxên di polîhedronên wan ên têkildar de têkildar e. Rêzên komên sîmetrîyê yên tam paşê têne ducar kirin, nirxên 24, 48, û 120 didin. Derxistineke berfireh a van taybetmendiyan dikare di (Coxeter 1973) de were dîtin. Herwiha, hemî Hişkên Platonî, bi îstîsnaya tetrahedronê, sîmetrîya navendî, nîşan didin, ku neguherbarîya wan di bin rengvedanê de bi rêya jêderê destnîşan dike.

Tabloya jêrîn taybetmendiyên sîmetrîyê yên cihêreng ên ku taybetmendiya Hişkên Platonî ne, rêz dike. Komên sîmetrîyê yên niha komên tam temsîl dikin, digel binkomên wan ên zivirî yên ku di nav parantezan de hatine destnîşan kirin (nîşankirinek mîna vê ji bo hejmara sîmetrîyan jî derbas dibe). Çêkirina kaleydoskopê ya Wythoff metodolojiyek peyda dike ji bo rasterast çêkirina polîhedronan ji komên sîmetrîyê yên wan ên têkildar. Ji bo referansê, Sembol a Wythoff ji bo her Hişkek Platonî tê peyda kirin.

Di Xwezayê û Teknolojiyê de

Tetrahedron, kûb û oktahedron bi xwezayî di nav avahiyên krîstal ên cihêreng de têne dîtin. Lê belê, ev form hemî morfolojiyên krîstal ên gengaz nagirin. Bi taybetî, ne îkozahedrona rêkûpêk û ne jî dodekahedrona rêkûpêk di nav wan de nayên dîtin. Yek formek taybet, ku wekî pîrîtohedron (navê xwe ji koma mîneral a ku ew temsîl dike girtiye) tê binavkirin, di veavakirinek wekhev a dodekahedrona rêkûpêk de diwanzdeh rûyên pêncgoşeyî dihewîne. Digel vê yekê, rûyên pîrîtohedronê ne rêkûpêk in, bi vî awayî pîrîtohedron bixwe nerêkûpêk dike. Allotropên bor û gelek pêkhateyên bor, di nav de karbîda bor, îkozahedronên B₁₂ yên cuda di nav mîmariyên xwe yên krîstalî de dihewînin. Bi heman rengî, asîdên karboran avahiyên molekular nîşan didin ku nêzî îkozahedronên rêkûpêk dibin.

Di destpêka sedsala 20an de, Ernst Haeckel çend cureyên Radiolaria tomar kirin ku îskeletên wan wekî polîhedronên rêkûpêk ên cihêreng hatibûn veavakirîn. Mînakên berbiçav Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus, û Circorrhegma dodecahedra dihewînin, ku taybetmendiyên wan ên morfolojîk ji navdêriya wan diyar in.

Gelek vîrus, di nav de vîrusa herpes, morfolojiya îkozahedrona rêkûpêk digirin. Kapsîdên vîrusê ji binyekeyên proteîn ên dubarekirî û yekreng têne çêkirin, û îkozahedron veavakirina herî bikêrhatî ye ji bo kombûnê bi karanîna van pêkhateyan. Bikaranîna polîhedrona rêkûpêk çêkirina ji yek yekîneya proteîn a bingehîn a ku bi dubare tê bikaranîn hêsan dike, bi vî awayî feza di nav genoma vîrusê de diparêze.

Di nav meteorolojî û klîmatolojiyê de, eleqeyek mezin li modelên hejmarî yên gerdûnî yên Herikîna atmosferê heye ku torên jeodezîk ên ji îkozahedronê hatine wergirtin (paşê bi sêgoşekirinê hatine safîkirin) dihewînin, li hember tora kevneşopî ya Dirêjî/Panî. Ev nêzîkatî feydeya çareseriya fezayî ya bi yekrengî belavkirî pêşkêş dike, bêyî yekîneyên taybet ên wekî polan, her çend bi lêçûna tevliheviya hejmarî ya zêde be jî.

Sêwirana geometrîkî ya çarçoveyên feza bi gelemperî zexmên Platonîk dihewîne. Di nav pergala MERO de, zexmên Platonîk wekî peymanek navdêrî ji bo veavakirinan çarçoveyên feza yên cihêreng xizmet dikin. Mînak, ⁠2/§67§⁠O+T veavakirinek ku nîvê oktahedron û tetrahedronek dihewîne nîşan dide.

Hîdrokarbonên Platonîk ên cihêreng, wekî kûban û dodekahedran, bi serfirazî hatine sentez kirin.

Krîstalên Şilayî yên Ku Sîmetriyên Zexmên Platonîk Nîşan Didin

Hebûna sîmetriyên weha di qonaxa madeya navîn a ku wekî krîstalên şilayî tê zanîn, Di destpêkê de di sala 1981an de ji hêla H. Kleinert û K. Maki ve hat teorîzekirin. Paşê, Dan Shechtman sê sal şûnda avahiya îkozahedral di alumînyûmê de keşf kir, destkeftiyek ku ji bo wê di sala 2011an de Xelata Nobelê ya Kîmyayê wergirt.

Serlêdanên Çandî

Zexmên Platonî bi gelemperî di Hilberîna zerzikan de têne bikaranîn ji ber kapasîteya wan a hilberandina encamên dadperwer. Digel ku zerzikên şeşalî li her derê ne, formên din ên pirrûyî bi rêkûpêk di lîstikên rol-lîstinê de têne bikaranîn. Van zerzikan bi kevneşopî wekî dn têne destnîşankirin, li cihê ku n hejmara rûyan destnîşan dike (mînak, d8, d20).

Van formên geometrîk bi gelemperî di lîstik û puzzleên din ên cûrbecûr de xuya dikin. Puzzleên mîna Kûba Rubik di hemî pênc veavakirên zexmên Platonî de hene.

Serlêdanên Mîmarî

Mîmar ji têgeha Platon a formên bêdem hatin kişandin, ku ji hêla Rihê ve Di nav de tiştên maddî têne fêmkirin; Lê belê, wan van şiklan li geometriyên guncawtir ên avahîsaziyê adapte kirin, wekî gog, sîlîndir, kon û Pîramîda çargoşe. Bi taybetî, Étienne-Louis Boullée, kesayetiyek girîng di Neoklasîsîzmê de, bi berfirehî Şîrovekirinek mîmarî ya "zexmên Platonî" lêkolîn kir.

Polîhedra û Polîtopên Têkildar

Polîhedrayên Yekreng

Çar polîhedrayên birêkûpêk ên ne-konveks, ku wekî polîhedrayên Kepler–Poinsot têne zanîn, hene. Hemî xwedî Sîmetriya îkosahedral in û dikarin wekî stêrkkirinên dodekahedron û îkosahedronê werin derxistin.

Li dû zexmên Platonî, polîhedrayên konveks ên herî birêkûpêk ên paşîn kûboktahedron, ku rastkirina kûb û oktahedronê temsîl dike, û îkosîdodekahedron, rastkirina dodekahedron û îkosahedronê (rastkirina tetrahedrona xweser-dual oktahedrona birêkûpêk dide) vedihewînin. Her du jî wekî nîv-birêkûpêk têne dabeşkirin, ku yekrengiya wan a lûtke- û qerax- û rûyên birêkûpêk destnîşan dike, Tevî ku rû bi tevahî ne hevgirtî ne (di du çînên cûda de çêdibin). Van her du polîhedrayan beşek ji sêzdeh zexmên Arşîmedî pêk tînin, ku polîhedrayên yekreng ên konveks in û Sîmetriya polîhedral nîşan didin. Dualên wan, dodekahedrona rombîk û trîakontahedrona rombîk, qerax- û rû-transîtîv in; Lê belê, rûyên wan ne birêkûpêk in, û lûtkeyên wan her yek Di nav de du celebên cûda Niha ne, wan wekî du ji sêzdeh zexmên Katalanî dabeş dike.

Polîhedrayên yekreng kategoriyek bi awayekî girîng firehtir a formên polîhedral pêk tînin. Van fîguran bi yekrengiya lûtkeyê têne taybetmendîkirin û xwedî yek an çend celeb rûyên polîgonal ên birêkûpêk an Stêrk in. Ev çîn hemî polîhedrayên ku berê hatine behs kirin vedihewîne, ligel rêzikek Bêdawî ya prîzman, rêzikek Bêdawî ya antîprîzman, û 53 veavakirên ne-konveks ên din.

Zexmên Johnson wekî polîhedrayên konveks têne pênasekirin ku rûyên wan birêkûpêk in lê yekrengî tune. Ev kategorî pênc ji heşt deltahedrayên konveks vedihewîne, ku xwedî rûyên birêkûpêk, yekbûyî ne ku bi tevahî ji sêgoşeyên hevsû pêk tên, lê ne yekreng in. Sê deltahedrayên konveks ên mayî tetrahedrona Platonî, oktahedron û îkosahedron in.

Teselasyonên Birêkûpêk

Sê teselasyonên birêkûpêk ên rûxarekê têkiliyek nêz bi cismên Platonîk re nîşan didin. Bi taybetî, cismên Platonîk dikarin wekî teselasyonên birêkûpêk ên gogekê bêne têgihîştin. Ev têgihîştin pêşandana her cismekî li ser gogekê hemerkez pêk tîne, li wir rûyên wê Veguherîn dibin polîgonên gogî yên birêkûpêk ku bi rastî rûxara gogê digirin. Kirêşên gogî du malbatên Bêdawî yên din ên kirêşên birêkûpêk destnîşan dikin: hosohedra, ku wekî {2,n} têne nîşankirin, bi du lûtkeyan li cem polan û rûyên bi şiklê heyvê têne diyar kirin; û dualên wan, dihedra, ku wekî {n,2} têne nîşankirin, ku du rûyên nîvgogî û lûtkeyên bi rêkûpêk li ser Ekvatorê belavkirî hene. Ev teselasyonên taybetî dê wekî dejenere bêne hesibandin ger wekî polîhedra di Feza sê-alî de bêne temsîl kirin.

Her teselasyona birêkûpêk a gogekê bi cotek hejmarên rêzkirî {p, q} tê pênase kirin, ku Mercê ⁠/p⁠ + ⁠/q⁠ > ⁠/§3435§⁠ têr dike. Bi heman rengî, teselasyona birêkûpêk a rûxarekê bi Mercê ⁠/p⁠ + ⁠/q⁠ = ⁠/§6869§⁠ tê diyar kirin. Ev Mercê paşîn sê îhtîmalên cuda pêşkêş dike.

Bi awayekî mîna hev, teselasyonên birêkûpêk ên balafira hîperbolîk dikarin bêne lêkolîn kirin. Ev bi Mercê ⁠2/p⁠ + ⁠§1415§/q⁠ < ⁠§2627§/§3031§⁠ têne pênase kirin. Ev kategorî malbatek Bêdawî ya van teselasyonan dihewîne.

Pîvanên Bilindtir

Wêdetir sê pîvanan, polîhedra Veguherîn dibin polîtopan, li wir polîtopên birêkûpêk ên qevaz ên pîvanên bilindtir wekî analogên cismên Platonîk ên sê-alî kar dikin.

Di dema nîvê Sedsal a 19an de, matematîkzanê Swîsreyî Ludwig Schläfli hevtayên çar-alî yên cismên Platonîk, ku wekî 4-polîtopên birêkûpêk ên qevaz têne binavkirin, nas kir. Bi rastî şeş fîgurên wusa hene: pênc ji wan analogên cismên Platonîk in—bi taybetî, 5-Şane ({3,3,3}), 16-Şane ({3,3,4}), 600-Şane ({3,3,5}), teserakt ({4,3,3}), û 120-Şane ({5,3,3})—dema ku ya şeşemîn 24-Şane ({3,4,3}) ya xwedî-dual e.

Ji bo hemî pîvanên ku çarê derbas dikin, tenê sê polîtopên birêkûpêk ên qevaz têne dîtin: sîmpleks, ku wekî {3,3,...,3} tê temsîl kirin; hîperkûb, ku wekî {4,3,...,3} tê temsîl kirin; û polîtopa xaçê, ku wekî {3,3,...,4} tê temsîl kirin. Di sê pîvanan de, ev bi rêzê ve bi tetrahedrone ({3,3}), kûb ({4,3}), û oktahedrone ({3,4}) re têkildar in.

Çavkanî

Çavkaniyên Giştî û yên Hatine Gotin

Atiyah, Michael; Sutcliffe, Paul (2003). "Polîhedra di Fîzîk, Kîmya û Geometrîyê de." Kovara Matematîkê ya Mîlanê, 71: 33–58. arXiv:math-ph/0303071. Bibcode:2003math.ph...3071A. doi:10.1007/s00032-003-0014-1. S2CID 119725110.Boyer, Carl; Merzbach, Uta (1989). Dîrokek Matematîkê (çapa 2yemîn). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.Coxeter, H. S. M. (1973). Polîtopên Rêkûpêk (çapa 3yemîn). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.Cromwell, Peter R. (1997). Polîhedra. Cambridge University Press. ISBN 9780521554329.Euclid (1980) [cara yekemîn di 1956 de hate weşandin]. Heath, Thomas L. (ed.). Sêzdeh Pirtûkên Elementên Euclid, Pirtûkên 10–13 (çapa 2yemîn a bêkêmasî). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.Gelernter, Mark (1995). Çavkaniyên Formên Mîmarî: Dîrokek Rexneyî ya Teorîya Sêwiranê ya Rojava. Manchester University Press. ISBN 978-0-7190-4129-7. Hate girtin 2024-02-12.(PDF). Pêşketinên Fîzîkê. §4748§ (5): 219–259. Bibcode:1981ForPh..29..219K. doi:10.1002/prop.19810290503.Bultena BSHM: Kovara Civaka Brîtanî ya Dîroka Matematîkê. §5253§ (3): 131–140. doi:10.1080/17498430.2012.670845. S2CID 119544202.
Pugh, Anthony (1976). Polîhedra: Nêzîkatiyek Dîtbarî. Berkeley, California: University of California Press. ISBN 0-520-03056-7.Sîmetrî. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
Gotarek li ser hişkên Platonî ji Ansîklopediya Matematîkê.
- Hişkên Platonî di Ansîklopediya Matematîkê de
- Weisstein, Eric W. gotarek pêşkêş dike li ser "hişka Platonî" di nav MathWorld de.
- Weisstein, Eric W. gotarek pêşkêş dike li ser "Îsohedron" di nav MathWorld de.
- Gotûbêjek li ser Pirtûka XIII ji Elementên Euclid.
- Polîhedrayên sê-alî yên înteraktîf ku bi Java hatine nîşandan.
- Hişkên Platonî di nav Dîtbarî Polîhedra de hatine pêşkêşkirin.
- Dîtbarê Laşê Hişk ezmûnek dîtina polîhedrayên sê-alî yên înteraktîf pêşkêş dike, ku derxistina modelê di formatên SVG, STL, an OBJ de gengaz dike.
- Nîşandanên înteraktîf ên qatkirin û vekirinê yên hişkên Platonî, ku hatine arşîvkirin û bi Java hatine bicîhkirin.
- Modelên kaxezî yên hişkên Platonî, ku ji torên ji hêla nivîsbarîya Stella ve hatine hilberandin hatine çêkirin.
- Modelên kaxezî (tor) yên hişkên Platonî yên bi serbestî peyda dibin.
- Grime, James, û Steckles, Katie. "Hişkên Platonî." Numberphile. Brady Haran. Ji orîjînalê di tarîxa 2018-10-23 de hate arşîvkirin. Hate girtin 2013-04-13.Çavkanî: Arşîva Akademiya TORIma

Zexma Platonîk (Platonic solid)