Îspata ne-rêjeyîbûna pî (Proof that pi is irrational)

Di dema salên 1760an de, Johann Heinrich Lambert pêşengiya Selmandinê kir ku hejmara π ne-rêjeyî ye, ku ev tê wateya ku ew nikare wekî kesirek a/b were nîşandan, ku tê de a û b herdu jî hejmarên tam in. Dûv re, di Sedsal a 19an de, Charles Hermite Selmandinek pêş xist ku tenê têgihiştineke bingehîn a hesabê hewce dike. Mary Cartwright, Ivan Niven, û "Nicolas Bourbaki" her yekê hêsankirinên Selmandina orîjînal a Hermite pêşkêş kirin. Miklós Laczkovich jî Selmandineke cuda peyda kir, ku ew hêsankirinek ji rêbaza Lambert re xizmet dike. Hejmareke girîng ji van Selmandinan Teknîk a nakokiyê bikar tînin.

Di salên 1760an de, Johann Heinrich Lambert yekem bû ku Selmandin ku hejmara π ne-rêjeyî ye, ango ew nikare wekî kesirek ${\displaystyle a/b,}$ were pêşkêş kirin, ku tê de ${\displaystyle a}$ û ${\displaystyle b}$ herdu jî hejmarên tam in. Di Sedsal a 19an de, Charles Hermite Selmandinek dît ku tu zanîna pêşwext Wêdetir ji hesabê bingehîn naxwaze. Sê hêsankirinên Selmandina Hermite ji aliyê Mary Cartwright, Ivan Niven, û "Nicolas Bourbaki" ve hatin kirin. Selmandineke din, ku hêsankirinek ji Selmandina Lambert e, ji aliyê Miklós Laczkovich ve hate pêşkêş kirin. Gelek ji van Selmandinan bi Teknîk a nakokiyê ne.

Di sala 1882an de, Ferdinand von Lindemann Selmandin ku ${\displaystyle \pi }$ ne tenê hejmareke ne-rêjeyî ye, lê di heman demê de hejmareke transandantal e jî.

Selmandina Lambert

Di sala 1761an de, Johann Heinrich Lambert ne-rêjeyîbûna ${\displaystyle \pi }$ Selmandin, bi Di destpêkê de pêşkêşkirina berfirehkirina wê ya kesira domdar wekî derbasdar:

Lambert dûv re Selmandin ku heke ${\displaystyle x}$ hejmareke rêjeyî ya ne-sifir be, îfadeya têkildar bi neçarî ne-rêjeyî ye. Ji ber ku tan ⁡<!-- ⁡ --> π<!-- π --> 33 =40 {\displaystyle \tan {\tfrac {\pi }{4}}=1} , bi mentiqî tê ku ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ divê ne-rêjeyî be, ku ev jî tê wateya ku ${\displaystyle \pi }$ jî ne-rêjeyî ye. Guhertoyeke hêsankirî ya Selmandina Lambert paşê tê pêşkêş kirin.

Selmandina Hermite

Ev îspat, ku di sala 1873an de hate pêşxistin, pênaseya π<!-- π --> {\displaystyle \pi } wekî nirxa herî biçûk a pozîtîf bikar tîne, ku nîvê wê sifira Fonksiyona kosînusê pêk tîne. Herwiha, ew bêrêjeyîbûna ${\displaystyle \pi ^{2}}$ jî destnîşan dike. Li gorî gelek îspatên bêrêjeyiyê, ev pêşkêşî îspatek bi nakokî bikar tîne.

Em rêzikên Fonksiyonên rastîn, ${\displaystyle A_{n}}$ û ${\displaystyle U_{n}}$, ji bo n ∈<!-- ∈ --> N61 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} , ku wiha hatine pênasekirin, bifikirin:

14 ( x ) = sin ⁡ ( x ) , A n + 55 ( x ) = ∫ 72 x y A n ( y ) d y U 110 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x , U n + 159 ( x ) = − U n ′ ( x ) x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(x)&=\sin(x),&&A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y)\,dy\\[4pt]U_{0}(x)&={\frac {\sin(x)}{x}},&&U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}\end{aligned}}}

Têkiliyên jêrîn dikarin bi Biderxistina matematîkî bi awayekî fermî werin damezrandin:

190 ( §195202§ ) ! ! − x + x 258 ∓ ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+3}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \\[4pt]U_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}}

Wekî encam, têkiliya jêrîn tê avakirin:

${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}.\,}$

Wekî encam,

21 ( x ) x = U n + 62 ( x ) = − U n ′ ( x ) x = − 108 x d d x ( A n ( x ) x ) = − 185 x ( A n ′ ( x ) ⋅ x − ( x ) = ( x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}}&=U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{x}}\left({\frac {A_{n}'(x)\cdot x^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}A_{n}(x)}{x^{2(2n+1)}}}\right)\\[6pt]&={\frac {(2n+1)A_{n}(x)-xA_{n}'(x)}{x^{2n+3}}}\end{aligned}}}

Ev têkilî bi îfadeya jêrîn re hevwate ye:

A n +14 ( x ) = ( {\displaystyle A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x).\,}

Bi sepandina pênaseya rêzê û bi bikaranîna biderxistina matematîkî, dikare were nîşandan ku:

A n ( x ) = P n ( x 36 ) sin ⁡ ( x ) + x Q n ( x 71 ) cos ⁡ ( x ) , {\displaystyle A_{n}(x)=P_{n}(x^{2})\sin(x)+xQ_{n}(x^{2})\cos(x),\,}

Ev fonksiyonên polînomî ne, ${\displaystyle P_{n}}$ û ${\displaystyle Q_{n}}$, ku xwedî katsayiyên tam in. Pileyê ${\displaystyle P_{n}}$ ji ⌊80§8283§n⌋ kêmtir an wekhev e.{\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n{\bigr \rfloor }.} Bi taybetî, An(§128129§§130131§π)=Pn(§163164§§165166§π§176177§).{\displaystyle A_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=P_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}{\bigr )}.}

Hermite herwiha îfadeyek bi formek girtî ji bo fonksiyona ${\displaystyle A_{n},}$ pêşkêş kir, ku wiha tê pênasekirin:

5863(§6869§−z§7778§)ncos⁡(xz)dz.{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z.\,}

Her çend Hermite ji bo vê îdîayê hincetek nedabû jî, îspata wê hêsan e. Di bingeh de, ev îdîa wekhev e bi

Fonksiyona Un(x) bi awayekî fermî bi îfadeya Entegrasyonê ya jêrîn tê pênasekirin: 18 21 n n ! ∫ 41 45 ( 51 − z 59 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = A n ( x ) x 116 n + 121 = U n ( x ) . {\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}=U_{n}(x).}

Ji bo destpêkirina îspata înduktîf, baza rewşê bifikirin ku n=§1011§. ${\displaystyle n=0.}$

Ji bo vê rewşa taybet, Entegrasyon wiha tê hesibandin: ∫<!-- ∫ -->11 15 cos ⁡ ( x z ) d z = sin ⁡ ( x ) x = U 67 ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {\sin(x)}{x}}=U_{0}(x)}

Dûv re, ji bo gava înduktîf, em hejmareke xwezayî ya keyfî n digirin ber çavan. ${\displaystyle n.}$ Ger

tê texmîn kirin ku têkiliya jêrîn ji bo Un(x) derbasdar e: 18 21 n n ! ∫ 41 45 ( 51 − z 59 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = U n ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=U_{n}(x),}

Dûv re, bi sepandina Entegrasyonê bi parçeyan û Qanûna Leibniz, mirov digihîje

Bi texmîna ku

Nirxa ${\displaystyle N=q^{\lfloor n/2\rfloor }{A_{n}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=q^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {1}{2^{n}n!}}\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi z\right)\,\mathrm {d} z.}$

Lê belê, ev pîvan bêguman ji ${\displaystyle 0.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N<1.}$

Îspata Hermite ne armancek veqetandî bû, lê belê encamek duyemîn bû ji lêgerîna wî ya ji bo îspatkirina transendansa ${\displaystyle \pi .}$ Wî têkiliyên dubarekirinê bikar anî da ku temsîlek întegral a guncaw pêş bixe û derxîne. Piştî damezrandina vê temsîla întegral, çend rêbaz hene ji bo avakirina îspatek kurt û xweser, wek mînak di pêşkêşiyên Cartwright, Bourbaki, û Niven de tê dîtin. Hermite dikaribû van rêbazan bi hêsanî nas bike, ku ev yek nêzîkatiya wî ya di îspatkirina transendansa ${\displaystyle e}$ de nîşan dide.

Herwiha, îspata Hermite ji îspata Lambert re bêtir dişibe, ji ya ku di destpêkê de xuya dike. Bi taybetî, ${\displaystyle A_{n}(x)}$ "bermayî" an "paşmayî" ya kêşana berdewam a Lambert ji bo ${\displaystyle \tan x.}$ temsîl dike.

Îspata Cartwright

Harold Jeffreys belge kir ku Mary Cartwright ev îspat wek pirsgirêkek azmûnê li Zanîngeha Cambridge di sala 1945an de pêşkêş kiribû, her çend wê çavkaniya wê ya orîjînal nedîtibû. Ev îspat hîn jî di çarçoveya çarê ya pirsgirêkan de ji bo qursa Analîz IA li Zanîngeha Cambridge tê pêşkêşkirin.

Întegralên jêrîn têne nirxandin:

In(x)=∫<!-- ∫ -->−<!-- − -->3034(40−z§4950§)ncos⁡(xz)dz,{\displaystyle I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz,}

li vir ${\displaystyle n}$ jimareyek tam a neyînî nîşan dide.

Bi sepandina entegrasyonê bi perçeyan du caran, têkiliya dubarekirinê ya jêrîn derdikeve holê:

x10In(x)={\displaystyle x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).\qquad (n\geq 2)}

Eger

Têkiliya han wekî ${\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x),}$ tê îfadekirin.

Dûv re, ev îfade vediguheze:

{\displaystyle J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x).}

Herwiha, şertên destpêkê wekî J10(x)={\displaystyle J_{0}(x)=2\sin x} û J49(x)=−64xcos⁡x+§7778§sin⁡x.{\displaystyle J_{1}(x)=-4x\cos x+4\sin x.} têne pênasekirin. Ev şert ji bo hemî ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+},}$ derbasdar in.

${\displaystyle J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)=n!{\bigl (}P_{n}(x)\sin(x)+Q_{n}(x)\cos(x){\bigr )},}$

Van polînomên, bi taybetî ${\displaystyle P_{n}(x)}$ û ${\displaystyle Q_{n}(x)}$, xwedî pileya ${\displaystyle \leq n,}$ ne û hejmarên wan ên tam hene ku bi ${\displaystyle n}$ ve girêdayî ne.

Bila x=13§1516§π,{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi ,} be, û, ji bo nakokiyê, em ferz bikin ku 42§4445§π=a/b{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi =a/b}, li cihê ku ${\displaystyle a}$ û ${\displaystyle b}$ hejmarên xwezayî ne (ev tê wê wateyê ku ${\displaystyle \pi }$ rasyonel e). Wê demê

47§4950§π)=Pn(82§8485§π)b.{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}I_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}=P_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr )}b^{2n+1}.}

Aliyê rastê yê hevkêşeyê hejmareke tam e. Lê belê, newekhevîya 2<In(§2728§§29π)<§44${\displaystyle 0 rast e ji ber ku navbera${\displaystyle [-1,1]} xwedî dirêjahiya {\displaystyle 2} ye, û nirxên întegrandê bi taybetî di navbera{\displaystyle 0} û{\displaystyle 1} de ne. Berovajî,

33 as n→∞.{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}\to 0\quad {\text{ as }}n\to \infty .}

Ji ber vê yekê, ji bo {\displaystyle n}-yên têra xwe mezin,

Newekheviya jêrîn tê damezrandin: 6 < a §1724§ I n ( π §43 ) n ! < §6162§ , {\displaystyle 0<{\frac {a^{2n+1}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1,}

Ev tê wateya hebûna hejmareke tam di navbera 6 {\displaystyle 0} û ${\displaystyle 1.}$ de. Encameke wiha nakokiyekê pêk tîne, ku ev nakokî ji texmîna destpêkê ya ku ${\displaystyle \pi }$ hejmareke rasyonel e derdikeve.

Ev îspat mîna nîşandana Hermite ye; herwiha,

52 56 ( 62 − z §71 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = 125§ ∫ §133134§ §137138§ ( §143144§ − z §152 ) n cos ⁡ ( x z ) d z = 202§ n ! A n ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2x^{2n+1}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2^{n+1}n!A_{n}(x).\end{aligned}}}

Lêbelê, ev nêzîkatî sadekirineke berbiçav pêşkêş dike, ku bi nehiştina pênaseya înduktîf a fonksiyonên ${\displaystyle A_{n}}$ û li şûna wê bi îfadeya wan a întegral dest pê dike, tê bidestxistin.

Îspata Niven

Ev îspat taybetmendiya ${\displaystyle \pi }$ wekî rehê herî biçûk ê pozîtîf ê fonksiyona sînusê bi kar tîne.

Bila em texmîn bikin ku ${\displaystyle \pi }$ hejmareke rasyonel e, ku tê wateya ku ew dikare wekî ${\displaystyle \pi =a/b}$ were îfadekirin, li cihê ku ${\displaystyle a}$ û ${\displaystyle b}$ hejmarên tam ên pozîtîf in, bêyî ku giştîbûn winda bibe. Ji bo her hejmareke tam a pozîtîf ${\displaystyle n,}$ fonksiyona polînomî wekî jêrîn tê pênasekirin:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}}$

Wekî din, ji bo her ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, em pênase dikin:

${\displaystyle F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x).}$

Îdîa 1: Koma ${\displaystyle F(0)+F(\pi )}$ hejmareke tam e.

Îspat:

Berovajî, heke ${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$ be, wê demê ji vê yekê derdikeve ku ( −<!-- − -->49 ) k f ( k ) ( π − x ) = f ( k ) ( x ) {\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(\pi -x)=f^{(k)}(x)} ji bo her hejmara tam a ne-negatîf ${\displaystyle k.}$ Bi taybetî, ( −<!-- − -->140 ) k f ( k ) ( π ) = f ( k ) ( §185186§ ) . {\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(\pi )=f^{(k)}(0).} Wekî encam, ${\displaystyle f^{(k)}(\pi )}$ bi heman awayî hejmareke tam e, ku tê wateya ku ${\displaystyle F(\pi )}$ hejmareke tam e (bi rastî, bi hêsanî dikare were nîşandan ku F ( π<!-- π --> ) = F (277 ) {\displaystyle F(\pi )=F(0)} ). Ji ber ku hem F (300 ) {\displaystyle F(0)} û hem jî ${\displaystyle F(\pi )}$ hejmarên tam in, kombûna wan jî hejmareke tam e.

Îdîa 2:

∫<!-- ∫ -->10 π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = F ( 51 ) + F ( π ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(0)+F(\pi )}

Îspat: Ji ber ku f(14n+§2021§){\displaystyle f^{(2n+2)}} polînoma sifirê temsîl dike, ji vê yekê derdikeve ku:

${\displaystyle F''+F=f.}$

Derîvatîvên fonksiyonên sînus û kosînusê wekî sin' = kos û kos' = −sîn, bi rêzê ve, têne pênasekirin. Wekî encam, sepandina Qanûna Berhemê encam dide:

${\displaystyle (F'\cdot \sin {}-F\cdot \cos {})'=f\cdot \sin }$

Li gorî Teorema Bingehîn a Kalkulusê,

∫<!-- ∫ -->16πf(x)sin⁡(x)dx=(F′(x)sin⁡x−F(x)cos⁡x)|106π.{\displaystyle \left.\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx={\bigl (}F'(x)\sin x-F(x)\cos x{\bigr )}\right|_{0}^{\pi }.}

Ji ber ku sin⁡<!-- ⁡ -->11=sin⁡π=§2526§{\displaystyle \sin 0=\sin \pi =0} û cos⁡<!-- ⁡ -->46=−cos⁡π=§6364§{\displaystyle \cos 0=-\cos \pi =1} (bi karanîna taybetmendiya berê hatî destnîşankirin a ${\displaystyle \pi }$ wekî Reh a fonksiyona sînusê), Daxwaza 2 wekî encam hate îspatkirin.

Encam: Ji ber ku 18 {\displaystyle f(x)>0} û 43 {\displaystyle \sin x>0} ji bo navbera 59 < x < π {\displaystyle 0 (ji ber ku ${\displaystyle \pi }$ koka herî biçûk a pozîtîf a fonksiyon sinê temsîl dike), Daxwazên 1 û 2 bi hev re nîşan didin ku ${\displaystyle F(0)+F(\pi )}$ hejmareke tam a pozîtîf pêk tîne. Herwiha, li ber çavan girtin ku ${\displaystyle 0\leq x(a-bx)\leq \pi a}$ û ${\displaystyle 0\leq \sin x\leq 1}$ ji bo qada 211 ≤ x ≤ π , {\displaystyle 0\leq x\leq \pi ,} ev ji pênaseya orîjînal a ${\displaystyle f,}$ derdikeve.

∫<!-- ∫ -->11 π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x ≤ π ( π a ) n n ! {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\leq \pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}}

Ev nirx ji 6{\displaystyle 1} kêmtir e ji bo ${\displaystyle n,}$-yên têra xwe mezin. Wekî encam, li gorî Daxwaza 2, 44)+F(π)<§6162§{\displaystyle F(0)+F(\pi )<1} ji bo van nirxên taybet ên ${\displaystyle n,}$ derbasdar e. Lê belê, ev encam ji bo hejmara tam a pozîtîf F(99)+F(π).{\displaystyle F(0)+F(\pi ).} ne gengaz e. Ev nîşan dide ku pêşgotin a destpêkê, ya ku îdîa dike ${\displaystyle \pi }$ rasyonel e, dibe sedema nakokiyekê, û bi vî awayî îspatê bi dawî dike.

Ev îspata berê, guhertoyek pêşketî ye ku bi qestî ji aliyê zanîna pêşwext ve hatiye hêsankirin, û ji analîz a formula jêrîn hatiye girtin:

∫<!-- ∫ -->11πf(x)sin⁡(x)dx=∑j=56n(−69)j(f(§8990§j)(π)+f(§112113§j)(§122123§))+(−§137138§)n+§147148§∫§155156§πf(§170(x)sin⁡(x)dx,{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(f^{(2j)}(\pi )+f^{(2j)}(0)\right)+(-1)^{n+1}\int _{0}^{\pi }f^{(2n+2)}(x)\sin(x)\,dx,}

Ev encam bi ${\displaystyle 2n+2}$ entegrasyonên li pey hev bi perçeyan tê bidestxistin. Daxwaza 2 vê formulê piştrast dike, ku tê de Guherbar ${\displaystyle F}$ bi awayekî neyekser pêvajo ya entegrasyonê ya dubarekirî rave dike. Termê entegralê yê dawîn dibe sifir ji ber ku ${\displaystyle f^{(2n+2)}}$ polînoma sifir pêk tîne. Herwiha, Daxwaza 1 nîşan dide ku berhevoka mayî nirxek tam dide.

Îspata Niven ji ya ku Di destpêkê de dihat fikirîn, bêtir dişibe metodolojiya Cartwright (û Wekî encam ya Hermite). Bi taybetî,

39 ) n cos⁡ ( y ) d y . {\displaystyle \int _{-x}^{x}(x^{2}-y^{2})^{n}\cos(y)\,dy.}

Wekî encam, sepandina veguherîna ${\displaystyle xz=y}$ vê întegralê vediguherîne vê Formê:

∫<!-- ∫ --> −<!-- − --> x x ( x 28 − y 39 ) n cos ⁡ ( y ) d y . {\displaystyle \int _{-x}^{x}(x^{2}-y^{2})^{n}\cos(y)\,dy.}

Bi taybetî,

) = ∫ − π / π / ( π 85 − y ) n cos ⁡ ( y ) d y = ∫ 141 π ( π 166 − ( y − π ) ) n cos ⁡ ( y − π ) d y = ∫ 258 π y n ( π − y ) n sin ⁡ ( y ) d y = n ! b n ∫ 343 π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-y^{2}\right)^{n}\cos(y)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\right)^{n}\cos \left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }y^{n}(\pi -y)^{n}\sin(y)\,dy\\[5pt]&={\frac {n!}{b^{n}}}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx.\end{aligned}}}

Têkiliyek din di navbera van îsbatkirinan de di Çavdêriya Hermite de eşkere dibe, ku heke ${\displaystyle f}$ fonksiyonek polînomî temsîl bike, û

${\displaystyle F=f-f^{(2)}+f^{(4)}\mp \cdots ,}$ tê pênasekirin,

Wê demê nasnameya întegral a jêrîn derbasdar e:

${\displaystyle \int f(x)\sin(x)\,dx=F'(x)\sin(x)-F(x)\cos(x)+C,}$

Wekî encam, dikare were encamdan ku

∫<!-- ∫ -->11 π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = F ( π ) + F ( 62 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(\pi )+F(0).}

Îspata Bourbaki

Îspata ku ji Bourbaki re tê veqetandin, wekî temrînek Di nav de xebata wî ya hesabê ya berfireh de tê pêşkêşkirin. Ji bo her hejmareke xwezayî b û her hejmareke tam a ne-negatîf ${\displaystyle n,}$, ya jêrîn tê pênasekirin:

A n ( b ) = b n ∫<!-- ∫ -->34 π x n ( π − x ) n n ! sin ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle A_{n}(b)=b^{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {x^{n}(\pi -x)^{n}}{n!}}\sin(x)\,dx.}

Ji ber ku ${\displaystyle A_{n}(b)}$ yekpareya (integral) fonksiyonekê ye ku li ser navbera [36 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} hatiye pênasekirin, û nirxa wê li her du xalan 75 {\displaystyle 0} û ${\displaystyle \pi }$ dibe 59 {\displaystyle 0} , lê li cihên din bi tundî ji 108 {\displaystyle 0} mezintir e, ji ber vê yekê encam ev e ku ${\displaystyle A_{n}(b)>0.}$. Herwiha, ji bo her hejmareke xwezayî ${\displaystyle b,}$ Merc 190 {\displaystyle A_{n}(b)<1} derbasdar e dema ku ${\displaystyle n}$ têra xwe mezin be, ji ber ku

x ( π<!-- π --> −<!-- − --> x ) ≤<!-- ≤ --> ( π<!-- π --> 32) 39 {\displaystyle x(\pi -x)\leq \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}

Wekî encam,

A n ( b ) ≤<!-- ≤ --> π<!-- π --> b n35 n ! ( π §5455§ ) §5960§n = π ( b π §8081§ <!-- π -->/ §8586§ ) n n ! .{\displaystyle A_{n}(b)\leq \pi b^{n}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}=\pi {\frac {(b\pi ^{2}/4)^{n}}{n!}}.}

Berovajî, bi sepandina dubare ya Entegrasyonê bi perçeyan, dikare were îsbatkirin ku heke ${\displaystyle a}$ û ${\displaystyle b}$ hejmarên xwezayî ne bi awayekî ku ${\displaystyle \pi =a/b}$, û heke ${\displaystyle f}$ Fonksiyona polînomî temsîl dike ku ji navbera [83 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} ber bi ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ve diçe, ku wiha tê pênasekirin:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}},}$

wê demê ev jêrîn derbasdar e:

35 π f ( x ) sin ⁡ ( x ) d x = [ − f ( x ) cos ⁡ ( x ) ] x = 121 x = π − [ − f ′ ( x ) sin ⁡ ( x ) ] x = 185 x = π + ⋯   ± [ f ( ( x ) cos ⁡ ( x ) ] x = 265 x = π ± ∫ 288 π f ( ( x ) cos ⁡ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(b)&=\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\\[5pt]&={\Big [}{-f(x)\cos(x)}{\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }\,-{\Big [}{-f'(x)\sin(x)}{\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }+\cdots \\[5pt]&\ \qquad \pm {\Big [}f^{(2n)}(x)\cos(x){\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }\,\pm \int _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}(x)\cos(x)\,dx.\end{aligned}}}

Integrala dawîn digihîje 6 , {\displaystyle 0,} ji ber ku ${\displaystyle f^{(2n+1)}}$ fonksiyona vala temsîl dike. Ev ji ber ${\displaystyle f}$ bûyîn polînomek ji pileya ${\displaystyle 2n}$ ye. Ji ber ku her fonksiyonek ${\displaystyle f^{(k)}}$ (ji bo 119 ≤ k ≤ §129130§ n {\displaystyle 0\leq k\leq 2n} ) nirxên tam li §148149§ {\displaystyle 0} û ${\displaystyle \pi }$ dide, û bi berçavgirtina tevgera mîna ya fonksiyonên sînus û kosînusê, tê îspatkirin ku ${\displaystyle A_{n}(b)}$ hejmarek tam e. Herwiha, ji wê demê ve ku ev nirx ji §209210§ , {\displaystyle 0,} mezintir e jî, divê ew hejmarek xwezayî be. Lê belê, herwiha hatiye nîşandan ku 244§ {\displaystyle A_{n}(b)<1} ji bo ${\displaystyle n}$ yên têra xwe mezin, ku ev yek nakokiyekê derdixe holê.

Ev îspata taybetî pir dişibe îspata Niven; cûdahiya wan a sereke di metodolojiya ku ji bo nîşandana ku nirxên ${\displaystyle A_{n}(b)}$ tam in de ye.

Îspata Laczkovich

Miklós Laczkovich îspatek pêş xist ku metodolojiya orîjînal a Lambert hêsan dike. Nêzîkatiya wî tê de ye ku fonksiyonên taybetî bide ber çavan.

f k ( x ) =22 − x §3334§ k + x §4950§ §5455§ ! k ( k + §6667§ ) − x §8283§ §8788§ ! k ( k + §99100§ ) ( k + §109110§ ) + ⋯ ( k ∉ { §132133§ , − §139140§ , − §146147§ , …<!-- … --> } ) . {\displaystyle f_{k}(x)=1-{\frac {x^{2}}{k}}+{\frac {x^{4}}{2!k(k+1)}}-{\frac {x^{6}}{3!k(k+1)(k+2)}}+\cdots \quad (k\notin \{0,-1,-2,\ldots \}).}

Ev fonksiyon ji bo her hejmareke rastîn ${\displaystyle x.}$ bi zelalî hatine pênasekirin. Herwiha,

f10 / §1617§ ( x ) = cos ⁡ ( {\displaystyle f_{1/2}(x)=\cos(2x),}

${\displaystyle f_{3/2}(x)={\frac {\sin(2x)}{2x}}.}$

Daxwaza 1: Têkiliya dûbarekirinê ya jêrîn ji bo her hejmareke rastîn ${\displaystyle x}$ derbasdar e:

{\displaystyle {\frac {x^2}{k(k+1)}}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_k(x).}

Îspata vê îdîayê Analîz'eke berawirdî ya hejmarên pêşiyê yên ku bi hêzên {\displaystyle x.} ve girêdayî ne, dihewîne.

Daxwaza 2 destnîşan dike ku ji bo her hejmareke rastîn {\displaystyle x,} ev jêrîn derbasdar e:

{\displaystyle \lim _{k\to +\infty }f_k(x)=1.}

Îspat: Rêzeya {\displaystyle x^{2n}/n!} bi awayekî eşkere sînordar e, ji ber ku ew ber bi{\displaystyle 0} ve diçe. Wekî encam, heke{\displaystyle C} sînorek jorîn temsîl bike û

Ev newekhevîya jêrîn derbasdar e: {\displaystyle \left|f_{k}(x)-1\right|\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C}{k^{n}}}=C{\frac {1/k}{1-1/k}}={\frac {C}{k-1}}.} Ev nîşan dide ku cudahiya mutleq a di navbera fk(x) û 1 de ji hêla rêzikek Bêdawî ve sînorkirî ye ku digihîje C dabeşkirî bi (k kêm 1).

Daxwaza 3 destnîşan dike ku heke x ne wekhevî §1314§ be (ango, {\displaystyle x\neq 0,}), û heke x ya çargoşe (ango, {\displaystyle x^{2}}) hejmarek rasyonel be, Herwiha, heke k ji koma hejmarên rasyonel ên ku 0 û hejmarên neyînî jê hatine derxistin be (ango, {\displaystyle k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}}), wê demê şertên jêrîn derbasdar in:

Bi taybetî, fk(x) dê ne wekhevî §2324§ be, û rêjeya fk+§4445§(x) li ser fk(x) dê ne hejmarek rasyonel be, wekî ku bi fermî hatiye diyarkirin: {\displaystyle f_{k}(x)\neq 0\quad {\text{ and }}\quad {\frac {f_{k+1}(x)}{f_{k}(x)}}\notin \mathbb {Q} .}

Îspat: Wekî din, bifikirin ku hejmarek ne-sifir y û tamhejmêrêna ûb hene ku şertênf_k(x)=ay ûf_{k+1}(x)=by. bicîh tînin.

Fonksiyona 43cnk(k+67)⋯(k+n−§7980§)fk+n(x)n≠103{\displaystyle g_{n}={\begin{cases}f_{k}(x)&n=0\\{\dfrac {c^{n}}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)&n\neq 0\end{cases}}} wiha tê pênasekirin:

Wê demê ev jê derdikeve ku

Termên destpêkê ji hêla g10=fk(x)=ay∈Zy û g56=ckfk+77(x)=bcky∈Zy.{\displaystyle g_{0}=f_{k}(x)=ay\in \mathbb {Z} y\quad {\text{ and }}\quad g_{1}={\frac {c}{k}}f_{k+1}(x)={\frac {bc}{k}}y\in \mathbb {Z} y.} ve têne dayîn.

Berovajî, ji hêla Daxwaza 1 ve tê destnîşankirin ku

= c n + x k ( k + 59 ) ⋯ ( k + n − §7778§ ) ⋅ x ( k + n ) ( k + n + 118 ) f k + n + ( x ) = c n + x k ( k + 188 ) ⋯ ( k + n − §206207§ ) f k + n + 225 ( x ) − c n + x k ( k + 269 ) ⋯ ( k + n − §287288§ ) f k + n ( x ) = c ( k + n ) x g n + 356 − c x g n = ( c k x + c x n ) g n + 453 − c x g n , {\displaystyle {\begin{aligned}g_{n+2}&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}\cdot {\frac {x^{2}}{(k+n)(k+n+1)}}f_{k+n+2}(x)\\[5pt]&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n+1}(x)-{\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)\\[5pt]&={\frac {c(k+n)}{x^{2}}}g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n}\\[5pt]&=\left({\frac {ck}{x^{2}}}+{\frac {c}{x^{2}}}n\right)g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n},\end{aligned}}}

Ev îfade kombînasyoneke xêzî ya g n +14 {\displaystyle g_{n+1}} û ${\displaystyle g_{n}}$ ye, ku tê de hevberên tam hene. Wekî encam, her endamek ${\displaystyle g_{n}}$ pirjimareke tam a ${\displaystyle y.}$ pêk tîne. Herwiha, li gorî Daxwaza 2, hatiye destnîşankirin ku her ${\displaystyle g_{n}}$ ji 116 {\displaystyle 0} mezintir e (ku tê wateya ku ${\displaystyle g_{n}\geq |y|}$) ji bo ${\displaystyle n}$-yên têra xwe mezin, û ku rêzeya ku hemî ${\displaystyle g_{n}}$ diçe ber bi ${\displaystyle 0.}$ ve. Lê belê, rêzeyek ji hejmaran ku bi domdarî ji ${\displaystyle |y|}$ mezintir an wekhev in, nikare ber bi ${\displaystyle 0.}$ ve biçe.

Ji ber ku f10 / §1617§ ( 25 §2728§ π ) = cos ⁡ 47§4950§ π = 59 , {\displaystyle f_{1/2}({\tfrac {1}{4}}\pi )=\cos {\tfrac {1}{2}}\pi =0,} ye, Daxwaza 3 bi mentiqî destnîşan dike ku 80 §8283§ π §9293§ {\displaystyle {\tfrac {1}{16}}\pi ^{2}} ne-rêjeyî ye, ku ev jî îsbat dike ku ${\displaystyle \pi }$ ne-rêjeyî ye.

Berovajî, ji ber ku

76 / §8283§ ( x / , {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=x{\frac {f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2)}},}

Encamek din ê Daxwaza 3 ev e ku heke x ∈<!-- ∈ --> Q ∖<!-- ∖ --> {20 } , {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},} wê demê ${\displaystyle \tan x}$ jimareyek ne-rêjeyî ye.

Îspata Laczkovich li ser Fonksiyona hîpergeometrîk disekine. Bi taybetî, f k ( x ) =26 F 34 ( k − x 49 ) {\displaystyle f_{k}(x)={}_{0}F_{1}(k-x^{2})} . Gauss berê berfirehkirinek perçeyî ya domdar ji bo Fonksiyona hîpergeometrîk bi karanîna hevkêşeya wê ya Fonksiyonel saz kiribû. Ev Kara bingehîn Laczkovich karî ku îspatek nû û hêsantir ji bo berfirehkirina perçeyî ya domdar a Fonksiyona tangentê pêş bixe, keşfek ku di eslê xwe de ji Lambert re dihat veqetandin.

Vedîtinên Laczkovich dikarin bi awayekî din bi karanîna Fonksiyonên Bessel ên cureya yekem, bi taybetî ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$, bên vegotin. Bi taybetî, têkilî bi vê yekê tê pênasekirin: Γ<!-- Γ --> ( k ) J k −<!-- − -->53 ( {\displaystyle \Gamma (k)J_{k-1}(2x)=x^{k-1}f_{k}(x)} , li vir ${\displaystyle \Gamma }$ Fonksiyona Gamma nîşan dide. Wekî encam, vedîtina Laczkovich wekhev e bi îdiaya ku heke x ≠<!-- ≠ -->130 , {\displaystyle x\neq 0,} û x 152 {\displaystyle x^{2}} rêjeyî be, bi k ∈<!-- ∈ --> Q ∖<!-- ∖ --> {184 , − §191192§ , − §198199§ , …<!-- … --> } {\displaystyle k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}} , wê demê

x J k ( x ) J k −<!-- − -->36 ( x ) ∉ Q . {\displaystyle {\frac {xJ_{k}(x)}{J_{k-1}(x)}}\notin \mathbb {Q} .}

Îspata bêrêjeyîbûna e

• Îspata transcendenca π
• Demonstration of the transcendence of π

Çavkanî