Dimensão fractal (Fractal dimension)

Na teoria da medida geométrica, as dimensões fractais permitem índices estatísticos consistentes de complexidade nos padrões. Como os padrões fractais podem variar em escala,…

Na teoria da medida geométrica, as dimensões fractais fornecem índices estatísticos consistentes para a complexidade dos padrões. Dado que os padrões fractais exibem variância de escala, a quantificação da capacidade de preenchimento de espaço necessita do uso de dimensões não inteiras (fractais).

O conceito fundamental de dimensões "fraturadas" possui uma trajetória histórica substancial dentro da matemática. No entanto, a terminologia específica foi popularizada por Benoit Mandelbrot, com base na sua publicação de 1967 sobre auto-similaridade, na qual explorou dimensões fracionárias. Nesse artigo, Mandelbrot fez referência a pesquisas anteriores de Lewis Fry Richardson, que elucidou o fenômeno contra-intuitivo de que o comprimento medido de uma linha costeira varia de acordo com o comprimento do instrumento de medição empregado. Estendendo este conceito, a dimensão fractal de uma linha costeira quantifica a relação entre o número de unidades de medida em escala necessárias para delinear a linha costeira e a escala aplicada a essas unidades. Múltiplas definições matemáticas formais de dimensão fractal baseiam-se neste princípio fundamental de variação de detalhes dependente da alteração de escala.

Em última análise, o próprio Mandelbrot descobriu que o termo dimensão fractal era a expressão mais adequada para encapsular o significado da palavra fractal, um neologismo que ele cunhou. Após numerosos refinamentos durante um longo período, Mandelbrot formalizou sua preferência linguística: "empregar fractal sem uma definição pedante e utilizar dimensão fractal como um termo genérico aplicável a todas as variantes."

Uma ilustração não trivial importante é fornecida pela dimensão fractal de um floco de neve de Koch. Embora possua uma dimensão topológica de 1, é comprovadamente não retificável, pois o comprimento da curva entre quaisquer dois pontos no floco de neve de Koch é infinito. Nenhum segmento infinitesimal dela se assemelha a uma linha; em vez disso, compreende uma infinidade de segmentos unidos em ângulos variados. A dimensão fractal de uma curva pode ser conceitualizada intuitivamente considerando uma linha fractal como uma entidade que possui detalhes excessivos para a unidimensionalidade, mas complexidade insuficiente para a bidimensionalidade. Consequentemente, a sua dimensão é caracterizada com mais precisão não pela sua dimensão topológica convencional de 1, mas pela sua dimensão fractal, que normalmente fica entre um e dois; para o floco de neve de Koch, esse valor é aproximadamente 1,2619.

Introdução

Uma dimensão fractal serve como um índice para caracterizar padrões ou conjuntos fractais, quantificando sua complexidade através de uma proporção entre variação de detalhes e alteração de escala. Vários tipos de dimensões fractais são passíveis de medição teórica e empírica. As dimensões fractais são empregadas para caracterizar uma ampla gama de objetos, abrangendo desde construções abstratas até fenômenos tangíveis, como turbulência, redes fluviais, desenvolvimento urbano, fisiologia humana, aplicações médicas e dinâmica de mercado. O conceito fundamental de dimensões fracionárias ou fractais possui uma história matemática substancial, que pode ser rastreada até o século XVII; no entanto, os termos específicos fractal e dimensão fractal foram cunhados pelo matemático Benoit Mandelbrot em 1975.

Inicialmente, as dimensões fractais foram utilizadas como um índice para caracterizar formas geométricas complexas onde pequenos detalhes substituíam a representação macroscópica geral. Para conjuntos que representam formas geométricas convencionais, a dimensão fractal teórica corresponde precisamente à dimensão euclidiana ou topológica estabelecida do conjunto. Conseqüentemente, é 0 para conjuntos de pontos (dimensional 0); 1 para conjuntos de linhas (unidimensionais, possuindo apenas comprimento); 2 para conjuntos de superfície (bidimensionais, possuindo comprimento e largura); e 3 para conjuntos de volumes (tridimensionais, possuindo comprimento, largura e altura). No entanto, esta relação diverge para conjuntos fractais. Caso a dimensão fractal teórica de um conjunto ultrapasse sua dimensão topológica, o conjunto é então classificado como exibindo geometria fractal.

Ao contrário das dimensões topológicas, o índice fractal pode assumir valores não inteiros, significando que um conjunto ocupa espaço de maneira qualitativa e quantitativamente distinta dos conjuntos geométricos convencionais. Por exemplo, uma curva que possui uma dimensão fractal próxima de 1, como 1,10, apresenta características semelhantes a uma linha padrão, enquanto uma curva com uma dimensão fractal de 1,9 atravessa o espaço de uma forma altamente complicada, assemelhando-se muito a uma superfície. Analogamente, uma superfície com dimensão fractal de 2,1 ocupa espaço de forma muito semelhante a uma superfície comum, mas uma superfície com dimensão fractal de 2,9 dobra-se e flui, preenchendo efetivamente o espaço quase como um volume. Essa relação abrangente é ilustrada pelas duas curvas fractais representadas na Figura 2 e na Figura 3: o contorno de 32 segmentos na Figura 2, que é complicado e preenche o espaço, possui uma dimensão fractal de 1,67, em contraste com a curva de Koch visivelmente menos intricada na Figura 3, que tem uma dimensão fractal aproximada de 1,2619.

Embora uma dimensão fractal crescente possa sugerir uma correlação com o preenchimento do espaço, implicando que as dimensões fractais quantificam a densidade, isto é impreciso; os dois conceitos não estão estritamente correlacionados. Em vez disso, uma dimensão fractal quantifica a complexidade, um conceito intrinsecamente ligado às características fundamentais dos fractais: auto-similaridade e detalhes intrincados ou irregularidades. Esses atributos são claramente demonstrados nos dois exemplos de curvas fractais mencionados acima. Ambas são curvas com dimensão topológica 1, o que leva a antecipar a possibilidade de medir seu comprimento e derivada utilizando métodos aplicáveis a curvas ordinárias. No entanto, tais medições não são viáveis, uma vez que as curvas fractais possuem um nível de complexidade, manifestado como auto-similaridade e detalhes intrincados, que está ausente nas curvas comuns. A auto-similaridade surge da escala infinita, enquanto o detalhe reside nos elementos definidores de cada conjunto. O comprimento entre quaisquer dois pontos nestas curvas é infinito, independentemente da sua proximidade, o que impede a aproximação do comprimento de tal curva particionando-a em numerosos pequenos segmentos. Cada segmento menor compreende um número infinito de componentes escalonados que replicam com precisão a iteração inicial. Estas são curvas não retificáveis, ou seja, seus comprimentos não podem ser determinados pela decomposição em múltiplos segmentos que se aproximem de suas respectivas medidas. Conseqüentemente, eles não podem ser caracterizados de forma significativa através do cálculo de seus comprimentos e derivadas. No entanto, as suas dimensões fractais podem ser determinadas, demonstrando que ambos os tipos de curvas ocupam mais espaço do que as linhas comuns, mas menos do que as superfícies, permitindo assim a sua comparação neste aspecto específico. Esta característica estrutural pode ser extrapolada para outras dimensões espaciais; por exemplo, um fractal que estende a curva de Koch no espaço tridimensional possui um D teórico de 2,5849. No entanto, tal complexidade distintamente quantificável representa apenas uma manifestação da auto-similaridade e dos detalhes intrincados inerentes aos fractais. A costa da Grã-Bretanha, por exemplo, demonstra uma auto-similaridade aproximada caracterizada por um padrão e escala aproximados. Em geral, os fractais exibem diversos tipos e graus de auto-similaridade e detalhes que podem não ser facilmente aparentes visualmente. Estes incluem, por exemplo, atratores estranhos, onde o detalhe foi caracterizado como acumulação de porções essencialmente lisas; o conjunto Julia, que se manifesta como redemoinhos complexos após redemoinhos; e frequências cardíacas, que se apresentam como padrões de picos bruscos repetidos e escalonados ao longo do tempo. A complexidade fractal nem sempre pode ser decomposta em unidades de detalhe e escala facilmente compreensíveis sem o emprego de métodos analíticos sofisticados, mas permanece quantificável através de dimensões fractais.

Histórico

Os termos dimensão fractal e fractal foram introduzidos por Mandelbrot em 1975, aproximadamente dez anos após a sua publicação sobre a auto-similaridade da costa britânica. Os relatos históricos muitas vezes atribuem a Mandelbrot a integração de séculos de intrincadas matemáticas teóricas e engenharia, que ele então aplicou de forma inovadora para analisar geometrias complexas que resistiam às descrições lineares convencionais. Os conceitos fundamentais que Mandelbrot mais tarde sintetizou na dimensão fractal podem ser claramente atribuídos a textos de meados do século XVII sobre funções não diferenciáveis e infinitamente auto-semelhantes, que são fundamentais para a definição matemática de fractais e surgiram simultaneamente com a descoberta do cálculo. Após este período inicial, ocorreu um declínio temporário na pesquisa publicada sobre tais funções, sucedido por um ressurgimento no final do século 19 com a introdução de funções matemáticas e conjuntos agora reconhecidos como fractais canônicos (por exemplo, os trabalhos de von Koch, Sierpiński e Julia), embora inicialmente, estes fossem frequentemente considerados como 'monstros' matemáticos não convencionais. Um desenvolvimento crucial na evolução do conceito de dimensão fractal foi o trabalho de Hausdorff no início do século 20, onde ele definiu uma dimensão 'fracionária', posteriormente batizada em sua homenagem, que é frequentemente empregada na definição contemporânea de fractais.

Definição Matemática

A definição matemática de dimensão fractal é derivada da observação e subsequente generalização de como as dimensões tradicionais influenciam as mudanças de medição durante o dimensionamento. Por exemplo, considere um segmento de linha e uma régua de medição de comprimento equivalente. Se a vareta for reduzida a um terço do seu tamanho original, três dessas varetas poderão agora caber dentro do segmento de linha. Analogamente, em duas dimensões, se um quadrado for medido por um "quadrado de medição" idêntico e o lado do quadrado de medição for reduzido a um terço de seu comprimento, então 3 ^ 2 = 9 quadrados de medição caberão no quadrado maior. Essas relações de escala estabelecidas estão em conformidade com a equação (1), onde $\varepsilon$ representa o fator de escala, $D$ denota a dimensão e $N$ significa o número resultante de unidades (por exemplo, palitos, quadrados) dentro do objeto medido:

Para o exemplo de linha, a dimensão $D=1$ 11§ {\displaystyle D=1} porque $N=3$ unidades são presente quando o fator de escala $\varepsilon =1/3$ 52§ / §5758§ {\displaystyle \varepsilon =1/3} . Por outro lado, no exemplo do quadrado, $D=2$ dado que $N=9$ quando $\varepsilon =1/3$ 119§ / §124125§ {\displaystyle \varepsilon =1/3} .

A dimensão fractal estende o conceito de dimensão tradicional ao permitir valores fracionários, mas mantém uma relação idêntica com a escala; na verdade, sua derivação envolve um rearranjo direto da equação (1):

$D$ pode ser conceituado como o expoente do fator de escala para a medida de um objeto, dependendo de uma escala específica de seu 'raio'.

O floco de neve de Koch, por exemplo, possui uma dimensão fractal de $D=1.26185\ldots$ . Este valor significa que à medida que seu raio se expande, sua medida aumenta a uma taxa que excede a de uma forma unidimensional (por exemplo, um polígono), mas fica aquém de uma forma bidimensional (por exemplo, um polígono preenchido).

É importante observar que as imagens apresentadas aqui não são fractais genuínos, pois o dimensionamento é caracterizado por $D$ termina em seu menor constituinte, o pixel. Por outro lado, os padrões teóricos representados por essas imagens carecem de elementos discretos semelhantes a pixels; em vez disso, eles compreendem uma série infinita de segmentos em escala infinita e exibem genuinamente as dimensões fractais especificadas.

D como um descritor não exclusivo

Semelhante às dimensões atribuídas a linhas, quadrados e cubos, as dimensões fractais servem como descritores gerais que não caracterizam padrões de forma singular. Por exemplo, o valor D para o fractal de Koch acima mencionado quantifica o seu comportamento intrínseco de escala, mas é insuficiente para descrever ou permitir exclusivamente a sua reconstrução. Numerosas estruturas ou padrões fractais poderiam ser gerados exibindo relações de escala idênticas, mas diferindo significativamente da curva de Koch, como demonstrado na Fig. 6.

Estruturas de Superfície Fractal

O princípio da fractalidade é cada vez mais utilizado na ciência de superfícies, estabelecendo uma conexão entre atributos de superfície e características funcionais. Vários descritores de superfície são empregados para analisar a estrutura de superfícies ostensivamente planas, que frequentemente exibem propriedades auto-afins em diversas escalas de comprimento. Embora a rugosidade média da superfície, normalmente designada R_A, represente o descritor de superfície mais prevalente, muitos outros, como inclinação média e rugosidade quadrática média (R_RMS), também são aplicados rotineiramente. No entanto, foi observado que numerosos fenômenos físicos de superfície não são facilmente elucidados usando esses descritores. Consequentemente, a dimensão fractal está sendo progressivamente adotada para correlacionar a estrutura da superfície, especificamente o seu comportamento de escala, com o desempenho. As dimensões fractais das superfícies têm sido fundamentais para elucidar e melhorar a compreensão de fenômenos em campos como mecânica de contato, comportamento friccional, resistência de contato elétrico e óxidos condutores transparentes.

Exemplos ilustrativos

O conceito de dimensão fractal apresentado neste artigo oferece uma perspectiva fundamental sobre uma construção complexa. Os exemplos fornecidos foram selecionados pela sua clareza, com unidades de escala e proporções predeterminadas. Em aplicações práticas, no entanto, as dimensões fractais são determináveis através de métodos que aproximam a escala e detalham os limites derivados das linhas de regressão em gráficos log-log de tamanho versus escala. Abaixo estão várias definições matemáticas formais para vários tipos de dimensões fractais. Embora essas dimensões convirjam para conjuntos compactos que exibem auto-similaridade afim exata, elas geralmente não são equivalentes.

A dimensão de contagem de caixas é calculada como o expoente de uma lei de potência, expressa pela seguinte fórmula:
$D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.$
13§
= lim ε → §28
29§
log ⁡ N ( ε ) log ⁡ §58
59§ ε
. {\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}
A dimensão de informação quantifica a informação média necessária para identificar uma caixa ocupada, examinando seu comportamento de escala em relação ao tamanho da caixa. Isso é expresso pela seguinte fórmula, onde $p$ representa uma probabilidade:
$D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.$ 29§ = lim ε → §4445§ − ⟨ log ⁡ p ε ⟩ log ⁡ §8384§ ε . {\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}
A dimensão de correlação é determinada considerando $M$ , que representa o número total de pontos utilizados para construir a representação de um fractal, e g_ε, que denota a contagem de pares de pontos separados por uma distância menor que ε. A fórmula é a seguinte:
$D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.$ 63§ log ⁡ ( g ε / M §93 $M$ ) log ⁡ ε . {\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.}
Dimensões generalizadas, ou Rényi, abrangem as dimensões de contagem de caixas, informações e correlação como instâncias específicas dentro de um espectro contínuo de dimensões generalizadas de ordem α, formalmente definidas por:
$D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.$
30§
§38
39§ α − §47
48§
log ⁡ ( ∑ i p i α ) log ⁡ ε . {\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.}
A dimensão Higuchi é expressa matematicamente como:
$D={\frac {d\log L(k)}{d\log k}}.$
Dimensão Lyapunov
As dimensões multifractais representam uma categoria específica das dimensões de Rényi, caracterizadas por um comportamento de escala que exibe variação em regiões distintas de um determinado padrão.
Expoente de incerteza
A dimensão de Hausdorff é um conceito fundamental na geometria fractal. Para qualquer subconjunto $S$ dentro de um espaço métrico $X$ , e para qualquer número real não negativo $d\geq 0$ 44§{\displaystyle d\geq 0}, o d-dimensional conteúdo de Hausdorff de S é formalmente expresso como: $C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ há uma cobertura de }}S{\text{ por bolas com raios }}r_{i}>0{\Bigr \}}.$ 137§}.{\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ há uma cobertura de }}S{\text{ por bolas com raios }}r_{i}>0{\Bigr \}}.} Posteriormente, a dimensão Hausdorff de S é definida precisamente como:
$\dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$ 193§:CHd(X)=§216217§}.{\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}
Dimensão da embalagem
Dimensão Assouad
Dimensão local conectada
A dimensão de graus quantifica as características fractais inerentes à distribuição de graus dos gráficos.
Dimensão parabólica de Hausdorff

Estimativa a partir de dados empíricos

Numerosos fenômenos do mundo real exibem propriedades fractais limitadas ou estatísticas, com suas dimensões fractais frequentemente estimadas a partir de dados amostrados por meio de metodologias avançadas de análise fractal baseadas em computador. Em aplicações práticas, a medição de dimensões fractais é suscetível a diversos desafios metodológicos, incluindo sensibilidade a ruídos numéricos ou experimentais e restrições impostas pelo volume de dados. Apesar destes desafios, o campo está a experimentar uma rápida expansão, dado que as dimensões fractais estimadas para fenómenos estatisticamente auto-similares oferecem utilidade prática substancial numa multiplicidade de disciplinas. Isso inclui astronomia, acústica, arquitetura, geologia e ciências da terra, diagnóstico por imagem, ecologia, processos eletroquímicos, análise de imagens, biologia e medicina, neurociência, análise de redes, fisiologia, física e o estudo dos zeros zeta de Riemann. Além disso, estudos empíricos demonstraram uma correlação entre as estimativas da dimensão fractal e a complexidade de Lempel-Ziv em conjuntos de dados do mundo real, particularmente aqueles provenientes da psicoacústica e da neurociência.

Em vez da medição direta, uma abordagem alternativa envolve o emprego de um modelo matemático que simula a formação de um objeto fractal do mundo real. A validação do modelo pode então ser alcançada comparando propriedades não fractais previstas pelo modelo com dados empíricos. No campo da física coloidal, frequentemente surgem sistemas que consistem em partículas exibindo diversas dimensões fractais. A caracterização destes sistemas muitas vezes requer a discussão de uma distribuição de dimensões fractais e, subsequentemente, da sua evolução temporal, um processo dinâmico influenciado pela intrincada interação de agregação e coalescência.

Lista de fractais por dimensão de Hausdorff
Derivada fractal – Generalização da derivada para fractais

Referências

Mandelbrot, Benoit B.; Hudson, Richard L. (2010). O (des)comportamento dos mercados: uma visão fractal de risco, ruína e recompensa. Livros de perfil. ISBN 978-1-84765-155-6.

Mandelbrot, Benoit B.; Hudson, Richard L. (2010). O (des)comportamento dos mercados: uma visão fractal do risco, da ruína e da recompensa. Livros de perfil. ISBN 978-1-84765-155-6.
- O Benoit da TruSoft, produto de software de análise fractal, calcula dimensões fractais e expoentes de impacto.
- Introdução à Análise Fractal
- "Fractais normalmente não são auto-semelhantes". 3Azul1Marrom.

Dimensão fractal (Fractal dimension)