Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (23 de março de 1882 - 14 de abril de 1935) foi uma matemática alemã conhecida por suas contribuições significativas à álgebra abstrata. Ela também estabeleceu o primeiro e o segundo teoremas de Noether, que são fundamentais na física matemática. Matemáticos proeminentes, incluindo Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl e Norbert Wiener, caracterizaram Noether como a figura feminina mais importante na história da matemática. Como matemática proeminente de sua época, ela formulou teorias sobre anéis, campos e álgebras. No domínio da física, o teorema de Noether elucida a relação intrínseca entre simetria e leis de conservação.

Amalie Emmy Noether (23 de março de 1882 – 14 de abril de 1935) foi uma matemática alemã que fez muitas contribuições importantes à álgebra abstrata. Ela também provou o primeiro e o segundo teoremas de Noether, que são fundamentais na física matemática. Noether foi descrita por Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl e Norbert Wiener como a mulher mais importante na história da matemática. Como uma das principais matemáticas de seu tempo, ela desenvolveu teorias de anéis, campos e álgebras. Na física, o teorema de Noether explica a conexão entre simetria e leis de conservação.

Noether nasceu em uma família judia em Erlangen, uma cidade da Francônia; seu pai, Max Noether, também era matemático. Inicialmente, pretendia seguir a carreira de professora de francês e inglês, tendo sido aprovada nos exames exigidos; no entanto, ela finalmente escolheu estudar matemática na Universidade de Erlangen – Nuremberg, onde seu pai ocupou um cargo de professor. Após concluir seu doutorado em 1907, orientado por Paul Gordan, ela passou sete anos trabalhando não remunerado no Instituto de Matemática de Erlangen. Durante este período, as mulheres foram geralmente impedidas de exercer cargos acadêmicos. Em 1915, David Hilbert e Felix Klein convidaram-na para ingressar no departamento de matemática da Universidade de Göttingen, um centro mundialmente reconhecido de pesquisa matemática. A faculdade filosófica levantou objeções, levando-a a lecionar durante quatro anos sob o nome de Hilbert. Sua habilitação foi aprovada em 1919, o que lhe permitiu alcançar o posto de Privatdozent.

Noether manteve um papel de destaque no departamento de matemática de Göttingen até 1933; seus alunos eram ocasionalmente chamados de "Noether Boys". Em 1924, o matemático holandês B. L. van der Waerden tornou-se parte de seu grupo acadêmico e rapidamente emergiu como o principal intérprete dos conceitos de Noether; sua pesquisa formou a base para o segundo volume de seu influente livro de 1931, Moderne Algebra. Sua experiência algébrica ganhou reconhecimento global na época de seu discurso plenário no Congresso Internacional de Matemáticos de 1932, em Zurique. No ano seguinte, o governo nazista da Alemanha expulsou acadêmicos judeus de cargos universitários, o que levou Noether a se mudar para os Estados Unidos para um cargo no Bryn Mawr College, na Pensilvânia. Na Bryn Mawr, ela instruiu estudantes de graduação e pós-doutorado, notadamente Marie Johanna Weiss e Olga Taussky-Todd. Ao mesmo tempo, ela deu palestras e conduziu pesquisas no Instituto de Estudos Avançados em Princeton, Nova Jersey.

As contribuições matemáticas de Noether são categorizadas em três "épocas" distintas. Durante a primeira época (1908-1919), ela avançou as teorias de invariantes algébricos e campos numéricos. Sua pesquisa sobre invariantes diferenciais no cálculo de variações, conhecida como teorema de Noether, foi elogiada como "um dos teoremas matemáticos mais significativos já estabelecidos para direcionar a evolução da física moderna". Na segunda época (1920–1926), ela iniciou um trabalho que "transformou a paisagem da álgebra [abstrata]". Em seu artigo seminal de 1921, Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria dos Ideais em Domínios de Anéis), Noether avançou a teoria dos ideais em anéis comutativos, transformando-a em uma ferramenta amplamente aplicável. Ela empregou com maestria a condição da cadeia ascendente, e os objetos matemáticos que preenchem essa condição são designados como Noetherianos em homenagem a ela. Durante a terceira época (1927–1935), ela publicou pesquisas sobre álgebras não comutativas e números hipercomplexos, integrando a teoria da representação de grupos com a teoria dos módulos e ideais. Além de suas publicações pessoais, Noether compartilhou generosamente seus insights e é reconhecida por inspirar diversas direções de pesquisa seguidas por outros matemáticos, mesmo em áreas distantes de seu foco principal, como a topologia algébrica.

Biografia

Primeira vida

Amalie Emmy Noether nasceu em 23 de março de 1882, em Erlangen, Baviera. Ela era a mais velha dos quatro filhos dos matemáticos Max Noether e Ida Amalia Kaufmann, ambos originários de famílias abastadas de comerciantes judeus. Embora seu primeiro nome fosse "Amalie", ela adotou o nome do meio desde cedo e o usou consistentemente ao longo de sua vida adulta e em seus trabalhos publicados.

Em sua juventude, Noether não alcançou distinção acadêmica, mas foi reconhecida por seu intelecto e disposição amigável. Ela teve miopia e um pequeno ceceio durante a infância. Mais tarde, um conhecido da família contou uma anedota da juventude de Noether, ilustrando sua perspicácia lógica inicial por meio da rápida resolução de um quebra-cabeça intelectual em uma reunião infantil. Ela recebeu instruções em habilidades domésticas, uma prática comum para as meninas de sua época, e teve aulas de piano. Embora não exercesse nenhuma dessas atividades com particular fervor, ela demonstrava um grande gosto pela dança.

Noether tinha três irmãos mais novos. O mais velho, Alfred Noether, nascido em 1883, obteve o doutorado em química em Erlangen em 1909, mas faleceu nove anos depois. Fritz Noether, nascido em 1884, estudou em Munique e contribuiu para o campo da matemática aplicada. Ele provavelmente foi executado na União Soviética em 1941, durante a Segunda Guerra Mundial. O mais novo, Gustav Robert Noether, nascido em 1889, sofria de doença crónica e morreu em 1928; detalhes sobre sua vida são escassos.

Educação

Noether demonstrou aptidão precoce em francês e inglês. No início de 1900, ela fez o exame para professores de línguas, obtendo uma avaliação geral de sehr gut (muito bom). Embora este desempenho a tenha tornado elegível para ensinar línguas em escolas para raparigas, ela optou por prosseguir os seus esforços académicos na Universidade de Erlangen-Nuremberg, onde o seu pai era professor.

Isto constituiu uma escolha pouco ortodoxa; dois anos antes, o Senado Acadêmico da universidade havia afirmado que o ensino misto "derrubaria toda a ordem acadêmica". Como uma das duas únicas mulheres entre 986 estudantes, Noether tinha permissão apenas para auditar cursos, impedindo a participação total, e precisava obter consentimento individual dos professores cujas palestras ela desejava assistir. Apesar desses impedimentos, ela passou com sucesso no exame de graduação em um Realgymnasium em Nuremberg em 14 de julho de 1903.

Durante o semestre de inverno de 1903-1904, ela realizou estudos na Universidade de Göttingen, participando de palestras proferidas pelo astrônomo Karl Schwarzschild e pelos matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein e David. Hilberto.

Em 1903, as limitações à matrícula completa das mulheres nas universidades da Baviera foram suspensas. Noether retornou a Erlangen, reingressando formalmente na universidade em outubro de 1904 e articulando sua dedicação exclusiva à matemática. Ela era uma das seis mulheres de seu grupo (incluindo duas auditoras) e a única mulher no departamento acadêmico escolhido. Sob a supervisão de Paul Gordan, ela completou sua dissertação de doutorado, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sobre Sistemas Completos de Invariantes para Formas Biquadráticas Ternárias), em 1907, obtendo a graduação com honras summa cum laude no final daquele ano. Gordan, um proponente da escola "computacional" da teoria dos invariantes, supervisionou uma tese que concluiu com uma enumeração de mais de 300 invariantes explicitamente derivados. Esta abordagem aos invariantes foi posteriormente suplantada pela metodologia mais abstrata e generalizada avançada por Hilbert. Embora recebida favoravelmente na época, Noether mais tarde caracterizou sua dissertação e subsequentes publicações relacionadas como "porcaria". Seus esforços de pesquisa subsequentes divergiram inteiramente em um domínio distinto.

Universidade de Erlangen–Nuremberg

De 1908 a 1915, Noether serviu como professora não remunerada no Instituto de Matemática de Erlangen, substituindo periodicamente seu pai, Max Noether, quando ele estava incapacitado de lecionar devido a uma doença. Tornou-se membro do Circolo Matematico di Palermo em 1908 e do Deutsche Mathematiker-Vereinigung em 1909. Em 1910 e 1911, publicou publicações estendendo sua pesquisa de doutorado de três variáveis para n variáveis.

Gordan aposentou-se em 1910, e Noether continuou suas funções de ensino sob a orientação de seus sucessores, Erhard Schmidt e Ernst Fischer, que assumiram o cargo do primeiro em 1911. De acordo com seu colega Hermann Weyl e seu biógrafo Auguste Dick, Fischer exerceu uma influência significativa sobre Noether, principalmente ao familiarizá-la com as contribuições de David Hilbert. Noether e Fischer cultivaram um relacionamento intelectual vibrante em relação à matemática e frequentemente se envolveram em extensas discussões pós-palestra; Noether teria enviado cartões postais para Fischer, ampliando assim suas deliberações matemáticas.

Entre 1913 e 1916, Noether foi autor de diversas publicações que expandiram e aplicaram as metodologias de Hilbert a construções matemáticas, incluindo campos de funções racionais e invariantes de grupos finitos. Este período representou o envolvimento inicial de Noether com a álgebra abstrata, um domínio onde ela posteriormente alcançaria avanços seminais. Enquanto estava em Erlangen, Noether orientou dois doutorandos, Hans Falckenberg e Fritz Seidelmann, que defenderam com sucesso suas dissertações em 1911 e 1916, respectivamente. Apesar do envolvimento substancial de Noether, ambos os alunos foram formalmente supervisionados por seu pai. Após obter seu doutorado, Falckenberg ocupou cargos em Braunschweig e Königsberg antes de ser nomeado professor na Universidade de Giessen, enquanto Seidelmann obteve o cargo de professor em Munique.

Universidade de Göttingen

Habilitação e Desenvolvimento do Teorema de Noether

No início de 1915, David Hilbert e Felix Klein convidaram Noether para voltar à Universidade de Göttingen. O esforço deles para nomeá-la encontrou resistência inicial por parte de filólogos e historiadores da faculdade de filosofia, que sustentavam que as mulheres eram inadequadas para o cargo de privatdozenten. Durante uma reunião departamental convocada para discutir o assunto, um membro do corpo docente manifestou oposição, afirmando: "O que pensarão os nossos soldados quando regressarem à universidade e descobrirem que são obrigados a aprender aos pés de uma mulher?" Hilbert, afirmando que as qualificações de Noether eram o único fator pertinente e que o sexo do candidato era irrelevante, objetou veementemente e repreendeu aqueles que se opunham à sua habilitação. Embora suas palavras precisas não existam, é frequentemente relatado que sua objeção incluía a afirmação de que a universidade "não era uma casa de banhos". As recordações de Pavel Alexandrov indicam que a oposição do corpo docente a Noether resultou não apenas do sexismo, mas também da desaprovação das suas convicções políticas social-democratas e da herança judaica.

Noether mudou-se para Göttingen no final de abril; quinze dias depois, sua mãe faleceu inesperadamente em Erlangen. Embora ela já tivesse sido submetida a tratamento médico para uma doença ocular, a sua natureza específica e a influência na sua morte permanecem indeterminadas. Ao mesmo tempo, o pai de Noether se aposentou e seu irmão se alistou no exército alemão para servir na Primeira Guerra Mundial. Posteriormente, ela retornou a Erlangen por um período de várias semanas, principalmente para cuidar de seu pai idoso. Durante seus primeiros anos de instrução em Göttingen, ela não teve nenhum cargo oficial e não recebeu remuneração. Suas palestras foram frequentemente divulgadas sob o nome de Hilbert, com Noether fornecendo "assistência". Pouco depois de sua chegada a Göttingen, ela demonstrou sua habilidade intelectual ao formular o que hoje é reconhecido como o teorema de Noether, que estabelece uma conexão fundamental entre leis de conservação e simetrias diferenciáveis ​​dentro de um sistema físico. Seu artigo seminal, intitulado Invariante Variationsprobleme, foi apresentado por seu colega, Felix Klein, em 26 de julho de 1918, durante uma sessão da Royal Society of Sciences em Göttingen. Presumivelmente, Noether não apresentou o trabalho pessoalmente, devido ao seu não membro da sociedade. Em sua publicação Symmetry and the Beautiful Universe, os físicos americanos Leon M. Lederman e Christopher T. Hill afirmam que o teorema de Noether permanece como "certamente um dos teoremas matemáticos mais importantes já provados na orientação do desenvolvimento da física moderna, possivelmente no mesmo nível do teorema de Pitágoras".

A conclusão da Primeira Guerra Mundial e a subsequente Revolução Alemã de 1918–1919 precipitaram mudanças substanciais nas normas sociais, abrangendo uma expansão dos direitos das mulheres. Consequentemente, em 1919, a Universidade de Göttingen autorizou Noether a prosseguir a sua habilitação, um pré-requisito para a posse. Seu exame oral ocorreu no final de maio, seguido pela entrega bem-sucedida de sua palestra de habilitação em junho de 1919. Noether posteriormente alcançou o status de privatdozent e, durante o semestre de outono seguinte, ela apresentou as palestras inaugurais oficialmente atribuídas a ela. Apesar desses avanços, ela continuou a não receber nenhuma remuneração por suas contribuições acadêmicas.

Três anos depois disso, Otto Boelitz, Ministro da Ciência, Arte e Educação Pública da Prússia, concedeu-lhe formalmente o título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor, significando uma professora não permanente com responsabilidades administrativas internas restritas. Esta designação representava uma cátedra "extraordinária" não remunerada, distinta da cátedra "ordinária" mais antiga, que constituía uma nomeação para a função pública. Embora reconhecesse a importância de suas contribuições, essa função não incluía salário. As palestras de Noether permaneceram sem remuneração até sua nomeação para a função especializada de Lehrbeauftragte für Algebra (Professor de Álgebra) no ano seguinte.

Contribuições para a Álgebra Abstrata

O teorema de Noether influenciou profundamente a mecânica clássica e quântica; entretanto, dentro da comunidade matemática, ela é reconhecida principalmente por suas contribuições seminais à álgebra abstrata. Nathan Jacobson, em sua introdução aos Collected Papers de Noether, articulou que:

O desenvolvimento da álgebra abstrata, uma inovação singularmente distinta na matemática do século XX, é em grande parte atribuível às suas contribuições, evidentes em seus artigos publicados, palestras e influência pessoal sobre seus contemporâneos.

Noether iniciou sua pesquisa algébrica em 1920, sendo coautora de um artigo com seu protegido Werner Schmeidler. Esta publicação se concentrou na teoria dos ideais, na qual eles estabeleceram definições para os ideais esquerdo e direito dentro de uma estrutura em anel.

No ano seguinte, ela publicou Idealtheorie in Ringbereichen, um artigo que analisava as condições da cadeia ascendente relativas aos ideais matemáticos. Neste trabalho, ela forneceu uma prova abrangente do teorema de Lasker-Noether. O proeminente algebrista Irving Kaplansky caracterizou esta contribuição como "revolucionária". Esta publicação também levou à criação do termo Noetheriano para descrever objetos matemáticos que preenchem a condição da cadeia ascendente.

Em 1924, Bartel Leendert van der Waerden, um jovem matemático holandês, iniciou seus estudos na Universidade de Göttingen. Colaborou prontamente com Noether, que lhe forneceu metodologias indispensáveis ​​para a conceituação abstrata. Van der Waerden posteriormente observou que sua originalidade era "absoluta e incomparável". Ao retornar a Amsterdã, ele escreveu Moderne Algebra, um tratado fundamental de dois volumes na área. O segundo volume, lançado em 1931, baseou-se extensivamente na pesquisa de Noether. Embora Noether não tenha buscado ativamente o reconhecimento, van der Waerden reconheceu suas contribuições em uma nota na sétima edição, afirmando que o trabalho foi "baseado em parte em palestras de E. Artin e E. Noether". De 1927 em diante, Noether se envolveu em estreita colaboração com Emil Artin, Richard Brauer e Helmut Hasse no assunto de álgebras não comutativas. A presença de Van der Waerden em Göttingen coincidiu com um influxo mais amplo de matemáticos em todo o mundo, à medida que a universidade evoluiu para um centro proeminente de investigação matemática e física. Os matemáticos russos Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn estiveram entre os primeiros visitantes internacionais em 1923. De 1926 a 1930, Alexandrov deu palestras regulares na universidade, promovendo uma estreita amizade com Noether. Ele se referiu a ela afetuosamente como der Noether, empregando der como um título honorífico em vez do uso convencional de artigo masculino alemão. Noether se esforçou para facilitar sua nomeação como professor regular em Göttingen, mas no final só conseguiu ajudá-lo a garantir uma bolsa de estudos da Fundação Rockefeller para o ano acadêmico de 1927-1928 na Universidade de Princeton.

Alunos de doutorado

Em Göttingen, Noether supervisionou os estudos de doutorado de mais de doze estudantes; no entanto, devido a restrições institucionais que a impediram de supervisionar dissertações de forma independente, a maioria foi co-supervisionada com Edmund Landau e outros membros do corpo docente. Sua primeira aluna de doutorado foi Grete Hermann, que defendeu com sucesso sua dissertação em fevereiro de 1925. Embora Hermann seja reconhecida principalmente por suas contribuições aos fundamentos da mecânica quântica, sua dissertação em si foi considerada um avanço significativo na teoria ideal. Hermann posteriormente se referiu a Noether com reverência como sua "mãe da dissertação". Ao mesmo tempo, Heinrich Grell e Rudolf Hölzer completaram suas dissertações sob a orientação de Noether. Tragicamente, Hölzer sucumbiu à tuberculose pouco antes de sua defesa programada. Grell defendeu com sucesso sua tese em 1926 e posteriormente ocupou cargos na Universidade de Jena e na Universidade de Halle. Em 1935, ele perdeu sua licença de ensino após acusações de atos homossexuais, mas foi posteriormente reintegrado, tornando-se professor na Universidade Humboldt em 1948.

Emmy Noether posteriormente aconselhou Werner Weber e Jakob Levitzki, que defenderam com sucesso suas teses de doutorado em 1929. Weber, apesar de ser considerado um matemático de distinção limitada, mais tarde participou da expulsão de matemáticos judeus de Göttingen. Levitzki, por outro lado, ocupou cargos na Universidade de Yale antes de ingressar na Universidade Hebraica de Jerusalém, na Palestina Obrigatória governada pelos britânicos, onde fez contribuições substanciais para a teoria dos anéis, principalmente por meio do teorema de Levitzky e do teorema Hopkins-Levitzki. Alunos adicionais orientados por Noether, muitas vezes chamados de "Noether Boys", incluíam Max Deuring, Hans Fitting, Ernst Witt, Chiungtze C. Tsen e Otto Schilling. Deuring, amplamente considerado o aluno mais promissor de Noether, obteve seu doutorado em 1930. Sua carreira envolveu trabalhos em Hamburgo, Marden e Göttingen, onde foi reconhecido por suas contribuições significativas à geometria aritmética. Fitting completou sua graduação em 1931 com uma tese focada em grupos abelianos e é lembrado por seu trabalho fundamental em teoria de grupos, especificamente o teorema de Fitting e o lema de Fitting. Tragicamente, ele faleceu aos 31 anos devido a uma doença óssea.

Ernst Witt inicialmente prosseguiu seus estudos sob a orientação de Noether; no entanto, seu cargo acadêmico foi rescindido em abril de 1933, levando à sua transferência para Gustav Herglotz. Witt obteve seu doutorado em julho de 1933, apresentando uma tese sobre o teorema de Riemann-Roch e funções zeta, e posteriormente fez várias contribuições notáveis ​​​​que agora estão associadas a ele com o mesmo nome. Chiungtze C. Tsen, reconhecido principalmente por estabelecer o teorema de Tsen, recebeu seu doutorado em dezembro do mesmo ano. Ele retornou à China em 1935, iniciando sua carreira docente na Universidade Nacional Chekiang, mas faleceu apenas cinco anos depois. Otto Schilling também iniciou seus estudos de doutorado com Noether, mas foi obrigado a procurar um novo orientador após sua emigração. Ele completou seu doutorado em 1934 na Universidade de Marburg sob a orientação de Helmut Hasse. Posteriormente, ele realizou pesquisas de pós-doutorado no Trinity College, Cambridge, antes de se mudar para os Estados Unidos. Entre os outros alunos de doutorado de Noether estavam Wilhelm Dörnte, que obteve seu doutorado em 1927 com uma tese sobre grupos; Werner Vorbeck, que completou seu doutorado em 1935 com uma tese sobre divisão de campos; e Wolfgang Wichmann, cujo doutorado em 1936 se concentrou na teoria p-ádica. Embora os detalhes sobre Dörnte e Vorbeck permaneçam indisponíveis, está documentado que Wichmann apoiou ativamente uma iniciativa estudantil que tentou, sem sucesso, anular a demissão de Noether. Posteriormente, ele morreu como soldado na Frente Oriental durante a Segunda Guerra Mundial.

A Escola Noether

Além de seus alunos diretos de doutorado, Noether cultivou uma comunidade próxima de matemáticos que adotaram sua metodologia em álgebra abstrata e avançaram significativamente no desenvolvimento da área; este coletivo é freqüentemente denominado "escola Noether". Um exemplo notável desta colaboração é o seu extenso trabalho com Wolfgang Krull, cujas contribuições, incluindo o seu Hauptidealsatz e a teoria da dimensão para anéis comutativos, impulsionaram substancialmente a álgebra comutativa. Da mesma forma, Gottfried Köthe avançou a teoria das quantidades hipercomplexas aplicando métodos desenvolvidos por Noether e Krull.

Além de sua profunda perspicácia matemática, Noether era estimada por sua consideração interpessoal. Embora ocasionalmente demonstrasse brusquidão com colegas dissidentes, ela cultivou uma reputação de ajuda e orientação paciente de estudantes iniciantes. Seu compromisso inabalável com a precisão matemática levou um colega a caracterizá-la como “uma crítica severa”, mas ela harmonizou essa exigência rigorosa de precisão com uma atitude de apoio e carinho. No obituário de Noether, Van der Waerden ofereceu a seguinte descrição:

Totalmente desprovida de ego e vaidade, ela nunca buscou reconhecimento pessoal, mas priorizou e defendeu as conquistas de seus alunos acima de tudo.

Noether demonstrou uma dedicação excepcional tanto à sua disciplina quanto aos seus alunos, indo muito além do horário acadêmico convencional. Certa ocasião, quando o prédio da universidade estava inacessível devido a um feriado estadual, ela reuniu a turma na escadaria externa, guiou-os por uma área arborizada e fez sua palestra em um café próximo. Posteriormente, após a sua demissão do ensino pela Alemanha nazi, ela convidou estudantes para a sua residência, onde se envolveram em discussões sobre os seus planos futuros e vários conceitos matemáticos.

Palestras impactantes

Inicialmente, o estilo de vida austero de Noether resultou da recusa da universidade em compensá-la por suas contribuições acadêmicas. Mesmo depois que a universidade começou a pagar-lhe um salário modesto em 1923, ela manteve uma existência simples e sem ostentação. Embora sua remuneração tenha aumentado mais tarde em sua vida, ela sempre economizou metade de seus ganhos com a intenção de legá-los ao sobrinho, Gottfried E. Noether.

Biógrafos indicam que Emmy Noether priorizou suas atividades acadêmicas em detrimento das preocupações com aparência pessoal e etiqueta social. Olga Taussky-Todd, uma proeminente algebrista que estudou com Noether, contou um caso em um almoço em que Noether, profundamente absorta em uma discussão matemática, "gesticulava descontroladamente" enquanto comia, "derramava a comida constantemente" e "limpava-a do vestido, completamente imperturbável". Estudantes atentos ao decoro teriam ficado desconcertados com o fato de ela ter retirado um lenço da blusa e com seu desrespeito pelo cabelo cada vez mais desgrenhado durante as aulas. Numa ocasião, duas alunas tentaram transmitir as suas preocupações durante um intervalo de uma aula de duas horas, mas não conseguiram interromper o seu animado discurso matemático com outros alunos.

As aulas de Noether não eram estruturadas por um plano de aula formal. Sua entrega rápida tornou suas apresentações difíceis de compreender para muitos, incluindo os notáveis ​​​​matemáticos Carl Ludwig Siegel e Paul Dubreil. Os alunos que consideravam a sua abordagem pedagógica incompatível frequentemente experimentavam uma sensação de distanciamento. Os visitantes "de fora" que assistiam às palestras de Noether geralmente partiam em trinta minutos, alegando frustração ou confusão. Certa vez, um estudante regular comentou sobre tal ocorrência, afirmando: "O inimigo foi derrotado; ele foi eliminado." Noether utilizou suas palestras como um fórum interativo para discussões espontâneas com seus alunos, facilitando a exploração e elucidação de problemas matemáticos significativos. Várias de suas descobertas mais cruciais surgiram dessas sessões de palestras, e as notas compiladas por seus alunos serviram posteriormente como material fundamental para livros didáticos influentes, incluindo aqueles de autoria de van der Waerden e Deuring. Ela incutiu um fervor matemático contagiante em seus alunos mais comprometidos, que valorizavam muito suas dinâmicas trocas intelectuais com ela. Muitos dos colegas de Noether assistiam às suas palestras, e ela ocasionalmente permitia que outros, incluindo seus alunos, recebessem atribuição por seus conceitos, fazendo com que uma parte substancial de suas contribuições aparecesse em publicações que não levavam seu nome. Os registros indicam que Noether ministrou um mínimo de cinco cursos semestrais em Göttingen:

• Inverno 1924–1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [Teoria dos Grupos e Números Hipercomplexos]
• Inverno 1927–1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [Quantidades hipercomplexas e teoria da representação]
• Verão de 1928: Álgebra Nichtkomutativa [Álgebra Não Comutativa]
• Verão de 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Aritmética Não Comutativa]
• Inverno de 1929–1930: Algebra der hyperkomplexen Grössen [Álgebra de Quantidades Hipercomplexas]

Universidade Estadual de Moscou

Durante o ano acadêmico de 1928-1929, Noether aceitou um convite para estudar na Universidade Estadual de Moscou, onde retomou sua colaboração com P. S. Alexandrov. Além de sua pesquisa contínua, ela ministrou cursos de álgebra abstrata e geometria algébrica. Ela também se envolveu com os ilustres topologistas Lev Pontryagin e Nikolai Chebotaryov, que posteriormente elogiaram suas contribuições significativas para o avanço da teoria de Galois.

Embora a política não fosse o foco principal de sua vida, Noether demonstrou um forte interesse em assuntos políticos e, como observado por Alexandrov, expressou apoio substancial à Revolução Russa. Ela saudou particularmente os avanços soviéticos na ciência e na matemática, vendo-os como evidência de novas possibilidades promovidas pela iniciativa bolchevique. Esta perspectiva levou-a a dificuldades na Alemanha, culminando na sua expulsão de uma pensão depois de líderes estudantis terem apresentado queixas sobre residir com "uma judia de tendência marxista". Hermann Weyl contou que "Durante os tempos difíceis após a Revolução de 1918", Noether "ficou mais ou menos do lado dos social-democratas". Ela foi afiliada aos Social-democratas Independentes, um partido dissidente de curta duração, de 1919 a 1922. O lógico e historiador Colin McLarty caracterizou sua posição afirmando: "ela não era bolchevique, mas não tinha medo de ser chamada de bolchevique". Após sua saída da Alemanha em 1933, Alexandrov tentou facilitar sua nomeação para uma cátedra na Universidade Estadual de Moscou por meio do Ministério da Educação Soviético. Embora este esforço não tenha tido sucesso, eles mantiveram correspondência frequente ao longo da década de 1930 e, em 1935, ela já havia formulado planos para um retorno à União Soviética.

Reconhecimento

Em 1932, Emmy Noether e Emil Artin foram homenageados com o Prêmio Memorial Ackermann-Teubner por suas significativas contribuições matemáticas. O prêmio, que incluía um prêmio monetário de 500 ℛ︁ℳ︁, foi amplamente considerado como um reconhecimento oficial tardio de suas realizações substanciais na disciplina. Apesar desse reconhecimento, seus colegas expressaram insatisfação por ela não ter sido eleita para a Gesellschaft der Wissenschaften de Göttingen (academia de ciências) e nunca ter alcançado o posto de Professora Ordentlicher (professora titular).

Em 1932, o quinquagésimo aniversário de Noether foi comemorado por seus colegas de uma maneira característica de matemáticos. Helmut Hasse dedicou-lhe um artigo no Mathematische Annalen, onde fundamentou a sua hipótese de que certas facetas da álgebra não comutativa são menos complexas do que as suas homólogas comutativas, através da demonstração de uma lei de reciprocidade não comutativa. Esta descoberta trouxe-lhe considerável satisfação. Além disso, Hasse apresentou-lhe um enigma matemático, denominado "enigma m_μνdas sílabas", que ela prontamente resolveu; no entanto, o enigma em si não existe mais.

Em setembro do mesmo ano, Noether apresentou um discurso plenário (großer Vortrag) intitulado "Sistemas hipercomplexos em suas relações com a álgebra comutativa e com a teoria dos números" no Congresso Internacional de Matemáticos em Zurique. O congresso atraiu 800 participantes, entre os quais estavam seus colegas Hermann Weyl, Edmund Landau e Wolfgang Krull. O evento contou com 420 participantes oficiais e vinte e uma apresentações plenárias. A distinta fala de Noether aparentemente ressaltou a importância de suas contribuições matemáticas. O congresso de 1932 é ocasionalmente caracterizado como o apogeu de sua trajetória profissional.

Demissão de Göttingen pela Alemanha nazista

Após a nomeação de Adolf Hitler como Reichskanzler alemão em janeiro de 1933, as atividades nazistas intensificaram-se significativamente em todo o país. Na Universidade de Göttingen, a Associação de Estudantes Alemães liderou uma campanha contra o "espírito não-alemão" associado aos indivíduos judeus, recebendo apoio de privatdozent e do ex-aluno de Noether, Werner Weber. Este anti-semitismo generalizado fomentou um ambiente abertamente hostil para com os professores judeus. Um jovem manifestante teria afirmado: "Os estudantes arianos exigem matemática ariana, não matemática judaica."

Entre as medidas legislativas iniciais promulgadas pela administração de Hitler estava a Lei para a Restauração da Função Pública Profissional. Esta legislação determinava a demissão de indivíduos judeus e funcionários públicos politicamente suspeitos, incluindo professores universitários, de seus cargos, a menos que pudessem provar sua "lealdade à Alemanha" por meio do serviço na Primeira Guerra Mundial. Em abril de 1933, Noether recebeu uma notificação oficial do Ministério Prussiano de Ciências, Arte e Educação Pública, que afirmava: "Com base no parágrafo 3 do Código da Função Pública de 7 de abril de 1933, retiro de você o direito de lecionar na Universidade de Gotingen." Ao mesmo tempo, vários colegas de Noether, como Max Born e Richard Courant, também experimentaram a revogação de suas nomeações.

Noether respondeu à decisão com compostura, oferecendo assistência a outros em meio à adversidade prevalecente. Hermann Weyl posteriormente comentou que "Emmy Noether - sua coragem, sua franqueza, sua despreocupação com seu próprio destino, seu espírito conciliador - estava no meio de todo o ódio e maldade, desespero e tristeza que nos cercava, um consolo moral." Caracteristicamente, Noether manteve seu foco nas atividades matemáticas, reunindo alunos em sua residência para deliberar sobre a teoria do campo de aula. Ao aparecer uma de suas alunas com uniforme da organização paramilitar nazista Sturmabteilung (SA), ela não demonstrou sinais de angústia e, segundo relatos, até encontrou humor na situação posteriormente.

Buscando refúgio em Bryn Mawr e Princeton

À medida que numerosos professores recentemente desempregados procuravam emprego fora das fronteiras da Alemanha, os seus homólogos nos Estados Unidos esforçavam-se por oferecer apoio e oportunidades profissionais. Albert Einstein e Hermann Weyl conseguiram nomeações no Instituto de Estudos Avançados de Princeton, enquanto outros académicos trabalharam para identificar patrocinadores essenciais para a imigração legal. Noether recebeu propostas de representantes de duas instituições acadêmicas: Bryn Mawr College, nos Estados Unidos, e Somerville College, da Universidade de Oxford, na Inglaterra. Após extensas discussões com a Fundação Rockefeller, uma bolsa foi aprovada para Noether se juntar à Bryn Mawr, onde iniciou sua nova função no final de 1933.

Durante seu mandato na Bryn Mawr, Noether estabeleceu uma amizade com Anna Wheeler, que já havia estudado em Göttingen antes da chegada de Noether. Apoio institucional adicional foi fornecido pela presidente de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, que incentivou ativamente os matemáticos locais a observar o trabalho do Dr. Noether. Enquanto estava em Bryn Mawr, Noether cultivou um grupo de pesquisa, informalmente conhecido como 'Garotas Noether', composto por quatro pesquisadoras de pós-doutorado - Grace Shover Quinn, Marie Johanna Weiss e Olga Taussky-Todd, todas as quais posteriormente alcançaram carreiras distintas em matemática - e uma estudante de doutorado, Ruth Stauffer. Este grupo se envolveu diligentemente com a Moderne Algebra I de van der Waerden e com seleções da Theorie der algebraischen Zahlen de Erich Hecke (Teoria dos números algébricos). Ruth Stauffer foi a única candidata ao doutorado de Noether nos Estados Unidos; no entanto, Noether faleceu pouco antes da formatura de Stauffer. Stauffer completou com sucesso seu exame de doutorado com Richard Brauer, obtendo seu diploma em junho de 1935 com uma dissertação sobre extensões normais separáveis. Após seu doutorado, Stauffer seguiu uma breve carreira no ensino antes de dedicar mais de três décadas ao trabalho como estatística. Em 1934, Noether começou a lecionar no Instituto de Estudos Avançados de Princeton, após um convite feito por Abraham Flexner e Oswald Veblen. Durante este período, ela colaborou com Abraham Albert e Harry Vandiver. Em relação à Universidade de Princeton, ela comentou notavelmente sobre seu status indesejável na "universidade masculina, onde nada do sexo feminino é admitido".

A permanência de Noether nos Estados Unidos foi agradável, caracterizada por um ambiente acadêmico favorável e um profundo envolvimento com seus principais interesses de pesquisa. Em meados de 1934, ela fez um breve Fritz Noether, tendo sido demitido de seu cargo na Technische Hochschule Breslau, e posteriormente aceitou uma nomeação no Instituto de Pesquisa de Matemática e Mecânica em Tomsk, localizado no Distrito Federal Siberiano da Rússia.

Embora vários ex-colegas tenham sido destituídos de seus cargos universitários, Noether foi autorizado a utilizar as instalações da biblioteca de Göttingen como um "estudioso estrangeiro". Posteriormente, ela retornou aos Estados Unidos sem incidentes, retomando suas atividades acadêmicas na Bryn Mawr.

Morte

Em abril de 1935, profissionais médicos identificaram um tumor na pélvis de Noether. Preocupações com possíveis complicações cirúrgicas levaram a um período preliminar de repouso no leito de dois dias. Durante a operação subsequente, foi descoberto um cisto ovariano, descrito como “do tamanho de um melão grande”. Dois tumores uterinos menores pareciam benignos e não foram excisados ​​para evitar prolongar a duração da cirurgia. Durante três dias após a operação, Noether apresentou convalescença normal e recuperou-se rapidamente de um colapso circulatório no quarto dia. No entanto, em 14 de abril, Noether perdeu a consciência, sua temperatura subiu para 42,8 °C (109 °F) e ela sucumbiu. Um médico assistente observou: "[Não] é fácil dizer o que ocorreu com o Dr. Noether", postulando: "É possível que tenha havido alguma forma de infecção incomum e virulenta, que atingiu a base do cérebro onde os centros de calor deveriam estar localizados." Ela tinha 53 anos quando faleceu.

Dias após a morte de Noether, um serviço memorial privado foi realizado por seus amigos e colegas em Bryn Mawr, realizado na residência do College President Park. Hermann Weyl e Richard Brauer viajaram de Princeton para fazer elogios. Nos meses seguintes, surgiram inúmeras homenagens escritas internacionalmente, com figuras notáveis ​​como Albert Einstein, van der Waerden, Weyl e Pavel Alexandrov oferecendo os seus respeitos. Seus restos mortais foram cremados e as cinzas enterradas sob a passarela que circunda os claustros da Antiga Biblioteca em Bryn Mawr.

Contribuições para a Matemática e a Física

As contribuições de Noether para a álgebra abstrata e a topologia influenciaram significativamente o campo da matemática; ao mesmo tempo, o teorema de Noether tem extensas implicações para a física teórica e os sistemas dinâmicos. Ela demonstrou uma profunda aptidão para a conceituação abstrata, permitindo-lhe formular abordagens novas e inovadoras para problemas matemáticos. Seu estimado colega e amigo, Hermann Weyl, categorizou suas realizações acadêmicas em três períodos distintos:

(1) O período de dependência relativa, abrangendo 1907-1919.

(2) Investigações centradas na teoria geral dos ideais, conduzidas de 1920-1926.

(3) O exame de álgebras não comutativas, suas representações por meio de transformações lineares e sua subsequente aplicação à análise de campos de números comutativos e seus associados aritmética.

Durante sua primeira época (1907–1919), Noether abordou principalmente invariantes diferenciais e algébricos, começando com sua pesquisa de doutorado com Paul Gordan. O seu âmbito matemático expandiu-se e o seu trabalho evoluiu para uma maior generalidade e abstração, através do seu envolvimento com as contribuições de David Hilbert e intercâmbios colaborativos com o sucessor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Logo após se mudar para Göttingen em 1915, ela estabeleceu os dois teoremas de Noether, reconhecidos como "um dos mais importantes teoremas matemáticos já comprovados na orientação do desenvolvimento da física moderna".

Em sua segunda época (1920–1926), Noether dedicou seus esforços ao avanço da teoria dos anéis matemáticos. Posteriormente, na terceira época (1927–1935), ela se concentrou em álgebra não comutativa, transformações lineares e campos numéricos comutativos. Embora os resultados da primeira época de Noether tenham sido dignos de nota e valiosos, seu destaque entre os matemáticos é atribuído principalmente às contribuições pioneiras feitas durante sua segunda e terceira épocas, conforme destacado em seus obituários de Hermann Weyl e B. L. van der Waerden.

Ao longo dessas épocas, ela não aplicou simplesmente ideias e metodologias existentes de matemáticos anteriores; em vez disso, ela formulou novos sistemas de definições matemáticas que posteriormente influenciaram futuros empreendimentos matemáticos. Especificamente, ela estabeleceu uma teoria inteiramente nova de ideais em anéis, ampliando o trabalho fundamental de Richard Dedekind. Além disso, ela é reconhecida por introduzir condições de cadeia ascendente – um critério direto de finitude que se mostrou notavelmente eficaz em suas aplicações. Essas condições, juntamente com a teoria dos ideais, permitiram que Noether generalizasse inúmeras descobertas anteriores e abordasse problemas estabelecidos a partir de um novo ponto de vista, incluindo invariantes algébricos, um assunto previamente explorado por seu pai, e a teoria da eliminação. As contribuições primordiais de Noether para a matemática envolveram o avanço do campo nascente da álgebra abstrata. em vez disso, ela se envolveu diretamente com conceitos abstratos. Conforme relatado por van der Waerden em seu obituário,

A máxima pela qual Emmy Noether foi guiada ao longo de seu trabalho pode ser formulada da seguinte forma: "Quaisquer relações entre números, funções e operações tornam-se transparentes, geralmente aplicáveis e totalmente produtivas somente depois de terem sido isoladas de seus objetos particulares e formuladas como conceitos universalmente válidos."

Essa abordagem exemplifica a begriffliche Mathematik (matemática puramente conceitual), uma marca registrada da metodologia de Noether. Posteriormente, este estilo matemático ganhou adoção entre outros matemáticos, particularmente no domínio emergente da álgebra abstrata.

Primeira Época (1908–1919)

Teoria Algébrica dos Invariantes

Uma parte significativa do início da carreira de Noether, durante sua primeira época, concentrou-se na teoria dos invariantes, particularmente na teoria dos invariantes algébricos. A teoria invariante investiga expressões matemáticas que retêm seu valor (ou seja, permanecem invariantes) sob grupos específicos de transformações. Por exemplo, numa analogia física comum, a rotação de uma régua rígida altera as coordenadas dos seus pontos finais, mas o seu comprimento permanece inalterado. Uma ilustração mais complexa de um invariante é o discriminante B§56§ − 4AC de um polinômio quadrático homogêneo Ax§1314§ + Bxy + Cy§1920§, onde x e y representam indeterminados. Este discriminante é denominado "invariante" devido à sua constância sob substituições lineares x → ax + by e y → cx + dy, desde que seu determinante ad − bc seja igual a 1. Coletivamente, essas substituições constituem o grupo linear especial SL§5152§.

A investigação pode se estender para identificar todos os polinômios em A, B e C que permanecem invariantes sob a ação de SL§910§; estes são, de fato, polinômios do discriminante. De forma mais ampla, podem-se buscar os invariantes de polinômios homogêneos de grau superior, como A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r, que se manifestam como polinômios específicos nos coeficientes A§4344§, ..., A_r. Esta linha de questionamento pode ser estendida a polinômios homogêneos envolvendo mais de duas variáveis.

Um objetivo principal da teoria invariante envolvia a resolução do "problema de base finita". Este problema investigou se todos os invariantes poderiam ser derivados de um conjunto finito de invariantes iniciais, denominados geradores, através de adição ou multiplicação iterativa, dado que a soma ou produto de quaisquer dois invariantes também constitui um invariante. Por exemplo, o discriminante fornece uma base finita, compreendendo um único elemento, para os invariantes de um polinômio quadrático. Paul Gordan, conselheiro acadêmico de Noether, ganhou renome como o "rei da teoria invariante", com sua contribuição matemática seminal sendo a resolução de 1870 do problema de base finita para invariantes de polinômios homogêneos em duas variáveis. A prova de Gordan apresentou uma metodologia construtiva para identificação de todos os invariantes e seus respectivos geradores; entretanto, ele não poderia estender esta abordagem a invariantes envolvendo três ou mais variáveis. Posteriormente, em 1890, David Hilbert estabeleceu um teorema análogo para os invariantes de polinômios homogêneos através de um número arbitrário de variáveis. Notavelmente, a metodologia de Hilbert aplicou-se não apenas ao grupo linear especial, mas também a vários de seus subgrupos, incluindo o grupo ortogonal especial.

Emulando a trajetória acadêmica de Gordan, Noether dedicou sua tese de doutorado e várias publicações subsequentes à teoria invariante. Seu trabalho expandiu as descobertas de Gordan e integrou a pesquisa de Hilbert. No entanto, mais tarde ela expressou desdém por este trabalho inicial, considerando-o de menor importância e confessando ter esquecido as suas complexidades específicas. Hermann Weyl observou:

[Um] contraste maior é dificilmente imaginável do que entre seu primeiro artigo, a dissertação, e seus trabalhos de maturidade; pois o primeiro é um exemplo extremo de cálculos formais e o último constitui um exemplo extremo e grandioso de pensamento axiomático conceitual em matemática.

Teoria de Galois

A teoria de Galois investiga transformações dentro de campos numéricos que reordenam as raízes de uma equação. Considere uma equação polinomial envolvendo uma variável x de grau n, onde seus coeficientes se originam de um campo básico especificado, como o campo de números reais, números racionais ou inteiros módulo 7. Soluções para x que fazem com que esse polinômio seja avaliado como zero são chamadas de raízes, embora tais soluções possam nem sempre existir dentro do campo inicial. Por exemplo, se o polinômio for x§1516§ + 1 e o campo fundamental for os números reais, não existem raízes, pois qualquer valor real para x resulta no polinômio sendo maior ou igual a um. No entanto, estender o corpo pode introduzir raízes, e um campo suficientemente estendido conterá invariavelmente um número de raízes equivalente ao grau do polinômio.

Estendendo a ilustração anterior, se o corpo for expandido para abranger números complexos, o polinômio adquire duas raízes: +i e −i, onde i representa o unidade imaginária, definida por i ² = −1. Em termos gerais, o campo de extensão dentro do qual um polinômio pode ser completamente fatorado em suas raízes constituintes é designado como o campo de divisão desse polinômio.

O grupo de Galois de um polinômio é definido como a coleção de todas as transformações de seu campo de divisão que mantêm tanto o campo fundamental quanto as raízes do polinômio. (Essas transformações são especificamente chamadas de automorfismos.) Para o polinômio x§45§ + 1, seu grupo de Galois compreende dois elementos: a transformação de identidade, que mapeia cada número complexo para si mesmo, e a conjugação complexa, que transforma +i em −i. Como o grupo de Galois preserva o campo fundamental, consequentemente deixa inalterados os coeficientes do polinômio e, por extensão, todo o conjunto de raízes. Cada raiz pode ser mapeada para outra raiz, implicando que cada transformação estabelece uma permutação entre as raízes n. A profunda importância do grupo de Galois decorre do teorema fundamental da teoria de Galois, que demonstra uma correspondência biunívoca entre os campos intermediários situados entre o campo fundamental e o campo de divisão, e os subgrupos do grupo de Galois.

A publicação de Noether de 1918 abordou o problema inverso de Galois. Em vez de se concentrar na identificação do grupo de transformações de Galois para um campo específico e sua extensão, Noether investigou se uma extensão de um determinado campo poderia invariavelmente possuir um grupo específico como seu grupo de Galois. Esta investigação foi posteriormente reduzida ao "problema de Noether", que questiona se o corpo fixo de um subgrupo G dentro do grupo de permutação S_n, ao atuar no corpo k(x§1516§, ..., x_n), constitui consistentemente uma pura extensão transcendental do campo k. Noether apresentou inicialmente este problema num artigo de 1913, creditando a sua origem ao seu colega Fischer. Ela demonstrou sua validade para casos em que n é igual a 2, 3 ou 4. No entanto, em 1969, Richard Swan identificou um contra-exemplo para o problema de Noether, envolvendo especificamente n = 47 e G como um grupo cíclico de ordem 47 (apesar deste grupo específico ser realizável como um Grupo de Galois sobre os racionais através de construções alternativas). O problema inverso de Galois continua a ser um desafio matemático não resolvido.

Física

Em 1915, David Hilbert e Felix Klein convidaram Noether para ir a Göttingen, em busca de seu conhecimento especializado em teoria invariante para ajudar na compreensão da relatividade geral, uma teoria geométrica da gravitação desenvolvida principalmente por Albert Einstein. Hilbert notou uma aparente violação da conservação de energia na relatividade geral, atribuindo isso à capacidade da energia gravitacional de exercer a sua própria influência gravitacional. Noether resolveu este paradoxo e introduziu um instrumento fundamental para a física teórica moderna numa publicação de 1918. Este artigo seminal introduziu dois teoremas, o primeiro dos quais é universalmente reconhecido como teorema de Noether. Coletivamente, esses teoremas não apenas abordaram a questão da relatividade geral, mas também estabeleceram as quantidades conservadas para cada sistema físico caracterizado por simetria contínua. Após a revisão do trabalho dela, Einstein comunicou a Hilbert:

Recebi ontem um artigo altamente envolvente sobre invariantes da Srta. Noether. Estou impressionado com a capacidade de compreender tais conceitos com tanta generalidade. Os acadêmicos estabelecidos em Göttingen deveriam aprender com a senhorita Noether; sua experiência parece profunda.

Por exemplo, se um sistema físico exibe comportamento idêntico independentemente da sua orientação espacial, as suas leis físicas governantes são consideradas rotacionalmente simétricas; O teorema de Noether demonstra que esta simetria necessita da conservação do momento angular do sistema. O sistema físico em si não requer simetria inerente; por exemplo, um asteroide irregular girando no espaço ainda conserva o momento angular apesar de sua forma irregular. Em vez disso, a lei de conservação surge da simetria inerente às leis físicas que governam o sistema. Além disso, se uma experiência física produz resultados consistentes, independentemente da sua localização ou tempo, as suas leis subjacentes possuem simetria sob contínuas translações espaciais e temporais; O teorema de Noether estabelece que essas simetrias correspondem às leis de conservação do momento linear e da energia, respectivamente, dentro desse sistema.

Contemporaneamente, os físicos não tinham familiaridade com a teoria dos grupos contínuos de Sophus Lie, que formou a base fundamental para o trabalho de Noether. Um número significativo de físicos encontrou inicialmente o teorema de Noether através de um artigo de Edward Lee Hill, que, no entanto, apresentou apenas uma instância especializada do teorema. Como resultado, as implicações abrangentes das suas descobertas não foram imediatamente reconhecidas. No entanto, na segunda metade do século XX, o teorema de Noether evoluiu para uma pedra angular da física teórica moderna, valorizada tanto pelos seus profundos conhecimentos sobre as leis de conservação como pela sua utilidade como instrumento computacional prático. Este teorema permite aos pesquisadores deduzir quantidades conservadas diretamente das simetrias observadas inerentes a um sistema físico. Por outro lado, ajuda na caracterização de um sistema físico referenciando categorias de leis físicas hipotéticas. Para ilustrar, considere a descoberta hipotética de um novo fenômeno físico. O teorema de Noether oferece um teste crucial para modelos teóricos que explicam tal fenômeno: se uma teoria incorpora uma simetria contínua, o teorema garante a existência de uma quantidade conservada, e para que a teoria seja válida, esta conservação deve ser empiricamente verificável através da experimentação.

Segunda Época (1920–1926)

Condições de cadeia ascendente e descendente

Durante este período, Noether ganhou reconhecimento por sua hábil aplicação das condições de cadeia ascendente (Teilerkettensatz) e descendente (Vielfachenkettensatz). Uma sequência ascendente de subconjuntos não vazios, como A§78§, A§1112§, A§1516§, ..., dentro de um conjunto S é convencionalmente definida por cada subconjunto contido no subseqüente.

A §1011§ ⊆ A §2122§ ⊆ A §3233§ ⊆ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}

Por outro lado, uma sequência de subconjuntos dentro de S é denominada descendente quando cada subconjunto sucessivo está contido em seu antecessor.

A §1011§ ⊇ A §2122§ ⊇ A §3233§ ⊇ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}

Uma cadeia é definida como se tornando constante após um número finito de etapas se existir um número inteiro n tal que ${\displaystyle A_{n}=A_{m}}$ para todos m ≥ n. A condição da cadeia ascendente é satisfeita por uma coleção de subconjuntos dentro de um determinado conjunto se cada sequência ascendente eventualmente se estabilizar. Da mesma forma, a condição da cadeia descendente é atendida se qualquer sequência descendente também se estabilizar após um número finito de passos. Estas condições de cadeia são fundamentais para demonstrar a existência de elementos máximos ou mínimos dentro de qualquer conjunto de subobjetos, ou para provar que objetos intrincados podem ser gerados a partir de um número reduzido de elementos constituintes.

Numerosas estruturas algébricas em álgebra abstrata podem cumprir condições de cadeia; normalmente, aqueles que satisfazem uma condição de cadeia ascendente são designados como Noetherianos, uma homenagem às suas contribuições. Especificamente, um anel Noetheriano é caracterizado por satisfazer uma condição de cadeia ascendente tanto em seus ideais esquerdo quanto direito. Em contraste, um grupo Noetheriano é definido como aquele em que toda cadeia estritamente ascendente de subgrupos é finita. Um módulo Noetheriano é um módulo no qual cada cadeia estritamente ascendente de submódulos se estabiliza após um número finito de etapas. Além disso, um espaço Noetheriano refere-se a um espaço topológico cujos subconjuntos abertos aderem à condição de cadeia ascendente, classificando assim o espectro de um anel Noetheriano como um espaço topológico Noetheriano.

A condição de cadeia frequentemente exibe uma propriedade de herança entre subobjetos. Por exemplo, todos os subespaços dentro de um espaço Noetheriano são eles próprios Noetherianos; da mesma forma, todos os subgrupos e grupos de quocientes derivados de um grupo Noetheriano também são Noetherianos. Analogamente, mutatis mutandis, este princípio se estende aos submódulos e módulos quocientes de um módulo Noetheriano. Além disso, a condição de cadeia pode ser herdada por várias combinações ou extensões de um objeto Noetheriano. Por exemplo, somas diretas finitas de anéis Noetherianos retêm a propriedade Noetheriana, assim como o anel de séries de potências formais construído sobre um anel Noetheriano.

A indução Noetheriana, também chamada de indução bem fundamentada, representa uma aplicação adicional dessas condições de cadeia e serve como uma generalização da indução matemática. Este método é freqüentemente empregado para simplificar afirmações gerais relativas a coleções de objetos em declarações sobre objetos específicos dentro dessas coleções. Considere S como um conjunto parcialmente ordenado. Uma abordagem comum para estabelecer uma afirmação sobre elementos dentro de S envolve postular a existência de um contra-exemplo e subsequentemente derivar uma contradição, demonstrando assim a contrapositiva da afirmação inicial. O princípio fundamental da indução Noetheriana afirma que todo subconjunto não vazio de S deve conter um elemento mínimo. Especificamente, a coleção de todos os contra-exemplos incluirá um elemento mínimo, denominado contra-exemplo mínimo. Consequentemente, para validar a afirmação original, é suficiente demonstrar uma condição aparentemente menos rigorosa: que para qualquer contra-exemplo dado, existe um contra-exemplo menor.

Anéis comutativos, ideais e módulos

A publicação seminal de Noether de 1921, intitulada Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria dos Ideais em Domínios de Anéis), estabeleceu as bases para a teoria geral dos anéis comutativos e apresentou uma das primeiras definições abrangentes de um anel comutativo. Antes de seu trabalho, a maioria das descobertas em álgebra comutativa estavam confinadas a instâncias específicas de anéis comutativos, incluindo anéis polinomiais sobre campos ou anéis de inteiros algébricos. Noether demonstrou que dentro de qualquer anel que satisfaça a condição da cadeia ascendente nos ideais, todo ideal é gerado finitamente. O matemático francês Claude Chevalley introduziu o termo anel Noetheriano em 1943 para caracterizar esta propriedade específica. Uma contribuição significativa do artigo de Noether de 1921 é o teorema de Lasker-Noether, que amplia o teorema original de Lasker sobre a decomposição primária de ideais em anéis polinomiais para abranger todos os anéis de Noether. Este teorema pode ser conceituado como uma extensão do teorema fundamental da aritmética, que postula que todo número inteiro positivo possui uma fatoração única em números primos.

Em sua publicação de 1927, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Estrutura abstrata da teoria dos ideais em números e funções algébricos Fields), Noether delineou as características dos anéis onde os ideais exibem fatoração única em ideais primos, agora reconhecidos como domínios de Dedekind. Ela demonstrou que esses anéis são definidos por cinco critérios específicos: eles devem aderir às condições de cadeia ascendente e descendente, conter um elemento unitário sem divisores de zero e ser integralmente fechados dentro de seu campo de frações correspondente. Este artigo apresenta adicionalmente o que hoje é conhecido como teoremas do isomorfismo, que elucidam os isomorfismos naturais fundamentais, juntamente com outras descobertas fundamentais relativas aos módulos Noetherianos e Artinianos.

Teoria da Eliminação

Entre 1923 e 1924, Noether estendeu sua teoria ideal à teoria da eliminação, empregando uma formulação que ela creditou ao seu aluno, Kurt Hentzelt. Seu trabalho demonstrou que os teoremas centrais relativos à fatoração polinomial eram diretamente transferíveis para este contexto.

Historicamente, a teoria da eliminação tem se concentrado no processo de remoção de uma ou mais variáveis ​​de um sistema de equações polinomiais, frequentemente utilizando o método das resultantes. Para fins ilustrativos, um sistema de equações pode frequentemente ser expresso da seguinte forma:

Mv = 0

Nesta representação, uma matriz (ou transformação linear) M, independente da variável x, multiplicada por um vetor v (contendo apenas potências diferentes de zero de x), produz o vetor zero, §89§. Consequentemente, o determinante da matriz M deve ser igual a zero, fornecendo assim uma nova equação da qual a variável x foi eliminada com sucesso.

Teoria Invariante de Grupos Finitos

Os métodos anteriores, como a solução não construtiva de Hilbert para o problema de bases finitas, não tinham a capacidade de fornecer dados quantitativos sobre os invariantes de uma ação de grupo e não eram universalmente aplicáveis ​​a todas as ações de grupo. Em sua publicação de 1915, Noether apresentou uma solução para o problema de base finita para um grupo finito de transformações G operando em um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo com característica zero. Suas descobertas demonstraram que o anel de invariantes é gerado por invariantes homogêneos cujo grau não excede a ordem do grupo finito, um princípio conhecido como limite de Noether. Seu artigo forneceu duas provas para o limite de Noether, ambas também válidas quando a característica do campo é coprima com ${\displaystyle \left|G\right|!}$ (o fatorial da ordem do grupo ${\displaystyle \left|G\right|}$). No entanto, os graus dos geradores podem não aderir ao limite de Noether se a característica do campo dividir o número ${\displaystyle \left|G\right|}$. Noether não foi capaz de determinar a validade do limite quando a característica do campo divide ${\displaystyle \left|G\right|!}$ mas não ${\displaystyle \left|G\right|}$. Este cenário específico, conhecido como "lacuna de Noether", permaneceu um problema não resolvido por muitos anos até ser resolvido de forma independente por Fleischmann em 2000 e Fogarty em 2001, ambos demonstrando a validade contínua do limite.

A publicação de Noether de 1926 expandiu o teorema de Hilbert para abranger representações de grupos finitos em qualquer campo, abordando particularmente o novo cenário onde a característica do campo divide a ordem do grupo, um caso não coberto pelo trabalho original de Hilbert. William Haboush posteriormente ampliou as descobertas de Noether para incluir todos os grupos redutivos através de sua prova da conjectura de Mumford. Neste mesmo artigo, Noether também apresentou o lema de normalização de Noether, que estabelece que um domínio A gerado finitamente sobre um campo k contém um conjunto {x§1314§, ..., x_n} de elementos algebricamente independentes, tais que A é integral sobre k[x§3132§, ..., x_n].

Topologia

Hermann Weyl, em seu obituário para Noether, destacou suas contribuições significativas para a topologia, destacando sua generosidade intelectual e o impacto transformador de seus insights em diversas disciplinas matemáticas. A topologia envolve o exame das propriedades do objeto que persistem inalteradas apesar da deformação, como a conectividade. Uma ilustração humorística comum afirma que "um topologista não consegue distinguir um donut de uma caneca de café", dada a sua deformabilidade contínua um no outro.

Noether é reconhecido pelo pioneirismo em conceitos fundamentais que facilitaram a evolução da topologia algébrica a partir de seu antecessor, a topologia combinatória, particularmente através da introdução de grupos de homologia. Alexandrov contou que durante as palestras que ele e Heinz Hopf proferiram em 1926 e 1927, Noether "fazia continuamente observações que eram muitas vezes profundas e sutis", elaborando ainda mais isso,

Ao encontrar a estrutura sistemática da topologia combinatória,

ela prontamente reconheceu o valor de investigar diretamente os grupos de complexos algébricos e ciclos dentro de um determinado poliedro, juntamente com o subgrupo de ciclos homólogos a zero. Em vez de aderir à definição convencional dos números de Betti, ela propôs definir o grupo de Betti como o grupo quociente formado pelo grupo de todos os ciclos e pelo subgrupo de ciclos homólogos a zero. Embora esta visão pareça evidente hoje, ela representou uma perspectiva fundamentalmente nova durante o período de 1925-1928.

A proposta de Noether para uma abordagem algébrica para a topologia foi rapidamente adotada por matemáticos como Hopf e Alexandrov, tornando-se um tema de debate proeminente entre a comunidade matemática de Göttingen. Ela observou que seu conceito de grupo Betti simplificou a compreensão da fórmula de Euler-Poincaré, e as contribuições subsequentes de Hopf para este campo refletiram sua influência. A própria Noether referiu apenas brevemente seus insights topológicos em uma publicação de 1926, apresentando-os como uma aplicação da teoria de grupos. Ao mesmo tempo, esta metodologia algébrica para topologia surgiu de forma independente na Áustria. Durante um curso ministrado em Viena de 1926 a 1927, Leopold Vietoris introduziu o conceito de grupo de homologia, que Walther Mayer posteriormente formalizou em uma definição axiomática em 1928.

Terceira Época (1927–1935)

Números hipercomplexos e teoria da representação

Extensas pesquisas sobre números hipercomplexos e representações de grupos ocorreram ao longo do século XIX e início do século XX, mas esses esforços careciam em grande parte de coesão. Noether sintetizou essas descobertas anteriores, estabelecendo a teoria inaugural da representação geral para grupos e álgebras. Esta contribuição singular de Noether é creditada por iniciar uma nova era na álgebra moderna e provar ser fundamental para sua evolução subsequente.

Em essência, Noether integrou a teoria da estrutura das álgebras associativas e a teoria da representação de grupos em uma teoria aritmética unificada centrada em módulos e ideais dentro de anéis que satisfazem as condições da cadeia ascendente.

Álgebra Não Comutativa

Noether também liderou vários outros avanços na álgebra. Colaborando com Emil Artin, Richard Brauer e Helmut Hasse, ela estabeleceu a teoria das álgebras simples centrais.

Uma publicação colaborativa de Noether, Hasse e Brauer abordou álgebras de divisão, que são estruturas algébricas que permitem a divisão. Eles demonstraram dois teoremas significativos: primeiro, um teorema local-global afirmando que uma álgebra de divisão central de dimensão finita sobre um corpo numérico, se se dividir localmente em todos os lugares, também se dividirá globalmente (tornando-se assim trivial); e a partir disso, eles derivaram seu Hauptsatz ("teorema principal"):

Toda álgebra de divisão central de dimensão finita sobre um campo numérico algébrico F se divide sobre uma extensão ciclotômica cíclica.

Esses teoremas facilitam a classificação de todas as álgebras de divisão central de dimensão finita em um campo numérico especificado. Uma publicação posterior de Noether demonstrou, como um exemplo particular de um teorema mais amplo, que todos os subcampos máximos de uma álgebra de divisão D constituem campos de divisão. Este artigo apresenta adicionalmente o teorema de Skolem-Noether, que postula que quaisquer duas incorporações de uma extensão de campo k em uma álgebra central simples de dimensão finita sobre k são conjugadas. O teorema de Brauer-Noether fornece uma caracterização dos campos de divisão para uma álgebra de divisão central sobre um corpo.

Legacy

As contribuições de Noether permanecem pertinentes para o avanço da física teórica e da matemática, solidificando seu status como uma das matemáticas mais importantes do século XX. Ao longo de sua vida e até os dias atuais, matemáticos proeminentes, incluindo Pavel Alexandrov, Hermann Weyl e Jean Dieudonné, aclamaram Noether como a matemática mais excepcional da história registrada.

Em uma carta endereçada ao The New York Times, Albert Einstein articulou:

No julgamento dos matemáticos vivos mais competentes, Fräulein Noether foi o gênio matemático criativo mais significativo produzido até agora desde o início da educação superior das mulheres. No domínio da álgebra, no qual os matemáticos mais talentosos têm estado ocupados durante séculos, ela descobriu métodos que se revelaram de enorme importância no desenvolvimento da atual geração mais jovem de matemáticos.

Em seu obituário, o colega algebrista B. L. van der Waerden elogiou sua originalidade matemática como "absoluta além de comparação", enquanto Hermann Weyl afirmou que as contribuições de Noether "mudaram a face da álgebra [abstrata]". O matemático e historiador Jeremy Gray observou que a influência de Noether é evidente em qualquer livro de álgebra abstrata, afirmando que "os matemáticos simplesmente fazem a teoria dos anéis do seu jeito". Seu nome foi atribuído postumamente a inúmeras entidades matemáticas e ao asteróide 7001 Noether. Em 2019, a revista Time homenageou as mulheres do ano desde 1920, criando 89 novas capas, selecionando Noether para o ano de 1921.

• Linha do tempo das mulheres na ciência
• Notas

Notas

Referências

Fontes

Trabalhos selecionados de Emmy Noether

Livros

Livros

• Phillips, Lee (2024), O Tutor de Einstein: A História de Emmy Noether e a Invenção da Física Moderna, PublicAffairs, ISBN 9781541702974Hasse, Helmut; Noether, Emmy (2006), Lemmermeyer, Franz; Roquette, Peter (eds.), Helmut Hasse und Emmy Noether – Die Korrespondenz 1925–1935 [Helmut Hasse e Emmy Noether – Sua Correspondência 1925–1935] (PDF), Universidade de Göttingen, doi:10.17875/gup2006-49, ISBN 978-3-938616-35-2Artigos
  • Angier, Natalie (26 de março de 2012), "The Mighty Mathematician You've Never Heard Of", The New York Times, recuperado em 27 de janeiro de 2024Blue, Meredith (2001), Teoria de Galois e o problema de Noether (PDF), 34ª Reunião Anual da Mathematical Association of America, MAA Florida Section, arquivado do original (PDF) em 29 de maio 2008, recuperado em 9 de junho de 2018Phillips, Lee (26 de maio de 2015), "A matemática que mudou o curso da física – mas não conseguiu um emprego", Ars Technica, Califórnia: Condé Nast, recuperado em 27 de janeiro de 2024"Edição especial sobre mulheres na matemática" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 38 (7), Providence, RI: American Mathematical Society: 701–773, setembro de 1991, ISSN 0002-9920Shen, Qinna (setembro de 2019), "A Refugee Scholar from Nazi Germany: Emmy Noether and Bryn Mawr College", The Mathematical Intelligencer, 41 (3): 52–65, doi:10.1007/s00283-018-9852-0, S2CID 128009850Biografias on-line
    • Byers, Nina (16 de março de 2001), "Emmy Noether", Contributions of 20th Century Women to Physics, UCLA, arquivado do original em 12 de fevereiro de 2008Taylor, Mandie (22 de fevereiro de 2023), "Emmy Noether", Biografias de Mulheres Matemáticas, Agnes Scott CollegeChown, Marcus (5 de março de 2025), "Emmy Noether: o gênio que ensinou Einstein", Prospect
      • Emmy Noether no Projeto de Genealogia da Matemática
      • O pedido de admissão de Noether na Universidade de Erlangen-Nuremberg e três de seu curriculum vitae do site da historiadora Cordula Tollmien

      Mídia

      • Fotografia de Noether tirada por Hanna Kunsch — Coleções Especiais da Biblioteca do Bryn Mawr College
      • Fotografias de colegas e conhecidos de Noether do site de Clark Kimberling