Müzik ve matematik (Music and mathematics)

Müzik teorisi, müzik kompozisyonlarının perdesini, zamansal organizasyonunu ve yapısal unsurlarını sistematik olarak inceler. Tempo, armonik ilerlemeler, biçimsel yapılar ve ritmik ölçü dahil olmak üzere çeşitli müzik bileşenlerini araştırmak için matematiksel ilkeleri kullanır. Müzikal kompozisyon ve işitsel algıya yönelik yeni yaklaşımları kavramsallaştırma ve ifade etme çabası, küme teorisi, soyut cebir ve sayı teorisinin müzik bağlamlarında uygulanmasıyla sonuçlandı.

Çağdaş müzik teorisi modern matematikte aksiyomatik bir çerçeveden yoksun olsa da, müzikal sesin temel özellikleri akustik yoluyla matematiksel tanımlamaya uygundur ve dikkate değer bir sayısal özellikler yelpazesi sergiler.

Tarihsel Bağlam

Eski Çin, Hint, Mısır ve Mezopotamya uygarlıkları sesin matematiksel temellerine yönelik araştırmalarıyla tanınırken, antik Yunan Pisagorcuları, özellikle de Philolaus ve Archytas, müzikal ölçeklerin temsilini sayısal oranlar aracılığıyla, özellikle de küçük tam sayıları içerenleri keşfeden bilinen en eski araştırmacılar olarak kabul edilir. Temel felsefi ilkeleri şuydu: "Tüm doğa sayılardan doğan uyumdan oluşur."

Platon'dan başlayarak uyum, fiziğin temel bir alanı olarak görülüyordu; bu alan artık müzik akustiği olarak tanımlanıyor. İlk Hintli ve Çinli teorisyenler karşılaştırılabilir metodolojiler sergilediler ve evrensel olarak armonikleri ve ritimleri yöneten matematiksel ilkelerin yalnızca dünyayı anlamak için değil, aynı zamanda insan refahını geliştirmek için de hayati olduğunu göstermeye çalıştılar. Konfüçyüs, Pisagor'a benzer şekilde 1, 2, 3 ve 4 tam sayılarını tüm mükemmelliğin kökeni olarak görüyordu.

Zamansal Organizasyon, Ritim ve Ölçü

Müzik temel olarak nabız tekrarı, vurgulama, cümle kurma ve zamansal sürenin tutarlı ve düzenli organizasyonunu kapsayan ritmik yapının kısıtlamalarına dayanır. "Ölçü" ve "ölçü" gibi müzik terminolojisinin çağdaş uygulaması, fiziğin temelini oluşturan numaralandırma, aritmetik ve zaman ve periyodikliğin kesin niceliği kavramlarını geliştirmede astronominin yanı sıra müziğin tarihsel öneminin altını çiziyor.

Müzik formunun bileşenleri sıklıkla, genellikle 2 ve 3 tam sayılarının kuvvetlerinden türetilen kesin oranlar veya hipermetrik yapılar içerir.

Müzik Yapısı

Müzik formu, kısa ve öz bir müzik kompozisyonunun geliştirildiği ve genişletildiği organizasyon şemasını tanımlar. Müzikal formun sıklıkla benzetildiği bir disiplin olan mimaride de "plan" kavramı benzer şekilde kullanılmaktadır. Bir mimara benzer şekilde, bir besteci de eserin amaçlanan amacını ve mevcut kaynakları dikkate almalı, tasarruflu davranmalı ve tekrar ve düzen ilkelerini kullanmalıdır. "İkili" ve "üçlü" düzenlemeleri ifade eden ikili ve üçlü yapılar gibi yaygın biçimsel türler, küçük tamsayı değerlerinin müzikal netliği ve estetik çekiciliği artırmadaki kritik rolünü daha da göstermektedir.

Frekans ve Harmonik İlişkiler

Müzik skalası, müziğin yaratılmasında veya analizinde kullanılan perdelerin farklı bir koleksiyonunu oluşturur. Diyatonik ölçek Batı müzik geleneğinde büyük öneme sahip olsa da, farklı tarihsel dönemlerde ve küresel bölgelerde çok sayıda başka ölçek kullanılmış ve önerilmiştir. Her bir ses perdesi, hertz (Hz) cinsinden ölçülen ve bazen saniye başına döngü (c.p.s.) olarak adlandırılan belirli bir frekansla ilişkilidir. Bir dizi doğası gereği bir tekrar aralığına, tipik olarak oktav'a sahiptir. Belirli bir perdenin oktavı, orijinal perdenin tam olarak iki katı frekansı belirtir.

Sonraki süperoktavlar, temel frekansın dört, sekiz, on altı katı ve giderek daha yüksek katları olan frekanslarda meydana gelen perdeleri temsil eder. Tersine, temel sesin yarısına, çeyreğine, sekizde birine vb. eşdeğer frekanslara sahip perdeler alt oktavlar olarak tanımlanır. Müzikal uyum içinde, eğer belirli bir perde ünsüz kabul edilirse, onun oktavları da her zaman ünsüz olarak algılanır. Sonuç olarak, herhangi bir nota ve ona karşılık gelen oktavlar, müzik sistemleri içinde tipik olarak benzer bir isimlendirmeyle atanır (örneğin, tümü, belirli sisteme bağlı olarak doh, A veya Sa olarak adlandırılabilir).

Frekans bant genişliği olarak kavramsallaştırıldığında, A₂–A₃ gibi bir oktav, bir aralığı kapsar. 110 Hz'den 220 Hz'ye kadar olup, 110 Hz'lik bir aralığı temsil eder. Sonraki oktav 220 Hz'den 440 Hz'e kadar uzanacak ve 220 Hz'lik bir aralığı kapsayacaktır. Üçüncü oktav daha sonra 440 Hz'lik bir aralıkla 440 Hz'den 880 Hz'e kadar değişir ve bu model devam eder. Böylece her ardışık oktav, önceki oktavın tam olarak iki katı frekans aralığını kapsar.

Bir müzik skalasının tanımının sıklıkla aralıklar olarak adlandırılan perdeler arasındaki ilişkilere veya oranlara tam mutlak frekansları üzerinden öncelik verdiği göz önüne alındığında, tüm gam perdelerini bir değeri atanan (sıklıkla 1/1 olarak not edilir) belirlenmiş bir referans perdeye göre oranlar olarak ifade etmek gelenekseldir. Bu referans perdesi tipik olarak ölçeğin toniği görevi görür. Aralık boyutlarının karşılaştırmalı analizinde genellikle sentler kullanılır.

Ayarlama Sistemleri

Sistemleri ayarlama

İki temel akort sistemi ailesi mevcuttur: eşit mizaç ve adil akort. Eşit aralıklı ölçekler, bir oktavın logaritmik olarak aralıklara bölünmesiyle oluşturulur, bu da mükemmel şekilde tekdüze ölçekler ancak irrasyonel frekans oranlarıyla sonuçlanır. Tersine, frekansların rasyonel sayılarla çarpılmasıyla adil ölçekler oluşturulur; bu, basit frekans oranları ancak eşit olmayan ölçek bölünmeleri sağlar.

Eşit mizaç ile adil akort arasındaki önemli bir ayrım, iki nota aynı anda çalındığında akustik vuruş fenomeninde yatmaktadır ve bu durum öznel uyum ve uyumsuzluk algısını etkilemektedir. Her iki sistem de, müzik geleneklerinin çoğunluğuyla birlikte, 2:1 frekans oranıyla tanımlanan, her oktav aralığında tekrarlanan ölçeklere sahiptir. Bu, frekans iki katına çıktığında ölçek modelinin yinelendiği anlamına gelir.

Bu örnek, ardışık olarak çalınan iki sinüs dalgasını sunar: 550 Hz'de bir yarım adım (doğru tonlama ölçeğinde C♯) ve ardından 554,37 Hz'de bir yarım adım (eşit aralık ölçeğinde C♯).

• Ardışık olarak çalınan iki sinüs dalgası - bu örnekte 550 Hz'de yarım adım (adil tonlama ölçeğinde C♯), ardından 554,37 Hz'de yarım adım (eşit aralık ölçeğinde C♯) bulunur.
• Bu örnek, sürekli bir A440 pedalına karşı bir "ikili" olarak sunulan aynı iki notayı içerir. Alt nota sabit bir A olarak kalır (her iki ölçekte de 440 Hz), üst nota ise ilk saniye için eşit tempolu ölçekte C♯'den sonraki saniye için adil tonlama ölçeğinde C♯'ye geçiş yapar. Faz farklılıkları bu geçişin tespitini önceki örneğe göre daha kolay kolaylaştırır.

Yalnızca ayarlamalar

Adil tonlamanın en yaygın biçimi olarak kabul edilen beş limitli akort, tek bir temel frekansın düzenli sayı harmoniklerinden türetilen tonları kullanan bir sistemdir. Johannes Kepler bu ölçeği 1619 tarihli çalışması *Harmonices Mundi*'de gezegen hareketi ile ilişkilendirerek tanıttı. İskoç matematikçi ve müzik teorisyeni Alexander Malcolm, 1721 tarihli yayınında * Treatise of Musick: Speculative, Practical and Historical* adlı eserinde bu ölçeğin aktarılmış bir versiyonunu sunmuştur. Yirminci yüzyıl teorisyeni Jose Wuerschmidt de bu sistemi tanımladı. Bu akortun bir çeşidi şu anda kuzey Hindistan müziğinde kullanılıyor.

Amerikalı besteci Terry Riley bu akortun ters çevrilmiş bir formunu "Harp of New Albion" adlı bestesine dahil etti. Vokalistlerin ve enstrümantalistlerin mümkün olduğunda doğal olarak buna yönelmesi nedeniyle, sadece tonlama, akor ilerlemesinin minimum düzeyde olduğu veya hiç olmadığı bağlamlarda üstün akustik sonuçlar sağlar. Bununla birlikte, piyano gibi sabit akortlu enstrümanlar için, anahtarı dinamik olarak ayarlayamamaları nedeniyle iki farklı tam ton aralığı (9:8 ve 10:9) üreterek bir zorluk teşkil etmektedir. Oran bazlı bir ölçekte bir notanın frekansını belirlemek için frekans oranı tonik frekansla çarpılır. Örneğin, 440 Hz'de bir A4 toniği (orta C'nin üzerinde doğal bir A), bunun üzerinde doğru bir şekilde ayarlanmış beşinci (E5) 440 × (3:2) olarak hesaplanır ve sonuçta 660 Hz elde edilir.

Pisagor akordu, yalnızca mükemmel ünsüzler, özellikle mükemmel oktav, mükemmel beşinci ve mükemmel dördüncü üzerine kurulmuş bir sistemdir. Sonuç olarak majör üçlü, bağımsız bir üçlü olarak değil, kelimenin tam anlamıyla "iki ton" anlamına gelen bir "diton" olarak kabul edilir ve (9:8)² = 81:64 olarak hesaplanır; bağımsız ve harmonik olarak sadece 5:4 = 80:64 ile tezat oluşturur. Bu sistemde tam ton, iki tam beşte eksi bir oktavdan türetilen ikincil bir aralıktır ve (3:2)²/2 = 9:8 olarak ifade edilir.

Sadece majör üçlü (5:4) ve minör üçlü (6:5), ilgili Pisagor eşdeğerlerinden (81:64 ve 32:27) sintonik bir virgülle ayrılır; bu oran şu şekildedir: 81:80. Carl Dahlhaus (1990, s. 187) "bağımlı üçlünün Pisagor'a uygun olduğunu, bağımsız üçüncünün ise aralıkların harmonik ayarına uyduğunu" gözlemledi.

Batı'nın yaygın pratik müziği genellikle sadece tonlamadan ziyade sistematik olarak yumuşatılmış bir ölçek gerektirir. Bu temperleme, iyi mizacın doğasında olan düzensizlikleri içerebilir veya eşit mizacın bir formu veya başka bir düzenli ortalama sistemi gibi düzenli bir mizaç olarak yapılandırılabilir. Spesifik yaklaşımdan bağımsız olarak, ortalama mizacın temel özellikleri tutarlı bir şekilde kapsanmaktadır. Örneğin, ii akorunun kökü dominantın tam beşte biri üstüne ayarlanmışsa, toniğin majör tam ton (9:8) üzerinde olacaktır. Tersine, eğer 4:3'lük subdominant derecenin sadece minör üçte birlik (6:5) altına ayarlanırsa, tonikten elde edilen aralık minör tam ton (10:9) olacaktır. Ortalama ton mizaç bu iki tam ton (9:8 ve 10:9) arasındaki tutarsızlığı azaltmaya yarar. Oranları (9:8)/(10:9) = 81:80, geleneksel olarak bir uyum olarak kabul edilir. Didymus'un sintonik virgülü veya virgülü olarak bilinen bu aralık, 81:80, ortalama mizaçtaki temel virgülü temsil eder.

Eşit Mizaç Ayarlamaları

Eşit ayarda oktav, logaritmik olarak eşit mesafeli parçalara bölünür. Her ne kadar eşit aralıklı diziler çeşitli sayıdaki notalarla (örneğin 24 tonlu Arap sistemi) oluşturulabilse de, yaygın konfigürasyon eşit aralıklı kromatik ölçeği oluşturan 12 bölümü içerir. Batı müziği bağlamlarında, bir alternatif açıkça belirtilmediği sürece genellikle on iki aralığa bölündüğü varsayılır.

Kromatik ölçekte oktav, her yarım ton (yarım adım) ikinin on ikinci köküne eşdeğer bir aralığı temsil edecek şekilde on iki eşdeğer bölüme ayrılır. Sonuç olarak, bu tür on iki eşit yarım adım tam olarak bir oktav oluşturur. Perdeli enstrümanlar için eşit mizaç, perdelerin tüm tellerde eşit şekilde hizalanmasını kolaylaştırdığından son derece avantajlıdır. Tarihsel olarak, Avrupa müzik geleneğinde, lavta ve gitar müziğine, klavyeli çalgılar da dahil olmak üzere diğer çalgılara göre çok daha önce eşit mizaç uygulanmıştır. Bu tarihsel gidişat, Batı dünyasında ve Batı dışı birçok bölgede on iki tonlu eşit mizacın baskın tonlama sistemi olmasını sağlamıştır.

Eşit olarak sertleştirilmiş ölçekler uygulandı ve çeşitli sayıda eşit aralıklar kullanılarak ilgili araçlar oluşturuldu. İlk olarak 16. yüzyılda Guillaume Costeley tarafından önerilen ve kullanılan 19'a eşit mizaç, eşit uzaklıktaki 19 tonu içerir. Bu sistem, daha düz bir beştelik pahasına da olsa, standart 12 yarım tonluk eşit mizaçla karşılaştırıldığında üstün majör ve önemli ölçüde geliştirilmiş minör üçlüler sağlar. Kümülatif sonuç, gelişmiş bir uyum duygusudur. Yirmi dört eşit aralıklı tonla karakterize edilen yirmi dört eşit mizaç, Arap müziğinin pedagojik ve notasyon uygulamalarında yaygın olarak benimsenmiştir. Bununla birlikte, hem teorik hem de pratik olarak, Arap müzik tonlaması, eşit temperli sistemlerde bulunan irrasyonel oranların tersine, rasyonel oranlara bağlı kalır.

Arap tonlama sistemlerinde eşit temperli çeyrek tonun tam bir benzeri tamamen mevcut olmasa da, üç çeyrek ton veya nötr saniyeye yakın yaklaşımlarla sıklıkla karşılaşılır. Ancak bu nötr saniyeler, belirli makam ve coğrafi bölgeye bağlı olarak oranlarında küçük farklılıklar gösterir. Arap müzik tarihçisi Habib Hassan Touma'nın belirttiği gibi, "Bu müzikal adımdaki sapmanın genişliği, Arap müziğinin kendine özgü tadında çok önemli bir bileşendir. Oktavı eşit büyüklükte yirmi dört çeyrek tona bölerek skalayı yumuşatmak, bu müzik kültürünün en karakteristik unsurlarından birinden vazgeçmek olacaktır."

53'lü eşit mizaç sistemi, 53 tam beşte 31'in yaklaşık eşdeğerliğinden kaynaklanır. oktav, Jing Fang ve Nicholas Mercator tarafından gözlemlenen bir olgu.

Matematiksel Bağlantılar

Küme Teorisi

Müzik seti teorisi, müzikal varlıkları kategorize etmek ve aralarındaki ilişkileri tanımlamak için matematiksel set teorisinin terminolojisini temel bir şekilde kullanır. Bu çerçeveyi kullanan bir müzik kompozisyonunun (tipik olarak atonal) yapısal analizi için süreç genellikle motifleri veya akorları oluşturabilen bir ton koleksiyonuyla başlar. Transpozisyon ve ters çevirme gibi temel işlemlerin uygulanması, müzikteki temel yapıların tanımlanmasını kolaylaştırır. Bu işlemler (aktarma ve ters çevirme), belirli bir küme içindeki tonlar arasındaki aralıklı ilişkileri koruma özelliklerinden dolayı izometriler olarak adlandırılır.

Soyut Cebir

Müzik kümesi teorisinin metodolojilerini temel alan bazı teorisyenler, müzik analizi için soyut cebirden yararlandılar. Örneğin, eşit temperli bir oktav içindeki perde sınıfları, 12 elementten oluşan bir değişmeli grup oluşturur. Ayrıca, adil tonlama, serbest değişmeli grup çerçevesi kullanılarak karakterize edilebilir.

David Lewin, varlıkların kendisinden ziyade müzikal varlıklar arasındaki dönüşümlere odaklanarak geniş çapta uygulanabilirlik sağlayan bir müzik teorisi dalı olan dönüşümsel teoriyi geliştirdi.

Müzik teorisyenleri ayrıca ileri cebirsel kavramlar için müzikal uygulamalar önerdiler. Örneğin düzenli mizaç teorisi, her düzenli mizacın bir Grassmannian'daki rasyonel bir noktayla ilişkilendirilmesi gibi karmaşık matematiksel yaklaşımlarla önemli ölçüde ilerlemiştir.

Kromatik ölçek, döngüsel grubun ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$, burada bu eylem not aktarımı yoluyla tanımlanır. Sonuç olarak, kromatik ölçek bu grup için bir torsor olarak kavramsallaştırılabilir.

Sayılar ve Seriler

Bazı besteciler altın oranı ve Fibonacci sayılarını müzik bestelerine entegre etmişlerdir.

Kategori Teorisi

Bir matematikçi ve müzikolog olan Guerino Mazzola, müzik teorisinin temel çerçevesi olarak kategori teorisini, özellikle de topos teorisini kullanmıştır. Bu yaklaşım, bir ritim ve motif teorisi oluşturmak için topolojiyi ve müzikal ifadeler, tempo ve tonlama teorisini geliştirmek için diferansiyel geometriyi birleştirir.

Önemli Matematik Geçmişine Sahip Müzisyenler

• Albert Einstein – Başarılı bir piyanist ve kemancı.
• Art Garfunkel (Simon ve Garfunkel'den) – Columbia Üniversitesi'nden Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans derecesine sahiptir.
• Brian Cox – Manchester Üniversitesi Fizik ve Astronomi Fakültesi'nde Parçacık Fiziği Profesörü.
• Brian May (Kraliçe'den) – Her ikisi de Imperial College London'dan Matematik ve Fizik alanında Lisans (Hons) ve Astrofizik alanında doktora derecesi aldı.
• Brian Wecht (Ninja Sex Party'den) – San Diego'daki Kaliforniya Üniversitesi'nden parçacık fiziği alanında doktora derecesine sahiptir.
• Dan Snaith – Imperial College London'dan Matematik alanında doktora derecesine sahiptir.
• Delia Derbyshire – Cambridge'den Matematik ve Müzik alanında lisans diploması aldı.
• Donald Knuth – Orgcu ve besteci olan Knuth, 2016 yılında "Fantasia Apocalyptica" adlı org parçasını tamamladı ve prömiyeri 10 Ocak 2018'de İsveç'te yapıldı.
• Ethan Port (Savage Cumhuriyeti'nden) – Güney Kaliforniya Üniversitesi'nden Matematik alanında doktora derecesine sahiptir.
• Gregg Turner (Kızgın Samoalılardan) – Claremont Lisansüstü Üniversitesi'nden Matematik alanında doktora derecesine sahiptir.
• Jerome Hines – 1951 ile 1956 yılları arasında Matematik Dergisi'nde yayınlanan beş makalenin yazarıdır.
• Jonny Buckland (Coldplay'den) – University College London'da astronomi ve matematik alanında eğitim gördü.
• Kit Armstrong – Müzik diplomasına ve Matematik alanında yüksek lisans derecesine sahiptir.
• Manjul Bhargava – Bir tabla oyuncusu, 2014'te Fields Madalyası'na layık görüldü.
• Phil Alvin (The Blasters'tan) – Los Angeles'taki California Üniversitesi'nde Matematik okudu.
• Philip Glass – Chicago Üniversitesi'nde matematik ve felsefe çalışmaları yürüttü.
• Robert Schneider (The Apples in Stereo'dan) – Emory Üniversitesi'nden Matematik alanında doktora derecesine sahiptir.
• Tom Lehrer – Harvard Üniversitesi'nden Matematik alanında lisans derecesi aldı.
• William Herschel – Obua, keman, klavsen ve org üzerinde performans sergileyen bir gökbilimci. 24 senfoni, çok sayıda konçerto ve çeşitli kilise müziği eserleri besteledi.

Müzik portalı

Referanslar

• Dahlhaus, Carl. 1990. Wagner'in Müzikal Drama Anlayışı. Deutscher Taschenbuch Verlag. Kassel: Bärenreiter. ISBN 9783423045384; ISBN 9783761845387.
• Ivor Grattan-Guinness (1995) "Mozart 18, Beethoven 32: Hidden shadows of integers in classic music", History of Mathematics: States of the Art'ın 29-47. sayfaları, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Knobloch ve Hans Wussing tarafından düzenlendi. Akademik Basın. ISBN 0-12-204055-4.

• Sıcak müzik için harika matematik - Müzik teorisyenleri için matematiğe ilk giriş Yazan: Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353

• Müzik ve Matematik - Thomas E. Fiore
• Matematik disiplini olarak Sonantometri veya müzik.
• Nicolaus Mercator Yakınsamada Müzikte Oran Teorisini Kullanıyor
• Hermann Hesse'nin Cam Boncuk Oyunu adlı romanında, oyunun kavramsallaştırılmasında ve evriminde müzik ve matematiğe çok önemli bir rol atfedildi.
• Akademik söylem, Pisagor'un müzik ve mekansal anlayışa katkılarının yanı sıra sıklıkla uyum ve orantı ilkelerini araştırır.
• "Doğrusal Cebir ve Müzik"
• Notefreqs, MIDI, piyano, gitar, bas ve keman da dahil olmak üzere çeşitli enstrümanlar arasında nota frekansları ve bunlara karşılık gelen oranların kapsamlı bir tablosunu sağlar ve enstrüman yapımı için hem santimetre hem de inç cinsinden perde ölçümlerini daha ayrıntılı olarak açıklar.
• Marcus du Sautoy, Robin Wilson ve Ruth Tatlow'un yer aldığı "Matematik ve Müzik" başlıklı BBC Radio 4 tartışması, Bizim Zamanımızda programının bir parçası olarak 25 Mayıs 2006'da yayınlandı.
• "Pozitif Tanımlı Çekirdeklerle Not Benzerliğinin Ölçülmesi"