Kaos teorisi (Chaos theory)

Kaos teorisi disiplinlerarası bir bilimsel çalışma alanı ve matematik dalıdır. Dinamik dinamiklerin altında yatan kalıplara ve deterministik yasalara odaklanır…

Kaos teorisi disiplinlerarası bir bilimsel araştırma alanını ve matematiğin ayrı bir dalını temsil eder. Temel odak noktası, dinamik sistemleri, özellikle de başlangıç koşullarına karşı aşırı hassasiyet sergileyenleri yöneten doğal modeller ve deterministik ilkelerdir. Bu tür sistemlerin tarihsel olarak tamamen rastgele düzensizlik ve düzensizlik durumlarına sahip olduğu düşünülüyordu. Kaos teorisi, karmaşık kaotik sistemlerde gözlemlenen görünürdeki rastgeleliğe rağmen, altta yatan modeller, karmaşık bağlantılar, sürekli geri bildirim döngüleri, yinelenen olaylar, kendi kendine benzerlik (fraktallar olarak ortaya çıkan) ve kendi kendini organize etme gibi temel unsurların sürekli olarak mevcut olduğunu öne sürer. Kaos teorisinin temel kavramlarından biri olan kelebek etkisi, deterministik doğrusal olmayan bir sistemin başlangıç durumundaki küçük bir değişikliğin, sonraki durumlarında nasıl önemli ölçüde farklı sonuçlara yol açabileceğini ve dolayısıyla başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı ortaya çıkarabileceğini gösterir. Bu fenomene ilişkin yaygın bir metafor, Brezilya'da bir kelebeğin kanat çırpmasının Teksas'ta bir kasırganın oluşumunu veya önlenmesini potansiyel olarak etkileyebileceğini öne sürüyor.

Ölçüm hatalarından veya sayısal yuvarlama hatalarından kaynaklansın, başlangıç koşullarındaki dakika tutarsızlıkları, bu tür dinamik sistemlerde önemli ölçüde farklı yörüngeler üretebilir ve dolayısıyla uzun vadeli doğru davranış tahminlerini engelleyebilir. Bu fenomen, bu sistemlerin deterministik doğasına rağmen meydana gelir; bu da onların gelecekteki evriminin benzersiz bir şekilde belirlendiğini ve herhangi bir stokastik bileşenden yoksun olarak tamamen başlangıç koşulları tarafından yönetildiğini ima eder. Sonuç olarak, bu sistemlerin deterministik karakteri doğası gereği öngörülebilirlik sağlamaz. Bu özel davranışa resmi olarak deterministik kaos veya daha kısaca kaos adı verilir. Edward Lorenz teoriyi kısa ve öz bir şekilde şu şekilde ifade etti:

Kaos: Şimdinin geleceği belirlemesi ancak yaklaşık şimdiki zamanın yaklaşık olarak geleceği belirlememesi.

Sıvı akışını, kalp ritmi düzensizliklerini, meteorolojik ve iklim olaylarını kapsayan çok sayıda doğal sistemde kaotik dinamikler gözlemlenebilir. Ayrıca, bu tür davranışlar, karayolu trafik düzenleri ile örneklenen, yapay unsurlar içeren belirli sistemlerde kendiliğinden ortaya çıkmaktadır. Bu davranışın araştırılması, kaotik matematiksel modellerin analizi yoluyla veya yineleme grafikleri ve Poincaré haritaları gibi özel analitik metodolojiler aracılığıyla gerçekleştirilebilir. Kaos teorisi, meteoroloji, antropoloji, sosyoloji, çevre bilimi, bilgisayar bilimi, mühendislik, ekonomi, ekoloji ve pandemik krizlerin yönetimi dahil olmak üzere çeşitli akademik ve pratik alanlarda geniş uygulama alanı bulmaktadır. Bu teorik çerçeve, başta karmaşık dinamik sistemler, kaosun sınırı teorisi ve kendi kendine toplanma süreçleri olmak üzere yeni ortaya çıkan çalışma alanları için temel bir destek görevi gördü.

Giriş

Kaos teorisi, görünüşte rastgele davranışa geçmeden önce sonlu bir süre boyunca öngörülebilirlik sergileyen deterministik sistemleri araştırır. Kaotik bir sistem için etkili öngörülebilirlik ufku üç faktöre bağlıdır: tahminde izin verilen belirsizlik düzeyi, mevcut durumunun belirlenebileceği kesinlik ve Lyapunov zamanı olarak bilinen sisteme özgü zamansal ölçek. Açıklayıcı Lyapunov süreleri, kaotik elektrik devreleri için yaklaşık 1 milisaniyeyi, hava durumu sistemleri için birkaç günü (bu henüz kanıtlanmamış olsa da) ve iç güneş sistemi için 4 ila 5 milyon yılı içerir. Kaotik sistemlerde tahmine yönelik belirsizlik zaman geçtikçe katlanarak artar. Sonuç olarak, matematiksel açıdan bakıldığında, tahmin süresinin iki katına çıkarılması, orantılı tahmin belirsizliğinde kareden daha büyük bir artışla sonuçlanır. Pratik olarak bu, Lyapunov zamanının iki veya üç katını aşan aralıklar için güvenilir tahminlerin genellikle mümkün olmadığı anlamına gelir. Anlamlı tahminlerin elde edilemediği durumlarda sistemin davranışı rastgele olarak algılanır.

Kaotik dinamikler

Günlük konuşma dilinde "kaos" genellikle derin bir düzensizlik durumunu ifade eder. Ancak kaos teorisinin özel bağlamı içinde bu terim daha kesin bir şekilde tanımlanır. Kaosun evrensel olarak kabul edilen matematiksel bir tanımı hala anlaşılması zor olsa da, ilk olarak Robert L. Devaney tarafından önerilen ve geniş çapta benimsenen bir tanım, dinamik bir sistemin kaotik olarak sınıflandırılabilmesi için aşağıdaki özellikleri sergilemesi gerektiğini şart koşuyor:

Başlangıç koşullarına duyarlılık göstermelidir;
topolojik geçişliliğe sahip olmalıdır;
Yoğun periyodik yörüngeler içermelidir.

Belirli bağlamlarda, yukarıda bahsedilen son iki özelliğin doğası gereği başlangıç koşullarına duyarlılığı ima ettiği gösterilmiştir. Özellikle ayrık zamanlı sistemler için bu çıkarım, metrik uzaylarda tanımlanan tüm sürekli haritalar için geçerlidir. Sonuç olarak, bu gibi durumlarda, "başlangıç koşullarına duyarlılık" sıklıkla pratikte en göze çarpan özelliği temsil etse de, bunun resmi tanıma açıkça dahil edilmesi gereksiz hale gelir.

Özel olarak aralıklar dikkate alındığında, ikinci özellik kalan ikisini gerektirir. Kaosun farklı, genellikle daha az katı bir tanımı, yalnızca daha önce sayılan ilk iki özelliği içerir.

Başlangıç Koşullarına Duyarlılık

Başlangıç koşullarına duyarlılık, kaotik bir sistem içindeki her noktanın, önemli ölçüde farklı gelecek yörüngeleri sergileyen diğer noktalar tarafından keyfi olarak yakından tahmin edilebileceğini belirtir. Sonuç olarak, mevcut gidişatın en ufak bir değişikliği veya bozulması bile daha sonra tamamen farklı davranışlarla sonuçlanabilir.

Başlangıç koşullarına duyarlılık genel olarak "kelebek etkisi" olarak anılır; bu isimlendirme, Edward Lorenz tarafından Washington D.C.'deki Amerikan Bilimi İlerletme Derneği'ne 1972'de sunulan ve özellikle Tahmin Edilebilirlik: Bir Kelebeğin Kanatlarını Çırpması Yapar mı başlıklı 1972 tarihli bir makalenin başlığından türetilmiştir. Brezilya Teksas'ta bir Kasırga mı başlattı?. Bu mecazi kanat kanadı, sistemin başlangıç durumundaki küçük bir değişikliği simgeliyor ve makroskobik olayların doğru tahminini engelleyen bir olaylar dizisini başlatıyor. Tersine, bu küçük tedirginliğin yokluğu, tüm sistem için oldukça farklı bir yörüngeye yol açabilirdi.

Lorenz'in 1993 tarihli Kaosun Özü adlı kitabında belirtildiği gibi, "hassas bağımlılık, kaosun geçerli bir tanımını oluşturur." Aynı yayında Lorenz, kelebek etkisini şu şekilde ifade etti: "Dinamik bir sistemin durumundaki küçük bir değişikliğin, sonraki durumların, değişiklik olmasaydı meydana gelecek olanlardan önemli ölçüde farklılaşmasına neden olacağı olgusu." Bu tanım, çözümlerin başlangıç koşullarına (SDIC) hassas bağımlılığı ile uyumludur. Zamansal yolların başlangıç konfigürasyonlarına duyarlılığını örneklendirmek için idealleştirilmiş bir kayak modeli tasarlandı. SDIC'nin başlangıcından önce, özellikle de başlangıçta birbirine yakın olan yörüngelerin önemli ölçüde farklılaşmasından önce bir öngörülebilirlik ufku oluşturulabilir.

Başlangıç koşullarına duyarlılığın doğrudan bir sonucu, bir sistem hakkında tipik olarak sınırlı başlangıç bilgisi göz önüne alındığında, öngörülebilirliğinin belirli bir zamansal eşiğin ötesinde azalmasıdır. Bu olgu, güvenilir hava tahminlerinin tipik olarak yalnızca yaklaşık bir hafta sonrasını kapsadığı meteorolojide özellikle belirgindir. Ancak bu, gelecekte yaşanacak olaylara ilişkin tüm iddiaları engellemez; daha ziyade doğal sistemik kısıtlamaları gösterir. Örneğin, Dünya'nın yüzey sıcaklığının mevcut jeolojik dönemde doğal olarak 100 °C'ye (212 °F) ulaşmayacağı veya -130 °C'nin (-202 °F) altına inmeyeceği anlaşılsa da, herhangi bir yılın en sıcak gününü kesin olarak tahmin etmek hala imkansız.

Matematiksel olarak Lyapunov üssü, başlangıç koşullarına duyarlılığı, tedirgin başlangıç durumlarından üstel sapma oranı olarak ölçer. Spesifik olarak, faz uzayında sonsuz küçüklüğe yakın iki yörünge için, başlangıç ayrımı $\delta \mathbf {Z} _{0}$ 16§ {\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0} , bu yörüngeler şu şekilde ifade edilen bir oranda birbirinden ayrılıyor:

|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,

55§ | , {\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,

burada ${\displaystyle t>$ zamanı temsil eder ve ${\displaystyle \lambda$ Lyapunov üssünü belirtir. Yörüngelerin farklılaşma hızı, ilk ayırma vektörünün yönelimine bağlıdır ve Lyapunov üslerinin tam spektrumunun potansiyel varlığına yol açar. Lyapunov üslerinin miktarı, faz uzayının boyutluluğuna karşılık gelir, ancak tipik olarak yalnızca en büyük üs referans alınır. Örneğin, maksimum Lyapunov üssü (MLE), sistemin genel öngörülebilirliğini belirlediği için sıklıkla kullanılır. Pozitif bir MLE, çözümün sınırlılığıyla birleştirildiğinde genellikle kaotik bir sistemin göstergesi olarak kabul edilir.

Yukarıda belirtilen özelliğin ötesinde, başlangıç koşullarına duyarlılıkla ilişkili diğer özellikler de ortaya çıkar. Bunlar, örneğin ergodik teoride araştırıldığı şekliyle ölçüm-teorik karışımı ve bir K-sisteminin belirli özelliklerini kapsar.

Periyodik olmayan

Kaotik bir sistem, gelişen değişken için tam olarak tekrarlanan değer dizileri sergileyebilir ve böylece böyle bir dizi içindeki herhangi bir noktadan periyodik davranış üretebilirken, bu periyodik diziler doğası gereği çekici olmaktan çok iticidir. Bu, eğer gelişen değişken bir dizinin dışında yer alıyorsa, ne kadar yakın olursa olsun ona yakınsamayacağı anlamına gelir; bunun yerine farklılaşacaktır. Sonuç olarak, neredeyse tüm başlangıç koşulları için değişken, periyodik olmayan davranışla karakterize edilen kaotik bir evrime uğrar.

Topolojik karıştırma

Topolojik karışım veya onun daha zayıf karşılığı olan topolojik geçişlilik, bir sistemin zaman içinde, kendi faz uzayı içindeki belirli herhangi bir bölgenin veya açık kümenin eninde sonunda herhangi bir diğer bölgeyle kesişeceği şekilde geliştiğini belirtir. "Karıştırma"nın bu matematiksel yorumu, geleneksel anlayışla uyumludur ve renkli boyaların veya sıvıların birbirine karışması, kaotik bir sistemin pratik bir örneği olarak hizmet eder.

Topolojik karıştırma, kaosu genellikle yalnızca başlangıç koşullarına duyarlılıkla eşitleyen popüler kaos tartışmalarında sıklıkla gözden kaçırılır. Ancak başlangıç koşullarına hassas bağımlılık tek başına kaosu tanımlamak için yeterli değildir. Örneğin, bir başlangıç değerinin tekrar tekrar iki katına çıkarılmasıyla oluşturulan basit bir dinamik sistemi düşünün. Bu sistem, evrensel olarak başlangıç koşullarına hassas bir bağımlılık göstermektedir; çünkü birbirine yakın konumdaki herhangi iki nokta, eninde sonunda birbirinden geniş ölçüde ayrılacaktır. Bununla birlikte, bu özel örnekte topolojik karışım yoktur ve bu nedenle kaos sergilemez. Aslında davranışı son derece basittir: sıfır hariç tüm noktalar ya pozitif ya da negatif sonsuza doğru yönelir.

Topolojik geçişlilik

Bir harita ${\displaystyle f:X\to X$ , boş olmayan herhangi bir açık küme çifti için ${\displaystyle U,V\subset X$ , bir tamsayı var $k>0$ 61§ {\displaystyle k>0 öyle ki ${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$ . Topolojik geçişlilik, topolojik karışımdan daha az katı bir koşulu temsil eder. Sezgisel olarak, eğer bir harita topolojik geçişlilik gösteriyorsa, o zaman herhangi bir x noktası ve herhangi bir V bölgesi için, x'in yakınında yörüngesi sonunda V'yi geçecek bir y noktası vardır. Bu özellik, sistemin iki ayrı açık kümeye bölünemeyeceği anlamına gelir.

Birkhoff Geçişlilik Teoremi, ilgili önemli bir ilkedir. Yoğun bir yörüngenin varlığının topolojik geçişliliği ima ettiği kolaylıkla açıktır. Birkhoff Geçişlilik Teoremi, eğer X ikinci sayılabilir, tam bir metrik uzay oluşturuyorsa, o zaman topolojik geçişlilik, X içinde yoğun yörüngelere sahip olan noktaların yoğun bir alt kümesinin varlığını garanti eder.

Periyodik yörüngelerin yoğunluğu

Kaotik bir sistemde yoğun periyodik yörüngelerin varlığı, her uzaysal noktaya periyodik yörüngelerle sonsuz derecede yakın yaklaşıldığı anlamına gelir. Yoğun periyodik yörüngeler sergileyen bir sistemin basit bir örneği, x → 4 x (1 – x) ile tanımlanan tek boyutlu lojistik haritadır. Örneğin, ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ 19§ − §2526§ §3031§ {\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}} → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ 54§ + §5960§ §6465§ {\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}} → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ 88§ − §9495§ §99100§ {\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}} (yaklaşık 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) periyodu 2 olan kararsız bir yörüngeyi temsil eder. Sharkovskii teoreminin öngördüğü tüm periyotları kapsayan 4, 8, 16 ve benzeri periyotlar için benzer yörüngeler mevcuttur.

Sharkovskii teoremi, Li ve Yorke'un 1975 tarihli kanıtı; üçüncü periyottan oluşan düzenli bir döngü sergileyen herhangi bir sürekli tek boyutlu sistemin, tamamen kaotik yörüngelere ek olarak diğer tüm uzunluklarda düzenli döngüler de göstereceğini gösteriyor.

Garip Çekiciler

x → 4 x (1 – x) ile tanımlanan tek boyutlu lojistik harita gibi belirli dinamik sistemler, tüm etki alanları boyunca kaos sergilerken, kaotik davranış sıklıkla faz uzayının yalnızca belirli bir alt kümesinde meydana gelir. En önemli örnekler, bir çekici üzerinde ortaya çıkan kaotik davranışı içerir; çünkü bu, geniş bir yelpazedeki başlangıç koşullarının, yörüngelerin bu kaotik alana doğru yakınsamasına yol açacağını ima eder.

Bir kaotik çekiciyi görselleştirmek için, onun çekim havzasında bir nokta başlatılabilir ve daha sonra onun yörüngesi çizilebilir. Topolojik geçişlilik ilkesi nedeniyle, bu yöntem tipik olarak nihai çekicinin tamamının bir temsilini üretir. Örneğin, ekteki şekilde gösterilen her iki yörünge de Lorenz çekicisinin genel morfolojisini göstermektedir. Bu çekici, Lorenz hava durumu sisteminin basitleştirilmiş üç boyutlu modelinden kaynaklanmaktadır. Lorenz çekicisi muhtemelen en eski ve en karmaşık örneklerden biri olma statüsünden dolayı kaotik sistemlerin en tanınmış diyagramları arasındadır ve sonuç olarak genellikle kelebek kanatlarına benzetilen ayırt edici bir desen üretir.

Sabit nokta çekicileri ve limit döngülerinin aksine, kaotik sistemlerden ortaya çıkan ve tuhaf çekiciler olarak adlandırılan çekiciler, önemli ayrıntılar ve doğal karmaşıklık sergiler. Hem Lorenz sistemiyle örneklenen sürekli dinamik sistemlerde hem de Hénon haritası gibi belirli ayrık sistemlerde garip çekiciler gözlemleniyor. Ayrıca, diğer ayrık dinamik sistemler, sabit noktaların çekim havzaları arasındaki arayüzde ortaya çıkan, Julia seti olarak bilinen itici bir konfigürasyona sahiptir. Julia setleri tuhaf kovucular olarak kavramsallaştırılabilir. Karakteristik olarak, hem garip çekiciler hem de Julia kümeleri, fraktal boyutlarının hesaplanabileceği bir fraktal yapıya sahiptir.

Birlikte Var Olan Çekiciler

Yalnızca tekil kaotik çözümlere odaklanan analizlerin aksine, Lorenz modellerini kullanan çalışmalar, farklı çözüm türlerini dikkate almanın önemini vurguladı. Örneğin, çift sarkaç sistemi gibi aynı modelde, bir arada var olan kaotik ve kaotik olmayan durumlar, aynı modelleme konfigürasyonları altında ancak farklı başlangıç koşullarıyla ortaya çıkabilir. Hem klasik hem de genelleştirilmiş Lorenz modellerinden türetilen çekicilerin bir arada varlığının keşfi, gözden geçirilmiş bir bakış açısına yol açtı: "Havanın tamamı kaotiktir" şeklindeki geleneksel görüşle çelişen, "havanın tamamı, belirgin öngörülebilirliğe sahip kaos ve düzenden oluşan ikili bir doğaya sahiptir."

Kaotik Bir Sistem için Gereken Minimum Karmaşıklık

Lojistik haritayla örneklenen ayrık kaotik sistemler, boyutlarına bakılmaksızın garip çekiciler gösterme yeteneğine sahiptir. Tersine, sürekli dinamik sistemler için Poincaré-Bendixson teoremi, garip bir çekicinin yalnızca üç veya daha fazla boyutta ortaya çıkabileceğini belirtir. Sonlu boyutlu doğrusal sistemler doğası gereği kaotik özelliklerden yoksundur; sonuç olarak dinamik bir sistemin kaotik davranış sergileyebilmesi için ya doğrusal olmaması ya da sonsuz boyutlu olması gerekir.

Poincaré-Bendixson teoremi, iki boyutlu diferansiyel denklemlerin oldukça düzenli davranış sergilediğini öne sürer. Daha sonra ayrıntıları verilen Lorenz çekicisi, özellikle üç diferansiyel denklemden oluşan bir sistem tarafından üretilir:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{hizalanmış}

Sistem durumu değişkenler tarafından tanımlanır ${\displaystyle x$ , ${\displaystyle y$ ve ${\displaystyle z$ . Zaman şu şekilde temsil edilir: ${\displaystyle t>$ , sistem parametreleri ise ${\displaystyle \sigma$ , ${\displaystyle \rho$ ve ${\displaystyle \beta$ .Denklemlerin sağ tarafı, beşi doğrusal ve ikisi ikinci dereceden olmak üzere toplam yedi terimden oluşur. Bir başka öne çıkan kaotik çekici, yedi terimi arasında yalnızca bir doğrusal olmayan terimi öne çıkaran Rössler denklemleri tarafından üretilir. Sprott, belirli parametre değerleri altında kaos sergileyebilen, tek bir doğrusal olmayan terim içeren, yalnızca beş terimli üç boyutlu bir sistem tanımladı. Tersine, Zhang ve Heidel, sağ tarafında yalnızca üç veya dört terim bulunan üç boyutlu ikinci dereceden sistemlerin, en azından enerji tüketen ve muhafazakar ikinci dereceden sistemler için kaotik davranış sergileyemeyeceğini gösterdi. Bunun nedeni, bu tür sistemlere yönelik çözümlerin iki boyutlu bir yüzeye asimptotik olarak yaklaşması ve dolayısıyla öngörülebilir davranış sergilemesidir.

Poincaré-Bendixson teoremi, bir Öklid düzlemindeki sürekli dinamik sistemlerin kaotik davranış gösteremeyeceğini ortaya koysa da, Öklid dışı geometriyi içeren iki boyutlu sürekli sistemler yine de belirli kaotik özellikler gösterebilir.

Yukarıda bahsedilen üç sıradan diferansiyel denklem seti, üç boyutlu Lorenz modeli olarak belirlenmiştir. 1963'ten bu yana, çeşitli araştırmalar daha yüksek boyutlu Lorenz modellerinin geliştirilmesine yol açmış olup, öncelikle artan doğrusal olmamanın etkisini ve bunun ısıtma ve dağılmalarla birlikte çözüm kararlılığı üzerindeki etkisini incelemek için yapılmıştır.

Doğrusal Sistemlerde Kaos

İlginç bir şekilde kaos, lineer sistemlerde de ortaya çıkabilir, tabii ki bu sistemler sonsuz boyutludur. Fonksiyonel analiz alanında kapsamlı bir doğrusal kaos teorisi şu anda geliştirilme aşamasındadır.

Kuantum mekaniği sıklıkla mükemmel bir doğrusal, kaotik olmayan teori olarak kabul edilir ve viskozitenin türbülansı hafifletmesine benzer şekilde kaotik davranışı bastırdığını öne sürer. Ancak bu öncül, nano ölçekli türbülans biçimlerini açıkça sergileyen güçlü korelasyonlu sistemler gibi sonsuz serbestlik derecesine sahip kuantum mekaniksel sistemler için geçerli değildir.

Kaosun Ek Özellikleri

Sonsuz Boyutlu Haritalar

Birleştirilmiş ayrık haritaların doğrudan genelleştirilmesi, mekansal olarak dağıtılmış haritalar arasındaki etkileşimleri kolaylaştırmak için şu şekilde ifade edilen bir evrişim integrali kullanır: $\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec) {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$ 16§ ( r → , t ) = ∫ K ( r → − r → , , t ) f [ ψ n ( r → , , t ) ] d r → , {\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,} .

Burada çekirdek ${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ bir yayıcı olarak işlev görür ve şu şekilde türetilir: Green'in ilgili fiziksel sistem için işlevi.

İşlev ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ 68§−tanh⁡(ψ)]{\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi) )]>.

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$ .

Kendiliğinden Düzen

Belirli çevresel parametreler altında, kaotik sistemler kendiliğinden senkronize durumlara geçebilir. Örneğin Kuramoto modeli, kaotik bir sistem içinde senkronizasyonu tetiklemek için yalnızca dört koşulun yeterli olduğunu göstermektedir. Bu fenomenin açıklayıcı örnekleri arasında Christiaan Huygens'in sarkaçlarında gözlemlenen eşleştirilmiş salınımlar, ateşböceklerinin senkronize yanıp sönmesi, nöronal ateşleme modelleri, Londra Milenyum Köprüsü'nün rezonans davranışı ve kapsamlı Josephson bağlantı dizilerinin kolektif dinamikleri yer alıyor.

Ayrıca, teorik fizik çerçevesinde, dinamik kaos, en geniş yorumuyla, kendiliğinden bir düzen biçimi oluşturur. Bu temel ilke, doğal düzenlerin çoğunluğunun, çeşitli simetrilerin kendiliğinden kırılmasından ortaya çıktığını varsayar. Bu kapsamlı fenomen kategorisi elastikiyeti, süperiletkenliği, ferromanyetizmayı ve diğer birçok örneği kapsar. Stokastik dinamiklerin süpersimetrik teorisi, kaosun veya daha doğrusu onun stokastik genellemesinin de bu aileye ait olduğunu öne sürüyor. Bu bağlamda, kırık simetri, tüm stokastik (kısmi) diferansiyel denklemlerde doğası gereği mevcut olan topolojik süpersimetri olarak tanımlanır ve ilgili düzen parametresi, kelebek etkisinin alan-teorik bir tezahürünü temsil eder.

Kombinatoryal (veya Karmaşık) Kaos

Başlangıç koşullarına duyarlılık özelliğini gerektirmeyen kaosun alternatif tanımları mevcuttur; örneğin, ayrı bir birleşimsel eylemin özyinelemeli uygulamasını içeren kombinatoryal kaos. Bu kaos biçimi, hücresel otomatların ürettiği kaotik davranışla benzerlikler sergiliyor. Önemli bir şekilde, bu kaos kategorisi işlevsel olarak bir Turing makinesine eşdeğerdir ve bu tür dinamik sistemlerde hesaplamalı yürütmeye olanak sağlar. Sonuç olarak, bu sistemler için durma sorunu kararsız kalır, bu da belirli hesaplama algoritmalarının sonlandırılamayacağı anlamına gelir. Bu, bir sistem içindeki öngörülemezliğe ilişkin temelde farklı bir mekanizmayı temsil eder.

Geçmiş

James Clerk Maxwell, başlangıç koşullarının önemini vurgulayan ilk bilim adamı olarak kabul ediliyor ve 1860'lar ile 1870'leri kapsayan katkılarıyla kaos teorisinin ilk savunucuları arasında sayılıyor. 1880'lerde Henri Poincaré'nin üç cisim problemine ilişkin araştırması, ne sürekli olarak genişleyen ne de sabit bir noktaya yaklaşan periyodik olmayan yörüngelerin varlığını ortaya çıkardı. 1898'de Jacques Hadamard, serbest bir parçacığın sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzey boyunca sürtünmesiz hareketi üzerine ufuk açıcı bir çalışma yazdı; bu olaya "Hadamard'ın bilardoları" adı verildi. Hadamard, parçacık yollarının birbirinden üstel olarak farklılaştığını ve pozitif bir Lyapunov üssüyle karakterize edildiğini göstererek tüm yörüngelerin doğasında var olan istikrarsızlığı gösterdi.

Doğrusal olmayan diferansiyel denklemlere de odaklanan sonraki araştırmalar George David Birkhoff, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, Mary Lucy Cartwright ve John Edensor Littlewood ve Stephen Smale tarafından yürütüldü. Kapsamlı bir teorik çerçevenin geliştirilmesinden önce deneyciler ve matematikçiler, akışkanlar dinamiğindeki türbülans, toplumsal ve ekonomik sistemlerdeki kaotik dinamikler, radyo devrelerindeki periyodik olmayan salınımlar ve doğal ortamlardaki fraktal desenler dahil olmak üzere çeşitli olguları gözlemlediler.

İlk görüşler yirminci yüzyılın ilk yarısında ortaya çıkmış olsa da, kaos teorisi ancak yüzyılın ortasından sonra resmi olarak tanınmaya başladı. Bu noktada, bazı bilim adamları, pürüzsüzlük ve süreklilik ile karakterize edilen, o zamanlar baskın olan doğrusal sistem teorisinin, lojistik haritayı içerenler gibi belirli deneylerde gözlemlenen düzensiz ve süreksiz davranışları açıklamakta yetersiz olduğunu açıkça gördü. Bu gözlemler, kaosun stokastik veya doğrusal olmayan dinamik sistemlerle, özellikle de türevlenemeyen ve sürekli olmayan zamansal evrim sergileyenlerle olan içsel bağlantısının altını çiziyor.

Daha önce ölçüm belirsizliğine ve yalnızca "gürültüye" atfedilen olaylar, kaos teorisyenleri tarafından incelenen sistemlerin tamamlayıcı bileşenleri olarak yeniden yorumlandı. 1959'da Boris Valerianovich Chirikov, Hamilton sistemlerinde klasik kaosun başlangıcına ilişkin Chirikov kriteri olarak bilinen bir kriteri tanıttı. Daha sonra bu kriteri, açık ayna tuzaklarında plazma hapsine ilişkin deneysel bulguları açıklamak için uyguladı. Bu katkı, Boris Chirikov'u hem klasik hem de kuantum kaosta öncü konumuna getiren, belirli bir deneysel gözlemi başarılı bir şekilde açıklayan, kaosun ilk fiziksel teorisi olarak kabul ediliyor.

Kaos teorisinin ilerlemesindeki temel itici güç, elektronik bilgisayarın ortaya çıkışıydı. Kaos teorisinin matematiksel çerçevesinin önemli bir kısmı, temel formüllerin tekrar tekrar uygulanmasını gerektirir; bu, manuel hesaplama için son derece zahmetli bir süreçtir. Elektronik bilgisayarlar bu tekrarlanan hesaplamaları mümkün kılarken, grafik gösterimler ve görüntüler de bu karmaşık sistemlerin görselleştirilmesini kolaylaştırdı. Chihiro Hayashi'nin Kyoto Üniversitesi'ndeki laboratuvarında yüksek lisans öğrencisi olan Yoshisuke Ueda, 27 Kasım 1961'de analog bilgisayarlarla deneyler yaparken "rastgele geçiş fenomeni" olarak adlandırdığı şeyi gözlemledi. Ancak danışmanı başlangıçta onun sonuçlarına karşı çıktı ve bulgularının yayınlanmasını 1970 yılına kadar erteledi.

Edward Lorenz, kaos teorisinin gelişiminde temel bir figür olarak ortaya çıktı. Kaosa olan ilgisi 1961'de hava tahmini üzerine yaptığı araştırma sırasında tesadüfen ortaya çıktı. Lorenz, iş arkadaşları Ellen Fetter ve Margaret Hamilton ile birlikte hava durumu simülasyonları için Royal McBee LGP-30 adlı temel bir dijital bilgisayar kullandı. Bir veri dizisini yeniden incelemek ve zamanı optimize etmek amacıyla, orijinal simülasyonun ara koşullarına karşılık gelen bir çıktıdan veri girerek yolun ortasında bir simülasyon başlattılar. Beklenmedik bir şekilde, sonraki hava durumu tahminleri ilk hesaplamalardan tamamen farklılaştı. Bu tutarsızlığın bilgisayar çıktısından kaynaklandığı anlaşıldı: bilgisayar 6 basamaklı hassasiyetle çalışırken, çıktı değişkenleri üç basamağa kısaltıyordu (örneğin, 0,506127, 0,506 olarak görünüyordu). Her ne kadar bu fark çok küçük olsa ve o zamanki mevcut fikir birliği bunun pratik bir etkisinin olmayacağını öne sürse de Lorenz, başlangıç koşullarındaki küçük değişikliklerin uzun vadeli sonuçlarda önemli farklılıklara yol açabileceğini gösterdi. Daha sonra Lorenz çekicilerine adını veren bu keşif, gelişmiş atmosferik modellemenin bile genel olarak uzun vadeli kesin hava durumu tahminleri üretme konusunda yetersiz olduğunu ortaya çıkardı.

1963'te Benoit Mandelbrot, bilgi teorisini araştırırken, hisse senedi fiyatları ve telefon devreleri de dahil olmak üzere çeşitli olgulardaki gürültünün, sonsuz pürüzlülük ve karmaşık ayrıntılarla tanımlanan noktaların bir koleksiyonu olan Cantor kümesine özgü modeller sergilediğini tespit etti. Mandelbrot iki farklı etkiyi açıkladı: ani, süreksiz değişikliklerin meydana gelmesini tanımlayan "Nuh etkisi" ve bir değerin geçici olarak kalıcı olması ve ardından ani bir değişimle karakterize edilen "Joseph etkisi". 1967 tarihli "Britanya'nın kıyısı ne kadar uzun? İstatistiksel öz benzerlik ve kesirli boyut" adlı yayını, bir kıyı şeridinin ölçülen uzunluğunun ölçüm cihazının ölçeğine göre değiştiğini, tüm ölçeklerde kendi kendine benzerlik gösterdiğini ve son derece küçük bir cihazla ölçüldüğünde sonsuz uzunluğa yaklaştığını gösterdi. Mandelbrot ayrıca bir nesnenin boyutlarının gözlemciye göreli olduğunu ve kesirli olabileceğini öne sürdü; bunu bir sicim topunun uzaktan 0 boyutlu (bir nokta), orta derecede yakın bir mesafeden 3 boyutlu (bir top) veya yakından bakıldığında 1 boyutlu (eğri bir iplik) göründüğünü belirterek bunu gösterdi. Menger süngeri, Sierpiński contası ve sonlu bir alanı çevrelerken sonsuz uzunluğa sahip olan ve yaklaşık 1.2619 fraktal boyutuna sahip olan Koch eğrisi veya kar tanesi gibi örneklerden alıntı yaparak bir fraktal'ı farklı ölçeklerde sürekli düzensizlik veya "kendi kendine benzerlik" sergileyen bir nesne olarak tanımladı. 1982'de Mandelbrot, kaos teorisinde ufuk açıcı bir çalışma olan Doğanın Fraktal Geometrisi'ni yazdı.

Aralık 1977'de New York Bilimler Akademisi kaos üzerine açılış sempozyumuna ev sahipliği yaptı ve David Ruelle, Robert May, James A. Yorke (matematiksel "kaos" terimini icat eden kişi), Robert Shaw ve meteorolog Edward Lorenz gibi katılımcıların ilgisini çekti. Ertesi yıl, Pierre Coullet ve Charles Tresser "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalization"ı yayınlarken, Mitchell Feigenbaum'un "Doğrusal Olmayan Dönüşümler Sınıfı için Niceliksel Evrensellik" başlıklı makalesi, üç yıl süren editoryal reddin ardından nihayet bir dergide yayınlandı. Feigenbaum (1975) ve Coullet & Tresser (1978) toplu olarak kaostaki evrensellik kavramını oluşturdu ve böylece kaos teorisinin çeşitli fenomenlere uygulanmasına olanak sağladı.

1979'da Aspen'de Pierre Hohenberg tarafından düzenlenen bir sempozyumda Albert J. Libchaber, Rayleigh-Bénard konveksiyon sistemlerinde kaosa ve türbülansa yol açan bir süreç olan çatallanma kademesine ilişkin deneysel bulgularını sundu. Önemli katkılarından dolayı Libchaber ve Mitchell J. Feigenbaum, 1986 yılında Wolf Fizik Ödülü'ne ortaklaşa layık görüldüler.

1986 yılında, New York Bilimler Akademisi, Ulusal Ruh Sağlığı Enstitüsü ve Deniz Araştırmaları Ofisi ile işbirliği içinde, biyoloji ve tıptaki kaosa adanmış ilk büyük konferansı birlikte düzenledi. Bu etkinlik sırasında Bernardo Huberman, şizofreni hastalarında gözlenen göz izleme bozukluğuna yönelik bir matematiksel model tanıttı. Kaos teorisinin bu uygulaması, 1980'lerde patolojik kalp döngüleri üzerine yapılan çalışmalarla örneklendirilen fizyolojik araştırmaların yeniden canlanmasına katkıda bulundu.

1987'de Per Bak, Chao Tang ve Kurt Wiesenfeld, Physical Review Letters'da kendi kendine organize kritikliği (SOC) ilk kez tanıtıp tanımlayan ufuk açıcı bir makale yayınladılar ve bunu doğal yaşamdaki karmaşıklığın ortaya çıkışının altında yatan temel bir mekanizma olarak tanımladılar. sistemler.

Bak-Tang-Wiesenfeld kum yığını modeli gibi laboratuvar merkezli metodolojilerin ötesinde, çok sayıda çalışma, ölçekle değişmez özellikler sergileyen veya sergilediği varsayılan büyük ölçekli doğal ve sosyal sistemleri araştırmıştır. Alan uzmanlarının başlangıçtaki şüpheciliğine rağmen, Kendi Kendine Organize Eleştiri (SOC), çeşitli doğa olayları için zorlayıcı bir açıklayıcı çerçeve olarak ortaya çıkmıştır. Bunlar arasında, SOC'nin başlangıcından çok önce, ölçekten bağımsız davranış sergileyen depremler (deprem boyutu dağılımı için Gutenberg-Richter yasası ve artçı şok frekansı için Omori yasası gibi) yer alıyor. Diğer örnekler arasında güneş patlamaları, ekonomik sistem dalgalanmaları (özellikle ekonofizikte SOC'ye sıklıkla başvurulan finansal piyasalarda), arazi evrimi, orman yangınları, toprak kaymaları, salgın hastalıklar ve biyolojik evrim yer alıyor. Biyolojik evrim bağlamında SOC, Niles Eldredge ve Stephen Jay Gould tarafından geliştirilen "kesintili denge" teorisini destekleyen dinamik mekanizma olarak önerilmiştir. Ölçekten bağımsız olay büyüklüğü dağılımlarının sonuçlarını göz önünde bulunduran bazı araştırmacılar, savaş olaylarının bir SOC örneği olarak yorumlanabileceğini de öne sürdüler. SOC ile ilgili araştırmalar, doğal ölçeklendirme yasalarının varlığını ve özelliklerini belirlemek için kapsamlı veri analizinin yanı sıra hem yeni modellerin geliştirilmesini hem de mevcut modellerin belirli doğal sistemlere uyarlanmasını içerir.

1987'de James Gleick'in Kaos: Yeni Bir Bilim Yapmak adlı yayını en çok satan statüsüne ulaştı ve kaos teorisinin temel ilkelerini ve tarihsel gelişimini genel bir izleyici kitlesi için popüler hale getirdi. Sınırlı sayıda araştırmacı tarafından araştırılan özel bir alan olarak başlayan şey, yavaş yavaş disiplinler arası ve kurumsallaşmış bir disipline dönüştü ve öncelikle doğrusal olmayan sistem analizi olarak kabul edildi. Thomas Kuhn'un 1962 tarihli çalışması Bilimsel Devrimlerin Yapısı'nda dile getirilen paradigma değişimi kavramından yararlanan, kendini "kaolog" olarak tanımlayan çok sayıda kişi, ortaya çıkan bu teorinin böyle bir değişime örnek teşkil ettiğini ileri sürdü; Gleick tarafından desteklenen bir bakış açısı.

Daha uygun fiyatlı ve güçlü bilgi işlem kaynaklarının artan erişilebilirliği, kaos teorisinin uygulanabilirliğini önemli ölçüde genişletti. Kaos teorisi şu anda matematik, topoloji, fizik, sosyal sistemler, nüfus modelleme, biyoloji, meteoroloji, astrofizik, bilgi teorisi, hesaplamalı sinir bilimi ve pandemik kriz yönetimi gibi çeşitli alanları kapsayan canlı bir araştırma alanı olmaya devam ediyor.

Kaos için yaygın fakat kesin olmayan bir benzetme

Genellikle kelebek etkisi olarak bilinen, başlangıç koşullarına hassas bağımlılık olgusu sıklıkla aşağıdaki anekdot niteliğindeki örnekle açıklanmaktadır:

Sonuç olarak, başlangıçtaki bir dakikalık tedirginliğin etkisinin zaman içinde monoton bir şekilde arttığı ve sonuçta sayısal simülasyonlarda önemli etkilere yol açtığı yaygın bir yanlış anlamadır. Ancak 2008'de Lorenz, bu açıklayıcı ayetin gerçek kaosu tam olarak temsil etmediğini, daha ziyade istikrarsızlığın daha temel kavramını tasvir ettiğini açıkladı. Ayrıca ayetin üstü kapalı olarak daha sonraki küçük olayların gidişatı değiştirmeyeceğini ima ettiğini belirtti. Analitik yorumlar, ayetin öncelikle sınırlılığa değil, ayrılığa işaret ettiğini ortaya koymaktadır. Sınırlılık, bir kelebek deseninin sonlu uzaysal kapsamını tanımlamak için çok önemli bir özelliktir. Söz konusu ayette anlatılan olgu, "sonlu zamana duyarlı bağımlılık" olarak nitelendirilmiştir.

Uygulamalar

Kaos teorisi meteorolojik gözlemlerden kaynaklansa da uygulanabilirliği çok çeşitli diğer bağlamları kapsayacak şekilde genişledi. Kaos teorisinden yararlanan çağdaş alanlar arasında jeoloji, matematik, biyoloji, bilgisayar bilimi, ekonomi, mühendislik, finans, meteoroloji, felsefe, antropoloji, fizik, politika, nüfus dinamikleri ve robot bilimi yer almaktadır. Sonraki bölümlerde seçilen kategorilerin örnekleri verilmektedir; ancak yeni uygulamalar ortaya çıkmaya devam ettiğinden bu derleme kapsamlı değildir.

Şifreleme

Kaos teorisi, kriptografide uzun yıllardan beri yaygın olarak uygulanmaktadır. Geçtiğimiz birkaç on yılda, kaos ve doğrusal olmayan dinamiklerin ilkeleri, çok sayıda kriptografik temelin geliştirilmesinde etkili oldu. Bu algoritmalar, görüntü şifreleme, karma işlevleri, güvenli sözde rastgele sayı üreteçleri, akış şifreleri, filigranlama ve steganografi dahil olmak üzere çeşitli uygulamaları kapsar. Bu algoritmaların önemli bir kısmı tek-modlu kaotik haritalara dayanır ve sıklıkla bu haritaların kontrol parametrelerini ve başlangıç koşullarını kriptografik anahtarlar olarak kullanır. Temel olarak, kaotik haritalar ve kriptografik sistemler arasındaki doğal benzerlikler, kaos tabanlı kriptografik algoritmaların tasarlanması için birincil itici güç görevi görür. Özellikle, yayılma ve karışıklığa dayanan simetrik anahtar şifreleme, kaos teorisi tarafından etkili bir şekilde modellenmiştir. Ayrıca DNA hesaplamasının kaos teorisiyle entegrasyonu, görüntülerin ve diğer verilerin şifrelenmesine yönelik bir yaklaşım sunar. Ancak birçok DNA-Kaos şifreleme algoritmasının ya güvensiz olduğu ya da verimsiz teknikler kullandığı kanıtlanmıştır.

Robotik

Robotik, son zamanlarda kaos teorisinin uygulanmasından yararlanan başka bir alanı temsil ediyor. Robotlar artık çevresel etkileşim için deneme yanılma yoluyla iyileştirmeye güvenmek yerine, kaos teorisi yoluyla geliştirilen tahmine dayalı modelleri kullanabilirler. Özellikle pasif yürüyen iki ayaklı robotlar kaotik dinamikler sergiledi.

Biyoloji

Bir yüzyıldan fazla bir süredir biyologlar çeşitli türleri izlemek için popülasyon modellerini kullanıyorlar. Geleneksel modellerin çoğu sürekli olsa da bilim insanları son zamanlarda belirli popülasyonlar için kaotik modeller uygulamaya başladı. Örneğin, Kanada vaşak popülasyonları üzerine yapılan bir araştırma, onların büyüme düzenlerindeki kaotik davranışları ortaya çıkardı. Kaos, hidroloji gibi daha geniş ekolojik sistemlerde de gözlemlenebilir. Kaotik hidrolojik modellerin sınırlamaları olmasına rağmen, verileri kaos teorisi merceğinden analiz etmek hala değerli bilgiler sunmaktadır. Başka bir biyolojik uygulama, fetal gözetimin, doğru bilgi elde etme ile istilacılığı en aza indirme arasında hassas bir denge gerektirdiği kardiyotokografide bulunur. Kaotik modelleme, fetal hipoksinin uyarı işaretlerini tespit etmek için gelişmiş modeller sağlayabilir.

Perry'nin vurguladığı gibi, ekolojide kaotik zaman serilerinin modellenmesine kısıtlamalar önemli ölçüde yardımcı oluyor. Gerçek kaosu modelin yalnızca bir eseri olan kaostan ayırmak ısrarlı bir zorluktur. Sonuç olarak, hem model kısıtlamaları hem de karşılaştırma için yinelenen zaman serisi verilerinin mevcudiyeti, Perry & Wall 1984. Gen-gen ortak evrimi bazen alel frekanslarında kaotik dinamikler sergiler. Gerçek popülasyonların diğer yönlerini yansıtacak ekstra değişkenleri içeren modellerde kaos daha yaygın hale geldiğinden, ek değişkenlerin dahil edilmesi bu olguyu daha da şiddetlendirmektedir. Robert M. May'in kendisi, mahsulün birlikte evrimi konusunda tüm alanı derinden etkileyen temel çalışmaları yürüttü. Sabit bir ortamda bile tek bir mahsul ile tek bir patojenin etkileşimi, patojen popülasyonunda yarı periyodik veya kaotik salınımlara neden olabilir.

Ekonomi

Ekonomik modeller potansiyel olarak kaos teorisinin uygulanmasından faydalanabilir; ancak bir ekonomik sistemin sağlığını tahmin etmek ve onun en etkili faktörlerini belirlemek son derece karmaşık bir çaba olmaya devam ediyor. Ekonomik ve finansal sistemler, doğası gereği stokastik oldukları ve insan etkileşimlerinden kaynaklandıkları için klasik doğa bilimlerindekilerden temel olarak farklıdır. Bu nedenle tamamen deterministik modellerin doğru veri temsilleri sağlaması pek mümkün değildir. Ekonomi ve finanstaki kaosu araştıran ampirik literatür oldukça karışık sonuçlar veriyor; bu durum kısmen kaosa yönelik spesifik testler ile doğrusal olmayan ilişkilere yönelik daha genel testler arasındaki netlik eksikliğine bağlanabilir.

Ekonomide kaos, yinelenen nicelik analizi yoluyla tanımlanmıştır. Özellikle Orlando ve ark. zaman serisi verilerindeki ince değişiklikleri tespit etmek için yineleme nicelik korelasyon indeksini kullandı. Daha sonra bu teknik, laminer (düzenli) aşamalardan türbülanslı (kaotik) aşamalara geçişleri tanımlamak, makroekonomik değişkenler arasında ayrım yapmak ve ekonomik dinamiklerin gizli özelliklerini ortaya çıkarmak için uygulandı. Sonuçta kaos teorisi, ekonomik operasyonların modellenmesini ve COVID-19 gibi dış şok olaylarının entegrasyonunu kolaylaştırabilir.

Hava Durumu ve İklimde Sonlu Tahmin Edilebilirlik

Çoğunlukla kelebek etkisi olarak anılan, çözümlerin başlangıç koşullarına (SDIC) hassas bağımlılığı nedeniyle, Lorenz 1963 modeli gibi kaotik sistemler, öngörülebilirlik için sonlu bir ufuk oluşturur. Sonuç olarak, kesin tahminler sınırlı bir zaman diliminde gerçekleştirilebilirken, belirsiz bir süre içinde uygulanamaz hale gelir. Lorenz'in kaotik çözümlerinin özellikleri göz önüne alındığında, Charney ve diğerleri liderliğindeki komite. 1966'da genel dolaşım modelinden beş günlük bir ikiye katlama süresi elde etti; bu, iki haftalık bir öngörülebilirlik eşiğine işaret ediyordu. Beş günlük iki katına çıkma süresi ile iki haftalık öngörülebilirlik sınırı arasındaki bu ilişki, Küresel Atmosfer Araştırma Programı (GARP) tarafından 1969'da yayınlanan bir raporda daha ayrıntılı olarak belgelendi. Mintz ve Arakawa modelinden, Lorenz modellerinden ve Charney ve diğerlerinin liderliğinden gelen sinerjik doğrudan ve dolaylı etkilerin bilincinde olarak, Shen ve diğerleri. Moore Yasası ile paralellik kurarak iki haftalık öngörülebilirlik sınırını "Öngörülebilirlik Sınırı Hipotezi" olarak belirledik.

AI-Genişletilmiş Modelleme Çerçevesi

Yapay zeka destekli büyük dil modellerinde yanıtlar, biçimlendirme değişiklikleri ve bilgi istemi değişiklikleri gibi faktörlere karşı hassasiyet gösterebilir. Bu hassasiyetler kelebek etkisine benzerlik göstermektedir. Yapay zeka destekli büyük dil modellerini klasik deterministik kaotik sistemler olarak kategorize etmek zorluklar sunarken, bu kapsamlı dil modellerinden güvenilir bilgiler elde etmek için topluluk modelleme gibi kaos bilgili metodolojiler ve teknikler kullanılabilir.

Diğer Alanlar

Kimyada, polimer üretimi için gaz çözünürlüğünün tahmini çok önemlidir; ancak parçacık sürüsü optimizasyonunu (PSO) kullanan modeller sıklıkla optimalin altındaki çözümlere yaklaşır. Simülasyonların yerel optimumlara takılıp kalmasını önleyen, kaosun entegrasyonu yoluyla geliştirilmiş bir PSO çeşidi geliştirildi. Gök mekaniğinde, özellikle asteroitleri gözlemlerken, kaos teorisinin uygulanması, bu gök cisimlerinin Dünya'ya ve diğer gezegenlere yaklaşımına ilişkin daha kesin tahminler sağlar. Plüton'un beş uydusundan dördünün kaotik bir dönüş sergilemesi dikkat çekicidir. Kuantum fiziği ve elektrik mühendisliğinde kaos teorisi, Josephson bağlantılarının geniş dizilerinin incelenmesini önemli ölçüde ilerletti. Endüstriyel güvenlik açısından, kömür madenleri tarihsel olarak tehlikeli ortamlar olmuştur ve sık sık doğal gaz sızıntıları çok sayıda ölüme yol açmıştır. Daha önce bunların oluşumunu tahmin etmek için güvenilir bir yöntem mevcut değildi. Bununla birlikte, bu gaz sızıntıları, uygun modelleme ile makul bir doğrulukla tahmin edilebilecek kaotik özellikler sergiler.

Kaos teorisi doğa bilimlerinin ötesinde uygulanabilir olsa da, tarihsel olarak bu tür araştırmaların önemli bir çoğunluğu, yetersiz tekrarlanabilirlik, sınırlı dış geçerlilik ve/veya çapraz doğrulamaya yeterince dikkat edilmemesi gibi sorunlar nedeniyle sekteye uğramıştır ve sonuç olarak düşük tahmin doğruluğu elde edilmiştir (örnek dışı tahminin bile denendiği varsayılarak). Glass, Mandell ve Selz, hiçbir elektroensefalografi (EEG) çalışmasının garip çekicilerin veya kaotik davranışın diğer göstergelerinin varlığını kesin olarak göstermediğini bildirmiştir.

Redington ve Reidbord (1992), insan kalbinin kaotik özellikler sergileyebileceğini göstermeye çalışmıştır. Metodolojileri, bir terapi seansı içindeki duygusal yoğunluğun dalgalandığı dönemlerde tek bir psikoterapi hastasında kalp atışı aralıklarındaki değişiklikleri izlemeyi içeriyordu. Bulgular sonuçsuz olarak kabul edildi. Belirsizlikler yalnızca yazarlar tarafından kaotik dinamikleri (spektral analiz, faz yörüngesi ve otokorelasyon grafikleri dahil) göstermek için oluşturulan çeşitli grafiklerde değil, aynı zamanda kaotik davranışın daha kesin bir şekilde doğrulanmasını sağlayacak bir Lyapunov üssünü güvenilir bir şekilde hesaplamadaki yetersizliklerinde de mevcuttu.

1995 tarihli yayınlarında Metcalf ve Allen, hayvan davranışlarında periyodun iki katına çıkmasıyla karakterize edilen kaotik bir modelin keşfedildiğini öne sürdüler. Yazarlar, gıdadan mahrum bırakılan hayvanların, gıda sunumu üzerine aşırı su tüketimi sergilediği tanınmış bir davranışsal fenomen olan programa bağlı polidipsiyi araştırdılar. Operasyonel kontrol parametresi (r), beslemenin yeniden başlamasını takip eden beslemeler arası aralığın süresi olarak tanımlandı. Titiz deneysel tasarım, kapsamlı hayvan gruplarını ve çok sayıda replikasyonu içeriyordu; tepki modellerindeki değişikliklerin r'nin farklı başlangıç değerlerinden kaynaklanma olasılığını azaltmak için özel olarak yapılandırılmıştı.

Zaman serileri ve ilk gecikme grafikleri, artan beslenme aralıklarıyla periyodik davranıştan düzensiz davranışa fark edilebilir bir geçiş göstererek iddialar için en güçlü kanıtları sunuyor. Tersine, çeşitli faz yörünge grafikleri ve spektral analizler, kaotik bir teşhisi kesin olarak desteklemek için diğer grafiksel gösterimlerle veya kapsayıcı teorik çerçeveyle yeterince uyum sağlamamaktadır. Örneğin, faz yörüngeleri artan karmaşıklığa doğru (ve periyodiklikten uzaklaşan) kesin bir ilerleme sergilemez; süreç belirsiz görünüyor. Dahası, Metcalf ve Allen spektral grafiklerinde iki ve altı periyotları belirlediklerinde alternatif yorumlar da akla yatkındır. Bu kadar yaygın bir belirsizlik, bulguları kaotik bir modelle uzlaştırmak için karmaşık, geçici rasyonelleştirmeler gerektirir.

Amundson ve Bright, çalışan-iş piyasası dinamiğine kaotik bir bakış açısı ekleyerek kariyer danışmanlığı modellerini geliştirdi ve böylece kariyer seçimlerinde yön veren bireyler için daha etkili rehberlik sağladı. Çağdaş örgütler giderek açık, karmaşık, uyarlanabilir sistemler olarak kavramsallaştırılmakta, içsel doğrusal olmayan yapılarla karakterize edilmekte ve kaotik davranışları tetikleyebilecek iç ve dış etkilere karşı duyarlı hale gelmektedir. Örneğin, ekip oluşturma ve grup geliştirme çalışmaları, farklı bireylerin ilk etkileşimlerinin ekibin gelişimsel gidişatını belirsiz hale getirdiği göz önüne alındığında, bu süreçleri giderek doğası gereği öngörülemeyen sistemler olarak çerçeveliyor.

Trafik tahmini, kaos teorisinin uygulanmasıyla önemli ölçüde geliştirilebilir. Tıkanıklığın başlangıcının iyileştirilmiş tahmini, oluşumunu hafifletmeye yönelik proaktif müdahale stratejilerini kolaylaştıracaktır. Kaos teorisi ilkelerinin diğer metodolojilerle entegrasyonu, BML trafik modeliyle örneklenen daha kesin kısa vadeli tahmin modelleriyle sonuçlandı.

Kaos teorisi, yağış ve akarsu akışı ölçümleri de dahil olmak üzere çevresel hidrolojik verilere uygulandı. Ancak bu araştırmalar, çoğunlukla kaotik imzaları tespit etmek için kullanılan metodolojilerle ilişkilendirilen doğal öznellik nedeniyle tartışmalı sonuçlar üretmiştir. İlk araştırmalar sıklıkla kaotik kalıpların belirlenmesinde başarı olduğunu bildirdi; yine de sonraki analizler ve meta çalışmalar bu bulgulara meydan okudu ve bu tür veri kümeleri içindeki düşük boyutlu kaotik dinamiklerin olasılık dışılığına ilişkin açıklamalar sundu.

Kaotik sistem örnekleri

Kaotik sistem örnekleri

İlgili diğer konular

İnsanlar

Referanslar

İlişkilendirme

Bu makalenin bazı bölümleri, CC-BY lisansı (lisans bildirimi/izin) kapsamında dağıtılan ücretsiz bir içerik çalışmasından alınmıştır. Metin, Bo-Wen Shen, Roger A. Pielke, Sr., Xubin Zeng, Jialin Cui, Sara Faghih-Naini, Wei Paxson ve Robert Atlas'ın MDPI tarafından yayınlanan Lorenz Modellerinde Üç Kelebek Etkisi'nden alınmıştır. Ansiklopedi.

Makaleler

Sharkovskii, A.N. (1964). "Çizginin Kendi İçinde Sürekli Haritalanmasının Döngülerinin Bir Arada Varlığı". Ukrayna Matematik Dergisi. 16: 61–71.
Sharkovsky, Oleksandr (Haziran 2024). "Kendi İçi Gerçek Doğrunun Sürekli Haritasının Döngülerinin Bir Arada Varlığı". Ukrayna Matematik Dergisi. 76 (1): 3–14. doi:10.1007/s11253-024-02303-0.ProQuest 3275299689.
Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (Aralık 1975). "Üçüncü Dönem Kaos Demektir". Amerikan Matematiksel Aylık. 82 (10): 985. Kaynak kodu:1975AmMM...82..985L. doi:10.2307/2318254. JSTOR 2318254.
Alemansour, Hamed; Miandoab, Ehsan Maani; Pishkenari, Hossein Nejat (Mart 2017). "Nano Rezonatörlerin Kaotik Davranışı Üzerinde Boyutun Etkisi". Doğrusal Olmayan Bilimde ve Sayısal Simülasyonda İletişim. 44: 495–505. Bibcode:2017CNSNS..44..495A. doi:10.1016/j.cnsns.2016.09.010.
Crutchfield; Tucker; Morrison; JD Çiftçi; Packard; N.H.; Shaw; RS (Aralık 1986). "Kaos". Bilimsel Amerikalı. 255 (6): 38–49 (kaynakça s.136). Bibcode:1986SciAm.255d..38T. doi:10.1038/scientificamerican1286-46.Kolyada, S. F. (Ağustos 2004). "LI-Yorke duyarlılığı ve diğer kaos kavramları". Ukrayna Matematik Dergisi. 56 (8): 1242–1257.doi:10.1007/s11253-005-0055-4.Day, R.H.; Pavlov, O.V. (2004). "Bilgisayarlı Ekonomik Kaos". Hesaplamalı Ekonomi. 23 (4): 289–301. arXiv:2211.02441. doi:10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f.SSRN 806124.Strelioff, Christopher C.; Hübler, Alfred W. (30 Ocak 2006). "Kaosun Orta Vadeli Tahmini". Fiziksel İnceleme Mektupları. 96 (4) 044101. Bibcode:2006PhRvL..96d4101S. doi:10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID 16486826.Hübler, Alfred W.; Foster, Glenn C.; Phelps, Kirstin C. (Ocak 2007). "Kaosu yönetmek: Kalıpların dışında düşünmek". Karmaşıklık. 12 (3): 10–13. Bibcode:2007Cmplx..12c..10H. doi:10.1002/cplx.20159.Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (Mayıs 2013). "Elli yaşında kaos". Bugün Fizik. 66 (5): 27–33. arXiv:1306.5777. Bibcode:2013PhT....66e..27M. doi:10.1063/PT.3.1977.Ders Kitapları
Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. (1997). Kaos: dinamik sistemlere giriş. Springer-Verlag.ISBN 978-0-387-94677-1.Baker, G.L. (1996). Kaos, Saçılma ve İstatistiksel Mekanik. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39511-3.Badii, R.; Politi A. (1997). Karmaşıklık: fizikte hiyerarşik yapılar ve ölçeklendirme. Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-521-66385-4.Collet, Pierre; Eckmann, Jean-Pierre (1980). Dinamik Sistemler Olarak Aralık Üzerine Yinelenen Haritalar. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4926-5.Devaney, Robert L. (2003). Kaotik Dinamik Sistemlere Giriş (2. baskı). Westview Basın. ISBN 978-0-8133-4085-2.Robinson, Clark (1995). Dinamik sistemler: Kararlılık, sembolik dinamikler ve kaos. CRC Press. ISBN 0-8493-8493-1.Feldman, D.P. (2012). Kaos ve Fraktallar: Temel Bir Giriş. Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-19-956644-0.Gollub, J.P.; Baker, G.L. (1996).Kaotik dinamikler. Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-47685-0.Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983). Doğrusal Olmayan Salınımlar, Dinamik Sistemler ve Vektör Alanlarının Çatallanmaları. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90819-9.Gulick, Denny (1992). Kaosla Karşılaşmalar. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-025203-5.Gutzwiller, Martin (1990). Klasik ve Kuantum Mekaniğinde Kaos. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.Hoover, William Graham (2001) [1999]. Zamanın Tersine Çevrilebilirliği, Bilgisayar Simülasyonu ve Kaos. Dünya Bilimsel. ISBN 978-981-02-4073-8.Kautz, Richard (2011). Kaos: Tahmin Edilebilir Rasgele Hareketin Bilimi. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959458-0.Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Sosyal Bilimlerde Kaos Teorisi. Perseus Yayıncılık. ISBN 978-0-472-08472-2.Moon, Francis (1990). Kaotik ve Fraktal Dinamikler. Springer-Verlag.ISBN 978-0-471-54571-2.Ekonomide Doğrusal Olmayanlıklar. Ekonomi ve Finansta Dinamik Modelleme ve Ekonometri. Cilt 29. 2021. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5.Ott, Edward (2002). Dinamik Sistemlerde Kaos. Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-521-01084-9.Strogatz, Steven (2000). Doğrusal Olmayan Dinamikler ve Kaos. Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0453-6.Sprott, Julien Clinton (2003). Kaos ve Zaman Serisi Analizi. Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-19-850840-3.Tél, Tamás; Gruiz, Márton (2006). Kaotik Dinamikler: Klasik Mekaniğe Dayalı Bir Giriş. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83912-9.Teschl, Gerald (2012). Adi Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler. Providence: Amerikan Matematik Derneği. ISBN 978-0-8218-8328-0.Thompson, J.M.; Stewart, H.B. (2001).Doğrusal Olmayan Dinamikler ve Kaos. John Wiley and Sons Ltd.ISBN 978-0-471-87645-8.Tufillaro; Reilly (1992). Doğrusal Olmayan Dinamiklere ve Kaosa Deneysel Bir Yaklaşım. *American Journal of Physics*. Cilt. 61. Addison-Wesley. s. 958. Bibcode:1993AmJPh..61..958T.doi:10.1119/1.17380.ISBN 978-0-201-55441-0.Wiggins, Stephen (2003). Uygulamalı Dinamik Sistemler ve Kaosa Giriş. Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.Zaslavsky, George M. (2005). Hamilton Kaosu ve Kesirli Dinamik. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852604-9.Yarı teknik ve popüler çalışmalar
Letellier, Christophe (2012). Doğadaki Kaos. Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN 978-981-4374-42-2.
Abraham, Ralph H.; Ueda, Yoshisuke, der. (2000). Kaos Avant-Garde'ı: Kaos Teorisinin İlk Günlerinin Anıları. *Doğrusal Olmayan Bilim Serisi A'ya İlişkin Dünya Bilimsel Serisi*, Cilt. 39. Dünya Bilimsel. Bibcode:2000cagm.book.....A. doi:10.1142/4510. ISBN 978-981-238-647-2.Barnsley, Michael F. (2000). Her Yerde Fraktallar. Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-079069-2.Bird, Richard J. (2003). Kaos ve Yaşam: Evrim ve Düşüncede Karmaşıklık ve Düzen. Columbia Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-231-12662-5.Cunningham, Lawrence A. (1994). "Rastgele Yürüyüşlerden Kaotik Çöküşlere: Verimli Sermaye Piyasası Hipotezinin Doğrusal Soykütüğü." George Washington Law Review, 62: 546.Gribbin, John. Derin Sadelik. Penguin Press Science, Penguin Books.Marshall, Alan (2002). Doğanın Birliği: Ekoloji ve Bilimde Bütünlük ve Parçalanma. doi:10.1142/9781860949548. ISBN 978-1-86094-954-8.Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H. (1986). Fraktalların Güzelliği. doi:10.1007/978-3-642-61717-1. ISBN 978-3-642-61719-5.Roulstone, I., & Norbury, J. (2013). Fırtınada Görünmez: Hava Durumunu Anlamada Matematiğin Rolü. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15272-1.Ruelle, D. (1989). Kaotik Evrim ve Tuhaf Çekiciler. doi:10.1017/CBO9780511608773. ISBN 978-0-521-36272-6.Smith, P. (1998).Kaosu Açıklamak. doi:10.1017/CBO9780511554544.ISBN 978-0-511-55454-4.Strogatz, S.H. (2003). SYNC: Kendiliğinden Düzenin Yükselen Bilimi. Hyperion Books. ISBN 978-0-7868-6844-5."Kaos". Matematik Ansiklopedisi. EMS Basını, 2001 [1994].
"Kaos", Matematik Ansiklopedisi, EMS Press, 2001 [1994]Kaynak: TORİma Akademi Arşivi

Kaos teorisi (Chaos theory)