David Hilbert

ديفيد هيلبرت (؛ بالألمانية: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]؛ 23 يناير 1862 - 14 فبراير 1943) كان عالم رياضيات ألمانيًا بارزًا وفيلسوفًا للرياضيات، ويُعرف على نطاق واسع بأنه أحد أكثر الشخصيات تأثيرًا في هذا المجال خلال عصره.

ديفيد هيلبرت (; الألمانية: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]؛ 23 يناير 1862 - 14 فبراير 1943) كان عالم رياضيات ألمانيًا وفيلسوفًا في الرياضيات وأحد علماء الرياضيات الأكثر تأثيرًا في عصره. الزمن.

شملت مساهمات هيلبرت اكتشاف وتطوير العديد من المفاهيم الأساسية، بما في ذلك النظرية الثابتة، وحساب المتغيرات، والجبر التبادلي، ونظرية الأعداد الجبرية، وأسس الهندسة، والنظرية الطيفية للمشغلين مع تطبيقاتها على المعادلات التكاملية، والفيزياء الرياضية، وأسس الرياضيات، وخاصة نظرية الإثبات. لقد كان من أشد المؤيدين لنظرية المجموعات لجورج كانتور والأعداد اللامتناهية. وقد ساهم عرضه لمجموعة من المسائل المبتكرة في عام 1900 في تشكيل مسار البحث الرياضي طوال القرن العشرين بشكل كبير.

لعب هيلبرت مع طلابه دورًا حاسمًا في تأسيس الدقة الرياضية واستنباط الأدوات الأساسية المستخدمة في الفيزياء الرياضية المعاصرة. ويُعرف أيضًا بأنه أحد مؤسسي نظرية البرهان والمنطق الرياضي.

الحياة

الحياة المبكرة والتعليم

وُلد ديفيد هيلبرت، وهو الابن الأكبر لطفلين والابن الوحيد لأوتو، قاضي المقاطعة، وماريا تيريز هيلبرت (née إردتمان)، ابنة تاجر، في مقاطعة بروسيا، ضمن مملكة بروسيا. تم تسجيل مكان ولادته إما على أنه كونيغسبيرغ (كالينينغراد الحالية)، بناءً على رواية هيلبرت الشخصية، أو يهلاو (المعروف باسم زنامينسك منذ عام 1946)، الواقع بالقرب من كونيغسبرغ، حيث كان والده يعمل وقت ولادته. شغل جده لأبيه، والذي يُدعى أيضًا ديفيد هيلبرت، مناصب قاضيًا وجهيمرات. اهتمّت والدته ماريا بالفلسفة وعلم الفلك والأعداد الأولية، بينما غرس فيه والده أوتو الفضائل البروسية. بعد تعيين والده قاضيًا في المدينة، انتقلت العائلة إلى كونيغسبيرغ. ولدت أخته إليز عندما كان عمره ست سنوات. بدأ هيلبرت تعليمه الرسمي في سن الثامنة، أي بعد عامين من سن البدء النموذجي.

في أواخر عام 1872، التحق هيلبرت بمدرسة فريدريشسكوليج للألعاب الرياضية (Collegium fridericianum)، وهي مدرسة التحق بها سابقًا إيمانويل كانط قبل 140 عامًا. ومع ذلك، بعد فترة غير مرضية، انتقل في أواخر عام 1879 وتخرج بعد ذلك في أوائل عام 1880 من مدرسة فيلهلم للألعاب الرياضية، والتي قدمت منهجًا أكثر تركيزًا على العلوم. بعد تخرجه في خريف عام 1880، التحق هيلبرت بجامعة كونيجسبيرج، المعروفة باسم "ألبرتينا". في أوائل عام 1882، عاد هيرمان مينكوفسكي، الذي كان يصغر هيلبرت بسنتين، وهو أيضًا من مواطني كونيغسبيرغ (على الرغم من أنه أمضى ثلاثة فصول دراسية في برلين)، إلى المدينة والتحق بالجامعة. بعد ذلك، أقام هيلبرت صداقة مدى الحياة مع مينكوفسكي المتحفظ والموهوب.

المهنة

في عام 1884، انضم أدولف هورويتز إلى هيئة التدريس من غوتنغن بصفته استثنائيًا، أي ما يعادل أستاذًا مشاركًا. كان هذا بمثابة بداية تعاون علمي مكثف ومثمر بين العلماء الثلاثة، حيث مارس مينكوفسكي وهيلبيرت، على وجه الخصوص، تأثيرًا متبادلًا طوال حياتهم المهنية العلمية. نجح هيلبرت في الدفاع عن أطروحة الدكتوراه عام 1885، تحت إشراف فرديناند فون ليندمان. كانت الأطروحة بعنوان Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen، والتي تُترجم إلى "حول الخصائص الثابتة للأشكال الثنائية الخاصة، ولا سيما الدوال التوافقية الكروية."

عمل هيلبرت Privatdozent (محاضر كبير) في جامعة كونيجسبيرج من 1886 إلى 1895. في عام 1895، ومن خلال دعوة فيليكس كلاين، حصل على منصب أستاذ الرياضيات في جامعة غوتنغن. الفترة التي كان خلالها كلاين وهيلبيرت نشطين حولت غوتنغن إلى المؤسسة الأولى في مجتمع الرياضيات العالمي. واستمر في خدمته هناك بقية حياته.

مدرسة غوتنغن

من بين طلاب هيلبرت البارزين هيرمان ويل، وبطل الشطرنج إيمانويل لاسكر، وإرنست زيرميلو، وكارل غوستاف همبل. عمل جون فون نيومان كمساعد له. في جامعة غوتنغن، كان هيلبرت جزءًا من مجتمع فكري متميز يضم العديد من أهم علماء الرياضيات في القرن العشرين، بما في ذلك إيمي نويثر وألونزو تشيرش.

من بين طلاب الدكتوراه البالغ عددهم 69 في غوتنغن، حقق العديد منهم شهرة لاحقًا كعلماء رياضيات، بما في ذلك (مع سنة إكمال الأطروحة): أوتو بلومنتال (1898)، فيليكس بيرنشتاين (1901)، هيرمان فايل (1908)، ريتشارد كورانت (1910)، إريك هيكي (1910)، هوغو شتاينهاوس (1911)، وويلهلم أكرمان (1925). من عام 1902 إلى عام 1939، شغل هيلبرت منصب محرر Mathematische Annalen، والتي كانت آنذاك المجلة الرياضية الأولى. وفي عام 1907، تم انتخابه عضوًا دوليًا في الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة.

الحياة الشخصية

في عام 1892، تزوج هيلبرت من كاتي جيروش (1864–1945)، وهي ابنة تاجر كونيجسبيرج، والتي وُصِفت بأنها "سيدة شابة صريحة تتمتع باستقلالية ذهنية يضاهي عقل [هيلبرت]". خلال فترة وجودهما في كونيغسبيرغ، أنجبا ابنًا واحدًا، فرانز هيلبرت (1893–1969). عانى فرانز من مرض عقلي مدى الحياة، وبعد دخوله إلى عيادة للأمراض النفسية، قال هيلبرت: "من الآن فصاعدًا، يجب أن أعتبر نفسي ليس لدي ابن". هذا الموقف أزعج كاتي بشدة.

اعتبر هيلبرت عالم الرياضيات هيرمان مينكوفسكي أقرب أصدقائه وأكثرهم ثقة.

تم تعميد هيلبرت وتربيته كالفينيًا داخل الكنيسة الإنجيلية البروسية. وبعد ذلك غادر الكنيسة واعتمد وجهة نظر عالمية لا أدرية. وأكد أيضًا أن الحقيقة الرياضية موجودة بشكل مستقل عن الوجود الإلهي أو الافتراضات القبلية الأخرى. ردًا على الانتقادات الموجهة لجاليليو جاليلي لعدم تمسكه بقناعاته حول مركزية الشمس، أكد هيلبرت: "لكن [جاليليو] لم يكن أحمق. الأحمق فقط هو من يستطيع أن يعتقد أن الحقيقة العلمية تحتاج إلى الاستشهاد؛ قد يكون ذلك ضروريًا في الدين، لكن النتائج العلمية تثبت نفسها في الوقت المناسب."

الحياة اللاحقة

على غرار ألبرت أينشتاين، حافظ هيلبرت على علاقات وثيقة مع مجموعة برلين، التي كان مؤسسوها الرئيسيون، بما في ذلك كورت غريلينغ وهانس رايشنباخ ووالتر دوبيسلاف، من طلابه في غوتنغن.

في عام 1925 تقريبًا، أصيب هيلبرت بفقر الدم الخبيث، وهو نقص فيتامين لم يكن قابلاً للعلاج بعد ذلك ويتجلى في المقام الأول على أنه إرهاق. وصف مساعده، يوجين فيجنر، هيلبرت بأنه يعاني من "إرهاق هائل" ويبدو "كبيرًا في السن". وأشار فيغنر أيضًا إلى أنه حتى بعد التشخيص والعلاج اللاحق، فإن هيلبرت "لم يكن عالمًا بعد عام 1925، وبالتأكيد لم يكن هيلبرت".

في عام 1932، تم انتخاب هيلبرت كعضو في الجمعية الفلسفية الأمريكية.

شهد هيلبرت عملية تطهير النظام النازي للعديد من أعضاء هيئة التدريس المتميزين من جامعة غوتنغن في عام 1933. وكان من بين الذين تم فصلهم هيرمان ويل، الذي تولى كرسي هيلبرت عند تقاعده عام 1930؛ إيمي نويثر؛ و إدموند لانداو. تعاون بول بيرنيز، وهو شخص آخر اضطر لمغادرة ألمانيا، مع هيلبرت في المنطق الرياضي وشارك في تأليف العمل المهم Grundlagen der Mathematik، والذي نُشر أخيرًا في مجلدين في عامي 1934 و1939. وكان هذا المنشور بمثابة استمرار لمجلد هيلبرت-أكرمان، مبادئ المنطق الرياضي (1928). خلف هيلموت هاس هيرمان فايل.

بعد عام تقريبًا من عملية التطهير، حضر هيلبرت مأدبة حيث كان يجلس بجانب بيرنهارد روست، وزير التعليم المعين حديثًا. وتساءل روست عما إذا كان "معهد الرياضيات عانى كثيرًا بالفعل بسبب رحيل اليهود". وكان رد هيلبرت المؤثر هو: "لقد عانيت؟ لم يعد موجودا، أليس كذلك؟"

الموت

بوفاة هيلبرت في عام 1943، كان النظام النازي قد حل محل أعضاء هيئة التدريس بالجامعة بالكامل تقريبًا، ويرجع ذلك إلى حد كبير إلى فصل الأفراد اليهود أو المتزوجين من يهود. لم يحضر جنازته سوى أقل من اثني عشر شخصًا، بما في ذلك اثنان فقط من زملائه الأكاديميين، أحدهما كان أرنولد سومرفيلد، عالم فيزياء نظرية ومن مواليد كونيجسبيرج. ظهر الوعي العام بوفاته بعد عدة أشهر فقط من وفاته.

تظهر المرثية المنقوشة على شاهد قبر هيلبرت في غوتنغن التصريحات الشهيرة التي ألقاها في ذروة خطاب تقاعده أمام جمعية العلماء والأطباء الألمان في 8 سبتمبر 1930. وقد تم تقديم هذه الكلمات كرد على المثل اللاتيني: "Ignoramus et ignorabimus"، والذي يترجم إلى "نحن نفعل" لا نعلم ولن نعلم":

في اليوم السابق لنطق هيلبرت بهذه العبارات في الاجتماع السنوي لعام 1930 لجمعية العلماء والأطباء الألمان، قدم كورت جودل، خلال مناقشة مائدة مستديرة في مؤتمر نظرية المعرفة الذي عقد بالتزامن مع اجتماعات الجمعية، بشكل مؤقت الصياغة الأولية لنظرية عدم الاكتمال. توضح نظريات عدم الاكتمال لجودل أنه حتى الأنظمة البديهية الأساسية، مثل حساب البيانو، إما متناقضة بطبيعتها مع نفسها أو تشمل افتراضات منطقية لا يمكن إثباتها أو دحضها ضمن حدود هذا النظام.

مساهمات في الرياضيات والفيزياء

حل مشكلة جوردان

توجت أبحاث هيلبرت الأولية حول الدوال الثابتة في عام 1888 بتقديم نظرية النهاية الشهيرة. قبل عقدين من الزمن، أسس بول جوردان النظرية المتعلقة بمحدودية المولدات للأشكال الثنائية، مستخدمًا منهجية حسابية معقدة. أثبتت محاولات توسيع نهج جوردان ليشمل الوظائف التي تتضمن أكثر من متغيرين عدم النجاح بسبب التعقيد الحسابي الهائل. ولمعالجة ما أصبح معروفًا في بعض الدوائر الأكاديمية باسم مشكلة جوردان، أدرك هيلبرت ضرورة تبني استراتيجية مختلفة تمامًا. وبالتالي، قام بصياغة نظرية أساس هيلبرت، والتي أظهرت وجود مجموعة محدودة من المولدات لثوابت الكميات عبر أي عدد من المتغيرات. إلا أن هذا البرهان كان مجردًا، يثبت الوجود دون تقديم طريقة بناءة لتحديد مثل هذه المجموعة؛ واعتمد على قانون الوسط المستبعد ضمن امتداد لا نهائي.

قدم هيلبرت النتائج التي توصل إليها إلى مجلة Mathematische Annalen. فشل جوردان، الذي عمل كمرجع مقيم في المجلة في مجال النظرية الثابتة لـ Mathematische Annalen، في فهم الطبيعة الرائدة لنظرية هيلبرت، وبالتالي رفض المخطوطة، مشيرًا إلى أن العرض غير شامل بشكل كافٍ. وجاء في تعليقه:

في المقابل، أقر كلاين بأهمية العمل وضمن نشره دون أي تعديلات. وبتشجيع من كلاين، قام هيلبرت بتوسيع منهجيته في مقال لاحق، حيث قدم تقديرات لدرجة الحد الأقصى لمجموعة المولدات الدنيا، وأعاد تقديمها إلى Annalen. عند مراجعة المخطوطة، نقل كلاين إلى هيلبرت:

مما لا شك فيه أن هذا هو العمل الأكثر أهمية في الجبر العام الذي نشره Annalen على الإطلاق.

بعد ذلك، وبعد أن اكتسبت فائدة طريقة هيلبرت قبولًا عالميًا، قال جوردان نفسه:

لقد أقنعت نفسي أنه حتى اللاهوت له مزاياه.

على الرغم من نجاحاته، إلا أن الطبيعة المتأصلة لإثبات هيلبرت ولدت تحديات غير متوقعة. على الرغم من اعتراف كرونيكر في النهاية، إلا أن هيلبرت تناول لاحقًا انتقادات مماثلة من خلال التأكيد على أن "العديد من الإنشاءات المختلفة تندرج تحت فكرة أساسية واحدة" - أو كما أوضح ريد، "من خلال إثبات الوجود، تمكن هيلبرت من الحصول على بناء"؛ وبالتالي فإن "الدليل" (أي الرموز المكتوبة) كان "الموضوع". هذا المنظور لم يقنع عالميا. بينما تبعت وفاة كرونيكر بعد فترة وجيزة، استمرت فلسفته البنائية من خلال "المدرسة" الحدسية الناشئة بقيادة بروير الشاب، مما تسبب في معاناة كبيرة لهيلبرت في سنواته الأخيرة. في الواقع، شهد هيلبرت "تلميذه الموهوب" فايل وهو يعتنق الحدس، وهو التطور الذي "أزعج هيلبرت بسبب افتتان تلميذه السابق بأفكار بروير، الأمر الذي أثار في هيلبرت ذكرى كرونيكر". بروير، باعتباره حدسيًا، عارض على وجه التحديد تطبيق قانون الوسط المستبعد على المجموعات اللانهائية، وهو مبدأ استخدمه هيلبرت. وكان رد هيلبرت:

أخذ مبدأ الوسط المستثنى من عالم الرياضيات... هو نفس... منع الملاكم من استخدام قبضتيه.

Nullstellensatz

في الجبر، يتم تعريف الحقل على أنه مغلق جبريًا إذا كان كل كثير حدود محدد فوقه يمتلك جذرًا داخل هذا الحقل. بناءً على هذا المفهوم، أنشأ هيلبرت معيارًا لتحديد متى يتم تعيين مجموعة من ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ متعددات الحدود في ${\displaystyle n}$ في جذر مشترك. ينطبق هذا الشرط تحديدًا في حالة عدم وجود كثيرات الحدود ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ والمؤشرات ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ يحقق المعادلة التالية:

§67§ = ∑ j = §1920§ k p ν j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

يتم التعرف على هذا الاكتشاف المهم رسميًا باسم نظرية جذر هيلبرت، والمعروفة أيضًا بتسميتها الألمانية "Hilberts Nullstellensatz". علاوة على ذلك، أظهر هيلبرت تطابقًا موضوعيًا بين المُثُل المتلاشية ومجموعات التلاشي المرتبطة بها، وتحديدًا ربط الأصناف المتقاربة بالمُثُل الجذرية في ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

منحنى

في عام 1890، قدم جوزيبي بيانو أول منحنى لملء الفراغ موثق تاريخيًا في مقال نشر في مجلة Mathematische Annalen. بعد ذلك، طور هيلبرت شكله الخاص من هذا المنحنى، والذي يُعرف حاليًا باسم منحنى هيلبرت. يتم إنشاء تقديرات تقريبية تكرارية لهذا المنحنى بناءً على قواعد الاستبدال الموضحة في الشكل الأولي لهذا القسم. يتم تعريف المنحنى نفسه على أنه الحد النقطي لهذه التقديرات.

تبسيط الهندسة

في عام 1899، نشر هيلبرت Grundlagen der Geometrie، وترجمته إلى أسس الهندسة، والذي اقترح مجموعة رسمية من البديهيات، المعروفة باسم بديهيات هيلبرت، لتحل محل مسلمات إقليدس التقليدية. عالجت هذه البديهيات الجديدة نقاط الضعف التي تم تحديدها في عمل إقليدس، والذي كان لا يزال يستخدم على نطاق واسع ككتاب مدرسي في ذلك الوقت. يتطلب تحديد بديهيات هيلبرت بدقة الرجوع إلى تاريخ نشر Grundlagen، حيث قام هيلبرت بمراجعتها وتعديلها عدة مرات. وسرعان ما أعقبت الدراسة الأولية ترجمة فرنسية، وألحق بها هيلبرت المجلد الثاني، "بديهية الاكتمال". ترجمة باللغة الإنجليزية، بترخيص من هيلبرت وحقوق الطبع والنشر في عام 1902 من قبل إي جيه. تاونسند، أدرج التغييرات من الطبعة الفرنسية وبالتالي يعتبر ترجمة للطبعة الثانية. واصل هيلبرت إدخال التعديلات على النص، مما أدى إلى إصدار عدة طبعات ألمانية، وكانت الطبعة السابعة هي الأخيرة التي نُشرت خلال حياته. ظهرت الطبعات اللاحقة بعد الطبعة السابعة، على الرغم من أن النص الأساسي ظل دون مراجعة إلى حد كبير.

مثلت منهجية هيلبرت تحولًا محوريًا نحو المنهج البديهي الحديث، وهو التطور الذي توقعه عمل موريتز باش في عام 1882. وفي ظل هذا النموذج، لا تعتبر البديهيات حقائق بديهية. في حين أن الهندسة قد تهتم بالأشياء التي تثير حدسًا قويًا، إلا أنه ليس من الضروري تعيين معنى واضح لمفاهيم غير محددة. يمكن استبدال عناصر مثل النقاط والخطوط والمستويات، من بين أشياء أخرى، كما اقترح هيلبرت لشونفليز وكوتر، بأشياء مثل الطاولات أو الكراسي أو أكواب البيرة. وبدلاً من ذلك، ينصب التركيز على علاقاتها المحددة.

عدَّد هيلبرت في البداية المفاهيم غير المحددة: النقطة، والخط، والمستوى، وعلاقة "الاستلقاء" (التي تنطبق بين النقاط والخطوط، والنقاط والمستويات، والخطوط والمستويات)، والبينية، وتطابق أزواج النقاط (أجزاء الخطوط)، وتطابق الزوايا. تدمج هذه البديهيات كلا من هندسة المستوى الإقليدي والهندسة الصلبة في نظام موحد.

ثلاثة وعشرون مشكلة

في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في باريس عام 1900، قدم هيلبرت قائمة مؤثرة للغاية تضم 23 مسألة لم يتم حلها. يُنظر إلى هذه المجموعة على نطاق واسع على أنها المجموعة الأكثر نجاحًا والأكثر دراسةً بعمق من المشكلات المفتوحة التي صاغها عالم رياضيات فردي على الإطلاق.

بعد عمله التأسيسي في الهندسة الكلاسيكية، كان بإمكان هيلبرت توسيع منهجه ليشمل الرياضيات بأكملها. تباعدت منهجيته عن وجهات النظر "التأسيسية" اللاحقة لراسل وايتهيد والنهج "الموسوعي" لنيكولاس بورباكي، وكذلك عن معاصره جوزيبي بيانو. تم تصميم مشاكل هيلبرت لإشراك المجتمع الرياضي الأوسع في الجوانب الحاسمة من المجالات الرياضية الهامة.

تم تقديم مجموعة المشاكل خلال محاضرة بعنوان "مشاكل الرياضيات"، ألقيت في المؤتمر الدولي الثاني لعلماء الرياضيات في باريس. وجاء في ملاحظات هيلبرت التمهيدية لهذا الخطاب ما يلي:

من منا لن يكون سعيدًا برفع الحجاب الذي يختبئ خلفه المستقبل؛ لنلقي نظرة على التطورات القادمة في علومنا وعلى أسرار تطورها خلال القرون القادمة؟ ما هي الأهداف المحددة التي ستسعى نحوها الروح الرياضية الرائدة للأجيال القادمة؟ ما هي الأساليب الجديدة والحقائق الجديدة في مجال الفكر الرياضي الواسع والغني الذي ستكشف عنه القرون الجديدة؟

قدم هيلبيرت أقل من نصف هذه المشكلات إلى الكونجرس، مع ظهور نشرها الأولي في وقائع الكونجرس. وفي منشور لاحق، قام بتوسيع هذه النظرة العامة، مما أدى إلى صياغة نهائية لـ 23 مشكلة هيلبرت المقبولة الآن. ويظل النص الكامل مهمًا، حيث لا يزال تفسير هذه الأسئلة موضوعًا للنقاش فيما يتعلق بعدد المشكلات التي تم حلها بشكل نهائي.

تم حل بعض هذه المشكلات بسرعة نسبية. وكانت بعضها الآخر موضع نقاش مستفيض طوال القرن العشرين، مع اعتبار عدد قليل منها الآن مفتوحًا للغاية بحيث لا يمكن الوصول إلى خاتمة نهائية. لا تزال مجموعة فرعية من هذه المسائل تشكل تحديات كبيرة.

في ما يلي عناوين مسائل هيلبرت الـ 23 كما ظهرت في ترجمة عام 1902 المنشورة في نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية.

1. مسألة كانتور في العدد الأصلي للمتتالية.

<د>2. توافق البديهيات الحسابية. <د>3. تساوي حجمي رباعي الأسطح متساوي القواعد والارتفاعات.

المسألة الرابعة تتناول مفهوم الخط المستقيم باعتباره أقصر مسافة بين نقطتين.

تتعلق المشكلة الخامسة بنظرية لي حول مجموعات التحول المستمر، وتحديدًا دون افتراض اختلاف الوظائف التي تحدد هذه المجموعات.

تتضمن المشكلة السادسة الصياغة الرياضية للبديهيات الفيزيائية.

تبحث المشكلة السابعة في خصائص اللاعقلانية والتعالي لأرقام محددة.

تركز المشكلة الثامنة على توزيع الأعداد الأولية، بما في ذلك فرضية ريمان.

تسعى المسألة التاسعة إلى إنشاء برهان لقانون المعاملة بالمثل الأكثر عمومية في أي حقل عددي.

المسألة العاشرة تهدف إلى تحديد قابلية حل المعادلات الديوفانتية.

تتناول المسألة الحادية عشرة الصيغ التربيعية التي تتضمن معاملات عددية جبرية اعتباطية.

تتضمن المشكلة الثانية عشرة توسيع نظرية كرونيكر، التي تتعلق بالمجالات الأبيلية، لتشمل أي مجال جبري للعقلانية.

تستكشف المشكلة الثالثة عشرة استحالة حل معادلة الدرجة السابعة العامة باستخدام دوال تقتصر على وسيطتين فقط.

تتطلب المشكلة الرابعة عشرة توضيح مدى محدودية أنظمة كاملة محددة من الوظائف.

تتطلب المشكلة الخامسة عشرة إطارًا تأسيسيًا صارمًا لحساب التفاضل والتكامل التعدادي لشوبرت.

المسألة السادسة عشرة تتعلق بطوبولوجيا المنحنيات والأسطح الجبرية.

المسألة السابعة عشرة تتضمن التعبير عن صور محددة كمجموع مربعات.

المسألة الثامنة عشرة تبحث في بناء الفضاء باستخدام متعددات الوجوه المتطابقة.

تتساءل المشكلة التاسعة عشرة عما إذا كانت حلول المشكلات المنتظمة في حساب التفاضل والتكامل تحليلية دائمًا.

المسألة العشرون تتناول النظرية العامة للقيم الحدية، وتحديداً مسائل القيمة الحدية في المعادلات التفاضلية الجزئية.

تسعى المشكلة الحادية والعشرون إلى إثبات وجود معادلات تفاضلية خطية تمتلك مجموعة أحادية محددة مسبقًا.

تتضمن المشكلة الثانية والعشرون توحيد العلاقات التحليلية من خلال تطبيق الدوال الذاتية.

تقترح المشكلة الثالثة والعشرون مزيدًا من التقدم في المنهجيات ضمن حساب التفاضل والتكامل للاختلافات.

الشكلية

بحلول منتصف القرن، تم الاعتراف على نطاق واسع بمجموعة مسائل هيلبرت المؤثرة باعتبارها بيانًا تأسيسيًا، مما مهد الطريق لظهور المدرسة الشكلية، وهي فلسفة رياضية بارزة في القرن العشرين. يفترض الشكلانيون أن الرياضيات تشكل معالجة للرموز تحكمها قواعد رسمية ثابتة، وبالتالي تمثل مسعى فكريًا مستقلاً.

البرنامج

في عام 1920، قدم هيلبرت مبادرة أبحاث ما وراء الرياضيات، والتي أطلق عليها فيما بعد برنامج هيلبرت، والتي تهدف إلى تأسيس الرياضيات على إطار منطقي قوي وشامل. وافترض أنه يمكن تحقيق هذا الهدف من خلال إظهار مبدأين أساسيين:

1. أولاً، يمكن استخلاص الرياضيات بأكملها من نظام بديهي محدد ومحدد بدقة؛ و
2. ثانيًا، أن مثل هذا النظام البديهي يمكن أن يكون متسقًا بشكل واضح من خلال طرق مثل حساب التفاضل والتكامل إبسيلون.

يبدو أن صياغة هيلبرت لهذا الاقتراح كانت مدفوعة باعتبارات فنية وفلسفية. لقد عكس بشكل خاص معارضته للمفهوم المعروف باسم "جاهلوبيموس"، وهو جدل فكري مهم في الفكر الألماني المعاصر، والذي نشأ مع إميل دو بوا ريمون.

يظل هذا البرنامج قابلاً للتعريف ضمن الفلسفة السائدة في الرياضيات، والتي يشار إليها عادة باسم الشكلية. على سبيل المثال، نفذت مجموعة بورباكي نسخة معدلة وانتقائية لهذا البرنامج، معتبرة إياه مناسبًا لأهدافهم المزدوجة: (أ) تجميع النصوص التأسيسية الشاملة، و(ب) الدعوة إلى المنهج البديهي كأداة بحث. في حين أثبت هذا النهج نجاحه وتأثيره فيما يتعلق بمساهمات هيلبرت في الجبر والتحليل الوظيفي، إلا أنه لم يكن له صدى مماثل مع اهتماماته في الفيزياء والمنطق.

في عام 1919، أوضح هيلبرت:

نحن لا نناقش التعسف في أي سياق. لا تشبه الرياضيات لعبة يتم فيها تحديد المهام من خلال قواعد موضوعة بشكل تعسفي. بل إنه يشكل نظامًا مفاهيميًا يتمتع بضرورة متأصلة تملي عليه طبيعته وتمنع أي بديل.

تم نشر وجهات نظر هيلبرت حول المبادئ الأساسية للرياضيات في منشوره المكون من مجلدين، *Grundlagen der Mathematik*.

مساهمات جودل

كان هيلبرت ومعاونوه ملتزمين بشدة بهذا المشروع الطموح. ومع ذلك، فإن محاولته لدعم الرياضيات البديهية بمبادئ قاطعة، والتي تهدف إلى إزالة الغموض النظري، أثبتت في النهاية عدم نجاحها.

أثبت جودل بشكل قاطع أن أي نظام رسمي ثابت قادر على التعبير عن العمليات الحسابية الأساسية لا يمكنه إثبات اكتماله فقط من خلال البديهيات الجوهرية وقواعد الاستدلال. كشفت نظرية عدم الاكتمال التي وضعها عام 1931 أن برنامج هيلبرت الشامل، كما تم تصوره في الأصل، كان بعيد المنال. على وجه التحديد، لا يمكن دمج المبدأ الثاني لبرنامج هيلبرت بشكل متماسك مع المبدأ الأول، بشرط أن يكون النظام البديهي نهائيًا حقًا.

ومع ذلك، فإن التطورات اللاحقة في نظرية الإثبات وضحت مفهوم الاتساق بشكل ملحوظ، لا سيما فيما يتعلق بالنظريات المركزية في البحث الرياضي. بدأ العمل التأسيسي لهيلبرت هذا المسار من التوضيح في المنطق. وفي وقت لاحق، حفزت ضرورة فهم مساهمات جودل تطور نظرية التكرار، التي أسست بعد ذلك المنطق الرياضي باعتباره نظامًا أكاديميًا مستقلاً في ثلاثينيات القرن العشرين. علاوة على ذلك، فإن المبادئ الأساسية لعلوم الكمبيوتر النظرية اللاحقة، ولا سيما من خلال مساهمات ألونزو تشيرش وألان تورينج، انبثقت مباشرة من هذا الخطاب الفكري.

التحليل الوظيفي

في عام 1909 تقريبًا، كرّس هيلبرت جهوده لدراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية، مما أدى إلى نتائج مباشرة في مجالات مهمة ضمن التحليل الوظيفي الحديث. لتسهيل هذه التحقيقات، وضع هيلبرت تصورًا للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد اللانهائية، والذي تم تسميته لاحقًا بفضاء هيلبرت. وقد وفرت مساعيه في هذا المجال التحليلي أساسًا حاسمًا لمساهمات كبيرة في رياضيات الفيزياء على مدى العقدين التاليين، وإن كان ذلك من منظور غير متوقع. لاحقًا، قام ستيفان باناخ بتوسيع هذا المفهوم من خلال تحديد مساحات باناخ. تشكل مساحات هيلبرت فئة محورية من الكيانات ضمن التحليل الوظيفي، وخاصة ذات الصلة بالنظرية الطيفية للمؤثرات الخطية المتجاورة ذاتيًا، وهو المجال الذي تطور حولها طوال القرن العشرين.

الفيزياء

قبل عام 1912، كان هيلبرت يعمل في المقام الأول كعالم رياضيات بحت. عندما خطط هيرمان مينكوفسكي، وهو عالم رياضيات زميل وصديق، لـ "في الواقع"، يبدو أن مينكوفسكي كان له دور فعال في معظم استكشافات هيلبرت للفيزياء قبل عام 1912، بما في ذلك ندوتهم التعاونية حول هذا الموضوع في عام 1905.

في عام 1912، بعد ثلاث سنوات من وفاة مينكوفسكي، حول هيلبرت تركيزه الأكاديمي بشكل حصري تقريبًا إلى الفيزياء. قام بترتيب "مدرس فيزياء" شخصي وبدأ دراسات في نظرية الغاز الحركي، وتقدم إلى نظرية الإشعاع الأولية والنظرية الجزيئية للمادة. وحتى بعد اندلاع الحرب عام 1914، استمر في عقد الندوات والدروس التي تدرس بدقة أعمال ألبرت أينشتاين وغيره من علماء الفيزياء المعاصرين.

بحلول عام 1907، كان أينشتاين قد أوضح المبادئ الأساسية لنظرية الجاذبية، لكنه عمل بعد ذلك لمدة ثماني سنوات تقريبًا لوضع اللمسات النهائية على صياغتها الكاملة. أثبت لقاءه مع إيمي نويثر في غوتنغن أنه كان محوريًا في هذا الاختراق. بحلول أوائل صيف عام 1915، تحول اهتمام هيلبرت بالفيزياء إلى النسبية العامة، مما دفعه إلى دعوة أينشتاين إلى غوتنغن لحضور سلسلة من المحاضرات لمدة أسبوع حول هذا الموضوع. قوبل أينشتاين باستقبال حماسي. خلال الصيف، علم أينشتاين بعمل هيلبرت الموازي في معادلات المجال، مما كثف جهوده البحثية. في نوفمبر 1915، نشر أينشتاين عدة أوراق بحثية بلغت ذروتها في معادلات مجال الجاذبية. وفي الوقت نفسه تقريبًا، نشر هيلبرت "أسس الفيزياء"، والذي قدم اشتقاقًا بديهيًا لمعادلات المجال. اعترف هيلبرت باستمرار بأينشتاين باعتباره المتصور الأصلي للنظرية، ولم ينشأ أي نزاع عام بشأن أولوية معادلات المجال بين العالمين خلال حياتهما.

علاوة على ذلك، توقعت أبحاث هيلبرت وسهلت العديد من التطورات في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم. كانت مساهماته محورية في عمل هيرمان فايل وجون فون نيومان في إثبات التكافؤ الرياضي بين ميكانيكا المصفوفة لفيرنر هايزنبرغ والمعادلة الموجية لإروين شرودنغر. علاوة على ذلك، فإن لفضاء هيلبرت الذي يحمل اسمه دورًا مهمًا في نظرية الكم. في عام 1926، أثبت فون نيومان بشكل قاطع أنه إذا تم تصور الحالات الكمومية كمتجهات داخل فضاء هيلبرت، فإنها ستتوافق مع كل من نظرية الدالة الموجية لشرودنجر ومصفوفات هايزنبرغ.

كرس هيلبرت نفسه لغرس الدقة الرياضية في مجال الفيزياء. على الرغم من اعتماد الفيزياء الكبير على الرياضيات المتقدمة، غالبًا ما أظهر الممارسون نقصًا في الدقة في تطبيقها. بالنسبة لعالم رياضيات خالص مثل هيلبرت، كان عدم الدقة هذا مزعجًا من الناحية الجمالية ومبهمًا فكريًا. ومع تعميق فهمه للفيزياء والأساليب الرياضية التي يستخدمها الفيزيائيون، قام بصياغة نظرية رياضية متماسكة لملاحظاته، وخاصة في مجال المعادلات التكاملية. عندما قام زميله ريتشارد كورانت بتأليف العمل الأساسي Methoden der mathematischen Physik (طرق الفيزياء الرياضية)، والذي يتضمن بعض مفاهيم هيلبرت، فقد أدرج اسم هيلبرت كمؤلف مشارك، على الرغم من عدم مساهمة هيلبرت بشكل مباشر في المخطوطة. قال هيلبرت في عبارته الشهيرة: "الفيزياء صعبة للغاية بالنسبة للفيزيائيين"، مما يعني ضمنًا أن التطور الرياضي المطلوب غالبًا ما يتجاوز فهمهم؛ وقد سهّل منشور كورانت-هيلبرت لاحقًا تعاملهم مع هذه الأدوات الرياضية المعقدة.

نظرية الأعداد

لقد طور هيلبرت بشكل ملحوظ توحيد نظرية الأعداد الجبرية من خلال أطروحته عام 1897، Zahlbericht (حرفيًا، "تقرير عن الأرقام"). كما نجح أيضًا في حل مشكلة كبيرة تتعلق بنظرية الأعداد والتي طرحها وارنج في عام 1770. وعلى غرار نظرية النهاية، استخدم هيلبرت برهانًا على الوجود، موضحًا يقينية الحلول دون تقديم طريقة بناءة لاشتقاقها. بعد ذلك، كانت منشوراته اللاحقة حول هذا الموضوع محدودة؛ ومع ذلك، فإن ظهور أشكال هيلبرت المعيارية في أطروحة الطالب ربط اسمه بمجال بحث بارز.

واقترح سلسلة من التخمينات المتعلقة بنظرية المجال الطبقي. أثبتت هذه المفاهيم تأثيرها العميق، وتم التعرف على مساهمات هيلبرت الدائمة من خلال تسميات مجال فئة هيلبرت ورمز هيلبرت ضمن نظرية مجال الطبقة المحلية. تم إثبات غالبية هذه النتائج بحلول عام 1930، ويرجع ذلك إلى حد كبير إلى عمل تيجي تاكاجي.

على الرغم من أن هيلبرت لم يركز على المجالات الأساسية لنظرية الأعداد التحليلية، إلا أن اسمه مرتبط بحدسية هيلبرت-بوليا، وهي علاقة متجذرة في أصول قصصية. روى إرنست هيلينجر، أحد طلاب هيلبرت السابقين، ذات مرة لأندريه ويل أن هيلبرت أعلن في ندوة في أوائل القرن العشرين عن توقعه بأن إثبات فرضية ريمان سيظهر نتيجة لأبحاث فريدهولم حول المعادلات التكاملية التي تتميز بنواة متماثلة.

يعمل

لقد خضعت أعماله العلمية المجمعة، والتي تحمل عنوان Gesammelte Abhandlungen، إلى منشورات متعددة. احتوت الإصدارات الأولية من أوراقه على العديد من الأخطاء الفنية متفاوتة الخطورة. عند النشر الأول للمجموعة، تم تصحيح هذه الأخطاء، وتقرر أن مثل هذه التصحيحات يمكن تنفيذها دون الحاجة إلى إجراء تعديلات كبيرة على بيانات النظريات، مع الاستثناء الوحيد للدليل المزعوم لفرضية الاستمرارية. ومع ذلك، كانت الأخطاء منتشرة وكبيرة بما يكفي لدرجة أن أولجا تاوسكي تود احتاجت إلى ثلاث سنوات لإكمال المراجعات اللازمة.

المفاهيم

الاقتباسات

الأدب الأساسي في الترجمة الإنجليزية

الأدب الأساسي بالترجمة الإنجليزية

• Ewald, William B., ed. (1996). من كانط إلى هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات. أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد. <لي>1922. "الأسس الجديدة للرياضيات: التقرير الأول"، 1115-1133.
<لي>1923. “الأسس المنطقية للرياضيات،” 1134-1147. <لي>1930. "المنطق ومعرفة الطبيعة"، 1157-1165. <لي>1931. "أسس نظرية الأعداد الأولية"، 1148-1156. <لي>1904. "في أصول المنطق والحساب"، 129-138. <لي>1925. "على اللانهائي" 367-392. <لي>1927. "أسس الرياضيات،" مع تعليق ويل وملحق لبيرنيز، 464-489.