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David Hilbert (deutsch: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23. Januar 1862 – 14. Februar 1943) war ein deutscher Mathematiker und Philosoph der Mathematik und einer der bedeutendsten…

David Hilbert (; deutsch: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23. Januar 1862 – 14. Februar 1943) war ein bekannter deutscher Mathematiker und Philosoph der Mathematik, der zu seiner Zeit weithin als eine der einflussreichsten Persönlichkeiten auf diesem Gebiet anerkannt wurde.

David Hilbert (; Deutsch: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]; 23. Januar 1862 – 14. Februar 1943) war ein deutscher Mathematiker und Philosoph der Mathematik und einer seiner einflussreichsten Mathematiker Zeit.

Hilberts Beiträge umfassten die Entdeckung und Entwicklung zahlreicher grundlegender Konzepte, darunter die Invariantentheorie, die Variationsrechnung, die kommutative Algebra, die algebraische Zahlentheorie, die Grundlagen der Geometrie, die Spektraltheorie von Operatoren mit ihren Anwendungen auf Integralgleichungen, die mathematische Physik und die Grundlagen der Mathematik, insbesondere die Beweistheorie. Er war ein überzeugter Verfechter der Mengenlehre und der transfiniten Zahlen von Georg Cantor. Seine Präsentation einer bahnbrechenden Problemsammlung im Jahr 1900 prägte maßgeblich die Entwicklung der mathematischen Forschung im 20. Jahrhundert.

Gemeinsam mit seinen Studenten spielte Hilbert eine entscheidende Rolle bei der Etablierung mathematischer Genauigkeit und der Entwicklung wesentlicher Werkzeuge für die zeitgenössische mathematische Physik. Er gilt außerdem als Mitbegründer der Beweistheorie und der mathematischen Logik.

Leben

Frühes Leben und Bildung

David Hilbert, der älteste von zwei Kindern und einziger Sohn von Otto, einem Landrichter, und Maria Therese Hilbert (geb. Erdtmann), einer Kaufmannstochter, wurde in der Provinz Preußen im Königreich Preußen geboren. Sein Geburtsort ist entweder Königsberg (heutiges Kaliningrad), basierend auf Hilberts persönlichem Bericht, oder Wehlau (seit 1946 als Znamensk bekannt), in der Nähe von Königsberg gelegen, wo sein Vater zum Zeitpunkt seiner Geburt beschäftigt war. Sein Großvater väterlicherseits, ebenfalls David Hilbert genannt, bekleidete Positionen als Richter und Geheimrat. Seine Mutter Maria interessierte sich für Philosophie, Astronomie und Primzahlen, während sein Vater Otto ihm preußische Tugenden beibrachte. Nach der Ernennung seines Vaters zum Stadtrichter zog die Familie nach Königsberg. Seine Schwester Elise wurde geboren, als er sechs Jahre alt war. Hilbert begann seine formelle Ausbildung im Alter von acht Jahren, zwei Jahre über dem typischen Eintrittsalter.

Ende 1872 schrieb sich Hilbert am Friedrichskolleg-Gymnasium (Collegium fridericianum) ein, einer Schule, die bereits 140 Jahre zuvor Immanuel Kant besucht hatte. Nach einer unbefriedigenden Zeit wechselte er jedoch Ende 1879 und machte Anfang 1880 seinen Abschluss am Wilhelm-Gymnasium, das einen eher naturwissenschaftlich ausgerichteten Lehrplan anbot. Nach seinem Abschluss im Herbst 1880 immatrikulierte sich Hilbert an der Universität Königsberg, der sogenannten „Albertina“. Anfang 1882 kehrte Hermann Minkowski, der zwei Jahre jünger als Hilbert war und ebenfalls aus Königsberg stammte (obwohl er drei Semester in Berlin verbracht hatte), in die Stadt zurück und schrieb sich an der Universität ein. Anschließend schloss Hilbert eine lebenslange Freundschaft mit dem zurückhaltenden, aber talentierten Minkowski.

Karriere

Im Jahr 1884 kam Adolf Hurwitz von Göttingen aus als Extraordinarius, was einem außerordentlichen Professor entspricht, an die Fakultät. Dies markierte den Beginn einer intensiven und produktiven wissenschaftlichen Zusammenarbeit zwischen den drei Wissenschaftlern, wobei sich insbesondere Minkowski und Hilbert im Laufe ihrer jeweiligen wissenschaftlichen Karriere gegenseitig beeinflussten. Hilbert verteidigte 1885 erfolgreich seine Doktorarbeit unter der Leitung von Ferdinand von Lindemann. Die Dissertation trug den Titel Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, was übersetzt „Über die invarianten Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen“ bedeutet.

Hilbert war von 1886 bis 1895 Privatdozent (Oberdozent) an der Universität Königsberg. Im Jahr 1895 wurde er durch die Befürwortung von Felix Klein sicherte er sich die Professur für Mathematik an der Universität Göttingen. Die Zeit, in der Klein und Hilbert aktiv waren, machte Göttingen zur führenden Institution der globalen Mathematikgemeinschaft. Er blieb dort für den Rest seines Lebens.

Göttinger Schule

Bemerkenswerte Persönlichkeiten unter Hilberts Schülern waren Hermann Weyl, Schachmeister Emanuel Lasker, Ernst Zermelo und Carl Gustav Hempel. Als sein Assistent fungierte John von Neumann. An der Universität Göttingen war Hilbert Teil einer angesehenen intellektuellen Gemeinschaft, die mehrere der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts umfasste, darunter Emmy Noether und Alonzo Church.

Von seinen 69 Doktoranden in Göttingen erlangten viele später einen Ruf als Mathematiker, darunter (mit Abschlussjahr der Dissertation): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) und Wilhelm Ackermann (1925). Von 1902 bis 1939 war Hilbert Herausgeber der Mathematischen Annalen, der damals bedeutendsten mathematischen Zeitschrift. 1907 wurde er zum internationalen Mitglied der National Academy of Sciences der Vereinigten Staaten gewählt.

Persönliches Leben

Im Jahr 1892 heiratete Hilbert Käthe Jerosch (1864–1945), die Tochter eines Königsberger Kaufmanns, die als „eine freimütige junge Dame mit einer geistigen Unabhängigkeit, die der [Hilberts] ebenbürtig war“, charakterisiert wurde. Während ihrer Zeit in Königsberg bekamen sie einen Sohn, Franz Hilbert (1893–1969). Franz war lebenslang psychisch krank und nach seiner Einweisung in eine psychiatrische Klinik soll Hilbert gesagt haben: „Von nun an muss ich davon ausgehen, dass ich keinen Sohn habe.“ Diese Haltung beunruhigte Käthe zutiefst.

Hilbert betrachtete den Mathematiker Hermann Minkowski als seinen engsten und vertrauenswürdigsten Freund.

Hilbert wurde als Calvinist innerhalb der Preußischen Evangelischen Kirche getauft und erzogen. Anschließend verließ er die Kirche und nahm eine agnostische Weltanschauung an. Er behauptete weiter, dass die mathematische Wahrheit unabhängig von der göttlichen Existenz oder anderen a priori-Voraussetzungen existierte. Auf die Kritik an Galileo Galilei, der seine heliozentrischen Überzeugungen nicht vertrat, antwortete Hilbert: „Aber [Galileo] war kein Idiot. Nur ein Idiot konnte glauben, dass wissenschaftliche Wahrheit ein Märtyrertum erfordert; das mag in der Religion notwendig sein, aber wissenschaftliche Ergebnisse beweisen sich zu gegebener Zeit.“

Späteres Leben

Ähnlich wie Albert Einstein pflegte Hilbert enge Beziehungen zur Berliner Gruppe, deren Hauptgründer, darunter Kurt Grelling, Hans Reichenbach und Walter Dubislav, seine Schüler in Göttingen gewesen waren.

Ungefähr im Jahr 1925 erkrankte Hilbert an perniziöser Anämie, einem Vitaminmangel, der damals unbehandelbar war und sich vor allem in Erschöpfung äußerte. Sein Assistent Eugene Wigner beschrieb Hilbert als „enorme Müdigkeit“ und als „ziemlich alt“. Wigner bemerkte weiter, dass Hilbert selbst nach einer Diagnose und einer anschließenden Behandlung „nach 1925 kaum noch ein Wissenschaftler war und schon gar kein Hilbert.“

Im Jahr 1932 wurde Hilbert zum Mitglied der American Philosophical Society gewählt.

Hilbert war Zeuge der Säuberung zahlreicher angesehener Fakultätsmitglieder der Universität Göttingen durch das Nazi-Regime im Jahr 1933. Zu den Entlassenen gehörte Hermann Weyl, der nach seiner Emeritierung Hilberts Lehrstuhl übernommen hatte 1930; Emmy Noether; und Edmund Landau. Paul Bernays, ein weiterer Mensch, der Deutschland verlassen musste, hatte mit Hilbert auf dem Gebiet der mathematischen Logik zusammengearbeitet und war Mitautor des bedeutenden Werks „Grundlagen der Mathematik“, das schließlich 1934 und 1939 in zwei Bänden veröffentlicht wurde. Diese Veröffentlichung diente als Fortsetzung des Hilbert-Ackermann-Bandes „Grundlagen der mathematischen Logik“ (1928). Helmut Hasse trat die Nachfolge von Hermann Weyl an.

Etwa ein Jahr nach der Säuberung nahm Hilbert an einem Bankett teil, bei dem er neben Bernhard Rust, dem neu ernannten Bildungsminister, saß. Rust fragte, ob „das Mathematische Institut wirklich so sehr unter dem Wegzug der Juden gelitten hat.“ Hilberts ergreifende Antwort war: „Gelitten? Es existiert doch nicht mehr, oder?“

Tod

Bis zum Tod Hilberts im Jahr 1943 hatte das Nazi-Regime die Fakultät der Universität fast vollständig ersetzt, was größtenteils auf die Entlassung von Personen zurückzuführen war, die Juden waren oder mit Juden verheiratet waren. Seine Beerdigung war spärlich besucht, weniger als ein Dutzend Personen waren anwesend, darunter nur zwei akademische Kollegen, darunter Arnold Sommerfeld, ein theoretischer Physiker und gebürtiger Königsberger. Erst einige Monate nach seinem Tod wurde die Öffentlichkeit auf seinen Tod aufmerksam.

Das auf Hilberts Grabstein in Göttingen eingravierte Epitaph enthält die berühmten Aussagen, die er am 8. September 1930 zum Abschluss seiner Ruhestandsrede vor der Gesellschaft Deutscher Wissenschaftler und Ärzte hielt und wir werden es nicht erfahren":

Am Tag vor Hilberts Verkündung dieser Sätze auf der Jahrestagung der Gesellschaft Deutscher Wissenschaftler und Ärzte im Jahr 1930 stellte Kurt Gödel während einer Diskussionsrunde auf der Konferenz für Erkenntnistheorie, die parallel zu den Gesellschaftstreffen stattfand, vorläufig die erste Formulierung seines Unvollständigkeitssatzes vor. Gödels Unvollständigkeitssätze zeigen, dass selbst grundlegende axiomatische Systeme wie die Peano-Arithmetik entweder von Natur aus widersprüchlich sind oder logische Sätze umfassen, die innerhalb der Grenzen dieses Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können.

Beiträge zur Mathematik und Physik

Lösung von Gordans Problem

Hilberts erste Forschungen zu invarianten Funktionen gipfelten 1888 in der Präsentation seines berühmten Endlichkeitssatzes. Zwei Jahrzehnte zuvor hatte Paul Gordan mithilfe einer komplizierten Rechenmethode den Satz über die Endlichkeit von Generatoren für binäre Formen aufgestellt. Versuche, Gordans Ansatz auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen auszudehnen, erwiesen sich aufgrund der immensen Rechenkomplexität als erfolglos. Um das anzugehen, was in bestimmten akademischen Kreisen als Gordans Problem bekannt wurde, erkannte Hilbert die Notwendigkeit einer völlig anderen Strategie. Folglich formulierte er den Hilbertschen Basissatz, der die Existenz einer endlichen Menge von Generatoren für die Invarianten der Quantik über eine beliebige Anzahl von Variablen hinweg bewies. Dieser Beweis war jedoch abstrakt und bewies die Existenz, ohne eine konstruktive Methode zur Identifizierung einer solchen Menge bereitzustellen; es stützte sich auf das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte innerhalb einer unendlichen Ausdehnung.

Hilbert übermittelte seine Ergebnisse der Zeitschrift Mathematische Annalen. Gordan, der für die Zeitschrift Mathematische Annalen als Experte für Invariantentheorie fungierte, verstand die bahnbrechende Natur von Hilberts Theorem nicht und lehnte das Manuskript anschließend mit der Begründung ab, die Darstellung sei nicht ausreichend umfassend. In seinem Kommentar heißt es:

Im Gegensatz dazu erkannte Klein die Bedeutung des Werks an und garantierte seine Veröffentlichung ohne jegliche Überarbeitungen. Von Klein ermutigt, erweiterte Hilbert seine Methodik in einem nachfolgenden Artikel, bot Schätzungen für den maximalen Grad der minimalen Menge von Generatoren an und reichte sie erneut bei den Annalen ein. Nach Durchsicht des Manuskripts teilte Klein Hilbert mit:

Ohne Zweifel ist dies das wichtigste Werk zur allgemeinen Algebra, das die Annalen jemals veröffentlicht haben.

Nachdem sich die Nützlichkeit von Hilberts Methode allgemein durchgesetzt hatte, bemerkte Gordan selbst:

Ich bin davon überzeugt, dass sogar die Theologie ihre Vorzüge hat.

Trotz seiner Erfolge führte die inhärente Natur von Hilberts Beweis zu unvorhergesehenen Herausforderungen. Obwohl Kronecker schließlich zugab, ging Hilbert später auf ähnliche Kritikpunkte ein, indem er behauptete, dass „viele verschiedene Konstruktionen unter einer Grundidee zusammengefasst werden“ – oder, wie Reid es ausdrückte: „Durch einen Existenzbeweis war Hilbert in der Lage, eine Konstruktion zu erhalten“; somit war „der Beweis“ (d. h. die geschriebenen Symbole) „das Objekt“. Diese Perspektive überzeugte nicht überall. Während Kroneckers Tod bald darauf folgte, blieb seine konstruktivistische Philosophie in der aufkommenden intuitionistischen „Schule“ des jungen Brouwer bestehen, was Hilbert in seinen späteren Jahren erheblichen Kummer bereitete. Tatsächlich erlebte Hilbert, wie sein „begabter Schüler“ Weyl sich dem Intuitionismus zuwandte, eine Entwicklung, die „Hilbert durch die Faszination seines ehemaligen Schülers für die Ideen von Brouwer beunruhigte, die in Hilbert die Erinnerung an Kronecker weckte.“ Als Intuitionist lehnte Brouwer insbesondere die Anwendung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte auf unendliche Mengen ab, ein Prinzip, das Hilbert angewendet hatte. Hilberts Erwiderung war:

Das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte vom Mathematiker zu übernehmen ... ist dasselbe wie ... dem Boxer den Einsatz seiner Fäuste zu verbieten.

Nullstellensatz

In der Algebra wird ein Körper als algebraisch abgeschlossen definiert, wenn jedes darüber definierte Polynom eine Wurzel innerhalb dieses Körpers besitzt. Aufbauend auf diesem Konzept entwickelte Hilbert ein Kriterium, um zu bestimmen, wann eine Menge von ( p λ ) λ \in \Lambda }} Polynome in n {\displaystyle n} -Variablen haben eine gemeinsame Wurzel. Diese Bedingung gilt genau dann, wenn keine Polynome vorhanden sind §7071§ , … , q k {\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}} und Indizes λ §108109§ , … , λ k {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}} erfüllt die folgende Gleichung:

§67§ = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}}) .

Diese bedeutende Erkenntnis wird offiziell als Hilberts Wurzelsatz anerkannt, der auch unter der deutschen Bezeichnung „Hilberts Nullstellensatz“ bekannt ist. Darüber hinaus demonstrierte Hilbert eine bijektive Korrespondenz zwischen verschwindenden Idealen und ihren zugehörigen verschwindenden Mengen, insbesondere durch die Verknüpfung affiner Varietäten mit radikalen Idealen innerhalb von C [ x §1819§ , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]} .

Kurve

Im Jahr 1890 stellte Giuseppe Peano in einem in den Mathematischen Annalen veröffentlichten Artikel die erste historisch dokumentierte raumfüllende Kurve vor. Anschließend entwickelte Hilbert seine eigene Variante dieser Kurve, die heute als Hilbert-Kurve bekannt ist. Iterative Näherungen dieser Kurve werden auf der Grundlage der Ersetzungsregeln generiert, die in der ersten Abbildung dieses Abschnitts dargestellt sind. Die Kurve selbst wird als punktweise Grenze dieser Näherungen definiert.

Axiomatisierung der Geometrie

Im Jahr 1899 veröffentlichte Hilbert Grundlagen der Geometrie, übersetzt als Grundlagen der Geometrie, in dem er einen formalen Satz von Axiomen vorschlug, die als Hilbert-Axiome bekannt sind, um die traditionellen Postulate von Euklid zu ersetzen. Diese neuen Axiome befassten sich mit den Schwächen, die in Euklids Werk festgestellt wurden, das damals noch häufig als Lehrbuch verwendet wurde. Um Hilberts Axiome genau zu definieren, muss auf die Veröffentlichungsgeschichte der Grundlagen zurückgegriffen werden, da Hilbert sie mehrfach überarbeitet und modifiziert hat. Der ersten Monographie folgte schnell eine französische Übersetzung, der Hilbert V.2, das Vollständigkeitsaxiom, beifügte. Eine englische Übersetzung, autorisiert von Hilbert und 1902 von E.J. urheberrechtlich geschützt. Townsend hat die Änderungen gegenüber der französischen Ausgabe übernommen und gilt daher als Übersetzung der zweiten Ausgabe. Hilbert nahm weiterhin Änderungen am Text vor, was zu mehreren deutschen Ausgaben führte, wobei die siebte die letzte war, die zu seinen Lebzeiten veröffentlicht wurde. Nachfolgende Ausgaben erschienen nach der siebten, obwohl der Kerntext weitgehend unverändert blieb.

Hilberts Methodik markierte einen entscheidenden Wandel hin zum modernen axiomatischen Ansatz, eine Entwicklung, die durch Moritz Paschs Arbeit im Jahr 1882 vorweggenommen wurde. Nach diesem Paradigma werden Axiome nicht als selbstverständliche Wahrheiten betrachtet. Während sich die Geometrie mit Dingen befasst, die starke Intuitionen hervorrufen, ist es nicht unbedingt erforderlich, undefinierten Konzepten eine explizite Bedeutung zuzuweisen. Elemente wie unter anderem Punkte, Linien und Ebenen könnten, wie Hilbert Schoenflies und Kötter Berichten zufolge vorgeschlagen hatte, durch Objekte wie Tische, Stühle oder Biergläser ersetzt werden. Der Fokus liegt stattdessen auf ihren definierten Beziehungen.

Hilbert zählte zunächst die undefinierten Konzepte auf: Punkt, Linie, Ebene, die Beziehung des „Aufliegens“ (die zwischen Punkten und Linien, Punkten und Ebenen sowie Linien und Ebenen gilt), Zwischenheit, Kongruenz von Punktpaaren (Liniensegmenten) und Kongruenz von Winkeln. Diese Axiome integrieren sowohl die euklidische Ebenengeometrie als auch die Volumengeometrie in einem einheitlichen System.

23 Probleme

Auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahr 1900 legte Hilbert eine äußerst einflussreiche Liste von 23 ungelösten Problemen vor. Diese Zusammenstellung gilt weithin als die erfolgreichste und fundierteste Sammlung offener Probleme, die jemals von einem einzelnen Mathematiker formuliert wurde.

Nach seiner grundlegenden Arbeit in der klassischen Geometrie hätte Hilbert seinen Ansatz auf die gesamte Mathematik ausweiten können. Seine Methodik weicht von den späteren „fundamentalistischen“ Perspektiven von Russell-Whitehead und dem „enzyklopädistischen“ Ansatz von Nicolas Bourbaki sowie von seinem Zeitgenossen Giuseppe Peano ab. Hilberts Probleme sollten die breitere mathematische Gemeinschaft in entscheidende Aspekte bedeutender mathematischer Bereiche einbeziehen.

Die Problemstellung wurde während eines Vortrags mit dem Titel „Die Probleme der Mathematik“ vorgestellt, der auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris gehalten wurde. Hilberts einleitende Bemerkungen zu dieser Rede lauteten:

Wer von uns würde nicht gerne den Schleier lüften, hinter dem die Zukunft verborgen liegt? einen Blick auf die nächsten Fortschritte unserer Wissenschaft und auf die Geheimnisse ihrer Entwicklung in den kommenden Jahrhunderten werfen? Welche besonderen Ziele werden die führenden mathematischen Geister künftiger Generationen anstreben? Welche neuen Methoden und neuen Fakten im weiten und reichen Bereich des mathematischen Denkens werden die neuen Jahrhunderte offenbaren?

Hilbert präsentierte weniger als die Hälfte dieser Probleme auf dem Kongress, wobei ihre erste Veröffentlichung in den Tagungsunterlagen des Kongresses erschien. In einer späteren Veröffentlichung erweiterte er diesen Überblick und führte zur endgültigen Formulierung der mittlerweile kanonischen 23 Probleme von Hilbert. Der vollständige Text bleibt von Bedeutung, da die Interpretation dieser Fragen immer noch Gegenstand von Debatten über die Anzahl der endgültig gelösten Probleme sein kann.

Einige dieser Probleme wurden relativ schnell gelöst. Andere waren im Laufe des 20. Jahrhunderts Gegenstand ausführlicher Diskussionen, wobei einige heute als zu offen angesehen werden, um eine endgültige Lösung zu erreichen. Ein Teil dieser Probleme stellt weiterhin erhebliche Herausforderungen dar.

Im Folgenden sind die Überschriften für Hilberts 23 Probleme aufgeführt, wie sie in der 1902 im Bulletin der American Mathematical Society veröffentlichten Übersetzung erschienen.

1. Cantors Problem der Kardinalzahl des Kontinuums.
2. Die Kompatibilität der arithmetischen Axiome.
3. Die Gleichheit der Volumina zweier Tetraeder gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.
Das vierte Problem befasst sich mit dem Konzept einer geraden Linie als kürzester Entfernung zwischen zwei Punkten.
Das fünfte Problem betrifft Lies Theorie kontinuierlicher Transformationsgruppen, insbesondere ohne die Differenzierbarkeit der Funktionen vorauszusetzen, die diese Gruppen definieren.
Das sechste Problem betrifft die mathematische Formalisierung physikalischer Axiome.
Das siebte Problem untersucht die Irrationalitäts- und Transzendenzeigenschaften bestimmter Zahlen.
Das achte Problem konzentriert sich auf die Primzahlenverteilung und umfasst insbesondere die Riemann-Hypothese.
Das neunte Problem versucht, einen Beweis für das allgemeinste Reziprozitätsgesetz innerhalb eines beliebigen Zahlenkörpers zu erbringen.
Das zehnte Problem zielt darauf ab, die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen zu bestimmen.
Das elfte Problem befasst sich mit quadratischen Formen, die beliebige algebraische numerische Koeffizienten enthalten.
Das zwölfte Problem besteht darin, den Satz von Kronecker, der sich auf abelsche Körper bezieht, so zu erweitern, dass er jeden algebraischen Bereich der Rationalität umfasst.
Das dreizehnte Problem untersucht die Unmöglichkeit, die allgemeine Gleichung siebten Grades mit Funktionen zu lösen, die auf nur zwei Argumente beschränkt sind.
Das vierzehnte Problem erfordert den Nachweis der Endlichkeit spezifischer vollständiger Funktionssysteme.
Das fünfzehnte Problem erfordert einen strengen Grundrahmen für Schuberts Aufzählungsrechnung.
Das sechzehnte Problem betrifft die Topologie algebraischer Kurven und Flächen.
Das siebzehnte Problem besteht darin, bestimmte Formen als Quadratsummen auszudrücken.
Das achtzehnte Problem untersucht die Konstruktion des Raums mithilfe kongruenter Polyeder.
Das neunzehnte Problem stellt die Frage, ob Lösungen für reguläre Probleme in der Variationsrechnung ausnahmslos analytisch sind.
Das zwanzigste Problem befasst sich mit der allgemeinen Theorie der Randwerte, insbesondere mit Randwertproblemen in partiellen Differentialgleichungen.
Das einundzwanzigste Problem versucht, die Existenz linearer Differentialgleichungen zu beweisen, die eine vordefinierte Monodromiegruppe besitzen.
Das zweiundzwanzigste Problem beinhaltet die Vereinheitlichung analytischer Beziehungen durch die Anwendung automorpher Funktionen.
Das dreiundzwanzigste Problem schlägt die weitere Weiterentwicklung der Methoden innerhalb der Variationsrechnung vor.

Formalismus

Mitte des Jahrhunderts wurde Hilberts einflussreicher Problemkomplex weithin als grundlegendes Manifest anerkannt und ebnete den Weg für die Entstehung der formalistischen Schule, einer bedeutenden mathematischen Philosophie des 20. Jahrhunderts. Formalisten gehen davon aus, dass Mathematik die Manipulation von Symbolen darstellt, die durch etablierte formale Regeln gesteuert wird, und somit ein autonomes intellektuelles Unterfangen darstellt.

Programm

Im Jahr 1920 führte Hilbert eine metamathematische Forschungsinitiative ein, die später als Hilbert-Programm bezeichnet wurde und darauf abzielte, die Mathematik auf einem robusten und umfassenden logischen Rahmen zu etablieren. Er stellte die Theorie auf, dass dieses Ziel durch die Demonstration zweier Schlüsselprinzipien erreicht werden könnte:

  1. Erstens, dass die gesamte Mathematik aus einem präzise ausgewählten endlichen Axiomatiksystem abgeleitet werden könnte; und
  2. Zweitens, dass ein solches axiomatisches System durch Methoden wie die Epsilon-Kalküle nachweislich konsistent sein könnte.

Hilberts Formulierung dieses Vorschlags scheint sowohl von technischen als auch von philosophischen Überlegungen motiviert gewesen zu sein. Es spiegelte insbesondere seinen Widerstand gegen das als „Ignorabimus“ bekannte Konzept wider, eine bedeutende intellektuelle Debatte im zeitgenössischen deutschen Denken, die von Emil du Bois-Reymond ausging.

Dieses Programm bleibt innerhalb der vorherrschenden Philosophie der Mathematik erkennbar, die allgemein als Formalismus bezeichnet wird. Beispielsweise implementierte die Bourbaki-Gruppe eine modifizierte und selektive Iteration dieses Programms, da sie es für ihre doppelten Ziele als geeignet erachtete: (a) umfassende Grundlagentexte zusammenzustellen und (b) sich für die axiomatische Methode als Forschungsinstrument einzusetzen. Während sich dieser Ansatz hinsichtlich Hilberts Beiträgen zur Algebra und Funktionsanalyse als erfolgreich und wirkungsvoll erwies, fand er bei seinen Beschäftigungen mit Physik und Logik keinen entsprechenden Widerhall.

Im Jahr 1919 artikulierte Hilbert:

Wir diskutieren in keinem Kontext über Willkür. Mathematik gleicht keinem Spiel, bei dem Aufgaben durch willkürlich aufgestellte Regeln definiert werden. Stattdessen stellt es ein konzeptionelles System dar, das mit einer inhärenten Notwendigkeit ausgestattet ist, die seine Natur bestimmt und jede Alternative ausschließt.

Hilberts Sichtweisen auf die Grundprinzipien der Mathematik wurden in seiner zweibändigen Publikation „Grundlagen der Mathematik“ verbreitet.

Gödels Beiträge

Hilbert und seine Mitarbeiter waren diesem ehrgeizigen Unterfangen zutiefst verpflichtet. Sein Versuch, die axiomatisierte Mathematik mit schlüssigen Prinzipien zu untermauern, um theoretische Unklarheiten zu beseitigen, erwies sich jedoch letztendlich als erfolglos.

Gödel wies schlüssig nach, dass jedes konsistente formale System, das in der Lage ist, grundlegende Arithmetik auszudrücken, seine eigene Vollständigkeit nicht allein durch seine intrinsischen Axiome und Schlussregeln begründen kann. Sein Unvollständigkeitssatz von 1931 zeigte, dass Hilberts umfassendes Programm in seiner ursprünglich konzipierten Form unerreichbar war. Insbesondere kann der zweite Grundsatz von Hilberts Programm nicht kohärent mit dem ersten integriert werden, vorausgesetzt, das axiomatische System ist tatsächlich endlich.

Dennoch haben die nachfolgenden Fortschritte in der Beweistheorie das Konzept der Konsistenz deutlich klar gemacht, insbesondere im Hinblick auf Theorien, die für die mathematische Forschung von zentraler Bedeutung sind. Hilberts grundlegendes Werk leitete diesen Weg der Klärung der Logik ein. Anschließend trieb die Notwendigkeit, Gödels Beiträge zu verstehen, die Entwicklung der Rekursionstheorie voran, die dann in den 1930er Jahren die mathematische Logik als autonome akademische Disziplin etablierte. Darüber hinaus gingen die Grundprinzipien der späteren theoretischen Informatik, insbesondere durch die Beiträge von Alonzo Church und Alan Turing, direkt aus diesem intellektuellen Diskurs hervor.

Funktionsanalyse

Ungefähr im Jahr 1909 widmete Hilbert seine Bemühungen der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen und lieferte direkte Implikationen für wichtige Bereiche der modernen Funktionalanalyse. Um diese Untersuchungen zu erleichtern, konzipierte Hilbert einen unendlichdimensionalen euklidischen Raum, der später als Hilbert-Raum bezeichnet wurde. Seine Bemühungen auf diesem analytischen Gebiet bildeten eine entscheidende Grundlage für wesentliche Beiträge zur Mathematik der Physik in den folgenden zwei Jahrzehnten, wenn auch aus einer unvorhergesehenen Perspektive. Später erweiterte Stefan Banach dieses Konzept durch die Definition von Banach-Räumen. Hilbert-Räume stellen eine zentrale Klasse von Entitäten innerhalb der Funktionalanalyse dar und sind besonders relevant für die Spektraltheorie selbstadjunkter linearer Operatoren, einem Bereich, der sich im Laufe des 20. Jahrhunderts um sie herum entwickelte.

Physik

Vor 1912 war Hilbert hauptsächlich als reiner Mathematiker tätig. Als Hermann Minkowski, ein Mathematikkollege und Freund, eine Indeed-Studie plante, scheint Minkowski vor 1912 maßgeblich an den meisten physikalischen Erkundungen Hilberts beteiligt gewesen zu sein, einschließlich ihres gemeinsamen Seminars zu diesem Thema im Jahr 1905.

Im Jahr 1912, drei Jahre nach Minkowskis Tod, verlagerte Hilbert seinen akademischen Schwerpunkt fast ausschließlich auf die Physik. Er besorgte sich einen persönlichen „Physik-Nachhilfelehrer“ und begann ein Studium der kinetischen Gastheorie, das dann zur elementaren Strahlungstheorie und der molekularen Theorie der Materie überging. Auch nach Kriegsausbruch im Jahr 1914 unterhielt er Seminare und Kurse, in denen er die Werke von Albert Einstein und anderen zeitgenössischen Physikern akribisch untersuchte.

Bis 1907 hatte Einstein die Grundprinzipien der Gravitationstheorie formuliert, arbeitete anschließend jedoch fast acht Jahre lang daran, ihre vollständige Formulierung fertigzustellen. Sein Treffen mit Emmy Noether in Göttingen war ausschlaggebend für diesen Durchbruch. Im Frühsommer 1915 konzentrierte sich Hilberts Interesse an der Physik auf die allgemeine Relativitätstheorie, was ihn dazu veranlasste, Einstein zu einer einwöchigen Vorlesungsreihe zu diesem Thema nach Göttingen einzuladen. Einstein wurde begeistert aufgenommen. Im Sommer erfuhr Einstein von Hilberts parallelen Arbeiten zu den Feldgleichungen, was seine eigenen Forschungsbemühungen intensivierte. Im November 1915 veröffentlichte Einstein mehrere Arbeiten, die in Die Feldgleichungen der Gravitation gipfelten. Fast gleichzeitig veröffentlichte Hilbert „The Foundations of Physics“, in dem er eine axiomatische Ableitung der Feldgleichungen vorstellte. Hilbert erkannte stets Einstein als den ursprünglichen Konzeptualisierer der Theorie an, und zwischen den beiden Gelehrten kam es zu ihren Lebzeiten nie zu einem öffentlichen Streit über die Priorität der Feldgleichungen.

Darüber hinaus hat Hilberts Forschung mehrere Fortschritte bei der mathematischen Formalisierung der Quantenmechanik vorweggenommen und ermöglicht. Seine Beiträge waren von zentraler Bedeutung für Hermann Weyls und John von Neumanns Arbeit zum Nachweis der mathematischen Äquivalenz zwischen Werner Heisenbergs Matrixmechanik und Erwin Schrödingers Wellengleichung. Darüber hinaus spielt der namensgebende Hilbert-Raum eine bedeutende Rolle in der Quantentheorie. Im Jahr 1926 wies von Neumann schlüssig nach, dass Quantenzustände, wenn sie als Vektoren im Hilbert-Raum konzipiert würden, sowohl mit Schrödingers Wellenfunktionstheorie als auch mit Heisenbergs Matrizen übereinstimmen würden.

Hilbert widmete sich der Vermittlung mathematischer Genauigkeit im Bereich der Physik. Trotz der starken Abhängigkeit der Physik von fortgeschrittener Mathematik zeigten die Praktiker oft einen Mangel an Präzision bei der Anwendung. Für einen reinen Mathematiker wie Hilbert war diese Ungenauigkeit sowohl ästhetisch unangenehm als auch intellektuell undurchsichtig. Während er sein Verständnis der Physik und der von Physikern verwendeten mathematischen Methoden vertiefte, formulierte er eine zusammenhängende mathematische Theorie für seine Beobachtungen, insbesondere im Bereich der Integralgleichungen. Als sein Kollege Richard Courant das bahnbrechende Werk Methoden der mathematischen Physik verfasste, in dem er einige von Hilberts Konzepten aufnahm, erwähnte er Hilberts Namen als Co-Autor, obwohl Hilbert keinen direkten Beitrag zum Manuskript geleistet hatte. Hilbert bemerkte bekanntlich: „Physik ist zu schwer für Physiker“, womit er andeutete, dass die erforderliche mathematische Raffinesse ihr Verständnis oft überstieg; Die Courant-Hilbert-Publikation erleichterte anschließend ihre Auseinandersetzung mit diesen komplexen mathematischen Werkzeugen.

Zahlentheorie

Hilbert hat die Vereinheitlichung der algebraischen Zahlentheorie durch seine Abhandlung Zahlbericht aus dem Jahr 1897 maßgeblich vorangetrieben. Er löste auch erfolgreich ein wesentliches zahlentheoretisches Problem, das ursprünglich von Waring im Jahr 1770 gestellt wurde. Ähnlich wie sein Endlichkeitssatz verwendete Hilbert einen Existenzbeweis, der die Gewissheit von Lösungen demonstrierte, ohne eine konstruktive Methode für deren Ableitung bereitzustellen. Danach waren seine weiteren Veröffentlichungen zu diesem Thema begrenzt; Das Auftauchen von Hilberts modularen Formen in der Dissertation eines Studenten verband seinen Namen jedoch zusätzlich mit einem herausragenden Forschungsgebiet.

Er schlug eine Reihe von Vermutungen im Zusammenhang mit der Klassenfeldtheorie vor. Diese Konzepte erwiesen sich als äußerst einflussreich, und Hilberts bleibende Beiträge werden durch die Nomenklatur des Hilbert-Klassenkörpers und des Hilbert-Symbols innerhalb der lokalen Klassenkörpertheorie anerkannt. Die meisten dieser Ergebnisse wurden bis 1930 untermauert, was größtenteils auf die Arbeit von Teiji Takagi zurückzuführen ist.

Obwohl Hilbert sich nicht auf die Kerngebiete der analytischen Zahlentheorie konzentrierte, ist sein Name mit der Hilbert-Pólya-Vermutung verbunden, einer Verbindung, die auf anekdotischen Ursprüngen beruht. Ernst Hellinger, ein ehemaliger Schüler von Hilbert, erzählte André Weil einmal, dass Hilbert in einem Seminar zu Beginn des 20. Jahrhunderts seine Erwartung geäußert hatte, dass der Beweis der Riemann-Hypothese eine Folge von Fredholms Forschungen zu Integralgleichungen mit symmetrischem Kern sein würde.

Funktioniert

Seine gesammelten wissenschaftlichen Werke mit dem Titel Gesammelte Abhandlungen wurden mehrfach veröffentlicht. Die ersten Versionen seiner Arbeiten enthielten zahlreiche technische Ungenauigkeiten unterschiedlicher Schwere. Bei der ersten Veröffentlichung der Sammlung wurden diese Fehler korrigiert, und es wurde festgestellt, dass solche Korrekturen ohne größere Änderungen an den Aussagen der Theoreme durchgeführt werden konnten, mit der einzigen Ausnahme eines angeblichen Beweises für die Kontinuumshypothese. Dennoch waren die Fehler so umfassend und bedeutsam, dass Olga Taussky-Todd drei Jahre brauchte, um die notwendigen Überarbeitungen abzuschließen.

Konzepte

Zitate

Primärliteratur in englischer Übersetzung

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