Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (23 de marzo de 1882 - 14 de abril de 1935) fue una matemática alemana reconocida por sus importantes contribuciones al álgebra abstracta. También estableció el primer y segundo teoremas de Noether, que son fundamentales en la física matemática. Prominentes matemáticos como Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl y Norbert Wiener caracterizaron a Noether como la figura femenina más fundamental en la historia de las matemáticas. Como matemática destacada de su época, formuló teorías sobre anillos, campos y álgebras. En el ámbito de la física, el teorema de Noether aclara la relación intrínseca entre simetría y leyes de conservación.

Amalie Emmy Noether (23 de marzo de 1882 - 14 de abril de 1935) fue una matemática alemana que hizo muchas contribuciones importantes al álgebra abstracta. También demostró el primer y segundo teorema de Noether, que son fundamentales en la física matemática. Noether fue descrita por Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl y Norbert Wiener como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. Como una de las principales matemáticas de su tiempo, desarrolló teorías de anillos, campos y álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión entre simetría y leyes de conservación.

Noether nació en una familia judía en Erlangen, una ciudad de Franconia; su padre, Max Noether, también era matemático. Inicialmente, tenía la intención de seguir una carrera como profesora de francés e inglés, después de haber aprobado los exámenes necesarios; sin embargo, finalmente decidió estudiar matemáticas en la Universidad de Erlangen-Nuremberg, donde su padre ocupaba un puesto de profesor. Tras completar su doctorado en 1907, supervisado por Paul Gordan, pasó siete años trabajando sin remuneración en el Instituto de Matemáticas de Erlangen. Durante este período, a las mujeres generalmente se les prohibía ocupar puestos académicos. En 1915, David Hilbert y Felix Klein le extendieron una invitación para unirse al departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen, un centro de investigación matemática reconocido mundialmente. La facultad de filosofía planteó objeciones, lo que la llevó a dar conferencias durante cuatro años bajo el nombre de Hilbert. Su habilitación fue aprobada en 1919, lo que le permitió alcanzar el rango de Privatdozent.

Noether mantuvo un papel destacado dentro del departamento de matemáticas de Gotinga hasta 1933; En ocasiones se hacía referencia a sus alumnos como los "Noether Boys". En 1924, el matemático holandés B. L. van der Waerden pasó a formar parte de su grupo académico y rápidamente emergió como uno de los principales intérpretes de los conceptos de Noether; su investigación formó la base para el segundo volumen de su influyente libro de texto de 1931, Moderne Algebra. Su experiencia algebraica obtuvo reconocimiento mundial en el momento de su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1932 en Zurich. Al año siguiente, el gobierno nazi de Alemania expulsó a los académicos judíos de sus puestos universitarios, lo que llevó a Noether a trasladarse a los Estados Unidos para ocupar un puesto en el Bryn Mawr College de Pensilvania. En Bryn Mawr, instruyó a estudiantes de posgrado y posdoctorado, en particular Marie Johanna Weiss y Olga Taussky-Todd. Al mismo tiempo, dio conferencias y realizó investigaciones en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey.

Las contribuciones matemáticas de Noether se clasifican en tres "épocas" distintas. Durante la primera época (1908-1919), avanzó las teorías de invariantes algebraicas y campos numéricos. Su investigación sobre invariantes diferenciales dentro del cálculo de variaciones, conocida como teorema de Noether, ha sido elogiada como "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás establecidos para dirigir la evolución de la física moderna". En la segunda época (1920-1926), inició un trabajo que "transformó el panorama del álgebra [abstracta]". En su artículo fundamental de 1921, Idealtheorie in Ringbereichen (Teoría de los ideales en dominios de anillos), Noether avanzó en la teoría de los ideales en anillos conmutativos, transformándola en una herramienta de amplia aplicación. Ella empleó magistralmente la condición de la cadena ascendente, y los objetos matemáticos que cumplen esta condición se denominan noetherianos en su homenaje. Durante la tercera época (1927-1935), publicó investigaciones sobre álgebras no conmutativas y números hipercomplejos, integrando la teoría de la representación de grupos con la teoría de módulos e ideales. Más allá de sus publicaciones personales, Noether compartió generosamente sus ideas y es reconocida por inspirar varias direcciones de investigación seguidas por otros matemáticos, incluso en áreas alejadas de su enfoque principal, como la topología algebraica.

Biografía

Vida temprana

Amalie Emmy Noether nació el 23 de marzo de 1882 en Erlangen, Baviera. Era la mayor de cuatro hijos del matemático Max Noether e Ida Amalia Kaufmann, ambos procedentes de familias de comerciantes judíos acomodados. Aunque su primer nombre era "Amalie", adoptó su segundo nombre desde una edad temprana y lo usó constantemente durante toda su vida adulta y en sus obras publicadas.

En su juventud, Noether no logró distinciones académicas pero fue reconocida por su intelecto y disposición amable. Experimentó miopía y un leve ceceo durante su infancia. Un conocido de la familia contó más tarde una anécdota de la juventud de Noether, que ilustraba su temprana perspicacia lógica a través de la rápida resolución de un acertijo intelectual en una reunión de niños. Recibió instrucción en habilidades domésticas, una práctica común para las niñas de su época, y tomó lecciones de piano. Si bien no realizó ninguna de estas actividades con especial fervor, demostró una gran afición por el baile.

Noether tenía tres hermanos menores. El mayor, Alfred Noether, nacido en 1883, se doctoró en química en Erlangen en 1909, pero falleció nueve años después. Fritz Noether, nacido en 1884, estudió en Munich y contribuyó al campo de las matemáticas aplicadas. Probablemente fue ejecutado en la Unión Soviética en 1941 durante la Segunda Guerra Mundial. El más joven, Gustav Robert Noether, nacido en 1889, padeció una enfermedad crónica y murió en 1928; Los detalles sobre su vida son escasos.

Educación

Noether demostró aptitudes tempranas tanto en francés como en inglés. A principios de 1900 se presentó al examen para profesores de idiomas, obteniendo una evaluación global de sehr gut (muy buena). Aunque este desempeño la hizo elegible para enseñar idiomas en escuelas de niñas, optó por continuar con sus esfuerzos académicos en la Universidad de Erlangen-Nuremberg, donde su padre ocupaba una cátedra.

Esta constituyó una elección poco ortodoxa; dos años antes, el Senado Académico de la universidad había afirmado que la instrucción mixta "derrocaría todo orden académico". Como una de las dos únicas mujeres entre 986 estudiantes, a Noether se le permitió únicamente asistir a cursos, lo que impidió la participación total, y requirió obtener el consentimiento individual de los profesores a cuyas conferencias deseaba asistir. A pesar de estos impedimentos, aprobó con éxito el examen de graduación en un Realgymnasium en Nuremberg el 14 de julio de 1903.

Durante el semestre de invierno de 1903-1904, realizó estudios en la Universidad de Göttingen, participando en conferencias impartidas por el astrónomo Karl Schwarzschild y los matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein y David. Hilbert.

En 1903, se eliminaron las limitaciones a la matrícula completa de las mujeres en las universidades bávaras. Noether regresó a Erlangen, se reinscribió formalmente en la universidad en octubre de 1904 y expresó su dedicación exclusiva a las matemáticas. Era una de las seis mujeres de su cohorte (incluidas dos auditoras) y la única mujer en el departamento académico que eligió. Bajo la supervisión de Paul Gordan, completó su tesis doctoral, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sobre sistemas completos de invariantes para formas bicuadráticas ternarias), en 1907, logrando graduarse con honores summa cum laude ese mismo año. Gordan, un defensor de la escuela "computacional" de la teoría de invariantes, supervisó una tesis que concluyó con una enumeración de más de 300 invariantes derivadas explícitamente. Este enfoque de las invariantes fue posteriormente reemplazado por la metodología más abstracta y generalizada propuesta por Hilbert. Aunque fue recibida favorablemente en ese momento, Noether luego caracterizó su disertación y las publicaciones posteriores relacionadas como "basura". Sus esfuerzos de investigación posteriores se desviaron por completo hacia un dominio distinto.

Universidad de Erlangen-Nuremberg

De 1908 a 1915, Noether trabajó como profesora no remunerada en el Instituto de Matemáticas de Erlangen, reemplazando periódicamente a su padre, Max Noether, cuando éste se encontraba incapacitado para dar clases por una enfermedad. Se convirtió en miembro del Circolo Matematico di Palermo en 1908 y de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1909. En 1910 y 1911, publicó publicaciones ampliando su investigación doctoral de tres variables a n variables.

Gordan se jubiló en 1910 y Noether continuó con sus deberes docentes bajo la dirección de sus sucesores, Erhard Schmidt y Ernst Fischer, quienes asumieron el cargo del primero en 1911. Según su colega Hermann Weyl y su biógrafo Auguste Dick, Fischer ejerció una influencia significativa sobre Noether, en particular al familiarizarla con las contribuciones de David Hilbert. Noether y Fischer cultivaron una relación intelectual vibrante con respecto a las matemáticas y con frecuencia entablaron extensos debates posteriores a las conferencias; Se dice que Noether envía postales a Fischer, ampliando así sus deliberaciones matemáticas.

Entre 1913 y 1916, Noether fue autor de múltiples publicaciones que ampliaron y aplicaron las metodologías de Hilbert a construcciones matemáticas, incluidos campos de funciones racionales y las invariantes de grupos finitos. Este período representó el compromiso inicial de Noether con el álgebra abstracta, un dominio en el que posteriormente lograría avances fundamentales.

Mientras estaba en Erlangen, Noether brindó orientación a dos candidatos a doctorado, Hans Falckenberg y Fritz Seidelmann, quienes defendieron con éxito sus disertaciones en 1911 y 1916, respectivamente. A pesar de la importante participación de Noether, ambos estudiantes fueron supervisados ​​formalmente por su padre. Después de obtener su doctorado, Falckenberg ocupó cargos en Braunschweig y Königsberg antes de su nombramiento como profesor en la Universidad de Giessen, mientras que Seidelmann obtuvo una cátedra en Munich.

La Universidad de Göttingen

Habilitación y desarrollo del teorema de Noether

A principios de 1915, David Hilbert y Felix Klein extendieron una invitación a Noether para reincorporarse a la Universidad de Göttingen. Su intento de nombrarla encontró resistencia inicial por parte de filólogos e historiadores dentro de la facultad de filosofía, quienes sostenían que las mujeres no eran aptas para el puesto de privatdozenten. Durante una reunión departamental convocada para discutir el tema, un miembro de la facultad expresó su oposición y afirmó: "¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y descubran que deben aprender a los pies de una mujer?" Hilbert, afirmando que las calificaciones de Noether eran el único factor pertinente y que el género del candidato era irrelevante, objetó y reprendió con vehemencia a quienes se oponían a su habilitación. Aunque sus palabras precisas no se conservan, se informa con frecuencia que su objeción incluyó la afirmación de que la universidad "no era una casa de baños". Los recuerdos de Pavel Alexandrov indican que la oposición del profesorado a Noether surgió no sólo del sexismo sino también de la desaprobación de sus convicciones políticas socialdemócratas y su herencia judía.

Noether se mudó a Göttingen a finales de abril; quince días después, su madre falleció inesperadamente en Erlangen. Si bien anteriormente había recibido tratamiento médico por una afección ocular, su naturaleza específica y su influencia en su fallecimiento siguen sin determinarse. Al mismo tiempo, el padre de Noether se retiró y su hermano se alistó en el ejército alemán para servir en la Primera Guerra Mundial. Posteriormente regresó a Erlangen por un período de varias semanas, principalmente para atender a su anciano padre.

Durante sus primeros años de instrucción en Göttingen, no ocupó ningún cargo oficial ni recibió remuneración. Sus conferencias se publicitaban frecuentemente bajo el nombre de Hilbert, con Noether brindándole "ayuda".

Poco después de su llegada a Göttingen, demostró su destreza intelectual al formular lo que ahora se reconoce como el teorema de Noether, que establece una conexión fundamental entre las leyes de conservación y las simetrías diferenciables dentro de un sistema físico. Su artículo fundamental, titulado Invariante Variationsprobleme, fue presentado por su colega, Felix Klein, el 26 de julio de 1918, durante una sesión de la Real Sociedad de Ciencias en Göttingen. Es de suponer que Noether no presentó la obra personalmente, debido a que no era miembro de la sociedad. En su publicación Symmetry and the Beautiful Universe, los físicos estadounidenses Leon M. Lederman y Christopher T. Hill sostienen que el teorema de Noether es "sin duda uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás demostrados para guiar el desarrollo de la física moderna, posiblemente a la par con el teorema de Pitágoras".

La conclusión de la Primera Guerra Mundial y la posterior Revolución Alemana de 1918-1919 precipitaron cambios sustanciales en las normas sociales, que abarcaron una expansión de los derechos de las mujeres. En consecuencia, en 1919, la Universidad de Göttingen autorizó a Noether a realizar su habilitación, un requisito previo para la titularidad. Su examen oral tuvo lugar a finales de mayo, seguido de la exitosa presentación de su conferencia de habilitación en junio de 1919. Posteriormente, Noether alcanzó el estatus de privatdozent y, durante el siguiente semestre de otoño, presentó las conferencias inaugurales que se le atribuyen oficialmente. A pesar de estos avances, siguió sin recibir compensación por sus contribuciones académicas.

Tres años después, Otto Boelitz, el ministro prusiano de Ciencia, Arte y Educación Pública, le otorgó formalmente el título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor, lo que significa una profesora no titular con responsabilidades administrativas internas restringidas. Esta designación representaba una cátedra "extraordinaria" no remunerada, distinta de la cátedra "ordinaria" de mayor rango, que constituía un nombramiento de funcionario público. Si bien se reconoce la importancia de sus contribuciones, este puesto no incluía un salario. Las conferencias de Noether no fueron remuneradas hasta su nombramiento para el puesto especializado de Lehrbeauftragte für Algebra (Profesora de Álgebra) al año siguiente.

Contribuciones al álgebra abstracta

El teorema de Noether influyó profundamente en la mecánica clásica y cuántica; sin embargo, dentro de la comunidad matemática, se la reconoce principalmente por sus contribuciones fundamentales al álgebra abstracta. Nathan Jacobson, en su introducción a los Collected Papers de Noether, articuló que:

El desarrollo del álgebra abstracta, una innovación singularmente distintiva en las matemáticas del siglo XX, se puede atribuir en gran medida a sus contribuciones, evidentes en sus artículos publicados, conferencias e influencia personal en sus contemporáneos.

Noether inició su investigación algebraica en 1920, siendo coautora de un artículo con su protegido Werner Schmeidler. Esta publicación se centró en la teoría de los ideales, en la que establecieron definiciones para los ideales de izquierda y derecha dentro de una estructura de anillo.

Al año siguiente, publicó Idealtheorie en Ringbereichen, un artículo que analizaba las condiciones de la cadena ascendente relativas a los ideales matemáticos. En este trabajo, proporcionó una prueba completa del teorema de Lasker-Noether. El destacado algebraista Irving Kaplansky caracterizó esta contribución como "revolucionaria". Esta publicación también dio lugar a la acuñación del término noetheriano para describir objetos matemáticos que cumplen la condición de la cadena ascendente.

En 1924, Bartel Leendert van der Waerden, un joven matemático holandés, comenzó sus estudios en la Universidad de Göttingen. Rápidamente colaboró ​​con Noether, quien le proporcionó metodologías indispensables para la conceptualización abstracta. Van der Waerden comentó posteriormente que su originalidad era "absolutamente incomparable". A su regreso a Ámsterdam, escribió Álgebra moderna, un tratado fundamental en este campo en dos volúmenes. El segundo volumen, publicado en 1931, se basó en gran medida en la investigación de Noether. Aunque Noether no buscó activamente el reconocimiento, van der Waerden reconoció sus contribuciones en una nota dentro de la séptima edición, afirmando que el trabajo estaba "basado en parte en conferencias de E. Artin y E. Noether". A partir de 1927, Noether colaboró ​​estrechamente con Emil Artin, Richard Brauer y Helmut Hasse en el tema de álgebras no conmutativas.

La presencia de Van der Waerden en Göttingen coincidió con una afluencia más amplia de matemáticos a nivel mundial, ya que la universidad se había convertido en un centro preeminente para la investigación matemática y física. Los matemáticos rusos Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn estuvieron entre los primeros visitantes internacionales en 1923. De 1926 a 1930, Alexandrov dio conferencias periódicas en la universidad, fomentando una estrecha amistad con Noether. Se refirió afectuosamente a ella como der Noether, empleando der como un título honorífico en lugar del uso convencional masculino del artículo alemán. Noether se esforzó por facilitar su nombramiento como profesor titular en Göttingen, pero al final sólo logró ayudarle a conseguir una beca de la Fundación Rockefeller para el año académico 1927-1928 en la Universidad de Princeton.

Estudiantes de doctorado

En Göttingen, Noether supervisó los estudios de doctorado de más de doce estudiantes; sin embargo, debido a restricciones institucionales que le impedían supervisar disertaciones de forma independiente, la mayoría fueron supervisadas conjuntamente con Edmund Landau y otros miembros de la facultad. Su primera estudiante de doctorado fue Grete Hermann, quien defendió con éxito su tesis en febrero de 1925. Si bien Hermann es reconocida principalmente por sus contribuciones a los fundamentos de la mecánica cuántica, su tesis en sí fue considerada un avance significativo en la teoría ideal. Posteriormente, Hermann se refirió a Noether con reverencia como su "madre de tesis".

Al mismo tiempo, Heinrich Grell y Rudolf Hölzer completaron sus tesis bajo la dirección de Noether. Trágicamente, Hölzer sucumbió a la tuberculosis poco antes de su defensa prevista. Grell defendió con éxito su tesis en 1926 y posteriormente ocupó cargos en la Universidad de Jena y la Universidad de Halle. En 1935, perdió su licencia de profesor tras acusaciones de actos homosexuales, pero luego fue reintegrado y finalmente se convirtió en profesor de la Universidad Humboldt en 1948.

Emmy Noether posteriormente asesoró a Werner Weber y Jakob Levitzki, quienes defendieron con éxito sus tesis doctorales en 1929. Weber, a pesar de ser considerado un matemático de distinción limitada, participó más tarde en la expulsión de matemáticos judíos de Göttingen. Levitzki, por el contrario, ocupó cargos en la Universidad de Yale antes de unirse a la Universidad Hebrea de Jerusalén en la Palestina Mandataria gobernada por los británicos, donde hizo contribuciones sustanciales a la teoría de anillos, en particular a través del teorema de Levitzky y el teorema de Hopkins-Levitzki.

Los estudiantes adicionales guiados por Noether, a menudo denominados "Noether Boys", incluyeron a Max Deuring, Hans Fitting, Ernst Witt, Chiungtze C. Tsen y Otto. Chelín. Deuring, ampliamente considerado el estudiante más prometedor de Noether, obtuvo su doctorado en 1930. Su carrera implicó trabajar en Hamburgo, Marden y Göttingen, donde fue reconocido por sus importantes contribuciones a la geometría aritmética. Montaje completó su graduación en 1931 con una tesis centrada en grupos abelianos y es recordado por su trabajo fundamental en teoría de grupos, específicamente el teorema de Montaje y el lema de Montaje. Trágicamente, falleció a los 31 años debido a una enfermedad ósea.

Ernst Witt inicialmente continuó sus estudios bajo la dirección de Noether; sin embargo, su puesto académico fue rescindido en abril de 1933, lo que llevó a su reasignación a Gustav Herglotz. Witt obtuvo su doctorado en julio de 1933, presentando una tesis sobre el teorema de Riemann-Roch y las funciones zeta, y posteriormente hizo varias contribuciones notables que ahora se asocian con su mismo nombre. Chiungtze C. Tsen, reconocido principalmente por establecer el teorema de Tsen, recibió su doctorado en diciembre del mismo año. Regresó a China en 1935, comenzando su carrera docente en la Universidad Nacional Chekiang, pero falleció apenas cinco años después. Otto Schilling también comenzó sus estudios de doctorado con Noether, pero tras su emigración se vio obligado a buscar un nuevo supervisor. Completó su doctorado en 1934 en la Universidad de Marburg bajo la dirección de Helmut Hasse. Posteriormente, realizó una investigación postdoctoral en el Trinity College de Cambridge, antes de trasladarse a los Estados Unidos.

Entre los otros estudiantes de doctorado de Noether se encontraban Wilhelm Dörnte, que obtuvo su doctorado en 1927 con una tesis sobre grupos; Werner Vorbeck, que se doctoró en 1935 con una tesis sobre la división de campos; y Wolfgang Wichmann, cuyo doctorado en 1936 se centró en la teoría p-ádica. Si bien los detalles sobre Dörnte y Vorbeck aún no están disponibles, está documentado que Wichmann apoyó activamente una iniciativa estudiantil que intentó sin éxito revocar el despido de Noether. Posteriormente murió como soldado en el Frente Oriental durante la Segunda Guerra Mundial.

La escuela Noether

Más allá de sus estudiantes de doctorado directos, Noether cultivó una comunidad cercana de matemáticos que adoptaron su metodología en álgebra abstracta y avanzaron significativamente en el desarrollo del campo; Este colectivo se denomina con frecuencia la "escuela Noether". Un ejemplo notable de esta colaboración es su extenso trabajo con Wolfgang Krull, cuyas contribuciones, incluida su Hauptidealsatz y su teoría de dimensiones para anillos conmutativos, impulsaron sustancialmente el álgebra conmutativa. De manera similar, Gottfried Köthe avanzó en la teoría de las cantidades hipercomplejas aplicando métodos desarrollados por Noether y Krull.

Más allá de su profunda perspicacia matemática, Noether era estimada por su consideración interpersonal. Aunque ocasionalmente mostraba brusquedad hacia sus colegas disidentes, cultivó una reputación de ayuda y tutoría paciente de los estudiantes principiantes. Su compromiso inquebrantable con la precisión matemática llevó a un colega a caracterizarla como "una crítica severa", pero ella armonizó esta rigurosa exigencia de precisión con una conducta comprensiva y solidaria. En el obituario de Noether, Van der Waerden ofreció la siguiente descripción:

Completamente desprovista de ego y vanidad, nunca buscó el reconocimiento personal, sino que priorizó y defendió los logros de sus alumnos por encima de todo.

Noether demostró una dedicación excepcional tanto a su disciplina como a sus estudiantes, extendiéndose mucho más allá de las horas académicas convencionales. En una ocasión, cuando el edificio de la universidad estaba inaccesible debido a un feriado estatal, reunió a su clase en las escaleras exteriores, los guió a través de una zona boscosa y pronunció su conferencia en una cafetería cercana. Posteriormente, tras su despido de la docencia por la Alemania nazi, invitó a los estudiantes a su residencia, donde entablaron discusiones sobre sus planes futuros y diversos conceptos matemáticos.

Conferencias impactantes

Al principio, el estilo de vida austero de Noether surgió de la negativa de la universidad a compensarla por sus contribuciones académicas. Incluso después de que la universidad comenzara a pagarle un salario modesto en 1923, mantuvo una existencia sencilla y sin ostentación. Aunque su remuneración aumentó más adelante en su vida, constantemente ahorraba la mitad de sus ganancias con la intención de legárselas a su sobrino, Gottfried E. Noether.

Los biógrafos indican que Emmy Noether priorizó sus actividades académicas sobre las preocupaciones sobre la apariencia personal y la etiqueta social. Olga Taussky-Todd, una destacada algebraista que estudió con Noether, contó un caso en un almuerzo en el que Noether, profundamente absorta en una discusión matemática, "gesticulaba salvajemente" mientras comía, "derramaba su comida constantemente" y "la limpiaba de su vestido, completamente imperturbable". Según los informes, los estudiantes atentos al decoro se sentían desconcertados cuando ella sacaba un pañuelo de su blusa y su desprecio por su cabello cada vez más despeinado durante las clases. En una ocasión, dos estudiantes intentaron transmitir sus preocupaciones durante un receso en una clase de dos horas, pero no pudieron interrumpir su animado discurso matemático con otros estudiantes.

Las conferencias de Noether no estaban estructuradas por un plan de lección formal. Su rápida entrega hizo que sus presentaciones fueran difíciles de comprender para muchos, incluidos los notables matemáticos Carl Ludwig Siegel y Paul Dubreil. Los estudiantes que encontraban desagradable su enfoque pedagógico experimentaban con frecuencia una sensación de desapego. Los visitantes "forasteros" que asistían a las conferencias de Noether a menudo se marchaban en treinta minutos, citando frustración o confusión. Un estudiante regular comentó una vez sobre tal suceso, afirmando: "El enemigo ha sido derrotado; se ha ido".

Noether utilizó sus conferencias como un foro interactivo para discusiones espontáneas con sus estudiantes, facilitando la exploración y elucidación de problemas matemáticos importantes. Varios de sus hallazgos más cruciales surgieron de estas sesiones de conferencias, y las notas compiladas por sus estudiantes sirvieron posteriormente como material fundamental para libros de texto influyentes, incluidos los escritos por van der Waerden y Deuring. Inculcó un contagioso fervor matemático en sus estudiantes más comprometidos, quienes valoraban mucho sus dinámicos intercambios intelectuales con ella.

Muchos de los colegas de Noether asistieron a sus conferencias y ocasionalmente permitió que otros, incluidos sus estudiantes, recibieran atribuciones por sus conceptos, lo que llevó a que una parte sustancial de sus contribuciones aparecieran en publicaciones que no llevaban su nombre. Los registros indican que Noether impartió un mínimo de cinco cursos semestrales en Göttingen:

• Invierno de 1924-1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [Teoría de grupos y números hipercomplejos]
• Invierno de 1927-1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [Teoría de la representación y cantidades hipercomplejas]
• Verano de 1928: Álgebra Nichtkommutativa [Álgebra no conmutativa]
• Verano de 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Aritmética no conmutativa]
• Invierno de 1929-1930: Algebra der hyperkomplexen Grössen [Álgebra de cantidades hipercomplejas]

Universidad Estatal de Moscú

Durante el año académico 1928-1929, Noether aceptó una invitación a la Universidad Estatal de Moscú, donde reanudó su colaboración con P. S. Alexandrov. Más allá de su investigación en curso, impartió cursos de álgebra abstracta y geometría algebraica. También interactuó con los distinguidos topólogos Lev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov, quienes posteriormente elogiaron sus importantes contribuciones al avance de la teoría de Galois.

Si bien la política no fue el foco principal de su vida, Noether demostró un gran interés en los asuntos políticos y, como señaló Alexandrov, expresó un apoyo sustancial a la Revolución Rusa. En particular, acogió con agrado los avances soviéticos en ciencia y matemáticas, considerándolos prueba de nuevas posibilidades fomentadas por la iniciativa bolchevique. Esta perspectiva le generó dificultades en Alemania, que culminaron con su expulsión de una pensión después de que líderes estudiantiles presentaran quejas por residir con "una judía de tendencia marxista". Hermann Weyl contó que "Durante los tiempos salvajes posteriores a la Revolución de 1918", Noether "se puso más o menos del lado de los socialdemócratas". Estuvo afiliada a los Socialdemócratas Independientes, un partido escindido de corta duración, de 1919 a 1922. El lógico e historiador Colin McLarty caracterizó su postura diciendo que "ella no era bolchevique, pero no tenía miedo de que la llamaran así".

Noether tenía la intención de regresar a Moscú, un esfuerzo apoyado por Alexandrov. Tras su salida de Alemania en 1933, Alexandrov intentó facilitar su nombramiento para una cátedra en la Universidad Estatal de Moscú a través del Ministerio de Educación soviético. Aunque este esfuerzo no tuvo éxito, mantuvieron correspondencia frecuente durante la década de 1930 y, en 1935, ella había formulado planes para regresar a la Unión Soviética.

Reconocimiento

En 1932, Emmy Noether y Emil Artin fueron honrados con el premio Ackermann-Teubner Memorial por sus importantes contribuciones matemáticas. El premio, que incluía una dotación monetaria de 500 ℛ︁ℳ︁, fue ampliamente considerado como un reconocimiento oficial tardío de sus importantes logros en la disciplina. A pesar de este reconocimiento, sus compañeros expresaron su descontento porque ella no había sido elegida miembro de la Gesellschaft der Wissenschaften (academia de ciencias) de Göttingen y nunca había alcanzado el rango de Ordentlicher Professor (profesor titular).

En 1932, sus colegas conmemoraron el cincuentenario de Noether de una manera característica matemáticos. Helmut Hasse le dedicó un artículo en Mathematische Annalen, donde fundamentó su hipótesis de que ciertas facetas del álgebra no conmutativa son menos complejas que sus contrapartes conmutativas, mediante la demostración de una ley de reciprocidad no conmutativa. Este descubrimiento le produjo una considerable satisfacción. Además, Hasse le presentó un enigma matemático, denominado "m_μν-acertijo de sílabas", que ella resolvió rápidamente; sin embargo, el acertijo en sí ya no existe.

En septiembre del mismo año, Noether presentó un discurso plenario (großer Vortrag) titulado "Sistemas hipercomplejos en sus relaciones con el álgebra conmutativa y la teoría de números" en el Congreso Internacional de Matemáticos en Zúrich. El congreso atrajo a 800 asistentes, entre ellos sus colegas Hermann Weyl, Edmund Landau y Wolfgang Krull. El evento contó con 420 participantes oficiales y veintiún presentaciones plenarias. El distinguido puesto de Noether para hablar aparentemente subrayó la importancia de sus contribuciones matemáticas. El congreso de 1932 se caracteriza en ocasiones como el cenit de su trayectoria profesional.

Despido de Göttingen por la Alemania nazi

Tras el nombramiento de Adolf Hitler como Reichskanzler alemán en enero de 1933, las actividades nazis se intensificaron significativamente en todo el país. En la Universidad de Göttingen, la Asociación de Estudiantes Alemanes encabezó una campaña contra el "espíritu antialemán" asociado con los judíos, recibiendo el apoyo del privatdozent y del antiguo alumno de Noether, Werner Weber. Este antisemitismo generalizado fomentó un ambiente abiertamente hostil hacia los profesores judíos. Según los informes, un joven manifestante fue citado diciendo: "Los estudiantes arios exigen matemáticas arias, no matemáticas judías".

Entre las medidas legislativas iniciales promulgadas por la administración de Hitler se encontraba la Ley para la Restauración de la Función Pública Profesional. Esta legislación ordenaba el despido de sus puestos de personas judías y empleados gubernamentales políticamente sospechosos, incluidos profesores universitarios, a menos que pudieran demostrar su "lealtad a Alemania" a través del servicio en la Primera Guerra Mundial. En abril de 1933, Noether recibió una notificación oficial del Ministerio de Ciencias, Arte y Educación Pública de Prusia, que decía: "Sobre la base del párrafo 3 del Código de Servicio Civil del 7 de abril de 1933, por la presente le retiro el derecho a enseñar en la Universidad de Gotinga." Al mismo tiempo, varios de los colegas de Noether, como Max Born y Richard Courant, también sufrieron la revocación de sus nombramientos.

Noether respondió a la decisión con compostura y ofreció ayuda a otros en medio de la adversidad reinante. Hermann Weyl comentó posteriormente que "Emmy Noether - su coraje, su franqueza, su despreocupación por su propio destino, su espíritu conciliador - fue en medio de todo el odio y la mezquindad, la desesperación y el dolor que nos rodean, un consuelo moral". Característicamente, Noether mantuvo su enfoque en actividades matemáticas, convocando a estudiantes en su residencia para deliberar sobre la teoría de campos de clase. Cuando uno de sus alumnos apareció con el uniforme de la organización paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), no mostró signos de angustia y, según los informes, más tarde incluso encontró humor en la situación.

Buscando refugio en Bryn Mawr y Princeton

Mientras numerosos profesores recientemente desempleados buscaban empleo más allá de las fronteras de Alemania, sus homólogos en los Estados Unidos se esforzaban por ofrecerles apoyo y oportunidades profesionales. Albert Einstein y Hermann Weyl consiguieron nombramientos en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, mientras otros académicos trabajaban para identificar patrocinadores esenciales para la inmigración legal. Noether recibió propuestas de representantes de dos instituciones académicas: Bryn Mawr College en Estados Unidos y Somerville College de la Universidad de Oxford en Inglaterra. Tras extensas conversaciones con la Fundación Rockefeller, se aprobó una subvención para que Noether se uniera a Bryn Mawr, donde comenzó su nuevo cargo a finales de 1933.

Durante su mandato en Bryn Mawr, Noether estableció una amistad con Anna Wheeler, quien previamente había realizado estudios en Göttingen antes de la llegada de Noether. La presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, brindó más apoyo institucional y animó activamente a los matemáticos locales a observar el trabajo del Dr. Noether.

Mientras estaba en Bryn Mawr, Noether cultivó un grupo de investigación, conocido informalmente como las 'niñas Noether', compuesto por cuatro investigadoras postdoctorales: Grace Shover Quinn, Marie Johanna Weiss y Olga Taussky-Todd, quienes posteriormente lograron carreras distinguidas. en matemáticas y una estudiante de doctorado, Ruth Stauffer. Este grupo trabajó diligentemente con el Álgebra moderna I de van der Waerden y con selecciones de la Theorie der algebraischen Zahlen (Teoría de los números algebraicos) de Erich Hecke. Ruth Stauffer era la única candidata doctoral de Noether en los Estados Unidos; sin embargo, Noether falleció poco antes de la graduación de Stauffer. Stauffer completó con éxito su examen de doctorado con Richard Brauer y obtuvo su título en junio de 1935 con una disertación sobre extensiones normales separables. Después de su doctorado, Stauffer siguió una breve carrera en la enseñanza antes de dedicar más de tres décadas a trabajar como estadística.

En 1934, Noether comenzó a dar conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, tras una invitación extendida por Abraham Flexner y Oswald Veblen. Durante este período, colaboró ​​con Abraham Albert y Harry Vandiver. En cuanto a la Universidad de Princeton, comentó en particular sobre su percibida condición no deseada en "la universidad de hombres, donde no se admite nada femenino".

La estancia de Noether en los Estados Unidos resultó agradable, caracterizada por un ambiente académico de apoyo y un profundo compromiso con sus principales intereses de investigación. A mediados de 1934, hizo un breve informe de Fritz Noether, después de haber sido despedido de su puesto en la Technische Hochschule Breslau, y posteriormente había aceptado un nombramiento en el Instituto de Investigación de Matemáticas y Mecánica de Tomsk, situado en el Distrito Federal Siberiano de Rusia.

Aunque numerosos antiguos colegas habían sido desplazados de sus puestos universitarios, a Noether se le permitió utilizar las instalaciones de la biblioteca de Gotinga como "erudito extranjero". Posteriormente, regresó a los Estados Unidos sin incidentes, retomando sus actividades académicas en Bryn Mawr.

Muerte

En abril de 1935, los profesionales médicos identificaron un tumor en la pelvis de Noether. Las preocupaciones sobre posibles complicaciones quirúrgicas llevaron a un período preliminar de reposo en cama de dos días. Durante la operación posterior, se descubrió un quiste ovárico, descrito como "del tamaño de un melón grande". Dos tumores uterinos más pequeños parecían benignos y no fueron extirpados para evitar que se prolongara la duración de la cirugía. Durante los tres días posteriores a la operación, Noether mostró una convalecencia normal y se recuperó rápidamente de un colapso circulatorio al cuarto día. Sin embargo, el 14 de abril, Noether perdió el conocimiento, su temperatura subió a 42,8 °C (109 °F) y sucumbió. Un médico a cargo señaló: "No es fácil decir qué le ocurrió al Dr. Noether", y postuló: "Es posible que haya habido alguna forma de infección inusual y virulenta, que afectó la base del cerebro donde se supone que están ubicados los centros de calor". Tenía 53 años en el momento de su fallecimiento.

Días después de la muerte de Noether, sus amigos y colegas llevaron a cabo un servicio conmemorativo privado en Bryn Mawr, celebrado en la residencia de College President Park. Hermann Weyl y Richard Brauer viajaron desde Princeton para pronunciar elogios. En los meses siguientes, surgieron numerosos homenajes escritos a nivel internacional, con figuras notables como Albert Einstein, van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrov ofreciendo sus respetos. Sus restos fueron incinerados y las cenizas fueron enterradas debajo del pasillo que rodea los claustros de la antigua biblioteca de Bryn Mawr.

Contribuciones a las Matemáticas y la Física

Las contribuciones de Noether al álgebra abstracta y la topología influyeron significativamente en el campo de las matemáticas; Al mismo tiempo, el teorema de Noether tiene amplias implicaciones para la física teórica y los sistemas dinámicos. Demostró una profunda aptitud para la conceptualización abstracta, lo que le permitió formular enfoques novedosos e innovadores para los problemas matemáticos. Su estimado colega y amigo, Hermann Weyl, clasificó sus logros académicos en tres períodos distintos:

(1) El período de dependencia relativa, que abarca de 1907 a 1919.

(2) Investigaciones centradas en la teoría general de los ideales, realizadas entre 1920 y 1926.

(3) El examen de álgebras no conmutativas, sus representaciones a través de transformaciones lineales y su posterior aplicación al análisis de campos numéricos conmutativos y sus asociados aritmética.

Durante su primera época (1907-1919), Noether abordó principalmente invariantes diferenciales y algebraicos, comenzando con su investigación doctoral bajo la dirección de Paul Gordan. Su alcance matemático se amplió y su trabajo evolucionó hacia una mayor generalidad y abstracción, a través de su compromiso con las contribuciones de David Hilbert y los intercambios colaborativos con el sucesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Poco después de trasladarse a Göttingen en 1915, estableció los dos teoremas de Noether, reconocidos como "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás demostrados para guiar el desarrollo de la física moderna".

En su segunda época (1920-1926), Noether dedicó sus esfuerzos a avanzar en la teoría de los anillos matemáticos. Posteriormente, en la tercera época (1927-1935), se concentró en álgebra no conmutativa, transformaciones lineales y campos numéricos conmutativos. Si bien los resultados de la primera época de Noether fueron notables y valiosos, su prominencia entre los matemáticos se atribuye principalmente a las contribuciones pioneras realizadas durante su segunda y tercera época, como lo destacan en sus obituarios Hermann Weyl y B. L. van der Waerden.

A lo largo de estas épocas, ella no aplicó simplemente ideas y metodologías existentes de matemáticos anteriores; en cambio, formuló nuevos sistemas de definiciones matemáticas que posteriormente influyeron en futuros esfuerzos matemáticos. Específicamente, estableció una teoría completamente nueva de los ideales en anillos, ampliando el trabajo fundamental de Richard Dedekind. Además, es reconocida por introducir condiciones de cadena ascendente, un criterio de finitud sencillo que resultó notablemente eficaz en sus aplicaciones. Estas condiciones, junto con la teoría de los ideales, permitieron a Noether generalizar numerosos hallazgos previos y abordar problemas establecidos desde un punto de vista novedoso, incluidos los invariantes algebraicos, un tema previamente explorado por su padre, y la teoría de la eliminación.

Las principales contribuciones de Noether a las matemáticas involucraron el avance del naciente campo del álgebra abstracta.

A diferencia de muchos de sus contemporáneos, el enfoque de Noether hacia la abstracción no implicó la generalización de ejemplos específicos; en cambio, se involucró directamente con conceptos abstractos. Como cuenta van der Waerden en su obituario,

La máxima por la que Emmy Noether se guió a lo largo de su trabajo podría formularse de la siguiente manera: "Cualquier relación entre números, funciones y operaciones se vuelve transparente, de aplicación general y plenamente productiva sólo después de haber sido aisladas de sus objetos particulares y formuladas como conceptos universalmente válidos".

Este enfoque ejemplifica la begriffliche Mathematik (matemáticas puramente conceptuales), un sello distintivo de la metodología de Noether. Posteriormente, este estilo matemático ganó adopción entre otros matemáticos, particularmente dentro del dominio emergente del álgebra abstracta.

Primera época (1908–1919)

Teoría algebraica invariante

Una parte importante de la carrera inicial de Noether, durante su primera época, se centró en la teoría invariante, particularmente la teoría invariante algebraica. La teoría invariante investiga expresiones matemáticas que conservan su valor (es decir, permanecen invariantes) bajo grupos específicos de transformaciones. Por ejemplo, en una analogía física común, al girar una regla rígida se alteran las coordenadas de sus extremos, pero su longitud permanece sin cambios. Una ilustración más compleja de un invariante es el discriminante B§56§ − 4AC de un polinomio cuadrático homogéneo Ax§1314§ + Bxy + Cy§1920§, donde x y y representan indeterminados. Este discriminante se denomina "invariante" debido a su constancia bajo sustituciones lineales x → ax + by y y → cx + dy, siempre que su determinante ad − bc sea igual a 1. Colectivamente, estas sustituciones constituyen el grupo lineal especial SL§5152§.

La investigación puede extenderse a identificar todos los polinomios en A, B y C que permanecen invariantes bajo la acción de SL§910§; estos son, de hecho, polinomios del discriminante. En términos más generales, se pueden buscar las invariantes de polinomios homogéneos de grado superior, como A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r, que se manifiestan como polinomios específicos en los coeficientes A§4344§, ..., A_r. Esta línea de cuestionamiento puede extenderse aún más a polinomios homogéneos que involucran más de dos variables.

Un objetivo principal de la teoría invariante implicaba resolver el "problema de base finita". Este problema investigó si todos los invariantes podrían derivarse de un conjunto finito de invariantes iniciales, denominados generadores, mediante suma o multiplicación iterativa, dado que la suma o producto de dos invariantes cualesquiera también constituye un invariante. Por ejemplo, el discriminante proporciona una base finita, que comprende un solo elemento, para los invariantes de un polinomio cuadrático.

Paul Gordan, asesor académico de Noether, se ganó fama como el "rey de la teoría de invariantes", siendo su contribución matemática fundamental la resolución en 1870 del problema de base finita para invariantes de polinomios homogéneos en dos variables. La prueba de Gordon presentó una metodología constructiva para identificar todos los invariantes y sus respectivos generadores; sin embargo, no pudo extender este enfoque a invariantes que involucran tres o más variables. Posteriormente, en 1890, David Hilbert estableció un teorema análogo para las invariantes de polinomios homogéneos en un número arbitrario de variables. En particular, la metodología de Hilbert se aplicó no sólo al grupo lineal especial sino también a varios de sus subgrupos, incluido el grupo ortogonal especial.

Emulando la trayectoria académica de Gordan, Noether dedicó su tesis doctoral y varias publicaciones posteriores a la teoría invariante. Su trabajo amplió los hallazgos de Gordon e integró la investigación de Hilbert. Sin embargo, más tarde expresó desdén por esta primera obra, considerándola de menor importancia y confesando haber olvidado sus complejidades específicas. Hermann Weyl observó:

[Difícilmente se puede imaginar un contraste mayor que entre su primer artículo, la disertación, y sus obras de madurez; porque el primero es un ejemplo extremo de cálculos formales y el segundo constituye un ejemplo extremo y grandioso de pensamiento axiomático conceptual en matemáticas.

Teoría de Galois

La teoría de Galois investiga las transformaciones dentro de campos numéricos que reordenan las raíces de una ecuación. Considere una ecuación polinómica que involucra una variable x de grado n, donde sus coeficientes se originan a partir de un campo básico específico, como el campo de números reales, números racionales o enteros módulo 7. Las soluciones para x que hacen que este polinomio se evalúe como cero se denominan raíces, aunque es posible que dichas soluciones no siempre existan dentro del campo inicial. Por ejemplo, si el polinomio es x§1516§ + 1 y el campo fundamental son los números reales, no existen raíces, ya que cualquier valor real para x da como resultado que el polinomio sea mayor o igual a uno. Sin embargo, extender el campo puede introducir raíces, y un campo suficientemente extendido contendrá invariablemente un número de raíces equivalente al grado del polinomio.

Al extender la ilustración anterior, si el campo se expande para abarcar números complejos, el polinomio adquiere dos raíces: +i y −i, donde i representa el unidad imaginaria, definida por i ² = −1. En términos generales, el campo de extensión dentro del cual un polinomio puede factorizarse completamente en sus raíces constituyentes se designa como el campo de división de ese polinomio.

El grupo de Galois de un polinomio se define como la colección de todas las transformaciones de su campo de división que mantienen tanto el campo fundamental como las raíces del polinomio. (Estas transformaciones se denominan específicamente automorfismos). Para el polinomio x§45§ + 1, su grupo de Galois comprende dos elementos: la transformación de identidad, que asigna cada número complejo a sí mismo, y la conjugación compleja, que transforma +i en −i. Como el grupo de Galois preserva el campo fundamental, en consecuencia deja inalterados los coeficientes del polinomio y, por extensión, todo el conjunto de raíces. Cada raíz puede asignarse a otra raíz, lo que implica que cada transformación establece una permutación entre las raíces n. La profunda importancia del grupo de Galois surge del teorema fundamental de la teoría de Galois, que demuestra una correspondencia uno a uno entre los campos intermedios situados entre el campo terrestre y el campo de división, y los subgrupos del grupo de Galois.

La publicación de Noether de 1918 abordó el problema inverso de Galois. En lugar de centrarse en identificar el grupo de transformaciones de Galois para un campo específico y su extensión, Noether investigó si se podía encontrar invariablemente que una extensión de un campo dado poseía un grupo particular como su grupo de Galois. Esta investigación se redujo posteriormente al "problema de Noether", que cuestiona si el campo fijo de un subgrupo G dentro del grupo de permutación S_n, cuando actúa sobre el campo k(x§1516§, ..., x_n), constituye consistentemente una pura extensión trascendental del campo k. Noether presentó inicialmente este problema en un artículo de 1913, atribuyendo su origen a su colega Fischer. Demostró su validez para los casos en los que n es igual a 2, 3 o 4. Sin embargo, en 1969, Richard Swan identificó un contraejemplo al problema de Noether, que involucra específicamente n = 47 y G como un grupo cíclico de orden 47 (a pesar de que este grupo en particular es realizable como un grupo de Galois sobre los racionales mediante construcciones alternativas). El problema inverso de Galois sigue siendo un desafío matemático sin resolver.

Física

En 1915, David Hilbert y Felix Klein invitaron a Noether a Göttingen, buscando su conocimiento especializado en teoría invariante para ayudarlos a comprender la relatividad general, una teoría geométrica de la gravitación desarrollada principalmente por Albert Einstein. Hilbert había notado una aparente violación de la conservación de la energía dentro de la relatividad general, atribuyéndola a la capacidad de la energía gravitacional de ejercer su propia influencia gravitacional. Noether resolvió esta paradoja e introdujo un instrumento fundamental para la física teórica moderna en una publicación de 1918. Este artículo fundamental introdujo dos teoremas, el primero de los cuales es universalmente reconocido como el teorema de Noether. En conjunto, estos teoremas no solo abordaron la cuestión dentro de la relatividad general sino que también establecieron las cantidades conservadas para cada sistema físico caracterizado por simetría continua. Después de revisar su trabajo, Einstein le comunicó a Hilbert:

Ayer recibí de la señorita Noether un artículo muy interesante sobre invariantes. Me impresiona la capacidad de comprender tales conceptos con tanta generalidad. Los académicos establecidos de Göttingen deberían aprender de la señorita Noether; su experiencia parece profunda.

Por ejemplo, si un sistema físico exhibe un comportamiento idéntico independientemente de su orientación espacial, sus leyes físicas que lo rigen se consideran rotacionalmente simétricas; El teorema de Noether demuestra que esta simetría requiere la conservación del momento angular del sistema. El sistema físico en sí no requiere simetría inherente; por ejemplo, un asteroide irregular que gira en el espacio todavía conserva el momento angular a pesar de su forma irregular. En cambio, la ley de conservación surge de la simetría inherente a las leyes físicas que gobiernan el sistema. Además, si un experimento físico produce resultados consistentes independientemente de su ubicación o tiempo, sus leyes subyacentes poseen simetría bajo traslaciones espaciales y temporales continuas; El teorema de Noether establece que estas simetrías corresponden a las leyes de conservación del momento lineal y la energía, respectivamente, dentro de ese sistema.

Al mismo tiempo, los físicos no estaban familiarizados con la teoría de los grupos continuos de Sophus Lie, que formó la base fundamental del trabajo de Noether. Un número significativo de físicos se encontraron por primera vez con el teorema de Noether a través de un artículo de Edward Lee Hill, que, sin embargo, presentaba sólo un ejemplo especializado del teorema. Como resultado, las implicaciones integrales de sus hallazgos no fueron reconocidas de inmediato. Sin embargo, en la segunda mitad del siglo XX, el teorema de Noether se convirtió en una piedra angular de la física teórica moderna, valorada tanto por sus profundos conocimientos sobre las leyes de conservación como por su utilidad como instrumento computacional práctico. Este teorema permite a los investigadores deducir cantidades conservadas directamente de las simetrías observadas inherentes a un sistema físico. Por el contrario, ayuda a caracterizar un sistema físico haciendo referencia a categorías de leyes físicas hipotéticas. Para ilustrarlo, consideremos el descubrimiento hipotético de un fenómeno físico novedoso. El teorema de Noether ofrece una prueba crucial para los modelos teóricos que explican tal fenómeno: si una teoría incorpora una simetría continua, el teorema garantiza la existencia de una cantidad conservada y, para que la teoría sea válida, esta conservación debe ser empíricamente verificable mediante experimentación.

Segunda época (1920–1926)

Condiciones de cadena ascendente y descendente

Durante este período, Noether obtuvo reconocimiento por su hábil aplicación de las condiciones de la cadena ascendente (Teilerkettensatz) y descendente (Vielfachenkettensatz). Una secuencia ascendente de subconjuntos no vacíos, como A§78§, A§1112§, A§1516§, ..., dentro de un conjunto S se define convencionalmente por cada subconjunto contenido en el siguiente.

Un §1011§ ⊆ Un §2122§ ⊆ Un §3233§ ⊆ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}

Por el contrario, una secuencia de subconjuntos dentro de S se denomina descendente cuando cada subconjunto sucesivo está contenido dentro de su predecesor.

Un §1011§ ⊇ Un §2122§ ⊇ Un §3233§ ⊇ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}

Una cadena se define como que se vuelve constante después de un número finito de pasos si existe un número entero n tal que Un n = Un m {\displaystyle A_n=A_m} para todos los m ≥ n. La condición de la cadena ascendente se satisface con una colección de subconjuntos dentro de un conjunto dado si cada secuencia ascendente finalmente se estabiliza. De manera similar, la condición de cadena descendente se cumple si cualquier secuencia descendente también se estabiliza después de un número finito de pasos. Estas condiciones de cadena son fundamentales para demostrar la existencia de elementos máximos o mínimos dentro de cualquier conjunto de subobjetos, o para demostrar que se pueden generar objetos complejos a partir de un número reducido de elementos constituyentes.

Numerosas estructuras algebraicas en álgebra abstracta pueden cumplir condiciones de cadena; normalmente, aquellos que satisfacen una condición de cadena ascendente se denominan noetherianos, un tributo a sus contribuciones. Específicamente, un anillo noetheriano se caracteriza por satisfacer una condición de cadena ascendente tanto en su ideal izquierdo como en su derecho. Por el contrario, un grupo noetheriano se define como aquel en el que cada cadena de subgrupos estrictamente ascendente es finita. Un módulo noetheriano es un módulo en el que cada cadena estrictamente ascendente de submódulos se estabiliza después de un número finito de pasos. Además, un espacio noetheriano se refiere a un espacio topológico cuyos subconjuntos abiertos se adhieren a la condición de cadena ascendente, clasificando así el espectro de un anillo noetheriano como un espacio topológico noetheriano.

La condición de cadena frecuentemente exhibe una propiedad de herencia entre subobjetos. Por ejemplo, todos los subespacios dentro de un espacio noetheriano son en sí mismos noetherianos; de manera similar, todos los subgrupos y grupos cocientes derivados de un grupo noetheriano también son noetherianos. De manera análoga, mutatis mutandis, este principio se extiende a los submódulos y módulos cocientes de un módulo noetheriano. Además, la condición de la cadena puede ser heredada por varias combinaciones o extensiones de un objeto noetheriano. Por ejemplo, las sumas directas finitas de anillos noetherianos conservan la propiedad noetheriana, al igual que el anillo de series de potencias formales construidas sobre un anillo noetheriano.

La inducción noetheriana, también denominada inducción bien fundada, representa una aplicación adicional de estas condiciones de cadena y sirve como una generalización de la inducción matemática. Este método se emplea con frecuencia para simplificar afirmaciones generales relativas a colecciones de objetos en declaraciones sobre objetos particulares dentro de esas colecciones. Considere S como un conjunto parcialmente ordenado. Un enfoque común para establecer una afirmación sobre elementos dentro de S implica postular la existencia de un contraejemplo y posteriormente derivar una contradicción, demostrando así la contrapositividad de la afirmación inicial. El principio fundamental de la inducción noetheriana afirma que todo subconjunto no vacío de S debe contener un elemento mínimo. Específicamente, la colección de todos los contraejemplos incluirá un elemento mínimo, denominado contraejemplo mínimo. En consecuencia, para validar la afirmación original, basta con demostrar una condición aparentemente menos estricta: que para cualquier contraejemplo dado, existe un contraejemplo más pequeño.

Anillos, ideales y módulos conmutativos

La publicación fundamental de Noether de 1921, titulada Idealtheorie in Ringbereichen (Teoría de los ideales en dominios de anillos), sentó las bases para la teoría general de los anillos conmutativos y presentó una de las primeras definiciones integrales de un anillo conmutativo. Antes de su trabajo, la mayoría de los hallazgos en álgebra conmutativa se limitaban a casos específicos de anillos conmutativos, incluidos anillos polinomiales sobre campos o anillos de números enteros algebraicos. Noether demostró que dentro de cualquier anillo que satisfaga la condición de la cadena ascendente de ideales, todo ideal se genera de forma finita. El matemático francés Claude Chevalley introdujo el término anillo noetheriano en 1943 para caracterizar esta propiedad específica. Una contribución significativa del artículo de Noether de 1921 es el teorema de Lasker-Noether, que amplía el teorema original de Lasker sobre la descomposición primaria de ideales en anillos polinomiales para abarcar todos los anillos noetherianos. Este teorema puede conceptualizarse como una extensión del teorema fundamental de la aritmética, que postula que cada entero positivo posee una factorización única en números primos.

En su publicación de 1927, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Estructura abstracta de la teoría de los ideales en números y funciones algebraicos Fields), Noether delineó las características de los anillos donde los ideales exhiben una factorización única en ideales primos, ahora reconocidos como dominios de Dedekind. Demostró que estos anillos están definidos por cinco criterios específicos: deben cumplir con condiciones de cadena tanto ascendente como descendente, contener un elemento unitario sin divisores cero y estar integralmente cerrados dentro de su correspondiente campo de fracciones. Este artículo presenta además lo que ahora se conoce como teoremas de isomorfismo, que aclaran isomorfismos naturales fundamentales, junto con otros hallazgos fundamentales sobre los módulos noetherianos y artinianos.

Teoría de la eliminación

Entre 1923 y 1924, Noether amplió su teoría ideal a la teoría de la eliminación, empleando una formulación que atribuyó a su alumno, Kurt Hentzelt. Su trabajo demostró que los teoremas centrales relacionados con la factorización polinomial eran directamente transferibles a este contexto.

Históricamente, la teoría de la eliminación se ha centrado en el proceso de eliminar una o más variables de un sistema de ecuaciones polinómicas, utilizando frecuentemente el método de las resultantes. Con fines ilustrativos, un sistema de ecuaciones a menudo se puede expresar de la siguiente forma:

Mv = 0

En esta representación, una matriz (o transformación lineal) M, independiente de la variable x, multiplicada por un vector v (que contiene sólo potencias distintas de cero de x), produce el vector cero, §89§. En consecuencia, el determinante de la matriz M debe ser igual a cero, proporcionando así una nueva ecuación de la que se ha eliminado con éxito la variable x.

Teoría invariante de grupos finitos

Los métodos anteriores, como la solución no constructiva de Hilbert al problema de base finita, carecían de la capacidad de proporcionar datos cuantitativos sobre las invariantes de una acción grupal y no eran universalmente aplicables a todas las acciones grupales. En su publicación de 1915, Noether presentó una solución al problema de bases finitas para un grupo finito de transformaciones G que operan en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo con característica cero. Sus hallazgos demostraron que el anillo de invariantes se genera por invariantes homogéneos cuyo grado no excede el orden del grupo finito, un principio conocido como límite de Noether. Su artículo proporcionó dos pruebas de la limitación de Noether, las cuales también son válidas cuando la característica del campo es coprimo con ${\displaystyle \left|G\right|!}$ (el factorial del orden del grupo ${\displaystyle \left|G\right|}$). Sin embargo, los grados de los generadores pueden no adherirse al límite de Noether si la característica del campo divide el número ${\displaystyle \left|G\right|}$. Noether no pudo determinar la validez del límite cuando la característica del campo divide ${\displaystyle \left|G\right|!}$ pero no ${\displaystyle \left|G\right|}$. Este escenario específico, conocido como "brecha de Noether", siguió siendo un problema sin resolver durante muchos años hasta que Fleischmann en 2000 y Fogarty en 2001 lo resolvieron de forma independiente, demostrando ambos la validez continua de la cota.

La publicación de Noether de 1926 amplió el teorema de Hilbert para abarcar representaciones de grupos finitos en cualquier campo, abordando particularmente el escenario novedoso en el que la característica del campo divide las áreas del grupo. orden, un caso no cubierto por el trabajo original de Hilbert. Posteriormente, William Haboush amplió los hallazgos de Noether para incluir todos los grupos reductivos mediante su prueba de la conjetura de Mumford. En este mismo artículo, Noether también presentó el lema de normalización de Noether, que establece que un dominio generado finitamente A sobre un campo k contiene un conjunto {x§1314§, ..., x_n} de elementos algebraicamente independientes, tales que A es integral sobre k[x§3132§, ..., x_n].

Topología

Hermann Weyl, en su obituario de Noether, destacó sus importantes contribuciones a la topología, subrayando su generosidad intelectual y el impacto transformador de sus conocimientos en diversas disciplinas matemáticas. La topología implica el examen de las propiedades del objeto que persisten sin cambios a pesar de la deformación, como la conectividad. Una ilustración humorística común afirma que "un topólogo no puede distinguir un donut de una taza de café", dada su continua deformabilidad entre sí.

Noether es reconocido por ser pionero en conceptos fundamentales que facilitaron la evolución de la topología algebraica desde su predecesora, la topología combinatoria, particularmente a través de la introducción de grupos de homología. Alexandrov contó que durante las conferencias que él y Heinz Hopf dieron en 1926 y 1927, Noether "continuamente hacía observaciones que a menudo eran profundas y sutiles", y explicó con más detalle que:

Al encontrar el marco sistemático de la topología combinatoria,

rápidamente reconoció el valor de investigar directamente los grupos de complejos algebraicos y ciclos dentro de un poliedro determinado, junto con el subgrupo de ciclos homólogos a cero. En lugar de adherirse a la definición convencional de números de Betti, propuso definir el grupo de Betti como el grupo cociente formado por el grupo de todos los ciclos y el subgrupo de ciclos homólogos a cero. Si bien esta idea parece evidente hoy en día, representó una perspectiva fundamentalmente novedosa durante el período 1925-1928.

La propuesta de Noether de un enfoque algebraico de la topología fue rápidamente adoptada por matemáticos como Hopf y Alexandrov, convirtiéndose en un tema destacado de discurso entre la comunidad matemática de Gotinga. Señaló que su concepto de grupo Betti simplificó la comprensión de la fórmula de Euler-Poincaré, y las contribuciones posteriores de Hopf a este campo reflejaron su influencia. La propia Noether sólo hizo referencia brevemente a sus conocimientos topológicos en una publicación de 1926, presentándolos como una aplicación de la teoría de grupos.

Al mismo tiempo, esta metodología algebraica para la topología surgió de forma independiente en Austria. Durante un curso impartido en Viena entre 1926 y 1927, Leopold Vietoris introdujo el concepto de grupo de homología, que Walther Mayer formalizó posteriormente en una definición axiomática en 1928.

Tercera Época (1927–1935)

Números hipercomplejos y teoría de la representación

A lo largo del siglo XIX y principios del XX se realizaron extensas investigaciones sobre números hipercomplejos y representaciones de grupos, pero estos esfuerzos carecieron en gran medida de cohesión. Noether sintetizó estos hallazgos previos, estableciendo la teoría inaugural de representación general para grupos y álgebras. A esta contribución singular de Noether se le atribuye el inicio de una nueva era en el álgebra moderna y ha demostrado ser fundamental para su evolución posterior.

En esencia, Noether integró la teoría estructural de las álgebras asociativas y la teoría de la representación de grupos en una teoría aritmética unificada centrada en módulos e ideales dentro de anillos que satisfacen condiciones de cadena ascendente.

Álgebra no conmutativa

Noether también encabezó varios otros avances en álgebra. En colaboración con Emil Artin, Richard Brauer y Helmut Hasse, estableció la teoría de las álgebras centrales simples.

Una publicación colaborativa de Noether, Hasse y Brauer abordó las álgebras de división, que son estructuras algebraicas que permiten la división. Demostraron dos teoremas significativos: primero, un teorema local-global que afirma que un álgebra de división central de dimensión finita sobre un cuerpo numérico, si se divide localmente en todas partes, también se divide globalmente (volviéndose así trivial); y de esto derivaron su Hauptsatz ("teorema principal"):

Cada álgebra de división central de dimensión finita sobre un campo numérico algebraico F se divide sobre una extensión ciclotómica cíclica.

Estos teoremas facilitan la clasificación de todas las álgebras de división central de dimensión finita en un campo numérico específico. Una publicación posterior de Noether demostró, como un ejemplo particular de un teorema más amplio, que todos los subcampos máximos de un álgebra de división D constituyen campos de división. Este artículo presenta además el teorema de Skolem-Noether, que postula que dos incrustaciones cualesquiera de una extensión de campo k en un álgebra simple central de dimensión finita sobre k son conjugadas. El teorema de Brauer-Noether proporciona una caracterización de los campos de división para un álgebra de división central sobre un campo.

Legacy

Las contribuciones de Noether siguen siendo pertinentes para el avance de la física teórica y las matemáticas, solidificando su estatus como una de las matemáticas más importantes del siglo XX. A lo largo de su vida y hasta el día de hoy, destacados matemáticos como Pavel Alexandrov, Hermann Weyl y Jean Dieudonné han aclamado a Noether como la matemática más excepcional de la historia.

En una carta dirigida al The New York Times, Albert Einstein articuló:

A juicio de los matemáticos vivos más competentes, Fräulein Noether fue el genio matemático creativo más importante producido hasta ahora desde que comenzó la educación superior de las mujeres. En el ámbito del álgebra, en el que los matemáticos más talentosos han estado ocupados durante siglos, descubrió métodos que han demostrado ser de enorme importancia en el desarrollo de la actual generación más joven de matemáticos.

En su obituario, su colega algebrista B. L. van der Waerden elogió su originalidad matemática como "absoluta sin comparación", mientras que Hermann Weyl afirmó que las contribuciones de Noether "cambiaron la faz del álgebra [abstracta]". El matemático e historiador Jeremy Gray observó que la influencia de Noether es evidente en cualquier libro de texto de álgebra abstracta, afirmando que "los matemáticos simplemente hacen sonar la teoría a su manera". Su nombre ha sido atribuido póstumamente a numerosas entidades matemáticas y al asteroide 7001 Noether. En 2019, la revista Time conmemoró a la mujer del año desde 1920 creando 89 nuevas portadas, seleccionando a Noether para el año 1921.

• Cronología de las mujeres en la ciencia
• Notas

Notas

Referencias

Fuentes

Obras seleccionadas de Emmy Noether

Libros

Libros

• Phillips, Lee (2024), El tutor de Einstein: La historia de Emmy Noether y la invención de la física moderna, PublicAffairs, ISBN 9781541702974Hasse, Helmut; Noether, Emmy (2006), Lemmermeyer, Franz; Roquette, Peter (eds.), Helmut Hasse y Emmy Noether – Die Korrespondenz 1925–1935 [Helmut Hasse y Emmy Noether – Su correspondencia 1925–1935] (PDF), Universidad de Göttingen, doi:10.17875/gup2006-49, ISBN 978-3-938616-35-2Artículos
  • Angier, Natalie (26 de marzo de 2012), "El poderoso matemático del que nunca has oído hablar", The New York Times, consultado el 27 de enero de 2024Blue, Meredith (2001), Teoría de Galois y el problema de Noether (PDF), 34ª Reunión Anual de la Asociación Matemática de América, Sección MAA Florida, archivado desde el (PDF) original el 29 de mayo 2008, consultado el 9 de junio de 2018Phillips, Lee (26 de mayo de 2015), "La matemática que cambió el curso de la física, pero no pudo conseguir trabajo", Ars Technica, California: Condé Nast, consultado el 27 de enero de 2024"Número especial sobre las mujeres en las matemáticas" (PDF), Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense, 38 (7), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense: 701–773, septiembre de 1991, ISSN 0002-9920Shen, Qinna (septiembre de 2019), "A Refugee Scholar from Nazi Germany: Emmy Noether and Bryn Mawr College", The Mathematical Intelligencer, 41 (3): 52–65, doi:10.1007/s00283-018-9852-0, S2CID 128009850Biografías online
    • Byers, Nina (16 de marzo de 2001), "Emmy Noether", Contribuciones de las mujeres del siglo XX a la física, UCLA, archivado desde el original el 12 de febrero de 2008Taylor, Mandie (22 de febrero de 2023), "Emmy Noether", Biografías de mujeres matemáticas, Agnes Scott CollegeChown, Marcus (5 de marzo de 2025), "Emmy Noether: el genio que enseñó a Einstein", Prospect
      • Emmy Noether en el Proyecto de Genealogía de Matemáticas
      • Solicitud de admisión de Noether a la Universidad de Erlangen-Nuremberg y tres de sus currículum vitae del sitio web de la historiadora Cordula Tollmien

      Medios

      • Fotografía de Noether tomada por Hanna Kunsch - Colecciones especiales de la biblioteca de Bryn Mawr College
      • Fotografías de colegas y conocidos de Noether tomadas del sitio web de Clark Kimberling