Euclid

Euclide, un mathématicien grec ancien, était un éminent géomètre et logicien, florissant vers 300 avant JC. Souvent reconnu comme le « père de la géométrie », il est principalement célébré pour son œuvre phare, le traité des éléments, qui a posé des principes géométriques qui sont restés fondamentaux jusqu'au début du XIXe siècle. Ce système, maintenant appelé géométrie euclidienne, intégrait de nouveaux concepts à une synthèse complète des théories mathématiques grecques antérieures, s'appuyant sur des figures telles qu'Eudoxe de Cnide, Hippocrate de Chios, Thalès et Théétète. Aux côtés d'Archimède et d'Apollonius de Perge, Euclide est largement considéré comme l'un des mathématiciens les plus importants de l'Antiquité et une figure profondément influente dans les annales de l'histoire mathématique.

Euclide (; grec ancien : Εὐκλείδης; fl. 300 avant JC) était un mathématicien grec ancien actif comme géomètre et logicien. Considéré comme le « père de la géométrie », il est principalement connu pour le traité des Éléments, qui a établi les fondements de la géométrie qui a largement dominé ce domaine jusqu'au début du XIXe siècle. Son système, maintenant appelé géométrie euclidienne, impliquait des innovations combinées à une synthèse des théories des mathématiciens grecs antérieurs, notamment Eudoxe de Cnide, Hippocrate de Chios, Thalès et Théétète. Avec Archimède et Apollonius de Perge, Euclide est généralement considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de l'Antiquité et l'un des plus influents dans l'histoire des mathématiques.

Les détails biographiques concernant Euclide sont rares, la majorité des informations provenant des récits ultérieurs des savants Proclus et Pappus d'Alexandrie, des siècles après sa vie. Au cours de la période médiévale, les mathématiciens islamiques ont fabriqué des biographies élaborées, tandis que les érudits byzantins et du début de la Renaissance l'ont confondu à tort avec le philosophe Euclide de Mégare. Le consensus scientifique contemporain situe sa carrière active à Alexandrie vers 300 avant JC, après les disciples de Platon et avant Archimède. Les spéculations suggèrent qu'Euclide aurait étudié à l'Académie platonicienne et ensuite enseigné au Musaeum, servant ainsi de lien crucial entre la tradition platonicienne athénienne et le mouvement intellectuel alexandrin ultérieur.

Au sein des Éléments, Euclide dérivait systématiquement des théorèmes à partir d'un ensemble concis d'axiomes. Sa production littéraire comprend également des traités sur la perspective, les sections coniques, la géométrie sphérique, la théorie des nombres et les principes de rigueur mathématique. Au-delà des Éléments, Euclide est l'auteur d'un premier texte fondateur en optique, intitulé Optics, ainsi que d'autres ouvrages moins importants tels que Data et Phaenomena. L'attribution de Sur les divisions des figures et de la Catoptrie à Euclide reste cependant un sujet de débat scientifique. De plus, on pense qu'il a composé de nombreuses œuvres aujourd'hui perdues.

Vie

Récit traditionnel

L'appellation anglaise « Euclide » représente la forme anglicisée du nom grec ancien Eukleídes (Εὐκλείδης). Ce nom vient de « eu- » (εὖ ; « bien ») et « klês » (-κλῆς ; « renommée »), signifiant collectivement « renommé » ou « glorieux », avec l'ajout du suffixe « -ides » (-ίδης, « fils de »). Métonymiquement, dans l'usage anglais, « Euclide » peut faire référence à son traité le plus célèbre, les Éléments d'Euclide, ou à une reproduction de celui-ci, et est parfois utilisé comme synonyme de « géométrie ».

Conformément à la rareté des biographies entourant de nombreux mathématiciens grecs anciens, les détails de la vie d'Euclide restent largement obscurs. Bien qu'il soit définitivement crédité de l'auteur de quatre traités en grande partie existants - les Éléments, Optique, Données et Phénomènes - les informations concrètes sur sa vie personnelle sont par ailleurs inexistantes. Le récit biographique conventionnel s'appuie principalement sur le récit du Ve siècle après JC fourni par Proclus dans son Commentaire sur le premier livre des éléments d'Euclide, complété par des anecdotes choisies de Pappus d'Alexandrie datant du début du IVe siècle.

Proclus indique que la vie d'Euclide s'étend sur une période qui a immédiatement suivi celle de plusieurs disciples de Platon (d. 347 avant JC) et précédant le mathématicien Archimède (c. 287 – c. 212 avant JC) ; plus précisément, Proclus a situé Euclide sous le règne de Ptolémée Ier (r. 305/304-282 avant JC). La date de naissance précise d'Euclide reste inétablie ; alors que certains érudits proposent des estimations vers 330 ou 325 avant JC, d'autres s'abstiennent de telles conjectures. Bien que présumé d'origine grecque, son lieu de naissance est inconnu. Proclus, un néoplatonicien, a affirmé l'adhésion d'Euclide à la tradition platonicienne, bien que cette affirmation manque de corroboration définitive. Étant donné l'improbabilité qu'il soit un contemporain de Platon, il est fréquemment avancé qu'il a reçu son éducation des disciples de Platon à l'Académie platonicienne d'Athènes. L'historien Thomas Heath a approuvé cette hypothèse, observant qu'Athènes abritait la plupart des géomètres compétents, dont beaucoup dont Euclide a ensuite développé les travaux ; cependant, l'historien Michalis Sialaros rejette cela comme une simple conjecture. Néanmoins, la substance de l'œuvre d'Euclide démontre sans équivoque une profonde familiarité avec la tradition platonicienne de la géométrie.

Dans sa Collection, Pappus rapporte qu'Apollonius a reçu des instructions des étudiants d'Euclide à Alexandrie, suggérant qu'Euclide a établi et contribué à une tradition mathématique au sein de la ville. Alexandrie a été fondée par Alexandre le Grand en 331 avant JC, et sa stabilité ultérieure sous Ptolémée Ier, à partir de 306 avant JC, fut exceptionnelle au milieu des conflits tumultueux qui suivirent la division de l'empire d'Alexandre. Ptolémée a lancé un programme d'hellénisation et a supervisé de vastes projets de construction, notamment le monumental Musaeum, qui est devenu un établissement d'enseignement de premier plan. On suppose qu'Euclide faisait partie des premiers érudits du Musaeum. Bien que la date exacte de la mort d'Euclide reste inconnue, on suppose qu'il est décédé vers c. 270 avant JC.

Comptes islamiques médiévaux

Bien que de nombreux récits détaillés concernant la vie d'Euclide apparaissent dans les sources biographiques islamiques, ces récits sont généralement considérés comme tardifs et manquant de corroboration. Ali Ibn Yusuf al-Qifti, par exemple, conserve un tel récit, déclarant :

"Euclide, l'ingénieur, le charpentier de Tyr, fils de Naucrates, fils de Bérénice, celui qui manifesta la géométrie et y excella, connu comme le seigneur de la géométrie. Le nom de son livre sur la géométrie en grec est Stoicheia, qui signifie Les éléments de la géométrie. C'était un ancien sage, grec d'origine, syrien de résidence, Tyrien de ville et charpentier de métier. Il possédait un main puissante dans la science de la géométrie. Son célèbre livre, connu sous le nom de Livre des éléments, est le nom sous lequel il était connu parmi les sages grecs. Les Romains après lui l'appelèrent Les Enquêtes, et les Musulmans l'appelèrent Les Principes. "

Identité et contexte historique

Pour le distinguer du philosophe Euclide de Mégare, un élève socratique présenté dans les dialogues platoniciens avec lequel il était historiquement confondu, Euclide est fréquemment identifié comme « Euclide d'Alexandrie ». Valerius Maximus, un compilateur romain d'anecdotes du 1er siècle après JC, a substitué par erreur le nom d'Euclide à Eudoxe (4e siècle avant JC) en racontant le mathématicien à qui Platon a adressé des demandes sur le doublement du cube. Cette première mention d'un Euclide mathématique, environ un siècle auparavant, a probablement contribué à la confusion d'Euclide avec Euclide de Mégare dans les sources byzantines médiévales (maintenant perdues). Par conséquent, Euclide le mathématicien s'est vu attribuer des détails biographiques des deux individus et a été appelé Megarensis (lit.'de Mégare'). L'érudit byzantin Théodore Metochites (c. 1300) a explicitement fusionné les deux Euclides, une confusion également évidente dans la traduction latine de 1482 de l'imprimeur Erhard Ratdolt editio princeps de Campanus de Novare. Éléments. Cette identification a été propagée par des publications ultérieures après que le mathématicien Bartolomeo Zamberti ait annexé la plupart des fragments biographiques disponibles concernant Euclide à la préface de sa traduction de 1505 des Éléments. Une source supplémentaire de confusion, selon laquelle le lieu de naissance d'Euclide est Gela, en Sicile, provient de l'affirmation occasionnelle selon laquelle Euclide de Mégare y est né. Cependant, des érudits ultérieurs de la Renaissance, notamment Peter Ramus, ont réévalué cette affirmation et l'ont réfutée en soulignant les incohérences et contradictions chronologiques dans les premiers documents historiques.

Les sources arabes médiévales fournissent de nombreux détails sur la vie d'Euclide, mais ces récits sont totalement invérifiables. Par exemple, Euclide était censé être un Grec né à Tyr et résidant à Damas, prétendant être le fils de Naucrate. La majorité des chercheurs estiment que ces récits sont d’une authenticité douteuse. Heath, en particulier, soutient qu’une telle fictionnalisation visait à renforcer le lien entre un mathématicien très estimé et le monde arabe. En outre, il existe de nombreuses histoires anecdotiques sur Euclide, toutes possédant une historicité incertaine, qui le décrivent comme « un vieil homme gentil et doux ». Le plus célèbre d'entre eux est le récit de Proclus selon lequel Ptolémée se demandait s'il existait une méthode plus rapide pour apprendre la géométrie que l'étude des Éléments d'Euclide, à laquelle Euclide a répondu : « il n'y a pas de voie royale vers la géométrie ». Cependant, la véracité de cette anecdote est discutable, étant donné que Stobée rapporte un échange remarquablement similaire entre Ménechme et Alexandre le Grand. Les deux récits datent du 5ème siècle après JC, aucun ne précise sa source originale et aucun ne se trouve dans la littérature grecque ancienne.

La datation précise de la période active d'Euclide, environ c. 300 avant JC, reste incertaine en raison de l'absence de documentation contemporaine. La première mention principale d'Euclide apparaît dans la lettre d'introduction d'Apollonius aux Coniques, composées au début du IIe siècle avant JC. Apollonius déclare : « Le troisième livre des Coniques présente de nombreux théorèmes remarquables, précieux à la fois pour les synthèses et la quantification de solutions pour les loci solides. La majorité, et même les plus raffinées, d'entre elles sont des contributions originales. Lors de leur découverte, nous avons reconnu qu'Euclide n'avait abordé que partiellement, et pas entièrement avec succès, la synthèse du locus sur trois et quatre lignes. On émet l'hypothèse que les Éléments ont été au moins partiellement diffusés au 3ème siècle avant JC, étant donné qu'Archimède et Apollonius présupposent plusieurs de ses propositions. Néanmoins, Archimède a utilisé une version antérieure de la théorie des proportions par rapport à celle présentée dans les Éléments. Les premiers exemples physiques du contenu des Éléments, estimés à environ 100 après JC, sont constitués de fragments de papyrus découverts dans un ancien tas d'ordures à Oxyrhynchus, en Égypte romaine. Les premières références directes aux Éléments dans des œuvres datées de manière fiable apparaissent au IIe siècle après JC, attribuées à Galien et Alexandre d'Aphrodisias, date à laquelle elles étaient devenues un texte pédagogique fondamental. Alors que certains mathématiciens grecs anciens nomment explicitement Euclide, il est plus communément identifié comme « ὁ στοιχειώτης » (ce qui signifie « l'auteur des Éléments »). Au Moyen Âge, certains érudits affirmaient qu'Euclide n'était pas un individu historique, suggérant que son nom provenait d'une corruption linguistique de la terminologie mathématique grecque.

Travaux majeurs

Les éléments

Euclide est principalement reconnu pour son traité en treize volumes, les Éléments (grec ancien : Στοιχεῖα ; Stoicheia), largement considéré comme son magnum opus. Une partie importante de son contenu provient des contributions de mathématiciens antérieurs, tels qu'Eudoxe, Hippocrate de Chios, Thalès et Théétète, avec des théorèmes supplémentaires référencés par Platon et Aristote. Distinguer les contributions originales d'Euclide de celles de ses prédécesseurs s'avère difficile, d'autant plus que les Éléments ont largement supplanté et conduit à la perte d'une grande partie de l'érudition mathématique grecque antérieure. Le classique Markus Asper postule que « l'accomplissement d'Euclide réside apparemment dans l'organisation des connaissances mathématiques établies en une structure cohérente et l'introduction de nouvelles preuves pour combler les lacunes existantes », tandis que l'historienne Serafina Cuomo l'a qualifié de « réservoir de résultats ». Nonobstant ces observations, Sialaros soutient en outre que « la structure exceptionnellement rigoureuse des Éléments démontre une maîtrise de l'auteur s'étendant au-delà de la portée d'un simple rôle éditorial. »

Contrairement à une idée fausse courante, les Éléments ne traitent pas uniquement des principes géométriques. Conventionnellement, le travail est classé en trois domaines principaux : la géométrie plane (livres 1 à 6), la théorie fondamentale des nombres (livres 7 à 10) et la géométrie solide (livres 11 à 13), bien que le livre 5 (centré sur les proportions) et le livre 10 (abordant les lignes irrationnelles) ne se conforment pas précisément à cette division tripartite. La principale contribution intellectuelle du texte réside dans les théorèmes diffusés dans ses volumes. En employant la nomenclature aristotélicienne, ceux-ci peuvent être globalement classés en deux catégories distinctes : les « premiers principes » et les « seconds principes ». La catégorie initiale comprend des déclarations désignées comme une « définition » (grec ancien : ὅρος ou ὁρισμός), un « postulat » (αἴτημα), ou une "notion commune" (κοινὴ ἔννοια) ; notamment, seul le premier livre contient des postulats – appelés par la suite axiomes – et des notions communes. Cette dernière catégorie comprend des propositions présentées accompagnées de preuves mathématiques et de diagrammes illustratifs. Bien qu'il reste incertain si Euclide a conçu les Éléments comme un manuel pédagogique, sa présentation structurée se prête intrinsèquement à un tel objectif. Dans l'ensemble, la perspective de l'auteur conserve un ton généralisé et objectif.

Table des matières

Le livre 1 des Éléments constitue l'élément fondamental de l'ensemble de l'ouvrage. Il commence par vingt définitions décrivant les concepts géométriques fondamentaux, notamment les lignes, les angles et divers polygones réguliers. Euclide introduit ensuite dix hypothèses, classées en cinq postulats (axiomes) et cinq notions communes. Ces hypothèses établissent le cadre logique de tous les théorèmes ultérieurs, fonctionnant comme un système axiomatique. Les notions courantes concernent uniquement la comparaison des grandeurs. Alors que les postulats un à quatre sont relativement directs, le cinquième, connu sous le nom de postulat parallèle, jouit d’une renommée particulière. Le livre 1 comprend en outre 48 propositions, largement classées en sections traitant des théorèmes et constructions fondamentaux en géométrie plane et en congruence triangulaire (1-26) ; lignes parallèles (27-34); l'aire des triangles et des parallélogrammes (35-45) ; et le théorème de Pythagore (46-48). Les propositions finales présentent la première preuve existante du théorème de Pythagore, qualifié par Sialaros de « remarquablement délicat ».

Le livre 2 est conventionnellement interprété comme abordant « l'algèbre géométrique », une compréhension qui a fait l'objet d'un débat scientifique important depuis les années 1970, les critiques jugeant la caractérisation anachronique étant donné que les éléments fondamentaux de l'algèbre, même naissante, ont émergé des siècles plus tard. Ce deuxième livre conserve une portée plus concentrée, fournissant principalement des théorèmes algébriques pertinents pour diverses figures géométriques. Son contenu est centré sur l'aire des rectangles et des carrés, culminant dans un antécédent géométrique à la loi des cosinus. Le livre 3 est consacré aux cercles, tandis que le livre 4 examine les polygones réguliers, avec un accent particulier sur le pentagone. Le livre 5 constitue l'une des sections les plus cruciales de l'ouvrage, introduisant ce que l'on appelle communément la « théorie générale des proportions ». Le livre 6 applique la « théorie des rapports » dans le domaine de la géométrie plane. Sa structure repose presque entièrement sur sa proposition initiale : "Les triangles et les parallélogrammes qui sont sous la même hauteur sont les uns par rapport aux autres comme leurs bases."

En commençant par le livre 7, le mathématicien Benno Artmann observe que "Euclide recommence. Rien des livres précédents n'est utilisé." La théorie des nombres constitue le sujet des livres 7 à 10, le livre 7 initiant ce segment en fournissant 22 définitions de concepts tels que la parité, les nombres premiers et d'autres termes liés à l'arithmétique. Le livre 7 présente l'algorithme euclidien, une procédure permettant de déterminer le plus grand commun diviseur de deux entiers. Le livre 8 examine les progressions géométriques, tandis que le livre 9 contient la proposition, désormais reconnue comme le théorème d'Euclide, affirmant l'infinitude des nombres premiers. Parmi les volumes des Éléments, le livre 10 est manifestement le plus complet et le plus complexe, abordant les nombres irrationnels dans le cadre des grandeurs.

Les trois derniers livres (11 à 13) sont principalement consacrés à la géométrie solide. Le livre 11 établit le contexte des deux volumes suivants en présentant une liste de 37 définitions. Malgré son caractère fondateur, parallèle au livre 1, il lui manque notamment un système axiomatique ou des postulats. Le livre 11 est structuré en trois sections, couvrant la géométrie solide (1 à 19), les angles solides (20 à 23) et les solides parallélépipédiques (24 à 37).

Travaux supplémentaires

Au-delà des Éléments, au moins cinq autres œuvres attribuées à Euclide ont survécu jusqu'à l'époque contemporaine. Ces textes adhèrent au cadre logique identique à celui des Éléments, incorporant des définitions et des propositions démontrées.

• Le traité Catoptrics aborde les principes mathématiques des miroirs, en se concentrant spécifiquement sur les images produites par des miroirs concaves plans et sphériques ; cependant, sa paternité est parfois contestée.
• Les Données (grec ancien : Δεδομένα) sont un texte relativement concis qui explore le caractère et les ramifications des informations « données » dans la résolution de problèmes géométriques.
• Sur les divisions (grec ancien : Περὶ Διαιρέσεων) existe uniquement dans une traduction arabe partielle et traite de la partition des figures géométriques en deux ou plusieurs segments égaux ou en segments avec des rapports spécifiés. Cet ouvrage comprend trente-six propositions et ressemble aux Coniques d'Apollonius.
• L'Optique (grec ancien : Ὀπτικά) représente le premier traité grec existant consacré à la perspective. Il comprend un discours d'introduction sur l'optique géométrique et les principes fondamentaux de la perspective.
• Les Phénomènes (grec ancien : Φαινόμενα), un traité grec existant sur l'astronomie sphérique, présente des similitudes avec Sur la sphère en mouvement d'Autolycus de Pitane, actif vers 310 avant JC.

Traités perdus

Quatre œuvres supplémentaires sont attribuées de manière fiable à Euclide, bien qu'elles n'existent plus.

• Les Coniques d'Euclide (grec ancien : Κωνικά) comprenaient un examen en quatre volumes des sections coniques, remplacé par la suite par le traité plus complet d'Apollonius portant le même titre. La connaissance de l'existence de cette œuvre vient principalement de Pappus, qui affirmait que les quatre premiers livres des Coniques d'Apollonius étaient substantiellement dérivés des travaux précédents d'Euclide. Cependant, l'historien Alexander Jones a remis en question cette affirmation en raison du nombre limité de preuves corroborantes et de l'absence d'autres récits soutenant l'affirmation de Pappus.
• Le Pseudaria (grec ancien : Ψευδάρια ; lit.'erreurs') était, comme l'a documenté Proclus. (70.1–18), un traité sur le raisonnement géométrique conçu pour enseigner aux novices comment contourner les erreurs logiques courantes. Au-delà de son objectif général et de quelques fragments survivants, les détails spécifiques concernant son contenu restent largement inconnus.
• D'après les rapports de Pappus et Proclus, les Porismes (grec ancien : Πορίσματα ; lit.'Corollaires') constituaient probablement un ouvrage en trois volumes contenant environ 200 propositions. Dans ce contexte spécifique, le terme « porisme » désigne non pas un corollaire, mais plutôt « un troisième type de proposition – intermédiaire entre un théorème et un problème – dont le but est de découvrir une caractéristique d'une entité géométrique existante, par exemple, de trouver le centre d'un cercle ». Le mathématicien Michel Chasles a émis l'hypothèse que ces propositions perdues englobaient du matériel pertinent pour les théories contemporaines de la géométrie transversale et projective.
• Le contenu spécifique de Surface Loci (grec ancien : Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) est en grande partie inconnu, les connaissances existantes étant principalement dérivées de déductions basées sur son titre. Des récits ultérieurs ont conduit à des conjectures suggérant que les travaux abordaient des sujets tels que les cônes et les cylindres, entre autres entités géométriques.

Héritage

Euclide est largement considéré, aux côtés d'Archimède et d'Apollonios de Perge, comme l'un des mathématiciens les plus éminents du monde antique. De nombreux chercheurs l’identifient comme une figure profondément influente dans le développement historique des mathématiques. Le cadre géométrique établi dans ses Éléments a exercé une influence considérable pendant des siècles ; cependant, ce système est maintenant communément appelé « géométrie euclidienne » pour le différencier des géométries non euclidiennes identifiées au début du 19e siècle. Plusieurs entités portent le nom d'Euclide, notamment le vaisseau spatial Euclid de l'Agence spatiale européenne (ESA), le cratère lunaire Euclide et la planète mineure 4354 Euclide.

Les Éléments sont souvent considérés comme le livre le plus traduit, publié et étudié de manière approfondie de l'histoire occidentale, juste derrière la Bible. Aux côtés de la Métaphysique d'Aristote, les Éléments constituent potentiellement le texte grec ancien le plus marquant, servant de principal manuel de mathématiques dans les sphères intellectuelles médiévales arabes et latines.

L'édition anglaise inaugurale des Éléments a été publiée en 1570 par Henry Billingsley et John Dee. En 1847, le mathématicien Oliver Byrne a produit une interprétation remarquable des Éléments, intitulée Les six premiers livres des éléments d'Euclide dans lesquels des diagrammes et des symboles colorés sont utilisés à la place des lettres pour une plus grande facilité des apprenants, qui incorporait des diagrammes colorés pour améliorer son efficacité pédagogique. David Hilbert a ensuite développé une formulation axiomatique moderne des Éléments. La poète Edna St. Vincent Millay a observé que « seul Euclide a regardé la Beauté nue ».

Références

Remarques

Citations

Sources

Livres

Articles

En ligne

Travaux

Travaux

• Œuvres d'Euclide disponibles via le Projet Gutenberg
• Œuvres de ou relatives à Euclide accessibles via Internet Archive
• Œuvres d'Euclide disponibles sur LibriVox (livres audio du domaine public)
• La collection Euclid de l'University College London, comprenant environ 500 éditions des œuvres d'Euclide, est accessible sous forme numérique via la bibliothèque numérique de la Fondation Stavros Niarchos.
• Scans de l'édition d'Euclide de Johan Heiberg.

Les Éléments

• Une copie PDF, comportant le texte grec original et une traduction anglaise sur les pages en regard, fournie par l'Université du Texas.
• Les treize livres, présentés dans plusieurs langues, dont l'espagnol, le catalan, l'anglais, l'allemand, le portugais, l'arabe, l'italien, le russe et le chinois.