Muzîk û Matematîk (Music and mathematics)

Teoriya Muzîkê bi awayekî sîstematîk Perdeya Deng, rêxistina demkî, û hêmanên avahîsaziyê yên kompozîsyonên muzîkê lêkolîn dike. Ew prensîbên matematîkî bi kar tîne da ku pêkhateyên cuda yên muzîkê, di nav de Tempo, pêşveçûnên ahengî, avahiyên formî, û metra rîtmîk lêkolîn bike. Hewldana ji bo têgihîştin û vegotina nêzîkatiyên nû ji bo kompozîsyona muzîkê û têgihîştina bihîstbar, bûye sedema sepandina teoriya setan, cebîra abstrakt, û teoriya hejmaran di nav çarçoveyên muzîkê de.

Her çend teoriya muzîkê ya hemdem di nav matematîka nûjen de çarçoveyek aksiyomatîkî kêm be jî, taybetmendiyên bingehîn ên dengê muzîkê bi rêya Akustîkê ji bo danasîna matematîkî guncan in û rêzek berbiçav a taybetmendiyên hejmarî nîşan didin.

Çarçoveya Dîrokî

Dema ku şaristaniyên Kevnar ên Çînî, Hindî, Misrî û Mezopotamyayî ji bo lêkolînên xwe yên li ser bingehên matematîkî yên deng têne nas kirin, Pîtagorîyên Yewnanistana Kevnar, bi taybetî Fîlolaos û Arxîtas, wekî lêkolînerên herî kevnar ên naskirî têne hesibandin ku temsîlkirina pîvanên muzîkê bi rêya rêjeyên hejmarî, bi taybetî yên ku hejmarên piçûk dihewînin, lêkolîn kirin. Navik bingeha felsefî ya wan îdîa kir ku "hemû xweza ji ahengê ku ji hejmaran derdikeve pêk tê."

Bi Platon dest pê kir, Aheng wekî qadeke bingehîn a Fîzîkê dihat hesibandin, qadeke ku niha wekî Akustîka Muzîkê tê nasîn. Teorîsyenên destpêkê yên Hindî û Çînî metodolojiyên berawirdî nîşan dan, bi gerdûnî hewl didan ku nîşan bidin ku prensîbên matematîkî yên ku aheng û Rîtmê birêve dibin ne tenê ji bo têgihîştina cîhanê JGirîng bûn, lê di heman demê de ji bo pêşxistina refaha mirovan jî. Konfuçyus, mîna Pîtagoras, hejmarên 1, 2, 3, û 4 wekî Jêder hemû kamilbûnê dihesiband.

Rêxistina Demkî, Rîtm, û Metra

Muzîk bi bingehîn xwe dispêre sînorên Avahîya rîtmîk, ku rêxistina domdar û birêkûpêk a dubarekirina Lêdana Dil, tekezî, hevokkirin, û dema demkî dihewîne. Sepandina hemdem a termînolojiya muzîkê, wekî "metra" û "Pîvan", girîngiya dîrokî ya Muzîkê, li gel Astronomiyê, di pêşxistina têgehên jimartin, arîtmetîk, û pîvandina rastîn a dem û periyodîsîteyê de destnîşan dike, ku ji bo Fîzîkê bingehîn in.

Pêkhateyên Forma muzîkê gelek caran rêjeyên rast an Avahiyên hîpermetrîk dihewînin, ku gelek caran ji hêzên hejmarên 2 û 3 têne wergirtin.

Avahîya Muzîkê

Forma muzîkê şemaya rêxistinî diyar dike ku bi rêya wê kompozîsyoneke muzîkê ya kurt tê pêşxistin û berfirehkirin. Têgeha "planê" bi heman rengî di mîmarîyê de tê bikaranîn, dîsîplînek e ku formên muzîkê gelek caran pê tên berawirdkirin. Mîna mîmarekî, awazdaner divê armanca kar û çavkaniyên heyî bifikire, aboriyê bi kar bîne û prensîbên dubarekirin û rêkûpêkîyê bi kar bîne. Cureyên formên berbelav, wekî avahiyên bînarî û ternarî, ku rêzikên "du-qatî" û "sê-qatî" nîşan didin, rola girîng a nirxên hejmarên piçûk di zêdekirina zelaliya muzîkê û balkêşiya estetîk de bêtir ronî dikin.

Frekans û Têkiliyên Ahengê

Pûlikeke muzîkê berhevokek cuda ya perdeyên deng pêk tîne ku di afirandin an analîza muzîkê de tê bikaranîn. Dema ku pûlika dîatonîk di nav kevneşopiya muzîkê ya Rojava de xwedî girîngiyeke Bingehîn e, gelek pûlikên din di serdemên dîrokî yên cihêreng û herêmên cîhanî de hatine bikaranîn û pêşniyar kirin. Her perdeya deng a takekesî bi frekansek taybetî ve girêdayî ye, ku bi hertz (Hz) tê pîvandin, carinan wekî çerxên di çirkeyê de (c.p.s.) tê binavkirin. Pûlikek bi xwezayî xwedî navberek dubarekirinê ye, bi gelemperî oktav e. Oktava perdeya dengek diyarkirî frekansekê bi rastî du qatê perdeya deng a orîjînal nîşan dide.

Superoktavên paşîn perdeyên deng nîşan didin ku di frekansên çar, heşt, şazdeh caran, û pirjimariyên pêşverû yên bilindtir ên frekansa Bingehîn de çêdibin. Berovajî, perdeyên deng ên bi frekansên wekî nîv, çaryek, heştek, û hwd., yên Bingehîn wekî suboktav têne destnîşankirin. Di nav ahenga muzîkê de, heke perdeya dengek taybetî ahengdar were hesibandin, oktavên wê jî her gav ahengdar têne dîtin. Wekî encam, her notayek diyarkirî û oktavên wê yên têkildar bi gelemperî di nav pergalên muzîkê de nomenklaturek mîna hev têne dayîn (mînak, hemî dikarin wekî doh, A, an Sa werin binavkirin, li gorî pergala taybetî).

Dema ku wekî Berfirehiya Bandê ya frekansê tê têgihîştin, oktavek, wekî A₂–A₃, rêzek ji 110 Hz heta 220 Hz digire, ku firehiyek 110 Hz nîşan dide. Oktava paşîn dê ji 220 Hz heta 440 Hz dirêj bibe, ku firehiyek 220 Hz vedigire. Oktava sêyemîn paşê ji 440 Hz heta 880 Hz diguhere, bi firehiyek 440 Hz, û ev nexşe didome. Bi vî awayî, her oktava li pey hev rêzek frekansê bi rastî du qatê oktava berê vedigire.

Ji ber ku danasîna pûlikeke muzîkê gelek caran têkiliyên an rêjeyên di navbera perdeyên deng de, ku wekî navber têne binavkirin, li ser frekansên wan ên mutleq ên rastîn pêşîn digire, adet e ku hemî perdeyên deng ên pûlikê wekî rêje li gorî perdeya deng a referansê ya diyarkirî werin îfadekirin, ku nirxek yek (gelek caran wekî 1/1 tê nîşankirin) jê re tê dayîn. Ev perdeya deng a referansê bi gelemperî wekî tonîka pûlikê kar dike. Ji bo analîza berawirdî ya mezinahiyên navberan, sent bi gelemperî têne bikaranîn.

Pergalên Ahengkirinê

Tuning systems

Pergalên dengdanê du cureyên sereke hene: temperamanên wekhev û dengdana rast. Pûlikên temperamanên wekhev bi dabeşkirina logarîtmîk a oktavê li navberan têne avakirin, ku ev yek pûlikên bi tevahî yekreng lê bi rêjeyên Frekansê yên neaqilane diafirîne. Berovajî, pûlikên rast bi zêdekirina Frekansan bi hejmarên rasyonel têne çêkirin, ku ev yek rêjeyên Frekansê yên Hêsan lê dabeşên pûlikê yên newekhev peyda dike.

Cudahiyek Bingehîn di navbera temperamanên wekhev û dengdanên rast de di diyardeyên lêdana wan ên akustîk de ye dema ku du Nota bi hev re têne lêxistin, ku ev yek bandorê li têgihîştina subjektîf a lihevhatin û nelîhevhatinê dike. Her du pergal, ligel piraniya kevneşopiyên Muzîkê, pûlikên ku di navbera her oktavê de dubare dibin, ku bi rêjeya Frekansê ya 2:1 ve têne pênasekirin, dihewînin. Ev tê wê wateyê ku Nexşeya pûlikê her gava ku Frekans ducar dibe, xwe dubare dike.

Ev nimûne du pêlên sînusê yên li pey hev hatine lêxistin nîşan dide: nîv-gavek li 550 Hz (C♯ di pûlika dengdana rast de) li dû nîv-gavek li 554.37 Hz (C♯ di pûlika temperamanên wekhev de).

• Du pêlên sînusê yên li pey hev hatine lêxistin – ev nimûne nîv-gavek li 550 Hz (C♯ di pûlika dengdana rast de) dihewîne, li dû nîv-gavek li 554.37 Hz (C♯ di pûlika temperamanên wekhev de).
• Ev nimûne heman du Notan dihewîne, ku wekî "dîad" li hember pedala A440 ya Berdewam têne pêşkêş kirin. Nota jêrîn wekî A ya Berdewam dimîne (440 Hz di her du pûlikan de), dema ku Nota jorîn ji C♯ di pûlika temperamanên wekhev de ji bo saniyeya destpêkê derbasî C♯ di pûlika dengdana rast de ji bo saniyeya paşîn dibe. Cudabûnên Qonaxê tespîtkirina vê veguherînê ji nimûneya berê zûtir Hêsan dikin.

Dengdanên rast

Dengdana pênc-Sînor, ku wekî Forma herî berbelav a dengdana rast tê nasîn, pergalek e ku Notên ji harmonîkên hejmarên rêkûpêk ên yek Frekansê Bingehîn bikar tîne. Johannes Kepler ev Pûlik di Karê xwe yê sala 1619an, *Harmonices Mundi*, de destnîşan kir, ku ew bi tevgera gerstêrkan ve girêdide. Alexander Malcolm, matematîknas û teorîsyenekî Muzîkê yê Skotî, di weşana xwe ya sala 1721an, *Treatise of Musick: Speculative, Practical and Historical*, de guhertoyek veguherandî ya vê Pûlikê pêşkêş kir. Teorîsyenê Sedsala bîstan Jose Wuerschmidt jî ev Pergal rave kir. Guhertoyek vê dengdanê niha di Muzîka bakurê Hindistanê de tê bikaranîn.

Awazdanerê Amerîkî Terry Riley formek berevajîkirî ya vê pûlikê di kompozîsyona xwe ya "Harp of New Albion" de bi kar anî. Intonasyona rast di çarçoveyên ku pêşveçûna akorê kêm e an tune ye de encamên akustîk ên bilindtir dide, ji ber ku stranbêj û amûrjen bi xwezayî ber bi wê ve diçin dema ku gengaz be. Lê belê, ew ji bo amûrên bi pûlika sabît, wek piyanoyan, dijwariyekê çêdike, bi hilberîna du navberên tonê yên cihêreng (9:8 û 10:9) ji ber ku ew nikarin bi dînamîkî kilîtê eyar bikin. Ji bo destnîşankirina frekansa notayekê di nav pûlikek li ser bingeha rêjeyê de, rêjeya frekansê bi frekansa tonîkê tê zêdekirin. Mînak, bi tonîkek A4 (A ya xwezayî li ser C ya navîn) di 440 Hz de, pêncemînek bi rastî eyarkirî li ser wê (E5) wekî 440 × (3:2) tê hesibandin, ku dibe 660 Hz.

Pûlika Pîtagorî pergalek e ku bi taybetî li ser konsonansên bêkêmasî hatiye damezrandin, bi taybetî oktava bêkêmasî, pêncemîna bêkêmasî, û çaremîna bêkêmasî. Wekî encam, sêyemîna major wekî sêyemînek serbixwe nayê hesibandin, lê belê wekî "dîton", ku bi rastî tê wateya "du tonan", wekî (9:8)² = 81:64 tê hesibandin, berevajî 5:4 = 80:64 ya serbixwe û bi ahengî rast. Tonê tevahî, di vê pergalê de, navberek duyemîn e ku ji du pêncemînên bêkêmasî kêm oktav tê derxistin, wekî (3:2)²/2 = 9:8 tê îfadekirin.

Sêyemîna major a rast (5:4) û sêyemîna minor (6:5) ji hevwateyên xwe yên Pîtagorî (81:64 û 32:27) bi komayek sîntonîk cuda dibin, ku rêjeyek 81:80 ye. Carl Dahlhaus (1990, r. 187) destnîşan kir ku "sêyemîna girêdayî li gorî Pîtagorî, sêyemîna serbixwe jî li gorî pûlika ahengî ya navberan e."

Muzîka rojavayî ya berbelav bi gelemperî pûlikek bi sîstematîkî eyarkirî hewce dike, ne ku tenê intonasyona rast. Ev eyarkirin dikare nehevsengiyên xweser ên pûlika baş bihewîne an jî wekî pûlikek rêkûpêk were avakirin, wekî formek pûlika wekhev an pergalek din a meantone ya rêkûpêk. Bêyî ku nêzîkatiya taybetî çi be, taybetmendiyên bingehîn ên pûlika meantone bi domdarî tê de ne. Mînak, heke rehê akorê ii pêncemînek bêkêmasî li ser dominantê were eyarkirin, ew ê tonê tevahî yê major (9:8) li ser tonîkê be. Berovajî, heke ew sêyemînek minor a rast (6:5) li bin dereceya subdominant a rast a 4:3 were eyarkirin, navbera encam ji tonîkê dê tonê tevahî yê minor (10:9) be. Pûlika meantone ji bo kêmkirina cudahiya di navbera van her du tonên tevahî (9:8 û 10:9) de xizmet dike. Rêjeya wan, (9:8)/(10:9) = 81:80, bi kevneşopî wekî yekîtî tê hesibandin. Ev navber, 81:80, ku wekî komaya sîntonîk an komaya Dîdîmus tê zanîn, komaya bingehîn di nav pûlika meantone de temsîl dike.

Pûlikên Eyarkirî yên Wekhev

Di nav pûlika wekhev de, oktav bi logarîtmîkî li beşên wekhev tê dabeşkirin. Her çend pûlikên pûlika wekhev dikarin bi hejmarên cûda yên notayan werin çêkirin—mînak, pergala Erebî ya 24-tonî—vesazkirina berbelav 12 dabeşan dihewîne, ku pûlika kromatîk a pûlika wekhev çêdike. Di çarçoveyên muzîkê yên Rojava de, dabeşkirina li diwanzdeh navberan bi gelemperî tê texmîn kirin heya ku alternatîfek bi eşkereyî neyê gotin.

Di pûlika kromatîk de, oktav diwanzdeh beşên wekhev tê dabeşkirin, ku her nîv-ton (nîv-gav) navberek ku bi rehê diwanzdehemîn ê duyan re wekhev e temsîl dike. Wekî encam, diwanzdeh nîv-gavên wekhev bi rastî oktavê pêk tînin. Ji bo amûrên bi perde, temperamenta wekhev pir bikêrhatî ye, ji ber ku ew hevberkirina yekreng a perdan li ser hemî têlan hêsan dike. Di dîrokê de, di nav kevneşopiya muzîkê ya Ewropî de, temperamenta wekhev pir zûtir li muzîka lût û gîtarê hate sepandin ji amûrên din, di nav de amûrên Karsazê jî. Ev rêgeha dîrokî temperamenta wekhev a diwanzdeh-tonî wekî pergala intonasyonê ya serdest li seranserê cîhana Rojava û li gelek herêmên ne-Rojava saz kiriye.

Pûlikên bi temperamenta wekhev hatine bicîhanîn, û amûrên têkildar hatine çêkirin, bi karanîna hejmarên cihêreng ên navberên wekhev. Temperamenta 19-wekhev, ku di destpêkê de ji hêla Guillaume Costeley ve di sedsala 16an de hate pêşniyar kirin û bikar anîn, 19 tonên wekhev dihewîne. Ev pergal sêyemînên mezin ên bilindtir û sêyemînên biçûk ên bi awayekî girîng çêtir peyda dike li gorî temperamenta wekhev a standard a 12-nîv-tonî, her çend bi lêçûna pêncemînek nizm be jî. Encama giştî hestek hevahengiyê ya zêdekirî ye. Temperamenta bîst û çar-wekhev, ku bi bîst û çar tonên wekhev tê diyar kirin, bi berfirehî di pratîkên pedagojîk û nîşankirinê yên muzîka Erebî de tê pejirandin. Lê belê, hem ji hêla teorîkî û hem jî ji hêla pratîkî ve, intonasyona muzîkê ya Erebî bi rêjeyên rasyonel ve girêdayî ye, ku berevajî rêjeyên nerasyonel ên ku di pergalên bi temperamenta wekhev de hene.

Her çend analogek tam ji tonê çaryek ê bi temperamenta wekhev bi tevahî di pergalên intonasyonê yên Erebî de tune be jî, nêzîkatiyên tonê sê-çaryek, an duyemîn a bêalî, bi gelemperî têne dîtin. Lê belê, ev duyemînên bêalî, di rêjeyên xwe de guhertinên piçûk nîşan didin, li gorî maqamê taybetî û herêma erdnîgarî. Wekî ku ji hêla dîroknasê muzîka Erebî Habib Hassan Touma ve hate destnîşan kirin, "firehiya cûdahiya vê gava muzîkê di tama taybet a muzîka Erebî de JGirîng e. Ji bo ku pûlik bi dabeşkirina oktavê li bîst û çar tonên çaryek ên bi mezinahiya wekhev were temper kirin, dê bibe devjêberdana yek ji hêmanên herî taybetmendî yên vê çanda muzîkê."

Pergala temperamenta 53-wekhev ji wekheviya nêzîk a 53 pêncemînên bêkêmasî bi 31 oktavan re derdikeve, bûyerek ku ji hêla Jing Fang û Nicholas Mercator ve hate dîtin.

Têkiliyên Matematîkî

Teoriya Komê

Teorîya setê ya muzîkê, termînolojîya teorîya setê ya matematîkî bi awayekî bingehîn bi kar tîne da ku hebûnên muzîkî dabeş bike û têkiliyên wan ên navxweyî diyar bike. Ji bo analîza binyadî ya kompozîsyoneke muzîkî (bi gelemperî atonîk) di vê çarçoveyê de, pêvajo bi gelemperî bi berhevokek ji dengan dest pê dike, ku dibe ku motîf an akordan pêk bînin. Sepandina operasyonên bingehîn, wekî transpozîsyon û înversîyon, nasîna binyadên kûr ên bingehîn di nav muzîkê de hêsan dike. Van operasyonan, transpozîsyon û înversîyon, ji ber taybetmendiya wan a parastina têkiliyên întervalîk di navbera dengan de di nav setek diyarkirî de, wekî îsometrî têne binavkirin.

Cebîra Abstrakt

Li ser bingeha metodolojiyên teorîya setê ya muzîkê, hin teorîsyenan cebîra abstrakt ji bo analîza muzîkê bi kar anîne. Mînak, perdeyên deng ên di nav oktava bi heman rengî temperkirî de komeke abelî pêk tînin ku ji 12 elementan pêk tê. Herwiha, înntonasyona rast dikare bi karanîna çarçoveya komeke abelî ya azad were taybetmendîkirin.

David Lewin teorîya transformasyonel pêş xist, şaxek ji teorîya muzîkê ku bi balkişandina ser transformasyonên di navbera hebûnên muzîkî de, ne ku ser hebûnên bi xwe, gihîştiye serlêdana berfireh.

Teorîsyenên muzîkê herwiha serlêdanên muzîkî ji bo têgehên cebîrî yên pêşkeftî pêşniyar kirine. Teorîya temperamanên rêkûpêk, mînak, bi awayekî girîng bi rêbazên matematîkî yên sofîstîke pêş ketîye, wekî têkildarkirina her temperamanek rêkûpêk bi xalek rasyonel li ser Grassmannianek.

Pûlika kromatîk çalakiya azad û transîtîf a koma sîklîk ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ nîşan dide, ku ev çalakî bi transpozîsyona notayan tê pênasekirin. Wekî encam, pûlika kromatîk dikare wekî torsorek ji bo vê komê were têgihîştin.

Hejmar û Rêz

Hin bestekar rêjeya zêrîn û hejmarên Fîbonaccî di nav kompozîsyonên xwe yên muzîkê de entegre kirine.

Teorîya Kategorîyan

Guerino Mazzola, matematîkzan û muzîkologek, teorîya kategorîyan, bi taybetî teorîya toposê, wekî çarçoveyek bingehîn ji bo teorîya muzîkê bi kar anîye. Ev nêzîkatî topolojiyê dihewîne da ku teorîyek rîtm û motîfan damezrîne, û geometrîya dîferensiyel jî ji bo pêşxistina teorîyek hevokkirina muzîkê, tempo, û înntonasyonê.

Muzîkjenên bi Paşnavên Matematîkî yên Berbiçav

• Albert Einstein – Piyanîst û kemançêkerekî jêhatî.
• Art Garfunkel (ji Simon & Garfunkel) – Xwedîyê bawernameya Masterê di Perwerdehiya Matematîkê de ye ji Zanîngeha Columbia.
• Brian Cox – Profesorê Fîzîka Parçeyan di nav Dibistana Fîzîk û Astronomiyê de li Zanîngeha Manchesterê.
• Brian May (ji Queen) – Bawernameya BSc (Hons) di Matematîk û Fîzîkê de û PhD di Astrofîzîkê de stend, herdu jî ji Imperial College London.
• Brian Wecht (ji Ninja Sex Party) – Xwedîyê PhD di fîzîka parçeyan de ye ji Zanîngeha California, San Diego.
• Dan Snaith – Xwediyê doktorayekê di Matematîkê de ye ji Imperial College Londonê.
• Delia Derbyshire – Lîsansek di Matematîk û Muzîkê de ji Cambridgeê wergirt.
• Donald Knuth – Lebatjenek û awazdanerek e, Knuth di sala 2016an de perçeyek lebatê bi navê "Fantasia Apocalyptica" qedand, ku di 10ê Çileya 2018an de li Swêdê pêşandana wê ya yekemîn çêbû.
• Ethan Port (ji Savage Republic) – Xwediyê doktorayekê di Matematîkê de ye ji Zanîngeha Southern California.
• Gregg Turner (ji Angry Samoans) – Xwediyê doktorayekê di Matematîkê de ye ji Zanîngeha Claremont Graduate.
• Jerome Hines – Pênc gotar nivîsandin ku di Mathematics Magazine de di navbera salên 1951 û 1956an de hatin weşandin.
• Jonny Buckland (ji Coldplay) – Li ser astronomî û matematîkê li University College Londonê xwendin kir.
• Kit Armstrong – Xwediyê bawernameyekê di Muzîkê de ye û masterek di Matematîkê de ye.
• Manjul Bhargava – Lîstikvanekî tablayê ye, wî di sala 2014an de Xelata Fields wergirt.
• Phil Alvin (ji The Blasters) – Matematîk li Zanîngeha California, Los Angeles xwend.
• Philip Glass – Li ser matematîk û felsefeyê li Zanîngeha Chicago xwendin kir.
• Robert Schneider (ji The Apples in Stereo) – Xwediyê doktorayekê di Matematîkê de ye ji Zanîngeha Emory.
• Tom Lehrer – Lîsansek di Matematîkê de ji Zanîngeha Harvardê wergirt.
• William Herschel – Stêrnas bû ku oboe, keman, harpsichord û lebat lêdixist. Wî 24 senfonî, gelek konçerto û perçeyên cûrbecûr yên muzîka dêrê awaz kirin.

Music portal

Çavkanî

• Dahlhaus, Carl. 1990. Têgihîştina Wagner ya Drama Muzîkê. Deutscher Taschenbuch Verlag. Kassel: Bärenreiter. ISBN 9783423045384; ISBN 9783761845387.
• Ivor Grattan-Guinness (1995) "Mozart 18, Beethoven 32: Siyên Veşartî yên Hejmarên Tam di Muzîka Klasîk de," rûpel 29–47 di Dîroka Matematîkê: Rewşa Hunerê de, ji aliyê Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Knobloch, û Hans Wussing ve hatiye edîtekirin. Academic Press. ISBN 0-12-204055-4.

Matematîka Hêja ji bo Muzîka Germ - Destpêkek yekemîn ji bo matematîkê ji bo teorîsyenên muzîkê ji aliyê Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353

• Cool math for hot music - A first introduction to mathematics for music theorists by Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353

• Muzîk û Matematîk ji aliyê Thomas E. Fiore
• Music and Math by Thomas E. Fiore
• Sonantometrî an jî muzîk wekî dîsîplînek matematîkê.
• Sonantometry or music as math discipline.
• Bikaranîna Nicolaus Mercator ya Teorîya Rêjeyê di Muzîkê de li Convergence
• Nicolaus Mercator use of Ratio Theory in Music at Convergence
• Di romana Hermann Hesse de, Lîstika Mircanên Camê, muzîk û matematîkê roleke bingehîn di têgihîştin û pêşveçûna lîstikê de girtin.
• Gotûbêja akademîk bi gelemperî prensîbên aheng û rêjeyê lêkolîn dike, ligel beşdariyên Pîthagoras di muzîk û têgihîştina fezayî de.
• "Cebîra Xêzî û Muzîk"
• Notefreqs tabloyeke berfireh pêşkêş dike ji frekansên notayan û rêjeyên wan ên têkildar li ser amûrên cûrbecûr, di nav de MIDI, pîano, gîtar, bas û keman, û her weha pîvanên perdan bi santîmetre û înçan ji bo çêkirina amûran bi berfirehî rave dike.
• Gotûbêjek li ser BBC Radio 4 bi navê "Matematîk & Muzîk," ku Marcus du Sautoy, Robin Wilson û Ruth Tatlow tê de bûn, di 25ê Gulana 2006an de hate weşandin, wekî beşek ji bernameya Di Dema Me de.
• "Pîvandina Hevşibiya Notayan bi Kernelên Pozîtîf-Diyar"